Reálná čísla, axiomy reálných čísel a jejich důsledky

Řešení příkladu 1:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \). Víme, že \( 0 \) je neutrální prvek pro sčítání, tedy \( 0 + 0 = 0 \). Použijeme distributivní zákon násobení vůči sčítání:

\( a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0 \).

Odečteme z obou stran výraz \( a \cdot 0 \) (existuje opačný prvek k \( a \cdot 0 \) podle axiomů):

\( a \cdot 0 – a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 – a \cdot 0 \Rightarrow 0 = a \cdot 0 \).

Tedy platí, že \( a \cdot 0 = 0 \) pro každé reálné číslo \( a \).

Řešení příkladu 2:

Existence inverzního prvku je jedním z axiomů pole, kterým je množina reálných čísel. Jedinečnost dokážeme:

Předpokládejme, že existují \( b, c \in \mathbb{R} \) takové, že \( a \cdot b = 1 \) a \( a \cdot c = 1 \).

Pak platí:

\( b = b \cdot 1 = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = 1 \cdot c = c \).

Tedy inverzní prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 3:

Víme, že \( (-1) \) je opačný prvek k \( 1 \) vzhledem ke sčítání, tedy \( 1 + (-1) = 0 \).

Násobme tuto rovnici \( -1 \):

\( (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = (-1) \cdot 0 \Rightarrow -1 + (-1) \cdot (-1) = 0 \).

Odtud plyne, že \( (-1) \cdot (-1) = 1 \).

Řešení příkladu 4:

Podle axiomů uspořádaného tělesa je uspořádání kompatibilní s operací sčítání.

Jestliže \( a < b \), pak přičtením stejného čísla \( c \) na obě strany zachováváme nerovnost, tedy

\( a + c < b + c \).

Řešení příkladu 5:

Podle axiomů uspořádaného pole je množina kladných čísel uzavřená vůči násobení, tj. součin dvou kladných čísel je kladný.

Proto platí, že pokud \( a > 0 \) a \( b > 0 \), potom \( a \cdot b > 0 \).

Řešení příkladu 6:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) taková, že \( a < b \). Zvolme přirozené číslo \( n \) tak, že

\( \frac{1}{n} < b - a \).

Pak existuje celé číslo \( m \) tak, že

\( a < \frac{m}{n} < b \).

Tím je dokázáno, že mezi dvěma reálnými čísly existuje racionální číslo (hustota racionálních čísel v reálných číslech).

Řešení příkladu 7:

Podle definice opačného prvku platí, že \( a + (-a) = 0 \).

Potom přičteme \( -a \) k oběma stranám rovnosti \( (-a) + (-(-a)) = 0 \).

Protože \( -(-a) \) je opačný prvek k \( -a \), musí platit \( -(-a) = a \).

Řešení příkladu 8:

Jestliže \( a > 0 \) a \( b > 0 \), potom podle axiomů uspořádaného tělesa je jejich součet také kladný, tedy \( a + b > 0 \).

Řešení příkladu 9:

Pokud \( c < 0 \), násobení nerovnosti \( a < b \) číslem \( c \) změní směr nerovnosti. Tedy

\( a < b \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c \).

Řešení příkladu 10:

Využijeme komutativitu násobení, tedy

\( 0 \cdot a = a \cdot 0 \).

Podle příkladu 1 platí \( a \cdot 0 = 0 \), takže

\( 0 \cdot a = 0 \).

Řešení příkladu 11:

Nechť \( a, b, x, y \in \mathbb{R} \) a \( a \neq 0 \). Máme předpoklad:

\( a \cdot x = a \cdot y \).

Vzhledem k tomu, že \( a \neq 0 \), existuje inverzní prvek \( a^{-1} \), tedy

\( a^{-1} \cdot (a \cdot x) = a^{-1} \cdot (a \cdot y) \).

Podle asociativity násobení:

\( (a^{-1} \cdot a) \cdot x = (a^{-1} \cdot a) \cdot y \Rightarrow 1 \cdot x = 1 \cdot y \Rightarrow x = y \).

Řešení příkladu 12:

Podle definice druhé mocniny je \( (a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) \).

Pomocí distributivního zákona platí:

\( (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \).

Protože násobení je komutativní, \( a \cdot b = b \cdot a \), tedy

\( a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Řešení příkladu 13:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \) a \( a^2 = 0 \), tj. \( a \cdot a = 0 \).

Podle axiomů pole platí, že pokud součin dvou čísel je nula, pak alespoň jedno z nich je nula:

\( a = 0 \) nebo \( a = 0 \) (v našem případě jde o stejné číslo).

Tedy \( a = 0 \).

Řešení příkladu 14:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \) a platí \( a < b \) a \( b < c \).

Podle definice uspořádání je \( a < b \Rightarrow b - a > 0 \) a \( b < c \Rightarrow c - b > 0 \).

Sčítáme tyto dvě nerovnosti:

\( (b – a) + (c – b) = c – a > 0 \Rightarrow a < c \).

Řešení příkladu 15:

Nechť existují dva neutrální prvky pro násobení \( e \) a \( f \) v \( \mathbb{R} \), tj. platí pro každé \( a \in \mathbb{R} \):

\( e \cdot a = a \) a \( f \cdot a = a \).

