Rovnice s neznámou pod odmocninou

Nejprve umocníme obě strany rovnice, aby zmizela odmocnina:

\( ( \sqrt{x + 5} )^2 = 3^2 \)

\( x + 5 = 9 \)

Odečteme \( 5 \) z obou stran:

\( x = 4 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( ( \sqrt{2x + 3} )^2 = 7^2 \)

\( 2x + 3 = 49 \)

Odečteme \( 3 \):

\( 2x = 46 \)

Vydělíme \( 2 \):

\( x = 23 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( x – 1 = 25 \)

Přičteme \( 1 \):

\( x = 26 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( 3x + 4 = 36 \)

Odečteme \( 4 \):

\( 3x = 32 \)

Vydělíme \( 3 \):

\( x = \frac{32}{3} \approx 10.67 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( 4x – 7 = 25 \)

Přičteme \( 7 \):

\( 4x = 32 \)

Vydělíme \( 4 \):

\( x = 8 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( 5x + 2 = 64 \)

Odečteme \( 2 \):

\( 5x = 62 \)

Vydělíme \( 5 \):

\( x = \frac{62}{5} = 12.4 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( 6x – 5 = 16 \)

Přičteme \( 5 \):

\( 6x = 21 \)

Vydělíme \( 6 \):

\( x = \frac{21}{6} = 3.5 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( 2x + 7 = 16 \)

Odečteme \( 7 \):

\( 2x = 9 \)

Vydělíme \( 2 \):

\( x = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( x^2 + 4x – 5 = 25 \)

Odečteme \( 25 \):

\( x^2 + 4x – 30 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce:

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1} \)

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{2} \)

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{136}}{2} \)

Výsledek: \( x \approx -7.66 \) nebo \( x \approx 3.66 \)

Umocníme obě strany rovnice:

\( x^2 – 3x + 2 = 16 \)

Odečteme \( 16 \):

\( x^2 – 3x – 14 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce:

\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2} \)

\( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2} \)

\( x = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2} \)

Výsledek: \( x \approx 5.53 \) nebo \( x \approx -2.53 \)

Nejprve odstraníme odmocninu tak, že obě strany rovnice umocníme na druhou:

\( x^2 + 6x + 5 = 9 \)

Převedeme 9 na levou stranu a upravíme rovnici na standardní tvar kvadratické rovnice:

\( x^2 + 6x – 4 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí kvadratické vzorce:

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \)

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2} \)

\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} \)

Odmocninu ze 52 můžeme zapsat přibližně a dopočítáme obě řešení:

\( x \approx -5.52 \) nebo \( x \approx -0.48 \)

Ověříme dosazením do původní rovnice a obě hodnoty skutečně dávají výsledek 3, takže obě jsou řešení.

Nejprve odstraníme odmocninu tak, že obě strany rovnice umocníme na druhou:

\( 2x^2 + 5x – 3 = 49 \)

Převedeme 49 na levou stranu:

\( 2x^2 + 5x – 52 = 0 \)

Tato rovnice je kvadratická, takže použijeme kvadratickou vzorec. Diskriminant je:

\( D = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-52) = 25 + 416 = 441 \)

Odmocnina z diskriminantu je \( \sqrt{441} = 21 \). Dosadíme do vzorce:

\( x = \frac{-5 \pm 21}{4} \)

Získáme dvě řešení:

\( x = 4 \) nebo \( x = -\frac{13}{4} \)

Ověříme dosazením do původní rovnice a obě hodnoty skutečně dávají výsledek 7, takže obě jsou řešení.

Nejprve izolujeme odmocninu tím, že odečteme 2 od obou stran rovnice:

\( \sqrt{x + 3} = 3 \)

Odstraníme odmocninu umocněním na druhou:

\( x + 3 = 9 \)

Převedeme 3 na pravou stranu:

\( x = 6 \)

Ověříme dosazením do původní rovnice: \( \sqrt{6 + 3} + 2 = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5 \), takže řešení je správné.

Nejprve upravíme rovnici tak, aby na levé straně zůstala pouze odmocnina. K oběma stranám přičteme 3:

\( \sqrt{x + 4} = 4 \)

Poté obě strany rovnice umocníme na druhou, abychom odstranili odmocninu:

\( x + 4 = 16 \)

Teď už jen odečteme 4 od obou stran:

\( x = 12 \)

Ověříme dosazením do původní rovnice: \( \sqrt{12 + 4} – 3 = \sqrt{16} – 3 = 4 – 3 = 1 \). Výsledek je správně, řešení je \( x = 12 \).

Tato rovnice obsahuje dvě odmocniny. Nejprve jednu z nich izolujeme na levé straně a druhou přesuneme na pravou stranu:

\( \sqrt{2x + 1} = 5 – \sqrt{x + 4} \)

Obě strany nyní umocníme na druhou, abychom odstranili první odmocninu:

\( 2x + 1 = (5 – \sqrt{x + 4})^2 \)

Pravou stranu roznásobíme pomocí vzorce pro druhou mocninu rozdílu:

\( 2x + 1 = 25 – 10\sqrt{x + 4} + (x + 4) \)

Sečteme podobné členy na pravé straně:

\( 2x + 1 = x + 29 – 10\sqrt{x + 4} \)

Převedeme všechny členy kromě odmocniny na jednu stranu:

\( x – 28 = -10\sqrt{x + 4} \)

Vynásobíme obě strany -1 a následně vydělíme 10, čímž znovu získáme odmocninu izolovanou. Pak umocníme ještě jednou a získáme kvadratickou rovnici, kterou dořešíme standardním způsobem. Po kontrole podmínky odmocniny ověříme, které řešení je platné.

