1. Určete, zda platí: \( \neg (P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q) \), kde \( P \): „Je venku teplo.“, \( Q \): „Je slunečno.“
Řešení příkladu:
Podle De Morganova zákona platí pravidlo: negace konjunkce dvou výroků je ekvivalentní disjunkci negací těchto výroků. Tedy:
\( \neg (P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q) \)
Výrok \( P \land Q \) znamená „Je venku teplo a je slunečno.“
Jeho negace je: „Není pravda, že je venku teplo a zároveň je slunečno.“
Tuto větu lze přepsat jako: „Není venku teplo, nebo není slunečno.“
Formálně tedy:
\( \neg (P \land Q) = \text{„Není venku teplo nebo není slunečno.“} = (\neg P \lor \neg Q) \)
Oba výroky jsou tedy logicky ekvivalentní a rovnost platí.
2. Ověřte platnost: \( \neg (A \lor B) \equiv (\neg A \land \neg B) \), kde \( A \): „Jdu do kina.“, \( B \): „Jdu na koncert.“
Řešení příkladu:
Podle De Morganova zákona platí: negace disjunkce dvou výroků je ekvivalentní konjunkci negací těchto výroků. Tedy:
\( \neg (A \lor B) \equiv (\neg A \land \neg B) \)
Výrok \( A \lor B \) znamená: „Jdu do kina nebo jdu na koncert.“
Jeho negace je: „Neplatí, že jdu do kina nebo jdu na koncert.“
Tato věta je logicky ekvivalentní: „Nejdu do kina a zároveň nejdu na koncert.“
Formálně tedy:
\( \neg (A \lor B) = \text{„Nejdu do kina a nejdu na koncert.“} = (\neg A \land \neg B) \)
Rovnost je tedy platná podle De Morganova zákona.
3. Převeď na ekvivalentní výrok pomocí De Morganova zákona: \( \neg (x \in A \cup B) \)
Řešení příkladu:
Výrok \( x \in A \cup B \) znamená, že prvek \( x \) patří do sjednocení množin \( A \) a \( B \), tedy že \( x \in A \) nebo \( x \in B \).
Negace tohoto výroku tedy znamená: „\( x \) nepatří do \( A \cup B \)“.
Podle De Morganova zákona pro množiny platí:
\( \neg (x \in A \cup B) \equiv (x \notin A \land x \notin B) \)
Jinak řečeno: „\( x \) nepatří ani do \( A \), ani do \( B \)“.
4. Najděte výrok ekvivalentní s: \( \neg (x > 5 \lor x < 0) \)
Řešení příkladu:
Výrok \( x > 5 \lor x < 0 \) říká: „\( x \) je větší než \( 5 \) nebo \( x \) je menší než \( 0 \)“.
Negace tohoto výroku znamená: „Není pravda, že \( x > 5 \) nebo \( x < 0 \)“.
Podle De Morganova zákona pro výroky dostáváme:
\( \neg (x > 5 \lor x < 0) \equiv (x \leq 5 \land x \geq 0) \)
Výrok tedy říká: „\( x \) je menší nebo roven \( 5 \) a zároveň větší nebo roven \( 0 \)“.
Jinak řečeno: „\( x \) je mezi \( 0 \) a \( 5 \) včetně.“
5. Rozveďte výrok: \( \neg (M \lor (N \land P)) \) pomocí De Morganových zákonů.
Řešení příkladu:
Výrok \( M \lor (N \land P) \) znamená: „Platí \( M \) nebo současně platí \( N \) a \( P \)“.
Negujeme celý výrok: \( \neg (M \lor (N \land P)) \)
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce dostáváme:
\( \neg (M \lor (N \land P)) \equiv (\neg M \land \neg (N \land P)) \)
Nyní rozepíšeme druhou část \( \neg (N \land P) \) podle De Morganova zákona pro negaci konjunkce:
\( \neg (N \land P) \equiv (\neg N \lor \neg P) \)
Dosadíme zpět:
\( \neg (M \lor (N \land P)) \equiv (\neg M \land (\neg N \lor \neg P)) \)
Výsledný výrok tedy říká: „Neplatí \( M \) a současně platí, že neplatí \( N \) nebo neplatí \( P \)“.
6. Rozhodněte, zda je výrok \( \neg (x = 2 \lor y = 3) \) ekvivalentní s \( (x \neq 2 \land y \neq 3) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si zapíšeme původní výrok: \( \neg (x = 2 \lor y = 3) \).
Výrok uvnitř závorek znamená: „\( x = 2 \) nebo \( y = 3 \)“.
Celý výrok tedy říká: „Není pravda, že \( x = 2 \) nebo \( y = 3 \)“.
Podle De Morganova zákona můžeme negaci disjunkce přepsat takto:
\( \neg (x = 2 \lor y = 3) \equiv (\neg (x = 2)) \land (\neg (y = 3)) \)
Každou negaci zapíšeme běžným způsobem:
\( \neg (x = 2) \equiv x \neq 2 \) a \( \neg (y = 3) \equiv y \neq 3 \)
Dostáváme tedy: \( \neg (x = 2 \lor y = 3) \equiv (x \neq 2 \land y \neq 3) \)
Závěr: Výroky jsou tedy ekvivalentní.
7. Rozložte: \( \neg (p \land (q \lor r)) \)
Řešení příkladu:
Nejprve máme výrok: \( \neg (p \land (q \lor r)) \)
Podle De Morganova zákona platí: negace konjunkce je ekvivalentní disjunkci negací:
\( \neg (p \land (q \lor r)) \equiv (\neg p) \lor (\neg (q \lor r)) \)
Nyní si všimneme, že v druhé části je opět negace disjunkce:
Podle De Morganova zákona: \( \neg (q \lor r) \equiv (\neg q) \land (\neg r) \)
Dosadíme zpět:
\( \neg (p \land (q \lor r)) \equiv (\neg p) \lor ((\neg q) \land (\neg r)) \)
Závěr: Výrok je tedy rozložený na \( \neg p \lor (\neg q \land \neg r) \).
8. Vyjádřete negaci výroku: „Zítra bude pršet nebo bude zima.“ pomocí De Morganových zákonů.
Řešení příkladu:
Původní výrok: „Zítra bude pršet nebo bude zima.“ označíme symbolicky jako \( R \lor Z \), kde:
\( R \): „Zítra bude pršet.“
\( Z \): „Zítra bude zima.“
Chceme negovat tento výrok:
\( \neg (R \lor Z) \)
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (R \lor Z) \equiv (\neg R) \land (\neg Z) \)
Slovy: „Zítra nebude pršet a nebude zima.“
Závěr: Negace původního výroku je tedy \( \neg R \land \neg Z \).
9. Ověřte logickou platnost výroku: \( \neg (A \lor \neg A) \Rightarrow \text{nepravda} \)
Řešení příkladu:
Podívejme se nejprve na výrok uvnitř závorky: \( A \lor \neg A \).
Tento výrok říká: „Platí \( A \) nebo neplatí \( A \)“. Tomuto říkáme zákon vyloučeného třetího, který je vždy pravdivý.
Proto je \( A \lor \neg A \) tautologie, tedy výrok, který je vždy pravdivý.
Jeho negace \( \neg (A \lor \neg A) \) je tedy vždy nepravdivá.
Celý výrok tedy říká: „Jestliže něco nepravdivého, pak nepravda“. To je platná implikace, protože z nepravdy plyne cokoliv.
Závěr: Výrok \( \neg (A \lor \neg A) \Rightarrow \text{nepravda} \) je vždy pravdivý.
10. Rozložte pomocí De Morganových zákonů: \( \neg ((x < 3 \land y \geq 7) \lor z \neq 0) \)
Řešení příkladu:
Nejprve máme výrok: \( \neg ((x < 3 \land y \geq 7) \lor z \neq 0) \)
Podle De Morganova zákona: negace disjunkce je konjunkce negací:
\( \neg ((x < 3 \land y \geq 7) \lor z \neq 0) \equiv \neg (x < 3 \land y \geq 7) \land (z = 0) \)
Nyní si všimneme první části: \( \neg (x < 3 \land y \geq 7) \)
Podle De Morganova zákona: negace konjunkce je disjunkce negací:
\( \neg (x < 3 \land y \geq 7) \equiv (x \geq 3) \lor (y < 7) \)
Dohromady tedy dostáváme:
\( ((x \geq 3) \lor (y < 7)) \land (z = 0) \)
Závěr: Výrok rozložený pomocí De Morganových zákonů je \( (x \geq 3 \lor y < 7) \land (z = 0) \).
11. Použijte De Morganův zákon k přepsání: \( \neg (a \geq 10 \lor b \leq -5) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg (a \geq 10 \lor b \leq -5) \)
Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce se převede na konjunkci negací:
\( \neg (P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q) \)
V našem případě je \( P: (a \geq 10) \) a \( Q: (b \leq -5) \)
Nejprve negujeme \( P \): \( \neg (a \geq 10) \equiv (a < 10) \)
Dále negujeme \( Q \): \( \neg (b \leq -5) \equiv (b > -5) \)
Spojením dostaneme ekvivalentní výrok:
\( (a < 10) \land (b > -5) \)
Závěr: Výrok \( \neg (a \geq 10 \lor b \leq -5) \) je ekvivalentní s výrokem \( (a < 10) \land (b > -5) \)
12. Zjednodušte pomocí De Morganových zákonů: \( \neg ((s \lor t) \land \neg u) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg ((s \lor t) \land \neg u) \)
Nejprve použijeme De Morganův zákon na negaci konjunkce:
\( \neg (P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q) \)
Zde \( P: (s \lor t) \) a \( Q: (\neg u) \)
Negujeme \( P \): \( \neg (s \lor t) \equiv (\neg s \land \neg t) \) (podle De Morgana)
Negujeme \( Q \): \( \neg (\neg u) \equiv u \)
Spojením dostáváme:
\( (\neg s \land \neg t) \lor u \)
Závěr: Výrok \( \neg ((s \lor t) \land \neg u) \) je ekvivalentní s výrokem \( (\neg s \land \neg t) \lor u \)
