1. Auto jede z města A do města B vzdáleného 150 km. První polovinu cesty jede rychlostí 60 km/h, druhou polovinu 90 km/h. Jak dlouho celkem cesta trvala?
Řešení příkladu:
Cesta je celkem 150 km, polovina je \( \frac{150}{2} = 75 \) km. První část cesty jede rychlostí 60 km/h, čas první části je
\[
t_1 = \frac{75}{60} = 1{,}25 \text{ h}.
\]
Druhou polovinu jede rychlostí 90 km/h, čas druhé části je
\[
t_2 = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \text{ h} \approx 0{,}8333 \text{ h}.
\]
Celkový čas cesty je
\[
t = t_1 + t_2 = 1{,}25 + 0{,}8333 = 2{,}0833 \text{ h}.
\]
Pro lepší představu převedeme čas na hodiny a minuty:
\[
0{,}0833 \times 60 = 5 \text{ minut}.
\]
Cesta tedy trvala 2 hodiny a 5 minut.
2. Chodec ušel za 3 hodiny 15 km. Jakou měl průměrnou rychlost? Kolik by ušel za 5 hodin stejným tempem?
Řešení příkladu:
Průměrná rychlost se vypočítá jako poměr celkové vzdálenosti a času:
\[
v = \frac{15}{3} = 5 \text{ km/h}.
\]
Za 5 hodin ujde chodec vzdálenost
\[
s = v \times t = 5 \times 5 = 25 \text{ km}.
\]
Průměrná rychlost byla 5 km/h a za 5 hodin by ušel 25 km.
3. Kolo jede rychlostí 20 km/h. Jak daleko dojede za 2 hodiny a 30 minut? Kolik času potřebuje na 45 km?
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme 2 hodiny a 30 minut na hodiny:
\[
2 + \frac{30}{60} = 2{,}5 \text{ h}.
\]
Vzdálenost za tuto dobu je
\[
s = v \times t = 20 \times 2{,}5 = 50 \text{ km}.
\]
Čas potřebný na 45 km je
\[
t = \frac{s}{v} = \frac{45}{20} = 2{,}25 \text{ h} = 2 \text{ hodiny } 15 \text{ minut}.
\]
4. Autobus jede ze stanice do města vzdáleného 180 km. První hodinu jel 50 km/h, zbytek cesty 60 km/h. Jak dlouho trvala cesta?
Řešení příkladu:
Za první hodinu ujel autobus 50 km. Zbývající vzdálenost je
\[
180 – 50 = 130 \text{ km}.
\]
Čas na zbytek cesty je
\[
t_2 = \frac{130}{60} \approx 2{,}1667 \text{ h}.
\]
Celkový čas je
\[
t = 1 + 2{,}1667 = 3{,}1667 \text{ h} = 3 \text{ hodiny } 10 \text{ minut}.
\]
5. Běžec zrychlil během tréninku z 8 km/h na 12 km/h. Pokud běžel 30 minut pomalým tempem a 20 minut rychlým, jakou vzdálenost uběhl celkem?
Řešení příkladu:
Převedeme minuty na hodiny:
\[
t_1 = \frac{30}{60} = 0{,}5 \text{ h}, \quad t_2 = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ h}.
\]
Vzdálenost během pomalého běhu je
\[
s_1 = v_1 \times t_1 = 8 \times 0{,}5 = 4 \text{ km}.
\]
Vzdálenost během rychlého běhu je
\[
s_2 = 12 \times \frac{1}{3} = 4 \text{ km}.
\]
Celková vzdálenost je
\[
s = s_1 + s_2 = 4 + 4 = 8 \text{ km}.
\]
6. Loď pluje po řece rychlostí 15 km/h vůči vodě. Proud řeky je 3 km/h. Jak daleko se loď dostane za 4 hodiny, pokud pluje po proudu a kolik by potřebovala času, kdyby plula proti proudu na vzdálenost 60 km?
Řešení příkladu:
Rychlost lodě po proudu je
\[
v_{po} = 15 + 3 = 18 \text{ km/h}.
\]
Vzdálenost, kterou ujede za 4 hodiny, je
\[
s = v_{po} \times t = 18 \times 4 = 72 \text{ km}.
\]
Rychlost lodě proti proudu je
\[
v_{proti} = 15 – 3 = 12 \text{ km/h}.
\]
Čas potřebný na vzdálenost 60 km proti proudu je
\[
t = \frac{60}{12} = 5 \text{ hodin}.
\]
7. Motocyklista urazil vzdálenost 240 km za 4 hodiny a 30 minut. Jaká byla jeho průměrná rychlost? Kolik by jel za 3 hodiny stejným tempem?
Řešení příkladu:
Převedeme čas na hodiny:
\[
t = 4 + \frac{30}{60} = 4{,}5 \text{ h}.
\]
Průměrná rychlost je
\[
v = \frac{240}{4{,}5} = \frac{240}{4{,}5} = 53{,}33 \text{ km/h}.
\]
Vzdálenost za 3 hodiny je
\[
s = v \times 3 = 53{,}33 \times 3 = 160 \text{ km}.
\]
8. Chodec ušel za první hodinu 5 km, druhou hodinu 6 km a třetí hodinu 7 km. Jaká byla jeho průměrná rychlost za celé tři hodiny?
Řešení příkladu:
Celková vzdálenost je
\[
s = 5 + 6 + 7 = 18 \text{ km}.
\]
Celkový čas je
\[
t = 3 \text{ h}.
\]
Průměrná rychlost je
\[
v = \frac{s}{t} = \frac{18}{3} = 6 \text{ km/h}.
\]
9. Vlak urazí 360 km za 3 hodiny. Jak dlouho by jel stejnou rychlostí na vzdálenost 480 km? Jakou rychlostí jel?
Řešení příkladu:
Rychlost vlaku je
\[
v = \frac{360}{3} = 120 \text{ km/h}.
\]
Čas na 480 km je
\[
t = \frac{480}{120} = 4 \text{ hodiny}.
\]
10. Cyklista jel 12 km za 40 minut. Jakou měl průměrnou rychlost v km/h? Kolik by ujel za 1 hodinu 30 minut stejným tempem?
Řešení příkladu:
Převedeme 40 minut na hodiny:
\[
t = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ h}.
\]
Průměrná rychlost je
\[
v = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \text{ km/h}.
\]
Čas 1 hodina 30 minut převedeme na hodiny:
\[
t_2 = 1 + \frac{30}{60} = 1{,}5 \text{ h}.
\]
Vzdálenost za tuto dobu je
\[
s = v \times t_2 = 18 \times 1{,}5 = 27 \text{ km}.
\]
11. Auto vyjelo z města rychlostí 60 km/h a po 2 hodinách vyjelo z téhož města kolo jiného auta rychlostí 75 km/h ve stejném směru. Za jak dlouho a jak daleko od města kola dojede auto?
Řešení příkladu:
Nejprve si definujeme proměnné. Označíme \( t \) jako dobu (v hodinách), kterou kolo jede, než dojede auto. Víme, že auto jede rychlostí 60 km/h a kolo 75 km/h. Auto má náskok 2 hodiny, během kterých ujede vzdálenost \( s_a = 60 \times 2 = 120 \) km.
Během času \( t \) ujede kolo vzdálenost \( s_k = 75 \times t \) km a auto ujede za celkový čas \( t + 2 \) hodin vzdálenost \( s_a + 60 \times t = 120 + 60t \) km.
Kolo dojede auto ve chvíli, kdy ujede stejnou vzdálenost od města:
\( 75 t = 120 + 60 t \)
Upravíme rovnici:
\( 75 t – 60 t = 120 \Rightarrow 15 t = 120 \Rightarrow t = \frac{120}{15} = 8 \)
To znamená, že kolo jede 8 hodin, než dojede auto. Vzdálenost od města v té chvíli je:
\( s = 75 \times 8 = 600 \) km.
Závěr: Kolo dojede auto za 8 hodin od svého odjezdu, což je 10 hodin po odjezdu auta (2 hodiny náskok + 8 hodin jízdy), a to ve vzdálenosti 600 km od města.
12. Vlak jede rychlostí 90 km/h a zpožděný o 30 minut má dojet do cíle včas. Jakou rychlostí musí vlak jet, aby dojel včas, jestliže má před sebou ještě 45 km?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme délku zbývající cesty jako \( s = 45 \) km. Vlak jede normálně rychlostí \( v = 90 \) km/h, ale má zpoždění \( \Delta t = 0{,}5 \) hodiny (30 minut) a musí dojet včas. Označíme si \( t \) jako čas, který by vlak normálně potřeboval k projetí této vzdálenosti bez zpoždění.
Čas při normální rychlosti:
\( t = \frac{s}{v} = \frac{45}{90} = 0{,}5 \) hodiny.
Vlak ale přijíždí o půl hodiny později, takže skutečný čas, který mu zbývá, aby dojel včas, je
\( t_{\text{skutečný}} = t – \Delta t = 0{,}5 – 0{,}5 = 0 \) hodin.
Tento výpočet by znamenal, že vlak by měl být okamžitě na místě, což není možné. Pravděpodobně je potřeba vyjádřit, jakou rychlostí musí jet od této chvíle, aby se zpoždění vyrovnalo.
Označíme \( v_{\text{nová}} \) jako rychlost, kterou vlak musí jet, aby dojel včas. Čas pro dojezd je tedy původní \( t \).
Protože vlak je zpožděn o \( \Delta t \), musí ujet vzdálenost \( s \) během času \( t – \Delta t \):
Vidíme, že jmenovatel je 0, což značí, že vlak nemůže dojet včas, pokud již má zpoždění 30 minut a na překonání vzdálenosti 45 km zbývá pouze 30 minut.
Možná otázka je chybně formulovaná, proto ji upravíme: Vlak je zpožděný o 30 minut, ale musí dojet včas, takže musí zvýšit rychlost tak, aby ujede 45 km za méně než 30 minut.
Čas, který má vlak na ujetí 45 km, je tedy \( t‘ = t – \Delta t = 0{,}5 – 0{,}5 = 0 \), což není možné, takže musí vlak jet rychlostí větší než 90 km/h. Aby to zvládl, spočítáme, jakou rychlostí musí jet za zbytek cesty, jestliže zpoždění je 30 minut a původní čas byl 1 hodina.
