Rovnice s absolutní hodnotou

Absolutní hodnota vyjadřuje vzdálenost od nuly, proto rovnice má dvě možnosti: \( x – 3 = 5 \) nebo \( x – 3 = -5 \).

V prvním případě: \( x = 8 \).

V druhém případě: \( x = -2 \).

Výsledek: \( x = 8 \text{ nebo } x = -2 \).

Absolutní hodnota může být kladná nebo záporná uvnitř, proto: \( x + 4 = 7 \) nebo \( x + 4 = -7 \).

V prvním případě: \( x = 3 \).

V druhém případě: \( x = -11 \).

Výsledek: \( x = 3 \text{ nebo } x = -11 \).

Absolutní hodnota může být rovna 9, když výraz uvnitř je 9 nebo -9: \( 2x – 5 = 9 \) nebo \( 2x – 5 = -9 \).

V prvním případě: \( 2x = 14 \), tedy \( x = 7 \).

V druhém případě: \( 2x = -4 \), tedy \( x = -2 \).

Výsledek: \( x = 7 \text{ nebo } x = -2 \).

Rovnici přepíšeme jako dvě možnosti: \( x + 1 = 3 \) nebo \( x + 1 = -3 \).

V prvním případě: \( x = 2 \).

V druhém případě: \( x = -4 \).

Výsledek: \( x = 2 \text{ nebo } x = -4 \).

Absolutní hodnota může být 10 i pro záporný výraz: \( 3x + 2 = 10 \) nebo \( 3x + 2 = -10 \).

V prvním případě: \( 3x = 8 \), tedy \( x = \frac{8}{3} \).

V druhém případě: \( 3x = -12 \), tedy \( x = -4 \).

Výsledek: \( x = \frac{8}{3} \text{ nebo } x = -4 \).

Absolutní hodnota znamená dvě možnosti: \( x – 6 = 4 \) nebo \( x – 6 = -4 \).

V prvním případě: \( x = 10 \).

V druhém případě: \( x = 2 \).

Výsledek: \( x = 10 \text{ nebo } x = 2 \).

Možnosti jsou: \( x + 2 = 5 \) nebo \( x + 2 = -5 \).

V prvním případě: \( x = 3 \).

V druhém případě: \( x = -7 \).

Výsledek: \( x = 3 \text{ nebo } x = -7 \).

Možnosti jsou: \( 4x – 1 = 7 \) nebo \( 4x – 1 = -7 \).

V prvním případě: \( 4x = 8 \), tedy \( x = 2 \).

V druhém případě: \( 4x = -6 \), tedy \( x = -\frac{3}{2} \).

Výsledek: \( x = 2 \text{ nebo } x = -\frac{3}{2} \).

Možnosti jsou: \( x – 8 = 3 \) nebo \( x – 8 = -3 \).

V prvním případě: \( x = 11 \).

V druhém případě: \( x = 5 \).

Výsledek: \( x = 11 \text{ nebo } x = 5 \).

Možnosti jsou: \( 2x + 7 = 9 \) nebo \( 2x + 7 = -9 \).

V prvním případě: \( 2x = 2 \), tedy \( x = 1 \).

V druhém případě: \( 2x = -16 \), tedy \( x = -8 \).

Výsledek: \( x = 1 \text{ nebo } x = -8 \).

Rovnice s absolutní hodnotou má dvě možnosti: výraz uvnitř může být kladný nebo záporný. Proto řešíme dvě rovnice: \( 3x + 1 = 8 \) nebo \( 3x + 1 = -8 \).

V prvním případě: \( 3x = 7 \), tedy \( x = \frac{7}{3} \).

V druhém případě: \( 3x = -9 \), tedy \( x = -3 \).

Výsledek: \( x = \frac{7}{3} \) nebo \( x = -3 \).

Absolutní hodnota může být rovna pravé straně, pokud pravá strana není záporná. Řešíme dvě možnosti: \( x – 2 = 5x + 1 \) nebo \( x – 2 = -(5x + 1) \).

V prvním případě: \( -4x = 3 \), tedy \( x = -\frac{3}{4} \).

V druhém případě: \( x – 2 = -5x -1 \), tedy \( 6x = -3 \), tedy \( x = -\frac{1}{2} \).

Výsledek: \( x = -\frac{3}{4} \) nebo \( x = -\frac{1}{2} \).

Opět řešíme dvě možnosti: \( 4x -7 = 3x +5 \) nebo \( 4x -7 = -(3x +5) \).

V prvním případě: \( x =12 \).

V druhém případě: \( 4x -7 = -3x -5 \), tedy \( 7x =2 \), tedy \( x = \frac{2}{7} \).

Výsledek: \( x =12 \) nebo \( x = \frac{2}{7} \).

Možnosti jsou: \( 2x +3 =7x -1 \) nebo \( 2x +3 =-(7x -1) \).

V prvním případě: \( 5x =4 \), tedy \( x = \frac{4}{5} \).

V druhém případě: \( 2x +3 =-7x +1 \), tedy \( 9x =-4 \), tedy \( x = -\frac{4}{9} \).

Výsledek: \( x = \frac{4}{5} \) nebo \( x = -\frac{4}{9} \).

Řešíme dvě možnosti: \( x -3 =x +5 \) nebo \( x -3 =-(x +5) \).

První možnost vede k nesmyslu \( -3 =5 \), tedy žádné řešení.

Druhá možnost: \( x -3 =-x -5 \), tedy \( 2x =-8 \), tedy \( x =-4 \).

Výsledek: \( x =-4 \).