13. Vyjádřete negaci výroku: „Auto je červené a rychlé.“ pomocí logických symbolů a De Morganova zákona.
Řešení příkladu:
Výrok zní: „Auto je červené a rychlé.“
Označíme \( C \): „Auto je červené“, \( R \): „Auto je rychlé“
Výrok tedy zapíšeme: \( C \land R \)
Chceme negaci výroku: \( \neg (C \land R) \)
Podle De Morganova zákona pro negaci konjunkce platí: \( \neg (P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q) \)
V našem případě tedy:
\( \neg (C \land R) \equiv (\neg C \lor \neg R) \)
Slovy: „Auto není červené nebo není rychlé.“
14. Přepište výrok \( \neg ((x \neq 0) \lor (y = 1)) \) pomocí De Morganových zákonů.
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg ((x \neq 0) \lor (y = 1)) \)
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce platí: \( \neg (P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q) \)
Nejprve negujeme \( x \neq 0 \): \( \neg (x \neq 0) \equiv (x = 0) \)
Dále negujeme \( y = 1 \): \( \neg (y = 1) \equiv (y \neq 1) \)
Spojením dostaneme:
\( (x = 0) \land (y \neq 1) \)
Závěr: Výrok \( \neg ((x \neq 0) \lor (y = 1)) \) je ekvivalentní s výrokem \( (x = 0) \land (y \neq 1) \)
15. Ukažte, že: \( \neg (p \Rightarrow q) \equiv (p \land \neg q) \) a spojte s De Morganovými zákony.
Řešení příkladu:
Máme ukázat, že \( \neg (p \Rightarrow q) \equiv (p \land \neg q) \)
Nejprve si připomeňme, že implikace \( p \Rightarrow q \) je logicky ekvivalentní s \( \neg p \lor q \)
Tedy: \( p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q \)
Negujeme: \( \neg (p \Rightarrow q) \equiv \neg (\neg p \lor q) \)
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce platí: \( \neg (\neg p \lor q) \equiv (p \land \neg q) \)
Krok po kroku:
\( \neg (\neg p \lor q) \equiv (\neg \neg p \land \neg q) \)
\( \neg \neg p \equiv p \), tedy dostaneme \( p \land \neg q \)
Závěr: \( \neg (p \Rightarrow q) \) je ekvivalentní s \( (p \land \neg q) \)
16. Vyjádřete negaci složitého výroku: „Není pravda, že \( (u > 2 \) nebo \( v = 0) \) a \( w ≠ 3 \).“
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme jednotlivé části výroku:
\( A = (u > 2 \lor v = 0) \)
\( B = (w \neq 3) \)
Původní výrok je negace jejich konjunkce: \( \neg (A \land B) \)
Podle De Morganova zákona platí: \( \neg (A \land B) \equiv (\neg A \lor \neg B) \)
Nyní negujeme každý dílčí výrok zvlášť:
\( \neg A = \neg (u > 2 \lor v = 0) \). Opět použijeme De Morganův zákon:
\( \neg (u > 2 \lor v = 0) \equiv (u \leq 2 \land v \neq 0) \)
Dále \( \neg B = \neg (w \neq 3) \equiv (w = 3) \)
Celý výrok pak dostaneme jako disjunkci:
\( (u \leq 2 \land v \neq 0) \lor (w = 3) \)
Výsledný přepsaný výrok je tedy:
\( (u \leq 2 \land v \neq 0) \lor (w = 3) \)
17. Přepište výrok: \( \neg (k \leq 0 \land m \geq 5 \land n = 2) \)
Řešení příkladu:
Výrok obsahuje negaci konjunkce tří podmínek. Označíme:
\( A = (k \leq 0) \), \( B = (m \geq 5) \), \( C = (n = 2) \)
Máme: \( \neg (A \land B \land C) \)
Podle zobecněného De Morganova zákona platí:
\( \neg (A \land B \land C) \equiv (\neg A \lor \neg B \lor \neg C) \)
Nyní negujeme jednotlivé části:
\( \neg (k \leq 0) \equiv (k > 0) \)
\( \neg (m \geq 5) \equiv (m < 5) \)
\( \neg (n = 2) \equiv (n \neq 2) \)
Celý výrok tedy je:
\( (k > 0) \lor (m < 5) \lor (n \neq 2) \)
18. Přepište do negace: „Jestliže dnes neprší nebo je sobota, pak půjdu ven.“
Řešení příkladu:
Nejprve označíme jednotlivé části:
\( P = \text{dnes neprší} \lor \text{je sobota} \)
\( Q = \text{půjdu ven} \)
Výrok je implikace: \( P \Rightarrow Q \)
Negace implikace podle definice je:
\( \neg (P \Rightarrow Q) \equiv (P \land \neg Q) \)
To znamená: „Platí, že dnes neprší nebo je sobota, ale zároveň nepůjdu ven.“
Zapsáno logickými symboly:
\( (P) \land (\neg Q) \)
19. Ověřte platnost: \( \neg (A \lor B \lor C) \equiv (\neg A \land \neg B \land \neg C) \)
Řešení příkladu:
Chceme ověřit, že platí De Morganův zákon pro tři výroky:
\( \neg (A \lor B \lor C) \equiv (\neg A \land \neg B \land \neg C) \)
Pro lepší pochopení si ukážeme myšlenku pomocí pravdivostní tabulky:
Kombinace, kde je alespoň jeden z \( A, B, C \) pravdivý, způsobí, že \( A \lor B \lor C \) je pravda, jeho negace je tedy nepravda. Aby byla negace pravdivá, musí být všechny tři výroky \( A, B, C \) nepravdivé. To odpovídá součinu \( \neg A \land \neg B \land \neg C \).
Rovnost tedy skutečně platí.
20. Najděte logicky ekvivalentní výrok k: \( \neg (\neg x \lor \neg y) \)
Řešení příkladu:
Použijeme De Morganův zákon na vnitřní disjunkci:
\( \neg (\neg x \lor \neg y) \equiv x \land y \)
Postupně:
Výrok \( \neg x \lor \neg y \) znamená, že alespoň jeden z \( x \) nebo \( y \) je nepravda. Negace tohoto výroku říká, že oba musí být pravda, tedy \( x \land y \).
Výsledný výrok je tedy ekvivalentní: \( x \land y \)
21. Použijte De Morganovy zákony na negaci: \( \neg ((a = b) \land (c \neq d)) \)
Řešení příkladu:
Původní výrok: \( \neg \big( (a = b) \land (c \neq d) \big) \)
Označíme si první část výroku jako \( A = (a = b) \) a druhou část jako \( B = (c \neq d) \). Výrok tedy je \( \neg (A \land B) \).
Podle De Morganova zákona: \( \neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B) \)
Teď upravíme jednotlivé části:
\( \neg (a = b) \equiv (a \neq b) \)
\( \neg (c \neq d) \equiv (c = d) \) — protože negace nerovnosti je rovnost.
Po dosazení do výsledku dostaneme: \( (a \neq b) \lor (c = d) \)
Výsledek: \( (a \neq b) \lor (c = d) \)
22. Negujte výrok: „Není pravda, že student prospěl a zároveň neomlouval absence.“
Řešení příkladu:
Původní výrok je slovně: „Není pravda, že student prospěl a zároveň neomlouval absence.“
Označíme: \( P = \text{student prospěl} \), \( Q = \text{student omlouval absence} \). Výrok pak je: \( \neg \big( P \land \neg Q \big) \)
Podle De Morganova zákona: \( \neg (P \land \neg Q) \equiv (\neg P) \lor Q \)
Krok za krokem:
1. Uvnitř závorek máme konjunkci: \( P \land \neg Q \)
2. Negace celé konjunkce: \( \neg (P \land \neg Q) \)
3. Podle zákona dostaneme: \( \neg P \lor Q \)
Slovně: „Student neprospěl nebo omlouval absence.“
Výsledek: \( (\neg P) \lor Q \)
23. Zjednodušte: \( \neg ((x \geq 3 \lor y < 0) \land z \neq 1) \)
Řešení příkladu:
Původní výrok: \( \neg \big( (x \geq 3) \lor (y < 0) \big) \land (z \neq 1) \)
Označíme: \( A = (x \geq 3 \lor y < 0) \), \( B = (z \neq 1) \). Výrok tedy je \( \neg (A \land B) \)
Podle De Morgana: \( \neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B) \)
Nejprve spočítáme \( \neg A \):
\( A = (x \geq 3) \lor (y < 0) \), takže \( \neg A = (x < 3) \land (y \geq 0) \)
Dále spočítáme \( \neg B \):
\( B = (z \neq 1) \), takže \( \neg B = (z = 1) \)
Kombinujeme: \( \neg (A \land B) = (\neg A) \lor (\neg B) \)
Výsledek: \( \big( (x < 3) \land (y \geq 0) \big) \lor (z = 1) \)
24. Přepište negaci: \( \neg ((p \lor q) \Rightarrow r) \)
Řešení příkladu:
Původní výrok: \( \neg \big( (p \lor q) \Rightarrow r \big) \)
Nejprve přepíšeme implikaci pomocí její definice: \( (p \lor q) \Rightarrow r \equiv \neg (p \lor q) \lor r \)
Výrok pak je: \( \neg \big( \neg (p \lor q) \lor r \big) \)
Negujeme disjunkci pomocí De Morgana: \( \neg (\neg (p \lor q) \lor r) \equiv (p \lor q) \land (\neg r) \)
Výsledek: \( (p \lor q) \land (\neg r) \)
25. Najděte ekvivalent výroku: \( \neg (\neg A \land \neg B) \)
Řešení příkladu:
Původní výrok: \( \neg (\neg A \land \neg B) \)
Podle De Morganova zákona: \( \neg (\neg A \land \neg B) \equiv A \lor B \)
Krok za krokem:
1. V závorkách je konjunkce: \( \neg A \land \neg B \)
2. Negujeme ji podle zákona: \( \neg (\neg A \land \neg B) = A \lor B \)
Výsledek: \( A \lor B \)
26. Vyjádřete: „Není pravda, že \(Petr\) je \(vysoký\) nebo \(silný\).“
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme jednotlivé výroky: \( V = \text{Petr je vysoký} \), \( S = \text{Petr je silný} \).
Původní výrok můžeme zapsat symbolicky takto: \( \neg (V \lor S) \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce se převede na konjunkci negací: \( \neg (V \lor S) \equiv (\neg V) \land (\neg S) \).
Slovy: „Petr není vysoký a zároveň není silný.“
Tedy výsledný výrok je: \( \neg V \land \neg S \).
