Slovní úlohy z měření a převodů jednotek

Řešení příkladu:

Víme, že 1 metr \(= 100\) centimetrů.

Délka zahrady je 25 metrů, takže v centimetrech je to

\(25 \times 100 = 2500\) cm.

Šířka zahrady je 12 metrů, takže v centimetrech je to

\(12 \times 100 = 1200\) cm.

Odpověď: Délka zahrady je 2500 cm a šířka 1200 cm.

Řešení příkladu:

Víme, že 1 litr \(= 1000\) mililitrů.

Máme \(2500\) ml vody, což převedeme na litry:

\(2500 \div 1000 = 2{,}5\) litru.

Když nalijeme 2,5 litru do kbelíku, který pojme 3 litry, bude v kbelíku právě 2,5 litru vody.

Vyjádření v litrech a mililitrech: 2 litry a 500 mililitrů.

Odpověď: V kbelíku bude 2 litry a 500 mililitrů vody.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme vzdálenost na metry:

\(150 \text{ km} = 150 \times 1000 = 150\,000 \text{ m}\).

Čas převedeme na sekundy. 2 hodiny a 30 minut je

\(2 \times 3600 + 30 \times 60 = 7200 + 1800 = 9000 \text{ s}\).

Rychlost je dráha dělená časem:

\(v = \frac{150\,000}{9000} = 16{,}67 \text{ m/s}\).

Odpověď: Auto mělo rychlost přibližně \(16{,}67\) metrů za sekundu.

Řešení příkladu:

Víme, že 1 litr \(= 1\) kubický decimetr (dm³).

Máme 120 litrů, což je 120 dm³.

Cílový objem je 150 dm³.

Kolik litrů vody přidáme, je rozdíl:

\(150 – 120 = 30\) litrů.

Odpověď: Je potřeba přidat 30 litrů vody.

Řešení příkladu:

Víme, že 1 kilogram \(= 1000\) gramů a 1 tuna \(= 1000\) kilogramů.

Převod na kilogramy:

\(5000 \div 1000 = 5\) kilogramů.

Převod na tuny:

\(5 \div 1000 = 0{,}005\) tuny.

Zaokrouhleno na tři desetinná místa:

\(5{,}000\) kg a \(0{,}005\) t.

Odpověď: 5000 g je 5 kg a 0,005 tuny.

Řešení příkladu:

Převod kilometrů na metry:

\(3{,}5 \times 1000 = 3500\) metrů.

Za 25 minut uběhla 3500 m, proto za jednu minutu uběhne

\(\frac{3500}{25} = 140\) metrů.

Odpověď: Jana uběhla 140 metrů za jednu minutu.

Řešení příkladu:

1 kilogram \(= 1000\) gramů.

Převod 2,4 kilogramu na gramy:

\(2{,}4 \times 1000 = 2400\) gramů.

Odpověď: V krabici je 2400 gramů mouky.

Řešení příkladu:

Obvod obdélníku je dán vzorcem:

\(O = 2 \times (délka + šířka)\).

Dosadíme známé hodnoty:

\(64 = 2 \times (18 + šířka)\).

Dělením obou stran rovnice 2 dostaneme:

\(32 = 18 + šířka\).

Vyjádříme šířku:

\(šířka = 32 – 18 = 14\) decimetrů.

Převod na centimetry:

1 decimetr \(= 10\) centimetrů, takže

\(14 \times 10 = 140\) cm.

Odpověď: Šířka obdélníku je 140 centimetrů.

Řešení příkladu:

Víme, že 1 metr krychlový \(= 1000\) litrů.

Objem bazénu v litrech je tedy:

\(12 \times 1000 = 12\,000\) litrů.

Odpověď: V bazénu je 12 000 litrů vody.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme objem pokoje v metrech krychlových:

\(V = délka \times šířka \times výška = 4{,}2 \times 3{,}8 \times 2{,}5\).

Vypočítáme:

\(4{,}2 \times 3{,}8 = 15{,}96\),

\(15{,}96 \times 2{,}5 = 39{,}9\) metrů krychlových.

Převod na litry:

1 metr krychlový \(= 1000\) litrů, tedy

\(39{,}9 \times 1000 = 39\,900\) litrů.

Odpověď: V pokoji je 39 900 litrů vzduchu.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme plochu mýtiny v metrech čtverečních. Protože mýtina je čtverec, platí vzorec pro obsah:

\(S = a^2\), kde \(a = 125 \text{ m}\).

Dosadíme:

\(S = 125^2 = 15\,625 \text{ m}^2\).

Dále převedeme metry čtvereční na hektary. Víme, že 1 hektar je definován jako 10 000 m², tedy

\(1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2\).

Pro převod plochy na hektary tedy použijeme dělení:

\(S_{ha} = \frac{15\,625}{10\,000} = 1{,}5625 \text{ ha}\).

Nyní zjistíme, kolik stromů lze vysadit na této ploše. Pokud na 1 hektar připadá 350 stromů, pak na \(1{,}5625\) hektaru připadá

\(N = 350 \times 1{,}5625 = 546{,}875\) stromů.

Protože počet stromů musí být celé číslo, zaokrouhlíme na 547 stromů.

Odpověď: Plocha mýtiny je 1,5625 hektaru a lze na ní vysadit přibližně 547 stromů.

Řešení příkladu:

Objem nádrže je \(3{,}6 \text{ m}^3\). Voda ji naplňuje na 75 %, proto je objem vody:

\(V_{voda} = 0{,}75 \times 3{,}6 = 2{,}7 \text{ m}^3\).

Převod na litry: 1 metr krychlový obsahuje 1000 litrů, takže

\(V_{l} = 2{,}7 \times 1000 = 2700 \text{ litrů}\).

Pro převod na decilitry použijeme vztah:

1 litr = 10 decilitrů, tedy

\(V_{dl} = 2700 \times 10 = 27\,000 \text{ decilitrů}\).

Pro převod na mililitry použijeme vztah:

1 litr = 1000 mililitrů, takže

\(V_{ml} = 2700 \times 1000 = 2\,700\,000 \text{ mililitrů}\).

Odpověď: V nádrži je 2700 litrů vody, což odpovídá 27 000 decilitrům nebo 2 700 000 mililitrům.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délku bazénu:

\(d = 4{,}5 + 2{,}3 = 6{,}8 \text{ m}\).

Objem bazénu vypočítáme jako objem kvádru:

\(V = délka \times šířka \times hloubka = 6{,}8 \times 4{,}5 \times 1{,}6\).

Nejprve spočítáme první dvě čísla:

\(6{,}8 \times 4{,}5 = 30{,}6\).

Následně vynásobíme hloubku:

\(30{,}6 \times 1{,}6 = 48{,}96 \text{ m}^3\).

Převod na litry využívá vztah 1 m³ = 1000 litrů, proto

\(V_{l} = 48{,}96 \times 1000 = 48\,960 \text{ litrů}\).

Kubické decimetry odpovídají litrům, protože 1 litr = 1 dm³, tedy

\(V_{dm^3} = 48\,960 \text{ dm}^3\).

Odpověď: Objem bazénu je 48 960 litrů neboli 48 960 kubických decimetrů.

Řešení příkladu:

Obvod obdélníku je dán vzorcem:

\(O = 2 \times (délka + šířka)\).

Dosadíme známé hodnoty:

\(O = 2 \times (7{,}2 + 5{,}4) = 2 \times 12{,}6 = 25{,}2 \text{ m}\).

Převod obvodu na centimetry:

1 metr = 100 cm, takže

\(25{,}2 \times 100 = 2520 \text{ cm}\).

Proto bude potřeba 25,2 metru lišty na obvod třídy.

Odpověď: Obvod třídy je 2520 cm a na obvod je potřeba 25,2 m lišty.

Řešení příkladu:

Objem krychle vypočítáme podle vzorce:

\(V = a^3\), kde \(a = 9 \text{ dm}\).

Nejprve vypočteme objem v decimetrech krychlových:

\(V = 9^3 = 729 \text{ dm}^3\).

Převod na kubické centimetry využijeme vztah:

1 dm = 10 cm \Rightarrow 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1000 \text{ cm}^3.

Tedy

\(V = 729 \times 1000 = 729\,000 \text{ cm}^3\).

Převod na litry je přímo \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ l}\), takže

\(V = 729 \text{ l}\).

Odpověď: Objem krychle je 729 000 cm³ neboli 729 litrů.

Řešení příkladu:

Objem válce spočítáme podle vzorce:

\(V = \pi r^2 v\), kde \(r = 1{,}5 \text{ m}\), \(v = 4 \text{ m}\).

Nejprve spočítáme obsah podstavy:

\(S = \pi r^2 = \pi \times (1{,}5)^2 = \pi \times 2{,}25\).

Přibližně:

\(S \approx 3{,}1416 \times 2{,}25 = 7{,}0686 \text{ m}^2\).

