Thaletova věta

Řešení příkladu:

Thaletova věta říká, že pokud bod \( C \) leží na kružnici s průměrem \( AB \), pak trojúhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \).

Bod \( C \) leží na kružnici s průměrem \( AB = 10\, \text{cm} \) ⇒ trojúhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \).

Řešení příkladu:

Průměr \( XY = 12\, \text{cm} \) a \( Z \) leží na kružnici ⇒ trojúhelník \( XYZ \) je pravoúhlý v bodě \( Z \) podle Thaletovy věty.

Řešení příkladu:

Průměr \( MN = 14\, \text{cm} \) ⇒ strana \( MN \) je přepona pravoúhlého trojúhelníku \( MPN \) (pravý úhel v bodě \( P \)).

Délka přepony je \( 14\, \text{cm} \) a trojúhelník je pravoúhlý podle Thaletovy věty.

Řešení příkladu:

Bod \( C \) leží na kružnici s průměrem \( AB = 8\, \text{cm} \).

Podle Thaletovy věty platí, že úhel u vrcholu \( C \) je pravý ⇒ trojúhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \).

Řešení příkladu:

Bod \( R \) leží na kružnici s průměrem \( PQ \) ⇒ podle Thaletovy věty je trojúhelník \( PQR \) pravoúhlý v bodě \( R \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty platí, že úhel \( ACB \) je pravý, tedy \( \angle ACB = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Bod \( T \) leží na kružnici a \( AS \) je průměr ⇒ podle Thaletovy věty je trojúhelník \( AST \) pravoúhlý v bodě \( T \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty: Pokud bod \( M \) leží na kružnici s průměrem \( KL \), pak \( \angle KML = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Úhel u vrcholu \( D \) bude \( \angle ADB = 90^\circ \), protože \( D \) leží na kružnici s průměrem \( AB \) (Thaletova věta).

Řešení příkladu:

Bod \( F \) leží na kružnici, jejímž průměrem je \( DE \) ⇒ trojúhelník \( DFE \) je pravoúhlý v bodě \( F \), tedy \( \angle DFE = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle DFE \) pravoúhlý, protože bod \( F \) leží na kružnici s průměrem \( DE \).

Tedy \( \angle DFE = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Přepona pravoúhlého trojúhelníku \( GHI \) je vždy délka průměru kružnice, tedy \( GH = 50\, \text{cm} \).

Úhel u vrcholu \( I \) je pravý podle Thaletovy věty.

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( JKL \) je pravoúhlý v \( L \) (Thaletova věta), přepona \( JK = 18\, \text{cm} \).

Délka druhé odvěsny \( KL \) se spočítá pomocí Pythagorovy věty:

\( JL^2 + KL^2 = JK^2 \Rightarrow KL^2 = 18^2 – 8^2 = 324 – 64 = 260 \Rightarrow KL = \sqrt{260} \approx 16.12\, \text{cm} \).

Obsah je tedy

\( S = \frac{1}{2} \times JL \times KL = \frac{1}{2} \times 8 \times 16.12 = 64.48\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle MON \) pravý, pokud bod \( O \) leží na kružnici a úseky \( M \) a \( N \) jsou konci průměru.

Pokud \( \angle MON \) není pravý, pak buď bod \( O \) neleží na kružnici s průměrem \( MN \), nebo úseky \( M \) a \( N \) nejsou konci průměru.

Tedy není možné, aby \( \angle MON \) nebyl pravý za těchto podmínek.

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( PQR \) je pravoúhlý v \( P \), protože \( QR \) je průměr kružnice (Thaletova věta).

Podle Pythagorovy věty vypočítáme délku odvěsny \( PR \):

\( PQ^2 + PR^2 = QR^2 \Rightarrow PR^2 = 24^2 – 10^2 = 576 – 100 = 476 \Rightarrow PR = \sqrt{476} \approx 21.82\, \text{cm} \).

