Pravidlo součtu a součinu

Řešení:

Máme dvě možnosti – vybrat ovoce nebo zeleninu. Použijeme pravidlo součtu:

\( 5 + 3 = 8 \) způsobů

Řešení:

Každá polévka se může kombinovat s každým hlavním jídlem → pravidlo součinu:

\( 4 \cdot 6 = 24 \) způsobů

Řešení:

Možnosti jsou neslučitelné → použijeme pravidlo součtu:

\( 7 + 5 + 4 = 16 \) způsobů

Řešení:

Postupujeme postupně podle pravidla součinu:

\( 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24 \) způsobů výběru auta

Řešení:

Každý sál má \(2\) možnosti → celkem:

\( 3 \cdot 2 = 6 \) způsobů

Řešení:

Každá položka výběru je nezávislá → použijeme pravidlo součinu:

\( 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \) outfitů

Řešení:

Volba je buď historie, nebo přírodní vědy → neslučitelné volby → pravidlo součtu:

\( 4 + 5 = 9 \) možností

Řešení:

První cifra: \(9\) možností (\(1\)–\(9\))

Druhá: \(9\) (vše kromě první)

Třetí: \(8\) (vše kromě předchozích dvou)

Čtvrtá: \(7\) (vše kromě předešlých)

\(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\) čísel

Řešení:

Sudá čísla končí \(0, 2, 4, 6, 8\) (\(5\) možností)

Pro každou koncovou cifru spočítáme počet možností pro první a druhou cifru (nesmí být rovna koncové):

Příklad: končí \(0\) → první: \(9\) možností (\(1\)–\(9\)), druhá: \(8\) (vše kromě první a \(0\)) → \(9 \cdot 8 = 72\)

Opakováním pro \(5\) sudých cifer dostaneme celkový součet:

\( \Rightarrow \) celkem \(5 \cdot 72 = 360\) čísel

Řešení:

Každou cestu z \(A\) do \(B\) lze kombinovat s každou cestou z \(B\) do \(C\) → pravidlo součinu:

\(3 \cdot 4 = 12\) cest

Řešení:

Možnosti jsou dvě, navzájem se vylučují → použijeme pravidlo součtu.

\(1.A: \mathrm{C}(4,3) = 4\), \(1.B: \mathrm{C}(5,3) = 10\)

\(4 + 10 = 14\) možných týmů

Řešení:

Výběr dvou hradů: \(\mathrm{C}(5,2) = 10\), výběr zámku: \(\mathrm{C}(3,1) = 3\)

Kombinujeme hradní a zámecký výběr → pravidlo součinu:

\(10 \cdot 3 = 30\) tras

Řešení:

Pravidlo součinu:

\(3 \cdot 4 \cdot 2 = 24\) různých kombinací denního programu

Řešení:

Poslední cifra musí být lichá: \(1, 3, 5\) → \(3\) možnosti

Pro každou takovou cifru volíme první a druhou číslici z ostatních \(4\):

První: \(4\) možnosti, druhá: \(3\) možnosti

\( \Rightarrow 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36\) čísel

Řešení:

\(2\) písmena z \(3\): \(\mathrm{C}(3,2) = 3\), lze je uspořádat: \(2! = 2\)

\(2\) číslice z \(5\): \(\mathrm{C}(5,2) = 10\), lze je uspořádat: \(2! = 2\)

Celkem hesel: \(3 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 2 = 120\)

Řešení:

Výběr studenta: \(6\) možností, výběr učitele: \(4\) možnosti

\( \Rightarrow 6 \cdot 4 = 24 \) dvojic

Řešení:

\(2\) různá písmena z \(4\): \( \mathrm{C}(4,2) = 6 \), uspořádání: \( 2! = 2 \)

\(3\) číslice (opakování povoleno): \( 3^3 = 27 \)

Celkem: \( 6 \cdot 2 \cdot 27 = 324 \)

Řešení:

Každý výběr je nezávislý → pravidlo součinu:

\( 6 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \) možností rozvrhu

Řešení:

První písmeno: \(6\) možností, druhé: \(5\) (jiné než první)

Třetí a čtvrté: každé \(6\) možností (opakování povoleno)

\( 6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 = 1080 \)

Řešení:

Kapitán: \(8\) možností, zástupce: \(7\) zbývajících

\(3\) další členové bez pořadí: vybereme ze \(6\) → \( \mathrm{C}(6,3) = 20 \)

\( 8 \cdot 7 \cdot 20 = 1120 \) týmů

Řešení:

Možnosti dle počtu žen ve výboru:

1 žena: \( \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 4 \cdot 10 = 40 \)

2 ženy: \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 6 \cdot 5 = 30 \)

3 ženy: \( \frac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 4 \cdot 1 = 4 \)

Celkem: \( 40 + 30 + 4 = 74 \) možností

Řešení:

Liché číslice: \(1, 3, 5, 7, 9\) → \(5\) možností pro první cifru

Zbývá \(9\) číslic (\(0\)–\(9\) bez použité první)

2. cifra: \(9\) možností, 3.: \(8\), 4.: \(7\)

\( 5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 2520 \) kódů

Řešení:

Dezerty: žádný → \(1\) možnost, \(1\) dezert: \( \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4 \), \(2\) dezerty: \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \)

Celkem možností na dezert: \( 1 + 4 + 6 = 11 \)

Celkem kombinací: \( 5 \cdot 8 \cdot 11 = 440 \)

Řešení:

Rozdělení na \(2\) nerozlišitelné pětice → vybereme jednu pětici:

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{1}{2} \cdot 252 = 126 \)

Řešení:

Čísla větší než \(5000\) → první cifra: \(5, 6\) nebo \(7\) → \(3\) možnosti

Zbývají \(4\) číslice, vybíráme \(3\) další (uspořádaně, bez opakování):

\( \frac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot 3! = 4 \cdot 6 = 24 \) možností pro každou první cifru

Celkem: \( 3 \cdot 24 = 72 \)

Řešení:

Případ 1: \(4\) muži z \(3\) → nemožné

Případ 2: \(2\) muži: \( \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 \), \(2\) ženy: \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \)

\( 3 \cdot 6 = 18 \) možností

Řešení:

Poslední písmeno: \(U\) (\(1\) možnost), vybíráme \(2\) další písmena z \(\{S,T,V,W\}\) → \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \), uspořádání: \( 2! = 2 \)

Celkem: \( 1 \cdot 6 \cdot 2 = 12 \) slov

Řešení:

Jedná se o rozdělení \(6\) prvků do \(3\) neprázdných skupin → Stirlingova čísla druhého druhu

\( S(6,3) = 90 \), každé uspořádání přihrádek: \( 3! = 6 \)

\( \Rightarrow 90 \cdot 6 = 540 \) způsobů

Řešení:

Prvních \(3\): pořadí záleží → \( P(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Zbylí \(2\): vybráni automaticky, ale pořadí nezáleží → pouze \(1\) možnost

Celkem: \( 60 \) možností

Řešení:

Písmena: \( \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 \), uspořádání: \( 3! = 6 \Rightarrow 4 \cdot 6 = 24 \)

Číslice (opakování): \( 10 \cdot 10 = 100 \)

Celkem: \( 24 \cdot 100 = 2400 \) kódů

Řešení:

Máme tři neslučitelné případy, použijeme pravidlo součtu:

1. \(2\) z \(A\): \( C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \).
2. \(1\) z \(B\) a \(1\) z \(C\): \( 3 \times 5 = 15 \).
3. \(3\) z \(D\): \( C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \).

Celkem: \(6 + 15 + 20 = 41\) způsobů.

Řešení:

Volba jazyka: \(4\), matematiky: \(2\), volitelný: \(5\) možností nebo „žádný“ (\(1\) možnost). Celkem pro volitelný: \(5 + 1 = 6\).

Podle pravidla součinu: \(4 \times 2 \times 6 = 48\) možných rozvrhů.

Řešení:

Případ \(A\): vybere \(1\) sál a čas → \(3 \times 2 = 6\).

Případ \(B\): vybere \(2\) různé sály (ze \(3\)): \( C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3 \) a pro každý z nich \(2\) časy → \(2 \times 2 = 4\) kombinací časů, celkem \(3 \times 4 = 12\).

Podle součtu: \(6 + 12 = 18\) variant.

