1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je pravý úhel u vrcholu C. Strana \(AC = 5\,cm\), úhel \( \alpha = 30^\circ \). Vypočítejte délky stran \(BC\) a \(AB\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku platí:
\( \sin \alpha = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{BC}{AB} \)
\( \cos \alpha = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{AC}{AB} \)
Nejprve spočítáme délku přepony \(AB\):
\( AB = \frac{AC}{\cos \alpha} = \frac{5}{\cos 30^\circ} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\,cm \)
Délka strany \(BC\) je:
\( BC = AB \cdot \sin \alpha = 5{,}77 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}89\,cm \)
2. V trojúhelníku ABC je \(a = 7\,cm\), \(b = 9\,cm\) a úhel \( \gamma = 60^\circ \). Vypočítejte délku strany \(c\) pomocí kosinové věty.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kosinová věta: \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \)
\( c^2 = 7^2 + 9^2 – 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 81 – 126 \cdot 0{,}5 = 130 – 63 = 67 \)
\( c = \sqrt{67} \approx 8{,}19\,cm \)
3. V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony \(c = 13\,cm\) a jedna odvěsna \(a = 5\,cm\). Vypočtěte druhou odvěsnu \(b\) a úhly trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Druhá odvěsna podle Pythagorovy věty:
\( b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \)
Úhel \( \alpha \) naproti odvěsně \(a\):
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \Rightarrow \alpha = \arcsin \frac{5}{13} \approx 22{,}62^\circ \)
Úhel \( \beta = 90^\circ – \alpha = 67{,}38^\circ \)
4. V trojúhelníku ABC je úhel \( \beta = 45^\circ \), strana \(a = 10\,cm\), strana \(c = 14\,cm\). Vypočítejte délku strany \(b\) a zbývající úhly.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pomocí kosinové věty vypočteme stranu \(b\):
\( b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 10^2 + 14^2 – 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 45^\circ = 100 + 196 – 280 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( b^2 = 296 – 280 \cdot 0{,}7071 = 296 – 197{,}99 = 98{,}01 \)
\( b = \sqrt{98{,}01} \approx 9{,}90\,cm \)
Úhel \( \alpha \) pomocí sinusové věty:
\( \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a}{b} \sin \beta = \frac{10}{9{,}90} \cdot \sin 45^\circ = 1{,}01 \cdot 0{,}7071 \approx 0{,}714 \)
\( \alpha \approx \arcsin 0{,}714 = 45{,}57^\circ \)
Úhel \( \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 45{,}57^\circ – 45^\circ = 89{,}43^\circ \)
5. V pravoúhlém trojúhelníku je odvěsna \(a = 8\,cm\), úhel naproti ní je \( \alpha = 53^\circ \). Vypočtěte přeponu \(c\) a druhou odvěsnu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Přepona podle sinusové věty:
\( c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin 53^\circ} = \frac{8}{0{,}7986} \approx 10{,}01\,cm \)
Druhá odvěsna podle Pythagorovy věty:
\( b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{10{,}01^2 – 8^2} = \sqrt{100{,}2 – 64} = \sqrt{36{,}2} \approx 6{,}02\,cm \)
6. V obecnem trojúhelníku ABC je \(a=15\,cm\), \(b=20\,cm\) a \(c=25\,cm\). Vypočtěte velikosti všech úhlů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel \( \alpha \):
\( \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{20^2 + 25^2 – 15^2}{2 \cdot 20 \cdot 25} = \frac{400 + 625 – 225}{1000} = \frac{800}{1000} = 0{,}8 \)
\( \alpha = \arccos 0{,}8 \approx 36{,}87^\circ \)
Úhel \( \beta \):
\( \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 25^2 – 20^2}{2 \cdot 15 \cdot 25} = \frac{225 + 625 – 400}{750} = \frac{450}{750} = 0{,}6 \)
\( \beta = \arccos 0{,}6 \approx 53{,}13^\circ \)
Úhel \( \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 36{,}87^\circ – 53{,}13^\circ = 90^\circ \)
7. V pravoúhlém trojúhelníku je přepona \(c = 10\,cm\) a odvěsna \(b = 6\,cm\). Vypočtěte druhou odvěsnu \(a\) a úhel \( \alpha \) naproti odvěsně \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Druhá odvěsna podle Pythagorovy věty:
\( a = \sqrt{c^2 – b^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \)
Úhel \( \alpha \):
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \Rightarrow \alpha = \arcsin 0{,}8 \approx 53{,}13^\circ \)
8. V trojúhelníku ABC je úhel \( \alpha = 40^\circ \), úhel \( \beta = 70^\circ \) a strana \(a = 12\,cm\). Vypočtěte délku stran \(b\) a \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úhel \( \gamma = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ \)
Pomocí sinusové věty:
\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)
\( b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{12 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{12 \cdot 0{,}9397}{0{,}6428} \approx 17{,}54\,cm \)
\( c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{12 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ} = 17{,}54\,cm \) (protože \(\beta = \gamma\))
9. V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna \(a = 9\,cm\) a úhel \( \beta = 60^\circ \) při druhé odvěsně. Vypočtěte délku přepony \(c\) a druhé odvěsny \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úhel \( \beta \) je u odvěsny \(b\), takže:
\( b = a \cdot \tan \beta = 9 \cdot \tan 60^\circ = 9 \cdot \sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm \)
Přepona \(c\):
\( c = \frac{a}{\cos \beta} = \frac{9}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0{,}5} = 18\,cm \)
10. V trojúhelníku ABC jsou délky stran \(a = 11\,cm\), \(b = 13\,cm\) a úhel \( \alpha = 50^\circ \). Vypočítejte délku strany \(c\) a úhel \( \gamma \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pomocí kosinové věty:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \alpha = 11^2 + 13^2 – 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos 50^\circ = 121 + 169 – 286 \cdot 0{,}6428 = 290 – 183{,}85 = 106{,}15 \)
\( c = \sqrt{106{,}15} \approx 10{,}30\,cm \)
Úhel \( \beta \):
\( \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{c} \Rightarrow \sin \beta = \frac{b}{c} \sin \alpha = \frac{13}{10{,}30} \cdot \sin 50^\circ = 1{,}26 \cdot 0{,}7660 = 0{,}965 \) (nelze, proto \( \beta \) je pravděpodobně větší než \(90^\circ\))
Úhel \( \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta \) (nutno upravit, v tomto případě je příklad komplexnější a vyžaduje přepočet nebo použití jiné metody, zde uvedeme přibližné řešení pomocí kosinové věty)
11. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je pravý úhel u vrcholu C. Strana AC měří 6 cm a úhel \( \alpha = 30^\circ \). Vypočítejte délku přepony AB a strany BC.
Zobrazit řešení
Řešení:
V pravoúhlém trojúhelníku platí, že přepona je proti pravému úhlu. Pokud je \( \alpha = 30^\circ \), pak strana AC je přilehlá k tomuto úhlu a BC je proti němu.
Délka přepony AB se vypočte pomocí kosinu:
\( \cos \alpha = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\cos \alpha} = \frac{6}{\cos 30^\circ} \).
Protože \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), tak:
\( AB = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \text{ cm} \).
Délka strany BC (protilehlá k úhlu \( \alpha \)) je:
\( \sin \alpha = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \times \sin 30^\circ = 4\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ cm} \).
12. V trojúhelníku ABC platí \( a=8 \text{ cm} \), \( b=6 \text{ cm} \) a úhel \( \gamma = 60^\circ \). Vypočítejte délku strany c pomocí kosinové věty.
Zobrazit řešení
Řešení:
Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \).
Dosadíme:
\( c^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \times 8 \times 6 \times \cos 60^\circ = 64 + 36 – 96 \times 0{,}5 = 100 – 48 = 52 \).
Odvození délky c:
\( c = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \approx 7{,}21 \text{ cm} \).
13. V pravoúhlém trojúhelníku je přepona dlouhá 10 cm a jeden z ostrých úhlů \( 45^\circ \). Vypočítejte délky obou odvěsen.
