1. V třídě je 30 žáků. Z toho 18 má rádo matematiku, 12 má rádo fyziku a 5 žáků má rádo oba předměty. Kolik žáků nemá rádo ani matematiku, ani fyziku?
Řešení příkladu:
Nechť \(M\) je množina žáků, kteří mají rádi matematiku, a \(F\) množina žáků, kteří mají rádi fyziku. Víme, že
\[
|M| = 18, \quad |F| = 12, \quad |M \cap F| = 5, \quad |U| = 30,
\]
kde \(U\) je celková množina všech žáků ve třídě.
Počet žáků, kteří mají rádi alespoň jeden z těchto předmětů, je dán vztahem
\[
|M \cup F| = |M| + |F| – |M \cap F| = 18 + 12 – 5 = 25.
\]
Počet žáků, kteří nemají rádi ani matematiku ani fyziku, je
\[
|U| – |M \cup F| = 30 – 25 = 5.
\]
Tedy odpověď je, že 5 žáků nemá rádo ani matematiku, ani fyziku.
2. V rodině jsou dva bratři a jedna sestra. Bratři tvrdí, že součet jejich věků je 30 let, zatímco sestra říká, že součet věků všech tří dětí je 45 let. Kolik let je každému dítěti, jestliže je znám vztah, že sestra je o 5 let mladší než starší bratr a bratři se liší ve věku o 3 roky?
Řešení příkladu:
Nechť \(x\) je věk staršího bratra, \(y\) věk mladšího bratra a \(z\) věk sestry. Podle zadání máme tyto rovnice:
\[
x + y = 30,
\]
\[
x + y + z = 45,
\]
\[
z = x – 5,
\]
\[
x – y = 3.
\]
Z první rovnice vyjádříme \(y\):
\[
y = 30 – x.
\]
Dosadíme do rovnice pro rozdíl věků bratří:
\[
x – (30 – x) = 3 \Rightarrow 2x – 30 = 3 \Rightarrow 2x = 33 \Rightarrow x = 16{,}5.
\]
Ověříme součet:
\[
16{,}5 + 13{,}5 + 11{,}5 = 41{,}5 \neq 45,
\]
což je v rozporu s původním zadáním. Upravme tedy rovnici pro součet všech dětí na správnou hodnotu podle věků nebo si uvědomíme, že zadání říká, že součet věků všech tří je 45, takže můžeme použít tuto hodnotu k určení chyby. Problém je, že jsme použili \(z = x – 5\), ale s tímto výsledkem je součet jiný.
Zkusíme jiný přístup: z rovnic
\[
x + y + z = 45,
\]
\[
x + y = 30,
\]
dostaneme
\[
z = 45 – 30 = 15.
\]
Z rovnice pro věk sestry platí
\[
z = x – 5 \Rightarrow 15 = x – 5 \Rightarrow x = 20.
\]
Vypočítáme \(y\):
\[
x + y = 30 \Rightarrow 20 + y = 30 \Rightarrow y = 10.
\]
Ověříme rozdíl mezi bratry:
\[
x – y = 20 – 10 = 10 \neq 3,
\]
což je nesoulad.
Proto je potřeba, aby všechny rovnice byly splněny najednou. Můžeme tedy sestavit soustavu:
\[
\begin{cases}
x + y = 30, \\
x + y + z = 45, \\
z = x – 5, \\
x – y = 3.
\end{cases}
\]
Ze třetí rovnice dosadíme \(z\) do druhé:
\[
x + y + (x – 5) = 45 \Rightarrow 2x + y = 50.
\]
Dosadíme z první rovnice \(y = 30 – x\):
\[
2x + (30 – x) = 50 \Rightarrow x + 30 = 50 \Rightarrow x = 20.
\]
Vypočítáme \(y\):
\[
y = 30 – 20 = 10.
\]
Zkontrolujeme rozdíl mezi bratry:
\[
x – y = 20 – 10 = 10 \neq 3,
\]
což nesouhlasí, takže zadání je nekonzistentní. Pravděpodobně je třeba upravit jednu z podmínek.
Předpokládejme, že rozdíl věků bratří je 10 let místo 3 let, pak řešení je:
\[
\boxed{x=20, \quad y=10, \quad z=15}.
\]
Tedy věky dětí jsou 20, 10 a 15 let.
3. Petr, Jana a Tomáš si rozdělili 48 bonbónů. Petr dostal dvakrát více bonbónů než Jana a Tomáš o 4 bonbóny méně než Petr. Kolik bonbónů dostal každý z nich?
Řešení příkladu:
Nechť \(J\) je počet bonbónů, které dostala Jana, potom Petr dostal \(2J\) bonbónů a Tomáš dostal \(2J – 4\) bonbónů.
Celkem mají 48 bonbónů, tedy
\[
J + 2J + (2J – 4) = 48.
\]
Potom Petr má \(2 \times 10 = 20\) bonbónů a Tomáš \(20 – 2 = 18\) bonbónů.
Kontrola:
\[
10 + 20 + 18 = 48,
\]
což je správně.
Tedy Jana dostala 10, Petr 20 a Tomáš 18 bonbónů.
4. V sáčku jsou červené, modré a zelené kuličky. Červených je o 10 méně než modrých, zelených je dvakrát více než červených. Celkem je v sáčku 70 kuliček. Kolik je každé barvy?
Řešení příkladu:
Nechť \(M\) je počet modrých kuliček, \(C\) počet červených a \(Z\) počet zelených kuliček.
Podmínky:
\[
C = M – 10,
\]
\[
Z = 2C,
\]
\[
M + C + Z = 70.
\]
Dosadíme do třetí rovnice:
\[
M + (M – 10) + 2(M – 10) = 70.
\]
Rozepíšeme:
\[
M + M – 10 + 2M – 20 = 70 \Rightarrow 4M – 30 = 70 \Rightarrow 4M = 100 \Rightarrow M = 25.
\]
Vypočítáme \(C\):
\[
C = 25 – 10 = 15,
\]
a \(Z\):
\[
Z = 2 \times 15 = 30.
\]
Ověříme součet:
\[
25 + 15 + 30 = 70.
\]
Tedy je 25 modrých, 15 červených a 30 zelených kuliček.
5. Na parkovišti stojí auta modré, červené a zelené barvy. Počet modrých aut je dvakrát větší než počet červených, počet zelených je o 7 menší než počet modrých. Celkem je na parkovišti 53 aut. Kolik je aut každé barvy?
Řešení příkladu:
Nechť \(C\) je počet červených aut, \(M\) počet modrých a \(Z\) počet zelených.
Podmínky:
\[
M = 2C,
\]
\[
Z = M – 7,
\]
\[
M + C + Z = 53.
\]
Dosadíme do součtu:
\[
2C + C + (2C – 7) = 53 \Rightarrow 5C – 7 = 53 \Rightarrow 5C = 60 \Rightarrow C = 12.
\]
Vypočítáme \(M\):
\[
M = 2 \times 12 = 24,
\]
a \(Z\):
\[
Z = 24 – 7 = 17.
\]
Ověření součtu:
\[
24 + 12 + 17 = 53.
\]
Tedy na parkovišti je 24 modrých, 12 červených a 17 zelených aut.
6. V knihovně je 150 knih. Poměr mezi počtem knih o matematice, fyzice a biologii je 3:2:5. Kolik je knih o každém předmětu?
Řešení příkladu:
Poměr je \(3:2:5\), což znamená, že
\[
M = 3k, \quad F = 2k, \quad B = 5k,
\]
kde \(k\) je kladné číslo.
Celkový počet knih je 150:
\[
M + F + B = 3k + 2k + 5k = 10k = 150 \Rightarrow k = 15.
\]
Počet knih o matematice:
\[
M = 3 \times 15 = 45,
\]
o fyzice:
\[
F = 2 \times 15 = 30,
\]
o biologii:
\[
B = 5 \times 15 = 75.
\]
Tedy v knihovně je 45 knih o matematice, 30 o fyzice a 75 o biologii.
7. Tři kamarádi si rozdělili 81 korun tak, že první dostal o 5 korun více než druhý a třetí o 4 koruny méně než první. Kolik korun dostal každý z nich?
Řešení příkladu:
Nechť \(x\) je částka, kterou dostal druhý kamarád. Potom první dostal \(x + 5\) a třetí \(x + 5 – 4 = x + 1\).
Celkem dostali 81 korun, takže
\[
x + (x + 5) + (x + 1) = 81.
\]
Součet:
\[
25 + 30 + 26 = 81,
\]
což odpovídá zadání.
8. V krabici je 10 kuliček, z nichž některé jsou červené a některé modré. Pokud náhodně vybereme dvě kuličky, pravděpodobnost, že budou obě červené, je \( \frac{3}{10} \). Kolik je v krabici červených kuliček?
Řešení příkladu:
Nechť počet červených kuliček v krabici je \( x \). Celkový počet kuliček je 10.
Pravděpodobnost, že vybereme dvě červené kuličky za sebou bez vracení, lze vyjádřit jako poměr počtu dvojic červených kuliček k počtu všech dvojic kuliček v krabici.
Počet dvojic červených kuliček je \( \binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} \).
Počet všech dvojic kuliček z 10 je \( \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \).
což není přesně \( \frac{3}{10} = 0{,}3 \), ale protože počet kuliček musí být celé číslo, přijímáme hodnotu \( x = 6 \) jako nejbližší řešení.
Alternativně lze říct, že úloha předpokládá aproximaci nebo zaokrouhlení.
Výsledkem je, že v krabici je 6 červených kuliček.
9. V místnosti je 7 mužů a 5 žen. Každý muž zná každou ženu a naopak, ale muži se mezi sebou neznají a ženy také ne. Kolik je celkem známostí v místnosti?
Řešení příkladu:
Úloha je o počítání všech možných známostí mezi muži a ženami, kdy muži se navzájem neznají a ženy také neznají.
Nechť \( M = 7 \) je počet mužů a \( Z = 5 \) počet žen.
Protože každý muž zná každou ženu, počet takových známostí je součinem počtu mužů a žen, tedy:
\[
\text{počet známostí} = M \times Z = 7 \times 5 = 35.
\]
Známé jsou pouze známosti mezi muži a ženami, žádné další vztahy v rámci stejného pohlaví nejsou.
Celkový počet známostí v místnosti je tedy 35.
Tímto jsme vyřešili úlohu zcela, protože jsme počítali všechny kombinace možných vztahů, které jsou podle zadání pravdivé.
10. V matematickém klubu je 12 členů. Z nich 8 je nadšených pro geometrii, 7 pro algebru a 3 jsou nadšení pro obě oblasti. Kolik členů není nadšených pro žádnou z těchto dvou oblastí?
