1. Vypočítejte \( (x – 3)(x + 5) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Pokud součin dvou čísel je nula, pak alespoň jedno z těchto čísel musí být nula. Takže buď \( x – 3 = 0 \), nebo \( x + 5 = 0 \).
První rovnice: \( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
Druhá rovnice: \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \).
Výsledek: \( x = 3 \) nebo \( x = -5 \).
2. Vypočítejte \( (2x + 3)(x – 4) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Podobně jako u předchozího příkladu, řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( 2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \).
Druhá rovnice: \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Výsledek: \( x = -\frac{3}{2} \) nebo \( x = 4 \).
3. Vypočítejte \( (x + 2)(x – 5) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Opět platí, že součin je nulový, pokud alespoň jedna z hodnot je nulová:
První rovnice: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).
Druhá rovnice: \( x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \).
Výsledek: \( x = -2 \) nebo \( x = 5 \).
4. Vypočítejte \( (x + 4)(x – 1) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \).
Druhá rovnice: \( x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Výsledek: \( x = -4 \) nebo \( x = 1 \).
5. Vypočítejte \( (x – 2)(x + 6) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).
Druhá rovnice: \( x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \).
Výsledek: \( x = 2 \) nebo \( x = -6 \).
6. Vypočítejte \( (3x – 7)(x + 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( 3x – 7 = 0 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \).
Druhá rovnice: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).
Výsledek: \( x = \frac{7}{3} \) nebo \( x = -2 \).
7. Vypočítejte \( (x – 1)(x + 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Druhá rovnice: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).
Výsledek: \( x = 1 \) nebo \( x = -3 \).
8. Vypočítejte \( (2x + 5)(x – 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( 2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \).
Druhá rovnice: \( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
Výsledek: \( x = -\frac{5}{2} \) nebo \( x = 3 \).
9. Vypočítejte \( (x – 4)(x + 7) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Druhá rovnice: \( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \).
Výsledek: \( x = 4 \) nebo \( x = -7 \).
10. Vypočítejte \( (x + 1)(x – 8) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Řešíme dvě rovnice:
První rovnice: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Druhá rovnice: \( x – 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \).
Výsledek: \( x = -1 \) nebo \( x = 8 \).
11. Vypočítejte \( (x – 4)(x + 5) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Pokud součin dvou činitelů je nula, pak alespoň jeden z nich musí být nula. Takže máme dvě možnosti:
1. \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
2. \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \)
Výsledek: \( x = 4 \) nebo \( x = -5 \).
12. Vypočítejte \( (2x – 3)(x + 4) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Opět součin je nula, takže:
1. \( 2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)
2. \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)
Výsledek: \( x = \frac{3}{2} \) nebo \( x = -4 \).
13. Vypočítejte \( (x + 7)(x – 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Součin je nula, takže:
1. \( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \)
2. \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Výsledek: \( x = -7 \) nebo \( x = 2 \).
14. Vypočítejte \( (3x – 5)(2x + 4) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Součin je nula, takže:
1. \( 3x – 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3} \)
2. \( 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
Výsledek: \( x = \frac{5}{3} \) nebo \( x = -2 \).
15. Vypočítejte \( (x^2 – 1)(x + 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Rozdíl čtverců \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \), takže:
1. \( x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
2. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
3. \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
Výsledek: \( x = 1 \), \( x = -1 \), nebo \( x = -3 \).
16. Vypočítejte \( (x – 2)^2(x + 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Součin je nula, takže:
1. \( (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
2. \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
Výsledek: \( x = 2 \) (dvojí kořen) nebo \( x = -3 \).
17. Vypočítejte \( (x – 5)(x^2 + 4x + 4) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: \( x^2 + 4x + 4 \) je dokonalý čtverec \( (x + 2)^2 \), takže:
1. \( x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
2. \( (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
Výsledek: \( x = 5 \) nebo \( x = -2 \).
18. Vypočítejte \( (2x – 1)(x + 7)(x – 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Součin je nula, takže:
1. \( 2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)
2. \( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \)
3. \( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Výsledek: \( x = \frac{1}{2} \), \( x = -7 \), nebo \( x = 3 \).
19. Vypočítejte \( (x – 4)(x^2 + 5x + 6) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: \( x^2 + 5x + 6 \) lze faktorizovat na \( (x + 2)(x + 3) \), takže:
1. \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
2. \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
3. \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
Výsledek: \( x = 4 \), \( x = -2 \), nebo \( x = -3 \).