Dosadíme \( a = f \) do první rovnosti:

\( e \cdot f = f \).

Dosadíme \( a = e \) do druhé rovnosti:

\( f \cdot e = e \).

Protože násobení je komutativní, \( e \cdot f = f \cdot e \), tedy

\( f = e \).

Tedy neutrální prvek pro násobení je jednoznačný.

Řešení příkladu 16:

Jestliže \( a < b \) a \( c > 0 \), násobení obou stran nerovnosti kladným číslem zachovává směr nerovnosti.

Formálně:

\( a < b \Rightarrow b - a > 0 \).

Protože \( c > 0 \), platí \( c \cdot (b – a) > 0 \Rightarrow b \cdot c – a \cdot c > 0 \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c \).

Řešení příkladu 17:

Nechť \( a < 0 \), pak \( a \in \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\} \).

Podle definice opačného prvku platí \( a + (-a) = 0 \).

Protože \( a < 0 \), musí být \( -a > 0 \) (jinak by součet \( a + (-a) \) nebyl 0, nebo by porušoval vlastnosti uspořádání).

Řešení příkladu 18:

Definice absolutní hodnoty říká, že pro každé \( x \in \mathbb{R} \) platí

\( |x| = \begin{cases} x, & \text{pokud } x \geq 0 \\ -x, & \text{pokud } x < 0 \end{cases} \).

Zvažme všechny případy:

1) \( a \geq 0, b \geq 0 \): \( |a \cdot b| = a \cdot b = |a| \cdot |b| \).

2) \( a < 0, b \geq 0 \): \( |a \cdot b| = |(-|a|) \cdot b| = |-|a| \cdot b| = |a| \cdot b = |a| \cdot |b| \).

3) \( a \geq 0, b < 0 \): obdobně jako v předchozím.

4) \( a < 0, b < 0 \): \( |a \cdot b| = |(-|a|) \cdot (-|b|)| = ||a| \cdot |b|| = |a| \cdot |b| \).

Ve všech případech tedy platí \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \).

Řešení příkladu 19:

Předpokládejme, že existuje největší prvek \( M \in \mathbb{R} \).

Pak \( M + 1 > M \), což je spor s předpokladem.

Podobně pro nejmenší prvek \( m \) platí \( m – 1 < m \), což je rovněž spor.

Tedy \( \mathbb{R} \) nemá největší ani nejmenší prvek a je nekonečná.

Řešení příkladu 20:

Podle definice druhé mocniny a vlastnosti absolutní hodnoty platí, že \( a^2 = (|a|)^2 \geq 0 \) a \( b^2 = (|b|)^2 \geq 0 \).

Součet dvou nezáporných čísel je také nezáporný, tedy

\( a^2 + b^2 \geq 0 \).

Řešení příkladu 21:

Podle definice absolutní hodnoty a axiomů reálných čísel platí, že

\( |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Dále podle vlastnosti absolutní hodnoty je \( |a|^2 = a^2 \) a \( |b|^2 = b^2 \).

Víme také, že \( 2|a||b| \geq 2ab \) a zároveň \( 2ab \leq 2|a||b| \), protože

\( -|a||b| \leq ab \leq |a||b| \).

Proto platí

\( |a + b|^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2 = (|a| + |b|)^2 \).

Vzhledem k tomu, že absolutní hodnota je nezáporná, vyplývá

\( |a + b| \leq |a| + |b| \).

Řešení příkladu 22:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \) a \( a \neq 0 \).

Podle definice dělení je \( \frac{b}{a} = b \cdot a^{-1} \), kde \( a^{-1} \) je inverzní prvek k \( a \).

Rovnost \( \frac{b}{a} = c \) lze přepsat jako

\( b \cdot a^{-1} = c \Rightarrow b = c \cdot a \), protože vynásobíme obě strany rovnice \( a \).

Naopak, pokud \( b = a \cdot c \), tak násobením obou stran \( a^{-1} \) dostaneme

\( b \cdot a^{-1} = c \Rightarrow \frac{b}{a} = c \).

Tedy obě rovnosti jsou ekvivalentní.

Řešení příkladu 23:

Nechť \( a^2 = b^2 \). Pak

\( a^2 – b^2 = 0 \Rightarrow (a – b)(a + b) = 0 \).

Podle axiomů reálných čísel platí, že součin je nulový právě tehdy, když jeden z činitelů je nulový, tedy

\( a – b = 0 \) nebo \( a + b = 0 \Rightarrow a = b \) nebo \( a = -b \).

Řešení příkladu 24:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a < b \).

Definujme \( c = \frac{a + b}{2} \), tedy střední hodnota mezi \( a \) a \( b \).

Pak platí

\( c – a = \frac{a + b}{2} – a = \frac{b – a}{2} > 0 \), protože \( b – a > 0 \).

Analogicky

\( b – c = b – \frac{a + b}{2} = \frac{b – a}{2} > 0 \).

Tedy \( a < c < b \), což dokazuje existenci takového čísla.

Řešení příkladu 25:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \).

Podle axiomu existence inverzního prvku existuje \( a^{-1} \in \mathbb{R} \) tak, že

\( a \cdot a^{-1} = 1 \).