Řešení příkladu:
Označíme si množiny:
\[
G = \text{množina členů nadšených pro geometrii}, \quad |G| = 8
\]
\[
A = \text{množina členů nadšených pro algebru}, \quad |A| = 7
\]
\[
|G \cap A| = 3
\]
Celkový počet členů klubu je \( N = 12 \).
Nejprve spočítáme počet členů, kteří jsou nadšení alespoň pro jednu z oblastí, tedy počet prvků sjednocení množin \( G \) a \( A \). Použijeme vzorec pro sjednocení dvou množin:
Z toho plyne, že počet členů, kteří nejsou nadšení pro žádnou oblast, je:
\[
N – |G \cup A| = 12 – 12 = 0.
\]
Tedy všichni členové jsou nadšení alespoň pro jednu z oblastí geometrie nebo algebry.
11. Dva přátelé, Petr a Pavel, si vyměňují hesla pro přístup k různým webovým stránkám. Petr má 3 různá hesla, Pavel má 4 různá hesla. Kolik různých dvojic hesel (jedno od Petra a jedno od Pavla) mohou vytvořit?
Řešení příkladu:
Nechť sada hesel Petra je \( P = \{p_1, p_2, p_3\} \) a sada hesel Pavla je \( Q = \{q_1, q_2, q_3, q_4\} \).
Každá dvojice se skládá z jednoho hesla Petra a jednoho hesla Pavla.
Počet takových dvojic je počet prvků kartézského součinu \( P \times Q \), tedy:
Tímto jsme určili, že mohou vytvořit 12 různých dvojic hesel.
12. Na střední škole je 20 studentů, z nichž 14 umí anglicky a 12 umí německy. Víme, že alespoň 7 studentů ovládá oba jazyky. Kolik studentů neumí žádný z těchto jazyků?
Pro počet studentů ovládajících alespoň jeden jazyk platí vzorec pro sjednocení:
\[
|A \cup Ně| = |A| + |Ně| – |A \cap Ně|.
\]
Protože chceme zjistit minimální počet studentů, kteří neumí žádný jazyk, použijeme maximální možný počet těch, co ovládají oba jazyky, tedy předpokládáme, že \( |A \cap Ně| = 7 \).
Dosadíme:
\[
|A \cup Ně| = 14 + 12 – 7 = 19.
\]
Počet studentů, kteří neumí ani anglicky ani německy, je tedy:
\[
N – |A \cup Ně| = 20 – 19 = 1.
\]
Takže minimálně jeden student neovládá žádný z těchto jazyků.
13. V tabulce je zapsáno 5 různých třímístných čísel. Z nich tři mají sudou první cifru, dvě mají lichou první cifru. Kolik je možností, že náhodně vybrané číslo bude mít sudou první cifru?
Řešení příkladu:
Počet třímístných čísel v tabulce je celkem 5.
Počet čísel se sudou první cifrou je 3, s lichou první cifrou je 2.
Pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo má sudou první cifru, je poměr těchto čísel k celkovému počtu:
\[
P(\text{sudá první cifra}) = \frac{3}{5}.
\]
Úloha je přímočará, vyjádřili jsme pravděpodobnost přesně.
14. V šestičlenné skupině jsou studenti, z nichž 4 jsou výborní v matematice a 3 jsou výborní v informatice. Víme, že 2 studenti jsou výborní v obou předmětech. Kolik studentů není výborných v žádném z těchto předmětů?
Řešení příkladu:
Označíme množiny:
\[
M = \text{výborní v matematice}, \quad |M| = 4
\]
\[
I = \text{výborní v informatice}, \quad |I| = 3
\]
\[
|M \cap I| = 2
\]
Celkový počet studentů je \( N = 6 \).
Počet studentů, kteří jsou výborní alespoň v jednom předmětu, je podle vzorce pro sjednocení:
Počet studentů, kteří nejsou výborní v žádném z těchto předmětů, je:
\[
N – |M \cup I| = 6 – 5 = 1.
\]
Tedy jeden student není výborný ani v matematice, ani v informatice.
15. V krabici jsou tři typy lízátek: jahodová, citronová a pomerančová. Celkem je 30 lízátek, přičemž jahodových je dvakrát tolik než citronových a pomerančových je o 5 méně než citronových. Kolik lízátek je každého druhu?
Řešení příkladu:
Nechť počet citronových lízátek je \( x \).
Potom jahodových je \( 2x \) a pomerančových je \( x – 5 \).
Celkový počet lízátek je 30, tedy:
\[
x + 2x + (x – 5) = 30
\]
Sčítáme členy na levé straně:
\[
4x – 5 = 30
\]
Přičteme 5 k oběma stranám:
\[
4x = 35
\]
Vydělíme obě strany 4:
\[
x = \frac{35}{4} = 8{,}75
\]
Protože počet lízátek musí být celé číslo, je třeba ověřit, zda zadání odpovídá celým hodnotám. Zaokrouhlíme na nejbližší celá čísla a ověříme součet:
Pro \( x = 9 \): jahodových \( 18 \), pomerančových \( 4 \).
Součet je \( 9 + 18 + 4 = 31 \), což není 30.
Pro \( x = 8 \): jahodových \( 16 \), pomerančových \( 3 \).
Součet je \( 8 + 16 + 3 = 27 \), což není 30.
Úloha předpokládá přibližné hodnoty, nebo zadání neobsahuje celá čísla.
Závěr: počet citronových je přibližně 9, jahodových 18 a pomerančových 4.
16. V krabici je 15 kuliček, z nichž některé jsou modré a některé zelené. Pravděpodobnost, že náhodně vybereme jednu modrou kuličku, je \( \frac{2}{5} \). Kolik je v krabici modrých kuliček?
Řešení příkladu:
Nechť počet modrých kuliček je \( x \), celkový počet kuliček je 15.
Podle zadání pravděpodobnost výběru modré kuličky je \( \frac{x}{15} = \frac{2}{5} \).
Vyjádříme rovnici:
\[ x = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6. \]
V krabici je tedy 6 modrých kuliček.
17. V týmu je 8 hráčů. Čtyři z nich jsou útočníci a ostatní obránci. Pokud náhodně vybereme jednoho hráče, jaká je pravděpodobnost, že je to obránce?
Řešení příkladu:
Celkem je 8 hráčů, z toho 4 jsou útočníci, tedy obránců je \( 8 – 4 = 4 \).
Pravděpodobnost výběru obránce je počet obránců děleno celkovým počtem hráčů:
25. Ve třídě je 30 studentů, z nichž 18 má rádo matematiku, 15 má rádo fyziku a 10 má rádo oba předměty. Kolik studentů nemá rádo ani matematiku, ani fyziku?
Počet studentů, kteří nemají rádi ani matematiku, ani fyziku, je:
\[ 30 – 23 = 7. \]
26. Ve třídě je \( 20 \) žáků. Víme, že \( 12 \) žáků umí hrát na hudební nástroj a \( 8 \) žáků umí alespoň jeden cizí jazyk. Ze žáků, kteří umí hrát na hudební nástroj, \( 5 \) umí i cizí jazyk. Kolik žáků neumí ani hrát na hudební nástroj, ani cizí jazyk?
Řešení příkladu:
Označíme množiny:
\( H \) – žáci, kteří umí hrát na hudební nástroj, \( |H| = 12 \)
\( J \) – žáci, kteří umí alespoň jeden cizí jazyk, \( |J| = 8 \)
\( |H \cap J| = 5 \) – žáci, kteří umí i hrát na hudební nástroj, i cizí jazyk
Nejprve spočítáme počet žáků, kteří umí alespoň jednu z těchto věcí, tedy velikost sjednocení množin \( H \) a \( J \):
Pravděpodobnost, že vytáhneme pikovou kartu nebo kartu s číslem \( 10 \), je tedy \( \frac{4}{13} \).
28. Ve skupině je \( 15 \) lidí, z nichž \( 9 \) má modré oči, \( 7 \) má hnědé vlasy a \( 4 \) mají modré oči i hnědé vlasy. Kolik lidí nemá ani modré oči, ani hnědé vlasy?
Řešení příkladu:
Označíme množiny:
\( M \) – lidé s modrýma očima, \( |M| = 9 \)
\( H \) – lidé s hnědými vlasy, \( |H| = 7 \)
\( |M \cap H| = 4 \) – lidé s modrýma očima a hnědými vlasy
Spočítáme počet lidí, kteří mají alespoň jednu z těchto vlastností:
Celkový počet lidí je \( 15 \), takže ti, kteří nemají ani modré oči, ani hnědé vlasy, je:
\[
15 – 12 = 3.
\]
Tedy \( 3 \) lidé nemají ani jednu z uvedených vlastností.
29. Ve třídě je \( 25 \) studentů. \( 18 \) studentů je zapsáno na matematiku, \( 12 \) na fyziku a \( 7 \) na oba předměty. Kolik studentů je zapsáno pouze na matematiku?
Řešení příkladu:
Označíme množiny:
\( M \) – studenti zapsaní na matematiku, \( |M| = 18 \)
\( F \) – studenti zapsaní na fyziku, \( |F| = 12 \)
\( |M \cap F| = 7 \) – studenti zapsaní na oba předměty
Počet studentů zapsaných pouze na matematiku je velikost množiny \( M \) bez průniku s \( F \), tedy:
Tedy \( 11 \) studentů je zapsáno pouze na matematiku.
30. V tašce je \( 10 \) červených, \( 6 \) modrých a \( 4 \) žluté tužky. Pokud náhodně vybereme jednu tužku, jaká je pravděpodobnost, že tužka bude červená nebo žlutá?
Řešení příkladu:
Celkový počet tužek je:
\[
10 + 6 + 4 = 20.
\]
Počet tužek, které jsou červené nebo žluté, je:
\[
10 + 4 = 14.
\]
Pravděpodobnost, že náhodně vybereme červenou nebo žlutou tužku, je tedy:
\[
\frac{14}{20} = \frac{7}{10}.
\]
31. Ve skupině \(12\) lidí má \(9\) z nich mobilní telefon, \(7\) má notebook a \(5\) má obě tato zařízení. Kolik lidí nemá ani mobilní telefon, ani notebook?
Řešení příkladu:
Označíme množiny:
\( M \) – lidé s mobilním telefonem, \( |M| = 9 \)
\( N \) – lidé s notebookem, \( |N| = 7 \)
\( |M \cap N| = 5 \) – lidé, kteří mají obě zařízení
Vypočítáme počet lidí, kteří mají alespoň jedno zařízení:
Celkový počet lidí je \(12\), takže ti, kteří nemají ani mobilní telefon, ani notebook, je:
\[
12 – 11 = 1.
\]
32. V krabici je \(15\) zelených a \(10\) červených koulí. Pokud vybereme jednu kouli náhodně, jaká je pravděpodobnost, že nebude červená?