Výška z vrcholu \( P \) na přeponu \( QR \) se rovná součinu obou odvěsen dělenému přeponou:

\( h = \frac{PQ \times PR}{QR} = \frac{10 \times 21.82}{24} \approx 9.09\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( STU \) je pravoúhlý v \( U \) podle Thaletovy věty, přepona \( ST = 22\, \text{cm} \).

Vypočítáme délku odvěsny \( TU \) pomocí Pythagorovy věty:

\( SU^2 + TU^2 = ST^2 \Rightarrow TU^2 = 22^2 – 15^2 = 484 – 225 = 259 \Rightarrow TU = \sqrt{259} \approx 16.09\, \text{cm} \).

Obvod je součet všech stran:

\( O = ST + SU + TU = 22 + 15 + 16.09 = 53.09\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Úhel \( \angle WVX \) je pravý, protože bod \( V \) leží na kružnici s průměrem \( WX \).

Tedy \( \angle WVX = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( YZA \) je pravoúhlý v \( A \) (Thaletova věta), přepona \( YZ = 36\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( YA^2 + ZA^2 = YZ^2 \Rightarrow YA^2 = 36^2 – 27^2 = 1296 – 729 = 567 \Rightarrow YA = \sqrt{567} \approx 23.80\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle BDC \) pravý, protože \( D \) leží na kružnici s průměrem \( BC \).

Tedy \( \angle BDC = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( EFG \) je pravoúhlý v \( G \) (Thaletova věta), přepona \( EF = 14\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + FG^2 = EF^2 \Rightarrow FG^2 = 14^2 – 9^2 = 196 – 81 = 115 \Rightarrow FG = \sqrt{115} \approx 10.72\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \) (Thaletova věta), přepona \( AB = 26\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow AC^2 = 26^2 – 10^2 = 676 – 100 = 576 \Rightarrow AC = \sqrt{576} = 24\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( DEF \) je pravoúhlý v bodě \( F \), protože \( DE \) je průměr kružnice (Thaletova věta).

Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \times DF \times EF = \frac{1}{2} \times 18 \times 24 = 216\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( GHI \) je pravoúhlý v bodě \( I \) (Thaletova věta), přepona \( GH = 40\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( GI^2 + HI^2 = GH^2 \Rightarrow GI^2 = 40^2 – 24^2 = 1600 – 576 = 1024 \Rightarrow GI = \sqrt{1024} = 32\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle JLK \) pravý, protože bod \( L \) leží na kružnici s průměrem \( JK \).

Tedy \( \angle JLK = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( MNO \) je pravoúhlý v bodě \( O \) (Thaletova věta), přepona \( MN = 34\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( MO^2 + NO^2 = MN^2 \Rightarrow NO^2 = 34^2 – 16^2 = 1156 – 256 = 900 \Rightarrow NO = \sqrt{900} = 30\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( PQR \) je pravoúhlý v bodě \( R \) (Thaletova věta), přepona \( PQ = 38\, \text{cm} \).

Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \times PR \times QR = \frac{1}{2} \times 18 \times 32 = 288\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( STU \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( ST = 42\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( SU^2 + TU^2 = ST^2 \Rightarrow SU^2 = 42^2 – 36^2 = 1764 – 1296 = 468 \Rightarrow SU = \sqrt{468} \approx 21.63\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle WVX \) pravý, protože bod \( V \) leží na kružnici s průměrem \( WX \).

Tedy \( \angle WVX = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( YZA \) je pravoúhlý v bodě \( A \) (Thaletova věta), přepona \( YZ = 48\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( YA^2 + ZA^2 = YZ^2 \Rightarrow YA^2 = 48^2 – 20^2 = 2304 – 400 = 1904 \Rightarrow YA = \sqrt{1904} \approx 43.64\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( BCD \) je pravoúhlý v bodě \( D \) (Thaletova věta), přepona \( BC = 54\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( BD^2 + CD^2 = BC^2 \Rightarrow BD^2 = 54^2 – 30^2 = 2916 – 900 = 2016 \Rightarrow BD = \sqrt{2016} \approx 44.90\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \) (Thaletova věta), přepona \( AB \) má délku \( 28\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow AC^2 = 28^2 – 20^2 = 784 – 400 = 384 \Rightarrow AC = \sqrt{384} \approx 19.60\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( CDE \) je pravoúhlý v bodě \( E \) (Thaletova věta), protože \( CD \) je průměr kružnice.

Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \times CE \times DE = \frac{1}{2} \times 24 \times 32 = 384\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( EFG \) je pravoúhlý v bodě \( G \) (Thaletova věta), přepona \( EF = 50\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + FG^2 = EF^2 \Rightarrow EG^2 = 50^2 – 30^2 = 2500 – 900 = 1600 \Rightarrow EG = \sqrt{1600} = 40\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle GIH \) pravý, protože bod \( I \) leží na kružnici s průměrem \( GH \).

Tedy \( \angle GIH = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( JKL \) je pravoúhlý v bodě \( K \) (Thaletova věta), přepona \( JL = 34\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( JK^2 + KL^2 = JL^2 \Rightarrow KL^2 = 34^2 – 16^2 = 1156 – 256 = 900 \Rightarrow KL = \sqrt{900} = 30\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( MNO \) je pravoúhlý v bodě \( O \) (Thaletova věta), přepona \( MN = 46\, \text{cm} \).

Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \times MO \times NO = \frac{1}{2} \times 28 \times 34 = 476\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( OPQ \) je pravoúhlý v bodě \( Q \) (Thaletova věta), přepona \( OP = 52\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( OQ^2 + PQ^2 = OP^2 \Rightarrow OQ^2 = 52^2 – 40^2 = 2704 – 1600 = 1104 \Rightarrow OQ = \sqrt{1104} \approx 33.23\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je úhel \( \angle QSR \) pravý, protože bod \( S \) leží na kružnici s průměrem \( QR \).

Tedy \( \angle QSR = 90^\circ \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( STU \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( ST = 60\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( SU^2 + TU^2 = ST^2 \Rightarrow SU^2 = 60^2 – 24^2 = 3600 – 576 = 3024 \Rightarrow SU = \sqrt{3024} \approx 54.99\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( UVW \) je pravoúhlý v bodě \( W \) (Thaletova věta), přepona \( UV = 64\, \text{cm} \).

Obsah trojúhelníku je polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \times UW \times VW = \frac{1}{2} \times 30 \times 48 = 720\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \) (Thaletova věta), přepona \( AB = 26\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow AC^2 = AB^2 – BC^2 \).

Neznáme délku \( BC \), proto budeme nejprve vypočítat \( AC \) z dostupných informací.

Protože bod \( D \) je střed úseku \( AC \), platí \( CD = \frac{1}{2} AC \).

Pro výpočet délky \( AC \) musíme znát \( BC \) nebo jiný údaj, který zde chybí. Předpokládejme, že \( BC = 24\, \text{cm} \).

Potom:

\( AC^2 = 26^2 – 24^2 = 676 – 576 = 100 \Rightarrow AC = 10\, \text{cm} \).

Odtud:

\( CD = \frac{1}{2} \times 10 = 5\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Protože úhel \( \angle CED = 90^\circ \), bod \( E \) leží na kružnici s průměrem \( CD \) (Thaletova věta).

Přepona je \( CD = 30\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( CE^2 + DE^2 = CD^2 \Rightarrow CE^2 = 30^2 – 18^2 = 900 – 324 = 576 \Rightarrow CE = \sqrt{576} = 24\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( EGF \) pravoúhlý v bodě \( G \), přepona \( EF = 34\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + GF^2 = EF^2 \Rightarrow GF^2 = 34^2 – 16^2 = 1156 – 256 = 900 \Rightarrow GF = 30\, \text{cm} \).

Obsah trojúhelníku je:

\( S = \frac{1}{2} \times EG \times GF = \frac{1}{2} \times 16 \times 30 = 240\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( GHI \) je pravoúhlý v bodě \( I \) (Thaletova věta), přepona \( GH = 38\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( GI^2 + HI^2 = GH^2 \Rightarrow GI^2 = 38^2 – 24^2 = 1444 – 576 = 868 \Rightarrow GI = \sqrt{868} \approx 29.45\, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( KJL \) je pravoúhlý v bodě \( J \) (Thaletova věta), přepona \( KL = 42\, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( KJ^2 + JL^2 = KL^2 \Rightarrow 15^2 + 39^2 = 225 + 1521 = 1746 \).

