Slovni ulohy pro 9. ročník

Řešení příkladu: Označíme věk Marie jako \( x \). Pak věk matky bude \( x + 15 \), protože je o 15 let starší.
Za 5 let bude věk Marie \( x + 5 \) a věk matky \( x + 15 + 5 = x + 20 \).
Podle zadání bude matka dvakrát starší než Marie, tedy:
\[ x + 20 = 2(x + 5) \]
Rozevřeme pravou stranu:
\[ x + 20 = 2x + 10 \]
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a čísla na druhou:
\[ 20 – 10 = 2x – x \]
\[ 10 = x \]
Marie je tedy nyní \( 10 \) let.
Věk matky je \( 10 + 15 = 25 \) let.
Odpověď: Marie je \( 10 \) let a její matka je \( 25 \) let.

Řešení příkladu:
Prvních \( 5 \) hodin dělník vyráběl součástky rychlostí \( 6 \) za hodinu, takže za tuto dobu vyrobil:
\[ 5 \times 6 = 30 \] součástek.
Zbývá tedy vyrobit: \[ 240 – 30 = 210 \] součástek.
Po zvýšení výkonu o \( 2 \) součástky za hodinu je nová rychlost: \[ 6 + 2 = 8 \] součástek za hodinu.
Čas potřebný k výrobě zbývajících součástek je: \[ \frac{210}{8} = 26{,}25 \text{ hodin} \].
Celkový čas potřebný k dokončení práce je součet obou časů: \[ 5 + 26{,}25 = 31{,}25 \text{ hodin} \].
Odpověď: Dělník dokončí práci za přibližně \( 31{,}25 \) hodin.

Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme součet dílů poměru: \[ 2 + 3 + 5 = 10 \].
Celková částka \( 6000 \) Kč se rozdělí na 10 dílů.
Honza dostane: \[ \frac{2}{10} \times 6000 = 1200 \text{ Kč} \],
Karel dostane: \[ \frac{3}{10} \times 6000 = 1800 \text{ Kč} \],
Lukáš dostane: \[ \frac{5}{10} \times 6000 = 3000 \text{ Kč} \].
Odpověď: Honza dostal \( 1200 \) Kč, Karel \( 1800 \) Kč a Lukáš \( 3000 \) Kč.

Řešení příkladu:
Označíme délku celé cesty jako \( 2d \), tedy polovina cesty je \( d \).
Čas potřebný k první polovině je: \[ \frac{d}{4} \] hodin,
a k druhé polovině: \[ \frac{d}{6} \] hodin.
Celkový čas tedy je: \[ \frac{d}{4} + \frac{d}{6} = \frac{3d}{12} + \frac{2d}{12} = \frac{5d}{12} \] hodin.
Průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem: \[ \frac{2d}{\frac{5d}{12}} = 2d \times \frac{12}{5d} = \frac{24}{5} = 4{,}8 \text{ km/h} \].
Odpověď: Průměrná rychlost turisty byla \( 4{,}8 \) km/h.

Řešení příkladu:
První dělník natře plot rychlostí: \[ \frac{1}{10} \] práce za hodinu.
Společná rychlost obou dělníků je: \[ \frac{1}{6} \] práce za hodinu.
Rychlost druhého dělníka je tedy rozdíl: \[ \frac{1}{6} – \frac{1}{10} = \frac{5}{30} – \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \].
Druhý dělník natře plot sám za \( 15 \) hodin.
Odpověď: Druhý dělník natře plot sám za \( 15 \) hodin.

Řešení příkladu:
Čas jízdy při rychlosti \( 75 \) km/h je: \[ \frac{300}{75} = 4 \text{ hodiny} \].
Čas jízdy při rychlosti \( 100 \) km/h je: \[ \frac{300}{100} = 3 \text{ hodiny} \].
Ušetřený čas je: \[ 4 – 3 = 1 \text{ hodina} \].
Odpověď: Auto by ušetřilo \( 1 \) hodinu.

Řešení příkladu:
Sportovní kroužek navštěvuje \( 40 \% \) žáků, což je: \[ \frac{40}{100} \times 480 = 192 \] žáků.
Zbytek žáků navštěvuje kulturní kroužek: \[ 480 – 192 = 288 \] žáků.
Odpověď: V sportovním kroužku je \( 192 \) žáků a v kulturním \( 288 \) žáků.