Pokud je původní doba jízdy například 1 hodina, a vlak je 30 minut zpožděn, musí ujet 45 km za 30 minut:
\( v_{\text{nová}} = \frac{45}{0{,}5} = 90 \) km/h.
To znamená, že aby vlak dojel včas, musí jet rychlostí alespoň 90 km/h, což je původní rychlost, takže nemůže zpoždění vyrovnat tímto způsobem. Pokud chce vlak dojet včas i při zpoždění, musí jet rychleji než 90 km/h. Například při rychlosti 120 km/h:
Čas jízdy:
\( t = \frac{45}{120} = 0{,}375 \) hodiny = 22,5 minut.
Tímto způsobem vlak může dojet včas, i když je 30 minut zpožděný, protože zkrátí čas jízdy o 7,5 minuty oproti normálním 30 minutám.
Závěr: Vlak musí jet rychlostí větší než 90 km/h, například 120 km/h, aby vyrovnal zpoždění a dojel včas.
13. Chodec vyšel na cestu dlouhou 10 km rychlostí 5 km/h. Po 1 hodině běžec vyběhl za chodcem rychlostí 10 km/h. Za jak dlouho doběhne běžec chodce a jakou vzdálenost urazí chodec do té doby?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme proměnné. Chodec jde rychlostí \( v_c = 5 \) km/h, běžec běží rychlostí \( v_b = 10 \) km/h. Chodec vyšel o hodinu dříve, takže má náskok \( t_n = 1 \) hodinu. V této době chodec ušel vzdálenost:
\( s_n = v_c \times t_n = 5 \times 1 = 5 \) km.
Označíme \( t \) jako dobu, za kterou běžec doběhne chodce od chvíle, kdy vyběhl.
Během této doby ujede běžec vzdálenost \( s_b = v_b \times t \), chodec ujede vzdálenost \( s_c = v_c \times t \).
Běžec doběhne chodce, když ujeli stejnou vzdálenost od místa, kde běžec začal, tj.:
\( s_b = s_n + s_c \)
Dosadíme:
\( 10 t = 5 + 5 t \Rightarrow 10 t – 5 t = 5 \Rightarrow 5 t = 5 \Rightarrow t = 1 \) hodina.
Celkový čas, kdy běžec doběhne chodce, je 1 hodina po jeho startu.
Chodec tedy za tuto dobu urazí vzdálenost:
\( s = s_n + s_c = 5 + 5 \times 1 = 10 \) km.
Závěr: Běžec doběhne chodce 1 hodinu po svém startu, tedy 2 hodiny po tom, co chodec vyšel, a to ve vzdálenosti 10 km od místa, kde chodec začal.
14. Loď pluje proti proudu řeky rychlostí 12 km/h, proud řeky má rychlost 3 km/h. Jak dlouho potrvá plavba po proudu, jestliže cesta zpět trvá 1,5 hodiny?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme rychlosti:
– Rychlost lodě relativně k vodě \( v_l = 12 \) km/h.
– Rychlost proudu \( v_p = 3 \) km/h.
Plavba proti proudu znamená, že skutečná rychlost lodě vůči pevnině je:
\( v_{proti} = v_l – v_p = 12 – 3 = 9 \) km/h.
Plavba po proudu má rychlost:
\( v_{po} = v_l + v_p = 12 + 3 = 15 \) km/h.
Označíme délku cesty jako \( s \) km. Víme, že cesta zpět (proti proudu) trvá 1,5 hodiny:
\( t_{proti} = 1{,}5 \) hodiny.
Vzdálenost je stejná oběma směry, proto:
\( s = v_{proti} \times t_{proti} = 9 \times 1{,}5 = 13{,}5 \) km.
Čas plavby po proudu je:
\( t_{po} = \frac{s}{v_{po}} = \frac{13{,}5}{15} = 0{,}9 \) hodiny, což je 54 minut.
Závěr: Plavba po proudu trvá 54 minut.
15. Cyklista ujede za 4 hodiny 80 km. O kolik km/h musí zvýšit rychlost, aby stejnou vzdálenost ujel o 30 minut dříve?
\( \Delta v = v_{\text{nový}} – v = 22{,}857 – 20 = 2{,}857 \) km/h.
Závěr: Cyklista musí zvýšit rychlost přibližně o 2,86 km/h, aby ujel vzdálenost za 3,5 hodiny místo 4 hodin.
16. Autobus jede na vzdálenost 150 km. První polovinu cesty jede rychlostí 60 km/h, druhou polovinu rychlostí 90 km/h. Jaká je průměrná rychlost autobusu za celou cestu?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme polovinu vzdálenosti jako \( s_1 = s_2 = \frac{150}{2} = 75 \) km.
Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:
\( v_{\text{průměrná}} = \frac{s}{t} = \frac{150}{2{,}0833} \approx 72 \) km/h.
Závěr: Průměrná rychlost autobusu za celou cestu je přibližně 72 km/h.
17. Chodec a běžec vyrazili současně z místa A směrem k místu B vzdálenému 30 km. Chodec jde rychlostí 4 km/h, běžec 12 km/h. Kdo bude první v místě B a o kolik času?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme čas, který každý potřebuje k ujetí vzdálenosti 30 km:
Závěr: Běžec dorazí první do místa B, a to o 5 hodin dříve než chodec.
18. Auto vyjelo z města rychlostí 72 km/h a po 2 hodinách jízdy se setkalo s motocyklem, který vyjel ze stejného místa později a jel rychlostí 90 km/h. Za jakou dobu po vyjetí motocyklu dojede motocykl auto?
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomme, že auto jede rychlostí 72 km/h a jelo 2 hodiny dříve než motocykl, takže na startu motocyklu má auto náskok v délce cesty:
vzdálenost = rychlost × čas = 72 km/h × 2 h = 144 km.
Motocykl se snaží tento náskok dohnat. Jeho rychlost je 90 km/h, tedy o 18 km/h větší než rychlost auta (90 – 72 = 18 km/h). To znamená, že motocykl každý časový úsek zmenší rozdíl mezi sebou a autem o 18 km.
Čas, za který motocykl dojede auto, vypočteme jako délku náskoku dělenou rozdílem rychlostí:
t = 144 km / 18 km/h = 8 hodin.
Motocykl tedy dojede auto 8 hodin po svém startu.
Doplňující úvaha: Pro ověření můžeme spočítat, jakou vzdálenost urazí auto za celkový čas (2 + 8 = 10 hodin):
Vzdálenost auta = 72 km/h × 10 h = 720 km.
Motocykl za 8 hodin ujede 90 km/h × 8 h = 720 km, což je stejné, potvrzuje to správnost výsledku.
19. Chodec se vydal z místa A do místa B vzdáleného 15 km rychlostí 5 km/h. Po 2 hodinách vyrazil za ním cyklista rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho chodec dojde do místa B a kdy ho cyklista dojede?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme, jak daleko chodec došel za 2 hodiny před tím, než vyjel cyklista:
d = rychlost × čas = 5 km/h × 2 h = 10 km.
Zbývá mu tedy do cíle ještě 15 km – 10 km = 5 km.
Čas, za který chodec dorazí do místa B, je:
t_chodec = zbývající vzdálenost / rychlost = 5 km / 5 km/h = 1 hodina.
Chodec tedy dorazí do B za celkový čas 2 h + 1 h = 3 hodiny od svého startu.
Teď zjistíme, kdy cyklista dohoní chodce. Cyklisův náskok chodce je 10 km (to je vzdálenost, kterou chodec ušel za 2 hodiny).
Rychlost cyklisty je 20 km/h, chodec jde 5 km/h, takže relativní rychlost, kterou cyklista dohání chodce, je:
v_rel = 20 km/h – 5 km/h = 15 km/h.
Čas, za který cyklista dohoní chodce, je tedy:
t = náskok / v_rel = 10 km / 15 km/h = 2/3 hodiny = 40 minut.
Cyklista tedy chodec dohoní za 40 minut po svém startu, což je 2 hodiny + 40 minut = 2 hodiny 40 minut od startu chodce.
Protože chodec dojde do cíle za 3 hodiny, cyklista ho dohoní ještě před cílem.
20. Dvě lodě vypluly ze stejného přístavu ve stejný čas. První loď plula rychlostí 30 km/h na sever, druhá loď plula rychlostí 40 km/h na východ. Jak daleko jsou lodě od sebe po 3 hodinách plavby?
Řešení příkladu:
Po 3 hodinách plavby první loď ušla vzdálenost:
d_1 = 30 km/h × 3 h = 90 km na sever.
Druhá loď ušla vzdálenost:
d_2 = 40 km/h × 3 h = 120 km na východ.
Vzdálenost mezi loděmi je potom úhlopříčkou pravoúhlého trojúhelníka, kde odvěsny jsou vzdálenosti lodí od přístavu:
d = √(d_1^2 + d_2^2) = √(90^2 + 120^2) km = √(8100 + 14400) km = √22500 km = 150 km.
Proto jsou lodě od sebe po 3 hodinách vzdálené 150 km.
Detailní vysvětlení: Používáme Pythagorovu větu, protože směr plavby je kolmý (sever a východ jsou na sebe kolmé). Výpočet vzdálenosti je tedy odvozen z geometrických principů.
21. Cyklista jede po rovině rychlostí 18 km/h. Po 2 hodinách jízdy se k němu připojil další cyklista, který jede rychlostí 24 km/h. Za jak dlouho druhý cyklista dojede prvního?
Řešení příkladu:
Nejprve si stanovíme, co víme: první cyklista jede rychlostí \(18\ \text{km/h}\) a jede již 2 hodiny, než druhý vyjede. Za tyto 2 hodiny urazil vzdálenost
\(s = v \times t = 18 \times 2 = 36\, \text{km}\).
Druhý cyklista vyjíždí později rychlostí \(24\ \text{km/h}\) a má za úkol dohnat prvního. Proto je třeba určit, za jak dlouho tuto vzdálenost dožene.
