1. Porovnejte čísla \( 3^{10} \) a \( 2^{15} \). Které z nich je větší?
Řešení příkladu 1:
Zapíšeme obě čísla v jiném tvaru:
\( 3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 \)
\( 2^{15} = (2^3)^5 = 8^5 \)
Protože obě čísla mají stejný exponent \(5\), stačí porovnat jejich základy:
\( 9 > 8 \)
Z toho plyne, že \( 9^5 > 8^5 \), tedy \( 3^{10} > 2^{15} \).
Odpověď: \( 3^{10} \) je větší než \( 2^{15} \).
2. Porovnejte čísla \( 10! \) a \( 11^7 \). Které z nich je větší?
Řešení příkladu 2:
Nejprve si připomeňme hodnotu faktoriálu \(10!\):
\( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times \dots \times 1 = 3628800 \).
Teď spočítáme hodnotu \( 11^7 \):
\( 11^7 = 11 \times 11 \times \dots \times 11 \) (sedmkrát).
Vypočítáme postupně:
\( 11^2 = 121 \), \( 11^3 = 11^2 \times 11 = 121 \times 11 = 1331 \),
\( 11^4 = 1331 \times 11 = 14641 \), \( 11^5 = 14641 \times 11 = 161051 \),
\( 11^6 = 161051 \times 11 = 1771561 \), \( 11^7 = 1771561 \times 11 = 19487171 \).
Porovnáním \( 3628800 < 19487171 \) zjistíme, že \( 11^7 \) je větší než \( 10! \).
3. Porovnejte čísla \( \frac{15!}{10!} \) a \( 13^5 \). Které je větší?
Řešení příkladu 3:
Vyjádříme si \( \frac{15!}{10!} \):
\( \frac{15!}{10!} = 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15 \), protože faktoriál \(15! = 15 \times 14 \times \dots \times 1\) a \(10! = 10 \times 9 \times \dots \times 1\), proto po zkrácení zůstane právě tato součinová část.
Vypočítáme součin:
\( 11 \times 12 = 132 \), \( 132 \times 13 = 1716 \), \( 1716 \times 14 = 24024 \), \( 24024 \times 15 = 360360 \).
Teď spočítáme \( 13^5 \):
\( 13^2 = 169 \), \( 13^3 = 169 \times 13 = 2197 \), \( 13^4 = 2197 \times 13 = 28561 \), \( 13^5 = 28561 \times 13 = 371293 \).
Porovnáním \( 360360 < 371293 \) dostáváme, že \( 13^5 \) je větší než \( \frac{15!}{10!} \).
4. Porovnejte čísla \( 2^{20} \) a \( 5^9 \). Které je větší?
Řešení příkladu 4:
Nejprve spočítáme hodnotu \( 2^{20} \):
\( 2^{10} = 1024 \), takže \( 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 \).
Dále spočítáme \( 5^9 \):
\( 5^2 = 25 \), \( 5^3 = 125 \), \( 5^4 = 625 \), \( 5^5 = 3125 \), \( 5^6 = 15625 \), \( 5^7 = 78125 \), \( 5^8 = 390625 \), \( 5^9 = 1\,953\,125 \).
Porovnáním \( 1\,048\,576 < 1\,953\,125 \) zjistíme, že \( 5^9 \) je větší než \( 2^{20} \).
5. Porovnejte čísla \( \frac{12!}{9!} \) a \( 10^4 \). Které je větší?
Řešení příkladu 5:
Vyjádříme \( \frac{12!}{9!} = 10 \times 11 \times 12 \).
Vypočítáme součin:
\( 10 \times 11 = 110 \), \( 110 \times 12 = 1320 \).
Dále spočítáme \( 10^4 = 10\,000 \).
Porovnáním \( 1320 < 10\,000 \) zjistíme, že \( 10^4 \) je větší než \( \frac{12!}{9!} \).
6. Porovnejte čísla \( 7! \) a \( 8^4 \). Které je větší?
Řešení příkladu 6:
Nejprve spočítáme \( 7! \):
\( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \).
Dále spočítáme \( 8^4 \):
\( 8^2 = 64 \), \( 8^3 = 512 \), \( 8^4 = 512 \times 8 = 4096 \).
Porovnáním \( 5040 > 4096 \) dostáváme, že \( 7! \) je větší než \( 8^4 \).
7. Porovnejte čísla \( 4^{10} \) a \( 2^{20} \). Které je větší?
Řešení příkladu 7:
Využijeme vlastnosti mocnin: \( 4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} \).
Tedy \( 4^{10} = 2^{20} \) a obě čísla jsou stejná.
8. Porovnejte čísla \( 9! \) a \( 3^{12} \). Které je větší?
Řešení příkladu 8:
Nejprve spočítáme \( 9! \):
\( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 \).
Dále spočítáme \( 3^{12} \):
\( 3^2 = 9 \), \( 3^3 = 27 \), \( 3^4 = 81 \), \( 3^5 = 243 \), \( 3^6 = 729 \),
\( 3^7 = 2187 \), \( 3^8 = 6561 \), \( 3^9 = 19683 \), \( 3^{10} = 59049 \), \( 3^{11} = 177147 \), \( 3^{12} = 531441 \).
Porovnáním \( 362880 < 531441 \) zjistíme, že \( 3^{12} \) je větší než \( 9! \).
9. Porovnejte čísla \( \frac{14!}{12!} \) a \( 13^3 \). Které je větší?
Řešení příkladu 9:
Vyjádříme \( \frac{14!}{12!} = 13 \times 14 \).
Vypočítáme součin:
\( 13 \times 14 = 182 \).
Dále spočítáme \( 13^3 \):
\( 13^2 = 169 \), \( 13^3 = 169 \times 13 = 2197 \).
Porovnáním \( 182 < 2197 \) dostáváme, že \( 13^3 \) je větší než \( \frac{14!}{12!} \).
10. Porovnejte čísla \( 5! \times 4^5 \) a \( 2^{15} \). Které je větší?
Řešení příkladu 10:
Nejprve spočítáme \( 5! \):
\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).
Dále spočítáme \( 4^5 \):
\( 4^2 = 16 \), \( 4^3 = 64 \), \( 4^4 = 256 \), \( 4^5 = 1024 \).
Vypočítáme součin \( 5! \times 4^5 = 120 \times 1024 = 122880 \).
Teď spočítáme \( 2^{15} \):
\( 2^{10} = 1024 \), \( 2^{15} = 2^{10} \times 2^5 = 1024 \times 32 = 32768 \).
Porovnáním \( 122880 > 32768 \) dostáváme, že \( 5! \times 4^5 \) je větší než \( 2^{15} \).
11. Porovnejte čísla \( \frac{7!}{3^5} \) a \( 5^{3} + 2^{7} \).
Řešení:
Vypočítáme prvočíslo vlevo:
\(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\)
\(3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243\)
Zlomek je tedy:
\(\frac{7!}{3^5} = \frac{5040}{243} \approx 20{,}74\)
Vypočítáme pravou část:
\(5^{3} = 125\)
\(2^{7} = 128\)
Sčítáme:
\(125 + 128 = 253\)
Porovnáním máme:
\(20{,}74 < 253 \Rightarrow \text{pravé číslo je větší}\).
12. Porovnejte čísla \( \frac{9!}{8!} + 2^{10} \) a \( 7^{3} + 5! \).
Řešení:
Upravíme zlomek vlevo:
\(\frac{9!}{8!} = \frac{9 \times 8!}{8!} = 9\)
Vypočítáme mocninu:
\(2^{10} = 1024\)
Součet vlevo je tedy:
\(9 + 1024 = 1033\)
Vypočítáme pravou část:
\(7^{3} = 343\)
\(5! = 120\)
Součet vpravo:
\(343 + 120 = 463\)
Porovnáním:
\(1033 > 463 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
13. Porovnejte čísla \( 6^{4} – 4! \) a \( 5^{4} + 3^{3} \).
Řešení:
Vypočítáme levé číslo:
\(6^{4} = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296\)
\(4! = 24\)
Rozdíl:
\(1296 – 24 = 1272\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(5^{4} = 625\)
\(3^{3} = 27\)
Součet:
\(625 + 27 = 652\)
Porovnání:
\(1272 > 652 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
14. Porovnejte čísla \( \frac{10!}{8!} \) a \( 9^{2} + 7! \).
Řešení:
Upravíme zlomek vlevo:
\(\frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(9^{2} = 81\)
\(7! = 5040\)
Součet:
\(81 + 5040 = 5121\)
Porovnání:
\(90 < 5121 \Rightarrow \text{pravé číslo je větší}\).
15. Porovnejte čísla \( 4^{5} + 3! \times 7 \) a \( 6^{3} + 2^{8} \).
Řešení:
Vypočítáme levé číslo:
\(4^{5} = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024\)
\(3! = 6\)
\(3! \times 7 = 6 \times 7 = 42\)
Součet:
\(1024 + 42 = 1066\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(6^{3} = 216\)
\(2^{8} = 256\)
Součet:
\(216 + 256 = 472\)
Porovnání:
\(1066 > 472 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
16. Porovnejte čísla \( \frac{8!}{6!} + 5^{3} \) a \( 7^{3} – 4! \).
Řešení:
Upravíme zlomek vlevo:
\(\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56\)
\(5^{3} = 125\)
Součet vlevo:
\(56 + 125 = 181\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(7^{3} = 343\)
\(4! = 24\)
Rozdíl:
\(343 – 24 = 319\)
Porovnání:
\(181 < 319 \Rightarrow \text{pravé číslo je větší}\).
17. Porovnejte čísla \( 3^{7} + 6! \) a \( 2^{10} + 5^{4} \).
Řešení:
Vypočítáme levé číslo:
\(3^{7} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2187\)
\(6! = 720\)
Součet vlevo:
\(2187 + 720 = 2907\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(2^{10} = 1024\)
\(5^{4} = 625\)
Součet vpravo:
\(1024 + 625 = 1649\)
Porovnání:
\(2907 > 1649 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
18. Porovnejte čísla \( \frac{10!}{9!} + 4^{4} \) a \( 3^{6} + 7! \).
Řešení:
Upravíme zlomek vlevo:
\(\frac{10!}{9!} = \frac{10 \times 9!}{9!} = 10\)
\(4^{4} = 256\)
Součet vlevo:
\(10 + 256 = 266\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(3^{6} = 729\)
\(7! = 5040\)
Součet vpravo:
\(729 + 5040 = 5769\)
Porovnání:
\(266 < 5769 \Rightarrow \text{pravé číslo je větší}\).
19. Porovnejte čísla \( 8^{3} – 5! \) a \( 7^{3} – 4^{4} \).
Řešení:
Vypočítáme levé číslo:
\(8^{3} = 512\)
\(5! = 120\)
Rozdíl:
\(512 – 120 = 392\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(7^{3} = 343\)
\(4^{4} = 256\)
Rozdíl:
\(343 – 256 = 87\)
Porovnání:
\(392 > 87 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
20. Porovnejte čísla \( 9! – 2^{8} \) a \( 6^{4} + 5^{3} \).
Řešení:
Vypočítáme levé číslo:
\(9! = 362880\)
\(2^{8} = 256\)
Rozdíl:
\(362880 – 256 = 362624\)
Vypočítáme pravé číslo:
\(6^{4} = 1296\)
\(5^{3} = 125\)
Součet:
\(1296 + 125 = 1421\)
Porovnání:
\(362624 > 1421 \Rightarrow \text{levé číslo je větší}\).
21. Porovnejte čísla
\( A = \frac{1001!}{10^{20}} \) a \( B = 9^{500} \cdot 500! \)
Řešení příkladu:
Pro porovnání použijeme přirozený logaritmus a Stirlingovu aproximaci, protože obě čísla jsou příliš velká na přímý výpočet.