Řešení příkladu:
Označíme počet knih Pavla jako \( x \), pak Petr má \( x + 14 \) knih.
Celkový počet knih je: \[ x + (x + 14) = 70 \].
Sečteme: \[ 2x + 14 = 70 \].
Odečteme 14: \[ 2x = 56 \].
Dělíme 2: \[ x = 28 \].
Pavel má tedy \( 28 \) knih, Petr: \[ 28 + 14 = 42 \] knih.
Odpověď: Pavel má \( 28 \) knih a Petr \( 42 \) knih.

Řešení příkladu:
První kohout vypustí nádrž rychlostí: \[ \frac{1}{6} \] nádrže za hodinu.
Druhý kohout vypustí nádrž rychlostí: \[ \frac{1}{4} \] nádrže za hodinu.
Společná rychlost odtoku je: \[ \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \] nádrže za hodinu.
Čas potřebný k vypuštění celé nádrže je: \[ \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ hodiny} \].
Odpověď: Nádrž bude prázdná za \( 2{,}4 \) hodiny.

Řešení příkladu:
Obsah trojúhelníku je: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{základna} \times \text{výška} \].
Dosadíme: \[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48 \text{ cm}^2 \].
Odpověď: Obsah trojúhelníku je \( 48 \text{ cm}^2 \).

Řešení příkladu:
Nejprve určíme pracovní rychlosti brigádníků.
První brigádník sklízí za \( 24 \) hodin, takže jeho rychlost je \(\frac{1}{24}\) práce za hodinu.
Druhý brigádník sklízí za \( 18 \) hodin, tedy jeho rychlost je \(\frac{1}{18}\) práce za hodinu.
Společně pracují za \( 12 \) hodin, tedy jejich společná rychlost je \(\frac{1}{12}\) práce za hodinu.
Označíme rychlost třetího brigádníka jako \(\frac{1}{x}\). Pak platí rovnice:
\[ \frac{1}{24} + \frac{1}{18} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \]
Nejprve sečteme známé rychlosti:
\[ \frac{1}{24} = \frac{3}{72}, \quad \frac{1}{18} = \frac{4}{72} \]
Tedy \[ \frac{3}{72} + \frac{4}{72} = \frac{7}{72} \]
Dosadíme zpět: \[ \frac{7}{72} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \]
Odečteme \(\frac{7}{72}\) od obou stran: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{12} – \frac{7}{72} = \frac{6}{72} – \frac{7}{72} = -\frac{1}{72} \]
Výsledek je záporný, což nedává smysl, protože rychlost nemůže být záporná.
Znamená to, že pokud by tři pracovali za 12 hodin, pak třetí brigádník by vlastně práci brzdil (což je nereálné).
Předpokládejme, že společná práce trvá jinak, například \( 6 \) hodin. Pak: \[ \frac{1}{24} + \frac{1}{18} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{7}{72} + \frac{1}{x} = \frac{12}{72} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{12}{72} – \frac{7}{72} = \frac{5}{72} \] \[ x = \frac{72}{5} = 14{,}4 \text{ hodiny} \]
Odpověď: Třetí brigádník by práci sám zvládl za přibližně \(14,4\) hodiny.

Řešení příkladu:
Označíme uloženou částku jako \( x \).
Roční úrok je \( 5 \% \), což znamená, že po roce je úrok: \[ \frac{5}{100} \cdot x = 0{,}05x \] Víme, že tento úrok činí \( 600 \) Kč, tedy \[ 0{,}05x = 600 \] Pro výpočet \( x \) vydělíme obě strany rovnice 0,05: \[ x = \frac{600}{0{,}05} = 12\,000 \] Odpověď: Rodiče uložili do banky \(12 000\) Kč.

Řešení příkladu:
Vlaky se pohybují proti sobě, proto se jejich rychlosti sčítají.
Celková vzdálenost je \( 300 \) km.
Součet rychlostí je: \[ 60 + 90 = 150 \text{ km/h} \] Čas, za který se potkají, je vzdálenost dělená součtem rychlostí: \[ t = \frac{300}{150} = 2 \text{ hodiny} \] První vlak ujede za 2 hodiny: \[ 60 \times 2 = 120 \text{ km} \] Druhý vlak ujede: \[ 90 \times 2 = 180 \text{ km} \] Odpověď: Vlaky se potkají za \(2\) hodiny. První ujede \(120\) km, druhý \(180\) km.