20. Vypočítejte \( (x + 1)(x^2 – 3x + 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: \( x^2 – 3x + 2 \) lze faktorizovat na \( (x – 1)(x – 2) \), takže:
1. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
2. \( x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
3. \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Výsledek: \( x = -1 \), \( x = 1 \), nebo \( x = 2 \).
21. Vypočítejte \( (x^2 – 5x + 6)(x^2 + 3x – 10) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Rozdělíme na dvě kvadratické rovnice:
1. \( x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x – 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ nebo } x = 3 \)
2. \( x^2 + 3x – 10 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x – 2) = 0 \Rightarrow x = -5 \text{ nebo } x = 2 \)
Výsledek: \( x = 2, 3, -5 \).
22. Vypočítejte \( (x + 1)(x^3 – 2x^2 – 3x + 6) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: První faktor je nula, tedy \( x = -1 \).
Pro druhý faktor řešíme \( x^3 – 2x^2 – 3x + 6 = 0 \). Zkoušíme hodnoty, zjistíme, že \( x = 1 \) je kořen.
Po dělení \( (x^3 – 2x^2 – 3x + 6) : (x – 1) \), získáme \( (x^2 – x – 6) \), což lze faktorizovat na \( (x – 3)(x + 2) \).
Výsledek: \( x = -1, 1, 3, -2 \).
23. Vypočítejte \( (x^2 – 4x + 4)(x^2 – 3x – 10) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Rozdělíme na dvě kvadratické rovnice:
1. \( x^2 – 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
2. \( x^2 – 3x – 10 = 0 \Rightarrow (x – 5)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 5 \text{ nebo } x = -2 \)
Výsledek: \( x = 2, 5, -2 \).
24. Vypočítejte \( (x – 1)(x^3 + 2x^2 – x – 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: První faktor je nula, tedy \( x = 1 \).
Pro druhý faktor řešíme \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \). Zkoušíme hodnoty, zjistíme, že \( x = -2 \) je kořen.
Po dělení \( (x^3 + 2x^2 – x – 2) : (x + 2) \), získáme \( (x^2 – x – 1) \), což se dá řešit pomocí kvadratické rovnice a kořeny jsou \( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
Výsledek: \( x = 1, -2, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \).
25. Vypočítejte \( (x + 3)(x^2 – 2x + 1)(x – 4) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: \( x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 \), takže rovnice se stává \( (x + 3)(x – 1)^2(x – 4) = 0 \).
Řešení: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \), \( (x – 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \), \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
Výsledek: \( x = -3, 1, 4 \).
26. Vypočítejte \( (x – 3)(x^2 – x – 6)(x + 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Faktorizujeme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \), takže rovnice se stává \( (x – 3)^2(x + 2)^2 = 0 \).
Řešení: \( x = 3 \text{ (dvojí kořen) } \), \( x = -2 \text{ (dvojí kořen) } \).
Výsledek: \( x = 3, -2 \).
27. Vypočítejte \( (x^2 – 9)(x^2 + 6x + 9) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \), \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \), takže z rovnice se stává \( (x – 3)(x + 3)(x + 3)^2 = 0 \).
Řešení: \( x = 3 \text{ (dvojí kořen) } \), \( x = -3 \).
Výsledek: \( x = 3, -3 \).
28. Vypočítejte \( (x – 2)(x^3 + x^2 – 2x – 2) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: První faktor je nula, tedy \( x = 2 \).
Pro druhý faktor řešíme \( x^3 + x^2 – 2x – 2 = 0 \). Zkoušíme hodnoty a zjistíme, že \( x = -2 \) je kořen.
Po dělení \( (x^3 + x^2 – 2x – 2) : (x + 2) \), získáme \( (x^2 – x – 1) \), což se dá řešit pomocí kvadratické rovnice a kořeny jsou \( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
Výsledek: \( x = 2, -2, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \).
29. Vypočítejte \( (x – 4)(x^2 + x – 6)(x + 3) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: Faktorizujeme kvadratickou rovnici \( x^2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) \), takže rovnice se stává \( (x – 4)(x – 2)(x + 3)^2 = 0 \).
Řešení: \( x = 4, 2, -3 \).
Výsledek: \( x = 4, 2, -3 \).
30. Vypočítejte \( (x + 2)(x^3 – 3x^2 – 4x + 12) = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení: První faktor je nula, tedy \( x = -2 \).
Pro druhý faktor řešíme \( x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = 0 \). Zkoušíme hodnoty a zjistíme, že \( x = 3 \) je kořen.
Po dělení \( (x^3 – 3x^2 – 4x + 12) : (x – 3) \), získáme \( (x^2 – 4) \), což faktorizujeme na \( (x – 2)(x + 2) \).
Výsledek: \( x = -2, 3, 2 \).