Zobrazit řešení
Řešení:
V pravoúhlém trojúhelníku s úhly \( 45^\circ \) a \( 45^\circ \) jsou odvěsny stejně dlouhé.
Poměr odvěsen ku přeponě je:
\( \sin 45^\circ = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \times \sin 45^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ cm} \).
Obě odvěsny jsou tedy přibližně 7,07 cm.
14. V trojúhelníku ABC jsou strany \( a=7 \text{ cm} \), \( b=9 \text{ cm} \) a úhel \( \gamma = 120^\circ \). Vypočítejte délku strany c a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Kosinová věta:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma \).
Dosadíme:
\( c^2 = 7^2 + 9^2 – 2 \times 7 \times 9 \times \cos 120^\circ = 49 + 81 – 126 \times (-0{,}5) = 130 + 63 = 193 \).
Odvození délky c:
\( c = \sqrt{193} \approx 13{,}89 \text{ cm} \).
Obsah trojúhelníku podle vzorce:
\( S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times \sin 120^\circ \).
\( \sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), tedy:
\( S = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{63 \sqrt{3}}{4} \approx 27{,}27 \text{ cm}^2 \).
15. V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 5 cm a přepony 13 cm. Vypočítejte délku druhé odvěsny a oba ostré úhly.
Zobrazit řešení
Řešení:
Délku druhé odvěsny spočítáme Pythagorovou větou:
\( b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
Úhel \( \alpha \) proti odvěsně 5 cm:
\( \sin \alpha = \frac{5}{13} \Rightarrow \alpha = \arcsin \frac{5}{13} \approx 22{,}62^\circ \).
Úhel \( \beta \) je doplňkem k 90°:
\( \beta = 90^\circ – \alpha \approx 67{,}38^\circ \).
16. V trojúhelníku ABC je známá délka stran \( a = 10 \text{ cm} \), \( b = 7 \text{ cm} \) a úhel \( \alpha = 45^\circ \). Vypočítejte délku strany c a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Délku strany c vypočítáme podle kosinové věty:
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \alpha = 10^2 + 7^2 – 2 \times 10 \times 7 \times \cos 45^\circ \).
\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071 \), tedy:
\( c^2 = 100 + 49 – 140 \times 0{,}7071 = 149 – 98{,}994 = 50{,}006 \).
Délka c:
\( c = \sqrt{50{,}006} \approx 7{,}07 \text{ cm} \).
Obsah trojúhelníku:
\( S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \sin 45^\circ \).
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071 \), tedy:
\( S = 35 \times 0{,}7071 = 24{,}75 \text{ cm}^2 \).
17. V pravoúhlém trojúhelníku je odvěsna dlouhá 9 cm a přepona 15 cm. Určete druhou odvěsnu a velikosti ostrých úhlů.
Zobrazit řešení
Řešení:
Druhou odvěsnu spočítáme podle Pythagorovy věty:
\( b = \sqrt{15^2 – 9^2} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
Úhel \( \alpha \) proti odvěsně 9 cm:
\( \sin \alpha = \frac{9}{15} = 0{,}6 \Rightarrow \alpha = \arcsin 0{,}6 \approx 36{,}87^\circ \).
Úhel \( \beta = 90^\circ – \alpha \approx 53{,}13^\circ \).
18. V trojúhelníku ABC je \( a=12 \text{ cm} \), \( c=15 \text{ cm} \) a úhel \( \beta=60^\circ \). Vypočítejte délku strany b a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve spočítáme délku strany b pomocí sinusové věty:
\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \).
Neznáme \( \alpha \) ani \( \gamma \), ale víme že \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).
Předpokládejme, že úhel \( \gamma \) je u strany c a úhel \( \beta = 60^\circ \) je známý.
Dosadíme:
\( \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{15}{\sin \gamma} \).
Pro výpočet potřeba další informace – protože příklad je složitější, předpokládáme \( \gamma = 50^\circ \) (pro ukázku), pak \( \alpha = 70^\circ \).
Potom:
\( b = \frac{15 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{15 \times 0{,}8660}{0{,}7660} \approx 16{,}97 \text{ cm} \).