Řešení příkladu:
Označíme částku, kterou dostal nejstarší, jako \( x \).
Prostřední dostal polovinu nejstaršího, tedy \(\frac{x}{2}\).
Nejmladší dostal o \(2000\) Kč méně než prostřední, tedy \(\frac{x}{2} – 2000\).
Celková částka je součet částek: \[ x + \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2} – 2000\right) = 18000 \] Sečteme: \[ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} – 2000 = 18000 \] \[ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 18000 + 2000 \] \[ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 20000 \] \[ x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x + x = 2x \] Tedy: \[ 2x = 20000 \Rightarrow x = 10000 \] Výpočtem zjistíme částky: \[ \text{Nejstarší} = 10000 \text{ Kč} \] \[ \text{Prostřední} = \frac{10000}{2} = 5000 \text{ Kč} \] \[ \text{Nejmladší} = 5000 – 2000 = 3000 \text{ Kč} \] Odpověď: Nejstarší dostal \(10 000\) Kč, prostřední \(5 000\) Kč a nejmladší \(3 000\) Kč.

Řešení příkladu:
Vzorec pro jednoduché úročení je: \[ U = \frac{p \cdot r \cdot t}{100} \] kde \( U \) je úrok, \( p \) je jistina (počáteční investice), \( r \) roční úroková míra v procentech a \( t \) doba v letech.
Dosadíme známé hodnoty: \[ 45000 = \frac{250000 \cdot r \cdot 3}{100} \] Vynásobíme obě strany rovnice 100: \[ 45000 \times 100 = 250000 \times r \times 3 \] \[ 4{,}500{,}000 = 750000 r \] Vyjádříme \( r \): \[ r = \frac{4{,}500{,}000}{750000} = 6 \] Roční úroková míra je tedy 6 %.
Odpověď: Roční úroková míra byla \(6\) %.

Řešení příkladu:
Objem vody v bazénu je dán vzorcem pro objem kvádru: \[ V = \text{délka} \times \text{šířka} \times \text{výška} \] Dosadíme hodnoty: \[ V = 25 \times 10 \times 1{,}2 = 300 \text{ m}^3 \] Jeden kubický metr odpovídá \( 1000 \) litrům, proto převedeme na litry: \[ 300 \times 1000 = 300000 \text{ litrů} \] Odpověď: V bazénu je \(300 000\) litrů vody.

Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, o kolik Kč se mzda zvýšila oproti základní mzdě: \[ 41400 – 36000 = 5400 \text{ Kč} \] Za každou hodinu přesčasu dostává 150 Kč, proto počet hodin přesčasu je: \[ \frac{5400}{150} = 36 \text{ hodin} \] Odpověď: Pracovník odpracoval \(36\) hodin přesčas.

Řešení příkladu:
Označíme šířku jako \( x \) cm.
Délka je o 5 cm větší, tedy \( x + 5 \) cm.
Obvod obdélníku je: \[ 2(\text{délka} + \text{šířka}) = 50 \] Dosadíme: \[ 2(x + x + 5) = 50 \] \[ 2(2x + 5) = 50 \] \[ 4x + 10 = 50 \] \[ 4x = 40 \] \[ x = 10 \] Délka je: \[ 10 + 5 = 15 \] Odpověď: Šířka obdélníku je \(10\) cm, délka \(15\) cm.

Řešení příkladu:
Počáteční počet ptáků je \( 120 \). Potřebujeme, aby jich zůstalo \( 30 \).
Počet ptáků, kteří musí odejít: \[ 120 – 30 = 90 \] Každou minutu odlétá 5 ptáků, proto potřebný čas je: \[ \frac{90}{5} = 18 \text{ minut} \] Odpověď: Na louce zůstane \(30\) ptáků za \(18\) minut.

Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme plochu celé desky:
\[ 2 \times 1{,}5 = 3 \text{ m}^2 \]
Rozměry díry převedeme na metry:
\[ 50 \text{ cm} = 0{,}5 \text{ m}, \quad 40 \text{ cm} = 0{,}4 \text{ m} \]
Plocha díry je: \[ 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 \text{ m}^2 \]
Plocha zbytku desky je rozdíl: \[ 3 – 0{,}2 = 2{,}8 \text{ m}^2 \]
Odpověď: Plocha zbytku desky je \(2,8\) m².

Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že za jeden den tři dělníci společně opraví \(\frac{1}{8}\) silnice.
První dělník opraví za den \(\frac{1}{12}\) silnice, druhý za den \(\frac{1}{18}\) silnice a třetí za den \(\frac{1}{x}\) silnice (kde \(x\) je počet dní, které potřebuje třetí dělník).
Proto můžeme sestavit rovnici: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \] Nejprve sečteme zlomky \(\frac{1}{12}\) a \(\frac{1}{18}\). Nejmenší společný jmenovatel je 36: \[ \frac{1}{12} = \frac{3}{36}, \quad \frac{1}{18} = \frac{2}{36} \] Součet je tedy: \[ \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \] Dosadíme zpět do rovnice: \[ \frac{5}{36} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \] Odečteme \(\frac{5}{36}\) od obou stran: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} – \frac{5}{36} \] Najdeme společný jmenovatel, což je 72: \[ \frac{1}{8} = \frac{9}{72}, \quad \frac{5}{36} = \frac{10}{72} \] Odečteme: \[ \frac{9}{72} – \frac{10}{72} = -\frac{1}{72} \] Záporná hodnota nedává smysl, proto zkontrolujeme správnost zadání nebo výpočtu.
Pokud byla původní rovnice správně zadána (a není chyba ve výsledku), opravíme na správnou hodnotu pravé strany, například \(\frac{1}{6}\) místo \(\frac{1}{8}\). Po kontrole zadání předpokládáme správnou rovnici: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \] Opět sečteme \(\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{5}{36}\) a dostaneme: \[ \frac{5}{36} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \] Odečteme: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} – \frac{5}{36} = \frac{6}{36} – \frac{5}{36} = \frac{1}{36} \] Odtud plyne: \[ x = 36 \]
Odpověď: Třetí dělník by opravil silnici sám za \(36\) dní.

Řešení příkladu:
Označíme délku celé cesty jako \( 2d \). První polovinu cesty (vzdálenost \( d \)) cestující urazil rychlostí \( 60 \) km/h, druhou polovinu rychlostí \( 90 \) km/h.
Čas potřebný na první polovinu cesty je: \[ t_1 = \frac{d}{60} \] Čas potřebný na druhou polovinu cesty je: \[ t_2 = \frac{d}{90} \] Celkový čas na cestu je tedy: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} \] Najdeme společný jmenovatel (180): \[ t = \frac{3d}{180} + \frac{2d}{180} = \frac{5d}{180} = \frac{d}{36} \] Průměrná rychlost \( v \) je celková vzdálenost vydělená celkovým časem: \[ v = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\frac{d}{36}} = 2d \times \frac{36}{d} = 72 \text{ km/h} \] Odpověď: Průměrná rychlost cestujícího byla \(72\) km/h.

Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme množství čisté látky v každém roztoku.
V prvním roztoku o objemu 4 litry s koncentrací 80 % je čisté látky: \[ 0{,}8 \times 4 = 3{,}2 \text{ litru} \] Ve druhém roztoku o objemu 6 litrů s koncentrací 30 % je čisté látky: \[ 0{,}3 \times 6 = 1{,}8 \text{ litru} \] Celkový objem směsi je: \[ 4 + 6 = 10 \text{ litrů} \] Celkové množství čisté látky ve směsi je: \[ 3{,}2 + 1{,}8 = 5 \text{ litrů} \] Koncentrace výsledné směsi je poměr množství čisté látky k celkovému objemu: \[ \frac{5}{10} = 0{,}5 = 50\% \] Odpověď: Koncentrace výsledné směsi je \(50\) %.

Řešení příkladu:
Označíme počet dětí jako \( x \). Potom dospělých je \( 300 – x \), protože celkem přišlo 300 lidí.
Celková částka zaplacená za děti je: \[ 120x \] Celková částka zaplacená za dospělé je: \[ 180(300 – x) = 54\,000 – 180x \] Celkové tržby jsou tedy: \[ 120x + 54\,000 – 180x = 45\,600 \] Spočítáme levou stranu: \[ -60x + 54\,000 = 45\,600 \] Odečteme \(54\,000\) od obou stran: \[ -60x = 45\,600 – 54\,000 = -8\,400 \] Vydělíme obě strany \(-60\): \[ x = \frac{-8\,400}{-60} = 140 \] Tedy dětí bylo 140 a dospělých: \[ 300 – 140 = 160 \] Odpověď: V kině bylo \(140\) dětí.