Relativní rychlost, kterou druhý cyklista dohání prvního, je rozdíl jejich rychlostí:
\(v_{\text{rel}} = 24 – 18 = 6\ \text{km/h}\).
Čas \(t\), za který druhý cyklista dojede prvního, je vzdálenost, kterou má dohnat, dělená relativní rychlostí:
\(t = \frac{36}{6} = 6\ \text{hodin}\).
Tento čas je počítán od okamžiku, kdy druhý cyklista vyjel. Celkový čas jízdy prvního cyklisty do momentu setkání tedy bude
\(2 + 6 = 8\ \text{hodin}\).
Pro úplnost lze spočítat, jakou vzdálenost urazili oba cyklisté do chvíle setkání:
První cyklista: \(18 \times 8 = 144\ \text{km}\).
Druhý cyklista: \(24 \times 6 = 144\ \text{km}\).
To potvrzuje správnost výpočtu, oba urazili stejnou vzdálenost, tedy se setkali.
22. Vlak vyjel z města A do města B, vzdálených 150 km, rychlostí 75 km/h. O hodinu později vyjel z města B do města A vlak rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho se oba vlaky setkají?
Řešení příkladu:
Nejprve definujeme veličiny a podmínky. Vzdálenost mezi městy A a B je \(150\, \text{km}\). První vlak vyjel z A rychlostí \(75\, \text{km/h}\) a jede směrem k B. Druhý vlak vyjel z B rychlostí \(90\, \text{km/h}\) směrem k A, ale až o 1 hodinu později.
Za tu hodinu první vlak urazí vzdálenost:
\(s_1 = 75 \times 1 = 75\, \text{km}\).
Tedy ve chvíli, kdy druhý vlak startuje, zbývá mezi nimi:
\(150 – 75 = 75\, \text{km}\).
Oba vlaky se přibližují rychlostí, která je součtem jejich rychlostí, protože jedou proti sobě:
\(v_{\text{rel}} = 75 + 90 = 165\, \text{km/h}\).
Čas \(t\), za který se setkají od okamžiku startu druhého vlaku, je vzdálenost dělená relativní rychlostí:
Součet těchto vzdáleností je \(109{,}09 + 40{,}91 = 150\, \text{km}\), což potvrzuje správnost výsledku.
23. Běžec a cyklista vyrazili ze stejného místa. Běžec běžel rychlostí 10 km/h a cyklista jel rychlostí 25 km/h. Po kolika kilometrech a za jaký čas cyklista dohoní běžce, jestliže běžec vyrazil o 30 minut dříve?
Řešení příkladu:
Běžec vyrazil o 0,5 hodiny dříve a za tu dobu uběhl vzdálenost
\(s = v \times t = 10 \times 0{,}5 = 5\, \text{km}\).
Cyklisova rychlost je 25 km/h, běžcova 10 km/h, takže rychlost, kterou cyklista dohání běžce, je
\(v_{\text{rel}} = 25 – 10 = 15\, \text{km/h}\).
Čas, za který cyklista dohoní běžce od svého startu, je
24. Loď pluje po řece rychlostí 12 km/h vzhledem k vodě. Proud řeky má rychlost 3 km/h. Jak dlouho potrvá, než loď dopluje 36 km po proudu a zpět proti proudu?
Řešení příkladu:
Nejprve si určíme rychlost lodi vzhledem k pevnině. Po proudu je rychlost součtem rychlosti lodi a proudu:
25. Autobus vyjel z města A do města B vzdálených 120 km rychlostí 60 km/h. Po půl hodině vyjel z města B autobus do města A rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a kde se oba autobusy setkají?
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme, jakou vzdálenost urazil autobus z A za 0,5 hodiny:
\(s = 60 \times 0{,}5 = 30\, \text{km}\).
Tedy, když autobus z B vyjíždí, je autobus z A vzdálený 30 km od A, tedy zbývá mu do B
26. Chodec vyšel z místa A směrem k místu B vzdálenému 15 km rychlostí 5 km/h. Po 1 hodině vyjel z místa B cyklista směrem k místu A rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho se setkají a jakou vzdálenost každý urazí?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost urazil chodec za 1 hodinu před výjezdem cyklisty:
\(s_1 = 5 \times 1 = 5\, \text{km}\).
Zbývající vzdálenost mezi chodcem a cyklistou je tedy
\(15 – 5 = 10\, \text{km}\).
Rychlost přibližování se k sobě je součtem rychlostí, protože se blíží opačnými směry:
Součet vzdáleností \(7 + 8 = 15\, \text{km}\) odpovídá celkové vzdálenosti mezi místy A a B, což potvrzuje správnost řešení.
27. Auto jede na dálnici rychlostí 90 km/h. Po 3 hodinách jízdy se za ním rozjede motorka rychlostí 120 km/h. Za jak dlouho motorka auto dojede a kolik kilometrů za tu dobu auto ujede?
Řešení příkladu:
Auto ujede za 3 hodiny vzdálenost
\(s = 90 \times 3 = 270\, \text{km}\).
Motorka jede rychlostí 120 km/h, auto 90 km/h, takže relativní rychlost motorky vůči autu je
\(v_{\text{rel}} = 120 – 90 = 30\, \text{km/h}\).
Čas potřebný k dojetí auta motorkou je
\(t = \frac{270}{30} = 9\, \text{hodin}\) (počítáno od startu motorky).
Za tuto dobu auto ujede další vzdálenost
\(90 \times 9 = 810\, \text{km}\).
Celková vzdálenost, kterou auto ujede do dojetí motorkou, je
\(270 + 810 = 1080\, \text{km}\).
Motorka ujede za 9 hodin
\(120 \times 9 = 1080\, \text{km}\), což potvrzuje správnost výsledku.
28. Cyklista jede z města A do města B vzdálených 48 km rychlostí 16 km/h. Po půl hodině vyjel z města B proti němu cyklista rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho se setkají a jakou vzdálenost ujede každý?
Řešení příkladu:
První cyklista ujede za půl hodiny vzdálenost
\(s = 16 \times 0{,}5 = 8\, \text{km}\).
Mezi nimi tedy zbývá vzdálenost
\(48 – 8 = 40\, \text{km}\).
Relativní rychlost je součet rychlostí, protože jedou proti sobě:
Součet vzdáleností \(25{,}78 + 22{,}22 = 48\, \text{km}\) odpovídá vzdálenosti mezi městy, což potvrzuje správnost řešení.
29. Dva turisté vyšli současně ze dvou měst vzdálených 24 km. Jeden šel rychlostí 4 km/h a druhý 2 km/h. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Vzhledem k tomu, že turisté jdou proti sobě, jejich rychlost přibližování je součtem rychlostí:
\(v_{\text{rel}} = 4 + 2 = 6\, \text{km/h}\).
Čas do setkání je vzdálenost mezi městy dělená rychlostí přibližování:
\(t = \frac{24}{6} = 4\, \text{hodiny}\).
30. Loď vyjela proti proudu řeky rychlostí 15 km/h, rychlost proudu je 5 km/h. Loď plula 2 hodiny proti proudu a pak se otočila a plula 3 hodiny po proudu. Jakou celkovou vzdálenost loď ujela?
Řešení příkladu:
Rychlost lodi proti proudu je rozdíl rychlosti lodi a proudu:
Rychlost lodi po proudu je součet rychlosti lodi a proudu:
\(v_{\text{po}} = 15 + 5 = 20\, \text{km/h}\).
Vzdálenost, kterou loď ujela po proudu, je
\(s_{\text{po}} = 20 \times 3 = 60\, \text{km}\).
Celková vzdálenost, kterou loď ujela, je
\(s = 20 + 60 = 80\, \text{km}\).
31. Auto vyjelo z města rychlostí 60 km/h a po 2 hodinách vyjela motorka stejnou trasou rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho motorka dojede auto a jakou vzdálenost ujedou od města v okamžiku setkání?
Řešení příkladu:
Nejprve si definujeme proměnné. Označíme čas, který motorka jede, jako \( t \) (v hodinách). Auto už jelo 2 hodiny před tím, než vyjela motorka, takže celkový čas jízdy auta do okamžiku setkání bude \( t + 2 \) hodin.
Vzdálenost, kterou ujelo auto, je \( s_{\text{auto}} = 60 \times (t + 2) \).
Vzdálenost, kterou ujela motorka, je \( s_{\text{motorka}} = 90 \times t \).
Protože se setkají na stejném místě, platí rovnost vzdáleností:
\( 60(t + 2) = 90t \)
Rozepíšeme rovnici:
\( 60t + 120 = 90t \)
Úpravou získáme:
\( 120 = 90t – 60t = 30t \)
Odtud vypočítáme čas \( t \):
\( t = \frac{120}{30} = 4 \, \text{hodiny} \)
Motorka tedy jede 4 hodiny, než dojede auto. Celkový čas jízdy auta do setkání je
\( t + 2 = 4 + 2 = 6 \, \text{hodin} \).
Nyní vypočítáme vzdálenost od města, kde se setkají. Použijeme vzdálenost ujížděnou motorkou nebo autem (je stejná):
\( s = 90 \times 4 = 360 \, \text{km} \)
Nejprve shrneme postup řešení: nejdříve stanovíme neznámou proměnnou – čas jízdy motorky od okamžiku odjezdu. Poté vyjádříme vzdálenosti obou vozidel pomocí jejich rychlostí a časů. Rovností vzdáleností vytvoříme rovnici a vyřešíme ji. Nakonec dosadíme zpět a spočítáme konkrétní hodnoty.
Tento způsob řešení slovních úloh o pohybu je velmi častý a umožňuje vyřešit i složitější situace s různými časy a rychlostmi pohybujících se objektů.
32. Chodec šel první polovinu cesty rychlostí 4 km/h a druhou polovinu rychlostí 6 km/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost za celou cestu?
Řešení příkladu:
Nejprve označíme celkovou délku cesty jako \( s \). Polovina cesty je tedy \( \frac{s}{2} \).
