Slovní úlohy na počítání se zlomky

Řešení příkladu:

Nejprve sečteme části knihy, které Pavel přečetl:

\( \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \)

Najdeme společného jmenovatele: nejmenší společný násobek 5 a 4 je 20.

\( \frac{2}{5} = \frac{8}{20}, \quad \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \Rightarrow \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} \)

Pavel přečetl \( \frac{13}{20} \) knihy. Zbytek je:

\( 1 – \frac{13}{20} = \frac{20}{20} – \frac{13}{20} = \frac{7}{20} \)

Odpověď: Pavelovi zbývá přečíst \( \frac{7}{20} \) knihy.

Řešení příkladu:

Sečteme podíly práce za jeden den:

\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \)

Najdeme společného jmenovatele. Nejmenší společný násobek 3, 4 a 6 je 12.

\( \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{2}{12} \)

Součet: \( \frac{4 + 3 + 2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

Odpověď: Dělníci společně opraví \( \frac{3}{4} \) silnice za jeden den.

Řešení příkladu:

Sestra snědla: \( \frac{3}{8} – \frac{1}{8} = \frac{2}{8} \)

Celkem snědli: \( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \)

Zbylo: \( 1 – \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

Odpověď: Z dortu zbylo \( \frac{3}{8} \).

Řešení příkladu:

Každé balení má \( \frac{3}{4} \) kg. Potřebujeme zjistit počet balení \( x \), pro které:

\( \frac{3}{4} \cdot x \geq 6 \)

Vynásobíme obě strany 4:

\( 3x \geq 24 \Rightarrow x \geq 8 \)

Odpověď: Potřebujeme alespoň 8 balení.

Řešení příkladu:

Odpoledne ušla: \( 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

Vzdálenost: \( \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \) km

Odpověď: Odpoledne ušla 4 km.

Řešení příkladu:

Najdeme společného jmenovatele: 12.

\( \frac{1}{6} = \frac{2}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \)

Součet: \( \frac{2 + 4 + 3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

Zbytek: \( 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

Odpověď: Zbyla čtvrtina pizzy.

Řešení příkladu:

Vezmeme \( \frac{1}{4} \) z \( \frac{5}{6} \):

\( \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{24} \)

Zbývá: \( \frac{5}{6} – \frac{5}{24} \)

\( \frac{5}{6} = \frac{20}{24} \Rightarrow \frac{20}{24} – \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \)

Odpověď: Zůstalo \( \frac{5}{8} \) sklenice.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme na společného jmenovatele: 12.

\( \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \Rightarrow \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)

Odpověď: Eva snědla 7 dílů z 12.

Řešení příkladu:

Zbývající část: \( 1 – \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)

Za jednu hodinu: \( \frac{3}{8} \div 5 = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{40} \)

Odpověď: Za jednu hodinu udělá \( \frac{3}{40} \) úkolu.

Řešení příkladu:

Počet vyřešených úloh: \( \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 \)

Zbývá: \( 20 – 12 = 8 \)

Odpověď: Zbývá dokončit 8 úloh.

Řešení příkladu:

Za první den přečetla \( \frac{3}{8} \) knihy.

Za druhý den přečetla: \( \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \).

Celkem přečetla: \( \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

\( \Rightarrow \) Petra přečetla celou knihu. Nezbývá jí nic dočítat.

Řešení příkladu:

Celková délka látky: \( \frac{9}{5} \) m.

Spotřeba: \( \frac{4}{5} + \frac{6}{5} = \frac{10}{5} = 2 \) m.

\( \frac{9}{5} – 2 = \frac{9}{5} – \frac{10}{5} = -\frac{1}{5} \).

\( \Rightarrow \) Eva nemá látku – chybí jí \( \frac{1}{5} \) metru.

Řešení příkladu:

Zbytek dortu je \( 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \).

Každý žák dostal: \( \frac{1}{3} : 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \).

\( \Rightarrow \) Každý žák dostal \( \frac{1}{18} \) dortu.

Řešení příkladu:

Celkem ušla: \( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} \).

Zbývá jí: \( 1 – \frac{5}{7} = \frac{2}{7} \).

\( \Rightarrow \) Klára musí ujít ještě \( \frac{2}{7} \) cesty.

Řešení příkladu:

Zaplaceno: \( \frac{5}{6} \), zbývá: \( 1 – \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).

\( \frac{1}{6} \cdot 100 = 16{,}67 \% \).

\( \Rightarrow \) Zákazník musí doplatit \( 16{,}67 \% \) z ceny.

Řešení příkladu:

Dopoledne: \( \frac{3}{5} \), odpoledne: \( \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).

Celkem přes den: \( \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).

Zbývá večer: \( 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \).

\( \Rightarrow \) Večer dokončil \( \frac{1}{5} \) úkolu.

Řešení příkladu:

Musíme sečíst \( \frac{3}{4} + \frac{5}{8} \).

\( \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \Rightarrow \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} \).

\( \Rightarrow \) Maminka koupila \( 1 \frac{3}{8} \) kg ovoce.

Řešení příkladu:

V nádrži: \( \frac{5}{6} \).

Odčerpáno: \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \).

Zbývá: \( \frac{5}{6} – \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

\( \Rightarrow \) V nádrži zůstane \( \frac{1}{2} \) jejího objemu vody.

Řešení příkladu:

Jana: \( \frac{2}{5} \), bratr: \( 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \).

Celkem snědli: \( \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5} \).

\( \Rightarrow \) Snědli víc než jeden koláč – o \( \frac{1}{5} \) více.

Řešení příkladu:

Celková spotřeba: \( 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \) m.

Zbývá: \( 1 – \frac{6}{7} = \frac{1}{7} \) m.

\( \Rightarrow \) Zbyla \( \frac{1}{7} \) metru látky.

Řešení příkladu:

Celkový objem vody označíme jako 1 (tedy 100 %). Odečítáme po jednotlivých dnech:

První den: \( \frac{2}{7} \)

Druhý den: \( \frac{3}{14} \)

Třetí den: dvojnásobek první, tj. \( 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \)

Vyjádříme všechny zlomky se společným jmenovatelem 14:

\( \frac{2}{7} = \frac{4}{14} \), \( \frac{4}{7} = \frac{8}{14} \)

Sečteme: \( \frac{4}{14} + \frac{3}{14} + \frac{8}{14} = \frac{15}{14} \)

To je více než 1: zásobník byl vyprázdněn a chybí \( \frac{1}{14} \) vody.

\( \Rightarrow \) Zásobník byl zcela vyčerpán a nestačil pokrýt potřebu, chybělo \( \frac{1}{14} \) objemu.

Řešení příkladu:

Celkové množství písku je \( \frac{5}{6} \) tuny. Vypočteme, kolik odvezly oba vozy:

První vůz: \( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \) tuny

Druhý vůz: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{18} \) tuny

Celkem: \( \frac{1}{3} + \frac{5}{18} = \frac{6}{18} + \frac{5}{18} = \frac{11}{18} \)

Zůstává: \( \frac{5}{6} – \frac{11}{18} = \frac{15}{18} – \frac{11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \) tuny

\( \Rightarrow \) V bedně zůstalo \( \frac{2}{9} \) tuny písku.

Řešení příkladu:

Odjelo: \( \frac{1}{3} \cdot 48 = 16 \) studentů

Zůstalo: \( 48 – 16 = 32 \)

Na přednášku: \( \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \)

Do knihovny: \( 32 – 8 = 24 \)

\( \Rightarrow \) Do knihovny šlo 24 studentů.

Řešení příkladu:

První den: \( \frac{3}{10} \)

Zbývá: \( 1 – \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)

Druhý den: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{20} \)

Třetí den: \( \frac{7}{10} – \frac{7}{20} = \frac{14}{20} – \frac{7}{20} = \frac{7}{20} \)

\( \Rightarrow \) Jana přečetla: 1. den \( \frac{3}{10} \), 2. den \( \frac{7}{20} \), 3. den \( \frac{7}{20} \)

Řešení příkladu:

První: \( \frac{1}{5} \)

Druhý: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \)

Součet: \( \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Třetí: \( 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

\( \Rightarrow \) Třetí dělník odvedl polovinu práce.

