Válec

Řešení:

Objem válce se vypočítá podle vzorce \( V = \pi r^2 v \). Dosadíme hodnoty: \( V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}48\,\text{cm}^3 \).

Odpověď: Objem válce s poloměrem \( 5\,\text{cm} \) a výškou \( 12\,\text{cm} \) je přibližně \( 942{,}48\,\text{cm}^3 \).

Řešení:

Nejprve určíme poloměr: \( r = \frac{8}{2} = 4\,\text{cm} \).

Povrch válce spočítáme podle vzorce \( S = 2\pi r (r + v) \). Dosadíme hodnoty: \( S = 2\pi \cdot 4 (4 + 10) = 2\pi \cdot 4 \cdot 14 = 112\pi \approx 351{,}86\,\text{cm}^2 \).

Odpověď: Povrch válce s výškou \( 10\,\text{cm} \) a průměrem podstavy \( 8\,\text{cm} \) je přibližně \( 351{,}86\,\text{cm}^2 \).

Řešení:

Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 v \). Vyjádříme \( r^2 \): \( r^2 = \frac{V}{\pi v} = \frac{2\,000}{\pi \cdot 10} \approx 63{,}66 \).

Poloměr je tedy \( r \approx \sqrt{63{,}66} \approx 7{,}98\,\text{cm} \), průměr pak \( d = 2r \approx 15{,}96\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové nádoby je přibližně \( 15{,}96\,\text{cm} \).

Řešení:

Poloměr plechovky je \( r = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm} \).

Plocha pláště válce se spočítá jako \( 2\pi r v = 2\pi \cdot 3 \cdot 12 = 72\pi \approx 226{,}19\,\text{cm}^2 \).

Plocha spodní podstavy je \( \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}27\,\text{cm}^2 \).

Celková potřebná plocha plechu je tedy součet těchto dvou: \( 72\pi + 9\pi = 81\pi \approx 254{,}47\,\text{cm}^2 \).

Odpověď: Na výrobu válcové plechovky bez víčka je potřeba přibližně \( 254{,}47\,\text{cm}^2 \) plechu.

Řešení:

Poloměr nádrže je \( r = \frac{1{,}2}{2} = 0{,}6\,\text{m} \).

Objem nádrže vypočítáme: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 0{,}6^2 \cdot 2{,}5 = \pi \cdot 0{,}36 \cdot 2{,}5 = \pi \cdot 0{,}9 \approx 2{,}827\,\text{m}^3 \).

Přepočet na litry: \( 1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l} \), tedy \( V \approx 2{,}827 \times 1000 = 2\,827\,\text{l} \).

Odpověď: Do válcové nádrže se vejde přibližně \( 2\,827\,\text{l} \) vody.

Řešení:

Poloměr podstavy je \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 v \). Vyjádříme výšku \( v \): \( v = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1\,000}{\pi \cdot 25} \approx 12{,}74\,\text{cm} \).

Odpověď: Výška válce je přibližně \( 12{,}74\,\text{cm} \).

Řešení:

Převedeme hmotnost na gramy: \( 5\,\text{kg} = 5\,000\,\text{g} \).

Objem tyče je \( V = \frac{m}{\rho} = \frac{5\,000}{7{,}8} \approx 641{,}03\,\text{cm}^3 \).

Poloměr je \( r = 1{,}5\,\text{cm} \).

Objem válce je \( V = \pi r^2 v \), kde \( v \) je délka tyče. Vyjádříme \( v \): \( v = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{641{,}03}{\pi \cdot 1{,}5^2} = \frac{641{,}03}{\pi \cdot 2{,}25} \approx \frac{641{,}03}{7{,}07} \approx 90{,}64\,\text{cm} \).

Odpověď: Délka válcové tyče je přibližně \( 90{,}64\,\text{cm} \).

Řešení:

Nejdříve určíme poloměr podstavy podle zadaného průměru: \( r = \frac{8}{2} = 4\,\text{cm} \).

Ověříme objem válce: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi \approx 502{,}65\,\text{cm}^3 \). Tento výpočet však neodpovídá zadanému objemu \( 628\,\text{cm}^3 \), proto poloměr není správně určený nebo je potřeba poloměr vypočítat z objemu.

Vyjádříme tedy poloměr z objemu: \( r^2 = \frac{V}{\pi v} = \frac{628}{\pi \cdot 10} \approx 20 \Rightarrow r \approx \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{cm} \).

Délka pláště válce je dána vzorcem: \( S = 2 \pi r v \). Dosadíme hodnoty: \( S = 2 \pi \cdot 4{,}47 \cdot 10 \approx 280{,}88\,\text{cm}^2 \).

Odpověď: Délka pláště válce s výškou \( 10\,\text{cm} \) a objemem \( 628\,\text{cm}^3 \) je přibližně \( 280{,}88\,\text{cm}^2 \).

Řešení:

Obsah pláště válce je dán vzorcem: \( S = 2\pi r v \). Vyjádříme poloměr: \( r = \frac{S}{2 \pi v} = \frac{314}{2 \pi \cdot 5} \approx 10\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je dvojnásobek poloměru: \( d = 2r = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové nádoby je \( 20\,\text{cm} \).

