1. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x + 5} – 3 = 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x+5} – 3 = 1 \).
Přičteme 3 k oběma stranám: \( \sqrt{2x+5} = 4 \).
Nyní umocníme obě strany: \( 2x+5 = 16 \).
Odečteme 5: \( 2x = 11 \).
Dělením 2 získáme: \( x = \frac{11}{2} \).
2. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{3x – 1} + 4 = 10 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{3x-1} + 4 = 10 \).
Odečteme 4: \( \sqrt{3x-1} = 6 \).
Nyní umocníme obě strany: \( 3x – 1 = 36 \).
Přičteme 1: \( 3x = 37 \).
Dělením 3 získáme: \( x = \frac{37}{3} \).
3. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x + 7} + \sqrt{x – 3} = 4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x+7} + \sqrt{x-3} = 4 \).
Odečteme \( \sqrt{x-3} \) z obou stran: \( \sqrt{x+7} = 4 – \sqrt{x-3} \).
Nyní obě strany umocníme: \( x + 7 = (4 – \sqrt{x-3})^2 \).
Roznásobíme: \( x + 7 = 16 – 8\sqrt{x-3} + (x-3) \).
Po úpravy: \( x + 7 = 13 + x – 8\sqrt{x-3} \).
Zjednodušíme: \( 7 = 13 – 8\sqrt{x-3} \).
Odejme 13: \( -6 = -8\sqrt{x-3} \).
Dělením -8: \( \frac{3}{4} = \sqrt{x-3} \).
Umocníme: \( \frac{9}{16} = x – 3 \).
Přičteme 3: \( x = \frac{57}{16} \).
4. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 5x} – 4 = 2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 5x} – 4 = 2 \).
Přičteme 4 k oběma stranám: \( \sqrt{x^2 + 5x} = 6 \).
Nyní umocníme obě strany: \( x^2 + 5x = 36 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( x^2 + 5x – 36 = 0 \).
Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4\cdot1\cdot(-36)}}{2\cdot1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2} \).
Takže \( x = 4 \) nebo \( x = -9 \).
5. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x+5} – \sqrt{x-1} = 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x+5} – \sqrt{x-1} = 1 \).
Přičteme \( \sqrt{x-1} \) k oběma stranám: \( \sqrt{x+5} = 1 + \sqrt{x-1} \).
Nyní obě strany umocníme: \( x + 5 = 1 + 2\sqrt{x-1} + (x-1) \).
Roznásobíme: \( x + 5 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x – 1 \).
Zjednodušíme: \( 5 = 2\sqrt{x-1} \).
Dělením 2: \( \frac{5}{2} = \sqrt{x-1} \).
Umocníme: \( \frac{25}{4} = x – 1 \).
Přičteme 1: \( x = \frac{29}{4} \).
6. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x+6} = 4 – \sqrt{x-2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x+6} = 4 – \sqrt{x-2} \).
Přičteme \( \sqrt{x-2} \) k oběma stranám: \( \sqrt{2x+6} + \sqrt{x-2} = 4 \).
Nyní umocníme obě strany: \( 2x + 6 + x – 2 + 2\sqrt{(2x+6)(x-2)} = 16 \).
Po úpravách: \( 3x + 4 + 2\sqrt{(2x+6)(x-2)} = 16 \).
Zjednodušíme: \( 2\sqrt{(2x+6)(x-2)} = 12 – 3x \).
Pokračujeme výpočtem do konce…
7. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 6 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 6 \).
Přičteme \( \sqrt{x-4} \) k oběma stranám: \( \sqrt{x+4} = 6 – \sqrt{x-4} \).
Nyní umocníme obě strany: \( x + 4 = (6 – \sqrt{x-4})^2 \).
Po rozvoji a zjednodušení dostaneme: \( x + 4 = 36 – 12\sqrt{x-4} + (x-4) \).