Ověření:

\( KL^2 = 42^2 = 1764 \).

Rozdíl je \( 1764 – 1746 = 18 \), což je zanedbatelné, proto považujeme trojúhelník za téměř pravoúhlý (pokud je v zadání tolerance, případně je třeba zkontrolovat přesnější údaje).

Obsah trojúhelníku je:

\( S = \frac{1}{2} \times 15 \times 39 = 292.5\, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( MNO \) je pravoúhlý v bodě \( O \) (Thaletova věta), přepona \( MN = 48 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( MO^2 + NO^2 = MN^2 \Rightarrow MO^2 = 48^2 – 30^2 = 2304 – 900 = 1404 \Rightarrow MO = \sqrt{1404} \approx 37.47 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( OPQ \) je pravoúhlý v bodě \( Q \) (Thaletova věta), přepona \( OP = 54 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty ověříme pravost trojúhelníku:

\( OQ^2 + PQ^2 = 35^2 + 27^2 = 1225 + 729 = 1954 \).

\( OP^2 = 54^2 = 2916 \).

Proto trojúhelník není pravoúhlý, buď bod \( Q \) neleží přesně na kružnici nebo je chyba v zadání. Pokud ale předpokládáme, že \( Q \) je na kružnici, pak obsah trojúhelníku spočítáme jako:

Nejprve vypočteme délku druhé odvěsny podle Pythagorovy věty:

\( PQ = \sqrt{OP^2 – OQ^2} = \sqrt{2916 – 1225} = \sqrt{1691} \approx 41.12 \, \text{cm} \).

Obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times OQ \times PQ = \frac{1}{2} \times 35 \times 41.12 = 718.6 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( QRS \) je pravoúhlý v bodě \( S \) (Thaletova věta), přepona \( QR = 56 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( QS^2 + RS^2 = QR^2 \Rightarrow QS^2 = 56^2 – 33^2 = 3136 – 1089 = 2047 \Rightarrow QS = \sqrt{2047} \approx 45.25 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( SUT \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( ST = 60 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( SU^2 + UT^2 = ST^2 \Rightarrow UT^2 = 60^2 – 28^2 = 3600 – 784 = 2816 \Rightarrow UT = \sqrt{2816} \approx 53.06 \, \text{cm} \).

Obsah trojúhelníku:

\( S = \frac{1}{2} \times SU \times UT = \frac{1}{2} \times 28 \times 53.06 = 742.84 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( WVX \) je pravoúhlý v bodě \( V \) (Thaletova věta), přepona \( WX = 64 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( WV^2 + VX^2 = WX^2 \Rightarrow WV^2 = 64^2 – 40^2 = 4096 – 1600 = 2496 \Rightarrow WV = \sqrt{2496} \approx 49.96 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( ABC \) pravoúhlý v bodě \( C \), přepona \( AB = 70 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow AC^2 = 70^2 – 24^2 = 4900 – 576 = 4324 \Rightarrow AC = \sqrt{4324} \approx 65.74 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojúhelník \( CDE \) je pravoúhlý v bodě \( E \) (Thaletova věta), přepona \( CD = 50 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( CE^2 + DE^2 = CD^2 \Rightarrow DE^2 = 50^2 – 14^2 = 2500 – 196 = 2304 \Rightarrow DE = \sqrt{2304} = 48 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( EFG \) je pravoúhlý v bodě \( G \), přepona \( EF = 80 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + FG^2 = EF^2 \Rightarrow FG^2 = 80^2 – 30^2 = 6400 – 900 = 5500 \Rightarrow FG = \sqrt{5500} \approx 74.16 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( GHI \) je pravoúhlý v bodě \( I \) (Thaletova věta), přepona \( GH = 60 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( GI^2 + HI^2 = 25^2 + 35^2 = 625 + 1225 = 1850 \).

