1. V investičním portfoliu je poměr akcií, dluhopisů a komodit 7 : 5 : 3. Celková hodnota portfolia je 150 000 Kč. O kolik Kč se změní hodnota portfolia, pokud hodnota akcií vzroste o 12 %, hodnota dluhopisů klesne o 5 % a hodnota komodit se zvýší o 8 %?
Řešení příkladu:
Nejprve určíme hodnotu jednotlivých částí portfolia podle poměru 7 : 5 : 3.
Součet dílů je \(7 + 5 + 3 = 15\).
Hodnota akcií je \(\frac{7}{15} \times 150000 = 70000\) Kč.
Hodnota dluhopisů je \(\frac{5}{15} \times 150000 = 50000\) Kč.
Hodnota komodit je \(\frac{3}{15} \times 150000 = 30000\) Kč.
Nyní spočítáme nové hodnoty po změnách:
Akcie vzrostly o 12 %, tedy nová hodnota akcií je \(70000 \times (1 + 0{,}12) = 70000 \times 1{,}12 = 78400\) Kč.
Dluhopisy klesly o 5 %, tedy nová hodnota dluhopisů je \(50000 \times (1 – 0{,}05) = 50000 \times 0{,}95 = 47500\) Kč.
Komodity se zvýšily o 8 %, tedy nová hodnota komodit je \(30000 \times (1 + 0{,}08) = 30000 \times 1{,}08 = 32400\) Kč.
Celková nová hodnota portfolia je součtem těchto hodnot:
\(78400 + 47500 + 32400 = 158300\) Kč.
Změna hodnoty portfolia je rozdíl nové a původní hodnoty:
\(158300 – 150000 = 8300\) Kč.
Hodnota portfolia se tedy zvýšila o 8 300 Kč.
2. Podíl mužů a žen ve firmě je 9 : 11. Pokud se počet mužů zvýší o 10 % a počet žen o 5 %, jaký bude nový poměr mužů k ženám?
Řešení příkladu:
Původní poměr mužů ku ženám je 9 : 11, tedy muži tvoří 9 dílů a ženy 11 dílů celkem 20 dílů.
Označíme původní počet mužů jako \(9k\) a žen jako \(11k\), kde \(k\) je kladné číslo.
3. Cena produktu byla snížena o 18 % a poté zvýšena o 10 %. Je výsledná cena vyšší, nižší nebo stejná jako původní cena? O kolik procent se liší od původní ceny?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(C\).
Po snížení o 18 % je nová cena:
\(C \times (1 – 0{,}18) = C \times 0{,}82\).
Poté se cena zvýší o 10 % z této snížené ceny, tedy:
\(C \times 0{,}82 \times (1 + 0{,}10) = C \times 0{,}82 \times 1{,}10 = C \times 0{,}902\).
Výsledná cena je tedy 90,2 % původní ceny.
Porovnání výsledné ceny s původní:
\(0{,}902 \times C < C\), tedy cena klesla.
Rozdíl v procentech je:
\(100\% – 90{,}2\% = 9{,}8\%\).
Výsledná cena je o 9,8 % nižší než původní cena.
4. V balíku jsou karty ve třech barvách v poměru 4 : 5 : 7. Po odebrání 8 karet každé barvy se poměr změní na 3 : 4 : 5. Kolik karet bylo v balíku původně?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet karet jednotlivých barev jako \(4x\), \(5x\) a \(7x\).
Celkem bylo v balíku \(32 + 40 + 56 = 128\) karet.
5. Během prodeje vzrostl počet prodaných kusů o 25 % oproti předchozímu měsíci, ale tržby vzrostly jen o 15 %. Jaký byl průměrný pokles ceny jednoho kusu v procentech?
Řešení příkladu:
Označíme počet prodaných kusů v předchozím měsíci jako \(N\) a průměrnou cenu jednoho kusu jako \(P\).
Původní tržby jsou tedy \(N \times P\).
V následujícím měsíci se počet kusů zvýšil o 25 %, tedy na \(N \times 1{,}25\).
Tržby vzrostly o 15 %, tedy na \(N \times P \times 1{,}15\).
Označíme novou průměrnou cenu jako \(P_{\text{nová}}\).
Podmínka je:
\(N \times 1{,}25 \times P_{\text{nová}} = N \times P \times 1{,}15\).
Vydělíme obě strany \(N\):
\(1{,}25 \times P_{\text{nová}} = P \times 1{,}15\).
Vyjádříme \(P_{\text{nová}}\):
\(P_{\text{nová}} = \frac{1{,}15}{1{,}25} P = 0{,}92 P\).
Průměrná cena jednoho kusu tedy klesla na 92 % původní ceny.
Pokles ceny v procentech je:
\(100\% – 92\% = 8\%\).
Průměrný pokles ceny jednoho kusu je tedy 8 %.
6. Množství směsi soli a vody je 60 litrů v poměru 3 : 7. Kolik litrů vody je třeba přidat, aby byl poměr soli a vody 2 : 9?
Řešení příkladu:
Poměr soli a vody je 3 : 7, celkem 10 dílů.
Určíme množství soli:
\(\frac{3}{10} \times 60 = 18\) litrů soli.
Množství vody je:
\(\frac{7}{10} \times 60 = 42\) litrů vody.
Označíme množství přidané vody jako \(x\) litrů.
Nový poměr soli k vodě má být 2 : 9, tedy:
\(\frac{18}{42 + x} = \frac{2}{9}\).
Vynásobíme křížem:
\(18 \times 9 = 2 \times (42 + x)\).
\(162 = 84 + 2x\).
Odečteme 84 od obou stran:
\(162 – 84 = 2x\).
\(78 = 2x\).
Vyjádříme \(x\):
\(x = 39\).
Je třeba přidat 39 litrů vody, aby byl poměr soli a vody 2 : 9.
7. V obchodě je poměr cen mezi dvěma výrobky 5 : 8. Po slevě 15 % na levnější výrobek a 10 % na dražší výrobek se poměr cen změnil na 9 : 13. Jaká byla původní cena levnějšího výrobku, jestliže dražší výrobek stál 1040 Kč?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu levnějšího výrobku jako \(5k\) a dražšího jako \(8k\).
Podle zadání dražší výrobek stál 1040 Kč, tedy:
\(8k = 1040 \Rightarrow k = \frac{1040}{8} = 130\).
9. Celkový počet studentů ve třídě je 40. Poměr dívek k chlapcům je 3 : 5. Pokud 4 dívky odejdou ze třídy a počet chlapců zůstane stejný, jaký je nový poměr dívek k chlapcům?
Řešení příkladu:
Poměr dívek k chlapcům je 3 : 5, což znamená, že dívky tvoří 3 díly a chlapci 5 dílů, celkem 8 dílů.
Označíme počet dílů jako \(k\).
Celkový počet studentů je:
\(8k = 40 \Rightarrow k = \frac{40}{8} = 5\).
Počet dívek je:
\(3k = 3 \times 5 = 15\).
Počet chlapců je:
\(5k = 5 \times 5 = 25\).
Pokud odejdou 4 dívky, počet dívek bude:
\(15 – 4 = 11\).
Počet chlapců zůstává 25.
Nový poměr dívek k chlapcům je:
\(\frac{11}{25}\).
Poměr nelze zjednodušit, proto nový poměr je 11 : 25.
10. Z původní ceny produktu byla nejprve odečtena sleva 20 %, pak byla cena ještě snížena o 10 %. O kolik procent je konečná cena nižší než původní cena?
16. V poměru 5 : 3 jsou počet jablek a hrušek. Pokud je celkem 64 kusů ovoce, kolik je jablek a kolik hrušek?
Řešení příkladu:
Poměr jablek ku hruškám je 5 : 3, což znamená, že na každých 5 jablek připadá 3 hrušky.
Celkový počet dílů je \(5 + 3 = 8\).
Jeden díl představuje \(\frac{64}{8} = 8\) kusů ovoce.
Počet jablek je \(5 \times 8 = 40\).
Počet hrušek je \(3 \times 8 = 24\).
Ve sadu je 40 jablek a 24 hrušek.
17. Cena knihy se snížila o 18 % a nyní stojí 246 Kč. Jaká byla původní cena knihy?
Řešení příkladu:
Snížení o 18 % znamená, že nová cena je \(100\% – 18\% = 82\%\) původní ceny.
Vyjádříme 82 % jako desetinné číslo: \(82\% = 0{,}82\).
Označíme původní cenu jako \(x\). Máme rovnici:
\(0{,}82 \times x = 246\)
Vyjádříme \(x\):
\(x = \frac{246}{0{,}82} = 300\)
Původní cena knihy byla 300 Kč.
18. V krabici jsou barevné kuličky v poměru červené : modré : zelené = 7 : 2 : 5. Pokud je v krabici celkem 280 kuliček, kolik je které barvy?
Řešení příkladu:
Poměr barev je 7 : 2 : 5.
Celkový počet dílů je \(7 + 2 + 5 = 14\).
Jeden díl představuje \(\frac{280}{14} = 20\) kuliček.
Počet červených kuliček je \(7 \times 20 = 140\).
Počet modrých kuliček je \(2 \times 20 = 40\).
Počet zelených kuliček je \(5 \times 20 = 100\).
V krabici je 140 červených, 40 modrých a 100 zelených kuliček.
19. Počet studentů v roce 2022 se zvýšil o 8 % oproti roku 2021 a v roce 2022 jich bylo 324. Kolik studentů bylo v roce 2021?
Řešení příkladu:
Zvýšení o 8 % znamená, že počet studentů v roce 2022 je 108 % počtu studentů v roce 2021.
Vyjádříme 108 % jako desetinné číslo: \(108\% = 1{,}08\).
Označíme počet studentů v roce 2021 jako \(x\). Máme rovnici:
\(1{,}08 \times x = 324\)
Vyjádříme \(x\):
\(x = \frac{324}{1{,}08} = 300\)
V roce 2021 bylo 300 studentů.
20. V továrně pracuje 150 zaměstnanců, z toho 60 % tvoří muži. Kolik mužů a kolik žen pracuje v továrně? Jaký je poměr žen k mužům?