Řešení příkladu:

Celková kapacita nádrže je označena jako 1. Olej v nádrži na začátku je \( \frac{3}{4} \).

Za první hodinu spotřeboval \( \frac{1}{5} \) z množství, které měl v nádrži, tedy:

\( \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \).

Po první hodině zůstalo v nádrži:

\( \frac{3}{4} – \frac{3}{20} = \frac{15}{20} – \frac{3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \).

Za druhou hodinu spotřeboval polovinu z toho, co mu zůstalo, tedy:

\( \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \).

Po druhé hodině zůstalo v nádrži:

\( \frac{3}{5} – \frac{3}{10} = \frac{6}{10} – \frac{3}{10} = \frac{3}{10} \).

Tedy po druhé hodině zůstalo v nádrži \( \frac{3}{10} \) oleje.

\( \Rightarrow \) Celý postup ukazuje, jak postupně odečítáme spotřebované množství od původního stavu, přičemž každá operace pracuje s aktuálním množstvím oleje v nádrži.

Řešení příkladu:

Celkový počet stromů je 96.

Stromů obsypaných jablky je \( \frac{7}{8} \times 96 = 84 \).

Polovina těchto stromů byla poškozena škůdci, tedy:

\( \frac{1}{2} \times 84 = 42 \).

Ne poškozených stromů je tedy:

\( 84 – 42 = 42 \).

\( \Rightarrow \) Celkový počet nepoškozených stromů, které nesou jablka, je 42.

Je důležité si uvědomit, že pouze stromy obsypané jablky jsou zvažovány, protože ostatní nejsou relevantní pro tuto otázku.

Řešení příkladu:

Celková práce odpovídá 1.

První část práce zabere \( \frac{2}{7} \) dne, tedy odpovídá \( \frac{2}{7} \) celkové práce.

Druhá část práce zabere \( \frac{3}{10} \) dne, tedy \( \frac{3}{10} \) práce.

Součet těchto částí je:

\( \frac{2}{7} + \frac{3}{10} = \frac{20}{70} + \frac{21}{70} = \frac{41}{70} \).

Zbytek práce je:

\( 1 – \frac{41}{70} = \frac{29}{70} \).

Třetí část práce tedy dokončí \( \frac{29}{70} \) celkové práce.

Tímto postupem lze sledovat, jak se práce rozdělí a jak se sčítají jednotlivé díly vyjádřené zlomky.

\( \Rightarrow \) Výsledkem je, že za třetí část dne dokončí pracovník \( \frac{29}{70} \) práce.

Řešení příkladu:

Celková denní spotřeba je 30 balení rýže.

Celková spotřeba za tři dny je:

\( \frac{3}{5} \times 30 = 18 \) balení.

První den bylo spotřebováno \( \frac{1}{3} \) z denní spotřeby, tedy:

\( \frac{1}{3} \times 18 = 6 \) balení.

Druhý den \( \frac{1}{2} \) z denní spotřeby, tedy:

\( \frac{1}{2} \times 18 = 9 \) balení.

Třetí den zbytek, tedy:

\( 18 – 6 – 9 = 3 \) balení.

\( \Rightarrow \) Třetí den bylo spotřebováno 3 balení rýže.

Postup vyžaduje pochopení, že spotřeba za jednotlivé dny jsou části z celkové plánované spotřeby během tří dnů.

Řešení příkladu:

Celková plocha zahrady, která byla rozdělena, je \( \frac{9}{10} \) hektaru.

Plocha věnovaná na růže je:

\( \frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \) hektaru.

Plocha věnovaná na tulipány je o \( \frac{1}{5} \) menší než na růže, tedy:

\( \frac{3}{10} – \frac{1}{5} = \frac{3}{10} – \frac{2}{10} = \frac{1}{10} \) hektaru.

Zbytek plochy na sedmikrásky je:

\( \frac{9}{10} – \left(\frac{3}{10} + \frac{1}{10}\right) = \frac{9}{10} – \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) hektaru.

\( \Rightarrow \) Na sedmikrásky věnoval zahradník \( \frac{1}{2} \) hektaru zahrady.

V tomto úkolu je důležité správně odečíst část plochy a pochopit vztah mezi jednotlivými částmi.

Řešení příkladu:

Celkové množství cementu je \( \frac{5}{6} \) tuny.

První den spotřebuje \( \frac{2}{5} \) z \( \frac{5}{6} \), tedy:

\( \frac{2}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{2 \times 5}{5 \times 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) tuny.

Po prvním dni zůstane:

\( \frac{5}{6} – \frac{1}{3} = \frac{5}{6} – \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) tuny.

Druhý den spotřebuje \( \frac{3}{8} \) z toho, co zbylo, tedy:

\( \frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16} \) tuny.

Po druhém dni zůstane:

\( \frac{1}{2} – \frac{3}{16} = \frac{8}{16} – \frac{3}{16} = \frac{5}{16} \) tuny.

Podrobněji si shrňme postup:

1) Nejprve určíme, kolik cementu spotřeboval zedník první den – což je \( \frac{2}{5} \) z původního množství. Při násobení zlomků vynásobíme čitatele a jmenovatele zvlášť.

2) Odečteme spotřebované množství od celkového množství, abychom zjistili zbylé množství po prvním dni.

3) Druhý den se spotřebuje část z množství, které zbylo po prvním dni, proto se nejprve spočítá tato část násobením.

4) Odečtením spotřebovaného množství druhý den zjistíme, kolik cementu zůstalo po druhém dni.

\( \Rightarrow \) Výsledkem je, že po druhém dni zůstane \( \frac{5}{16} \) tuny cementu.

Řešení příkladu:

Celkové množství mouky je \( \frac{3}{4} \) kg.

Na první várku použil:

\( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) kg.

Po první várce mu zůstalo:

\( \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \) kg.

Na druhou várku použil \( \frac{1}{4} \) z toho, co mu zbylo, tedy:

\( \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \) kg.

Po druhé várce zůstalo mouky:

\( \frac{1}{4} – \frac{1}{16} = \frac{4}{16} – \frac{1}{16} = \frac{3}{16} \) kg.

Podrobné vysvětlení:

Nejdříve spočítáme množství mouky použité na první várku násobením zlomků.

Pak zjistíme, kolik mouky zůstalo po první várce odečtením od původního množství.

Druhý den se spotřebuje část z množství, které zbylo, proto opět násobíme zlomky.

Nakonec odečteme spotřebovanou mouku druhé várky od zbytku po první várce.

\( \Rightarrow \) Výsledkem je, že pekařovi zůstalo \( \frac{3}{16} \) kg mouky.

Řešení příkladu:

Celkem je \( \frac{7}{8} \) balíčků sešitů.

První student dostal:

\( \frac{1}{2} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{16} \) balíčků.

Po prvním rozdělení zbylo:

\( \frac{7}{8} – \frac{7}{16} = \frac{14}{16} – \frac{7}{16} = \frac{7}{16} \) balíčků.

Druhý student dostal:

\( \frac{3}{7} \times \frac{7}{16} = \frac{3}{16} \) balíčků.

Zbytek, který dostal třetí student, je:

\( \frac{7}{16} – \frac{3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \) balíčků.

Detailní postup:

Nejprve spočítáme, kolik balíčků obdržel první student násobením celkového počtu balíčků a daného zlomku.

Poté odečteme první část od celkového množství, abychom zjistili, co zbylo pro další rozdělení.

Druhý student dostane část z toho, co zbylo po prvním rozdělení, což se opět vypočítá násobením.

Konečně zjistíme, kolik balíčků zbývá pro třetího studenta odečtením druhého přídělu od zbytku po prvním rozdělení.

\( \Rightarrow \) Třetí student dostal \( \frac{1}{4} \) balíčků.

Řešení příkladu:

Nechť celkové množství mouky je \( x \) kg.

Podle zadání:

\( \frac{4}{7} x = \frac{3}{5} \).

Pro vyjádření \( x \) vynásobíme obě strany rovnice reciprokou hodnotou \( \frac{4}{7} \), tedy:

\( x = \frac{3}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{21}{20} = 1,05 \) kg.

Podrobné vysvětlení:

Nejdříve si stanovíme neznámou \( x \), která představuje celkové množství mouky.