\( GH^2 = 60^2 = 3600 \).

Rozdíl je velký, proto je třeba zvážit chybu v zadání, ale pokud přijmeme správnost zadání a předpokládáme, že bod \( I \) leží na kružnici, pak délka přepony je:

Obsah trojúhelníku je:

\( S = \frac{1}{2} \times GI \times HI = \frac{1}{2} \times 25 \times 35 = 437.5 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( JKL \) je pravoúhlý v bodě \( L \) (Thaletova věta), přepona \( JK = 90 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( JL^2 + KL^2 = JK^2 \Rightarrow KL^2 = 90^2 – 40^2 = 8100 – 1600 = 6500 \Rightarrow KL = \sqrt{6500} \approx 80.62 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( MNO \) je pravoúhlý v bodě \( O \) (Thaletova věta), přepona \( MN = 100 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( MO^2 + NO^2 = MN^2 \Rightarrow NO^2 = 10000 – 3600 = 6400 \Rightarrow NO = 80 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( PQR \) je pravoúhlý v bodě \( R \) (Thaletova věta), přepona \( PQ = 84 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( PR^2 + QR^2 = 36^2 + 72^2 = 1296 + 5184 = 6480 \).

\( PQ^2 = 84^2 = 7056 \).

Rozdíl je \( 7056 – 6480 = 576 \), což naznačuje možnou chybu v zadání, ale pokud předpokládáme správnost, vypočteme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times 36 \times 72 = 1296 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( RST \) je pravoúhlý v bodě \( T \) (Thaletova věta), přepona \( RS = 66 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( RT^2 + ST^2 = RS^2 \Rightarrow RT^2 = 66^2 – 48^2 = 4356 – 2304 = 2052 \Rightarrow RT = \sqrt{2052} \approx 45.31 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( VWU \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( VW = 72 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( UV^2 + UW^2 = 30^2 + 54^2 = 900 + 2916 = 3816 \).

\( VW^2 = 72^2 = 5184 \).

Předpokládejme správnost, obsah trojúhelníku:

\( S = \frac{1}{2} \times UV \times UW = \frac{1}{2} \times 30 \times 54 = 810 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( XYZ \) je pravoúhlý v bodě \( Z \) (Thaletova věta), přepona \( XY = 100 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( XZ^2 + YZ^2 = XY^2 \Rightarrow YZ^2 = 100^2 – 40^2 = 10000 – 1600 = 8400 \Rightarrow YZ = \sqrt{8400} \approx 91.65 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( ABC \) pravoúhlý v bodě \( C \), přepona \( AB = 52 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow AC^2 = 52^2 – 20^2 = 2704 – 400 = 2304 \Rightarrow AC = \sqrt{2304} = 48 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( CDE \) je pravoúhlý v bodě \( E \) (Thaletova věta), přepona \( CD = 100 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( CE^2 + DE^2 = CD^2 \Rightarrow DE^2 = 100^2 – 60^2 = 10000 – 3600 = 6400 \Rightarrow DE = \sqrt{6400} = 80 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( EFG \) je pravoúhlý v bodě \( G \) (Thaletova věta), přepona \( EF = 120 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + FG^2 = EF^2 \Rightarrow FG^2 = 120^2 – 96^2 = 14400 – 9216 = 5184 \Rightarrow FG = \sqrt{5184} = 72 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( HIJ \) je pravoúhlý v bodě \( J \) (Thaletova věta), přepona \( HI = 78 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( HJ^2 + IJ^2 = 36^2 + 30^2 = 1296 + 900 = 2196 \).

\( HI^2 = 78^2 = 6084 \).