Řešení příkladu:
Celkový počet koulí v krabici je:
\[
15 + 10 = 25.
\]
Počet koulí, které nejsou červené, je počet zelených koulí, tedy \(15\).
Pravděpodobnost, že náhodně vybraná koule nebude červená, je tedy:
\[
\frac{15}{25} = \frac{3}{5}.
\]
33. Na jedné škole \(70\%\) studentů má alespoň jedno domácí zvíře. Z nich \(40\%\) má psa, \(30\%\) kočku a \(10\%\) má obě zvířata. Kolik procent studentů nemá žádné domácí zvíře?
Řešení příkladu:
Nechť celkový počet studentů je \(100\%\).
Podle zadání má alespoň jedno domácí zvíře \(70\%\) studentů, takže ti, kteří nemají žádné domácí zvíře, tvoří zbytek:
\[
100\% – 70\% = 30\%.
\]
Pro jistotu vypočítáme i součet procent psů, koček a jejich průniku:
\[
40\% + 30\% – 10\% = 60\%.
\]
Tento údaj ale není potřebný k vypočítání procenta studentů bez domácího zvířete.
Výsledek: \(30\%\) studentů nemá žádné domácí zvíře.
34. V souboru \(50\) studentů \(28\) studuje chemii, \(22\) studuje biologii a \(12\) studuje oba předměty. Kolik studentů studuje pouze chemii?
36. V rodině jsou tři sourozenci: Adam, Beáta a Cyril. Víme, že alespoň jeden z nich mluví pravdu a zároveň, pokud Adam mluví pravdu, tak Beáta lže. Pokud Beáta mluví pravdu, potom Cyril lže. Kdo z nich mluví pravdu a kdo lže?
Řešení příkladu:
Označme pravdivostní hodnoty:
\( A \) – Adam mluví pravdu, \( B \) – Beáta mluví pravdu, \( C \) – Cyril mluví pravdu.
Podmínky jsou:
1) Alespoň jeden z nich mluví pravdu:
\[
A \lor B \lor C = \text{pravda}.
\]
2) Pokud Adam mluví pravdu, potom Beáta lže:
\[
A \Rightarrow \neg B.
\]
3) Pokud Beáta mluví pravdu, potom Cyril lže:
\[
B \Rightarrow \neg C.
\]
Rozbor:
Předpokládejme, že Adam mluví pravdu, tedy \( A = \text{pravda} \). Potom podle 2) musí platit \( \neg B \), čili Beáta lže.
Jelikož \( B = \text{nepravda} \), implikace 3) je triviálně splněna (protože pokud předpoklad je nepravda, celá implikace je pravda).
Jelikož Adam mluví pravdu a Beáta lže, kdo je Cyril? Není to zatím dáno, takže Cyril může mluvit pravdu nebo lhát. Zkontrolujme oba případy.
Případ 1: \( C = \text{pravda} \). Potom podmínka 1) je splněna, všechny podmínky jsou splněny.
Případ 2: \( C = \text{nepravda} \). Podmínka 1) je stále splněna, protože \( A = \text{pravda} \). Podmínky 2) a 3) jsou také splněny.
Nyní zvažme, že Adam lže, tedy \( A = \text{nepravda} \).
Potom podle 2) implikace \( A \Rightarrow \neg B \) je pravdivá (protože implikace je nepravdivá jen pokud předpoklad je pravdivý a závěr nepravdivý). To nic neříká o \( B \).
Zvažme, že Beáta mluví pravdu, tedy \( B = \text{pravda} \). Potom podle 3) \( B \Rightarrow \neg C \) platí, čili \( C = \text{nepravda} \).
Podmínka 1) je splněna, protože \( B = \text{pravda} \).
Pokud \( B = \text{nepravda} \), potom podle podmínky 1) musí platit \( C = \text{pravda} \), jinak by nikdo nemluvil pravdu, což je v rozporu s podmínkou 1).
Souhrn možných řešení:
– \( A = \text{pravda}, B = \text{nepravda}, C = \text{pravda} \) nebo \( C = \text{nepravda} \)
– \( A = \text{nepravda}, B = \text{pravda}, C = \text{nepravda} \)
– \( A = \text{nepravda}, B = \text{nepravda}, C = \text{pravda} \)
Tedy Adam a Cyril mohou mluvit pravdu nebo ne, ale nejsou pravdivé všechny kombinace současně. Beáta a Cyril se navzájem vylučují v pravdivosti, pokud Beáta mluví pravdu, Cyril lže.
37. Na setkání je \( 5 \) lidí, z nichž každý buď vždy lže, nebo vždy mluví pravdu. Jeden z nich řekne: „Právě dva z nás jsou lháři.“ Kolik lhářů je na setkání?
Řešení příkladu:
Označíme počet lhářů jako \( k \), kde \( 0 \leq k \leq 5 \).
Pokud někdo mluví pravdu, jeho výrok je pravdivý; pokud lže, jeho výrok je nepravdivý.
Výrok: „Právě dva z nás jsou lháři.“
Uvažujme možné hodnoty \( k \):
1) \( k = 2 \): Výrok „Právě dva z nás jsou lháři“ je pravdivý. Potom ten, kdo ho řekl, musí mluvit pravdu. To je konzistentní.
2) \( k \neq 2 \): Výrok je nepravdivý. Potom ten, kdo ho řekl, musí být lhář. Ale to znamená, že mezi lidmi je alespoň jeden lhář (ten, kdo mluvil). Je třeba ověřit, zda toto je konzistentní s počtem lhářů.
Zkusme například \( k = 3 \). Výrok je nepravdivý, mluvčí lže, je tedy jeden z těch \( 3 \) lhářů. Nevyvolává to rozpor.
Ale pokud \( k = 1 \), výrok je nepravdivý, mluvčí lže, je jediný lhář. To je konzistentní.
Podobně pro \( k = 3, 4, 5 \) lze argumentovat, že výrok je nepravdivý, mluvčí lže, což je konzistentní.
Problém je, že v případě \( k \neq 2 \) by výrok byl nepravdivý, mluvčí lhal, ale to nevyvrací samotný počet lhářů.
Na závěr: jediná možnost, kdy je výrok pravdivý, je \( k = 2 \). Pokud je výrok nepravdivý, potom počet lhářů je jiný než \( 2 \).
Jelikož se předpokládá, že každý je buď lhář nebo pravdomluvný a že někdo tento výrok řekl, logicky je jediná možná odpověď, že právě dva jsou lháři.
38. Máme čtyři výroky:
Výrok 1: „Výrok 2 je nepravdivý.“
Výrok 2: „Výrok 3 je pravdivý.“
Výrok 3: „Výrok 4 je nepravdivý.“
Výrok 4: „Výrok 1 je pravdivý.“
Určete pravdivostní hodnoty všech čtyř výroků.
Řešení příkladu:
Označíme pravdivostní hodnoty jednotlivých výroků jako \( V_1, V_2, V_3, V_4 \), kde každý je pravdivý nebo nepravdivý.
Zadání vyjádříme logicky:
1) \( V_1 = \neg V_2 \)
2) \( V_2 = V_3 \)
3) \( V_3 = \neg V_4 \)
4) \( V_4 = V_1 \)
Dosadíme postupně:
Z (1) a (4) víme, že \( V_1 = \neg V_2 \) a zároveň \( V_4 = V_1 \), tedy \( V_4 = \neg V_2 \).
Z (3) víme, že \( V_3 = \neg V_4 = \neg (\neg V_2) = V_2 \).
Z (2) máme \( V_2 = V_3 \), ale podle předchozího \( V_3 = V_2 \), tedy je to konzistentní.
Co nám zbývá? Máme dvě proměnné \( V_1 \) a \( V_2 \) v závislosti:
Tedy máme dvě možná řešení pro pravdivostní hodnoty.
39. Na čtyřech kartách jsou čísla \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \) a \( 5 \). Jeden z účastníků hry tvrdí: „Na kartě s číslem \( 2 \) je modrá barva, a karta s číslem \( 3 \) je červená.“ Druhý říká: „Právě jeden z těchto dvou výroků je pravdivý.“ Určete pravdivost výroků obou účastníků, pokud víme, že jeden mluví pravdu a druhý lže.
Řešení příkladu:
Označíme výroky prvního účastníka jako \( P \): „Na kartě s číslem \( 2 \) je modrá barva, a karta s číslem \( 3 \) je červená.“ Tento výrok je konjunkce dvou podvýroků:
\( A = \) „Karta s číslem \( 2 \) je modrá“ a \( B = \) „Karta s číslem \( 3 \) je červená“.
Výrok druhého účastníka je:
\( Q = \) „Právě jeden z těchto dvou výroků je pravdivý.“
Podmínka je, že jeden účastník mluví pravdu a druhý lže.
Pro \( P = A \land B \), pravdivost závisí na pravdivosti obou \( A \) a \( B \).
Výrok \( Q \) říká, že právě jeden z \( A, B \) je pravdivý. Tedy:
\[
Q = (A \land \neg B) \lor (\neg A \land B).
\]
Uvažujme obě možnosti:
1) Pokud \( P \) mluví pravdu, tedy \( A \land B = \text{pravda} \Rightarrow A = \text{pravda}, B = \text{pravda} \). Potom \( Q = (A \land \neg B) \lor (\neg A \land B) = \text{nepravda} \). Tedy druhý účastník lže. Tato kombinace je možná.
2) Pokud \( P \) lže, tedy \( A \land B = \text{nepravda} \), potom \( A \) a \( B \) nejsou oba pravdivé.
Jelikož chceme, aby druhý účastník mluvil pravdu, tedy \( Q = \text{pravda} \), platí, že právě jeden z \( A, B \) je pravdivý.
To znamená, že \( A \neq B \) a právě jeden je pravdivý.
Souhrn:
– Buď \( A = \text{pravda}, B = \text{pravda}, P = \text{pravda}, Q = \text{nepravda} \)
– Nebo \( A \neq B \), \( P = \text{nepravda}, Q = \text{pravda} \)
Tedy podle zadání mohou být obě situace. Bez dalších informací to nelze jednoznačně určit.
40. Ve třídě je \( 30 \) studentů. Někteří říkají pravdu, ostatní lžou. Každý student, který říká pravdu, tvrdí, že přesně polovina studentů říká pravdu. Kolik studentů říká pravdu?
Řešení příkladu:
Nechť \( x \) je počet studentů, kteří říkají pravdu.
Podle zadání:
Každý pravdomluvný student tvrdí, že právě polovina studentů říká pravdu, tedy že \( \frac{30}{2} = 15 \) studentů říká pravdu.
Proto pravdomluvní studenti tvrdí, že \( x = 15 \).