Zadání říká, že \( \frac{4}{7} \) z celkového množství je rovno \( \frac{3}{5} \) kg, tedy vytváříme rovnici \( \frac{4}{7} x = \frac{3}{5} \).

Abychom rovnici vyřešili, musíme izolovat \( x \). To provedeme násobením obou stran rovnice převrácenou hodnotou \( \frac{4}{7} \), tedy \( \frac{7}{4} \).

Tím dostaneme hodnotu celkového množství mouky, které je \( 1,05 \) kg.

\( \Rightarrow \) Paní Novotná měla celkem \( 1,05 \) kg mouky.

Řešení příkladu:

Celá část stromů představuje hodnotu 1.

Sečteme podíly jabloní a hrušní:

\( \frac{7}{12} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12} + \frac{4}{12} = \frac{11}{12} \).

Zbytek tvoří:

\( 1 – \frac{11}{12} = \frac{12}{12} – \frac{11}{12} = \frac{1}{12} \).

Podrobný výklad:

Celkový počet stromů odpovídá hodnotě 1, tedy celku.

Je potřeba sečíst zlomky, proto převedeme oba na společného jmenovatele, kterým je 12.

Po sečtení zjistíme, jaká část stromů je jabloní a hrušní dohromady.

Odečtením tohoto součtu od 1 získáme podíl stromů, které nejsou ani jabloně ani hrušně.

\( \Rightarrow \) Část stromů, která nejsou ani jabloně ani hrušně, je \( \frac{1}{12} \).

Řešení příkladu:

Celkové množství cukru je \( \frac{9}{10} \) kg.

Na první druh zákusků spotřebovali:

\( \frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \) kg.

Po spotřebě prvního druhu zbylo cukru:

\( \frac{9}{10} – \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) kg.

Na druhý druh zákusků použili \( \frac{2}{5} \) z toho, co zbylo, což je:

\( \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25} \) kg.

Po druhém použití cukru zůstalo:

\( \frac{3}{5} – \frac{6}{25} = \frac{15}{25} – \frac{6}{25} = \frac{9}{25} \) kg.

Detailní vysvětlení:

Nejprve určíme množství cukru použitého na první druh zákusků.

Poté odečteme toto množství od celkového, abychom zjistili zbytek cukru.

Druhý druh zákusků použije část z tohoto zbytku, proto spočítáme tuto část jako součin zlomků.

Konečně odečteme spotřebované množství druhého druhu zákusků od zbytku po prvním použití.

\( \Rightarrow \) Po výrobě druhého druhu zákusků zůstalo \( \frac{9}{25} \) kg cukru.

Řešení příkladu:

Celkový objem směsi je 24 litrů.

Objem první směsi je:

\( \frac{2}{3} \times 24 = 16 \) litrů.

Objem druhé směsi je:

\( \frac{5}{8} \times 16 = 10 \) litrů.

Podrobný postup:

Nejdříve spočítáme objem první směsi v litrech vynásobením celkového objemu a zlomku.

Poté určíme objem druhé směsi jako část z objemu první směsi.

\( \Rightarrow \) Objem druhé směsi je 10 litrů.

Řešení příkladu:

Celkový počet studentů ve třídě je 60.

Počet studentů, kteří mají rádi matematiku:

\( \frac{3}{5} \times 60 = 36 \) studentů.

Počet dívek z těchto studentů je:

\( \frac{7}{12} \times 36 = \frac{7}{12} \times 36 = 21 \) dívek.

Podrobný rozbor:

Nejdříve spočítáme, kolik studentů má rádo matematiku vynásobením celkového počtu studentů a příslušného zlomku.

Pak určíme, kolik z těchto studentů jsou dívky opět násobením.

\( \Rightarrow \) Ve třídě je 21 dívek, které mají rády matematiku.

Řešení příkladu:

Celkové množství koření je \( \frac{5}{6} \) kg.

Na první jídlo spotřebuje:

\( \frac{1}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{24} \) kg.

Po první spotřebě zbylo:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{24} = \frac{20}{24} – \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \) kg.

Na druhé jídlo spotřebuje \( \frac{3}{5} \) z tohoto zbytku, což je:

\( \frac{3}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} \) kg.

Po druhém použití zůstane:

\( \frac{5}{8} – \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) kg.

Podrobný rozbor:

Nejprve zjistíme, kolik koření se spotřebovalo na první jídlo.

Odečteme toto množství od celkového množství koření, abychom našli zbytek.

Poté spočítáme spotřebu druhého jídla jako zlomek z tohoto zbytku.

Na závěr odečteme tuto spotřebu od zbytku po prvním použití.

\( \Rightarrow \) V zásobě zůstane \( \frac{1}{4} \) kg koření.

Řešení příkladu:

Celkové množství plastelíny je \( \frac{7}{8} \) kg.

Plastelína je rozdělena rovnoměrně mezi 5 studentů, proto každý dostane:

\( \frac{7}{8} \div 5 = \frac{7}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{7}{40} \) kg.

Podrobný postup:

Dělení zlomku číslem provedeme vynásobením převrácenou hodnotou čísla.

Proto vydělíme \( \frac{7}{8} \) číslem 5 jako násobek \( \frac{1}{5} \).

Výsledkem je zlomek \( \frac{7}{40} \), což je množství plastelíny, kterou dostal každý student.

\( \Rightarrow \) Každý student dostal \( \frac{7}{40} \) kg plastelíny.

Řešení příkladu:

Nejdříve zjistíme, kolik žáků chodí na kroužek matematiky. Víme, že to je \( \frac{3}{4} \) z celkového počtu 200 žáků:

\( 200 \times \frac{3}{4} = 150 \) žáků na kroužku.

Dále z těchto 150 žáků je \( \frac{2}{5} \) chlapců, proto spočítáme jejich počet:

\( 150 \times \frac{2}{5} = 60 \) chlapců.

Počet dívek na kroužku získáme odečtením počtu chlapců od celkového počtu žáků na kroužku:

\( 150 – 60 = 90 \) dívek.

Podrobněji:

Celkový počet žáků je 200. Na kroužek chodí \( \frac{3}{4} \) z nich, tedy 150.

Z těchto 150 žáků jsou \( \frac{2}{5} \) chlapci, tedy 60.

Zbytek tvoří dívky, tedy 90.

\( \Rightarrow \) Na kroužek matematiky chodí 90 dívek.

Řešení příkladu:

Celkový objem bazénu označíme jako 1.

Naplněno je \( \frac{5}{6} \) tohoto objemu, tedy \( \frac{5}{6} \times 1 = \frac{5}{6} \).

Během dne bylo odebráno \( \frac{1}{4} \) této vody, tedy:

\( \frac{1}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{24} \) objemu.

Zbývající voda je původní množství mínus odebrané množství:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{24} = \frac{20}{24} – \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \).

Detailně:

Vyjádřili jsme si celý objem jako 1, abychom mohli jednoduše počítat.

Naplněno bylo \( \frac{5}{6} \), tedy většina objemu.

Odebráno bylo \( \frac{1}{4} \) z tohoto množství, což znamená vypočítat čtvrtinu z \( \frac{5}{6} \).

Po odečtení zbyde \( \frac{5}{8} \) objemu vody.

\( \Rightarrow \) V bazénu zůstalo \( \frac{5}{8} \) objemu vody.

Řešení příkladu:

Celkové množství cukrovinek je \( \frac{7}{9} \) kg.

Rozdáno bylo \( \frac{3}{7} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{3}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \) kg.

Proto zbylo v krabici:

\( \frac{7}{9} – \frac{1}{3} = \frac{7}{9} – \frac{3}{9} = \frac{4}{9} \) kg cukrovinek.

Podrobně:

Nejdříve spočítáme množství rozdávaných cukrovinek jako zlomek z celku.

Poté toto množství odečteme od celkového množství v krabici.

Tím zjistíme, kolik zůstalo.

\( \Rightarrow \) V krabici zůstalo \( \frac{4}{9} \) kg cukrovinek.

Řešení příkladu:

Celkové množství džusu je \( \frac{5}{6} \) litru.

Rozlila \( \frac{1}{3} \) tohoto množství, což je:

\( \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{18} \) litru.

