Všimneme si, že \( 243 = 3^5 \), takže rovnici přepíšeme jako:
\( 3^{x+4} = 3^5 \).
Pokud mají obě strany rovnice stejné základy, můžeme srovnat exponenty:
\( x + 4 = 5 \).
Řešením je \( x = 5 – 4 = 1 \).
Odpověď: \( x = 1 \).
11. Určete řešení rovnice: \( 2^{x+1} = 8^{x-2} \)
Řešení: Začneme tím, že přepíšeme číslo 8 jako \( 8 = 2^3 \). Tímto způsobem dostaneme rovnici: \( 2^{x+1} = (2^3)^{x-2} \), což je stejné jako \( 2^{x+1} = 2^{3(x-2)} \). Nyní, protože základy jsou stejné, můžeme porovnat exponenty:
\[ x+1 = 3(x-2) \]
\[ x+1 = 3x – 6 \]
\[ 1 + 6 = 3x – x \]
\[ x = 3.5 \]
12. Určete řešení rovnice: \( 5^{2x} = 125^{x-1} \)
Řešení: Zapisujeme číslo 125 jako \( 125 = 5^3 \), takže rovnice se přepíše na:
\[ 5^{2x} = (5^3)^{x-1} \]
To je stejné jako:
\[ 5^{2x} = 5^{3(x-1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2x = 3(x-1) \]
\[ 2x = 3x – 3 \]
\[ 3 = x \]
13. Určete řešení rovnice: \( 3^{x+3} = 27^{2x-1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 27 jako \( 27 = 3^3 \), tedy:
\[ 3^{x+3} = (3^3)^{2x-1} \]
To je stejné jako:
\[ 3^{x+3} = 3^{3(2x-1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+3 = 3(2x-1) \]
\[ x+3 = 6x – 3 \]
\[ 3 + 3 = 6x – x \]
\[ x = 1 \]
14. Určete řešení rovnice: \( 2^{x+4} = 32^{x-3} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 32 jako \( 32 = 2^5 \), tedy:
\[ 2^{x+4} = (2^5)^{x-3} \]
To je stejné jako:
\[ 2^{x+4} = 2^{5(x-3)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+4 = 5(x-3) \]
\[ x+4 = 5x – 15 \]
\[ 4 + 15 = 5x – x \]
\[ 19 = 4x \]
\[ x = 4.75 \]
15. Určete řešení rovnice: \( 7^{x-1} = 49^{x+2} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 49 jako \( 49 = 7^2 \), takže:
\[ 7^{x-1} = (7^2)^{x+2} \]
To je stejné jako:
\[ 7^{x-1} = 7^{2(x+2)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x-1 = 2(x+2) \]
\[ x-1 = 2x + 4 \]
\[ -1 – 4 = 2x – x \]
\[ -5 = x \]
16. Určete řešení rovnice: \( 3^{2x+1} = 81^{x-1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 81 jako \( 81 = 3^4 \), tedy:
\[ 3^{2x+1} = (3^4)^{x-1} \]
To je stejné jako:
\[ 3^{2x+1} = 3^{4(x-1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2x+1 = 4(x-1) \]
\[ 2x+1 = 4x – 4 \]
\[ 1 + 4 = 4x – 2x \]
\[ 5 = 2x \]
\[ x = 2.5 \]
17. Určete řešení rovnice: \( 5^{3x+1} = 125^{x+2} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 125 jako \( 125 = 5^3 \), takže:
\[ 5^{3x+1} = (5^3)^{x+2} \]
To je stejné jako:
\[ 5^{3x+1} = 5^{3(x+2)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 3x+1 = 3(x+2) \]
\[ 3x+1 = 3x + 6 \]
\[ 1 = 6 \]
Toto je nesmysl, takže tato rovnice nemá řešení.
18. Určete řešení rovnice: \( 4^{x-2} = 16^{2x} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 16 jako \( 16 = 4^2 \), tedy:
\[ 4^{x-2} = (4^2)^{2x} \]
To je stejné jako:
\[ 4^{x-2} = 4^{4x} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x-2 = 4x \]
\[ -2 = 3x \]
\[ x = -\frac{2}{3} \]
19. Určete řešení rovnice: \( 3^{x+4} = 81^{x+1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 81 jako \( 81 = 3^4 \), tedy:
\[ 3^{x+4} = (3^4)^{x+1} \]
To je stejné jako:
\[ 3^{x+4} = 3^{4(x+1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+4 = 4(x+1) \]
\[ x+4 = 4x + 4 \]
\[ 4 = 3x \]
\[ x = \frac{4}{3} \]
20. Určete řešení rovnice: \( 10^{2x} = 100^{x+1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 100 jako \( 100 = 10^2 \), tedy:
\[ 10^{2x} = (10^2)^{x+1} \]
To je stejné jako:
\[ 10^{2x} = 10^{2(x+1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2x = 2(x+1) \]
\[ 2x = 2x + 2 \]
\[ 0 = 2 \]
Toto je nesmysl, takže tato rovnice nemá řešení.
