1. Jaký je objem krychle, pokud její hrana měří 5 cm?
Objem krychle je dán vzorcem \( V = a^3 \), kde \( a \) je délka hrany. V tomto případě je objem: \( V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3 \).
2. Vypočítejte povrch válce, jehož poloměr podstavy je 3 cm a výška je 8 cm.
Povrch válce je dán vzorcem \( P = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \), kde \( r \) je poloměr a \( h \) je výška. Po dosazení: \( P = 2 \pi (3)^2 + 2 \pi (3)(8) = 18\pi + 48\pi = 66\pi \approx 207.35 \, \text{cm}^2 \).
3. Jaký je objem kužele, pokud poloměr podstavy je 4 cm a výška kužele je 10 cm?
Objem kužele je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10) = \frac{1}{3} \pi (16)(10) = \frac{160}{3} \pi \approx 167.55 \, \text{cm}^3 \).
4. Vypočítejte povrch koule o poloměru 6 cm.
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), kde \( r \) je poloměr. Po dosazení: \( P = 4 \pi (6)^2 = 144 \pi \approx 452.39 \, \text{cm}^2 \).
5. Jaký je objem jehlanu, pokud délka podstavy je 8 cm a výška jehlanu je 12 cm? Podstava je čtverec.
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška jehlanu. Podstava je čtverec, tedy \( A_p = 8^2 = 64 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = 256 \, \text{cm}^3 \).
6. Jaký je objem hranolu, jehož délka, šířka a výška jsou 7 cm, 5 cm a 12 cm?
Objem hranolu je dán vzorcem \( V = a \cdot b \cdot h \), kde \( a \), \( b \) a \( h \) jsou rozměry hranolu. Po dosazení: \( V = 7 \cdot 5 \cdot 12 = 420 \, \text{cm}^3 \).
7. Vypočítejte povrch čtverhranné pyramidy, pokud délka podstavy je 6 cm a výška pyramidy je 10 cm.
Povrch pyramidy je součet obsahu podstavy a obsahu čtyř bočních stěn. Obsah podstavy je \( A_p = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \). Výška boční stěny je \( \sqrt{(6/2)^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10.44 \, \text{cm} \). Obsah boční stěny je \( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10.44 \approx 125.28 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 36 + 125.28 = 161.28 \, \text{cm}^2 \).
8. Jaký je objem elipsoidu, pokud poloměry os jsou 4 cm, 5 cm a 6 cm?
Objem elipsoidu je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi abc \), kde \( a \), \( b \) a \( c \) jsou poloměry os. Po dosazení: \( V = \frac{4}{3} \pi (4)(5)(6) = \frac{480}{3} \pi \approx 502.65 \, \text{cm}^3 \).
9. Jaký je objem koule, jejíž poloměr je 7 cm?
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), kde \( r \) je poloměr. Po dosazení: \( V = \frac{4}{3} \pi (7)^3 = \frac{4}{3} \pi (343) \approx 1436.76 \, \text{cm}^3 \).
10. Jaký je povrch a objem kvádru, pokud jeho rozměry jsou 4 cm, 6 cm a 10 cm?
Povrch kvádru je dán vzorcem \( P = 2(ab + ac + bc) \), kde \( a \), \( b \) a \( c \) jsou rozměry. Po dosazení: \( P = 2(4 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 6 \cdot 10) = 2(24 + 40 + 60) = 248 \, \text{cm}^2 \). Objem je dán vzorcem \( V = a \cdot b \cdot c \), tedy \( V = 4 \cdot 6 \cdot 10 = 240 \, \text{cm}^3 \).
11. Jaký je objem kužele, pokud poloměr podstavy je 6 cm a výška kužele je 15 cm?
Objem kužele je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (15) = \frac{1}{3} \pi (36)(15) = 180\pi \approx 565.49 \, \text{cm}^3 \).
12. Vypočítejte povrch válce, pokud poloměr podstavy je 4 cm a výška válce je 12 cm.
Povrch válce je dán vzorcem \( P = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) je výška. Po dosazení: \( P = 2 \pi (4)^2 + 2 \pi (4)(12) = 32\pi + 96\pi = 128\pi \approx 402.12 \, \text{cm}^2 \).
