Slovní úlohy – střední škola

Řešení příkladu:

Počet obyvatel roste o \(3\) % ročně, což znamená, že každý rok vynásobíme počet obyvatel číslem \(1 + \frac{3}{100} = 1{,}03\).

Po 5 letech bude počet obyvatel

\(N = 12000 \times 1{,}03^5\)

Vypočítáme mocninu:

\(1{,}03^5 = 1{,}159274\) (zaokrouhleno na \(6\) desetinných míst)

Počet obyvatel po \(5\) letech tedy bude

\(N = 12000 \times 1{,}159274 = 13911{,}29\)

Zaokrouhleno na celé osoby, bude ve městě přibližně \(13 911\) obyvatel.

Řešení příkladu:

Jana má již našetřeno \(5 000\) Kč. Potřebuje tedy doplatit rozdíl

\(12\,000 – 5\,000 = 7\,000\) Kč.

Každý měsíc si odkládá \(800\) Kč, proto počet měsíců \(x\) je řešením rovnice

\(800 \times x \geq 7\,000\)

Vydělíme obě strany \(800\):

\(x \geq \frac{7\,000}{800} = 8{,}75\)

Protože počet měsíců musí být celé číslo, Jana bude potřebovat \(9\) měsíců, aby si mohla kolo koupit.

Řešení příkladu:

Průměrná rychlost je vzdálenost dělená časem:

\(v = \frac{s}{t} = \frac{360}{4} = 90 \text{ km/h}\)

Pokud zvýší rychlost o \(15\) km/h, nová rychlost bude

\(v_{\text{nová}} = 90 + 15 = 105 \text{ km/h}\)

Čas potřebný k ujetí \(360\) km novou rychlostí je

\(t_{\text{nové}} = \frac{s}{v_{\text{nová}}} = \frac{360}{105} \approx 3{,}43 \text{ hodiny}\)

To je přibližně \(3\) hodiny a \(26\) minut.

Řešení příkladu:

Označme třetí číslo jako \(x\).

Druhé číslo je o \(6\) větší než třetí, tedy \(x + 6\).

Průměr tří čísel je \(24\), tedy

\(\frac{15 + (x + 6) + x}{3} = 24\)

Sečteme v čitateli:

\(\frac{15 + x + 6 + x}{3} = 24 \Rightarrow \frac{21 + 2x}{3} = 24\)

Vynásobíme obě strany rovnice \(3\):

\(21 + 2x = 72\)

Odečteme \(21\):

\(2x = 51\)

Dělíme \(2\):

\(x = 25{,}5\)

Třetí číslo je 25,5, druhé číslo je \(25{,}5 + 6 = 31{,}5\), první číslo je \(15\).

Tedy čísla jsou: \(15, 31,5\) a \(25,5\).

Řešení příkladu:

Zisk za jeden prodaný kus je rozdíl mezi prodejní cenou a náklady:

\(z = 250 – 150 = 100\) Kč

Firma chce dosáhnout celkového zisku \(20 000\) Kč, tedy počet prodaných kusů \(x\) musí splnit

\(100 \times x = 20\,000\)

Dělíme obě strany rovnice \(100\):

\(x = \frac{20\,000}{100} = 200\)

Firma musí prodat \(200\) kusů, aby dosáhla požadovaného zisku.

Řešení příkladu:

Každý den zbude \(100\% – 10\% = 90\%\) vody, tj. v desetinném tvaru \(0{,}9\) násobku předchozího množství.

Po \(7\) dnech bude voda:

\(V = 800 \times 0{,}9^7\)

Vypočítáme \(0{,}9^7\):

\(0{,}9^7 \approx 0{,}4782969\)

Voda po \(7\) dnech je

\(V = 800 \times 0{,}4782969 \approx 382{,}64\) litrů

V nádrži zbude přibližně \(383\) litrů vody.

Řešení příkladu:

První den nasbíraly \(10\) korálů.

Druhý den o \(5\) více než první den, tedy

\(10 + 5 = 15\) korálů.

Třetí den o 3 méně než druhý den, tedy

\(15 – 3 = 12\) korálů.

Čtvrtý den o \(2\) více než třetí den, tedy

\(12 + 2 = 14\) korálů.

Celkem nasbíraly

\(10 + 15 + 12 + 14 = 51\) korálů.

Děti nasbíraly za čtyři dny \(51\) korálů.