Objem je tedy:

\(V = 7{,}0686 \times 4 = 28{,}2744 \text{ m}^3\).

Převod na litry:

\(V_{l} = 28{,}2744 \times 1000 = 28\,274{,}4 \text{ l}\).

Odpověď: Objem válcové nádrže je přibližně 28,27 m³, což je 28 274,4 litrů.

Řešení příkladu:

Průměr kruhu je \(d = 12{,}6 \text{ cm}\), poloměr je tedy polovina průměru:

\(r = \frac{d}{2} = \frac{12{,}6}{2} = 6{,}3 \text{ cm}\).

Obvod kruhu je dán vzorcem:

\(O = 2 \pi r\).

Dosadíme:

\(O = 2 \times 3{,}1416 \times 6{,}3 \approx 39{,}584 \text{ cm}\).

Plocha kruhu je:

\(S = \pi r^2 = 3{,}1416 \times (6{,}3)^2 = 3{,}1416 \times 39{,}69 \approx 124{,}69 \text{ cm}^2\).

Převod na milimetry čtvereční použijeme vztah:

1 cm² = 100 mm², tedy

\(S = 124{,}69 \times 100 = 12\,469 \text{ mm}^2\).

Odpověď: Obvod kruhu je přibližně 39,58 cm, plocha je 124,69 cm², což odpovídá 12 469 mm².

Řešení příkladu:

Objem místnosti je dán vzorcem pro kvádr:

\(V = délka \times šířka \times výška\).

Dosadíme:

\(V = 5{,}2 \times 3{,}6 \times 2{,}8\).

Nejprve vypočteme první dvě čísla:

\(5{,}2 \times 3{,}6 = 18{,}72\).

Následně vynásobíme výškou:

\(18{,}72 \times 2{,}8 = 52{,}416 \text{ m}^3\).

Převod na litry využívá vztah 1 m³ = 1000 l:

\(V_{l} = 52{,}416 \times 1000 = 52\,416 \text{ l}\).

Odpověď: Objem místnosti je 52,416 m³, což odpovídá 52 416 litrům.

Řešení příkladu:

Měřítko 1:50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti.

Skutečná délka silnice je:

\(D = 7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm}\).

Převod na metry:

1 m = 100 cm, takže

\(D = \frac{350\,000}{100} = 3\,500 \text{ m}\).

Převod na kilometry:

1 km = 1000 m, tedy

\(D = \frac{3\,500}{1\,000} = 3{,}5 \text{ km}\).

Odpověď: Skutečná délka silnice je 3,5 kilometru.

Řešení příkladu:

Obvod kola je dán vzorcem pro obvod kruhu:

\(O = \pi d\), kde \(d = 68 \text{ cm}\).

Dosadíme:

\(O = 3{,}1416 \times 68 \approx 213{,}63 \text{ cm}\).

Kolo se otočí 100krát, takže celková vzdálenost je:

\(D = 213{,}63 \times 100 = 21\,363 \text{ cm}\).

Převod na metry:

1 m = 100 cm, tedy

\(D = \frac{21\,363}{100} = 213{,}63 \text{ m}\).

Převod na kilometry:

1 km = 1000 m, tedy

\(D = \frac{213{,}63}{1000} = 0{,}21363 \text{ km}\).

Odpověď: Kolo ujede při 100 otočení přibližně 213,63 metrů, což je 0,21363 kilometru.

Řešení příkladu:

Nejdříve si připomeňme vztah mezi obvodem kruhu a jeho průměrem. Obvod \(O\) je dán vzorcem:

\(O = \pi d\), kde \(d\) je průměr kruhu.

Máme tedy \(O = 2{,}2 \text{ m}\).

Vyjádříme průměr \(d\):

\(d = \frac{O}{\pi} = \frac{2{,}2}{3{,}1416} \approx 0{,}700 \text{ m}\).

Průměr kola je tedy přibližně 0,7 metru, což převedeme na centimetry:

\(0{,}7 \text{ m} = 0{,}7 \times 100 = 70 \text{ cm}\).

Pokud chceme zjistit, kolik otáček kolo udělá při ujetí 1 kilometru, musíme zjistit, kolikrát se obvod vejde do 1 km.

1 kilometr je 1000 metrů.

Počet otáček \(N\) je tedy:

\(N = \frac{1000}{2{,}2} \approx 454{,}55\).

To znamená, že kolo udělá přibližně 454,55 otáček, aby ujelo 1 kilometr.

Odpověď: Průměr kola je 70 cm. Kolo při ujetí 1 km udělá přibližně 455 otáček.

Řešení příkladu:

Objem válce \(V\) je dán vzorcem:

\(V = S_p \times v\), kde \(S_p\) je plocha podstavy a \(v\) je výška válce.

Podstava je kruh, jehož plocha je:

\(S_p = \pi r^2\), kde \(r\) je poloměr podstavy.

Poloměr vypočteme z průměru:

\(r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \text{ m}\).

Nyní spočítáme plochu podstavy:

\(S_p = 3{,}1416 \times (1{,}5)^2 = 3{,}1416 \times 2{,}25 = 7{,}0686 \text{ m}^2\).

Objem válce je tedy:

\(V = 7{,}0686 \times 5{,}5 = 38{,}8773 \text{ m}^3\).

Převod objemu na litry vychází z toho, že 1 m³ = 1000 litrů:

\(V_l = 38{,}8773 \times 1000 = 38\,877{,}3 \text{ l}\).

Převod na kubické centimetry (1 m³ = 1 000 000 cm³):

\(V_{cm^3} = 38{,}8773 \times 1\,000\,000 = 38\,877\,300 \text{ cm}^3\).

Odpověď: Objem válcové nádrže je přibližně 38,88 m³, což odpovídá 38 877,3 litrům nebo 38 877 300 cm³.

Řešení příkladu:

Měřítko 1 : 75 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 75 000 cm ve skutečnosti.

Skutečná vzdálenost \(D\) je tedy:

\(D = 8{,}4 \times 75\,000 = 630\,000 \text{ cm}\).

Pro přepočet na metry použijeme vztah 1 m = 100 cm:

\(D = \frac{630\,000}{100} = 6\,300 \text{ m}\).

Pro přepočet na kilometry použijeme vztah 1 km = 1000 m:

\(D = \frac{6\,300}{1\,000} = 6{,}3 \text{ km}\).

Odpověď: Skutečná vzdálenost mezi městy je 6,3 kilometru.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme plochu podlahy, která má tvar obdélníku:

\(S = délka \times šířka = 4{,}5 \times 3{,}2 = 14{,}4 \text{ m}^2\).

Převod na centimetry čtvereční využívá vztah \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\):

\(S = 14{,}4 \times 10\,000 = 144\,000 \text{ cm}^2\).

Objem místnosti \(V\) je dán vzorcem pro objem kvádru:

\(V = délka \times šířka \times výška = 4{,}5 \times 3{,}2 \times 2{,}75\).

Nejprve vypočteme součin délky a šířky:

\(4{,}5 \times 3{,}2 = 14{,}4 \text{ m}^2\).

Následně vynásobíme výškou:

\(14{,}4 \times 2{,}75 = 39{,}6 \text{ m}^3\).

Převod na litry využívá vztah \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ l}\):

\(V_l = 39{,}6 \times 1\,000 = 39\,600 \text{ l}\).

Odpověď: Povrch podlahy je 144 000 cm², objem místnosti je 39,6 m³, což odpovídá 39 600 litrům.

Řešení příkladu:

Obvod kruhu \(O\) je dán vzorcem:

\(O = 2 \pi r\), kde \(r\) je poloměr kruhu.

Máme \(O = 15{,}7 \text{ m}\).

Vyjádříme poloměr \(r\):

\(r = \frac{O}{2\pi} = \frac{15{,}7}{2 \times 3{,}1416} = \frac{15{,}7}{6{,}2832} \approx 2{,}5 \text{ m}\).

Nyní spočítáme plochu kruhu \(S\):

\(S = \pi r^2 = 3{,}1416 \times (2{,}5)^2 = 3{,}1416 \times 6{,}25 = 19{,}635 \text{ m}^2\).

Odpověď: Poloměr záhonu je 2,5 metru, plocha je přibližně 19,64 m².

Řešení příkladu:

Měřítko 1 : 100 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 100 000 cm ve skutečnosti.

Skutečná vzdálenost \(D\) je:

\(D = 12{,}3 \times 100\,000 = 1\,230\,000 \text{ cm}\).

Pro převod na metry použijeme vztah \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\):

\(D = \frac{1\,230\,000}{100} = 12\,300 \text{ m}\).

Pro převod na kilometry použijeme vztah \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\):

\(D = \frac{12\,300}{1000} = 12{,}3 \text{ km}\).

Odpověď: Skutečná vzdálenost je 12,3 km, což odpovídá 12 300 metrům.

