Trojúhelník, věty sss, sus, usu,Ssu

Řešení příkladu:

Máme zadány všechny tři strany trojúhelníku. Použijeme větu SSS (strana-strana-strana).

1. Narýsujeme úsečku \( AB = 6 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme délku \( AC = 7 \, \text{cm} \), zabodneme do bodu A a opíšeme kružnici.

3. Do kružítka vezmeme délku \( BC = 5 \, \text{cm} \), zabodneme do bodu B a opíšeme kružnici.

4. Průsečík obou kružnic označíme jako bod C.

5. Spojíme body C s A a C s B. Získáme trojúhelník ABC.

Podmínky trojúhelníkové nerovnosti jsou splněny:

\( 6 + 5 > 7 \), \( 5 + 7 > 6 \), \( 6 + 7 > 5 \Rightarrow \) trojúhelník lze sestrojit.

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a úhel mezi nimi. Použijeme větu SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( XY = 8 \, \text{cm} \).

2. V bodě Y narýsujeme úhel \( 60^\circ \).

3. Na rameno úhlu od bodu Y naneseme délku \( YZ = 6 \, \text{cm} \) a označíme bod Z.

4. Spojíme body Z a X a máme trojúhelník XYZ.

Využili jsme větu SUS: dvě strany a úhel mezi nimi určují jednoznačně trojúhelník.

Řešení příkladu:

Známe dvě úhly a stranu mezi nimi. Použijeme větu USU.

1. Spočítáme třetí úhel: \( \angle KML = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ \).

2. Narýsujeme úsečku \( KL = 5 \, \text{cm} \).

3. V bodě K narýsujeme úhel \( 70^\circ \), v bodě L úhel \( 40^\circ \).

4. Průsečík obou ramen označíme jako bod M.

5. Spojíme body M s K a M s L a máme hotový trojúhelník KLM.

Využili jsme větu USU: úhel–strana–úhel určují trojúhelník jednoznačně.

Řešení příkladu:

Jsou dány dvě strany a úhel, který není mezi nimi. Použijeme větu SSU.

1. Narýsujeme úsečku \( PR = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě R narýsujeme úhel \( 50^\circ \).

3. Do kružítka vezmeme délku \( PQ = 7 \, \text{cm} \), zabodneme do bodu P a opíšeme kružnici.

4. Průsečík ramene úhlu a kružnice označíme jako bod Q.

5. Spojíme body Q s P a Q s R.

Podle věty SSU existují dvě možnosti trojúhelníku – záleží, kde se kružnice protne s ramenem úhlu. Získáme buď jeden nebo dva různé trojúhelníky.

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a pravý úhel mezi nimi. Použijeme větu SUS, protože pravý úhel je mezi dvěma stranami.

1. Narýsujeme úsečku \( AB = 4 \, \text{cm} \).

2. V bodě A narýsujeme pravý úhel a na jeho rameno naneseme délku \( AC = 3 \, \text{cm} \). Označíme bod C.

3. Spojíme body C a B.

Dostali jsme pravoúhlý trojúhelník ABC se dvěma zadanými odvěsnami.

Řešení příkladu:

Všechny strany jsou stejně dlouhé. Použijeme větu SSS.

1. Narýsujeme úsečku \( DE = 6 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme délku 6 cm a opíšeme kružnice z bodů D a E.

3. Jejich průsečík je bod F.

4. Spojíme F s D a F s E.

Dostaneme rovnostranný trojúhelník, všechny úhly budou \( 60^\circ \).

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a úhel, který není mezi nimi. Použijeme větu SSU.

1. Narýsujeme úsečku \( HI = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě I narýsujeme úhel \( 30^\circ \).

3. Do kružítka vezmeme délku \( GH = 4 \, \text{cm} \), zabodneme do bodu G a hledáme průsečík.

4. Může vzniknout jeden, dva nebo žádný trojúhelník podle polohy ramene úhlu.

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a pravý úhel. Použijeme větu SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( KL = 4 \, \text{cm} \).

2. V bodě L narýsujeme pravý úhel.

3. Na rameno úhlu naneseme délku \( JL = 5 \, \text{cm} \).

4. Spojíme body J a K.

Řešení příkladu:

Známe dvě úhly a jednu stranu mezi nimi – věta USU.

