1. Zjednodušte výraz: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} – \frac{1}{6} + \frac{1}{18} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve najdeme společný jmenovatel pro všechny zlomky. Nejmenší společný násobek čísel 3, 9, 6 a 18 je 18.
Každý zlomek převedeme na jmenovatele 18: \(\frac{1}{3} = \frac{6}{18}\), \(\frac{2}{9} = \frac{4}{18}\), \(\frac{1}{6} = \frac{3}{18}\), \(\frac{1}{18} = \frac{1}{18}\).
Sečteme a odečteme čitatele: \(6 + 4 – 3 + 1 = 8\). Tak dostaneme \(\frac{8}{18}\).
Zlomek \(\frac{8}{18}\) ještě zkrátíme dělením čitatele i jmenovatele číslem 2, což dostaneme \(\frac{4}{9}\).
Výsledek zjednodušení je tedy zlomek \(\frac{4}{9}\).
2. Zjednodušte výraz: \( \sqrt{50} + 3\sqrt{8} – 2\sqrt{18} + \sqrt{2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve odmocniny rozložíme na součin menší odmocniny a čísla: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\).
Dále: \(3\sqrt{8} = 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Také: \(2\sqrt{18} = 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Poslední člen už upravovat nemusíme: \(\sqrt{2}\).
Sečteme a odečteme koeficienty u \(\sqrt{2}\): \(5 + 6 – 6 + 1 = 6\).
Výsledek zjednodušení je tedy \(6\sqrt{2}\).
3. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^5}{x^2} + x^3 – \frac{2x^4}{x} + 3x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
První zlomek zjednodušíme podle pravidla o dělení mocnin se stejným základem: \(\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3\).
Druhý člen je \(x^3\), třetí zlomek upravíme stejně: \(\frac{2x^4}{x} = 2x^{4-1} = 2x^3\).
Celý výraz tedy je: \(x^3 + x^3 – 2x^3 + 3x^2\).
Koeficienty u \(x^3\) sečteme a odečteme: \(1 + 1 – 2 = 0\). Zůstane nám tedy jen \(3x^2\).
Výsledek zjednodušení je tedy \(3x^2\).
4. Zjednodušte výraz: \( \frac{3}{4} – \frac{1}{6} + \frac{5}{12} – \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve najdeme společný jmenovatel všech zlomků. Nejmenší společný násobek čísel 4, 6, 12, 3 a 2 je 12.
Každý zlomek převedeme na jmenovatele 12: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\), \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\), \(\frac{5}{12} = \frac{5}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\), \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\).
Sečteme a odečteme čitatele: \(9 – 2 + 5 – 4 + 6 = 14\). Výsledkem je \(\frac{14}{12}\).
Zlomek ještě zkrátíme dělením čitatele i jmenovatele číslem 2, dostaneme \(\frac{7}{6}\).
Výsledek zjednodušení je tedy zlomek \(\frac{7}{6}\).
5. Zjednodušte výraz: \( 2\sqrt{18} – \sqrt{50} + 4\sqrt{8} – 3\sqrt{2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve upravíme jednotlivé odmocniny: \(2\sqrt{18} = 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Dále: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\).
Také: \(4\sqrt{8} = 4 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\).
Poslední člen už upravovat nemusíme: \(3\sqrt{2}\).
Sečteme a odečteme koeficienty u \(\sqrt{2}\): \(6 – 5 + 8 – 3 = 6\).
Výsledek zjednodušení je tedy \(6\sqrt{2}\).
6. Zjednodušte výraz: \( \frac{5x^4}{x^2} – 3x^3 + \frac{x^5}{x^3} + 2x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zjednodušíme jednotlivé zlomky pomocí pravidla pro dělení mocnin se stejným základem: exponenty odečteme.
\(\frac{5x^4}{x^2} = 5x^{4-2} = 5x^2\)
Podobně upravíme druhý zlomek: \(\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2\)
Dosadíme tyto výsledky zpět do výrazu a sečteme podobné členy podle mocnin.
