Implikace – obměna,obrácení, negace

Řešení příkladu:

Označíme jednotlivé části výroku:

\( P = \text{Prší} \), \( Q = \text{Je mokro} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Jestliže prší, pak je mokro. Tento výrok vyjadřuje podmíněný vztah mezi dvěma situacemi.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Jestliže je mokro, pak prší. Tento výrok zaměňuje důsledek s podmínkou, ale nemusí být vždy pravdivý (např. mokro může být způsobeno rozlitou vodou).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Jestliže není mokro, pak neprší. Tato forma je logicky ekvivalentní s původní implikací.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Prší a zároveň není mokro. Tento výrok popírá platnost původní implikace.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Číslo je sudé} \), \( Q = \text{Číslo je dělitelné dvěma} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Každé sudé číslo je dělitelné dvěma.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Každé číslo dělitelné dvěma je sudé. Tento výrok je také pravdivý v oboru celých čísel.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud číslo není dělitelné dvěma, pak není sudé.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Číslo je sudé, ale není dělitelné dvěma. Tento výrok je logicky nepravdivý, protože odporuje definici sudého čísla.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Student studuje} \), \( Q = \text{Uspěje} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Pokud student studuje, uspěje.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud student uspěje, pak studoval. Tento výrok nemusí být vždy pravdivý.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud student neuspěje, pak nestudoval. Toto je logická obměna a je pravdivá, pokud je původní výrok pravdivý.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Student studuje, ale neuspěje. Toto popírá pravdivost původní implikace.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Číslo je kladné} \), \( Q = \text{Číslo je větší než 0} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Každé kladné číslo je větší než nula.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Každé číslo větší než nula je kladné. Tento výrok je také pravdivý.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud číslo není větší než nula, pak není kladné.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Číslo je kladné, ale není větší než nula. To odporuje definici kladného čísla.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Je pracovní den} \), \( Q = \text{Je škola} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Pokud je pracovní den, žáci mají školu.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud je škola, pak je pracovní den. To většinou platí, ale existují výjimky (např. sobotní školy).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud není škola, pak není pracovní den.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Je pracovní den, ale škola není. To odporuje původnímu výroku.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Máš mobil} \), \( Q = \text{Můžeš volat} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Pokud máš mobil, jsi schopný volat.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud můžeš volat, máš mobil. Nemusí být vždy pravdivé (např. veřejný telefon).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud nemůžeš volat, pak nemáš mobil.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Máš mobil, ale nemůžeš volat. To popírá platnost implikace.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Koupeš se} \), \( Q = \text{Jsi mokrý} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Pokud se koupeš, je logické, že jsi mokrý.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud jsi mokrý, pak ses koupal. Nemusí platit vždy.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud nejsi mokrý, pak ses nekoupal.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Koupeš se, ale nejsi mokrý. To je logicky nepravděpodobné.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Jsi zdravý} \), \( Q = \text{Nejsi u doktora} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Zdravý člověk nepotřebuje navštěvovat lékaře.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud nejsi u doktora, pak jsi zdravý. Nemusí být vždy pravda (např. nedostupnost lékaře).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud jsi u doktora, nejsi zdravý.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Jsi zdravý, ale přesto jsi u doktora. Výrok odporuje původnímu.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Je test} \), \( Q = \text{Musíš se připravit} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Pokud je test, očekává se, že se připravíš.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud se připravuješ, musí být test. Nemusí to být nutně pravda.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud ses nepřipravil, nebyl test.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Je test, ale ty ses nepřipravil.

Řešení příkladu:

\( P = \text{Je zima} \), \( Q = \text{Oblékni si bundu} \)

Impakace: \( P \Rightarrow Q \)

Význam: Když je venku zima, je vhodné si obléci bundu.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \)

Význam: Pokud sis oblékl bundu, je zima. To nemusí platit vždy.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

Význam: Pokud sis bundu neoblékl, není zima.

Negace: \( P \land \neg Q \)

Význam: Je zima, ale ty sis bundu neoblékl.

Řešení příkladu:

Výrok: „Je-li dnes pondělí, pak máme matematiku.“

Označíme: \( p \): Dnes je pondělí, \( q \): Máme matematiku.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Máme-li matematiku, pak je dnes pondělí.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nemáme-li matematiku, pak dnes není pondělí.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Dnes je pondělí a nemáme matematiku.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Když prší, tak beru deštník.“

Označíme: \( p \): Prší, \( q \): Beru deštník.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Budu-li mít deštník, pak prší.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Neberu-li deštník, pak neprší.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Prší a neberu deštník.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud mám hlad, jdu jíst.“

Označíme: \( p \): Mám hlad, \( q \): Jdu jíst.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Jdu-li jíst, pak mám hlad.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nejdu-li jíst, pak nemám hlad.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Mám hlad a nejdu jíst.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud je číslo sudé, pak je dělitelné dvěma.“

Označíme: \( p \): Číslo je sudé, \( q \): Číslo je dělitelné dvěma.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Je-li číslo dělitelné dvěma, pak je sudé.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Není-li číslo dělitelné dvěma, pak není sudé.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Číslo je sudé a není dělitelné dvěma.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Jestliže se učím, pak dostanu dobrou známku.“

Označíme: \( p \): Učím se, \( q \): Dostanu dobrou známku.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Dostanu-li dobrou známku, pak jsem se učil.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nedostanu-li dobrou známku, pak jsem se neučil.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Učím se a nedostanu dobrou známku.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Když svítí slunce, jdeme na výlet.“

Označíme: \( p \): Svítí slunce, \( q \): Jdeme na výlet.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Jdeme-li na výlet, pak svítí slunce.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nejdeme-li na výlet, pak nesvítí slunce.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Svítí slunce a nejdeme na výlet.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud je auto červené, je rychlé.“

Označíme: \( p \): Auto je červené, \( q \): Auto je rychlé.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Je-li auto rychlé, pak je červené.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Není-li auto rychlé, pak není červené.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Auto je červené a není rychlé.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Jestliže Petr běží, pak cvičí.“

Označíme: \( p \): Petr běží, \( q \): Petr cvičí.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Cvičí-li Petr, pak běží.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Necvičí-li Petr, pak neběží.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Petr běží a necvičí.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud máš kartu, můžeš vstoupit.“

Označíme: \( p \): Máš kartu, \( q \): Můžeš vstoupit.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Můžeš-li vstoupit, pak máš kartu.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nemůžeš-li vstoupit, pak nemáš kartu.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Máš kartu a nemůžeš vstoupit.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Jestliže jsi dospělý, máš občanku.“

Označíme: \( p \): Jsi dospělý, \( q \): Máš občanku.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Máš-li občanku, pak jsi dospělý.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nemáš-li občanku, pak nejsi dospělý.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Jsi dospělý a nemáš občanku.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Jestliže spím déle než osm hodin, cítím se odpočatý.“

Označíme: \( p \): Spím déle než osm hodin, \( q \): Cítím se odpočatý.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Cítím-li se odpočatý, pak jsem spal déle než osm hodin.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Necítím-li se odpočatý, pak jsem nespal déle než osm hodin.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Spím déle než osm hodin a necítím se odpočatý.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud je nula dělitelná pěti, pak je číslem násobkem pěti.“

Označíme: \( p \): Nula je dělitelná pěti, \( q \): Nula je násobkem pěti.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Je-li nula násobkem pěti, pak je dělitelná pěti.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Není-li nula násobkem pěti, pak není dělitelná pěti.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Nula je dělitelná pěti a není násobkem pěti.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud je kniha zajímavá, přečtu ji celou.“

Označíme: \( p \): Kniha je zajímavá, \( q \): Přečtu ji celou.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Přečtu-li ji celou, pak byla zajímavá.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nepřečtu-li ji celou, pak nebyla zajímavá.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Kniha je zajímavá a nepřečtu ji celou.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Když je číslo liché, není dělitelné dvěma.“

Označíme: \( p \): Číslo je liché, \( q \): Číslo není dělitelné dvěma.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Není-li číslo dělitelné dvěma, pak je liché.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Je-li číslo dělitelné dvěma, pak není liché.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Číslo je liché a je dělitelné dvěma.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud dostaneš pozvání, přijdeš na oslavu.“

Označíme: \( p \): Dostaneš pozvání, \( q \): Přijdeš na oslavu.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Přijdeš-li na oslavu, pak jsi dostal pozvání.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nepřijdeš-li na oslavu, pak jsi nedostal pozvání.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Dostaneš pozvání a nepřijdeš na oslavu.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud sním hodně sladkostí, bolí mě břicho.“

Označíme: \( p \): Sním hodně sladkostí, \( q \): Bolí mě břicho.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Bolí-li mě břicho, pak jsem snědl hodně sladkostí.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nebolí-li mě břicho, pak jsem nesnědl hodně sladkostí.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Sním hodně sladkostí a nebolí mě břicho.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Když se neusmíváš, nejsi šťastný.“

Označíme: \( p \): Neusmíváš se, \( q \): Nejsi šťastný.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Nejsi-li šťastný, pak se neusmíváš.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Jsi-li šťastný, pak se usmíváš.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Neusmíváš se a jsi šťastný.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud voda vaří, má teplotu alespoň \(100\) °C.“

Označíme: \( p \): Voda vaří, \( q \): Voda má teplotu alespoň \(100\) °C.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Má-li voda alespoň \(100\) °C, pak vaří.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nemá-li voda alespoň \(100\) °C, pak nevaří.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Voda vaří a nemá alespoň \(100\) °C.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Jestliže je trojúhelník rovnostranný, má všechny strany stejně dlouhé.“

Označíme: \( p \): Trojúhelník je rovnostranný, \( q \): Má všechny strany stejně dlouhé.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Má-li trojúhelník všechny strany stejně dlouhé, pak je rovnostranný.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nemá-li trojúhelník všechny strany stejně dlouhé, pak není rovnostranný.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Trojúhelník je rovnostranný a nemá všechny strany stejně dlouhé.“

Řešení příkladu:

Výrok: „Pokud jsi nemocný, zůstaneš doma.“

Označíme: \( p \): Jsi nemocný, \( q \): Zůstaneš doma.

Implikace: \( p \Rightarrow q \)

Obrácení: \( q \Rightarrow p \) – „Zůstaneš-li doma, pak jsi nemocný.“

Obměna: \( \neg q \Rightarrow \neg p \) – „Nezůstaneš-li doma, pak nejsi nemocný.“

Negace: \( p \land \neg q \) – „Jsi nemocný a nezůstaneš doma.“

Výrok: Jestliže prší, pak je mokro.

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Prší.

Výrok \( Q \): Je mokro.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže je mokro, pak prší.“

Tato implikace není obecně pravdivá – může být mokro i z jiného důvodu.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže není mokro, pak neprší.“

Tato obměna je logicky ekvivalentní původní implikaci.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Prší a není mokro.“

Negace znamená, že nastala první část výroku, ale druhá ne – to odporuje původní implikaci.

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Budu studovat.

Výrok \( Q \): Udělám zkoušku.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže udělám zkoušku, pak jsem studoval.“

To nemusí být pravda – mohl jsem mít štěstí nebo předchozí znalosti.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže neudělám zkoušku, pak jsem nestudoval.“

To je logická obměna a má stejnou pravdivostní hodnotu jako původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Studoval jsem a neudělal zkoušku.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Dnes není škola.

Výrok \( Q \): Zůstanu doma.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže zůstanu doma, pak dnes není škola.“

To nemusí platit – mohu být nemocný nebo mít dovolenou.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nezůstanu doma, pak dnes škola je.“

To je logicky ekvivalentní s původním výrokem.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Dnes není škola a nezůstanu doma.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Dostanu dárek.

Výrok \( Q \): Budu šťastný.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže budu šťastný, pak jsem dostal dárek.“

To může být nepravdivé – mohu být šťastný i z jiného důvodu.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nebudu šťastný, pak jsem nedostal dárek.“

Tato obměna je logicky ekvivalentní původnímu výroku.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Dostal jsem dárek a nejsem šťastný.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Zvoní zvonek.

Výrok \( Q \): Je někdo u dveří.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže je někdo u dveří, pak zvoní zvonek.“

Nemusí platit – někdo může zaklepat nebo nezvonit.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nikdo není u dveří, pak nezvoní zvonek.“

Obměna je logicky ekvivalentní s původním výrokem.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Zvoní zvonek a nikdo není u dveří.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Je večer.

Výrok \( Q \): Rozsvítíme světla.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže rozsvítíme světla, je večer.“

To může být nepravdivé – světla se rozsvěcují i jindy (např. při tmě).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nerozsvítíme světla, není večer.“

Tato obměna je logická obdoba původního výroku.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Je večer a nerozsvítíme světla.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Půjdu do kina.

Výrok \( Q \): Koupím si popcorn.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže si koupím popcorn, pak půjdu do kina.“

To není jisté – popcorn si mohu koupit i jinde.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže si nekoupím popcorn, nepůjdu do kina.“

Obměna je platná jen pokud platí původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Půjdu do kina a nekoupím si popcorn.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Dostanu jedničku.

Výrok \( Q \): Ukážu ji rodičům.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže ji ukážu rodičům, pak jsem dostal jedničku.“

To nemusí platit – mohu ukázat i dvojku.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže ji neukážu rodičům, pak jsem nedostal jedničku.“

Obměna je logická obdoba výchozí implikace.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Dostal jsem jedničku a neukázal ji rodičům.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Mám hlad.

Výrok \( Q \): Najím se.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže se najím, pak jsem měl hlad.“

To nemusí být pravda – mohu jíst preventivně nebo z chuti.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže se nenajím, pak nemám hlad.“

Obměna má stejnou logickou hodnotu jako původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Mám hlad a nenajím se.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Budu běhat.

Výrok \( Q \): Zlepším si kondici.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže si zlepším kondici, pak jsem běhal.“

To není jisté – kondici lze zlepšit i jinak (např. plaváním).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže si nezlepším kondici, pak jsem neběhal.“

To je logická obměna původní implikace.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Běhám a nezlepšuji si kondici.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Budu unavený.

Výrok \( Q \): Půjdu spát.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže půjdu spát, pak jsem byl unavený.“

Tato implikace není vždy pravdivá – člověk může jít spát i bez únavy, například z nudy.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nepůjdu spát, pak nejsem unavený.“

Tato obměna má stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Jsem unavený a nepůjdu spát.“

Negace vyjadřuje porušení původní implikace.

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Je sníh.

Výrok \( Q \): Silnice jsou kluzké.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže jsou silnice kluzké, pak je sníh.“

Nemusí být pravdivé – kluzké mohou být i kvůli ledu nebo dešti.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nejsou silnice kluzké, pak není sníh.“

Tato formulace je logicky ekvivalentní původní implikaci.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Je sníh a silnice nejsou kluzké.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Směju se.

Výrok \( Q \): Jsem šťastný.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže jsem šťastný, pak se směju.“

To nemusí být pravda – šťastný člověk se nemusí vždy smát.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže nejsem šťastný, pak se nesměju.“

Logická obměna má stejnou pravdivostní hodnotu jako původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Směju se a nejsem šťastný.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Je výpadek proudu.

Výrok \( Q \): Světla nesvítí.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže světla nesvítí, je výpadek proudu.“

To nemusí být pravda – světla mohla být vypnuta úmyslně.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Jestliže světla svítí, není výpadek proudu.“

Tato obměna je logická obdoba původní implikace.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Je výpadek proudu a světla svítí.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Budu mít volno.

Výrok \( Q \): Pojedu na výlet.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Jestliže pojedu na výlet, měl jsem volno.“

To nemusí být pravda – výlet lze udělat i bez volna, například si vzít dovolenou.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Nepojedu na výlet, takže jsem neměl volno.“

Tato obměna je logicky ekvivalentní původní implikaci.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Mám volno a nepojedu na výlet.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Udělám chybu.

Výrok \( Q \): Poučím se z ní.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Poučil jsem se, takže jsem udělal chybu.“

To nemusí být pravda – člověk se může poučit i z chyb jiných.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Nepoučil jsem se, takže jsem neudělal chybu.“

Logická obměna platí stejně jako původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Udělal jsem chybu a nepoučil jsem se z ní.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Otevřu okno.

Výrok \( Q \): Bude průvan.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Je průvan, takže jsem otevřel okno.“

To nemusí být pravda – průvan může vzniknout jinak (otevřením dveří).

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Není průvan, takže jsem neotevřel okno.“

Obměna je logicky ekvivalentní s původní implikací.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Otevřel jsem okno a není průvan.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Je víkend.

Výrok \( Q \): Nebudu vstávat brzy.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Nevstávám brzy, takže je víkend.“

To nemusí být pravda – mohu vstávat pozdě i ve všední den.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Vstávám brzy, takže není víkend.“

Tato obměna je platná, pokud platí původní výrok.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Je víkend a vstávám brzy.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Budu zpívat.

Výrok \( Q \): Uslyší mě sousedi.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Sousedi mě slyšeli, takže jsem zpíval.“

Toto nemusí být pravda – slyšeli mohli rádio nebo televizi.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Sousedi mě neslyšeli, takže jsem nezpíval.“

Tato obměna je logicky ekvivalentní původnímu výroku.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Zpívám a sousedi mě neslyší.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \), kde:

Výrok \( P \): Pozvu ho.

Výrok \( Q \): Přijde.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \), tj. „Přišel, takže jsem ho pozval.“

To nemusí být pravda – mohl přijít i bez pozvání.

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \), tj. „Nepřišel, takže jsem ho nepozval.“

Tato obměna odpovídá původní implikaci.

Negace: \( P \land \neg Q \), tj. „Pozval jsem ho a nepřišel.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Budeš cvičit.

\( Q \): Zlepšíš si kondici.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Zlepšíš si kondici, takže jsi cvičil.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nezlepšíš si kondici, takže jsi necvičil.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Cvičíš, ale nezlepšíš si kondici.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Prší.

\( Q \): Nepojedeme na výlet.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Nepojedeme na výlet, takže prší.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Pojedeme na výlet, takže neprší.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Prší a přesto jedeme na výlet.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Půjdu na trh.

\( Q \): Koupím jablka.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Koupím jablka, takže jsem šel na trh.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nekoupím jablka, takže jsem nešel na trh.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Šel jsem na trh, ale nekoupil jsem jablka.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Učím se.

\( Q \): Dostanu dobrou známku.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Dostal jsem dobrou známku, takže jsem se učil.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nedostal jsem dobrou známku, takže jsem se neučil.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Učil jsem se, ale nedostal jsem dobrou známku.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Zazvoní budík.

\( Q \): Vstanu.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Vstal jsem, takže zazvonil budík.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nevstal jsem, takže nezazvonil budík.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Budík zazvonil, ale nevstal jsem.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Mám klíče.

\( Q \): Dostanu se domů.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Dostal jsem se domů, takže jsem měl klíče.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nedostal jsem se domů, takže jsem neměl klíče.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Mám klíče, ale nedostal jsem se domů.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Je den volna.

\( Q \): Zůstanu doma.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Zůstal jsem doma, takže byl den volna.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nezůstal jsem doma, takže nebyl den volna.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Je den volna, ale nezůstanu doma.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Budu mít hlad.

\( Q \): Najím se.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Najedl jsem se, takže jsem měl hlad.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nenajedl jsem se, takže jsem neměl hlad.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Mám hlad, ale nenajím se.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Vyhraje.

\( Q \): Oslavíme to.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Oslavili jsme to, takže vyhrál.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Neoslavili jsme to, takže nevyhrál.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Vyhrál, ale neoslavili jsme to.“

Formálně: \( P \Rightarrow Q \)

\( P \): Budu mít čas.

\( Q \): Zavolám ti.

Obrácení: \( Q \Rightarrow P \) — „Zavolal jsem ti, takže jsem měl čas.“

Obměna: \( \neg Q \Rightarrow \neg P \) — „Nezavolal jsem ti, takže jsem neměl čas.“

Negace: \( P \land \neg Q \) — „Měl jsem čas, ale nezavolal jsem ti.“

Formálně: \( (P \land Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Student vypracuje domácí úkol včas.

\( Q \): Student vypracuje domácí úkol správně.

\( R \): Student dostane plný počet bodů.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Student dostal plný počet bodů, takže úkol vypracoval včas a správně.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow \neg (P \land Q) \equiv \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Student nedostal plný počet bodů, takže úkol nevypracoval včas nebo správně.“

Negace: \( (P \land Q) \land \neg R \) — „Student vypracoval úkol včas a správně, ale nedostal plný počet bodů.“

Formálně: \( (P \land Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Ovládá teorii.

\( Q \): Ovládá praxi.

\( R \): Uspěje u zkoušky.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Uspěl u zkoušky, takže ovládal teorii i praxi.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Neuspěl u zkoušky, takže neovládal teorii nebo praxi.“

Negace: \( (P \land Q) \land \neg R \) — „Ovládal teorii i praxi, ale neuspěl u zkoušky.“

Formálně: \( (P \lor Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Firma investuje do výzkumu.

\( Q \): Firma investuje do vývoje.

\( R \): Firma zvýší konkurenceschopnost.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \lor Q) \) — „Zvýšila se konkurenceschopnost, takže firma investovala do výzkumu nebo vývoje.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \land \neg Q) \) — „Nezvýšila se konkurenceschopnost, takže firma neinvestovala ani do výzkumu, ani do vývoje.“

Negace: \( (P \lor Q) \land \neg R \) — „Firma investovala do výzkumu nebo vývoje, ale konkurenceschopnost se nezvýšila.“

Formálně: \( (P \land Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Zákazník zaplatí zálohu.

\( Q \): Zákazník podepíše smlouvu.

\( R \): Objednávka bude potvrzena.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Objednávka byla potvrzena, takže zákazník zaplatil zálohu a podepsal smlouvu.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Objednávka nebyla potvrzena, takže zákazník nezaplatil zálohu nebo nepodepsal smlouvu.“

Negace: \( (P \land Q) \land \neg R \) — „Zákazník zaplatil zálohu a podepsal smlouvu, ale objednávka nebyla potvrzena.“

Formálně: \( (P \land Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Žák se omluví.

\( Q \): Přinese potvrzení.

\( R \): Bude omluven.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Žák byl omluven, takže se omluvil a přinesl potvrzení.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Žák nebyl omluven, takže se neomluvil nebo nepřinesl potvrzení.“

Negace: \( (P \land Q) \land \neg R \) — „Žák se omluvil a přinesl potvrzení, ale nebyl omluven.“

Formálně: \( (P \lor Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Zapojíš se do soutěže.

\( Q \): Odevzdáš projekt.

\( R \): Máš nárok na bonusové body.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \lor Q) \) — „Máš nárok na bonusové body, takže ses zapojil do soutěže nebo odevzdal projekt.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \land \neg Q) \) — „Nemáš nárok na bonusové body, takže ses nezapojil do soutěže ani jsi neodevzdal projekt.“

Negace: \( (P \lor Q) \land \neg R \) — „Zapojil ses do soutěže nebo odevzdal projekt, ale nemáš nárok na bonusové body.“

Formálně: \( (\neg P \lor \neg Q) \Rightarrow \neg R \)

\( P \): Student si udělá poznámky.

\( Q \): Student chodí na přednášky.

\( R \): Student uspěje u zkoušky.

Obrácení: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Student neuspěl, takže si neudělal poznámky nebo nechodil na přednášky.“

Obměna: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Student uspěl, takže si udělal poznámky a chodil na přednášky.“

Negace: \( (\neg P \lor \neg Q) \land R \) — „Student si neudělal poznámky nebo nechodil na přednášky, ale přesto uspěl.“

Formálně: \( (P \land \neg Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Petr se učí.

\( Q \): Petr chodí pozdě.

\( R \): Petr dostane pochvalu.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land \neg Q) \) — „Petr dostal pochvalu, takže se učil a nechodil pozdě.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor Q) \) — „Petr nedostal pochvalu, takže se neučil nebo chodil pozdě.“

Negace: \( (P \land \neg Q) \land \neg R \) — „Petr se učil a nechodil pozdě, ale nedostal pochvalu.“

Formálně: \( (P \land Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Číslo je liché.

\( Q \): Číslo je větší než pět.

\( R \): Číslo je vhodné pro úlohu.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land Q) \) — „Číslo je vhodné, takže je liché a větší než pět.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor \neg Q) \) — „Číslo není vhodné, takže není liché nebo není větší než pět.“

Negace: \( (P \land Q) \land \neg R \) — „Číslo je liché a větší než pět, ale není vhodné.“

Formálně: \( (P \land \neg Q) \Rightarrow R \)

\( P \): Systém detekuje chybu.

\( Q \): Systém provedl zálohu.

\( R \): Systém se vypne automaticky.

Obrácení: \( R \Rightarrow (P \land \neg Q) \) — „Systém se vypnul automaticky, takže detekoval chybu a neprovedl zálohu.“

Obměna: \( \neg R \Rightarrow (\neg P \lor Q) \) — „Systém se nevypnul automaticky, takže nedetekoval chybu nebo provedl zálohu.“

Negace: \( (P \land \neg Q) \land \neg R \) — „Systém detekoval chybu a neprovedl zálohu, ale nevypnul se.“

Formálně: ((P ∧ Q) ⇒ R) ∧ (¬R ⇒ ¬P)

P: Prší.

Q: Je zima.

R: Vezmu si deštník.

Obrácení první implikace: R ⇒ (P ∧ Q) – „Vzal jsem si deštník, takže pršelo a bylo zima.“

Obměna první implikace: ¬R ⇒ ¬(P ∧ Q) – „Nevzal jsem si deštník, tedy nepršelo nebo nebylo zima.“

Negace první implikace: (P ∧ Q) ∧ ¬R – „Pršelo a bylo zima, ale nevzal jsem si deštník.“

Obrácení druhé implikace: ¬P ⇒ ¬R – „Nepršelo, tedy nebudu mokrý.“

Obměna druhé implikace: R ⇒ P – „Jsem mokrý, tedy pršelo.“

Negace druhé implikace: ¬R ∧ P – „Nejsem mokrý, ale pršelo.“

Formálně: (P ∨ Q) ⇒ R

P: Je pondělí.

Q: Je středa.

R: Mám schůzku.

Obrácení: R ⇒ (P ∨ Q) – „Mám schůzku, takže je pondělí nebo středa.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬(P ∨ Q) což je ¬R ⇒ (¬P ∧ ¬Q) – „Nemám schůzku, tedy není pondělí a není středa.“

Negace: (P ∨ Q) ∧ ¬R – „Je pondělí nebo středa, ale nemám schůzku.“

Formálně: ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)

P: Jsem student.

Q: Učím se pravidelně.

R: Dosáhnu dobrých výsledků.

Obrácení: (P ⇒ R) ⇒ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) – „Pokud platí, že když jsem student, dosáhnu dobrých výsledků, pak platí, že jsem student implikuje, že se učím, a že učení implikuje dobré výsledky.“

Obměna: ¬(P ⇒ R) ⇒ ¬((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) což je (P ∧ ¬R) ⇒ (¬(P ⇒ Q) ∨ ¬(Q ⇒ R)) – „Pokud jsem student a nedosáhnu dobrých výsledků, pak neplatí, že jsem student implikuje učení, nebo neplatí, že učení implikuje dobré výsledky.“

Negace: ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ∧ ¬(P ⇒ R) – „Platí, že jsem student implikuje učení a učení implikuje dobré výsledky, ale neplatí, že jsem student implikuje dobré výsledky.“

Formálně: ¬P ⇒ ¬Q

P: Byla aktivita dokončena.

Q: Byl odeslán report.

Obrácení: ¬Q ⇒ ¬P – „Report nebyl odeslán, tedy aktivita nebyla dokončena.“

Obměna: Q ⇒ P – „Report byl odeslán, tedy aktivita byla dokončena.“

Negace: ¬P ∧ Q – „Aktivita nebyla dokončena, ale report byl odeslán.“

Formálně: P ⇒ (Q ∨ R)

P: Už jsem zaplatil fakturu.

Q: Platba byla přijata.

R: Byla zahájena reklamace.

Obrácení: (Q ∨ R) ⇒ P – „Platba byla přijata, nebo byla zahájena reklamace, tedy fakturu jsem zaplatil.“

Obměna: ¬(Q ∨ R) ⇒ ¬P což je (¬Q ∧ ¬R) ⇒ ¬P – „Platba nebyla přijata a reklamace nebyla zahájena, tedy fakturu jsem nezaplatil.“

Negace: P ∧ ¬(Q ∨ R) což je P ∧ (¬Q ∧ ¬R) – „Fakturu jsem zaplatil, ale platba nebyla přijata a reklamace nebyla zahájena.“

Formálně: P ⇒ ¬(Q ∧ R)

P: Byl splněn limit úspor.

Q: Byla překročena měsíční spotřeba.

R: Bylo využito mimořádné čerpání.

Obrácení: ¬(Q ∧ R) ⇒ P – „Nebyly současně překročena měsíční spotřeba a využito mimořádné čerpání, tedy byl splněn limit úspor.“

Obměna: ¬¬(Q ∧ R) ⇒ ¬P což je (Q ∧ R) ⇒ ¬P – „Byla překročena měsíční spotřeba a bylo využito mimořádné čerpání, tedy nebyl splněn limit úspor.“

Negace: P ∧ (Q ∧ R) – „Byl splněn limit úspor, ale zároveň byla překročena měsíční spotřeba a bylo využito mimořádné čerpání.“

Formálně: ((P ⊕ Q) ⇒ R), kde ⊕ je XOR (exkluzivní nebo)

P: Je svátek.

Q: Je víkend.

R: Banky jsou zavřené.

Obrácení: R ⇒ (P ⊕ Q) – „Banky jsou zavřené, tedy je svátek nebo víkend, ale ne obojí současně.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬(P ⊕ Q) – „Banky nejsou zavřené, tedy není pravda, že je svátek nebo víkend, ale ne obojí.“

Negace: (P ⊕ Q) ∧ ¬R – „Je svátek nebo víkend, ale banky nejsou zavřené.“

Formálně: (P ∧ ¬(R ⇒ Q)) ⇒ S

P: Mám zaplacenou vstupenku.

Q: Můžu vstoupit do sálu.

R: Jsem VIP host.

S: Mohu se zúčastnit speciální akce.

Obrácení: S ⇒ (P ∧ ¬(R ⇒ Q)) – „Mohu se zúčastnit speciální akce, tedy mám zaplacenou vstupenku a neplatí, že pokud jsem VIP host, mohu vstoupit do sálu.“

Obměna: ¬S ⇒ ¬(P ∧ ¬(R ⇒ Q)) což je ¬S ⇒ (¬P ∨ (R ⇒ Q)) – „Nemohu se zúčastnit speciální akce, tedy nemám zaplacenou vstupenku nebo platí, že pokud jsem VIP host, mohu vstoupit do sálu.“

Negace: (P ∧ ¬(R ⇒ Q)) ∧ ¬S – „Mám zaplacenou vstupenku a neplatí, že VIP host může vstoupit do sálu, ale nemohu se zúčastnit speciální akce.“

Formálně: ((P) ∨ (Q ∧ R)) ⇒ S

P: Mám schválený návrh.

Q: Splnil jsem podmínky.

R: Odevzdal jsem dokumenty.

S: Projekt bude zahájen.

Obrácení: S ⇒ (P ∨ (Q ∧ R)) – „Projekt bude zahájen, tedy mám schválený návrh, nebo jsem splnil podmínky a odevzdal dokumenty.“

Obměna: ¬S ⇒ ¬(P ∨ (Q ∧ R)) což je ¬S ⇒ (¬P ∧ (¬Q ∨ ¬R)) – „Projekt nebude zahájen, tedy nemám schválený návrh a zároveň jsem nesplnil podmínky nebo jsem neodevzdal dokumenty.“

Negace: ((P ∨ (Q ∧ R)) ∧ ¬S) – „Mám schválený návrh, nebo jsem splnil podmínky a odevzdal dokumenty, ale projekt nebude zahájen.“

Formálně: P ⇒ (Q ⇒ R)

P: Dostal jsem pozvánku.

Q: Přijdu na schůzku.

R: Dostanu zpětnou vazbu.

Obrácení: (Q ⇒ R) ⇒ P – „Pokud platí, že když přijdu na schůzku, dostanu zpětnou vazbu, pak jsem dostal pozvánku.“

Obměna: ¬(Q ⇒ R) ⇒ ¬P což je (Q ∧ ¬R) ⇒ ¬P – „Pokud platí, že přijdu na schůzku, ale nedostanu zpětnou vazbu, pak jsem nedostal pozvánku.“

Negace: P ∧ ¬(Q ⇒ R) – „Dostal jsem pozvánku, ale není pravda, že když přijdu na schůzku, dostanu zpětnou vazbu.“

Formálně: ((P ∧ Q) ⇒ R)

P: Je pondělí.

Q: Prší.

R: Vezmu si deštník.

Obrácení: R ⇒ (P ∧ Q) – „Vzal jsem si deštník, tedy je pondělí a zároveň prší.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬(P ∧ Q) – „Nevzal jsem si deštník, tedy není pravda, že je pondělí a prší zároveň.“

Negace: (P ∧ Q) ∧ ¬R – „Je pondělí a prší, ale nevzal jsem si deštník.“

Formálně: ((P ∨ Q) ⇒ ¬R)

P: Je víkend.

Q: Je svátek.

R: Pracuji.

Obrácení: ¬R ⇒ (P ∨ Q) – „Nepracuji, tedy je víkend nebo svátek.“

Obměna: R ⇒ ¬(P ∨ Q) což je R ⇒ (¬P ∧ ¬Q) – „Pracuji, tedy není víkend a není svátek.“

Negace: (P ∨ Q) ∧ R – „Je víkend nebo svátek, ale pracuji.“

Formálně: (((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R))

P: Mám lístek na koncert.

Q: Přijdu na koncert.

R: Užiju si hudbu.

Obrácení: (P ⇒ R) ⇒ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) – „Pokud platí, že lístek znamená užití hudby, pak platí, že lístek znamená příchod na koncert a příchod znamená užití hudby.“

Obměna: ¬(P ⇒ R) ⇒ ¬((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) – „Pokud neplatí, že lístek znamená užití hudby, pak neplatí, že lístek znamená příchod na koncert a příchod znamená užití hudby.“

Negace: ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ∧ ¬(P ⇒ R) – „Platí, že lístek znamená příchod na koncert a příchod znamená užití hudby, ale neplatí, že lístek znamená užití hudby.“

Formálně: ¬P ⇒ Q

P: Je slunečno.

Q: Je zataženo.

Obrácení: ¬Q ⇒ P – „Není zataženo, tedy je slunečno.“

Obměna: ¬Q ⇒ P (stejná jako obrácení v tomto případě)

Negace: ¬P ∧ ¬Q – „Není slunečno a není zataženo.“ (tato situace je logicky možná, např. mlha nebo déšť)

Formálně: P ⇒ (Q ∧ R)

P: Zapnul jsem alarm.

Q: Dveře jsou zavřené.

R: Okna jsou zavřená.

Obrácení: (Q ∧ R) ⇒ P – „Dveře i okna jsou zavřená, tedy jsem zapnul alarm.“

Obměna: ¬(Q ∧ R) ⇒ ¬P což je (¬Q ∨ ¬R) ⇒ ¬P – „Dveře nebo okna nejsou zavřené, tedy jsem nezapnul alarm.“

Negace: P ∧ ¬(Q ∧ R) což je P ∧ (¬Q ∨ ¬R) – „Zapnul jsem alarm, ale dveře nebo okna nejsou zavřené.“

Formálně: P ⇒ (Q ⇒ R)

P: Jsem přihlášený na kurz.

Q: Navštěvuji všechny lekce.

R: Získám certifikát.

Obrácení: (Q ⇒ R) ⇒ P – „Pokud platí, že když navštěvuji všechny lekce, získám certifikát, pak jsem přihlášený na kurz.“

Obměna: ¬(Q ⇒ R) ⇒ ¬P což je (Q ∧ ¬R) ⇒ ¬P – „Pokud navštěvuji všechny lekce, ale nezískám certifikát, pak nejsem přihlášený na kurz.“

Negace: P ∧ ¬(Q ⇒ R) – „Jsem přihlášený na kurz, ale není pravda, že když navštěvuji všechny lekce, získám certifikát.“

Formálně: ((P ⊕ Q) ⇒ R), kde ⊕ je exkluzivní nebo (XOR)

P: Jsem doma.

Q: Jsem v práci.

R: Telefon je vypnutý.

Obrácení: R ⇒ (P ⊕ Q) – „Telefon je vypnutý, tedy jsem doma nebo v práci, ale ne obojí zároveň.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬(P ⊕ Q) – „Telefon není vypnutý, tedy není pravda, že jsem doma nebo v práci, ale ne obojí.“

Negace: (P ⊕ Q) ∧ ¬R – „Jsem doma nebo v práci, ale telefon není vypnutý.“

Formálně: ¬(P ∧ Q) ⇒ R

P: Je den pracovního týdne.

Q: Je prázdninový den.

R: Škola je zavřená.

Obrácení: R ⇒ ¬(P ∧ Q) – „Škola je zavřená, tedy není pravda, že je den pracovního týdne a zároveň prázdninový den.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬¬(P ∧ Q) což je ¬R ⇒ (P ∧ Q) – „Škola není zavřená, tedy je den pracovního týdne a zároveň prázdninový den.“

Negace: ¬(P ∧ Q) ∧ ¬R – „Není pravda, že je den pracovního týdne a prázdninový den, ale škola není zavřená.“

Formálně: P ⇒ ¬(Q ∨ R)

P: Jsem doma.

Q: Prší venku.

R: Je zima.

Obrácení: ¬(Q ∨ R) ⇒ P – „Není pravda, že prší nebo je zima, tedy jsem doma.“

Obměna: Q ∨ R ⇒ ¬P – „Prší nebo je zima, tedy nejsem doma.“

Negace: P ∧ (Q ∨ R) – „Jsem doma, ale prší nebo je zima.“

Formálně: ((P ∧ Q) ⇒ R) ∧ ¬(P ∧ Q) ⇒ S

P: Mám platný lístek.

Q: Jsem ve správném vlaku.

R: Jsem oprávněn k jízdě.

S: Musím si koupit nový lístek.

Obrácení: R ⇒ (P ∧ Q) a S ⇒ ¬(P ∧ Q)

Obměna: ¬R ⇒ ¬(P ∧ Q) a ¬S ⇒ (P ∧ Q)

Negace: ((P ∧ Q) ∧ ¬R) ∨ (¬(P ∧ Q) ∧ ¬S) – „Mám platný lístek a jsem ve správném vlaku, ale nejsem oprávněn k jízdě, nebo nemám platný lístek či nejsem ve správném vlaku, ale nemusím si koupit nový lístek.“

Formálně: ((P ∨ Q) ∧ ¬R) ⇒ S

P: Je pondělí.

Q: Je státní svátek.

R: Jsem v práci.

S: Mám volno.

Obrácení: S ⇒ ((P ∨ Q) ∧ ¬R) – „Mám volno, tedy je pondělí nebo svátek a nejsem v práci.“

Obměna: ¬S ⇒ ¬((P ∨ Q) ∧ ¬R) což je ¬S ⇒ (¬(P ∨ Q) ∨ R) – „Nemám volno, tedy není pondělí ani svátek, nebo jsem v práci.“

Negace: ((P ∨ Q) ∧ ¬R) ∧ ¬S – „Je pondělí nebo svátek, nejsem v práci, ale nemám volno.“

Formálně: ¬(P ∧ Q) ⇒ (R ∨ S)

P: Mám hotovou domácí úlohu.

Q: Připravil jsem se na test.

R: Mohu jít ven s kamarády.

S: Mohu si odpočinout.

Obrácení: (R ∨ S) ⇒ ¬(P ∧ Q) – „Jdu ven s kamarády nebo si odpočívám, tedy nemám hotovou úlohu a připravený test zároveň.“

Obměna: ¬(R ∨ S) ⇒ ¬¬(P ∧ Q) což je ¬(R ∨ S) ⇒ (P ∧ Q) – „Nejdu ven ani si neodpočívám, tedy mám hotovou úlohu a jsem připravený.“

Negace: ¬(P ∧ Q) ∧ ¬(R ∨ S) – „Nemám hotovou úlohu a nejsem připravený, ale zároveň nejdu ven a neodpočívám.“

Formálně: (P ⇒ Q) ⇒ (R ⇒ S)

P: Mám lístek na koncert.

Q: Přijdu na koncert.

R: Je pěkné počasí.

S: Půjdu ven.

Obrácení: (R ⇒ S) ⇒ (P ⇒ Q) – „Pokud platí, že pokud je pěkné počasí, půjdu ven, pak platí, že pokud mám lístek, přijdu na koncert.“

Obměna: ¬(R ⇒ S) ⇒ ¬(P ⇒ Q) což je (R ∧ ¬S) ⇒ (P ∧ ¬Q) – „Pokud je pěkné počasí a nejdu ven, pak mám lístek a nepřijdu na koncert.“

Negace: (P ⇒ Q) ∧ ¬(R ⇒ S) – „Platí, že pokud mám lístek, přijdu na koncert, ale není pravda, že pokud je pěkné počasí, půjdu ven.“

Formálně: (((P ∧ Q) ∨ R) ⇒ S)

P: Je pondělí.

Q: Je slunečno.

R: Je svátek.

S: Jdu na procházku.

Obrácení: S ⇒ ((P ∧ Q) ∨ R) – „Jdu na procházku, tedy je pondělí a slunečno, nebo je svátek.“

Obměna: ¬S ⇒ ¬((P ∧ Q) ∨ R) což je ¬S ⇒ (¬(P ∧ Q) ∧ ¬R) – „Nejdu na procházku, tedy není pondělí a slunečno zároveň a není svátek.“

Negace: (((P ∧ Q) ∨ R) ∧ ¬S) – „Je pondělí a slunečno nebo je svátek, ale nejdu na procházku.“

Formálně: P ⇒ ¬(Q ∨ R)

P: Jsem doma.

Q: Prší venku.

R: Je zima.

Obrácení: ¬(Q ∨ R) ⇒ P – „Není pravda, že prší nebo je zima, tedy jsem doma.“

Obměna: (Q ∨ R) ⇒ ¬P – „Prší nebo je zima, tedy nejsem doma.“

Negace: P ∧ (Q ∨ R) – „Jsem doma, ale prší nebo je zima.“

Formálně: (((P ∧ Q) ⇒ R) ∧ (¬(P ∧ Q) ⇒ S))

P: Mám platný lístek.

Q: Jsem ve správném vlaku.

R: Jsem oprávněn k jízdě.

S: Musím si koupit nový lístek.

Obrácení: (R ⇒ (P ∧ Q)) ∧ (S ⇒ ¬(P ∧ Q))

Obměna: (¬R ⇒ ¬(P ∧ Q)) ∧ (¬S ⇒ (P ∧ Q))

Negace: (((P ∧ Q) ∧ ¬R) ∨ (¬(P ∧ Q) ∧ ¬S))

Formálně: ¬(P ∨ Q) ⇒ R

P: Jsem doma.

Q: Jsem v práci.

R: Jsem na dovolené.

Obrácení: R ⇒ ¬(P ∨ Q) – „Jsem na dovolené, tedy nejsem doma a nejsem v práci.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬¬(P ∨ Q) což je ¬R ⇒ (P ∨ Q) – „Nejsem na dovolené, tedy jsem doma nebo v práci.“

Negace: ¬(P ∨ Q) ∧ ¬R – „Nejsem doma, nejsem v práci, ale zároveň nejsem na dovolené.“

Formálně: (P ⇒ (Q ∧ R)) ⇒ S

P: Zapnul jsem alarm.

Q: Dveře jsou zavřené.

R: Okna jsou zavřená.

S: Dům je zabezpečený.

Obrácení: S ⇒ (P ⇒ (Q ∧ R)) – „Dům je zabezpečený, tedy pokud jsem zapnul alarm, dveře a okna jsou zavřené.“

Obměna: ¬S ⇒ ¬(P ⇒ (Q ∧ R)) což je ¬S ⇒ (P ∧ ¬(Q ∧ R)) – „Dům není zabezpečený, tedy zapnul jsem alarm, ale dveře nebo okna nejsou zavřené.“

Negace: (P ⇒ (Q ∧ R)) ∧ ¬S – „Zapnul jsem alarm a platí, že dveře i okna jsou zavřené, ale dům není zabezpečený.“

Formálně: P ⇒ (Q ⇒ R)

P: Jsem doma.

Q: Je tma.

R: Zapnu světlo.

Obrácení: (Q ⇒ R) ⇒ P – „Pokud platí, že když je tma, zapnu světlo, pak jsem doma.“

Obměna: ¬(Q ⇒ R) ⇒ ¬P což je (Q ∧ ¬R) ⇒ ¬P – „Je tma a nezapnul jsem světlo, tedy nejsem doma.“

Negace: P ∧ ¬(Q ⇒ R) – „Jsem doma, ale není pravda, že když je tma, zapnu světlo.“

Formálně: (¬P ∨ Q) ⇒ R

P: Je všední den.

Q: Je prázdninový den.

R: Jdu do školy.

Obrácení: R ⇒ (¬P ∨ Q) – „Jdu do školy, tedy je buď víkend, nebo prázdniny.“

Obměna: ¬R ⇒ ¬(¬P ∨ Q) což je ¬R ⇒ (P ∧ ¬Q) – „Nejdu do školy, tedy je všední den a nejsou prázdniny.“

Negace: (¬P ∨ Q) ∧ ¬R – „Je víkend nebo prázdniny, ale nejdu do školy.“