Rovnice se zlomky

Řešení příkladu:

Rovnici přepíšeme: \( \frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \)

Odečteme \( \frac{3}{4} \) od obou stran: \( \frac{x}{2} = \frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Vynásobíme rovnici dvěma: \( x = 1 \)

Rovnici vynásobíme nejmenším společným násobkem jmenovatelů (6):

\( 6 \cdot \frac{2x – 1}{3} = 6 \cdot \frac{x + 2}{6} \)

\( 2 \cdot (2x – 1) = x + 2 \)

\( 4x – 2 = x + 2 \)

Odečteme \( x \): \( 3x – 2 = 2 \)

Přičteme 2: \( 3x = 4 \)

Vydělíme třemi: \( x = \frac{4}{3} \)

Převedeme na společného jmenovatele (4):

\( \frac{3x + 2 – 2x}{4} = 1 \)

\( \frac{x + 2}{4} = 1 \)

Vynásobíme čtyřmi: \( x + 2 = 4 \)

Odečteme 2: \( x = 2 \)

Najdeme společný jmenovatel (10):

\( \frac{2(x – 1)}{10} + \frac{x + 3}{10} = 2 \)

\( \frac{2x – 2 + x + 3}{10} = 2 \)

\( \frac{3x + 1}{10} = 2 \)

Vynásobíme deseti: \( 3x + 1 = 20 \)

Odečteme 1: \( 3x = 19 \)

Vydělíme třemi: \( x = \frac{19}{3} \)

Společný jmenovatel je 12:

\( 12 \cdot \frac{2x + 1}{6} = 12 \cdot \frac{x – 2}{4} \)

\( 2(2x + 1) = 3(x – 2) \)

\( 4x + 2 = 3x – 6 \)

Odečteme \( 3x \): \( x + 2 = -6 \)

Odečteme 2: \( x = -8 \)

Společný jmenovatel je 18:

\( 2(5x – 3) = 3(2x + 1) \)

\( 10x – 6 = 6x + 3 \)

Odečteme \( 6x \): \( 4x – 6 = 3 \)

Přičteme 6: \( 4x = 9 \)

Vydělíme čtyřmi: \( x = \frac{9}{4} \)

Převedeme na společného jmenovatele (14):

\( \frac{2(x + 5) – (2x – 1)}{14} = 1 \)

\( \frac{2x + 10 – 2x + 1}{14} = 1 \)

\( \frac{11}{14} = 1 \) – nepravdivé, rovnici nelze vyřešit → nemá řešení

Převedeme vše na jmenovatele 16:

\( \frac{2(3x – 2)}{16} + \frac{x + 4}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)

\( \frac{6x – 4 + x + 4}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)

\( \frac{7x}{16} = \frac{5x + 2}{16} \)

Odečteme z obou stran: \( 7x = 5x + 2 \)

\( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \)

Společný jmenovatel: 15

\( 3(4x + 1) = 5(3x – 2) \)

\( 12x + 3 = 15x – 10 \)

Odečteme \( 12x \): \( 3 = 3x – 10 \)

Přičteme 10: \( 13 = 3x \Rightarrow x = \frac{13}{3} \)

Převedeme na společného jmenovatele 6:

\( \frac{3(x – 2) + 2(x + 3)}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)

\( \frac{3x – 6 + 2x + 6}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)

\( \frac{5x}{6} = \frac{5x – 1}{6} \)

Odečteme: \( 5x = 5x – 1 \Rightarrow 0 = -1 \) – rovnice nemá řešení

Nejprve upravíme levou stranu:

\( \frac{2x – 6}{5} + \frac{3x + 6}{10} \)

Převedeme na společný jmenovatel 10:

\( \frac{4x – 12 + 3x + 6}{10} = \frac{4x + 1}{5} \)

\( \frac{7x – 6}{10} = \frac{4x + 1}{5} \)

