Aritmetická a geometrická posloupnost

Řešení příkladu:

V aritmetické posloupnosti platí vzorec pro \(a_n = a_1 + (n – 1) d\).

Dosadíme \(a_1 = 3\), \(d = 5\), \(n = 10\):

\(a_{10} = 3 + (10 – 1) \cdot 5 = 3 + 9 \cdot 5 = 3 + 45 = 48\)

Odpověď: \(10\)-tý člen je \(a_{10} = 48\).

Řešení příkladu:

Pro aritmetickou posloupnost platí:

\(a_n = a_1 + (n – 1) d\)

Máme:

\(a_5 = a_1 + 4d = 20\)

\(a_8 = a_1 + 7d = 32\)

Odečteme první rovnici od druhé:

\((a_1 + 7d) – (a_1 + 4d) = 32 – 20 \Rightarrow 3d = 12 \Rightarrow d = 4\)

Dosadíme zpět do první rovnice:

\(a_1 + 4 \cdot 4 = 20 \Rightarrow a_1 + 16 = 20 \Rightarrow a_1 = 4\)

Odpověď: \(a_1 = 4\), \(d = 4\).

Řešení příkladu:

Součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti je dán vzorcem:

\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\)

Nejdříve spočítáme \(a_{15}\):

\(a_{15} = 7 + (15 – 1) \cdot 3 = 7 + 14 \cdot 3 = 7 + 42 = 49\)

Dosadíme do vzorce pro součet:

\(S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (7 + 49) = \frac{15}{2} \cdot 56 = 15 \cdot 28 = 420\)

Odpověď: Součet prvních \(15\) členů je \(420\).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet prvních \(n\) členů:

\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n – 1) d)\)

Dosadíme \(S_{12} = 78\), \(a_1 = 2\), \(n = 12\):

\(78 = \frac{12}{2} \cdot (2 \cdot 2 + 11d) = 6 \cdot (4 + 11d) = 24 + 66d\)

Upravíme rovnici:

\(78 = 24 + 66d \Rightarrow 78 – 24 = 66d \Rightarrow 54 = 66d \Rightarrow d = \frac{54}{66} = \frac{9}{11}\)

Odpověď: Diference je \(\frac{9}{11}\).

Řešení příkladu:

Vzorec pro součet:

\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\)

Dosadíme známé hodnoty:

\(210 = \frac{20}{2} \cdot (3 + a_{20}) = 10 \cdot (3 + a_{20})\)

Dělíme obě strany rovnice \(10\):

\(21 = 3 + a_{20} \Rightarrow a_{20} = 21 – 3 = 18\)

Odpověď: \(20\)-tý člen je \(a_{20} = 18\).

Řešení příkladu:

Chceme najít \(n\), pro které platí \(a_n = 0\).

Vzorcem pro člen:

\(a_n = a_1 + (n – 1) d\)

Dosadíme:

\(0 = 10 + (n – 1) \cdot (-2) \Rightarrow 0 = 10 – 2(n – 1)\)

Upravíme:

\(2(n – 1) = 10 \Rightarrow n – 1 = 5 \Rightarrow n = 6\)

Odpověď: \(6\)-tý člen je roven \(0\).

Řešení příkladu:

Máme dvě rovnice:

\(a_3 = a_1 + 2d = 14\)

\(a_7 = a_1 + 6d = 26\)

Odečteme první od druhé:

\((a_1 + 6d) – (a_1 + 2d) = 26 – 14 \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3\)

Dosadíme \(d = 3\) do první rovnice:

\(a_1 + 2 \cdot 3 = 14 \Rightarrow a_1 + 6 = 14 \Rightarrow a_1 = 8\)

Součet prvních \(10\) členů je:

\(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2a_1 + (10 – 1) d) = 5 \cdot (2 \cdot 8 + 9 \cdot 3) = 5 \cdot (16 + 27) = 5 \cdot 43 = 215\)

Odpověď: Součet prvních \(10\) členů je \(215\).

Řešení příkladu:

Máme:

\(S_8 = \frac{8}{2} (2a_1 + 7d) = 100\)

\(a_8 = a_1 + 7d = 20\)

První rovnice:

\(4 (2a_1 + 7d) = 100 \Rightarrow 2a_1 + 7d = 25\)

Druhá rovnice:

\(a_1 + 7d = 20\)

Odečteme druhou rovnici od první:

\((2a_1 + 7d) – (a_1 + 7d) = 25 – 20 \Rightarrow a_1 = 5\)

Dosadíme zpět do druhé rovnice:

\(5 + 7d = 20 \Rightarrow 7d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{7}\)

Odpověď: \(a_1 = 5\), \(d = \frac{15}{7}\).

Řešení příkladu:

Součet členů od \(k\)-tého do \(m\)-tého je součet prvních \(m\) členů minus součet prvních \(k-1\) členů:

\(S = S_{15} – S_4\)

Nejdříve spočítáme \(a_1\):

\(a_5 = a_1 + 4d = 12 \Rightarrow a_1 = 12 – 4 \cdot 2 = 12 – 8 = 4\)

Spočítáme součet prvních \(15\) členů:

\(S_{15} = \frac{15}{2} (2a_1 + 14d) = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 2) = \frac{15}{2} (8 + 28) = \frac{15}{2} \cdot 36 = 15 \cdot 18 = 270\)

Spočítáme součet prvních \(4\) členů:

\(S_4 = \frac{4}{2} (2 \cdot 4 + 3 \cdot 2) = 2 (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28\)

Součet členů od \(5\)-tého do \(15\)-tého členu:

\(S = 270 – 28 = 242\)

Odpověď: Součet je \(242\).

Řešení příkladu:

Nejdříve najdeme diferenci \(d\):

\(a_{12} = a_1 + 11d = 50 \Rightarrow 8 + 11d = 50 \Rightarrow 11d = 42 \Rightarrow d = \frac{42}{11}\)

Součet členů od \(3\)-tího do \(10\)-tého členu je:

\(S = S_{10} – S_2\)

Vzorec pro součet:

\(S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)\)

Spočítáme \(S_{10}\):

\(S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 8 + 9 \cdot \frac{42}{11}) = 5 \left(16 + \frac{378}{11}\right) = 5 \left(\frac{176}{11} + \frac{378}{11}\right) = 5 \cdot \frac{554}{11} = \frac{2770}{11}\)

Spočítáme \(S_2\):

\(S_2 = \frac{2}{2} (2 \cdot 8 + (2-1) \cdot \frac{42}{11}) = 1 \left(16 + \frac{42}{11}\right) = \frac{176}{11} + \frac{42}{11} = \frac{218}{11}\)

Součet od \(3\)-tího do \(10\)-tého členu:

\(S = \frac{2770}{11} – \frac{218}{11} = \frac{2552}{11} = 232\)

Odpověď: Součet členů od \(3\)-tího do \(10\)-tého členu je \(232\).

Řešení příkladu:

Máme aritmetickou posloupnost s prvním členem \( a_1 = 7 \) a součet prvních 10 členů \( S_{10} = 235 \). Víme, že součet \( n \) členů aritmetické posloupnosti je dán vzorcem

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)

Dosadíme \( n=10 \), \( a_1 = 7 \) a \( S_{10} = 235 \):

\( 235 = \frac{10}{2} (2 \cdot 7 + 9d) \Rightarrow 235 = 5 (14 + 9d) \Rightarrow 235 = 70 + 45d \)

Odečteme 70 od obou stran:

\( 235 – 70 = 45d \Rightarrow 165 = 45d \Rightarrow d = \frac{165}{45} = \frac{11}{3} \)

Diference \( d = \frac{11}{3} \).

Určíme 10. člen posloupnosti \( a_{10} \) podle vzorce:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow a_{10} = 7 + 9 \cdot \frac{11}{3} = 7 + 33 = 40 \)

Odpověď: Diference je \( \frac{11}{3} \), 10. člen je 40.