Řešení:

Použijeme princip inkluze–exkluze:

• Celkem hesel bez omezení: \(36^6\) (26 písmen + 10 číslic).
• \(A\): obsahuje alespoň jedno \(A\) → celkem \(36^6 – 35^6\).
• \(B\): obsahuje alespoň dvě číslice → celkem \( \sum_{k=2}^6 C_6^k \cdot 10^k \cdot 26^{6-k}\), kde \(C_6^k = \frac{6!}{k!(6-k)!}\).
• \(A \cap B\): současně platí obě podmínky → spočítáme analogicky a použijeme princip inkluze–exkluze.

Řešení je pak: \( |A| + |B| – |A \cap B| \). Zde je detailní rozpis každé části a jejich součet.

Řešení:

Předkrm: \(3\).

Hlavní: vybereme \(2\) z \(4\): \( C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \).

Dezerty: \(0\) → \(1\), \(1\) → \(2\), \(2\) → \( C_2^2 = 1 \); celkem \(1 + 2 + 1 = 4\).

Součin: \(3 \times 6 \times 4 = 72\) jídelních sad.

Řešení:

Trasy mohou jít přes \(B\) nebo přes \(C\) (dvě neslučitelné možnosti → součet):

• Přes \(B\): \(2\) (\(A \to B\)) × \(1\) (\(B \to D\)) = \(2\)
• Přes \(C\): \(3\) (\(A \to C\)) × \(2\) (\(C \to D\)) = \(6\)

Celkem: \(2 + 6 = 8\) tras.

Řešení:

Vybereme \(3\) lidi z \(5\): \( C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \). Pro každou trojici rozřadíme na \(3\) úkoly: \(3! = 6\).

Součin: \(10 \times 6 = 60\) způsobů.

Řešení:

Předkrm: \(4\), hlavní: \(5\), zákusky – vybereme \(0\) až \(3\) z \(3\), tj. \( \sum_{k=0}^3 C_3^k = 2^3 = 8 \) možností.

Celkem: \(4 \times 5 \times 8 = 160\) objednávek.

Řešení:

Pravidlo součtu:

• \(2\) ze studentů: \( C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \)
• \(3\) z učitelů: \( C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)
• \(1\) ze správních: \(4\)

Celkem: \(15 + 10 + 4 = 29\) způsobů.

Řešení:

Celkem bez omezení: \(36^4\).

Odečteme nepřípustné případy:

• bez písmen (pouze číslice): \(10^4\),
• bez číslic (pouze písmena): \(26^4\).

Pomocí inkluze–exkluze dostaneme:

\(36^4 – 10^4 – 26^4\)

(Žádné heslo nemůže být zároveň pouze číslicí i pouze písmeny, takže prázdný průnik nemusíme odečítat.)

Řešení příkladu:

Student si vybírá jednu otázku buď z matematiky, nebo z fyziky. Použijeme pravidlo součtu:

\(4 + 5 = 9 \Rightarrow\) Existuje \(9\) možností výběru.

Řešení příkladu:

Jedná se o kombinaci výběru zákusku a kávy, tedy pravidlo součinu:

\(5 \cdot 3 = 15 \Rightarrow\) Existuje \(15\) různých objednávek.

Řešení příkladu:

Účastníkem může být buď dívka, nebo chlapec. Použijeme pravidlo součtu:

\(4 + 3 = 7 \Rightarrow\) Je \(7\) možností výběru jednoho účastníka.

Řešení příkladu:

Výběr probíhá nezávisle v každé kategorii. Použijeme pravidlo součinu:

\(2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \Rightarrow\) Existuje \(24\) různých kombinací jídla.

Řešení příkladu:

Student je vybrán z jedné ze dvou tříd. Použijeme pravidlo součtu:

\(6 + 8 = 14 \Rightarrow\) Je \(14\) možností výběru jednoho studenta.

Řešení příkladu:

Písmena: \(26\) možností (A–Z), číslice: \(10\) možností (0–9). Použijeme pravidlo součinu:

\(26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 = 67600 \Rightarrow\) Existuje \(67600\) různých kódů.

Řešení příkladu:

Písmena bez opakování: \(26 \cdot 25\), číslice s opakováním: \(10 \cdot 10 \cdot 10\)

\(26 \cdot 25 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 650000 \Rightarrow\) Existuje \(650000\) registračních značek.