Hodnoty se liší, proto předpokládáme, že bod \( J \) leží na kružnici a vypočítáme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times HJ \times IJ = \frac{1}{2} \times 36 \times 30 = 540 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( KLM \) je pravoúhlý v bodě \( M \) (Thaletova věta), přepona \( KL = 60 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( KM^2 + LM^2 = KL^2 \Rightarrow LM^2 = 60^2 – 28^2 = 3600 – 784 = 2816 \Rightarrow LM = \sqrt{2816} \approx 53.06 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( NOP \) je pravoúhlý v bodě \( P \) (Thaletova věta), přepona \( NO = 50 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( NP^2 + OP^2 = NO^2 \Rightarrow NP^2 = 50^2 – 30^2 = 2500 – 900 = 1600 \Rightarrow NP = \sqrt{1600} = 40 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( QRS \) je pravoúhlý v bodě \( S \) (Thaletova věta), přepona \( QR = 84 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( QS^2 + RS^2 = 56^2 + 42^2 = 3136 + 1764 = 4900 \).

\( QR^2 = 84^2 = 7056 \).

Rozdíl je, ale pokud předpokládáme správnost, vypočteme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times QS \times RS = \frac{1}{2} \times 56 \times 42 = 1176 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( STU \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( ST = 72 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( SU^2 + UT^2 = ST^2 \Rightarrow SU^2 = 72^2 – 45^2 = 5184 – 2025 = 3159 \Rightarrow SU = \sqrt{3159} \approx 56.23 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( VWX \) je pravoúhlý v bodě \( V \) (Thaletova věta), přepona \( WX = 96 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( WV^2 + VX^2 = 70^2 + 66^2 = 4900 + 4356 = 9256 \).

\( WX^2 = 96^2 = 9216 \).

Drobný rozdíl je, proto předpokládáme správnost a vypočteme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times WV \times VX = \frac{1}{2} \times 70 \times 66 = 2310 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( YZ \) je pravoúhlý v bodě \( Z \) (Thaletova věta), přepona \( YZ = 88 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( YZ^2 + ZY^2 = YZ^2 \Rightarrow \) Zde došlo k překlepu, pravděpodobně jde o délky stran.

Pokud jsou délky \( YZ = 35 \, \text{cm} \) a \( ZY = 77 \, \text{cm} \), jde o stejný úsek, proto je třeba zadání upřesnit.

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( ABC \) pravoúhlý v bodě \( C \), přepona \( AB = 50 \, \text{cm} \).

Použijeme Pythagorovu větu:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow BC^2 = 50^2 – 24^2 = 2500 – 576 = 1924 \Rightarrow BC = \sqrt{1924} \approx 43.87 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( CDE \) je pravoúhlý v bodě \( E \) (Thaletova věta), přepona \( CD = 64 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( CE^2 + DE^2 = CD^2 \Rightarrow DE^2 = 64^2 – 30^2 = 4096 – 900 = 3196 \Rightarrow DE = \sqrt{3196} \approx 56.54 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( EFG \) je pravoúhlý v bodě \( G \) (Thaletova věta), přepona \( EF = 80 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( EG^2 + FG^2 = EF^2 \Rightarrow FG^2 = 80^2 – 48^2 = 6400 – 2304 = 4096 \Rightarrow FG = \sqrt{4096} = 64 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( HIJ \) je pravoúhlý v bodě \( J \) (Thaletova věta), přepona \( HI = 90 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( HJ^2 + IJ^2 = 54^2 + 48^2 = 2916 + 2304 = 5220 \).

\( HI^2 = 90^2 = 8100 \).

Proto vypočteme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times HJ \times IJ = \frac{1}{2} \times 54 \times 48 = 1296 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( KLM \) je pravoúhlý v bodě \( M \) (Thaletova věta), přepona \( KL = 70 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( KM^2 + LM^2 = KL^2 \Rightarrow LM^2 = 70^2 – 42^2 = 4900 – 1764 = 3136 \Rightarrow LM = \sqrt{3136} = 56 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( NOP \) je pravoúhlý v bodě \( P \) (Thaletova věta), přepona \( NO = 66 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( NP^2 + OP^2 = NO^2 \Rightarrow NP^2 = 66^2 – 30^2 = 4356 – 900 = 3456 \Rightarrow NP = \sqrt{3456} \approx 58.78 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( QRS \) je pravoúhlý v bodě \( S \) (Thaletova věta), přepona \( QR = 100 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( QS^2 + RS^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \).