1. Spočítáme třetí úhel: \( \angle O = 180^\circ – 80^\circ – 50^\circ = 50^\circ \).

2. Narýsujeme úsečku \( MN = 3 \, \text{cm} \).

3. V bodě M narýsujeme úhel \( 80^\circ \), v bodě N úhel \( 50^\circ \).

4. Průsečík ramen je bod O. Spojíme a máme trojúhelník.

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a úhel mezi nimi – věta SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( RS = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě S narýsujeme úhel \( 100^\circ \).

3. Na rameno úhlu naneseme délku \( ST = 4 \, \text{cm} \).

4. Spojíme bod T s R.

Řešení příkladu:

Máme zadány všechny tři strany, použijeme větu SSS.

1. Narýsujeme úsečku \( AB = 7 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme délku \( AC = 8 \, \text{cm} \), zabodneme do A a opíšeme kružnici.

3. Do kružítka vezmeme délku \( BC = 6 \, \text{cm} \), zabodneme do B a opíšeme kružnici.

4. Průsečík je bod C. Spojíme C s A a C s B.

Ověříme, zda platí Pythagorova věta: \( 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 \), \( 8^2 = 64 \Rightarrow \) neplatí. Trojúhelník není pravoúhlý.

Řešení příkladu:

Známe dvě strany a úhel, který není mezi nimi. Použijeme větu SSU.

1. Narýsujeme úsečku \( KL = 6 \, \text{cm} \).

2. V bodě L narýsujeme úhel \( 45^\circ \).

3. Na rameno úhlu naneseme délku \( LM = 4 \, \text{cm} \), získáme bod M.

4. Spojíme bod M s K.

Změříme úhel \( \angle LKM \) a \( \angle KML \), dopočítáme třetí: \( 180^\circ – \angle KML – \angle LKM \).

Řešení příkladu:

Věta SSU – dvě strany a úhel, který není mezi nimi.

1. Narýsujeme úsečku \( XY = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě X narýsujeme úhel \( 80^\circ \).

3. Na rameno úhlu naneseme \( YZ = 7 \, \text{cm} \) a označíme bod Z.

4. Spojíme Z s Y a Z s X. Máme trojúhelník XYZ.

Řešení příkladu:

Máme tři úhly stejné velikosti, každý \( 60^\circ \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

1. Narýsujeme úsečku \( AB = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě A narýsujeme úhel \( 60^\circ \), v bodě B také \( 60^\circ \).

3. Průsečík ramen úhlů je bod C. Spojíme C s A a C s B.

Každá strana má \( 5 \, \text{cm} \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

Řešení příkladu:

Máme dvě úhly a stranu mezi nimi – věta USU.

1. Dopočítáme třetí úhel: \( 180^\circ – 30^\circ – 60^\circ = 90^\circ \).

2. Narýsujeme úsečku \( DE = 7 \, \text{cm} \).

3. V bodě D narýsujeme úhel \( 30^\circ \), v bodě E úhel \( 60^\circ \).

4. Jejich průsečík je bod F. Spojíme ho s D a E.

Řešení příkladu:

Použijeme větu SSS, známe všechny strany.

1. Narýsujeme základnu \( GI = 5 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme \( GH = 6 \, \text{cm} \), z bodu G opíšeme kružnici.

3. Stejně uděláme z bodu I.

4. Průsečík je bod H. Spojíme ho s G a I.

Trojuhelník má dvě shodná ramena, tedy je rovnoramenný.

Řešení příkladu:

Jedná se o pravoúhlý trojúhelník, použijeme větu SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( JK = 3 \, \text{cm} \).

2. V bodě K narýsujeme pravý úhel a na jeho rameno naneseme \( 4 \, \text{cm} \), bod L.

3. Spojíme body J a L.

Zkontrolujeme přeponu: \( JL = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Máme dvě úhly a stranu mezi nimi – věta USU.

1. Spočítáme \( \angle N = 180^\circ – 40^\circ – 65^\circ = 75^\circ \).

2. Narýsujeme úsečku \( MO = 5 \, \text{cm} \).

3. V bodě M narýsujeme úhel \( 65^\circ \), v bodě O úhel \( 40^\circ \).

4. Průsečík je bod N. Spojíme ho s M a O.

Řešení příkladu:

Použijeme větu SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( QR = 7 \, \text{cm} \).