Zbývající množství džusu je tedy:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{18} = \frac{15}{18} – \frac{5}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) litru.

Podrobné vysvětlení:

Nejprve spočítáme množství rozlitého džusu jako zlomek z celkového množství.

Poté odečteme toto množství od celku.

Tím zjistíme, kolik džusu zůstalo.

\( \Rightarrow \) Janě zůstalo \( \frac{5}{9} \) litru džusu.

Řešení příkladu:

Celková délka záhonu je \( \frac{9}{10} \) metru.

Květiny tvoří \( \frac{2}{3} \) z této délky, tedy:

\( \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \) metru.

Podrobný rozbor:

Nejprve vynásobíme zlomek květin podílem celkové délky záhonu.

Výsledek je délka záhonu osázená květinami.

\( \Rightarrow \) Záhon s květinami má délku \( \frac{3}{5} \) metru.

Řešení příkladu:

Celkové množství papíru je \( \frac{11}{12} \) balíku.

Použil \( \frac{5}{11} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{5}{11} \times \frac{11}{12} = \frac{5}{12} \) balíku.

Zbývá tedy:

\( \frac{11}{12} – \frac{5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) balíku.

Podrobnosti:

Vynásobili jsme zlomky, abychom zjistili, kolik papíru bylo použito.

Poté jsme toto množství odečetli od celkového množství papíru.

\( \Rightarrow \) Petrovi zůstalo \( \frac{1}{2} \) balíku papíru.

Řešení příkladu:

Celkový počet přečtených stran je \( \frac{7}{8} \) knihy.

Z toho je \( \frac{3}{7} \) odborných textů, tedy:

\( \frac{3}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{3}{8} \) stran odborných textů.

Podrobnosti:

Vynásobili jsme zlomky, abychom zjistili část odborných textů z přečtených stran.

\( \Rightarrow \) Přečteno bylo \( \frac{3}{8} \) stran odborných textů.

Řešení příkladu:

Celkový objem vody je \( \frac{4}{5} \).

Odebráno bylo \( \frac{2}{3} \) z tohoto objemu, tedy:

\( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \).

Zbývá tedy:

\( \frac{4}{5} – \frac{8}{15} = \frac{12}{15} – \frac{8}{15} = \frac{4}{15} \).

Podrobnosti:

Nejprve jsme vypočítali odebrané množství jako zlomek z celkového objemu.

Poté jsme odečetli toto množství od původního množství vody.

\( \Rightarrow \) V nádrži zůstalo \( \frac{4}{15} \) objemu vody.

Řešení příkladu:

Celkové množství jablek je \( \frac{9}{11} \) kg.

Prodáno bylo \( \frac{5}{9} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{5}{9} \times \frac{9}{11} = \frac{5}{11} \) kg.

Zbývá tedy:

\( \frac{9}{11} – \frac{5}{11} = \frac{4}{11} \) kg.

Detailní rozbor:

Vynásobili jsme zlomky, abychom zjistili prodané množství.

Poté jsme toto množství odečetli od celkového množství jablek.

\( \Rightarrow \) Na trhu zůstalo \( \frac{4}{11} \) kg jablek.

Řešení příkladu:

Celkové množství látky je \( \frac{13}{15} \) metru.

Spotřebovala \( \frac{7}{13} \) z tohoto množství, což je:

\( \frac{7}{13} \times \frac{13}{15} = \frac{7}{15} \) metru.

Zbývá tedy:

\( \frac{13}{15} – \frac{7}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \) metru.

Podrobnosti:

Nejprve vynásobili zlomky pro spotřebované množství.

Poté odečetli toto množství od celkového množství látky.

\( \Rightarrow \) Marii zůstalo \( \frac{2}{5} \) metru látky.

Řešení příkladu:

Máme celkově \( \frac{5}{6} \) kg múky.

Nejprve spočítáme, kolik váží múka spotřebovaná na chleba:

\( \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{2 \times 5}{3 \times 6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) kg.

Z toho plyne, že zbylá múka po upečení chleba je:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{9} \).

Nejprve upravíme na společného jmenovatele, kterým je 18:

\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18}, \quad \frac{5}{9} = \frac{10}{18} \), tedy:

\( \frac{15}{18} – \frac{10}{18} = \frac{5}{18} \) kg.

Na pečení koláče použije Jana \( \frac{1}{4} \) ze zbylé múky, tedy:

\( \frac{1}{4} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{72} \) kg.

Po uplynutí obou úloh tedy zůstane:

\( \frac{5}{18} – \frac{5}{72} \).

Opět upravíme na společného jmenovatele, kterým je 72:

\( \frac{5}{18} = \frac{20}{72} \), takže:

\( \frac{20}{72} – \frac{5}{72} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24} \) kg.

Podrobný rozbor:

– Nejprve jsme zjistili, kolik múky spotřebuje na chleba.

– Poté jsme odečetli tuto spotřebovanou múku od celkového množství, abychom zjistili, kolik zůstalo.

– Z tohoto zbytku jsme spočítali, kolik se použije na koláč.

– Nakonec jsme odečetli spotřebovanou múku na koláč od zbytku po chlebu.

\( \Rightarrow \) Jana má po obou úlohách ještě \( \frac{5}{24} \) kg múky.

Řešení příkladu:

Celkový objem vody v jezírku je \( \frac{7}{8} \).

Cílem je vypustit \( \frac{5}{8} \) objemu vody.

Voda se vypouští rychlostí \( \frac{3}{16} \) objemu za hodinu.

Pro výpočet času použijeme vztah:

\( \text{čas} = \frac{\text{vypuštěný objem}}{\text{rychlost vypouštění}} \).

Dosadíme hodnoty:

\( \text{čas} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{16}} \).

Dělení zlomků se provádí tak, že první zlomek vynásobíme převráceným druhým:

\( \frac{5}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 3} = \frac{80}{24} \).

Upravíme zlomek:

\( \frac{80}{24} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \) hodiny.

Podrobnosti:

– Při výpočtu jsme využili základní pravidlo dělení zlomků.

– Čas je vyjádřen v hodinách a znamená, že bude trvat tři celé hodiny a jednu třetinu hodiny, tedy 20 minut.

\( \Rightarrow \) Vypuštění \( \frac{5}{8} \) objemu vody potrvá \( 3 \frac{1}{3} \) hodiny.

Řešení příkladu:

Nádrž má kapacitu 1 litr.

Nejprve bylo odebráno \( \frac{2}{5} \) litru, tedy zůstalo:

\( 1 – \frac{2}{5} = \frac{5}{5} – \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \) litru.

Poté bylo přidáno \( \frac{3}{8} \) litru kapaliny.

Celkové množství kapaliny nyní je součet zbývajícího množství a přidané kapaliny:

\( \frac{3}{5} + \frac{3}{8} \).

Najdeme společný jmenovatel pro sčítání zlomků, kterým je 40:

\( \frac{3}{5} = \frac{24}{40}, \quad \frac{3}{8} = \frac{15}{40} \).

Sečteme:

\( \frac{24}{40} + \frac{15}{40} = \frac{39}{40} \) litru.

Podrobný postup:

– Odečetli jsme odebraný objem od celkového objemu.

– Následně jsme přičetli přidaný objem kapaliny.

– Pro sčítání zlomků jsme převedli oba zlomky na společného jmenovatele.

\( \Rightarrow \) V nádrži je nyní \( \frac{39}{40} \) litru kapaliny.

Řešení příkladu:

Celkově má pan Novák \( \frac{3}{4} \) metru látky.

Spotřeboval na závěsy:

\( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) metru.

Zbývá mu tedy:

\( \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \) metru.

První syn dostal z tohoto zbytku \( \frac{1}{5} \):

\( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} \) metru.

Druhý syn dostal zbytek, tedy:

\( \frac{1}{4} – \frac{1}{20} \).

Najdeme společného jmenovatele, kterým je 20:

\( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \), takže:

\( \frac{5}{20} – \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \) metru.

Podrobnosti:

– Spočítali jsme, kolik látky pan Novák spotřeboval na závěsy.

– Odečetli jsme tuto spotřebovanou látku od celkového množství, abychom zjistili zbytek.

– Vypočítali jsme, kolik dostal první syn z tohoto zbytku.

