Tělesa – poznávání základních těles

Řešení příkladu:

1. Tato kostka má celkem \(12\) hran, protože každá její stěna je čtverec se čtyřmi hranami a každá hrana je sdílena mezi dvěma stěnami.
2. Kostka má celkem \(8\) vrcholů, kde se setkávají vždy tři hrany.
3. Obvod jedné stěny je součet délek všech čtyř stran, což je \(4 + 4 + 4 + 4 = 16 \, \text{cm}\), tedy obvod je \(16 \, \text{cm}\).
4. Povrch kostky spočítáme jako součet ploch všech šesti stěn. Plocha jedné stěny je \(4 \times 4 = 16 \, \text{cm}^2\), takže povrch kostky je \(6 \times 16 = 96 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

1. Kvádr má celkem \(12\) hran, protože každá stěna má čtyři hrany a každá hrana je sdílena mezi dvěma stěnami.
2. Kvádr má celkem \(8\) vrcholů.
3. Obvod přední stěny kvádru, která je obdélník o stranách \(6 \, \text{cm}\) a \(4 \, \text{cm}\), je \(6 + 4 + 6 + 4 = 20 \, \text{cm}\).
4. Povrch kvádru spočítáme jako součet ploch všech jeho šesti stěn. Povrch je tedy \(2 \times (6 \times 4 + 6 \times 3 + 4 \times 3) = 2 \times (24 + 18 + 12) = 2 \times 54 = 108 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

1. Povrch koule vypočítáme podle vzorce \(P = 4 \pi r^2\). Dosadíme-li \(r = 5\), získáme \(P = 4 \times \pi \times 5^2 = 4 \times \pi \times 25 \approx 314{,}16 \, \text{cm}^2\).
2. Objem koule spočítáme podle vzorce \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\). Pro \(r = 5\) je objem \(V = \frac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 125 \approx 523{,}60 \, \text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

1. Povrch válce spočítáme podle vzorce \(P = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h\). Po dosazení hodnot \(r = 4\) a \(h = 10\) dostaneme \(P = 2 \pi \times 4^2 + 2 \pi \times 4 \times 10 = 2 \pi \times 16 + 2 \pi \times 40 \approx 100{,}53 \, \text{cm}^2\).
2. Objem válce vypočítáme podle vzorce \(V = \pi r^2 h\). Dosazením získáme \(V = \pi \times 4^2 \times 10 = \pi \times 16 \times 10 = 502{,}65 \, \text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

1. Povrch kužele spočítáme podle vzorce \(P = \pi r^2 + \pi r s\), kde \(s\) je šikmá výška kužele. Pro výpočet \(s\) použijeme Pythagorovu větu: \(s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8{,}54 \, \text{cm}\). Po dosazení do vzorce dostaneme \(P = \pi \times 3^2 + \pi \times 3 \times 8{,}54 \approx 28{,}27 + 80{,}41 = 108{,}68 \, \text{cm}^2\).
2. Objem kužele spočítáme podle vzorce \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Po dosazení hodnot je objem \(V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 8 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 8 = 75{,}40 \, \text{cm}^3\).

Řešení příkladu:

1. Objem trojúhelníkového hranolu spočítáme podle vzorce \(V = A_{\text{podstava}} \times h\), kde \(A_{\text{podstava}}\) je obsah podstavy a \(h\) je výška hranolu. Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku je \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \approx 15{,}59 \, \text{cm}^2\). Objem je tedy \(15{,}59 \times 10 = 155{,}9 \, \text{cm}^3\).
2. Povrch hranolu spočítáme jako součet obsahů dvou podstav a tří bočních stěn. Obsah podstavy je \(15{,}59 \, \text{cm}^2\), takže celkový povrch je \(2 \times 15{,}59 + 3 \times \text{plocha boční stěny}\), kde plocha jedné boční stěny závisí na jejích konkrétních rozměrech.