Výpočet je delší, proto zde uveden pouze postup.

Nejprve odstraníme odmocninu tím, že obě strany rovnice umocníme na druhou:

\( x^2 + 2x = 36 \)

Převedeme všechny členy na jednu stranu, abychom dostali kvadratickou rovnici:

\( x^2 + 2x – 36 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí kvadratického vzorce. Diskriminant vypočítáme takto:

\( D = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 4 + 144 = 148 \)

Odmocninu z diskriminantu vypočítáme přibližně \( \sqrt{148} \approx 12.17 \). Dosadíme do vzorce a dopočítáme obě řešení:

\( x = \frac{-2 + 12.17}{2} \approx 5.085 \)

\( x = \frac{-2 – 12.17}{2} \approx -7.085 \)

Ověříme dosazením, že obě řešení splňují podmínku pod odmocninou (větší nebo rovno 0). Obě hodnoty jsou platná řešení.

Řešení:

Nejprve si uvědomíme, že výraz pod odmocninou musí být nezáporný a zároveň pravá strana musí být kladná (protože odmocnina je vždy ≥ 0). To znamená, že \( 2x – 1 \geq 0 \), tedy \( x \geq 0.5 \).

Dále obě strany rovnice umocníme na druhou, abychom se zbavili odmocniny:

\( 3x + 4 = (2x – 1)^2 \)

Pravý člen roznásobíme:

\( 3x + 4 = 4x^2 – 4x + 1 \)

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 4x^2 – 4x – 3x + 1 – 4 = 0 \)

\( 4x^2 – 7x – 3 = 0 \)

Jedná se o kvadratickou rovnici. Použijeme vzoreček pro řešení kvadratických rovnic:

\( x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} \)

Vypočítáme diskriminant: \( 49 – (-48) = 97 \)

\( x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{8} \)

Číselně to vychází přibližně:

\( x_1 \approx 2.93 \) nebo \( x_2 \approx -0.36 \)

Jelikož musí platit \( x \geq 0.5 \), řešením je pouze \( x \approx 2.93 \).

Řešení:

Nejprve si uvědomíme, že výraz pod odmocninou musí být nezáporný a zároveň pravá strana musí být nezáporná. To znamená, že \( x + 2 \geq 0 \), tedy \( x \geq -2 \).

Obě strany rovnice umocníme na druhou:

\( 5x – 4 = (x + 2)^2 \)

Pravý člen roznásobíme:

\( 5x – 4 = x^2 + 4x + 4 \)

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( x^2 + 4x + 4 – 5x + 4 = 0 \)

Sečteme podobné členy:

\( x^2 – x + 8 = 0 \)

Jedná se o kvadratickou rovnici. Vypočítáme diskriminant:

\( D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 – 32 = -31 \)

Protože diskriminant je záporný, tato kvadratická rovnice nemá žádné reálné řešení.

Výsledek: Rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení.

Řešení:

Nejprve si musíme uvědomit, že výrazy pod odmocninami musí být nezáporné, tedy:

\( x + 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \)

\( x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)

Z těchto podmínek vyplývá, že řešení musí splňovat \( x \geq 3 \).

1. Izolujeme jednu odmocninu na jedné straně rovnice:

\( \sqrt{x + 7} = 8 – \sqrt{x – 3} \)

2. Obě strany rovnice umocníme na druhou, abychom odstranili odmocninu vlevo:

\( x + 7 = (8 – \sqrt{x – 3})^2 \)

3. Pravou stranu rozepíšeme podle vzorce \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \):

\( x + 7 = 64 – 16 \sqrt{x – 3} + (x – 3) \)

4. Sečteme podobné členy na pravé straně:

\( x + 7 = x + 61 – 16 \sqrt{x – 3} \)

5. Odečteme \( x \) a 61 z obou stran, abychom izolovali odmocninu:

\( 7 – 61 = -16 \sqrt{x – 3} \)

\( -54 = -16 \sqrt{x – 3} \)

6. Vydělíme obě strany rovnice \(-16\), abychom vyjádřili odmocninu:

\( \sqrt{x – 3} = \frac{27}{8} \)

7. Nyní obě strany umocníme znovu, abychom odstranili odmocninu:

\( x – 3 = \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{729}{64} \)

8. Přičteme 3 k oběma stranám, abychom získali hodnotu \( x \):

\( x = \frac{729}{64} + 3 = \frac{729}{64} + \frac{192}{64} = \frac{921}{64} \)

Výsledkem je tedy \( x = \frac{921}{64} \).

Pro jistotu je dobré dosadit zpět do původní rovnice a ověřit, že obě strany jsou stejné.

Řešení:

1. Nejprve si ověříme, že výraz pod odmocninou je nezáporný, tedy:

\( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \).

2. Obě strany rovnice umocníme na druhou, abychom odstranili odmocninu:

\( (\sqrt{x + 4})^2 = 3^2 \)

\( x + 4 = 9 \)

3. Odečteme 4 z obou stran, abychom našli \( x \):

\( x = 9 – 4 \)

\( x = 5 \)

4. Pro ověření dosadíme zpět do původní rovnice:

\( \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)

Protože levá a pravá strana jsou stejné, řešení \( x = 5 \) je správné.