Průměrná rychlost tedy nebyla ani 4 km/h, ani 6 km/h, ale 4,8 km/h. Toto je důsledek toho, že průměrná rychlost při různých rychlostech na různých úsecích nelze jednoduše zprůměrovat aritmeticky, ale je potřeba použít definici průměrné rychlosti založenou na celkové ujeté vzdálenosti a celkovém času.
Tento přístup je velmi užitečný i v dalších podobných případech, kde se mění rychlost během cesty.
33. Dva cyklisté vyjeli současně z jednoho místa stejným směrem. První jel rychlostí 20 km/h, druhý 24 km/h. Za jak dlouho druhý cyklista dojede prvního, jestliže první jel 1 hodinu před tím, než druhý začal?
Řešení příkladu:
Označíme čas jízdy druhého cyklisty od okamžiku startu jako \( t \) (v hodinách). První cyklista už jel 1 hodinu, takže jeho čas jízdy je \( t + 1 \).
Vzdálenost, kterou ujede první cyklista, je:
\( s_1 = 20(t + 1) \).
Vzdálenost druhého cyklisty je:
\( s_2 = 24t \).
Druhý cyklista dojede prvního ve chvíli, kdy ujeli stejnou vzdálenost:
Tento výpočet je základní pro stanovení rychlosti na základě času a vzdálenosti.
37. Auto vyjelo z města rychlostí 60 km/h a po 2 hodinách vyjel z města na stejnou trasu motocykl, který jel rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho po svém startu dojede motocykl auto a jakou vzdálenost od města ujede?
Řešení příkladu:
Označíme \( t \) jako čas (v hodinách), za který motocykl dojede auto od svého startu.
Auto vyjelo o 2 hodiny dříve a jede rychlostí 60 km/h, tedy za \( t + 2 \) hodin ujede vzdálenost \( s_{\text{auto}} = 60(t + 2) \) km.
Motocykl jede rychlostí 90 km/h a za čas \( t \) ujede vzdálenost \( s_{\text{motocykl}} = 90t \) km.
Protože motocykl dojede auto, vzdálenosti jsou stejné:
Motocykl tedy dojede auto za 4 hodiny od svého startu.
Vzdálenost, kde se potkají, spočítáme dosazením do vzorce pro motocykl:
\( s = 90 \cdot 4 = 360 \) km od města.
Auto jelo celkem \( 4 + 2 = 6 \) hodin, takže ujelo vzdálenost \( 60 \cdot 6 = 360 \) km, což souhlasí.
Odpověď: Motocykl dojede auto za 4 hodiny od svého startu, na vzdálenosti 360 km od města.
38. Dvě lodě vyplují z přístavu ve stejný čas, jedna pluje rychlostí 20 km/h směrem na sever a druhá rychlostí 15 km/h směrem na východ. Jak daleko od sebe budou po 3 hodinách plavby?
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme vzdálenost, kterou každá loď urazí za 3 hodiny.
Loď plující na sever ujede \( s_1 = 20 \cdot 3 = 60 \) km.
Loď plující na východ ujede \( s_2 = 15 \cdot 3 = 45 \) km.
Protože plují kolmo na sebe, vzdálenost mezi nimi lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty:
\( d = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75 \) km.
Tedy po 3 hodinách budou lodě od sebe vzdáleny 75 km.
Tento výpočet vychází z předpokladu pohybu po přímkách kolmo na sebe bez změny rychlosti.
39. Chodec vyšel z domova a šel rychlostí 5 km/h. Po 1,5 hodině vyjel z domova na kole jeho přítel rychlostí 15 km/h stejným směrem. Za jak dlouho a na jaké vzdálenosti od domova ho dojede?
Řešení příkladu:
Nejprve určíme, jakou vzdálenost ušel chodec před startem cyklisty:
\( s_0 = 5 \times 1{,}5 = 7{,}5 \) km.
Označíme \( t \) čas (v hodinách), který cyklista jede od svého startu do dojetí chodce.
Za tuto dobu ujede cyklista vzdálenost \( s_{\text{cyklista}} = 15 t \) km.
Chodec za stejný čas ujede vzdálenost \( s_{\text{chodec}} = 5 t \) km.
Protože chodec měl náskok 7,5 km, vzdálenost cyklisty při dojetí je o tuto hodnotu větší než vzdálenost chodce:
\( 15 t = 5 t + 7{,}5 \Rightarrow 15 t – 5 t = 7{,}5 \Rightarrow 10 t = 7{,}5 \Rightarrow t = 0{,}75 \) hodiny (45 minut).
Cyklista dojede chodce za 45 minut od svého startu.
Vzdálenost od domova, kde se setkají, spočítáme dosazením do vzorce pro cyklistu:
\( s = 15 \times 0{,}75 = 11{,}25 \) km.
Chodec tedy půjde celkem \( 1{,}5 + 0{,}75 = 2{,}25 \) hodiny, což odpovídá vzdálenosti \( 5 \times 2{,}25 = 11{,}25 \) km, což potvrzuje správnost výpočtu.
Odpověď: Cyklista dojede chodce za 45 minut od svého startu ve vzdálenosti 11,25 km od domova.
40. Vlak jede z města A do města B vzdáleného 240 km rychlostí 80 km/h. O 30 minut později vyjede z města A druhý vlak stejným směrem rychlostí 120 km/h. Za jak dlouho druhý vlak dojede první a jaká bude vzdálenost od města A v místě setkání?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme \( t \) čas (v hodinách), za který druhý vlak dojede první vlak od svého startu.
První vlak jel již 0,5 hodiny, než druhý vyjel, takže jeho celkový čas jízdy při setkání bude \( t + 0{,}5 \) hodin.
Vzdálenost, kterou ujede první vlak do místa setkání, je:
\( s_1 = 80(t + 0{,}5) \) km.
Druhý vlak ujede za čas \( t \) vzdálenost:
\( s_2 = 120 t \) km.
Protože se setkají na stejné vzdálenosti od města A, platí:
\( 80(t + 0{,}5) = 120 t \)
Rozepíšeme rovnici:
\( 80 t + 40 = 120 t \Rightarrow 120 t – 80 t = 40 \Rightarrow 40 t = 40 \Rightarrow t = 1 \) hodina.
Druhý vlak tedy dojede první vlak za 1 hodinu od svého startu.
Vzdálenost od města A, kde se setkají, spočítáme dosazením:
\( s = 120 \times 1 = 120 \) km.
První vlak jel \( 1 + 0,5 = 1{,}5 \) hodiny a ujede vzdálenost \( 80 \times 1{,}5 = 120 \) km, což potvrzuje správnost.
Odpověď: Druhý vlak dojede první za 1 hodinu od svého startu, ve vzdálenosti 120 km od města A.
41. Auto vyjelo z města rychlostí 70 km/h. Po 3 hodinách vyjel ze stejného města motocykl, který jel stejným směrem rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho od svého startu motocykl dojede auto a jaká bude vzdálenost od města, kde k setkání dojde?
Řešení příkladu:
Nejprve si ujasníme, co je neznámé a jaká data máme k dispozici:
Rychlost auta: \( v_a = 70 \) km/h
Čas startu auta: \( t = 0 \)
Čas startu motocyklu: o 3 hodiny později, tedy v \( t = 3 \) hodiny
Rychlost motocyklu: \( v_m = 90 \) km/h
Hledáme: čas \( t_m \) od startu motocyklu, kdy motocykl dojede auto, a vzdálenost \( s \) od města, kde se setkají.
Označíme \( t_m \) jako dobu jízdy motocyklu od jeho startu do okamžiku dojetí auta.
Za tuto dobu ujede motocykl vzdálenost:
\( s_m = v_m \cdot t_m = 90 t_m \)
Auto za tuto dobu ujelo o 3 hodiny déle, tedy celkem \( t_m + 3 \) hodin. Vzdálenost auta je tedy:
\( s_a = v_a \cdot (t_m + 3) = 70 (t_m + 3) \)
Protože motocykl auto dojede, musí být vzdálenosti stejné, tedy
Celkové shrnutí: Motocykl dojede auto za 10,5 hodiny od svého startu ve vzdálenosti 945 km od města.
Tento příklad ukazuje klasickou situaci, kdy jeden objekt má náskok v čase a druhý ho dojíždí vyšší rychlostí. Rovnice vyjadřuje rovnost ujetých vzdáleností v okamžiku setkání. Výpočet ověřujeme dosazením zpět.
42. Chodec vyšel z domova rychlostí 4 km/h. O 2 hodiny později vyjel na kole jeho kamarád stejným směrem rychlostí 16 km/h. Za jak dlouho od svého startu dojede kamarád chodce a jakou vzdálenost přitom ujede?
Řešení příkladu:
Nejprve si stanovíme veličiny:
Rychlost chodce: \( v_c = 4 \) km/h
Start chodce: \( t = 0 \)
Start kamaráda na kole: o 2 hodiny později, tedy \( t = 2 \)
Rychlost kamaráda: \( v_k = 16 \) km/h
Hledáme: čas \( t_k \) od startu kamaráda, kdy dojede chodce, a vzdálenost \( s \) od domova.
Chodec za 2 hodiny ujde vzdálenost:
\( s_0 = v_c \cdot 2 = 8 \) km.
Označíme \( t_k \) jako dobu jízdy kamaráda od jeho startu do dojetí chodce.
Během této doby ujede kamarád vzdálenost:
\( s_k = v_k \cdot t_k = 16 t_k \)
Chodec za stejný čas ujde vzdálenost:
\( s_c = v_c \cdot t_k = 4 t_k \)
Protože chodec měl náskok 8 km, vzdálenost kamaráda je o tuto hodnotu větší než vzdálenost chodce v okamžiku setkání:
Kamarád tedy dojede chodce za 40 minut od svého startu.
Vzdálenost setkání spočítáme dosazením do vzorce pro kamaráda:
\( s = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \) km.
Pro kontrolu spočítáme vzdálenost chodce od startu v tomto okamžiku:
Chodec šel celkem \( 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) hodin.
Vzdálenost: \( 4 \times \frac{8}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67 \) km, což odpovídá.
Výsledek je konzistentní a odpovídá zadání.