Řešení:

Objem velkého válce spočítáme podle vzorce: \( V_{velký} = \pi r^2 v = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^3 \).

Objem vyvrtané díry (malého válce) je: \( V_{malý} = \pi \cdot 1^2 \cdot 10 = 10\pi \approx 31{,}42\,\text{cm}^3 \).

Objem zbývajícího materiálu je rozdíl objemů: \( V_{zbytek} = 90\pi – 10\pi = 80\pi \approx 251{,}33\,\text{cm}^3 \).

Odpověď: Po vyvrtání díry zbylo z materiálu přibližně \( 251{,}33\,\text{cm}^3 \).

Řešení:

Objem válce je dán vzorcem: \( V = \pi r^2 v \). Vyjádříme poloměr: \( r^2 = \frac{V}{\pi v} = \frac{1\,500}{\pi \cdot 12} \approx 39{,}79 \).

Odtud: \( r \approx \sqrt{39{,}79} \approx 6{,}31\,\text{cm} \).

Odpověď: Poloměr podstavy válcové nádoby je přibližně \( 6{,}31\,\text{cm} \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Povrch válce je součet ploch dvou podstav a pláště: \( S = 2\pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r + v) \).

Dosadíme: \( S = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 8) = 2\pi \cdot 5 \cdot 13 = 130\pi \approx 408{,}41\,\text{cm}^2 \).

Odpověď: Povrch válce je přibližně \( 408{,}41\,\text{cm}^2 \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{15}{2} = 7{,}5\,\text{cm} \).

Objem válce spočítáme podle vzorce: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 7{,}5^2 \cdot 25 = \pi \cdot 56{,}25 \cdot 25 = 1406{,}25\pi \approx 4416{,}5\,\text{cm}^3 \).

Odpověď: Objem válce je přibližně \( 4416{,}5\,\text{cm}^3 \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{20}{2} = 10\,\text{cm} \).

Výška válce je dána vzorcem: \( v = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{10\,000}{\pi \cdot 10^2} = \frac{10\,000}{100\pi} \approx 31{,}83\,\text{cm} \).

Odpověď: Výška válcové nádrže je přibližně \( 31{,}83\,\text{cm} \).

Řešení:

Obsah pláště válce je: \( S = 2 \pi r v \). Vyjádříme poloměr: \( r = \frac{S}{2\pi v} = \frac{600}{2\pi \cdot 15} \approx 6{,}37\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je dvojnásobek poloměru: \( d = 2r \approx 12{,}74\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové plechovky je přibližně \( 12{,}74\,\text{cm} \).

Řešení:

Objem válce je \( V = \pi r^2 v \), tedy poloměr získáme: \( r^2 = \frac{V}{\pi v} = \frac{2\,000}{\pi \cdot 20} = \frac{100}{\pi} \approx 31{,}83 \).

Poloměr je \( r \approx \sqrt{31{,}83} \approx 5{,}64\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je \( d = 2r \approx 11{,}28\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové nádoby je přibližně \( 11{,}28\,\text{cm} \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75\,\text{m} \).

Objem válce spočítáme: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 0{,}75^2 \cdot 3 = \pi \cdot 0{,}5625 \cdot 3 \approx 5{,}298\,\text{m}^3 \).

Přepočet na litry: \( 1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l} \Rightarrow V \approx 5298\,\text{l} \).

Odpověď: Do válcové nádrže se vejde přibližně \( 5298\,\text{l} \) vody.

Řešení:

Nejprve převedeme hmotnost na gramy: \( 8\,\text{kg} = 8\,000\,\text{g} \).

Objem tyče vypočteme z hustoty: \( V = \frac{m}{\rho} = \frac{8\,000}{7{,}5} \approx 1\,066{,}67\,\text{cm}^3 \).

Odpověď: Objem válcové tyče je přibližně \( 1\,066{,}67\,\text{cm}^3 \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{40}{2} = 20\,\text{cm} \).

Výška hladiny vody je polovina výšky nádoby: \( v = \frac{1\,\text{m}}{2} = 0{,}5\,\text{m} = 50\,\text{cm} \).

Objem vody je: \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 20^2 \cdot 50 = \pi \cdot 400 \cdot 50 = 20\,000\pi \approx 62\,831{,}85\,\text{cm}^3 \).

Přepočet na litry: \( 1\,000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l} \Rightarrow V \approx 62{,}83\,\text{l} \).

Odpověď: Objem vody v nádrži je přibližně \( 62{,}83\,\text{l} \).

Řešení:

Vzorec pro obsah pláště válce je \( S = 2\pi r v \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( v \) je výška válce.

Dosadíme známé hodnoty a vyjádříme poloměr: \( r = \frac{S}{2\pi v} = \frac{900}{2\pi \cdot 30} = \frac{900}{60\pi} \approx 4.77\,\text{cm} \).

Průměr válce je dvojnásobek poloměru, tedy \( d = 2r \approx 9.54\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr válcového plechu je přibližně \( 9.54\,\text{cm} \).