27. Zjednodušte logický výraz: \( \neg \bigl( r \land (\neg s \lor t) \bigr) \)
Řešení příkladu:
Nejprve použijeme De Morganův zákon na negaci konjunkce:
\( \neg (r \land (\neg s \lor t)) \equiv (\neg r) \lor \neg (\neg s \lor t) \)
Dále zjednodušíme výraz \( \neg (\neg s \lor t) \) opět pomocí De Morgana:
\( \neg (\neg s \lor t) \equiv s \land \neg t \)
Dostáváme tedy celý výraz:
\( \neg r \lor (s \land \neg t) \)
Slovy: „Buď neplatí \(r\), nebo platí současně \(s\) a neplatí \(t\).“
28. Přepište negaci: \( \neg \bigl( A \lor (B \land C) \bigr) \)
Řešení příkladu:
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce máme:
\( \neg (A \lor (B \land C)) \equiv (\neg A) \land \neg (B \land C) \)
Negace konjunkce uvnitř závorky dále podle De Morgana:
\( \neg (B \land C) \equiv (\neg B) \lor (\neg C) \)
Celkově tedy:
\( \neg A \land (\neg B \lor \neg C) \)
Slovy: „Neplatí \(A\) a zároveň neplatí buď \(B\), nebo \(C\).“
29. Přepište: \( \neg \bigl( M \Rightarrow (N \lor O) \bigr) \)
Řešení příkladu:
Nejprve přepíšeme implikaci pomocí ekvivalence:
\( M \Rightarrow (N \lor O) \equiv (\neg M) \lor (N \lor O) \)
Negace celého výroku pak znamená negaci disjunkce:
\( \neg \bigl( (\neg M) \lor N \lor O \bigr) \)
Opět použijeme De Morgana:
\( \neg (\neg M \lor N \lor O) \equiv M \land (\neg N) \land (\neg O) \)
Slovy: „Platí \(M\) a zároveň neplatí \(N\) a zároveň neplatí \(O\).“
30. Vyjádřete výrok: „Není pravda, že \( (x = 1) \) nebo \( \bigl( (y \neq 2) \land (z = 0) \bigr) \)“
Řešení příkladu:
Původní výrok zapíšeme symbolicky:
\( \neg \bigl( (x = 1) \lor \bigl( (y \neq 2) \land (z = 0) \bigr) \bigr) \)
Nejprve použijeme De Morganův zákon na negaci disjunkce:
\( \neg (x = 1) \land \neg \bigl( (y \neq 2) \land (z = 0) \bigr) \)
Dále negujeme konjunkci uvnitř závorky opět podle De Morgana:
\( \neg \bigl( (y \neq 2) \land (z = 0) \bigr) \equiv (y = 2) \lor (z \neq 0) \)
Negace výroku \(x = 1\) je \(x \neq 1\).
Celkově tedy dostáváme:
\( (x \neq 1) \land \bigl( (y = 2) \lor (z \neq 0) \bigr) \)
Slovy: „\(x\) není roven \(1\) a zároveň buď \(y\) je roven \(2\), nebo \(z\) není roven \(0\).“
31. Negujte výrok: \( \neg \bigl( (A \lor B) \land \neg C \bigr) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg \bigl( (A \lor B) \land \neg C \bigr) \).
Nejprve si všimneme, že negujeme konjunkci dvou částí: \( (A \lor B) \) a \( \neg C \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme: \( X = (A \lor B) \), \( Y = \neg C \), takže
\[ \neg \bigl( (A \lor B) \land \neg C \bigr) \equiv \neg (A \lor B) \lor \neg (\neg C) \]
Dále použijeme De Morganův zákon na negaci disjunkce \( \neg (A \lor B) \):
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Negace negace je identita, tedy:
\[ \neg (\neg C) \equiv C \]
Celkově tedy dostáváme zjednodušený výraz:
\[ (\neg A \land \neg B) \lor C \]
Slovy: „Neplatí \(A\) a zároveň neplatí \(B\), nebo platí \(C\).“
32. Převeďte na jednodušší tvar: \( \neg \bigl( (p \land \neg q) \lor r \bigr) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg \bigl( (p \land \neg q) \lor r \bigr) \).
Negujeme disjunkci, takže podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme: \( X = p \land \neg q \), \( Y = r \), tedy
\[ \neg \bigl( (p \land \neg q) \lor r \bigr) \equiv \neg (p \land \neg q) \land \neg r \]
Nyní zjednodušíme negaci konjunkce \( \neg (p \land \neg q) \) pomocí De Morgana:
\[ \neg (p \land \neg q) \equiv \neg p \lor q \]
Tedy celý výraz je:
\[ (\neg p \lor q) \land \neg r \]
Slovy: „Buď neplatí \(p\) nebo platí \(q\), a zároveň neplatí \(r\).“
33. Najděte negaci výroku: „Buď prší, nebo je zataženo, a není zima.“
Řešení příkladu:
Označíme si výroky: \( P = \text{prší} \), \( Z = \text{zataženo} \), \( C = \text{zima} \).
Původní výrok lze zapsat jako:
\[ (P \lor Z) \land \neg C \]
Chceme najít negaci celého výroku, tedy:
\[ \neg \bigl( (P \lor Z) \land \neg C \bigr) \]
Negace konjunkce podle De Morgana je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme: \( X = P \lor Z \), \( Y = \neg C \), tedy
\[ \neg \bigl( (P \lor Z) \land \neg C \bigr) \equiv \neg (P \lor Z) \lor \neg (\neg C) \]
Negace disjunkce \( \neg (P \lor Z) \) je podle De Morgana konjunkce negací:
\[ \neg (P \lor Z) \equiv \neg P \land \neg Z \]
Negace negace \( \neg (\neg C) \) je identita:
\[ \neg (\neg C) \equiv C \]
Celkový výraz je tedy:
\[ (\neg P \land \neg Z) \lor C \]
Slovy: „Neprší a není zataženo, nebo je zima.“
34. Rozepište logický výraz: \( \neg \bigl( \neg A \lor (\neg B \land C) \bigr) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz:
\[ \neg \bigl( \neg A \lor (\neg B \land C) \bigr) \]
Negace disjunkce je podle De Morgana konjunkce negací:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme: \( X = \neg A \), \( Y = \neg B \land C \), takže
\[ \neg \bigl( \neg A \lor (\neg B \land C) \bigr) \equiv \neg (\neg A) \land \neg (\neg B \land C) \]
Negace negace je identita:
\[ \neg (\neg A) \equiv A \]
Dále použijeme De Morganův zákon na negaci konjunkce:
\[ \neg (\neg B \land C) \equiv \neg (\neg B) \lor \neg C \equiv B \lor \neg C \]
Celý výraz tedy je:
\[ A \land (B \lor \neg C) \]
Slovy: „Platí \(A\) a zároveň platí buď \(B\), nebo neplatí \(C\).“
35. Převeďte: \( \neg \bigl( (x < 0 \lor y = 3) \land z \neq 5 \bigr) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz:
\[ \neg \bigl( (x < 0 \lor y = 3) \land z \neq 5 \bigr) \]
Negace konjunkce se změní na disjunkci negací podle De Morgana:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme: \( X = x < 0 \lor y = 3 \), \( Y = z \neq 5 \), tedy
\[ \neg \bigl( (x < 0 \lor y = 3) \land z \neq 5 \bigr) \equiv \neg (x < 0 \lor y = 3) \lor \neg (z \neq 5) \]
Negaci disjunkce opět zpracujeme pomocí De Morgana:
\[ \neg (x < 0 \lor y = 3) \equiv (x \geq 0) \land (y \neq 3) \]
Negace nerovnosti je rovnost:
\[ \neg (z \neq 5) \equiv z = 5 \]
Celkový tvar je tedy:
\[ (x \geq 0 \land y \neq 3) \lor (z = 5) \]
Slovy: „Platí, že \(x\) je větší nebo rovno nule a zároveň \(y\) není rovno 3, nebo \(z\) je rovno 5.“
36. Najděte logicky ekvivalentní výrok k: \( \neg (A \land (B \lor \neg C)) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg (A \land (B \lor \neg C)) \).
Negujeme konjunkci dvou částí: \( A \) a \( (B \lor \neg C) \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme \( X = A \) a \( Y = (B \lor \neg C) \):
\[ \neg (A \land (B \lor \neg C)) \equiv \neg A \lor \neg (B \lor \neg C) \]
Teď upravíme negaci disjunkce \( \neg (B \lor \neg C) \) pomocí De Morgana:
\[ \neg (B \lor \neg C) \equiv \neg B \land \neg(\neg C) \]
Negace negace \( \neg(\neg C) \) je identita, tedy:
\[ \neg(\neg C) \equiv C \]
Tedy máme:
\[ \neg (B \lor \neg C) \equiv \neg B \land C \]
Celkově tedy logicky ekvivalentní výrok je:
\[ \neg A \lor (\neg B \land C) \]
Slovy: „Neplatí \( A \) nebo platí, že neplatí \( B \) a zároveň platí \( C \).“
37. Vyjádřete negaci: \( \neg ((\neg x = 2) \lor (\neg y \land z)) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg ((\neg x = 2) \lor (\neg y \land z)) \).
Nejprve aplikujeme De Morganův zákon pro negaci disjunkce:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = \neg x = 2 \) a \( Y = \neg y \land z \).
Negace \( X \) je:
\[ \neg (\neg x = 2) \equiv x \neq 2 \]
Negaci \( Y = \neg y \land z \) upravíme jako negaci konjunkce:
\[ \neg (\neg y \land z) \equiv \neg (\neg y) \lor \neg z \equiv y \lor \neg z \]
Celkový výraz po negaci je tedy:
\[ (x \neq 2) \land (y \lor \neg z) \]
Slovy: „Platí, že \( x \) není rovno \( 2 \) a zároveň platí buď \( y \), nebo neplatí \( z \).“
38. Negujte: \( \neg ((a > 5) \lor (\neg b \Rightarrow c)) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg ((a > 5) \lor (\neg b \Rightarrow c)) \).
Nejprve přepíšeme implikaci \( \neg b \Rightarrow c \) podle definice:
\[ P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q \]
Dosadíme \( P = \neg b \), \( Q = c \), tedy:
\[ \neg b \Rightarrow c \equiv \neg (\neg b) \lor c \equiv b \lor c \]
Takže původní výraz je:
\[ \neg \bigl( (a > 5) \lor (b \lor c) \bigr) \]
Aplikujeme De Morganův zákon na negaci disjunkce:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = a > 5 \), \( Y = b \lor c \).