Stirlingova formule pro faktoriál \( n! \) říká: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Vypočítáme přirozené logaritmy obou čísel \( A \) a \( B \): \[ \ln A = \ln(1001!) – 20 \ln 10 \] \[ \ln B = 500 \ln 9 + \ln(500!) \]
Dosadíme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln(1001!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 1001) + 1001 \ln 1001 – 1001 \] \[ \ln(500!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 500) + 500 \ln 500 – 500 \]
Konkrétní hodnoty potřebných konstant:
\(\ln 10 \approx 2.302585\),
\(\ln 9 = 2 \ln 3 \approx 2.197225\),
\(\ln 1001 \approx 6.908755\),
\(\ln 500 \approx 6.214608\),
\(\ln(2 \pi \cdot 1001) \approx \ln(2 \pi) + \ln(1001) \approx 1.837877 + 6.908755 = 8.746632\),
\(\ln(2 \pi \cdot 500) \approx 1.837877 + 6.214608 = 8.052485\)
Dosadíme do výpočtu: \[ \ln(1001!) \approx \frac{1}{2} \times 8.746632 + 1001 \times 6.908755 – 1001 = 4.373316 + 6915.663 – 1001 = 5919.036 \] \[ \ln(500!) \approx \frac{1}{2} \times 8.052485 + 500 \times 6.214608 – 500 = 4.026243 + 3107.304 – 500 = 2611.330 \]
Vypočítáme logaritmy \( A \) a \( B \): \[ \ln A = 5919.036 – 20 \times 2.302585 = 5919.036 – 46.052 = 5872.984 \] \[ \ln B = 500 \times 2.197225 + 2611.330 = 1098.613 + 2611.330 = 3709.943 \]
Porovnáním hodnot: \[ \ln A = 5872.984 > \ln B = 3709.943 \] protože exponenciála je rostoucí funkce, vyplývá, že \[ A > B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{1001!}{10^{20}} \) je větší než číslo \( B = 9^{500} \cdot 500! \).
22. Porovnejte čísla
\( A = \frac{2000!}{2^{1500}} \) a \( B = 3^{1000} \cdot 1500! \)
Řešení příkladu:
Opět použijeme Stirlingovu aproximaci a přirozené logaritmy, protože obě čísla jsou velmi velká.
Pro čísla \(A\) a \(B\) máme: \[ \ln A = \ln(2000!) – 1500 \ln 2, \quad \ln B = 1000 \ln 3 + \ln(1500!) \]
Stirlingova aproximace pro faktoriál \( n! \): \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Vypočítáme jednotlivé členy: \[ \ln(2000!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 2000) + 2000 \ln 2000 – 2000 \] \[ \ln(1500!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 1500) + 1500 \ln 1500 – 1500 \]
Potřebné hodnoty přibližně:
\(\ln 2 \approx 0.693147\),
\(\ln 3 \approx 1.098612\),
\(\ln 2000 \approx 7.600902\),
\(\ln 1500 \approx 7.313220\),
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\),
\(\ln(2 \pi \cdot 2000) = 1.837877 + 7.600902 = 9.438779\),
\(\ln(2 \pi \cdot 1500) = 1.837877 + 7.313220 = 9.151097\)
Dosadíme do Stirlingovy formule: \[ \ln(2000!) \approx \frac{1}{2} \times 9.438779 + 2000 \times 7.600902 – 2000 = 4.719390 + 15201.804 – 2000 = 13206.523 \] \[ \ln(1500!) \approx \frac{1}{2} \times 9.151097 + 1500 \times 7.313220 – 1500 = 4.575549 + 10969.830 – 1500 = 9494.405 \]
Vypočítáme \(\ln A\) a \(\ln B\): \[ \ln A = 13206.523 – 1500 \times 0.693147 = 13206.523 – 1039.720 = 12166.803 \] \[ \ln B = 1000 \times 1.098612 + 9494.405 = 1098.612 + 9494.405 = 10593.017 \]
Porovnáním zjistíme, že \[ \ln A = 12166.803 > \ln B = 10593.017 \] a proto \[ A > B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{2000!}{2^{1500}} \) je větší než číslo \( B = 3^{1000} \cdot 1500! \).
23. Porovnejte čísla
\( A = \frac{500! \cdot 700!}{10^{1000}} \) a \( B = 15^{600} \cdot 1000! \)
Řešení příkladu:
Pro porovnání použijeme přirozené logaritmy a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(500!) + \ln(700!) – 1000 \ln 10, \quad \ln B = 600 \ln 15 + \ln(1000!) \]
Stirlingova aproximace pro faktoriál \( n! \): \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Vypočítáme potřebné hodnoty:
- \(\ln 10 \approx 2.302585\)
- \(\ln 15 = \ln(3 \times 5) = \ln 3 + \ln 5 \approx 1.098612 + 1.609438 = 2.708050\)
- \(\ln 500 \approx 6.214608\)
- \(\ln 700 \approx 6.551080\)
- \(\ln 1000 \approx 6.907755\)
- \(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Počítáme Stirlingovy přibližné hodnoty faktoriálů: \[ \ln(500!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \cdot 500) + 500 \ln 500 – 500 = \frac{1}{2} (1.837877 + 6.214608) + 500 \times 6.214608 – 500 \] \[ = \frac{1}{2} \times 8.052485 + 3107.304 – 500 = 4.026243 + 3107.304 – 500 = 2611.330 \] \[ \ln(700!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \cdot 700) + 700 \ln 700 – 700 = \frac{1}{2} (1.837877 + 6.551080) + 700 \times 6.551080 – 700 \] \[ = \frac{1}{2} \times 8.388957 + 4585.756 – 700 = 4.194479 + 4585.756 – 700 = 3890.950 \] \[ \ln(1000!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \cdot 1000) + 1000 \ln 1000 – 1000 = \frac{1}{2} (1.837877 + 6.907755) + 1000 \times 6.907755 – 1000 \] \[ = \frac{1}{2} \times 8.745632 + 6907.755 – 1000 = 4.372816 + 6907.755 – 1000 = 5912.128 \]
Dosadíme do logaritmických výrazů: \[ \ln A = 2611.330 + 3890.950 – 1000 \times 2.302585 = 6502.280 – 2302.585 = 4199.695 \] \[ \ln B = 600 \times 2.708050 + 5912.128 = 1624.830 + 5912.128 = 7536.958 \]
Porovnáním hodnot: \[ \ln A = 4199.695 < \ln B = 7536.958 \] tedy platí \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{500! \cdot 700!}{10^{1000}} \) je menší než číslo \( B = 15^{600} \cdot 1000! \).
24. Porovnejte čísla
\( A = \frac{1200!}{(5!)^{200}} \) a \( B = 8^{600} \cdot 600! \)
Řešení příkladu:
Použijeme logaritmickou podobu a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(1200!) – 200 \ln(5!), \quad \ln B = 600 \ln 8 + \ln(600!) \]
Spočítáme přesnou hodnotu: \[ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120, \quad \ln(5!) \approx \ln 120 \approx 4.787492 \]
Potřebné logaritmy:
\(\ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2 \approx 3 \times 0.693147 = 2.079441\)
\(\ln 1200 \approx 7.090076\)
\(\ln 600 \approx 6.396930\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Stirlingova aproximace pro faktoriály: \[ \ln(1200!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 1200) + 1200 \ln 1200 – 1200 \] \[ \ln(600!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi \cdot 600) + 600 \ln 600 – 600 \]
Vypočteme členy: \[ \ln(2 \pi \cdot 1200) = 1.837877 + 7.090076 = 8.927953 \] \[ \ln(2 \pi \cdot 600) = 1.837877 + 6.396930 = 8.234807 \] \[ \ln(1200!) \approx \frac{1}{2} \times 8.927953 + 1200 \times 7.090076 – 1200 = 4.463977 + 8508.091 – 1200 = 7312.555 \] \[ \ln(600!) \approx \frac{1}{2} \times 8.234807 + 600 \times 6.396930 – 600 = 4.117403 + 3838.158 – 600 = 3242.275 \]
Dosadíme do logaritmů: \[ \ln A = 7312.555 – 200 \times 4.787492 = 7312.555 – 957.498 = 6355.057 \] \[ \ln B = 600 \times 2.079441 + 3242.275 = 1247.664 + 3242.275 = 4489.939 \]
Porovnáním: \[ \ln A = 6355.057 > \ln B = 4489.939 \] tedy \[ A > B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{1200!}{(5!)^{200}} \) je větší než číslo \( B = 8^{600} \cdot 600! \).
25. Porovnejte čísla
\( A = \frac{3000!}{2^{2500}} \) a \( B = 7^{2000} \cdot 2500! \)
Řešení příkladu:
Pro porovnání použijeme přirozený logaritmus a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(3000!) – 2500 \ln 2, \quad \ln B = 2000 \ln 7 + \ln(2500!) \]
Stirlingova aproximace pro faktoriály: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Potřebné hodnoty logaritmů (přibližně):
\(\ln 2 \approx 0.693147\)
\(\ln 7 \approx 1.945910\)
\(\ln 3000 \approx 8.006368\)
\(\ln 2500 \approx 7.824046\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Vypočteme Stirlingovy přiblížení: \[ \ln(3000!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \times 3000) + 3000 \ln 3000 – 3000 = \frac{1}{2} (1.837877 + 8.006368) + 3000 \times 8.006368 – 3000 \] \[ = \frac{1}{2} \times 9.844245 + 24019.104 – 3000 = 4.922123 + 24019.104 – 3000 = 21024.126 \] \[ \ln(2500!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \times 2500) + 2500 \ln 2500 – 2500 = \frac{1}{2} (1.837877 + 7.824046) + 2500 \times 7.824046 – 2500 \] \[ = \frac{1}{2} \times 9.661923 + 19560.115 – 2500 = 4.830962 + 19560.115 – 2500 = 17064.945 \]
Dosadíme do logaritmů: \[ \ln A = 21024.126 – 2500 \times 0.693147 = 21024.126 – 1732.868 = 19391.258 \] \[ \ln B = 2000 \times 1.945910 + 17064.945 = 3891.820 + 17064.945 = 20956.765 \]
Porovnáním hodnot: \[ \ln A = 19391.258 < \ln B = 20956.765 \] tedy \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{3000!}{2^{2500}} \) je menší než číslo \( B = 7^{2000} \cdot 2500! \).
26. Porovnejte čísla
\( A = \frac{600! \cdot 400!}{3^{500}} \) a \( B = 10^{700} \cdot 900! \)
Řešení příkladu:
Opět použijeme logaritmickou formu a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(600!) + \ln(400!) – 500 \ln 3, \quad \ln B = 700 \ln 10 + \ln(900!) \]
Potřebné hodnoty logaritmů:
\(\ln 3 \approx 1.098612\)
\(\ln 10 \approx 2.302585\)
\(\ln 600 \approx 6.396930\)
\(\ln 400 \approx 5.991465\)
\(\ln 900 \approx 6.802395\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Stirlingovy přiblížení faktoriálů: \[ \ln(600!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \times 600) + 600 \ln 600 – 600 = \frac{1}{2} (1.837877 + 6.396930) + 600 \times 6.396930 – 600 \] \[ = \frac{1}{2} \times 8.234807 + 3838.158 – 600 = 4.117403 + 3838.158 – 600 = 3242.275 \] \[ \ln(400!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \times 400) + 400 \ln 400 – 400 = \frac{1}{2} (1.837877 + 5.991465) + 400 \times 5.991465 – 400 \] \[ = \frac{1}{2} \times 7.829342 + 2396.586 – 400 = 3.914671 + 2396.586 – 400 = 2000.501 \] \[ \ln(900!) \approx \frac{1}{2} \times \ln(2 \pi \times 900) + 900 \ln 900 – 900 = \frac{1}{2} (1.837877 + 6.802395) + 900 \times 6.802395 – 900 \] \[ = \frac{1}{2} \times 8.640272 + 6122.156 – 900 = 4.320136 + 6122.156 – 900 = 5226.276 \]
Dosadíme do logaritmických výrazů: \[ \ln A = 3242.275 + 2000.501 – 500 \times 1.098612 = 5242.776 – 549.306 = 4693.470 \] \[ \ln B = 700 \times 2.302585 + 5226.276 = 1611.810 + 5226.276 = 6838.086 \]
Porovnáním: \[ \ln A = 4693.470 < \ln B = 6838.086 \] tedy \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{600! \cdot 400!}{3^{500}} \) je menší než číslo \( B = 10^{700} \cdot 900! \).