Řešení příkladu:

Povrch krychle \(S\) je dán vzorcem:

\(S = 6 a^2\), kde \(a\) je délka hrany.

Dosadíme \(a = 0{,}6 \text{ m}\):

\(S = 6 \times (0{,}6)^2 = 6 \times 0{,}36 = 2{,}16 \text{ m}^2\).

Převod na centimetry čtvereční využívá vztah \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\):

\(S = 2{,}16 \times 10\,000 = 21\,600 \text{ cm}^2\).

Objem krychle \(V\) je dán vzorcem:

\(V = a^3 = (0{,}6)^3 = 0{,}216 \text{ m}^3\).

Převod na litry (1 m³ = 1000 l):

\(V_l = 0{,}216 \times 1000 = 216 \text{ l}\).

Odpověď: Povrch krychle je 21 600 cm², objem je 216 litrů.

Řešení příkladu:

Plocha pravoúhlého trojúhelníku \(S\) je dána vzorcem:

\(S = \frac{1}{2} \times a \times b\), kde \(a\) a \(b\) jsou délky odvěsen.

Dosadíme:

\(S = \frac{1}{2} \times 7{,}2 \times 5{,}4 = 0{,}5 \times 38{,}88 = 19{,}44 \text{ m}^2\).

Převod na decimetry čtvereční využívá vztah \(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2\):

\(S = 19{,}44 \times 100 = 1\,944 \text{ dm}^2\).

Odpověď: Plocha střechy je 19,44 m², což odpovídá 1 944 dm².

Řešení příkladu:

Máme pravoúhlý trojúhelník, kde strom je výška \(a = 8{,}6 \text{ m}\), stín je odvěsna \(b = 6{,}4 \text{ m}\) a sluneční paprsek je přepona \(c\).

Podle Pythagorovy věty platí:

\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Dosadíme hodnoty:

\(c = \sqrt{(8{,}6)^2 + (6{,}4)^2} = \sqrt{73{,}96 + 40{,}96} = \sqrt{114{,}92} \approx 10{,}72 \text{ m}\).

Odpověď: Délka slunečního paprsku je přibližně 10,72 metru.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že délky hlavní a vedlejší osy jsou celkové délky, proto je polovina hlavní osy \(a = \frac{12}{2} = 6\) metrů a polovina vedlejší osy \(b = \frac{8}{2} = 4\) metry.

Přesný obvod elipsy nelze vyjádřit elementárními funkcemi, proto použijeme aproximaci podle Ramanujana:

\(O \approx \pi \left[3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\).

Dosadíme hodnoty poloos:

\(O \approx \pi \left[3(6 + 4) – \sqrt{(3 \times 6 + 4)(6 + 3 \times 4)}\right] = \pi \left[3 \times 10 – \sqrt{(18 + 4)(6 + 12)}\right]\).

\(O \approx \pi \left[30 – \sqrt{22 \times 18}\right] = \pi \left[30 – \sqrt{396}\right].\)

Vypočítáme odmocninu:

\(\sqrt{396} \approx 19{,}8997\).

Dosadíme zpět do vzorce:

\(O \approx \pi (30 – 19{,}8997) = \pi \times 10{,}1003 \approx 3{,}1416 \times 10{,}1003 = 31{,}73 \text{ metrů}.\)

Převod na centimetry (1 m = 100 cm) znamená násobení 100:

\(31{,}73 \text{ m} = 3173 \text{ cm}\).

Závěr: Přibližný obvod jezírka je 3173 centimetrů.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme základní převody jednotek délky:

1 centimetr (cm) = 10 milimetrů (mm), 1 milimetr = 1000 mikrometrů (μm).

Máme délku hřebíku 15 cm. Převod na milimetry:

\(15 \text{ cm} = 15 \times 10 = 150 \text{ mm}\).

Pro převod na mikrometry použijeme:

\(1 \text{ mm} = 1000 \text{ μm}\) \(\Rightarrow\) \(150 \text{ mm} = 150 \times 1000 = 150\,000 \text{ μm}\).

Takže délka hřebíku je 150 000 mikrometrů.

Nyní zjistíme, kolikrát je mikrometr kratší než centimetr. Víme, že:

\(1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} = 10 \times 1000 \text{ μm} = 10\,000 \text{ μm}\).

Tedy:

\(1 \text{ cm} = 10\,000 \text{ μm}\), což znamená, že mikrometr je \(10\,000\)krát kratší než centimetr.

Závěr: Délka hřebíku je 150 000 mikrometrů a 150 milimetrů, mikrometr je 10 000krát kratší než centimetr.

Řešení příkladu:

Nejdříve si vše převedeme na stejné jednotky, aby bylo možné vypočítat objem stolu. Délka stolu je 1,8 metru, což přepočteme na centimetry:

\(1,8 \text{ m} = 180 \text{ cm}\).

Šířka stolu je o 30 cm menší než délka, tedy:

\(180 \text{ cm} – 30 \text{ cm} = 150 \text{ cm}\).

Výška stolu je 75 cm.

Objem stolu \(V\) se vypočítá jako součin délky, šířky a výšky v centimetrech kubických:

\(V = 180 \times 150 \times 75 = 2\,025\,000 \text{ cm}^3\).

Převod na krychlové decimetry provedeme tím, že víme, že \(1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}\), tedy \(1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3\).

\(V = \frac{2\,025\,000}{1000} = 2025 \text{ dm}^3\).

Nyní spočítáme, o kolik procent je výška menší než délka. Procentuální rozdíl se spočítá podle vzorce:

\(\frac{\text{délka} – \text{výška}}{\text{délka}} \times 100 \%\).

Dosadíme hodnoty:

\(\frac{180 – 75}{180} \times 100 = \frac{105}{180} \times 100 = 58{,}33 \%\).

Závěr: Objem stolu je 2025 krychlových decimetrů a výška stolu je o 58,33 % menší než délka stolu.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme délku trubky na metry, abychom měli jednotky kompatibilní pro výpočet povrchu:

\(250 \text{ cm} = 2{,}5 \text{ m}\).

Vnější průměr je 8 cm, tedy poloměr \(r_v = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} = 0{,}04 \text{ m}\).

Tloušťka stěny je 0,5 cm, takže vnitřní průměr je:

\(8 \text{ cm} – 2 \times 0{,}5 \text{ cm} = 7 \text{ cm}\), protože tloušťka je na obou stranách.

Vnitřní poloměr \(r_n = \frac{7}{2} = 3{,}5 \text{ cm} = 0{,}035 \text{ m}\).

Objem vnitřního válce vypočítáme podle vzorce:

\(V = \pi r_n^2 h\), kde \(h\) je délka válce.

Dosadíme hodnoty:

\(V = \pi \times (0{,}035)^2 \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}001225 \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}0030625\).

\(V \approx 3{,}1416 \times 0{,}0030625 = 0{,}00962 \text{ m}^3\).

Převod na litry (1 m³ = 1000 l):

\(V = 0{,}00962 \times 1000 = 9{,}62 \text{ litrů}\).

Nyní vypočítáme povrch vnějšího válce. Povrch válce je dán vzorcem:

\(S = 2 \pi r_v^2 + 2 \pi r_v h\) (dva kruhy + plášť).

Dosadíme hodnoty:

\(S = 2 \pi (0{,}04)^2 + 2 \pi \times 0{,}04 \times 2{,}5 = 2 \pi \times 0{,}0016 + 2 \pi \times 0{,}1 = 0{,}0032 \pi + 0{,}2 \pi = 0{,}2032 \pi\).

\(S \approx 3{,}1416 \times 0{,}2032 = 0{,}6387 \text{ m}^2\).

Závěr: Vnitřní objem trubky je přibližně 9,62 litrů a povrch vnějšího válce je 0,639 m².

Řešení příkladu:

Nejprve vypočteme plochu původní tabule. Plocha pravoúhlého trojúhelníku je dána vzorcem:

\(S = \frac{1}{2} \times a \times b\), kde \(a\) a \(b\) jsou délky odvěsen.

Dosadíme hodnoty (v metrech):

\(S = \frac{1}{2} \times 1{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}54 \text{ m}^2\).

Převod na decimetry čtvereční (1 m² = 100 dm²):

\(S = 0{,}54 \times 100 = 54 \text{ dm}^2\).

Nyní zvětšíme každý rozměr dvojnásobně, tedy:

Nové odvěsny budou \(2 \times 1{,}2 = 2{,}4\) m a \(2 \times 0{,}9 = 1{,}8\) m.

Nová plocha:

\(S‘ = \frac{1}{2} \times 2{,}4 \times 1{,}8 = \frac{1}{2} \times 4{,}32 = 2{,}16 \text{ m}^2\).

Převod na decimetry čtvereční:

\(2{,}16 \times 100 = 216 \text{ dm}^2\).