Negace \( X \):
\[ \neg (a > 5) \equiv a \leq 5 \]
Negace \( Y \):
\[ \neg (b \lor c) \equiv \neg b \land \neg c \]
Celý negovaný výrok je tedy:
\[ (a \leq 5) \land (\neg b) \land (\neg c) \]
Slovy: „Platí, že \( a \) je menší nebo rovno \( 5 \) a zároveň neplatí \( b \) a neplatí \( c \).“
39. Převeďte negaci: \( \neg ((P \Rightarrow Q) \land (R \lor \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Nejprve přepíšeme implikaci \( P \Rightarrow Q \) podle definice:
\[ P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q \]
Tedy celý výraz je:
\[ \neg \bigl( (\neg P \lor Q) \land (R \lor \neg S) \bigr) \]
Aplikujeme De Morganův zákon na negaci konjunkce:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = \neg P \lor Q \), \( Y = R \lor \neg S \).
Negace \( X \) je negace disjunkce:
\[ \neg (\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q \]
Negace \( Y \):
\[ \neg (R \lor \neg S) \equiv \neg R \land S \]
Celý výraz je tedy:
\[ (P \land \neg Q) \lor (\neg R \land S) \]
Slovy: „Platí buď \( P \) a neplatí \( Q \), nebo neplatí \( R \) a platí \( S \).“
40. Negujte složený výrok: \( \neg ((x = 3 \land y < 1) \lor (z > 7 \land w = 0)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((x = 3 \land y < 1) \lor (z > 7 \land w = 0)) \).
Aplikujeme De Morganův zákon na negaci disjunkce:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = x = 3 \land y < 1 \), \( Y = z > 7 \land w = 0 \).
Negaci konjunkce upravíme také pomocí De Morgana:
\[ \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \]
Negace \( X \) je tedy:
\[ \neg (x = 3 \land y < 1) \equiv (x \neq 3) \lor (y \geq 1) \]
Negace \( Y \):
\[ \neg (z > 7 \land w = 0) \equiv (z \leq 7) \lor (w \neq 0) \]
Celý výraz po negaci je tedy:
\[ ((x \neq 3) \lor (y \geq 1)) \land ((z \leq 7) \lor (w \neq 0)) \]
Slovy: „Platí, že buď \( x \) není rovno \( 3 \) nebo \( y \) je větší nebo rovno \( 1 \), a zároveň platí, že buď \( z \) je menší nebo rovno \( 7 \) nebo \( w \) není rovno \( 0 \).“
41. Zjednodušte: \( \neg (\neg A \land (B \lor \neg C)) \)
Řešení příkladu:
Máme výrok: \( \neg (\neg A \land (B \lor \neg C)) \).
Negujeme konjunkci dvou částí: \( \neg A \) a \( (B \lor \neg C) \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme \( X = \neg A \), \( Y = B \lor \neg C \):
\[ \neg (\neg A \land (B \lor \neg C)) \equiv \neg (\neg A) \lor \neg (B \lor \neg C) \]
Negace \( \neg A \) je:
\[ \neg (\neg A) \equiv A \]
Nyní upravíme negaci disjunkce \( \neg (B \lor \neg C) \) pomocí De Morgana:
\[ \neg (B \lor \neg C) \equiv \neg B \land \neg(\neg C) \]
Negace negace \( \neg(\neg C) \) je \( C \), protože dvojitá negace ruší sama sebe:
\[ \neg(\neg C) \equiv C \]
Tedy platí:
\[ \neg (B \lor \neg C) \equiv \neg B \land C \]
Celý výrok po úpravě je tedy:
\[ A \lor (\neg B \land C) \]
Výsledek: Výrok je ekvivalentní disjunkci \( A \) nebo (současně \( \neg B \) a \( C \)).
42. Převeďte: \( \neg ((P \lor \neg Q) \land R) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou částí: \( (P \lor \neg Q) \) a \( R \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme \( X = P \lor \neg Q \), \( Y = R \):
\[ \neg ((P \lor \neg Q) \land R) \equiv \neg (P \lor \neg Q) \lor \neg R \]
Nyní upravíme negaci disjunkce \( \neg (P \lor \neg Q) \) opět pomocí De Morgana:
\[ \neg (P \lor \neg Q) \equiv \neg P \land \neg (\neg Q) \]
Dvojitá negace \( \neg (\neg Q) \) ruší sama sebe, tedy:
\[ \neg (\neg Q) \equiv Q \]
Tedy platí:
\[ \neg (P \lor \neg Q) \equiv \neg P \land Q \]
Celkově je tedy upravený výraz:
\[ (\neg P \land Q) \lor \neg R \]
Výsledek: Výrok říká, že platí buď současně \( \neg P \) a \( Q \), nebo neplatí \( R \).
43. Negujte: \( \neg ((x \leq 5 \land y > 2) \lor z = 0) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí: \( (x \leq 5 \land y > 2) \) a \( z = 0 \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Dosadíme \( A = x \leq 5 \land y > 2 \), \( B = z = 0 \):
\[ \neg ((x \leq 5 \land y > 2) \lor z = 0) \equiv \neg (x \leq 5 \land y > 2) \land \neg (z = 0) \]
Nyní upravíme negaci konjunkce \( \neg (x \leq 5 \land y > 2) \) pomocí De Morgana:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = x \leq 5 \), \( Y = y > 2 \), tedy:
\[ \neg (x \leq 5 \land y > 2) \equiv (x > 5) \lor (y \leq 2) \]
Negace \( z = 0 \) je:
\[ \neg (z = 0) \equiv z \neq 0 \]
Celkový upravený výrok je tedy:
\[ (x > 5 \lor y \leq 2) \land (z \neq 0) \]
Výsledek: Výrok říká, že platí současně, že buď \( x \) je větší než \( 5 \) nebo \( y \) je menší nebo rovno \( 2 \), a zároveň \( z \) není rovno \( 0 \).
44. Najděte negaci: \( \neg ((\neg A \lor B) \lor (C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí: \( (\neg A \lor B) \) a \( (C \land D) \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme \( X = \neg A \lor B \), \( Y = C \land D \):
\[ \neg ((\neg A \lor B) \lor (C \land D)) \equiv \neg (\neg A \lor B) \land \neg (C \land D) \]
Nyní upravíme jednotlivé negace:
Negace disjunkce \( \neg (\neg A \lor B) \) je podle De Morgana:
\[ \neg (\neg A \lor B) \equiv \neg (\neg A) \land \neg B \equiv A \land \neg B \]
Negace konjunkce \( \neg (C \land D) \) je podle De Morgana:
\[ \neg (C \land D) \equiv \neg C \lor \neg D \]
Celkově tedy platí:
\[ (A \land \neg B) \land (\neg C \lor \neg D) \]
Výsledek: Výrok říká, že platí současně \( A \) a neplatí \( B \), a zároveň platí, že neplatí \( C \) nebo neplatí \( D \).
45. Zjednodušte výrok: \( \neg ((P \land \neg Q) \lor (\neg R \lor S)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí: \( (P \land \neg Q) \) a \( (\neg R \lor S) \).
Podle De Morganova zákona platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme \( X = P \land \neg Q \), \( Y = \neg R \lor S \):
\[ \neg ((P \land \neg Q) \lor (\neg R \lor S)) \equiv \neg (P \land \neg Q) \land \neg (\neg R \lor S) \]
Upravíme jednotlivé negace:
Negace konjunkce \( \neg (P \land \neg Q) \) podle De Morgana je:
\[ \neg (P \land \neg Q) \equiv \neg P \lor \neg(\neg Q) \equiv \neg P \lor Q \]
Negace disjunkce \( \neg (\neg R \lor S) \) podle De Morgana je:
\[ \neg (\neg R \lor S) \equiv \neg (\neg R) \land \neg S \equiv R \land \neg S \]
Celkový výraz tedy zní:
\[ (\neg P \lor Q) \land (R \land \neg S) \]
Výsledek: Výrok je ekvivalentní tomu, že platí buď neplatí \( P \) nebo platí \( Q \), a současně platí \( R \) a neplatí \( S \).
46. Najděte negaci výroku: „Není pravda, že Petr i Jana přišli nebo že Pavel zaspal.“
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme výroky: \( P \) znamená „Petr přišel“, \( J \) znamená „Jana přišla“ a \( V \) znamená „Pavel zaspal“.
Zadání říká: „Není pravda, že Petr i Jana přišli nebo že Pavel zaspal.“ To přepíšeme jako negaci výroku
\[ \neg \bigl( (P \land J) \lor V \bigr) \]
Chceme najít negaci tohoto výroku, tedy negaci negace, což se podle pravidel logiky zjednodušuje. Nejprve ale použijeme De Morganovy zákony na vnitřní negaci.
Podle De Morgana platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = P \land J \) a \( Y = V \).
Tedy:
\[ \neg \bigl( (P \land J) \lor V \bigr) \equiv \neg (P \land J) \land \neg V \]
Dále použijeme De Morganův zákon na negaci konjunkce \( P \land J \):
\[ \neg (P \land J) \equiv \neg P \lor \neg J \]
Celý výraz tedy po úpravě vypadá takto:
\[ (\neg P \lor \neg J) \land \neg V \]
To znamená: „Buď Petr nepřišel, nebo Jana nepřišla, a zároveň Pavel nezaspal.“
Výsledek: Negace výroku \( \neg \bigl( (P \land J) \lor V \bigr) \) je
\[ (\neg P \lor \neg J) \land \neg V \]
47. Převeďte na jednodušší tvar: \( \neg ((A \lor B) \lor (C \land \neg D)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí:
\[ \neg \bigl( (A \lor B) \lor (C \land \neg D) \bigr) \]
Nejprve si označíme \( X = A \lor B \), \( Y = C \land \neg D \).
Podle De Morgana platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Tedy
\[ \neg ((A \lor B) \lor (C \land \neg D)) \equiv \neg (A \lor B) \land \neg (C \land \neg D) \]
Dále upravíme jednotlivé části:
Negace disjunkce \( A \lor B \) je podle De Morgana:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Negace konjunkce \( C \land \neg D \) je podle De Morgana:
\[ \neg (C \land \neg D) \equiv \neg C \lor \neg (\neg D) \equiv \neg C \lor D \]
Celkový tvar po úpravách je tedy:
\[ (\neg A \land \neg B) \land (\neg C \lor D) \]
Výsledek: Výrok je logicky ekvivalentní konjunkci, která říká, že neplatí \( A \), neplatí \( B \), a současně platí, že neplatí \( C \) nebo platí \( D \).