43. Loď pluje po řece proti proudu rychlostí 15 km/h a po proudu 25 km/h. Pokud cesta proti proudu trvá 3 hodiny, jak dlouho trvá cesta po proudu na stejnou vzdálenost?
Řešení příkladu:
Nejprve si vysvětlíme, co znamenají rychlosti:
Rychlost lodě proti proudu \( v_{proti} = 15 \) km/h
Rychlost lodě po proudu \( v_{po} = 25 \) km/h
Čas plavby proti proudu \( t_{proti} = 3 \) hodiny
Hledáme: čas \( t_{po} \) plavby po proudu na stejnou vzdálenost
Vzdálenost, kterou loď urazila proti proudu, spočítáme jako:
\( s = v_{proti} \cdot t_{proti} = 15 \times 3 = 45 \) km.
Protože vzdálenost je stejná i po proudu, platí:
\( s = v_{po} \cdot t_{po} \Rightarrow 45 = 25 \cdot t_{po} \Rightarrow t_{po} = \frac{45}{25} = 1{,}8 \) hodiny, tedy 1 hodina a 48 minut.
Výsledek znamená, že cesta po proudu je kratší než proti proudu, protože loď má větší rychlost díky proudu.
V tomto příkladu jsme využili základní vztah mezi rychlostí, časem a vzdáleností a přepočet času pomocí poměru rychlostí.
44. Běžec uběhl první polovinu trati rychlostí 12 km/h a druhou polovinu rychlostí 8 km/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost za celou trať?
Řešení příkladu:
Označíme celkovou délku trati jako \( S \). První a druhá polovina tedy mají délku \( \frac{S}{2} \).
Rychlost na první polovině: \( v_1 = 12 \) km/h, na druhé polovině \( v_2 = 8 \) km/h.
Průměrná rychlost běžce na celé trati byla tedy 9,6 km/h.
Tento příklad ilustruje důležitost rozlišení průměrné rychlosti při různých rychlostech na částech trati a ukazuje, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí jednotlivých částí.
45. Vlak jede první část trasy o délce 120 km rychlostí 80 km/h a druhou část trasy o délce 180 km rychlostí 90 km/h. Jaká je průměrná rychlost vlaku na celé trase?
Řešení příkladu:
Nejprve určujeme časy pro obě části trasy:
První část: \( s_1 = 120 \) km, \( v_1 = 80 \) km/h, čas \( t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{120}{80} = 1{,}5 \) hodiny.
Druhá část: \( s_2 = 180 \) km, \( v_2 = 90 \) km/h, čas \( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{180}{90} = 2 \) hodiny.
Celková vzdálenost je:
\( s = s_1 + s_2 = 120 + 180 = 300 \) km.
Celkový čas jízdy je:
\( t = t_1 + t_2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5 \) hodiny.
Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:
Průměrná rychlost vlaku je tedy přibližně 85,71 km/h.
Tento příklad ukazuje, že průměrná rychlost není průměrem rychlostí na jednotlivých úsecích, ale závisí na poměru vzdáleností a času.
46. Chodec a běžec vyšli ze stejného místa stejným směrem. Chodec jde rychlostí 5 km/h, běžec 12 km/h. Za jak dlouho doběhne běžec chodce, pokud chodec měl 10 minutový náskok?
Řešení příkladu:
Nejdříve si převedeme čas náskoku chodce na hodiny:
10 minut = \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) hodiny.
Označíme \( t \) dobu běžce od chvíle startu běžce do dojetí chodce.
Běžec ujede vzdálenost:
\( s_b = v_b \cdot t = 12 t \)
Chodec ujde vzdálenost:
\( s_c = s_0 + v_c \cdot t = \frac{5}{6} + 5 t \)
Protože běžec dohoní chodce, vzdálenosti musí být stejné:
\( 12 t = \frac{5}{6} + 5 t \Rightarrow 12 t – 5 t = \frac{5}{6} \Rightarrow 7 t = \frac{5}{6} \Rightarrow t = \frac{5}{42} \) hodiny.
To je přibližně 0,119 hodiny neboli asi 7 minut a 8 sekund.
Celkový čas, který běžec potřebuje, aby dohnal chodce, je tedy přibližně 7 minut od svého startu.
Tento příklad ukazuje řešení situace, kdy má jeden účastník časový náskok, který musí být při výpočtu zohledněn.
47. Auto jede na výlet rychlostí 60 km/h. Po hodině jízdy se zastaví na půl hodiny. Poté pokračuje rychlostí 80 km/h. Jaká je průměrná rychlost auta, jestliže celková délka výletu je 210 km?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost auto ujelo během první hodiny:
\( s_1 = v_1 \cdot t_1 = 60 \times 1 = 60 \) km.
Celková vzdálenost výletu je 210 km, tedy zbývá ujet:
\( s_2 = 210 – 60 = 150 \) km.
Doba zastávky je 0,5 hodiny, kterou musíme připočítat k celkovému času.
Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:
\( v_{prům} = \frac{210}{3{,}375} \approx 62{,}22 \) km/h.
Výsledkem je, že průměrná rychlost auta během výletu byla přibližně 62,22 km/h, což je méně než vyšší rychlost po zastávce díky počáteční pomalejší jízdě a zastávce.
Výpočet zdůrazňuje nutnost započítat i přestávky do celkového času při určení průměrné rychlosti.
48. Vlak jede z města A do města B vzdálených 180 km. První polovinu cesty jede rychlostí 90 km/h, druhou polovinu rychlostí 60 km/h. Jak dlouho trvá celá cesta?
Řešení příkladu:
Celková vzdálenost je 180 km, proto každá polovina je \( \frac{180}{2} = 90 \) km.
Čas na první polovinu:
\( t_1 = \frac{90}{90} = 1 \) hodina.
Čas na druhou polovinu:
\( t_2 = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.
Celkový čas:
\( t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \) hodiny.
Tento příklad ilustruje, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí, ale závisí na čase stráveném na jednotlivých úsecích cesty.
49. Loď vyplula proti proudu řeky, jejíž rychlost je 5 km/h, rychlost lodě ve stojaté vodě je 15 km/h. Jak dlouho bude trvat plavba na vzdálenost 30 km proti proudu a stejná vzdálenost po proudu?
Tento příklad demonstruje vliv proudu na rychlost plavidla a výpočet času plavby v různých směrech.
50. Cyklista jede do kopce rychlostí 10 km/h a z kopce rychlostí 20 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost, pokud stejnou vzdálenost jel do kopce i z kopce?
Řešení příkladu:
Označíme vzdálenost do kopce i z kopce jako \( S \).
Tento příklad ukazuje, jak průměrná rychlost závisí na čase stráveném jízdou různými rychlostmi, kdy nelze použít jednoduchý aritmetický průměr.
51. Automobil vyjel z města A do města B vzdáleného 180 km. První polovinu cesty jel rychlostí 60 km/h, druhou polovinu zpomalil na 45 km/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost za celou cestu?
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že celková vzdálenost mezi městy A a B je 180 km, takže polovina této vzdálenosti je \( \frac{180}{2} = 90 \) km.
První polovinu cesty urazil automobil rychlostí 60 km/h, druhou polovinu rychlostí 45 km/h. Nyní vypočítáme čas potřebný na každou polovinu cesty.
Čas na první polovinu cesty: \( t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.
Čas na druhou polovinu cesty: \( t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{90}{45} = 2 \) hodiny.
Celkový čas jízdy je tedy: \( t = t_1 + t_2 = 1{,}5 + 2 = 3{,}5 \) hodiny.
Průměrná rychlost je definována jako celková vzdálenost dělená celkovým časem:
\( v_{prům} = \frac{s}{t} = \frac{180}{3{,}5} \approx 51{,}43 \) km/h.
Odpověď: Průměrná rychlost automobilu za celou cestu byla přibližně 51,43 km/h.
52. Cyklista ujede první část trasy 24 km rychlostí 12 km/h a druhou část 36 km rychlostí 18 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost na celé trase?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme časy na jednotlivé části trasy. První část 24 km rychlostí 12 km/h:
\( t_1 = \frac{24}{12} = 2 \) hodiny.
Druhá část 36 km rychlostí 18 km/h:
\( t_2 = \frac{36}{18} = 2 \) hodiny.
Celková vzdálenost je \( s = 24 + 36 = 60 \) km.
Celkový čas jízdy je \( t = t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4 \) hodiny.
Průměrná rychlost je tedy:
\( v_{prům} = \frac{60}{4} = 15 \) km/h.
Odpověď: Průměrná rychlost cyklisty na celé trase byla 15 km/h.
53. Dva vlaky jedou proti sobě ze stanic vzdálených 300 km. První vlak jede rychlostí 80 km/h, druhý 70 km/h. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Vlaky se pohybují proti sobě, takže jejich relativní rychlost je součet jejich rychlostí:
\( v_{rel} = 80 + 70 = 150 \) km/h.
Vzdálenost mezi stanicemi je 300 km.
Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:
\( t = \frac{300}{150} = 2 \) hodiny.
Odpověď: Vlaky se setkají za 2 hodiny.
54. Běžec uběhne první polovinu závodu za 12 minut, přičemž jeho rychlost byla 15 km/h. Jakou rychlostí musel běžet druhou polovinu, aby dokončil závod za celkových 25 minut?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme délku celé trasy. Označíme celkovou délku jako \( s \), pak polovina trasy je \( \frac{s}{2} \).
Běžec uběhl první polovinu za 12 minut, tj. za \( \frac{12}{60} = 0{,}2 \) hodiny rychlostí 15 km/h, takže délka poloviny je:
\( \frac{s}{2} = v \times t = 15 \times 0{,}2 = 3 \) km.
Celá trasa tedy měří:
\( s = 2 \times 3 = 6 \) km.
Celkový čas je 25 minut = \( \frac{25}{60} = 0{,}4167 \) hodiny.
Čas na druhou polovinu je:
\( t_2 = 0{,}4167 – 0{,}2 = 0{,}2167 \) hodiny.
Rychlost na druhou polovinu vypočítáme podle vzorce:
\( v_2 = \frac{\frac{s}{2}}{t_2} = \frac{3}{0{,}2167} \approx 13{,}85 \) km/h.