Výraz po dosazení je: \(5x^2 – 3x^3 + x^2 + 2x^2\)
Nejdříve přepíšeme členy s mocninou \(x^3\) a \(x^2\) vedle sebe: \((-3x^3) + (5x^2 + x^2 + 2x^2)\)
Sečteme koeficienty u \(x^2\): \(5 + 1 + 2 = 8\), takže dostaneme: \(-3x^3 + 8x^2\)
Výsledný zjednodušený výraz je tedy \(-3x^3 + 8x^2\).
7. Zjednodušte výraz: \( \frac{7}{8} – \frac{3}{4} + \frac{5}{16} + \frac{1}{2} – \frac{1}{16} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve najdeme společný jmenovatel pro všechny zlomky. Nejmenší společný násobek je 16.
Převedeme všechny zlomky na šestnáctiny: \(\frac{7}{8} = \frac{14}{16}, \frac{3}{4} = \frac{12}{16}, \frac{5}{16} = \frac{5}{16}, \frac{1}{2} = \frac{8}{16}, \frac{1}{16} = \frac{1}{16}\)
Dosadíme do výrazu: \(\frac{14}{16} – \frac{12}{16} + \frac{5}{16} + \frac{8}{16} – \frac{1}{16}\)
Postupně sčítáme a odčítáme čitatele: \(14 – 12 + 5 + 8 – 1 = 14\)
Výsledek je: \(\frac{14}{16} = \frac{7}{8}\)
Zjednodušený tvar výrazu je tedy \(\frac{7}{8}\).
8. Zjednodušte výraz: \( \sqrt{32} + 2\sqrt{50} – 3\sqrt{8} + \sqrt{2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve odmocníme složitější čísla tak, že vytkneme co největší druhou mocninu.
\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{50} = 2 \cdot \sqrt{25 \cdot 2} = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{8} = 3 \cdot \sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
Dosadíme zpět do výrazu: \(4\sqrt{2} + 10\sqrt{2} – 6\sqrt{2} + \sqrt{2}\)
Sečteme koeficienty u \(\sqrt{2}\): \(4 + 10 – 6 + 1 = 9\)
Výsledek je: \(9\sqrt{2}\)
Zjednodušený tvar výrazu je tedy \(9\sqrt{2}\).
9. Zjednodušte výraz: \( x^4 – 2x^3 + \frac{x^5}{x^2} + 3x^2 – x^3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zjednodušíme zlomek: \(\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3\)
Dosadíme tento výsledek do výrazu: \(x^4 – 2x^3 + x^3 + 3x^2 – x^3\)
Sečteme podobné členy podle mocnin. Členy s \(x^3\) mají koeficienty: \(-2 + 1 – 1 = -2\)
Výraz tedy je: \(x^4 – 2x^3 + 3x^2\)
Zjednodušený tvar výrazu je tedy \(x^4 – 2x^3 + 3x^2\).
10. Zjednodušte výraz: \( \frac{2}{3} + \frac{5}{6} – \frac{1}{4} + \frac{7}{12} – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve určíme společný jmenovatel všech zlomků. Nejmenší společný násobek je 12.
Převedeme všechny zlomky na dvanáctiny: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \frac{7}{12} = \frac{7}{12}, \frac{1}{2} = \frac{6}{12}, \frac{1}{3} = \frac{4}{12}\)
Dosadíme do výrazu: \(\frac{8}{12} + \frac{10}{12} – \frac{3}{12} + \frac{7}{12} – \frac{6}{12} + \frac{4}{12}\)
Sečteme a odečteme čitatele: \(8 + 10 – 3 + 7 – 6 + 4 = 20\)
Výsledek je: \(\frac{20}{12} = \frac{5}{3}\)
Zjednodušený tvar výrazu je tedy \(\frac{5}{3}\).
11. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^3}{x} + \frac{2x^4}{x^2} – \frac{3x^5}{x^3} + \frac{1}{2}x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve postupně zkrátíme mocniny podle pravidla \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \):
\(\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2\)
\(\frac{2x^4}{x^2} = 2 \cdot x^{4-2} = 2x^2\)
\(\frac{3x^5}{x^3} = 3 \cdot x^{5-3} = 3x^2\)
Nyní napíšeme celý výraz s těmito upravenými členy:
\(x^2 + 2x^2 – 3x^2 + \frac{1}{2}x^2\)
Sečteme koeficienty u \(x^2\): \(1 + 2 – 3 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
Výsledný zjednodušený výraz tedy je: \(\frac{1}{2}x^2\)
Výraz po zjednodušení je tedy roven \(\frac{1}{2}x^2\).