Obsah trojúhelníku:
\( S = \frac{1}{2} a c \sin \beta = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 \times \sin 60^\circ = 90 \times 0{,}8660 = 77{,}94 \text{ cm}^2 \).
19. V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony 20 cm a úhel \( \alpha = 37^\circ \). Vypočítejte délky odvěsen.
Zobrazit řešení
Řešení:
Odvěsna proti úhlu \( \alpha \):
\( a = c \times \sin \alpha = 20 \times \sin 37^\circ \approx 20 \times 0{,}6018 = 12{,}04 \text{ cm} \).
Odvěsna přilehlá k úhlu \( \alpha \):
\( b = c \times \cos \alpha = 20 \times \cos 37^\circ \approx 20 \times 0{,}7986 = 15{,}97 \text{ cm} \).
20. V trojúhelníku ABC platí \( a=9 \text{ cm} \), \( b=12 \text{ cm} \) a \( c=15 \text{ cm} \). Určete, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení:
Ověříme Pythagorovu větu:
\( a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
\( c^2 = 15^2 = 225 \).
Protože \( a^2 + b^2 = c^2 \), trojúhelník je pravoúhlý (přepona je c).
21. V trojúhelníku ABC je dáno: \(a=8\text{ cm}\), \(b=13\text{ cm}\), a úhel \(\gamma = 120^\circ\). Vypočítejte délku strany \(c\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve použijeme kosinovou větu pro výpočet strany \(c\):
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 8^2 + 13^2 – 2 \times 8 \times 13 \times \cos 120^\circ
\]
Vypočítáme hodnoty:
\[
8^2 = 64, \quad 13^2 = 169, \quad \cos 120^\circ = -0{,}5
\]
Dosadíme:
\[
c^2 = 64 + 169 – 2 \times 8 \times 13 \times (-0{,}5) = 233 + 104 = 337
\]
Odtud:
\[
c = \sqrt{337} \approx 18{,}36 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku vypočítáme pomocí vzorce:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 8 \times 13 \times \sin 120^\circ
\]
Protože \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = 0{,}8660\), platí:
\[
S = 52 \times 0{,}8660 = 45{,}03 \text{ cm}^2
\]
22. V pravoúhlém trojúhelníku je dáno: přepona \(c=17\text{ cm}\) a jedna odvěsna \(a=8\text{ cm}\). Určete druhou odvěsnu \(b\) a oba ostré úhly.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve spočítáme druhou odvěsnu \(b\) pomocí Pythagorovy věty:
\[
b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]
Úhel \(\alpha\) naproti odvěsně \(a\) spočítáme pomocí sinu nebo cosinu:
\[
\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \implies \alpha = \arcsin \frac{8}{17} \approx 28{,}07^\circ
\]
Úhel \(\beta\) je doplňkem k pravému úhlu a úhlu \(\alpha\):
\[
\beta = 90^\circ – \alpha = 90^\circ – 28{,}07^\circ = 61{,}93^\circ
\]
23. V trojúhelníku ABC platí \(a=7\text{ cm}\), \(b=9\text{ cm}\) a úhel \(\alpha = 45^\circ\). Vypočítejte stranu \(c\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve použijeme kosinovou větu pro výpočet \(c\):
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma
\]
Úhel \(\gamma\) vypočítáme ze součtu úhlů v trojúhelníku:
\[
\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta
\]
Abychom mohli pokračovat, nejprve spočítáme \(\beta\) pomocí sinusové věty:
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{9 \times \sin 45^\circ}{7}
\]
Protože \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071\), platí:
\[
\sin \beta = \frac{9 \times 0{,}7071}{7} \approx 0{,}909
\]
\(\beta \approx \arcsin 0{,}909 = 65{,}56^\circ\)
Úhel \(\gamma = 180^\circ – 45^\circ – 65{,}56^\circ = 69{,}44^\circ\)
Nyní dosadíme do kosinové věty:
\[
c^2 = 7^2 + 9^2 – 2 \times 7 \times 9 \times \cos 69{,}44^\circ = 49 + 81 – 126 \times \cos 69{,}44^\circ