Řešení příkladu:
Muži tvoří 60 % z 150 zaměstnanců:
\(150 \times 0{,}60 = 90\)
Ženy tvoří zbytek, tedy \(150 – 90 = 60\).
Poměr žen k mužům je:
\(60 : 90 = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}\)
Poměr žen k mužům je 2 : 3.
21. V obchodě je 120 produktů. Poměr výrobků typu A k typu B je 7 : 5. Po prodeji 20 % výrobků typu A a 30 % výrobků typu B zůstalo v obchodě 84 výrobků. Kolik bylo původně výrobků typu A a typu B?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet výrobků typu A jako \(7k\) a typu B jako \(5k\), protože poměr je 7 : 5.
Celkový počet výrobků je tedy:
\(7k + 5k = 12k\).
Podle zadání celkový počet je 120:
\(12k = 120 \Rightarrow k = \frac{120}{12} = 10\).
Původní počet výrobků typu A je:
\(7k = 7 \times 10 = 70\).
Původní počet výrobků typu B je:
\(5k = 5 \times 10 = 50\).
Podle zadání bylo prodáno 20 % výrobků typu A, tedy:
\(0{,}20 \times 70 = 14\) výrobků.
Po prodeji zbylo výrobků typu A:
\(70 – 14 = 56\).
Podobně bylo prodáno 30 % výrobků typu B, tedy:
\(0{,}30 \times 50 = 15\) výrobků.
Po prodeji zbylo výrobků typu B:
\(50 – 15 = 35\).
Celkový počet zbylých výrobků je:
\(56 + 35 = 91\).
Podle zadání však mělo zůstat 84 výrobků, což je v rozporu s předchozím výpočtem.
Tento rozpor naznačuje, že poměr výrobků typu A a B mohl být původně jiný, nebo počet výrobků jiný.
Zkusíme tedy postupovat opačně, použijeme označení původních výrobků jako \(x\) (typ A) a \(y\) (typ B) a využijeme všechny informace:
Poměr:
\(\frac{x}{y} = \frac{7}{5} \Rightarrow x = \frac{7}{5} y\).
Celkový počet výrobků:
\(x + y = 120\).
Dosadíme \(x\):
\(\frac{7}{5} y + y = 120 \Rightarrow \frac{7}{5} y + \frac{5}{5} y = 120 \Rightarrow \frac{12}{5} y = 120\).
Vyjádříme \(y\):
\(y = 120 \times \frac{5}{12} = 50\).
Dosadíme zpět pro \(x\):
\(x = \frac{7}{5} \times 50 = 70\).
Prodej výrobků:
Po prodeji zbylo:
\(0{,}80 \times 70 = 56\) výrobků typu A.
\(0{,}70 \times 50 = 35\) výrobků typu B.
Celkem tedy zbylo:
\(56 + 35 = 91\) výrobků.
Jelikož zadání uvádí, že zbylo 84 výrobků, je pravděpodobné, že v zadání je chyba nebo jsou zaokrouhleny procenta prodeje.
Pro ilustraci upravme zadání na zbylých 91 výrobků, aby vše odpovídalo.
Výsledkem je, že původně bylo 70 výrobků typu A a 50 výrobků typu B.
22. V továrně pracuje 240 zaměstnanců, přičemž poměr mužů a žen je 5 : 3. Pokud 15 % mužů a 10 % žen odejde z práce, kolik zaměstnanců zůstane v továrně a jaký bude nový poměr mužů a žen?
Řešení příkladu:
Označíme počet mužů jako \(5k\) a žen jako \(3k\), protože poměr je 5 : 3.
Celkový počet zaměstnanců je:
\(5k + 3k = 8k\).
Podle zadání je celkem 240 zaměstnanců:
\(8k = 240 \Rightarrow k = \frac{240}{8} = 30\).
Počet mužů je:
\(5k = 5 \times 30 = 150\).
Počet žen je:
\(3k = 3 \times 30 = 90\).
Odejde 15 % mužů, tedy:
\(0{,}15 \times 150 = 22{,}5\), zaokrouhlíme na 23 mužů.
Zůstane mužů:
\(150 – 23 = 127\).
Odejde 10 % žen, tedy:
\(0{,}10 \times 90 = 9\) žen.
Zůstane žen:
\(90 – 9 = 81\).
Celkový počet zaměstnanců po odchodu je:
\(127 + 81 = 208\).
Nový poměr mužů a žen je:
\(\frac{127}{81}\).
Pro lepší přehlednost poměr vyjádříme jako desetinné číslo:
\(\frac{127}{81} \approx 1{,}57\).
Tento poměr ukazuje, že na každou ženu připadá přibližně 1,57 muže.
Pokud chceme poměr zapsat v celých číslech, zkusíme najít přibližnou hodnotu:
Vynásobíme poměr zlomku 81 a 1,57:
\(81 \times 1{,}57 \approx 127\).
Poměr můžeme tedy přepsat jako přibližně 127 : 81.
To znamená, že nově je poměr mužů k ženám přibližně 127 : 81.
23. Cena zboží byla zvýšena o 25 %. Následně byla na zvýšenou cenu aplikována sleva 20 %. O kolik procent se změnila původní cena zboží po těchto úpravách?
To znamená, že po těchto úpravách je cena opět stejná jako původní cena.
Procentní změna ceny je tedy:
\(100\% – 100\% = 0\%\).
Cena zboží se po zvýšení a následné slevě vrátila na původní hodnotu.
24. Poměr dvou čísel je 4 : 7. Pokud se první číslo zvýší o 30 % a druhé se sníží o 10 %, jaký bude nový poměr těchto čísel?
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \(4k\) a druhé jako \(7k\), protože poměr je 4 : 7.
Po zvýšení prvního čísla o 30 % je nové první číslo:
\(4k \times 1{,}30 = 5{,}2k\).
Po snížení druhého čísla o 10 % je nové druhé číslo:
\(7k \times 0{,}90 = 6{,}3k\).
Nový poměr je tedy:
\(\frac{5{,}2k}{6{,}3k} = \frac{5{,}2}{6{,}3}\).
Zkrátíme desetinná čísla násobením zlomku 10:
\(\frac{52}{63}\).
Poměr je tedy \(52 : 63\).
Tento poměr již nelze dále zjednodušit.
Nový poměr čísel je tedy 52 : 63.
25. V sadě jsou 2 druhy ovocných džusů v poměru 3 : 4. Po vypití 25 % prvního druhu a 10 % druhého druhu zůstalo v sadě 42 litrů džusu. Kolik litrů bylo původně džusu od každého druhu?
Řešení příkladu:
Označíme původní množství prvního druhu jako \(3k\) a druhého druhu jako \(4k\), protože poměr je 3 : 4.
\(0{,}9C = 960 \Rightarrow C = \frac{960}{0{,}9} = 1066{,}67\) Kč.
Původní cena zboží byla tedy 1066,67 Kč.
27. V nádrži je 600 litrů směsi vody a soli. Poměr vody a soli je 5 : 1. Kolik litrů vody je v nádrži a kolik litrů soli?
Řešení příkladu:
Poměr vody a soli je 5 : 1, tedy pro každých 6 dílů je 5 dílů vody a 1 díl soli.
Označíme počet dílů jako \(k\), celkem máme 6 dílů:
\(6k = 600\) litrů.
Vyjádříme \(k\):
\(k = \frac{600}{6} = 100\).
Množství vody je:
\(5k = 5 \times 100 = 500\) litrů.
Množství soli je:
\(1k = 100\) litrů.
V nádrži je tedy 500 litrů vody a 100 litrů soli.
28. Po zvýšení hmotnosti o 15 % a následném snížení o 10 % byla konečná hmotnost 1485 g. Jaká byla původní hmotnost?
Řešení příkladu:
Označíme původní hmotnost jako \(H\).
Po zvýšení o 15 % je hmotnost:
\(H \times 1{,}15 = 1{,}15H\).
Po snížení o 10 % je hmotnost:
\(1{,}15H \times 0{,}90 = 1{,}035H\).
Podle zadání konečná hmotnost je 1485 g:
\(1{,}035H = 1485 \Rightarrow H = \frac{1485}{1{,}035} = 1434{,}78\) g.
Původní hmotnost byla tedy přibližně 1434,78 g.
29. V sadě jsou 150 kuliček dvou barev, červených a modrých v poměru 2 : 3. Kolik procent kuliček je modrých?
Řešení příkladu:
Poměr červených k modrým je 2 : 3, tedy celkem 5 dílů.
Celkový počet kuliček je 150.
Počet modrých kuliček je:
\(\frac{3}{5} \times 150 = 90\).
Procentuální zastoupení modrých kuliček je:
\(\frac{90}{150} \times 100\% = 60\%\).
Modré kuličky tvoří 60 % všech kuliček.
30. Po zvýšení platu o 8 % a následném snížení o 5 % je nový plat 3000 Kč. Jaký byl plat před těmito změnami?
Řešení příkladu:
Označíme původní plat jako \(P\).
Po zvýšení o 8 % je plat:
\(P \times 1{,}08 = 1{,}08P\).
Po následném snížení o 5 % je plat:
\(1{,}08P \times 0{,}95 = 1{,}026P\).
Podle zadání nový plat je 3000 Kč:
\(1{,}026P = 3000 \Rightarrow P = \frac{3000}{1{,}026} = 2923{,}36\) Kč.
Původní plat byl tedy přibližně 2923,36 Kč.
31. V obchodě byla původní cena výrobku 1200 Kč. Cena byla nejprve snížena o 15 %, potom byla zvýšena o 10 %. Jaká je výsledná cena výrobku a o kolik procent se liší od původní ceny?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(C = 1200\) Kč.
Nejprve dojde ke snížení ceny o 15 %. To znamená, že nová cena po tomto snížení bude:
Záporné znaménko znamená, že cena se celkově snížila o 6,5 % oproti původní ceně.
Výsledkem je tedy, že cena výrobku po těchto úpravách činí 1122 Kč, což je o 6,5 % méně než původní cena.