Řešení příkladu:

Máme \( a_1 = 15 \), \( d = -2 \) a chceme najít \( n \), že součet prvních \( n \) členů je 0:

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) = 0 \)

Dosadíme hodnoty:

\( 0 = \frac{n}{2} (2 \cdot 15 + (n-1)(-2)) \Rightarrow 0 = \frac{n}{2} (30 – 2n + 2) = \frac{n}{2} (32 – 2n) \)

Rovnice je splněna, pokud platí

\( n=0 \) (což není řešení, protože počet členů musí být kladný) nebo

\( 32 – 2n = 0 \Rightarrow 2n = 32 \Rightarrow n = 16 \)

Odpověď: Aby byl součet 0, je třeba sečíst prvních 16 členů.

Řešení příkladu:

Máme \( a_1 = 3 \), počet členů \( n = 20 \), poslední člen \( a_{20} = 45 \).

Nejprve určíme diferenci \( d \) podle vzorce:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 45 = 3 + 19d \Rightarrow 19d = 42 \Rightarrow d = \frac{42}{19} \)

Součet všech členů je:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{20}{2} (3 + 45) = 10 \cdot 48 = 480 \)

Odpověď: Diference je \( \frac{42}{19} \), součet všech členů je 480.

Řešení příkladu:

Máme \( a_1 = 12 \), \( n = 15 \), \( S_{15} = 525 \).

Vzorec pro součet je:

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \Rightarrow 525 = \frac{15}{2} (24 + 14d) \Rightarrow 525 = 7.5 (24 + 14d) \)

Dělíme rovnicí 7.5:

\( \frac{525}{7.5} = 24 + 14d \Rightarrow 70 = 24 + 14d \Rightarrow 14d = 46 \Rightarrow d = \frac{46}{14} = \frac{23}{7} \)

Určíme 15. člen \( a_{15} \):

\( a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow a_{15} = 12 + 14 \cdot \frac{23}{7} = 12 + 46 = 58 \)

Odpověď: 15. člen je 58.

Řešení příkladu:

Nechť \( a_1 \) je první člen a \( d \) diference.

Součet prvních 8 členů:

\( S_8 = \frac{8}{2} (2a_1 + 7d) = 4 (2a_1 + 7d) = 100 \Rightarrow 2a_1 + 7d = \frac{100}{4} = 25 \)

Součet dalších 8 členů (členy 9 až 16) je 164. Součet 16 členů je \( S_{16} \), pak platí

\( S_{16} – S_8 = 164 \Rightarrow S_{16} = S_8 + 164 = 100 + 164 = 264 \)

Vzorec pro \( S_{16} \):

\( S_{16} = \frac{16}{2} (2a_1 + 15d) = 8 (2a_1 + 15d) = 264 \Rightarrow 2a_1 + 15d = \frac{264}{8} = 33 \)

Máme soustavu dvou rovnic:

\( 2a_1 + 7d = 25 \)

\( 2a_1 + 15d = 33 \)

Odečteme první rovnici od druhé:

\( (2a_1 + 15d) – (2a_1 + 7d) = 33 – 25 \Rightarrow 8d = 8 \Rightarrow d = 1 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 2a_1 + 7 \cdot 1 = 25 \Rightarrow 2a_1 + 7 = 25 \Rightarrow 2a_1 = 18 \Rightarrow a_1 = 9 \)

Odpověď: První člen je 9, diference je 1.

Řešení příkladu:

Máme \( a_n = 85 \), \( a_1 = 5 \), \( d = 4 \).

Vzorec pro \( n \)-tý člen je:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 85 = 5 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow 85 – 5 = 4(n-1) \Rightarrow 80 = 4(n-1) \)

\( n-1 = \frac{80}{4} = 20 \Rightarrow n = 21 \)

Odpověď: Číslo členu je \( 21 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( n \) členů je dán vzorcem

\( S_n = 5n^2 + 3n \)

Součet je zároveň

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)

Dosadíme \( a_1 = 10 \):

\( 5n^2 + 3n = \frac{n}{2} (20 + (n-1)d) \Rightarrow 5n^2 + 3n = \frac{n}{2} (20 + nd – d) \)

Vynásobíme obě strany \( 2 \):

\( 2(5n^2 + 3n) = n(20 + nd – d) \Rightarrow 10n^2 + 6n = 20n + n^2 d – n d \)

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 10n^2 + 6n = 20n + n^2 d – n d \)

Přesuneme vše na levou stranu:

\( 10n^2 + 6n – 20n – n^2 d + n d = 0 \Rightarrow 10n^2 – n^2 d + 6n – 20n + n d = 0 \)

\( (10 – d) n^2 + (-14 + d) n = 0 \)

Protože rovnice platí pro všechna \( n \), musí být koeficienty u \( n^2 \) a \( n \) nulové:

\( \begin{cases} 10 – d = 0 \\ -14 + d = 0 \end{cases} \)

Z první rovnice \( d = 10 \), z druhé \( d = 14 \). To není možné, znamená to, že předpoklad o přesnosti musí být upraven.

Ověříme pro \( n=1 \):

\( S_1 = 5 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 = 8 \), ale \( a_1 = 10 \), což nesouhlasí, proto použijeme vzorec pro \( a_n \):

\( a_n = S_n – S_{n-1} = (5n^2 + 3n) – (5(n-1)^2 + 3(n-1)) \)

Rozepíšeme:

\( a_n = 5n^2 + 3n – [5(n^2 – 2n + 1) + 3n – 3] = 5n^2 + 3n – (5n^2 -10n +5 + 3n – 3) \)

\( a_n = 5n^2 + 3n – 5n^2 + 10n – 5 – 3n + 3 = 10n – 2 \)

První člen \( a_1 = 10 \cdot 1 – 2 = 8 \), což není \( 10 \), ale toto je správné pro posloupnost definovanou součtem.

Diference je \( d = a_2 – a_1 = (10 \cdot 2 – 2) – (10 \cdot 1 – 2) = 18 – 8 = 10 \).

Určíme 5. člen:

\( a_5 = 10 \cdot 5 – 2 = 50 – 2 = 48 \)

Odpověď: Diference je \( 10 \), 5. člen je \( 48 \).

Řešení příkladu:

Máme

\( a_3 = a_1 + 2d = 14 \)

\( a_7 = a_1 + 6d = 26 \)

Odečteme první rovnici od druhé:

\( (a_1 + 6d) – (a_1 + 2d) = 26 – 14 \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3 \)

Dosadíme zpět do první rovnice:

\( a_1 + 2 \cdot 3 = 14 \Rightarrow a_1 = 14 – 6 = 8 \)

Odpověď: První člen je \( 8 \), diference je \( 3 \).

Řešení příkladu:

Součet je \( S_n = 3n^2 + 5n \).

Určíme \( a_1 = S_1 = 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 3 + 5 = 8 \).

Výraz pro \( n \)-tý člen je

\( a_n = S_n – S_{n-1} = (3n^2 + 5n) – (3(n-1)^2 + 5(n-1)) \)

\( = 3n^2 + 5n – [3(n^2 – 2n + 1) + 5n – 5] = 3n^2 + 5n – (3n^2 – 6n + 3 + 5n – 5) \)

\( = 3n^2 + 5n – 3n^2 + 6n – 3 – 5n + 5 = 6n + 2 \)

Diference \( d = a_2 – a_1 \):

\( a_2 = 6 \cdot 2 + 2 = 14 \), \( a_1 = 8 \Rightarrow d = 14 – 8 = 6 \)

Odpověď: \( a_1 = 8 \), \( d = 6 \), \( a_n = 6n + 2 \).

Řešení příkladu:

Máme \( a_1 = 4 \), \( a_2 = 9 \).

Diference je

\( d = a_2 – a_1 = 9 – 4 = 5 \).

Součet prvních \( 12 \) členů:

\( S_{12} = \frac{12}{2} (2 \cdot 4 + (12-1) \cdot 5) = 6 (8 + 55) = 6 \cdot 63 = 378 \).

Odpověď: Součet prvních \( 12 \) členů je \( 378 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \) jako první člen a \( d \) jako diferenci.

Máme dvě rovnice:

\( a_5 = a_1 + 4d = 23 \)

\( a_{12} = a_1 + 11d = 51 \)

Odčteme první rovnici od druhé:

\( (a_1 + 11d) – (a_1 + 4d) = 51 – 23 \Rightarrow 7d = 28 \Rightarrow d = 4 \)

Dosadíme zpět:

\( a_1 + 4 \cdot 4 = 23 \Rightarrow a_1 + 16 = 23 \Rightarrow a_1 = 7 \)

Odpověď: \( a_1 = 7 \), \( d = 4 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \) jako první člen a \( d \) jako diferenci.

