1. Řešte rovnici: \( 3x + 5 = 14 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 3x + 5 = 14 \).
Nejprve odečteme 5 na obou stranách rovnice:
\( 3x + 5 – 5 = 14 – 5 \Rightarrow 3x = 9 \)
Poté vydělíme obě strany rovnice 3:
\( \frac{3x}{3} = \frac{9}{3} \Rightarrow x = 3 \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
\( 3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14 \), což sedí.
Řešení je \( x = 3 \).
2. Vyřešte rovnici: \( 7 – 2x = 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( 7 – 2x = 1 \).
Nejprve odečteme 7 na obou stranách:
\( 7 – 2x – 7 = 1 – 7 \Rightarrow -2x = -6 \)
Pak vydělíme rovnice -2:
\( \frac{-2x}{-2} = \frac{-6}{-2} \Rightarrow x = 3 \)
Ověření:
\( 7 – 2 \cdot 3 = 7 – 6 = 1 \), což je pravda.
Řešení je \( x = 3 \).
3. Najděte \( x \), pokud platí: \( 5(x – 1) = 3x + 7 \)
Řešení:
Rovnice je \( 5(x – 1) = 3x + 7 \).
Roznásobíme levou stranu:
\( 5x – 5 = 3x + 7 \)
Převedeme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 5x – 3x = 7 + 5 \Rightarrow 2x = 12 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2:
\( x = \frac{12}{2} = 6 \)
Ověření:
\( 5(6 – 1) = 5 \cdot 5 = 25 \) a \( 3 \cdot 6 + 7 = 18 + 7 = 25 \).
Řešení je \( x = 6 \).
4. Vyřešte rovnici: \( \frac{2x + 3}{4} = 5 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{2x + 3}{4} = 5 \).
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme 4, abychom se zbavili jmenovatele:
\( 2x + 3 = 5 \cdot 4 \Rightarrow 2x + 3 = 20 \)
Odečteme 3 od obou stran:
\( 2x = 20 – 3 = 17 \)
Vydělíme rovnice 2:
\( x = \frac{17}{2} = 8{,}5 \)
Ověření:
\( \frac{2 \cdot 8{,}5 + 3}{4} = \frac{17 + 3}{4} = \frac{20}{4} = 5 \), což sedí.
Řešení je \( x = 8{,}5 \).
5. Najděte \( x \) z rovnice: \( 4(2x – 3) = 3(x + 5) \)
Řešení:
Rovnice je \( 4(2x – 3) = 3(x + 5) \).
Roznásobíme obě strany:
\( 8x – 12 = 3x + 15 \)
Převedeme všechny členy s \( x \) na levou stranu a konstanty na pravou:
\( 8x – 3x = 15 + 12 \Rightarrow 5x = 27 \)
Vydělíme obě strany rovnice 5:
\( x = \frac{27}{5} = 5{,}4 \)
Ověření:
\( 4(2 \cdot 5{,}4 – 3) = 4(10{,}8 – 3) = 4 \cdot 7{,}8 = 31{,}2 \)
\( 3(5{,}4 + 5) = 3(10{,}4) = 31{,}2 \), což je shodné.
Řešení je \( x = 5{,}4 \).
6. Vyřešte rovnici: \( 6x + 2 = 4x + 10 \)
Řešení:
Rovnice je \( 6x + 2 = 4x + 10 \).
Převedeme všechny členy s \( x \) na levou stranu a konstanty na pravou:
\( 6x – 4x = 10 – 2 \Rightarrow 2x = 8 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2:
\( x = \frac{8}{2} = 4 \)
Ověření:
\( 6 \cdot 4 + 2 = 24 + 2 = 26 \)
\( 4 \cdot 4 + 10 = 16 + 10 = 26 \), což je pravda.
Řešení je \( x = 4 \).
7. Najděte \( x \) z rovnice: \( \frac{x – 2}{3} + \frac{2x + 1}{2} = 5 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{x – 2}{3} + \frac{2x + 1}{2} = 5 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel 6 a upravíme:
\( \frac{2(x – 2)}{6} + \frac{3(2x + 1)}{6} = 5 \Rightarrow \frac{2x – 4 + 6x + 3}{6} = 5 \)
Sčítáme v čitateli:
\( \frac{8x – 1}{6} = 5 \)
Vynásobíme rovnice 6, abychom se zbavili jmenovatele:
\( 8x – 1 = 30 \)
Přičteme 1 na obě strany:
\( 8x = 31 \)
Vydělíme 8:
\( x = \frac{31}{8} = 3{,}875 \)
Ověření:
\( \frac{3{,}875 – 2}{3} + \frac{2 \cdot 3{,}875 + 1}{2} = \frac{1{,}875}{3} + \frac{8{,}75}{2} = 0{,}625 + 4{,}375 = 5 \)
Řešení je \( x = \frac{31}{8} \).
8. Vyřešte rovnici: \( 8 – 3(x + 2) = 2x – 4 \)
Řešení:
Rovnice je \( 8 – 3(x + 2) = 2x – 4 \).
Nejprve roznásobíme výraz vlevo:
\( 8 – 3x – 6 = 2x – 4 \)
Sjednotíme členy vlevo:
\( 2 – 3x = 2x – 4 \)
Převedeme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 2 + 4 = 2x + 3x \Rightarrow 6 = 5x \)
Vydělíme 5:
\( x = \frac{6}{5} = 1{,}2 \)
Ověření:
\( 8 – 3(1{,}2 + 2) = 8 – 3 \cdot 3{,}2 = 8 – 9{,}6 = -1{,}6 \)
\( 2 \cdot 1{,}2 – 4 = 2{,}4 – 4 = -1{,}6 \), což sedí.
Řešení je \( x = \frac{6}{5} \).
9. Najděte \( x \), pokud platí: \( 5x – \frac{x}{2} = 12 \)
Řešení:
Rovnice je \( 5x – \frac{x}{2} = 12 \).
Vyjádříme oba členy s \( x \) se společným jmenovatelem 2:
\( \frac{10x}{2} – \frac{x}{2} = 12 \Rightarrow \frac{9x}{2} = 12 \)
Vynásobíme obě strany 2:
\( 9x = 24 \)
Vydělíme 9:
\( x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \approx 2{,}666\)
Ověření:
\( 5 \cdot \frac{8}{3} – \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{40}{3} – \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12 \)
Řešení je \( x = \frac{8}{3} \).
10. Vyřešte rovnici: \( 2(x – 3) + 4 = 3(x + 1) – 5 \)
Řešení:
Rovnice je \( 2(x – 3) + 4 = 3(x + 1) – 5 \).
Roznásobíme výrazy:
\( 2x – 6 + 4 = 3x + 3 – 5 \)
Sjednotíme konstanty na obou stranách:
\( 2x – 2 = 3x – 2 \)
Převedeme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 2x – 3x = -2 + 2 \Rightarrow -x = 0 \)
Odtud plyne:
\( x = 0 \)
Ověření:
\( 2(0 – 3) + 4 = 2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2 \)
\( 3(0 + 1) – 5 = 3 \cdot 1 – 5 = 3 – 5 = -2 \), rovnost platí.
Řešení je \( x = 0 \).
11. Řešte rovnici: \( 4(x – 2) + 3 = 2x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(x – 2) + 3 = 2x + 7 \).
Nejprve rozepíšeme levou stranu rovnice, aplikujeme distributivní zákon:
\( 4 \cdot x – 4 \cdot 2 + 3 = 2x + 7 \Rightarrow 4x – 8 + 3 = 2x + 7 \)
Sčítáme konstanty na levé straně:
\( 4x – 5 = 2x + 7 \)
Chceme získat všechna \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou, proto odečteme \(2x\) z obou stran:
\( 4x – 2x – 5 = 7 \Rightarrow 2x – 5 = 7 \)
Poté přičteme 5 na obě strany, abychom odstranili -5:
\( 2x – 5 + 5 = 7 + 5 \Rightarrow 2x = 12 \)
Nakonec vydělíme obě strany rovnice 2, abychom získali \(x\):
\( \frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6 \)
Pro ověření dosadíme \(x = 6\) zpět do původní rovnice:
Levá strana: \(4(6 – 2) + 3 = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19\)
Pravá strana: \(2 \cdot 6 + 7 = 12 + 7 = 19\)
Obě strany se rovnají, tedy řešení je správné.
Řešení je \( x = 6 \).
12. Řešte rovnici: \( 5 – 2(3x + 4) = 3(x – 1) + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5 – 2(3x + 4) = 3(x – 1) + 1 \).
Nejprve použijeme distributivní zákon na obou stranách:
\( 5 – 2 \cdot 3x – 2 \cdot 4 = 3 \cdot x – 3 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 5 – 6x – 8 = 3x – 3 + 1 \)
Sčítáme konstanty na levé i pravé straně:
\( (5 – 8) – 6x = 3x + (-3 + 1) \Rightarrow -3 – 6x = 3x – 2 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou, přičteme \(6x\) a přičteme 2:
\( -3 – 6x + 6x + 2 = 3x – 2 + 6x + 2 \Rightarrow -1 = 9x \)
Rovnice se zjednodušila na \( 9x = -1 \).
Vydělíme obě strany 9:
\( x = \frac{-1}{9} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levá strana: \( 5 – 2(3 \cdot \frac{-1}{9} + 4) = 5 – 2\left(-\frac{3}{9} + 4\right) = 5 – 2\left(-\frac{1}{3} + 4\right) = 5 – 2\left(\frac{11}{3}\right) = 5 – \frac{22}{3} = \frac{15}{3} – \frac{22}{3} = -\frac{7}{3} \)
Pravá strana: \( 3\left(\frac{-1}{9} – 1\right) + 1 = 3\left(-\frac{1}{9} – \frac{9}{9}\right) + 1 = 3\left(-\frac{10}{9}\right) + 1 = -\frac{30}{9} + 1 = -\frac{10}{3} + 1 = -\frac{10}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{7}{3} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = -\frac{1}{9} \).
13. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 3}{4} = \frac{x – 1}{2} + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{2x + 3}{4} = \frac{x – 1}{2} + 1 \).
Nejprve se zbavíme zlomků vynásobením celé rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů, což je 4:
\( 4 \cdot \frac{2x + 3}{4} = 4 \cdot \left(\frac{x – 1}{2} + 1\right) \Rightarrow 2x + 3 = 2(x – 1) + 4 \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( 2x + 3 = 2x – 2 + 4 \Rightarrow 2x + 3 = 2x + 2 \)
Odečteme \(2x\) z obou stran:
\( 2x – 2x + 3 = 2x – 2x + 2 \Rightarrow 3 = 2 \)
Vidíme, že rovnice je nepravdivá (3 se nerovná 2), tedy nemá řešení.
Rovnice nemá žádné řešení, protože levá a pravá strana se nikdy nevyrovnají.
14. Řešte rovnici: \( 7x – \frac{5x}{3} = 10 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7x – \frac{5x}{3} = 10 \).
Nejprve upravíme levou stranu tak, aby byla pod společným jmenovatelem. Vyjádříme \(7x\) jako zlomek se jmenovatelem 3:
\( 7x = \frac{21x}{3} \)
Tedy:
\( \frac{21x}{3} – \frac{5x}{3} = 10 \Rightarrow \frac{21x – 5x}{3} = 10 \Rightarrow \frac{16x}{3} = 10 \)
Nyní vynásobíme obě strany rovnice 3, abychom odstranili jmenovatel:
\( 16x = 30 \)
Vydělíme obě strany 16:
\( x = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} \)
Pro ověření dosadíme zpět do původní rovnice:
Levá strana: \(7 \cdot \frac{15}{8} – \frac{5}{3} \cdot \frac{15}{8} = \frac{105}{8} – \frac{75}{24} = \frac{315}{24} – \frac{75}{24} = \frac{240}{24} = 10\)
Pravá strana je 10, ověření sedí.
Řešení je \( x = \frac{15}{8} \).
15. Řešte rovnici: \( 2(x + 3) – 3(x – 2) = 4x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 2(x + 3) – 3(x – 2) = 4x + 1 \).
Roznásobíme závorky na levé straně:
\( 2x + 6 – 3x + 6 = 4x + 1 \Rightarrow (2x – 3x) + (6 + 6) = 4x + 1 \Rightarrow -x + 12 = 4x + 1 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu, konstanty na druhou:
\( -x – 4x = 1 – 12 \Rightarrow -5x = -11 \)
Vydělíme obě strany -5:
\( x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levá strana: \( 2\left(\frac{11}{5} + 3\right) – 3\left(\frac{11}{5} – 2\right) = 2\left(\frac{11}{5} + \frac{15}{5}\right) – 3\left(\frac{11}{5} – \frac{10}{5}\right) = 2 \cdot \frac{26}{5} – 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{52}{5} – \frac{3}{5} = \frac{49}{5} \)
Pravá strana: \( 4 \cdot \frac{11}{5} + 1 = \frac{44}{5} + \frac{5}{5} = \frac{49}{5} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{11}{5} \).
16. Řešte rovnici: \( \frac{3x – 1}{5} + \frac{2x + 3}{10} = 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{3x – 1}{5} + \frac{2x + 3}{10} = 1 \).
Nejprve najdeme společného jmenovatele, kterým je 10, a vynásobíme celou rovnici 10, abychom odstranili zlomky:
\( 10 \cdot \left( \frac{3x – 1}{5} + \frac{2x + 3}{10} \right) = 10 \cdot 1 \Rightarrow 2(3x – 1) + (2x + 3) = 10 \)
Roznásobíme závorky:
\( 6x – 2 + 2x + 3 = 10 \Rightarrow (6x + 2x) + (-2 + 3) = 10 \Rightarrow 8x + 1 = 10 \)
Odečteme 1 na obou stranách:
\( 8x = 9 \)
Vydělíme obě strany 8:
\( x = \frac{9}{8} \)
Ověření dosazením zpět do původní rovnice:
Levá strana: \( \frac{3 \cdot \frac{9}{8} – 1}{5} + \frac{2 \cdot \frac{9}{8} + 3}{10} = \frac{\frac{27}{8} – 1}{5} + \frac{\frac{18}{8} + 3}{10} = \frac{\frac{27}{8} – \frac{8}{8}}{5} + \frac{\frac{18}{8} + \frac{24}{8}}{10} = \frac{\frac{19}{8}}{5} + \frac{\frac{42}{8}}{10} = \frac{19}{40} + \frac{42}{80} = \frac{19}{40} + \frac{21}{40} = \frac{40}{40} = 1 \)
Pravá strana je 1, ověření sedí.