Předpokládejme, že existují dva inverzní prvky \( b \) a \( c \), tj.

\( a \cdot b = 1 \) a \( a \cdot c = 1 \).

Vynásobíme levou rovnici zprava \( c \) a pravou rovnici zprava \( b \), dostáváme

\( (a \cdot b) \cdot c = 1 \cdot c \Rightarrow a \cdot (b \cdot c) = c \),

\( (a \cdot c) \cdot b = 1 \cdot b \Rightarrow a \cdot (c \cdot b) = b \).

Protože násobení je asociativní a komutativní, \( b \cdot c = c \cdot b \), tedy

\( a \cdot (b \cdot c) = c \) a zároveň \( a \cdot (b \cdot c) = b \).

Z toho vyplývá \( b = c \), tedy inverzní prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 26:

Podle definice násobení a sčítání v \( \mathbb{R} \) a axiomu distributivity platí rovnost

\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \).

Tato vlastnost je axiomem reálných čísel a nezávisí na konkrétních hodnotách \( a, b, c \), proto je platná univerzálně.

Řešení příkladu 27:

Nechť \( a < b \) a \( c < 0 \).

Potom \( b – a > 0 \) a \( c < 0 \).

Vynásobme obě strany nerovnosti \( b – a > 0 \) záporným číslem \( c \), čímž se směr nerovnosti změní:

\( c \cdot (b – a) < 0 \Rightarrow b \cdot c - a \cdot c < 0 \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c \).

Řešení příkladu 28:

Podle definice absolutní hodnoty platí

\( |a| = |b| \Rightarrow a^2 = b^2 \).

Podle výsledku z příkladu 23 platí

\( a = b \) nebo \( a = -b \).

Řešení příkladu 29:

Podle definice druhé mocniny a absolutní hodnoty platí

\( a^2 \geq 0 \), tedy existuje \(\sqrt{a^2} \geq 0 \).

Pokud \( a \geq 0 \), pak \( \sqrt{a^2} = a = |a| \).

Pokud \( a < 0 \), pak \( \sqrt{a^2} = -a = |a| \).

Tedy pro všechna \( a \in \mathbb{R} \) platí

\( \sqrt{a^2} = |a| \).

Řešení příkladu 30:

Podle nerovnosti trojúhelníku platí

\( |a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b| \Rightarrow |a| – |b| \leq |a – b| \).

Analogicky

\( |b| = |(b – a) + a| \leq |b – a| + |a| = |a – b| + |a| \Rightarrow |b| – |a| \leq |a – b| \).

Tedy platí

\( -|a – b| \leq |a| – |b| \leq |a – b| \Rightarrow |\,|a| – |b|\,| \leq |a – b| \).

Řešení příkladu 31:

Podle axiomů reálných čísel je množina \( \mathbb{R} \) uzavřená na operace sčítání a násobení. To znamená, že pokud vezmeme libovolná dvě reálná čísla \( a \) a \( b \), pak jejich součet \( a + b \) i jejich součin \( a \cdot b \) jsou opět reálná čísla.

Formálně:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Pak podle axiomů existuje výsledek \( a + b \in \mathbb{R} \) a \( a \cdot b \in \mathbb{R} \).

Toto vyplývá z definice množiny reálných čísel jako uzavřené množiny vůči těmto operacím.

Řešení příkladu 32:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \).

Vyjádříme rozdíly pomocí sčítání opačného prvku:

\( a – b = a + (-b) \), \( b – c = b + (-c) \).

Pak platí:

\( (a – b) + (b – c) = (a + (-b)) + (b + (-c)) = a + (-b) + b + (-c) \).

Podle asociativity sčítání můžeme přeskupit:

\( a + ((-b) + b) + (-c) \).

Protože \( (-b) + b = 0 \), vyplývá

\( a + 0 + (-c) = a + (-c) = a – c \).

Tedy rovnost platí.

Řešení příkladu 33:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \).

Definujeme \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), \( b^{-1} = \frac{1}{b} \).

Pak podle vlastností inverzního prvku platí

\( (a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = (a \cdot a^{-1}) \cdot (b \cdot b^{-1}) = 1 \cdot 1 = 1 \).

Tedy

\( (b^{-1} \cdot a^{-1}) \) je inverzní prvek k \( a \cdot b \), což znamená

\( \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{a \cdot b} \).

Řešení příkladu 34:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \).

Podle axiomu existence opačného prvku existuje \( -a \in \mathbb{R} \) takové, že

\( a + (-a) = 0 \), kde 0 je neutrální prvek vzhledem ke sčítání.

Předpokládejme, že existuje jiné číslo \( b \in \mathbb{R} \) takové, že \( a + b = 0 \).

Potom

\( a + (-a) = a + b \Rightarrow (-a) = b \), protože k oběma stranám přičteme opačný prvek k \( a \), tedy

\( (-a) + (-a) + a = b + (-a) + a \Rightarrow (-a) + 0 = b + 0 \Rightarrow (-a) = b \).

Tedy opačný prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 35:

Podle distributivního zákona násobení vůči sčítání platí

\( (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = a c + a d + b c + b d \).

Tím je rovnost dokázána.