2. V bodě Q narýsujeme úhel \( 120^\circ \).

3. Na rameno úhlu naneseme \( PQ = 6 \, \text{cm} \), bod P.

4. Spojíme P a R.

Řešení příkladu:

Věta USU – dvě úhly a strana mezi nimi.

1. Spočítáme třetí úhel: \( \angle U = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ \).

2. Narýsujeme úsečku \( ST = 5 \, \text{cm} \).

3. V bodě S narýsujeme pravý úhel, v bodě T úhel \( 45^\circ \).

4. Průsečík ramen je bod U. Spojíme ho se S a T.

Řešení příkladu:

Máme všechny tři strany, použijeme větu SSS.

1. Narýsujeme stranu \( AB = 8 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme délku \( AC = 6 \, \text{cm} \), z bodu A opíšeme kružnici.

3. Do kružítka vezmeme délku \( BC = 5 \, \text{cm} \), z bodu B opíšeme kružnici.

4. Průsečík je bod C. Spojíme A s C a B s C.

Ověříme typ trojúhelníku pomocí kosinové věty:

\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \Rightarrow \cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \)

\( \cos \angle C = \frac{6^2 + 5^2 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36 + 25 – 64}{60} = \frac{-3}{60} = -0{,}05 \Rightarrow \angle C > 90^\circ \)

Trojúhelník je tupouhlý.

Řešení příkladu:

Použijeme větu SUS.

1. Narýsujeme úsečku \( XY = 9 \, \text{cm} \).

2. V bodě Y narýsujeme úhel \( 110^\circ \).

3. Na rameno úhlu naneseme délku \( YZ = 7 \, \text{cm} \), získáme bod Z.

4. Spojíme X s Z a změříme jeho délku (pomocí měřítka nebo konstrukcí).

Využijeme kosinovou větu k výpočtu:

\( x^2 = 9^2 + 7^2 – 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot \cos 110^\circ \Rightarrow x^2 = 81 + 49 – 126 \cdot (-0{,}342) \)

\( x^2 = 130 + 43{,}1 = 173{,}1 \Rightarrow x \approx \sqrt{173{,}1} \approx 13{,}15 \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Dvě strany jsou shodné \( AB = AC \Rightarrow \) trojúhelník je rovnoramenný.

1. Narýsujeme základnu \( BC = 6 \, \text{cm} \).

2. Do kružítka vezmeme délku 5 cm a opíšeme kružnici z bodu B.

3. Totéž z bodu C.

4. Průsečík je bod A. Spojíme A s B a A s C.

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel: \( \angle F = 180^\circ – 70^\circ – 60^\circ = 50^\circ \).

1. Narýsujeme úsečku \( DE = 6 \, \text{cm} \).

2. V bodě D narýsujeme úhel \( 70^\circ \), v bodě E úhel \( 60^\circ \).

3. Průsečík je bod F. Spojíme F s D a E.

Délku \( DF \) změříme pravítkem nebo vypočteme pomocí sinové věty.

Řešení příkladu:

Všechny strany jsou stejné \( \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

1. Narýsujeme stranu \( GH = 6 \, \text{cm} \).

2. Z bodů G a H opíšeme kružnice s poloměrem 6 cm.

3. Průsečík je bod I. Spojíme G s I a H s I.

Všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku jsou \( 60^\circ \).

Řešení příkladu:

Pravý úhel je v bodě J.

1. Narýsujeme úsečku \( JL = 5 \, \text{cm} \).

2. V bodě J narýsujeme pravý úhel a na rameno naneseme \( KL = 7 \, \text{cm} \), získáme bod K.

3. Spojíme K a L.

Pomocí Pythagorovy věty: \( JK^2 = KL^2 – JL^2 = 49 – 25 = 24 \Rightarrow JK = \sqrt{24} \approx 4{,}9 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel: \( \angle O = 180^\circ – 45^\circ – 75^\circ = 60^\circ \).

1. Narýsujeme úsečku \( NO = 8 \, \text{cm} \).

2. V bodě N narýsujeme úhel \( 45^\circ \), v bodě O úhel \( 60^\circ \).

3. Průsečík je bod M. Spojíme M s N a M s O.

Všechny úhly jsou menší než \( 90^\circ \Rightarrow \) trojúhelník je ostrouhlý.