13. Jaký je objem a povrch koule, pokud její poloměr je 9 cm?
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), kde \( r \) je poloměr. Po dosazení: \( V = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi (729) \approx 3053.63 \, \text{cm}^3 \).
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), tedy \( P = 4 \pi (9)^2 = 324 \pi \approx 1017.88 \, \text{cm}^2 \).
14. Jaký je objem a povrch kvádru, pokud délka je 8 cm, šířka 6 cm a výška 10 cm?
Objem kvádru je dán vzorcem \( V = a \cdot b \cdot c \), kde \( a \), \( b \) a \( c \) jsou rozměry. Po dosazení: \( V = 8 \cdot 6 \cdot 10 = 480 \, \text{cm}^3 \).
Povrch kvádru je dán vzorcem \( P = 2(ab + ac + bc) \). Po dosazení: \( P = 2(8 \cdot 6 + 8 \cdot 10 + 6 \cdot 10) = 2(48 + 80 + 60) = 376 \, \text{cm}^2 \).
15. Vypočítejte objem a povrch jehlanu s čtvercovou podstavou, pokud délka podstavy je 5 cm a výška jehlanu je 12 cm.
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je čtverec, tedy \( A_p = 5^2 = 25 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu je součet obsahu podstavy a obsahu bočních stěn. Výška boční stěny je \( \sqrt{(5/2)^2 + 12^2} = \sqrt{6.25 + 144} = \sqrt{150.25} \approx 12.26 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12.26 \approx 122.6 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 25 + 122.6 = 147.6 \, \text{cm}^2 \).
16. Jaký je objem a povrch jehlanu s podstavou ve tvaru pravidelného trojúhelníka, pokud délka strany podstavy je 6 cm a výška jehlanu je 10 cm?
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \cdot A_p \cdot h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je rovnostranný trojúhelník, takže jeho obsah je \( A_p = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \approx 15.59 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 15.59 \cdot 10 = 51.97 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu se skládá z podstavy a bočních stěn. Výška boční stěny je \( \sqrt{(6/2)^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx 10.44 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10.44 \approx 93.96 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 15.59 + 93.96 = 109.55 \, \text{cm}^2 \).
17. Jaký je objem a povrch válce, jehož poloměr podstavy je 7 cm a výška válce je 14 cm?
Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \pi (7)^2 (14) = 49 \pi (14) = 686 \pi \approx 2155.76 \, \text{cm}^3 \).
Povrch válce je dán vzorcem \( P = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \). Po dosazení: \( P = 2 \pi (7)^2 + 2 \pi (7)(14) = 98 \pi + 196 \pi = 294 \pi \approx 923.38 \, \text{cm}^2 \).
18. Vypočítejte objem a povrch koule o průměru 10 cm.
Poloměr koule je \( r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \).
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), tedy \( V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = 500 \pi \approx 1570.8 \, \text{cm}^3 \).
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), tedy \( P = 4 \pi (5)^2 = 4 \pi (25) = 100 \pi \approx 314.16 \, \text{cm}^2 \).
19. Jaký je objem a povrch čtvercového jehlanu, pokud délka podstavy je 4 cm a výška jehlanu je 9 cm?
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} A_p h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je čtverec, tedy \( A_p = 4^2 = 16 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 9 = 48 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu se skládá z podstavy a čtyř bočních stěn. Výška boční stěny je \( \sqrt{(4/2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85} \approx 9.22 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9.22 \approx 73.76 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 16 + 73.76 = 89.76 \, \text{cm}^2 \).
20. Vypočítejte objem a povrch trojbokého jehlanu, pokud délka podstavy je 7 cm, výška podstavy 4 cm a výška jehlanu 11 cm.
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} A_p h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je trojúhelník, jehož obsah je \( A_p = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4 = 14 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 14 \cdot 11 = 51.33 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu zahrnuje podstavu a tři boční stěny. Výška boční stěny je \( \sqrt{(7/2)^2 + 11^2} = \sqrt{12.25 + 121} = \sqrt{133.25} \approx 11.54 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11.54 \approx 120.21 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 14 + 120.21 = 134.21 \, \text{cm}^2 \).
21. Jaký je objem válce, pokud poloměr podstavy je 6 cm a výška válce je 20 cm?
Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \pi (6)^2 (20) = 720 \pi \approx 2261.95 \, \text{cm}^3 \).