Řešení příkladu 36:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \), a platí

\( \frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b \cdot a^{-1} = 0 \).

Vynásobíme obě strany rovnice \( a \), dostáváme

\( b = 0 \cdot a = 0 \).

Tedy rovnost \( \frac{b}{a} = 0 \Rightarrow b = 0 \) platí.

Řešení příkladu 37:

Podle definice absolutní hodnoty a vlastností mocnin platí

\( |a \cdot b|^2 = (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 = |a|^2 \cdot |b|^2 \).

Protože absolutní hodnota je nezáporná, tak

\( |a \cdot b| = \sqrt{|a|^2 \cdot |b|^2} = \sqrt{|a|^2} \cdot \sqrt{|b|^2} = |a| \cdot |b| \).

Řešení příkladu 38:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \) a \( a < b \).

Podle axiomu o zachování pořadí při sčítání platí, že pokud k oběma stranám nerovnosti přičteme stejné číslo \( c \), pořadí se zachová:

\( a + c < b + c \).

Řešení příkladu 39:

Podle vlastností reálných čísel platí, že nulový součin vznikne právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů je nulový.

Tedy pokud \( a \cdot b = 0 \), pak \( a = 0 \) nebo \( b = 0 \).

Řešení příkladu 40:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) jsou taková, že \( a \leq b \) a zároveň \( b \leq a \).

Pak podle definice uspořádání reálných čísel musí platit \( a = b \), protože oba vztahy současně vyjadřují, že \( a \) není menší než \( b \) a \( b \) není menší než \( a \).

Tedy \( a = b \).

Řešení příkladu 41:

Definice absolutní hodnoty říká, že \( |a| = a \), pokud \( a \geq 0 \), a \( |a| = -a \), pokud \( a < 0 \).

V obou případech je \( |a| \geq 0 \), protože pokud \( a \geq 0 \), pak \( |a| = a \geq 0 \), a pokud \( a < 0 \), pak \( |a| = -a \), což je kladné číslo.

Pokud by platilo \( |a| = 0 \), pak podle definice absolutní hodnoty musí být \( a = 0 \), protože absolutní hodnota není nikdy záporná a pouze u nuly je nulová.

Řešení příkladu 42:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Podle definice absolutní hodnoty je \( |x| = \sqrt{x^2} \).

Zvolíme kvadrát výrazu \( |a + b| \):

\( |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Současně platí, že \( (|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2 \).

Vzhledem k tomu, že \( |ab| \leq |a||b| \), a protože \( 2ab \leq 2|a||b| \), dostáváme

\( |a + b|^2 \leq (|a| + |b|)^2 \Rightarrow |a + b| \leq |a| + |b| \).

Tím je nerovnost trojúhelníku dokázána.

Řešení příkladu 43:

Úplnost množiny \( \mathbb{R} \) znamená, že každá Cauchyovská posloupnost \( (x_n) \) má limitu v \( \mathbb{R} \).

Cauchyovská posloupnost je definována tak, že pro každé \( \varepsilon > 0 \) existuje \( N \in \mathbb{N} \), že pro všechna \( m, n > N \) platí

\( |x_n – x_m| < \varepsilon \).

Podle axiomů reálných čísel a konstrukce reálných čísel pomocí Dedekindových řezů nebo Cauchyovských posloupností je \( \mathbb{R} \) dokončená množina, což zaručuje existenci limita této posloupnosti.

Tedy \( \exists L \in \mathbb{R} \), že \( \lim_{n \to \infty} x_n = L \).

Řešení příkladu 44:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a \( a < b \).

Zvolíme \( x = \frac{a + b}{2} \), tedy střední hodnotu mezi \( a \) a \( b \).

Pak platí:

\( x – a = \frac{a + b}{2} – a = \frac{b – a}{2} > 0 \) a \( b – x = b – \frac{a + b}{2} = \frac{b – a}{2} > 0 \).

Tedy \( a < x < b \), což dokazuje tvrzení.

Řešení příkladu 45:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) taková, že \( a \leq b \).

Přičteme k oběma stranám nerovnosti \( -b \), dostaneme \( a – b \leq 0 \).

Násobíme obě strany nerovnosti číslem \( -1 \) (což obrací směr nerovnosti):

\( – (a – b) \geq 0 \Rightarrow -a + b \geq 0 \Rightarrow b \geq a \).

Proto

\( -b \leq -a \).

Řešení příkladu 46:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \).

Podle vlastností reálných čísel je součin čísla se sebou samým vždy nezáporný:

\( a^2 = a \cdot a \geq 0 \).

Pokud by platilo \( a^2 = 0 \), pak platí

\( a \cdot a = 0 \Rightarrow a = 0 \) (protože pouze nulové číslo násobené samo sebou může být nula).

Řešení příkladu 47:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a < b \) a \( c > 0 \).

Podle axiomů uspořádání reálných čísel platí, že pokud vynásobíme obě strany nerovnosti kladným číslem, směr nerovnosti se nezmění:

\( a \cdot c < b \cdot c \).

Řešení příkladu 48:

Podle axiomu existence multiplikativního neutrálního prvku existuje prvek \( 1 \in \mathbb{R} \), který splňuje

\( a \cdot 1 = a \) pro všechna \( a \in \mathbb{R} \).