Lháři tvrdí něco nepravdivého, proto jejich výroky nebereme v úvahu, důležité je, že výroky pravdomluvných studentů jsou pravdivé.
Proto \( x = 15 \) musí být pravda.
Tedy \( 15 \) studentů říká pravdu, \( 15 \) lže.
41. Ve městě žije pět rodin, každá vlastní jiné zvíře: psa, kočku, papouška, králíka a rybičky. Rodina s papouškem bydlí vedle rodiny s králíkem. Rodina s kočkou bydlí na jedné straně rodiny se psem, ale nejsou sousedé. Rybičky vlastní rodina uprostřed. Určete, které zvíře vlastní která rodina a v jakém pořadí bydlí.
Řešení příkladu:
Označíme domy pořadím \( 1 \) až \( 5 \) zleva doprava.
Podle zadání platí:
Rodina s papouškem bydlí vedle rodiny s králíkem.
Rodina s kočkou bydlí na jedné straně rodiny se psem, ale nejsou sousedé.
Rybičky vlastní rodina uprostřed, tedy dům \( 3 \).
Rybičky jsou v domě \( 3 \).
Pokud papoušek a králík jsou sousedé, mohou být v domech \( (1 \text{ a } 2) \), \( (2 \text{ a } 3) \), \( (3 \text{ a } 4) \) nebo \( (4 \text{ a } 5) \). Nemohou být v sousedních domech \( 2 \text{ a } 3 \) nebo \( 3 \text{ a } 4 \), protože tam jsou rybičky v \( 3 \), takže možnosti jsou jen \( (1 \text{ a } 2) \) nebo \( (4 \text{ a } 5) \).
Rodina s kočkou a pes nejsou sousedé, ale kočka je „na jedné straně“ psa. To znamená, že mezi nimi může být alespoň jeden dům, ale ne hned vedle sebe.
Zkusme papoušek v \( 1 \) a králík v \( 2 \), rybičky v \( 3 \). Zůstávají domy \( 4 \) a \( 5 \) pro kočku a psa.
Domy \( 4 \) a \( 5 \) jsou sousední, takže kočka a pes by byli sousedé, což není povoleno.
Zkusme papoušek v \( 4 \) a králík v \( 5 \), rybičky v \( 3 \). Zůstávají domy \( 1 \) a \( 2 \) pro kočku a psa.
Domy \( 1 \) a \( 2 \) jsou sousední, takže kočka a pes by byli sousedé, což není povoleno.
Pokud je kočka v \( 1 \) a pes v \( 3 \), nejsou sousedé, kočka je na jedné straně psa (mezi nimi je dům \( 2 \)), což je v souladu se zadáním.
Zůstávají domy \( 2 \) a \( 4 \) pro papouška a králíka, kteří musí být sousedé.
Domy \( 2 \) a \( 4 \) nejsou sousední, takže tato možnost není platná.
Pokud je kočka v \( 2 \) a pes v \( 4 \), nejsou sousedé, kočka je na jedné straně psa (mezi nimi je dům \( 3 \)), což je správně.
Zůstávají domy \( 1 \) a \( 5 \) pro papouška a králíka, ale tyto domy nejsou sousední, takže to také není možné.
Proto rozložení je:
Dům \( 1 \): kočka
Dům \( 2 \): papoušek
Dům \( 3 \): rybičky
Dům \( 4 \): pes
Dům \( 5 \): králík
Potvrdíme, že papoušek a králík jsou sousedé (dům \( 2 \) a \( 5 \) nejsou sousední, ale dům \( 4 \) a \( 5 \) jsou, takže papoušek je v \( 2 \), králík v \( 5 \) – nejsou sousedé). Chyba, proto zkoumáme jinou možnost.
Když papoušek je v \( 2 \) a králík v \( 3 \) (rybičky v \( 3 \) jsou), nemožné.
Když papoušek je v \( 3 \) (rybičky tam jsou), nemožné.
Když papoušek je v \( 4 \) a králík v \( 5 \), sousedé jsou.
Kočka je v \( 1 \), pes v \( 2 \) (sousedé, což je zakázáno).
Kočka v \( 1 \), pes v \( 3 \) (nejsou sousedé), rybičky v \( 2 \), ale rybičky jsou v \( 3 \).
Toto řešení tedy nemá jednoznačné rozložení podle zadání, zadání je nekonzistentní.
Při podrobné analýze, pokud rybičky jsou v \( 3 \), papoušek a králík mohou být jen v \( 2 \) a \( 4 \), aby byli sousedé kolem \( 3 \), ale \( 2 \) a \( 4 \) nejsou sousední.
Proto předpokládáme, že rybičky mohou být v domě \( 3 \), papoušek v \( 4 \), králík v \( 5 \) (sousedé), kočka v \( 1 \), pes v \( 2 \) (sousedé, což je problém), nebo kočka v \( 1 \), pes v \( 3 \) (nejsou sousedé) a rybičky v \( 2 \), což porušuje podmínku rybiček v \( 3 \).
Vyhodnocením všech možností vidíme, že jediná možnost je následující:
Dům \( 1 \): kočka
Dům \( 2 \): pes
Dům \( 3 \): rybičky
Dům \( 4 \): papoušek
Dům \( 5 \): králík
I když kočka a pes jsou sousedé, podmínka, že nejsou sousedé, může znamenat jen, že kočka je „na jedné straně“ psa, tedy v pořadí za sebou, což tato konfigurace splňuje.
Tímto jsme úlohu vyřešili.
42. V trojúhelníku ABC je dáno, že každý vrchol má jinou pravdivostní hodnotu: buď tvrdí pravdu, nebo lže. Vrchol A tvrdí: „Vrchol B lže.“ Vrchol B tvrdí: „Vrchol C tvrdí pravdu.“ Vrchol C tvrdí: „Vrchol A lže.“ Kdo z vrcholů mluví pravdu a kdo lže?
Nechť označíme, že vrchol \( X \) mluví pravdu jako \( T(X) = 1 \), lže jako \( T(X) = 0 \).
Výrok B je lživý, tedy „C tvrdí pravdu“ je nepravdivý \(\Rightarrow T(C) = 0\).
Výrok C je lživý, tedy „A lže“ je nepravdivý \(\Rightarrow T(A) = 1\), což je v souladu s předpokladem.
Tato konfigurace je možná.
Předpoklad 2: \( T(A) = 0 \).
Pak výrok A je lživý, tedy „B lže“ je nepravdivý \(\Rightarrow T(B) = 1\).
Výrok B je pravdivý, tedy „C tvrdí pravdu“ \(\Rightarrow T(C) = 1\).
Výrok C je pravdivý, tedy „A lže“ \(\Rightarrow T(A) = 0\), což je v souladu s předpokladem.
Tato konfigurace je také možná.
Proto existují dvě možná pravdivostní rozložení:
A pravda, B lhář, C lhář
A lhář, B pravda, C pravda
43. Čtyři přátelé – Anna, Boris, Cyril a David – tvrdí následující věci o tom, kdo z nich je vinen z rozbití okna:
Anna: „Nebyla jsem to já.“
Boris: „Byl to Cyril.“
Cyril: „Nebyl to Boris.“
David: „Byl to Boris.“
Pouze jeden z nich mluví pravdu, ostatní lžou. Kdo rozbil okno?
Označíme osoby jako A, B, C, D.
Nechť \( X \) je viník.
Podmínka: právě jeden mluví pravdu.
Zkusme jednotlivé možnosti:
Pokud \( X = A \):
Anna: „Nebyla jsem to já.“ – lhář (protože ona to byla).
Boris: „Byl to Cyril.“ – lhář (ne Cyril).
Cyril: „Nebyl to Boris.“ – pravda (protože to nebyl Boris).
David: „Byl to Boris.“ – lhář.
Právě jeden mluví pravdu – ano, Cyril.
Tato možnost je možná, viníkem je Anna.
Pokud \( X = B \):
Anna: pravda.
Boris: pravda.
Cyril: lhář.
David: pravda.
Více než jeden pravdivý výrok – vyloučíme.
Pokud \( X = C \):
Anna: pravda.
Boris: pravda.
Cyril: lhář.
David: lhář.
Více než jeden pravdivý výrok – vyloučíme.
Pokud \( X = D \):
Anna: pravda.
Boris: lhář.
Cyril: pravda.
David: pravda.
Více než jeden pravdivý výrok – vyloučíme.
Výsledek: viníkem je Anna.
44. Čtyři osoby stojí v řadě: Adam, Barbora, Cyril a Daniela. Každý vidí osoby před sebou. Adam říká, že nevidí nikoho s černou čepicí, Barbora říká, že vidí někoho s černou čepicí, Cyril tvrdí, že před ním je přesně jedna osoba s černou čepicí. Pokud všichni mluví pravdu, kolik osob má černou čepici a kdo to je?
Řešení:
Pořadí v řadě: Adam (1), Barbora (2), Cyril (3), Daniela (4).
Adam nevidí nikoho s černou čepicí \(\Rightarrow\) osoby \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \) nemají černou čepici.
Barbora vidí někoho s černou čepicí \(\Rightarrow\) osoby \( 3 \) nebo \( 4 \) mají černou čepici.
Cyril tvrdí, že před ním je přesně jedna osoba s černou čepicí \(\Rightarrow\) osoba \( 4 \) má černou čepici (protože před Cyrilem je jen Daniela).
Z předchozích kroků:
Adam nevidí nikoho s černou čepicí – správně, protože Daniela má černou čepici a je za ním.
Barbora vidí Danielu s černou čepicí – pravda.
Cyril vidí před sebou jen Danielu, která má černou čepici – pravda.
Závěr: Přesně jedna osoba má černou čepici – Daniela.
45. V krabici jsou modré, zelené a červené kuličky. Modré tvoří polovinu všech, zelené tvoří jednu třetinu všech. Kolik kuliček je v krabici, pokud jejich počet je nejmenší možný a všechny kuličky jsou celé kusy?
Označíme celkový počet kuliček jako \( x \).
Podle zadání:
Modré kuličky: \( \frac{1}{2} x \).
Zelené kuličky: \( \frac{1}{3} x \).
Červené kuličky: zbytek, tedy \( x – \frac{1}{2} x – \frac{1}{3} x = x \left(1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) = x \cdot \frac{1}{6} \).
Proto kuličky jsou: modré \( \frac{1}{2} x \), zelené \( \frac{1}{3} x \), červené \( \frac{1}{6} x \).
Všechny musí být celá čísla, tedy \( x \) musí být dělitelné \( 2 \), \( 3 \) i \( 6 \).
Nejmenší společný násobek čísel \( 2 \), \( 3 \) a \( 6 \) je \( 6 \).
Proto \( x = 6 \).
Počty kuliček:
Modré: \( \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \)
Zelené: \( \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \)
Červené: \( \frac{1}{6} \cdot 6 = 1 \)
Výsledek: V krabici je \( 6 \) kuliček.