Porovnáním původní a nové plochy vidíme, že plocha vzrostla přesně čtyřikrát, což odpovídá pravidlu, že plocha se mění podle druhé mocniny měřítka zvětšení.

Závěr: Původní plocha tabule je 54 dm², po zdvojnásobení rozměrů je plocha 216 dm².

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme objem jezírka v základní hloubce. Objem obdélníkového hranolu je:

\(V = délka \times šířka \times výška\).

Dosadíme hodnoty v metrech:

\(V = 4 \times 3 \times 1{,}2 = 14{,}4 \text{ m}^3\).

Převod na litry (1 m³ = 1000 litrů):

\(V = 14{,}4 \times 1000 = 14\,400 \text{ litrů}\).

Nyní spočítáme objem při zvýšení hloubky o 25 cm (0,25 m):

Nová hloubka je:

\(1{,}2 + 0{,}25 = 1{,}45 \text{ m}\).

Nový objem:

\(V‘ = 4 \times 3 \times 1{,}45 = 17{,}4 \text{ m}^3\).

Převod na kubické decimetry (1 m³ = 1000 dm³):

\(V‘ = 17{,}4 \times 1000 = 17\,400 \text{ dm}^3\).

Závěr: Objem jezírka je 14 400 litrů, po zvýšení hloubky bude objem 17 400 dm³.

Řešení příkladu:

Původní délka hrany je 10 cm, původní objem krychle je:

\(V = a^3 = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3\).

Po zmenšení o 10 % bude nová délka hrany:

\(a‘ = 10 – 0{,}10 \times 10 = 10 – 1 = 9 \text{ cm}\).

Nový objem:

\(V‘ = (a‘)^3 = 9^3 = 729 \text{ cm}^3\).

Procentuální pokles objemu vypočítáme jako:

\(\frac{V – V‘}{V} \times 100 \% = \frac{1000 – 729}{1000} \times 100 = \frac{271}{1000} \times 100 = 27{,}1 \%\).

Závěr: Nový objem krychle je 729 cm³, což znamená pokles objemu o 27,1 %.

Řešení příkladu:

Původní objem vody v bazénu je:

\(V = S \times h = 50 \times 1{,}5 = 75 \text{ m}^3\).

Nový objem při hloubce 1,8 m je:

\(V‘ = 50 \times 1{,}8 = 90 \text{ m}^3\).

Nárůst objemu je:

\(\Delta V = V‘ – V = 90 – 75 = 15 \text{ m}^3\).

Procentuální nárůst objemu:

\(\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{15}{75} \times 100 = 20 \%\).

Závěr: Objem vody vzroste o 15 m³, což je nárůst o 20 % původního objemu.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme rychlost z km/h na m/s. Vzorec pro převod je:

\(1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{5}{18} \text{ m/s}\).

Rychlost v m/s je tedy:

\(v = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ m/s}\).

Čas potřebný k překonání vzdálenosti \(s = 900 \text{ m}\) je dán vztahem:

\(t = \frac{s}{v} = \frac{900}{3{,}33} \approx 270 \text{ s}\).

Převod času na minuty:

\(270 \text{ s} = \frac{270}{60} = 4{,}5 \text{ min}\).

Závěr: Rychlost vody je 3,33 m/s, čas na překonání 900 m je 270 sekund neboli 4,5 minuty.

Řešení příkladu:

Obvod pozemku je dán vzorcem:

\(O = 2 (délka + šířka) = 2 (75 + 40) = 2 \times 115 = 230 \text{ m}\).

Převod na centimetry:

\(230 \text{ m} = 230 \times 100 = 23\,000 \text{ cm}\).

Výmera pozemku (plocha):

\(S = délka \times šířka = 75 \times 40 = 3000 \text{ m}^2\).

Převod na hektary:

\(3000 \text{ m}^2 = \frac{3000}{10\,000} = 0{,}3 \text{ ha}\).

Závěr: Délka plotu je 23 000 cm, výmera pozemku je 3000 m², což je 0,3 hektaru.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme délku hrany z metrů na decimetry:

\(1,2 \text{ m} = 12 \text{ dm}\).

Objem krychle je:

\(V = a^3 = 12^3 = 1728 \text{ dm}^3\).

Pokud se hrana zmenší o 20 %, bude nová délka:

\(a‘ = 12 – 0{,}20 \times 12 = 12 – 2{,}4 = 9{,}6 \text{ dm}\).

Nový objem je:

\(V‘ = (a‘)^3 = 9{,}6^3 = 9{,}6 \times 9{,}6 \times 9{,}6\).

Nejprve spočítáme \(9{,}6^2 = 92{,}16\).

Pak \(V‘ = 92{,}16 \times 9{,}6 = 884{,}736 \text{ dm}^3\).

Závěr: Do kontejneru se vejde 1728 dm³ vzduchu, po zmenšení hrany o 20 % je objem 884,736 dm³.

Řešení příkladu:

Nejdříve si ujasníme, jaké jednotky budeme používat při výpočtu. Délky jsou dané v metrech a centimetrům, takže tloušťku převedeme na metry, protože chceme objem v m³.

Tloušťka: \(3 \text{ cm} = \frac{3}{100} = 0{,}03 \text{ m}\).

Objem kvádru spočítáme jako součin délky, šířky a výšky:

\(V = délka \times šířka \times tloušťka = 2{,}5 \times 1{,}2 \times 0{,}03\).

Nejprve vypočteme násobení krok po kroku:

\(2{,}5 \times 1{,}2 = 3{,}0\).

\(3{,}0 \times 0{,}03 = 0{,}09 \text{ m}^3\).

Objem je tedy \(0{,}09 \text{ m}^3\).

Nyní převedeme objem na litry. Víme, že \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litrů}\), tedy:

\(V = 0{,}09 \times 1000 = 90 \text{ litrů}\).

Dále určíme hmotnost desky podle vzorce:

\(m = \rho \times V\), kde \(\rho\) je hustota materiálu, \(V\) objem.

Dosadíme hodnoty:

\(m = 700 \text{ kg/m}^3 \times 0{,}09 \text{ m}^3 = 63 \text{ kg}\).

Závěr: Objem dřevěné desky je 0,09 m³ nebo 90 litrů a její hmotnost je 63 kg.

Řešení příkladu:

Prvním krokem je převod rychlosti z km/h na m/s. Víme, že:

\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) a \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\).

Proto:

\(1 \text{ km/h} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{5}{18} \text{ m/s}\).

Rychlost vlaku v m/s je:

\(v = 90 \times \frac{5}{18} = \frac{450}{18} = 25 \text{ m/s}\).

Dále vypočítáme čas potřebný k překonání vzdálenosti \(s = 15 \text{ km} = 15000 \text{ m}\).

Vzorec pro čas je:

\(t = \frac{s}{v} = \frac{15000}{25} = 600 \text{ s}\).

Převedeme sekundy na minuty:

\(600 \text{ s} = \frac{600}{60} = 10 \text{ minut}\).

Závěr: Rychlost vlaku je 25 m/s, a na vzdálenost 15 km potřebuje 600 sekund, tedy 10 minut.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme obvod kruhu podle vzorce:

\(O = 2 \pi r\), kde \(r\) je poloměr.

Dosadíme hodnoty:

\(O = 2 \times \pi \times 14 = 28 \pi\).

Pro přibližné vyjádření použijeme \(\pi \approx 3{,}1416\):

\(O \approx 28 \times 3{,}1416 = 87{,}9648 \text{ cm}\).

Obvod je tedy přibližně 87,96 cm.

Délku v decimetrech získáme vydělením 10 (protože \(1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}\)):

\(O_{dm} = \frac{87{,}9648}{10} = 8{,}79648 \text{ dm}\).

Nyní spočítáme obsah kruhu podle vzorce:

\(S = \pi r^2 = \pi \times 14^2 = \pi \times 196 = 196 \pi\).

Dosadíme hodnotu \(\pi\):

\(S \approx 196 \times 3{,}1416 = 615{,}752 \text{ cm}^2\).

Převod na dm² je dělením 100, protože \(1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2\):

\(S_{dm^2} = \frac{615{,}752}{100} = 6{,}15752 \text{ dm}^2\).

Závěr: Obvod kruhu je přibližně 87,96 cm (8,80 dm), obsah je přibližně 615,75 cm² (6,16 dm²).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme celkový objem bazénu:

\(V = délka \times šířka \times hloubka = 8 \times 4 \times 1{,}5 = 48 \text{ m}^3\).

Bazén je naplněn z poloviny, tedy objem vody je polovina celkového objemu:

\(V_{voda} = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \text{ m}^3\).

Převod na litry: \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litrů}\), tedy:

\(V_{voda} = 24 \times 1000 = 24000 \text{ litrů}\).

Převod na dm³ (stejné jako litry):

\(V_{voda} = 24000 \text{ dm}^3\).