27. Porovnejte čísla
\( A = \frac{800!}{4^{600}} \) a \( B = 5^{700} \cdot 700! \)
Řešení příkladu:
Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriály a logaritmy mocnin:
\[ \ln A = \ln(800!) – 600 \ln 4, \quad \ln B = 700 \ln 5 + \ln(700!) \]
Stirlingova aproximace: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Potřebné hodnoty logaritmů:
\(\ln 4 \approx 1.386294\)
\(\ln 5 \approx 1.609438\)
\(\ln 800 \approx 6.684612\)
\(\ln 700 \approx 6.551080\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Výpočet aproximace: \[ \ln(800!) \approx \frac{1}{2} (1.837877 + 6.684612) + 800 \times 6.684612 – 800 = \frac{1}{2} \times 8.522489 + 5347.690 – 800 = 4.261245 + 5347.690 – 800 = 4552.951 \] \[ \ln(700!) \approx \frac{1}{2} (1.837877 + 6.551080) + 700 \times 6.551080 – 700 = \frac{1}{2} \times 8.388957 + 4585.756 – 700 = 4.194479 + 4585.756 – 700 = 3890.950 \]
Dosadíme do logaritmů: \[ \ln A = 4552.951 – 600 \times 1.386294 = 4552.951 – 831.776 = 3721.175 \] \[ \ln B = 700 \times 1.609438 + 3890.950 = 1126.606 + 3890.950 = 5017.556 \]
Porovnáním: \[ \ln A = 3721.175 < \ln B = 5017.556 \] tedy \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{800!}{4^{600}} \) je menší než číslo \( B = 5^{700} \cdot 700! \).
28. Porovnejte čísla
\( A = \frac{900! \cdot 300!}{6^{400}} \) a \( B = 12^{500} \cdot 1100! \)
Řešení příkladu:
Použijeme logaritmickou formu a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(900!) + \ln(300!) – 400 \ln 6, \quad \ln B = 500 \ln 12 + \ln(1100!) \]
Stirlingova aproximace: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Potřebné hodnoty:
\(\ln 6 \approx 1.791759\)
\(\ln 12 \approx 2.484907\)
\(\ln 900 \approx 6.802395\)
\(\ln 300 \approx 5.703782\)
\(\ln 1100 \approx 7.003065\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Výpočty aproximací: \[ \ln(900!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 6.802395) + 900 \times 6.802395 – 900 = 4.320136 + 6122.155 – 900 = 5226.475 \] \[ \ln(300!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 5.703782) + 300 \times 5.703782 – 300 = 3.770830 + 1711.135 – 300 = 1414.906 \] \[ \ln(1100!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 7.003065) + 1100 \times 7.003065 – 1100 = 4.420471 + 7703.371 – 1100 = 6607.791 \]
Dosadíme do výrazů: \[ \ln A = 5226.475 + 1414.906 – 400 \times 1.791759 = 6641.381 – 716.704 = 5924.677 \] \[ \ln B = 500 \times 2.484907 + 6607.791 = 1242.454 + 6607.791 = 7850.245 \]
Porovnání: \[ \ln A = 5924.677 < \ln B = 7850.245 \] takže \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{900! \cdot 300!}{6^{400}} \) je menší než číslo \( B = 12^{500} \cdot 1100! \).
29. Porovnejte čísla
\( A = \frac{2500!}{8^{2000}} \) a \( B = 6^{2300} \cdot 2300! \)
Řešení příkladu:
Použijeme přirozený logaritmus a Stirlingovu aproximaci:
\[ \ln A = \ln(2500!) – 2000 \ln 8, \quad \ln B = 2300 \ln 6 + \ln(2300!) \]
Stirlingova aproximace: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Potřebné hodnoty:
\(\ln 8 \approx 2.079441\)
\(\ln 6 \approx 1.791759\)
\(\ln 2500 \approx 7.824046\)
\(\ln 2300 \approx 7.740664\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Výpočty aproximací: \[ \ln(2500!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 7.824046) + 2500 \times 7.824046 – 2500 = 4.830962 + 19560.115 – 2500 = 17064.945 \] \[ \ln(2300!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 7.740664) + 2300 \times 7.740664 – 2300 = 4.789271 + 17803.528 – 2300 = 15507.317 \]
Dosadíme do výrazů: \[ \ln A = 17064.945 – 2000 \times 2.079441 = 17064.945 – 4158.882 = 12906.063 \] \[ \ln B = 2300 \times 1.791759 + 15507.317 = 4121.046 + 15507.317 = 19628.363 \]
Porovnání: \[ \ln A = 12906.063 < \ln B = 19628.363 \] tedy \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{2500!}{8^{2000}} \) je menší než číslo \( B = 6^{2300} \cdot 2300! \).
30. Porovnejte čísla
\( A = \frac{1100! \cdot 900!}{10^{1500}} \) a \( B = 20^{1000} \cdot 2000! \)
Řešení příkladu:
Logaritmická forma a Stirlingova aproximace:
\[ \ln A = \ln(1100!) + \ln(900!) – 1500 \ln 10, \quad \ln B = 1000 \ln 20 + \ln(2000!) \]
Stirlingova aproximace: \[ \ln(n!) \approx \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) + n \ln n – n \]
Potřebné hodnoty:
\(\ln 10 \approx 2.302585\)
\(\ln 20 \approx 2.995732\)
\(\ln 1100 \approx 7.003065\)
\(\ln 900 \approx 6.802395\)
\(\ln 2000 \approx 7.600902\)
\(\ln(2 \pi) \approx 1.837877\)
Výpočty aproximací: \[ \ln(1100!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 7.003065) + 1100 \times 7.003065 – 1100 = 4.420471 + 7703.371 – 1100 = 6607.791 \] \[ \ln(900!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 6.802395) + 900 \times 6.802395 – 900 = 4.320136 + 6122.155 – 900 = 5226.475 \] \[ \ln(2000!) \approx \frac{1}{2}(1.837877 + 7.600902) + 2000 \times 7.600902 – 2000 = 4.719390 + 15201.804 – 2000 = 13206.523 \]
Dosadíme do výrazů: \[ \ln A = 6607.791 + 5226.475 – 1500 \times 2.302585 = 11834.266 – 3453.878 = 8379.388 \] \[ \ln B = 1000 \times 2.995732 + 13206.523 = 2995.732 + 13206.523 = 16202.255 \]
Porovnání: \[ \ln A = 8379.388 < \ln B = 16202.255 \] tedy \[ A < B \]
Závěr: Číslo \( A = \frac{1100! \cdot 900!}{10^{1500}} \) je menší než číslo \( B = 20^{1000} \cdot 2000! \).
31. Porovnejte čísla \( \frac{2002!}{10^{100}} \) a \( 9^{1500} \cdot 15^{400} \).
Řešení příkladu:
Nejprve odhadneme velikost čísel na logaritmické škále, protože přímé porovnání je nemožné.
Pro \( \frac{2002!}{10^{100}} \) použijeme Stirlingovu aproximaci:
\[ \log_{10}(2002!) \approx \log_{10}\left(\sqrt{2\pi \cdot 2002}\left(\frac{2002}{e}\right)^{2002}\right) = \log_{10}(\sqrt{2\pi \cdot 2002}) + 2002 \log_{10}\left(\frac{2002}{e}\right). \]
Vypočítáme jednotlivé části:
- \(\sqrt{2\pi \cdot 2002} \approx \sqrt{12575} \approx 112.15\), takže \(\log_{10}(112.15) \approx 2.05\).
- \(\log_{10}\left(\frac{2002}{e}\right) = \log_{10}(2002) – \log_{10}(e) \approx 3.3010 – 0.4343 = 2.8667\).
Pak:
\[ \log_{10}(2002!) \approx 2.05 + 2002 \times 2.8667 = 2.05 + 5738.93 = 5740.98. \]
Odečteme exponent z jmenovatele:
\[ \log_{10}\left(\frac{2002!}{10^{100}}\right) = 5740.98 – 100 = 5640.98. \]
Nyní zkusíme odhadnout druhé číslo \(9^{1500} \cdot 15^{400}\):
\[ \log_{10}(9^{1500} \cdot 15^{400}) = 1500 \log_{10} 9 + 400 \log_{10} 15. \]
Logaritmy:
- \(\log_{10} 9 = \log_{10} (3^2) = 2 \log_{10} 3 \approx 2 \times 0.4771 = 0.9542\).
- \(\log_{10} 15 = \log_{10} (3 \times 5) = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 \approx 0.4771 + 0.6990 = 1.1761\).
Dosadíme:
\[ 1500 \times 0.9542 + 400 \times 1.1761 = 1431.3 + 470.44 = 1901.74. \]
Porovnání:
\[ \log_{10}\left(\frac{2002!}{10^{100}}\right) \approx 5640.98 \quad \text{a} \quad \log_{10}(9^{1500} \cdot 15^{400}) \approx 1901.74, \]
což znamená, že \( \frac{2002!}{10^{100}} \) je mnohem větší než \(9^{1500} \cdot 15^{400}\).
32. Porovnejte čísla \( \frac{500! \cdot 600!}{10^{300}} \) a \( 20^{400} \cdot 15^{250} \).
Řešení příkladu:
Budeme opět porovnávat logaritmy, protože čísla jsou příliš velká.
Pomocí Stirlingovy aproximace:
\[ \log_{10}(n!) \approx \log_{10}(\sqrt{2\pi n}) + n \log_{10}\left(\frac{n}{e}\right). \]
Vypočítáme \( \log_{10}(500!) \):
- \(\sqrt{2\pi \cdot 500} \approx \sqrt{3141.59} \approx 56.05\), tedy \(\log_{10}(56.05) \approx 1.748\).
- \(\log_{10}\left(\frac{500}{e}\right) = \log_{10}(500) – \log_{10}(e) = 2.6990 – 0.4343 = 2.2647\).
Takže:
\[ \log_{10}(500!) \approx 1.748 + 500 \times 2.2647 = 1.748 + 1132.35 = 1134.10. \]
Podobně pro \(600!\):
- \(\sqrt{2\pi \cdot 600} \approx \sqrt{3769.91} \approx 61.40\), \(\log_{10}(61.40) \approx 1.788\).
- \(\log_{10}\left(\frac{600}{e}\right) = \log_{10}(600) – 0.4343 = 2.7782 – 0.4343 = 2.3439\).
Takže:
\[ \log_{10}(600!) \approx 1.788 + 600 \times 2.3439 = 1.788 + 1406.34 = 1408.13. \]
Součet těchto logaritmů:
\[ 1134.10 + 1408.13 = 2542.23. \]
Odečteme exponent z jmenovatele:
\[ \log_{10}\left(\frac{500! \cdot 600!}{10^{300}}\right) = 2542.23 – 300 = 2242.23. \]
Nyní spočítáme logaritmus druhého čísla \(20^{400} \cdot 15^{250}\):
\[ 400 \log_{10} 20 + 250 \log_{10} 15. \]
Logaritmy:
- \(\log_{10} 20 = \log_{10} (2 \cdot 10) = \log_{10} 2 + 1 \approx 0.3010 + 1 = 1.3010\).
- \(\log_{10} 15 = 1.1761\) (z předchozího příkladu).
Dosadíme:
\[ 400 \times 1.3010 + 250 \times 1.1761 = 520.4 + 294.03 = 814.43. \]
Porovnání:
\[ 2242.23 \gg 814.43, \]
takže \( \frac{500! \cdot 600!}{10^{300}} \) je výrazně větší než \( 20^{400} \cdot 15^{250} \).
33. Porovnejte \( \frac{1000!}{5^{800}} \) a \( 8^{450} \cdot 7^{200} \).
Řešení příkladu:
Využijeme opět logaritmické porovnání.
Stirlingova aproximace pro \(1000!\):
\[ \log_{10}(1000!) \approx \log_{10}(\sqrt{2\pi \cdot 1000}) + 1000 \log_{10}\left(\frac{1000}{e}\right). \]
Vypočítáme jednotlivé členy:
- \(\sqrt{2\pi \cdot 1000} \approx \sqrt{6283} \approx 79.3\), \(\log_{10}(79.3) \approx 1.9\).
- \(\log_{10}\left(\frac{1000}{e}\right) = \log_{10}(1000) – \log_{10}(e) = 3 – 0.4343 = 2.5657\).
Celkem:
\[ \log_{10}(1000!) \approx 1.9 + 1000 \times 2.5657 = 1.9 + 2565.7 = 2567.6. \]
Odečteme exponent z jmenovatele:
\[ \log_{10}\left(\frac{1000!}{5^{800}}\right) = 2567.6 – 800 \log_{10} 5. \]
\(\log_{10} 5 \approx 0.6990\), takže:
\[ 800 \times 0.6990 = 559.2, \]
tedy:
\[ 2567.6 – 559.2 = 2008.4. \]
Nyní logaritmus druhého čísla \(8^{450} \cdot 7^{200}\):
\[ 450 \log_{10} 8 + 200 \log_{10} 7. \]
Logaritmy:
- \(\log_{10} 8 = \log_{10} (2^3) = 3 \times 0.3010 = 0.9030\).