Součet prvních \( n \) členů je dán vztahem:

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)

Máme tedy dvě rovnice:

\( S_{10} = 5 (2a_1 + 9d) = 250 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 50 \)

\( S_{20} = 10 (2a_1 + 19d) = 700 \Rightarrow 2a_1 + 19d = 70 \)

Odečteme první rovnici od druhé:

\( (2a_1 + 19d) – (2a_1 + 9d) = 70 – 50 \Rightarrow 10d = 20 \Rightarrow d = 2 \)

Dosadíme zpět:

\( 2a_1 + 9 \cdot 2 = 50 \Rightarrow 2a_1 + 18 = 50 \Rightarrow 2a_1 = 32 \Rightarrow a_1 = 16 \)

Odpověď: \( a_1 = 16 \), \( d = 2 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \) první člen a \( d \) diferenci.

Máme:

\( a_3 = a_1 + 2d = 10 \)

\( S_6 = \frac{6}{2} (2a_1 + 5d) = 66 \Rightarrow 3 (2a_1 + 5d) = 66 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 22 \)

Z první rovnice vyjádříme \( a_1 \):

\( a_1 = 10 – 2d \)

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 2(10 – 2d) + 5d = 22 \Rightarrow 20 -4d +5d =22 \Rightarrow 20 + d =22 \Rightarrow d =2 \)

Dosadíme zpět pro \( a_1 \):

\( a_1 = 10 -2\cdot2 =6 \)

Posloupnost má tvar:

\( a_n = 6 +(n-1)\cdot2 =6+2n-2=2n+4 \)

Odpověď: \( a_1 =6 \), \( d =2 \), \( a_n =2n+4 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1=7 \), \( d \) je diferenci, \( S_{15}=345 \).

Vzorec pro součet:

\( S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \)

Dosadíme:

\( 345=\frac{15}{2}(2\cdot7+14d) \Rightarrow 345=\frac{15}{2}(14+14d) \Rightarrow 345=105(1+d) \)

\( 1+d=\frac{345}{105}=\frac{23}{7} \Rightarrow d=\frac{16}{7} \)

Určíme \( a_{15} \):

\( a_{15}=a_1+14d=7+14\cdot\frac{16}{7}=7+32=39 \)

Odpověď: \( d=\frac{16}{7} \), \( a_{15}=39 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( n \) členů je dán vzorcem:

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 210 = \frac{n}{2} (2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3) \)

\( 210 = \frac{n}{2} (10 + 3n -3) = \frac{n}{2} (3n+7) \)

Vynásobíme obě strany dvěma:

\( 420 = n(3n+7) \)

\( 3n^2+7n-420=0 \)

Diskriminant: \( \Delta = 7^2 -4\cdot3\cdot(-420) = 49+5040=5089 \)

\( \sqrt{5089} \approx 71.34 \)

\( n = \frac{-7+71.34}{6} \approx 10.72 \)

Nejbližší celé číslo větší než \( 10.72 \) je \( 11 \).

Odpověď: Je potřeba sečíst prvních \( 11 \) členů.

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 3 \), \( n = 30 \), \( S_{30} = 465 \).

Součet: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) \)

Dosadíme: \( 465 = \frac{30}{2}(2\cdot3+29d) \)

\( 465 = 15(6+29d) = 90+435d \)

\( 435d = 375 \Rightarrow d = \frac{375}{435} = \frac{25}{29} \)

30. člen: \( a_{30} = a_1+29d = 3+29\cdot\frac{25}{29} = 28 \)

Odpověď: \( d = \frac{25}{29} \), \( a_{30} = 28 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 6 \), \( n = 8 \), \( S_8 = 104 \).

Součet: \( S_8 = \frac{8}{2}(2\cdot6+7d) = 4(12+7d) \)

\( 4(12+7d)=104 \Rightarrow 48+28d=104 \)

\( 28d=56 \Rightarrow d=2 \)

Osmý člen: \( a_8 = a_1+7d = 6+14=20 \)

Odpověď: \( d=2 \), \( a_8=20 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1=12 \), \( a_n=42 \), \( S_n=270 \).

Součet: \( S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n) \)

\( 270=\frac{n}{2}(12+42)=27n \Rightarrow n=10 \)

Diference: \( a_n=a_1+(n-1)d \)

\( 42=12+9d \Rightarrow d=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} \)

Odpověď: \( n=10 \), \( d=\frac{10}{3} \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1=5 \), \( n=20 \), \( S_{\text{even}}=210 \).

Sudé členy: \( a_2,a_4,\dots,a_{20} \) — celkem \( 10 \) členů.

Každý sudý člen: \( a_{2k}=a_1+(2k-1)d \)

Součet sudých: \( S_{\text{even}}=10\cdot5+d\cdot(1+3+\dots+19) \)

Suma lichých čísel do \( 19 \): \( 1+3+\dots+19=10^2=100 \)

\( 210=50+100d \Rightarrow d=1.6 \)

Součet všech členů: \( S_{20}=\frac{20}{2}(2\cdot5+19\cdot1.6)=10(10+30.4)=404 \)

Odpověď: \( d=1.6 \), součet všech členů je \( 404 \).

Řešení příkladu:

Označíme první člen \( a_1 = 6 \), diferenci \( d \), počet členů \( n = 25 \).

Součet všech členů:

\( S_{25} = \frac{25}{2} (2 \cdot 6 + (25 – 1) \cdot d) = 550 \Rightarrow \frac{25}{2} (12 + 24d) = 550 \Rightarrow 25 (6 + 12d) = 550 \)

\( 150 + 300d = 550 \Rightarrow 300d = 400 \Rightarrow d = \frac{400}{300} = \frac{4}{3} \approx 1.3333 \)

Určíme \( 25. \) člen:

\( a_{25} = 6 + 24 \cdot \frac{4}{3} = 6 + 32 = 38 \)

Odpověď: \( d = \frac{4}{3} \), \( a_{25} = 38 \).

Řešení příkladu:

Označíme první člen \( a_1 = 10 \), diferenci \( d \), počet členů \( n = 20 \).

Máme \( a_{20} = a_1 + 19d = 70 \Rightarrow 10 + 19d = 70 \Rightarrow 19d = 60 \Rightarrow d = \frac{60}{19} \approx 3.1579 \).

Součet prvních \( 20 \) členů:

\( S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 10 + 19 \cdot \frac{60}{19}) = 10 (20 + 60) = 800 \)

Odpověď: \( d = \frac{60}{19} \), \( S_{20} = 800 \).

Řešení příkladu:

Označíme první člen \( a_1 \), diferenci \( d \).

Máme soustavu:

\( S_{15} = \frac{15}{2} (2a_1 + 14d) = 375 \Rightarrow 15 (a_1 + 7d) = 375 \Rightarrow a_1 + 7d = 25 \)

\( S_{10} = \frac{10}{2} (2a_1 + 9d) = 220 \Rightarrow 5 (2a_1 + 9d) = 220 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 44 \)

Z první rovnice vyjádříme \( a_1 \): \( a_1 = 25 – 7d \)

Dosadíme do druhé:

\( 2(25 – 7d) + 9d = 44 \Rightarrow 50 – 14d + 9d = 44 \Rightarrow 5d = 6 \Rightarrow d = \frac{6}{5} = 1.2 \)

Pak \( a_1 = 25 – 7 \cdot 1.2 = 16.6 \)

Odpověď: \( a_1 = 16.6 \), \( d = 1.2 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 8 \), diferenci \( d \), počet členů \( n = 12 \).

Součet:

\( S_{12} = \frac{12}{2} (2 \cdot 8 + 11d) = 312 \Rightarrow 6 (16 + 11d) = 312 \Rightarrow 11d = 36 \Rightarrow d = \frac{36}{11} \approx 3.2727 \)

\( a_{12} = 8 + 11 \cdot \frac{36}{11} = 44 \)

Odpověď: \( d = \frac{36}{11} \), \( a_{12} = 44 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 4 \), diferenci \( d \).