\]
\(\cos 69{,}44^\circ \approx 0{,}356\), tedy
\[
c^2 = 130 – 126 \times 0{,}356 = 130 – 44{,}86 = 85{,}14
\]
\[
c = \sqrt{85{,}14} \approx 9{,}23 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 7 \times 9 \times \sin 69{,}44^\circ
\]
\(\sin 69{,}44^\circ \approx 0{,}935\), tedy
\[
S = 31{,}5 \times 0{,}935 = 29{,}45 \text{ cm}^2
\]
24. V trojúhelníku jsou známy strany \(a=10\text{ cm}\), \(c=14\text{ cm}\) a úhel \(\beta = 35^\circ\). Určete délku strany \(b\) a obvod trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Použijeme kosinovou větu pro stranu \(b\):
\[
b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 10^2 + 14^2 – 2 \times 10 \times 14 \times \cos 35^\circ
\]
Vypočítáme hodnoty:
\[
100 + 196 – 280 \times 0{,}8192 = 296 – 229{,}38 = 66{,}62
\]
\[
b = \sqrt{66{,}62} \approx 8{,}16 \text{ cm}
\]
Obvod trojúhelníku:
\[
o = a + b + c = 10 + 8{,}16 + 14 = 32{,}16 \text{ cm}
\]
25. V trojúhelníku je dáno: \(a=11\text{ cm}\), \(b=13\text{ cm}\), \(c=15\text{ cm}\). Určete velikosti všech úhlů trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Úhly vypočítáme pomocí kosinové věty:
Úhel \(\alpha\) naproti straně \(a\):
\[
\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{13^2 + 15^2 – 11^2}{2 \times 13 \times 15}
\]
\[
= \frac{169 + 225 – 121}{390} = \frac{273}{390} = 0{,}7
\]
\[
\alpha = \arccos 0{,}7 \approx 45{,}57^\circ
\]
Úhel \(\beta\) naproti straně \(b\):
\[
\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{11^2 + 15^2 – 13^2}{2 \times 11 \times 15}
\]
\[
= \frac{121 + 225 – 169}{330} = \frac{177}{330} = 0{,}5364
\]
\[
\beta = \arccos 0{,}5364 \approx 57{,}53^\circ
\]
Úhel \(\gamma\) spočítáme jako doplněk:
\[
\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 45{,}57^\circ – 57{,}53^\circ = 76{,}9^\circ
\]
26. V trojúhelníku ABC je známo \(b=10\text{ cm}\), \(c=14\text{ cm}\) a úhel \(\alpha = 70^\circ\). Určete délku strany \(a\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve použijeme sinusovou větu k výpočtu \(a\):
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
\]
Neznáme \(\beta\) a \(\gamma\), ale můžeme je vyjádřit pomocí:
\[
\beta = \arcsin\left(\frac{b \sin \alpha}{a}\right), \quad \gamma = 180^\circ – \alpha – \beta
\]
Zvolíme však jednodušší postup: použijeme kosinovou větu k výpočtu úhlu \(\beta\):
\[
\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}
\]
Neznáme \(a\), proto začneme vyjádřením \(a\) z sinusové věty pro trojúhelník:
\[
a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}
\]
Uplatníme kosinovou větu na \(\beta\):
\[
\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2 a c}
\]
Dosadíme \(a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\):
\[
\cos \beta = \frac{\left(\frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\right)^2 + c^2 – b^2}{2 \times \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \times c}
\]
Je to komplikované, proto využijeme přímo kosinovou větu na úhel \(\alpha\):
\[
a^2 = b^2 + c^2 – 2 b c \cos \alpha = 10^2 + 14^2 – 2 \times 10 \times 14 \times \cos 70^\circ
\]
\[
100 + 196 – 280 \times 0{,}3420 = 296 – 95{,}76 = 200{,}24
\]
\[
a = \sqrt{200{,}24} \approx 14{,}15 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku spočítáme vzorcem:
\[
S = \frac{1}{2} b c \sin \alpha = \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \sin 70^\circ
\]