- \(\log_{10} 7 \approx 0.8451\).
Dosadíme:
\[ 450 \times 0.9030 + 200 \times 0.8451 = 406.35 + 169.02 = 575.37. \]
Porovnání:
\[ 2008.4 \gg 575.37, \]
takže \( \frac{1000!}{5^{800}} \) je mnohem větší než \( 8^{450} \cdot 7^{200} \).
34. Porovnejte \( \frac{1500!}{10^{500}} \) a \( 25^{600} \cdot 12^{300} \).
Řešení příkladu:
Stirlingova aproximace pro \(1500!\):
\[ \log_{10}(1500!) \approx \log_{10}(\sqrt{2\pi \cdot 1500}) + 1500 \log_{10}\left(\frac{1500}{e}\right). \]
Vypočítáme:
- \(\sqrt{2\pi \cdot 1500} \approx \sqrt{9424.78} \approx 97.08\), \(\log_{10}(97.08) \approx 1.987\).
- \(\log_{10}(1500) = \log_{10}(1.5 \times 10^3) = \log_{10} 1.5 + 3 = 0.1761 + 3 = 3.1761\).
- \(\log_{10}(e) = 0.4343\), tedy \(\log_{10}\left(\frac{1500}{e}\right) = 3.1761 – 0.4343 = 2.7418\).
Celkem:
\[ \log_{10}(1500!) \approx 1.987 + 1500 \times 2.7418 = 1.987 + 4112.7 = 4114.69. \]
Odečteme exponent z jmenovatele:
\[ \log_{10}\left(\frac{1500!}{10^{500}}\right) = 4114.69 – 500 = 3614.69. \]
Logaritmus druhého čísla \(25^{600} \cdot 12^{300}\):
\[ 600 \log_{10} 25 + 300 \log_{10} 12. \]
Logaritmy:
- \(\log_{10} 25 = \log_{10} (5^2) = 2 \times 0.6990 = 1.3980\).
- \(\log_{10} 12 = \log_{10} (3 \times 4) = 0.4771 + 0.6021 = 1.0792\).
Dosadíme:
\[ 600 \times 1.3980 + 300 \times 1.0792 = 838.8 + 323.76 = 1162.56. \]
Porovnání:
\[ 3614.69 \gg 1162.56, \]
takže \( \frac{1500!}{10^{500}} \) je větší než \( 25^{600} \cdot 12^{300} \).
35. Porovnejte čísla \( \sqrt[7]{823456789} \) a \( 7^{5.1} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si vyjádříme obě čísla v přibližně srozumitelné formě. Spočítáme aproximaci obou hodnot.
Pro \( \sqrt[7]{823456789} \) platí:
\( \sqrt[7]{823456789} = (8.23456789 \times 10^{8})^{\frac{1}{7}} = 8.23456789^{\frac{1}{7}} \times 10^{\frac{8}{7}} \).
Počítáme:
- Exponenciální část: \( 10^{\frac{8}{7}} = 10^{1.142857} \approx 13.88 \).
- Základ 8.23456789, sedmý kořen: \( 8.23456789^{\frac{1}{7}} = e^{\frac{1}{7} \ln 8.23456789} \).
Logaritmus: \( \ln 8.23456789 \approx 2.107 \), tedy sedmý kořen je \( e^{0.301} \approx 1.351 \).
Výsledná hodnota: \( 1.351 \times 13.88 \approx 18.75 \).
Pro \( 7^{5.1} \) máme:
\( 7^{5.1} = 7^{5} \times 7^{0.1} = 16807 \times 7^{0.1} \).
Vypočítáme \( 7^{0.1} = e^{0.1 \ln 7} \). Logaritmus \( \ln 7 \approx 1.9459 \), tedy \( 7^{0.1} = e^{0.19459} \approx 1.214 \).
Celkem: \( 16807 \times 1.214 \approx 20400 \).
Porovnání: \( 18.75 \ll 20400 \Rightarrow \sqrt[7]{823456789} < 7^{5.1} \).
36. Porovnejte čísla \( \frac{5^{4.9}}{3^{6.1}} \) a \( \sqrt[3]{2^{15} \times 7^{9}} \).
Řešení příkladu:
Nejprve vyjádříme obě čísla v podobných tvarech a provedeme logaritmické porovnání.
Číslo A: \( \frac{5^{4.9}}{3^{6.1}} = 5^{4.9} \times 3^{-6.1} \).
Číslo B: \( \sqrt[3]{2^{15} \times 7^{9}} = (2^{15} \times 7^{9})^{\frac{1}{3}} = 2^{5} \times 7^{3} \).
Hodnoty:
- Číslo B je \( 2^{5} \times 7^{3} = 32 \times 343 = 10976 \).
U čísla A použijeme logaritmus:
\( \ln A = 4.9 \ln 5 – 6.1 \ln 3 \).
Vypočítáme jednotlivé logaritmy: \( \ln 5 \approx 1.6094 \), \( \ln 3 \approx 1.0986 \).
\( \ln A = 4.9 \times 1.6094 – 6.1 \times 1.0986 = 7.886 – 6.700 = 1.186 \).
Číslo A = \( e^{1.186} \approx 3.275 \).
Porovnání: \( 3.275 < 10976 \Rightarrow \frac{5^{4.9}}{3^{6.1}} < \sqrt[3]{2^{15} \times 7^{9}} \).
37. Porovnejte čísla \( \frac{11^{\sqrt{5}}}{13^{\pi}} \) a \( e^{4.5} \).
Řešení příkladu:
Začneme logaritmickým porovnáním.
Číslo A: \( \frac{11^{\sqrt{5}}}{13^{\pi}} \Rightarrow \ln A = \sqrt{5} \ln 11 – \pi \ln 13 \).
Číslo B: \( e^{4.5} \Rightarrow \ln B = 4.5 \).
Vypočítáme hodnoty:
- \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)
- \( \ln 11 \approx 2.3979 \)
- \( \pi \approx 3.14159 \)
- \( \ln 13 \approx 2.5649 \)
Dosadíme do výrazu pro \( \ln A \):
\( \ln A = 2.236 \times 2.3979 – 3.14159 \times 2.5649 = 5.363 – 8.059 = -2.696 \).
Porovnání:
\( \ln A = -2.696 < 4.5 = \ln B \Rightarrow A < B \Rightarrow \frac{11^{\sqrt{5}}}{13^{\pi}} < e^{4.5} \).
38. Porovnejte čísla \( 9^{2.75} \) a \( 27^{2.1} \).
Řešení příkladu:
Obě čísla převedeme na základ stejného základu, protože \(9\) i \(27\) jsou mocniny trojky:
\[ 9 = 3^{2}, \quad 27 = 3^{3} \]
Dosadíme do výrazů:
\[ 9^{2.75} = (3^{2})^{2.75} = 3^{2 \times 2.75} = 3^{5.5} \]
\[ 27^{2.1} = (3^{3})^{2.1} = 3^{3 \times 2.1} = 3^{6.3} \]
Nyní porovnáme exponenty u stejného základu 3:
\[ 5.5 < 6.3 \]
Proto platí:
\[ 3^{5.5} < 3^{6.3} \quad \Rightarrow \quad 9^{2.75} < 27^{2.1}. \]
Závěr: Číslo \(9^{2.75}\) je menší než číslo \(27^{2.1}\).
39. Porovnejte čísla \( \frac{4^{6.3}}{8^{4.1}} \) a \( 2^{5.2} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme všechna čísla jako mocniny základu 2, protože 4, 8 i 2 jsou mocniny dvojky:
\( 4 = 2^{2}, \quad 8 = 2^{3} \).
Číslo A: \( \frac{4^{6.3}}{8^{4.1}} = \frac{(2^{2})^{6.3}}{(2^{3})^{4.1}} = \frac{2^{12.6}}{2^{12.3}} = 2^{12.6 – 12.3} = 2^{0.3} \).
Číslo B: \( 2^{5.2} \).
Porovnání:
0.3 < 5.2 \(\Rightarrow 2^{0.3} < 2^{5.2} \Rightarrow \frac{4^{6.3}}{8^{4.1}} < 2^{5.2}\).
40. Porovnejte čísla \( \sqrt[4]{10^{10}} \) a \( 5^{5} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme obě čísla pomocí mocnin:
\( \sqrt[4]{10^{10}} = 10^{\frac{10}{4}} = 10^{2.5} \).
Číslo B: \( 5^{5} \).
Převod na stejné základy je složitější, ale lze je přibližně spočítat pomocí logaritmů:
Počítáme přibližné hodnoty:
- \( 10^{2.5} = 10^{2} \times 10^{0.5} = 100 \times \sqrt{10} \approx 100 \times 3.1623 = 316.23 \).
- \( 5^{5} = 3125 \).
Porovnání:
\(316.23 < 3125 \Rightarrow \sqrt[4]{10^{10}} < 5^{5}\).
41. Porovnejte čísla \( 2^{\pi} \) a \( 3^{\ln 5} \).
Řešení příkladu:
Začneme logaritmickým porovnáním.
\( \ln (2^{\pi}) = \pi \ln 2 \).
\( \ln (3^{\ln 5}) = \ln 5 \ln 3 \).
Vypočítáme hodnoty:
- \( \pi \approx 3.14159 \)
- \( \ln 2 \approx 0.6931 \)
- \( \ln 3 \approx 1.0986 \)
- \( \ln 5 \approx 1.6094 \)
Dosadíme:
\( \pi \ln 2 \approx 3.14159 \times 0.6931 = 2.177 \).
\( \ln 5 \ln 3 = 1.6094 \times 1.0986 = 1.768 \).
Porovnání:
\(2.177 > 1.768 \Rightarrow \ln(2^{\pi}) > \ln(3^{\ln 5}) \Rightarrow 2^{\pi} > 3^{\ln 5}\).
42. Porovnejte čísla \( 6^{3.1} \) a \( 9^{2.2} \).
Řešení příkladu:
Použijeme logaritmy pro porovnání.
\( \ln(6^{3.1}) = 3.1 \ln 6 \), \( \ln(9^{2.2}) = 2.2 \ln 9 \).
Vypočítáme logaritmy:
- \( \ln 6 \approx 1.7918 \)
- \( \ln 9 = \ln (3^{2}) = 2 \ln 3 \approx 2 \times 1.0986 = 2.1972 \)
Dosadíme:
\( 3.1 \times 1.7918 = 5.5546 \), \( 2.2 \times 2.1972 = 4.8338 \).
Porovnání:
\(5.5546 > 4.8338 \Rightarrow 6^{3.1} > 9^{2.2}\).
43. Porovnejte čísla \( 8^{2.7} \) a \( 16^{2.1} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme obě čísla jako mocniny základu 2, protože 8 i 16 jsou mocniny dvojky:
\( 8 = 2^{3} \), \( 16 = 2^{4} \).
Číslo A: \( 8^{2.7} = (2^{3})^{2.7} = 2^{8.1} \).
Číslo B: \( 16^{2.1} = (2^{4})^{2.1} = 2^{8.4} \).
Porovnání exponentů:
\(8.1 < 8.4 \Rightarrow 2^{8.1} < 2^{8.4} \Rightarrow 8^{2.7} < 16^{2.1}.\)
44. Porovnejte čísla \( \sqrt[5]{3^{20}} \) a \( 9^{3} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme obě čísla jako mocniny:
\( \sqrt[5]{3^{20}} = 3^{\frac{20}{5}} = 3^{4} \).
Číslo B: \( 9^{3} = (3^{2})^{3} = 3^{6} \).
Porovnání exponentů:
\(4 < 6 \Rightarrow 3^{4} < 3^{6} \Rightarrow \sqrt[5]{3^{20}} < 9^{3}\).
45. Porovnejte čísla \( A = \sqrt[3]{123456789} \) a \( B = 49.63 \).
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme přibližně hodnotu \( A = \sqrt[3]{123456789} \). Víme, že \( 50^3 = 125000 \), ale to je příliš malé číslo, naše číslo je 123 milionů, tedy 123456789, což je blízko k \( 50^3 \) krát tisíc. Správně je třeba rozpoznat, že se jedná o třetí odmocninu z čísla kolem 1,2 × 10^8.
Ukažme přesnější odhad:
První odhad: \( 50^3 = 125000 \), což je nesmyslně malé, zde musíme správně číst číslo: \( 123456789 \) je přibližně \( 1.23456789 \times 10^8 \).