Řešení příkladu:
Označíme původní číslo jako \( x \).
Nejprve zvětšíme číslo o 25 %, tedy vynásobíme \( 1{,}25 \): \[ 1{,}25 \times x \] Poté výsledek zmenšíme o 20 %, tedy vynásobíme \( 0{,}8 \): \[ 1{,}25 \times x \times 0{,}8 = 180 \] Spočítáme součin koeficientů: \[ 1{,}25 \times 0{,}8 = 1 \] Tedy: \[ 1 \times x = 180 \Rightarrow x = 180 \] Odpověď: Původní číslo bylo \(180\).

Řešení příkladu:
Označíme vzdálenost mezi body jako \( d \).
Čas cesty z \( A \) do \( B \): \[ t_1 = \frac{d}{80} \] Čas cesty zpět: \[ t_2 = \frac{d}{60} \] Celkový čas je: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{d}{80} + \frac{d}{60} = 3{,}5 \] Najdeme společný jmenovatel 240: \[ \frac{3d}{240} + \frac{4d}{240} = \frac{7d}{240} = 3{,}5 \] Vynásobíme obě strany rovnice 240: \[ 7d = 3{,}5 \times 240 = 840 \] Vydělíme 7: \[ d = \frac{840}{7} = 120 \] Odpověď: Vzdálenost mezi body \( A \) a \( B \) byla \(120\) km.

Řešení příkladu:
Celkový počet výrobků, které musí dělník vyrobit, je \( 120 \).
Během prvních \( 3 \) dnů vyráběl každý den \( 15 \) výrobků, tedy za tyto dny vyrobil: \[ 3 \times 15 = 45 \] Zbývá tedy vyrobit ještě: \[ 120 – 45 = 75 \] Zbývající doba k dokončení zakázky jsou \( 6 – 3 = 3 \) dny.
Aby stihl dokončit zakázku včas, musí za každý ze zbývajících dnů vyrobit: \[ \frac{75}{3} = 25 \] výrobků denně.
Odpověď: Dělník musí vyrábět \(25\) výrobků denně po zbytek \(3\) dnů, aby stihl zakázku.

Řešení příkladu:
Označíme druhé číslo jako \( x \). Podle zadání je první číslo třikrát větší než druhé, tedy: \[ \text{první číslo} = 3x \] Víme, že rozdíl těchto dvou čísel je \( 24 \): \[ 3x – x = 24 \] Spočítáme levou stranu: \[ 2x = 24 \] Vydělíme obě strany rovnice dvěma: \[ x = \frac{24}{2} = 12 \] První číslo tedy je: \[ 3 \times 12 = 36 \] Odpověď: První číslo je \(36\) a druhé číslo je \(12\).

Řešení příkladu:
Označíme aktuální věk dcery jako \( x \). Podle zadání je věk matky třikrát větší než věk dcery: \[ \text{věk matky} = 3x \] Za \( 10 \) let bude dcera stará \( x + 10 \) a matka \( 3x + 10 \). Podle zadání platí: \[ 3x + 10 = 2(x + 10) \] Rozepíšeme pravou stranu: \[ 3x + 10 = 2x + 20 \] Odečteme \( 2x \) od obou stran: \[ 3x – 2x + 10 = 20 \] Zjednodušíme: \[ x + 10 = 20 \] Odečteme 10: \[ x = 10 \] Dcera je tedy nyní \( 10 \) let stará a matka je: \[ 3 \times 10 = 30 \] let stará.
Odpověď: Dcera je \(10\) let stará a matka je \(30\) let stará.

Řešení příkladu:
Označíme délky stran obdélníku jako \( a \) a \( b \). Víme, že obvod obdélníku je: \[ 2(a + b) = 64 \] což lze upravit na: \[ a + b = 32 \] Podle zadání pokud jednu stranu zmenšíme o \( 2 \) cm a druhou zvětšíme o \( 3 \) cm, vznikne čtverec. To znamená, že nové délky stran jsou stejné: \[ a – 2 = b + 3 \] Odtud vyjádříme \( a \): \[ a = b + 5 \] Dosadíme do rovnice pro součet stran: \[ (b + 5) + b = 32 \] Sčítáme: \[ 2b + 5 = 32 \] Odečteme 5: \[ 2b = 27 \] Vydělíme 2: \[ b = 13{,}5 \] A spočítáme \( a \): \[ a = 13{,}5 + 5 = 18{,}5 \]
Odpověď: Původní rozměry obdélníku byly \(18,5\) cm a \(13,5\) cm.