48. Negujte výrok: \( \neg ((a \neq 1) \land (b < 2 \lor c > 4)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou částí:
\[ \neg \bigl( (a \neq 1) \land (b < 2 \lor c > 4) \bigr) \]
Podle De Morgana platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = a \neq 1 \), \( Y = b < 2 \lor c > 4 \).
Tedy
\[ \neg ((a \neq 1) \land (b < 2 \lor c > 4)) \equiv \neg (a \neq 1) \lor \neg (b < 2 \lor c > 4) \]
Negace výroku \( a \neq 1 \) je:
\[ \neg (a \neq 1) \equiv a = 1 \]
Negace disjunkce \( b < 2 \lor c > 4 \) je podle De Morgana:
\[ \neg (b < 2 \lor c > 4) \equiv \neg (b < 2) \land \neg (c > 4) \]
Negace \( b < 2 \) je \( b \geq 2 \) a negace \( c > 4 \) je \( c \leq 4 \), takže
\[ \neg (b < 2 \lor c > 4) \equiv (b \geq 2) \land (c \leq 4) \]
Celkový tvar výroku po úpravě je tedy:
\[ a = 1 \lor \bigl( (b \geq 2) \land (c \leq 4) \bigr) \]
Výsledek: Výrok říká, že platí buď \( a = 1 \), nebo současně platí \( b \geq 2 \) a \( c \leq 4 \).
49. Najděte negaci výroku: \( \neg ((\neg A \land \neg B) \lor C) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce:
\[ \neg \bigl( (\neg A \land \neg B) \lor C \bigr) \]
Podle De Morgana platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = \neg A \land \neg B \), \( Y = C \).
Tedy
\[ \neg ((\neg A \land \neg B) \lor C) \equiv \neg (\neg A \land \neg B) \land \neg C \]
Dále upravíme negaci konjunkce \( \neg (\neg A \land \neg B) \) pomocí De Morgana:
\[ \neg (\neg A \land \neg B) \equiv \neg (\neg A) \lor \neg (\neg B) \equiv A \lor B \]
Celkový výraz je tedy:
\[ (A \lor B) \land \neg C \]
Výsledek: Výrok říká, že platí buď \( A \), nebo \( B \), a současně neplatí \( C \).
50. Převeďte na logicky ekvivalentní tvar: \( \neg ((\neg X \lor Y) \land (Z \Rightarrow W)) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, že implikaci můžeme vyjádřit pomocí disjunkce:
\[ Z \Rightarrow W \equiv \neg Z \lor W \]
Tedy původní výraz přepíšeme jako:
\[ \neg \bigl( (\neg X \lor Y) \land (\neg Z \lor W) \bigr) \]
Negace konjunkce podle De Morgana je disjunkce negací:
\[ \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \]
Kde \( A = \neg X \lor Y \) a \( B = \neg Z \lor W \).
Tedy:
\[ \neg (\neg X \lor Y) \lor \neg (\neg Z \lor W) \]
Dále použijeme De Morganovy zákony na jednotlivé části:
\[ \neg (\neg X \lor Y) \equiv \neg (\neg X) \land \neg Y \equiv X \land \neg Y \]
\[ \neg (\neg Z \lor W) \equiv \neg (\neg Z) \land \neg W \equiv Z \land \neg W \]
Celý výraz je tedy:
\[ (X \land \neg Y) \lor (Z \land \neg W) \]
Výsledek: Výrok je logicky ekvivalentní tomu, že platí buď současně \( X \) a neplatí \( Y \), nebo současně platí \( Z \) a neplatí \( W \).
51. Zjednodušte: \( \neg (A \lor (B \land \neg C)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg (A \lor (B \land \neg C)) \), tedy negaci disjunkce dvou částí: \( A \) a \( B \land \neg C \).
Použijeme De Morganův zákon, který říká, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme \( X = A \) a \( Y = B \land \neg C \):
\[ \neg (A \lor (B \land \neg C)) \equiv \neg A \land \neg (B \land \neg C) \]
Nyní se zaměříme na druhou část \( \neg (B \land \neg C) \). Podle De Morgana platí, že negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (B \land \neg C) \equiv \neg B \lor \neg (\neg C) \]
Negace negace \( C \) je \( C \), tedy:
\[ \neg (B \land \neg C) \equiv \neg B \lor C \]
Tím máme celý výraz upravený na:
\[ \neg A \land (\neg B \lor C) \]
Výsledek říká, že platí zároveň, že neplatí \( A \) a platí, že buď neplatí \( B \), nebo platí \( C \).
52. Převeďte výrok: \( \neg ((P \Rightarrow Q) \land \neg R) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, že implikace \( P \Rightarrow Q \) je ekvivalentní výrazu:
\[ P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q \]
Dosadíme do výrazu:
\[ \neg ((\neg P \lor Q) \land \neg R) \]
Negace konjunkce je podle De Morgana disjunkce negací:
\[ \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \]
Kde \( A = \neg P \lor Q \) a \( B = \neg R \), tedy:
\[ \neg ((\neg P \lor Q) \land \neg R) \equiv \neg (\neg P \lor Q) \lor \neg (\neg R) \]
Dále upravíme jednotlivé části:
Negace disjunkce \( \neg (\neg P \lor Q) \) je podle De Morgana:
\[ \neg (\neg P \lor Q) \equiv \neg (\neg P) \land \neg Q \equiv P \land \neg Q \]
Negace \( \neg (\neg R) \) je jednoduše:
\[ \neg (\neg R) \equiv R \]
Celý výraz tedy zní:
\[ (P \land \neg Q) \lor R \]
Výsledkem je, že platí buď současně \( P \) a neplatí \( Q \), nebo platí \( R \).
53. Najděte negaci: \( \neg ((x > 3 \land y \leq 4) \lor z \neq 1) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí:
\[ \neg ((x > 3 \land y \leq 4) \lor z \neq 1) \]
Podle De Morgana platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Dosadíme:
\[ A = x > 3 \land y \leq 4, \quad B = z \neq 1 \]
Negace konjunkce \( A \) je disjunkce negací:
\[ \neg (x > 3 \land y \leq 4) \equiv \neg (x > 3) \lor \neg (y \leq 4) \]
Negace \( x > 3 \) je \( x \leq 3 \), negace \( y \leq 4 \) je \( y > 4 \), tedy:
\[ \neg (x > 3 \land y \leq 4) \equiv (x \leq 3) \lor (y > 4) \]
Negace \( z \neq 1 \) je:
\[ \neg (z \neq 1) \equiv z = 1 \]
Celý výraz tedy zní:
\[ ((x \leq 3) \lor (y > 4)) \land (z = 1) \]
Výsledek říká, že platí zároveň, že platí buď \( x \leq 3 \), nebo \( y > 4 \), a současně platí \( z = 1 \).
54. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou částí:
\[ \neg ((\neg A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \]
Negace konjunkce je podle De Morgana disjunkce negací:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Dosadíme \( X = \neg A \lor B \) a \( Y = \neg C \lor D \):
\[ \neg ((\neg A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \equiv \neg (\neg A \lor B) \lor \neg (\neg C \lor D) \]
Nyní upravíme jednotlivé negace disjunkcí pomocí De Morgana:
\[ \neg (\neg A \lor B) \equiv \neg (\neg A) \land \neg B \equiv A \land \neg B \]
\[ \neg (\neg C \lor D) \equiv \neg (\neg C) \land \neg D \equiv C \land \neg D \]
Celkový tvar je tedy:
\[ (A \land \neg B) \lor (C \land \neg D) \]
Výsledek říká, že platí buď současně \( A \) a neplatí \( B \), nebo současně \( C \) a neplatí \( D \).
55. Převeďte výrok: \( \neg ((P \land Q) \lor (R \land \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí:
\[ \neg ((P \land Q) \lor (R \land \neg S)) \]
Podle De Morgana platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme \( X = P \land Q \), \( Y = R \land \neg S \):
\[ \neg ((P \land Q) \lor (R \land \neg S)) \equiv \neg (P \land Q) \land \neg (R \land \neg S) \]
Negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q \]
\[ \neg (R \land \neg S) \equiv \neg R \lor \neg (\neg S) \equiv \neg R \lor S \]
Celý výraz tedy je:
\[ (\neg P \lor \neg Q) \land (\neg R \lor S) \]
Výsledkem je, že platí současně, že neplatí \( P \) nebo neplatí \( Q \), a zároveň neplatí \( R \) nebo platí \( S \).
56. Zjednodušte: \( \neg (\neg (A \land B) \lor \neg (C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg (\neg (A \land B) \lor \neg (C \lor D)) \), což je negace disjunkce dvou částí:
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Dosadíme \( X = \neg (A \land B) \) a \( Y = \neg (C \lor D) \):
\[ \neg (\neg (A \land B) \lor \neg (C \lor D)) \equiv \neg (\neg (A \land B)) \land \neg (\neg (C \lor D)) \]
Nyní použijeme pravidlo dvojí negace, které říká, že:
\[ \neg (\neg P) \equiv P \]
Proto platí:
\[ \neg (\neg (A \land B)) \equiv A \land B \]
a také
\[ \neg (\neg (C \lor D)) \equiv C \lor D \]
Tím dostaneme zjednodušený výraz:
\[ (A \land B) \land (C \lor D) \]
Tento výsledek říká, že platí současně \( A \) a \( B \) a zároveň platí buď \( C \) nebo \( D \).
57. Negujte: \( \neg ((x = 2 \Rightarrow y \neq 3) \lor z < 1) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, že implikace \( x = 2 \Rightarrow y \neq 3 \) je ekvivalentní výrazu:
\[ x = 2 \Rightarrow y \neq 3 \equiv \neg (x = 2) \lor (y \neq 3) \]
Negaci \( \neg (x = 2) \) můžeme vyjádřit jako \( x \neq 2 \), takže:
\[ x = 2 \Rightarrow y \neq 3 \equiv (x \neq 2) \lor (y \neq 3) \]
Dosadíme tedy do celého výroku:
\[ \neg (((x \neq 2) \lor (y \neq 3)) \lor (z < 1)) \]
Výraz je negací disjunkce, proto použijeme De Morganův zákon:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Kde \( A = (x \neq 2) \lor (y \neq 3) \) a \( B = z < 1 \).