Závěr: V bazénu je 24 m³, což je 24 000 litrů nebo 24 000 dm³ vody.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme objem válce podle vzorce:

\(V = \pi r^2 v\), kde \(r\) je poloměr podstavy, \(v\) výška válce.

Průměr podstavy je 30 cm, poloměr je tedy polovina:

\(r = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}\).

Dosadíme do vzorce:

\(V = \pi \times 15^2 \times 50 = \pi \times 225 \times 50 = 11250 \pi\).

Přibližná hodnota s \(\pi \approx 3{,}1416\):

\(V \approx 11250 \times 3{,}1416 = 35342 \text{ cm}^3\).

Převod na dm³ (1 dm³ = 1000 cm³):

\(V = \frac{35342}{1000} = 35{,}342 \text{ dm}^3\).

Nyní převedeme objem na m³:

\(35{,}342 \text{ dm}^3 = 0{,}035342 \text{ m}^3\) (protože 1 m³ = 1000 dm³).

Hmotnost spočítáme jako:

\(m = \rho \times V = 650 \times 0{,}035342 = 22{,}9723 \text{ kg}\).

Závěr: Objem válce je přibližně 35,34 dm³, což je 0,0353 m³, a jeho hmotnost je přibližně 22,97 kg.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme rychlost z km/h na m/s:

\(v = 72 \times \frac{5}{18} = 72 \times 0{,}2777 = 20 \text{ m/s}\).

Dále spočítáme, jakou vzdálenost ujede autobus za 15 minut.

15 minut je 900 sekund (15 × 60).

Vzdálenost spočítáme podle vzorce:

\(s = v \times t = 20 \times 900 = 18000 \text{ m}\).

Převedeme na kilometry:

\(s = \frac{18000}{1000} = 18 \text{ km}\).

Závěr: Autobus jede rychlostí 20 m/s a za 15 minut ujede 18000 m, tedy 18 km.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme plochu obdélníku v dm²:

\(S = 7 \times 5 = 35 \text{ dm}^2\).

Převedeme tloušťku vrstvy z milimetrů na decimetry:

\(0{,}2 \text{ mm} = 0{,}02 \text{ cm} = 0{,}002 \text{ dm}\) (protože 1 dm = 10 cm a 1 cm = 10 mm).

Objem barvy je plocha krát tloušťka:

\(V = S \times tloušťka = 35 \times 0{,}002 = 0{,}07 \text{ dm}^3\).

Převod dm³ na cm³:

\(1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3\), tedy

\(V = 0{,}07 \times 1000 = 70 \text{ cm}^3\).

Převod objemu na mililitry (1 cm³ = 1 ml):

\(V = 70 \text{ ml}\).

Závěr: Na obdélníkovou plochu bylo naneseno 70 cm³ (70 ml) barvy.

Řešení příkladu:

Nejdříve převedeme čas na sekundy.

1 hodina má 3600 sekund, 1 minuta má 60 sekund.

Celkový čas je 3 hodiny a 45 minut, tedy:

\(t = 3 \times 3600 + 45 \times 60 = 10800 + 2700 = 13500 \text{ s}\).

Dále převedeme sekundy na minuty:

\(t = \frac{13500}{60} = 225 \text{ minut}\).

Závěr: 3 hodiny a 45 minut je 13500 sekund nebo 225 minut.

Řešení příkladu:

Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm ve skutečnosti.

Vzdálenost na mapě je 12 cm, tedy ve skutečnosti je:

\(d = 12 \times 50000 = 600000 \text{ cm}\).

Převedeme cm na metry:

\(600000 \text{ cm} = \frac{600000}{100} = 6000 \text{ m}\).

Převedeme metry na kilometry:

\(6000 \text{ m} = \frac{6000}{1000} = 6 \text{ km}\).

Závěr: Skutečná vzdálenost je 6 kilometrů.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme rychlost v m/s:

\(v = \frac{s}{t} = \frac{400}{42} \approx 9{,}5238 \text{ m/s}\).

Dále převedeme rychlost z m/s na km/h pomocí vztahu:

\(1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}\), tedy

\(v = 9{,}5238 \times 3{,}6 \approx 34{,}2857 \text{ km/h}\).

Závěr: Rychlost závodníka je přibližně 9,52 m/s nebo 34,29 km/h.

Řešení příkladu:

Máme dvě rychlosti, které závisí na rychlosti lodě ve stojaté vodě a na rychlosti proudu řeky:

Nechť rychlost lodě ve stojaté vodě je \(v\) (v km/h) a rychlost proudu řeky je \(u\) (v km/h).

Podle zadání:

– rychlost lodě proti proudu je \(v – u = 15\), protože proud jí brzdí,

– rychlost lodě po proudu je \(v + u = 21\), protože proud ji táhne.

Máme tedy soustavu dvou rovnic:

\(v – u = 15\)

\(v + u = 21\)

Sečteme obě rovnice, abychom eliminovali \(u\):

\( (v – u) + (v + u) = 15 + 21 \Rightarrow 2v = 36 \Rightarrow v = 18\) km/h.

Nyní dosadíme \(v=18\) do první rovnice pro výpočet \(u\):

\(18 – u = 15 \Rightarrow u = 18 – 15 = 3\) km/h.

Rychlost lodě ve stojaté vodě je tedy 18 km/h a rychlost proudu řeky je 3 km/h.

Pro kontrolu ověříme rychlost po proudu:

\(v + u = 18 + 3 = 21\) km/h, což souhlasí se zadáním.

Závěr: Rychlost lodě ve stojaté vodě je 18 km/h, rychlost proudu řeky je 3 km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme vzorce pro válec:

Průměr podstavy je 8 cm, tedy poloměr \(r = \frac{8}{2} = 4\) cm.

Výška válce je \(v = 12\) cm.

Objem válce \(V = \pi r^2 v\).

Povrch válce \(S = 2 \pi r v + 2 \pi r^2\) (boční plocha + dvě podstavy).

Vypočítáme objem v cm³:

\(V = 3,14 \times 4^2 \times 12 = 3,14 \times 16 \times 12 = 3,14 \times 192 = 602,88 \text{ cm}^3\).

Převod objemu na dm³:

1 dm = 10 cm, tedy 1 dm³ = 1000 cm³,

\(V = \frac{602,88}{1000} = 0,60288 \text{ dm}^3\).

Nyní spočítáme povrchovou plochu v cm²:

Boční plocha:

\(S_{\text{boční}} = 2 \pi r v = 2 \times 3,14 \times 4 \times 12 = 2 \times 3,14 \times 48 = 2 \times 150,72 = 301,44 \text{ cm}^2\).

Plocha podstav:

\(S_{\text{podstavy}} = 2 \pi r^2 = 2 \times 3,14 \times 16 = 2 \times 50,24 = 100,48 \text{ cm}^2\).

Celkový povrch:

\(S = 301,44 + 100,48 = 401,92 \text{ cm}^2\).

Převod na dm²:

1 dm² = 100 cm², tedy

\(S = \frac{401,92}{100} = 4,0192 \text{ dm}^2\).

Závěr: Objem válce je přibližně 0,603 dm³ a povrchová plocha je přibližně 4,02 dm².

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme čas na hodiny v desetinném tvaru:

2 hodiny a 30 minut jsou:

2 hodiny + \(\frac{30}{60} = 0,5\) hodiny, tedy celkem \(2 + 0,5 = 2,5\) hodiny.

Průměrná rychlost v km/h je vzdálenost dělená časem:

\(v = \frac{s}{t} = \frac{150}{2,5} = 60 \text{ km/h}\).

Převedeme rychlost na m/s:

Víme, že \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) a \(1 \text{ hodina} = 3600 \text{ s}\).

Rychlost v m/s je tedy:

\(v = 60 \times \frac{1000}{3600} = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} = 16,6667 \text{ m/s}\).

Detailní převod:

Za 1 hodinu ujede 60 km = 60 000 m,

za 1 sekundu ujede \(\frac{60000}{3600} = 16,6667 \text{ m}\).

Závěr: Průměrná rychlost autobusu je 60 km/h, což odpovídá přibližně 16,67 m/s.

Řešení příkladu:

Objem bazénu spočítáme jako součin délky, šířky a hloubky:

\(V = 8 \times 4 \times 1,5 = 48 \text{ m}^3\).

Převod objemu na litry:

1 m³ odpovídá 1000 litrům, tedy

\(V = 48 \times 1000 = 48000 \text{ litrů}\).

Převod litrů na centilitry:

1 litr = 100 centilitrů,

\(V = 48000 \times 100 = 4 800 000 \text{ cl}\).

Převod litrů na mililitry:

1 litr = 1000 mililitrů,

\(V = 48000 \times 1000 = 48 000 000 \text{ ml}\).

Závěr: Na naplnění bazénu je potřeba 48 000 litrů vody, což odpovídá 4 800 000 centilitrům nebo 48 000 000 mililitrům.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme čas na hodiny v desetinném tvaru.