– Nakonec jsme odečetli množství prvnímu synovi, abychom určili, kolik zůstalo druhému synovi.

\( \Rightarrow \) Druhý syn dostal \( \frac{1}{5} \) metru látky.

Řešení příkladu:

Objem láhve je 2 litry.

Nejprve vypočítáme, kolik bylo vypito:

\( \frac{3}{7} \times 2 = \frac{6}{7} \) litru.

Po vypití zůstalo v láhvi:

\( 2 – \frac{6}{7} = \frac{14}{7} – \frac{6}{7} = \frac{8}{7} \) litru.

Poté bylo nalito \( \frac{5}{14} \) litru.

Celkový objem kapaliny je:

\( \frac{8}{7} + \frac{5}{14} \).

Společný jmenovatel je 14:

\( \frac{8}{7} = \frac{16}{14} \), takže:

\( \frac{16}{14} + \frac{5}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1,5 \) litru.

Podrobnosti:

– Vypočítali jsme nejprve odebrané množství kapaliny v litrech.

– Odečetli jsme toto množství od celkového objemu láhve.

– Přičetli jsme nově nalitou kapalinu.

– Výsledek je v litrech, kde jsme zlomek upravili na smíšené číslo.

\( \Rightarrow \) V láhvi je nyní 1,5 litru kapaliny.

Řešení příkladu:

Označíme celkový počet ryb v jezírku jako \( x \).

Podle zadání je \( \frac{3}{4} \) ryb červených, tedy modrých ryb je \( x – \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x \).

Odebereme \( \frac{1}{3} \) modrých ryb, což je \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}x = \frac{1}{12}x \).

Po odebrání zůstane modrých ryb \( \frac{1}{4}x – \frac{1}{12}x = \frac{3}{12}x – \frac{1}{12}x = \frac{2}{12}x = \frac{1}{6}x \).

Po odebrání zůstane celkem ryb \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{6}x = \frac{9}{12}x + \frac{2}{12}x = \frac{11}{12}x \).

Podle zadání tato hodnota je 120, tedy:

\( \frac{11}{12}x = 120 \)

Vynásobíme obě strany rovnice 12, abychom se zbavili jmenovatele:

\( 11x = 120 \times 12 = 1440 \)

Vyjádříme \( x \):

\( x = \frac{1440}{11} \approx 130,91 \)

Protože počet ryb musí být celé číslo, předpokládáme, že původní počet ryb byl 131.

Závěr: Původně bylo v jezírku přibližně 131 ryb.

Řešení příkladu:

Původní množství mouky je 15 kg.

Na první várku spotřeboval \( \frac{2}{5} \) sáčku, tedy:

\( 15 \times \frac{2}{5} = 15 \times 0,4 = 6 \) kg mouky.

Zbývá mouky:

\( 15 – 6 = 9 \) kg.

Na druhou várku použil \( \frac{1}{3} \) ze zbylé mouky, tedy:

\( 9 \times \frac{1}{3} = 3 \) kg mouky.

Celkem tedy spotřeboval:

\( 6 + 3 = 9 \) kg mouky.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali, kolik mouky pekař použil na první várku, což je \( \frac{2}{5} \) celkového množství, vynásobili jsme \( 15 \) kg touto hodnotou.

Poté jsme spočítali, kolik mouky zůstalo po první várce, což je celková mouka minus spotřebované množství.

Nakonec jsme spočítali, kolik mouky pekař použil na druhou várku, což je \( \frac{1}{3} \) ze zbylé mouky.

Sčítáním obou množství jsme zjistili celkovou spotřebu mouky.

\( \Rightarrow \) Pekař spotřeboval celkem 9 kg mouky.

Řešení příkladu:

Student dokončil první hodinu \( \frac{5}{8} \) úkolu.

Ve druhé hodině dokončil dalších \( \frac{1}{4} \) celkového úkolu.

Celkem tedy dokončil:

\( \frac{5}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8} + \frac{2}{8} = \frac{7}{8} \).

Část úkolu, která zůstala nedokončená, je:

\( 1 – \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \).

Podrobněji:

Nejprve jsme převedli zlomky na společného jmenovatele, abychom je mohli sečíst.

Poté jsme spočítali součet dokončené části úkolu.

Nakonec jsme od celku (1) odečetli dokončenou část, abychom našli zbytek.

\( \Rightarrow \) Studentovi zůstala nedokončena \( \frac{1}{8} \) úkolu.

Řešení příkladu:

Celkový počet dílů dortu je 12.

Matka snědla \( \frac{1}{3} \) dortu, tedy:

\( 12 \times \frac{1}{3} = 4 \) díly.

Otec snědl \( \frac{1}{4} \) dortu, tedy:

\( 12 \times \frac{1}{4} = 3 \) díly.

Celkem tedy bylo snědeno:

\( 4 + 3 = 7 \) dílů.

Zůstalo dortu:

\( 12 – 7 = 5 \) dílů.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali počet dílů snědených matkou a otcem jednotlivě pomocí násobení celkového počtu dílů a příslušného zlomku.

Poté jsme spočítali celkový počet snědených dílů sečtením.

Nakonec jsme odečetli celkový počet snědených dílů od celkového počtu dílů dortu, abychom zjistili, kolik zůstalo.

\( \Rightarrow \) Dortu zůstalo 5 dílů.

Řešení příkladu:

Označíme celkový počet stromů jako \( x \).

Podle zadání je jablek \( \frac{7}{10} x = 70 \).

Vyjádříme \( x \):

\( x = \frac{70 \times 10}{7} = 100 \) stromů celkem.

Hrušní je o \( \frac{1}{5} \) méně než jablek, což znamená, že jich je:

\( 70 – \frac{1}{5} \times 70 = 70 – 14 = 56 \).

Podrobněji:

Nejprve jsme z rovnice vyjádřili celkový počet stromů, protože známe počet jablek a jejich zlomek z celku.

Poté jsme spočítali, o kolik méně je hrušní než jablek, což je \( \frac{1}{5} \) z počtu jablek.

Nakonec jsme odečetli tuto hodnotu od počtu jablek, abychom získali počet hrušní.

\( \Rightarrow \) Hrušní je 56.

Řešení příkladu:

Původní množství sýra je \( \frac{5}{6} \) kg.

Nejprve vypočítáme množství sýra prodané dopoledne, což je \( \frac{1}{4} \) z \( \frac{5}{6} \) kg:

\( \frac{1}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{24} \) kg.

Zbývající množství sýra po dopoledni je:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{24} = \frac{20}{24} – \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \) kg.

Odpoledne prodali \( \frac{1}{3} \) ze zbytku, tedy:

\( \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24} \) kg.

Zbývající množství sýra na konci dne je:

\( \frac{5}{8} – \frac{5}{24} = \frac{15}{24} – \frac{5}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} \) kg.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali, kolik sýra bylo prodáno během dopoledne vynásobením celkového množství sýra a zlomku prodané části.

Poté jsme odečetli prodané množství od původního množství, abychom zjistili, kolik sýra zůstalo.

Následně jsme spočítali, kolik sýra bylo prodáno odpoledne jako \( \frac{1}{3} \) ze zbytku po dopoledni.

Nakonec jsme odečetli odpolední prodej od zbývajícího množství sýra, čímž jsme získali množství sýra zbylé na konci dne.

\( \Rightarrow \) V obchodě zůstalo na konci dne \( \frac{5}{12} \) kg sýra.

Řešení příkladu:

Celkový počet obyvatel je 360.

Počet žen je \( \frac{2}{5} \) z 360:

\( 360 \times \frac{2}{5} = 360 \times 0,4 = 144 \).

Počet mužů je zbytek:

\( 360 – 144 = 216 \).

Odstěhuje se \( \frac{1}{6} \) z mužů, což je:

\( 216 \times \frac{1}{6} = 36 \).

Počet mužů, kteří zůstanou, je:

\( 216 – 36 = 180 \).

Podrobněji:

Nejprve jsme vypočítali počet žen v obci pomocí násobení celkového počtu obyvatel zlomkem žen.

Poté jsme zjistili počet mužů jako rozdíl mezi celkovým počtem a počtem žen.

Následně jsme vypočítali, kolik mužů se odstěhuje, opět pomocí násobení a zlomku.