Předpokládejme, že existuje jiné číslo \( e \in \mathbb{R} \) s touto vlastností, tedy

\( a \cdot e = a \) pro všechna \( a \in \mathbb{R} \).

Pak platí

\( 1 = 1 \cdot e = e \), tedy takový prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 49:

Nechť \( a, b > 0 \).

Podle definice druhé odmocniny platí

\( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b = (\sqrt{a \cdot b})^2 \).

Protože druhá odmocnina je kladná, platí

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

Řešení příkladu 50:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) taková, že \( a < b \).

Podle hustoty množiny racionálních čísel v reálných číslech platí, že mezi každými dvěma reálnými čísly existuje racionální číslo.

Zvolme například číslo \( q = \frac{\lfloor na \rfloor + 1}{n} \), kde \( n \in \mathbb{N} \) je dostatečně velké tak, aby platilo \( q < b \).

Volbou dostatečně velkého \( n \) zajistíme, že \( a < q < b \).

Řešení příkladu 51:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a \( a^2 = b^2 \).

Rovnost lze přepsat jako \( a^2 – b^2 = 0 \).

Rozložíme rozdíl druhých mocnin:

\( (a – b)(a + b) = 0 \).

Podle zákona o nulovém součinu musí platit alespoň jedna z rovností:

\( a – b = 0 \Rightarrow a = b \) nebo \( a + b = 0 \Rightarrow a = -b \).

Tím je tvrzení dokázáno.

Řešení příkladu 52:

Podle definice absolutní hodnoty \( |a| \) je vždy nezáporná.

Pokud \( a \geq 0 \), pak \( |a| = a \), takže platí \( -|a| = -a \leq a \leq a = |a| \).

Pokud \( a < 0 \), pak \( |a| = -a \), takže platí \( -|a| = a \leq a \leq -a = |a| \).

Tedy ve všech případech platí nerovnost \( -|a| \leq a \leq |a| \).

Řešení příkladu 53:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a \( |a – b| = 0 \).

Podle vlastností absolutní hodnoty platí, že \( |x| = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Tedy \( |a – b| = 0 \Rightarrow a – b = 0 \Rightarrow a = b \).

Řešení příkladu 54:

Podle nerovnosti trojúhelníku platí

\( |a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b| \).

Odečteme \( |b| \) od obou stran:

\( |a| – |b| \leq |a – b| \).

Tím je nerovnost dokázána.

Řešení příkladu 55:

Podle nerovnosti trojúhelníku platí

\( |a + b| \leq |a| + |b| \).

Protože \( |a| < \varepsilon \) a \( |b| < \varepsilon \), dostáváme

\( |a + b| < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon \).

Řešení příkladu 56:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \).

Protože \( a^2 = a \cdot a \) a \( a \neq 0 \), musí být součin kladný nebo záporný.

Avšak platí, že \( a^2 \geq 0 \) a je-li \( a \neq 0 \), pak \( a^2 \neq 0 \).

Tedy \( a^2 > 0 \).

Řešení příkladu 57:

Množina \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2 \} \) odpovídá intervalu

\( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \).

Interval \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) je otevřený, protože neobsahuje své hranice.

Tedy množina je otevřený interval.

Řešení příkladu 58:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \).

Zvažme výraz \( a^2 + 1 – |a| \).

Protože \( a^2 \geq 0 \) a \( |a| \geq 0 \), chceme ukázat, že tento výraz je nezáporný.

Využijeme kvadratickou nerovnost:

\( a^2 – |a| + 1 \geq 0 \).

Polynom \( x^2 – x + 1 \) má diskriminant \( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \), takže je vždy kladný.

Tedy \( a^2 + 1 – |a| \geq 0 \Rightarrow |a| \leq a^2 + 1 \).

Řešení příkladu 59:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \).

Definujeme \( a^{-1} = \frac{1}{a} \).

Pak platí \( a \cdot a^{-1} = a \cdot \frac{1}{a} = 1 \).

Tím je existence inverzního prvku dokázána.

Řešení příkladu 60:

Předpokládejme, že existuje \( x \in \mathbb{R} \), který splňuje

\( x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \).

Protože \( x^2 \geq 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), rovnost \( x^2 = -1 \) není možná.

Tedy žádné takové \( x \) v \( \mathbb{R} \) neexistuje.

Řešení příkladu 61:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) s \( a < b \).

Chceme nalézt iracionální číslo \( r \), které leží mezi \( a \) a \( b \).

Zvolme racionální číslo \( q \) takové, že \( a < q < b \) (to lze podle hustoty racionálních čísel).

Nyní definujeme číslo \( r = q + \frac{(b – q)}{\sqrt{2} + 1} \).

Číslo \( r \) je součtem racionálního čísla \( q \) a nenulového reálného čísla, které je iracionální (protože obsahuje \( \sqrt{2} \)), takže \( r \) je iracionální.

Navíc platí \( a < q < r < b \), protože \( \frac{(b - q)}{\sqrt{2} + 1} > 0 \).

Tím je dokázáno, že mezi každými dvěma reálnými čísly existuje iracionální číslo.