22. Vypočítejte objem kužele, jehož poloměr podstavy je 3 cm a výška kužele je 12 cm.
Objem kužele je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12) = 36\pi \approx 113.10 \, \text{cm}^3 \).
23. Vypočítejte povrch koule, pokud její poloměr je 8 cm.
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), kde \( r \) je poloměr. Po dosazení: \( P = 4 \pi (8)^2 = 4 \pi (64) = 256 \pi \approx 804.25 \, \text{cm}^2 \).
24. Jaký je objem a povrch jehlanu s čtvercovou podstavou, pokud délka strany podstavy je 6 cm a výška jehlanu je 15 cm?
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} A_p h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je čtverec, tedy \( A_p = 6^2 = 36 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 15 = 180 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu se skládá z podstavy a bočních stěn. Výška boční stěny je \( \sqrt{(6/2)^2 + 15^2} = \sqrt{9 + 225} = \sqrt{234} \approx 15.29 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 15.29 \approx 183.48 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 36 + 183.48 = 219.48 \, \text{cm}^2 \).
25. Vypočítejte objem a povrch trojbokého jehlanu, pokud základna má délku 10 cm a výšku podstavy 8 cm, a výška jehlanu je 18 cm.
Objem jehlanu je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} A_p h \), kde \( A_p \) je obsah podstavy a \( h \) je výška. Podstava je trojúhelník, jehož obsah je \( A_p = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40 \, \text{cm}^2 \). Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 18 = 240 \, \text{cm}^3 \).
Povrch jehlanu zahrnuje podstavu a boční stěny. Výška boční stěny je \( \sqrt{(10/2)^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 324} = \sqrt{349} \approx 18.68 \, \text{cm} \). Povrch boční stěny je \( 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 18.68 \approx 280.2 \, \text{cm}^2 \). Celkový povrch je \( P = 40 + 280.2 = 320.2 \, \text{cm}^2 \).
26. Jaký je objem kužele, pokud poloměr podstavy je 5 cm a výška kužele je 20 cm?
Objem kužele je dán vzorcem \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) je výška. Po dosazení: \( V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (20) = \frac{1}{3} \pi (25)(20) = 166.67 \pi \approx 523.6 \, \text{cm}^3 \).
27. Vypočítejte objem a povrch koule o průměru 12 cm.
Poloměr koule je \( r = \frac{12}{2} = 6 \, \text{cm} \).
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), tedy \( V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi (216) = 288 \pi \approx 904.32 \, \text{cm}^3 \).
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), tedy \( P = 4 \pi (6)^2 = 4 \pi (36) = 144 \pi \approx 452.39 \, \text{cm}^2 \).
28. Jaký je objem a povrch kvádru, pokud délka je 9 cm, šířka 7 cm a výška 14 cm?
Objem kvádru je dán vzorcem \( V = a \cdot b \cdot c \), kde \( a \), \( b \) a \( c \) jsou rozměry. Po dosazení: \( V = 9 \cdot 7 \cdot 14 = 882 \, \text{cm}^3 \).
Povrch kvádru je dán vzorcem \( P = 2(ab + ac + bc) \). Po dosazení: \( P = 2(9 \cdot 7 + 9 \cdot 14 + 7 \cdot 14) = 2(63 + 126 + 98) = 2 \cdot 287 = 574 \, \text{cm}^2 \).
29. Vypočítejte objem válce, pokud průměr podstavy je 10 cm a výška válce je 30 cm.
Poloměr podstavy je \( r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \). Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 h \). Po dosazení: \( V = \pi (5)^2 (30) = 750 \pi \approx 2356.19 \, \text{cm}^3 \).
30. Jaký je objem a povrch koule o poloměru 15 cm?
Objem koule je dán vzorcem \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), tedy \( V = \frac{4}{3} \pi (15)^3 = \frac{4}{3} \pi (3375) = 4500 \pi \approx 14137.17 \, \text{cm}^3 \).
Povrch koule je dán vzorcem \( P = 4 \pi r^2 \), tedy \( P = 4 \pi (15)^2 = 4 \pi (225) = 900 \pi \approx 2827.43 \, \text{cm}^2 \).