Řešení příkladu:

Výběr 1 obrázku: \( \displaystyle \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5 \), výběr 2 obrázků: \( \displaystyle \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \)

\(5 + 10 = 15 \Rightarrow\) Je \(15\) možností výběru.

Řešení příkladu:

Vedoucí: \( \displaystyle \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4 \), členové: \( \displaystyle \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \)

\(4 \cdot 15 = 60 \Rightarrow\) Existuje \(60\) možností vytvoření týmu.

Řešení příkladu:

Jsou dvě cesty mezi prvním a druhým městem, a dvě mezi druhým a třetím. Použijeme pravidlo součinu:

\( 2 \cdot 2 = 4 \Rightarrow \) Jsou \(4\) možné trasy celkem.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme počet všech přiřazení bez omezení: \( 3^5 = 243 \)

Odečteme přiřazení, kde některý student nedostal žádný úkol (princip inkluze a exkluze):

Vybereme \(1\) studenta, který nedostane žádný úkol: \( \frac{3!}{1!2!} \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \)

Přičteme případy, kdy pouze jeden student dostane úkoly (což jsme odečetli dvakrát): \( \frac{3!}{2!1!} \cdot 1^5 = 3 \cdot 1 = 3 \)

Výsledný počet: \( 243 – 96 + 3 = 150 \Rightarrow \) Existuje \(150\) platných přiřazení.

Řešení příkladu:

Musíme vybrat \(2\) různé druhy ze \(3\) (předkrm, hlavní jídlo, dezert): \( \frac{3!}{2!1!} = 3 \)

Možnosti:

• Předkrm a hlavní jídlo: \( 4 \cdot 5 = 20 \)
• Předkrm a dezert: \( 4 \cdot 3 = 12 \)
• Hlavní jídlo a dezert: \( 5 \cdot 3 = 15 \)

Celkem: \( 20 + 12 + 15 = 47 \Rightarrow \) Existuje \(47\) možností výběru dvou jídel.

Řešení příkladu:

Sudá čísla končí číslicí \(2\), \(4\), \(6\) nebo \(8\) (\(4\) možnosti). Vybereme jednu jako poslední číslici.

Pro každou volbu koncového čísla vybíráme \(3\) číslice z \(8\) zbývajících bez opakování: \( \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \)

Celkem: \( 4 \cdot 336 = 1344 \Rightarrow \) Existuje \(1344\) takových čísel.

Řešení příkladu:

Celkový počet permutací: \( 6! = 720 \)

Počet permutací, kde dvě konkrétní knihy jsou spolu: \( 5! \cdot 2 = 120 \cdot 2 = 240 \)

Výsledek: \( 720 – 240 = 480 \Rightarrow \) \(480\) možností.

Řešení příkladu:

Variace bez opakování: \( 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \Rightarrow \) \(210\) způsobů.

Řešení příkladu:

Výběr jedné kuličky ze všech: \( 5 + 4 = 9 \Rightarrow \) \(9\) možností.

Řešení příkladu:

Celkově: \( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Čísla začínající \(5\): \( 4 \cdot 3 = 12 \)

Výsledek: \( 60 – 12 = 48 \Rightarrow \) \(48\) čísel splňuje podmínky.

Řešení příkladu:

Variace: \( 26 \cdot 25 \cdot 24 = 15600 \Rightarrow \) \(15600\) možností.

Řešení příkladu:

Bez omezení: \( 4 \cdot 3 = 12 \)

Zakázané páry: \(3\)

Povolené: \( 12 – 3 = 9 \Rightarrow \) \(9\) dvojic.

Řešení příkladu:

Celkem trojic: \( \frac{6!}{3!3!} = 20 \)

Zakázaná dvojice + \(1\) další student: \(4\) možnosti

Platné: \( 20 – 4 = 16 \Rightarrow \) \(16\) platných trojic.