Řešíme: \( 2x -5 =3x +1 \) nebo \( 2x -5 =-(3x +1) \).

První případ: \( -x =6 \), tedy \( x =-6 \).

Druhý případ: \( 2x -5 =-3x -1 \), tedy \( 5x =-6 \), tedy \( x =-\frac{6}{5} \).

Výsledek: \( x =-6 \) nebo \( x =-\frac{6}{5} \).

Řešíme dvě možnosti: \( x^2 -4 =3x -2 \) nebo \( x^2 -4 =-(3x -2) \).

První kvadratická rovnice: \( x^2 -3x -2 =0 \), má kořeny \( x =2 \) nebo \( x =-1 \).

Druhá kvadratická rovnice: \( x^2 +3x +2 =0 \), má kořeny \( x =-1 \) nebo \( x =-2 \).

Výsledek: \( x =2 \) nebo \( x =-1 \) nebo \( x =-2 \).

Řešíme: \( x -4 =x +6 \) nebo \( x -4 =-(x +6) \).

První možnost je nesmysl: \( -4 =6 \), tedy žádné řešení.

Druhá možnost: \( x -4 =-x -6 \), tedy \( 2x =-10 \), tedy \( x =-5 \).

Výsledek: \( x =-5 \).

Možnosti jsou: \( 2x +1 =3x -2 \) nebo \( 2x +1 =-(3x -2) \).

První možnost: \( x =3 \).

Druhá možnost: \( 2x +1 =-3x +2 \), tedy \( 5x =3 \), tedy \( x =\frac{3}{5} \).

Výsledek: \( x =3 \) nebo \( x =\frac{3}{5} \).

Řešíme: \( x^2 +1 =x +2 \) nebo \( x^2 +1 =-(x +2) \).

První kvadratická: \( x^2 -x -1=0 \), řešíme pomocí vzorce: \( x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \).

Druhá kvadratická: \( x^2 +x +3=0 \), nemá reálná řešení.

Výsledek: \( x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \) nebo \( x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \).

Absolutní hodnota může být kladná i záporná. Řešíme dvě možnosti:

1. \( 2x + 5 = 7 \), po odečtení 5: \( 2x = 2 \), vydělíme 2: \( x = 1 \)

2. \( 2x + 5 = -7 \), po odečtení 5: \( 2x = -12 \), vydělíme 2: \( x = -6 \)

Výsledek: \( x = 1 \) nebo \( x = -6 \)

Nejprve odečteme 2: \( |x – 3| = 4 \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x – 3 = 4 \), tedy \( x = 7 \)

2. \( x – 3 = -4 \), tedy \( x = -1 \)

Výsledek: \( x = 7 \) nebo \( x = -1 \)

Přičteme 4: \( |x + 2| = 3x + 4 \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x + 2 = 3x + 4 \), tedy \( -2x = 2 \), takže \( x = -1 \)

2. \( x + 2 = -(3x + 4) \), tedy \( x + 2 = -3x -4 \), takže \( 4x = -6 \), tedy \( x = -\frac{3}{2} \)

Výsledek: \( x = -1 \) nebo \( x = -\frac{3}{2} \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( 3x – 4 = 2x + 1 \), tedy \( x = 5 \)

2. \( 3x – 4 = -(2x +1) \), tedy \( 3x -4 = -2x -1 \), tedy \( 5x = 3 \), takže \( x = \frac{3}{5} \)

Výsledek: \( x = 5 \) nebo \( x = \frac{3}{5} \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x -1 = x +4 \), což je \( -1=4 \), což je nesmysl

2. \( x -1 = -(x+4) \), tedy \( x -1 = -x -4 \), tedy \( 2x = -5 \), takže \( x = -\frac{5}{2} \)

Výsledek: \( x = -\frac{5}{2} \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( 2x -7 = 3x +4 \), tedy \( -x =11 \), takže \( x = -11 \)

2. \( 2x -7 = -(3x +4) \), tedy \( 2x -7 = -3x -4 \), tedy \( 5x = -3 \), takže \( x = -\frac{11}{5} \)

Výsledek: \( x = -11 \) nebo \( x = -\frac{11}{5} \)

Přičteme 3: \( |x+4| = 2x+8 \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x+4 =2x+8 \), tedy \( -x=4 \), takže \( x=-4 \)

2. \( x+4 =-(2x+8) \), tedy \( x+4 =-2x-8 \), tedy \( 3x=-12 \), takže \( x=-4 \)

Výsledek: \( x=-4 \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( 3x+2=2x+6 \), tedy \( x=4 \)

2. \( 3x+2=-(2x+6) \), tedy \( 3x+2=-2x-6 \), tedy \( 5x=-8 \), takže \( x=-\frac{8}{5} \)

Výsledek: \( x=4 \) nebo \( x=-\frac{8}{5} \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x^2-1=3x+2 \), tedy \( x^2-3x-3=0 \), diskriminant: \( 9+12=21 \), takže \( x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2} \)

2. \( x^2-1=-(3x+2) \), tedy \( x^2+3x+1=0 \), diskriminant: \( 9-4=5 \), takže \( x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2} \)

Výsledek: \( x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2} \) nebo \( x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2} \)

Řešíme dvě možnosti:

1. \( x^2+2x=3x-5 \), tedy \( x^2-x+5=0 \), diskriminant: \( 1-20=-19 \), nemá reálné řešení

2. \( x^2+2x=-(3x-5) \), tedy \( x^2+5x+5=0 \), diskriminant: \( 25-20=5 \), takže \( x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2} \)

Výsledek: \( x=\frac{-5\pm\sqrt{5}}{2} \)