Konečně jsme odečetli odstěhované muže od původního počtu mužů, čímž jsme dostali počet mužů zůstávajících v obci.

\( \Rightarrow \) V obci zůstane 180 mužů.

Řešení příkladu:

Celková částka je 150 Kč.

Za první druh sešitů zaplatil \( \frac{3}{5} \) z této částky, tedy:

\( 150 \times \frac{3}{5} = 150 \times 0,6 = 90 \) Kč.

Za druhý druh zaplatil zbytek, což je:

\( 150 – 90 = 60 \) Kč.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali, kolik korun student zaplatil za první druh sešitů, vynásobením celkové částky a příslušného zlomku.

Poté jsme odečetli tuto částku od celkové částky, abychom zjistili, kolik zaplatil za druhý druh sešitů.

\( \Rightarrow \) Student zaplatil za druhý druh sešitů 60 Kč.

Řešení příkladu:

Celkové množství dřeva je \( \frac{7}{10} \) metru.

Množství dřeva použitého na branku je:

\( \frac{3}{7} \times \frac{7}{10} = \frac{3}{10} \) metru.

Zbývající množství dřeva na zbytek plotu je:

\( \frac{7}{10} – \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) metru.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali, kolik dřeva bylo použito na branku, což je zlomek z celkového množství dřeva, pomocí násobení zlomků.

Poté jsme odečetli množství dřeva na branku od celkového množství dřeva, abychom zjistili množství dřeva na zbytek plotu.

\( \Rightarrow \) Na zbytek plotu bylo použito \( \frac{2}{5} \) metru dřeva.

Řešení příkladu:

Označíme celkovou vzdálenost jako \( d \) km.

Vzdálenost ujetá během první hodiny je \( \frac{3}{7} d \).

Průměrná rychlost během první hodiny je 56 km/h, takže za jednu hodinu ujelo auto 56 km:

\( \Rightarrow \frac{3}{7} d = 56 \).

Vypočítáme celkovou vzdálenost \( d \):

\( d = 56 \times \frac{7}{3} = \frac{56 \times 7}{3} = \frac{392}{3} \approx 130,67 \) km.

Vzdálenost ujetá během dalších 2 hodin je:

\( d – \frac{3}{7} d = \left(1 – \frac{3}{7}\right)d = \frac{4}{7} d = \frac{4}{7} \times \frac{392}{3} = \frac{4 \times 392}{7 \times 3} = \frac{1568}{21} \approx 74,67 \) km.

Průměrná rychlost během dalších 2 hodin je:

\( \frac{\text{vzdálenost}}{\text{čas}} = \frac{74,67}{2} = 37,33 \) km/h.

Podrobněji:

Nejprve jsme označili celkovou vzdálenost jako neznámou \( d \).

Dále jsme vyjádřili vzdálenost během první hodiny pomocí zlomku celkové vzdálenosti.

Využili jsme známou rychlost během první hodiny a čas k určení rovnice pro \( d \).

Po výpočtu celkové vzdálenosti jsme spočítali vzdálenost ujetou během dalších 2 hodin.

Nakonec jsme tuto vzdálenost vydělili časem 2 hodin a získali průměrnou rychlost.

\( \Rightarrow \) Průměrná rychlost během dalších 2 hodin byla přibližně 37,33 km/h.

Řešení příkladu:

Celkové množství keřů je \( \frac{9}{10} \) metru.

Množství růží je \( \frac{1}{3} \) z celkového množství:

\( \frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \) metru.

Množství jalovců je zbytek:

\( \frac{9}{10} – \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) metru.

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali délku růží jako zlomek z celkové délky keřů.

Poté jsme odečetli tuto délku od celkového množství keřů, abychom získali délku jalovců.

\( \Rightarrow \) Jalovce tvořily \( \frac{3}{5} \) metru keřů.

Řešení příkladu:

Celkový počet knih je 640.

Počet knih věnovaných historii je:

\( \frac{5}{8} \times 640 = 5 \times 80 = 400 \).

Počet knih věnovaných přírodním vědám je zbytek:

\( 640 – 400 = 240 \).

Podrobněji:

Nejprve jsme spočítali počet knih věnovaných historii vynásobením celkového počtu knih příslušným zlomkem.

Poté jsme odečetli tento počet od celkového počtu knih, abychom zjistili počet knih věnovaných přírodním vědám.

\( \Rightarrow \) Knih věnovaných přírodním vědám je 240.

Řešení příkladu:

Celková plocha pole je 1 (celé pole).

Plocha zasetá kukuřicí je \( \frac{3}{4} \).

Plocha rané odrůdy kukuřice je \( \frac{2}{5} \) z \( \frac{3}{4} \):

\( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \).

Plocha pozdní odrůdy kukuřice je zbytek kukuřice:

\( \frac{3}{4} – \frac{3}{10} = \frac{15}{20} – \frac{6}{20} = \frac{9}{20} \).

Podrobněji:

Nejprve jsme určili plochu rané odrůdy kukuřice pomocí násobení zlomků.

Poté jsme odečetli tuto plochu od celkové plochy zaseté kukuřicí, abychom zjistili plochu pozdní odrůdy.

\( \Rightarrow \) Pozdní odrůda kukuřice zabírá \( \frac{9}{20} \) celkové plochy pole.

Řešení příkladu:

Celkový počet listů označíme jako \( x \).

Podíl barevných listů je zbytek po odečtení bílých:

\( 1 – \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \).

Podíl barevných listů odpovídá 75 listům:

\( \frac{5}{12} x = 75 \Rightarrow x = 75 \times \frac{12}{5} = 75 \times 2,4 = 180 \).

Podrobněji:

Nejprve jsme vyjádřili podíl barevných listů jako doplněk k podílu bílých listů.

Poté jsme vytvořili rovnici, kde podíl barevných listů násobený celkovým počtem listů je roven počtu barevných listů.

Vyřešením rovnice jsme zjistili celkový počet listů.

\( \Rightarrow \) V balíku bylo celkem 180 listů.

Řešení příkladu:

Označíme celkový počet kuliček jako \( x \).

Počet červených kuliček je:

\( \frac{4}{9} x \).

Počet modrých kuliček je zbytek:

\( x – \frac{4}{9} x = \frac{5}{9} x \).

Podle zadání je modrých kuliček o 20 více než červených, tedy:

\( \frac{5}{9} x – \frac{4}{9} x = 20 \Rightarrow \frac{1}{9} x = 20 \Rightarrow x = 20 \times 9 = 180 \).

Podrobněji:

Nejprve jsme vyjádřili počet červených a modrých kuliček pomocí zlomků z celkového počtu.

Poté jsme vytvořili rovnici podle vztahu mezi počtem modrých a červených kuliček.

Řešením rovnice jsme našli celkový počet kuliček v krabici.

\( \Rightarrow \) V krabici je celkem 180 kuliček.

Řešení příkladu:

Celková plocha pôdy je \( \frac{5}{6} \) hektára.

Paradajky zasiahol na \( \frac{3}{4} \) z celkovej plochy pôdy, t.j. na:

\( \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{3 \times 5}{4 \times 6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \) hektára.

Zvyšná plocha je určená na papriky, teda:

\( \frac{5}{6} – \frac{5}{8} \).

Pre odčítanie zlomkov je potrebné nájsť spoločný menovateľ. Menovateľmi sú 6 a 8, spoločný menovateľ je 24.

Prevedieme zlomky na menovateľ 24:

\( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} \),

\( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24} \).

Teraz odpočítame:

\( \frac{20}{24} – \frac{15}{24} = \frac{5}{24} \) hektára.

\( \Rightarrow \) Plocha pôdy zasiahnutá paprikou je \( \frac{5}{24} \) hektára.

Řešení příkladu:

Objem mlieka na jednu dávku je \( \frac{2}{3} \) litra.

Počet dávok je \( \frac{7}{4} \).

Celkové množstvo mlieka potrebné na \( \frac{7}{4} \) dávok je:

\( \frac{2}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{2 \times 7}{3 \times 4} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \) litra.

Aby sme pochopili, čo tento výsledok znamená, premeníme \( \frac{7}{6} \) na zmiešané číslo:

\( \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} \) litra.