32. Městská knihovna eviduje 15 000 knih. Poměr beletrie a naučné literatury je 7 : 3. Knihovna nakoupila dalších 900 knih beletrie a 300 knih naučné literatury. Jaký je nyní poměr beletrie a naučné literatury?
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, kolik knih je beletrie a kolik naučné literatury v původním stavu.
Poměr je 7 : 3, což znamená, že z každých 10 knih je 7 beletrie a 3 naučné literatury.
Nový poměr beletrie a naučné literatury je tedy 19 : 8.
33. Dělník měl vyrobit 250 součástek za směnu. Po první polovině směny zjistil, že vyrobil pouze 40 % plánovaného počtu. Kolik procent musí vyrobit z druhé poloviny, aby splnil plán?
Řešení příkladu:
Původní plán je 250 součástek za celou směnu.
První polovina směny tedy představuje polovinu času a také plánovaného počtu, což je:
\(\frac{250}{2} = 125\) součástek.
Dělník však za první polovinu vyrobil pouze 40 % z plánovaných 125 součástek, tedy:
\(125 \times 0{,}40 = 50\) součástek.
Zbývá tedy k výrobě druhé polovině směny:
\(250 – 50 = 200\) součástek.
Druhá polovina směny je časově stejně dlouhá jako první, tedy na výrobu 200 součástek má stejný čas jako na 125 součástek.
Procentuálně tedy musí vyrobit z původního plánu na druhou polovinu:
\(\frac{200}{125} \times 100 \% = 160 \%\).
Tedy z druhé poloviny směny musí dělník vyrobit 160 % plánovaného počtu součástek, aby celkově splnil plán.
34. V nádrži je 400 litrů roztoku soli a vody. Poměr soli k vodě je 1 : 9. Kolik litrů vody je potřeba přidat, aby se koncentrace soli snížila na polovinu?
Řešení příkladu:
Poměr soli k vodě je 1 : 9, celkem je 1 + 9 = 10 dílů.
Množství soli v nádrži je:
\(\frac{1}{10} \times 400 = 40\) litrů.
Množství vody je:
\(\frac{9}{10} \times 400 = 360\) litrů.
Chceme snížit koncentraci soli na polovinu, tedy z 10 % (40 litrů soli z 400 litrů) na 5 %.
Označíme množství přidané vody jako \(x\) litrů. Po přidání vody bude celkový objem:
Je tedy potřeba přidat 400 litrů vody, aby se koncentrace soli snížila na polovinu.
35. Ve třídě je 24 studentů. Poměr chlapců a dívek je 5 : 7. Kolik procent tvoří chlapci a kolik procent dívky?
Řešení příkladu:
Poměr chlapců k dívkám je 5 : 7, tedy celkem 5 + 7 = 12 dílů.
Počet studentů je 24.
Označíme počet chlapců jako \(5k\) a počet dívek jako \(7k\), kde \(k\) je společný násobek.
Celkem máme:
\(5k + 7k = 12k = 24\).
Vyřešíme pro \(k\):
\(k = \frac{24}{12} = 2\).
Počet chlapců je:
\(5k = 5 \times 2 = 10\).
Počet dívek je:
\(7k = 7 \times 2 = 14\).
Procentuální zastoupení chlapců je:
\(\frac{10}{24} \times 100\% = 41{,}67 \%\).
Procentuální zastoupení dívek je:
\(\frac{14}{24} \times 100\% = 58{,}33 \%\).
Chlapci tvoří přibližně 41,67 % a dívky 58,33 % třídy.
36. Po zvýšení ceny o 25 % se cena výrobku zvýšila o 60 Kč. Jaká byla původní cena výrobku?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(C\).
Po zvýšení o 25 % je nová cena:
\(C \times (1 + 0{,}25) = 1{,}25 C\).
Zadání říká, že tato změna znamenala zvýšení o 60 Kč, což znamená:
\(1{,}25 C – C = 60 \Rightarrow 0{,}25 C = 60\).
Vyřešíme pro \(C\):
\(C = \frac{60}{0{,}25} = 240\) Kč.
Původní cena výrobku byla tedy 240 Kč.
37. Ve sportovním klubu je 120 členů. Poměr mladších a starších členů je 3 : 5. Pokud přijde dalších 30 mladších členů, jaký bude nový poměr mladších a starších členů?
Řešení příkladu:
Poměr mladších k starším členům je 3 : 5, celkem tedy 3 + 5 = 8 dílů.
Celkový počet členů je 120.
Počet mladších členů je:
\(\frac{3}{8} \times 120 = 45\).
Počet starších členů je:
\(\frac{5}{8} \times 120 = 75\).
Přijde dalších 30 mladších členů, nový počet mladších členů je:
\(45 + 30 = 75\).
Počet starších členů zůstává 75.
Nový poměr mladších k starším je tedy:
\(\frac{75}{75} = 1\), tedy 1 : 1.
Nový poměr mladších a starších členů je 1 : 1.
38. Po snížení hmotnosti o 18 % váží balík 410 g. Jaká byla původní hmotnost balíku?
Řešení příkladu:
Označíme původní hmotnost jako \(H\).
Po snížení o 18 % zůstane hmotnost:
\(H \times (1 – 0{,}18) = 0{,}82 H\).
Zadání říká, že tato hmotnost je 410 g, tedy:
\(0{,}82 H = 410\).
Vyřešíme pro \(H\):
\(H = \frac{410}{0{,}82} \approx 500\) g.
Původní hmotnost balíku byla tedy přibližně 500 g.
39. V 80 % roztoku cukru je 160 g cukru. Kolik gramů roztoku je celkem?
Řešení příkladu:
Označíme celkové množství roztoku jako \(M\) gramů.
V roztoku je 80 % cukru, což znamená, že cukr tvoří 0,8 celkové hmotnosti roztoku:
\(0{,}8 M = 160\) g.
Vyřešíme pro \(M\):
\(M = \frac{160}{0{,}8} = 200\) g.
Celková hmotnost roztoku je tedy 200 g.
40. Podíl dílů v chemické sloučenině je 3 : 2 : 5 podle hmotnosti. Celková hmotnost sloučeniny je 500 g. Kolik gramů váží každý díl?
Řešení příkladu:
Poměr dílů je 3 : 2 : 5, celkem tedy \(3 + 2 + 5 = 10\) dílů.
Celková hmotnost je 500 g, proto jeden díl váží:
\(\frac{500}{10} = 50\) g.
Hmotnosti jednotlivých dílů jsou tedy:
První díl: \(3 \times 50 = 150\) g.
Druhý díl: \(2 \times 50 = 100\) g.
Třetí díl: \(5 \times 50 = 250\) g.
Jednotlivé díly váží 150 g, 100 g a 250 g.
41. V obchodě byla cena výrobku zvýšena nejprve o 20 % a poté snížena o 10 %. Jaké je konečné procentuální zvýšení nebo snížení ceny oproti původní ceně?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme původní cenu výrobku jako \(P\).
Cena byla nejprve zvýšena o 20 %, tedy nová cena po prvním zvýšení je:
\(P_1 = P + 0{,}20P = 1{,}20P\).
Následně byla cena snížena o 10 % z této nové ceny, tedy:
Detailní vysvětlení: procentní změny se nesmí jednoduše sčítat, protože každá změna se počítá z aktuální hodnoty. Proto násobíme faktory 1,20 a 0,90 pro získání celkového poměru ceny.
42. V třídě je poměr chlapců a dívek 7 : 9. Pokud se do třídy přidá 5 chlapců a 3 dívky, nový poměr se změní na 4 : 5. Kolik je v třídě původně chlapců a kolik dívek?
Řešení příkladu:
Původní počet chlapců označíme jako \(7x\) a dívek jako \(9x\) podle daného poměru 7 : 9.
Po přidání 5 chlapců a 3 dívek budou počty:
chlapci: \(7x + 5\), dívky: \(9x + 3\).
Podle zadání platí rovnost poměrů:
\(\frac{7x + 5}{9x + 3} = \frac{4}{5}\).
Násobíme křížem:
\(5(7x + 5) = 4(9x + 3)\)
\(35x + 25 = 36x + 12\)
Převedeme členy se \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\(35x – 36x = 12 – 25\)
\(-x = -13 \Rightarrow x = 13\).
Dosadíme \(x=13\):
původní chlapci: \(7 \times 13 = 91\), původní dívky: \(9 \times 13 = 117\).
Ověříme nový poměr:
chlapci po přidání: \(91 + 5 = 96\)
dívky po přidání: \(117 + 3 = 120\)
\(\frac{96}{120} = \frac{4}{5}\) — odpovídá zadání.
43. V investičním portfoliu tvoří akcie 60 % hodnoty a dluhopisy 40 %. Pokud hodnota akcií vzroste o 15 % a hodnota dluhopisů klesne o 5 %, jaká je procentuální změna celkové hodnoty portfolia?
Řešení příkladu:
Označíme celkovou hodnotu portfolia před změnou jako \(V\).
Hodnota akcií je \(0{,}60V\), hodnota dluhopisů \(0{,}40V\).
Po zvýšení hodnoty akcií o 15 % je nová hodnota akcií:
\(0{,}60V \times 1{,}15 = 0{,}69V\).
Po snížení hodnoty dluhopisů o 5 % je nová hodnota dluhopisů:
\(0{,}40V \times 0{,}95 = 0{,}38V\).
Celková nová hodnota portfolia je:
\(0{,}69V + 0{,}38V = 1{,}07V\).
Procentuální změna je tedy:
\((1{,}07 – 1) \times 100 \% = 7 \%\).
Detailní poznámka: Nejdříve jsme vypočítali jednotlivé změny hodnot podle jejich podílu na portfoliu, poté jsme tyto nové hodnoty sečetli, abychom zjistili celkový růst.
44. Cena zboží byla nejprve snížena o 12 % a poté zvýšena o 20 %. Jaké je celkové procentuální změnění ceny oproti původní hodnotě?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu zboží jako \(C\).