Řešení příkladu:

\( \angle R = 180^\circ – 40^\circ – 100^\circ = 40^\circ \Rightarrow \) trojúhelník má dva stejné úhly, je rovnoramenný.

1. Narýsujeme úsečku \( PQ = 6 \, \text{cm} \).

2. V bodě P narýsujeme úhel \( 40^\circ \), v bodě Q úhel \( 100^\circ \).

3. Průsečík je bod R. Spojíme ho s P a Q.

Délku \( PR \) a \( QR \) změříme pravítkem – měly by být shodné.

Řešení příkladu:

\( \angle S = 180^\circ – 30^\circ – 90^\circ = 60^\circ \Rightarrow \) trojúhelník je pravoúhlý.

1. Narýsujeme úsečku \( ST = 10 \, \text{cm} \).

2. V bodě T narýsujeme úhel \( 30^\circ \), v bodě U pravý úhel.

3. Konstrukcí získáme bod U. Spojíme S s U a T s U.

Řešení příkladu:

Ověříme trojúhelníkovou nerovnost:

\( 7 + 6 = 13 > 9 \), \( 7 + 9 = 16 > 6 \), \( 6 + 9 = 15 > 7 \Rightarrow \) všechny podmínky platí.

1. Narýsujeme úsečku \( VW = 7 \, \text{cm} \).

2. Z bodu V kružnice s poloměrem 9 cm, z bodu W s poloměrem 6 cm.

3. Průsečík je bod X. Spojíme V s X a W s X.

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu, protože známe dvě strany a úhel mezi nimi:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \)

\( BC^2 = 7^2 + 9^2 – 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 81 – 126 \cdot 0{,}5 = 130 – 63 = 67 \)

\( BC = \sqrt{67} \approx 8{,}19 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( DF^2 = DE^2 + EF^2 – 2 \cdot DE \cdot EF \cdot \cos \angle E \)

\( DF^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 64 + 36 – 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100 – 96 \cdot 0{,}707 \approx 100 – 67{,}87 = 32{,}13 \)

\( DF = \sqrt{32{,}13} \approx 5{,}67 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve dopočítáme třetí úhel:

\( \angle I = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{GH}{\sin \angle I} = \frac{HI}{\sin \angle G} = \frac{GI}{\sin \angle H} \Rightarrow \)

\( \frac{10}{\sin 70^\circ} = \frac{HI}{\sin 50^\circ} = \frac{GI}{\sin 60^\circ} \).

Vypočítáme hodnotu \( \frac{10}{\sin 70^\circ} \):

\( \sin 70^\circ \approx 0{,}94 \Rightarrow \frac{10}{0{,}94} \approx 10{,}64 \).

Vypočteme délky stran:

\( HI = 10{,}64 \cdot \sin 50^\circ \approx 10{,}64 \cdot 0{,}77 = 8{,}19 \, \text{cm} \)

\( GI = 10{,}64 \cdot \sin 60^\circ \approx 10{,}64 \cdot 0{,}87 = 9{,}26 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( JL^2 = JK^2 + KL^2 – 2 \cdot JK \cdot KL \cdot \cos \angle J \)

\( JL^2 = 12^2 + 9^2 – 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 45^\circ = 144 + 81 – 216 \cdot 0{,}707 = 225 – 152{,}7 = 72{,}3 \)

\( JL = \sqrt{72{,}3} \approx 8{,}5 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle O = 180^\circ – 30^\circ – 60^\circ = 90^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{MN}{\sin \angle O} = \frac{NO}{\sin \angle M} \Rightarrow NO = \frac{MN \cdot \sin \angle M}{\sin \angle O} \)

\( NO = \frac{15 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 90^\circ} = 15 \cdot 0{,}87 = 13{,}0 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( PR^2 = PQ^2 + QR^2 – 2 \cdot PQ \cdot QR \cdot \cos \angle P \)

\( PR^2 = 10^2 + 7^2 – 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 49 – 140 \cdot (-0{,}5) = 149 + 70 = 219 \)

\( PR = \sqrt{219} \approx 14{,}8 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle U = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{SU}{\sin \angle T} = \frac{TU}{\sin \angle S} \Rightarrow TU = \frac{SU \cdot \sin \angle S}{\sin \angle T} \)

