Dvě kružnice

Řešení příkladu:

Nejdříve si připomeneme, že vztah mezi vzdáleností středů \( d \) a součtem či rozdílem poloměrů určuje vzájemnou polohu kružnic:

• Pokud \( d > r_1 + r_2 \), kružnice jsou od sebe vzdálené.
• Pokud \( d = r_1 + r_2 \), kružnice se dotýkají z vnější strany (vnější dotyk).
• Pokud \( |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.
• Pokud \( d = |r_1 – r_2| \), kružnice se dotýkají zevnitř (vnitřní dotyk).
• Pokud \( d < |r_1 - r_2| \), jedna kružnice je uvnitř druhé bez průniku.

Dosadíme hodnoty:

\( r_1 + r_2 = 8 + 5 = 13\,cm \)

\( |r_1 – r_2| = |8 – 5| = 3\,cm \)

Porovnáme vzdálenost středů \( d = 20\,cm \) s těmito hodnotami:

\( 20 > 13 \Rightarrow \) kružnice jsou od sebe vzdálené, neprotínají se a nedotýkají se.

Výsledek: Kružnice jsou od sebe vzdálené.

Řešení příkladu:

Opět použijeme pravidla z předchozího příkladu:

\( r_1 + r_2 = 7 + 4 = 11\,cm \)

\( |r_1 – r_2| = |7 – 4| = 3\,cm \)

Vzdálenost středů je \( d = 11\,cm \).

Porovnání:

\( d = r_1 + r_2 = 11 \Rightarrow \) kružnice se dotýkají z vnější strany (vnější dotyk), mají právě jeden průsečík.

Výsledek: Kružnice se dotýkají v jednom bodě z vnější strany.

Řešení příkladu:

Vypočítáme součet a rozdíl poloměrů:

\( r_1 + r_2 = 10 + 6 = 16\,cm \)

\( |r_1 – r_2| = |10 – 6| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( d = 5\,cm \).

Porovnáme:

Platí \( |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 \), tedy \( 4 < 5 < 16 \), což znamená, že kružnice se protínají ve dvou bodech.

Výsledek: Kružnice se protínají ve dvou bodech.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 9 + 3 = 12\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |9 – 3| = 6\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 6\,cm \)

Porovnání:

\( d = |r_1 – r_2| \Rightarrow \) kružnice se dotýkají zevnitř, mají jeden společný bod dotyku.

Výsledek: Kružnice se dotýkají v jednom bodě zevnitř.

Řešení příkladu:

Kružnice se dotýkají z vnější strany, takže vzdálenost středů je rovna součtu poloměrů:

\( d = r_1 + r_2 = 15 + 10 = 25\,cm \).

Výsledek: Vzdálenost středů je \( 25\,cm \).

Řešení příkladu:

Kružnice se dotýkají zevnitř, vzdálenost středů je rovna rozdílu poloměrů:

\( d = |r_1 – r_2| = |12 – 7| = 5\,cm \).

Výsledek: Vzdálenost středů je \( 5\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 6 + 3 = 9\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |6 – 3| = 3\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 1\,cm \)

Porovnání:

Platí \( d < |r_1 - r_2| \), tedy \( 1 < 3 \), což znamená, že jedna kružnice je uvnitř druhé bez průniku.

Výsledek: Jedna kružnice je uvnitř druhé a nemají společné body.

Řešení příkladu:

Kružnice se protínají ve dvou bodech, takže vzdálenost středů splňuje:

\( |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 \Rightarrow 2 < d < 12 \)

Výsledek: Vzdálenost středů může být jakékoliv číslo mezi \( 2\,cm \) a \( 12\,cm \), například \( 8\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 13 + 9 = 22\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |13 – 9| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 22\,cm \)

Porovnání:

\( d = r_1 + r_2 \Rightarrow \) kružnice se dotýkají z vnější strany.