Vezmeme třetí odmocninu: \(\sqrt[3]{1.23456789 \times 10^8} = \sqrt[3]{1.23456789} \times \sqrt[3]{10^8} = \sqrt[3]{1.23456789} \times 10^{8/3} \).
Protože \( 8/3 = 2.\overline{6} \), tedy \( 10^{2.666…} = 10^2 \times 10^{0.666…} = 100 \times 10^{2/3} \).
Víme, že \( 10^{2/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100} \approx 4.6416 \).
Tedy \( \sqrt[3]{10^8} \approx 100 \times 4.6416 = 464.16 \).
Odmocnina \( \sqrt[3]{1.23456789} \) bude mírně nad 1, protože \( 1^3=1 \), \( 1.1^3=1.331 \), tak odhadněme 1.07.
Tedy \( A \approx 1.07 \times 464.16 = 496.65 \) (přibližně).
Porovnáme s \( B = 49.63 \).
Je zřejmé, že \( A \approx 496.65 > 49.63 = B \).
Výsledek: \( A > B \).
46. Porovnejte čísla \( A = \frac{5^{7} + 3^{10}}{2^{15}} \) a \( B = 3^{5} \cdot 2^{2} \).
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme hodnotu \( A \):
\( 5^7 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 78125 \).
\( 3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049 \).
Součet: \( 78125 + 59049 = 137174 \).
Denominátor: \( 2^{15} = 32768 \).
Pak \( A = \frac{137174}{32768} \approx 4.185 \).
Vypočteme hodnotu \( B \):
\( 3^5 = 243 \), \( 2^2 = 4 \), takže \( B = 243 \times 4 = 972 \).
Porovnáme \( A \approx 4.185 \) a \( B = 972 \).
Je zřejmé, že \( A < B \).
Výsledek: \( A < B \).
47. Porovnejte čísla \( A = \log_{10}(2^{15} \cdot 5^{10}) \) a \( B = 40 \).
Řešení příkladu:
Využijeme vlastnosti logaritmů:
\( A = \log_{10}(2^{15} \cdot 5^{10}) = \log_{10}(2^{15}) + \log_{10}(5^{10}) = 15 \log_{10}(2) + 10 \log_{10}(5) \).
Víme, že \( \log_{10}(2) \approx 0.3010 \), \( \log_{10}(5) \approx 0.6990 \).
Vypočítáme:
\( 15 \times 0.3010 = 4.515 \),
\( 10 \times 0.6990 = 6.99 \).
Součet je \( 4.515 + 6.99 = 11.505 \).
Porovnáme s \( B = 40 \).
Jasně: \( 11.505 < 40 \).
Výsledek: \( A < B \).
48. Porovnejte čísla \( A = \frac{7! + 6!}{8!} \) a \( B = \frac{1}{7} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme faktoriály:
\(7! = 5040\), \(6! = 720\), \(8! = 40320\).
Dosadíme do výrazu:
\( A = \frac{5040 + 720}{40320} = \frac{5760}{40320} = \frac{5760/40320}{1} = \frac{5760}{40320} \).
Zkrátíme čitatel i jmenovatel číslem 5760:
\( \frac{5760}{40320} = \frac{1}{7} \).
Porovnáme s \( B = \frac{1}{7} \).
Jsou rovna.
Výsledek: \( A = B \).
49. Porovnejte čísla \( A = \sqrt{2^{20}} \) a \( B = 2^{10.5} \).
Řešení příkladu:
Vypočteme \( A \):
\( A = \sqrt{2^{20}} = 2^{20/2} = 2^{10} = 1024 \).
Vypočteme \( B \):
\( B = 2^{10.5} = 2^{10} \times 2^{0.5} = 1024 \times \sqrt{2} \approx 1024 \times 1.4142 = 1448.15 \).
Porovnáme \( A = 1024 \) a \( B = 1448.15 \).
Výsledek: \( A < B \).
50. Porovnejte čísla \( A = \frac{11^{3} + 12^{3}}{13^{3}} \) a \( B = 1 \).
Řešení příkladu:
Vypočítáme jednotlivé mocniny:
\(11^{3} = 11 \times 11 \times 11 = 1331\),
\(12^{3} = 1728\),
\(13^{3} = 2197\).
Dosadíme do zlomku:
\( A = \frac{1331 + 1728}{2197} = \frac{3059}{2197} \approx 1.392 \).
Porovnáme s \( B = 1 \).
Výsledek: \( A > B \).
51. Porovnejte čísla \( A = e^{2} \) a \( B = 7.38 \).
Řešení příkladu:
Víme, že přibližná hodnota \( e \approx 2.71828 \).
Vypočteme \( A = e^{2} = (2.71828)^{2} \approx 7.389 \).
Porovnáme s \( B = 7.38 \).
Výsledek: \( A > B \).
52. Porovnejte čísla \( A = \frac{9^{5}}{3^{10}} \) a \( B = 1 \).
Řešení příkladu:
Převedeme na stejnou základnu:
\(9 = 3^{2}\), tedy \(9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}\).
Pak \( A = \frac{3^{10}}{3^{10}} = 1 \).
Porovnáme s \( B = 1 \).
Jsou rovna.
Výsledek: \( A = B \).
53. Porovnejte čísla \( A = \sqrt[4]{256} \) a \( B = 4 \).
Řešení příkladu:
Vypočteme \( A = \sqrt[4]{256} \).
Víme, že \(256 = 4^{4}\), tedy \( \sqrt[4]{256} = 4 \).
Porovnáme s \( B = 4 \).
Jsou rovna.
Výsledek: \( A = B \).
54. Porovnejte čísla \( A = \log_{2} 1024 \) a \( B = 10 \).
Řešení příkladu:
Vypočteme \( A = \log_{2} 1024 \).
Víme, že \( 1024 = 2^{10} \), tedy \( \log_{2} 1024 = 10 \).
Porovnáme s \( B = 10 \).
Jsou rovna.
Výsledek: \( A = B \).
55. Porovnejte čísla \( 7^{123456} \) a \( 3^{205000} \).
Řešení příkladu:
Máme porovnat dvě obrovská čísla: \( 7^{123456} \) a \( 3^{205000} \). Zkusíme porovnání pomocí logaritmů, protože přímé výpočty jsou nereálné.
Vezmeme přirozený logaritmus obou čísel:
\[ \ln(7^{123456}) = 123456 \cdot \ln 7 \quad \text{a} \quad \ln(3^{205000}) = 205000 \cdot \ln 3 \]
Hodnoty logaritmů: \(\ln 7 \approx 1{,}94591\), \(\ln 3 \approx 1{,}09861\).
Dosadíme:
\[ 123456 \times 1{,}94591 \approx 240360{,}1 \quad \text{a} \quad 205000 \times 1{,}09861 \approx 225264{,}9 \]
Protože \(240360{,}1 > 225264{,}9\), platí \( \ln(7^{123456}) > \ln(3^{205000}) \Rightarrow 7^{123456} > 3^{205000} \).
Výsledek: \( 7^{123456} \) je větší než \( 3^{205000} \).
56. Porovnejte čísla \( 5^{2^{20}} \) a \( 2^{5^{10}} \).
Řešení příkladu:
Porovnáváme \( 5^{2^{20}} \) a \( 2^{5^{10}} \). Opět použijeme logaritmy.
Vypočítáme:
\[ \ln\left(5^{2^{20}}\right) = 2^{20} \cdot \ln 5, \quad \ln\left(2^{5^{10}}\right) = 5^{10} \cdot \ln 2 \]
Nejprve hodnoty základů:
- \(2^{20} = 1{,}048{,}576\)
- \(5^{10} = 9{,}765{,}625\)
- \(\ln 5 \approx 1{,}60944\)
- \(\ln 2 \approx 0{,}69315\)
Dosadíme:
\[ 2^{20} \cdot \ln 5 \approx 1{,}048{,}576 \times 1{,}60944 \approx 1{,}687{,}126, \quad 5^{10} \cdot \ln 2 \approx 9{,}765{,}625 \times 0{,}69315 \approx 6{,}769{,}108 \]
Protože \(6{,}769{,}108 > 1{,}687{,}126\), máme
\[ \ln\left(2^{5^{10}}\right) > \ln\left(5^{2^{20}}\right) \Rightarrow 2^{5^{10}} > 5^{2^{20}}. \]
Výsledek: \( 2^{5^{10}} \) je větší než \( 5^{2^{20}} \).
57. Porovnejte čísla \( 10^{10^{10}} \) a \( 9^{9^{9}} \).
Řešení příkladu:
Porovnáváme čísla obrovské velikosti: \(10^{10^{10}}\) a \(9^{9^{9}}\).
Použijeme logaritmus na obě čísla, tentokrát dvakrát, protože čísla jsou „exponenty v exponentu“.
Nejprve spočítáme:
\[ \log_{10} \left(10^{10^{10}}\right) = 10^{10} \quad \text{(protože } \log_{10}(10^x) = x \text{)} \]
\[ \log_{10} \left(9^{9^9}\right) = 9^9 \cdot \log_{10} 9 \]
Hodnoty:
- \(9^9 = 387{,}420{,}489\)
- \(\log_{10} 9 \approx 0{,}95424\)
Dosadíme:
\[ \log_{10} \left(9^{9^9}\right) \approx 387{,}420{,}489 \times 0{,}95424 \approx 369{,}719{,}408 \]
Porovnáváme tedy \(10^{10}\) a \(3.697 \times 10^8\). Protože \(10^{10} = 10\,000\,000\,000\) je větší než \(3.7 \times 10^{8} = 370\,000\,000\), platí
\[ \log_{10} \left(10^{10^{10}}\right) > \log_{10} \left(9^{9^9}\right) \Rightarrow 10^{10^{10}} > 9^{9^9} \]
Výsledek: \(10^{10^{10}}\) je větší než \(9^{9^{9}}\).
58. Porovnejte čísla \( (2^{50})^{1000} \) a \( 10^{1500} \).
Řešení příkladu:
Nejprve upravíme obě čísla na základní mocniny:
\[ (2^{50})^{1000} = 2^{50 \times 1000} = 2^{50\,000} \]
Máme porovnat \(2^{50\,000}\) a \(10^{1500}\).
Převedeme \(10^{1500}\) na základ 2 pomocí logaritmů:
\[ 10^{1500} = (2^{\log_2 10})^{1500} = 2^{1500 \cdot \log_2 10} \]
Hodnota \(\log_2 10 \approx 3.32193\).
Dosadíme:
\[ 2^{50\,000} \quad \text{a} \quad 2^{1500 \times 3.32193} = 2^{4982.895} \]
Porovnáváme exponenty: \(50\,000\) a \(4982.895\). Protože \(50\,000 > 4982.895\), platí
\[ 2^{50\,000} > 10^{1500}. \]
Výsledek: \( (2^{50})^{1000} \) je větší než \( 10^{1500} \).
59. Porovnejte čísla \( 3^{3^{20}} \) a \( 4^{4^{15}} \).
Řešení příkladu:
Porovnáváme \(3^{3^{20}}\) a \(4^{4^{15}}\). Obě čísla jsou velmi velká, proto použijeme logaritmus:
\[ \ln(3^{3^{20}}) = 3^{20} \cdot \ln 3, \quad \ln(4^{4^{15}}) = 4^{15} \cdot \ln 4 \]
Vypočítáme přibližně základní mocniny:
- \(3^{20} = 3,486,784,401 \approx 3.49 \times 10^9\)
- \(4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30} = 1,073,741,824 \approx 1.07 \times 10^9\)
Hodnoty logaritmů:
- \(\ln 3 \approx 1.0986\)
- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2 \approx 2 \times 0.69315 = 1.3863\)
Dosadíme do logaritmů:
\[ 3^{20} \cdot \ln 3 \approx 3.49 \times 10^9 \times 1.0986 = 3.83 \times 10^9 \]
\[ 4^{15} \cdot \ln 4 \approx 1.07 \times 10^9 \times 1.3863 = 1.48 \times 10^9 \]
Jelikož \(3.83 \times 10^9 > 1.48 \times 10^9\), platí
\[ \ln(3^{3^{20}}) > \ln(4^{4^{15}}) \Rightarrow 3^{3^{20}} > 4^{4^{15}}. \]
Výsledek: \(3^{3^{20}}\) je větší než \(4^{4^{15}}\).