Odpověď: Běžec musel běžet druhou polovinu rychlostí přibližně 13,85 km/h, aby dokončil závod za 25 minut.
55. Loď pluje proti proudu řeky rychlostí 10 km/h a po proudu rychlostí 14 km/h. Jaká je rychlost samotné lodě v klidné vodě a jaká rychlost proudu?
Řešení příkladu:
Označíme rychlost lodě v klidné vodě jako \( v \) a rychlost proudu jako \( u \).
Rychlost lodě proti proudu je pak \( v – u = 10 \) km/h, a po proudu \( v + u = 14 \) km/h.
Sčítáním rovnic získáme:
\( (v – u) + (v + u) = 10 + 14 \Rightarrow 2v = 24 \Rightarrow v = 12 \) km/h.
Dosadíme zpět pro rychlost proudu:
\( 12 – u = 10 \Rightarrow u = 2 \) km/h.
Odpověď: Rychlost lodě v klidné vodě je 12 km/h, rychlost proudu je 2 km/h.
56. Chodec urazí vzdálenost 6 km za 1 hodinu a 15 minut. Jaká byla jeho průměrná rychlost v m/s?
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme čas na hodiny. 1 hodina a 15 minut je \( 1 + \frac{15}{60} = 1{,}25 \) hodiny.
Odpověď: Průměrná rychlost chodce byla přibližně 1,33 m/s.
57. Auto projede cestu dlouhou 240 km za 3 hodiny a 20 minut. Jaká byla jeho průměrná rychlost v km/h a m/s?
Řešení příkladu:
Převedeme čas na hodiny: 3 hodiny 20 minut je \( 3 + \frac{20}{60} = 3{,}3333 \) hodiny.
Průměrná rychlost v km/h je:
\( v = \frac{240}{3{,}3333} \approx 72 \) km/h.
Pro převod na m/s použijeme převodní koeficient \( \frac{5}{18} \):
\( v = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \) m/s.
Odpověď: Průměrná rychlost auta byla 72 km/h, což je 20 m/s.
58. Cyklista jede 45 km na kole. Prvních 15 km jede rychlostí 20 km/h, druhých 30 km rychlostí 30 km/h. Jak dlouho celkem jel?
Řešení příkladu:
Čas na prvních 15 km je:
\( t_1 = \frac{15}{20} = 0{,}75 \) hodiny.
Čas na druhých 30 km je:
\( t_2 = \frac{30}{30} = 1 \) hodina.
Celkový čas jízdy je:
\( t = t_1 + t_2 = 0{,}75 + 1 = 1{,}75 \) hodiny.
Odpověď: Cyklista jel celkem 1 hodinu a 45 minut.
59. Vlak jede vzdálenost 360 km s průměrnou rychlostí 90 km/h. Jak dlouho trvala cesta?
Řešení příkladu:
Čas jízdy vypočítáme jako:
\( t = \frac{360}{90} = 4 \) hodiny.
Odpověď: Cesta trvala 4 hodiny.
60. Auto vyjelo z města rychlostí 72 km/h. Po 2 hodinách jízdy se porouchalo a bylo nutné pokračovat pomaleji rychlostí 36 km/h. Celková cesta trvala 5 hodin a vzdálenost mezi městy je 288 km. Jakou vzdálenost ujelo auto rychlostí 72 km/h a jakou rychlostí 36 km/h?
Řešení příkladu:
Nejprve si rozdělíme cestu na dvě části podle rychlosti:
1. část – jízda rychlostí 72 km/h po dobu 2 hodin.
Úloha uvádí, že celková vzdálenost mezi městy je 288 km, což je více než vypočtených 252 km. Znamená to, že jsme něco přehlédli. Přepočítejme si, co znamená celková cesta a jaké jsou podmínky.
Možná doba 5 hodin je celková doba jízdy včetně poruchy, ale auto jelo pomaleji jen část cesty. Aby byla vzdálenost 288 km, upravíme neznámé hodnoty.
Označme si dobu jízdy rychlostí 36 km/h jako \( t_2 \). Pak:
\( s_1 = 72 \times 2 = 144 \) km,
\( s_2 = 36 \times t_2 \),
celková doba \( t_1 + t_2 = 2 + t_2 = 5 \Rightarrow t_2 = 3 \) hodiny.
Celková vzdálenost je:
\( s = s_1 + s_2 = 144 + 36 \times 3 = 144 + 108 = 252 \) km, což není 288 km.
Proto je třeba předpokládat, že auto jelo rychlostí 72 km/h méně než 2 hodiny.
Označíme dobu jízdy rychlostí 72 km/h jako \( t_1 \), dobu pomalejší jízdy jako \( t_2 \).
Odpověď: Auto jelo 3 hodiny rychlostí 72 km/h, což je 216 km, a 2 hodiny rychlostí 36 km/h, což je 72 km.
61. Dva běžci začnou běžet proti sobě ze vzdálenosti 10 km. První běžec běží rychlostí 4 km/h, druhý rychlostí 6 km/h. Po kolika minutách se setkají?
Řešení příkladu:
Situace je klasický příklad pohybu dvou těles proti sobě. Celková vzdálenost mezi nimi je 10 km a oba běžci se pohybují k sobě, takže jejich relativní rychlost je součtem rychlostí obou běžců:
Odpověď: Cesta tam a zpět trvá přibližně 8 hodin a 20 minut.
63. Chodec ujde za 3 hodiny vzdálenost 15 km. O kolik kilometrů by musel zrychlit, aby stejnou vzdálenost ušel za 2 hodiny?
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme původní rychlost chodce:
\( v_1 = \frac{s}{t_1} = \frac{15}{3} = 5 \) km/h.
Požadovaná rychlost pro ujetí stejné vzdálenosti za 2 hodiny je:
\( v_2 = \frac{s}{t_2} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \) km/h.
O kolik musí chodec zrychlit, spočítáme jako rozdíl rychlostí:
\( \Delta v = v_2 – v_1 = 7{,}5 – 5 = 2{,}5 \) km/h.
Odpověď: Chodec musí zrychlit o 2,5 km/h.
64. Cyklista jede z města A do města B vzdáleného 60 km rychlostí 20 km/h. Po 1,5 hodině zastaví na pauzu, která trvá 30 minut. Jaká musí být jeho průměrná rychlost, aby dorazil do města B za 4 hodiny od začátku jízdy?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme vzdálenost, kterou cyklista ujede před pauzou:
\( s_1 = v \times t = 20 \times 1{,}5 = 30 \) km.
Zbývající vzdálenost je:
\( s_2 = 60 – 30 = 30 \) km.
Celkový čas cesty má být 4 hodiny, z toho 1,5 hodiny jízdy před pauzou a 0,5 hodiny pauzy, tedy čas na dojetí zbývajících 30 km je:
\( t_2 = 4 – 1{,}5 – 0{,}5 = 2 \) hodiny.
Průměrná rychlost na druhou část cesty musí být:
\( v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{30}{2} = 15 \) km/h.
Odpověď: Aby cyklista dorazil včas, musí jet po pauze rychlostí alespoň 15 km/h.
65. Dvě auta vyjedou současně ze stejného místa stejným směrem. První auto jede rychlostí 90 km/h, druhé 75 km/h. Za jak dlouho první auto dojede druhé, pokud druhé auto vyjelo o 20 minut dříve?
Řešení příkladu:
Nejprve si převeďme zpoždění druhého auta na hodiny:
\( t = \frac{s}{v_{\text{rel}}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} = 1{,}67 \) hodiny, což je 1 hodina a 40 minut.
Odpověď: První auto dojede druhé za 1 hodinu a 40 minut od svého startu.
66. Pěší turista jde po rovině rychlostí 5 km/h. Po 3 hodinách se rozhodne vrátit zpět stejnou cestou, ale rychlostí 6 km/h. Jak dlouho bude trvat cesta zpět?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme vzdálenost, kterou turista urazil po rovině:
\( s = v_1 \times t_1 = 5 \times 3 = 15 \) km.
Cesta zpět je stejná vzdálenost, ale rychlostí 6 km/h, tedy čas zpáteční cesty:
Odpověď: Cesta zpět bude trvat 2 hodiny a 30 minut.
67. Vlak jede z města A do města B vzdáleného 180 km. První polovinu cesty jede rychlostí 90 km/h, druhou polovinu rychlostí 60 km/h. Jaká je průměrná rychlost vlaku za celou cestu?
Řešení příkladu:
Celková vzdálenost je 180 km, takže každá polovina je 90 km.
Čas na první polovinu cesty je:
\( t_1 = \frac{90}{90} = 1 \) hodina.
Čas na druhou polovinu cesty je:
\( t_2 = \frac{90}{60} = 1{,}5 \) hodiny.
Celkový čas cesty je:
\( t = t_1 + t_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \) hodiny.
Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem:
\( v_{\text{prům}} = \frac{180}{2{,}5} = 72 \) km/h.
Odpověď: Průměrná rychlost vlaku za celou cestu je 72 km/h.
68. Dva cyklisté vyrážejí současně z města A do města B, které je vzdálené 90 km. První cyklista jede rychlostí 18 km/h a druhý 22 km/h. Po kolika hodinách je mezi nimi vzdálenost 40 km?
Řešení příkladu:
Nejprve si stanovme proměnnou \( t \) jako dobu (v hodinách), která uplyne od okamžiku, kdy oba cyklisté vyrazili z města A.
Rychlost prvního cyklisty je \( v_1 = 18 \, \text{km/h} \), rychlost druhého \( v_2 = 22 \, \text{km/h} \).
Vzdálenost, kterou první cyklista ujede za čas \( t \), je \( s_1 = v_1 t = 18t \) km.
Vzdálenost, kterou ujede druhý cyklista, je \( s_2 = v_2 t = 22t \) km.
Protože oba vyrazili ze stejného místa stejným směrem, vzdálenost mezi nimi je rozdíl ujetých vzdáleností:
\( |s_2 – s_1| = 22t – 18t = 4t \) km.
Podle zadání chceme, aby tato vzdálenost byla 40 km, tedy:
Odpověď: Po 10 hodinách bude vzdálenost mezi cyklisty 40 km.