Další úpravy vedou k řešení…
8. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 3x} + 2 = 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 3x} + 2 = 5 \).
Odečteme 2 k oběma stranám: \( \sqrt{x^2 + 3x} = 3 \).
Nyní umocníme obě strany: \( x^2 + 3x = 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( x^2 + 3x – 9 = 0 \).
Použijeme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \).
9. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x + 7} – \sqrt{x – 1} = 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x+7} – \sqrt{x-1} = 3 \).
Přičteme \( \sqrt{x-1} \) k oběma stranám: \( \sqrt{2x+7} = 3 + \sqrt{x-1} \).
Nyní umocníme obě strany: \( 2x + 7 = (3 + \sqrt{x-1})^2 \).
Roznásobíme a upravíme: \( 2x + 7 = 9 + 6\sqrt{x-1} + x – 1 \).
Výsledná úprava a řešení pokračují…
10. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 2x} = 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 2x} = 3 \).
Nyní umocníme obě strany: \( x^2 + 2x = 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( x^2 + 2x – 9 = 0 \).
Použijeme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10} \).
11. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 6x} – 2 = 4 \)
Zobrazit řešení
Řešení: Začneme úpravy rovnice:
\[
\sqrt{x^2 + 6x} – 2 = 4
\]
Přičteme \( 2 \) k oběma stranám:
\[
\sqrt{x^2 + 6x} = 6
\]
Nyní umocníme obě strany:
\[
x^2 + 6x = 36
\]
Přesuneme vše na jednu stranu:
\[
x^2 + 6x – 36 = 0
\]
Použijeme kvadratickou rovnici:
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 144}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2}
\]
Zjednodušíme výsledky:
\[
x = -3 \pm 3\sqrt{5}
\]
Výsledkem jsou tedy hodnoty \( x = -3 + 3\sqrt{5} \) a \( x = -3 – 3\sqrt{5} \).
12. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{4x – 3} = 2x – 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení: Začneme úpravou rovnice:
\[
\sqrt{4x – 3} = 2x – 1
\]
Umocníme obě strany:
\[
4x – 3 = (2x – 1)^2
\]
Po rozvoji pravé strany:
\[
4x – 3 = 4x^2 – 4x + 1
\]
Přesuneme vše na jednu stranu:
\[
0 = 4x^2 – 8x + 4
\]
Dělením rovnice 4 získáme:
\[
0 = x^2 – 2x + 1
\]
Toto je kvadratická rovnice:
\[
(x – 1)^2 = 0
\]
Takže jediným řešením je:
\[
x = 1
\]
13. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 – 4x} = x – 2 \)
Zobrazit řešení
Řešení: Začneme úpravou rovnice:
\[
\sqrt{x^2 – 4x} = x – 2
\]
Umocníme obě strany:
\[
x^2 – 4x = (x – 2)^2
\]
Po rozvoji pravé strany:
\[
x^2 – 4x = x^2 – 4x + 4
\]
Odečteme levou stranu od pravé:
\[
0 = 4
\]
Toto je nesmysl, takže rovnice nemá řešení.
14. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{3x + 5} + 2 = \sqrt{x + 9} \)
Zobrazit řešení
Řešení: Začneme úpravou rovnice:
\[
\sqrt{3x + 5} + 2 = \sqrt{x + 9}
\]
Odečteme \( 2 \) od obou stran:
\[
\sqrt{3x + 5} = \sqrt{x + 9} – 2
\]
Umocníme obě strany:
\[
3x + 5 = ( \sqrt{x + 9} – 2 )^2 = x + 9 – 4 \sqrt{x + 9} + 4
\]
Po úpravě:
\[
3x + 5 = x + 13 – 4 \sqrt{x + 9}
\]
Přesuneme vše bez odmocniny na jednu stranu:
\[
2x – 8 = -4 \sqrt{x + 9}
\]
Vynásobíme rovnici -1 a umocníme:
\[
4 \sqrt{x + 9} = 8 – 2x
\quad \Rightarrow \quad
16 (x + 9) = (8 – 2x)^2
\]
Po rozvoji:
\[
16x + 144 = 64 – 32x + 4x^2
\]
Přesuneme vše na jednu stranu:
\[
0 = 4x^2 – 48x – 80
\]
Dělením 4:
\[
0 = x^2 – 12x – 20
\]
Použijeme kvadratickou rovnici:
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 + 80}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{14}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{14}
\]
Po dosazení zpět zjistíme, že platí pouze řešení \( x = 3 \).
15. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 7x} = 3x + 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení: Začneme úpravou rovnice:
\[
\sqrt{x^2 + 7x} = 3x + 5
\]
Umocníme obě strany:
\[
x^2 + 7x = (3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25
\]
Přesuneme vše na jednu stranu:
\[
0 = 9x^2 + 30x + 25 – x^2 – 7x = 8x^2 + 23x + 25
\]
Použijeme kvadratickou rovnici:
\[
x = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 – 4 \cdot 8 \cdot 25}}{2 \cdot 8} = \frac{-23 \pm \sqrt{529 – 800}}{16} = \frac{-23 \pm \sqrt{-271}}{16}
\]
Jelikož je diskriminant záporný, rovnice nemá reálná řešení.
16. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 6x + 9} = 2x + 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 6x + 9} = 2x + 3 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 6x + 9 = (2x + 3)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 3x^2 + 6x \).
Dělením 3: \( 0 = x^2 + 2x \).
Toto je faktorizovatelné: \( x(x + 2) = 0 \), takže
\( x = 0 \) nebo \( x = -2 \).
17. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x + 7} = x + 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x + 7} = x + 5 \).
Nyní obě strany umocníme: \( 2x + 7 = (x + 5)^2 \).
Po rozvoji: \( 2x + 7 = x^2 + 10x + 25 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = x^2 + 8x + 18 \).
Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4\cdot1\cdot18}}{2\cdot1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 – 72}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-8}}{2} \).
Tato rovnice nemá reálná řešení.
18. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 4x + 4} = x + 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 4x + 4} = x + 3 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 4x + 4 = (x + 3)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 4x + 4 = x^2 + 6x + 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 2x + 5 \).
Takže \( x = -\frac{5}{2} \).
19. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{5x + 6} = x + 4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{5x + 6} = x + 4 \).
Nyní obě strany umocníme: \( 5x + 6 = (x + 4)^2 \).
Po rozvoji: \( 5x + 6 = x^2 + 8x + 16 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = x^2 + 3x + 10 \).
Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-31}}{2} \).
Tato rovnice nemá reálná řešení.
20. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 8x + 16} = x + 4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 8x + 16} = x + 4 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 8x + 16 = x^2 + 8x + 16 \).
To je pravda pro všechna \( x \), tedy řešení je \( x \in \mathbb{R} \).
21. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 8x + 16} – 5 = x \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 8x + 16} – 5 = x \).
Přičteme 5 k oběma stranám: \( \sqrt{x^2 + 8x + 16} = x + 5 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 8x + 16 = (x + 5)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 8x + 16 = x^2 + 10x + 25 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 2x + 9 \),
tedy \( x = -\frac{9}{2} \).
22. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 6} = 4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 6} = 4 \).
Odečteme \( \sqrt{x + 6} \) k oběma stranám: \( \sqrt{x + 2} = 4 – \sqrt{x + 6} \).
Nyní obě strany umocníme: \( x + 2 = (4 – \sqrt{x + 6})^2 \).
Po rozvoji: \( x + 2 = 16 – 8\sqrt{x + 6} + (x + 6) \).
Zjednodušíme: \( x + 2 = x + 22 – 8\sqrt{x + 6} \).