60. Porovnejte čísla \( (1.1)^{10^{12}} \) a \( 2^{10^{11}} \).
Řešení příkladu:
Porovnáváme \( (1.1)^{10^{12}} \) a \( 2^{10^{11}} \). Použijeme logaritmy:
\[ \ln \left( (1.1)^{10^{12}} \right) = 10^{12} \cdot \ln 1.1, \quad \ln \left( 2^{10^{11}} \right) = 10^{11} \cdot \ln 2 \]
Hodnoty:
- \(\ln 1.1 \approx 0.09531\)
- \(\ln 2 \approx 0.69315\)
Dosadíme:
\[ 10^{12} \times 0.09531 = 9.531 \times 10^{10}, \quad 10^{11} \times 0.69315 = 6.9315 \times 10^{10} \]
Protože \(9.531 \times 10^{10} > 6.9315 \times 10^{10}\), platí
\[ \ln \left( (1.1)^{10^{12}} \right) > \ln \left( 2^{10^{11}} \right) \Rightarrow (1.1)^{10^{12}} > 2^{10^{11}}. \]
Výsledek: \( (1.1)^{10^{12}} \) je větší než \( 2^{10^{11}} \).
61. Porovnejte čísla \( 8^{7^{14}} \) a \( 7^{8^{13}} \).
Řešení příkladu:
Máme porovnat \(8^{7^{14}}\) a \(7^{8^{13}}\). Upravíme logaritmy:
\[ \ln(8^{7^{14}}) = 7^{14} \cdot \ln 8, \quad \ln(7^{8^{13}}) = 8^{13} \cdot \ln 7 \]
Nejprve spočítáme hodnoty mocnin:
- \(7^{14} = 678{,}223{,}072{,}849\)
- \(8^{13} = (2^3)^{13} = 2^{39} = 549{,}755{,}813{,}888\)
Logaritmy:
- \(\ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2 \approx 3 \times 0.69315 = 2.07945\)
- \(\ln 7 \approx 1.94591\)
Dosadíme do logaritmů:
\[ 7^{14} \cdot \ln 8 \approx 6.782 \times 10^{11} \times 2.07945 \approx 1.410 \times 10^{12} \]
\[ 8^{13} \cdot \ln 7 \approx 5.497 \times 10^{11} \times 1.94591 \approx 1.070 \times 10^{12} \]
Protože \(1.410 \times 10^{12} > 1.070 \times 10^{12}\), platí
\[ 8^{7^{14}} > 7^{8^{13}}. \]
Výsledek: \(8^{7^{14}}\) je větší než \(7^{8^{13}}\).
62. Porovnejte čísla \( A = 2^{1000} \times 3^{800} \) a \( B = 5^{700} \times 7^{400} \).
Řešení příkladu:
Pro porovnání těchto velmi velkých čísel použijeme logaritmy, protože přímé počítání je nemožné. Vypočítáme přirozený logaritmus obou čísel a porovnáme je.
Nejprve zapíšeme:
\( \ln A = 1000 \ln 2 + 800 \ln 3 \)
\( \ln B = 700 \ln 5 + 400 \ln 7 \)
Dosadíme přibližné hodnoty logaritmů (přirozených):
- \( \ln 2 \approx 0.693147 \)
- \( \ln 3 \approx 1.098612 \)
- \( \ln 5 \approx 1.609438 \)
- \( \ln 7 \approx 1.945910 \)
Vypočítáme:
\( \ln A = 1000 \times 0.693147 + 800 \times 1.098612 = 693.147 + 878.8896 = 1572.0366 \)
\( \ln B = 700 \times 1.609438 + 400 \times 1.945910 = 1126.6066 + 778.364 = 1904.9706 \)
Protože \( \ln B > \ln A \), platí \( B > A \).
63. Porovnejte čísla \( C = 10^{300} + 2^{1000} \) a \( D = 3^{700} + 5^{600} \).
Řešení příkladu:
Nejprve určíme přibližnou velikost jednotlivých členů. Porovnáme největší členy v každém čísle, protože součet velkých čísel se řídí větším z nich.
Pro \(C\) máme členy \(10^{300}\) a \(2^{1000}\).
Vypočítáme přibližně řád \(2^{1000}\) pomocí logaritmu:
\( \log_{10} 2^{1000} = 1000 \log_{10} 2 \approx 1000 \times 0.30103 = 301.03 \)
Tedy \(2^{1000} \approx 10^{301.03}\), což je větší než \(10^{300}\).
Pro \(D\) máme členy \(3^{700}\) a \(5^{600}\).
Vypočítáme řády obou členů:
\( \log_{10} 3^{700} = 700 \times 0.47712 = 333.984 \)
\( \log_{10} 5^{600} = 600 \times 0.69897 = 419.382 \)
Největší člen je tedy \(5^{600} \approx 10^{419.382}\), což je mnohem větší než \(2^{1000} \approx 10^{301.03}\).
Tedy \(D > C\).
64. Porovnejte čísla \( E = 999^{999} \) a \( F = 1000^{998} \).
Řešení příkladu:
Porovnání \(E\) a \(F\) přímo je obtížné, proto použijeme logaritmy:
\( \ln E = 999 \ln 999 \)
\( \ln F = 998 \ln 1000 \)
Vypočítáme přibližné hodnoty:
\( \ln 999 \approx \ln(1000 – 1) = \ln 1000 + \ln(1 – 0.001) \approx 6.907755 – 0.0010005 = 6.9067545 \)
\( \ln 1000 = 6.907755 \)
Pak:
\( \ln E = 999 \times 6.9067545 = 6899.8477 \)
\( \ln F = 998 \times 6.907755 = 6899.8395 \)
Protože \( \ln E > \ln F \), platí \( E > F \).
65. Porovnejte čísla \( G = (1.01)^{10000} \) a \( H = (1.02)^{5000} \).
Řešení příkladu:
Opět použijeme logaritmy:
\( \ln G = 10000 \ln 1.01 \)
\( \ln H = 5000 \ln 1.02 \)
Logaritmy vypočítáme přibližně:
\( \ln 1.01 \approx 0.00995033 \)
\( \ln 1.02 \approx 0.01980263 \)
Pak:
\( \ln G = 10000 \times 0.00995033 = 99.5033 \)
\( \ln H = 5000 \times 0.01980263 = 99.01315 \)
Protože \( \ln G > \ln H \), platí \( G > H \).
66. Porovnejte čísla \( I = 123456789^{98765} \) a \( J = 987654321^{12345} \).
Řešení příkladu:
Porovnáme logaritmy:
\( \ln I = 98765 \ln 123456789 \)
\( \ln J = 12345 \ln 987654321 \)
Logaritmy přibližně:
\( \ln 123456789 = \ln (1.23456789 \times 10^8) = \ln 1.23456789 + 8 \ln 10 \approx 0.21072 + 18.4207 = 18.6314 \)
\( \ln 987654321 = \ln (9.87654321 \times 10^8) = \ln 9.87654321 + 8 \ln 10 \approx 2.2902 + 18.4207 = 20.7109 \)
Pak:
\( \ln I = 98765 \times 18.6314 = 1,839,503 \)
\( \ln J = 12345 \times 20.7109 = 255,725 \)
Jasně je \( \ln I > \ln J \), tedy \( I > J \).
67. Porovnejte čísla \( K = 2^{123456} \) a \( L = 3^{98765} \).
Řešení příkladu:
Logaritmicky:
\( \ln K = 123456 \ln 2 \approx 123456 \times 0.693147 = 85598.6 \)
\( \ln L = 98765 \ln 3 \approx 98765 \times 1.098612 = 108472.8 \)
Proto \( \ln L > \ln K \Rightarrow L > K \).
68. Porovnejte čísla \( M = 10^{500} + 10^{400} \) a \( N = 9.99 \times 10^{499} + 10^{401} \).
Řešení příkladu:
U velkých mocnin desetinných čísel je klíčové si uvědomit, jak řád určuje velikost čísla.
Číslo \( M \approx 10^{500} \) (protože \(10^{500} \gg 10^{400}\)).
Číslo \( N = 9.99 \times 10^{499} + 10^{401} \approx 9.99 \times 10^{499} \) (protože \(10^{401} \ll 10^{499}\)).
Porovnáme \(10^{500}\) a \(9.99 \times 10^{499}\):
\(10^{500} = 10 \times 10^{499}\), tedy \(10^{500} = 10 \times 10^{499} > 9.99 \times 10^{499}\).
Tedy \( M > N \).
69. Porovnejte čísla \( O = 4^{1000} + 5^{900} \) a \( P = 6^{800} + 7^{700} \).
Řešení příkladu:
Určíme řády členů pro \(O\):
\( \log_{10} 4^{1000} = 1000 \times \log_{10} 4 = 1000 \times 0.60206 = 602.06 \)
\( \log_{10} 5^{900} = 900 \times 0.69897 = 629.07 \)
Největší člen je tedy \(5^{900} \approx 10^{629.07}\).
Pro \(P\):
\( \log_{10} 6^{800} = 800 \times 0.77815 = 622.52 \)
\( \log_{10} 7^{700} = 700 \times 0.84510 = 591.57 \)
Největší člen je \(6^{800} \approx 10^{622.52}\).
Tedy \(O > P\) protože \(5^{900} \gg 6^{800}\) na základě logaritmů.
70. Porovnejte čísla \( Q = 8^{2500} \) a \( R = 16^{1200} \).
Řešení příkladu:
Upravíme obě čísla na stejnou základnu:
\(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\)
\( Q = 8^{2500} = (2^3)^{2500} = 2^{7500} \)
\( R = 16^{1200} = (2^4)^{1200} = 2^{4800} \)
Protože \(7500 > 4800\), platí \( Q > R \).
71. Porovnejte čísla \( S = 9999^{9999} \) a \( T = 10000^{9998} \).
Řešení příkladu:
Pomocí logaritmů:
\( \ln S = 9999 \ln 9999 \)
\( \ln T = 9998 \ln 10000 \)
Vypočítáme přibližně:
\( \ln 9999 = \ln (10^4 – 1) = 4 \ln 10 + \ln(1 – 0.0001) \approx 9.21034 – 0.0001 = 9.21024 \)
\( \ln 10000 = 4 \ln 10 = 9.21034 \)
Pak:
\( \ln S = 9999 \times 9.21024 = 92091.9 \)
\( \ln T = 9998 \times 9.21034 = 92081.6 \)
Tedy \( \ln S > \ln T \Rightarrow S > T \).
72. Porovnejte čísla \( 3^{45} \) a \( 7^{28} \).
Řešení příkladu:
Chceme porovnat \( 3^{45} \) a \( 7^{28} \). Jelikož přímo počítat takto velká čísla není praktické, použijeme logaritmy pro srovnání.
Vezmeme přirozený logaritmus (ln) obou čísel:
\( \ln(3^{45}) = 45 \ln(3) \), \( \ln(7^{28}) = 28 \ln(7) \).
Hodnoty aproximujeme (přibližně):
- \( \ln(3) \approx 1.0986 \)
- \( \ln(7) \approx 1.9459 \)
Dosadíme:
\( 45 \times 1.0986 = 49.437 \)
\( 28 \times 1.9459 = 54.485 \)
Protože \( 54.485 > 49.437 \), platí \( \ln(7^{28}) > \ln(3^{45}) \Rightarrow 7^{28} > 3^{45} \).
Výsledek: \( 7^{28} \) je větší než \( 3^{45} \).
73. Porovnejte čísla \( 2^{100} \) a \( 5^{43} \cdot 3^{27} \).
Řešení příkladu:
Porovnáváme \( 2^{100} \) s \( 5^{43} \cdot 3^{27} \).
Přepíšeme pomocí logaritmů:
\( \ln(2^{100}) = 100 \ln(2) \),
\( \ln(5^{43} \cdot 3^{27}) = 43 \ln(5) + 27 \ln(3) \).
Aproximace:
- \( \ln(2) \approx 0.6931 \)
- \( \ln(3) \approx 1.0986 \)
- \( \ln(5) \approx 1.6094 \)
Vypočítáme:
\( 100 \times 0.6931 = 69.31 \)
\( 43 \times 1.6094 + 27 \times 1.0986 = 69.2042 + 29.6622 = 98.8664 \)
Protože \( 98.8664 > 69.31 \), vyplývá \( 5^{43} \cdot 3^{27} > 2^{100} \).
74. Porovnejte čísla \( 9^{40} \) a \( 6^{55} \).
Řešení příkladu:
Upravíme základy na mocniny stejné základny, pokud možno.