69. Auto jede z města C do města D rychlostí 72 km/h. Z města D do města C vyjíždí současně jiné auto rychlostí 54 km/h. Vzdálenost mezi městy je 234 km. Za jak dlouho se auta setkají?
Řešení příkladu:
Nechť \( t \) je čas (v hodinách), za který se obě auta setkají.
Obě auta jedou proti sobě, proto jejich rychlosti se sčítají. Celková vzdálenost je \( s = 234 \) km.
Rychlost prvního auta je \( v_1 = 72 \, \text{km/h} \), druhého \( v_2 = 54 \, \text{km/h} \).
Pro přehlednost převedeme desetinné číslo na minuty:
\( 0{,}857 \times 60 \approx 51,4 \) minut.
Odpověď: Auta se setkají přibližně za 1 hodinu a 51 minut.
70. Běžec začne běžet kolem oválu rychlostí 12 km/h. Po 10 minutách vyběhne druhý běžec rychlostí 15 km/h stejným směrem. Za jak dlouho druhý běžec dohoní prvního?
Řešení příkladu:
Nejprve je potřeba převést čas, kdy druhý běžec vyběhl, do hodin:
Odpověď: Druhý běžec dohoní prvního za 40 minut od svého startu.
71. Vlak jede z města E do města F průměrnou rychlostí 90 km/h. Po půl hodině od jeho odjezdu vyjíždí z města E stejným směrem rychlejší vlak rychlostí 120 km/h. Za jak dlouho od odjezdu druhého vlaku dojede první vlak?
Řešení příkladu:
Označíme \( t \) dobu (v hodinách), kterou druhý vlak jede od svého odjezdu, než dojede první vlak.
Za tuto dobu první vlak jede \( t + 0,5 \) hodiny (protože vyjel půl hodiny dříve).
Ujetá vzdálenost prvního vlaku je \( s_1 = 90 (t + 0,5) \) km.
Ujetá vzdálenost druhého vlaku je \( s_2 = 120 t \) km.
Druhý vlak dojede první, pokud obě vzdálenosti jsou stejné:
\( 120 t = 90 (t + 0,5) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( 120 t = 90 t + 45 \)
Odečteme \( 90 t \) z obou stran:
\( 120 t – 90 t = 45 \Rightarrow 30 t = 45 \)
Vyřešíme pro \( t \):
\( t = \frac{45}{30} = 1,5 \) hodiny.
Odpověď: Druhý vlak dojede první vlak za 1,5 hodiny od svého odjezdu.
72. Loď pluje po řece rychlostí 30 km/h, proud řeky má rychlost 5 km/h. Kolik času stráví loď na cestě dlouhé 75 km, když pluje nejprve po proudu a pak zpět proti proudu?
Řešení příkladu:
Rychlost lodě po proudu je součet rychlosti lodě a rychlosti proudu:
\( v_{po} = 30 + 5 = 35 \, \text{km/h} \).
Rychlost lodě proti proudu je rozdíl rychlosti lodě a proudu:
Odpověď: Loď stráví na cestě tam a zpět přibližně 5 hodin a 8 minut.
73. Dvě osoby začínají současně chodit křížem přes pole. První osoba jde rychlostí 5 km/h, druhá 3 km/h. Pokud je délka jejich cesty 4 km a 6 km, za jak dlouho se setkají v bodě křížení, pokud se pohybují proti sobě?
Řešení příkladu:
Označíme \( t \) dobu, po kterou obě osoby kráčí, než se setkají v místě křížení.
První osoba urazí vzdálenost \( s_1 = 5t \), druhá \( s_2 = 3t \).
Protože se pohybují proti sobě, jejich společná ujetá vzdálenost je součtem těchto vzdáleností.
Odpověď: Osoby se setkají po 1 hodině a 15 minutách.
74. Auto a motocykl vyjíždějí současně ze stejného místa, ale auto jede rychlostí 72 km/h, motocykl 90 km/h. Po kolika hodinách bude motocykl 18 km před autem?
Řešení příkladu:
Nechť \( t \) je doba v hodinách od výjezdu, kdy motocykl bude 18 km před autem.
Vzdálenost auta za čas \( t \) je \( s_a = 72t \), motocyklu \( s_m = 90t \).
Podmínka, že motocykl je 18 km před autem, znamená:
Odpověď: Motocykl bude 18 km před autem po 1 hodině jízdy.
75. Chodec vyšel z domu do města vzdáleného 12 km rychlostí 4 km/h. Po hodině vyjel na kole jiný chodec stejným směrem rychlostí 12 km/h. Za jak dlouho druhý dojede prvního?
Řešení příkladu:
První chodec šel rychlostí 4 km/h a ušel za 1 hodinu vzdálenost 4 km.
Druhý vyjel na kole rychlostí 12 km/h a má dohnat prvního, který je již 4 km před ním.
Relativní rychlost kola vůči chodci je \( 12 – 4 = 8 \) km/h.
Doba potřebná k dojetí je vzdálenost rozdílu dělená relativní rychlostí:
\( t = \frac{4}{8} = 0,5 \) hodiny, tj. 30 minut.
Odpověď: Druhý chodec dojede prvního za půl hodiny od svého startu.
76. Auto vyjelo z města rychlostí 72 km/h a po 2 hodinách vyjel ze stejného místa motocykl rychlostí 90 km/h ve stejném směru. Za jakou dobu motocykl dojede auto?
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že auto má náskok 2 hodiny, během kterých ujelo vzdálenost
\( s = v \cdot t = 72 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 144 \text{ km} \).
Motocykl jede rychlostí 90 km/h a snaží se dojet auto, které jede rychlostí 72 km/h. Relativní rychlost motocyklu vůči autu je
\( v_r = 90 – 72 = 18 \text{ km/h} \).
Čas, za který motocykl dojede auto, je délka náskoku dělená relativní rychlostí:
To znamená, že od chvíle, kdy motocykl vyjel, uběhne 8 hodin, než dojede auto.
Celkový čas od vyjetí auta je tedy \( 2 + 8 = 10 \) hodin.
77. Chodec vyšel z města A do města B rychlostí 5 km/h. O 1 hodinu později vyrazil ze stejného místa B do A jiný chodec rychlostí 6 km/h. Vzdálenost mezi městy je 33 km. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Označíme čas od chvíle, kdy první chodec vyšel z A, jako \( t \) hodin. Druhý chodec vyrazil o hodinu později, tedy v čase \( t-1 \) hodin.
Vzdálenost, kterou první chodec urazil do doby setkání, je
\( s_1 = 5t \) km, a vzdálenost druhého chodce od města B je
\( s_2 = 6(t-1) \) km.
Protože se setkají na cestě mezi městy A a B, součet jejich ujetých vzdáleností musí být 33 km:
Druhý chodec vyrazil o hodinu později, takže čas od jeho výjezdu do setkání je \( t-1 \approx 2,545 \) hodiny.
Odpověď: Setkají se přibližně za 3 hodiny a 33 minut od odchodu prvního chodce.
78. Vlak jede z města C do D rychlostí 80 km/h a současně vyjíždí z D do C vlak rychlostí 70 km/h. Vzdálenost mezi městy je 450 km. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Protože vlaky jedou proti sobě, jejich vzdálenosti se sčítají rychlostmi. Rychlost jejich přibližování je součtem jejich rychlostí:
\( v_s = 80 + 70 = 150 \text{ km/h} \).
Čas do setkání je vzdálenost dělená rychlostí přibližování:
\( t = \frac{450}{150} = 3 \text{ hodiny} \).
Vlaky se tedy setkají po 3 hodinách od svého výjezdu.
Pro kontrolu lze dopočítat vzdálenost, kterou každý vlak urazí do setkání:
Vlak z C do D ujede \( 80 \times 3 = 240 \text{ km} \), vlak z D do C ujede \( 70 \times 3 = 210 \text{ km} \), jejich součet je \( 240 + 210 = 450 \text{ km} \).
79. Cyklista jede po silnici rychlostí 15 km/h. Po 30 minutách ho dojíždí druhý cyklista, který jede rychlostí 20 km/h. Jak dlouho jel první cyklista, když je druhý dohonil?
Řešení příkladu:
První cyklista jel o půl hodiny déle než druhý, označíme čas jízdy druhého cyklisty jako \( t \) hodin, první tedy jel \( t + 0{,}5 \) hodin.
Vzdálenost, kterou ujel první cyklista, je
\( s_1 = 15 (t + 0{,}5) \), a druhý cyklista urazil
\( s_2 = 20 t \).
Protože druhý dohnal prvního, platí \( s_1 = s_2 \), tedy
\( 15 (t + 0{,}5) = 20 t \Rightarrow 15 t + 7{,}5 = 20 t \Rightarrow 7{,}5 = 5 t \Rightarrow t = 1{,}5 \text{ hodiny} \).
První cyklista jel tedy \( t + 0{,}5 = 2 \) hodiny.
80. Dvě lodě vypluly proti sobě ze dvou přístavů vzdálených 90 km. První loď pluje rychlostí 20 km/h a druhá o 5 km/h rychleji. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Rychlost první lodě je \( v_1 = 20 \text{ km/h} \), druhá je rychlejší o 5 km/h, tedy
\( v_2 = 25 \text{ km/h} \).
Protože lodě jedou proti sobě, jejich relativní rychlost je součtem jejich rychlostí:
Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:
\( t = \frac{90}{45} = 2 \text{ hodiny} \).
Loďe se setkají za 2 hodiny.
81. Autobus jede rychlostí 60 km/h a vyjíždí z města A do města B vzdáleného 180 km. O půl hodiny později vyjíždí z města B do města A autobus rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho od odjezdu prvního autobusu se potkají?
Řešení příkladu:
Označíme čas od odjezdu prvního autobusu jako \( t \) hodin. Druhý autobus vyjíždí o půl hodiny později, tedy v čase \( t – 0{,}5 \) hodin.
Vzdálenost, kterou ujede první autobus, je
\( s_1 = 60 t \), a vzdálenost, kterou ujede druhý autobus, je
\( 60 t + 90 t – 45 = 180 \Rightarrow 150 t = 225 \Rightarrow t = \frac{225}{150} = 1{,}5 \text{ hodiny} \).