\( TU = \frac{11 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{11 \cdot 0{,}77}{0{,}87} \approx \frac{8{,}47}{0{,}87} = 9{,}74 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( VX^2 = VW^2 + WX^2 – 2 \cdot VW \cdot WX \cdot \cos \angle W \)

\( VX^2 = 13^2 + 14^2 – 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos 105^\circ = 169 + 196 – 364 \cdot (-0{,}26) = 365 + 94{,}64 = 459{,}64 \)

\( VX = \sqrt{459{,}64} \approx 21{,}45 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle A = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{YA}{\sin \angle Z} = \frac{ZA}{\sin \angle Y} \Rightarrow ZA = \frac{YA \cdot \sin \angle Y}{\sin \angle Z} \)

\( ZA = \frac{9 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{9 \cdot 0{,}64}{0{,}94} \approx \frac{5{,}76}{0{,}94} = 6{,}13 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Protože je úhel \( \angle BCD = 90^\circ \), jedná se o pravoúhlý trojúhelník, kde \( BD \) je přepona:

\( BD^2 = BC^2 + CD^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \)

\( BD = \sqrt{74} \approx 8{,}6 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( EG^2 = EF^2 + FG^2 – 2 \cdot EF \cdot FG \cdot \cos \angle E \)

\( EG^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 75^\circ = 64 + 36 – 96 \cdot 0{,}2588 = 100 – 24{,}86 = 75{,}14 \)

\( EG = \sqrt{75{,}14} \approx 8{,}67 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle H = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{HI}{\sin \angle J} = \frac{IJ}{\sin \angle H} \Rightarrow IJ = \frac{HI \cdot \sin \angle H}{\sin \angle J} \)

\( IJ = \frac{14 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ} = 14 \, \text{cm} \).

Zde vidíme, že \( IJ = HI \), protože úhly jsou stejné.

Řešení příkladu:

Kosinová věta:

\( KM^2 = KL^2 + LM^2 – 2 \cdot KL \cdot LM \cdot \cos \angle L \)

\( KM^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos 110^\circ = 81 + 144 – 216 \cdot (-0{,}3420) = 225 + 73{,}87 = 298{,}87 \)

\( KM = \sqrt{298{,}87} \approx 17{,}29 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle N = 180^\circ – 55^\circ – 65^\circ = 60^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{NO}{\sin \angle P} = \frac{OP}{\sin \angle N} \Rightarrow OP = \frac{NO \cdot \sin \angle N}{\sin \angle P} \)

\( OP = \frac{16 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 65^\circ} = \frac{16 \cdot 0{,}8660}{0{,}9063} = \frac{13{,}86}{0{,}9063} \approx 15{,}29 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Pravoúhlý trojúhelník:

\( QS^2 = QR^2 + RS^2 = 11^2 + 14^2 = 121 + 196 = 317 \)

\( QS = \sqrt{317} \approx 17{,}8 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle V = 180^\circ – 35^\circ – 75^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{TU}{\sin \angle V} = \frac{UV}{\sin \angle T} \Rightarrow UV = \frac{TU \cdot \sin \angle T}{\sin \angle V} \)

\( UV = \frac{10 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}574}{0{,}940} = \frac{5{,}74}{0{,}94} \approx 6{,}11 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Kosinová věta:

\( WY^2 = WX^2 + XY^2 – 2 \cdot WX \cdot XY \cdot \cos \angle X \)

\( WY^2 = 12^2 + 9^2 – 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ = 144 + 81 – 216 \cdot 0{,}5 = 225 – 108 = 117 \)

\( WY = \sqrt{117} \approx 10{,}82 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Kosinová věta:

\( YA^2 = YZ^2 + ZA^2 – 2 \cdot YZ \cdot ZA \cdot \cos \angle Z \)

\( YA^2 = 10^2 + 8^2 – 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 80^\circ = 100 + 64 – 160 \cdot 0{,}1736 = 164 – 27{,}78 = 136{,}22 \)

\( YA = \sqrt{136{,}22} \approx 11{,}67 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle D = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{BD}{\sin \angle C} = \frac{CD}{\sin \angle B} \Rightarrow CD = \frac{BD \cdot \sin \angle B}{\sin \angle C} \)