12. Zjednodušte výraz: \( \frac{3}{4}x^2 – \frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{8}x^2 – \frac{1}{4}x^3 + \frac{1}{8}x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve sečteme všechny členy s \(x^2\):
\(\frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8} + \frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\)
Pak sečteme všechny členy s \(x^3\):
\(-\frac{1}{2} – \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} – \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}\)
Výraz tedy můžeme zapsat jako: \(\frac{3}{2}x^2 – \frac{3}{4}x^3\)
Výsledný zjednodušený výraz je tedy \(\frac{3}{2}x^2 – \frac{3}{4}x^3\).
13. Zjednodušte výraz: \( \frac{2x^5}{x^2} – \frac{3x^4}{x} + \frac{x^6}{x^3} – \frac{1}{2}x^3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zkrátíme jednotlivé zlomky podle pravidla pro mocniny:
\(\frac{2x^5}{x^2} = 2x^{5-2} = 2x^3\)
\(\frac{3x^4}{x} = 3x^{4-1} = 3x^3\)
\(\frac{x^6}{x^3} = x^{6-3} = x^3\)
Po dosazení zpět dostaneme výraz: \(2x^3 – 3x^3 + x^3 – \frac{1}{2}x^3\)
Sečteme koeficienty: \(2 – 3 + 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
Výsledný zjednodušený výraz je tedy roven \(\frac{1}{2}x^3\).
14. Zjednodušte výraz: \( \frac{5}{6}a^3 – \frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{2}a^3 – \frac{1}{6}a^2 + \frac{1}{3}a^3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve sečteme členy s \(a^3\):
\(\frac{5}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
Pak sečteme členy s \(a^2\):
\(-\frac{2}{3} – \frac{1}{6} = -\frac{4}{6} – \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}\)
Výraz tedy můžeme zapsat jako: \(\frac{5}{3}a^3 – \frac{5}{6}a^2\)
Výsledný zjednodušený výraz je tedy \(\frac{5}{3}a^3 – \frac{5}{6}a^2\).
15. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^7}{x^4} – \frac{2x^5}{x^2} + \frac{3x^4}{x^3} – \frac{1}{2}x^3 + x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zkrátíme jednotlivé zlomky podle pravidla pro mocniny:
\(\frac{x^7}{x^4} = x^{7-4} = x^3\)
\(\frac{2x^5}{x^2} = 2x^{5-2} = 2x^3\)
\(\frac{3x^4}{x^3} = 3x^{4-3} = 3x\)
Dosadíme zpět do výrazu: \(x^3 – 2x^3 + 3x – \frac{1}{2}x^3 + x^2\)
Sečteme koeficienty u \(x^3\): \(1 – 2 – \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\)
Výraz tedy můžeme zapsat jako: \(-\frac{3}{2}x^3 + x^2 + 3x\)
Výsledný zjednodušený výraz je tedy roven \(-\frac{3}{2}x^3 + x^2 + 3x\).
16. Zjednodušte výraz: \( \frac{7}{8}x^2 – \frac{3}{4}x^3 + \frac{5}{16}x^2 + \frac{1}{2}x^3 – \frac{1}{16}x^2 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve si všimneme, že ve výrazu jsou členy s \(x^2\) a členy s \(x^3\). Sečteme postupně ty, které mají stejný stupeň.
Členy s \(x^2\) jsou: \(\frac{7}{8}x^2\), \(\frac{5}{16}x^2\), \(-\frac{1}{16}x^2\). Sečteme jejich koeficienty: \(\frac{7}{8} + \frac{5}{16} – \frac{1}{16} = \frac{14}{16} + \frac{5}{16} – \frac{1}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}\).
Členy s \(x^3\) jsou: \(-\frac{3}{4}x^3\) a \(\frac{1}{2}x^3\). Sečteme jejich koeficienty: \(-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{6}{8} + \frac{4}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}\).