Řešení:

Poloměr podstavy je polovina průměru: \( r = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm} \).

Objem válce je dán vzorcem \( V = \pi r^2 v \), kde \( v \) je výška.

Výšku vyjádříme jako \( v = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\,000}{\pi \cdot 6^2} = \frac{2\,000}{\pi \cdot 36} \approx 17.7\,\text{cm} \).

Odpověď: Výška válcové nádoby je přibližně \( 17.7\,\text{cm} \).

Řešení:

Nejdříve převedeme objem z litrů na kubické centimetry: \( 15\,000\,\text{l} = 15\,000\,\text{dm}^3 = 15\,000\,000\,\text{cm}^3 \).

Výšku převedeme na centimetry: \( v = 2\,\text{m} = 200\,\text{cm} \).

Vzorec pro objem válce: \( V = \pi r^2 v \). Poloměr tedy vypočteme jako \( r = \sqrt{\frac{V}{\pi v}} = \sqrt{\frac{15\,000\,000}{\pi \cdot 200}} \approx 138.6\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je dvojnásobek poloměru: \( d = 2r \approx 277.2\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové nádrže je přibližně \( 277.2\,\text{cm} \).

Řešení:

Hustota materiálu je definována jako hmotnost dělená objemem: \( \rho = \frac{m}{V} \).

Převedeme hmotnost na gramy: \( 5\,\text{kg} = 5\,000\,\text{g} \).

Dosadíme hodnoty: \( \rho = \frac{5\,000}{3\,000} \approx 1.67\,\text{g/cm}^3 \).

Odpověď: Hustota materiálu válcové tyče je přibližně \( 1.67\,\text{g/cm}^3 \).

Řešení:

Poloměr podstavy je \( r = \frac{80}{2} = 40\,\text{cm} \), výška je \( v = 3\,\text{m} = 300\,\text{cm} \).

Objem válce spočítáme podle vzorce \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 40^2 \cdot 300 = \pi \cdot 1\,600 \cdot 300 = 480\,000\pi \approx 1\,507\,964\,\text{cm}^3 \).

Objem převedeme na litry: \( 1\,507\,964\,\text{cm}^3 = 1\,507.96\,\text{l} \).

Odpověď: Objem válcové nádrže je přibližně \( 1\,507.96\,\text{l} \).

Řešení:

Objem převedeme na kubické centimetry: \( 3\,000\,\text{l} = 3\,000\,000\,\text{cm}^3 \).

Výšku převedeme na centimetry: \( v = 1\,\text{m} = 100\,\text{cm} \).

Vyjádříme poloměr: \( r = \sqrt{\frac{V}{\pi v}} = \sqrt{\frac{3\,000\,000}{\pi \cdot 100}} \approx 30.0\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je \( d = 2r = 60\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr válcové nádoby je přibližně \( 60\,\text{cm} \).

Řešení:

Obsah pláště je \( S = 2\pi r v \). Vyjádříme poloměr: \( r = \frac{S}{2\pi v} = \frac{250}{2\pi \cdot 12} \approx 3.54\,\text{cm} \).

Průměr je dvojnásobek poloměru: \( d = 2r \approx 7.08\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr válcové plechovky je přibližně \( 7.08\,\text{cm} \).

Řešení:

Poloměr je polovina průměru: \( r = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm} \).

Výška válce je \( v = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{5\,000}{\pi \cdot 5^2} = \frac{5\,000}{\pi \cdot 25} \approx 63.66\,\text{cm} \).

Odpověď: Výška válcové nádrže je přibližně \( 63.66\,\text{cm} \).

Řešení:

Objem válce spočítáme podle vzorce \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 3^2 \cdot 15 = 135\pi \approx 424.12\,\text{cm}^3 \).

Odpověď: Objem válcové tyče je přibližně \( 424.12\,\text{cm}^3 \).

Řešení:

Poloměr podstavy je \( r = \frac{2}{2} = 1\,\text{m} = 100\,\text{cm} \), výška je \( v = 10\,\text{m} = 1\,000\,\text{cm} \).

Objem je \( V = \pi r^2 v = \pi \cdot 100^2 \cdot 1\,000 = 10\,000\,000\pi \approx 31\,415\,927\,\text{cm}^3 \).

Objem v litrech je přibližně \( 31\,415.9\,\text{l} \).

Odpověď: Objem válcové nádrže je přibližně \( 31\,415.9\,\text{l} \).

Řešení:

Objem převedeme na kubické centimetry: \( 1\,200\,\text{l} = 1\,200\,000\,\text{cm}^3 \).

Výška \( v = 80\,\text{cm} \).

Vyjádříme poloměr: \( r = \sqrt{\frac{V}{\pi v}} = \sqrt{\frac{1\,200\,000}{\pi \cdot 80}} \approx 69.18\,\text{cm} \).

Průměr podstavy je \( d = 2r \approx 138.36\,\text{cm} \).

Odpověď: Průměr podstavy válcové nádoby je přibližně \( 138.36\,\text{cm} \).