\( CD = \frac{7 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{7 \cdot 0{,}7660}{0{,}8660} = \frac{5{,}36}{0{,}8660} \approx 6{,}19 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Kosinová věta:

\( EG^2 = EF^2 + FG^2 – 2 \cdot EF \cdot FG \cdot \cos \angle E \)

\( EG^2 = 13^2 + 14^2 – 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ = 169 + 196 – 364 \cdot (-0{,}5) = 365 + 182 = 547 \)

\( EG = \sqrt{547} \approx 23{,}39 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \)

\( BC^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 45^\circ = 49 + 100 – 140 \cdot 0{,}7071 = 149 – 98{,}99 = 50{,}01 \)

\( BC = \sqrt{50{,}01} \approx 7{,}07 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle F = 180^\circ – 30^\circ – 75^\circ = 75^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{DE}{\sin \angle F} = \frac{EF}{\sin \angle D} \Rightarrow EF = \frac{DE \cdot \sin \angle D}{\sin \angle F} \)

\( EF = \frac{9 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{0{,}9659} = \frac{4{,}5}{0{,}9659} \approx 4{,}66 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( GI^2 = GH^2 + HI^2 – 2 \cdot GH \cdot HI \cdot \cos \angle H \)

\( GI^2 = 5^2 + 8^2 – 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 25 + 64 – 80 \cdot (-0{,}5) = 89 + 40 = 129 \)

\( GI = \sqrt{129} \approx 11{,}36 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle L = 180^\circ – 50^\circ – 60^\circ = 70^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{JK}{\sin \angle L} = \frac{KL}{\sin \angle J} \Rightarrow KL = \frac{JK \cdot \sin \angle J}{\sin \angle L} \)

\( KL = \frac{12 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{12 \cdot 0{,}7660}{0{,}9397} = \frac{9{,}192}{0{,}9397} \approx 9{,}78 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( MO^2 = MN^2 + NO^2 – 2 \cdot MN \cdot NO \cdot \cos \angle N \)

\( MO^2 = 15^2 + 9^2 – 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos 135^\circ = 225 + 81 – 270 \cdot (-0{,}7071) = 306 + 190{,}92 = 496{,}92 \)

\( MO = \sqrt{496{,}92} \approx 22{,}29 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle R = 180^\circ – 55^\circ – 65^\circ = 60^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{PQ}{\sin \angle R} = \frac{QR}{\sin \angle P} \Rightarrow QR = \frac{PQ \cdot \sin \angle P}{\sin \angle R} \)

\( QR = \frac{11 \cdot \sin 55^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{11 \cdot 0{,}8192}{0{,}8660} = \frac{9{,}011}{0{,}8660} \approx 10{,}40 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( SU^2 = ST^2 + TU^2 – 2 \cdot ST \cdot TU \cdot \cos \angle T \)

\( SU^2 = 13^2 + 14^2 – 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos 100^\circ = 169 + 196 – 364 \cdot (-0{,}1736) = 365 + 63{,}21 = 428{,}21 \)

\( SU = \sqrt{428{,}21} \approx 20{,}70 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Dopočítáme třetí úhel:

\( \angle X = 180^\circ – 40^\circ – 75^\circ = 65^\circ \).

Použijeme sinovou větu:

\( \frac{VW}{\sin \angle X} = \frac{WX}{\sin \angle V} \Rightarrow WX = \frac{VW \cdot \sin \angle V}{\sin \angle X} \)

\( WX = \frac{10 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 65^\circ} = \frac{10 \cdot 0{,}6428}{0{,}9063} = \frac{6{,}428}{0{,}9063} \approx 7{,}09 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( YA^2 = YZ^2 + ZA^2 – 2 \cdot YZ \cdot ZA \cdot \cos \angle Z \)

\( YA^2 = 6^2 + 8^2 – 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 110^\circ = 36 + 64 – 96 \cdot (-0{,}3420) = 100 + 32{,}83 = 132{,}83 \)

\( YA = \sqrt{132{,}83} \approx 11{,}52 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Použijeme kosinovou větu:

\( BD^2 = BC^2 + CD^2 – 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle C \)

\( BD^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos 95^\circ = 81 + 144 – 216 \cdot (-0{,}0872) = 225 + 18{,}85 = 243{,}85 \)

\( BD = \sqrt{243{,}85} \approx 15{,}62 \, \text{cm} \).