Řešení je \( x = \frac{9}{8} \).
17. Řešte rovnici: \( 4(2x – 3) + 5 = 3(3x + 1) – 2x \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(2x – 3) + 5 = 3(3x + 1) – 2x \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách rovnice:
\( 4 \cdot 2x – 4 \cdot 3 + 5 = 3 \cdot 3x + 3 \cdot 1 – 2x \Rightarrow 8x – 12 + 5 = 9x + 3 – 2x \)
Zjednodušíme výrazy na obou stranách:
\( 8x – 7 = (9x – 2x) + 3 \Rightarrow 8x – 7 = 7x + 3 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 8x – 7x = 3 + 7 \Rightarrow x = 10 \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranná strana: \( 4(2 \cdot 10 – 3) + 5 = 4(20 – 3) + 5 = 4 \cdot 17 + 5 = 68 + 5 = 73 \)
Pravostranná strana: \( 3(3 \cdot 10 + 1) – 2 \cdot 10 = 3(30 + 1) – 20 = 3 \cdot 31 – 20 = 93 – 20 = 73 \)
Obě strany jsou rovny, takže řešení je \( x = 10 \).
18. Řešte rovnici: \( \frac{5x – 2}{3} + 4 = \frac{2x + 1}{2} \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{5x – 2}{3} + 4 = \frac{2x + 1}{2} \).
Nejprve se zbavíme zlomků vynásobením celé rovnice společným jmenovatelem, kterým je 6 (nejmenší společný násobek 3 a 2):
\( 6 \cdot \left( \frac{5x – 2}{3} + 4 \right) = 6 \cdot \frac{2x + 1}{2} \Rightarrow 6 \cdot \frac{5x – 2}{3} + 6 \cdot 4 = 6 \cdot \frac{2x + 1}{2} \)
Zjednodušíme jednotlivé členy:
\( 2 \cdot (5x – 2) + 24 = 3 \cdot (2x + 1) \Rightarrow 10x – 4 + 24 = 6x + 3 \)
Sečteme konstanty na levé straně:
\( 10x + 20 = 6x + 3 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 10x – 6x = 3 – 20 \Rightarrow 4x = -17 \)
Vydělíme obě strany 4:
\( x = -\frac{17}{4} \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranná strana: \( \frac{5 \cdot (-\frac{17}{4}) – 2}{3} + 4 = \frac{-\frac{85}{4} – 2}{3} + 4 = \frac{-\frac{85}{4} – \frac{8}{4}}{3} + 4 = \frac{-\frac{93}{4}}{3} + 4 = -\frac{93}{12} + 4 = -\frac{31}{4} + 4 = -7.75 + 4 = -3.75 \)
Pravostranná strana: \( \frac{2 \cdot (-\frac{17}{4}) + 1}{2} = \frac{-\frac{34}{4} + 1}{2} = \frac{-\frac{34}{4} + \frac{4}{4}}{2} = \frac{-\frac{30}{4}}{2} = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4} = -3.75 \)
Obě strany se shodují, řešení je správné: \( x = -\frac{17}{4} \).
19. Řešte rovnici: \( 7 – 2(3x – 4) = 5x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7 – 2(3x – 4) = 5x + 1 \).
Nejprve roznásobíme závorku na levé straně:
\( 7 – 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 = 5x + 1 \Rightarrow 7 – 6x + 8 = 5x + 1 \)
Sečteme konstanty na levé straně:
\( 15 – 6x = 5x + 1 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 15 – 1 = 5x + 6x \Rightarrow 14 = 11x \)
Vydělíme obě strany 11:
\( x = \frac{14}{11} \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranná strana: \( 7 – 2(3 \cdot \frac{14}{11} – 4) = 7 – 2\left(\frac{42}{11} – 4\right) = 7 – 2\left(\frac{42}{11} – \frac{44}{11}\right) = 7 – 2 \cdot \left(-\frac{2}{11}\right) = 7 + \frac{4}{11} = \frac{77}{11} + \frac{4}{11} = \frac{81}{11} \)
Pravostranná strana: \( 5 \cdot \frac{14}{11} + 1 = \frac{70}{11} + 1 = \frac{70}{11} + \frac{11}{11} = \frac{81}{11} \)
Obě strany jsou rovny, řešení je \( x = \frac{14}{11} \).
20. Řešte rovnici: \( 3x + \frac{4x – 5}{2} = 7 – x \)
Řešení:
Máme rovnici \( 3x + \frac{4x – 5}{2} = 7 – x \).
Nejprve se zbavíme zlomku vynásobením celé rovnice 2, což je společný jmenovatel:
\( 2 \cdot 3x + 2 \cdot \frac{4x – 5}{2} = 2 \cdot (7 – x) \Rightarrow 6x + (4x – 5) = 14 – 2x \)
Zjednodušíme levostrannou stranu:
\( 6x + 4x – 5 = 14 – 2x \Rightarrow 10x – 5 = 14 – 2x \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 10x + 2x = 14 + 5 \Rightarrow 12x = 19 \)
Vydělíme obě strany 12:
\( x = \frac{19}{12} \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranná strana: \( 3 \cdot \frac{19}{12} + \frac{4 \cdot \frac{19}{12} – 5}{2} = \frac{57}{12} + \frac{\frac{76}{12} – 5}{2} = \frac{57}{12} + \frac{\frac{76}{12} – \frac{60}{12}}{2} = \frac{57}{12} + \frac{\frac{16}{12}}{2} = \frac{57}{12} + \frac{8}{12} = \frac{65}{12} \)
Pravostranná strana: \( 7 – \frac{19}{12} = \frac{84}{12} – \frac{19}{12} = \frac{65}{12} \)
Obě strany jsou rovny, řešení je \( x = \frac{19}{12} \).
21. Řešte rovnici: \( 5(x – 2) – 3(2x + 1) = 4x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(x – 2) – 3(2x + 1) = 4x + 7 \).
Nejprve roznásobíme závorky na levé straně:
\( 5x – 10 – 6x – 3 = 4x + 7 \)
Zjednodušíme levostranný výraz:
\( (5x – 6x) + (-10 – 3) = 4x + 7 \Rightarrow -x – 13 = 4x + 7 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( -x – 4x = 7 + 13 \Rightarrow -5x = 20 \)
Vydělíme obě strany -5:
\( x = -4 \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranná strana: \( 5(-4 – 2) – 3(2 \cdot -4 + 1) = 5(-6) – 3(-8 + 1) = -30 – 3(-7) = -30 + 21 = -9 \)
Pravostranná strana: \( 4 \cdot (-4) + 7 = -16 + 7 = -9 \)
Obě strany jsou rovny, řešení je \( x = -4 \).
22. Řešte rovnici: \( \frac{3x + 2}{4} – \frac{x – 1}{3} = \frac{2x + 5}{6} \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{3x + 2}{4} – \frac{x – 1}{3} = \frac{2x + 5}{6} \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel všech zlomků, což je 12.
Vynásobíme celou rovnici 12, abychom odstranili zlomky:
\( 12 \cdot \frac{3x + 2}{4} – 12 \cdot \frac{x – 1}{3} = 12 \cdot \frac{2x + 5}{6} \Rightarrow 3(3x + 2) – 4(x – 1) = 2(2x + 5) \)
Rozebereme závorky:
\( 9x + 6 – 4x + 4 = 4x + 10 \)
Zjednodušíme levostranný výraz:
\( (9x – 4x) + (6 + 4) = 4x + 10 \Rightarrow 5x + 10 = 4x + 10 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 5x – 4x = 10 – 10 \Rightarrow x = 0 \)
Pro kontrolu dosadíme \( x = 0 \) do původní rovnice:
Levostranná strana: \( \frac{3 \cdot 0 + 2}{4} – \frac{0 – 1}{3} = \frac{2}{4} – \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
Pravostranná strana: \( \frac{2 \cdot 0 + 5}{6} = \frac{5}{6} \)
Obě strany se shodují, řešení je \( x = 0 \).
23. Řešte rovnici: \( 5 – 2(3x – 4) = 3x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5 – 2(3x – 4) = 3x + 1 \).
Nejprve roznásobíme výraz v závorce na levé straně rovnice:
\( 5 – 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 = 3x + 1 \Rightarrow 5 – 6x + 8 = 3x + 1 \)
Sjednotíme konstanty na levé straně:
\( (5 + 8) – 6x = 3x + 1 \Rightarrow 13 – 6x = 3x + 1 \)
Přesuneme všechny členy s proměnnou na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 13 – 6x – 3x = 1 \Rightarrow 13 – 9x = 1 \)
Odečteme 13 od obou stran:
\( 13 – 9x – 13 = 1 – 13 \Rightarrow -9x = -12 \)
Vydělíme obě strany rovnice -9:
\( \frac{-9x}{-9} = \frac{-12}{-9} \Rightarrow x = \frac{12}{9} \)
Zjednodušíme zlomek:
\( x = \frac{4}{3} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 5 – 2(3 \cdot \frac{4}{3} – 4) = 5 – 2(4 – 4) = 5 – 2 \cdot 0 = 5 \)
Pravý člen: \( 3 \cdot \frac{4}{3} + 1 = 4 + 1 = 5 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{4}{3} \).
24. Řešte rovnici: \( 7(2x – 3) + 4 = 3(5x + 1) \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7(2x – 3) + 4 = 3(5x + 1) \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách rovnice:
\( 7 \cdot 2x – 7 \cdot 3 + 4 = 3 \cdot 5x + 3 \cdot 1 \Rightarrow 14x – 21 + 4 = 15x + 3 \)
Sjednotíme konstanty na levé straně:
\( 14x – 17 = 15x + 3 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 14x – 15x = 3 + 17 \Rightarrow -x = 20 \)
Vynásobíme obě strany rovnice -1, abychom dostali \( x \) kladné:
\( x = -20 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 7(2 \cdot (-20) – 3) + 4 = 7(-40 – 3) + 4 = 7 \cdot (-43) + 4 = -301 + 4 = -297 \)
Pravý člen: \( 3(5 \cdot (-20) + 1) = 3(-100 + 1) = 3 \cdot (-99) = -297 \)
Obě strany jsou shodné, řešení je správné.
Řešení je \( x = -20 \).
25. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 1}{3} + \frac{x – 2}{2} = \frac{5x + 7}{6} \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{2x + 1}{3} + \frac{x – 2}{2} = \frac{5x + 7}{6} \).
Abychom odstranili zlomky, určíme společný jmenovatel všech zlomků, kterým je 6.
Vynásobíme celou rovnici číslem 6:
\( 6 \cdot \frac{2x + 1}{3} + 6 \cdot \frac{x – 2}{2} = 6 \cdot \frac{5x + 7}{6} \)
Jednotlivé členy upravíme:
\( 2 \cdot (2x + 1) + 3 \cdot (x – 2) = 5x + 7 \Rightarrow 4x + 2 + 3x – 6 = 5x + 7 \)
Sjednotíme levý člen:
\( (4x + 3x) + (2 – 6) = 5x + 7 \Rightarrow 7x – 4 = 5x + 7 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 7x – 5x = 7 + 4 \Rightarrow 2x = 11 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2:
\( x = \frac{11}{2} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{2 \cdot \frac{11}{2} + 1}{3} + \frac{\frac{11}{2} – 2}{2} = \frac{11 + 1}{3} + \frac{\frac{11}{2} – \frac{4}{2}}{2} = \frac{12}{3} + \frac{\frac{7}{2}}{2} = 4 + \frac{7}{4} = \frac{16}{4} + \frac{7}{4} = \frac{23}{4} \)
Pravý člen: \( \frac{5 \cdot \frac{11}{2} + 7}{6} = \frac{\frac{55}{2} + 7}{6} = \frac{\frac{55}{2} + \frac{14}{2}}{6} = \frac{\frac{69}{2}}{6} = \frac{69}{12} = \frac{23}{4} \)
Obě strany jsou shodné, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{11}{2} \).
26. Řešte rovnici: \( 4(x – 1) + 3 = 2(2x + 5) – (x + 3) \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(x – 1) + 3 = 2(2x + 5) – (x + 3) \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách:
\( 4x – 4 + 3 = 4x + 10 – x – 3 \Rightarrow 4x – 1 = 3x + 7 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 4x – 3x = 7 + 1 \Rightarrow x = 8 \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 4(8 – 1) + 3 = 4 \cdot 7 + 3 = 28 + 3 = 31 \)
Pravý člen: \( 2(2 \cdot 8 + 5) – (8 + 3) = 2(16 + 5) – 11 = 2 \cdot 21 – 11 = 42 – 11 = 31 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = 8 \).
27. Řešte rovnici: \( 6 – (x + 4) = 2x – (3 – x) \)
Řešení:
Máme rovnici \( 6 – (x + 4) = 2x – (3 – x) \).
Nejprve odstraníme závorky s mínusem na obou stranách:
\( 6 – x – 4 = 2x – 3 + x \Rightarrow 2 – x = 3x – 3 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 2 + 3 = 3x + x \Rightarrow 5 = 4x \)
Vydělíme obě strany 4:
\( x = \frac{5}{4} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 6 – \left(\frac{5}{4} + 4\right) = 6 – \frac{5}{4} – 4 = 2 – \frac{5}{4} = \frac{8}{4} – \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \)
Pravý člen: \( 2 \cdot \frac{5}{4} – \left(3 – \frac{5}{4}\right) = \frac{10}{4} – \left(\frac{12}{4} – \frac{5}{4}\right) = \frac{10}{4} – \frac{7}{4} = \frac{3}{4} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{5}{4} \).
28. Řešte rovnici: \( 3(x + 2) – 2(2x – 1) = x + 5 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 3(x + 2) – 2(2x – 1) = x + 5 \).
Nejprve roznásobíme závorky na levé straně:
\( 3x + 6 – 4x + 2 = x + 5 \Rightarrow (3x – 4x) + (6 + 2) = x + 5 \Rightarrow -x + 8 = x + 5 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( -x – x = 5 – 8 \Rightarrow -2x = -3 \)
Vydělíme obě strany -2:
\( x = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 3 \left(\frac{3}{2} + 2 \right) – 2 \left( 2 \cdot \frac{3}{2} – 1 \right) = 3 \cdot \frac{7}{2} – 2 (3 – 1) = \frac{21}{2} – 2 \cdot 2 = \frac{21}{2} – 4 = \frac{21 – 8}{2} = \frac{13}{2} \)
Pravý člen: \( \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2} \)
Obě strany jsou stejné, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{3}{2} \).
29. Řešte rovnici: \( 8 – 3(2x – 5) = 5x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 8 – 3(2x – 5) = 5x + 1 \).
Nejprve roznásobíme výraz na levé straně:
\( 8 – 6x + 15 = 5x + 1 \Rightarrow (8 + 15) – 6x = 5x + 1 \Rightarrow 23 – 6x = 5x + 1 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 23 – 1 = 5x + 6x \Rightarrow 22 = 11x \)
Vydělíme obě strany rovnice 11:
\( x = 2 \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 8 – 3(2 \cdot 2 – 5) = 8 – 3(4 – 5) = 8 – 3(-1) = 8 + 3 = 11 \)
Pravý člen: \( 5 \cdot 2 + 1 = 10 + 1 = 11 \)
Obě strany jsou shodné, řešení je správné.
Řešení je \( x = 2 \).
30. Řešte rovnici: \( 5(x – 2) + 3 = 2(x + 4) + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(x – 2) + 3 = 2(x + 4) + 1 \).
Nejprve použijeme distributivní zákon na obou stranách rovnice:
\( 5 \cdot x – 5 \cdot 2 + 3 = 2 \cdot x + 2 \cdot 4 + 1 \Rightarrow 5x – 10 + 3 = 2x + 8 + 1 \)
Zjednodušíme konstanty na obou stranách:
\( 5x – 7 = 2x + 9 \)
Teď odečteme \( 2x \) na obou stranách, abychom dostali proměnné na jedné straně:
\( 5x – 7 – 2x = 2x + 9 – 2x \Rightarrow 3x – 7 = 9 \)
Přidáme 7 k oběma stranám, abychom izolovali člen s \( x \):
\( 3x – 7 + 7 = 9 + 7 \Rightarrow 3x = 16 \)
Nakonec vydělíme obě strany rovnice 3:
\( \frac{3x}{3} = \frac{16}{3} \Rightarrow x = \frac{16}{3} \)
Pro ověření dosadíme zpět do původní rovnice:
Levý člen: \( 5 \left(\frac{16}{3} – 2\right) + 3 = 5 \left(\frac{16}{3} – \frac{6}{3}\right) + 3 = 5 \cdot \frac{10}{3} + 3 = \frac{50}{3} + 3 = \frac{50}{3} + \frac{9}{3} = \frac{59}{3} \)
Pravý člen: \( 2 \left(\frac{16}{3} + 4 \right) + 1 = 2 \left(\frac{16}{3} + \frac{12}{3}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{28}{3} + 1 = \frac{56}{3} + 1 = \frac{56}{3} + \frac{3}{3} = \frac{59}{3} \)
Obě strany jsou rovny, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{16}{3} \).
31. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 1}{2} = 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 1}{2} = 1 \).
Nejprve najdeme společného jmenovatele zlomků, což je 4. Přepíšeme druhý zlomek na jmenovatel 4:
\( \frac{2x + 3}{4} – \frac{2(x – 1)}{4} = 1 \)
Rovnice tedy vypadá jako:
\( \frac{2x + 3 – 2x + 2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{2x + 3 – 2x + 2}{4} = 1 \)
Zjednodušíme čitatel:
\( \frac{(2x – 2x) + (3 + 2)}{4} = \frac{5}{4} = 1 \)
V tomto kroku vidíme, že rovnice nemůže být pravdivá, protože \(\frac{5}{4} \neq 1\).
Nicméně pozor, musíme si zkontrolovat správnost zjednodušení.
Vraťme se a rozeberme čitatel podrobněji:
\( 2x + 3 – 2(x – 1) = 2x + 3 – 2x + 2 = 3 + 2 = 5 \)
Rovnice tedy přechází v \( \frac{5}{4} = 1 \), což není pravda.
To znamená, že původní rovnice nemá řešení.
Ověříme, že žádné \( x \) nezpůsobí rovnost:
Původní rovnice obsahuje výraz s proměnnou \( x \), ale zjednodušením jsme viděli, že členy s \( x \) se vyruší.
Tedy nemáme žádné hodnoty \( x \), které by vyhovovaly rovnici.
Řešení je prázdná množina, tedy žádné řešení.
32. Řešte rovnici: \( 7 – 2(3x + 4) = 5(x – 1) + 3 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7 – 2(3x + 4) = 5(x – 1) + 3 \).
Nejprve použijeme distributivní zákon na obou stranách rovnice:
\( 7 – 2 \cdot 3x – 2 \cdot 4 = 5x – 5 + 3 \Rightarrow 7 – 6x – 8 = 5x – 2 \)
Upravíme levou stranu rovnice:
\( (7 – 8) – 6x = 5x – 2 \Rightarrow -1 – 6x = 5x – 2 \)
Přidáme \( 6x \) na obě strany, abychom dostali proměnné na pravé straně:
\( -1 = 5x – 2 + 6x \Rightarrow -1 = 11x – 2 \)
Přidáme 2 na obě strany, abychom izolovali člen s \( x \):
\( -1 + 2 = 11x – 2 + 2 \Rightarrow 1 = 11x \)
Vydělíme obě strany 11:
\( \frac{1}{11} = x \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 7 – 2(3 \cdot \frac{1}{11} + 4) = 7 – 2\left(\frac{3}{11} + 4\right) = 7 – 2 \left(\frac{3}{11} + \frac{44}{11}\right) = 7 – 2 \cdot \frac{47}{11} = 7 – \frac{94}{11} = \frac{77}{11} – \frac{94}{11} = -\frac{17}{11} \)
Pravý člen: \( 5\left(\frac{1}{11} – 1\right) + 3 = 5 \left(\frac{1}{11} – \frac{11}{11}\right) + 3 = 5 \cdot \left(-\frac{10}{11}\right) + 3 = -\frac{50}{11} + 3 = -\frac{50}{11} + \frac{33}{11} = -\frac{17}{11} \)
Obě strany jsou shodné, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{1}{11} \).
33. Řešte rovnici: \( 4(2x – 3) = 3(3x + 1) – 2x \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(2x – 3) = 3(3x + 1) – 2x \).
Nejprve aplikujeme distributivní zákon na obou stranách rovnice:
\( 8x – 12 = 9x + 3 – 2x \)
Zjednodušíme pravou stranu rovnice:
\( 8x – 12 = (9x – 2x) + 3 = 7x + 3 \)
Odečteme \( 7x \) na obou stranách, abychom proměnné dostali na levé straně:
\( 8x – 7x – 12 = 7x – 7x + 3 \Rightarrow x – 12 = 3 \)
Přičteme 12 k oběma stranám rovnice, abychom izolovali \( x \):
\( x – 12 + 12 = 3 + 12 \Rightarrow x = 15 \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 4(2 \cdot 15 – 3) = 4(30 – 3) = 4 \cdot 27 = 108 \)
Pravý člen: \( 3(3 \cdot 15 + 1) – 2 \cdot 15 = 3(45 + 1) – 30 = 3 \cdot 46 – 30 = 138 – 30 = 108 \)
Obě strany jsou rovny, řešení je správné.
Řešení je \( x = 15 \).
34. Řešte rovnici: \( \frac{3x – 2}{5} + \frac{2x + 1}{10} = 3 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{3x – 2}{5} + \frac{2x + 1}{10} = 3 \).
Najdeme společný jmenovatel, který je 10.
Přepíšeme první zlomek na jmenovatel 10:
\( \frac{2(3x – 2)}{10} + \frac{2x + 1}{10} = 3 \)
Rovnice se tedy upraví na:
\( \frac{6x – 4 + 2x + 1}{10} = 3 \)
Sčítáme čitatele zlomků:
\( \frac{(6x + 2x) + (-4 + 1)}{10} = \frac{8x – 3}{10} = 3 \)
Vynásobíme celou rovnici 10, abychom se zbavili jmenovatele:
\( 8x – 3 = 30 \)
Přidáme 3 k oběma stranám:
\( 8x – 3 + 3 = 30 + 3 \Rightarrow 8x = 33 \)
Vydělíme obě strany 8:
\( x = \frac{33}{8} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen:
\( \frac{3 \cdot \frac{33}{8} – 2}{5} + \frac{2 \cdot \frac{33}{8} + 1}{10} = \frac{\frac{99}{8} – 2}{5} + \frac{\frac{66}{8} + 1}{10} \)
Upravíme čitatel prvního zlomku:
\( \frac{\frac{99}{8} – \frac{16}{8}}{5} = \frac{\frac{83}{8}}{5} = \frac{83}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{83}{40} \)
Upravíme čitatel druhého zlomku:
\( \frac{\frac{66}{8} + \frac{8}{8}}{10} = \frac{\frac{74}{8}}{10} = \frac{74}{8} \cdot \frac{1}{10} = \frac{74}{80} = \frac{37}{40} \)
Sčítáme oba zlomky:
\( \frac{83}{40} + \frac{37}{40} = \frac{120}{40} = 3 \)
Ověření vyšlo správně.
Řešení je \( x = \frac{33}{8} \).
35. Řešte rovnici: \( 5(x – 2) + 3 = 2(x + 4) + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(x – 2) + 3 = 2(x + 4) + 7 \).
Nejprve rozepíšeme závorky na obou stranách rovnice pomocí distributivního zákona:
\( 5 \cdot x – 5 \cdot 2 + 3 = 2 \cdot x + 2 \cdot 4 + 7 \Rightarrow 5x – 10 + 3 = 2x + 8 + 7 \)
Sjednotíme členy na obou stranách:
\( 5x – 7 = 2x + 15 \)
Nyní přeneseme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou. Odečteme \( 2x \) od obou stran:
\( 5x – 2x – 7 = 15 \Rightarrow 3x – 7 = 15 \)
Přičteme 7 k oběma stranám rovnice:
\( 3x – 7 + 7 = 15 + 7 \Rightarrow 3x = 22 \)
Vydělíme obě strany rovnice 3, abychom izolovali \( x \):
\( \frac{3x}{3} = \frac{22}{3} \Rightarrow x = \frac{22}{3} \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levá strana: \( 5 \left( \frac{22}{3} – 2 \right) + 3 = 5 \left( \frac{22}{3} – \frac{6}{3} \right) + 3 = 5 \cdot \frac{16}{3} + 3 = \frac{80}{3} + 3 = \frac{80}{3} + \frac{9}{3} = \frac{89}{3} \)
Pravá strana: \( 2 \left( \frac{22}{3} + 4 \right) + 7 = 2 \left( \frac{22}{3} + \frac{12}{3} \right) + 7 = 2 \cdot \frac{34}{3} + 7 = \frac{68}{3} + 7 = \frac{68}{3} + \frac{21}{3} = \frac{89}{3} \)
Obě strany se rovnají, takže řešení \( x = \frac{22}{3} \) je správné.
36. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 5}{6} = 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 5}{6} = 1 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel zlomků na levé straně, což je nejmenší společný násobek 4 a 6, tedy 12.
Vyjádříme každý zlomek se jmenovatelem 12:
\( \frac{2x + 3}{4} = \frac{3(2x + 3)}{12} = \frac{6x + 9}{12} \)
\( \frac{x – 5}{6} = \frac{2(x – 5)}{12} = \frac{2x – 10}{12} \)
Rovnice nyní vypadá takto:
\( \frac{6x + 9}{12} – \frac{2x – 10}{12} = 1 \)
Spočítáme rozdíl zlomků:
\( \frac{6x + 9 – (2x – 10)}{12} = 1 \Rightarrow \frac{6x + 9 – 2x + 10}{12} = 1 \Rightarrow \frac{4x + 19}{12} = 1 \)
Vynásobíme obě strany rovnice 12, abychom odstranili zlomek:
\( 4x + 19 = 12 \)
Odečteme 19 od obou stran:
\( 4x = 12 – 19 \Rightarrow 4x = -7 \)
Vydělíme obě strany rovnice 4:
\( x = \frac{-7}{4} \)
Pro kontrolu dosadíme do původní rovnice:
Levá strana: \( \frac{2 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) + 3}{4} – \frac{\left(-\frac{7}{4}\right) – 5}{6} = \frac{-\frac{14}{4} + 3}{4} – \frac{-\frac{7}{4} – 5}{6} = \frac{-\frac{14}{4} + \frac{12}{4}}{4} – \frac{-\frac{7}{4} – \frac{20}{4}}{6} = \frac{-\frac{2}{4}}{4} – \frac{-\frac{27}{4}}{6} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} + \frac{27}{24} = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8} = 1 \)
Výsledek souhlasí, tedy \( x = -\frac{7}{4} \) je řešení.
37. Řešte rovnici: \( 7 – 3(2x + 1) = 4x + 10 \)
Řešení:
Rovnice je \( 7 – 3(2x + 1) = 4x + 10 \).
Nejprve použijeme distributivní zákon pro rozvinutí výrazu \( -3(2x + 1) \):
\( 7 – 3 \cdot 2x – 3 \cdot 1 = 4x + 10 \Rightarrow 7 – 6x – 3 = 4x + 10 \)
Sjednotíme konstanty na levé straně:
\( (7 – 3) – 6x = 4x + 10 \Rightarrow 4 – 6x = 4x + 10 \)
Přeneseme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 4 – 6x – 4x = 10 \Rightarrow 4 – 10x = 10 \)
Odečteme 4 od obou stran:
\( -10x = 10 – 4 \Rightarrow -10x = 6 \)
Vydělíme obě strany rovnice -10:
\( x = \frac{6}{-10} = -\frac{3}{5} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levá strana: \( 7 – 3(2 \cdot -\frac{3}{5} + 1) = 7 – 3\left(-\frac{6}{5} + 1\right) = 7 – 3 \cdot \frac{-6 + 5}{5} = 7 – 3 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 7 + \frac{3}{5} = \frac{35}{5} + \frac{3}{5} = \frac{38}{5} \)
Pravá strana: \( 4 \cdot -\frac{3}{5} + 10 = -\frac{12}{5} + 10 = -\frac{12}{5} + \frac{50}{5} = \frac{38}{5} \)
Obě strany jsou rovny, řešení je správné.
38. Řešte rovnici: \( \frac{4x – 1}{3} + \frac{5 – 2x}{2} = 3 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{4x – 1}{3} + \frac{5 – 2x}{2} = 3 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel pro zlomky, což je 6.
Vyjádříme každý zlomek se jmenovatelem 6:
\( \frac{4x – 1}{3} = \frac{2(4x – 1)}{6} = \frac{8x – 2}{6} \)
\( \frac{5 – 2x}{2} = \frac{3(5 – 2x)}{6} = \frac{15 – 6x}{6} \)
Rovnice nyní vypadá takto:
\( \frac{8x – 2}{6} + \frac{15 – 6x}{6} = 3 \)
Sčítáme zlomky se stejným jmenovatelem:
\( \frac{8x – 2 + 15 – 6x}{6} = 3 \Rightarrow \frac{2x + 13}{6} = 3 \)
Vynásobíme obě strany rovnice 6, abychom se zbavili zlomku:
\( 2x + 13 = 18 \)
Odečteme 13 od obou stran:
\( 2x = 18 – 13 \Rightarrow 2x = 5 \)
Vydělíme obě strany 2:
\( x = \frac{5}{2} \)
Kontrola dosazením do původní rovnice:
Levá strana: \( \frac{4 \cdot \frac{5}{2} – 1}{3} + \frac{5 – 2 \cdot \frac{5}{2}}{2} = \frac{10 – 1}{3} + \frac{5 – 5}{2} = \frac{9}{3} + \frac{0}{2} = 3 + 0 = 3 \)
Levá strana se rovná pravé straně, tedy řešení je správné.
39. Řešte rovnici: \( 6x – (4x + 2) = 3(x – 1) + 5 \)
Řešení:
Rovnice je \( 6x – (4x + 2) = 3(x – 1) + 5 \).
Nejprve rozepíšeme závorky. Levá strana:
\( 6x – 4x – 2 = (6x – 4x) – 2 = 2x – 2 \)
Pravá strana:
\( 3x – 3 + 5 = 3x + 2 \)
Rovnice je tedy:
\( 2x – 2 = 3x + 2 \)
Přeneseme všechny členy s \( x \) na jednu stranu, konstanty na druhou:
\( 2x – 3x = 2 + 2 \Rightarrow -x = 4 \)
Vynásobíme obě strany rovnice -1:
\( x = -4 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levá strana: \( 6 \cdot (-4) – (4 \cdot (-4) + 2) = -24 – (-16 + 2) = -24 – (-14) = -24 + 14 = -10 \)
Pravá strana: \( 3(-4 – 1) + 5 = 3(-5) + 5 = -15 + 5 = -10 \)
Obě strany jsou rovny, řešení je správné.
40. Řešte rovnici: \( 5 – 2(3x – 4) = 7x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5 – 2(3x – 4) = 7x + 1 \).
Nejprve rozepíšeme závorku na levé straně, kde je výraz \(-2(3x – 4)\):
\( 5 – 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 = 7x + 1 \Rightarrow 5 – 6x + 8 = 7x + 1 \)
Sčítáme na levé straně konstanty \(5 + 8 = 13\):
\( 13 – 6x = 7x + 1 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 13 – 6x – 7x = 1 \Rightarrow 13 – 13x = 1 \)
Odečteme 13 na obou stranách rovnice:
\( 13 – 13x – 13 = 1 – 13 \Rightarrow -13x = -12 \)
Obě strany vydělíme \(-13\), abychom získali \(x\):
\( x = \frac{-12}{-13} = \frac{12}{13} \)
Pro ověření dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranný výraz: \( 5 – 2(3 \cdot \frac{12}{13} – 4) = 5 – 2\left(\frac{36}{13} – 4\right) = 5 – 2\left(\frac{36}{13} – \frac{52}{13}\right) = 5 – 2\left(-\frac{16}{13}\right) = 5 + \frac{32}{13} = \frac{65}{13} + \frac{32}{13} = \frac{97}{13} \)
Pravostranný výraz: \( 7 \cdot \frac{12}{13} + 1 = \frac{84}{13} + \frac{13}{13} = \frac{97}{13} \)
Obě strany jsou shodné, řešení je správné.
Řešení je tedy \( x = \frac{12}{13} \).
41. Řešte rovnici: \( \frac{4x – 3}{2} + \frac{5 – x}{3} = 2 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{4x – 3}{2} + \frac{5 – x}{3} = 2 \).
Nejprve odstraníme zlomky tak, že vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem obou zlomků, což je 6:
\( 6 \cdot \left( \frac{4x – 3}{2} + \frac{5 – x}{3} \right) = 6 \cdot 2 \Rightarrow 6 \cdot \frac{4x – 3}{2} + 6 \cdot \frac{5 – x}{3} = 12 \)
Krátíme jednotlivé členy:
\( 3(4x – 3) + 2(5 – x) = 12 \)
Rozevřeme závorky:
\( 3 \cdot 4x – 3 \cdot 3 + 2 \cdot 5 – 2 \cdot x = 12 \Rightarrow 12x – 9 + 10 – 2x = 12 \)
Sčítáme konstanty \(-9 + 10 = 1\):
\( 12x – 2x + 1 = 12 \Rightarrow 10x + 1 = 12 \)
Odečteme 1 na obou stranách:
\( 10x = 12 – 1 = 11 \)
Vydělíme 10:
\( x = \frac{11}{10} \)
Pro ověření dosadíme zpět do původní rovnice:
Levostranný výraz:
\( \frac{4 \cdot \frac{11}{10} – 3}{2} + \frac{5 – \frac{11}{10}}{3} = \frac{\frac{44}{10} – 3}{2} + \frac{5 – \frac{11}{10}}{3} = \frac{\frac{44}{10} – \frac{30}{10}}{2} + \frac{\frac{50}{10} – \frac{11}{10}}{3} = \frac{\frac{14}{10}}{2} + \frac{\frac{39}{10}}{3} = \frac{14}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{39}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{14}{20} + \frac{39}{30} \)
Najdeme společný jmenovatel 60:
\( \frac{14}{20} = \frac{42}{60}, \quad \frac{39}{30} = \frac{78}{60} \Rightarrow \frac{42}{60} + \frac{78}{60} = \frac{120}{60} = 2 \)
Ověření sedí, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{11}{10} \).
42. Řešte rovnici: \( 2(3x – 4) – 3(2x + 5) = 7 \)
Řešení:
Rovnice je \( 2(3x – 4) – 3(2x + 5) = 7 \).
Rozevřeme závorky:
\( 2 \cdot 3x – 2 \cdot 4 – 3 \cdot 2x – 3 \cdot 5 = 7 \Rightarrow 6x – 8 – 6x – 15 = 7 \)
Sčítáme členy s \(x\) a konstanty:
\( 6x – 6x – 8 – 15 = 7 \Rightarrow 0x – 23 = 7 \Rightarrow -23 = 7 \)
Vidíme, že rovnice nemá žádné \(x\) a konstanta \(-23\) se nerovná 7, což znamená, že rovnice nemá řešení.
Rovnice je tedy nesplnitelná.
43. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 1}{2} = 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 1}{2} = 1 \).
Nejprve odstraníme zlomky vynásobením rovnice společným jmenovatelem, což je 4:
\( 4 \cdot \left( \frac{2x + 3}{4} – \frac{x – 1}{2} \right) = 4 \cdot 1 \Rightarrow (2x + 3) – 2(x – 1) = 4 \)
Rozevřeme závorku \( -2(x – 1) \):
\( 2x + 3 – 2x + 2 = 4 \)
Sčítáme členy s \(x\) a konstanty:
\( 2x – 2x + 3 + 2 = 4 \Rightarrow 0x + 5 = 4 \Rightarrow 5 = 4 \)
Vidíme, že rovnice nemá žádné \(x\) a konstanty nejsou rovny, tedy rovnice nemá řešení.
Rovnice je nesplnitelná.
44. Řešte rovnici: \( 3(x – 2) + 4 = 2(2x + 1) – 3 \)
Řešení:
Rovnice je \( 3(x – 2) + 4 = 2(2x + 1) – 3 \).
Rozevřeme závorky na obou stranách:
\( 3x – 6 + 4 = 4x + 2 – 3 \)
Sčítáme konstanty:
\( 3x – 2 = 4x – 1 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 3x – 4x = -1 + 2 \Rightarrow -x = 1 \)
Vynásobíme obě strany rovnice \(-1\), abychom získali kladné \(x\):
\( x = -1 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levostrana: \( 3(-1 – 2) + 4 = 3(-3) + 4 = -9 + 4 = -5 \)
Pravostrana: \( 2(2 \cdot -1 + 1) – 3 = 2(-2 + 1) – 3 = 2(-1) – 3 = -2 – 3 = -5 \)
Obě strany jsou stejné, řešení je správné.
Řešení je \( x = -1 \).
45. Řešte rovnici: \( 7x – (2x + 3) = 4(x – 1) + 2 \)
Řešení:
Rovnice je \( 7x – (2x + 3) = 4(x – 1) + 2 \).
Rozepíšeme závorky:
\( 7x – 2x – 3 = 4x – 4 + 2 \)
Sčítáme členy na levé straně a konstanty na pravé straně:
\( 5x – 3 = 4x – 2 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na levou a konstanty na pravou stranu:
\( 5x – 4x = -2 + 3 \Rightarrow x = 1 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levostrana: \( 7 \cdot 1 – (2 \cdot 1 + 3) = 7 – (2 + 3) = 7 – 5 = 2 \)
Pravostrana: \( 4(1 – 1) + 2 = 4 \cdot 0 + 2 = 2 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = 1 \).
46. Řešte rovnici: \( \frac{3x + 4}{5} + \frac{2x – 1}{2} = 3 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{3x + 4}{5} + \frac{2x – 1}{2} = 3 \).
Nejprve vynásobíme rovnici společným jmenovatelem, kterým je 10, abychom odstranili zlomky:
\( 10 \cdot \left( \frac{3x + 4}{5} + \frac{2x – 1}{2} \right) = 10 \cdot 3 \Rightarrow 2(3x + 4) + 5(2x – 1) = 30 \)
Rozevřeme závorky:
\( 6x + 8 + 10x – 5 = 30 \)
Sčítáme členy s \(x\) a konstanty:
\( 16x + 3 = 30 \)
Odečteme 3 od obou stran:
\( 16x = 27 \)
Vydělíme 16:
\( x = \frac{27}{16} \)
Ověření dosazením zpět do původní rovnice:
Levostrana:
\( \frac{3 \cdot \frac{27}{16} + 4}{5} + \frac{2 \cdot \frac{27}{16} – 1}{2} = \frac{\frac{81}{16} + 4}{5} + \frac{\frac{54}{16} – 1}{2} = \frac{\frac{81}{16} + \frac{64}{16}}{5} + \frac{\frac{54}{16} – \frac{16}{16}}{2} = \frac{\frac{145}{16}}{5} + \frac{\frac{38}{16}}{2} = \frac{145}{80} + \frac{38}{32} \)
Najdeme společný jmenovatel 160:
\( \frac{145}{80} = \frac{290}{160}, \quad \frac{38}{32} = \frac{190}{160} \Rightarrow \frac{290}{160} + \frac{190}{160} = \frac{480}{160} = 3 \)
Ověření sedí, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{27}{16} \).
47. Řešte rovnici: \( 7(x – 2) + 3 = 2(3x + 1) + 5 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7(x – 2) + 3 = 2(3x + 1) + 5 \).
Nejprve rozebereme závorky na obou stranách rovnice:
\( 7(x – 2) = 7x – 14 \), takže levá strana je \( 7x – 14 + 3 = 7x – 11 \).
Na pravé straně máme \( 2(3x + 1) = 6x + 2 \), takže pravá strana je \( 6x + 2 + 5 = 6x + 7 \).
Rovnici tedy můžeme přepsat jako:
\( 7x – 11 = 6x + 7 \).
Dalším krokem je přenést všechny členy s neznámou na jednu stranu a všechny čísla na druhou stranu. Odečteme \(6x\) na obou stranách:
\( 7x – 6x – 11 = 6x – 6x + 7 \Rightarrow x – 11 = 7 \).
Poté přičteme 11 na obě strany rovnice:
\( x – 11 + 11 = 7 + 11 \Rightarrow x = 18 \).
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levostranný výraz: \( 7(18 – 2) + 3 = 7 \cdot 16 + 3 = 112 + 3 = 115 \).
Pravostranný výraz: \( 2(3 \cdot 18 + 1) + 5 = 2(54 + 1) + 5 = 2 \cdot 55 + 5 = 110 + 5 = 115 \).
Obě strany se rovnají, takže řešení je správné.
Řešení je \( x = 18 \).
48. Řešte rovnici: \( \frac{4x – 5}{3} = \frac{2x + 1}{2} \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{4x – 5}{3} = \frac{2x + 1}{2} \).
Abychom se zbavili zlomků, vynásobíme celou rovnici společným jmenovatelem, kterým je číslo 6 (nejmenší společný násobek 3 a 2):
\( 6 \cdot \frac{4x – 5}{3} = 6 \cdot \frac{2x + 1}{2} \Rightarrow 2(4x – 5) = 3(2x + 1) \).
Rozebereme závorky:
\( 2 \cdot 4x – 2 \cdot 5 = 8x – 10 \),
\( 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 6x + 3 \).
Rovnice nyní zní:
\( 8x – 10 = 6x + 3 \).
Přesuneme všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou stranu odečtením \(6x\) na obou stranách:
\( 8x – 6x – 10 = 6x – 6x + 3 \Rightarrow 2x – 10 = 3 \).
Přičteme 10 na obě strany rovnice:
\( 2x – 10 + 10 = 3 + 10 \Rightarrow 2x = 13 \).
Obě strany vydělíme 2:
\( \frac{2x}{2} = \frac{13}{2} \Rightarrow x = \frac{13}{2} = 6{,}5 \).
Ověření dosazením zpět do původní rovnice:
Levý výraz: \( \frac{4 \cdot \frac{13}{2} – 5}{3} = \frac{26 – 5}{3} = \frac{21}{3} = 7 \).
Pravý výraz: \( \frac{2 \cdot \frac{13}{2} + 1}{2} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).
Obě strany se rovnají, řešení sedí.
Řešení je \( x = \frac{13}{2} \).
49. Řešte rovnici: \( 5 – 2(3x + 4) = 3(x – 2) + 7 \)
Řešení:
Rovnice je \( 5 – 2(3x + 4) = 3(x – 2) + 7 \).
Nejprve rozebereme závorky:
\( -2(3x + 4) = -6x – 8 \), takže levá strana je \( 5 – 6x – 8 = -6x – 3 \).
Na pravé straně rozebereme závorku:
\( 3(x – 2) = 3x – 6 \), takže pravá strana je \( 3x – 6 + 7 = 3x + 1 \).
Rovnici přepíšeme jako:
\( -6x – 3 = 3x + 1 \).
Přesuneme všechny členy s neznámou na levou stranu a konstanty na pravou stranu:
Přidáme \(6x\) na obě strany:
\( -6x + 6x – 3 = 3x + 6x + 1 \Rightarrow -3 = 9x + 1 \).
Odečteme 1 na obou stranách:
\( -3 – 1 = 9x + 1 – 1 \Rightarrow -4 = 9x \).
Obě strany vydělíme 9:
\( \frac{-4}{9} = x \Rightarrow x = -\frac{4}{9} \).
Ověříme dosazením zpět do původní rovnice:
Levý výraz:
\( 5 – 2(3 \cdot -\frac{4}{9} + 4) = 5 – 2(-\frac{12}{9} + 4) = 5 – 2(-\frac{4}{3} + 4) \).
Vypočteme uvnitř závorky:
\( -\frac{4}{3} + 4 = -\frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{8}{3} \).
Pokračujeme:
\( 5 – 2 \cdot \frac{8}{3} = 5 – \frac{16}{3} = \frac{15}{3} – \frac{16}{3} = -\frac{1}{3} \).
Pravý výraz:
\( 3(-\frac{4}{9} – 2) + 7 = 3\left(-\frac{4}{9} – \frac{18}{9}\right) + 7 = 3 \cdot \left(-\frac{22}{9}\right) + 7 = -\frac{66}{9} + 7 = -\frac{22}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{1}{3} \).
Obě strany se rovnají, takže řešení je správné.
Řešení je \( x = -\frac{4}{9} \).
50. Řešte rovnici: \( \frac{3x + 2}{4} – \frac{2x – 1}{6} = 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{3x + 2}{4} – \frac{2x – 1}{6} = 1 \).
Nejprve odstraníme zlomky vynásobením celé rovnice společným jmenovatelem 12 (nejmenší společný násobek 4 a 6):
\( 12 \cdot \frac{3x + 2}{4} – 12 \cdot \frac{2x – 1}{6} = 12 \cdot 1 \Rightarrow 3(3x + 2) – 2(2x – 1) = 12 \).
Rozebereme závorky:
\( 3 \cdot 3x + 3 \cdot 2 = 9x + 6 \),
\( 2 \cdot 2x – 2 \cdot 1 = 4x – 2 \).
Rovnice nyní zní:
\( 9x + 6 – (4x – 2) = 12 \).
Upravíme levou stranu odstraněním závorky s mínusem:
\( 9x + 6 – 4x + 2 = 12 \Rightarrow (9x – 4x) + (6 + 2) = 12 \Rightarrow 5x + 8 = 12 \).
Odečteme 8 na obou stranách:
\( 5x + 8 – 8 = 12 – 8 \Rightarrow 5x = 4 \).
Obě strany vydělíme 5:
\( \frac{5x}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \frac{4}{5} \).
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý výraz:
\( \frac{3 \cdot \frac{4}{5} + 2}{4} – \frac{2 \cdot \frac{4}{5} – 1}{6} = \frac{\frac{12}{5} + 2}{4} – \frac{\frac{8}{5} – 1}{6} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{10}{5}}{4} – \frac{\frac{8}{5} – \frac{5}{5}}{6} = \frac{\frac{22}{5}}{4} – \frac{\frac{3}{5}}{6} \).
Přepíšeme zlomky:
\( \frac{22}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{22}{20} = \frac{11}{10} \),
\( \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \).
Celkově:
\( \frac{11}{10} – \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1 \).
Levý a pravý výraz jsou shodné, řešení sedí.
Řešení je \( x = \frac{4}{5} \).
51. Řešte rovnici: \( 4(x + 1) – 3(x – 2) = 2x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(x + 1) – 3(x – 2) = 2x + 7 \).
Nejprve rozebereme závorky:
\( 4(x + 1) = 4x + 4 \),
\( -3(x – 2) = -3x + 6 \).
Levou stranu tedy přepíšeme jako:
\( 4x + 4 – 3x + 6 = (4x – 3x) + (4 + 6) = x + 10 \).
Rovnice nyní zní:
\( x + 10 = 2x + 7 \).
Přesuneme všechny členy s neznámou na jednu stranu, konstanty na druhou:
Odečteme \( x \) na obou stranách:
\( x – x + 10 = 2x – x + 7 \Rightarrow 10 = x + 7 \).
Odečteme 7 na obou stranách:
\( 10 – 7 = x + 7 – 7 \Rightarrow 3 = x \).
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý výraz:
\( 4(3 + 1) – 3(3 – 2) = 4 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 16 – 3 = 13 \).
Pravý výraz:
\( 2 \cdot 3 + 7 = 6 + 7 = 13 \).
Obě strany se rovnají, řešení sedí.
Řešení je \( x = 3 \).
53. Řešte rovnici: \( 4(2x – 3) – 5 = 3(3x + 1) + 2 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(2x – 3) – 5 = 3(3x + 1) + 2 \).
Nejprve použijeme rozložení závorek na obou stranách rovnice:
\( 4 \cdot 2x – 4 \cdot 3 – 5 = 3 \cdot 3x + 3 \cdot 1 + 2 \Rightarrow 8x – 12 – 5 = 9x + 3 + 2 \)
Sečteme členy na levé a pravé straně:
\( 8x – 17 = 9x + 5 \)
Chceme získat všechny členy s neznámou na jedné straně a konstanty na druhé. Odečteme \(8x\) z obou stran:
\( 8x – 17 – 8x = 9x + 5 – 8x \Rightarrow -17 = x + 5 \)
Odečteme 5 na obou stranách rovnice, aby zůstala \(x\) samotná:
\( -17 – 5 = x + 5 – 5 \Rightarrow -22 = x \)
Řešení rovnice je tedy \( x = -22 \).
Ověření: dosadíme do původní rovnice.
Levá strana: \( 4(2 \cdot (-22) – 3) – 5 = 4(-44 – 3) – 5 = 4(-47) – 5 = -188 – 5 = -193 \)
Pravá strana: \( 3(3 \cdot (-22) + 1) + 2 = 3(-66 + 1) + 2 = 3(-65) + 2 = -195 + 2 = -193 \)
Levý a pravý výraz jsou shodné, rovnice je tedy správně vyřešena.
54. Řešte rovnici: \( \frac{5x – 3}{2} + \frac{3x + 1}{4} = 7 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{5x – 3}{2} + \frac{3x + 1}{4} = 7 \).
Abychom odstranili zlomky, vynásobíme celou rovnici nejmenším společným násobkem jmenovatelů, což je 4:
\( 4 \cdot \left( \frac{5x – 3}{2} + \frac{3x + 1}{4} \right) = 4 \cdot 7 \Rightarrow 4 \cdot \frac{5x – 3}{2} + 4 \cdot \frac{3x + 1}{4} = 28 \)
Vypočítáme jednotlivé členy:
\( 2(5x – 3) + (3x + 1) = 28 \Rightarrow 10x – 6 + 3x + 1 = 28 \)
Sečteme členy s \(x\) a konstanty:
\( 13x – 5 = 28 \)
Přičteme 5 k oběma stranám rovnice:
\( 13x = 33 \)
Vydělíme obě strany rovnice číslem 13:
\( x = \frac{33}{13} \)
Ověření dosazením zpět do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{5 \cdot \frac{33}{13} – 3}{2} + \frac{3 \cdot \frac{33}{13} + 1}{4} = \frac{\frac{165}{13} – 3}{2} + \frac{\frac{99}{13} + 1}{4} \)
Upravíme konstanty na společného jmenovatele 13:
\( \frac{\frac{165}{13} – \frac{39}{13}}{2} + \frac{\frac{99}{13} + \frac{13}{13}}{4} = \frac{\frac{126}{13}}{2} + \frac{\frac{112}{13}}{4} = \frac{126}{13 \cdot 2} + \frac{112}{13 \cdot 4} = \frac{126}{26} + \frac{112}{52} \)
Převedeme na společný jmenovatel 52:
\( \frac{126 \cdot 2}{52} + \frac{112}{52} = \frac{252}{52} + \frac{112}{52} = \frac{364}{52} \)
Zkrátíme zlomek dělením 4:
\( \frac{364}{52} = \frac{91}{13} \approx 7 \)
Hodnota je správná, řešení je \( x = \frac{33}{13} \).
55. Řešte rovnici: \( 7 – 2(3x + 4) = 5x + 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( 7 – 2(3x + 4) = 5x + 1 \).
Nejprve rozepíšeme výraz na levé straně:
\( 7 – 6x – 8 = 5x + 1 \)
Sečteme konstanty na levé straně:
\( -6x – 1 = 5x + 1 \)
Přesuneme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou stranu. Přidáme \(6x\) na obě strany:
\( -1 = 5x + 1 + 6x \Rightarrow -1 = 11x + 1 \)
Odečteme 1 na obou stranách:
\( -2 = 11x \)
Vydělíme obě strany 11:
\( x = \frac{-2}{11} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 7 – 2(3 \cdot \frac{-2}{11} + 4) = 7 – 2\left(\frac{-6}{11} + 4\right) = 7 – 2\left(\frac{-6}{11} + \frac{44}{11}\right) = 7 – 2 \cdot \frac{38}{11} = 7 – \frac{76}{11} = \frac{77}{11} – \frac{76}{11} = \frac{1}{11} \)
Pravý člen: \( 5 \cdot \frac{-2}{11} + 1 = \frac{-10}{11} + 1 = \frac{-10}{11} + \frac{11}{11} = \frac{1}{11} \)
Obě strany se shodují, řešení je správné.
56. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 1}{3} – \frac{x – 2}{6} = \frac{5x + 4}{12} \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{2x + 1}{3} – \frac{x – 2}{6} = \frac{5x + 4}{12} \).
Nejmenší společný násobek jmenovatelů 3, 6 a 12 je 12. Vynásobíme celou rovnici 12, abychom se zbavili zlomků:
\( 12 \cdot \frac{2x + 1}{3} – 12 \cdot \frac{x – 2}{6} = 12 \cdot \frac{5x + 4}{12} \Rightarrow 4(2x + 1) – 2(x – 2) = 5x + 4 \)
Rozložíme závorky:
\( 8x + 4 – 2x + 4 = 5x + 4 \)
Sečteme podobné členy na levé straně:
\( 6x + 8 = 5x + 4 \)
Odečteme \(5x\) na obou stranách:
\( 6x – 5x + 8 = 4 \Rightarrow x + 8 = 4 \)
Odečteme 8 na obou stranách:
\( x = 4 – 8 \Rightarrow x = -4 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{2 \cdot (-4) + 1}{3} – \frac{-4 – 2}{6} = \frac{-8 + 1}{3} – \frac{-6}{6} = \frac{-7}{3} + 1 = \frac{-7}{3} + \frac{3}{3} = \frac{-4}{3} \)
Pravý člen: \( \frac{5 \cdot (-4) + 4}{12} = \frac{-20 + 4}{12} = \frac{-16}{12} = \frac{-4}{3} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
57. Řešte rovnici: \( 2(x – 1) + 3(2x + 5) = 4(x + 3) + 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( 2(x – 1) + 3(2x + 5) = 4(x + 3) + 1 \).
Nejprve rozložíme závorky:
\( 2x – 2 + 6x + 15 = 4x + 12 + 1 \)
Sečteme členy na levé a pravé straně:
\( 8x + 13 = 4x + 13 \)
Odečteme \(4x\) a 13 na obou stranách:
\( 8x – 4x + 13 – 13 = 4x – 4x + 13 – 13 \Rightarrow 4x = 0 \)
Vydělíme obě strany rovnice 4:
\( x = 0 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 2(0 – 1) + 3(2 \cdot 0 + 5) = 2(-1) + 3(5) = -2 + 15 = 13 \)
Pravý člen: \( 4(0 + 3) + 1 = 4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13 \)
Obě strany se rovnají, rovnice je správně vyřešena.
58. Řešte rovnici: \( 5 – \frac{2x + 1}{3} = \frac{x – 4}{6} \)
Řešení:
Rovnice je \( 5 – \frac{2x + 1}{3} = \frac{x – 4}{6} \).
Vynásobíme celou rovnici nejmenším společným násobkem jmenovatelů 3 a 6, což je 6, abychom odstranili zlomky:
\( 6 \cdot \left( 5 – \frac{2x + 1}{3} \right) = 6 \cdot \frac{x – 4}{6} \Rightarrow 6 \cdot 5 – 6 \cdot \frac{2x + 1}{3} = x – 4 \)
Vypočítáme jednotlivé členy:
\( 30 – 2(2x + 1) = x – 4 \Rightarrow 30 – 4x – 2 = x – 4 \)
Sečteme konstanty na levé straně:
\( 28 – 4x = x – 4 \)
Přesuneme členy s \(x\) na jednu stranu, konstanty na druhou. Přidáme \(4x\) na obě strany:
\( 28 = 5x – 4 \)
Přičteme 4 na obě strany:
\( 32 = 5x \)
Vydělíme obě strany 5:
\( x = \frac{32}{5} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 5 – \frac{2 \cdot \frac{32}{5} + 1}{3} = 5 – \frac{\frac{64}{5} + 1}{3} = 5 – \frac{\frac{69}{5}}{3} = 5 – \frac{69}{15} = \frac{75}{15} – \frac{69}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
Pravý člen: \( \frac{\frac{32}{5} – 4}{6} = \frac{\frac{32}{5} – \frac{20}{5}}{6} = \frac{\frac{12}{5}}{6} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
59. Řešte rovnici: \( 5(2x – 3) – 4(x + 1) = 3x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(2x – 3) – 4(x + 1) = 3x + 7 \).
Nejprve rozvineme závorky na levé straně rovnice podle distributivního zákona:
\( 5 \cdot 2x = 10x \), \( 5 \cdot (-3) = -15 \), \( -4 \cdot x = -4x \), \( -4 \cdot 1 = -4 \), takže:
\( 10x – 15 – 4x – 4 = 3x + 7 \).
Sesumarizujeme členy na levé straně, které obsahují \( x \) a konstanty:
\( (10x – 4x) + (-15 – 4) = 3x + 7 \Rightarrow 6x – 19 = 3x + 7 \).
Nyní odečteme \( 3x \) z obou stran, abychom dostali všechny členy s \( x \) na levou stranu:
\( 6x – 3x – 19 = 3x – 3x + 7 \Rightarrow 3x – 19 = 7 \).
Poté přičteme 19 k oběma stranám rovnice, abychom izolovali člen s \( x \):
\( 3x – 19 + 19 = 7 + 19 \Rightarrow 3x = 26 \).
Nyní vydělíme obě strany rovnice 3, abychom získali \( x \):
\( \frac{3x}{3} = \frac{26}{3} \Rightarrow x = \frac{26}{3} \).
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levá strana: \( 5 \left( 2 \cdot \frac{26}{3} – 3 \right) – 4 \left( \frac{26}{3} + 1 \right) = 5 \left( \frac{52}{3} – 3 \right) – 4 \left( \frac{26}{3} + \frac{3}{3} \right) = 5 \cdot \frac{43}{3} – 4 \cdot \frac{29}{3} = \frac{215}{3} – \frac{116}{3} = \frac{99}{3} = 33 \).
Pravá strana: \( 3 \cdot \frac{26}{3} + 7 = 26 + 7 = 33 \).
Obě strany jsou rovné, tedy řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{26}{3} \).
60. Řešte rovnici: \( \frac{4x – 7}{3} + \frac{2x + 5}{2} = 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{4x – 7}{3} + \frac{2x + 5}{2} = 7 \).
Nejprve zjistíme společného jmenovatele zlomků na levé straně, což je 6 (nejmenší společný násobek 3 a 2).
Obě zlomky upravíme tak, aby měly jmenovatel 6:
\( \frac{4x – 7}{3} = \frac{2(4x – 7)}{6} = \frac{8x – 14}{6} \),
\( \frac{2x + 5}{2} = \frac{3(2x + 5)}{6} = \frac{6x + 15}{6} \).
Rovnice nyní vypadá takto:
\( \frac{8x – 14}{6} + \frac{6x + 15}{6} = 7 \).
Sečteme zlomky se stejným jmenovatelem:
\( \frac{8x – 14 + 6x + 15}{6} = 7 \Rightarrow \frac{14x + 1}{6} = 7 \).
Nyní obě strany rovnice vynásobíme 6, abychom se zbavili jmenovatele:
\( 14x + 1 = 42 \).
Odečteme 1 od obou stran:
\( 14x = 41 \).
Vydělíme obě strany rovnice 14:
\( x = \frac{41}{14} \).
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levý zlomek: \( \frac{4 \cdot \frac{41}{14} – 7}{3} = \frac{\frac{164}{14} – 7}{3} = \frac{\frac{164}{14} – \frac{98}{14}}{3} = \frac{\frac{66}{14}}{3} = \frac{66}{14 \cdot 3} = \frac{66}{42} = \frac{11}{7} \).
Pravý zlomek: \( \frac{2 \cdot \frac{41}{14} + 5}{2} = \frac{\frac{82}{14} + 5}{2} = \frac{\frac{82}{14} + \frac{70}{14}}{2} = \frac{\frac{152}{14}}{2} = \frac{152}{14 \cdot 2} = \frac{152}{28} = \frac{38}{7} \).
Součet zlomků: \( \frac{11}{7} + \frac{38}{7} = \frac{49}{7} = 7 \), což je správně.
Řešení je \( x = \frac{41}{14} \).
61. Řešte rovnici: \( 7 – 3(x – 4) = 2(2x + 1) – 5 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7 – 3(x – 4) = 2(2x + 1) – 5 \).
Nejprve rozvineme závorky na obou stranách rovnice:
Na levé straně: \( -3 \cdot x = -3x \), \( -3 \cdot (-4) = +12 \), takže:
\( 7 – 3x + 12 \).
Na pravé straně: \( 2 \cdot 2x = 4x \), \( 2 \cdot 1 = 2 \), takže:
\( 4x + 2 – 5 \).
Rovnice tedy nyní zní:
\( 7 + 12 – 3x = 4x + 2 – 5 \Rightarrow 19 – 3x = 4x – 3 \).
Odečteme \( 4x \) z obou stran, abychom přesunuli členy s \( x \) na levou stranu:
\( 19 – 3x – 4x = 4x – 4x – 3 \Rightarrow 19 – 7x = -3 \).
Odečteme 19 od obou stran:
\( 19 – 7x – 19 = -3 – 19 \Rightarrow -7x = -22 \).
Vydělíme obě strany rovnice -7:
\( x = \frac{-22}{-7} = \frac{22}{7} \).
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levý výraz: \( 7 – 3 \left( \frac{22}{7} – 4 \right) = 7 – 3 \left( \frac{22}{7} – \frac{28}{7} \right) = 7 – 3 \left( -\frac{6}{7} \right) = 7 + \frac{18}{7} = \frac{49}{7} + \frac{18}{7} = \frac{67}{7} \).
Pravý výraz: \( 2 \left( 2 \cdot \frac{22}{7} + 1 \right) – 5 = 2 \left( \frac{44}{7} + 1 \right) – 5 = 2 \left( \frac{44}{7} + \frac{7}{7} \right) – 5 = 2 \cdot \frac{51}{7} – 5 = \frac{102}{7} – 5 = \frac{102}{7} – \frac{35}{7} = \frac{67}{7} \).
Obě strany jsou rovné, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{22}{7} \).
62. Řešte rovnici: \( 8x – \frac{5x + 3}{4} = 6 – \frac{3x – 2}{2} \)
Řešení:
Máme rovnici \( 8x – \frac{5x + 3}{4} = 6 – \frac{3x – 2}{2} \).
Nejprve najdeme společného jmenovatele, který je 4, a upravíme zlomky tak, aby bylo možné je snadněji sčítat či odčítat:
Zlomek na pravé straně upravíme tak, aby měl jmenovatel 4:
\( \frac{3x – 2}{2} = \frac{2(3x – 2)}{4} = \frac{6x – 4}{4} \).
Rovnice se tedy přepíše na:
\( 8x – \frac{5x + 3}{4} = 6 – \frac{6x – 4}{4} \).
Obě strany vynásobíme 4, abychom se zbavili jmenovatelů:
\( 4 \cdot 8x – 4 \cdot \frac{5x + 3}{4} = 4 \cdot 6 – 4 \cdot \frac{6x – 4}{4} \Rightarrow 32x – (5x + 3) = 24 – (6x – 4) \).
Odebereme závorky:
\( 32x – 5x – 3 = 24 – 6x + 4 \Rightarrow (32x – 5x) – 3 = (24 + 4) – 6x \Rightarrow 27x – 3 = 28 – 6x \).
Přesuneme všechny členy s \( x \) na levou stranu a konstanty na pravou:
\( 27x + 6x = 28 + 3 \Rightarrow 33x = 31 \).
Vydělíme obě strany rovnice 33:
\( x = \frac{31}{33} \).
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levý výraz:
\( 8 \cdot \frac{31}{33} – \frac{5 \cdot \frac{31}{33} + 3}{4} = \frac{248}{33} – \frac{\frac{155}{33} + 3}{4} = \frac{248}{33} – \frac{\frac{155}{33} + \frac{99}{33}}{4} = \frac{248}{33} – \frac{\frac{254}{33}}{4} = \frac{248}{33} – \frac{254}{132} \).
Vyjádříme oba zlomky na společný jmenovatel 132:
\( \frac{248}{33} = \frac{248 \cdot 4}{132} = \frac{992}{132} \).
Takže levý výraz je \( \frac{992}{132} – \frac{254}{132} = \frac{738}{132} = \frac{123}{22} \).
Pravý výraz:
\( 6 – \frac{3 \cdot \frac{31}{33} – 2}{2} = 6 – \frac{\frac{93}{33} – 2}{2} = 6 – \frac{\frac{93}{33} – \frac{66}{33}}{2} = 6 – \frac{\frac{27}{33}}{2} = 6 – \frac{27}{66} \).
Vyjádříme 6 jako zlomek se jmenovatelem 66:
\( 6 = \frac{396}{66} \), takže pravý výraz je \( \frac{396}{66} – \frac{27}{66} = \frac{369}{66} = \frac{123}{22} \).
Obě strany jsou rovné, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{31}{33} \).
63. Řešte rovnici: \( 5(2x – 3) = 3(x + 7) + 4 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(2x – 3) = 3(x + 7) + 4 \).
Nejprve rozepíšeme závorky na obou stranách rovnice:
\( 5 \cdot 2x – 5 \cdot 3 = 3 \cdot x + 3 \cdot 7 + 4 \Rightarrow 10x – 15 = 3x + 21 + 4 \)
Sečteme členy na pravé straně rovnice:
\( 10x – 15 = 3x + 25 \)
Nyní převedeme všechny členy s neznámou \( x \) na levou stranu a konstanty na pravou stranu. Nejprve odečteme \( 3x \) od obou stran:
\( 10x – 3x – 15 = 3x – 3x + 25 \Rightarrow 7x – 15 = 25 \)
Dále přičteme 15 k oběma stranám rovnice:
\( 7x – 15 + 15 = 25 + 15 \Rightarrow 7x = 40 \)
Obě strany vydělíme 7, abychom získali \( x \):
\( \frac{7x}{7} = \frac{40}{7} \Rightarrow x = \frac{40}{7} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 5(2 \cdot \frac{40}{7} – 3) = 5\left(\frac{80}{7} – 3\right) = 5 \cdot \frac{80 – 21}{7} = 5 \cdot \frac{59}{7} = \frac{295}{7} \).
Pravý člen: \( 3\left(\frac{40}{7} + 7\right) + 4 = 3\left(\frac{40}{7} + \frac{49}{7}\right) + 4 = 3 \cdot \frac{89}{7} + 4 = \frac{267}{7} + 4 = \frac{267}{7} + \frac{28}{7} = \frac{295}{7} \).
Obě strany se rovnají, tedy řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{40}{7} \).
64. Řešte rovnici: \( \frac{3x + 1}{4} – \frac{2x – 5}{3} = 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{3x + 1}{4} – \frac{2x – 5}{3} = 1 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel pro zlomky na levé straně, kterým je 12:
Přepíšeme zlomek:
\( \frac{3x + 1}{4} = \frac{3(3x + 1)}{12} = \frac{9x + 3}{12} \)
\( \frac{2x – 5}{3} = \frac{4(2x – 5)}{12} = \frac{8x – 20}{12} \)
Rovnici tedy přepíšeme jako:
\( \frac{9x + 3}{12} – \frac{8x – 20}{12} = 1 \Rightarrow \frac{9x + 3 – (8x – 20)}{12} = 1 \)
Rozepíšeme výraz v čitateli:
\( 9x + 3 – 8x + 20 = (9x – 8x) + (3 + 20) = x + 23 \)
Rovnice je nyní:
\( \frac{x + 23}{12} = 1 \)
Obě strany rovnice vynásobíme 12:
\( x + 23 = 12 \)
Odečteme 23 od obou stran:
\( x = 12 – 23 \Rightarrow x = -11 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{3(-11) + 1}{4} – \frac{2(-11) – 5}{3} = \frac{-33 + 1}{4} – \frac{-22 – 5}{3} = \frac{-32}{4} – \frac{-27}{3} = -8 + 9 = 1 \)
Rovnost platí, řešení je tedy správné.
Řešení je \( x = -11 \).
65. Řešte rovnici: \( 7x – (4x + 9) = 2(3x – 5) \)
Řešení:
Rovnice je \( 7x – (4x + 9) = 2(3x – 5) \).
Nejprve rozepíšeme závorky na levé i pravé straně:
Levý člen: \( 7x – 4x – 9 = 3x – 9 \)
Pravý člen: \( 2 \cdot 3x – 2 \cdot 5 = 6x – 10 \)
Rovnice tedy přechází na tvar:
\( 3x – 9 = 6x – 10 \)
Převedeme všechny členy s \( x \) na levou stranu a konstanty na pravou stranu. Odečteme \( 3x \) od obou stran:
\( 3x – 3x – 9 = 6x – 3x – 10 \Rightarrow -9 = 3x – 10 \)
Přičteme 10 k oběma stranám:
\( -9 + 10 = 3x – 10 + 10 \Rightarrow 1 = 3x \)
Obě strany vydělíme 3:
\( \frac{1}{3} = x \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 7 \cdot \frac{1}{3} – \left(4 \cdot \frac{1}{3} + 9\right) = \frac{7}{3} – \left(\frac{4}{3} + 9\right) = \frac{7}{3} – \frac{4}{3} – 9 = \frac{3}{3} – 9 = 1 – 9 = -8 \)
Pravý člen: \( 2 \left(3 \cdot \frac{1}{3} – 5\right) = 2 (1 – 5) = 2 \cdot (-4) = -8 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{1}{3} \).
66. Řešte rovnici: \( 4(2x + 1) – 3(x – 2) = 5x + 9 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(2x + 1) – 3(x – 2) = 5x + 9 \).
Rozepíšeme závorky:
\( 4 \cdot 2x + 4 \cdot 1 – 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 8x + 4 – 3x + 6 \)
Sjednotíme levý člen:
\( 8x – 3x + 4 + 6 = 5x + 10 \)
Rovnice je nyní:
\( 5x + 10 = 5x + 9 \)
Odečteme \( 5x \) od obou stran:
\( 5x – 5x + 10 = 5x – 5x + 9 \Rightarrow 10 = 9 \)
Tato rovnost není pravdivá, znamená to, že žádné \( x \) nevyhovuje této rovnici.
Rovnice nemá řešení.
67. Řešte rovnici: \( \frac{2x – 1}{5} + \frac{3x + 4}{2} = \frac{7x + 3}{10} \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{2x – 1}{5} + \frac{3x + 4}{2} = \frac{7x + 3}{10} \).
Nejprve určíme společný jmenovatel všech zlomků, což je 10.
Převedeme všechny zlomky na společného jmenovatele 10:
\( \frac{2x – 1}{5} = \frac{2(2x – 1)}{10} = \frac{4x – 2}{10} \)
\( \frac{3x + 4}{2} = \frac{5(3x + 4)}{10} = \frac{15x + 20}{10} \)
Pravý člen je již se jmenovatelem 10: \( \frac{7x + 3}{10} \).
Nyní máme rovnici:
\( \frac{4x – 2}{10} + \frac{15x + 20}{10} = \frac{7x + 3}{10} \)
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{4x – 2 + 15x + 20}{10} = \frac{7x + 3}{10} \Rightarrow \frac{19x + 18}{10} = \frac{7x + 3}{10} \)
Vynásobíme obě strany 10:
\( 19x + 18 = 7x + 3 \)
Odečteme \( 7x \) od obou stran:
\( 19x – 7x + 18 = 7x – 7x + 3 \Rightarrow 12x + 18 = 3 \)
Odečteme 18 od obou stran:
\( 12x = 3 – 18 \Rightarrow 12x = -15 \)
Vydělíme 12:
\( x = \frac{-15}{12} = -\frac{5}{4} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen:
\( \frac{2 \cdot (-\frac{5}{4}) – 1}{5} + \frac{3 \cdot (-\frac{5}{4}) + 4}{2} = \frac{-\frac{10}{4} – 1}{5} + \frac{-\frac{15}{4} + 4}{2} = \frac{-\frac{10}{4} – \frac{4}{4}}{5} + \frac{-\frac{15}{4} + \frac{16}{4}}{2} = \frac{-\frac{14}{4}}{5} + \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{-\frac{14}{4}}{5} + \frac{1}{8} = -\frac{14}{20} + \frac{1}{8} = -\frac{7}{10} + \frac{1}{8} \)
Najdeme společný jmenovatel 40:
\( -\frac{7}{10} = -\frac{28}{40}, \quad \frac{1}{8} = \frac{5}{40} \)
Součet je \( -\frac{28}{40} + \frac{5}{40} = -\frac{23}{40} \).
Pravý člen:
\( \frac{7 \cdot (-\frac{5}{4}) + 3}{10} = \frac{-\frac{35}{4} + 3}{10} = \frac{-\frac{35}{4} + \frac{12}{4}}{10} = \frac{-\frac{23}{4}}{10} = -\frac{23}{40} \).
Obě strany se rovnají, rovnice je správně vyřešena.
Řešení je \( x = -\frac{5}{4} \).
68. Řešte rovnici: \( 4(x – 2) + 3 = 2x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(x – 2) + 3 = 2x + 7 \).
Nejprve použijeme distributivní zákon na levé straně:
\( 4 \cdot x – 4 \cdot 2 + 3 = 2x + 7 \Rightarrow 4x – 8 + 3 = 2x + 7 \)
Sjednotíme členy na levé straně:
\( 4x – 5 = 2x + 7 \)
Poté přesuneme všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 4x – 2x = 7 + 5 \Rightarrow 2x = 12 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2:
\( \frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 4(6 – 2) + 3 = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19 \)
Pravý člen: \( 2 \cdot 6 + 7 = 12 + 7 = 19 \)
Obě strany jsou rovny, tedy řešení je správné.
Výsledkem je \( x = 6 \).
69. Řešte rovnici: \( \frac{5x + 2}{3} – \frac{x – 1}{2} = 4 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{5x + 2}{3} – \frac{x – 1}{2} = 4 \).
Nejprve odstraníme zlomky vynásobením celé rovnice společným jmenovatelem, kterým je 6:
\( 6 \cdot \left( \frac{5x + 2}{3} – \frac{x – 1}{2} \right) = 6 \cdot 4 \Rightarrow 2(5x + 2) – 3(x – 1) = 24 \)
Roznásobíme závorky:
\( 2 \cdot 5x + 2 \cdot 2 – 3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 24 \Rightarrow 10x + 4 – 3x + 3 = 24 \)
Sjednotíme členy s neznámou a konstanty:
\( (10x – 3x) + (4 + 3) = 24 \Rightarrow 7x + 7 = 24 \)
Odečteme 7 na obou stranách:
\( 7x + 7 – 7 = 24 – 7 \Rightarrow 7x = 17 \)
Vydělíme obě strany 7:
\( \frac{7x}{7} = \frac{17}{7} \Rightarrow x = \frac{17}{7} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{5 \cdot \frac{17}{7} + 2}{3} – \frac{\frac{17}{7} – 1}{2} = \frac{\frac{85}{7} + 2}{3} – \frac{\frac{17}{7} – \frac{7}{7}}{2} = \frac{\frac{85}{7} + \frac{14}{7}}{3} – \frac{\frac{10}{7}}{2} = \frac{\frac{99}{7}}{3} – \frac{10}{14} \)
Po úpravě: \( \frac{99}{7} \cdot \frac{1}{3} – \frac{10}{14} = \frac{99}{21} – \frac{5}{7} = \frac{33}{7} – \frac{5}{7} = \frac{28}{7} = 4 \)
Pravý člen je \( 4 \), což souhlasí.
Řešení je \( x = \frac{17}{7} \).
70. Řešte rovnici: \( 7 – 2(3x – 4) = 3(x + 1) + 1 \)
Řešení:
Rovnice je \( 7 – 2(3x – 4) = 3(x + 1) + 1 \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách:
\( 7 – 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 = 3x + 3 + 1 \Rightarrow 7 – 6x + 8 = 3x + 4 \)
Sjednotíme členy na levé straně:
\( (7 + 8) – 6x = 3x + 4 \Rightarrow 15 – 6x = 3x + 4 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( -6x – 3x = 4 – 15 \Rightarrow -9x = -11 \)
Vydělíme obě strany rovnice -9:
\( x = \frac{-11}{-9} \Rightarrow x = \frac{11}{9} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( 7 – 2(3 \cdot \frac{11}{9} – 4) = 7 – 2 \left( \frac{33}{9} – 4 \right) = 7 – 2 \left( \frac{33}{9} – \frac{36}{9} \right) = 7 – 2 \cdot \left(-\frac{3}{9}\right) = 7 + \frac{6}{9} = 7 + \frac{2}{3} = \frac{21}{3} + \frac{2}{3} = \frac{23}{3} \)
Pravý člen: \( 3 \cdot \frac{11}{9} + 4 = \frac{33}{9} + 4 = \frac{33}{9} + \frac{36}{9} = \frac{69}{9} = \frac{23}{3} \)
Obě strany jsou rovny, řešení je správné.
Výsledkem je \( x = \frac{11}{9} \).
71. Řešte rovnici: \( 5(2x + 1) – 4(3x – 2) = 3x + 7 \)
Řešení:
Rovnice je \( 5(2x + 1) – 4(3x – 2) = 3x + 7 \).
Nejprve roznásobíme závorky:
\( 5 \cdot 2x + 5 \cdot 1 – 4 \cdot 3x + 4 \cdot 2 = 3x + 7 \Rightarrow 10x + 5 – 12x + 8 = 3x + 7 \)
Sjednotíme členy na levé straně:
\( (10x – 12x) + (5 + 8) = 3x + 7 \Rightarrow -2x + 13 = 3x + 7 \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( -2x – 3x = 7 – 13 \Rightarrow -5x = -6 \)
Vydělíme obě strany rovnice -5:
\( x = \frac{-6}{-5} \Rightarrow x = \frac{6}{5} \)
Ověření dosazením:
Levý člen: \( 5(2 \cdot \frac{6}{5} + 1) – 4(3 \cdot \frac{6}{5} – 2) = 5 \left( \frac{12}{5} + 1 \right) – 4 \left( \frac{18}{5} – 2 \right) = 5 \cdot \frac{17}{5} – 4 \cdot \frac{8}{5} = 17 – \frac{32}{5} = \frac{85}{5} – \frac{32}{5} = \frac{53}{5} \)
Pravý člen: \( 3 \cdot \frac{6}{5} + 7 = \frac{18}{5} + 7 = \frac{18}{5} + \frac{35}{5} = \frac{53}{5} \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Výsledkem je \( x = \frac{6}{5} \).
72. Řešte rovnici: \( \frac{2x – 3}{4} + \frac{3x + 5}{6} = 5 \)
Řešení:
Rovnice je \( \frac{2x – 3}{4} + \frac{3x + 5}{6} = 5 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel zlomků na levé straně, což je 12.
Vynásobíme celou rovnici 12, abychom odstranili zlomky:
\( 12 \cdot \left( \frac{2x – 3}{4} + \frac{3x + 5}{6} \right) = 12 \cdot 5 \Rightarrow 3(2x – 3) + 2(3x + 5) = 60 \)
Roznásobíme závorky:
\( 3 \cdot 2x – 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3x + 2 \cdot 5 = 60 \Rightarrow 6x – 9 + 6x + 10 = 60 \)
Sjednotíme členy s \( x \) a konstanty:
\( 6x + 6x + (-9 + 10) = 60 \Rightarrow 12x + 1 = 60 \)
Odečteme 1 na obou stranách:
\( 12x + 1 – 1 = 60 – 1 \Rightarrow 12x = 59 \)
Vydělíme obě strany 12:
\( x = \frac{59}{12} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{2 \cdot \frac{59}{12} – 3}{4} + \frac{3 \cdot \frac{59}{12} + 5}{6} = \frac{\frac{118}{12} – 3}{4} + \frac{\frac{177}{12} + 5}{6} = \frac{\frac{118}{12} – \frac{36}{12}}{4} + \frac{\frac{177}{12} + \frac{60}{12}}{6} = \frac{\frac{82}{12}}{4} + \frac{\frac{237}{12}}{6} = \frac{82}{48} + \frac{237}{72} \)
Úprava zlomků na společného jmenovatele 144:
\( \frac{82}{48} = \frac{82 \cdot 3}{144} = \frac{246}{144} \), \( \frac{237}{72} = \frac{237 \cdot 2}{144} = \frac{474}{144} \)
Součet: \( \frac{246}{144} + \frac{474}{144} = \frac{720}{144} = 5 \)
Pravý člen je také 5, řešení je správné.
Výsledkem je \( x = \frac{59}{12} \).
73. Řešte rovnici: \( 3(x + 2) – 5 = 2(2x – 1) + 3 \)
Řešení:
Rovnice je \( 3(x + 2) – 5 = 2(2x – 1) + 3 \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách:
\( 3x + 6 – 5 = 4x – 2 + 3 \Rightarrow 3x + 1 = 4x + 1 \)
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 3x – 4x = 1 – 1 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0 \)
Ověření dosazením:
Levý člen: \( 3(0 + 2) – 5 = 3 \cdot 2 – 5 = 6 – 5 = 1 \)
Pravý člen: \( 2(2 \cdot 0 – 1) + 3 = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Výsledkem je \( x = 0 \).
74. Řešte rovnici: \( 5(2x – 3) – 4(x + 1) = 3x + 7 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 5(2x – 3) – 4(x + 1) = 3x + 7 \).
Nejprve roznásobíme závorky na levé straně:
\( 5 \cdot 2x = 10x \), \( 5 \cdot (-3) = -15 \), \( -4 \cdot x = -4x \), \( -4 \cdot 1 = -4 \)
Takže dostáváme:
\( 10x – 15 – 4x – 4 = 3x + 7 \)
Sjednotíme členy na levé straně podle proměnné a konstant:
\( (10x – 4x) + (-15 – 4) = 3x + 7 \Rightarrow 6x – 19 = 3x + 7 \)
Odečteme \(3x\) z obou stran:
\( 6x – 3x – 19 = 3x – 3x + 7 \Rightarrow 3x – 19 = 7 \)
Přičteme 19 k oběma stranám rovnice:
\( 3x – 19 + 19 = 7 + 19 \Rightarrow 3x = 26 \)
Vydělíme obě strany rovnice 3:
\( \frac{3x}{3} = \frac{26}{3} \Rightarrow x = \frac{26}{3} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \(5(2 \cdot \frac{26}{3} – 3) – 4(\frac{26}{3} + 1) = 5(\frac{52}{3} – 3) – 4(\frac{26}{3} + \frac{3}{3}) = 5(\frac{52}{3} – \frac{9}{3}) – 4(\frac{29}{3}) = 5 \cdot \frac{43}{3} – \frac{116}{3} = \frac{215}{3} – \frac{116}{3} = \frac{99}{3} = 33 \)
Pravý člen: \(3 \cdot \frac{26}{3} + 7 = 26 + 7 = 33\)
Obě strany jsou shodné, tedy řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{26}{3} \).
75. Řešte rovnici: \( \frac{2x + 5}{3} – \frac{x – 1}{4} = 2 \)
Řešení:
Máme rovnici \( \frac{2x + 5}{3} – \frac{x – 1}{4} = 2 \).
Nejprve najdeme společný jmenovatel zlomků na levé straně, což je 12.
Přepíšeme zlomky s jmenovatelem 12:
\( \frac{2x + 5}{3} = \frac{4(2x + 5)}{12} = \frac{8x + 20}{12} \)
\( \frac{x – 1}{4} = \frac{3(x – 1)}{12} = \frac{3x – 3}{12} \)
Rovnice tedy vypadá:
\( \frac{8x + 20}{12} – \frac{3x – 3}{12} = 2 \)
Sjednotíme zlomky na levé straně:
\( \frac{8x + 20 – (3x – 3)}{12} = 2 \Rightarrow \frac{8x + 20 – 3x + 3}{12} = 2 \Rightarrow \frac{5x + 23}{12} = 2 \)
Vynásobíme obě strany rovnice 12:
\( 5x + 23 = 24 \)
Odečteme 23 od obou stran:
\( 5x = 24 – 23 \Rightarrow 5x = 1 \)
Vydělíme obě strany 5:
\( x = \frac{1}{5} \)
Ověření:
Levý člen: \( \frac{2 \cdot \frac{1}{5} + 5}{3} – \frac{\frac{1}{5} – 1}{4} = \frac{\frac{2}{5} + 5}{3} – \frac{\frac{1}{5} – \frac{5}{5}}{4} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{25}{5}}{3} – \frac{-\frac{4}{5}}{4} = \frac{\frac{27}{5}}{3} + \frac{4}{5 \cdot 4} = \frac{27}{15} + \frac{4}{20} = \frac{9}{5} + \frac{1}{5} = 2 \)
Řešení je \( x = \frac{1}{5} \).
76. Řešte rovnici: \( 7x – \frac{5x + 2}{2} = \frac{3x – 4}{4} + 6 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7x – \frac{5x + 2}{2} = \frac{3x – 4}{4} + 6 \).
Nejprve si všimneme, že máme zlomky s jmenovateli 2 a 4. Nejmenší společný jmenovatel je 4.
Vynásobíme celou rovnici 4, abychom se zbavili zlomků:
\( 4 \cdot 7x – 4 \cdot \frac{5x + 2}{2} = 4 \cdot \frac{3x – 4}{4} + 4 \cdot 6 \)
Po provedení násobení:
\( 28x – 2(5x + 2) = 3x – 4 + 24 \)
Rozebereme závorky:
\( 28x – 10x – 4 = 3x – 4 + 24 \)
Sjednotíme pravou stranu:
\( 3x + 20 \)
Takže rovnice nyní je:
\( 28x – 10x – 4 = 3x + 20 \)
Sjednotíme členy na levé straně:
\( 18x – 4 = 3x + 20 \)
Odečteme \(3x\) z obou stran:
\( 18x – 3x – 4 = 3x – 3x + 20 \Rightarrow 15x – 4 = 20 \)
Přičteme 4 k oběma stranám:
\( 15x = 24 \)
Vydělíme 15:
\( x = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} \)
Ověření:
Levý člen: \( 7 \cdot \frac{8}{5} – \frac{5 \cdot \frac{8}{5} + 2}{2} = \frac{56}{5} – \frac{8 + 2}{2} = \frac{56}{5} – \frac{10}{2} = \frac{56}{5} – 5 = \frac{56}{5} – \frac{25}{5} = \frac{31}{5} \)
Pravý člen: \( \frac{3 \cdot \frac{8}{5} – 4}{4} + 6 = \frac{\frac{24}{5} – 4}{4} + 6 = \frac{\frac{24}{5} – \frac{20}{5}}{4} + 6 = \frac{\frac{4}{5}}{4} + 6 = \frac{4}{20} + 6 = \frac{1}{5} + 6 = \frac{1}{5} + \frac{30}{5} = \frac{31}{5} \)
Řešení je správné: \( x = \frac{8}{5} \).
77. Řešte rovnici: \( (x – 2)(x + 3) – (x + 1)(x – 4) = 0 \)
Řešení:
Máme rovnici \( (x – 2)(x + 3) – (x + 1)(x – 4) = 0 \).
Nejprve rozvineme obě násobení:
\( (x – 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 – 2 \cdot x – 2 \cdot 3 = x^2 + 3x – 2x – 6 = x^2 + x – 6 \)
\( (x + 1)(x – 4) = x \cdot x – 4 \cdot x + 1 \cdot x – 4 \cdot 1 = x^2 – 4x + x – 4 = x^2 – 3x – 4 \)
Dosaďme tyto výrazy zpět do rovnice:
\( (x^2 + x – 6) – (x^2 – 3x – 4) = 0 \)
Roznásobíme mínus před druhou závorkou:
\( x^2 + x – 6 – x^2 + 3x + 4 = 0 \)
Sjednotíme členy stejného stupně:
\( (x^2 – x^2) + (x + 3x) + (-6 + 4) = 0 \Rightarrow 0 + 4x – 2 = 0 \)
Takže máme lineární rovnici:
\( 4x – 2 = 0 \)
Přičteme 2 na obě strany:
\( 4x = 2 \)
Vydělíme 4:
\( x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
Ověření:
Levý člen: \( ( \frac{1}{2} – 2)( \frac{1}{2} + 3) – ( \frac{1}{2} + 1)( \frac{1}{2} – 4) = ( -\frac{3}{2})( \frac{7}{2}) – ( \frac{3}{2})( -\frac{7}{2}) = -\frac{21}{4} + \frac{21}{4} = 0 \)
Řešení je \( x = \frac{1}{2} \).
78. Řešte rovnici: \( 4x – 3(2x – 1) = 5 – 2(x + 4) \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4x – 3(2x – 1) = 5 – 2(x + 4) \).
Nejprve roznásobíme závorky:
\( 4x – 3 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 5 – 2x – 8 \)
Což je:
\( 4x – 6x + 3 = 5 – 2x – 8 \)
Sjednotíme členy na pravé straně:
\( 5 – 8 = -3 \), takže \( 5 – 2x – 8 = -3 – 2x \)
Rovnice tedy je:
\( 4x – 6x + 3 = -3 – 2x \)
Sjednotíme levé členy:
\( -2x + 3 = -3 – 2x \)
Přičteme \(2x\) k oběma stranám:
\( -2x + 2x + 3 = -3 – 2x + 2x \Rightarrow 3 = -3 \)
Vidíme, že rovnice nedává smysl, protože \(3 \neq -3\).
Toto znamená, že rovnice nemá žádné řešení.
Řešení: množina prázdná, neexistuje žádné \(x\), které by rovnici splňovalo.
79. Řešte rovnici: \( 4(2x – 3) + 5 = 3(3x + 1) – 2 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 4(2x – 3) + 5 = 3(3x + 1) – 2 \).
Nejprve roznásobíme závorky na obou stranách rovnice podle distributivního zákona:
\( 4 \cdot 2x = 8x \), \( 4 \cdot (-3) = -12 \), tedy levá strana: \( 8x – 12 + 5 \).
Pravá strana: \( 3 \cdot 3x = 9x \), \( 3 \cdot 1 = 3 \), takže pravá strana je \( 9x + 3 – 2 \).
Tudíž rovnici přepíšeme jako:
\( 8x – 12 + 5 = 9x + 3 – 2 \Rightarrow 8x – 7 = 9x + 1 \)
Dalším krokem je přesunout všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 8x – 9x = 1 + 7 \Rightarrow -x = 8 \)
Nyní vydělíme obě strany rovnice -1:
\( \frac{-x}{-1} = \frac{8}{-1} \Rightarrow x = -8 \)
Pro kontrolu dosadíme zpět do původní rovnice:
Levý výraz: \( 4(2 \cdot (-8) – 3) + 5 = 4(-16 – 3) + 5 = 4(-19) + 5 = -76 + 5 = -71 \)
Pravý výraz: \( 3(3 \cdot (-8) + 1) – 2 = 3(-24 + 1) – 2 = 3(-23) – 2 = -69 – 2 = -71 \)
Obě strany jsou shodné, rovnice platí pro \( x = -8 \).
Řešení je tedy \( x = -8 \).
80. Řešte rovnici: \( \frac{5x – 2}{3} + \frac{2x + 7}{6} = \frac{3x – 1}{2} \)
Řešení:
Rovnice obsahuje zlomky, proto začneme odstraněním jmenovatelů vynásobením celé rovnice nejmenším společným násobkem (NSN) jmenovatelů. Jmenovatele jsou 3, 6 a 2, jejich NSN je 6.
Vynásobíme celou rovnici 6:
\( 6 \cdot \frac{5x – 2}{3} + 6 \cdot \frac{2x + 7}{6} = 6 \cdot \frac{3x – 1}{2} \)
Po zkrácení:
\( 2(5x – 2) + (2x + 7) = 3(3x – 1) \)
Roznásobíme závorky:
\( 10x – 4 + 2x + 7 = 9x – 3 \)
Sečteme členy na levé straně:
\( 12x + 3 = 9x – 3 \)
Přesuneme členy s \( x \) na levou a konstanty na pravou:
\( 12x – 9x = -3 – 3 \Rightarrow 3x = -6 \)
Vydělíme obě strany 3:
\( x = \frac{-6}{3} = -2 \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý člen: \( \frac{5(-2) – 2}{3} + \frac{2(-2) + 7}{6} = \frac{-10 – 2}{3} + \frac{-4 + 7}{6} = \frac{-12}{3} + \frac{3}{6} = -4 + 0.5 = -3.5 \)
Pravý člen: \( \frac{3(-2) – 1}{2} = \frac{-6 – 1}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5 \)
Obě strany jsou rovné, rovnice platí pro \( x = -2 \).
Řešení je \( x = -2 \).
81. Řešte rovnici: \( 7 – 2(3x + 4) = 5x + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 7 – 2(3x + 4) = 5x + 1 \).
Nejprve roznásobíme výraz na levé straně:
\( -2 \cdot 3x = -6x \), \( -2 \cdot 4 = -8 \), takže levá strana je \( 7 – 6x – 8 \).
Sečteme konstanty na levé straně:
\( 7 – 8 = -1 \), tedy \( -1 – 6x = 5x + 1 \).
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( -6x – 5x = 1 + 1 \Rightarrow -11x = 2 \)
Vydělíme obě strany rovnice -11:
\( x = \frac{2}{-11} = -\frac{2}{11} \)
Ověříme dosazením do původní rovnice:
Levý výraz:
\( 7 – 2(3 \cdot -\frac{2}{11} + 4) = 7 – 2(-\frac{6}{11} + 4) = 7 – 2(\frac{44}{11} – \frac{6}{11}) = 7 – 2(\frac{38}{11}) = 7 – \frac{76}{11} = \frac{77}{11} – \frac{76}{11} = \frac{1}{11} \)
Pravý výraz:
\( 5 \cdot -\frac{2}{11} + 1 = -\frac{10}{11} + 1 = -\frac{10}{11} + \frac{11}{11} = \frac{1}{11} \)
Obě strany se rovnají, rovnice je správně vyřešena.
Řešení je \( x = -\frac{2}{11} \).
82. Řešte rovnici: \( 8x + 3 = 2(4x – 5) + 1 \)
Řešení:
Máme rovnici \( 8x + 3 = 2(4x – 5) + 1 \).
Nejprve roznásobíme pravou stranu:
\( 2 \cdot 4x = 8x \), \( 2 \cdot (-5) = -10 \), tedy pravá strana je \( 8x – 10 + 1 \).
Sečteme konstanty na pravé straně:
\( -10 + 1 = -9 \), takže pravá strana je \( 8x – 9 \).
Rovnice tedy je:
\( 8x + 3 = 8x – 9 \)
Od obou stran odečteme \( 8x \):
\( 8x + 3 – 8x = 8x – 9 – 8x \Rightarrow 3 = -9 \)
Vidíme, že rovnost neplatí, protože \( 3 \neq -9 \).
Toto znamená, že rovnice nemá řešení, tedy je neslučitelná.
Výsledek je, že rovnice nemá žádné řešení.
83. Řešte rovnici: \( 2(x – 4) – 3(x + 2) = 5 – x \)
Řešení:
Máme rovnici \( 2(x – 4) – 3(x + 2) = 5 – x \).
Roznásobíme závorky na levé straně:
\( 2 \cdot x = 2x \), \( 2 \cdot (-4) = -8 \), \( -3 \cdot x = -3x \), \( -3 \cdot 2 = -6 \), takže levá strana je \( 2x – 8 – 3x – 6 \).
Sečteme podobné členy na levé straně:
\( 2x – 3x = -x \), \( -8 – 6 = -14 \), tedy \( -x – 14 \).
Rovnice je tedy:
\( -x – 14 = 5 – x \)
Přesuneme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
Přidáme \( x \) k oběma stranám:
\( -x + x – 14 = 5 – x + x \Rightarrow -14 = 5 \)
Vidíme, že rovnice neplatí, protože \( -14 \neq 5 \).
Tedy rovnice je neslučitelná, nemá řešení.
Výsledek: rovnice nemá žádné řešení.
84. Řešte rovnici: \( 6x – (2x + 5) = 3(2x – 4) \)
Řešení:
Máme rovnici \( 6x – (2x + 5) = 3(2x – 4) \).
Nejprve odstraníme závorku s mínusem na levé straně:
\( 6x – 2x – 5 = 3(2x – 4) \Rightarrow 4x – 5 = 3(2x – 4) \).
Roznásobíme pravou stranu:
\( 3 \cdot 2x = 6x \), \( 3 \cdot (-4) = -12 \), tedy \( 4x – 5 = 6x – 12 \).
Přesuneme členy s \( x \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( 4x – 6x = -12 + 5 \Rightarrow -2x = -7 \)
Vydělíme obě strany -2:
\( x = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} \)
Ověření dosazením do původní rovnice:
Levý výraz:
\( 6 \cdot \frac{7}{2} – (2 \cdot \frac{7}{2} + 5) = 21 – (7 + 5) = 21 – 12 = 9 \)
Pravý výraz:
\( 3(2 \cdot \frac{7}{2} – 4) = 3(7 – 4) = 3 \cdot 3 = 9 \)
Obě strany se rovnají, řešení je správné.
Řešení je \( x = \frac{7}{2} \).