První změna je snížení o 12 %, tedy nová cena po snížení je
\(C_1 = C – 0{,}12C = 0{,}88C\).
Následně cena vzrostla o 20 %, tedy nová cena po zvýšení je
Konečná cena je \(1{,}056\) násobkem původní ceny, což znamená, že došlo k navýšení o
\((1{,}056 – 1) \times 100 \% = 5{,}6 \%\).
Detailní vysvětlení: procentní změny nelze sčítat přímo, protože se druhá změna vztahuje k již změněné hodnotě. Proto musíme násobit jednotlivé faktory změn. Nejprve se cena sníží, což odpovídá násobení faktorem 0,88, poté vzroste, což odpovídá faktoru 1,20. Celkový faktor je jejich součin.
45. V obchodě byl původní poměr počtu prodaných jablek a hrušek 5 : 8. Po určitém období se počet prodaných jablek zvýšil o 40 % a počet prodaných hrušek se snížil o 25 %. Jaký je nyní poměr prodaných jablek k hruškám?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet prodaných jablek jako \(5x\) a hrušek jako \(8x\).
To znamená, že poměr prodaných jablek k hruškám se změnil z původních 5 : 8 na 7 : 6.
Podrobnější analýza: Procentuální změny počtů ovlivňují poměr tím, že nezůstávají ve stejném vzájemném vztahu. Protože jablek přibylo a hrušek ubylo, poměr se posunul ve prospěch jablek. Pro výpočet jsme použili multiplikativní faktory příslušných změn.
46. V investičním fondu tvořily akcie 70 % portfolia a dluhopisy 30 %. Po růstu akcií o 10 % a poklesu dluhopisů o 15 % jaký je nový poměr hodnoty akcií a dluhopisů v portfoliu?
Řešení příkladu:
Označíme celkovou hodnotu portfolia jako \(V\).
Hodnota akcií před změnou je \(0{,}70V\), hodnota dluhopisů \(0{,}30V\).
Pro lepší přehlednost vydělíme obě čísla nejmenším společným jmenovatelem, nebo je vydělíme \(0{,}255\):
\(\frac{0{,}77}{0{,}255} \approx 3{,}02\).
To znamená, že poměr je přibližně 3,02 : 1.
Detailní vysvětlení: Nejprve jsme spočítali nové hodnoty jednotlivých částí portfolia, přičemž jsme vzali v úvahu různé procentuální změny. Poté jsme určili nový poměr vydělením hodnoty akcií hodnotou dluhopisů. Tento poměr vyjadřuje, kolikrát více nyní akcie tvoří oproti dluhopisům.
47. Při výrobě dvou druhů výrobků A a B je poměr jejich množství 3 : 5. Cena výrobku A je o 20 % vyšší než cena výrobku B. Pokud celková hodnota produkce výrobků A a B je 15 600 Kč, určete ceny jednotlivých výrobků za kus, jestliže bylo vyrobeno celkem 80 kusů.
Řešení příkladu:
Nejprve označíme počet výrobků A a B. Poměr množství je 3 : 5, celkem bylo vyrobeno 80 kusů, tedy:
Počet výrobků A je \(3x = 30\), počet výrobků B je \(5x = 50\).
Označíme cenu výrobku B jako \(c\) Kč.
Cena výrobku A je o 20 % vyšší, tedy:
\(c_A = c + 0{,}20c = 1{,}20c\).
Celková hodnota produkce je součet hodnot všech kusů:
\(30 \times 1{,}20c + 50 \times c = 15 600\).
Zjednodušíme výraz:
\(36c + 50c = 15 600 \Rightarrow 86c = 15 600\).
Vyřešíme rovnici pro \(c\):
\(c = \frac{15 600}{86} \approx 181{,}40\) Kč.
Cena výrobku A je tedy:
\(c_A = 1{,}20 \times 181{,}40 = 217{,}68\) Kč.
Kontrola: hodnota A je \(30 \times 217{,}68 = 6 530{,}40\) Kč, hodnota B je \(50 \times 181{,}40 = 9 070\) Kč, celkem \(6 530{,}40 + 9 070 = 15 600{,}40\) Kč, což je v rámci zaokrouhlení správné.
Podrobnější vysvětlení: nejprve jsme vyjádřili počty výrobků pomocí společné proměnné, následně jsme použili procentuální zvýšení ceny výrobku A oproti B, sestavili rovnici pro celkovou hodnotu a vyřešili ji. Tím jsme získali přesnou cenu za kus pro oba výrobky.
48. V obchodě je poměr množství prodaných triček a kalhot 7 : 4. Pokud se množství triček zvýší o 30 % a množství kalhot se sníží o 20 %, jaký je nový poměr prodaného oblečení?
Řešení příkladu:
Původní množství triček označíme jako \(7x\), množství kalhot jako \(4x\).
Po zvýšení triček o 30 % je množství:
\(7x \times 1{,}30 = 9{,}1x\).
Po snížení kalhot o 20 % je množství:
\(4x \times 0{,}80 = 3{,}2x\).
Nový poměr triček ku kalhotám je:
\(\frac{9{,}1x}{3{,}2x} = \frac{9{,}1}{3{,}2}\).
Vydělíme obě hodnoty 0,1 pro jednodušší zlomky:
\(\frac{91}{32}\).
Tento poměr můžeme vyjádřit přibližně jako 2,84 : 1, tedy výrazně více triček než kalhot.
Detailní vysvětlení: změny v množství jsou řešeny jako procentuální nárůst a pokles, které aplikujeme na původní hodnoty a následně spočítáme nový poměr, což ukazuje, jak se skladba prodaného zboží změnila.
49. Při výrobě produktu je poměr nákladů na materiál, práci a režii 5 : 3 : 2. Pokud se náklady na materiál zvýší o 10 %, náklady na práci sníží o 20 % a režie zůstane stejná, jaký je nový poměr nákladů?
Řešení příkladu:
Označíme původní náklady na materiál jako \(5k\), práci jako \(3k\) a režii jako \(2k\).
Změny jsou:
Materiál: zvýšení o 10 % \Rightarrow \(5k \times 1{,}10 = 5{,}5k\).
Práce: snížení o 20 % \Rightarrow \(3k \times 0{,}80 = 2{,}4k\).
Režie zůstává \(2k\).
Nový poměr je:
\(5{,}5k : 2{,}4k : 2k\).
Pro jednodušší vyjádření vydělíme všechny členy \(0{,}1k\):
Poměr lze ponechat takto, nebo případně zkrátit. Největší společný dělitel není celý číslo, takže se ponechá jako takový.
Detailní vysvětlení: Při změnách procentuálních nákladů musíme jednotlivé složky přepočítat, aby reflektovaly nové hodnoty. Poměr vznikne jako poměr nových hodnot k sobě, přičemž jednotková proměnná se zruší. Výsledkem je nový poměr vyjadřující změny nákladů.
50. V restauraci se podíl objednávek mezi předkrmy a hlavními jídly změnil z 2 : 7 na 3 : 5. O kolik procent se změnil počet objednávek předkrmů, jestliže počet hlavních jídel zůstal stejný?
Řešení příkladu:
Označíme počet hlavních jídel jako \(7x\) podle původního poměru, počet předkrmů jako \(2x\).
Podle nové situace je počet hlavních jídel \(5y\) a počet předkrmů \(3y\).
Je dáno, že počet hlavních jídel se nezměnil, tedy:
\(7x = 5y \Rightarrow y = \frac{7x}{5}\).
Počet předkrmů před změnou byl \(2x\), po změně je to:
Detailní rozbor: Pomocí konstanty \(x\) jsme vyjádřili původní počty, poté pomocí konstanty \(y\) nové počty, a vzhledem k tomu, že hlavních jídel bylo stále stejně, vyjádřili jsme \(y\) pomocí \(x\). Pak jsme spočítali procentuální změnu předkrmů, která je výrazná a vyjadřuje více než dvojnásobný nárůst.
51. V knihovně je poměr počtu beletrie k naučné literatuře 4 : 9. Po vyřazení části beletrie a přidání 20 knih naučné literatury se poměr změnil na 2 : 5. Kolik knih beletrie bylo vyřazeno?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet beletrie jako \(4x\), počet naučné literatury jako \(9x\).
Po vyřazení \(y\) knih beletrie a přidání 20 knih naučné literatury jsou počty:
Aby byl počet vyřazených knih kladný, musí platit \(2x – 40 > 0 \Rightarrow x > 20\).
Celkem máme dvě neznámé, \(x\) a \(y\), proto potřebujeme ještě další informaci, kterou zadání neuvádí, například celkový počet knih.
Bez této informace můžeme vyjádřit vyřazené knihy \(y\) jako funkci \(x\).
Detailní vysvětlení: využili jsme poměr pro vyjádření počtů, vytvořili rovnici a zjistili, že problém má více neznámých než rovnic. Proto je třeba další údaj, jinak lze vyjádřit vztah mezi vyřazenými knihami a původním poměrem.
52. Cena výrobku byla zvýšena o 15 %, poté byla poskytnuta sleva 10 %. Jaká je konečná procentuální změna ceny oproti původní hodnotě?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(P\).
Po zvýšení o 15 % je cena:
\(P_1 = P \times 1{,}15\).
Po poskytnutí slevy 10 % je nová cena:
\(P_2 = P_1 \times 0{,}90 = P \times 1{,}15 \times 0{,}90 = P \times 1{,}035\).
Konečná cena je tedy 103,5 % původní ceny, což znamená nárůst o 3,5 %.
Detailní rozbor: procentní změny nelze sčítat ani odčítat, protože se sleva počítá z už zvýšené ceny. Proto se obě změny násobí, aby vznikl správný konečný faktor změny.
53. Poměr stran obdélníku je 5 : 3. Pokud se délka zvětší o 40 % a šířka se zmenší o 20 %, jak se změní obsah obdélníku v procentech?
Detailní analýza: Zvýšení délky a snížení šířky mají na obsah obdélníku různý dopad, proto se počítají obě změny jako faktory násobení původních rozměrů. Výsledný obsah porovnáme s původním, abychom určili procentuální změnu.
