1. Určete, zda jsou trojúhelníky \( \triangle ABC \) a \( \triangle DEF \) shodné, jsou-li délky stran: \( AB = 5\,cm \), \( BC = 7\,cm \), \( AC = 6\,cm \), \( DE = 5\,cm \), \( EF = 7\,cm \), \( DF = 6\,cm \).
Řešení:
Pro ověření shodnosti trojúhelníků použijeme větu o shodnosti stran \((SSS)\). Porovnáme délky stran obou trojúhelníků:
\( AB = DE = 5\,cm \)
\( BC = EF = 7\,cm \)
\( AC = DF = 6\,cm \)
Všechny tři strany jsou shodné, proto platí \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) podle věty \((SSS)\).
2. Trojúhelník \( \triangle PQR \) je podobný trojúhelníku \( \triangle XYZ \). Víme, že strana \( PQ = 8\,cm \), \( QR = 12\,cm \), \( PR = 10\,cm \) a strana \( XY = 4\,cm \). Určete délky stran \( YZ \) a \( XZ \).
Řešení:
Protože \( \triangle PQR \sim \triangle XYZ \), platí, že poměr délek odpovídajících stran je konstantní:
\( \frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ} = k \)
Víme \( PQ = 8\,cm \) a \( XY = 4\,cm \), takže
\( k = \frac{8}{4} = 2 \)
Pro délku strany \( YZ \) platí:
\( \frac{QR}{YZ} = k \rightarrow YZ = \frac{QR}{k} = \frac{12\,cm}{2} = 6\,cm \)
3. Dokažte, že trojúhelníky \( \triangle ABC \) a \( \triangle DEF \) jsou shodné, jestliže platí: \( AB = DE \), \( \angle ABC = \angle DEF \) a \( BC = EF \).
Řešení:
Zadané údaje odpovídají větě o shodnosti trojúhelníků strana-úhel-strana \((SUS)\).
Máme shodné dvě strany: \( AB = DE \) a \( BC = EF \) a úhel mezi nimi: \( \angle ABC = \angle DEF \).
Tedy podle věty \((SUS)\) jsou trojúhelníky shodné:
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \).
4. Trojúhelníky \( \triangle KLM \) a \( \triangle NOP \) jsou podobné s poměrem podobnosti \( k = \frac{3}{5} \). Pokud je délka strany \( NO = 15\,cm \), určete délku strany \( KL \).
Řešení:
Poměr podobnosti je \( k = \frac{KL}{NO} = \frac{3}{5} \).
Délka \( NO = 15\,cm \), proto délka \( KL \) je:
\( KL = k \times NO = \frac{3}{5} \times 15 = 9\,cm \).
5. Určete velikost úhlu \( \angle BAC \) v trojúhelníku \( \triangle ABC \), jestliže \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) a velikost úhlu \( \angle EDF = 50^\circ \), \( \angle ABC = 70^\circ \).
Řešení:
Podobné trojúhelníky mají shodné odpovídající úhly.
Úhel \( \angle ABC = 70^\circ \) odpovídá úhlu \( \angle DEF \), takže \( \angle ABC \leftrightarrow \angle DEF = 50^\circ \) není možné.
Musíme správně přiřadit úhly podle podobnosti.
Předpokládáme přiřazení: \( A \leftrightarrow D \), \( B \leftrightarrow E \), \( C \leftrightarrow F \).
Proto \( \angle BAC \leftrightarrow \angle EDF = 50^\circ \).
Výsledkem je, že \( \angle BAC = 50^\circ \).
6. Dva trojúhelníky mají strany \( 6\,cm \), \( 8\,cm \), \( 10\,cm \) a \( 9\,cm \), \( 12\,cm \), \( 15\,cm \). Jsou tyto trojúhelníky podobné? Ověřte podrobně.
Řešení:
Poměry stran prvního trojúhelníku jsou: \( 6:8:10 \).
Poměry stran druhého trojúhelníku jsou: \( 9:12:15 \).
Všechny poměry jsou stejné, tedy trojúhelníky jsou podobné podle věty o podobnosti stran \(((SUS)\)podobnost\()\).
7. V trojúhelníku \( \triangle ABC \) platí \( AB = AC \) a \( \angle BAC = 40^\circ \). Najděte velikosti zbývajících úhlů a urči, zda je trojúhelník shodný s jiným, který má strany \( 6\,cm, 6\,cm \) a úhel mezi nimi \( 40^\circ \).
Řešení:
Protože \( AB = AC \), je trojúhelník rovnoramenný, tedy úhly u základny jsou shodné:
\( \angle ABC = \angle ACB = x \).
Součet úhlů v trojúhelníku je \( 180^\circ \):
\( 40^\circ + x + x = 180^\circ \rightarrow 2x = 140^\circ \rightarrow x = 70^\circ \).