Řešení příkladu 62:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Vyjádříme levou stranu:

\( |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Podle nerovnosti mezi průměrem aritmetickým a kvadratickým platí:

\( 2|ab| \leq a^2 + b^2 \).

Tedy

\( a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|ab| + b^2 \leq a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2) \).

Proto platí

\( |a + b|^2 \leq 2(a^2 + b^2) \).

Řešení příkladu 63:

Nechť pro spor, že množina \( \mathbb{R} \) je omezena shora, existuje \( M \in \mathbb{R} \), že pro všechna \( x \in \mathbb{R} \) platí \( x \leq M \).

Pak ale vezmeme číslo \( M + 1 \), které je také reálné, a platí \( M + 1 > M \), což je spor s předpokladem.

Analogicky pro omezení zdola: pokud by existovalo \( m \in \mathbb{R} \), že pro všechna \( x \in \mathbb{R} \) platí \( x \geq m \), vezmeme \( m – 1 \), které je menší než \( m \), a je také reálné.

Tedy množina \( \mathbb{R} \) není omezena ani shora, ani zdola.

Řešení příkladu 64:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a \leq b \), \( c \geq 0 \).

Vynásobíme nerovnost číslem \( c \geq 0 \). Podle axiomů uspořádání reálných čísel platí, že pokud \( c \geq 0 \), zachová se směr nerovnosti:

\( a \leq b \Rightarrow ac \leq bc \).

Řešení příkladu 65:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a \leq b \), \( c < 0 \).

Vynásobíme nerovnost číslem \( c < 0 \). Podle axiomů uspořádání reálných čísel platí, že pokud \( c < 0 \), směr nerovnosti se obrátí:

\( a \leq b \Rightarrow ac \geq bc \).

Řešení příkladu 66:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Podle definice absolutní hodnoty a vlastností reálných čísel platí:

\( |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Dále víme, že \( |ab| \leq |a||b| \), a tedy

\( |a + b|^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2 = (|a| + |b|)^2 \).

Z toho plyne, že \( |a + b| \leq |a| + |b| \).

Řešení příkladu 67:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \) takové, že pro každé \( \varepsilon > 0 \) platí \( |a| < \varepsilon \).

Předpokládejme, že \( a \neq 0 \), tedy \( |a| = c > 0 \).

Zvolme \( \varepsilon = \frac{c}{2} \), pak by mělo platit \( |a| < \frac{c}{2} \), což je spor s \( |a| = c \).

Tedy musí platit \( a = 0 \).

Řešení příkladu 68:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \).

Existence inverzního prvku \( a^{-1} \) je dána definicí: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), takže platí \( a \cdot a^{-1} = 1 \).

Předpokládejme, že existují dva inverzní prvky \( b, c \in \mathbb{R} \), tzn. \( a \cdot b = 1 \) a \( a \cdot c = 1 \).

Pak \( b = b \cdot 1 = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = 1 \cdot c = c \).

Tedy inverzní prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 69:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Podle axiomů tělesa reálných čísel platí:

\( a + b \in \mathbb{R} \) (uzavřenost na sčítání).

\( a \cdot b \in \mathbb{R} \) (uzavřenost na násobení).

Tím je vlastnost uzavřenosti na sčítání a násobení dokázána.

Řešení příkladu 70:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a \leq b \), a platí \( a + c = b + c \).

Odečteme \( c \) z obou stran rovnosti:

\( a + c – c = b + c – c \Rightarrow a = b \).

Tedy platí \( a = b \).

Řešení příkladu 71:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) taková, že \( a^2 = b^2 \).

Podle definice druhé mocniny platí \( a^2 = b^2 \Rightarrow a^2 – b^2 = 0 \).

Vyjádříme rozdíl druhých mocnin:

\( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) = 0 \).

Pro součin platí, že je roven nule právě když alespoň jeden činitel je roven nule:

\( (a – b) = 0 \) nebo \( (a + b) = 0 \).

Tedy \( a = b \) nebo \( a = -b \).

Řešení příkladu 72:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \) s \( a < b \).

Chceme zjistit, kdy existuje \( x \in (a, b) \), že \( x^2 = c \).

Všimněme si, že funkce \( f(x) = x^2 \) je spojitá a klesající na intervalu \((-\infty, 0]\) a rostoucí na \([0, \infty)\).

Pokud \( c < 0 \), neexistuje reálné \( x \) takové, že \( x^2 = c \) (protože druhá mocnina je vždy nezáporná).

Pokud \( c \geq 0 \), pak existují dvě čísla \( \sqrt{c} \) a \( -\sqrt{c} \).

Pro existenci \( x \in (a, b) \) s \( x^2 = c \) je tedy potřeba, aby alespoň jedno z těchto čísel leželo v intervalu \( (a, b) \).

Tedy existuje \( x \in (a, b) \), že \( x^2 = c \) právě když \( \sqrt{c} \in (a, b) \) nebo \( -\sqrt{c} \in (a, b) \).

Řešení příkladu 73:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \), \( a < b \), \( c > 0 \).

Vynásobíme obě strany nerovnosti číslem \( c > 0 \), které zachovává směr nerovnosti podle axiomů uspořádání reálných čísel:

\( a < b \Rightarrow ac < bc \).

