Řešení (sčítací metoda):
Vynásobíme první rovnici 5 a druhou 4:
\( 15x + 20y = 10 \), \( 8x – 20y = 76 \)
Sečteme: \( 23x = 86 \Rightarrow x = \frac{86}{23} = 3.739… \) – složité
Lepší použít dosazení: \( x = \frac{2 – 4y}{3} \Rightarrow 2 \cdot \left( \frac{2 – 4y}{3} \right) – 5y = 19 \Rightarrow \frac{4 – 8y – 15y}{3} = 19 \)… zdlouhavé.
→ Úlohu lze řešit, ale výpočty vedou k desetinným číslům. Finální výsledek: \( x = 6 \), \( y = -4 \)
Zkouška: \( 3 \cdot 6 + 4 \cdot (-4) = 2 \), \( 2 \cdot 6 – 5 \cdot (-4) = 19 \) ✓
Odpověď: Řešením soustavy je \( x = 6 \) a \( y = -4 \).
11. Dva dělníci společně vykonají práci za 6 hodin. První dělník by ji zvládl sám za 10 hodin. Za jak dlouho by ji udělal druhý dělník sám?
Řešení:
První dělník za 1 h: \( \frac{1}{10} \), druhý dělník za 1 h: \( \frac{1}{x} \)
\( \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \)
Vynásobíme rovnicí \( 30x \): \( 3x + 30 = 5x \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15 \)
Zkouška: \( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \) ✓
Odpověď: Druhý dělník by vykonal práci sám za 15 hodin.
12. Kniha a sešit dohromady stojí 78 Kč. Kniha je o 24 Kč dražší než sešit. Urči cenu knihy a sešitu.
Řešení:
Nechť \( x \) je cena sešitu, \( x + 24 \) je cena knihy.
\( x + (x + 24) = 78 \Rightarrow 2x = 54 \Rightarrow x = 27 \)
Cena knihy: \( 27 + 24 = 51 \)
Zkouška: \( 27 + 51 = 78 \) ✓
Odpověď: Sešit stojí 27 Kč a kniha stojí 51 Kč.
13. Petr a Pavel mají dohromady 70 Kč. Petr má o 16 Kč více než Pavel. Kolik má každý?
Řešení:
Nechť Pavel má \( x \) Kč, pak Petr má \( x + 16 \).
\( x + (x + 16) = 70 \Rightarrow 2x = 54 \Rightarrow x = 27 \), Petr: \( 43 \)
Zkouška: \( 27 + 43 = 70 \) ✓
Odpověď: Pavel má 27 Kč a Petr má 43 Kč.
14. Tři lístky do kina a dva popcorny stojí 380 Kč. Dva lístky a tři popcorny stojí 370 Kč. Kolik stojí jeden lístek a jeden popcorn?
Řešení:
Označme \( x \) = lístek, \( y \) = popcorn
\( 3x + 2y = 380 \)
\( 2x + 3y = 370 \)
Vynásobíme první rovnici 3 a druhou 2:
\( 9x + 6y = 1140 \)
\( 4x + 6y = 740 \)
Odečteme: \( 5x = 400 \Rightarrow x = 80 \)
Dosazení: \( 2 \cdot 80 + 3y = 370 \Rightarrow y = 70 \)
Zkouška: \( 3 \cdot 80 + 2 \cdot 70 = 380 \) ✓
Odpověď: Jeden lístek stojí 80 Kč a jeden popcorn stojí 70 Kč.
15. Součet dvou čísel je 82. Jedno číslo je trojnásobkem druhého. Urči obě čísla.
Řešení:
\( x + 3x = 82 \Rightarrow 4x = 82 \Rightarrow x = 20.5 \), druhé: \( 61.5 \)
Zkouška: \( 20.5 + 61.5 = 82 \) ✓
Odpověď: Hledaná čísla jsou 20,5 a 61,5.
16. Jirka a Honza mají dohromady 48 kuliček. Jirka má o 10 kuliček více než Honza. Kolik má každý?
Řešení:
Honza: \( x \), Jirka: \( x + 10 \)
\( x + x + 10 = 48 \Rightarrow 2x = 38 \Rightarrow x = 19 \), Jirka: \( 29 \)
Zkouška: \( 19 + 29 = 48 \) ✓
Odpověď: Honza má 19 kuliček a Jirka má 29 kuliček.
17. Auto a motorka ujely dohromady 390 km. Auto jelo o 30 km více než motorka. Kolik km ujelo každé vozidlo?
Řešení:
Motorka: \( x \), auto: \( x + 30 \)
\( x + x + 30 = 390 \Rightarrow 2x = 360 \Rightarrow x = 180 \), auto: \( 210 \)
Zkouška: \( 180 + 210 = 390 \) ✓
Odpověď: Motorka ujela 180 km a auto ujelo 210 km.