\( 9 = 3^2 \), takže \( 9^{40} = (3^2)^{40} = 3^{80} \).
\( 6 = 2 \times 3 \), ale přímá úprava na stejnou základnu není jednoduchá, proto použijeme logaritmy:
\( \ln(9^{40}) = 40 \ln(9) = 40 \times 2 \ln(3) = 80 \ln(3) \).
\( \ln(6^{55}) = 55 \ln(6) = 55 (\ln(2) + \ln(3)) = 55 \ln(2) + 55 \ln(3) \).
Dosadíme hodnoty:
- \( \ln(2) \approx 0.6931 \)
- \( \ln(3) \approx 1.0986 \)
Vypočítáme:
\( 80 \times 1.0986 = 87.888 \)
\( 55 \times 0.6931 + 55 \times 1.0986 = 38.1205 + 60.423 = 98.5435 \)
Protože \( 98.5435 > 87.888 \), platí \( 6^{55} > 9^{40} \).
75. Porovnejte čísla \( 11^{30} \) a \( 13^{28} \).
Řešení příkladu:
Porovnání pomocí logaritmů:
\( \ln(11^{30}) = 30 \ln(11) \), \( \ln(13^{28}) = 28 \ln(13) \).
Hodnoty:
- \( \ln(11) \approx 2.3979 \)
- \( \ln(13) \approx 2.5649 \)
Vypočítáme:
\( 30 \times 2.3979 = 71.937 \)
\( 28 \times 2.5649 = 71.817 \)
Protože \( 71.937 > 71.817 \), platí \( 11^{30} > 13^{28} \).
76. Porovnejte čísla \( 4^{65} \) a \( 8^{45} \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme základy jako mocniny stejné základny 2:
\( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{65} = (2^2)^{65} = 2^{130} \).
\( 8 = 2^3 \Rightarrow 8^{45} = (2^3)^{45} = 2^{135} \).
Porovnání: \( 2^{130} \) versus \( 2^{135} \).
Jelikož \( 135 > 130 \), platí \( 8^{45} > 4^{65} \).
77. Porovnejte čísla \( 17^{25} \) a \( 19^{23} \).
Řešení příkladu:
Porovnání pomocí logaritmů:
\( \ln(17^{25}) = 25 \ln(17) \), \( \ln(19^{23}) = 23 \ln(19) \).
Hodnoty:
- \( \ln(17) \approx 2.8332 \)
- \( \ln(19) \approx 2.9444 \)
Vypočítáme:
\( 25 \times 2.8332 = 70.83 \)
\( 23 \times 2.9444 = 67.72 \)
Protože \( 70.83 > 67.72 \), platí \( 17^{25} > 19^{23} \).
78. Porovnejte čísla \( 12^{50} \) a \( 15^{40} \).
Řešení příkladu:
Pomocí logaritmů:
\( \ln(12^{50}) = 50 \ln(12) \), \( \ln(15^{40}) = 40 \ln(15) \).
Hodnoty:
- \( \ln(12) \approx 2.4849 \)
- \( \ln(15) \approx 2.7081 \)
Vypočítáme:
\( 50 \times 2.4849 = 124.245 \)
\( 40 \times 2.7081 = 108.324 \)
Protože \( 124.245 > 108.324 \), platí \( 12^{50} > 15^{40} \).
79. Porovnejte čísla \( 20^{35} \) a \( 25^{28} \).
Řešení příkladu:
Pomocí logaritmů:
\( \ln(20^{35}) = 35 \ln(20) \), \( \ln(25^{28}) = 28 \ln(25) \).
Hodnoty:
- \( \ln(20) \approx 2.9957 \)
- \( \ln(25) \approx 3.2189 \)
Vypočítáme:
\( 35 \times 2.9957 = 104.85 \)
\( 28 \times 3.2189 = 90.93 \)
Protože \( 104.85 > 90.93 \), platí \( 20^{35} > 25^{28} \).
80. Porovnejte čísla \( 50^{20} \) a \( 40^{25} \).
Řešení příkladu:
Pomocí logaritmů:
\( \ln(50^{20}) = 20 \ln(50) \), \( \ln(40^{25}) = 25 \ln(40) \).
Hodnoty:
- \( \ln(50) \approx 3.9120 \)
- \( \ln(40) \approx 3.6889 \)
Vypočítáme:
\( 20 \times 3.9120 = 78.24 \)
\( 25 \times 3.6889 = 92.22 \)
Protože \( 92.22 > 78.24 \), platí \( 40^{25} > 50^{20} \).
81. Porovnejte čísla \( 7^{80} \) a \( 14^{50} \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme \( 14 = 2 \times 7 \), takže:
\( 14^{50} = (2 \times 7)^{50} = 2^{50} \times 7^{50} \).
Porovnáváme tedy \( 7^{80} \) a \( 2^{50} \times 7^{50} \).
Vyjádříme poměr:
\( \frac{7^{80}}{2^{50} \times 7^{50}} = \frac{7^{80}}{7^{50} \times 2^{50}} = \frac{7^{30}}{2^{50}} \).
Porovnáme \( 7^{30} \) a \( 2^{50} \) pomocí logaritmů:
\( \ln(7^{30}) = 30 \ln(7) \), \( \ln(2^{50}) = 50 \ln(2) \).
Hodnoty:
- \( \ln(7) \approx 1.9459 \)
- \( \ln(2) \approx 0.6931 \)
Vypočítáme:
\( 30 \times 1.9459 = 58.377 \)
\( 50 \times 0.6931 = 34.655 \)
Protože \( 58.377 > 34.655 \), platí \( 7^{30} > 2^{50} \Rightarrow \frac{7^{30}}{2^{50}} > 1 \Rightarrow 7^{80} > 2^{50} \times 7^{50} = 14^{50} \).
82. Porovnejte čísla \( 98765432109876543210^{12} \) a \( 123456789012345678901^{11} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme obě čísla jako \( A = 98765432109876543210^{12} \) a \( B = 123456789012345678901^{11} \). Pro porovnání je užitečné pracovat s logaritmy, protože obě čísla jsou velmi velká a mocniny nám komplikují přímé porovnání.
Vypočítáme přibližné dekadické logaritmy:
\( \log_{10} A = 12 \cdot \log_{10}(98765432109876543210) \),
\( \log_{10} B = 11 \cdot \log_{10}(123456789012345678901) \).
Pro výpočet logaritmů velkých čísel použijeme fakt, že logaritmus čísla je přibližně počet číslic minus 1 plus logaritmus mantisy.
Číslo \( 98765432109876543210 \) má 20 číslic, takže:
\( \log_{10}(98765432109876543210) = 19 + \log_{10}(9.8765432109876543210) \).
Hodnota \( \log_{10}(9.8765432109876543210) \) je přibližně 0.9943 (přesný výpočet lze provést pomocí kalkulačky nebo tabulek).
Tedy \( \log_{10}(98765432109876543210) \approx 19.9943 \).
Podobně \( 123456789012345678901 \) má 21 číslic, tedy:
\( \log_{10}(123456789012345678901) = 20 + \log_{10}(1.23456789012345678901) \).
Hodnota \( \log_{10}(1.23456789012345678901) \approx 0.0915 \).
Tedy \( \log_{10}(123456789012345678901) \approx 20.0915 \).
Nyní spočítáme:
\( \log_{10} A = 12 \times 19.9943 = 239.9316 \),
\( \log_{10} B = 11 \times 20.0915 = 221.0065 \).
Jelikož \( \log_{10} A > \log_{10} B \), platí \( A > B \).
83. Porovnejte čísla \( 5^{1000} \) a \( 7^{800} \).
Řešení příkladu:
Označíme si \( A = 5^{1000} \) a \( B = 7^{800} \). Porovnáme je pomocí logaritmů:
\( \log_{10} A = 1000 \cdot \log_{10} 5 \),
\( \log_{10} B = 800 \cdot \log_{10} 7 \).
Vypočítáme hodnoty logaritmů:
\( \log_{10} 5 \approx 0.69897 \),
\( \log_{10} 7 \approx 0.84510 \).
Tedy:
\( \log_{10} A = 1000 \times 0.69897 = 698.97 \),
\( \log_{10} B = 800 \times 0.84510 = 676.08 \).
Protože \( \log_{10} A > \log_{10} B \), platí \( A > B \).
84. Porovnejte čísla \( 2^{5000} \) a \( 3^{3200} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = 2^{5000} \) a \( B = 3^{3200} \). Použijeme logaritmy k porovnání:
\( \log_{10} A = 5000 \cdot \log_{10} 2 \),
\( \log_{10} B = 3200 \cdot \log_{10} 3 \).
Hodnoty logaritmů jsou:
\( \log_{10} 2 \approx 0.30103 \),
\( \log_{10} 3 \approx 0.47712 \).
Dosadíme:
\( \log_{10} A = 5000 \times 0.30103 = 1505.15 \),
\( \log_{10} B = 3200 \times 0.47712 = 1526.78 \).
Protože \( \log_{10} B > \log_{10} A \), platí \( B > A \).
85. Porovnejte čísla \( (10^{18} + 1)^{50} \) a \( (10^{18})^{50} + 10^{1000} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = (10^{18} + 1)^{50} \) a \( B = (10^{18})^{50} + 10^{1000} \).
Všimneme si, že \( (10^{18})^{50} = 10^{900} \).
Rozepíšeme pomocí binomické věty \( A \):
\( A = \sum_{k=0}^{50} \binom{50}{k} (10^{18})^{50-k} \cdot 1^{k} = 10^{900} + \binom{50}{1} 10^{882} + \ldots + 1 \).
První dva členy jsou \( 10^{900} \) a \( 50 \times 10^{882} \).
Číslo \( 10^{1000} \) je větší než \( 10^{900} \), proto je \( B = 10^{900} + 10^{1000} \approx 10^{1000} \), protože \( 10^{1000} \gg 10^{900} \).
Zatímco \( A \) je přibližně \( 10^{900} + \text{menší členy} \), ale neobsahuje žádný člen blížící se k \( 10^{1000} \).
Tedy \( B > A \).
86. Porovnejte čísla \( 2^{2000} \cdot 3^{3000} \) a \( 5^{2500} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = 2^{2000} \cdot 3^{3000} \) a \( B = 5^{2500} \). Porovnáme pomocí logaritmů:
\( \log_{10} A = 2000 \log_{10} 2 + 3000 \log_{10} 3 \),
\( \log_{10} B = 2500 \log_{10} 5 \).
Dosadíme hodnoty:
\( \log_{10} 2 \approx 0.30103 \),
\( \log_{10} 3 \approx 0.47712 \),
\( \log_{10} 5 \approx 0.69897 \).
Vypočteme:
\( \log_{10} A = 2000 \times 0.30103 + 3000 \times 0.47712 = 602.06 + 1431.36 = 2033.42 \),
\( \log_{10} B = 2500 \times 0.69897 = 1747.43 \).
Protože \( \log_{10} A > \log_{10} B \), platí \( A > B \).
87. Porovnejte čísla \( 9^{1000} \) a \( 27^{800} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = 9^{1000} \), \( B = 27^{800} \). Vyjádříme obě čísla na stejný základ:
Víme, že \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).
Tedy \( A = (3^2)^{1000} = 3^{2000} \), \( B = (3^3)^{800} = 3^{2400} \).
Porovnáváme exponenty: \( 2000 < 2400 \Rightarrow A < B \).
88. Porovnejte čísla \( 10^{123456} \) a \( 9^{140000} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = 10^{123456} \) a \( B = 9^{140000} \).
Převedeme \( B \) na tvar s logaritmem:
\( \log_{10} B = 140000 \cdot \log_{10} 9 \).
Víme, že \( \log_{10} 9 = \log_{10} (3^2) = 2 \log_{10} 3 \approx 2 \times 0.47712 = 0.95424 \).
Proto:
\( \log_{10} B = 140000 \times 0.95424 = 133593.6 \).
Protože \( \log_{10} A = 123456 \), platí \( \log_{10} B > \log_{10} A \Rightarrow B > A \).
89. Porovnejte čísla \( (4.5 \times 10^{200})^{15} \) a \( (3 \times 10^{250})^{12} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = (4.5 \times 10^{200})^{15} \) a \( B = (3 \times 10^{250})^{12} \).
Nejprve upravíme pomocí vlastností mocnin:
\( A = 4.5^{15} \times (10^{200})^{15} = 4.5^{15} \times 10^{3000} \),
\( B = 3^{12} \times (10^{250})^{12} = 3^{12} \times 10^{3000} \).