Výsledek: Kružnice mají jeden společný bod dotyku.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 11 + 6 = 17\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |11 – 6| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 4\,cm \)

Porovnání:

Protože \( d < |r_1 - r_2| \), tedy \( 4 < 5 \), kružnice jsou v poloze, kdy jedna je uvnitř druhé bez společných průsečíků.

Výsledek: Kružnice nemají žádné společné body.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme součet a rozdíl poloměrů:

\( r_1 + r_2 = 14 + 9 = 23\,cm \)

\( |r_1 – r_2| = |14 – 9| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů je \( d = 10\,cm \).

Porovnáme hodnoty podle pravidel:

Platí \( |r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2 \Rightarrow 5 < 10 < 23 \), tedy kružnice se protínají ve dvou bodech.

Výsledek: Kružnice mají dva průsečíky.

Řešení příkladu:

Při vnitřním dotyku platí, že vzdálenost středů je rovna rozdílu poloměrů:

\( d = |r_1 – r_2| = |11 – 7| = 4\,cm \).

Výsledek: Vzdálenost středů je \( 4\,cm \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost středů je nulová, což znamená, že obě kružnice mají stejný střed.

Poloměry jsou stejné, takže kružnice jsou totožné (překrývají se).

Výsledek: Kružnice jsou totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 8 + 3 = 11\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |8 – 3| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 12\,cm \)

Porovnání:

Platí \( d > r_1 + r_2 \Rightarrow 12 > 11 \), kružnice jsou od sebe vzdálené bez průsečíků.

Výsledek: Kružnice jsou od sebe vzdálené a nemají společné body.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 10 + 6 = 16\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |10 – 6| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 16\,cm \)

Porovnání:

\( d = r_1 + r_2 \Rightarrow \) kružnice se dotýkají z vnější strany, mají jeden společný bod.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 13 + 5 = 18\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |13 – 5| = 8\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 7\,cm \)

Porovnání:

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 7 < 8 \), jedna kružnice je uvnitř druhé bez průsečíku.

Výsledek: Kružnice nemají žádný společný bod.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 9 + 7 = 16\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |9 – 7| = 2\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 16\,cm \)

Porovnání:

\( d = r_1 + r_2 \Rightarrow \) kružnice se dotýkají z vnější strany, mají jeden společný bod.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Středy jsou ve stejném bodě a poloměry jsou stejné, tedy kružnice jsou totožné.

Výsledek: Kružnice se překrývají a mají nekonečně mnoho společných bodů.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 6 + 2 = 8\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |6 – 2| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 8\,cm \)

Porovnání:

\( d = r_1 + r_2 \Rightarrow \) kružnice se dotýkají z vnější strany, mají jeden společný bod.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden průsečík.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 8 + 3 = 11\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |8 – 3| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 2\,cm \)

Porovnání:

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 2 < 5 \), jedna kružnice je uvnitř druhé bez společných průsečíků.

Výsledek: Kružnice nemají žádné společné body.

Řešení příkladu:

Nejprve zkontrolujeme, zda se kružnice protínají:

Součet poloměrů: \( 12 + 7 = 19\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |12 – 7| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 9\,cm \)

Platí \( 5 < 9 < 19 \Rightarrow \) kružnice se protínají ve dvou bodech.

Délka společné tětivy (průsečíků) se vypočítá pomocí vzorce:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} \), kde \( a \) je vzdálenost od středu první kružnice k průsečíku tětivy.

Hodnotu \( a \) spočítáme jako:

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{12^2 – 7^2 + 9^2}{2 \times 9} = \frac{144 – 49 + 81}{18} = \frac{176}{18} \approx 9.78\,cm \)

Vypočítáme délku tětivy:

\( c = 2 \sqrt{12^2 – 9.78^2} = 2 \sqrt{144 – 95.65} = 2 \sqrt{48.35} \approx 2 \times 6.95 = 13.9\,cm \)

Výsledek: Kružnice mají dva průsečíky a délka společné tětivy je přibližně \( 13.9\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 15 + 10 = 25\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |15 – 10| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 5\,cm \)

Porovnáme vzdálenost středů:

Protože \( d = |r_1 – r_2| \Rightarrow 5 = 5 \), kružnice se dotýkají zevnitř v jednom bodě.