\( a_7 = 4 + 6d = 22 \Rightarrow d = 3 \)

\( S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 42) = 375 \)

Odpověď: \( d = 3 \), \( S_{15} = 375 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \), \( d = 2 \), \( n = 20 \).

\( S_{20} = \frac{20}{2} (2a_1 + 38) = 820 \Rightarrow a_1 = 22 \)

\( a_{20} = 22 + 38 = 60 \)

Odpověď: \( a_1 = 22 \), \( a_{20} = 60 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 3 \), \( n = 30 \), diferenci \( d \).

\( S_{30} = \frac{30}{2} (6 + 29d) = 1080 \Rightarrow d = \frac{66}{29} \approx 2.2759 \)

\( a_{30} = 3 + 66 = 69 \)

Odpověď: \( d = \frac{66}{29} \), \( a_{30} = 69 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 12 \), diferenci \( d \).

\( a_{10} = 12 + 9d = 42 \Rightarrow d = \frac{10}{3} \approx 3.3333 \)

\( S_{10} = 270 \)

Odpověď: \( d = \frac{10}{3} \), \( S_{10} = 270 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 6 \), \( n = 18 \), diferenci \( d \).

Počet lichých členů je \( 9 \): \( a_1, a_3, \dots, a_{17} \).

Součet lichých členů:

\( S_{\text{odd}} = 54 + 72d = 198 \Rightarrow d = 2 \)

Odpověď: \( d = 2 \).

Řešení příkladu:

\( a_1 = 7 \), \( d = 3 \)

Počet členů je \( 11 \)

\( S = 420 – 46 = 374 \)

Odpověď: \( S = 374 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 5 \), diferenci \( d \), počet členů \( n = 30 \).

Máme \( a_{30} = a_1 + 29d = 85 \Rightarrow 5 + 29d = 85 \Rightarrow 29d = 80 \Rightarrow d = \frac{80}{29} \approx 2.7586 \).

Součet:

\( S_{30} = \frac{30}{2} (2a_1 + 29d) = 1200 \Rightarrow 15 (10 + 29d) = 1200 \Rightarrow 10 + 29d = 80 \Rightarrow 29d = 70 \Rightarrow d = \frac{70}{29} \approx 2.4138 \).

Zde je rozpor mezi zadáním a výpočtem, protože \( d \) vyšlo dvakrát rozdílně.

Proto správně označíme \( a_1 \) jako neznámé a řešíme soustavu:

\( a_1 + 29d = 85 \)

\( 15(2a_1 + 29d) = 1200 \Rightarrow 2a_1 + 29d = 80 \)

Z první rovnice \( a_1 = 85 – 29d \)

Dosadíme do druhé:

\( 2(85 – 29d) + 29d = 80 \Rightarrow 170 – 58d + 29d = 80 \Rightarrow 170 – 29d = 80 \Rightarrow 29d = 90 \Rightarrow d = \frac{90}{29} \approx 3.1034 \)

\( a_1 = 85 – 29 \cdot \frac{90}{29} = 85 – 90 = -5 \)

Odpověď: \( a_1 = -5 \), \( d = \frac{90}{29} \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \) a \( d \).

Máme:

\( S_{12} = \frac{12}{2} (2a_1 + 11d) = 252 \Rightarrow 2a_1 + 11d = 42 \)

\( S_7 = \frac{7}{2} (2a_1 + 6d) = 133 \Rightarrow a_1 + 3d = 19 \)

Z první rovnice:

\( a_1 = \frac{42 – 11d}{2} \)

Dosadíme do druhé:

\( \frac{42 – 11d}{2} + 3d = 19 \Rightarrow 42 – 11d + 6d = 38 \Rightarrow -5d = -4 \Rightarrow d = \frac{4}{5} = 0.8 \)

Pak:

\( a_1 = \frac{42 – 11 \cdot 0.8}{2} = 16.6 \)

Odpověď: \( a_1 = 16.6 \), \( d = 0.8 \).

Řešení příkladu:

Počet členů od \( 4. \) do \( 10. \) je \( 10 – 4 + 1 = 7 \).

První člen této podposloupnosti je \( a_4 = 3 + 3 \cdot 4 = 15 \).

Součet:

\( S = \frac{7}{2} (2 \cdot 15 + (7 – 1) \cdot 4) = 189 \)

Odpověď: \( S = 189 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 5 \), \( d \), \( n = 40 \).

Součet:

\( S_{40} = \frac{40}{2} (2 \cdot 5 + 39d) = 820 \Rightarrow d = \frac{31}{39} \approx 0.7949 \)

\( a_{40} = 36 \)

Odpověď: \( d = \frac{31}{39} \), \( a_{40} = 36 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 2 \), \( d \), \( n = 25 \).

Součet:

\( d = 2 \), \( a_{25} = 50 \)

Odpověď: \( d = 2 \), \( a_{25} = 50 \).

Řešení příkladu:

\( d = \frac{36}{17} \approx 2.1176 \), \( a_{18} = 43 \)

Odpověď: \( d = \frac{36}{17} \), \( a_{18} = 43 \).

Řešení příkladu:

\( S_{20} = -15 \)

Odpověď: \( S_{20} = -15 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 8 \), diferenci \( d \).

Máme:

\( a_{10} = 8 + 9d = 38 \Rightarrow 9d = 30 \Rightarrow d = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \approx 3.3333 \)

\( a_{15} = 8 + 14d = 63 \Rightarrow 14d = 55 \Rightarrow d = \frac{55}{14} \approx 3.9286 \)

Rozpor, proto určíme správně \( a_1 \) a \( d \) jako neznámé:

Z první rovnice \( 8 + 9d = 38 \) nesouhlasí, takže použijeme neznámé \( a_1 \) a \( d \) přímo:

\( a_1 + 9d = 38 \)

\( a_1 + 14d = 63 \)

Odečteme:

\( (a_1 + 14d) – (a_1 + 9d) = 63 – 38 \Rightarrow 5d = 25 \Rightarrow d = 5 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( a_1 + 9 \cdot 5 = 38 \Rightarrow a_1 = 38 – 45 = -7 \)

Součet prvních \( 15 \) členů:

\( S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot (-7) + 14 \cdot 5) = \frac{15}{2} (-14 + 70) = \frac{15}{2} \cdot 56 = 15 \cdot 28 = 420 \)

Odpověď: \( a_1 = -7 \), \( d = 5 \), \( S_{15} = 420 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 4 \), diferenci \( d \), \( n = 16 \).

Součet:

\( S_{16} = \frac{16}{2} (2 \cdot 4 + 15d) = 544 \Rightarrow 8 (8 + 15d) = 544 \Rightarrow 8 + 15d = 68 \Rightarrow 15d = 60 \Rightarrow d = 4 \)

\( 16. \) člen:

\( a_{16} = 4 + 15 \cdot 4 = 4 + 60 = 64 \)

Odpověď: \( d = 4 \), \( a_{16} = 64 \).

Řešení příkladu:

\( a_1 = -3 \), \( d = 2 \), \( n = 50 \).

Součet:

\( S_{50} = \frac{50}{2} (2 \cdot (-3) + 49 \cdot 2) = 25 (-6 + 98) = 25 \cdot 92 = 2300 \)

Odpověď: \( S_{50} = 2300 \).

Řešení příkladu:

\( a_1 = 3 \), \( q = 2 \), \( n = 8 \).

\( 8. \) člen:

\( a_8 = a_1 \cdot q^{7} = 3 \cdot 2^{7} = 3 \cdot 128 = 384 \).

Součet prvních \( 8 \) členů:

\( S_8 = a_1 \cdot \frac{q^{8} – 1}{q – 1} = 3 \cdot \frac{2^{8} – 1}{2 – 1} = 3 \cdot \frac{256 – 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765 \).

Odpověď: \( a_8 = 384 \), \( S_8 = 765 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 5 \), \( q \), \( n = 6 \).

Máme \( 4. \) člen:

\( a_4 = a_1 \cdot q^{3} = 40 \Rightarrow 5 q^{3} = 40 \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2 \).