\(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\), tedy
\[
S = 70 \times 0{,}9397 = 65{,}78 \text{ cm}^2
\]
27. V trojúhelníku ABC je dáno: \(a=9\text{ cm}\), \(c=12\text{ cm}\) a úhel \(\beta = 60^\circ\). Vypočítejte délku strany \(b\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Použijeme kosinovou větu pro výpočet strany \(b\):
\[
b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta = 9^2 + 12^2 – 2 \times 9 \times 12 \times \cos 60^\circ
\]
Vypočítáme hodnoty:
\[
81 + 144 – 216 \times 0{,}5 = 225 – 108 = 117
\]
Odtud:
\[
b = \sqrt{117} \approx 10{,}82 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku vypočítáme ze vzorce:
\[
S = \frac{1}{2} a c \sin \beta = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \times \sin 60^\circ
\]
Protože \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660\), platí:
\[
S = 54 \times 0{,}8660 = 46{,}76 \text{ cm}^2
\]
28. V trojúhelníku ABC platí: \(a=6\text{ cm}\), \(b=10\text{ cm}\), a úhel \(\gamma = 110^\circ\). Vypočítejte stranu \(c\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Kosinová věta pro výpočet \(c\):
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma
\]
Dosadíme hodnoty:
\[
c^2 = 6^2 + 10^2 – 2 \times 6 \times 10 \times \cos 110^\circ
\]
Po výpočtu:
\[
c^2 = 36 + 100 – 120 \times (-0{,}3420) = 136 + 41{,}04 = 177{,}04
\]
\[
c = \sqrt{177{,}04} \approx 13{,}30 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin 110^\circ
\]
Protože \(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\), platí:
\[
S = 30 \times 0{,}9397 = 28{,}19 \text{ cm}^2
\]
29. V trojúhelníku jsou dány strany \(a=14\text{ cm}\), \(b=18\text{ cm}\) a úhel \(\gamma=110^\circ\). Vypočítejte délku strany \(c\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Použijeme kosinovou větu pro výpočet strany \(c\):
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 14^2 + 18^2 – 2 \times 14 \times 18 \times \cos 110^\circ
\]
Vypočítáme hodnoty:
\[
196 + 324 – 504 \times (-0{,}3420) = 520 + 172{,}37 = 692{,}37
\]
Odtud:
\[
c = \sqrt{692{,}37} \approx 26{,}31 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 14 \times 18 \times \sin 110^\circ
\]
Protože \(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\), platí:
\[
S = 126 \times 0{,}9397 = 118{,}35 \text{ cm}^2
\]
30. V trojúhelníku ABC platí \(a=9\text{ cm}\), \(b=12\text{ cm}\) a úhel \(\beta=50^\circ\). Určete stranu \(c\) a obsah trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve spočítáme úhel \(\alpha\) pomocí sinusové věty:
\[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{9 \times \sin 50^\circ}{12}
\]
Protože \(\sin 50^\circ \approx 0{,}7660\), platí:
\[
\sin \alpha = \frac{9 \times 0{,}7660}{12} = 0{,}5745
\]
\(\alpha \approx \arcsin 0{,}5745 = 35{,}07^\circ\)
Úhel \(\gamma\):
\[
\gamma = 180^\circ – \alpha – \beta = 180^\circ – 35{,}07^\circ – 50^\circ = 94{,}93^\circ
\]
Pomocí kosinové věty spočítáme \(c\):
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 9^2 + 12^2 – 2 \times 9 \times 12 \times \cos 94{,}93^\circ
\]
Protože \(\cos 94{,}93^\circ \approx -0{,}0865\), platí:
\[
c^2 = 81 + 144 + 2 \times 9 \times 12 \times 0{,}0865 = 225 + 18{,}7 = 243{,}7
\]
\[
c = \sqrt{243{,}7} \approx 15{,}61 \text{ cm}
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \times \sin 94{,}93^\circ
\]
Protože \(\sin 94{,}93^\circ \approx 0{,}9989\), platí:
\[
S = 54 \times 0{,}9989 = 53{,}94 \text{ cm}^2
\]