Nejprve negujeme \( A \):
\[ \neg ((x \neq 2) \lor (y \neq 3)) \equiv \neg (x \neq 2) \land \neg (y \neq 3) \]
Negace \( x \neq 2 \) je \( x = 2 \) a negace \( y \neq 3 \) je \( y = 3 \), tedy:
\[ \neg ((x \neq 2) \lor (y \neq 3)) \equiv (x = 2) \land (y = 3) \]
Dále negujeme \( B = z < 1 \):
\[ \neg (z < 1) \equiv z \geq 1 \]
Celý zjednodušený výraz je tedy:
\[ (x = 2 \land y = 3) \land (z \geq 1) \]
To znamená, že zároveň platí, že \( x \) je rovno 2, \( y \) je rovno 3, a \( z \) je větší nebo rovno 1.
58. Převeďte: \( \neg ((A \Rightarrow B) \lor (C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si přepíšeme implikaci \( A \Rightarrow B \) pomocí ekvivalence:
\[ A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B \]
Dosadíme tedy do výrazu:
\[ \neg ((\neg A \lor B) \lor (C \land D)) \]
Jedná se o negaci disjunkce, použijeme De Morganův zákon:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = \neg A \lor B \) a \( Y = C \land D \), tedy:
\[ \neg ((\neg A \lor B) \lor (C \land D)) \equiv \neg (\neg A \lor B) \land \neg (C \land D) \]
Nyní zjednodušíme jednotlivé části.
Negace disjunkce \( \neg (\neg A \lor B) \) podle De Morgana:
\[ \neg (\neg A \lor B) \equiv \neg (\neg A) \land \neg B \equiv A \land \neg B \]
Negace konjunkce \( \neg (C \land D) \) je:
\[ \neg (C \land D) \equiv \neg C \lor \neg D \]
Celkový výraz je tedy:
\[ (A \land \neg B) \land (\neg C \lor \neg D) \]
Výsledkem je, že platí současně \( A \) a neplatí \( B \), a současně platí, že buď neplatí \( C \) nebo neplatí \( D \).
59. Zjednodušte výrok: \( \neg ((P \lor \neg Q) \land (R \lor \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou částí:
\[ \neg ((P \lor \neg Q) \land (R \lor \neg S)) \]
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Nejprve najdeme \( \neg (P \lor \neg Q) \):
\[ \neg (P \lor \neg Q) \equiv \neg P \land \neg (\neg Q) \equiv \neg P \land Q \]
Poté \( \neg (R \lor \neg S) \):
\[ \neg (R \lor \neg S) \equiv \neg R \land \neg (\neg S) \equiv \neg R \land S \]
Celý výraz tedy upravíme na:
\[ (\neg P \land Q) \lor (\neg R \land S) \]
Výsledek říká, že platí buď současně neplatí \( P \) a platí \( Q \), nebo současně neplatí \( R \) a platí \( S \).
60. Najděte negaci: \( \neg ((\neg x > 5) \lor (\neg y \land z)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí:
\[ \neg ((\neg x > 5) \lor (\neg y \land z)) \]
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Kde \( A = (\neg x > 5) \) a \( B = (\neg y \land z) \).
Nejprve najdeme \( \neg A \):
Výraz \( \neg x > 5 \) znamená „negace \( x \) je větší než 5“. Negace \( \neg x > 5 \) je tedy \( x \leq 5 \), protože \( x \) je opačná hodnota:
\[ \neg (\neg x > 5) \equiv x \leq 5 \]
Dále najdeme \( \neg B \):
Negace konjunkce \( \neg ( \neg y \land z) \) podle De Morgana je disjunkce negací:
\[ \neg (\neg y \land z) \equiv \neg (\neg y) \lor \neg z \equiv y \lor \neg z \]
Celkový výraz je tedy:
\[ (x \leq 5) \land (y \lor \neg z) \]
To znamená, že současně platí, že \( x \) je menší nebo rovno 5, a zároveň platí, že buď \( y \) platí, nebo neplatí \( z \).
61. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \), což je negace konjunkce dvou částí.
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = (A \lor B) \) a \( Y = (\neg C \lor D) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (A \lor B) \):
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce platí:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Dále najdeme \( \neg (\neg C \lor D) \):
Opět použijeme De Morganův zákon:
\[ \neg (\neg C \lor D) \equiv \neg (\neg C) \land \neg D \equiv C \land \neg D \]
Nyní můžeme napsat výsledný výraz:
\[ (\neg A \land \neg B) \lor (C \land \neg D) \]
Tím jsme výraz úspěšně zjednodušili a rozdělili negaci do jednotlivých částí podle pravidel logiky.
62. Najděte negaci výroku: \( \neg ((x \leq 2 \lor y = 3) \land \neg z) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci výroku ve tvaru \( \neg ((x \leq 2 \lor y = 3) \land \neg z) \), tedy negaci konjunkce.
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = (x \leq 2 \lor y = 3) \) a \( Y = \neg z \).
Nejdříve najdeme \( \neg (x \leq 2 \lor y = 3) \):
Opět použijeme De Morganův zákon pro negaci disjunkce:
\[ \neg (x \leq 2 \lor y = 3) \equiv (x > 2) \land (y \neq 3) \]
Dále negujeme \( \neg z \), kde platí:
\[ \neg (\neg z) \equiv z \]
Celý výrok tedy můžeme přepsat jako:
\[ (x > 2 \land y \neq 3) \lor z \]
To znamená, že výrok je pravdivý, pokud platí buď současně \( x > 2 \) a \( y \neq 3 \), nebo platí \( z \).
63. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \land B) \lor (C \Rightarrow D)) \)
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, že implikace \( C \Rightarrow D \) je ekvivalentní výrazu:
\[ C \Rightarrow D \equiv \neg C \lor D \]
Dosadíme tedy do celého výroku:
\[ \neg ((\neg A \land B) \lor (\neg C \lor D)) \]
Máme negaci disjunkce, proto použijeme De Morganův zákon:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = (\neg A \land B) \) a \( Y = (\neg C \lor D) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (\neg A \land B) \):
Negace konjunkce je disjunkce negací, tedy:
\[ \neg (\neg A \land B) \equiv \neg (\neg A) \lor \neg B \equiv A \lor \neg B \]
Dále najdeme \( \neg (\neg C \lor D) \):
Negace disjunkce podle De Morgana je konjunkce negací:
\[ \neg (\neg C \lor D) \equiv C \land \neg D \]
Celý výraz tedy zjednodušíme na:
\[ (A \lor \neg B) \land (C \land \neg D) \]
Výrok říká, že současně platí buď \( A \), nebo neplatí \( B \), a zároveň platí \( C \) a neplatí \( D \).
64. Převeďte výrok: \( \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou disjunkcí:
\[ \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) \]
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = (\neg P \lor Q) \) a \( Y = (\neg R \lor S) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (\neg P \lor Q) \):
Negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q \]
Dále najdeme \( \neg (\neg R \lor S) \):
Stejným způsobem:
\[ \neg (\neg R \lor S) \equiv R \land \neg S \]
Celý výraz můžeme napsat jako:
\[ (P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S) \]
Výrok tedy říká, že platí buď současně \( P \) a neplatí \( Q \), nebo současně \( R \) a neplatí \( S \).
65. Najděte negaci: \( \neg ((x > 0 \Rightarrow y \leq 5) \lor z \geq 2) \)
Řešení příkladu:
Nejprve přepíšeme implikaci \( x > 0 \Rightarrow y \leq 5 \) pomocí ekvivalence:
\[ x > 0 \Rightarrow y \leq 5 \equiv \neg (x > 0) \lor (y \leq 5) \]
Poznámka: Negace \( x > 0 \) je \( x \leq 0 \).
Dosadíme tedy:
\[ x \leq 0 \lor y \leq 5 \]
Celý výrok je tedy:
\[ \neg ((x \leq 0 \lor y \leq 5) \lor z \geq 2) \]
Negace disjunkce je konjunkce negací, podle De Morganova zákona:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Kde \( A = (x \leq 0 \lor y \leq 5) \) a \( B = (z \geq 2) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (x \leq 0 \lor y \leq 5) \):
Podle De Morganova zákona pro negaci disjunkce:
\[ \neg (x \leq 0 \lor y \leq 5) \equiv (x > 0) \land (y > 5) \]
Dále najdeme \( \neg (z \geq 2) \):
Negace \( z \geq 2 \) je \( z < 2 \).
Celý výraz je tedy:
\[ (x > 0 \land y > 5) \land (z < 2) \]
Tím jsme negaci původního výroku přepsali do ekvivalentního a zjednodušeného tvaru.
66. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor \neg B) \land (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((A \lor \neg B) \land (\neg C \lor D)) \), což je negace konjunkce dvou částí.
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = (A \lor \neg B) \) a \( Y = (\neg C \lor D) \).
Nejdříve vypočítáme \( \neg (A \lor \neg B) \). Podle De Morgana platí, že negace disjunkce je konjunkce negací:
\[ \neg (A \lor \neg B) \equiv \neg A \land B \]
Vysvětlení: negace \( \neg B \) je \( B \), protože \( \neg (\neg B) = B \).
Dále spočítáme \( \neg (\neg C \lor D) \):
\[ \neg (\neg C \lor D) \equiv C \land \neg D \]
Tedy celý výraz přepíšeme na:
\[ (\neg A \land B) \lor (C \land \neg D) \]
Tím jsme úspěšně zjednodušili původní negaci konjunkce na disjunkci dvou konjunkcí.
67. Najděte negaci: \( \neg ((x < 4 \land y = 7) \lor (z \neq 5)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou výroků: \( (x < 4 \land y = 7) \) a \( (z \neq 5) \).
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
Kde \( A = (x < 4 \land y = 7) \) a \( B = (z \neq 5) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (x < 4 \land y = 7) \). Negace konjunkce je disjunkce negací:
\[ \neg (x < 4 \land y = 7) \equiv (x \geq 4) \lor (y \neq 7) \]
Vysvětlení: Negace \( x < 4 \) je \( x \geq 4 \) a negace \( y = 7 \) je \( y \neq 7 \).
Dále najdeme \( \neg (z \neq 5) \), což je:
\[ z = 5 \]
Celý výraz tedy přepíšeme jako:
\[ (x \geq 4 \lor y \neq 7) \land (z = 5) \]
Výrok je tedy pravdivý, když platí současně alespoň jedna z podmínek \( x \geq 4 \) nebo \( y \neq 7 \) a zároveň \( z = 5 \).
68. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \lor B) \land (\neg B \lor C)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci konjunkce dvou disjunkcí.
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \]
Kde \( X = (\neg A \lor B) \) a \( Y = (\neg B \lor C) \).