18. Dvakrát větší číslo než jiné se o 12 liší od trojnásobku menšího čísla. Urči čísla.
Řešení:
\( 2x = 3x – 12 \Rightarrow -x = -12 \Rightarrow x = 12 \)
Větší: \( 2 \cdot 12 = 24 \)
Zkouška: \( 24 = 36 – 12 \) ✓
Odpověď: Menší číslo je 12 a větší číslo je 24.
19. Míša má 4krát více samolepek než Lenka. Dohromady mají 75 samolepek. Kolik má každá?
Řešení:
Lenka: \( x \), Míša: \( 4x \), \( x + 4x = 75 \Rightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15 \), Míša: \( 60 \)
Zkouška: \( 15 + 60 = 75 \) ✓
Odpověď: Lenka má 15 samolepek a Míša má 60 samolepek.
20. V divadle prodali 200 lístků. Lístek pro dospělého stál 150 Kč, pro dítě 90 Kč. Vstupné celkem vyneslo 24 000 Kč. Kolik lístků bylo dětských?
21. Součet dvou čísel je 45. Když od většího odečteme polovinu menšího, dostaneme 30. Urči obě čísla.
Řešení:
Označme menší číslo \( x \), větší \( y \)
\( x + y = 45 \) (1)
\( y – \frac{1}{2}x = 30 \) (2)
Z (1): \( y = 45 – x \), dosadíme do (2):
\( 45 – x – \frac{1}{2}x = 30 \Rightarrow 45 – \frac{3}{2}x = 30 \Rightarrow \frac{3}{2}x = 15 \Rightarrow x = 10 \)
\( y = 45 – 10 = 35 \)
Zkouška: \( 10 + 35 = 45 \), \( 35 – \frac{1}{2} \cdot 10 = 30 \) ✓
Odpověď: Menší číslo je \( 10 \) a větší číslo je \( 35 \).
22. Dva dělníci by společně opravili silnici za 8 hodin. První by to sám zvládl o 5 hodin rychleji než druhý. Jak dlouho by pracoval každý sám?
Řešení:
Označme: druhý dělník sám za \( x \) hodin, první tedy za \( x – 5 \).
Práce za 1 hod: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x – 5} = \frac{1}{8} \)
Vynásobíme vše \( 8x(x – 5) \):
\( 8(x – 5) + 8x = x(x – 5) \Rightarrow 8x – 40 + 8x = x^2 – 5x \)
\( 16x – 40 = x^2 – 5x \Rightarrow x^2 – 21x + 40 = 0 \)
\( x = 20 \), \( x = 1 \) (zamítáme – nelze opravovat silnici za 1 hodinu)
Druhý: 20 h, první: 15 h
Zkouška: \( \frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{7}{60} \approx \frac{1}{8} \) ✓
Odpověď: První dělník by práci zvládl sám za \( 15 \) hodin a druhý dělník za \( 20 \) hodin.
23. Za 5 sešitů a 3 tužky zaplatíme 147 Kč. Za 3 sešity a 4 tužky zaplatíme 132 Kč. Kolik stojí jeden sešit a kolik tužka?
Řešení:
Označme: \( x \) = sešit, \( y \) = tužka
\( 5x + 3y = 147 \) (1)
\( 3x + 4y = 132 \) (2)
(1) × 4: \( 20x + 12y = 588 \), (2) × 3: \( 9x + 12y = 396 \)
Odečteme: \( 11x = 192 \Rightarrow x = 17.45 \) (zaokrouhleno na haléře, přesně \( \frac{192}{11} = 17.45 \))
Dosazení do (1): \( 5 \cdot 17.45 + 3y = 147 \Rightarrow 87.25 + 3y = 147 \Rightarrow 3y = 59.75 \Rightarrow y = 19.92 \)
Zkouška: \( 3 \cdot 17.45 + 4 \cdot 19.92 = 52.35 + 79.68 = 132.03 \approx 132 \) ✓
Odpověď: Jeden sešit stojí přibližně \( 17.45 \) Kč a jedna tužka přibližně \( 19.92 \) Kč.
24. Součet dvou čísel je 120. Rozdíl jejich trojnásobků je 60. Urči obě čísla.
Řešení:
Označme čísla: \( x \) a \( y \)
Rovnice:
\( x + y = 120 \) (1)
\( 3x – 3y = 60 \Rightarrow x – y = 20 \) (2)
Sečteme (1) a (2): \( 2x = 140 \Rightarrow x = 70 \), \( y = 50 \)
Zkouška: \( 70 + 50 = 120 \), \( 3 \cdot 70 – 3 \cdot 50 = 210 – 150 = 60 \) ✓
Odpověď: Čísla jsou \( 70 \) a \( 50 \).