54. Ve městě je poměr lidí používajících k doprave autobus a kolo 7 : 2. Pokud se počet lidí používajících autobus sníží o 20 % a počet lidí jezdících na kole vzroste o 50 %, jaký je nový poměr těchto dvou skupin?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet lidí používajících autobus jako \(7x\) a kolo jako \(2x\).
Detailní vysvětlení: Procentní změny aplikujeme na původní počet, abychom určili nové hodnoty. Následně spočítáme poměr těchto nových hodnot. Pro lepší čitelnost poměr vyjádříme v celočíselné podobě.
55. V třídě je poměr chlapců k dívkám 3 : 4. Po přistoupení 6 nových chlapců a 2 nových dívek se poměr změní na 2 : 3. Kolik bylo původně chlapců a dívek ve třídě?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet chlapců jako \(3x\) a dívek jako \(4x\).
Po přistoupení 6 chlapců a 2 dívek je počet chlapců:
Záporné \(x\) nemá smysl, proto zkontrolujeme zadání, zda je správné.
Předpokládáme, že poměr po změně je správný, pak došlo k chybě v zadání, nebo v zadání je uvedeno jinak.
Pokud by byl nový poměr například 7 : 10, pak bychom pokračovali. Jinak zadání není řešitelné s těmito čísly.
Detailní vysvětlení: Poměr vyjadřuje vztah mezi počty, ale záporné řešení znamená nesoulad zadání nebo potřebu revize dat. Je důležité zkontrolovat, zda jsou informace konzistentní.
56. Cena určitého výrobku se nejprve zvýšila o 20 % a poté snížila o 25 %. O kolik procent je konečná cena nižší nebo vyšší oproti původní?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(C\).
Po zvýšení o 20 %:
\(C_1 = C \times 1{,}20\).
Po snížení o 25 %:
\(C_2 = C_1 \times 0{,}75 = C \times 1{,}20 \times 0{,}75 = C \times 0{,}9\).
Konečná cena je 90 % původní ceny, tedy snížení o 10 %.
Detailní rozbor: Procentní změny se aplikují postupně a nelze je sčítat nebo odečítat přímo, protože druhá změna je procentuální z původně změněné ceny. Proto je důležité násobit faktory změn.
57. V obchodě je poměr počtu židlí k počtu stolů 5 : 3. Po nákupu 10 židlí a 5 stolů se poměr změní na 11 : 7. Kolik židlí a stolů bylo původně v obchodě?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet židlí jako \(5x\), počet stolů jako \(3x\).
Záporné \(x\) nedává smysl, proto zkontrolujeme zadání nebo předpoklady.
Pokud zadání je správné, pak se jedná o nepřiměřený vstup, jinak je potřeba opravit zadání.
Detailní rozbor: Rovnice s neplatným záporným řešením znamená, že vstupní data jsou nekonzistentní, což je třeba ověřit při analýze.
58. V městské dopravě je poměr cestujících používajících tramvaj a autobus 3 : 4. Po změně tarifů se počet cestujících v tramvaji zvýšil o 25 % a počet cestujících v autobusu se snížil o 10 %. Jaký je nový poměr cestujících?
Řešení příkladu:
Označíme počet cestujících tramvají jako \(3x\) a autobusů jako \(4x\).
Detailní vysvětlení: Nejprve aplikujeme procentní změny na původní hodnoty, poté spočítáme nový poměr jako podíl nových hodnot. Výsledný poměr vyjadřuje relativní změnu počtu cestujících v obou skupinách.
59. V třídě je poměr počtu studentů, kteří nosí brýle, k těm, kteří je nenosí, 2 : 5. Po přidání 3 studentů s brýlemi a 2 bez brýlí se poměr změní na 3 : 7. Kolik studentů je v třídě původně?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet studentů s brýlemi jako \(2x\), bez brýlí jako \(5x\).
Detailní vysvětlení: Pomocí neznámé \(x\) vyjádříme původní počty, pak vytvoříme rovnici podle nového poměru a řešíme pro \(x\). Nakonec spočítáme celkový původní počet studentů.
60. Poměr výšky ke šířce obrazce je 9 : 16. Pokud se výška zvýší o 20 % a šířka se sníží o 10 %, jaký je nový poměr výšky ke šířce?
Řešení příkladu:
Označíme původní výšku jako \(9x\) a šířku jako \(16x\).
Detailní analýza: Změny v jednotlivých rozměrech provedeme pomocí procentuálního násobení, poté spočítáme nový poměr vydělením příslušných hodnot. Výsledek ukazuje, jak se změnily proporce obrazce.
61. V továrně se zvýšila produkce výrobků o 15 % oproti původnímu stavu. Současně se spotřeba surovin snížila o 10 %. O kolik procent se změnila efektivita výroby, pokud je definována jako poměr produkce k množství surovin?
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme původní produkci výrobků jako \(P_0\) a původní spotřebu surovin jako \(S_0\).
Efektivita výroby je definována jako poměr \(E = \frac{P}{S}\).
Tento výsledek znamená, že efektivita výroby vzrostla o přibližně \(27{,}78\%\), protože
\( (1{,}2777… – 1) \times 100\% = 27{,}78\%\).
Detailní rozbor: Zvýšení produkce znamená větší výstup za stejný nebo menší vstup surovin. Snížení spotřeby surovin pak znamená, že na vyrobení stejného množství výrobků je potřeba méně materiálu. Kombinací těchto dvou vlivů dochází k celkovému zvýšení efektivity, kterou jsme přesně spočítali pomocí poměru nových a původních hodnot.
62. Investor vložil do podniku 200 000 Kč a chce získat 12 % roční zisk. Po roce podnik zvýšil svůj zisk o 8 % oproti předchozímu roku. Jaký byl zisk v prvním a druhém roce a jaký je celkový výnos z investice za dva roky v procentech?
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme očekávaný zisk v prvním roce. Investor chce 12 % zisku, takže zisk za první rok je
\(Z_1 = 200\,000 \times 0{,}12 = 24\,000\) Kč.
Podnik ovšem ve druhém roce zvýšil svůj zisk o 8 % oproti prvnímu roku, tedy
Detailní rozbor: V první fázi spočítáme zisk dle požadované míry výnosu. Ve druhém roce se zisk zvýší o 8 %, proto ho vynásobíme koeficientem 1,08. Součet obou zisků vydělíme původní investicí a převedeme na procenta, čímž zjistíme celkovou návratnost. Tento způsob ukazuje složení procentuálního růstu zisku v čase a umožňuje sledovat efektivitu investice v průběhu několika období.
63. V obchodě je sleva 25 % na cenu výrobku. Pokud zákazník zaplatil po slevě 900 Kč, jaká byla původní cena výrobku? Jaká je cena výrobku po přidání 15 % DPH?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu výrobku jako \(C\).
Po slevě 25 % zákazník zaplatil 900 Kč, což znamená, že zaplatil 75 % původní ceny, tedy
\(0{,}75 \times C = 900\).
Z toho vyjádříme původní cenu
\(C = \frac{900}{0{,}75} = 1\,200\) Kč.
Nyní přidáme k původní ceně 15 % DPH, což znamená zvýšení ceny o 15 %, tedy
Detailní rozbor: Sleva sníží cenu o čtvrtinu, proto zákazník platí 75 % původní ceny. Vypočítáme původní cenu vydělením zaplacené částky tímto poměrem. DPH se přidává na původní cenu, ne na cenu po slevě, což je běžná praxe v daném obchodním prostředí. Takto spočítáme cenu konečnou s daní.
64. V třídě je poměr chlapců k dívkám 3 : 4. Po přestupu 6 chlapců a 4 dívek se poměr změnil na 2 : 3. Kolik bylo původně chlapců a dívek ve třídě?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet chlapců jako \(3x\) a počet dívek jako \(4x\), protože poměr je 3 : 4.
Odečteme \(8x\) na levé straně a přidáme 18 na obě strany:
\(9x – 8x = -8 + 18 \Rightarrow x = 10\).
Nyní spočítáme původní počty:
Chlapci: \(3 \times 10 = 30\).
Dívky: \(4 \times 10 = 40\).
Detailní rozbor: Poměr 3 : 4 vyjadřuje základní vztah počtů chlapců a dívek, který jsme vyjádřili pomocí jedné neznámé \(x\). Po přestupu se počet sníží o dané hodnoty a výsledný poměr nastavíme jako rovnici. Řešením této rovnice zjistíme hodnotu \(x\), ze které vypočteme původní počet chlapců a dívek. Tento postup lze využít při řešení problémů s poměry a změnami v počtech.
65. Z ceny výrobku byla odečtena sleva 18 %, pak byla připočtena 20% marže. Jaký je konečný poměr ceny výrobku před slevou a ceny po připočtení marže?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu výrobku jako \(C\).
Po slevě 18 % je cena
\(C_s = C \times (1 – 0{,}18) = 0{,}82 C\).
Na tuto cenu je připočtena marže 20 %, což znamená, že konečná cena je
Tento poměr je menší než 1, což znamená, že i po připočtení marže je cena nižší než původní cena.
Detailní rozbor: Sleva nejprve sníží cenu, marže pak cenu zvýší. Pro výpočet konečné ceny v procentech původní použijeme postupné násobení procentuálních koeficientů. Výsledek ukazuje, že marže nevyrovná plně slevu, což může být důležité pro rozhodování o cenové politice.
66. Ve firmě pracuje 120 zaměstnanců, z nichž 40 % tvoří ženy. Po přijetí dalších 15 mužů se poměr mužů a žen změnil. Jaký je nový poměr a o kolik procent se změnil podíl žen?
Detailní rozbor: Přijetím nových mužů se zvětší počet mužů a celkový počet zaměstnanců, což má za následek pokles procentuálního zastoupení žen. Poměr mužů k ženám lze vyjádřit jako zlomek a přepočítat na desetinné číslo pro lepší pochopení změny. Výpočet procentní změny podílu žen ukazuje relativní pokles jejich zastoupení.
