Logaritmické rovnice

Řešení: Z definice logaritmu víme, že \( \log_b(y) = x \) znamená \( b^x = y \), tedy: \[ \log_2(x+3) = 4 \quad \text{se přepíše na} \quad 2^4 = x + 3 \] \[ 16 = x + 3 \] \[ x = 16 – 3 = 13 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ \log_5(2x – 1) = 3 \quad \text{se přepíše na} \quad 5^3 = 2x – 1 \] \[ 125 = 2x – 1 \] \[ 125 + 1 = 2x \] \[ 126 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{126}{2} = 63 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ \log_3(x + 2) = 2 \quad \text{se přepíše na} \quad 3^2 = x + 2 \] \[ 9 = x + 2 \] \[ x = 9 – 2 = 7 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ \log_7(x – 1) = 3 \quad \text{se přepíše na} \quad 7^3 = x – 1 \] \[ 343 = x – 1 \] \[ x = 343 + 1 = 344 \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů, že \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \): \[ \log_2(x) + \log_2(x – 1) = \log_2(x(x – 1)) = 3 \] \[ \log_2(x^2 – x) = 3 \] Z definice logaritmu: \[ x^2 – x = 2^3 \] \[ x^2 – x = 8 \] \[ x^2 – x – 8 = 0 \] Tento kvadratický polynom vyřešíme pomocí kvadratické rovnice: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} \] Vzniknou dvě možnosti: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 – \sqrt{33}}{2} \] Jelikož \( x \) musí být kladné, vezmeme pouze: \[ x = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) – \log_b(c) = \log_b(\frac{a}{c}) \): \[ \log_3\left( \frac{x + 4}{x} \right) = 1 \] Z definice logaritmu: \[ \frac{x + 4}{x} = 3^1 = 3 \] \[ x + 4 = 3x \] \[ 4 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \): \[ \log_5(x) + \log_5(2x) = \log_5(2x^2) = 3 \] Z definice logaritmu: \[ 2x^2 = 5^3 = 125 \] \[ x^2 = \frac{125}{2} \] \[ x = \sqrt{\frac{125}{2}} = \sqrt{62.5} \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) – \log_b(c) = \log_b(\frac{a}{c}) \): \[ \log_2(x+1) = \log_2\left(\frac{x+2}{2}\right) \] Z definice logaritmu: \[ x + 1 = \frac{x + 2}{2} \] \[ 2(x + 1) = x + 2 \] \[ 2x + 2 = x + 2 \] \[ x = 0 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 – 3 = 3^2 = 9 \] \[ x^2 = 9 + 3 = 12 \] \[ x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) – \log_b(c) = \log_b(\frac{a}{c}) \): \[ \log_4\left(\frac{x}{2x}\right) = 1 \] \[ \log_4\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \] Z definice logaritmu: \[ \frac{1}{2} = 4^1 = 4 \] Tento výsledek je nesmysl, takže rovnice nemá žádné řešení.

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \): \[ \log_3((x+2)(x-2)) = 2 \] \[ \log_3(x^2 – 4) = 2 \] Z definice logaritmu: \[ x^2 – 4 = 3^2 = 9 \] \[ x^2 = 9 + 4 = 13 \] \[ x = \pm\sqrt{13} \] Jelikož \( x > 2 \), vezmeme pouze \( x = \sqrt{13} \).

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) – \log_b(c) = \log_b(\frac{a}{c}) \): \[ \log_5\left(\frac{3x}{x-1}\right) = 1 \] Z definice logaritmu: \[ \frac{3x}{x-1} = 5^1 = 5 \] \[ 3x = 5(x – 1) \] \[ 3x = 5x – 5 \] \[ 5 = 5x – 3x \] \[ 5 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \): \[ \log_4((x+1)(x-3)) = 2 \] \[ \log_4(x^2 – 2x – 3) = 2 \] Z definice logaritmu: \[ x^2 – 2x – 3 = 4^2 = 16 \] \[ x^2 – 2x – 19 = 0 \] Použijeme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-19)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} \] \[ x = 1 \pm 2\sqrt{5} \] Jelikož \( x > 3 \), vezmeme pouze \( x = 1 + 2\sqrt{5} \).

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 + 1 = 2^3 = 8 \] \[ x^2 = 8 – 1 = 7 \] \[ x = \pm\sqrt{7} \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) = \log_b(c) + d \) k převodu na: \[ \log_2(x + 3) – \log_2(x – 1) = 2 \] Použijeme vlastnost logaritmů: \[ \log_2\left(\frac{x+3}{x-1}\right) = 2 \] Z definice logaritmu: \[ \frac{x+3}{x-1} = 2^2 = 4 \] \[ x + 3 = 4(x – 1) \] \[ x + 3 = 4x – 4 \] \[ 3 + 4 = 4x – x \] \[ 7 = 3x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{3} \]

Řešení: Pokud jsou logaritmy se stejným základem rovné, pak jsou rovné i jejich argumenty: \[ x + 5 = 2x – 3 \] \[ 5 + 3 = 2x – x \] \[ 8 = x \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 – 1 = 2^3 = 8 \] \[ x^2 = 8 + 1 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]

Řešení: Použijeme vlastnost logaritmů \( \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \): \[ \log_5(x(x + 4)) = 2 \] \[ \log_5(x^2 + 4x) = 2 \] Z definice logaritmu: \[ x^2 + 4x = 5^2 = 25 \] \[ x^2 + 4x – 25 = 0 \] Vyřešíme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 100}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{116}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{2} \] \[ x = -2 \pm \sqrt{29} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ 3x = 2^5 = 32 \] \[ x = \frac{32}{3} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 + 1 = 7^2 = 49 \] \[ x^2 = 49 – 1 = 48 \] \[ x = \pm\sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 – 2x = 3^2 = 9 \] \[ x^2 – 2x – 9 = 0 \] Použijeme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{10} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 + 4x – 5 = 4^3 = 64 \] \[ x^2 + 4x – 69 = 0 \] Použijeme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-69)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 276}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{292}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{73}}{2} \] \[ x = -2 \pm \sqrt{73} \]

Řešení: Pokud jsou logaritmy se stejným základem rovné, pak jsou rovné i jejich argumenty: \[ 2x – 1 = x + 4 \] \[ 2x – x = 4 + 1 \] \[ x = 5 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 + 1 = 3^2 = 9 \] \[ x^2 = 9 – 1 = 8 \] \[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ 2x – 3 = 5^3 = 125 \] \[ 2x = 125 + 3 = 128 \] \[ x = \frac{128}{2} = 64 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x^2 + 2x = 6^2 = 36 \] \[ x^2 + 2x – 36 = 0 \] Použijeme kvadratickou rovnici: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 144}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{148}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{37}}{2} \] \[ x = -1 \pm \sqrt{37} \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ 3x + 5 = 2^4 = 16 \] \[ 3x = 16 – 5 = 11 \] \[ x = \frac{11}{3} \]

Řešení: Pokud jsou logaritmy se stejným základem rovné, pak jsou rovné i jejich argumenty: \[ 2x + 1 = x + 5 \] \[ 2x – x = 5 – 1 \] \[ x = 4 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ x + 1 = 4^2 = 16 \] \[ x = 16 – 1 = 15 \]

Řešení: Z definice logaritmu: \[ 2x + 1 = 7^3 = 343 \] \[ 2x = 343 – 1 = 342 \] \[ x = \frac{342}{2} = 171 \]