Obě čísla mají stejný řád \( 10^{3000} \), proto rozhoduje porovnání koeficientů \( 4.5^{15} \) a \( 3^{12} \).
Vypočítáme přibližně logaritmy koeficientů:
\( \log_{10} 4.5^{15} = 15 \log_{10} 4.5 \),
\( \log_{10} 3^{12} = 12 \log_{10} 3 \).
Hodnoty jsou \( \log_{10} 4.5 \approx 0.6532 \), \( \log_{10} 3 \approx 0.4771 \).
Proto:
\( \log_{10} 4.5^{15} = 15 \times 0.6532 = 9.798 \),
\( \log_{10} 3^{12} = 12 \times 0.4771 = 5.725 \).
Jelikož \( 9.798 > 5.725 \), je \( 4.5^{15} > 3^{12} \), tedy \( A > B \).
90. Porovnejte čísla \( (10^{50} – 1)^{100} \) a \( 10^{5000} – 10^{4900} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( A = (10^{50} – 1)^{100} \), \( B = 10^{5000} – 10^{4900} \).
První člen \( A \) rozepíšeme binomicky:
\( A = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} (10^{50})^{100-k} (-1)^k \).
Největší člen je \( (10^{50})^{100} = 10^{5000} \).
Druhý člen je záporný a má hodnotu \( -100 \times 10^{4950} \), což je menší než \( 10^{5000} \), ale snižuje hodnotu \( A \).
Číslo \( B = 10^{5000} – 10^{4900} \) má také hlavní člen \( 10^{5000} \), ale druhý člen \( 10^{4900} \) je výrazně větší než \( 10^{4950} \), protože \( 10^{4950} \) je větší než \( 10^{4900} \).
Z toho plyne, že \( A > B \), protože záporné členy u \( A \) mají menší absolutní hodnotu než záporný člen u \( B \).
91. Porovnejte čísla \( A = 7^{50} + 5^{45} \) a \( B = 6^{52} + 8^{44} \).
Řešení příkladu:
Nejprve porovnáme jednotlivé mocniny v číslech \( A \) a \( B \). Všimneme si, že \( 7^{50} \) a \( 6^{52} \) jsou hlavní složky obou čísel. Porovnáme je pomocí logaritmů:
Vypočítáme přibližně \( \log(7^{50}) = 50 \log 7 \) a \( \log(6^{52}) = 52 \log 6 \).
Hodnoty logaritmů (v základu 10): \(\log 7 \approx 0.8451\), \(\log 6 \approx 0.7782\).
Proto \( 50 \times 0.8451 = 42.255 \) a \( 52 \times 0.7782 = 40.4664 \).
Tedy \( 7^{50} \) je přibližně \(10^{42.255}\) a \( 6^{52} \) přibližně \(10^{40.4664}\), což znamená, že \(7^{50}\) je větší než \(6^{52}\).
Podobně porovnáme \(5^{45}\) a \(8^{44}\):
\(\log 5 \approx 0.69897\), takže \(45 \times 0.69897 = 31.4537\).
\(\log 8 \approx 0.90309\), takže \(44 \times 0.90309 = 39.7359\).
Vidíme, že \(8^{44}\) je výrazně větší než \(5^{45}\).
Protože \(7^{50} \gg 6^{52}\), ale \(8^{44} \gg 5^{45}\), musíme zkoumat poměr:
\(A – B = (7^{50} – 6^{52}) + (5^{45} – 8^{44})\).
První rozdíl je kladný, druhý záporný. Odhadněme jejich velikost:
\(7^{50} \approx 1.78 \times 10^{42}\), \(6^{52} \approx 2.93 \times 10^{40}\), rozdíl je asi \(1.75 \times 10^{42}\).
\(5^{45} \approx 2.82 \times 10^{31}\), \(8^{44} \approx 5.45 \times 10^{39}\), rozdíl je asi \(-5.45 \times 10^{39}\).
Protože \(1.75 \times 10^{42} \gg 5.45 \times 10^{39}\), výsledný rozdíl je kladný, tedy \(A > B\).
92. Porovnejte čísla \( C = 15^{30} + 12^{35} \) a \( D = 14^{32} + 13^{34} \).
Řešení příkladu:
Pro porovnání opět použijeme logaritmy:
\(\log 15 \approx 1.1761\), \(\log 12 \approx 1.0792\), \(\log 14 \approx 1.1461\), \(\log 13 \approx 1.1139\).
Vypočítáme:
\(30 \times 1.1761 = 35.283\), \(35 \times 1.0792 = 37.772\), \(32 \times 1.1461 = 36.675\), \(34 \times 1.1139 = 37.872\).
Tedy:
\(15^{30} \approx 10^{35.283}\), \(12^{35} \approx 10^{37.772}\), \(14^{32} \approx 10^{36.675}\), \(13^{34} \approx 10^{37.872}\).
Sečteme jednotlivé části (přibližně):
\(C \approx 10^{37.772} + 10^{35.283} \approx 10^{37.772}\) (protože \(10^{37.772} \gg 10^{35.283}\)),
\(D \approx 10^{37.872} + 10^{36.675} \approx 10^{37.872}\).
Porovnáním základních mocnin dostáváme \(D > C\).
93. Porovnejte \( E = 2^{100} + 3^{90} \) a \( F = 5^{70} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme přibližně pomocí logaritmů (v základu 10):
\(\log 2 \approx 0.3010\), \(\log 3 \approx 0.4771\), \(\log 5 \approx 0.6990\).
\(2^{100} \Rightarrow 100 \times 0.3010 = 30.10\)
\(3^{90} \Rightarrow 90 \times 0.4771 = 42.939\)
\(5^{70} \Rightarrow 70 \times 0.6990 = 48.93\)
\(E \approx 10^{42.939} + 10^{30.10} \approx 10^{42.939}\)
\(F \approx 10^{48.93}\)
Protože \(48.93 > 42.939\), \(F > E\).
94. Porovnejte \( G = 11^{40} + 9^{45} \) a \( H = 10^{42} + 12^{38} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy:
\(\log 11 \approx 1.0414\), \(\log 9 \approx 0.9542\), \(\log 10 = 1\), \(\log 12 \approx 1.0792\).
Vypočítáme exponenty:
\(40 \times 1.0414 = 41.656\), \(45 \times 0.9542 = 42.939\), \(42 \times 1 = 42\), \(38 \times 1.0792 = 41.092\).
Hodnoty:
\(11^{40} \approx 10^{41.656}\), \(9^{45} \approx 10^{42.939}\), \(10^{42} = 10^{42}\), \(12^{38} \approx 10^{41.092}\).
Sečteme pro \(G\): dominantní je \(10^{42.939}\), pro \(H\): dominantní je \(10^{42}\).
Tedy \(G > H\).
95. Porovnejte \( I = 4^{80} + 7^{60} \) a \( J = 5^{75} + 6^{70} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy (základ 10): \(\log 4 = 0.6021\), \(\log 7 = 0.8451\), \(\log 5 = 0.6990\), \(\log 6 = 0.7782\).
Exponenty:
\(80 \times 0.6021 = 48.168\), \(60 \times 0.8451 = 50.706\), \(75 \times 0.6990 = 52.425\), \(70 \times 0.7782 = 54.474\).
Čísla:
\(4^{80} \approx 10^{48.168}\), \(7^{60} \approx 10^{50.706}\), \(5^{75} \approx 10^{52.425}\), \(6^{70} \approx 10^{54.474}\).
Sečteme dominantní členy pro \(I\): \(10^{50.706}\), pro \(J\): \(10^{54.474}\).
Tedy \(J > I\).
96. Porovnejte \( K = 3^{100} + 2^{150} \) a \( L = 4^{90} + 5^{80} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy:
\(\log 3 = 0.4771\), \(\log 2 = 0.3010\), \(\log 4 = 0.6021\), \(\log 5 = 0.6990\).
Exponenty:
\(100 \times 0.4771 = 47.71\), \(150 \times 0.3010 = 45.15\), \(90 \times 0.6021 = 54.189\), \(80 \times 0.6990 = 55.92\).
Čísla:
\(3^{100} \approx 10^{47.71}\), \(2^{150} \approx 10^{45.15}\), \(4^{90} \approx 10^{54.189}\), \(5^{80} \approx 10^{55.92}\).
Pro \(K\) dominantní je \(10^{47.71}\), pro \(L\) dominantní je \(10^{55.92}\).
Tedy \(L > K\).
97. Porovnejte \( M = 9^{50} + 11^{48} \) a \( N = 10^{51} + 12^{46} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy:
\(\log 9 = 0.9542\), \(\log 11 = 1.0414\), \(\log 10 = 1\), \(\log 12 = 1.0792\).
Exponenty:
\(50 \times 0.9542 = 47.71\), \(48 \times 1.0414 = 49.987\), \(51 \times 1 = 51\), \(46 \times 1.0792 = 49.64\).
Čísla:
\(9^{50} \approx 10^{47.71}\), \(11^{48} \approx 10^{49.987}\), \(10^{51} = 10^{51}\), \(12^{46} \approx 10^{49.64}\).
Dominantní pro \(M\) je \(10^{49.987}\), pro \(N\) je \(10^{51}\).
Tedy \(N > M\).
98. Porovnejte \( O = 13^{40} + 15^{38} \) a \( P = 14^{39} + 16^{37} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy:
\(\log 13 = 1.1139\), \(\log 15 = 1.1761\), \(\log 14 = 1.1461\), \(\log 16 = 1.2041\).
Exponenty:
\(40 \times 1.1139 = 44.556\), \(38 \times 1.1761 = 44.6918\), \(39 \times 1.1461 = 44.6979\), \(37 \times 1.2041 = 44.5517\).
Čísla:
\(13^{40} \approx 10^{44.556}\), \(15^{38} \approx 10^{44.6918}\), \(14^{39} \approx 10^{44.6979}\), \(16^{37} \approx 10^{44.5517}\).
Sečteme dominantní členy:
\(O \approx 10^{44.6918}\), \(P \approx 10^{44.6979}\).
Protože \(44.6979 > 44.6918\), \(P > O\).
99. Porovnejte \( Q = 20^{25} + 18^{27} \) a \( R = 19^{26} + 21^{24} \).
Řešení příkladu:
Logaritmy:
\(\log 20 = 1.3010\), \(\log 18 = 1.2553\), \(\log 19 = 1.2788\), \(\log 21 = 1.3222\).
Exponenty:
\(25 \times 1.3010 = 32.525\), \(27 \times 1.2553 = 33.8931\), \(26 \times 1.2788 = 33.2488\), \(24 \times 1.3222 = 31.7328\).
Čísla:
\(20^{25} \approx 10^{32.525}\), \(18^{27} \approx 10^{33.8931}\), \(19^{26} \approx 10^{33.2488}\), \(21^{24} \approx 10^{31.7328}\).
Dominantní pro \(Q\) je \(10^{33.8931}\), pro \(R\) \(10^{33.2488}\).
Tedy \(Q > R\).
100. Porovnejte čísla \( 7^{123} \) a \( 5^{150} \). Které z nich je větší?
Řešení příkladu 100:
Máme porovnat dvě velmi velká čísla: \( 7^{123} \) a \( 5^{150} \). Přímé vypočítání těchto hodnot je prakticky nemožné kvůli jejich velikosti, proto použijeme logaritmy pro určení, které číslo je větší.
Porovnáváme tedy, zda platí
\( 7^{123} > 5^{150} \) nebo \( 7^{123} < 5^{150} \).
Převedeme nerovnost na tvar porovnání jejich logaritmů (logaritmus je monotonní funkce, tedy zachovává pořadí):
\( \log(7^{123}) \) vs. \( \log(5^{150}) \).
Podle pravidel logaritmů platí:
\( 123 \log 7 \) a \( 150 \log 5 \).
Vypočítáme přibližné hodnoty:
- Pro \(\log 7\) použijeme logaritmus o základu 10: \(\log 7 \approx 0{,}8451\)
- Pro \(\log 5\) platí: \(\log 5 \approx 0{,}6990\)
Vypočteme součiny:
\( 123 \times 0{,}8451 = 103{,}9793 \)
\( 150 \times 0{,}6990 = 104{,}8500 \)
Porovnání: \( 103{,}9793 < 104{,}8500 \) tedy platí
\( 7^{123} < 5^{150} \).
Odpověď: Číslo \( 5^{150} \) je větší než \( 7^{123} \).