Součet prvních \( 6 \) členů:

\( S_6 = 5 \cdot \frac{2^{6} – 1}{2 – 1} = 5 \cdot \frac{64 – 1}{1} = 5 \cdot 63 = 315 \).

Odpověď: \( q = 2 \), \( S_6 = 315 \).

Řešení příkladu:

\( a_1 = 2 \), \( q = \frac{1}{3} \), \( n = 5 \).

Součet prvních \( 5 \) členů:

\( S_5 = 2 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^5 – 1}{\frac{1}{3} – 1} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{243} – 1}{\frac{1}{3} – 1} = 2 \cdot \frac{-\frac{242}{243}}{-\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{726}{243} = \frac{242}{81} \approx 2.9877 \).

Odpověď: \( S_5 = \frac{242}{81} \approx 2.9877 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 9 \), \( q \), \( n = 7 \).

Součet:

\( S_7 = 9 \cdot \frac{q^{7} – 1}{q – 1} = 765 \).

Máme rovnici:

\( \frac{q^{7} – 1}{q – 1} = \frac{765}{9} = 85 \Rightarrow q^{7} – 1 = 85 (q – 1) = 85q – 85 \Rightarrow q^{7} – 85 q + 84 = 0 \).

Pro reálné řešení zkusíme jednoduchá čísla: \( q=3 \Rightarrow 3^{7} – 85 \cdot 3 + 84 = 2187 – 255 + 84 = 2016 \neq 0 \).

Zkusíme \( q=2 \):

\( 2^{7} – 85 \cdot 2 + 84 = 128 – 170 + 84 = 42 \neq 0 \).

Zkusíme \( q=1.5 \):

Vypočítáme \( 1.5^{7} \approx 17.1 \),

\( 17.1 – 85 \cdot 1.5 + 84 = 17.1 – 127.5 + 84 = -26.4 \neq 0 \).

Řešení lze nalézt numericky, ale zadaná hodnota je zřejmě přibližná.

Alternativně lze zkusit geometrickou posloupnost s \( q = 2 \) a zjistit součet.

Protože přesné řešení přesahuje základní úroveň, doporučuje se použití numerických metod (např. Newtonova metoda).

Řešení příkladu:

\( a_1 = 81 \), \( q = \frac{1}{3} \), \( n = 6 \).

\( 6. \) člen:

\( a_6 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 81 \cdot \frac{1}{243} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3} \).

Součet:

\( S_6 = 81 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^6 – 1}{\frac{1}{3} – 1} = 81 \cdot \frac{\frac{1}{729} – 1}{-\frac{2}{3}} = 81 \cdot \frac{-\frac{728}{729}}{-\frac{2}{3}} = 81 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81 \cdot 728 \cdot 3}{729 \cdot 2} = \frac{176604}{1458} = 121.11 \approx \)

Odpověď: \( a_6 = \frac{1}{3} \), \( S_6 \approx 121.11 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 16 \), \( q \), \( n = 5 \).

Součet:

\( S_5 = 16 \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 30 \Rightarrow \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = \frac{30}{16} = 1.875 \).

Zkoušíme hodnoty \( q \):

Pro \( q = \frac{1}{2} \) platí:

\( \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 – 1}{\frac{1}{2} – 1} = \frac{\frac{1}{32} – 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = \frac{31}{32} \cdot 2 = \frac{62}{32} = 1.9375 \approx 1.875 \)

Hodnota je blízko, takže \( q \approx \frac{1}{2} \).

Odpověď: \( q \approx \frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 \), \( q = 2 \), \( n = 4 \).

Součet prvních 4 členů je dán vzorcem:

\[ S_4 = a_1 \cdot \frac{q^{4} – 1}{q – 1} = a_1 \cdot \frac{2^{4} – 1}{2 – 1} = a_1 \cdot \frac{16 – 1}{1} = 15 a_1 = 120 \]

Vyjádříme první člen:

\[ a_1 = \frac{120}{15} = 8 \]

Určíme hodnotu 5. členu:

\[ a_5 = a_1 \cdot q^{4} = 8 \cdot 16 = 128 \]

Odpověď: \( a_1 = 8 \), \( a_5 = 128 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = 12 \), kvocient \( q \), počet členů \( n = 3 \).

Vzorec pro součet prvních 3 členů:

\[ S_3 = a_1 \cdot \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = 21 \]

Dosadíme \( a_1 = 12 \):

\[ 12 \cdot \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = 21 \Rightarrow \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = \frac{21}{12} = 1.75 \]

Součet prvních 3 členů lze také vyjádřit jako:

\[ S_3 = a_1 (1 + q + q^2) \Rightarrow 1 + q + q^2 = 1.75 \]

Úpravou dostaneme kvadratickou rovnici:

\[ q^2 + q + 1 = 1.75 \Rightarrow q^2 + q – 0.75 = 0 \]

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce:

\[ q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-0.75)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3}}{2} = \frac{-1 \pm 2}{2} \]

Řešení jsou:

\[ q_1 = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5, \quad q_2 = \frac{-1 – 2}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Odpověď: Kvocient \( q = 0.5 \) nebo \( q = -1.5 \).

Řešení příkladu:

Máme \( a_1 = 1 \), \( q = 3 \).

Jednotlivé členy:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \Rightarrow a_3 = 3^{2} = 9, \quad a_4 = 3^{3} = 27, \quad a_5 = 3^{4} = 81, \quad a_6 = 3^{5} = 243 \]

Součet požadovaných členů:

\[ S = 9 + 27 + 81 + 243 = 360 \]

Alternativně lze využít součet geometrické posloupnosti:

\[ S = S_6 – S_2 = a_1 \frac{q^{6} – 1}{q – 1} – a_1 \frac{q^{2} – 1}{q – 1} = \frac{3^{6} – 1}{3 – 1} – \frac{3^{2} – 1}{3 – 1} = \frac{729 – 1}{2} – \frac{9 – 1}{2} = \frac{728}{2} – \frac{8}{2} = 364 – 4 = 360 \]

Odpověď: Součet členů od 3. do 6. je \( 360 \).

Řešení příkladu:

Součet nekonečné geometrické posloupnosti (platí, pokud \( |q| < 1 \)) je:

\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = 32 \]

Dosadíme \( a_1 = 16 \):

\[ \frac{16}{1 – q} = 32 \Rightarrow 1 – q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \Rightarrow q = \frac{1}{2} \]

Odpověď: Kvocient \( q = \frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Víme, že \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \).

Pro \( n=3: a_3 = a_1 q^{2} = 24 \),

Pro \( n=6: a_6 = a_1 q^{5} = 192 \).

Vydělíme rovnici \( a_6 \) rovnicí \( a_3 \):

\( \frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 q^{5}}{a_1 q^{2}} = q^{3} = \frac{192}{24} = 8 \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2 \).

Dosadíme zpět do rovnice \( a_3 = a_1 q^{2} = 24 \Rightarrow a_1 \cdot 2^{2} = 24 \Rightarrow a_1 \cdot 4 = 24 \Rightarrow a_1 = 6 \).

Odpověď: \( a_1 = 6 \), \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = a \), kvocient \( q \).

Součet prvních \( 5 \) členů:

\( S_5 = a \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 121 \).

Součet od \( 2. \) do \( 5. \) členu:

\( S_{2..5} = S_5 – a_1 = 121 – a = 120 \Rightarrow a = 1 \).

Dosadíme \( a=1 \) do rovnice pro \( S_5 \):

\( \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 121 \).

Rovnice je:

\( q^{5} – 1 = 121 (q – 1) \Rightarrow q^{5} – 1 = 121 q – 121 \Rightarrow q^{5} – 121 q + 120 = 0 \).

Zkoušíme jednoduchá čísla:

Pro \( q=1 \): \( 1 – 121 + 120 = 0 \), ale \( q=1 \) není platné pro geometrickou posloupnost.

Zkusíme \( q=5 \):

\( 5^{5} – 121 \cdot 5 + 120 = 3125 – 605 + 120 = 2640 \neq 0 \).

Zkusíme \( q=4 \):

\( 4^{5} – 121 \cdot 4 + 120 = 1024 – 484 + 120 = 660 \neq 0 \).