Po odečtení \( x + 2 \) oběma stranami dostaneme: \( 0 = 20 – 8\sqrt{x + 6} \),
tedy \( \sqrt{x + 6} = \frac{5}{2} \).
Umocněním získáme \( x + 6 = \frac{25}{4} \), tedy \( x = \frac{25}{4} – 6 = \frac{1}{4} \).
23. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 – 6x + 9} = 2x – 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 – 6x + 9} = 2x – 3 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 – 6x + 9 = (2x – 3)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 – 6x + 9 = 4x^2 – 12x + 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 3x^2 – 6x \),
tedy \( 0 = 3x(x – 2) \),
takže \( x = 0 \) nebo \( x = 2 \).
24. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x – 3} + \sqrt{x + 2} = 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x – 3} + \sqrt{x + 2} = 5 \).
Odečteme \( \sqrt{x + 2} \) k oběma stranám: \( \sqrt{2x – 3} = 5 – \sqrt{x + 2} \).
Nyní obě strany umocníme: \( 2x – 3 = (5 – \sqrt{x + 2})^2 \).
Po rozvoji: \( 2x – 3 = 25 – 10\sqrt{x + 2} + (x + 2) \).
Zjednodušíme: \( 2x – 3 = x + 27 – 10\sqrt{x + 2} \).
Po odečtení \( x + 27 \) oběma stranami dostaneme: \( x – 30 = -10\sqrt{x + 2} \),
a po dalším umocnění získáme řešení: \( x = 3 \).
25. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{3x + 7} = 2x + 1 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{3x + 7} = 2x + 1 \).
Nyní obě strany umocníme: \( 3x + 7 = (2x + 1)^2 \).
Po rozvoji: \( 3x + 7 = 4x^2 + 4x + 1 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 4x^2 + x – 6 \).
Použijeme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 96}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{8} \).
Takže \( x = \frac{-1 + \sqrt{97}}{8} \) nebo \( x = \frac{-1 – \sqrt{97}}{8} \).
26. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 10x + 25} = 3x + 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 10x + 25} = 3x + 5 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 10x + 25 = (3x + 5)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 10x + 25 = 9x^2 + 30x + 25 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 8x^2 + 20x \), tedy \( 0 = 4x(2x + 5) \),
takže \( x = 0 \) nebo \( x = -\frac{5}{2} \).
27. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 6x} = 2x + 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 6x} = 2x + 3 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 6x = (2x + 3)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 6x = 4x^2 + 12x + 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 3x^2 + 6x + 9 \), což po dělení 3 dává: \( 0 = x^2 + 2x + 3 \).
Tato kvadratická rovnice nemá reálná řešení.
28. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{2x + 3} = 3 – x \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{2x + 3} = 3 – x \).
Nyní obě strany umocníme: \( 2x + 3 = (3 – x)^2 \).
Po rozvoji: \( 2x + 3 = 9 – 6x + x^2 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = x^2 – 8x + 6 \), což po použití kvadratické rovnice dává:
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 – 4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 – 24}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} \),
tedy \( x = 4 \pm \sqrt{10} \).
29. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 + 4x + 5} = x + 3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 + 4x + 5} = x + 3 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 + 4x + 5 = (x + 3)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 + 4x + 5 = x^2 + 6x + 9 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 2x + 4 \), tedy \( x = -2 \).
30. Určete hodnoty \( x \) z následující rovnice: \( \sqrt{x^2 – 10x + 25} = 2x – 5 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Začneme úpravy: \( \sqrt{x^2 – 10x + 25} = 2x – 5 \).
Nyní obě strany umocníme: \( x^2 – 10x + 25 = (2x – 5)^2 \).
Po rozvoji: \( x^2 – 10x + 25 = 4x^2 – 20x + 25 \).
Přesuneme vše na jednu stranu: \( 0 = 3x^2 – 10x \), tedy \( 0 = x(3x – 10) \),
takže \( x = 0 \) nebo \( x = \frac{10}{3} \).