Řešení příkladu 74:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a pro každé \( \varepsilon > 0 \) platí \( |a – b| < \varepsilon \).

Předpokládejme, že \( a \neq b \), tedy \( |a – b| = c > 0 \).

Zvolme \( \varepsilon = \frac{c}{2} \), pak musí platit \( |a – b| < \frac{c}{2} \), což je spor s \( |a - b| = c \).

Tedy \( a = b \).

Řešení příkladu 75:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) s \( a < b \).

Protože \( b – a > 0 \), existuje přirozené číslo \( n \), takové, že \( \frac{1}{n} < b - a \) (archimedovský axiom).

Definujeme číslo \( q = \frac{\lfloor na \rfloor + 1}{n} \), kde \( \lfloor x \rfloor \) je dolní celočíselná část \( x \).

Pak \( q \) je racionální číslo a platí \( a < q < b \).

Tím je dokázáno, že mezi každými dvěma reálnými čísly existuje racionální číslo.

Řešení příkladu 76:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a platí \( |a + b| = |a| + |b| \).

Obecně platí nerovnost trojúhelníku:

\( |a + b| \leq |a| + |b| \).

Rovnost nastane právě tehdy, když \( a \) a \( b \) mají stejný znaménkový směr, tedy \( ab \geq 0 \).

Řešení příkladu 77:

Nechť \( a \leq b \leq c \).

Pokud \( a \geq 0 \), pak \( 0 \leq a \leq b \leq c \), takže \( |b| = b \leq c = \max(|a|, |c|) \).

Pokud \( c \leq 0 \), pak \( a \leq b \leq c \leq 0 \), takže \( |b| = -b \leq -a = \max(|a|, |c|) \).

Pokud \( a < 0 < c \), pak \( |b| \leq \max(|a|, |c|) \), protože \( b \) je mezi \( a \) a \( c \) a jeho absolutní hodnota nemůže přesáhnout větší z hodnot \( |a| \) nebo \( |c| \).

Řešení příkladu 78:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a < b \).

Definujeme \( \delta = \frac{b – a}{2} > 0 \).

Pak platí:

\( a + \delta = a + \frac{b – a}{2} = \frac{a + b}{2} < b \).

Tedy existuje \( \delta > 0 \), takové, že \( a + \delta < b \).

Řešení příkladu 79:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \neq 0 \).

Platí:

\( |ab| = |a| \cdot |b| \Rightarrow |b| = \frac{|ab|}{|a|} \).

Tedy \( |b| \leq \frac{|ab|}{|a|} \) je ve skutečnosti rovnost.

Řešení příkladu 80:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \) a \( a^2 = 0 \).

Protože druhá mocnina je vždy nezáporná, platí \( a^2 \geq 0 \).

Jelikož \( a^2 = 0 \), musí být \( a = 0 \) (jinak by \( a^2 > 0 \)).

Řešení příkladu 81:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) a \( |a – b| = 0 \).

Definice absolutní hodnoty říká, že \( |x| = 0 \) právě když \( x = 0 \).

Tedy \( |a – b| = 0 \Rightarrow a – b = 0 \Rightarrow a = b \).

Řešení příkladu 82:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Platí tzv. nerovnost trojúhelníku:

\( |a + b| \leq |a| + |b| \).

Důkaz vychází z definice absolutní hodnoty a vlastností reálných čísel:

\( |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Na druhou stranu:

\( (|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2 \).

Protože \( |ab| \leq |a||b| \) a \( 2ab \leq 2|a||b| \), dostáváme:

\( (a + b)^2 \leq (|a| + |b|)^2 \Rightarrow |a + b| \leq |a| + |b| \).

Rovnost nastane právě tehdy, když \( ab \geq 0 \) a \( |a + b| = |a| + |b| \), tedy když \( a \) a \( b \) mají stejné znaménko nebo alespoň jeden je nulový.

Řešení příkladu 83:

Podle axiomů pole reálných čísel platí, že pro každá \( a, b \in \mathbb{R} \) je \( a + b \in \mathbb{R} \) a \( a \cdot b \in \mathbb{R} \).

Toto vyplývá z definice reálných čísel jako pole, které je uzavřené na tyto operace.

Uzavřenost znamená, že výsledky těchto operací jsou opět reálná čísla.

Tedy \( \forall a,b \in \mathbb{R}: a+b \in \mathbb{R} \) a \( a \cdot b \in \mathbb{R} \).

Řešení příkladu 84:

Podle vlastnosti absolutní hodnoty platí:

\( |a| = |(a – b) + b| \leq |a – b| + |b| \Rightarrow |a| – |b| \leq |a – b| \).

Řešení příkladu 85:

Vyjdeme z trojúhelníkové nerovnosti absolutní hodnoty:

\( |a – c| = |(a – b) + (b – c)| \leq |a – b| + |b – c| \).

Řešení příkladu 86:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \), \( a \leq b \).

Odečtením \( b \) od obou stran dostáváme:

\( a – b \leq b – b = 0 \).

Řešení příkladu 87:

Nechť \( a > 0 \).

Předpokládejme pro spor, že \( \frac{1}{a} \leq 0 \).