Zkusíme \( q=3 \):

\( 243 – 363 + 120 = 0 \) – kontrolujeme:

\( 243 – 363 = -120 + 120 = 0 \).

Platí \( q=3 \).

Odpověď: \( a_1 = 1 \), \( q = 3 \).

Řešení příkladu:

Označíme \( a_1 = a \), kvocient \( q \).

Máme:

\( a_2 + a_5 = a q + a q^{4} = a (q + q^{4}) = 30 \),

\( a_3 + a_6 = a q^{2} + a q^{5} = a (q^{2} + q^{5}) = 60 \).

Podělíme druhou rovnici první:

\( \frac{a (q^{2} + q^{5})}{a (q + q^{4})} = \frac{60}{30} \Rightarrow \frac{q^{2} + q^{5}}{q + q^{4}} = 2 \).

Vyjádříme jmenovatel:

\( \frac{q^{2} + q^{5}}{q + q^{4}} = \frac{q^{2}(1 + q^{3})}{q(1 + q^{3})} = \frac{q^{2}}{q} = q \Rightarrow q = 2 \).

Dosadíme do první rovnice:

\( a (2 + 2^{4}) = a (2 + 16) = 18 a = 30 \Rightarrow a = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \).

Odpověď: \( a_1 = \frac{5}{3} \), \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Součet nekonečné geometrické posloupnosti (pro \( |q|<1 \)) je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = 20 \Rightarrow \frac{5}{1 – q} = 20 \Rightarrow 1 – q = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \Rightarrow q = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).

Odpověď: \( q = \frac{3}{4} \).

Řešení příkladu:

\( a_3 = a_1 q^{2} = 40 \Rightarrow 10 q^{2} = 40 \Rightarrow q^{2} = 4 \Rightarrow q = \pm 2 \).

Pokud \( q = 2 \), součet prvních 5 členů:

\( S_5 = a_1 \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 10 \cdot \frac{2^{5} – 1}{2 – 1} = 10 \cdot \frac{32 – 1}{1} = 10 \cdot 31 = 310 \).

Pokud \( q = -2 \), součet prvních 5 členů:

\( S_5 = 10 \cdot \frac{(-2)^{5} – 1}{-2 – 1} = 10 \cdot \frac{-32 – 1}{-3} = 10 \cdot \frac{-33}{-3} = 10 \cdot 11 = 110 \).

Odpověď:

Pro \( q = 2 \) je \( S_5 = 310 \), pro \( q = -2 \) je \( S_5 = 110 \).

Řešení příkladu:

Součet nekonečné geometrické posloupnosti je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = 10 \Rightarrow \frac{6}{1 – q} = 10 \Rightarrow 1 – q = \frac{6}{10} = 0.6 \Rightarrow q = 0.4 \).

Druhý člen:

\( a_2 = a_1 q = 6 \times 0.4 = 2.4 \).

Odpověď: \( q = 0.4 \), \( a_2 = 2.4 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 6 \) členů:

\( S_6 = 3 \cdot \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 363 \Rightarrow \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 121 \).

To znamená, že:

\( q^{6} – 1 = 121 (q – 1) \Rightarrow q^{6} – 1 = 121 q – 121 \Rightarrow q^{6} – 121 q + 120 = 0 \).

Zkoušíme jednoduchá čísla:

Pro \( q=1 \) – není platné.

Pro \( q=2 \):

\( 64 – 242 + 120 = -58 \neq 0 \).

Pro \( q=3 \):

\( 729 – 363 + 120 = 486 \neq 0 \).

Pro \( q=5 \):

\( 15625 – 605 + 120 = 15140 \neq 0 \).

Zkusíme \( q=4 \):

\( 4096 – 484 + 120 = 3732 \neq 0 \).

Hledáme kořen numericky – hodnota blízká \( q \approx 1.7 \).

Řešení příkladu:

Součet geometrické posloupnosti je obecně:

\( S_n = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \).

Podle zadání:

\( 7 (1 – 3^n) = a_1 \frac{q^n – 1}{q – 1} \).

Upravíme levou stranu:

\( 7 (1 – 3^n) = 7 \cdot \frac{1 – 3^n}{1} \).

Porovnáme:

\( a_1 = 7 \), \( q = 3 \), protože:

\( \frac{q^n – 1}{q – 1} = \frac{3^n – 1}{3 – 1} = \frac{3^n – 1}{2} \), ale v zadání je \( 1 – 3^n \), tedy je to záporné, proto je třeba vzít \( q=3 \) a znamenko mínus vyřešit vhodným uspořádáním posloupnosti.

Vlastně zadání je záporné, ale součet prvních \( n \) členů je:

\( S_n = a_1 \frac{1 – q^n}{1 – q} \) pokud \( q > 1 \), tedy

\( S_n = 7 \cdot \frac{1 – 3^n}{1 – 3} = 7 \cdot \frac{1 – 3^n}{-2} = -\frac{7}{2}(1 – 3^n) \).

Z toho vyplývá, že skutečný \( a_1 = -\frac{7}{2} \), \( q=3 \).

Odpověď: \( a_1 = -\frac{7}{2} \), \( q = 3 \).

Řešení příkladu:

Součet členů od \( 3. \) do \( 7. \) je rozdíl součtů \( S_7 – S_2 \).

Součet prvních \( n \) členů:

\( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \).

Zadané:

\( S_7 – S_2 = 62 \Rightarrow 2 \cdot \frac{q^{7} – 1}{q – 1} – 2 \cdot \frac{q^{2} – 1}{q – 1} = 62 \Rightarrow 2 \cdot \frac{q^{7} – q^{2}}{q – 1} = 62 \Rightarrow \frac{q^{7} – q^{2}}{q – 1} = 31 \).

Nyní je třeba najít \( q \) z rovnice:

\( q^{7} – q^{2} = 31(q – 1) \Rightarrow q^{7} – q^{2} = 31 q – 31 \Rightarrow q^{7} – 31 q – q^{2} + 31 = 0 \).

Zkoušíme \( q=2 \):

\( 2^{7} – 31 \cdot 2 – 2^{2} + 31 = 128 – 62 – 4 + 31 = 93 \neq 0 \).

Zkoušíme \( q=3 \):

\( 2187 – 93 – 9 + 31 = 2116 \neq 0 \).

Zkoušíme \( q=1.5 \) numericky (odhad):

Hodnota blízko řešení, přibližně \( q \approx 1.4 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 6 \) členů je:

\( S_6 = a_1 \cdot \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 4 \cdot \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^6 – 1}{-\frac{1}{2} – 1} \).

Vypočítáme mocninu:

\( \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \).

Dosadíme do vzorce:

\( S_6 = 4 \cdot \frac{\frac{1}{64} – 1}{-\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{-\frac{63}{64}}{-\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{-63}{64} \cdot \frac{-2}{3} = 4 \cdot \frac{126}{192} = 4 \cdot \frac{21}{32} = \frac{84}{32} = \frac{21}{8} = 2.625 \).

Odpověď: Součet prvních \( 6 \) členů je \( \frac{21}{8} \) nebo \( 2.625 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 4 členů geometrické posloupnosti je:

\( S_4 = a_1 \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 80 \Rightarrow 5 \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 80 \Rightarrow \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 16 \).

Rovnice se přepíše na tvar:

\( q^4 – 1 = 16 (q – 1) \Rightarrow q^4 – 1 = 16q – 16 \Rightarrow q^4 – 16q + 15 = 0 \).

Zkoušíme jednoduché kořeny:

Pro \( q=1 \) není platné, pro \( q=3 \):

\( 81 – 48 + 15 = 48 \neq 0 \).

Pro \( q=5 \):

\( 625 – 80 + 15 = 560 \neq 0 \).

Numerickým odhadem nebo faktorizací lze nalézt přibližné řešení \( q \approx 2 \).

Pátý člen:

\( a_5 = a_1 q^{4} = 5 \times 2^{4} = 5 \times 16 = 80 \).

Odpověď: \( q \approx 2 \), \( a_5 = 80 \).

Řešení příkladu:

Kvocient:

\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{27}{9} = 3 \).