Řešení příkladu:

1. Objem krychle spočítáme podle vzorce \(V = a^3\), kde \(a\) je délka hrany. Dosadíme-li \(a = 5\), je objem \(125 \, \text{cm}^3\).
2. Povrch krychle spočítáme podle vzorce \(S = 6a^2\), kde \(a\) je délka hrany. Po dosazení \(a = 5\) získáme povrch \(150 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

1. Délku hrany krychle vyjádříme ze vzorce pro objem \(V = a^3\). Z toho dostaneme \(a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{216} = 6 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

1. Délku hrany krychle vyjádříme ze vzorce pro povrch \(S = 6a^2\). Z toho vyplývá \(a = \sqrt{\frac{S}{6}} = \sqrt{\frac{384}{6}} = 8 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

1. Objem kvádru spočítáme pomocí vzorce \( V = a \times b \times c \), kde \(a\), \(b\) a \(c\) jsou délky stran kvádru. Po dosazení hodnot dostaneme \( V = 3 \times 4 \times 5 = 60 \, \text{cm}^3 \). Tedy objem kvádru je \(60 \, \text{cm}^3\).
2. Povrch kvádru vypočítáme podle vzorce \( S = 2ab + 2ac + 2bc \). Po dosazení délky stran máme \( S = 2 \times 3 \times 4 + 2 \times 3 \times 5 + 2 \times 4 \times 5 = 24 + 30 + 40 = 94 \, \text{cm}^2 \). Povrch kvádru je tedy \(94 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

1. Objem kvádru je dán vzorcem \( V = a \times b \times c \). Z tohoto vzorce můžeme vyjádřit třetí stranu: \[ c = \frac{V}{a \times b} = \frac{120}{6 \times 5} = 4 \, \text{cm}. \] Délka třetí strany kvádru je tedy \( 4 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Povrch kvádru je dán vzorcem \[ S = 2(ab + ac + bc). \] Dosadíme známé hodnoty: \[ 150 = 2(5 \times 7 + 5 \times c + 7 \times c) = 2(35 + 5c + 7c) = 2(35 + 12c) = 70 + 24c. \] Odečteme 70 od obou stran: \[ 150 – 70 = 24c \Rightarrow 80 = 24c \Rightarrow c = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \, \text{cm}. \] Objem kvádru vypočítáme jako \[ V = a \times b \times c = 5 \times 7 \times \frac{10}{3} = \frac{350}{3} \approx 116{,}67 \, \text{cm}^3. \] Objem tohoto kvádru je tedy přibližně \( 116{,}67 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

1. Objem koule spočítáme pomocí vzorce \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3, \] kde \( r = 3 \, \text{cm} \). Dosadíme: \[ V = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36 \pi \approx 113{,}1 \, \text{cm}^3. \] Objem koule je tedy přibližně \( 113{,}1 \, \text{cm}^3 \).
2. Povrch koule spočítáme pomocí vzorce \[ S = 4 \pi r^2. \] Dosadíme: \[ S = 4 \pi \times 3^2 = 4 \pi \times 9 = 36 \pi \approx 113{,}1 \, \text{cm}^2. \] Povrch koule je tedy přibližně \( 113{,}1 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

1. Objem koule je dán vzorcem \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3. \] Z tohoto vzorce vyjádříme poloměr: \[ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}} = \sqrt[3]{\frac{3 \times 904{,}32}{4 \pi}} \approx 6 \, \text{cm}. \] Poloměr koule je tedy přibližně \( 6 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Povrch koule je dán vzorcem \[ S = 4 \pi r^2. \] Z tohoto vzorce vyjádříme poloměr: \[ r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} = \sqrt{\frac{452{,}16}{4 \pi}} \approx 6 \, \text{cm}. \] Poloměr koule je tedy přibližně \( 6 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Objem válce spočítáme podle vzorce \[ V = \pi r^2 h, \] kde \( r = 4 \, \text{cm} \) a \( h = 6 \, \text{cm} \). Dosadíme: \[ V = \pi \times 4^2 \times 6 = \pi \times 16 \times 6 = 96 \pi \approx 301{,}6 \, \text{cm}^3. \] Objem válce je tedy přibližně \( 301{,}6 \, \text{cm}^3 \).
2. Povrch válce spočítáme podle vzorce \[ S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h. \] Dosadíme: \[ S = 2 \pi \times 4^2 + 2 \pi \times 4 \times 6 = 2 \pi \times 16 + 2 \pi \times 24 = 32 \pi + 48 \pi = 80 \pi \approx 251{,}3 \, \text{cm}^2. \] Povrch válce je tedy přibližně \( 251{,}3 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