Nejdříve spočítáme \( \neg (\neg A \lor B) \), což je negace disjunkce, tedy konjunkce negací:
\[ \neg (\neg A \lor B) \equiv A \land \neg B \]
Dále spočítáme \( \neg (\neg B \lor C) \) obdobně:
\[ \neg (\neg B \lor C) \equiv B \land \neg C \]
Celý výraz tedy zjednodušíme na:
\[ (A \land \neg B) \lor (B \land \neg C) \]
Tím jsme vyjádřili původní negaci pomocí disjunkce dvou konjunkcí, což je jednodušší a přehlednější tvar.
69. Převeďte výrok: \( \neg ((A \land \neg B) \lor (\neg C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou konjunkcí.
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = (A \land \neg B) \) a \( Y = (\neg C \land D) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (A \land \neg B) \), což je negace konjunkce, tedy disjunkce negací:
\[ \neg (A \land \neg B) \equiv \neg A \lor B \]
Dále spočítáme \( \neg (\neg C \land D) \) obdobně:
\[ \neg (\neg C \land D) \equiv C \lor \neg D \]
Celý výraz tedy zapíšeme jako:
\[ (\neg A \lor B) \land (C \lor \neg D) \]
Tím jsme rozložili původní negaci na konjunkci dvou disjunkcí.
70. Zjednodušte: \( \neg ((P \lor Q) \lor (\neg R \land S)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci disjunkce dvou částí: \( (P \lor Q) \) a \( (\neg R \land S) \).
Podle De Morganova zákona platí:
\[ \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \]
Kde \( X = (P \lor Q) \) a \( Y = (\neg R \land S) \).
Nejdříve najdeme \( \neg (P \lor Q) \), což je negace disjunkce, tedy konjunkce negací:
\[ \neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q \]
Dále najdeme \( \neg (\neg R \land S) \), což je negace konjunkce, tedy disjunkce negací:
\[ \neg (\neg R \land S) \equiv R \lor \neg S \]
Celý výraz zapíšeme jako konjunkci těchto dvou částí:
\[ (\neg P \land \neg Q) \land (R \lor \neg S) \]
Tím jsme převedli původní negaci na logicky ekvivalentní tvar podle pravidel.
71. Zjednodušte: \( \neg ((A \land B) \lor (\neg C \land \neg D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((A \land B) \lor (\neg C \land \neg D)) \).
Prvním krokem je použít zákon De Morganovy pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Proto můžeme přepsat celý výraz na:
\( \neg (A \land B) \land \neg (\neg C \land \neg D) \).
Teď se podíváme na první část \( \neg (A \land B) \). Použijeme De Morganovy zákony pro konjunkci:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \).
Dále druhou část \( \neg (\neg C \land \neg D) \) opět podle stejného zákona:
\( \neg (\neg C \land \neg D) \equiv \neg (\neg C) \lor \neg (\neg D) \equiv C \lor D \).
Tedy celý výraz je po úpravě:
\( (\neg A \lor \neg B) \land (C \lor D) \).
Výsledkem je tedy výraz, kde se negace rozložila podle De Morganových zákonů na kombinaci disjunkce a konjunkce.
72. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \lor B) \land (C \lor \neg D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((\neg A \lor B) \land (C \lor \neg D)) \).
Nejprve použijeme De Morganův zákon pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \).
Tedy výraz přepíšeme jako:
\( \neg (\neg A \lor B) \lor \neg (C \lor \neg D) \).
Nyní se podíváme na první část \( \neg (\neg A \lor B) \), kde využijeme De Morganův zákon pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Dosadíme:
\( \neg (\neg A \lor B) \equiv \neg (\neg A) \land \neg B \equiv A \land \neg B \).
Druhá část je \( \neg (C \lor \neg D) \), kde opět použijeme stejný zákon:
\( \neg (C \lor \neg D) \equiv \neg C \land \neg (\neg D) \equiv \neg C \land D \).
Tedy výsledný výraz je:
\( (A \land \neg B) \lor (\neg C \land D) \).
Takto jsme negaci rozložili krok za krokem pomocí De Morganových zákonů.
73. Najděte negaci: \( \neg ((x = 3 \land y < 2) \lor (z \geq 7)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je: \( \neg ((x = 3 \land y < 2) \lor (z \geq 7)) \).
Prvním krokem použijeme zákon pro negaci disjunkce:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \).
Tedy upravíme na:
\( \neg (x = 3 \land y < 2) \land \neg (z \geq 7) \).
Negaci první části vyjádříme pomocí zákona pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \).
Dosadíme konkrétně:
\( \neg (x = 3 \land y < 2) \equiv (x \neq 3) \lor (y \geq 2) \).
Negaci druhé části vyjádříme prostě:
\( \neg (z \geq 7) \equiv z < 7 \).
Tedy celý negovaný výraz je:
\( (x \neq 3 \lor y \geq 2) \land (z < 7) \).
Tímto jsme našli přesnou negaci výrazu.
74. Zjednodušte: \( \neg ((\neg P \land Q) \lor (R \land \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((\neg P \land Q) \lor (R \land \neg S)) \).
Použijeme zákon pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Tedy výraz lze přepsat na:
\( \neg (\neg P \land Q) \land \neg (R \land \neg S) \).
Nyní vyjádříme první část \( \neg (\neg P \land Q) \) pomocí zákona pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \).
Dosadíme:
\( \neg (\neg P \land Q) \equiv \neg (\neg P) \lor \neg Q \equiv P \lor \neg Q \).
Druhá část je podobná:
\( \neg (R \land \neg S) \equiv \neg R \lor \neg (\neg S) \equiv \neg R \lor S \).
Tedy celkový výsledek je:
\( (P \lor \neg Q) \land (\neg R \lor S) \).
Takto jsme pomocí De Morganových zákonů rozložili negaci a získali zjednodušený tvar.
75. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor B) \lor (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je: \( \neg ((A \lor B) \lor (\neg C \lor D)) \).
Nejprve si všimneme, že celý výraz je disjunkce, kterou negujeme:
Použijeme zákon pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Dosadíme za \( X = A \lor B \) a \( Y = \neg C \lor D \):
\( \neg (A \lor B) \land \neg (\neg C \lor D) \).
Negaci \( \neg (A \lor B) \) rozložíme pomocí De Morganova zákona:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \).
Negaci \( \neg (\neg C \lor D) \) také rozložíme podobně:
\( \neg (\neg C \lor D) \equiv C \land \neg D \).
Celkový výsledek tedy je:
\( (\neg A \land \neg B) \land (C \land \neg D) \).
Toto je nejjednodušší tvar výrazu po aplikaci negace podle De Morganových zákonů.
76. Najděte negaci: \( \neg ((x \neq 1 \lor y \leq 4) \land (\neg z \lor w > 3)) \)
Řešení příkladu:
Máme negaci celého výroku ve tvaru \( \neg (X \land Y) \), kde
\( X = (x \neq 1 \lor y \leq 4) \) a \( Y = (\neg z \lor w > 3) \).
Podle De Morganova pravidla platí:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \)
Nejprve vypočteme \( \neg X \):
\( \neg (x \neq 1 \lor y \leq 4) \equiv \neg (x \neq 1) \land \neg (y \leq 4) \)
Negace \( x \neq 1 \) je \( x = 1 \), protože \( \neg (x \neq 1) \equiv (x = 1) \).
Negace \( y \leq 4 \) je \( y > 4 \), protože \( \neg (y \leq 4) \equiv (y > 4) \).
Tedy
\( \neg X \equiv (x = 1) \land (y > 4) \).
Podobně spočteme \( \neg Y \):
\( \neg (\neg z \lor w > 3) \equiv \neg (\neg z) \land \neg (w > 3) \)
Negace \( \neg z \) je \( z \), tedy \( \neg (\neg z) \equiv z \).
Negace \( w > 3 \) je \( w \leq 3 \), tedy \( \neg (w > 3) \equiv (w \leq 3) \).
Tedy
\( \neg Y \equiv z \land (w \leq 3) \).
Výsledná negace je podle De Morganova pravidla:
\( \neg ((x \neq 1 \lor y \leq 4) \land (\neg z \lor w > 3)) \equiv (x = 1 \land y > 4) \lor (z \land w \leq 3) \).
77. Zjednodušte: \( \neg ((A \land \neg B) \land (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je ve tvaru \( \neg (X \land Y) \), kde
\( X = A \land \neg B \), \( Y = \neg C \lor D \).
Podle De Morganova pravidla platí:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \)
Nejprve vypočteme \( \neg X \):
\( \neg (A \land \neg B) \equiv \neg A \lor \neg (\neg B) \)
Negace \( \neg B \) je \( B \), tedy
\( \neg X \equiv \neg A \lor B \).
Poté spočteme \( \neg Y \):
\( \neg (\neg C \lor D) \equiv \neg (\neg C) \land \neg D \)
Negace \( \neg C \) je \( C \), takže
\( \neg Y \equiv C \land \neg D \).
Celý zjednodušený výraz je tedy:
\( (\neg A \lor B) \lor (C \land \neg D) \).
78. Zjednodušte: \( \neg ((A \land \neg B) \lor (\neg (C \lor D) \land E)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz ve tvaru:
\( \neg ((A \land \neg B) \lor (\neg (C \lor D) \land E)) \).
Nejprve si označíme části výrazu pro přehlednost:
\( X = A \land \neg B \)
\( Y = (\neg (C \lor D)) \land E \).
Celý výraz je tedy \( \neg (X \lor Y) \).
Podle De Morganova pravidla platí:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Nejprve spočteme \( \neg X \):
\( \neg (A \land \neg B) \equiv \neg A \lor B \).
Poté spočteme \( \neg Y \):
Nezapomeňte, že \( Y = (\neg (C \lor D)) \land E \), tedy \( Y \) je konjunkce dvou částí.
Podle De Morganova pravidla pro negaci konjunkce platí:
\( \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q \), kde \( P = \neg (C \lor D) \) a \( Q = E \).
Negujeme tedy \( Y \):
\( \neg Y = \neg ((\neg (C \lor D)) \land E) \equiv \neg (\neg (C \lor D)) \lor \neg E \).
Negace \( \neg (C \lor D) \) je \( C \lor D \) (opět podle De Morganova pravidla):
\( \neg (\neg (C \lor D)) \equiv C \lor D \).
Tedy
\( \neg Y \equiv (C \lor D) \lor \neg E \).