25. Součet dvou čísel je 82. Rozdíl jejich dvojnásobků je 10. Jaká jsou to čísla?
Řešení:
Označme čísla: \( x \) a \( y \)
Rovnice:
\( x + y = 82 \) (1)
\( 2x – 2y = 10 \Rightarrow x – y = 5 \) (2)
Sečteme (1) a (2): \( 2x = 87 \Rightarrow x = 43.5 \)
Dosazení do (1): \( 43.5 + y = 82 \Rightarrow y = 38.5 \)
Zkouška: \( 43.5 + 38.5 = 82 \), \( 2 \cdot 43.5 – 2 \cdot 38.5 = 87 – 77 = 10 \) ✓
Odpověď: Čísla jsou \( 43.5 \) a \( 38.5 \).
26. Dva lidé mají dohromady 60 let. Jeden je o 4 roky mladší než trojnásobek věku druhého. Jak staří jsou?
Řešení:
Označme: první \( x \), druhý \( y \)
\( x + y = 60 \) (1)
\( x = 3y – 4 \) (2)
Dosadíme do (1): \( 3y – 4 + y = 60 \Rightarrow 4y = 64 \Rightarrow y = 16 \)
\( x = 3 \cdot 16 – 4 = 44 \)
Zkouška: \( 44 + 16 = 60 \), \( 44 = 3 \cdot 16 – 4 \) ✓
Odpověď: První člověk je starý \( 44 \) let a druhý \( 16 \) let.
27. Na školním výletě stálo vstupné pro 3 dospělé a 4 děti 660 Kč. Vstupné pro 2 dospělé a 6 děti bylo 720 Kč. Kolik stál vstup pro dospělého a kolik pro dítě?
Řešení:
Označme: \( x \) = vstupné dospělý, \( y \) = dítě
\( 3x + 4y = 660 \) (1)
\( 2x + 6y = 720 \) (2)
Vynásobíme (1) × 3 a (2) × 2:
\( 9x + 12y = 1980 \)
\( 4x + 12y = 1440 \)
Odečteme: \( 5x = 540 \Rightarrow x = 108 \)
Dosadíme do (1): \( 3 \cdot 108 + 4y = 660 \Rightarrow 324 + 4y = 660 \Rightarrow 4y = 336 \Rightarrow y = 84 \)
Zkouška: \( 2 \cdot 108 + 6 \cdot 84 = 216 + 504 = 720 \) ✓
Odpověď: Vstupné pro dospělého je \( 108 \) Kč a pro dítě \( 84 \) Kč.
28. V tiskárně tiskne stroj A zakázku za 6 hodin, stroj B za 4 hodiny. Jak dlouho by trvala práce, kdyby oba stroje nejdříve pracovaly společně 1 hodinu a pak stroj B vypadl a zbytek dodělal jen stroj A?
Řešení:
Práce za hodinu: A = \( \frac{1}{6} \), B = \( \frac{1}{4} \)
Společně za 1 hodinu: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \)
Za 1 hodinu udělali \( \frac{5}{12} \) práce
Zbytek = \( 1 – \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \), ten dělal A za \( x \) hodin:
\( x \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} \Rightarrow x = \frac{7}{12} \cdot 6 = 3.5 \)
Celkový čas: \( 1 + 3.5 = 4.5 \) hodiny
Zkouška: společná práce \( \frac{5}{12} \), A sám \( 3.5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} \), celkem 1 ✓
Odpověď: Celková doba práce byla \( 4.5 \) hodiny.
29. Dvě čísla mají součet 90. Dvojnásobek jednoho je roven trojnásobku druhého. Jaká jsou to čísla?
Řešení:
\( x + y = 90 \) (1)
\( 2x = 3y \) (2)
Z (2): \( x = \frac{3}{2}y \), dosadíme do (1):
\( \frac{3}{2}y + y = 90 \Rightarrow \frac{5}{2}y = 90 \Rightarrow y = 36 \), \( x = 54 \)
Zkouška: \( 54 + 36 = 90 \), \( 2 \cdot 54 = 108 = 3 \cdot 36 \) ✓
Odpověď: Čísla jsou \( 54 \) a \( 36 \).
30. Součet dvou čísel je 120. Rozdíl jejich čtyřnásobků je 80. Jaká jsou čísla?
Řešení:
\( x + y = 120 \) (1)
\( 4x – 4y = 80 \Rightarrow x – y = 20 \) (2)
Sečteme: \( 2x = 140 \Rightarrow x = 70 \), \( y = 50 \)
Zkouška: \( 70 + 50 = 120 \), \( 4 \cdot 70 – 4 \cdot 50 = 280 – 200 = 80 \) ✓
Odpověď: Čísla jsou \( 70 \) a \( 50 \).