Tedy \( \angle ABC = \angle ACB = 70^\circ \).
Druhý trojúhelník má dvě strany 6 cm a úhel mezi nimi 40°, tedy podle věty \(SUS\) je shodný s prvním.
8. Vypočítejte obvod podobného trojúhelníku, jestliže obvod trojúhelníku \( \triangle ABC \) je \( 24\,cm \) a poměr podobnosti je \( \frac{1}{2} \).
Řešení:
Obvod podobného trojúhelníku je přímo úměrný poměru podobnosti.
9. V trojúhelníku \( \triangle XYZ \) je délka strany \( XY = 9\,cm \), \( YZ = 12\,cm \) a \( XZ = 15\,cm \). Určete, zda je tento trojúhelník podobný trojúhelníku \( \triangle ABC \) se stranami \( 6\,cm \), \( 8\,cm \), \( 10\,cm \).
Všechny poměry jsou stejné, tedy trojúhelníky jsou podobné podle věty o podobnosti \(SSS\).
10. V trojúhelníku \( \triangle MNO \) je délka strany \( MN = 7\,cm \), úhel \( \angle M = 60^\circ \), délka strany \( NO = 10\,cm \). V trojúhelníku \( \triangle PQR \) je délka strany \( PQ = 14\,cm \) a úhel \( \angle P = 60^\circ \). Určete délku strany \( QR \), jestliže trojúhelníky jsou podobné.
Řešení:
Poměr podobnosti určíme podle délek stran:
\( k = \frac{PQ}{MN} = \frac{14}{7} = 2 \).
Proto délka strany \( QR \) je:
\( QR = k \times NO = 2 \times 10 = 20\,cm \).
11. Trojúhelník \( ABC \) je rovnoramenný s \( AB = AC = 10\,cm \) a základnou \( BC = 12\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má strany \( DE = 15\,cm \), \( EF = 18\,cm \) a \( DF = 15\,cm \). Určete, zda jsou trojúhelníky shodné, podobné nebo ani jedno, a zdůvodněte.
Řešení:
Nejprve spočítáme délku základny a úhly v trojúhelníku \( ABC \):
Trojúhelník je rovnoramenný s rameny \( 10\,cm \) a základnou \( 12\,cm \).
Z úhlu u vrcholu \( A \) spustíme výšku \( AH \) na základnu \( BC \), která ji rozdělí na dvě poloviny po \( 6\,cm \).
Tedy strany jsou v poměru \( 1{,}5 \), trojúhelníky jsou podobné podle kritéria \(SSS\) podobnosti.
Úhly v \( DEF \) jsou stejné jako v \( ABC \), pouze strany jsou \( 1{,}5 \)× větší.
12. V trojúhelníku \( XYZ \) platí \( XY = 7\,cm \), \( YZ = 9\,cm \) a úhel mezi nimi \( \angle XYZ = 60^\circ \). V trojúhelníku \( PQR \) je \( PQ = 14\,cm \), \( QR = 18\,cm \) a úhel \( \angle PQR = 60^\circ \). Určete, zda jsou trojúhelníky podobné a vypočtěte délku strany \( PX \), pokud platí \( \triangle XYZ \sim \triangle PQR \).
13. Trojúhelníky \( ABC \) a \( DEF \) mají stejné úhly, přičemž \( AB = 5\,cm \), \( AC = 7\,cm \), \( DE = 10\,cm \). Určete délku strany \( DF \) a zjistěte, zda jsou trojúhelníky podobné.
Řešení:
Protože mají trojúhelníky stejné úhly, jsou podobné.
Poměr podobnosti určíme podle stran \( AB \) a \( DE \):
14. V pravoúhlém trojúhelníku \( ABC \) s pravým úhlem u \( C \) jsou délky odvěsen \( AC = 6\,cm \) a \( BC = 8\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) je podobný trojúhelníku \( ABC \) s poměrem podobnosti 1:2. Určete délky stran trojúhelníku \( DEF \).
Řešení:
Protože je poměr podobnosti 1:2, strany trojúhelníku \( DEF \) jsou dvakrát delší než odpovídající strany v \( ABC \).
Nejdříve spočítáme přeponu \( AB \) podle Pythagora:
15. Dva trojúhelníky mají úhly \( 35^\circ \), \( 65^\circ \), \( 80^\circ \) a jsou podobné. V menším trojúhelníku jsou strany délky \( 7\,cm \), \( 10\,cm \), a \( 13\,cm \). Větší trojúhelník má stranu odpovídající straně délky \( 7\,cm \) dlouhou \( 14\,cm \). Určete délky ostatních stran většího trojúhelníku.
Řešení:
Poměr podobnosti určíme jako:
\( k = \frac{14}{7} = 2 \).
Strany většího trojúhelníku jsou tedy \(2×\) delší než odpovídající strany menšího.