Součet prvních 5 členů:

\( S_5 = a_1 \cdot \frac{q^5 – 1}{q – 1} = 9 \cdot \frac{3^5 – 1}{3 – 1} = 9 \cdot \frac{243 – 1}{2} = 9 \cdot \frac{242}{2} = 9 \cdot 121 = 1089 \).

Odpověď: Součet prvních 5 členů je 1089.

Řešení příkladu:

Součet nekonečné geometrické posloupnosti, pokud \( |q| < 1 \), je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Odpověď: Součet nekonečné posloupnosti je 1.5.

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů:

\( S_3 = a_1 \cdot \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 14 \Rightarrow 8 \cdot \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 14 \Rightarrow \frac{q^3 – 1}{q – 1} = \frac{14}{8} = 1.75 \).

Víme, že:

\( \frac{q^3 – 1}{q – 1} = q^2 + q + 1 \Rightarrow q^2 + q + 1 = 1.75 \Rightarrow q^2 + q – 0.75 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-0.75)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3}}{2} = \frac{-1 \pm 2}{2} \).

Možnosti:

\( q_1 = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \), \( q_2 = \frac{-1 – 2}{2} = -1.5 \).

Protože \( q \) je kladné, \( q = 0.5 \).

Odpověď: \( q = 0.5 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 8 členů:

\( S_8 = a_1 \cdot \frac{q^{8} – 1}{q – 1} = 12 \cdot \frac{0.8^{8} – 1}{0.8 – 1} \).

Vypočítáme \( 0.8^{8} \approx 0.1678 \).

Dosadíme:

\( S_8 = 12 \cdot \frac{0.1678 – 1}{-0.2} = 12 \cdot \frac{-0.8322}{-0.2} = 12 \cdot 4.161 = 49.932 \).

Odpověď: Součet prvních 8 členů je přibližně 49.93.

Řešení příkladu:

Čtvrtý člen:

\( a_4 = a_1 q^{3} = 40 \Rightarrow 10 q^{3} = 40 \Rightarrow q^{3} = 4 \Rightarrow q = \sqrt[3]{4} \approx 1.5874 \).

Součet prvních 5 členů:

\( S_5 = 10 \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} \).

Vypočítáme \( q^5 = (q^3) \cdot (q^2) = 4 \times q^{2} \approx 4 \times (1.5874)^2 = 4 \times 2.52 = 10.08 \).

Dosadíme:

\( S_5 = 10 \cdot \frac{10.08 – 1}{1.5874 – 1} = 10 \cdot \frac{9.08}{0.5874} \approx 10 \cdot 15.46 = 154.6 \).

Odpověď: \( q \approx 1.5874 \), součet prvních 5 členů je přibližně 154.6.

Řešení příkladu:

Součet nekonečné geometrické posloupnosti je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = 10 \Rightarrow \frac{2}{1 – q} = 10 \Rightarrow 1 – q = \frac{2}{10} = 0.2 \Rightarrow q = 1 – 0.2 = 0.8 \).

Odpověď: \( q = 0.8 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 6 členů:

\( S_6 = 3 \cdot \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 240 \Rightarrow \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 80 \).

Rovnice:

\( q^{6} – 1 = 80 (q – 1) \Rightarrow q^{6} – 1 = 80q – 80 \Rightarrow q^{6} – 80q + 79 = 0 \).

Tuto rovnici řešíme numericky. Předpokládejme, že \( q \) je přibližně 2.

Ověříme pro \( q=2 \):

\( 2^{6} – 80 \times 2 + 79 = 64 – 160 + 79 = -17 \) (méně než 0, chceme nulu).

Pro \( q=3 \):

\( 729 – 240 + 79 = 568 \) (více než 0).

Pomocí metody půlení intervalu nalezneme \( q \approx 2.15 \).

Odpověď: \( q \approx 2.15 \).

Řešení příkladu:

Kvocient:

\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{6} = 1.5 \).

Součet prvních 10 členů:

\( S_{10} = 6 \cdot \frac{1.5^{10} – 1}{1.5 – 1} \).

Vypočítáme \( 1.5^{10} \approx 57.67 \).

Dosadíme:

\( S_{10} = 6 \cdot \frac{57.67 – 1}{0.5} = 6 \cdot \frac{56.67}{0.5} = 6 \cdot 113.34 = 680.04 \).

Odpověď: Součet prvních 10 členů je přibližně 680.04.

Řešení příkladu:

Třetí člen:

\( a_3 = a_1 q^{2} = 64 \Rightarrow 16 q^{2} = 64 \Rightarrow q^{2} = 4 \Rightarrow q = 2 \) (kladný kvocient).

Součet prvních 6 členů:

\( S_6 = 16 \cdot \frac{2^{6} – 1}{2 – 1} = 16 \cdot \frac{64 – 1}{1} = 16 \times 63 = 1008 \).

Odpověď: \( q = 2 \), součet prvních 6 členů je 1008.

Řešení příkladu:

Součet prvních 5 členů je:

\( S_5 = a_1 \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 105 \Rightarrow 7 \cdot \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 105 \Rightarrow \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = 15 \).

Víme, že:

\( \frac{q^{5} – 1}{q – 1} = q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1 = 15 \).

Hledáme \( q > 1 \) tak, aby:

\( q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1 = 15 \).

Zkusíme \( q = 1.5 \):

\( 1.5^{4} = 5.0625, \quad 1.5^{3} = 3.375, \quad 1.5^{2} = 2.25 \), tedy součet:

\( 5.0625 + 3.375 + 2.25 + 1.5 + 1 = 13.1875 \) (menší než 15).

Zkusíme \( q = 1.6 \):

\( 1.6^{4} = 6.5536, \quad 1.6^{3} = 4.096, \quad 1.6^{2} = 2.56 \), součet:

\( 6.5536 + 4.096 + 2.56 + 1.6 + 1 = 15.8096 \) (větší než 15).

Pomocí metody půlení intervalu odhadneme:

\( q \approx 1.55 \).

Odpověď: \( q \approx 1.55 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 4 členů je:

\( S_4 = 4 \cdot \frac{(-2)^4 – 1}{-2 – 1} = 4 \cdot \frac{16 – 1}{-3} = 4 \cdot \frac{15}{-3} = 4 \cdot (-5) = -20 \).

Odpověď: Součet prvních 4 členů je -20.

Řešení příkladu:

Čtvrtý člen:

\( a_4 = a_1 q^{3} = 200 \Rightarrow 25 q^{3} = 200 \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2 \).

Druhý člen:

\( a_2 = a_1 q = 25 \times 2 = 50 \).

Odpověď: \( q = 2 \), druhý člen je 50.

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů:

\( S_3 = 10 \cdot \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = 21 \Rightarrow \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = 2.1 \).

Víme, že:

\( \frac{q^{3} – 1}{q – 1} = q^{2} + q + 1 = 2.1 \Rightarrow q^{2} + q + 1 = 2.1 \Rightarrow q^{2} + q – 1.1 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} – 4 \cdot 1 \cdot (-1.1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4.4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5.4}}{2} \).

\( \sqrt{5.4} \approx 2.323 \).

Možnosti:

\( q_1 = \frac{-1 + 2.323}{2} = 0.6615 \), \( q_2 = \frac{-1 – 2.323}{2} = -1.6615 \).

Protože \( q > 0 \), platí \( q = 0.6615 \).

Odpověď: \( q \approx 0.6615 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 6 členů:

\( S_6 = 3 \cdot \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 192 \Rightarrow \frac{q^{6} – 1}{q – 1} = 64 \).

Rovnice:

\( q^{6} – 1 = 64 (q – 1) \Rightarrow q^{6} – 1 = 64q – 64 \Rightarrow q^{6} – 64q + 63 = 0 \).

Numericky řešíme, předpokládáme \( q \approx 2 \).

Pro \( q = 2 \):

\( 2^{6} – 64 \times 2 + 63 = 64 – 128 + 63 = -1 \) (blízko nule).

Pro \( q = 2.01 \):

Hodnota bude kladná, takže řešení je přibližně \( q \approx 2 \).

Odpověď: \( q \approx 2 \).

Řešení příkladu:

Součet nekonečné posloupnosti je:

\( S = \frac{a_1}{1 – q} = 100 \Rightarrow \frac{50}{1 – q} = 100 \Rightarrow 1 – q = \frac{50}{100} = 0.5 \Rightarrow q = 1 – 0.5 = 0.5 \).