67. Firma chce zvýšit cenu výrobku o 25 %. Jaký je nutný procentní pokles množství prodaných kusů, aby tržby zůstaly stejné?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu výrobku jako \(C\) a původní množství prodaných kusů jako \(Q\).
Tržby jsou původně
\(T_0 = C \times Q\).
Po zvýšení ceny o 25 % je nová cena
\(C_1 = C \times 1{,}25\).
Označíme novou prodanou množství kusů jako \(Q_1\).
Požadujeme, aby tržby zůstaly stejné, tedy
\(T_1 = C_1 \times Q_1 = T_0\).
Dosadíme
\(1{,}25 C \times Q_1 = C \times Q\) \Rightarrow \(Q_1 = \frac{Q}{1{,}25} = 0{,}8 Q\).
To znamená, že množství prodaných kusů musí klesnout na 80 % původního množství, což je pokles o
\((1 – 0{,}8) \times 100\% = 20\%\).
Detailní rozbor: Zvýšení ceny o 25 % znamená, že za jeden kus výrobku získáme o 25 % více peněz. Aby celkové tržby zůstaly stejné, musí klesnout prodané množství tak, aby součin nových ceny a nového množství byl stejný jako původní. Vypočítali jsme tedy procentuální pokles množství jako 20 %.
68. Celkový počet obyvatel města je 50 000. Každý rok se počet obyvatel zvyšuje o 2 %. Jaký bude počet obyvatel po 5 letech?
Řešení příkladu:
Počet obyvatel po 5 letech, pokud se každý rok zvyšuje o 2 %, je dán vzorcem pro složený růst
Detailní rozbor: Používáme vzorec složeného růstu, kde se každý rok počet obyvatel násobí koeficientem růstu 1,02. Po pěti letech se tento růst násobí opakovaně, což vede k exponenciálnímu nárůstu populace. Výsledkem je přibližně 55 204 obyvatel po pěti letech.
69. Dvě společnosti A a B mají dohromady 10 000 akcií. Společnost A vlastní 60 % z celkového počtu akcií. Pokud společnost B prodá 500 akcií společnosti A, jaký je nový podíl společnosti A na akciích?
Řešení příkladu:
Celkový počet akcií je 10 000.
Společnost A vlastní 60 %, tedy počet akcií
\(A_0 = 0{,}60 \times 10\,000 = 6\,000\).
Společnost B vlastní zbytek, tedy
\(B_0 = 10\,000 – 6\,000 = 4\,000\).
Společnost B prodá společnosti A 500 akcií, tedy
\(A_1 = 6\,000 + 500 = 6\,500\).
Celkový počet akcií zůstává stejný, 10 000.
Nový podíl společnosti A je
\(\frac{6\,500}{10\,000} = 0{,}65 = 65\%\).
Detailní rozbor: Převod akcií mezi společnostmi nemění celkový počet akcií, pouze mění jejich rozdělení. Počet akcií společnosti A se zvýší o prodaných 500 akcií a výpočet nového procentuálního podílu provedeme jako poměr nového počtu akcií společnosti A k celkovému počtu akcií.
70. V obchodě je sleva 15 % na všechny výrobky. Původní cena je 480 Kč. Po slevě se však k ceně přičítá 10 % daň z prodeje. Jaká je výsledná cena výrobku po slevě a přidání daně?
Řešení příkladu:
Nejprve si určíme, jaká je cena výrobku po slevě 15 %.
Původní cena je 480 Kč, sleva 15 % znamená, že cena klesne o
\(480 \times 0{,}15 = 72\) Kč.
Nová cena po slevě je tedy
\(480 – 72 = 408\) Kč.
Nyní k této ceně přičteme daň z prodeje ve výši 10 %.
Daň z prodeje se počítá z ceny po slevě, tedy
\(408 \times 0{,}10 = 40{,}8\) Kč.
Výsledná cena po přidání daně je tedy
\(408 + 40{,}8 = 448{,}8\) Kč.
Detailní rozbor: V tomto příkladu je důležité rozlišit dvě procentní operace: nejprve slevu, která cenu snižuje, a poté daň, která cenu zvyšuje. Sleva se odečítá z původní ceny, což znamená přímé procentuální snížení. Daň z prodeje se přičítá až po slevě, což znamená, že se počítá z nižší částky. Výsledkem je tedy cena, která je vyšší než po slevě, ale nižší než původní cena před slevou a daní.
71. Ve třídě je poměr chlapců a dívek 7 : 9. Po přestupu 4 chlapců a 3 dívek se poměr změní na 3 : 4. Kolik chlapců a dívek bylo ve třídě původně?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet chlapců jako \(7x\) a dívek jako \(9x\), kde \(x\) je společný násobek poměru.
Po přestupu 4 chlapců a 3 dívek se počet chlapců změní na \(7x – 4\) a dívek na \(9x – 3\).
Detailní rozbor: Poměr je vyjádřen pomocí společného násobku, který nám umožňuje určit reálný počet chlapců a dívek. Změny počtu jsou odečteny od původních hodnot, aby bylo možné sestavit rovnici pro nový poměr. Po vyřešení rovnice získáme přesný počet žáků před přestupy.
72. Cena nějakého výrobku se zvýšila o 12 %, pak následně o dalších 8 %. Jaký je celkový procentní nárůst ceny?
Detailní rozbor: Procentní změny ceny po sobě se násobí, protože každý následující procentní nárůst se počítá z nové ceny, nikoliv z původní. Proto není možné prostě sečíst 12 % a 8 %, ale je potřeba použít součin koeficientů růstu. Výsledný celkový nárůst tedy přesahuje prostý součet a je přesně 20,96 %.
73. V balíčku jsou karty v poměru červených k modrým 5 : 7. Pokud přidáme 10 červených a 6 modrých karet, poměr se změní na 3 : 4. Kolik je karet v balíčku původně?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet červených karet jako \(5x\) a modrých jako \(7x\).
Po přidání 10 červených a 6 modrých je počet červených \(5x + 10\) a modrých \(7x + 6\).
Detailní rozbor: Poměr se vyjadřuje jako zlomky s neznámým společným násobkem. Přidáním karet se počet mění, ale nový poměr dává rovnici, ze které lze zjistit hodnotu \(x\). Po získání \(x\) vypočítáme celkový počet karet. Výsledek je celkový původní počet karet v balíčku.
74. Město má 120 000 obyvatel. Každý rok se populace zmenší o 3 %. Jaká bude populace za 4 roky?
Řešení příkladu:
Počet obyvatel se každý rok zmenšuje o 3 %, tedy zůstane 97 % původního počtu.
Počet obyvatel za \(t\) let lze spočítat jako
\(N_t = N_0 \times (1 – r)^t\), kde \(N_0 = 120\,000\), \(r = 0{,}03\) a \(t = 4\).
Dosadíme:
\(N_4 = 120\,000 \times (0{,}97)^4\).
Vypočítáme mocninu:
\((0{,}97)^4 \approx 0{,}8853\).
Počet obyvatel po 4 letech je tedy
\(120\,000 \times 0{,}8853 = 106\,236\).
Detailní rozbor: Exponenciální pokles populace znamená, že každý rok se populace násobí koeficientem menším než 1. Protože se procentní pokles odečítá každý rok, je nutné použít mocninu koeficientu. Výsledkem je přesnější odhad populace po daném počtu let.
75. Podíl mužů a žen v nějaké skupině je 5 : 4. Po přidání 12 mužů a 8 žen se poměr změní na 3 : 2. Kolik bylo původně mužů a žen ve skupině?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet mužů jako \(5x\) a žen jako \(4x\).
Hodnota \(x = 0\) však nedává smysl, znamená to, že poměr po přidání není možné získat z původního poměru tímto způsobem.
Detailní rozbor: Tento příklad ukazuje, že ne vždy je možné získat požadovaný nový poměr přidáním konkrétních počtů za stejných předpokladů. Výsledkem je, že původní počet mužů a žen je nulový nebo že daný scénář není realizovatelný za uvedených podmínek. Z tohoto důvodu je nutné prověřit, zda jsou zadání konzistentní.
76. V nádobě je směs dvou kapalin v poměru 7 : 3. Přidáním 2 litrů první kapaliny a 4 litrů druhé kapaliny se poměr změní na 3 : 2. Kolik litrů každé kapaliny bylo původně v nádobě?
Řešení příkladu:
Označíme původní množství první kapaliny jako \(7x\) litrů a druhé kapaliny jako \(3x\) litrů.
Po přidání 2 litrů první a 4 litrů druhé kapaliny máme
první kapaliny \(7x + 2\) litrů, druhé kapaliny \(3x + 4\) litrů.
Detailní rozbor: Poměr vyjadřujeme jako násobek neznámé \(x\), což umožňuje určení přesných objemů. Přidáním známých objemů se poměr změní, což dává rovnici umožňující spočítat \(x\). Po výpočtu je možné určit původní množství kapalin. Tento přístup je běžný při řešení úloh s poměry a přidáváním množství.
77. Cena akcie vzrostla nejprve o 5 %, pak klesla o 7 %. Jaký je celkový procentní rozdíl oproti původní ceně?
To znamená, že cena je o 2,35 % nižší než původní cena.
Detailní rozbor: Procentní změny v různých směrech (růst a pokles) je nutné násobit, protože každá změna je aplikována na aktuální cenu, nikoliv na původní. Výsledkem je, že konečná cena může být nižší i přesto, že došlo k prvotnímu růstu, pokud následný pokles převáží.
78. V určitém městě je poměr počtu aut k počtu motocyklů 9 : 4. Po přestěhování se počet aut zvýšil o 20 %, počet motocyklů o 50 %. Jaký je nový poměr aut k motocyklům?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet aut jako \(9x\) a motocyklů jako \(4x\).
Po zvýšení počtu aut o 20 % je počet aut
\(9x \times 1{,}20 = 10{,}8x\).
Po zvýšení počtu motocyklů o 50 % je počet motocyklů
Detailní rozbor: Procentní zvýšení počtu vozidel se provádí nezávisle na původních počtech. Po výpočtu nových hodnot spočítáme poměr nových hodnot, kde \(x\) se vykrátí. Výsledkem je nový poměr, který odráží změny ve struktuře vozidel.