1. Objem válce je dán vzorcem \[ V = \pi r^2 h. \] Z tohoto vzorce vyjádříme poloměr: \[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{113{,}1}{\pi \times 6}} \approx 3 \, \text{cm}. \] Poloměr válce je tedy přibližně \( 3 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Povrch válce je dán vzorcem \[ S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h. \] Z tohoto vzorce vyjádříme výšku: \[ h = \frac{S – 2 \pi r^2}{2 \pi r} = \frac{150{,}8 – 2 \pi \times 3^2}{2 \pi \times 3} = \frac{150{,}8 – 18 \pi}{6 \pi} \approx \frac{150{,}8 – 56{,}55}{18{,}85} \approx \frac{94{,}25}{18{,}85} \approx 5 \, \text{cm}. \] Výška válce je tedy přibližně \( 5 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Objem kuželu spočítáme podle vzorce \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \] kde \( r = 5 \, \text{cm} \) a \( h = 8 \, \text{cm} \). Dosadíme: \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 8 = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 8 = \frac{200}{3} \pi \approx 209{,}4 \, \text{cm}^3. \] Objem kuželu je tedy přibližně \( 209{,}4 \, \text{cm}^3 \).
2. Šikmá výška \( l \) se spočítá podle Pythagorovy věty: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9{,}43 \, \text{cm}. \] Povrch kuželu spočítáme podle vzorce \[ S = \pi r (r + l) = \pi \times 5 \times (5 + 9{,}43) = 5 \pi \times 14{,}43 = 72{,}15 \pi \approx 226{,}6 \, \text{cm}^2. \] Povrch kuželu je tedy přibližně \( 226{,}6 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

1. Objem kuželu je dán vzorcem \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. \] Z tohoto vzorce vyjádříme poloměr: \[ r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{3 \times 150}{\pi \times 9}} = \sqrt{\frac{450}{9 \pi}} = \sqrt{\frac{50}{\pi}} \approx 3{,}99 \, \text{cm}. \] Poloměr kuželu je tedy přibližně \( 4 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

1. Objem trojúhelníkového hranolu spočítáme pomocí vzorce \( V = A_{\text{podstava}} \times h \), kde \( A_{\text{podstava}} \) je obsah podstavy a \( h \) je výška hranolu. Obsah podstavy rovnostranného trojúhelníku je \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2. \] Po dosazení tedy dostáváme objem \[ V = 9\sqrt{3} \times 10 = 90\sqrt{3} \approx 155,9 \, \text{cm}^3. \]
2. Povrch hranolu spočítáme jako součet dvou podstav a plochy bočních stěn. Boční plocha je obvod podstavy krát výška hranolu. Obvod rovnostranného trojúhelníku je \[ o = 3 \times 6 = 18 \, \text{cm}. \] Povrch je tedy \[ S = 2 \times 9\sqrt{3} + 18 \times 10 = 18\sqrt{3} + 180 \approx 31,18 + 180 = 211,18 \, \text{cm}^2. \]

Odpověď: Objem hranolu je přibližně \( 155,9 \, \text{cm}^3 \) a jeho povrch je přibližně \( 211,2 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Objem kvádru vypočítáme podle vzorce \[ V = a \times b \times c = 7 \times 4 \times 3 = 84 \, \text{cm}^3. \]