Řešení:

Výběr ovoce: \(5\) možností, výběr zeleniny: \(3\) možnosti

\( 5 \cdot 3 = 15 \) možných kombinací

Řešení:

Možnosti výběru jsou buď muž nebo žena, vzájemně se vylučují → pravidlo součtu:

\( 7 + 8 = 15 \) možných osob

Řešení:

Pravidlo součinu:

\( 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120 \) různých kódů

Řešení:

Výběr jednoho brankáře: \(9\) možností

Výběr dvou obránců: počet možností je počet všech dvojic z \(6\) → \( \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)

Celkem možností podle pravidla součtu:

\( 9 + 15 = 24 \)

Řešení:

První písmeno: \(4\) možnosti, druhé: \(3\) možnosti (protože se nesmí opakovat), třetí: \(2\) možnosti

Celkem podle pravidla součinu:

\( 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \) různých hesel

Řešení:

Jazyk nebo sport jsou vzájemně se vylučující možnosti → pravidlo součtu:

\( 4 + 5 = 9 \) možností

Řešení:

Počet dvojic dortů (bez použití \binom): počet všech dvojic z \(5\):

\( \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Výběr nápoje: \(3\) možnosti

Celkem podle pravidla součinu:

\( 10 \cdot 3 = 30 \) kombinací

Řešení:

První písmeno: \(5\) možností

Druhé písmeno musí být jiné než první: \(4\) možnosti

Třetí písmeno musí být jiné než první i druhé: \(3\) možnosti

Celkem podle pravidla součinu:

\( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Řešení:

První písmeno: \(7\) možností

Druhé písmeno (opakování povoleno): \(7\) možností

Celkem podle pravidla součinu:

\( 7 \cdot 7 = 49 \) kombinací

Řešení:

Výběr učitele: \(10\) možností

Výběr třídy: \(6\) možností

Celkem podle pravidla součinu:

\( 10 \cdot 6 = 60 \) možností

Řešení:

Výběr \(1\) románu je jednoduchý: máme \(7\) možností.

Výběr \(2\) naučných knih spočítáme takto: první knihu lze vybrat z \(5\) možností, druhou z \(4\) (protože knihy se nemohou opakovat), ale pořadí výběru nehraje roli, proto dělíme dvěma:

\( \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Celkem podle pravidla součtu tedy:

\( 7 + 10 = 17 \) možných způsobů výběru

Řešení:

První případ: dvouciferná čísla bez opakování

První číslice: \(5\) možností, druhá: \(4\) možnosti

Celkem: \( 5 \cdot 4 = 20 \)

Druhý případ: jednočíslicová čísla z \(1\), \(2\), \(3\) (tedy \(3\) možnosti)

Podle pravidla součtu máme celkem:

\( 20 + 3 = 23 \) možných čísel

Řešení:

Pro barvu máme \(3\) možnosti.

Velikostí je \(2\), které mohou být kombinovány s barvami nezávisle.

Proto podle pravidla součinu:

\( 3 \cdot 2 = 6 \) různých triček

Řešení:

Počet dvojic z \(4\) studentů (bez použití \binom):

První vybereme \(1.\) studenta ze \(4\), druhého ze zbývajících \(3\), ale pořadí nehraje roli, tedy dělíme dvěma:

\( \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)

Počet trojic z \(3\) studentů:

Protože vybíráme všechny \(3\), počet je \(1\) (vybrat všechny)

Celkem podle pravidla součtu:

\( 6 + 1 = 7 \) způsobů

Řešení:

První písmeno může být libovolné z \(4\) možností.

Druhé písmeno může být opět libovolné z \(4\) možností (opakování povoleno).

Celkem podle pravidla součinu:

\( 4 \cdot 4 = 16 \) hesel

Řešení:

Výběr jednoho předmětu: \(7\) možností.

Výběr jednoho sportu: \(5\) možností.

Podle pravidla součtu (jsou to dvě navzájem vylučující možnosti):

\( 7 + 5 = 12 \) možností

Řešení:

Výběr modelu: \(3\) možnosti.

Výběr barvy: \(4\) možnosti.

Celkem podle pravidla součinu:

\( 3 \cdot 4 = 12 \) kombinací

Řešení:

Výběr jednoho učitele: \(8\) možností.

Výběr dvou studentů spočítáme jako počet dvojic z \(5\):

\( \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Podle pravidla součtu:

\( 8 + 10 = 18 \) možností

Řešení:

Každé místo kódu má \(3\) možnosti.

Protože je \(4\) pozice a opakování je povoleno, násobíme možnosti na každé pozici:

\( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81 \) kódů

Řešení:

Výběr jednoho šálku kávy: \(5\) možností.