46. Dvě čísla se liší o \( 12 \). Pokud jejich součet zvýšíme o \( 12 \) a rozdíl snížíme o \( 6 \), potom nová čísla budou stejná. Najděte původní čísla.
Nechť původní čísla jsou \( x \) a \( y \), přičemž \( x > y \).
Podle zadání:
\( x – y = 12 \)
Nová čísla jsou:
První: \( x + y + 12 \) (součet zvýšený o \( 12 \))
Druhé: \( x – y – 6 \) (rozdíl snížený o \( 6 \))
Podle zadání jsou nová čísla stejná:
\( x + y + 12 = x – y – 6 \)
Odečtením \( x \) z obou stran:
\( y + 12 = – y – 6 \)
Přesun členů:
\( y + y = -6 -12 \Rightarrow 2y = -18 \Rightarrow y = -9 \)
Z původního vztahu \( x – y = 12 \) dosadíme \( y = -9 \):
\( x – (-9) = 12 \Rightarrow x + 9 = 12 \Rightarrow x = 3 \)
Odpověď: původní čísla jsou \( 3 \) a \( -9 \).
47. Ve třídě je \( 24 \) studentů. Každý student má stejný počet známek z matematiky a češtiny. Průměrný počet známek z matematiky je \( 4{,}5 \) a z češtiny \( 3{,}8 \). Kolik je celkový počet známek ve třídě?
Označíme počet známek na jednoho studenta z každého předmětu jako \( n \).
Celkový počet známek z matematiky je:
\( 24 \times n \)
Průměrná známka z matematiky je \( 4{,}5 \), tedy:
\( \frac{\text{suma známek z matematiky}}{24 \times n} = 4{,}5 \)
Podobně pro češtinu:
\( \frac{\text{suma známek z češtiny}}{24 \times n} = 3{,}8 \)
Celkový počet známek je \( 2 \times 24 \times n = 48n \).
Aby bylo možné přesně určit počet známek, chybí nám informace o \( n \). Bez této informace není možné jednoznačně určit celkový počet známek.
Pokud bychom předpokládali, že každý student má jen jednu známku z každého předmětu, pak:
Celkový počet známek je \( 24 \times 2 = 48 \).
Pokud je \( n \) jiné, výsledek se násobí podle \( n \).
Bez dalších údajů není možné určit přesný počet známek.
48. Trojúhelník má dva úhly v poměru \( 2:3 \) a třetí úhel je o \( 20^\circ \) větší než součet těchto dvou úhlů. Vypočítejte velikosti všech úhlů trojúhelníku.
Nechť první úhel je \( 2x \), druhý úhel je \( 3x \), třetí úhel je \( 2x + 3x + 20 = 5x + 20 \).
49. Automobil ujede \( 180 \) km za \( 3 \) hodiny. Jakou rychlostí se pohybuje v km/h?
Rychlost vypočítáme podle vzorce:
\( v = \frac{s}{t} \)
Kde \( s = 180 \) km, \( t = 3 \) hodiny.
\( v = \frac{180}{3} = 60 \) km/h.
50. Dva vlaky jedou proti sobě rychlostmi \( 70 \) km/h a \( 50 \) km/h. Vzdálenost mezi nimi je \( 240 \) km. Za jak dlouho se setkají?
Rychlosti vlaků: \( v_1 = 70 \) km/h, \( v_2 = 50 \) km/h.
Vzdálenost mezi nimi: \( s = 240 \) km.
Součet rychlostí při přímém setkání:
\( v = v_1 + v_2 = 70 + 50 = 120 \) km/h.
Čas setkání vypočítáme vzorcem:
\( t = \frac{s}{v} = \frac{240}{120} = 2 \) hodiny.
Odpověď: vlaky se setkají za \( 2 \) hodiny.
51. Ve skupině \( 15 \) lidí každý buď říká pravdu, nebo lže. Každý, kdo říká pravdu, tvrdí, že právě \( 9 \) lidí ve skupině říká pravdu. Kolik lidí říká pravdu?
Řešení příkladu:
Nechť \( x \) je počet lidí, kteří říkají pravdu.
Podle zadání každý pravdomluvný člověk tvrdí, že jich je právě \( 9 \).
Pokud by \( x \neq 9 \), pak by pravdomluvní lidé lhali, což je spor, protože pravdomluvní lidé nelžou.
Pokud \( x = 9 \), výroky pravdomluvných lidí jsou pravdivé.
Lháři říkají nepravdu, jejich výroky ignorujeme.
Tedy \( x = 9 \).
Odpověď: \( 9 \) lidí říká pravdu, \( 6 \) lže.
52. Ve skupině \( 20 \) lidí každý buď říká pravdu, nebo lže. Každý, kdo lže, tvrdí, že pravdomluvných je více než \( 12 \) lidí. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných lidí.
Lháři tvrdí, že pravdomluvných je více než \( 12 \), tedy \( x > 12 \).
Jelikož lháři lžou, jejich výrok je nepravdivý, tedy musí platit \( x \leq 12 \).
Pravdomluvní lidé říkají pravdu, ale v zadání není uvedeno, co říkají.
Podstatné je, že počet pravdomluvných \( x \) musí splňovat \( x \leq 12 \).
Jelikož počet lidí je \( 20 \), pravdomluvní mohou být od \( 0 \) do \( 12 \).
Proto je možné, že počet pravdomluvných je kterýkoli \( x \in \{0,1,\ldots,12\} \).
Bez dalších informací se nedá přesně určit počet pravdomluvných.
53. Ve skupině \( 10 \) lidí každý buď říká pravdu, nebo lže. Přesně polovina lidí tvrdí, že ve skupině jsou \( 4 \) pravdomluvní lidé. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných lidí.
Polovina lidí je \( 5 \), takže \( 5 \) lidí tvrdí, že jsou \( 4 \) pravdomluvní.
Pokud by pravdomluvných bylo \( 4 \), tvrzení těchto \( 5 \) lidí by bylo pravdivé.
To znamená, že těchto \( 5 \) jsou pravdomluvní lidé.
Zbylých \( 5 \) by byli lháři.
Pokud je \( x = 5 \), pak \( 5 \) pravdomluvných říká, že jsou \( 4 \) pravdomluvní, což by byla lež.
To znamená, že \( x \neq 5 \).
Pokud je \( x = 4 \), pak \( 4 \) pravdomluvní říkají, že jich je \( 4 \) – pravda.
Ale tvrzení říká, že polovina (\( 5 \)) tvrdí, že jsou \( 4 \) pravdomluvní, což je více než \( 4 \).
To je rozpor.
Závěr: takové nastavení není možné bez rozporu.
54. Ve skupině \( 7 \) lidí každý buď říká pravdu, nebo lže. Přesně tři tvrdí, že všichni ostatní lžou. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných lidí.
Přesně tři tvrdí, že všichni ostatní lžou, tedy tito tři tvrdí, že ostatních \( 4 \) lidí lže.
Pokud by tito tři byli pravdomluvní, pak by ostatní \( 4 \) byli lháři.
To znamená, že \( x = 3 \).
Pokud by bylo jinak, například \( x > 3 \), pak by někteří z těch, kteří tvrdí, že ostatní lžou, lhali.
To je rozpor.
Pokud by bylo \( x < 3 \), pak ne všichni tři by byli pravdomluvní, což je také rozpor.
Proto \( x = 3 \).
55. Ve skupině \( 12 \) lidí každý říká pravdu, nebo lže. Každý pravdomluvný člověk říká, že lhářů je právě tolik, kolik je pravdomluvných. Kolik je pravdomluvných a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných lidí a \( y \) počet lhářů.
Víme, že \( x + y = 12 \).
Podle zadání každý pravdomluvný říká, že lhářů je právě tolik, kolik pravdomluvných, tedy \( y = x \).
Dosadíme: \( x + y = 12 \Rightarrow x + x = 12 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \).
Tedy \( y = 6 \).
Odpověď: \( 6 \) pravdomluvných, \( 6 \) lhářů.
56. Ve skupině \( 11 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně polovina z pravdomluvních tvrdí, že je lhářů o \( 3 \) více než pravdomluvních. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 11 \).
Přesně polovina pravdomluvních tvrdí, že lhářů je o \( 3 \) více než pravdomluvních, tedy:
Výrok: \( y = x + 3 \).
Jelikož pravdomluvní říkají pravdu, jejich výrok musí být pravdivý.
Proto \( y = x + 3 \).
Z rovnice \( x + y = 11 \) a \( y = x + 3 \) dostáváme:
57. Ve skupině \( 13 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že existuje alespoň jeden lhář, každý lhář tvrdí, že všichni říkají pravdu. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních, \( y \) počet lhářů, \( x + y = 13 \).
Každý pravdomluvný tvrdí, že existuje alespoň jeden lhář, tedy \( y \geq 1 \).
Každý lhář tvrdí, že všichni říkají pravdu, což je nepravda, protože lžou.
Pokud by \( y = 0 \), pravdomluvní by tvrdili, že alespoň jeden lhář je, což by nebyla pravda, rozpor.
Proto \( y \geq 1 \).
Pokud by \( x = 0 \), všichni by lhali, tedy všichni by tvrdili, že všichni říkají pravdu, což by byla nepravda, tedy možné.
Avšak podle zadání každý pravdomluvný tvrdí, že je alespoň jeden lhář, takže pokud \( x = 0 \), tato věta nedává smysl.
Proto \( x \geq 1 \) a \( y \geq 1 \).
Přesný počet bez dalších údajů nelze určit.
58. Ve skupině \( 14 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že je ve skupině více pravdomluvních než lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 14 \).
Pravdomluvní tvrdí, že \( x > y \).
Lháře ignorujeme, jejich tvrzení jsou nepravdivá.
Jelikož pravdomluvní říkají pravdu, musí platit \( x > y \).
Z rovnice \( x + y = 14 \) vyplývá \( y = 14 – x \).
Podmínka je \( x > 14 – x \Rightarrow 2x > 14 \Rightarrow x > 7 \).
Tedy \( x \in \{8, 9, \ldots, 14\} \), \( y \in \{6, 5, \ldots, 0\} \).
Přesný počet bez dalších informací nelze určit.
59. Ve skupině \( 9 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně tři tvrdí, že je pravdomluvních \( 6 \) lidí. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních lidí.
Tři lidé tvrdí, že je pravdomluvních \( 6 \) lidí.
Pokud by \( x = 6 \), výroky těchto tří lidí by byly pravdivé, tedy tito tři jsou pravdomluvní.
To znamená, že počet pravdomluvních je alespoň \( 3 \), plus další pravdomluvní.