79. V obchodě jsou dvě skupiny výrobků. Poměr jejich cen je 5 : 8. Cena první skupiny se zvýšila o 10 %, cena druhé klesla o 15 %. Jaký je nyní poměr jejich cen?
Řešení příkladu:
Označíme cenu první skupiny jako \(5x\), cenu druhé jako \(8x\).
Po zvýšení o 10 % je cena první skupiny
\(5x \times 1{,}10 = 5{,}5x\).
Po snížení o 15 % je cena druhé skupiny
\(8x \times 0{,}85 = 6{,}8x\).
Nový poměr je tedy
\(\frac{5{,}5x}{6{,}8x} = \frac{5{,}5}{6{,}8}\).
Pro zjednodušení poměru vydělíme čitatele a jmenovatele 0,1:
\(\frac{55}{68}\).
Poměr je tedy přibližně \(55 : 68\), což nelze dále zjednodušit.
Detailní rozbor: Poměry cen se mění v závislosti na procentní změně jednotlivých skupin. Uplatnění procentních změn vede k nové hodnotě, jejíž poměr vyjadřuje změněnou strukturu cen výrobků.
80. V sadě je 120 ovocných stromů. Poměr jabloní k hrušním je 5 : 7. Pokud se přidá 15 jabloní a 5 hrušní, jaký bude nový poměr?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet jabloní jako \(5x\) a hrušní jako \(7x\).
Původní počet jabloní je tedy \(5 \times 10 = 50\), hrušní \(7 \times 10 = 70\).
Po přidání 15 jabloní a 5 hrušní je počet jabloní \(50 + 15 = 65\), hrušní \(70 + 5 = 75\).
Nový poměr je tedy
\(\frac{65}{75} = \frac{13}{15}\).
Detailní rozbor: Poměr vyjadřujeme pomocí společného násobku \(x\), který jsme určili z celkového počtu stromů. Přidání konkrétních množství ovlivní nový poměr. Využíváme základní principy práce s poměry a úprav rovnic k určení nových hodnot a poměru.
81. V továrně pracuje 240 zaměstnanců, z nichž 60 % jsou muži a zbytek ženy. Po zvýšení počtu žen o 20 % a snížení počtu mužů o 10 % se změní poměr mužů k ženám. Jaký je nový poměr mužů k ženám?
Řešení příkladu:
Nejprve určíme původní počet mužů a žen:
Původní počet mužů je \(240 \times 0{,}60 = 144\).
\(1{,}125 = \frac{9}{8}\), takže poměr je \( \frac{9}{8} : 1\), tedy \(9 : 8\).
Detailní rozbor: Při výpočtu je důležité správně pochopit základní množství a procentuální změny aplikovat na tyto hodnoty. Změny procent se vztahují vždy k původní hodnotě. Následně je třeba poměr vyjádřit ve srozumitelném tvaru, často jako poměr celých čísel, což umožní lepší porozumění a praktickou aplikaci výsledku.
82. Cena zboží byla snížena o 15 %, pak o dalších 10 %. Jaké je celkové procentní snížení ceny oproti původní hodnotě?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(P\).
Po první slevě o 15 % je nová cena:
\(P_1 = P \times (1 – 0{,}15) = P \times 0{,}85\).
Po druhé slevě o 10 % je cena dále snížena:
\(P_2 = P_1 \times (1 – 0{,}10) = P \times 0{,}85 \times 0{,}90 = P \times 0{,}765\).
Celková cena je tedy \(76{,}5\%\) původní ceny.
Procentní snížení je:
\(100\% – 76{,}5\% = 23{,}5\%\).
Detailní rozbor: Při aplikaci vícenásobných procentních změn není možné jednoduše sčítat procenta, protože druhá změna se vztahuje k už snížené hodnotě. Násobení příslušných faktorů (např. 0,85 a 0,90) dává správný výsledek. Tento princip je klíčový při řešení úloh, kde dochází k postupným změnám hodnoty.
83. Množství roztoku obsahuje 30 % soli. Kolik litrů destilované vody musíme přidat k 10 litrům tohoto roztoku, aby koncentrace soli klesla na 20 %?
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme množství soli v původním roztoku:
\(10 \times 0{,}30 = 3\) litry soli.
Přidáním vody se množství soli nemění, pouze se mění celkový objem roztoku.
Označíme přidané množství vody jako \(x\) litrů.
Celkový objem roztoku po přidání vody bude \(10 + x\) litrů.
Detailní rozbor: Tato úloha ilustruje princip zachování množství rozpuštěné látky při změně koncentrace přidáním rozpouštědla. Nezměněné množství soli je rozptýleno v novém objemu roztoku, což vede ke snížení koncentrace. Matematicky je toto vyjádřeno rovnicí s neznámým objemem přidané vody, která po úpravě dává požadovaný výsledek.
84. V krabici jsou pomeranče a jablka v poměru 3 : 5. Pokud odebereme 12 pomerančů a 20 jablek, poměr se změní na 1 : 2. Kolik pomerančů a jablek bylo původně v krabici?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet pomerančů jako \(3x\) a jablek jako \(5x\).
Po odebrání plodů máme pomeranče \(3x – 12\) a jablka \(5x – 20\).
Detailní rozbor: Poměr původních množství vyjadřujeme pomocí společného násobku \(x\), který představuje jednotku poměru. Odebráním známých množství se upravují hodnoty v poměru, čímž vzniká rovnice umožňující výpočet \(x\). Z výsledku vypočteme původní počty plodů. Tento postup je běžný u úloh na poměry a jejich změny.
85. V investici byla částka rozdělena mezi tři podíly v poměru 4 : 7 : 9. Po jednom roce se první podíl zvýšil o 5 %, druhý klesl o 3 % a třetí se zvýšil o 8 %. Jaký je nyní poměr všech tří podílů?
Řešení příkladu:
Označíme původní podíly jako \(4x\), \(7x\) a \(9x\).
Poměr lze zapsat jako přibližně \(420 : 679 : 972\), pokud násobíme 100x.
Detailní rozbor: Tento příklad demonstruje práci s procentními změnami jednotlivých částí investice. Procentní zvýšení nebo snížení se provádí násobením příslušného faktoru. Výsledné hodnoty je možné porovnat jako poměry. Převod na celá čísla pomáhá lépe interpretovat výsledky v praktických situacích.
86. Množství zboží bylo rozděleno do poměru 2 : 3. Pokud přidáme ke druhé části 40 jednotek, poměr se změní na 2 : 5. Jaké bylo původní množství zboží?
Detailní rozbor: Základní princip řešení spočívá v použití společného násobku \(x\) pro vyjádření poměru částí. Úprava poměru po přidání jednotek vede k rovnici, kterou vyřešíme pro \(x\). Výsledkem je původní celkové množství zboží. Tento způsob je typický pro problémy s poměry a jejich změnami při přidávání nebo odebírání hodnot.
87. V určité třídě je 60 studentů. Poměr dívek a chlapců je 7 : 5. Po přestupu 6 chlapců a 3 dívek se poměr změní na 4 : 3. Kolik dívek a chlapců bylo původně?
Řešení příkladu:
Označíme původní počet dívek jako \(7x\) a chlapců jako \(5x\).
Celkem je:
\(7x + 5x = 12x\).
Celkem je 60 studentů, tedy:
\(12x = 60\) \Rightarrow \(x = 5\).
Původní počet dívek:
\(7 \times 5 = 35\).
Původní počet chlapců:
\(5 \times 5 = 25\).
Po přestupu se počet dívek změní na:
\(35 – 3 = 32\).
Po přestupu se počet chlapců změní na:
\(25 – 6 = 19\).
Podle zadání je nový poměr:
\(\frac{32}{19} = \frac{4}{3}\).
Zkontrolujeme platnost:
\(32 : 19 = 1{,}684\ldots\),
\(4 : 3 = 1{,}333\ldots\).
Poměr nesouhlasí, proto se chyba skrývá ve vyjádření nového poměru nebo ve formulaci úlohy.
Detailní rozbor: Při kontrole platnosti nových hodnot a poměru zjistíme nesoulad, což může znamenat chybu v zadání nebo nepochopení podmínky. Pro správné řešení by bylo třeba zkontrolovat zadání nebo upravit předpoklady. Tento krok je důležitý pro ověření správnosti výsledků a pro další postup řešení.
88. Původní hodnota akcie byla 150 Kč. Po růstu o 12 % a následném poklesu o 8 % jaká je nová hodnota akcie?
Detailní rozbor: Tento postup ukazuje, jak procentní změny aplikujeme postupně na aktuální hodnotu. Nelze jednoduše odečíst procenta od původní hodnoty bez zohlednění předchozí změny. Výsledek poskytuje přesnou novou hodnotu akcie po obou změnách.
89. V kuchyni je 5 litrů sirupu, který obsahuje 25 % cukru. Kolik litrů vody je třeba přidat, aby koncentrace cukru klesla na 20 %?
Detailní rozbor: Tento příklad ukazuje, jak se pracuje s ředěním roztoku. Množství látky (cukru) zůstává konstantní, ale celkový objem roztoku se zvětší přidáním vody. Poměr látky k celkovému objemu se tak změní a podle požadované koncentrace vypočteme požadovaný objem přidané vody.
90. Cena zboží byla snížena o 15 %. Poté byla cena zvýšena o 20 %. Jaká je konečná cena zboží vzhledem k původní ceně?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu jako \(C\).
Po snížení o 15 % je nová cena:
\(C \times (1 – 0{,}15) = 0{,}85C\).
Po zvýšení o 20 % z této nové ceny je konečná cena:
Konečná cena je tedy \(1{,}02C\), což znamená, že se cena oproti původní zvýšila o 2 %.
Detailní rozbor: Tento příklad demonstruje, jak procentní změny aplikované po sobě nemusí jednoduše sčítat procenta. Procentní zvýšení se vztahuje k aktuální ceně, nikoliv k původní. Proto je nutné procentní změny násobit. Výsledek ukazuje, že i po snížení a následném zvýšení může být konečná cena vyšší než původní.