Výběr dvou druhů čajů spočítáme jako počet dvojic z \(4\):

\( \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)

Celkem podle pravidla součtu:

\( 5 + 6 = 11 \) možností

Řešení:

Počet dvojic z \(6\) dívek:

Vybereme první dívku: \(6\) možností, druhou: \(5\) možnosti, ale pořadí nehraje roli, proto dělíme dvěma:

\( \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)

Počet dvojic ze \(4\) chlapců:

\( \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)

Podle pravidla součtu:

\( 15 + 6 = 21 \) různých dvojic

Řešení:

První případ – čísla bez opakování (z \(5\) číslic):

Počet možností pro první číslici: \(5\)

Druhá číslice: \(4\) možnosti (protože nesmí opakovat)

Třetí číslice: \(3\) možnosti

Celkem:

\( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)

Druhý případ – čísla s opakováním (z \(3\) číslic):

Pro každou z \(3\) pozic máme \(3\) možnosti:

\( 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)

Podle pravidla součtu:

\( 60 + 27 = 87 \) různých tříciferných čísel

Řešení:

Počet autobusových jízdních řádů:

\(3\) trasy × \(2\) časy =

\( 3 \cdot 2 = 6 \)

Počet vlakových jízdních řádů:

\(4\) trasy × \(1\) čas =

\( 4 \cdot 1 = 4 \)

Celkem podle pravidla součtu:

\( 6 + 4 = 10 \) jízdních řádů

Řešení:

Výběr \(1\) ovoce: \(5\) možností.

Výběr \(2\) druhů zeleniny spočítáme:

První zeleninu vybereme ze \(4\) možností, druhou ze \(3\), pořadí nehraje roli, proto dělíme dvěma:

\( \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)

Podle pravidla součtu:

\( 5 + 6 = 11 \) možností

Řešení:

Kódy z \(A\), \(B\), \(C\) s opakováním:

Každá pozice (\(3\)) má \(3\) možnosti, takže:

\( 3^3 = 27 \)

Kódy z \(D\), \(E\), \(F\) bez opakování:

První pozice: \(3\) možnosti

Druhá: \(2\) možnosti

Třetí: \(1\) možnost

Celkem:

\( 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)

Podle pravidla součtu:

\( 27 + 6 = 33 \) kódů

Řešení:

Možné dvojice (první číslice, druhá číslice) s druhou větší:

• \( (1,2) \), \( (1,3) \), \( (1,4) \)
• \( (2,3) \), \( (2,4) \)
• \( (3,4) \)

Počet těchto dvojic:

\( 3 + 2 + 1 = 6 \)

Řešení:

Počet členů týmu v prvním případě: \(3 + 2 = 5\)

Počet členů týmu v druhém případě: \(4 + 1 = 5\)

Každý tým lze sestavit pouze jedním způsobem, protože počet a složení je dané.

Podle pravidla součtu:

\( 1 + 1 = 2 \) možné týmy

Řešení:

Slova délky \(1\):

\(3\) možnosti (\(M\), \(A\), \(T\))

Slova délky \(2\) bez opakování:

První písmeno: \(3\) možnosti

Druhé písmeno: \(2\) možnosti

Celkem:

\( 3 \cdot 2 = 6 \)

Podle pravidla součtu:

\( 3 + 6 = 9 \) slov

Řešení:

Výběr \(1\) trička: \(4\) možnosti

Výběr \(2\) kalhot:

Počet dvojic z \(3\):

\( \frac{3 \cdot 2}{2} = 3 \)

Podle pravidla součtu:

\( 4 + 3 = 7 \) kombinací

Řešení:

Kódy o délce \( 2 \) s opakováním z číslic \( 0 \), \( 1 \), \( 2 \):

Každá pozice má \( 3 \) možnosti, celkem:

\( 3 \cdot 3 = 9 \)

Kódy o délce \( 2 \) bez opakování z číslic \( 3 \), \( 4 \):

První pozice: \( 2 \) možnosti

Druhá pozice: \( 1 \) možnost

Celkem:

\( 2 \cdot 1 = 2 \)

Podle pravidla součtu:

\( 9 + 2 = 11 \) kódů

Řešení:

První tým vybereme \( 3 \) hráče z \( 8 \):

Počet možností je \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \) za předpokladu pořadí, ale protože nezáleží na pořadí v týmu, dělíme faktoriálem \( 3 \):