Teda kuchár potrebuje o niečo viac ako jeden liter a jednu šestinu litra mlieka na prípravu \( \frac{7}{4} \) dávok.

\( \Rightarrow \) Celkové množstvo mlieka je \( 1 \frac{1}{6} \) litra.

Řešení příkladu:

Spotreba paliva na 100 km je \( \frac{5}{8} \) litra.

Vzdialenosť, na ktorú chceme spotrebu zistiť, je \( \frac{3}{2} \) krát 100 km, teda 150 km.

Spotrebu pre túto vzdialenosť vypočítame ako:

\( \frac{5}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{8 \times 2} = \frac{15}{16} \) litra.

Teda auto spotrebuje \( \frac{15}{16} \) litra paliva na 150 km jazdy.

Ak chceme pre lepšiu predstavivosť vyjadriť \( \frac{15}{16} \) v desatinnom tvare, vydelíme 15 : 16 = 0,9375 litra.

\( \Rightarrow \) Auto spotrebuje približne 0,9375 litra paliva na 150 km.

Řešení příkladu:

Pôvodne bolo zapožičaných \( \frac{9}{10} \) počtu všetkých kníh.

Z týchto zapožičaných kníh bolo vrátených \( \frac{2}{3} \).

Počet vrátených kníh je:

\( \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \) z celkového počtu kníh.

Počet kníh stále zapožičaných je teda:

\( \frac{9}{10} – \frac{3}{5} \).

Pre odčítanie je potrebné zlúčiť zlomky na spoločný menovateľ 10:

\( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \).

Teraz odpočítame:

\( \frac{9}{10} – \frac{6}{10} = \frac{3}{10} \).

\( \Rightarrow \) Knižnica má stále zapožičaných \( \frac{3}{10} \) počtu všetkých kníh.

Řešení příkladu:

Celkové množstvo semien je \( \frac{11}{12} \) kg.

Množstvo do prvej nádoby je:

\( \frac{1}{3} \times \frac{11}{12} = \frac{11}{36} \) kg.

Množstvo do druhej nádoby je:

\( \frac{1}{4} \times \frac{11}{12} = \frac{11}{48} \) kg.

Sčítame množstvá do prvej a druhej nádoby:

Spoločný menovateľ pre 36 a 48 je 144.

\( \frac{11}{36} = \frac{44}{144} \), \( \frac{11}{48} = \frac{33}{144} \).

Súčet je:

\( \frac{44}{144} + \frac{33}{144} = \frac{77}{144} \) kg.

Množstvo v tretej nádobe je zvyšok z celkového množstva:

\( \frac{11}{12} – \frac{77}{144} \).

Prevod \( \frac{11}{12} \) na menovateľa 144:

\( \frac{11}{12} = \frac{132}{144} \).

Teraz odpočítame:

\( \frac{132}{144} – \frac{77}{144} = \frac{55}{144} \) kg.

\( \Rightarrow \) Do tretej nádoby dal záhradník \( \frac{55}{144} \) kg semien.

Řešení příkladu:

Nech \( x \) je množstvo asfaltu, ktoré plánovali pôvodne spotrebovať.

Vieme, že pri práci spotrebovali o \( \frac{1}{3} \) tonu viac, teda:

\( x + \frac{1}{3} = \frac{7}{9} \).

Pre nájdenie \( x \) odpočítame \( \frac{1}{3} \) od \( \frac{7}{9} \):

Pre odčítanie je potrebné zlúčiť zlomky na spoločný menovateľ 9:

\( \frac{1}{3} = \frac{3}{9} \).

Teraz:

\( x = \frac{7}{9} – \frac{3}{9} = \frac{4}{9} \) ton.

\( \Rightarrow \) Pôvodne plánovali spotrebovať \( \frac{4}{9} \) ton asfaltu.

Řešení příkladu:

Počet vyrobených dielov je \( \frac{5}{7} \) z plánovaného množstva (predpokladajme, že to je celok).

Chybových dielov je \( \frac{3}{5} \) z vyrobených dielov, teda:

\( \frac{3}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \).

Počet správnych dielov je teda rozdiel:

\( \frac{5}{7} – \frac{3}{7} = \frac{2}{7} \).

\( \Rightarrow \) Správne vyrobených dielov je \( \frac{2}{7} \) celkového množstva.

Řešení příkladu:

Počet žiakov je 24.

Počet žiakov s radosťou zo športu je:

\( \frac{2}{3} \times 24 = 16 \) žiakov.

Počet žiakov bez radosti zo športu je zvyšok:

\( 24 – 16 = 8 \) žiakov.

\( \Rightarrow \) Radosť zo športu má 16 žiakov, nemá 8 žiakov.

Řešení příkladu:

Mária prečítala \( \frac{5}{8} \) knihy.

Zostávajúca časť knihy je:

\( 1 – \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \).

Na dočítanie zvyšnej časti potrebuje 3 dni.

Za 3 dni prečíta \( \frac{3}{8} \) knihy, takže za jeden deň prečíta:

\( \frac{3}{8} \div 3 = \frac{3}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \) knihy.

Celú knihu by teda prečítala za počet dní:

\( 1 \div \frac{1}{8} = 8 \) dní.

\( \Rightarrow \) Mária by knihu prečítala za 8 dní rovnakým tempom.

Řešení příkladu:

Cyklisit prešiel \( \frac{7}{10} \) trate za 21 minút.

Za 1 časť trate prejde za:

\( 21 \div \frac{7}{10} = 21 \times \frac{10}{7} = 30 \) minút.

Celá trať teda zaberie 30 minút pri rovnakom tempe.

\( \Rightarrow \) Cyklisit prejde celú trať za 30 minút.

Řešení příkladu:

Za 3 hodiny upečou \( \frac{5}{6} \) kg chleba, tedy rychlost pečení je:

\( \frac{5}{6} \div 3 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18} \) kg za hodinu.

Za \( \frac{7}{4} \) hodiny upečou:

\( \frac{5}{18} \times \frac{7}{4} = \frac{5 \times 7}{18 \times 4} = \frac{35}{72} \) kg chleba.

\( \Rightarrow \) Pekárna upečie \( \frac{35}{72} \) kg chleba za \( \frac{7}{4} \) hodiny.

Řešení příkladu:

Celkově bylo \( \frac{9}{10} \) pizzy.

Nech \( x \) je množství pizzy, které snědlo všech 4 děti dohromady.

Rodiče snědli polovinu toho, co děti, tedy \( \frac{1}{2} x \).

Celkem tedy platí:

\( x + \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x = \frac{9}{10} \Rightarrow x = \frac{9}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \).

Množství pizzy snědené každým dítětem je:

\( \frac{3}{5} \div 4 = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20} \).

\( \Rightarrow \) Každé dítě snědlo \( \frac{3}{20} \) pizzy.

Řešení příkladu:

Celkem má přečíst \( \frac{7}{8} \) knihy.

Za prvních 6 dní přečetl:

\( 6 \times \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) knihy.

Tato hodnota je větší než \( \frac{7}{8} \), což je nemožné, proto musíme zkontrolovat správnost údajů nebo interpretaci zadání.

Předpokládáme, že \( \frac{1}{4} \) knihy za 6 dní, tedy každý den přečetl:

\( \frac{1}{4} \div 6 = \frac{1}{24} \) knihy.

Za prvních 6 dní tedy přečetl:

\( 6 \times \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \) knihy.

Zůstává tedy přečíst:

\( \frac{7}{8} – \frac{1}{4} = \frac{7}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \) knihy.

Za zbytek 8 dní musí přečíst \( \frac{5}{8} \) knihy.

\( \Rightarrow \) Studentovi zbývá přečíst \( \frac{5}{8} \) knihy za 8 dní.

Řešení příkladu:

Požadované množství mléka je \( \frac{3}{5} \) litru.

Kuchař použil o \( \frac{1}{10} \) litru méně, tedy skutečné množství je:

\( \frac{3}{5} – \frac{1}{10} \).

Pro odčítání uvedeme na společného jmenovatele 10:

\( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \Rightarrow \frac{6}{10} – \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

\( \Rightarrow \) Kuchař použil \( \frac{1}{2} \) litru mléka.