Druhá autobus jel tedy \( 1{,}5 – 0{,}5 = 1 \) hodinu.
Odpověď: Autobusy se potkají za 1,5 hodiny od odjezdu prvního autobusu.
82. Chodec vyšel z místa A rychlostí 4 km/h a současně vyjel z místa B na kole rychlostí 16 km/h směrem k místu A. Vzdálenost mezi A a B je 28 km. Za jak dlouho se setkají?
Řešení příkladu:
Protože se chodec a cyklista přibližují jeden k druhému, jejich relativní rychlost je součet rychlostí:
\( v_r = 4 + 16 = 20 \text{ km/h} \).
Čas do setkání je vzdálenost dělená relativní rychlostí:
83. Auto a motorka jedou proti sobě po přímé silnici. Auto jede rychlostí 50 km/h, motorka 70 km/h. Pokud se setkají za 2 hodiny, jaká je vzdálenost mezi jejich výchozími místy?
Řešení příkladu:
Protože jedou proti sobě, vzdálenost mezi místy je součtem vzdáleností, které urazí za daný čas:
85. Z města X vyjel autobus rychlostí 60 km/h, o 30 minut později vyjel z města Y autobus ve směru k městu X rychlostí 90 km/h. Vzdálenost mezi městy je 210 km. Za jak dlouho se autobusy setkají?
Řešení příkladu:
Označíme čas od odjezdu prvního autobusu jako \( t \) hodin. Druhý autobus vyjel o 0,5 hodiny později, tedy \( t – 0{,}5 \) hodin.
První autobus ujel vzdálenost \( s_1 = 60 t \), druhý autobus \( s_2 = 90 (t – 0{,}5) \).
Protože jedou proti sobě, jejich vzdálenosti se sečtou na celkovou vzdálenost:
\( 60 t + 90 t – 45 = 210 \Rightarrow 150 t = 255 \Rightarrow t = \frac{255}{150} = 1{,}7 \text{ hodiny} \approx 1 \text{ hodina } 42 \text{ minut} \).
Autobusy se setkají za přibližně 1 hodinu a 42 minut od odjezdu prvního autobusu.
86. Auto vyjelo z města rychlostí 72 km/h. Po 1,5 hodině vyjela z téhož místa druhá auta rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho druhé auto dojede první auto a jakou vzdálenost od města budou mít obě auta v okamžiku setkání?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme proměnné a údaje z úlohy:
Rychlost prvního auta \( v_1 = 72 \, \mathrm{km/h} \)
Rychlost druhého auta \( v_2 = 90 \, \mathrm{km/h} \)
\[
s = v_2 \cdot t = 90 \cdot 6 = 540 \, \mathrm{km}.
\]
Závěr: Druhé auto dojede první po 6 hodinách jízdy, tedy 7,5 hodin po startu prvního auta, ve vzdálenosti 540 km od města.
Tento výpočet jasně ukazuje, jak pracovat s pohybem s časovým náskokem a vyjadřovat vzájemné vztahy mezi vzdálenostmi a časy obou vozidel.
87. Cyklista jede rychlostí 20 km/h po přímé cestě. Po určité době ho dojíždí běžec, který začal běžet stejnou cestou o 15 minut později, ale rychlostí 24 km/h. Za jak dlouho od startu cyklisty běžec dojede cyklistu?
Řešení příkladu:
Nejprve si přepočítáme časový rozdíl startů na hodiny:
Tento výpočet ilustruje, jak řešit pohyb s rozdílným časem startu a různé rychlosti.
88. Vlak jede ze stanice A do stanice B vzdálené 240 km rychlostí 80 km/h. Po 1 hodině jízdy vlak zastaví kvůli technické závadě na 30 minut. Jak dlouho trvá celá cesta od A do B?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jakou vzdálenost vlak ujede za první hodinu:
Závěr: Autobus jel zbytek cesty rychlostí 55 km/h.
Příklad demonstruje, jak pracovat s úseky cesty s různými rychlostmi a časy.
91. Dvě lodě vypluly ze stejného přístavu. První loď plula rychlostí 30 km/h a druhá o 12 km/h rychleji. Za jak dlouho a jak daleko od přístavu se druhá loď dostane k první, pokud první loď vyplula o 1 hodinu dříve?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme proměnné:
Rychlost první lodě \( v_1 = 30 \, \mathrm{km/h} \)
Rychlost druhé lodě \( v_2 = 30 + 12 = 42 \, \mathrm{km/h} \)
Časový náskok první lodě \( t_0 = 1 \, \mathrm{h} \)
Vzdálenost první lodě po čase \( t \) (od startu druhé lodě) je:
\[
s_1 = s_2 \Rightarrow 30 t + 30 = 42 t \Rightarrow 30 = 12 t \Rightarrow t = \frac{30}{12} = 2{,}5 \, \mathrm{h}.
\]
Vzdálenost od přístavu je:
\[
s = 42 \cdot 2{,}5 = 105 \, \mathrm{km}.
\]
Závěr: Druhá loď dojede první po 2,5 hodinách od svého startu, ve vzdálenosti 105 km od přístavu.
92. Chodec jde rychlostí 5 km/h, zatímco běžec běží stejným směrem rychlostí 15 km/h. Běžec vyrazil 10 minut po chodci. Za jak dlouho běžec chodece dohoní?
Čas, který běžec potřebuje k dohnání chodce, označíme jako \( t \) (v hodinách) od svého startu.
Vzdálenost, kterou chodec urazí během času běžce \( t \), je:
\[
s_c = s_0 + v_{chodec} \cdot t = \frac{5}{6} + 5 t.
\]
Vzdálenost, kterou běžec urazí během času \( t \), je:
\[
s_b = 15 t.
\]
Dojití nastane, pokud \( s_b = s_c \):
\[
15 t = \frac{5}{6} + 5 t \Rightarrow 15 t – 5 t = \frac{5}{6} \Rightarrow 10 t = \frac{5}{6} \Rightarrow t = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \, \mathrm{h} = 5 \text{ minut}.
\]
Závěr: Běžec dohoní chodce za 5 minut od svého startu, tedy celkově 15 minut po startu chodce.
93. Auto vyjelo z města rychlostí 72 km/h směrem na druhé město vzdálené 180 km. Po 1,5 hodině jízdy se rozbilo a řidič pokračoval dál pěšky rychlostí 5 km/h. Za jaký čas dorazí řidič do druhého města, pokud rychlost auta před rozbitím zůstala konstantní?
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že celková vzdálenost mezi městy je 180 km. Auto jelo rychlostí 72 km/h po dobu 1,5 hodiny, takže ujeto vzdálenost za tuto dobu spočítáme jako:
Tedy řidič dorazí do druhého města za přibližně 15 hodin a 54 minut.
94. Vlak jede rychlostí 90 km/h a po projetí určitého úseku se zastaví na 12 minut. Poté pokračuje stejnou rychlostí, aby stihl plánovaný čas příjezdu. Jakou rychlostí musí jet na zbývajícím úseku dlouhém 180 km, pokud původně měl tuto část ujíždět za 2 hodiny?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jaký čas měl vlak původně na ujetí zbývající vzdálenosti 180 km:
\( t_{původní} = 2 \text{ h} \)
Vlak se však zastavil na 12 minut, což je \( \frac{12}{60} = 0{,}2 \) hodiny, a tím se mu prodloužil čas o tuto dobu.
Tedy vlak musí jet rychlostí 100 km/h, aby stihl plánovaný čas příjezdu navzdory zastávce.
95. Cyklista jede z bodu A do bodu B vzdáleného 48 km rychlostí 16 km/h. Odtud pokračuje dál do bodu C vzdáleného dalších 24 km rychlostí 12 km/h. Jaký je průměrný rychlost celého pohybu z A do C?
Řešení příkladu:
Celková vzdálenost z bodu A do bodu C je součet vzdáleností:
Tedy průměrná rychlost cyklisty na celé trase je 14,4 km/h.
96. Chodec vyšel z domu a šel rychlostí 4 km/h směrem k městu vzdálenému 20 km. Po 2 hodinách se vrátil zpět a domů dorazil po celkové době 6 hodin. Jak rychle šel na zpáteční cestě?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, jak daleko došel chodec za 2 hodiny:
Chodec šel zpět tedy rychlostí 2 km/h, což může odpovídat například únavě nebo zhoršenému terénu.
97. Dvě lodě vyplouvají současně z přístavu proti proudu řeky. První loď pluje rychlostí 30 km/h vzhledem k vodě, druhá loď rychlostí 24 km/h. Proud řeky má rychlost 6 km/h. Za jak dlouho se lodě vzdálí od sebe o 108 km?
Řešení příkladu:
První loď pluje proti proudu, takže její skutečná rychlost vůči břehu je:
Protože lodě vyplouvají ze stejného přístavu současně a plují opačným směrem (proti proudu obě, ale můžeme předpokládat, že jedna pluje směrem „ven“ a druhá „zpět“, tedy od sebe), jejich vzdálenost od sebe se zvyšuje rychlostí součtu jejich rychlostí:
98. Běžecký závodník běží první polovinu závodu rychlostí 12 km/h a druhou polovinu rychlostí 8 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost za celý závod?
Řešení příkladu:
Nechť celková vzdálenost závodu je \( s \). První polovinu tedy závodník uběhne vzdálenost \( \frac{s}{2} \) rychlostí 12 km/h a druhou polovinu vzdálenost \( \frac{s}{2} \) rychlostí 8 km/h.
99. Osoba jede na kole do práce vzdálené 15 km rychlostí 18 km/h. Na zpáteční cestě jede pomaleji kvůli dešti, rychlostí 12 km/h. Kolik času celkem strávila cestou tam i zpět?
100. Vlak jede 3 hodiny rychlostí 80 km/h, pak zvýší rychlost o 20 km/h a další část trati ujede za 2 hodiny. Jaká je celková vzdálenost, kterou vlak ujel?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme vzdálenost ujetou první částí cesty:
