1. Vyřešte rovnici: \( \frac{1}{x} = 3 \)
Řešení:
Pro začátek obě strany rovnice vynásobíme \( x \), abychom se zbavili zlomku:
\( 1 = 3x \)
Teď obě strany rovnice vydělíme 3, abychom zjistili hodnotu \( x \):
\( x = \frac{1}{3} \)
2. Vyřešte rovnici: \( \frac{2}{x + 1} = 4 \)
Řešení:
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \( x + 1 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 2 = 4(x + 1) \)
Teď roznásobíme pravou stranu rovnice:
\( 2 = 4x + 4 \)
Sečteme a odečteme čísla na obou stranách rovnice:
\( 4x = 2 – 4 \)
\( 4x = -2 \)
Vydělíme obě strany rovnice 4, abychom získali \( x \):
\( x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
3. Vyřešte rovnici: \( \frac{3}{x – 2} = 5 \)
Řešení:
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \( x – 2 \), abychom se zbavili zlomku:
\( 3 = 5(x – 2) \)
Teď roznásobíme pravou stranu rovnice:
\( 3 = 5x – 10 \)
Přesuneme všechny členy na jednu stranu a upravíme:
\( 5x = 3 + 10 \)
\( 5x = 13 \)
Vydělíme obě strany rovnice 5, abychom získali \( x \):
\( x = \frac{13}{5} \)
4. Vyřešte rovnici: \( \frac{x}{4} = 6 \)
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme 4, abychom se zbavili jmenovatele:
\( x = 6 \times 4 \)
\( x = 24 \)
5. Vyřešte rovnici: \( \frac{5}{x + 3} = 2 \)
Řešení:
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \( x + 3 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 5 = 2(x + 3) \)
Teď roznásobíme pravou stranu:
\( 5 = 2x + 6 \)
Sečteme a odečteme čísla na obou stranách:
\( 2x = 5 – 6 \)
\( 2x = -1 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2, abychom získali \( x \):
\( x = \frac{-1}{2} \)
6. Vyřešte rovnici: \( \frac{4}{x – 1} = 7 \)
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme \( x – 1 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 4 = 7(x – 1) \)
Teď roznásobíme pravou stranu:
\( 4 = 7x – 7 \)
Sečteme a odečteme čísla na obou stranách:
\( 7x = 4 + 7 \)
\( 7x = 11 \)
Vydělíme obě strany rovnice 7, abychom získali \( x \):
\( x = \frac{11}{7} \)
7. Vyřešte rovnici: \( \frac{x – 1}{2} = 3 \)
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme 2, abychom se zbavili jmenovatele:
\( x – 1 = 6 \)
Sečteme 1 na obou stranách:
\( x = 6 + 1 \)
\( x = 7 \)
8. Vyřešte rovnici: \( \frac{6}{x + 2} = 9 \)
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme \( x + 2 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 6 = 9(x + 2) \)
Teď roznásobíme pravou stranu:
\( 6 = 9x + 18 \)
Sečteme a odečteme čísla na obou stranách:
\( 9x = 6 – 18 \)
\( 9x = -12 \)
Vydělíme obě strany rovnice 9, abychom získali \( x \):
\( x = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3} \)
9. Vyřešte rovnici: \( \frac{3x}{x – 1} = 5 \)
Řešení:
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \( x – 1 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 3x = 5(x – 1) \)
Teď roznásobíme pravou stranu:
\( 3x = 5x – 5 \)
Sečteme a odečteme členy na obou stranách rovnice:
\( 3x – 5x = -5 \)
\( -2x = -5 \)
Vydělíme obě strany rovnice -2, abychom zjistili hodnotu \( x \):
\( x = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \)
10. Vyřešte rovnici: \( \frac{2x + 1}{x + 3} = 4 \)
Řešení:
Nejprve obě strany rovnice vynásobíme \( x + 3 \), abychom se zbavili jmenovatele:
\( 2x + 1 = 4(x + 3) \)
Teď roznásobíme pravou stranu:
\( 2x + 1 = 4x + 12 \)
Sečteme a odečteme členy na obou stranách rovnice:
\( 2x – 4x = 12 – 1 \)
\( -2x = 11 \)
Vydělíme obě strany rovnice -2, abychom zjistili hodnotu \( x \):
\( x = \frac{11}{-2} = -\frac{11}{2} \)
11. Vyřešte rovnici: \( \frac{4}{x – 2} = 7 \)
Řešení:
Obě strany rovnice vynásobíme \( x – 2 \):
\( 4 = 7(x – 2) \)
Rozevřeme závorku:
\( 4 = 7x – 14 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 7x = 18 \)
Vydělíme obě strany rovnice 7, abychom získali hodnotu \( x \):
\( x = \frac{18}{7} \)
12. Vyřešte rovnici: \( \frac{x + 3}{x – 1} = 2 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( x – 1 \):
\( x + 3 = 2(x – 1) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( x + 3 = 2x – 2 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 3 + 2 = 2x – x \)
\( 5 = x \)
Výsledek: \( x = 5 \)
13. Vyřešte rovnici: \( \frac{3x + 4}{x + 2} = 5 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( x + 2 \):
\( 3x + 4 = 5(x + 2) \)
Rozevřeme závorku:
\( 3x + 4 = 5x + 10 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 4 – 10 = 5x – 3x \)
\( -6 = 2x \)
Vydělíme obě strany 2:
\( x = \frac{-6}{2} = -3 \)
14. Vyřešte rovnici: \( \frac{x – 1}{2x + 3} = 4 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( 2x + 3 \):
\( x – 1 = 4(2x + 3) \)
Rozevřeme závorku:
\( x – 1 = 8x + 12 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( -1 – 12 = 8x – x \)
\( -13 = 7x \)
Vydělíme obě strany 7:
\( x = \frac{-13}{7} \)
15. Vyřešte rovnici: \( \frac{2x}{x + 4} = 3 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( x + 4 \):
\( 2x = 3(x + 4) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( 2x = 3x + 12 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 2x – 3x = 12 \)
\( -x = 12 \)
Vydělíme obě strany -1:
\( x = -12 \)
16. Vyřešte rovnici: \( \frac{5x – 1}{x + 1} = 6 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( x + 1 \):
\( 5x – 1 = 6(x + 1) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( 5x – 1 = 6x + 6 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 5x – 6x = 6 + 1 \)
\( -x = 7 \)
Vydělíme obě strany -1:
\( x = -7 \)
17. Vyřešte rovnici: \( \frac{4x + 5}{2x – 3} = 2 \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( 2x – 3 \):
\( 4x + 5 = 2(2x – 3) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( 4x + 5 = 4x – 6 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 5 + 6 = 4x – 4x \)
\( 11 = 0 \)
Tato rovnice nemá řešení, protože výrok je nesprávný.
18. Vyřešte rovnici: \( \frac{3x + 7}{x + 2} = \frac{5}{x – 1} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 2)(x – 1) \):
\( (3x + 7)(x – 1) = 5(x + 2) \)
Roznásobíme obě strany:
\( 3x^2 – 3x + 7x – 7 = 5x + 10 \)
Sečteme podobné členy:
\( 3x^2 + 4x – 7 = 5x + 10 \)
Všechno přesuneme na jednu stranu:
\( 3x^2 – x – 17 = 0 \)
Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou je třeba řešit pomocí kvadratické formule nebo jinými metodami.
19. Vyřešte rovnici: \( \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{2x – 1}{x + 4} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 3)(x + 4) \):
\( (x + 1)(x + 4) = (2x – 1)(x + 3) \)
Roznásobíme obě strany:
\( x^2 + 5x + 4 = 2x^2 + 5x – 3 \)
Sečteme podobné členy:
\( -x^2 – 7 = 0 \)
Tato rovnice nemá reálné řešení.
20. Vyřešte rovnici: \( \frac{2x}{x + 3} = \frac{4x + 1}{x + 2} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 3)(x + 2) \):
\( 2x(x + 2) = (4x + 1)(x + 3) \)
Roznásobíme obě strany:
\( 2x^2 + 4x = 4x^2 + 13x + 3 \)
Sečteme podobné členy:
\( 2x^2 – 4x^2 + 4x – 13x = 3 \)
\( -2x^2 – 9x = 3 \)
Řešení pomocí kvadratické rovnice.
21. Vyřešte rovnici: \( \frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x – 1} = 3 \)
Řešení:
Nejprve upravíme levou stranu na společného jmenovatele:
\( \frac{x(x – 1)}{(x + 1)(x – 1)} + \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = 3 \)
Sečteme zlomky:
\( \frac{x(x – 1) + 2(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = 3 \)
Rozevřeme závorky:
\( \frac{x^2 – x + 2x + 2}{(x + 1)(x – 1)} = 3 \)
Sečteme členy v čitateli:
\( \frac{x^2 + x + 2}{(x + 1)(x – 1)} = 3 \)
Vynásobíme obě strany \( (x + 1)(x – 1) \):
\( x^2 + x + 2 = 3(x^2 – 1) \)
Rozevřeme pravou stranu:
\( x^2 + x + 2 = 3x^2 – 3 \)
Přesuneme vše na jednu stranu:
\( 0 = 2x^2 – x – 5 \)
Řešíme kvadratickou rovnici.
22. Vyřešte rovnici: \( \frac{1}{x + 2} – \frac{1}{x – 3} = \frac{5}{x^2 – x – 6} \)
Řešení:
Všimneme si, že \( x^2 – x – 6 \) je součin \( (x + 2)(x – 3) \), takže můžeme upravit levou a pravou stranu rovnice:
\( \frac{1}{x + 2} – \frac{1}{x – 3} = \frac{5}{(x + 2)(x – 3)} \)
Najdeme společného jmenovatele pro levou stranu:
\( \frac{(x – 3)}{(x + 2)(x – 3)} – \frac{(x + 2)}{(x + 2)(x – 3)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 3)} \)
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{x – 3 – (x + 2)}{(x + 2)(x – 3)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 3)} \)
Po zjednodušení dostaneme:
\( \frac{-5}{(x + 2)(x – 3)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 3)} \)
Přesuneme zlomky na jednu stranu:
\( -5 = 5 \), což je kontradikce.
Tato rovnice nemá řešení.
23. Vyřešte rovnici: \( \frac{3}{x – 2} + \frac{4}{x + 3} = \frac{7}{x^2 + x – 6} \)
Řešení:
Všimneme si, že \( x^2 + x – 6 \) je součin \( (x – 2)(x + 3) \), takže rovnice se stává:
\( \frac{3}{x – 2} + \frac{4}{x + 3} = \frac{7}{(x – 2)(x + 3)} \)
Najdeme společného jmenovatele pro levou stranu:
\( \frac{3(x + 3)}{(x – 2)(x + 3)} + \frac{4(x – 2)}{(x – 2)(x + 3)} = \frac{7}{(x – 2)(x + 3)} \)
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{3(x + 3) + 4(x – 2)}{(x – 2)(x + 3)} = \frac{7}{(x – 2)(x + 3)} \)
Rozevřeme závorky:
\( \frac{3x + 9 + 4x – 8}{(x – 2)(x + 3)} = \frac{7}{(x – 2)(x + 3)} \)
Sečteme členy v čitateli:
\( \frac{7x + 1}{(x – 2)(x + 3)} = \frac{7}{(x – 2)(x + 3)} \)
Obě strany rovnice mají stejný jmenovatel, takže se čitatelé musí rovnat:
\( 7x + 1 = 7 \)
Řešíme pro \( x \):
\( 7x = 6 \)
\( x = \frac{6}{7} \)
24. Vyřešte rovnici: \( \frac{x + 5}{x^2 + 2x} = \frac{2}{x} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( x^2 + 2x \):
\( x + 5 = 2(x + 2) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( x + 5 = 2x + 4 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( x – 2x = 4 – 5 \)
\( -x = -1 \)
\( x = 1 \)
25. Vyřešte rovnici: \( \frac{x}{x + 4} + \frac{3}{x – 2} = 2 \)
Řešení:
Najdeme společného jmenovatele:
\( \frac{x(x – 2)}{(x + 4)(x – 2)} + \frac{3(x + 4)}{(x + 4)(x – 2)} = 2 \)
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{x(x – 2) + 3(x + 4)}{(x + 4)(x – 2)} = 2 \)
Roznásobíme a sečteme členy:
\( \frac{x^2 – 2x + 3x + 12}{(x + 4)(x – 2)} = 2 \)
\( \frac{x^2 + x + 12}{(x + 4)(x – 2)} = 2 \)
Vynásobíme obě strany \( (x + 4)(x – 2) \):
\( x^2 + x + 12 = 2(x + 4)(x – 2) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( x^2 + x + 12 = 2(x^2 + 2x – 8) \)
Rozevřeme závorku:
\( x^2 + x + 12 = 2x^2 + 4x – 16 \)
Přesuneme vše na jednu stranu:
\( -x^2 – 3x + 28 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici.
26. Vyřešte rovnici: \( \frac{x + 3}{x^2 – 1} = \frac{2}{x + 1} \)
Řešení:
Všimneme si, že \( x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1) \), takže rovnice se stává:
\( \frac{x + 3}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{2}{x + 1} \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 1) \):
\( \frac{x + 3}{x – 1} = 2 \)
Vynásobíme obě strany \( (x – 1) \):
\( x + 3 = 2(x – 1) \)
Rozevřeme pravou stranu:
\( x + 3 = 2x – 2 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 3 + 2 = 2x – x \)
\( x = 5 \)
27. Vyřešte rovnici: \( \frac{4}{x + 2} – \frac{3}{x – 2} = \frac{5}{x^2 – 4} \)
Řešení:
Všimneme si, že \( x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2) \), takže rovnice se stává:
\( \frac{4}{x + 2} – \frac{3}{x – 2} = \frac{5}{(x + 2)(x – 2)} \)
Najdeme společného jmenovatele pro levou stranu:
\( \frac{4(x – 2)}{(x + 2)(x – 2)} – \frac{3(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 2)} \)
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{4(x – 2) – 3(x + 2)}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 2)} \)
Roznásobíme a sečteme členy:
\( \frac{4x – 8 – 3x – 6}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 2)} \)
\( \frac{x – 14}{(x + 2)(x – 2)} = \frac{5}{(x + 2)(x – 2)} \)
Obě strany rovnice mají stejný jmenovatel, takže se čitatelé musí rovnat:
\( x – 14 = 5 \)
\( x = 19 \)
28. Vyřešte rovnici: \( \frac{x – 1}{x + 3} = \frac{2}{x – 4} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 3)(x – 4) \):
\( (x – 1)(x – 4) = 2(x + 3) \)
Rozevřeme obě strany:
\( x^2 – 4x – x + 4 = 2x + 6 \)
Po úpraviách:
\( x^2 – 5x + 4 = 2x + 6 \)
Přesuneme vše na jednu stranu:
\( x^2 – 7x – 2 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)} \)
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2} \)
\( x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2} \)
Výsledek je přibližně \( x \approx 6.53 \) nebo \( x \approx -0.53 \).
29. Vyřešte rovnici: \( \frac{x + 3}{x – 4} = \frac{5x + 1}{x + 2} \)
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x – 4)(x + 2) \):
\( (x + 3)(x + 2) = (5x + 1)(x – 4) \)
Rozevřeme obě strany:
\( x^2 + 5x + 6 = 5x^2 – 19x – 4 \)
Po úpraviách:
\( 0 = 4x^2 – 24x – 10 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 – 4(4)(-10)}}{2(4)} \)
\( x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 160}}{8} \)
\( x = \frac{24 \pm \sqrt{736}}{8} \)
Výsledek je přibližně \( x \approx 4.68 \) nebo \( x \approx -0.68 \).
30. Vyřešte rovnici: \( \frac{2x + 1}{x^2 + 3x – 4} = \frac{3}{x + 4} \)
Řešení:
Všimneme si, že \( x^2 + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1) \), takže rovnice se stává:
\( \frac{2x + 1}{(x + 4)(x – 1)} = \frac{3}{x + 4} \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( (x + 4) \):
\( \frac{2x + 1}{x – 1} = 3 \)
Vynásobíme obě strany \( (x – 1) \):
\( 2x + 1 = 3(x – 1) \)
Rozevřeme pravou stranu:
\( 2x + 1 = 3x – 3 \)
Přesuneme členy na jednu stranu:
\( 2x – 3x = -3 – 1 \)
\( -x = -4 \)
\( x = 4 \)