\( \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \)

Zbývá \( 5 \) hráčů pro druhý tým \( 3 \) hráčů, podobně:

\( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)

Zbývají \( 2 \) hráči pro třetí tým, tam je jediná možnost (oba zbývající hráči): \( 1 \)

Celkem podle pravidla součinu:

\( 56 \cdot 10 \cdot 1 = 560 \)

Protože pořadí týmů nerozhoduje, dělíme počtem permutací týmů (\( 3! = 6 \)):

\( \frac{560}{6} = \frac{560}{6} = 93,33 \) zaokrouhleně \( 93 \) možných rozdělení

Řešení:

\( 3 \) kapitoly považujeme jako jeden blok, tedy máme celkem \( 12 – 3 + 1 = 10 \) bloků.

Počet uspořádání těchto \( 10 \) bloků je \( 10! \).

Uvnitř bloku \( 3 \) kapitol lze uspořádat \( 3! \) způsoby.

Celkem tedy:

\( 10! \cdot 3! = 3628800 \cdot 6 = 21772800 \)

Řešení:

Celkový počet možností bez omezení:

Vybrat \( 4 \) z \( 11 \) studentů (\( 5 \) chlapců + \( 6 \) dívek):

\( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330 \)

Odečteme možnosti, kdy nejsou splněna kritéria:

• Žádný chlapec (vybráno \( 4 \) dívky z \( 6 \)): \( \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \)
• Žádná dívka (vybráno \( 4 \) chlapci z \( 5 \)): \( \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \)

Proto počet platných výběrů:

\( 330 – 15 – 5 = 310 \)

Řešení:

Počet malých písmen je \( 26 \), číslic \( 10 \), celkem \( 36 \) znaků.

První znak je písmeno: \( 26 \) možností.

Pro zbylé \( 4 \) znaky bez opakování vybíráme z \( 35 \) zbývajících znaků.

Počet možností:

\( 26 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 = 26 \cdot 1253880 = 326000880 \)

Řešení:

Sudé číslice: \( 0 \), \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \) (\( 5 \) číslic).

První číslice nesmí být \( 0 \) (aby číslo bylo čtyřciferné), proto první číslice má \( 4 \) možnosti (\( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), \( 8 \)).

Zbývající tři číslice jsou vybírány z \( 4 \) zbývajících sudých číslic (včetně \( 0 \)).

Počet možností:

\( 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96 \)

Řešení:

Družstvo má \( 5 \) členů a dívek musí být více než chlapců, tedy dívek minimálně \( 3 \).

Možné počty dívek v družstvu jsou \( 3 \), \( 4 \) nebo \( 5 \).

Počet družstev s \( 3 \) dívkami a \( 2 \) chlapci:

\( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 220 \cdot 45 = 9900 \)

Počet družstev se \( 4 \) dívkami a \( 1 \) chlapcem:

\( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 10 = 495 \cdot 10 = 4950 \)

Počet družstev s \( 5 \) dívkami:

\( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \)

Celkem:

\( 9900 + 4950 + 792 = 15642 \)

Řešení:

\( 3 \) knihy považujeme za jeden blok, takže máme celkem \( 7 – 3 + 1 = 5 \) bloků.

Počet uspořádání těchto \( 5 \) bloků je \( 5! = 120 \).

Uvnitř bloku lze uspořádat \( 3! = 6 \) způsoby.

Celkem:

\( 120 \cdot 6 = 720 \)

Řešení:

Počet výběrů s \( 2 \) červenými a \( 3 \) modrými:

\( \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \cdot 20 = 120 \)

Počet výběrů s \( 3 \) červenými a \( 2 \) modrými:

\( \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 4 \cdot 15 = 60 \)

Počet výběrů s \( 4 \) červenými a \( 1 \) modrou:

\( 1 \cdot 6 = 6 \)

Celkem:

\( 120 + 60 + 6 = 186 \)

Řešení:

První kostka má \( 6 \) možností, druhá také \( 6 \) možností.

Počet uspořádaných dvojic:

\( 6 \cdot 6 = 36 \)

Řešení:

První číslice: \( 5 \) možností

Druhá číslice: \( 4 \) možnosti

Třetí číslice: \( 3 \) možnosti

Celkem:

\( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)