Převedeme pravou stranu na jmenovatel 10: \( \frac{8x + 2}{10} \)

\( 7x – 6 = 8x + 2 \Rightarrow -x = 8 \Rightarrow x = -8 \)

Najdeme společného jmenovatele: 12

\( \frac{9x + 3}{12} – \frac{4x – 8}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)

\( \frac{9x + 3 – 4x + 8}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)

\( \frac{5x + 11}{12} = \frac{2x + 10}{12} \)

\( 5x + 11 = 2x + 10 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)

Společný jmenovatel je 6:

\( \frac{8x – 10}{6} + \frac{6x + 21}{6} = \frac{5x + 1}{6} \)

\( \frac{14x + 11}{6} = \frac{5x + 1}{6} \)

\( 14x + 11 = 5x + 1 \Rightarrow 9x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{9} \)

Najdeme společného jmenovatele (20):

Levá strana: \( \frac{5x + 10}{20} \)

Pravá strana: \( \frac{12x – 4 + 10}{20} = \frac{12x + 6}{20} \)

\( 5x + 10 = 12x + 6 \Rightarrow -7x = -4 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \)

Provedeme křížové násobení:

\( 3(2x – 1) = 4(x + 1) \)

\( 6x – 3 = 4x + 4 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} \)

Provedeme křížové násobení:

\( (x – 4)^2 = (x + 2)^2 \)

\( x^2 – 8x + 16 = x^2 + 4x + 4 \)

Odečteme \( x^2 \): \( -8x + 16 = 4x + 4 \Rightarrow -12x = -12 \Rightarrow x = 1 \)

Kontrola: jmenovatel ≠ 0: OK

Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)

\( \frac{x + 1 + x}{x(x + 1)} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{2x + 1}{x(x + 1)} = \frac{3}{4} \)

Křížové násobení: \( 4(2x + 1) = 3x(x + 1) \)

\( 8x + 4 = 3x^2 + 3x \Rightarrow 0 = 3x^2 – 5x – 4 \)

Řešíme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 48}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{6} \)

Převod na společný jmenovatel:

\( \frac{2x + 5}{x} = \frac{4x + 1}{x} \Rightarrow 2x + 5 = 4x + 1 \)

\( -2x = -4 \Rightarrow x = 2 \)

Rozložíme čitatel: \( \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = x + 1 \)

Po krácení: \( x + 1 = x + 1 \) – rovnost platí pro všechna \( x \ne 1 \)

Řešením je: všechna reálná čísla kromě \( x = 1 \)

Upravíme pravou stranu: \( 2x + 4 = 2(x + 2) \Rightarrow \frac{4x + 5}{2(x + 2)} \)

Křížové násobení: \( 2(x + 2)(2x + 3) = (x + 2)(4x + 5) \)

Obě strany mají faktor \( x + 2 \), pokud \( x \ne -2 \), můžeme krátit:

\( 2(2x + 3) = 4x + 5 \Rightarrow 4x + 6 = 4x + 5 \Rightarrow 6 = 5 \) – nemá řešení

Rozložíme jmenovatel vpravo: \( x^2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) \)

Najdeme společného jmenovatele: \( (x – 1)(x + 2) \)

Úprava levé strany: \( \frac{(3x + 2)(x + 2) – (2x – 1)(x – 1)}{(x – 1)(x + 2)} = \frac{10}{(x – 1)(x + 2)} \)

Spočítáme čitatele: \( (3x + 2)(x + 2) = 3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x^2 + 8x + 4 \) \( (2x – 1)(x – 1) = 2x^2 – 2x – x + 1 = 2x^2 – 3x + 1 \)

Rozdíl: \( 3x^2 + 8x + 4 – (2x^2 – 3x + 1) = x^2 + 11x + 3 \)

Rovnice: \( \frac{x^2 + 11x + 3}{(x – 1)(x + 2)} = \frac{10}{(x – 1)(x + 2)} \)