Povrch kvádru spočítáme jako \[ S = 2(ab + ac + bc) = 2(7 \times 4 + 7 \times 3 + 4 \times 3) = 2(28 + 21 + 12) = 2 \times 61 = 122 \, \text{cm}^2. \]

Odpověď: Objem kvádru je \( 84 \, \text{cm}^3 \) a jeho povrch je \( 122 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr koule je \[ r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm}. \]

Objem koule spočítáme podle vzorce \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi 5^3 = \frac{500}{3} \pi \approx 523,6 \, \text{cm}^3. \]

Povrch koule je \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi 5^2 = 100 \pi \approx 314,2 \, \text{cm}^2. \]

Odpověď: Objem koule je přibližně \( 523,6 \, \text{cm}^3 \) a její povrch je přibližně \( 314,2 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Poloměr válce je \[ r = \frac{6}{2} = 3 \, \text{cm}. \]

Objem válce spočítáme podle vzorce \[ V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90 \pi \approx 282,7 \, \text{cm}^3. \]

Povrch válce je dán vzorcem \[ S = 2 \pi r (r + h) = 2 \pi \times 3 \times (3 + 10) = 78 \pi \approx 245,0 \, \text{cm}^2. \]

Odpověď: Objem válce je přibližně \( 282,7 \, \text{cm}^3 \) a jeho povrch je přibližně \( 245,0 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Objem kuželu spočítáme podle vzorce \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 9 = \frac{144}{3} \pi = 48 \pi \approx 150,8 \, \text{cm}^3. \]

Odpověď: Objem kuželu je přibližně \( 150,8 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Povrch kuželu je dán vzorcem \[ S = \pi r (r + l), \] kde \( l \) je šikmá výška kuželu. Nejprve vyjádříme \( l \): \[ 201,1 = \pi \times 5 \times (5 + l) \Rightarrow 201,1 = 5 \pi (5 + l) \Rightarrow \frac{201,1}{5 \pi} = 5 + l \Rightarrow l \approx 7,8 \, \text{cm}. \]

Výšku \( h \) vypočteme z Pythagorovy věty jako \[ h = \sqrt{l^2 – r^2} = \sqrt{7,8^2 – 5^2} = \sqrt{60,84 – 25} = \sqrt{35,84} \approx 6 \, \text{cm}. \]

Odpověď: Výška kuželu je přibližně \( 6 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Objem kvádru je dán vzorcem \[ V = a \times b \times c, \] kde \( a = 6 \, \text{cm} \), \( b = 5 \, \text{cm} \) a \( c \) je neznámá délka hrany. Vyjádříme \( c \): \[ c = \frac{V}{a \times b} = \frac{180}{6 \times 5} = \frac{180}{30} = 6 \, \text{cm}. \]

Odpověď: Délka třetí hrany kvádru je \( 6 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Poloměr koule vypočteme z povrchu podle vzorce \[ S = 4 \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \sqrt{\frac{804,2}{4 \pi}} \approx \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}. \]

Objem koule je pak \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi 8^3 = \frac{2048}{3} \pi \approx 2144,7 \, \text{cm}^3. \]

Odpověď: Objem koule je přibližně \( 2144,7 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Obsah pravoúhlého trojúhelníku spočítáme jako \[ A = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{cm}^2. \]

Objem hranolu je tedy \[ V = A \times h = 24 \times 10 = 240 \, \text{cm}^3. \]

Odpověď: Objem trojbokého hranolu je \( 240 \, \text{cm}^3 \).

Řešení příkladu:

Povrch: \( S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \Rightarrow 376,8 = 2\pi r(r + h) = 2\pi r(r + 6) \)

Řešením této rovnice dostaneme \( r = 4 \, \text{cm} \) (numericky nebo dosazením).

Odpověď: Poloměr válce je \( 4 \, \text{cm} \).