Řešení příkladu:

Výše úroku je

\(U = 50\,000 \times \frac{5}{100} = 2\,500\) Kč

Celkem tedy po roce zaplatí

\(50\,000 + 2\,500 = 52\,500\) Kč

Lukáš zaplatí \(52 500\) Kč.

Řešení příkladu:

Celkový počet kuliček je

\(8 + 6 + 4 = 18\)

Počet modrých kuliček je \(6\).

Pravděpodobnost, že bude modrá, je podíl počtu modrých a celkového počtu:

\(P = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\)

Pravděpodobnost je tedy \(\frac{1}{3}\).

Řešení příkladu:

Počet úplných skupin je celočíselný podíl

\(\lfloor \frac{28}{5} \rfloor = 5\)

Počet žáků v 5 skupinách je

\(5 \times 5 = 25\)

Zbývající žáci jsou

\(28 – 25 = 3\)

Bez skupiny zůstávají \(3\) žáci.

Řešení příkladu:

Procento, které Jana získala z ceny nové lednice, spočítáme podle vzorce

\(\text{procento} = \frac{\text{cena staré lednice}}{\text{cena nové lednice}} \times 100\%\)

Dosadíme hodnoty:

\(\frac{5\,000}{18\,000} \times 100\% = \frac{5\,000}{18\,000} \times 100\% \approx 27{,}78\%\)

Jana získala prodejem staré lednice přibližně \(27,78\) % ceny nové lednice.

Řešení příkladu:

Obvod obdélníku je dán vzorcem

\(O = 2 \times (délka + šířka)\)

Dosadíme hodnoty:

\(O = 2 \times (15 + 8) = 2 \times 23 = 46\) metrů

Petr bude potřebovat 46 metrů plotu.

Řešení příkladu:

Počet dní potřebných k přečtení celé knihy je počet stran dělený počtem stran za den:

\(d = \frac{320}{20} = 16\)

Pavel dočte knihu za \(16\) dní.

Řešení příkladu:

Čas \(t\) spočítáme podle vzorce

\(t = \frac{s}{v}\)

Dosadíme hodnoty:

\(t = \frac{180}{90} = 2\) hodiny

Cesta vlakem trvá \(2\) hodiny.

Řešení příkladu:

Označíme věk syna nyní jako \(x\) let.

Věk otce nyní je tedy \(x + 28\).

Za 5 let bude věk syna \(x + 5\) a věk otce \(x + 28 + 5 = x + 33\).

Podle zadání bude otec dvakrát starší než syn:

\(x + 33 = 2(x + 5)\)

Rozepíšeme a upravíme rovnici:

\(x + 33 = 2x + 10 \Rightarrow 33 – 10 = 2x – x \Rightarrow 23 = x\)

Věk syna nyní je 23 let.

Věk otce nyní je \(23 + 28 = 51\) let.

Tedy otec je \(51\) let a syn \(23\) let.

Řešení příkladu:

Počet sušenek v každé krabičce je

\(\frac{24}{6} = 4\)

V každé krabičce bude \(4\) sušenky.

Řešení příkladu:

Počet vadných kusů je

\(5000 \times \frac{2}{100} = 100\)

Počet kusů bez vady je

\(5000 – 100 = 4900\)

Firma vyrobila \(4900\) kusů bez vady.

Řešení příkladu:

Průměrná rychlost je

\(v = \frac{240}{3} = 80 \text{ km/h}\)

Vzdálenost za 5 hodin při stejné rychlosti je

\(s = v \times t = 80 \times 5 = 400 \text{ km}\)

Auto ujede za \(5\) hodin \(400\) km.

Řešení příkladu:

Chybějící částka je

\(12\,000 – 4\,800 = 7\,200\)

Počet měsíců potřebných k našetření této částky je

\(x = \frac{7\,200}{1\,200} = 6\)

Petr si může mobil koupit za \(6\) měsíců.

Řešení příkladu:

Počet stromů vysázených za 20 dní je

\(8 \times 20 = 160\)

Celkový počet stromů po 20 dnech bude

\(150 + 160 = 310\)

V lese bude \(310\) stromů.

Řešení příkladu:

Vzorec složeného úroku je \(K = K_0 \times (1 + p)^n\), kde \(K_0\) je počáteční kapitál, \(p\) je roční úroková sazba a \(n\) počet let.

\(K = 50\,000 \times (1 + \frac{4}{100})^8 = 50\,000 \times 1{,}04^8\)

Vypočítáme \(1{,}04^8 \approx 1{,}3686\)

Celková hodnota investice bude přibližně

\(50\,000 \times 1{,}3686 = 68\,430\) Kč.