\( QR^2 = 100^2 = 10000 \).

Vypočteme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \times QS \times RS = \frac{1}{2} \times 60 \times 80 = 2400 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( STU \) je pravoúhlý v bodě \( U \) (Thaletova věta), přepona \( ST = 84 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( SU^2 + UT^2 = ST^2 \Rightarrow SU^2 = 84^2 – 36^2 = 7056 – 1296 = 5760 \Rightarrow SU = \sqrt{5760} \approx 75.87 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( VWX \) je pravoúhlý v bodě \( V \) (Thaletova věta), přepona \( WX = 92 \, \text{cm} \).

Ověříme platnost Pythagorovy věty:

\( WV^2 + VX^2 = 56^2 + 60^2 = 3136 + 3600 = 6736 \).

\( WX^2 = 92^2 = 8464 \).

Rozdíl značí odchylku v zadání, proto vypočteme obsah jako:

\( S = \frac{1}{2} \times WV \times VX = \frac{1}{2} \times 56 \times 60 = 1680 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Bod \( Z \) leží na kružnici s průměrem \( YZ = 76 \, \text{cm} \), takže trojúhelník \( YZ \) je pravoúhlý (Thaletova věta).

Pokud je délka úseku \( YZ = 44 \, \text{cm} \), pak délka \( ZY \) je stejný úsek, tedy také 44 cm.

V tomto případě jde o úseky na kružnici, proto délka zadaných úseků musí být ověřena podle kontextu.

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( ABC \) pravoúhlý v bodě \( C \).

Přepona \( AB = 100 \, \text{cm} \).

Použijeme Pythagorovu větu:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow BC^2 = 100^2 – 60^2 = 10000 – 3600 = 6400 \Rightarrow BC = \sqrt{6400} = 80 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( DEF \) je pravoúhlý v bodě \( F \) (Thaletova věta).

Přepona \( DE = 85 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( DF^2 + EF^2 = DE^2 \Rightarrow DF^2 = 85^2 – 36^2 = 7225 – 1296 = 5929 \Rightarrow DF = \sqrt{5929} = 77 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( GHI \) je pravoúhlý v bodě \( I \) (Thaletova věta).

Přepona \( GH = 72 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( GI^2 + HI^2 = GH^2 \Rightarrow HI^2 = 72^2 – 27^2 = 5184 – 729 = 4455 \Rightarrow HI = \sqrt{4455} \approx 66.75 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( JKL \) je pravoúhlý v bodě \( L \) (Thaletova věta).

Přepona \( JK = 60 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( JL^2 + LK^2 = JK^2 \Rightarrow LK^2 = 60^2 – 36^2 = 3600 – 1296 = 2304 \Rightarrow LK = \sqrt{2304} = 48 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( MNO \) je pravoúhlý v bodě \( O \) (Thaletova věta).

Přepona \( MN = 90 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( MO^2 + NO^2 = MN^2 \Rightarrow NO^2 = 90^2 – 54^2 = 8100 – 2916 = 5184 \Rightarrow NO = \sqrt{5184} = 72 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( PQR \) je pravoúhlý v bodě \( R \) (Thaletova věta).

Přepona \( PQ = 48 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( PR^2 + RQ^2 = PQ^2 \Rightarrow RQ^2 = 48^2 – 28^2 = 2304 – 784 = 1520 \Rightarrow RQ = \sqrt{1520} \approx 38.99 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( RST \) je pravoúhlý v bodě \( T \) (Thaletova věta).

Přepona \( RS = 56 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( RT^2 + ST^2 = RS^2 \Rightarrow RT^2 = 56^2 – 42^2 = 3136 – 1764 = 1372 \Rightarrow RT = \sqrt{1372} \approx 37.05 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( UVW \) je pravoúhlý v bodě \( W \) (Thaletova věta).

Přepona \( UV = 110 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( UW^2 + WV^2 = UV^2 \Rightarrow WV^2 = 110^2 – 66^2 = 12100 – 4356 = 7744 \Rightarrow WV = \sqrt{7744} = 88 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( XYZ \) je pravoúhlý v bodě \( Z \) (Thaletova věta).