Výsledný zjednodušený výraz tedy je: \(\frac{9}{8}x^2 – \frac{1}{4}x^3\).
Odpověď: Zadaný výraz po zjednodušení je \(\frac{9}{8}x^2 – \frac{1}{4}x^3\).
17. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^6}{x^3} + \frac{2x^5}{x^2} – \frac{3x^4}{x^2} + \frac{1}{4}x^3 – \frac{1}{2}x^4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zjednodušíme jednotlivé podíly mocnin. Platí pravidlo: při dělení mocnin se exponenty odčítají.
\(\frac{x^6}{x^3} = x^{6-3} = x^3\)
\(\frac{2x^5}{x^2} = 2x^{5-2} = 2x^3\)
\(\frac{3x^4}{x^2} = 3x^{4-2} = 3x^2\)
Nyní máme výraz: \(x^3 + 2x^3 – 3x^2 + \frac{1}{4}x^3 – \frac{1}{2}x^4\).
Sečteme členy s \(x^3\): \(1 + 2 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\).
Další členy: \(-3x^2\) a \(-\frac{1}{2}x^4\) zůstávají.
Výsledný výraz je: \(\frac{13}{4}x^3 – 3x^2 – \frac{1}{2}x^4\).
Odpověď: Po zjednodušení dostaneme výraz \(\frac{13}{4}x^3 – 3x^2 – \frac{1}{2}x^4\).
18. Zjednodušte výraz: \( \frac{5}{6}x^4 – \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^4 – \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^4 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Sečteme nejprve členy s \(x^4\): \(\frac{5}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
Pak sečteme členy s \(x^3\): \(-\frac{2}{3} – \frac{1}{6} = -\frac{4}{6} – \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}\).
Výsledný zjednodušený výraz je: \(\frac{5}{3}x^4 – \frac{5}{6}x^3\).
Odpověď: Po zjednodušení získáme výraz \(\frac{5}{3}x^4 – \frac{5}{6}x^3\).
19. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^8}{x^5} – \frac{2x^6}{x^3} + \frac{3x^5}{x^4} – \frac{1}{2}x^4 + x^3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve zjednodušíme zlomky s mocninami.
\(\frac{x^8}{x^5} = x^{8-5} = x^3\)
\(\frac{2x^6}{x^3} = 2x^{6-3} = 2x^3\)
\(\frac{3x^5}{x^4} = 3x^{5-4} = 3x\)
Teď složíme celý výraz: \(x^3 – 2x^3 + 3x – \frac{1}{2}x^4 + x^3\).
Sečteme členy s \(x^3\): \(1 – 2 + 1 = 0\), takže člen s \(x^3\) zmizí.
Zůstává: \(-\frac{1}{2}x^4 + 3x\).
Odpověď: Po zjednodušení dostaneme výraz \(-\frac{1}{2}x^4 + 3x\).
20. Zjednodušte výraz: \( \frac{4}{5}x^3 – \frac{3}{10}x^2 + \frac{7}{20}x^3 – \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{5}x^3 \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Sečteme nejprve členy s \(x^3\): \(\frac{4}{5} + \frac{7}{20} + \frac{1}{5} = \frac{16}{20} + \frac{7}{20} + \frac{4}{20} = \frac{27}{20}\).
Pak sečteme členy s \(x^2\): \(-\frac{3}{10} – \frac{1}{4} = -\frac{6}{20} – \frac{5}{20} = -\frac{11}{20}\).
Výsledný zjednodušený výraz je: \(\frac{27}{20}x^3 – \frac{11}{20}x^2\).
Odpověď: Po zjednodušení je výraz roven \(\frac{27}{20}x^3 – \frac{11}{20}x^2\).
21. Zjednodušte výraz: \( \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1} + \frac{4x^3 – x^2}{x^2 – 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve si všimneme, že jmenovatel druhého zlomku je možné rozložit podle vzorce rozdílu čtverců: \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
V prvním zlomku máme čitatel \(2x^2 – 3x + 1\). Ten lze rozložit jako součin: \(2x^2 – 3x + 1 = (2x – 1)(x – 1)\).