21. Určete řešení rovnice: \( 2^{x+5} = 32^{x-4} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 32 jako \( 32 = 2^5 \), takže:
\[ 2^{x+5} = (2^5)^{x-4} \]
To je stejné jako:
\[ 2^{x+5} = 2^{5(x-4)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+5 = 5(x-4) \]
\[ x+5 = 5x – 20 \]
\[ 5 + 20 = 5x – x \]
\[ 25 = 4x \]
\[ x = 6.25 \]
22. Určete řešení rovnice: \( 4^{2x+3} = 64^{x+1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 64 jako \( 64 = 4^3 \), takže:
\[ 4^{2x+3} = (4^3)^{x+1} \]
To je stejné jako:
\[ 4^{2x+3} = 4^{3(x+1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2x+3 = 3(x+1) \]
\[ 2x+3 = 3x + 3 \]
\[ 3 = x \]
23. Určete řešení rovnice: \( 9^{x-2} = 81^{2x+1} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 81 jako \( 81 = 9^2 \), tedy:
\[ 9^{x-2} = (9^2)^{2x+1} \]
To je stejné jako:
\[ 9^{x-2} = 9^{2(2x+1)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x-2 = 4x + 2 \]
\[ -2 – 2 = 4x – x \]
\[ -4 = 3x \]
\[ x = -\frac{4}{3} \]
24. Určete řešení rovnice: \( 5^{x+1} = 125^{x-3} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 125 jako \( 125 = 5^3 \), takže:
\[ 5^{x+1} = (5^3)^{x-3} \]
To je stejné jako:
\[ 5^{x+1} = 5^{3(x-3)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+1 = 3(x-3) \]
\[ x+1 = 3x – 9 \]
\[ 1 + 9 = 3x – x \]
\[ 10 = 2x \]
\[ x = 5 \]
25. Určete řešení rovnice: \( 3^{x+4} = 27^{x-2} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 27 jako \( 27 = 3^3 \), tedy:
\[ 3^{x+4} = (3^3)^{x-2} \]
To je stejné jako:
\[ 3^{x+4} = 3^{3(x-2)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+4 = 3(x-2) \]
\[ x+4 = 3x – 6 \]
\[ 4 + 6 = 3x – x \]
\[ 10 = 2x \]
\[ x = 5 \]
26. Určete řešení rovnice: \( 2^{3x+1} = 8^{x+2} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 8 jako \( 8 = 2^3 \), takže:
\[ 2^{3x+1} = (2^3)^{x+2} \]
To je stejné jako:
\[ 2^{3x+1} = 2^{3(x+2)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 3x+1 = 3(x+2) \]
\[ 3x+1 = 3x + 6 \]
\[ 1 = 6 \]
Toto je nesmysl, takže rovnice nemá řešení.
27. Určete řešení rovnice: \( 16^{x+3} = 64^{2x} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 64 jako \( 64 = 4^3 \), tedy:
\[ 16^{x+3} = (4^3)^{2x} \]
To je stejné jako:
\[ 16^{x+3} = 4^{6x} \]
Nyní přepíšeme číslo 16 jako \( 16 = 4^2 \), takže:
\[ (4^2)^{x+3} = 4^{6x} \]
To je stejné jako:
\[ 4^{2(x+3)} = 4^{6x} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2(x+3) = 6x \]
\[ 2x + 6 = 6x \]
\[ 6 = 4x \]
\[ x = 1.5 \]
28. Určete řešení rovnice: \( 3^{x+2} = 9^{x+4} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 9 jako \( 9 = 3^2 \), tedy:
\[ 3^{x+2} = (3^2)^{x+4} \]
To je stejné jako:
\[ 3^{x+2} = 3^{2(x+4)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+2 = 2(x+4) \]
\[ x+2 = 2x + 8 \]
\[ 2 – 8 = 2x – x \]
\[ -6 = x \]
29. Určete řešení rovnice: \( 5^{2x+1} = 125^{x+3} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 125 jako \( 125 = 5^3 \), takže:
\[ 5^{2x+1} = (5^3)^{x+3} \]
To je stejné jako:
\[ 5^{2x+1} = 5^{3(x+3)} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ 2x+1 = 3(x+3) \]
\[ 2x+1 = 3x + 9 \]
\[ 1 – 9 = 3x – 2x \]
\[ -8 = x \]
30. Určete řešení rovnice: \( 4^{x+5} = 16^{2x} \)
Řešení: Přepíšeme číslo 16 jako \( 16 = 4^2 \), tedy:
\[ 4^{x+5} = (4^2)^{2x} \]
To je stejné jako:
\[ 4^{x+5} = 4^{4x} \]
Nyní porovnáme exponenty:
\[ x+5 = 4x \]
\[ 5 = 3x \]
\[ x = \frac{5}{3} \]