Přepona \( XY = 96 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( XZ^2 + YZ^2 = XY^2 \Rightarrow YZ^2 = 96^2 – 40^2 = 9216 – 1600 = 7616 \Rightarrow YZ = \sqrt{7616} \approx 87.27 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \) (Thaletova věta).

Přepona \( AB = 120 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow BC^2 = 120^2 – 72^2 = 14400 – 5184 = 9216 \Rightarrow BC = \sqrt{9216} = 96 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Podle Thaletovy věty je trojúhelník \( CDE \) pravoúhlý v bodě \( E \).

Přepona \( CD = 130 \, \text{cm} \).

Použijeme Pythagorovu větu:

\( CE^2 + DE^2 = CD^2 \Rightarrow DE^2 = 130^2 – 78^2 = 16900 – 6084 = 10816 \Rightarrow DE = \sqrt{10816} = 104 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( FGH \) je pravoúhlý v bodě \( H \) (Thaletova věta).

Přepona \( FG = 90 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( FH^2 + HG^2 = FG^2 \Rightarrow HG^2 = 90^2 – 54^2 = 8100 – 2916 = 5184 \Rightarrow HG = \sqrt{5184} = 72 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( IJK \) je pravoúhlý v bodě \( K \) (Thaletova věta).

Přepona \( IJ = 84 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( IK^2 + KJ^2 = IJ^2 \Rightarrow KJ^2 = 84^2 – 35^2 = 7056 – 1225 = 5831 \Rightarrow KJ = \sqrt{5831} \approx 76.36 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( LNM \) je pravoúhlý v bodě \( N \) (Thaletova věta).

Přepona \( LM = 100 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( LN^2 + NM^2 = LM^2 \Rightarrow NM^2 = 100^2 – 40^2 = 10000 – 1600 = 8400 \Rightarrow NM = \sqrt{8400} \approx 91.65 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( OPQ \) je pravoúhlý v bodě \( Q \) (Thaletova věta).

Přepona \( OP = 110 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( OQ^2 + QP^2 = OP^2 \Rightarrow QP^2 = 110^2 – 66^2 = 12100 – 4356 = 7744 \Rightarrow QP = \sqrt{7744} = 88 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( QRS \) je pravoúhlý v bodě \( S \) (Thaletova věta).

Přepona \( QR = 78 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( QS^2 + SR^2 = QR^2 \Rightarrow SR^2 = 78^2 – 33^2 = 6084 – 1089 = 4995 \Rightarrow SR = \sqrt{4995} \approx 70.67 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( TUV \) je pravoúhlý v bodě \( V \) (Thaletova věta).

Přepona \( TU = 120 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( TV^2 + VU^2 = TU^2 \Rightarrow VU^2 = 120^2 – 96^2 = 14400 – 9216 = 5184 \Rightarrow VU = \sqrt{5184} = 72 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( WXY \) je pravoúhlý v bodě \( Y \) (Thaletova věta).

Přepona \( WX = 66 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( WY^2 + YX^2 = WX^2 \Rightarrow YX^2 = 66^2 – 33^2 = 4356 – 1089 = 3267 \Rightarrow YX = \sqrt{3267} \approx 57.16 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( YZA \) je pravoúhlý v bodě \( A \) (Thaletova věta).

Přepona \( YZ = 98 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( YA^2 + AZ^2 = YZ^2 \Rightarrow AZ^2 = 98^2 – 70^2 = 9604 – 4900 = 4704 \Rightarrow AZ = \sqrt{4704} \approx 68.59 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Trojuhelník \( ABC \) je pravoúhlý v bodě \( C \) (Thaletova věta).

Přepona \( AB = 150 \, \text{cm} \).

Podle Pythagorovy věty:

\( AC^2 + CB^2 = AB^2 \Rightarrow CB^2 = 150^2 – 90^2 = 22500 – 8100 = 14400 \Rightarrow CB = \sqrt{14400} = 120 \, \text{cm} \).