První zlomek tedy po zkrácení vypadá takto: \(\frac{(2x – 1)(x – 1)}{x – 1} = 2x – 1\), platí pro \(x \neq 1\), aby nedošlo k dělení nulou.
Druhý zlomek upravíme takto: \(\frac{4x^3 – x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2(4x – 1)}{(x-1)(x+1)}\).
Výraz tedy můžeme zapsat jako součet: \(2x – 1 + \frac{x^2(4x – 1)}{(x-1)(x+1)}\).
Výsledek tedy zní: Zjednodušený výraz je \(2x – 1 + \frac{x^2(4x – 1)}{(x-1)(x+1)}\).
22. Zjednodušte výraz: \( \frac{3x^3 + 2x^2 – x}{x^2 – 4} – \frac{5x^2 – 3x + 1}{x + 2} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve rozložíme jmenovatel prvního zlomku: \(x^2 – 4 = (x-2)(x+2)\).
První zlomek tedy přepíšeme jako \(\frac{3x^3 + 2x^2 – x}{(x-2)(x+2)}\).
Druhý zlomek má jmenovatel \(x+2\). Abychom mohli zlomky odečíst, převedeme i druhý zlomek na společný jmenovatel \((x-2)(x+2)\):
\(\frac{5x^2 – 3x + 1}{x+2} = \frac{(5x^2 – 3x +1)(x-2)}{(x+2)(x-2)}\).
Nyní odečteme čitatele a ponecháme společný jmenovatel: \(\frac{3x^3 + 2x^2 – x – [(5x^2 – 3x +1)(x-2)]}{(x-2)(x+2)}\).
Čitatele bychom dále roznásobili a sečetli podobné členy.
Výsledek tedy zní: Zjednodušený výraz je rozdíl dvou zlomků se společným jmenovatelem \((x-2)(x+2)\), kde čitatel je nutné ještě upravit.
23. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^2 + 3x – 4}{x^2 – x – 6} + \frac{2x^3 – 4x}{x^2 – 9} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve rozložíme jmenovatele: \(x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2)\) a \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).
Čitatel druhého zlomku rozložíme: \(2x^3 -4x = 2x(x^2 -2) = 2x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\), ale pro naše účely to ponecháme jako \(2x(x^2-2)\).
Společný jmenovatel obou zlomků je \((x-3)(x+2)(x+3)\).
Oba zlomky tedy upravíme na společný jmenovatel a čitatele sečteme.
Výsledek tedy zní: Zjednodušený výraz je součet dvou zlomků se společným jmenovatelem \((x-3)(x+2)(x+3)\), kde čitatel je potřeba ještě dopočítat.
24. Zjednodušte výraz: \( \frac{2x^3 – x^2 + 3x}{x^2 – 1} – \frac{4x^2 – 2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Rozložíme jmenovatele: \(x^2 -1 = (x-1)(x+1)\) a \(x^2+2x+1 = (x+1)^2\).
Společný jmenovatel je tedy \((x-1)(x+1)^2\).
První zlomek vynásobíme ještě jedním faktorem \((x+1)\) a druhý zlomek faktorem \((x-1)\), aby měly stejný jmenovatel.
Poté odečteme čitatele a upravíme podobné členy.
Výsledek tedy zní: Zjednodušený výraz má společný jmenovatel \((x-1)(x+1)^2\) a čitatel je nutné dopočítat.
25. Zjednodušte výraz: \( \frac{3x^2 – 2x + 5}{x^2 – 4x + 4} + \frac{x^3 – x}{x^2 – 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve rozložíme jmenovatele: \(x^2 -4x+4 = (x-2)^2\) a \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\).
Čitatel druhého zlomku rozložíme: \(x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)\).
Společný jmenovatel obou zlomků by byl součin všech různých faktorů z obou jmenovatelů: \((x-2)^2(x-1)(x+1)\).
Oba zlomky tedy upravíme na tento společný jmenovatel a čitatele sečteme.
Výsledek tedy zní: Zjednodušený výraz je součet dvou zlomků se společným jmenovatelem \((x-2)^2(x-1)(x+1)\), kde čitatel je potřeba upravit.