Výsledek: Kružnice mají jeden společný bod, dotýkají se zevnitř.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 9 + 4 = 13\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |9 – 4| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 2\,cm \)

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 2 < 5 \), jedna kružnice je uvnitř druhé bez průsečíků.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je rozdíl mezi poloměrem větší kružnice a součtem vzdálenosti středů a poloměru menší kružnice:

\( \text{vzdálenost} = |r_1 – (d + r_2)| = |9 – (2 + 4)| = |9 – 6| = 3\,cm \)

Výsledek: Kružnice nemají průsečíky a nejkratší vzdálenost mezi nimi je \( 3\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 7 + 5 = 12\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |7 – 5| = 2\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 12\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \Rightarrow 12 = 12 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Délka přímky spojující středy kružnic je právě vzdálenost středů, tedy \( 12\,cm \).

Výsledek: Kružnice se dotýkají z vnější strany, délka spojnice středů je \( 12\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 6 + 6 = 12\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |6 – 6| = 0\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 6\,cm \)

Protože \( 0 < d < 12 \Rightarrow 0 < 6 < 12 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Výpočet délky společné tětivy:

Vypočítáme vzdálenost \( a \) od středu první kružnice k tětivě:

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{36 – 36 + 36}{12} = 3\,cm \)

Délka tětivy:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{36 – 9} = 2 \sqrt{27} = 2 \times 5.196 = 10.39\,cm \)

Výsledek: Kružnice mají dva společné průsečíky a délka jejich společné tětivy je přibližně \( 10.39\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 8 + 3 = 11\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |8 – 3| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 11\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \Rightarrow 11 = 11 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je \( 0\,cm \) (jsou v kontaktu).

Výsledek: Kružnice se dotýkají z vnější strany, nejkratší vzdálenost je 0 cm.

Řešení příkladu:

Vzdálenost středů je 0, tedy kružnice mají stejný střed.

Poloměry jsou shodné, takže kružnice jsou totožné.

Výsledek: Kružnice jsou totožné, mají nekonečně mnoho společných bodů.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 14 + 9 = 23\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |14 – 9| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 22\,cm \)

Protože \( 5 < 22 < 23 \Rightarrow \) kružnice se protínají ve dvou bodech.

Výsledek: Kružnice se protínají ve dvou bodech.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 11 + 4 = 15\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |11 – 4| = 7\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 16\,cm \)

Protože \( d > r_1 + r_2 \Rightarrow 16 > 15 \), kružnice nemají žádné společné průsečíky a jsou od sebe vzdálené.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je:

\( d – (r_1 + r_2) = 16 – 15 = 1\,cm \)

Výsledek: Kružnice nemají společné průsečíky a nejkratší vzdálenost mezi nimi je \( 1\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 13 + 5 = 18\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |13 – 5| = 8\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 8\,cm \)

Protože \( d = |r_1 – r_2| \Rightarrow 8 = 8 \), kružnice se dotýkají zevnitř v jednom bodě.

Výsledek: Kružnice mají jeden společný průsečík a délka společné tětivy je 0 cm (jediný bod dotyku).

Řešení příkladu:

Nejdříve ověříme, zda se kružnice protínají:

Součet poloměrů: \( 10 + 6 = 16\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |10 – 6| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( d = 13\,cm \)

Platí \( 4 < 13 < 16 \), tedy kružnice se protínají ve dvou bodech.