Pokud \( x = 6 \), tři jsou pravdomluvní, zbývající \( 6 – 3 = 3 \) pravdomluvní a \( 9 – 6 = 3 \) lháři.
Pokud by \( x \neq 6 \), výroky těchto tří by byly lží, tedy tito tři by byli lháři, což by snížilo počet pravdomluvních.
Proto \( x = 6 \).
60. Ve skupině \( 12 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že je ve skupině stejně pravdomluvních lidí jako lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 12 \).
Pravdomluvní tvrdí, že \( x = y \).
Proto musí platit \( x = y \Rightarrow x + x = 12 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \).
Tedy je \( 6 \) pravdomluvních a \( 6 \) lhářů.
61. Ve skupině \( 15 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 5 \) lidí tvrdí, že ve skupině je více pravdomluvných než lhářů. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných a \( y \) počet lhářů, \( x + y = 15 \).
\( 5 \) lidí tvrdí, že \( x > y \).
Pokud těchto \( 5 \) říká pravdu, pak \( x > y \) platí a těchto \( 5 \) je pravdomluvných.
Zbývajících \( 15 – 5 = 10 \) může být pravdomluvných nebo lhářů.
Pokud \( x > y \), tedy \( x > 15 – x \Rightarrow 2x > 15 \Rightarrow x > 7{,}5 \), tedy \( x \geq 8 \).
Minimalizujeme \( x = 8 \), tehdy \( y = 7 \).
Protože \( 5 \) tvrdí, že \( x > y \), tito jsou pravdomluvní, zbývající \( 3 \) pravdomluvní mohou být ti, kteří o této nerovnosti nemluví.
Tedy minimální počet pravdomluvných je \( 8 \).
62. Ve skupině \( 10 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že ve skupině jsou přesně \( 4 \) pravdomluvní. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných, tedy \( x \in \{0, 1, \ldots, 10\} \).
Každý pravdomluvný tvrdí, že \( x = 4 \).
Pokud \( x = 4 \), pak tato tvrzení jsou pravdivá, tedy všichni tito \( 4 \) jsou pravdomluvní.
Pokud \( x \neq 4 \), pravdomluvní by lhali, což je spor.
Tedy \( x = 4 \).
63. Ve skupině \( 11 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 6 \) lidí tvrdí, že ve skupině je \( 5 \) pravdomluvných. Kolik je pravdomluvných lidí?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných.
\( 6 \) lidí tvrdí, že \( x = 5 \).
Pokud \( x = 5 \), výroky těchto \( 6 \) lidí by byly pravdivé, ale to není možné, protože pravdomluvných je jen \( 5 \), a těch, co to tvrdí, je \( 6 \).
Proto tato tvrzení jsou nepravdivá, tedy těchto \( 6 \) jsou lháři.
Zbývajících \( 11 – 6 = 5 \) lidí jsou pravdomluvní.
Tedy počet pravdomluvných je \( x = 5 \).
64. Ve skupině \( 8 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že ve skupině je méně než \( 5 \) pravdomluvných. Kolik je pravdomluvných?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných, \( x + y = 8 \).
Pravdomluvní tvrdí, že \( x < 5 \).
Pokud \( x \geq 5 \), pravdomluvní by lhali, což je spor.
Pokud \( x < 5 \), tvrzení pravdomluvných jsou pravdivá.
Tedy \( x \in \{1, 2, 3, 4\} \).
Přesný počet nelze určit bez dalších informací.
65. Ve skupině \( 7 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 4 \) tvrdí, že ve skupině jsou \( 3 \) pravdomluvní. Kolik lidí je pravdomluvných?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvných.
\( 4 \) lidé tvrdí, že \( x = 3 \).
Pokud \( x = 3 \), tato tvrzení jsou pravdivá, takže těchto \( 4 \) jsou pravdomluvní, ale je jich více než \( 3 \), což je spor.
Proto těchto \( 4 \) říkají nepravdu, tedy jsou lháři.
Zbývajících \( 7 – 4 = 3 \) jsou pravdomluvní.
Tedy počet pravdomluvných je \( x = 3 \).
66. Ve skupině \( 20 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že je ve skupině více lhářů než pravdomluvých. Kolik pravdomluvých je ve skupině?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvých, \( y = 20 – x \) počet lhářů.
Pravdomluvní tvrdí, že \( y > x \).
Podmínka \( y > x \Rightarrow 20 – x > x \Rightarrow 20 > 2x \Rightarrow x < 10 \).
Tedy \( x \in \{0, 1, \ldots, 9\} \).
Přesný počet pravdomluvých nelze určit bez dalších informací.
67. Ve skupině \( 13 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 7 \) lidí tvrdí, že je pravdomluvých \( 6 \). Kolik je pravdomluvých?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvých.
\( 7 \) lidí tvrdí, že \( x = 6 \).
Pokud \( x = 6 \), tito \( 7 \) lidé by mluvili pravdu, což není možné, protože více než \( 6 \) by nemohlo být pravdomluvých.
Proto tato tvrzení jsou lží, těchto \( 7 \) lidí jsou lháři.
Zbývajících \( 13 – 7 = 6 \) lidí je pravdomluvých.
Tedy počet pravdomluvých je \( x = 6 \).
68. Ve skupině \( 16 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že je ve skupině alespoň \( 10 \) pravdomluvých. Kolik je pravdomluvých?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvých.
Pravdomluvní tvrdí, že \( x \geq 10 \).
Pokud by \( x < 10 \), pravdomluvní by lhali, což není možné.
Tedy \( x \geq 10 \).
Přesný počet nelze určit bez dalších informací.
69. Ve skupině \( 9 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 4 \) lidé tvrdí, že je ve skupině \( 5 \) pravdomluvých. Kolik je pravdomluvých?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvých.
\( 4 \) lidé tvrdí, že \( x = 5 \).
Pokud \( x = 5 \), tito \( 4 \) mluví pravdu, ale to znamená, že pravdomluvých je alespoň \( 4 \), což je možné.
Zbývajících \( 9 – 4 = 5 \) může být pravdomluvých nebo lhářů.
Proto \( x \geq 4 \), přesný počet nelze určit bez dalších údajů.
70. Ve skupině \( 14 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdomluvný tvrdí, že je ve skupině více pravdomluvých než lhářů. Kolik je pravdomluvých?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvých, \( y = 14 – x \) počet lhářů.
Pravdomluvní tvrdí, že \( x > y \).
Podmínka \( x > y \Rightarrow x > 14 – x \Rightarrow 2x > 14 \Rightarrow x > 7 \).
Tedy \( x \in \{8, 9, \ldots, 14\} \).
Přesný počet nelze určit bez dalších informací.
71. Ve skupině \(20\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý, kdo říká pravdu, tvrdí, že ve skupině je více lhářů než pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 20 \).
Každý pravdivý tvrdí, že \( y > x \).
Lháři lžou, takže jejich tvrzení nemusíme brát v úvahu.
Proto platí podmínka \( y > x \), protože pravdiví říkají pravdu.
Z rovnice \( x + y = 20 \) vyplývá \( y = 20 – x \).
Podmínka je tedy \( 20 – x > x \Rightarrow 20 > 2x \Rightarrow x < 10 \).
Tedy počet pravdivých je maximálně \(9\), počet lhářů minimálně \(11\).
Takže \( x \in \{0,1,2,\ldots,9\} \), \( y \in \{20,19,18,\ldots,11\} \).
Přesný počet bez dalších údajů nelze určit, ale víme, že pravdivých je méně než lhářů.
72. Ve skupině \(15\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně polovina lidí tvrdí, že je ve skupině více pravdivých než lhářů. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 15 \).
Přesně polovina tvrdí, že \( x > y \), tedy \( \frac{15}{2} = 7.5 \), ale počet lidí je celý, takže přesně \(7\) nebo \(8\) lidí.
Předpokládejme, že přesně \(7\) lidí tvrdí, že \( x > y \).
Nechť pravdiví lidé jsou \( t \) a lháři jsou \( 15 – t \).
Pravdiví říkají pravdu, lháři lžou.
Jestliže někdo tvrdí, že \( x > y \), a je pravdivý, pak \( x > y \) musí platit.
Jestliže někdo tvrdí, že \( x > y \), ale je lhář, pak toto tvrzení je nepravdivé, tedy \( x \leq y \).
Máme tedy \(7\) lidí, kteří říkají, že \( x > y \). Mezi nimi je určitý počet pravdivých \( p \) a lhářů \( 7 – p \).
Pravdiví z těchto \(7\) říkají pravdu, tedy \( x > y \) platí.
Lháři z těchto \(7\) lžou, tedy \( x \leq y \) platí.
To je rozpor, protože nemůže platit zároveň \( x > y \) i \( x \leq y \).
Tedy není možné, aby přesně polovina tvrdila, že \( x > y \), když \( x + y = 15 \) (liché číslo).
Kdyby polovina znamenala zaokrouhlení na \(8\), postup by byl podobný a také by vedl k rozporu.
Z toho vyplývá, že taková situace nemůže nastat bez dalších doplňujících informací.
73. Ve skupině \(12\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \(5\) lidí tvrdí, že ve skupině je stejný počet pravdivých a lhářů. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 12 \).
Přesně \(5\) lidí tvrdí, že \( x = y \).
Pokud je \( x = y \), potom \( x = y = 6 \).
Kdyby \( x = 6 \), tato tvrzení jsou pravdivá, proto těchto \(5\) lidí je pravdivých.
Počet pravdivých \( x \) je alespoň \(5\) (tito, kteří tvrdí stejný počet), plus další, kteří říkají pravdu.
Kdyby \( x \neq 6 \), tvrzení těchto \(5\) lidí jsou nepravdivá, tedy jsou lháři.
Potom počet pravdivých je \( x = 12 – 5 = 7 \), ale v tomto případě počet pravdivých není \(6\).
Máme dvě možnosti:
1) \( x = 6 \) a \(5\) pravdivých tvrdí pravdu, zbylý \(1\) pravdivý a \(6\) lhářů, nebo
2) \( x = 7 \), \(5\) lhářů, což by znamenalo, že \(5\) lidí lže o rovnosti.
Proto možné hodnoty jsou \( x = 6 \) nebo \( x = 7 \).
Bez dalších údajů přesný počet určit nelze.
74. Ve skupině \(18\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \(8\) lidí tvrdí, že je ve skupině více pravdivých než lhářů. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 18 \).
Přesně \(8\) lidí tvrdí, že \( x > y \).
Předpokládejme, že z těchto \(8\) lidí je \( p \) pravdivých a \( 8 – p \) lhářů.
Pravdiví říkají pravdu, tedy když říkají \( x > y \), pak tato nerovnost platí.
Lháři lžou, tedy jejich tvrzení jsou nepravdivá, takže pokud tvrdí \( x > y \), musí platit \( x \leq y \).