Proto:
\( 10\,cm \rightarrow 20\,cm \),
\( 13\,cm \rightarrow 26\,cm \).
16. V trojúhelníku \( ABC \) platí, že \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \) a strana \( AB = 8\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) je shodný s \( ABC \) a straně \( AB \) odpovídá strana \( DE = 8\,cm \). Určete délky stran \( EF \) a \( DF \), pokud \( EF = 7\,cm \).
Řešení:
Trojúhelníky jsou shodné, takže odpovídající strany mají stejné délky.
Pokud \( EF = 7\,cm \), pak odpovídající strana \( BC \) v \( ABC \) je také \( 7\,cm \).
Úhly \( A \) a \( B \) jsou dány, úhel \( C \) spočítáme:
17. Trojúhelník \( ABC \) má strany \( AB = 9\,cm \), \( BC = 12\,cm \), \( AC = 15\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) je podobný \( ABC \) s poměrem podobnosti \( \frac{3}{5} \). Vypočítejte délky stran trojúhelníku \( DEF \).
Řešení:
Poměr podobnosti je \( k = \frac{3}{5} = 0{,}6 \).
Délky stran trojúhelníku \( DEF \) jsou:
\( DE = 0{,}6 \times 9 = 5{,}4\,cm \),
\( EF = 0{,}6 \times 12 = 7{,}2\,cm \),
\( DF = 0{,}6 \times 15 = 9\,cm \).
18. Trojúhelník \( ABC \) má úhly \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \) a odvěsny \( AC = 5\,cm \), \( BC = 8{,}66\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má úhly \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \) a stranu \( DE = 10\,cm \). Určete délky stran \( EF \) a \( DF \).
Řešení:
Protože jsou trojúhelníky podobné, platí poměr podobnosti:
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \).
Strany většího trojúhelníku jsou tedy \(2×\) delší.
Délky stran \( EF \) a \( DF \) jsou:
\( EF = k \times BC = 2 \times 8{,}66 = 17{,}32\,cm \),
\( DF = k \times AC = 2 \times 5 = 10\,cm \).
19. V trojúhelníku \( KLM \) platí \( KL = 8\,cm \), \( LM = 6\,cm \) a úhel mezi nimi \( \angle KLM = 45^\circ \). Trojúhelník \( NOP \) má strany \( NO = 12\,cm \), \( OP = 9\,cm \) a úhel \( \angle NOP = 45^\circ \). Určete, zda jsou trojúhelníky podobné, a vypočtěte délku strany \( KP \), pokud \( \triangle KLM \sim \triangle NOP \).
Délka odpovídající strany \( NP \) v trojúhelníku \( NOP \) je:
\( NP = k \times KM = 1{,}5 \times 5{,}67 = 8{,}50\,cm \).
20. Trojúhelníky \( RST \) a \( UVW \) jsou podobné s poměrem podobnosti \( \frac{2}{3} \). V trojúhelníku \( RST \) jsou strany \( RS = 9\,cm \), \( ST = 12\,cm \) a \( RT = 15\,cm \). V trojúhelníku \( UVW \) je strana \( UV = 16\,cm \). Určete délky zbývajících stran trojúhelníku \( UVW \).
Řešení:
Poměr podobnosti je \( k = \frac{UV}{RS} = \frac{16}{9} \approx 1{,}78 \).
Spočítáme délky zbývajících stran trojúhelníku \( UVW \):
\( VW = k \times ST = 1{,}78 \times 12 = 21{,}33\,cm \),
21. Trojúhelník \( ABC \) má strany \( AB = 13\,cm \), \( BC = 14\,cm \), \( AC = 15\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má strany \( DE = 26\,cm \), \( EF = 28\,cm \), \( DF = 30\,cm \). Určete, zda jsou trojúhelníky shodné, podobné, nebo ani jedno, a zdůvodněte.
Poměry jsou shodné, proto trojúhelníky jsou podobné podle kritéria \(SSS\) podobnosti.
Nejsou však shodné, protože délky stran se liší.
22. V trojúhelníku \( ABC \) platí \( AB = 8\,cm \), \( AC = 6\,cm \) a úhel \( \angle BAC = 60^\circ \). V trojúhelníku \( DEF \) je \( DE = 12\,cm \), \( DF = 9\,cm \) a úhel \( \angle EDF = 60^\circ \). Určete, zda jsou trojúhelníky podobné, shodné, nebo ani jedno, a vypočítejte délku strany \( EF \), pokud jsou podobné.
23. Trojúhelník \( ABC \) je pravoúhlý s přeponou \( AB = 10\,cm \) a odvěsnou \( AC = 6\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má odvěsny \( DE = 9\,cm \), \( EF = 12\,cm \). Určete, zda jsou trojúhelníky shodné nebo podobné, a pokud jsou podobné, určete délku přepony \( DF \).