Spočítáme délku společné tětivy:

Vzdálenost od středu první kružnice k průsečíku tětivy je

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{10^2 – 6^2 + 13^2}{2 \times 13} = \frac{100 – 36 + 169}{26} = \frac{233}{26} \approx 8.96\,cm \)

Délka tětivy je

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{100 – (8.96)^2} = 2 \sqrt{100 – 80.3} = 2 \sqrt{19.7} \approx 2 \times 4.44 = 8.88\,cm \)

Délka úseku spojujícího průsečíky kružnic je právě délka tětivy, tedy \( 8.88\,cm \).

Výsledek: Kružnice mají dva průsečíky, délka společné tětivy i úseku mezi průsečíky je přibližně \( 8.88\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 14 + 9 = 23\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |14 – 9| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 5\,cm \)

Protože \( d = |r_1 – r_2| \Rightarrow 5 = 5 \), kružnice se dotýkají zevnitř v jednom bodě.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je \( 0\,cm \).

Výsledek: Kružnice se dotýkají zevnitř, mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 8 + 5 = 13\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |8 – 5| = 3\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 14\,cm \)

Protože \( d > r_1 + r_2 \Rightarrow 14 > 13 \), kružnice nemají žádné průsečíky a jsou od sebe vzdálené.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je

\( d – (r_1 + r_2) = 14 – 13 = 1\,cm \)

Výsledek: Kružnice nemají společné průsečíky a nejkratší vzdálenost mezi nimi je \( 1\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 12 + 7 = 19\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |12 – 7| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 4\,cm \)

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 4 < 5 \), menší kružnice je uvnitř větší bez průsečíků.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je

\( |r_1 – (d + r_2)| = |12 – (4 + 7)| = |12 – 11| = 1\,cm \)

Výsledek: Kružnice nemají průsečíky, menší kružnice je uvnitř větší a vzdálenost mezi nimi je \( 1\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 5 + 3 = 8\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |5 – 3| = 2\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 8\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \Rightarrow 8 = 8 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Délka společné tětivy je nulová, protože mají pouze jeden společný bod.

Výsledek: Kružnice se dotýkají z vnější strany, společný průsečík je jeden, délka tětivy je 0 cm.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 9 + 4 = 13\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |9 – 4| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 10\,cm \)

Protože \( 5 < 10 < 13 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Vypočítáme vzdálenost \( a \):

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{81 – 16 + 100}{20} = \frac{165}{20} = 8.25\,cm \)

Délka tětivy je

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{81 – 8.25^2} = 2 \sqrt{81 – 68.06} = 2 \sqrt{12.94} \approx 2 \times 3.6 = 7.2\,cm \)

Výsledek: Kružnice se protínají, délka tětivy je přibližně \( 7.2\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 7 + 7 = 14\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |7 – 7| = 0\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 14\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \Rightarrow 14 = 14 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden společný průsečík.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 11 + 6 = 17\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |11 – 6| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 17\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \Rightarrow 17 = 17 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je 0 cm.

Výsledek: Kružnice se dotýkají z vnější strany, mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Vzdálenost středů je 0, kružnice mají stejný střed.

Poloměry jsou stejné, tedy kružnice jsou totožné.

Výsledek: Kružnice jsou totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 6 + 2 = 8\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |6 – 2| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 3\,cm \)

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 3 < 4 \), menší kružnice je uvnitř větší bez průsečíků.

Délka tětivy je nulová, protože nemají společné průsečíky.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je

\( |r_1 – (d + r_2)| = |6 – (3 + 2)| = |6 – 5| = 1\,cm \)

Výsledek: Kružnice se nedotýkají, menší kružnice je uvnitř větší a nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je \( 1\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 15 + 10 = 25\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |15 – 10| = 5\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 20\,cm \)

Platí \( 5 < 20 < 25 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Vypočítáme vzdálenost \( a \):

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{225 – 100 + 400}{40} = \frac{525}{40} = 13.125\,cm \)

Délka tětivy:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{225 – (13.125)^2} = 2 \sqrt{225 – 172.27} = 2 \sqrt{52.73} \approx 2 \times 7.26 = 14.52\,cm \)

Výsledek: Kružnice se protínají ve dvou bodech, délka společné tětivy je přibližně \( 14.52\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 18 + 12 = 30\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |18 – 12| = 6\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 6\,cm \)

Platí \( d = |r_1 – r_2| \), tedy kružnice se dotýkají zevnitř v jednom bodě.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je \( 0\,cm \).