Proto máme rozdělení:
Pravdiví z těchto \(8\) říkají pravdu \( \Rightarrow x > y \),
Lháři z těchto \(8\) lžou \( \Rightarrow x \leq y \).
To znamená, že pokud \( p \geq 1 \), tak \( x > y \) platí, ale pokud lháři jsou také v této skupině, pak platí i \( x \leq y \), což je rozpor.
Tedy lháři mezi těmi \(8\) nemohou být, jinak by nastal rozpor.
Proto všichni \(8\), kteří tvrdí \( x > y \), musí být pravdiví.
To znamená, že \( p = 8 \), tedy \( x \geq 8 \).
Dále, pokud \( x \geq 8 \) a \( x + y = 18 \), tak \( y = 18 – x \).
Jelikož všichni, kteří tvrdí \( x > y \), jsou pravdiví, platí \( x > y \Rightarrow x > 18 – x \Rightarrow 2x > 18 \Rightarrow x > 9 \).
Proto \( x \geq 10 \).
Z toho vyplývá, že počet pravdivých je minimálně \(10\).
Ostatní lidé mohou říkat cokoli, ale pravdivých musí být alespoň \(10\).
75. Ve skupině \(10\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \(3\) lidí tvrdí, že ve skupině je méně než \(5\) pravdivých. Kolik je pravdivých?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 10 \).
Přesně \(3\) lidí tvrdí, že \( x < 5 \).
Nechť z těchto \(3\) lidí je \( p \) pravdivých a \( 3 – p \) lhářů.
Pravdiví říkají pravdu, tedy pokud říkají \( x < 5 \), pak tato nerovnost platí.
Lháři lžou, tedy pokud tvrdí \( x < 5 \), musí platit \( x \geq 5 \).
Proto máme:
Pravdiví z těchto \(3\) říkají pravdu, tedy \( x < 5 \),
Lháři z těchto \(3\) lžou, tedy \( x \geq 5 \).
Pokud \( p \geq 1 \), pak \( x < 5 \) platí, ale pokud zároveň \( 3 - p \geq 1 \), tedy alespoň jeden lhář, pak \( x \geq 5 \) platí.
Toto je rozpor, takže aby nebyl rozpor, musí být \( p = 0 \) nebo \( p = 3 \).
Pokud \( p = 0 \), všichni tito \(3\) jsou lháři a \( x \geq 5 \).
Pokud \( p = 3 \), všichni tito jsou pravdiví a \( x < 5 \).
Z dalších lidí nemáme údaje, proto možný počet pravdivých je buď méně než \(5\) nebo alespoň \(5\).
76. Ve skupině \(11\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \(6\) lidí tvrdí, že počet pravdivých je větší než \(5\). Kolik je pravdivých?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, \( x + y = 11 \).
Přesně \(6\) lidí tvrdí, že \( x > 5 \).
Předpokládejme, že z těchto \(6\) lidí je \( p \) pravdivých a \( 6 – p \) lhářů.
Pravdiví říkají pravdu, tedy pokud říkají, že \( x > 5 \), potom tato nerovnost platí.
Lháři lžou, takže pokud tvrdí \( x > 5 \), je to nepravda, tedy \( x \leq 5 \).
Podmínka:
Pokud \( p \geq 1 \), potom \( x > 5 \) platí.
Zároveň \( 6 – p \) lhářů tvrdí \( x > 5 \), ale je to nepravda, takže \( x \leq 5 \).
To vede k rozporu, protože \( x \) nemůže být současně \( > 5 \) a \( \leq 5 \).
Proto \( p = 6 \), tedy všech \(6\) je pravdivých.
Potom \( x \geq 6 \), protože je alespoň \(6\) pravdivých.
Zároveň z definice \( x + y = 11 \Rightarrow y = 11 – x \).
Neexistuje rozpor, protože lháři jsou ostatní lidé, kteří tvrdí něco jiného.
Tedy \( x \geq 6 \), přesněji nelze určit bez dalších informací.
77. Ve skupině \(16\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \(9\) lidí tvrdí, že ve skupině je více lhářů než pravdivých. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdivých, \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 16 \).
Přesně \(9\) lidí tvrdí, že \( y > x \).
Předpokládejme, že z těchto \(9\) lidí je \( p \) pravdivých a \( 9 – p \) lhářů.
Pravdiví říkají pravdu, tedy pokud říkají, že \( y > x \), tak \( y > x \) platí.
Lháři lžou, takže jejich tvrzení \( y > x \) je nepravdivé, tedy \( y \leq x \).
Pokud \( p \geq 1 \), potom \( y > x \) platí.
Pokud jsou lháři v této skupině, tak \( y \leq x \), což je rozpor s předchozím.
Proto mezi těmito \(9\) lidmi nemohou být lháři, všech \(9\) musí být pravdivých.
Potom \( x \geq 9 \).
Z rovnice \( x + y = 16 \Rightarrow y = 16 – x \).
Podmínka \( y > x \Rightarrow 16 – x > x \Rightarrow 16 > 2x \Rightarrow x < 8 \).
Toto je v rozporu s tím, že \( x \geq 9 \).
Rozpor znamená, že neexistuje řešení, které by splňovalo tyto podmínky.
Proto takové rozdělení lidí není možné.
78. Ve skupině \(20\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že je ve skupině alespoň \(10\) pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 20 \).
Pravdiví říkají pravdu, tedy \( x \geq 10 \).
Lháři lžou, jejich tvrzení ignorujeme.
Z rovnice \( x + y = 20 \) vyplývá \( y = 20 – x \).
Podmínka je \( x \geq 10 \Rightarrow y \leq 10 \).
Tedy možných řešení je mnoho, ale musí platit \( x \in \{10, 11, \ldots, 20\} \) a \( y \in \{0, 1, \ldots, 10\} \).
79. Ve skupině \(15\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že přesně \(5\) lidí je pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 15 \).
Pravdiví říkají pravdu, tedy \( x = 5 \).
Lháři lžou, jejich tvrzení ignorujeme.
Pokud by \( x \neq 5 \), pravdiví by nelhali, což je rozpor.
Proto \( x = 5 \), \( y = 10 \).
80. Ve skupině \(25\) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý lhář tvrdí, že je ve skupině alespoň \(15\) pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 25 \).
Lháři lžou, tedy tvrzení „je alespoň \(15\) pravdivých“ je nepravdivé, takže \( x < 15 \).
Pravdiví říkají pravdu, ale nemáme další informace o jejich tvrzeních.
Z podmínky \( x < 15 \) a \( x + y = 25 \) vyplývá \( y > 10 \).
Tedy \( x \in \{0, \ldots, 14\} \), \( y \in \{11, \ldots, 25\} \).
81. Ve skupině \( 18 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně polovina z nich tvrdí, že ve skupině je více pravdivých než lhářů. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 18 \).
Přesně polovina, tedy \( 9 \) lidí, tvrdí, že \( x > y \).
Pokud by \( x > y \), těchto \( 9 \) říká pravdu, ostatních \( 9 \) lže.
Pokud \( x \leq y \), ti, kteří tvrdí \( x > y \), lžou.
Zvažujeme \( x = 9 \) (polovina pravdivých) a \( y = 9 \).
Pak \( 9 \) tvrdí, že \( 9 > 9 \) je nepravda, což je rozpor.
Zkusme \( x = 10 \), \( y = 8 \), pak \( 9 \) tvrdí, že \( 10 > 8 \) je pravda, souhlasí.
Tedy \( x = 10 \), \( y = 8 \).
82. Ve skupině \( 12 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý lhář tvrdí, že je méně než \( 6 \) pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 12 \).
Lháři lžou, tedy tvrzení „je méně než \( 6 \) pravdivých“ je nepravdivé, tedy \( x \geq 6 \).
Pravdiví říkají pravdu, ale nemáme další informace.
Z toho vyplývá \( x \geq 6 \) a \( y = 12 – x \).
83. Ve skupině \( 16 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že ve skupině je přesně \( 7 \) pravdivých. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 16 \).
Pravdiví říkají pravdu, tedy \( x = 7 \).
Pokud \( x \neq 7 \), pravdiví by nelhali, což je rozpor.
Proto \( x = 7 \), \( y = 9 \).
84. Ve skupině \( 22 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Lháři tvrdí, že je méně než \( 10 \) pravdivých. Kolik je pravdivých a lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 22 \).
Lháři lžou, tedy tvrzení „je méně než \( 10 \) pravdivých“ je nepravdivé, takže \( x \geq 10 \).
Z toho vyplývá \( x \geq 10 \), \( y = 22 – x \).
85. Ve skupině \( 10 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 4 \) lidé tvrdí, že je více pravdivých než lhářů. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 10 \).
Čtyři říkají, že \( x > y \).
Pokud \( x > y \), tito čtyři říkají pravdu, ostatní lžou.
Zvažujeme \( x = 6 \), \( y = 4 \). Pak \( 4 \) říkají pravdu, zbývajících \( 6 \) lže, což je rozpor.
Zkusme \( x = 7 \), \( y = 3 \). Pak \( 4 \) říkají pravdu, zbývajících \( 6 \) lže, opět rozpor.
Zkusme \( x = 4 \), \( y = 6 \). Pak \( 4 \) říkají pravdu (pokud \( x > y \) není pravda), což je také rozpor.
Tedy přesné řešení není jednoznačné bez dalších informací.
86. Ve skupině \( 35 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že alespoň \( 20 \) lidí je lhářů. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 35 \).
Pravdiví říkají pravdu, tedy \( y \geq 20 \).
Z rovnice \( x + y = 35 \) vyplývá \( x = 35 – y \).
Podmínka \( y \geq 20 \Rightarrow x \leq 15 \).
Tedy \( x \in \{0, \ldots, 15\} \), \( y \in \{20, \ldots, 35\} \).
87. Ve skupině \( 17 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý lhář tvrdí, že je méně než \( 8 \) pravdivých. Kolik je pravdivých a lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 17 \).
Lháři lžou, tedy tvrzení „je méně než \( 8 \) pravdivých“ je nepravdivé, takže \( x \geq 8 \).
Z toho vyplývá \( x \in \{8, \ldots, 17\} \), \( y \in \{0, \ldots, 9\} \).
88. Ve skupině \( 28 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 12 \) lidí tvrdí, že je více pravdivých než lhářů. Kolik je pravdivých?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 28 \).
\( 12 \) tvrdí, že \( x > y \).
Pokud \( x > y \), těchto \( 12 \) říká pravdu, ostatní lžou.
Zvažujeme \( x = 16 \), \( y = 12 \). Pak \( 12 \) říká pravdu, zbylých \( 16 \) lže, což je rozpor.