Odpověď: \( q = 0.5 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 7 \) členů:

\( S_7 = \frac{q^{7} – 1}{q – 1} = 127 \).

Rovnice:

\( q^{7} – 1 = 127 (q – 1) \Rightarrow q^{7} – 1 = 127q – 127 \Rightarrow q^{7} – 127q + 126 = 0 \).

Hledáme \( q > 1 \). Zkusíme \( q = 2 \):

\( 2^{7} – 127 \times 2 + 126 = 128 – 254 + 126 = 0 \).

Rovnice je splněna pro \( q = 2 \).

Odpověď: \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Kvocient:

\( q = \frac{27}{9} = 3 \).

Součet prvních \( 5 \) členů:

\( S_5 = 9 \cdot \frac{3^{5} – 1}{3 – 1} = 9 \cdot \frac{243 – 1}{2} = 9 \cdot \frac{242}{2} = 9 \cdot 121 = 1089 \).

Odpověď: Součet prvních \( 5 \) členů je \( 1089 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních \( 4 \) členů:

\( S_4 = \frac{q^{4} – 1}{q – 1} = 15 \Rightarrow q^{4} – 1 = 15 (q – 1) \Rightarrow q^{4} – 1 = 15q – 15 \Rightarrow q^{4} – 15q + 14 = 0 \).

Zkusíme hodnoty:

Pro \( q=2 \): \( 16 – 30 + 14 = 0 \), rovnice je splněna.

Odpověď: \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Čtvrtý člen:

\( a_4 = a_1 q^{3} = 40 \Rightarrow 5 q^{3} = 40 \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2 \).

Součet prvních \( 4 \) členů:

\( S_4 = 5 \cdot \frac{2^{4} – 1}{2 – 1} = 5 \cdot \frac{16 – 1}{1} = 5 \times 15 = 75 \).

Odpověď: \( q = 2 \), součet prvních \( 4 \) členů je \( 75 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 4 členů je:

\( S_4 = 8 \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 120 \Rightarrow \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 15 \).

Platí: \( \frac{q^4 – 1}{q – 1} = q^3 + q^2 + q + 1 = 15 \).

Rovnice:

\( q^3 + q^2 + q + 1 = 15 \Rightarrow q^3 + q^2 + q = 14 \).

Zkusíme hodnoty:

Pro \( q=2 \): \( 8 + 4 + 2 = 14 \), rovnice platí.

Odpověď: \( q = 2 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů:

\( S_3 = 12 \cdot \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 26 \Rightarrow \frac{q^3 – 1}{q – 1} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \approx 2.1667 \).

Platí: \( q^2 + q + 1 = 2.1667 \Rightarrow q^2 + q – 1.1667 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 1.1667}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4.6668}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5.6668}}{2} \).

\( \sqrt{5.6668} \approx 2.38 \).

Možnosti:

\( q_1 = \frac{-1 + 2.38}{2} = 0.69 \), \( q_2 = \frac{-1 – 2.38}{2} = -1.69 \).

Odpověď: \( q \approx 0.69 \) (pokud \( q > 0 \)).

Řešení příkladu:

Druhý člen:

\( a_2 = 5 \cdot (-3) = -15 \).

Třetí člen:

\( a_3 = 5 \cdot (-3)^2 = 5 \cdot 9 = 45 \).

Součet prvních 4 členů:

\( S_4 = 5 \cdot \frac{(-3)^4 – 1}{-3 – 1} = 5 \cdot \frac{81 – 1}{-4} = 5 \cdot \frac{80}{-4} = 5 \cdot (-20) = -100 \).

Odpověď: \( a_2 = -15 \), \( a_3 = 45 \), \( S_4 = -100 \).

Řešení příkladu:

Kvocient:

\( q = \frac{8}{16} = 0.5 \).

Součet prvních 5 členů:

\( S_5 = 16 \cdot \frac{0.5^5 – 1}{0.5 – 1} = 16 \cdot \frac{0.03125 – 1}{-0.5} = 16 \cdot \frac{-0.96875}{-0.5} = 16 \times 1.9375 = 31 \).

Odpověď: \( q = 0.5 \), \( S_5 = 31 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 6 členů:

\( S_6 = 3 \cdot \frac{q^6 – 1}{q – 1} = 240 \Rightarrow \frac{q^6 – 1}{q – 1} = 80 \).

Rovnice:

\( q^6 – 1 = 80 (q – 1) \Rightarrow q^6 – 1 = 80q – 80 \Rightarrow q^6 – 80q + 79 = 0 \).

Zkusíme \( q=2 \):

\( 64 – 160 + 79 = -17 \), neplatí.

Zkusíme \( q=2.1 \):

\( 2.1^6 \approx 85.4 \), výpočet:

\( 85.4 – 168 + 79 = -3.6 \), stále záporné.

Zkusíme \( q=2.2 \):

\( 2.2^6 \approx 113.38 \), výpočet:

\( 113.38 – 176 + 79 = 16.38 \), kladné.

Řešení je mezi 2.1 a 2.2, přibližně \( q \approx 2.15 \).

Odpověď: \( q \approx 2.15 \).

Řešení příkladu:

Součet nekonečné posloupnosti:

\( S = \frac{7}{1 – q} = 14 \Rightarrow 1 – q = \frac{7}{14} = 0.5 \Rightarrow q = 0.5 \).

Odpověď: \( q = 0.5 \).

Řešení příkladu:

Třetí člen:

\( a_3 = a_1 q^{2} = 8 \Rightarrow 18 q^{2} = 8 \Rightarrow q^{2} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \Rightarrow q = \frac{2}{3} \) nebo \( q = -\frac{2}{3} \).

Součet prvních 4 členů:

\( S_4 = 18 \cdot \frac{q^{4} – 1}{q – 1} \).

Pro \( q = \frac{2}{3} \):

\( q^{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \).

\( S_4 = 18 \cdot \frac{\frac{16}{81} – 1}{\frac{2}{3} – 1} = 18 \cdot \frac{-\frac{65}{81}}{-\frac{1}{3}} = 18 \cdot \frac{-65/81}{-1/3} = 18 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = 18 \cdot \frac{195}{81} = 18 \cdot \frac{65}{27} = \frac{1170}{27} \approx 43.33 \).

Odpověď: \( q = \pm \frac{2}{3} \), součet prvních 4 členů přibližně 43.33 pro \( q = \frac{2}{3} \).

Řešení příkladu:

Pátý člen:

\( a_5 = 10 q^{4} = 160 \Rightarrow q^{4} = 16 \Rightarrow q = \sqrt[4]{16} = 2 \).

Součet prvních 5 členů:

\( S_5 = 10 \cdot \frac{2^{5} – 1}{2 – 1} = 10 \cdot (32 – 1) = 10 \cdot 31 = 310 \).

Odpověď: \( q = 2 \), \( S_5 = 310 \).

Řešení příkladu:

Součet prvních 3 členů:

\( S_3 = 6 \cdot \frac{q^3 – 1}{q – 1} = 21 \Rightarrow \frac{q^3 – 1}{q – 1} = \frac{21}{6} = 3.5 \).

Platí: \( q^2 + q + 1 = 3.5 \Rightarrow q^2 + q – 2.5 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( q = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 10}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2} \).

\( \sqrt{11} \approx 3.3166 \).

Možnosti:

\( q_1 = \frac{-1 + 3.3166}{2} = 1.1583 \), \( q_2 = \frac{-1 – 3.3166}{2} = -2.1583 \).

Odpověď: \( q \approx 1.158 \) (pokud \( q > 0 \)).

Řešení příkladu:

Součet prvních 4 členů:

\( S_4 = 4 \cdot \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 60 \Rightarrow \frac{q^4 – 1}{q – 1} = 15 \).

Platí: \( q^3 + q^2 + q + 1 = 15 \Rightarrow q^3 + q^2 + q = 14 \).

Zkusíme hodnoty:

Pro \( q=2 \): \( 8 + 4 + 2 = 14 \), rovnice platí.

Odpověď: \( q = 2 \).