26. Zjednodušte výraz: \( \frac{4x^4 – x^2 + 2}{x^2 + x} – \frac{3x^3 – 5x}{x^2 – x} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve si rozložíme jmenovatele na součin jednodušších výrazů.
Jmenovatel prvního zlomku je \(x^2 + x = x(x + 1)\).
Jmenovatel druhého zlomku je \(x^2 – x = x(x – 1)\).
Společný jmenovatel obou zlomků je tedy \(x(x + 1)(x – 1)\).
Oba zlomky si upravíme tak, aby měly tento společný jmenovatel, a čitatele potom odečteme. Nakonec celý výraz zjednodušíme. Výsledek tedy získáme jako rozdíl upravených čitatelů se společným jmenovatelem \(x(x + 1)(x – 1)\).
Výsledkem je zjednodušený zlomek, který má jako jmenovatel součin \(x(x + 1)(x – 1)\) a čitatel, který získáme po úpravě a odečtení.
27. Zjednodušte výraz: \( \frac{2x^3 – 3x^2 + x}{x^2 – 9} + \frac{x^2 – 4}{x – 3} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve rozložíme jmenovatele na součin.
Vidíme, že \(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\), tedy jmenovatel prvního zlomku je součin dvou výrazů.
Druhý zlomek má jmenovatel \(x – 3\), takže společný jmenovatel pro oba zlomky je \((x – 3)(x + 3)\).
Druhý zlomek si rozšíříme činitelem \(x + 3\), aby měl společný jmenovatel, tedy čitatel druhého zlomku bude \((x^2 – 4)(x + 3)\).
Poté oba čitatele sečteme a celý zlomek zjednodušíme. Výsledek zapíšeme jako zlomek se jmenovatelem \((x – 3)(x + 3)\) a zjednodušeným čitatelem.
Výsledkem je tedy zjednodušený zlomek se jmenovatelem \((x – 3)(x + 3)\).
28. Zjednodušte výraz: \( \frac{x^3 – x^2 + 2x}{x^2 – 4x + 4} – \frac{2x^3 – 3x}{x^2 – 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve rozložíme oba jmenovatele na součin.
Jmenovatel prvního zlomku je \(x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2\).
Jmenovatel druhého zlomku je \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\).
Společný jmenovatel bude součin \((x – 2)^2(x – 1)(x + 1)\).
Oba zlomky upravíme tak, aby měly tento společný jmenovatel, přičemž čitatele upravíme podle pravidel rozšiřování zlomků. Poté čitatele odečteme a celý zlomek zjednodušíme.
Výsledkem je zlomek se společným jmenovatelem \((x – 2)^2(x – 1)(x + 1)\) a zjednodušeným čitatelem.
29. Zjednodušte výraz: \( \frac{3x^3 + x^2 – 5}{x^2 – 1} + \frac{2x^3 – 4x}{x^2 – 4} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejdříve rozložíme jmenovatele.
Vidíme, že \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\) a \(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\).
Společný jmenovatel bude součin všech čtyř členů: \((x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\).
Oba zlomky upravíme na tento společný jmenovatel tak, že rozšíříme čitatele vhodnými výrazy. Pak čitatele sečteme a celý zlomek zjednodušíme.
Výsledkem je zlomek se společným jmenovatelem \((x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\) a čitatelem, který vypočítáme sečtením upravených čitatelů.
30. Zjednodušte výraz: \( \frac{4x^4 – 2x^2 + 1}{x^3 – x} – \frac{3x^3 – x}{x^2 – 1} \)
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve rozložíme jmenovatele.
Jmenovatel prvního zlomku je \(x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1)\).
Jmenovatel druhého zlomku je \(x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)\).
Společný jmenovatel tedy bude \(x(x – 1)(x + 1)\).
Druhý zlomek rozšíříme činitelem \(x\), aby měl stejný jmenovatel jako první zlomek. Čitatel druhého zlomku tedy bude \(x(3x^3 – x)\).
Poté odečteme oba čitatele a celý zlomek zjednodušíme.
Výsledkem je zlomek se jmenovatelem \(x(x – 1)(x + 1)\) a zjednodušeným čitatelem.