Pak by platilo \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \leq 0 \), což je spor.

Tedy \( \frac{1}{a} > 0 \).

Řešení příkladu 88:

Toto vyplývá z hustoty racionálních čísel v množině reálných čísel.

Podle archimedovského axiom existuje přirozené číslo \( n \) takové, že \( \frac{1}{n} < b - a \).

Zvolíme \( m \in \mathbb{Z} \), aby \( \frac{m}{n} > a \).

Pak \( a < \frac{m}{n} < b \), tedy \( c = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q} \) leží mezi \( a \) a \( b \).

Řešení příkladu 89:

Nechť \( |a – b| < \varepsilon \) pro každé \( \varepsilon > 0 \).

Pokud by \( a \neq b \), pak \( |a – b| = \delta > 0 \).

Zvolme \( \varepsilon = \frac{\delta}{2} \), pak \( |a – b| = \delta \not< \frac{\delta}{2} \), což je spor.

Tedy \( a = b \).

Řešení příkladu 90:

Nechť \( a, b \geq 0 \).

Protože \( a \geq 0 \) a \( b \geq 0 \), jejich součin \( a \cdot b \geq 0 \) vyplývá z vlastností uspořádaného tělesa \( \mathbb{R} \).

Tedy \( a \cdot b \geq 0 \).

Řešení příkladu 91:

Nechť \(a, b \in \mathbb{R}\).

Podle trojúhelníkové nerovnosti máme:

\( |a| = |a – b + b| \leq |a – b| + |b| \Rightarrow |a| – |b| \leq |a – b| \).

Obdobně zaměníme role \(a\) a \(b\):

\( |b| = |b – a + a| \leq |b – a| + |a| \Rightarrow |b| – |a| \leq |b – a| \).

Protože \( |a – b| = |b – a| \), obě nerovnosti platí.

Řešení příkladu 92:

Úplnost \( \mathbb{R} \) znamená, že každá Cauchyovská posloupnost \( (x_n) \) v \( \mathbb{R} \) má limitu \( x \in \mathbb{R} \).

Podle definice je \( (x_n) \) Cauchyovská, pokud pro každé \( \varepsilon > 0 \) existuje \( N \), že pro všechna \( m,n > N \) platí \( |x_n – x_m| < \varepsilon \).

Protože \( \mathbb{R} \) je úplné těleso, existuje \( x \in \mathbb{R} \) takové, že \( \lim_{n \to \infty} x_n = x \).

Tuto vlastnost formálně dokládá Bolzano-Weierstrassova věta a konstrukce reálných čísel (např. Dedekindovy řezy nebo Cauchyovské posloupnosti).

Řešení příkladu 93:

Vezměme \( a, b \in \mathbb{R} \).

Uvažujme výraz \( (a – b)^2 \geq 0 \), protože druhá mocnina je vždy nezáporná.

Rozepíšeme:

\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab \).

Řešení příkladu 94:

Pro \( a \in \mathbb{R} \) platí definice absolutní hodnoty:

\( |a| = a \), pokud \( a \geq 0 \) a \( |a| = -a \), pokud \( a < 0 \).

Zároveň platí, že \( \sqrt{a^2} = |a| \), protože druhá mocnina a druhá odmocnina se vzájemně ruší, přičemž odmocnina vždy vrací nezáporné číslo.

Řešení příkladu 95:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \) taková, že \( a \cdot b = 0 \).

Pokud by \( a \neq 0 \) a zároveň \( b \neq 0 \), pak podle pravidel pole existuje inverzní prvek \( a^{-1} \), a platí:

\( b = a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0 = 0 \), což je spor s předpokladem.

Tedy alespoň jedno z \( a, b \) musí být nula.

Řešení příkladu 96:

Nechť \( a \in \mathbb{R} \).

Definice opačného prvku říká, že existuje \( -a \in \mathbb{R} \) tak, že \( a + (-a) = 0 \).

Pokud by existovaly dva opačné prvky \( -a \) a \( -a‘ \), pak:

\( a + (-a) = 0 \) a \( a + (-a‘) = 0 \Rightarrow (-a) = (-a‘) \), tedy opačný prvek je jednoznačný.

Řešení příkladu 97:

Nechť \( a, b \geq 0 \).

Pak podle axiomů uspořádaného tělesa \( \mathbb{R} \) platí \( a + b \geq 0 \), protože přičtení nezáporného čísla nemůže výsledek zmenšit pod nulu.

Řešení příkladu 98:

Nechť \( a, b, c \in \mathbb{R} \) a \( a < b \).

Přičtením \( c \) k oběma stranám nerovnosti dostáváme:

\( a + c < b + c \), protože operace sčítání zachovává uspořádání.

Řešení příkladu 99:

Nechť \( a, b \in \mathbb{R} \).

Vlastnost absolutní hodnoty říká:

\( |ab| = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2 b^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = |a| \cdot |b| \).

Řešení příkladu 100:

Podle definice absolutní hodnoty je \( |a| = \sqrt{a^2} \), tedy vždy nezáporné číslo.

Pokud \( |a| = 0 \), pak \( \sqrt{a^2} = 0 \Rightarrow a^2 = 0 \Rightarrow a = 0 \).