Výsledek: Kružnice se dotýkají zevnitř, mají jeden společný průsečík.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 7 + 5 = 12\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |7 – 5| = 2\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 9\,cm \)

Platí \( 2 < 9 < 12 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Vypočítáme vzdálenost \( a \):

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{49 – 25 + 81}{18} = \frac{105}{18} \approx 5.83\,cm \)

Délka tětivy:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{49 – (5.83)^2} = 2 \sqrt{49 – 34} = 2 \sqrt{15} \approx 2 \times 3.87 = 7.74\,cm \)

Výsledek: Kružnice se protínají ve dvou bodech, délka společné tětivy je přibližně \( 7.74\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 10 + 4 = 14\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |10 – 4| = 6\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 13\,cm \)

Protože \( 6 < 13 < 14 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Vypočítáme vzdálenost \( a \):

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{100 – 16 + 169}{26} = \frac{253}{26} \approx 9.73\,cm \)

Délka tětivy:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{100 – (9.73)^2} = 2 \sqrt{100 – 94.7} = 2 \sqrt{5.3} \approx 2 \times 2.3 = 4.6\,cm \)

Výsledek: Kružnice se protínají, délka společné tětivy je přibližně \( 4.6\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 11 + 3 = 14\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |11 – 3| = 8\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 7\,cm \)

Protože \( d < |r_1 - r_2| \Rightarrow 7 < 8 \), menší kružnice je uvnitř větší bez průsečíků.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je

\( |r_1 – (d + r_2)| = |11 – (7 + 3)| = |11 – 10| = 1\,cm \)

Výsledek: Kružnice se nedotýkají, menší je uvnitř větší, vzdálenost mezi nimi je \( 1\,cm \).

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 13 + 9 = 22\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |13 – 9| = 4\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 22\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je 0.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Vzdálenost středů je 0, poloměry jsou stejné, kružnice jsou totožné.

Výsledek: Kružnice jsou totožné, mají nekonečně mnoho společných bodů.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 5 + 3 = 8\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |5 – 3| = 2\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 8\,cm \)

Protože \( d = r_1 + r_2 \), kružnice se dotýkají z vnější strany.

Výsledek: Kružnice mají právě jeden společný bod.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 9 + 2 = 11\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |9 – 2| = 7\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 12\,cm \)

Protože \( d > r_1 + r_2 \Rightarrow 12 > 11 \), kružnice jsou od sebe vzdálené bez průsečíků.

Nejkratší vzdálenost mezi kružnicemi je \( d – (r_1 + r_2) = 12 – 11 = 1\,cm \).

Výsledek: Kružnice jsou od sebe vzdálené o \( 1\,cm \), nemají společné body.

Řešení příkladu:

Součet poloměrů: \( 6 + 6 = 12\,cm \)

Rozdíl poloměrů: \( |6 – 6| = 0\,cm \)

Vzdálenost středů: \( 6\,cm \)

Protože \( 0 < 6 < 12 \), kružnice se protínají ve dvou bodech.

Vypočítáme vzdálenost \( a \):

\( a = \frac{r_1^2 – r_2^2 + d^2}{2d} = \frac{36 – 36 + 36}{12} = \frac{36}{12} = 3\,cm \)

Délka tětivy:

\( c = 2 \sqrt{r_1^2 – a^2} = 2 \sqrt{36 – 9} = 2 \sqrt{27} = 2 \times 5.196 = 10.39\,cm \)

Výsledek: Kružnice se protínají ve dvou bodech, délka společné tětivy je přibližně \( 10.39\,cm \).