Řešení příkladu:

Celkový čas na 3 dny je \( 3 \times \frac{11}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} \) hodin.

První den pracovali:

\( \frac{3}{4} \times \frac{11}{12} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16} \) hodin.

Druhý den pracovali o \( \frac{1}{6} \) hodiny méně než první den, tedy:

\( \frac{11}{16} – \frac{1}{6} \).

Pro odčítání najdeme společného jmenovatele 48:

\( \frac{11}{16} = \frac{33}{48}, \quad \frac{1}{6} = \frac{8}{48} \Rightarrow \frac{33}{48} – \frac{8}{48} = \frac{25}{48} \) hodin.

Celkový čas za první dva dny je:

\( \frac{11}{16} + \frac{25}{48} = \frac{33}{48} + \frac{25}{48} = \frac{58}{48} = \frac{29}{24} \) hodin.

Zbývající čas na třetí den je:

\( \frac{11}{4} – \frac{29}{24} = \frac{66}{24} – \frac{29}{24} = \frac{37}{24} \) hodin.

\( \Rightarrow \) Na třetí den zbývá \( \frac{37}{24} \) hodin.

Řešení příkladu:

Celkové množství ořechů je \( \frac{7}{9} \) kg.

Odebereme \( \frac{2}{3} \) z tohoto množství:

\( \frac{2}{3} \times \frac{7}{9} = \frac{14}{27} \) kg.

Zbývá tedy v balíčku:

\( \frac{7}{9} – \frac{14}{27} \).

Pro odečtení najdeme společného jmenovatele 27:

\( \frac{7}{9} = \frac{21}{27} \Rightarrow \frac{21}{27} – \frac{14}{27} = \frac{7}{27} \) kg.

\( \Rightarrow \) V balíčku zůstane \( \frac{7}{27} \) kg ořechů.

Řešení příkladu:

Každý hráč dostane \( \frac{2}{3} \) balíčku, tedy celkem se rozdá:

\( 12 \times \frac{2}{3} = \frac{24}{3} = 8 \) balíčků.

\( \Rightarrow \) Celkem se rozdá 8 balíčků energetických tyčinek.

Řešení příkladu:

Celkové množství křídy je \( \frac{15}{16} \) kg.

Když ji rozdělí mezi 8 tříd, každá dostane:

\( \frac{15}{16} \div 8 = \frac{15}{16} \times \frac{1}{8} = \frac{15}{128} \) kg.

\( \Rightarrow \) Každá třída dostane \( \frac{15}{128} \) kg křídy.

Řešení příkladu:

Celkový počet knih je 1200.

Počet půjčených knih je:

\( \frac{9}{10} \times 1200 = \frac{9 \times 1200}{10} = 9 \times 120 = 1080 \) knih.

\( \Rightarrow \) Právě je půjčeno 1080 knih.

Řešení příkladu:

Celkové množství vody v nádrži je \( \frac{13}{15} \).

Vypustíme \( \frac{1}{3} \) z tohoto množství, což je:

\( \frac{1}{3} \times \frac{13}{15} = \frac{13}{45} \).

Zbývá tedy v nádrži:

\( \frac{13}{15} – \frac{13}{45} \).

Pro odečtení najdeme společného jmenovatele 45:

\( \frac{13}{15} = \frac{39}{45} \Rightarrow \frac{39}{45} – \frac{13}{45} = \frac{26}{45} \).

\( \Rightarrow \) V nádrži zůstane \( \frac{26}{45} \) vody.

Řešení příkladu:

Máme \( \frac{5}{8} \) hektaru zaseto kukuřicí.

Přidá se \( \frac{3}{10} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{3}{10} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16} \) hektaru.

Celkem zaseto bude:

\( \frac{5}{8} + \frac{3}{16} \).

Pro sčítání převedeme na společného jmenovatele 16:

\( \frac{5}{8} = \frac{10}{16} \Rightarrow \frac{10}{16} + \frac{3}{16} = \frac{13}{16} \) hektaru.

\( \Rightarrow \) Celkem bude zaseto \( \frac{13}{16} \) hektaru kukuřicí.

Řešení příkladu:

Celkové množství vody je \( \frac{9}{10} \) litru.

Odčerpáme \( \frac{2}{5} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{2}{5} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} \) litru.

Zbývá v akváriu:

\( \frac{9}{10} – \frac{9}{25} \).

Pro odečítání najdeme společného jmenovatele 50:

\( \frac{9}{10} = \frac{45}{50} \Rightarrow \frac{45}{50} – \frac{18}{50} = \frac{27}{50} \) litru.

\( \Rightarrow \) V akváriu zůstane \( \frac{27}{50} \) litru vody.

Řešení příkladu:

Máme \( \frac{3}{7} \) všech jablek na stromě.

Za den strom dá \( \frac{5}{9} \) ze svých jablek, tj.:

\( \frac{5}{9} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{63} = \frac{5}{21} \).

Zbývá na stromě:

\( \frac{3}{7} – \frac{5}{21} \).

Pro odečtení převedeme na společného jmenovatele 21:

\( \frac{3}{7} = \frac{9}{21} \Rightarrow \frac{9}{21} – \frac{5}{21} = \frac{4}{21} \).

\( \Rightarrow \) Na stromě zůstane \( \frac{4}{21} \) všech jablek.

Řešení příkladu:

Upekl \( \frac{7}{12} \) kg chleba.

Prodáno bylo \( \frac{2}{7} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{2}{7} \times \frac{7}{12} = \frac{14}{84} = \frac{1}{6} \) kg.

Zbývá chleba:

\( \frac{7}{12} – \frac{1}{6} \).

Pro odečítání najdeme společného jmenovatele 12:

\( \frac{1}{6} = \frac{2}{12} \Rightarrow \frac{7}{12} – \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \) kg.

\( \Rightarrow \) Zůstalo \( \frac{5}{12} \) kg chleba.

Řešení příkladu:

V knihovně je \( \frac{5}{6} \) knih o umění.

Zapůjčeno je \( \frac{1}{5} \) z tohoto množství, tedy:

\( \frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \).

\( \Rightarrow \) Zapůjčeno je \( \frac{1}{6} \) knih o umění.

Řešení příkladu:

Celkový objem naplněné vody je \( \frac{7}{8} \).

Odčerpáme \( \frac{3}{7} \) z tohoto množství, tj.:

\( \frac{3}{7} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8} \).

Zbývá v bazénu:

\( \frac{7}{8} – \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

\( \Rightarrow \) V bazénu zůstane \( \frac{1}{2} \) objemu vody.

Řešení příkladu:

Celkem má cukrárna \( \frac{5}{9} \) kg cukru.

Na jeden zákusek spotřebuje \( \frac{1}{18} \) kg cukru.

Počet zákusků, které může vyrobit, je:

\( \frac{5}{9} \div \frac{1}{18} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{1} = \frac{90}{9} = 10 \).

\( \Rightarrow \) Cukrárna může vyrobit 10 zákusků.

Řešení příkladu:

Celkové množství mouky je \( \frac{4}{5} \) kg.

Odebereme \( \frac{1}{4} \) tohoto množství, tj.:

\( \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \) kg.

Zbývá:

\( \frac{4}{5} – \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \) kg.

\( \Rightarrow \) Zůstane \( \frac{3}{5} \) kg mouky.

Řešení příkladu:

Celkový čas je \( \frac{3}{4} \) hodiny = \( \frac{3}{4} \times 60 = 45 \) minut.

Uplynulo \( \frac{2}{3} \) z tohoto času, tedy:

\( \frac{2}{3} \times 45 = 30 \) minut.

Zbývá:

\( 45 – 30 = 15 \) minut.

\( \Rightarrow \) Zbývá 15 minut.

Řešení příkladu:

Celkové množství bonbónů je \( \frac{11}{15} \) kg.

Odebereme \( \frac{4}{11} \) tohoto množství, tedy:

\( \frac{4}{11} \times \frac{11}{15} = \frac{44}{165} = \frac{4}{15} \) kg.

Zbývá:

\( \frac{11}{15} – \frac{4}{15} = \frac{7}{15} \) kg.

\( \Rightarrow \) V sáčku zůstane \( \frac{7}{15} \) kg bonbónů.