Řešení:
Nejprve spočítáme druhou odvěsnu trojúhelníku \( ABC \) podle Pythagora:
Poměry nejsou stejné, trojúhelníky nejsou podobné.
Zkontrolujeme, zda jsou shodné – nejsou, protože odpovídající strany se neshodují.
Tedy ani podobné, ani shodné nejsou.
24. V trojúhelníku \( ABC \) platí \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \), a strana \( AB = 5\sqrt{2}\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má stranu \( DE = 10\,cm \) a je rovnoramenný s úhly \( 45^\circ \) u vrcholů \( D \) a \( E \). Určete délky všech stran trojúhelníku \( DEF \) a poměr podobnosti s trojúhelníkem \( ABC \).
Řešení:
V trojúhelníku \( ABC \) je \( \angle A = \angle B = 45^\circ \), tedy je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.
Délka přepony \( AB = 5\sqrt{2} \,cm \), takže odvěsny jsou:
\( AC = BC = 5\,cm \) (protože v rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku jsou odvěsny stejné a přepona je odvěsna × \( \sqrt{2} \)).
V trojúhelníku \( DEF \) je základna \( DE = 10\,cm \), a protože je rovnoramenný se stejnými úhly \( 45^\circ \) u vrcholů \( D \) a \( E \), platí:
Odvěsny \( DF = EF = x \).
Přepona \( DE = 10\,cm \) je \( x \sqrt{2} \), tedy:
\( x \sqrt{2} = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \,cm \).
Strany trojúhelníku \( DEF \) jsou tedy:
\( DE = 10\,cm \), \( DF = EF = 5\sqrt{2}\,cm \).
Poměr podobnosti je:
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{10}{7{,}07} \approx 1{,}414 \) (což je \( \sqrt{2} \)).
25. Trojúhelník \( ABC \) má strany \( AB = 8\,cm \), \( BC = 15\,cm \), \( AC = 17\,cm \). Trojúhelník \( XYZ \) má strany \( XY = 12\,cm \), \( YZ = 22{,}5\,cm \), \( XZ = 25{,}5\,cm \). Určete, zda jsou trojúhelníky podobné nebo shodné, a odůvodněte.
Poměry jsou shodné, trojúhelníky jsou podobné podle věty \(SSS\) .
Nejsou shodné, protože délky stran nejsou stejné.
26. V trojúhelníku \( ABC \) platí \( AB = 9\,cm \), \( BC = 12\,cm \), \( AC = 15\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má strany \( DE = 6\,cm \), \( EF = 8\,cm \), \( DF = 10\,cm \). Jsou tyto trojúhelníky podobné? Zdůvodněte.
Poměry jsou stejné, tedy trojúhelníky jsou podobné podle věty \(SSS\) .
27. Trojúhelník \( ABC \) je rovnoramenný s rameny \( AB = AC = 10\,cm \) a základnou \( BC = 12\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má ramena \( DE = 15\,cm \), \( DF = 15\,cm \) a základnu \( EF = 18\,cm \). Jsou tyto trojúhelníky shodné nebo podobné? Zdůvodněte.
Poměry jsou stejné, tedy trojúhelníky jsou podobné podle \(SSS\).
Není shodné, protože strany se liší.
28. Trojúhelník \( ABC \) má úhly \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 60^\circ \) a \( \gamma = 90^\circ \), přičemž délka přepony \( AB = 10\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má úhel \( \angle E = 60^\circ \) a délku strany \( DE = 5\,cm \). Jsou tyto trojúhelníky podobné? Zdůvodněte.
Řešení:
Trojúhelník \( ABC \) je pravoúhlý s úhly 30°, 60° a 90°.
Trojuhelník \( DEF \) má jeden úhel 60°, což nestačí pro určení podobnosti.
Pro podobnost musí mít dva shodné úhly nebo všechny strany v poměru.
Nelze určit, zda jsou podobné bez dalších informací.
29. Trojúhelník \( ABC \) má strany \( AB = 7\,cm \), \( BC = 9\,cm \), \( AC = 8\,cm \). Trojúhelník \( XYZ \) má strany \( XY = 14\,cm \), \( YZ = 18\,cm \), \( XZ = 16\,cm \). Určete, zda jsou trojúhelníky podobné a jaký je poměr podobnosti.
Poměry jsou stejné, tedy trojúhelníky jsou podobné podle \(SSS\).
Poměr podobnosti je \(2\).
30. Trojúhelník \( ABC \) má strany \( AB = 6\,cm \), \( BC = 10\,cm \), \( AC = 8\,cm \). Trojúhelník \( DEF \) má strany \( DE = 9\,cm \), \( EF = 15\,cm \), \( DF = 12\,cm \). Jsou tyto trojúhelníky podobné? Zdůvodněte.