Čitatel = čitatel: \( x^2 + 11x + 3 = 10 \Rightarrow x^2 + 11x – 7 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 28}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{149}}{2} \)

Rozložíme: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)

Převedeme vše na společného jmenovatele: \( (x – 2)(x + 2) \)

Úpravy: \( \frac{(x + 1)(x + 2) + 3}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{2x + 5}{x + 2} \)

Rozšiř pravou stranu: \( \frac{(2x + 5)(x – 2)}{(x – 2)(x + 2)} \)

Počítej čitatele obou stran, pak srovnej: Levá: \( x^2 + 3x + 2 + 3 = x^2 + 3x + 5 \) Pravá: \( 2x^2 – 4x + 5x – 10 = 2x^2 + x – 10 \)

Rovnice: \( x^2 + 3x + 5 = 2x^2 + x – 10 \Rightarrow -x^2 + 2x + 15 = 0 \)

Řešení: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-2 \pm 8}{-2} \)

\( x_1 = -3, \quad x_2 = 5 \)

Zkontroluj podmínky: \( x \ne \pm2 \) → platí.

Křížové násobení: \( (4x – 1)(x – 2) = (3x + 5)(x + 3) \)

Levý: \( 4x^2 – 8x – x + 2 = 4x^2 – 9x + 2 \) Pravý: \( 3x^2 + 9x + 5x + 15 = 3x^2 + 14x + 15 \)

Rovnice: \( 4x^2 – 9x + 2 = 3x^2 + 14x + 15 \Rightarrow x^2 – 23x – 13 = 0 \)

\( x = \frac{23 \pm \sqrt{529 + 52}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{581}}{2} \)

Rozložíme: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \), krácení: \( \frac{(x + 3)}{1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \)

Křížově: \( (x + 3)(x + 1) = 2x + 3 \)

Levá: \( x^2 + 4x + 3 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0 \)

Řešení: \( x = 0 \) nebo \( x = -2 \)

Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)

Přepíšeme: \( \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)} = \frac{10}{x(x + 1)} \)

Čitatel: \( 2x + 2 + 3x = 5x + 2 \)

Rovnice: \( \frac{5x + 2}{x(x + 1)} = \frac{10}{x(x + 1)} \Rightarrow 5x + 2 = 10 \Rightarrow x = \frac{8}{5} \)

Společný jmenovatel: \( x(x + 2) \)

Levá strana: \( \frac{(x + 2) – x}{x(x + 2)} = \frac{2}{x(x + 2)} \)

Rovnice: \( \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{4}{x(x + 2)} \Rightarrow 2 = 4 \)

Rovnice nemá řešení

Převedeme na společného jmenovatele: \( \frac{2x + 3}{x + 1} = \frac{x + 1 + 2}{x + 1} = \frac{x + 3}{x + 1} \)

Rovnice: \( 2x + 3 = x + 3 \Rightarrow x = 0 \)

Rozložíme čitatel: \( (x + 1)(x + 2) \), po krácení: \( x + 1 \)

Rovnice platí pro všechna \( x \ne -2 \)

Společný jmenovatel: \( x(x + 1) \)

Převedeme obě strany na tento jmenovatel a srovnáme čitatele

Levá: \( (x + 2)(x + 1) + (x – 2)x = x^2 + 3x + 2 + x^2 – 2x = 2x^2 + x + 2 \)

Obě strany stejné → rovnice platí pro všechna \( x \ne 0, -1 \)

Rozložíme jmenovatel: \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \)

Převedeme vše na společný jmenovatel: \( \frac{2(x + 1) + 3(x – 1)}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{5x}{(x – 1)(x + 1)} \)

Čitatel: \( 2x + 2 + 3x – 3 = 5x – 1 \), ale pravá strana je \( 5x \)

Rovnice: \( 5x – 1 = 5x \Rightarrow -1 = 0 \) – nepravda, **rovnice nemá řešení**