Čas je 1 hodina, 15 minut a 30 sekund.

15 minut = \(\frac{15}{60} = 0,25\) hodiny.

30 sekund = \(\frac{30}{3600} = 0,008333\) hodiny.

Celkový čas \(t\) je:

\(1 + 0,25 + 0,008333 = 1,258333\) hodiny.

Vzdálenost \(s\) urazí letadlo za tento čas:

\(s = v \times t = 900 \times 1,258333 = 1132,5 \text{ km}\).

Převod kilometrů na metry:

1 km = 1000 m,

\(1132,5 \text{ km} = 1132,5 \times 1000 = 1 132 500 \text{ m}\).

Závěr: Letadlo urazí za 1 hodinu, 15 minut a 30 sekund přibližně 1132,5 km, což je 1 132 500 metrů.

Řešení příkladu:

Hmotnost je 3,75 kg.

Převod na gramy:

1 kg = 1000 g,

\(3,75 \times 1000 = 3750 \text{ g}\).

Převod na miligramy:

1 g = 1000 mg,

\(3750 \times 1000 = 3 750 000 \text{ mg}\).

Převod na tuny:

1 tuna = 1000 kg,

\(\frac{3,75}{1000} = 0,00375 \text{ t}\).

Závěr: 3,75 kg odpovídá 3750 g, 3 750 000 mg a 0,00375 tuny.

Řešení příkladu:

Celkové množství vody potřebné pro zalévání plochy 100 m² je:

\(V = 100 \times 3,5 = 350 \text{ litrů}\).

Počet naplnění kbelíku je celkové množství vody dělené objemem kbelíku:

\(n = \frac{350}{12} \approx 29,1667\).

Protože nemůžeme mít zlomkové naplnění v praxi, zahradník potřebuje 30 naplnění kbelíku.

Závěr: K zalévání plochy 100 m² je potřeba přibližně 30 plných naplnění 12litrového kbelíku.

Řešení příkladu:

Měřítko 1 : 75 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 75 000 cm ve skutečnosti.

Skutečná vzdálenost \(d\) je:

\(d = 16 \times 75 000 = 1 200 000 \text{ cm}\).

Převod na metry:

1 m = 100 cm,

\(d = \frac{1 200 000}{100} = 12 000 \text{ m}\).

Převod na kilometry:

1 km = 1000 m,

\(d = \frac{12 000}{1000} = 12 \text{ km}\).

Závěr: Skutečná vzdálenost odpovídající 16 cm na mapě je 12 km nebo 12 000 m.

Řešení příkladu:

Měřítko 1 : 25000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 25000 cm ve skutečnosti.

Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:

\(62{,}5 \text{ km} = 62{,}5 \times 1000 \text{ m} = 62\,500 \text{ m}\)

\(62\,500 \text{ m} = 62\,500 \times 100 \text{ cm} = 6\,250\,000 \text{ cm}\)

Vzdálenost na mapě spočítáme jako:

\(d_m = \frac{6\,250\,000 \text{ cm}}{25\,000} = 250 \text{ cm}\)

Výsledek znamená, že na mapě budou dvě města vzdálená 250 cm (tedy 2,5 metru).

Pro druhou část, kdy je vzdálenost na mapě 8 cm, vypočítáme skutečnou vzdálenost \(d_s\):

\(d_s = 8 \text{ cm} \times 25\,000 = 200\,000 \text{ cm}\)

Převedeme zpět na kilometry:

\(200\,000 \text{ cm} = 2\,000 \text{ m} = 2 \text{ km}\)

Odpověď: Vzdálenost na mapě je 250 cm, skutečná vzdálenost pro mapových 8 cm je 2 km.

Řešení příkladu:

Hustota vody je \(1 \text{ g/cm}^3\), což znamená, že 1 cm³ vody má hmotnost 1 g.

Objem 5 litrů převedeme na cm³:

\(1 \text{ l} = 1000 \text{ cm}^3\), tedy \(5 \text{ l} = 5 \times 1000 = 5000 \text{ cm}^3\)

Hmotnost vody je pak:

\(m = 5000 \text{ cm}^3 \times 1 \text{ g/cm}^3 = 5000 \text{ g}\)

Převod na kilogramy:

\(5000 \text{ g} = \frac{5000}{1000} = 5 \text{ kg}\)

Převod na miligramy:

\(5000 \text{ g} = 5000 \times 1000 = 5\,000\,000 \text{ mg}\)

Odpověď: Hmotnost vody je 5 kg, což odpovídá 5000 g a 5 000 000 mg.

Řešení příkladu:

Převod milimetrů na metry:

\(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\) \Rightarrow \(1500 \text{ mm} = \frac{1500}{1000} = 1{,}5 \text{ m}\)

Převod milimetrů na kilometry:

\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m} = 1\,000\,000 \text{ mm}\) \Rightarrow \(1500 \text{ mm} = \frac{1500}{1\,000\,000} = 0{,}0015 \text{ km}\)

Nyní převeďme 3,75 km na metry:

\(3{,}75 \text{ km} = 3{,}75 \times 1000 = 3750 \text{ m}\)

Poté převeďme metry na milimetry:

\(3750 \text{ m} = 3750 \times 1000 = 3\,750\,000 \text{ mm}\)

Odpověď: 1500 mm je 1,5 m a 0,0015 km. 3,75 km je 3750 m a zároveň 3 750 000 mm.

Řešení příkladu:

Objem válce je dán vzorcem:

\(V = \pi r^2 v\), kde \(r\) je poloměr a \(v\) výška válce.

Dosadíme známé hodnoty:

\(5000 = \pi \times 5^2 \times v = \pi \times 25 \times v\)

Vyjádříme výšku \(v\):

\(v = \frac{5000}{25 \pi} = \frac{5000}{78{,}5398} \approx 63{,}66 \text{ cm}\)

Odpověď: Výška válce je přibližně 63,66 cm.

Řešení příkladu:

1 km = 1000 m, 1 hodina = 3600 sekund.

Rychlost v m/s spočítáme jako:

\(v = \frac{72 \times 1000}{3600} = \frac{72000}{3600} = 20 \text{ m/s}\)

Pro převod na cm/s použijeme:

\(20 \text{ m/s} = 20 \times 100 = 2000 \text{ cm/s}\)

Odpověď: Rychlost 72 km/h je 20 m/s a 2000 cm/s.

Řešení příkladu:

Převedeme délku do metrů:

\(120 \text{ cm} = \frac{120}{100} = 1{,}2 \text{ m}\)

Šířka je již v metrech: 0,8 m.

Obvod obdélníku \(O\) je:

\(O = 2 (a + b) = 2 (1{,}2 + 0{,}8) = 2 \times 2 = 4 \text{ m}\)

Obsah obdélníku \(S\) je:

\(S = a \times b = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96 \text{ m}^2\)

Odpověď: Obvod je 4 m a obsah je 0,96 m².

Řešení příkladu:

Objem kvádru spočítáme jako součin délky, šířky a výšky:

\(V = 4{,}5 \times 2{,}5 \times 1{,}2 = 13{,}5 \text{ m}^3\)

1 m³ = 1000 litrů, tedy:

\(V_l = 13{,}5 \times 1000 = 13\,500 \text{ l}\)

Odpověď: Do bazénu se vejde 13 500 litrů vody.

Řešení příkladu:

Výkon žárovky je \(P = 60 \text{ W} = 0{,}06 \text{ kW}\).

Doba svícení za den je 5 hodin, za měsíc (30 dní):

\(t = 5 \times 30 = 150 \text{ h}\)

Spotřeba energie \(E\) je:

\(E = P \times t = 0{,}06 \times 150 = 9 \text{ kWh}\)

Odpověď: Spotřeba elektrické energie za měsíc je 9 kWh.

Řešení příkladu:

Délka kružnice (obvod) je:

\(O = 2 \pi r = 2 \times \pi \times 7 = 14 \pi \approx 43{,}98 \text{ cm}\)

Obsah kruhu je:

\(S = \pi r^2 = \pi \times 7^2 = 49 \pi \approx 153{,}94 \text{ cm}^2\)

Odpověď: Délka kružnice je přibližně 43,98 cm, obsah je přibližně 153,94 cm².

Řešení příkladu:

Převod 0,035 kg na gramy:

\(0{,}035 \text{ kg} = 0{,}035 \times 1000 = 35 \text{ g}\)

Převod na miligramy:

\(35 \text{ g} = 35 \times 1000 = 35\,000 \text{ mg}\)

Teď převod 8750 mg na kilogramy:

\(8750 \text{ mg} = \frac{8750}{1\,000\,000} = 0{,}00875 \text{ kg}\)

Odpověď: 0,035 kg = 35 g = 35 000 mg, 8750 mg = 0,00875 kg.