91. V obchodě se zvýšila cena zboží o 20 %. Následně byla poskytnuta sleva 15 % z nové ceny. Jaká je výsledná procentní změna ceny oproti původní ceně?
Řešení příkladu:
Označíme původní cenu zboží jako \(P\).
Nejprve dojde ke zvýšení ceny o 20 %, což znamená, že nová cena po zvýšení je
\(P_1 = P \times (1 + 0{,}20) = 1{,}20P\).
Následně je poskytnuta sleva 15 % z této nové ceny, tedy výsledná cena po slevě je
Tedy konečná cena představuje 102 % původní ceny, což znamená, že cena se celkově zvýšila o 2 % oproti původní hodnotě.
Podrobnější vysvětlení: Procentní změny nelze jednoduše sečíst (20 % zvýšení a 15 % snížení by nevypočítaly správně celkovou změnu), protože druhá změna je aplikována na již upravenou cenu. Tento princip složeného procenta je klíčový pro správné vyhodnocení sekvence procentních změn. Výpočet proto probíhá přes násobení koeficientů odpovídajících jednotlivým procentním změnám.
92. Poměr počtu studentů ve dvou třídách je 7 : 5. Po přechodu 6 studentů z první do druhé třídy se poměr změní na 5 : 4. Kolik studentů bylo původně v každé třídě?
Řešení příkladu:
Označíme počet studentů v první třídě jako \(7x\) a ve druhé třídě jako \(5x\), kde \(x\) je nějaké kladné reálné číslo.
Po přechodu 6 studentů z první do druhé třídy se počet studentů změní takto:
První třída: \(7x – 6\)
Druhá třída: \(5x + 6\)
Nový poměr je 5 : 4, takže platí rovnice
\(\frac{7x – 6}{5x + 6} = \frac{5}{4}\).
Provedeme křížové násobení:
\(4(7x – 6) = 5(5x + 6)\)
\(28x – 24 = 25x + 30\)
Přesuneme všechny členy na jednu stranu:
\(28x – 25x = 30 + 24\)
\(3x = 54 \Rightarrow x = 18\).
Nyní spočítáme původní počet studentů v obou třídách:
První třída: \(7 \times 18 = 126\)
Druhá třída: \(5 \times 18 = 90\)
Kontrola po přesunu 6 studentů:
První třída: \(126 – 6 = 120\)
Druhá třída: \(90 + 6 = 96\)
Poměr: \(\frac{120}{96} = \frac{5}{4}\), což souhlasí se zadáním.
Detailní rozbor: Poměr je poměrná hodnota a ne konkrétní počet, proto označení pomocí proměnné \(x\) umožňuje najít všechny možné konkrétní počty studentů, které by splňovaly původní poměr. Přechodem studentů se počet upraví, ale poměr se změní na požadovanou hodnotu, což umožňuje sestavit rovnici a určit \(x\).
93. Investice byla zvýšena o 12 %. O rok později se hodnota investice snížila o 8 %. Jaký je celkový procentní zisk nebo ztráta za oba roky?
Řešení příkladu:
Označíme počáteční hodnotu investice jako \(I\).
Po zvýšení o 12 % je hodnota investice
\(I_1 = I \times (1 + 0{,}12) = 1{,}12I\).
O rok později dojde ke snížení o 8 % z nové hodnoty, tedy
Celková hodnota investice je nyní 103,04 % původní hodnoty, což znamená, že celkový zisk za oba roky činí
\(3{,}04\%\).
Podrobný rozbor: Toto je typický příklad složeného procentního výpočtu, kde procentní změny v jednotlivých obdobích jsou aplikovány na aktuální hodnotu, ne na původní hodnotu investice. Proto nelze procenta jednoduše sčítat nebo odčítat, ale musíme počítat pomocí násobení odpovídajících koeficientů.
94. V továrně pracuje 60 % mužů a 40 % žen. Zpočátku bylo zaměstnáno 200 lidí. O rok později se počet mužů zvýšil o 10 % a počet žen snížil o 5 %. Jaký je nový poměr mužů a žen?
Pro zjednodušení vydělíme čitatele i jmenovatele jejich největším společným dělitelem. Nejprve vyjádříme zlomek v základním tvaru:
Vypočítáme poměr jako desetinné číslo:
\(\frac{132}{76} \approx 1{,}7368\).
Tento poměr přibližně odpovídá poměru 87 : 50 (protože \(1{,}7368 \approx \frac{87}{50}\)).
Alternativně můžeme zlomky upravit na celé čísla:
Vynásobíme obě čísla vhodným číslem, aby byl poměr v jednoduchých celých číslech, například:
\(132 : 76 = 66 : 38 = 33 : 19\).
Tedy nový poměr mužů k ženám je 33 : 19.
Detailní rozbor: Změny v počtu zaměstnanců jsou vyjádřeny procentně, proto je třeba použít násobení koeficientem odpovídajícím procentuální změně. Pro zjištění nového poměru je vhodné použít zjednodušení zlomku nebo přepočet na desetinné číslo a zpět na poměr celých čísel.
95. Cena výrobku byla snížena o 30 %, poté zvýšena o 50 %. Jaká je konečná cena výrobku v procentech původní ceny?
Konečná cena je tedy 105 % původní ceny, což znamená, že cena se celkově zvýšila o 5 % oproti původní ceně.
Podrobnější rozbor: Tento příklad ilustruje složené procentní změny, kde snížení ceny následované zvýšením nevede k původní ceně, ale k hodnotě závislé na součinu příslušných koeficientů.
96. V sadě je 120 jablek a hrušek v poměru 3 : 5. Kolik procent celkového počtu tvoří jablka?
Řešení příkladu:
Poměr jablek a hrušek je 3 : 5, což znamená, že na každé 3 jablka připadá 5 hrušek.
Celkový počet částí je
\(3 + 5 = 8\).
Počet jablek je tedy
\(\frac{3}{8} \times 120 = 45\).
Počet hrušek je
\(\frac{5}{8} \times 120 = 75\).
Procentní podíl jablek z celkového počtu je
\(\frac{45}{120} \times 100 = 37{,}5\,\%\).
Detailní rozbor: Poměr je způsob, jak rozdělit celek na části. Výpočet procentního podílu spočívá v určení zlomku odpovídajícího dané části a jeho převodu na procenta vynásobením stem.
97. Firma zvýšila produkci o 25 %. Po čtvrt roce však poklesla produkce o 10 %. Jaká je výsledná procentní změna produkce oproti původní hodnotě?
Výsledná produkce je tedy 112,5 % původní produkce, což znamená nárůst o 12,5 %.
Detailní rozbor: Tento příklad potvrzuje, že procentní změny se musí aplikovat postupně, přičemž procentní pokles po zvýšení nemůže být jednoduše odečten od prvního zvýšení, ale je nutné vypočítat výsledný efekt jako součin příslušných koeficientů.
98. Poměr dívek a chlapců na škole je 4 : 7. Pokud je na škole celkem 660 žáků, kolik je dívek a kolik chlapců?
Řešení příkladu:
Poměr dívek a chlapců je 4 : 7, tedy celkem
\(4 + 7 = 11\) částí.
Jedna část odpovídá
\(\frac{660}{11} = 60\) žákům.
Počet dívek je
\(4 \times 60 = 240\).
Počet chlapců je
\(7 \times 60 = 420\).
Kontrola: \(240 + 420 = 660\).
Detailní rozbor: Poměr určuje, jak je celkový počet rozdělen mezi dvě skupiny. Výpočet jedné části poměru umožňuje snadno spočítat konkrétní počty v jednotlivých skupinách.
99. Počet knih v knihovně se zvýšil o 15 %. Po dalším roce se zvýšil ještě o 20 %. Jaký je celkový procentní nárůst počtu knih oproti původnímu počtu?
Celkový nárůst je tedy 38 % oproti původnímu počtu.
Podrobné vysvětlení: Dvě procentní zvýšení v po sobě jdoucích obdobích nelze jednoduše sečíst. Je třeba počítat složený efekt, což se provádí vynásobením jednotlivých koeficientů, odpovídajících procentním změnám.
100. Na oslavě bylo 120 lidí. Poměr mužů k ženám byl 3 : 5. Po příchodu dalších 30 mužů se poměr změnil na 2 : 3. Kolik bylo původně mužů a kolik žen?
Řešení příkladu:
Označíme počet mužů jako \(3x\) a počet žen jako \(5x\), protože poměr mužů k ženám je 3 : 5.
Podle zadání se po příchodu mužů poměr mužů k ženám změnil na 2 : 3, což znamená, že platí rovnost
\(\frac{75}{75} = \frac{2}{3}\).
Tato rovnost není pravdivá, proto je potřeba upravit interpretaci zadání.
Správně tedy vytvoříme rovnici podle nové situace:
\(\frac{3x + 30}{5x} = \frac{2}{3}\).
Křížovým násobením dostaneme:
\(3(3x + 30) = 2 \times 5x\)
\(9x + 90 = 10x\)
\(90 = 10x – 9x = x\)
Tedy \(x = 90\).
Nyní spočítáme původní počty mužů a žen:
Počet mužů je \(3 \times 90 = 270\).
Počet žen je \(5 \times 90 = 450\).
Kontrola: Původní počet lidí by byl \(270 + 450 = 720\), což není shodné s 120 uvedenými v zadání.
Z toho vyplývá, že zadání pravděpodobně obsahuje nepřesnost, nebo je potřeba upřesnit kontext problému.
Pokud však bereme v úvahu, že původní počet lidí byl opravdu 120, pak nelze splnit současně podmínky poměru před a po příchodu 30 mužů tak, jak jsou uvedeny.
Závěr: Při správném nastavení rovnic a podmínek bychom vyřešili, že původní počet mužů a žen je
\(45\) mužů a \(75\) žen, a po příchodu 30 mužů by se poměr změnil na
\(\frac{75}{75} = 1\), tedy 1 : 1, což je odlišné od 2 : 3.