Řešení příkladu:

Rychlost se zvýšila o \(20\) %: \(90 \times 1{,}20 = 108\) km/h.

Spotřeba se zvýšila o \(25\) %: \(7 \times 1{,}25 = 8{,}75\) litrů na 100 km.

Spotřeba na \(300\) km bude

\(8{,}75 \times 3 = 26{,}25\) litrů.

Řešení příkladu:

Označme počet prvního typu \(x\), druhého \(y\).

Máme systém rovnic:

\(x + y = 200\)

Zisk za první kus: \(130 – 100 = 30\) Kč, za druhý: \(190 – 150 = 40\) Kč.

Celkový zisk:

\(30x + 40y = 15\,000\)

Vyjádříme \(y = 200 – x\) a dosadíme:

\(30x + 40(200 – x) = 15\,000 \Rightarrow 30x + 8\,000 – 40x = 15\,000 \Rightarrow -10x = 7\,000\)

\(x = -700\) (neplatné, proto zkusíme jiný přístup – správný směr je překontrolovat zadání, pravděpodobně v zadání je požadavek na minimální zisk, nebo počet kusů nemusí být přesně \(200\), upravme zadání na „celkem nejméně \(200\) kusů“.

Pokud chceš, mohu příklad upravit nebo vytvořit jiný.

Řešení příkladu:

Roční úroková sazba je \(3,5\) %, úroky se připisují kvartálně, tedy \(4×\) ročně.

Kvartální úroková sazba je \(\frac{3{,}5}{4} = 0{,}875\%\).

Počet kvartálů za 3 roky je \(3 \times 4 = 12\).

Vzorec složeného úroku:

\(K = 100\,000 \times (1 + 0{,}00875)^{12}\)

\(1{,}00875^{12} \approx 1{,}1096\)

Celková částka bude

\(100\,000 \times 1{,}1096 = 110\,960\) Kč.

Řešení příkladu:

Označme počet prémiových zákazníků \(x\).

Počet základních je \(2x\), počet středních je \(x – 50\).

Součet zákazníků:

\(x + 2x + (x – 50) = 850 \Rightarrow 4x – 50 = 850 \Rightarrow 4x = 900 \Rightarrow x = 225\)

Počet základních: \(2 \times 225 = 450\)

Počet středních: \(225 – 50 = 175\)

Celkové příjmy:

\(450 \times 300 + 175 \times 500 + 225 \times 800\)

= \(135\,000 + 87\,500 + 180\,000 = 402\,500\) Kč.

Řešení příkladu:

Obvod kruhu je \(O = 2 \pi r\).

\(62{,}8 = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{62{,}8}{2 \pi} \approx \frac{62{,}8}{6{,}2832} = 10 \text{ cm}\).

Obsah kruhu je

\(S = \pi r^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^2\).

Řešení příkladu:

Vztlaková síla je dána vzorcem \(F_v = \rho g V\), kde \(\rho\) je hustota kapaliny, \(g = 9{,}81 \text{ m/s}^2\) je tíhové zrychlení a \(V\) objem tělesa.

\(F_v = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}05 = 490{,}5 \text{ N}\).

Řešení příkladu:

Označme množství vody v druhé nádrži \(x\).

První má \(x + 300\).

Celkem:

\(x + (x + 300) = 1500 \Rightarrow 2x + 300 = 1500 \Rightarrow 2x = 1200 \Rightarrow x = 600\)

První nádrž má \(600 + 300 = 900\) litrů, druhá \(600\) litrů.

Řešení příkladu:

Hmotnost \(m = 4\) kg, tíhová síla \(F_g = m \times g = 4 \times 9{,}81 = 39{,}24\) N.

Pokud působí síla \(39,24\) N a není rovna tíze, zrychlení \(a\) lze vypočítat z \(F = m (g + a)\).

Jelikož síla je rovna tíze, \(a = 0\).

Řešení příkladu:

Počet obyvatel klesá o \(1,5\) % ročně, tedy každým rokem vynásobíme počáteční počet číslem \(1 – \frac{1{,}5}{100} = 0{,}985\).

Za 10 let bude

\(N = 10\,000 \times 0{,}985^{10}\)

\(0{,}985^{10} \approx 0{,}8607\)

Počet obyvatel bude

\(10\,000 \times 0{,}8607 = 8\,607\)