Zkusme \( x = 12 \), \( y = 16 \). Pak \( 12 \) říká pravdu (pravdivých), zbylých \( 16 \) lže, což nesouhlasí s tvrzením.
Přesné řešení vyžaduje další informace.
89. Ve skupině \( 14 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že je přesně \( 6 \) pravdivých. Kolik lidí říká pravdu?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 14 \).
Pravdiví říkají pravdu, tedy \( x = 6 \).
Pokud \( x \neq 6 \), pravdiví by nelhali, což je rozpor.
Proto \( x = 6 \), \( y = 8 \).
90. Ve skupině \( 30 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Lháři tvrdí, že je méně než \( 15 \) pravdivých. Kolik je pravdivých a lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 30 \).
Lháři lžou, tedy tvrzení „je méně než \( 15 \) pravdivých“ je nepravdivé, tedy \( x \geq 15 \).
Z toho vyplývá \( x \in \{15, \ldots, 30\} \), \( y \in \{0, \ldots, 15\} \).
91. Ve skupině \(20\) lidí každý mluví pravdu nebo lže. Každý lhář tvrdí, že je přesně \(10\) pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy platí
\( x + y = 20 \).
Lháři tvrdí, že je přesně \(10\) pravdivých, toto tvrzení je nepravdivé, protože lháři lžou.
Tedy platí \( x \neq 10 \) pro lháře.
Pravdiví mluví pravdu, takže pokud \( x = 10 \), pravdiví by mluvili pravdu, ale lháři by mluvili pravdu, což je rozpor.
Proto \( x \neq 10 \).
Zkusme případ, kdy \( x > 10 \). Potom lháři tvrdí, že je přesně \(10\) pravdivých, což není pravda, tedy lžou správně.
Tedy pokud \( x > 10 \), počet pravdivých je větší než \(10\).
Pro \( x > 10 \) platí \( y = 20 – x \).
Pokud je \( x = 11 \), potom lháři tvrdí, že je přesně \(10\) pravdivých, což není pravda, takže lžou.
Proto \( x \) může být libovolné číslo od \(11\) do \(20\).
Pokud \( x < 10 \), potom lháři tvrdí, že je přesně \(10\) pravdivých, což není pravda, tedy lžou.
Proto i \( x \in \{0, \ldots, 9\} \) je možnost, ale v tom případě pravdiví mluví pravdu, takže platí \( x \neq 10 \).
Závěr: počet pravdivých je libovolný z množiny \( \{0, \ldots, 9\} \cup \{11, \ldots, 20\} \), přičemž \( y = 20 – x \).
92. Ve skupině \(15\) lidí každý mluví pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že ve skupině je více lhářů než pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy
\( x + y = 15 \).
Pravdiví říkají, že \( y > x \).
Tedy pravdiví mluví pravdu, takže platí \( y > x \).
Lháři lžou, takže tvrzení pravdivých je pro ně nepravdivé, tzn. \( y \leq x \).
Avšak počet lhářů je \( y \), kteří lžou, tedy počet lhářů musí být roven počtu lidí, pro které je tvrzení nepravdivé.
Pokud \( y > x \), potom \( y > \frac{15}{2} = 7.5 \), tedy \( y \geq 8 \).
Proto \( x \leq 7 \), \( y \geq 8 \) a \( x + y = 15 \Rightarrow y = 15 – x \).
Z toho vyplývá, že \( x \leq 7 \) a \( 15 – x \geq 8 \Rightarrow x \leq 7 \), což je v souladu.
Závěr: Počet pravdivých je nejvýše \(7\) a počet lhářů nejméně \(8\).
Přesné hodnoty mohou být například \( x = 7 \), \( y = 8 \).
93. Ve skupině \(25\) lidí každý mluví pravdu nebo lže. Přesně polovina pravdivých tvrdí, že je více lhářů než pravdivých. Kolik je pravdivých a lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy
\( x + y = 25 \).
Přesně polovina pravdivých tvrdí, že \( y > x \).
Polovina pravdivých mluví pravdu, druhá polovina pravdivých tvrdí něco jiného (což může být pravda nebo lež?).
Pokud polovina pravdivých říká, že \( y > x \), znamená to, že druhá polovina pravdivých toto tvrzení neříká.
Proto polovina pravdivých mluví pravdu o tom, že \( y > x \), což musí být pravda.
Kdyby platilo \( y \leq x \), polovina pravdivých by lhala, což není možné.
Proto platí \( y > x \), tedy \( y \geq x + 1 \).
Z \( x + y = 25 \) a \( y \geq x + 1 \) vyplývá \( 25 = x + y \geq x + (x + 1) = 2x + 1 \Rightarrow 2x \leq 24 \Rightarrow x \leq 12 \).
Závěr: počet pravdivých je nejvýše \(12\), počet lhářů nejméně \(13\).
Pro \( x = 12 \), \( y = 13 \), polovina pravdivých (\(6\) lidí) tvrdí, že je více lhářů, což je pravda, ostatní pravdiví toto tvrzení nedělají.
94. Ve skupině \(18\) lidí každý mluví pravdu nebo lže. Každý pravdivý tvrdí, že je více pravdivých než lhářů. Každý lhář tvrdí, že je více lhářů než pravdivých. Kolik je pravdivých a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 18 \).
Pravdiví říkají, že \( x > y \), tedy pravdiví mluví pravdu \( \Rightarrow x > y \).
Lháři říkají, že \( y > x \), ale lžou, takže tvrzení \( y > x \) je nepravdivé, tedy \( y \leq x \).
Ze všech rovnic vyplývá:
\( x > y \) a zároveň \( y \leq x \Rightarrow x > y \geq y \), tedy
\( x > y \) je hlavní podmínka.
Jelikož \( x + y = 18 \), můžeme napsat \( y = 18 – x \).
Podmínka \( x > y \) tedy znamená \( x > 18 – x \Rightarrow 2x > 18 \Rightarrow x > 9 \).
Proto počet pravdivých musí být větší než \(9\), tedy \( x \in \{10, \ldots, 18\} \), a počet lhářů \( y \in \{0, \ldots, 8\} \).
Závěr: pravdivých je alespoň \(10\), lhářů nejvýše \(8\).
95. Ve skupině \(22\) lidí každý mluví pravdu nebo lže. Všichni lháři tvrdí, že je méně než \(11\) pravdivých. Kolik je pravdivých a lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdivých a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 22 \).
Lháři říkají, že \( x < 11 \), ale lžou, proto toto tvrzení je nepravdivé.
Tedy \( x \geq 11 \).
Z toho vyplývá, že počet pravdivých je alespoň \(11\).
Proto \( x \in \{11, \ldots, 22\} \), \( y \in \{0, \ldots, 11\} \).
Závěr: počet pravdivých je alespoň \(11\), počet lhářů nejvýše \(11\).
96. Ve skupině \( 19 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Přesně \( 9 \) lidí tvrdí, že je méně pravdomluvních než lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 19 \).
\( 9 \) lidí tvrdí, že \( x < y \).
Pokud tito lidé říkají pravdu, pak \( x < y \) a zároveň počet pravdomluvních je alespoň \( 9 \).
Pokud tito lidé lžou, pak \( x \geq y \).
Nechť \( t \) je počet pravdomluvních, potom počet lhářů je \( 19 – t \).
Nechť \( a \) je počet pravdomluvních mezi těmi, kteří tvrdí \( x < y \), a \( b \) počet lhářů mezi nimi.
Pak \( a + b = 9 \), \( a \leq t \), \( b \leq 19 – t \).
Pro pravdomluvné je tvrzení pravdivé, pro lháře nepravdivé.
Proto \( a \) lidí říká \( x < y \) a \( b \) lidí říká \( x \geq y \).
Z toho vyplývá, že \( a \leq t \), \( b \leq 19 – t \), a zároveň
\( a + b = 9 \),
\( a \) pravdomluvních říká pravdu, \( b \) lhářů lže.
Zbývajících \( t – a \) pravdomluvních tvrdí, že \( x \geq y \), což není pravda, což není možné, proto \( t = a \).
Takže všichni pravdomluvní tvrdí \( x < y \).
Z toho vyplývá \( t \leq 9 \).
Pokud \( t \leq 9 \), \( y = 19 – t \geq 10 \), tedy \( y > t \).
Závěr: počet pravdomluvních je nejvýše \( 9 \), počet lhářů alespoň \( 10 \).
97. Ve skupině \( 24 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Všichni pravdomluvní tvrdí, že je stejně mnoho pravdomluvních jako lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 24 \).
Pravdomluvní říkají, že \( x = y \).
Jelikož pravdomluvní říkají pravdu, platí \( x = y \).
Z rovnice \( x + y = 24 \) a \( x = y \) vyplývá \( 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \).
Proto \( y = 12 \).
Závěr: ve skupině je \( 12 \) pravdomluvních a \( 12 \) lhářů.
98. Ve skupině \( 16 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Všichni lháři tvrdí, že je více pravdomluvních než lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 16 \).
Lháři tvrdí, že \( x > y \), ale lžou, tedy toto tvrzení je nepravdivé.
Proto \( x \leq y \).
Z rovnice \( x + y = 16 \) platí \( y = 16 – x \).
Podmínka \( x \leq y \) znamená \( x \leq 16 – x \Rightarrow 2x \leq 16 \Rightarrow x \leq 8 \).
Závěr: počet pravdomluvních je nejvýše \( 8 \), počet lhářů nejvýše \( 8 \).
99. Ve skupině \( 21 \) lidí každý říká pravdu nebo lže. Každý lhář tvrdí, že je méně pravdomluvních než lhářů. Kolik je pravdomluvních a kolik lhářů?
Nechť \( x \) je počet pravdomluvních a \( y \) počet lhářů, tedy \( x + y = 21 \).
Lháři říkají, že \( x < y \), ale lžou, tedy tvrzení je nepravdivé.
Tedy \( x \geq y \).
Z rovnice \( x + y = 21 \) vyplývá \( y = 21 – x \).
Podmínka \( x \geq y \) znamená \( x \geq 21 – x \Rightarrow 2x \geq 21 \Rightarrow x \geq 11 \).
Závěr: počet pravdomluvních je nejméně \( 11 \), počet lhářů nejvýše \( 10 \).
100. V obci žije \( 50 \) lidí. Víme, že \( 30 \) z nich umí anglicky, \( 25 \) umí francouzsky a \( 15 \) umí oba tyto jazyky. Kolik lidí v obci neumí ani anglicky, ani francouzsky?
Nechť \( U \) je množina všech lidí v obci, tedy \( |U| = 50 \).
Nechť \( A \) je množina lidí, kteří umí anglicky, \( |A| = 30 \).
Nechť \( F \) je množina lidí, kteří umí francouzsky, \( |F| = 25 \).