Řešení příkladu:

Obsah pravoúhlého trojúhelníku je:

\(S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 108 = 54 \text{ cm}^2\)

Odpověď: Obsah je 54 cm².

Řešení příkladu:

Původní recept je pro 2 osoby. Pro 5 osob vynásobíme množství surovin poměrem:

\(\frac{5}{2} = 2{,}5\)

Mouka:

\(300 \text{ g} \times 2{,}5 = 750 \text{ g}\)

Cukr:

\(150 \text{ g} \times 2{,}5 = 375 \text{ g}\)

Vejce:

\(2 \times 2{,}5 = 5\) vajec (zaokrouhlíme na celé kusy)

Odpověď: Pro 5 osob budete potřebovat 750 g mouky, 375 g cukru a 5 vajec.

Řešení příkladu:

Nejprve je potřeba uvědomit si, že trubka je dutý válec. Hmotnost spočítáme jako objem kovu v trubce násobený hustotou materiálu.

Délka trubky je \(L = 3 \text{ m} = 300 \text{ cm}\).

Vnější poloměr je \(R = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\).

Tloušťka stěny je \(t = 0{,}5 \text{ cm}\), takže vnitřní poloměr je \(r = R – t = 4 – 0{,}5 = 3{,}5 \text{ cm}\).

Objem kovu je rozdíl objemů vnějšího a vnitřního válce:

\(V = \pi L (R^2 – r^2) = \pi \times 300 \times (4^2 – 3{,}5^2)\)

\(= \pi \times 300 \times (16 – 12{,}25) = \pi \times 300 \times 3{,}75\)

\(= 3{,}1416 \times 300 \times 3{,}75 \approx 3{,}1416 \times 1125 = 3534 \text{ cm}^3\)

Hustota kovu je \(\rho = 7{,}85 \text{ g/cm}^3\), takže hmotnost trubky je:

\(m = V \times \rho = 3534 \times 7{,}85 \approx 27739 \text{ g}\)

Převod na kilogramy:

\(m = \frac{27739}{1000} = 27{,}739 \text{ kg}\)

Odpověď: Hmotnost trubky je přibližně 27,74 kg.

Řešení příkladu:

Máme dobu trvání události v dnech: \(t = 3{,}75 \text{ dne}\).

Nejprve převedeme dny na hodiny. Víme, že 1 den má 24 hodin, tedy:

\(t_{hod} = 3{,}75 \times 24 = 90 \text{ hodin}\).

Dále převedeme hodiny na minuty, přičemž 1 hodina má 60 minut:

\(t_{min} = 90 \times 60 = 5400 \text{ minut}\).

Nakonec převedeme minuty na sekundy, přičemž 1 minuta má 60 sekund:

\(t_{sek} = 5400 \times 60 = 324\,000 \text{ sekund}\).

Shrnutí:

\(3{,}75 \text{ dne} = 90 \text{ hodin} = 5400 \text{ minut} = 324\,000 \text{ sekund}\).

Odpověď: Událost trvá 90 hodin, což je 5400 minut nebo 324 000 sekund.

Řešení příkladu:

Objem válce \(V\) je dán vzorcem:

\(V = \pi r^2 h\), kde \(r\) je poloměr základny a \(h\) je výška.

Máme \(V = 1500 \text{ cm}^3\) a \(h = 20 \text{ cm}\), chceme zjistit \(r\).

Vyjádříme \(r^2\):

\(r^2 = \frac{V}{\pi h} = \frac{1500}{3{,}14 \times 20} = \frac{1500}{62{,}8} \approx 23{,}9\)

Poloměr je tedy:

\(r = \sqrt{23{,}9} \approx 4{,}89 \text{ cm}\).

Průměr je dvakrát poloměr:

\(d = 2r = 2 \times 4{,}89 = 9{,}78 \text{ cm}\).

Odpověď: Průměr základny válce je přibližně 9,78 cm.

Řešení příkladu:

Objem vody v nádrži je \(V = 2{,}5 \text{ m}^3\).

Převod na litry, víme, že 1 m³ = 1000 litrů, tedy:

\(V_l = 2{,}5 \times 1000 = 2500 \text{ litrů}\).

Denní odčerpávání je 125 litrů za den.

Počet dní, za které se nádrž vyprázdní, je tedy:

\(n = \frac{2500}{125} = 20 \text{ dní}\).

Odpověď: Nádrž pojme 2500 litrů vody a prázdná bude po 20 dnech.

Řešení příkladu:

Poměr \(3:4\) znamená \(\frac{3}{4}\).

Převedeme na desetinné číslo dělením:

\(\frac{3}{4} = 0{,}75\).

Převedeme na procenta vynásobením 100:

\(0{,}75 \times 100 = 75\%\).

Porovnáme s 75 %:

Rozdíl je \(75\% – 75\% = 0\%\).

Odpověď: Poměr 3:4 odpovídá 0,75 a 75 %, rozdíl oproti 75 % je nulový.

Řešení příkladu:

Převod miligramů na kilogramy:

Víme, že 1 kilogram = 1 000 000 miligramů, tedy:

\(3500 \text{ mg} = \frac{3500}{1\,000\,000} = 0{,}0035 \text{ kg}\).

Převod kilogramů na gramy a tuny pro 5,2 kg:

1 kilogram = 1000 gramů, takže:

\(5{,}2 \text{ kg} = 5{,}2 \times 1000 = 5200 \text{ g}\).

1 tuna = 1000 kilogramů, tedy:

\(5{,}2 \text{ kg} = \frac{5{,}2}{1000} = 0{,}0052 \text{ t}\).

Odpověď: 3500 mg je 0,0035 kg, 5,2 kg je 5200 g a 0,0052 t.

Řešení příkladu:

Rychlost je dána v km/h, potřebujeme ji převést na m/s.

Víme, že 1 km = 1000 m a 1 hodina = 3600 sekund.

Proto:

\(v = 90 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 90 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \text{ m/s}\).

Vzdálenost za jednu sekundu je tedy 25 m.

Vzdálenost za 15 minut spočítáme tak, že převedeme 15 minut na sekundy:

\(15 \text{ min} = 15 \times 60 = 900 \text{ s}\).

Vzdálenost je:

\(s = v \times t = 25 \times 900 = 22\,500 \text{ m} = 22{,}5 \text{ km}\).

Odpověď: Vlak urazí 25 m za sekundu a 22,5 km za 15 minut.

Řešení příkladu:

Obsah podlahy je plocha obdélníku, tedy:

\(S = a \times b = 4{,}2 \times 5{,}8 = 24{,}36 \text{ m}^2\).

Obvod pokoje je součet všech stran, protože je obdélník, vzorec je:

\(O = 2(a + b) = 2 (4{,}2 + 5{,}8) = 2 \times 10 = 20 \text{ m}\).

Objem místnosti je obsah podlahy krát výška:

\(V = S \times h = 24{,}36 \times 2{,}7 = 65{,}772 \text{ m}^3\).

Odpověď: Podlahová plocha je 24,36 m², obvod pokoje je 20 m a objem místnosti je přibližně 65,77 m³.

Řešení příkladu:

Převod 1,25 hodiny na minuty:

1 hodina = 60 minut, tedy:

\(1{,}25 \times 60 = 75 \text{ minut}\).

Převod 300 sekund na minuty:

1 minuta = 60 sekund, tedy:

\(\frac{300}{60} = 5 \text{ minut}\).

Převod 300 sekund na hodiny:

1 hodina = 3600 sekund, tedy:

\(\frac{300}{3600} = 0{,}0833 \text{ hodiny}\) (přibližně 5 minut).

Odpověď: 1,25 hodiny je 75 minut, 300 sekund je 5 minut nebo přibližně 0,0833 hodiny.

Řešení příkladu:

Převod tuny na gramy:

1 tuna = 1 000 kilogramů a 1 kilogram = 1000 gramů, tedy 1 tuna = 1 000 000 gramů.

\(0{,}0025 \text{ t} = 0{,}0025 \times 1\,000\,000 = 2500 \text{ g}\).

Převod 5000 gramů na tuny a kilogramy:

Na tuny:

\(\frac{5000}{1\,000\,000} = 0{,}005 \text{ t}\).

Na kilogramy:

\(\frac{5000}{1000} = 5 \text{ kg}\).

Odpověď: 0,0025 tuny je 2500 g, 5000 g je 0,005 tuny nebo 5 kilogramů.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme délku trubky do různých jednotek:

Délka v centimetrech je \(2500\,cm\).

Převod na metry: \(1\,m = 100\,cm \Rightarrow 2500\,cm = \frac{2500}{100} = 25\,m\).

Převod na decimetry: \(1\,dm = 10\,cm \Rightarrow 2500\,cm = \frac{2500}{10} = 250\,dm\).

Převod na milimetry: \(1\,cm = 10\,mm \Rightarrow 2500\,cm = 2500 \times 10 = 25000\,mm\).

Poté určíme objem materiálu, ze kterého je trubka vyrobena. Trubka má tvar dutého válce. Vnější poloměr je polovina průměru:

\(r_{vnější} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,cm\).

Stěna trubky má tloušťku 0,5 cm, proto vnitřní poloměr je:

\(r_{vnitřní} = r_{vnější} – 0{,}5 = 2{,}5 – 0{,}5 = 2{,}0\,cm\).

Objem válce je dán vzorcem \(V = \pi r^2 h\), kde \(r\) je poloměr a \(h\) délka.

Objem materiálu je rozdíl objemů válců s vnějším a vnitřním poloměrem:

\(V = \pi \times (r_{vnější}^2 – r_{vnitřní}^2) \times h = \pi \times (2{,}5^2 – 2{,}0^2) \times 2500\).

Vypočítáme jednotlivé hodnoty:

\(2{,}5^2 = 6{,}25\), \(2{,}0^2 = 4\), rozdíl je \(6{,}25 – 4 = 2{,}25\).

Dosadíme do vzorce:

\(V = \pi \times 2{,}25 \times 2500 = \pi \times 5625 \approx 3{,}1416 \times 5625 = 17671{,}46\,cm^3\).

Převod na dm³ (1 dm³ = 1000 cm³):

\(V = \frac{17671{,}46}{1000} = 17{,}67146\,dm^3\).

Převod na m³ (1 m³ = 1000 dm³):

\(V = \frac{17{,}67146}{1000} = 0{,}01767146\,m^3\).

Odpověď: Délka trubky je 25 metrů, 250 decimetrů, nebo 25 000 milimetrů. Objem materiálu, ze kterého je trubka vyrobena, je přibližně 17,67 dm³ nebo 0,0177 m³.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme plochu kruhové fontány. Poloměr je polovina průměru:

\(r = \frac{3{,}6}{2} = 1{,}8\,m\).

Plocha kruhu \(S\) je dána vzorcem:

\(S = \pi r^2 = \pi \times (1{,}8)^2 = \pi \times 3{,}24 \approx 3{,}1416 \times 3{,}24 = 10{,}18\,m^2\).

Převod na centimetry čtvereční využívá vztah \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\):

\(S = 10{,}18 \times 10\,000 = 101\,800\,cm^2\).

Nyní vypočítáme objem fontány, což je objem válce:

\(V = S \times h = 10{,}18\,m^2 \times 0{,}8\,m = 8{,}144\,m^3\).

Převod na litry (1 m³ = 1000 litrů):

\(V = 8{,}144 \times 1000 = 8144\,l\).

Odpověď: Plocha fontány je přibližně 10,18 m², což je 101 800 cm². Objem fontány je 8,144 m³, tedy 8144 litrů vody.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme obsah základny, což je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 dm a 4 dm:

\(S_{základny} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\,dm^2\).

Vypočítáme délku přepony pravoúhlého trojúhelníku:

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,dm\).

Povrch hranolu se skládá ze dvou základních trojúhelníků a tří obdélníků tvořících boční stěny:

\(S = 2 \times S_{základny} + P_{bočních\,stěn}\).

Obvody základny je součet stran:

\(o = 3 + 4 + 5 = 12\,dm\).

Boční plochy jsou obdélníky o rozměrech výška hranolu 10 dm a stranách základny:

\(P_{bočních\,stěn} = o \times výška = 12 \times 10 = 120\,dm^2\).

Celkový povrch je tedy:

\(S = 2 \times 6 + 120 = 12 + 120 = 132\,dm^2\).

Převod na centimetry čtvereční (1 dm² = 100 cm²):

\(132\,dm^2 = 132 \times 100 = 13\,200\,cm^2\).

Objem hranolu je obsah základny krát výška:

\(V = S_{základny} \times výška = 6 \times 10 = 60\,dm^3\).

Převod na litry (1 dm³ = 1 litr):

\(V = 60\,l\).

Odpověď: Povrch hranolu je 13 200 cm² a objem je 60 litrů.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme objem válce:

Poloměr je polovina průměru:

\(r = \frac{10}{2} = 5\,cm\).

Objem válce \(V = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 50 = \pi \times 25 \times 50 = \pi \times 1250 \approx 3{,}1416 \times 1250 = 3926{,}99\,cm^3\).

Hustota železa je \(7{,}8\,g/cm^3\), takže hmotnost je:

\(m = V \times \rho = 3926{,}99 \times 7{,}8 = 30\,636{,}32\,g\).

Převod na kilogramy:

\(m = \frac{30\,636{,}32}{1000} = 30{,}64\,kg\).

Odpověď: Válcová železná hmota váží přibližně 30,64 kg.

Řešení příkladu:

Objem krychle je dán vzorcem:

\(V = a^3\), kde \(a = 60\,cm\).

Nejprve převedeme délku hrany na decimetry:

\(60\,cm = 6\,dm\).

Objem v dm³:

\(V = 6^3 = 216\,dm^3\).

Objem v litrech (1 dm³ = 1 l):

\(V = 216\,l\).

Povrch krychle je dán vzorcem:

\(S = 6a^2\).

Povrch v cm²:

\(S = 6 \times 60^2 = 6 \times 3600 = 21\,600\,cm^2\).

Převod na dm² (1 dm² = 100 cm²):

\(S = \frac{21\,600}{100} = 216\,dm^2\).

Odpověď: Objem akvária je 216 litrů a povrchová plocha je 216 dm².

Řešení příkladu:

Obsah obdélníku \(S = a \times b\), kde \(a = 7{,}5\,m\), \(b = 5{,}4\,m\).

\(S = 7{,}5 \times 5{,}4 = 40{,}5\,m^2\).

Převod na centimetry čtvereční (1 m² = 10 000 cm²):

\(S = 40{,}5 \times 10\,000 = 405\,000\,cm^2\).

Převod na decimetry čtvereční (1 m² = 100 dm²):

\(S = 40{,}5 \times 100 = 4\,050\,dm^2\).

Odpověď: Obsah podlahy je 40,5 m², což odpovídá 405 000 cm² nebo 4 050 dm².

Řešení příkladu:

Kinetická energie těsně před dopadem je dána vzorcem:

\(E_k = mgh\), kde \(m\) je hmotnost, \(g\) gravitační zrychlení a \(h\) výška.

Vyjádříme \(h\):

\(h = \frac{E_k}{mg} = \frac{1000}{2 \times 9{,}81} = \frac{1000}{19{,}62} \approx 50{,}97\,m\).

Odpověď: Kámen musí spadnout z výšky přibližně 50,97 metru.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme povrch válce. Povrch se skládá ze dvou kruhů a boční plochy:

\(S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h\).

Poloměr je polovina průměru:

\(r = \frac{30}{2} = 15\,cm = 1{,}5\,dm\).

Výška válce je \(h = 80\,cm = 8\,dm\).

Obsah jedné základny:

\(\pi r^2 = \pi \times (1{,}5)^2 = \pi \times 2{,}25 \approx 7{,}0686\,dm^2\).

Plocha dvou základů:

\(2 \times 7{,}0686 = 14{,}1372\,dm^2\).

Boční plocha:

\(2 \pi r h = 2 \times \pi \times 1{,}5 \times 8 = 2 \times 3{,}1416 \times 1{,}5 \times 8 = 75{,}4\,dm^2\).

Celkový povrch:

\(S = 14{,}1372 + 75{,}4 = 89{,}5372\,dm^2\).

Objem válce:

\(V = \pi r^2 h = 7{,}0686 \times 8 = 56{,}5488\,dm^3 = 56{,}5488\,l\).

Odpověď: Povrch válce je přibližně 89,54 dm² a objem 56,55 litrů.

Řešení příkladu:

Podle Pythagorovy věty platí pro pravoúhlý trojúhelník:

\(d^2 = a^2 + b^2\), kde \(d\) je délka úhlopříčky, \(a\) a \(b\) jsou délky stran.

Vyjádříme délku místnosti \(a\):

\(a = \sqrt{d^2 – b^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,m\).

Odpověď: Délka místnosti je 12 metrů.

Řešení příkladu:

Objem velké krychle o hraně 1 m je:

\(V_{velká} = 1^3 = 1\,m^3 = 1\,000\,000\,cm^3\) (protože \(1\,m = 100\,cm\), takže \(1\,m^3 = 100^3 = 1\,000\,000\,cm^3\)).

Objem malé krychle o hraně 4 cm je:

\(V_{malá} = 4^3 = 64\,cm^3\).

Počet malých krychlí, které lze sestavit z velké, je:

\(\frac{V_{velká}}{V_{malá}} = \frac{1\,000\,000}{64} = 15\,625\).

Odpověď: Z kostky o hraně 1 metr lze sestavit 15 625 krychlí o hraně 4 cm.