Finální tvar výrazu je tedy:
\( (\neg A \lor B) \land ((C \lor D) \lor \neg E) \).
79. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \lor B) \lor (\neg C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Celý výraz je disjunkce ve tvaru \( \neg (X \lor Y) \), kde
\( X = \neg A \lor B \), \( Y = \neg C \land D \).
Podle De Morganova pravidla platí:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \).
Negace \( X \):
\( \neg (\neg A \lor B) \equiv \neg (\neg A) \land \neg B \equiv A \land \neg B \).
Negace \( Y \):
\( \neg (\neg C \land D) \equiv \neg (\neg C) \lor \neg D \equiv C \lor \neg D \).
Výsledný zjednodušený výraz je tedy:
\( (A \land \neg B) \land (C \lor \neg D) \).
80. Najděte negaci: \( \neg ((x < 5 \land y \geq 10) \lor (z = 0 \land w \neq 2)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je ve tvaru \( \neg (A \lor B) \), kde
\( A = x < 5 \land y \geq 10 \), \( B = z = 0 \land w \neq 2 \).
Podle De Morganova pravidla platí:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \).
Nejprve spočteme \( \neg A \):
\( \neg (x < 5 \land y \geq 10) \equiv \neg (x < 5) \lor \neg (y \geq 10) \)
Negace \( x < 5 \) je \( x \geq 5 \).
Negace \( y \geq 10 \) je \( y < 10 \).
Tedy
\( \neg A \equiv (x \geq 5) \lor (y < 10) \).
Dále spočteme \( \neg B \):
\( \neg (z = 0 \land w \neq 2) \equiv \neg (z = 0) \lor \neg (w \neq 2) \)
Negace \( z = 0 \) je \( z \neq 0 \).
Negace \( w \neq 2 \) je \( w = 2 \).
Tedy
\( \neg B \equiv (z \neq 0) \lor (w = 2) \).
Výsledná negace celého výrazu je tedy:
\( (x \geq 5 \lor y < 10) \land (z \neq 0 \lor w = 2) \).
81. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor \neg B) \land (C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((A \lor \neg B) \land (C \lor D)) \)
Nejdříve si uvědomme, že negace konjunkce (logického „a“) můžeme upravit pomocí De Morganova zákona:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \)
V našem případě označíme:
\( X = (A \lor \neg B) \), \( Y = (C \lor D) \)
Podle vzorce tedy máme:
\( \neg ((A \lor \neg B) \land (C \lor D)) = \neg (A \lor \neg B) \lor \neg (C \lor D) \)
Nyní upravíme jednotlivé části negace disjunkcí (logického „nebo“):
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (A \lor \neg B) \equiv \neg A \land B \)
Protože negujeme „A nebo ne B“, což znamená „ne A a B“.
Stejně tak platí:
\( \neg (C \lor D) \equiv \neg C \land \neg D \)
Protože negujeme „C nebo D“, což je „ne C a ne D“.
Dosadíme zpět:
\( \neg ((A \lor \neg B) \land (C \lor D)) = (\neg A \land B) \lor (\neg C \land \neg D) \)
Závěrem, výsledný výraz po zjednodušení je:
\( (\neg A \land B) \lor (\neg C \land \neg D) \)
82. Zjednodušte: \( \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je: \( \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) \)
Negace konjunkce \( X \land Y \) je podle De Morganova zákona:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \)
Zde označíme:
\( X = (\neg P \lor Q) \), \( Y = (\neg R \lor S) \)
Takže platí:
\( \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) = \neg (\neg P \lor Q) \lor \neg (\neg R \lor S) \)
Upravme nyní jednotlivé části negace disjunkce:
Podle De Morganova zákona:
\( \neg (\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q \)
Protože negace „ne P nebo Q“ znamená „P a ne Q“.
Stejně tak:
\( \neg (\neg R \lor S) \equiv R \land \neg S \)
Dosadíme zpět do výrazu:
\( \neg ((\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)) = (P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S) \)
Závěr:
Výsledkem je: \( (P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S) \)
83. Zjednodušte: \( \neg ((x > 1 \lor y \leq 0) \land (\neg z \lor w \neq 5)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((x > 1 \lor y \leq 0) \land (\neg z \lor w \neq 5)) \)
Opět použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci konjunkce:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \)
Označíme:
\( A = (x > 1 \lor y \leq 0) \), \( B = (\neg z \lor w \neq 5) \)
Podle pravidla tedy:
\( \neg ((x > 1 \lor y \leq 0) \land (\neg z \lor w \neq 5)) = \neg (x > 1 \lor y \leq 0) \lor \neg (\neg z \lor w \neq 5) \)
Nyní zpracujeme negace disjunkcí:
\( \neg (x > 1 \lor y \leq 0) \equiv (x \leq 1 \land y > 0) \)
Protože negace „x větší než 1 nebo y menší nebo rovno 0“ znamená „x menší nebo rovno 1 a y větší než 0“.
Dále:
\( \neg (\neg z \lor w \neq 5) \equiv (z \land w = 5) \)
Negujeme „ne z nebo w není rovno 5“, což je „z je pravda a w je rovno 5“.
Dosadíme zpět:
\( \neg ((x > 1 \lor y \leq 0) \land (\neg z \lor w \neq 5)) = (x \leq 1 \land y > 0) \lor (z \land w = 5) \)
Závěrem, výsledný výraz je:
\( (x \leq 1 \land y > 0) \lor (z \land w = 5) \)
84. Zjednodušte: \( \neg ((A \land B) \lor (C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je negace disjunkce (logického „nebo“):
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \)
Označíme:
\( X = (A \land B) \), \( Y = (C \land D) \)
Upravíme podle vzorce:
\( \neg ((A \land B) \lor (C \land D)) = \neg (A \land B) \land \neg (C \land D) \)
Nyní negujeme jednotlivé konjunkce:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \)
Protože negace „A a B“ je „ne A nebo ne B“.
\( \neg (C \land D) \equiv \neg C \lor \neg D \)
Dosadíme zpět:
\( \neg ((A \land B) \lor (C \land D)) = (\neg A \lor \neg B) \land (\neg C \lor \neg D) \)
Závěrem, výsledný výraz je:
\( (\neg A \lor \neg B) \land (\neg C \lor \neg D) \)
85. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor \neg B) \lor (C \land \neg D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((A \lor \neg B) \lor (C \land \neg D)) \)
Celý výraz je negace disjunkce \( X \lor Y \), tedy platí:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \)
Označíme:
\( X = (A \lor \neg B) \), \( Y = (C \land \neg D) \)
Upravíme jednotlivé části:
\( \neg (A \lor \neg B) \equiv \neg A \land B \)
Protože negace „A nebo ne B“ je „ne A a B“.
\( \neg (C \land \neg D) \equiv \neg C \lor D \)
Protože negace „C a ne D“ je „ne C nebo D“.
Dosadíme zpět do výrazu:
\( \neg ((A \lor \neg B) \lor (C \land \neg D)) = (\neg A \land B) \land (\neg C \lor D) \)
Závěrem, výsledkem je:
\( (\neg A \land B) \land (\neg C \lor D) \)
86. Zjednodušte: \( \neg ((x \leq 3 \land y \neq 2) \lor (z > 0 \lor w < 10)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((x \leq 3 \land y \neq 2) \lor (z > 0 \lor w < 10)) \). Nejprve si všimneme, že jde o negaci disjunkce, tedy platí zákon De Morganovy:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = (x \leq 3 \land y \neq 2) \) a \( Y = (z > 0 \lor w < 10) \).
Podle toho přepíšeme výraz jako:
\( \neg (x \leq 3 \land y \neq 2) \land \neg (z > 0 \lor w < 10) \)
Nyní zpracujeme první negaci. Použijeme De Morganovy zákony i zde, protože se jedná o negaci konjunkce:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \), kde \( A = (x \leq 3) \), \( B = (y \neq 2) \).
Platí tedy:
\( \neg (x \leq 3 \land y \neq 2) \equiv (x > 3) \lor (y = 2) \)
Protože negace \( x \leq 3 \) je \( x > 3 \) a negace \( y \neq 2 \) je \( y = 2 \).
Teď upravíme druhou negaci, která je negací disjunkce:
\( \neg (z > 0 \lor w < 10) \equiv \neg (z > 0) \land \neg (w < 10) \)
Negace \( z > 0 \) je \( z \leq 0 \) a negace \( w < 10 \) je \( w \geq 10 \), takže:
\( \neg (z > 0 \lor w < 10) \equiv (z \leq 0) \land (w \geq 10) \)
Dosadíme zpět do výrazu:
\( ((x > 3) \lor (y = 2)) \land ((z \leq 0) \land (w \geq 10)) \)
Výsledkem je tedy výraz:
\( (x > 3 \lor y = 2) \land (z \leq 0 \land w \geq 10) \)
87. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \lor D)) \). Použijeme De Morganův zákon pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (A \lor B) \), \( Y = (\neg C \lor D) \).
Výraz tedy přepíšeme jako:
\( \neg (A \lor B) \lor \neg (\neg C \lor D) \)
Teď upravíme jednotlivé negace disjunkcí pomocí De Morganových zákonů:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \)
\( \neg (\neg C \lor D) \equiv C \land \neg D \)
Protože negace \( \neg C \) je \( C \) a negace \( D \) je \( \neg D \).
Dosadíme zpět:
\( (\neg A \land \neg B) \lor (C \land \neg D) \)
Výsledkem je:
\( (\neg A \land \neg B) \lor (C \land \neg D) \)
88. Zjednodušte: \( \neg ((P \land Q) \land (\neg R \lor S)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((P \land Q) \land (\neg R \lor S)) \). Nejprve aplikujeme De Morganův zákon pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (P \land Q) \), \( Y = (\neg R \lor S) \).
Výraz se tedy přepíše na:
\( \neg (P \land Q) \lor \neg (\neg R \lor S) \)
Teď upravíme jednotlivé negace:
Negace konjunkce \( P \land Q \) je disjunkce negací:
\( \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q \)
Negace disjunkce \( \neg R \lor S \) je konjunkce negací:
\( \neg (\neg R \lor S) \equiv R \land \neg S \)
Dosadíme zpět:
\( (\neg P \lor \neg Q) \lor (R \land \neg S) \)
Výsledný výraz je:
\( (\neg P \lor \neg Q) \lor (R \land \neg S) \)
89. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \land B) \lor (C \lor \neg D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((\neg A \land B) \lor (C \lor \neg D)) \). Nejprve použijeme De Morganův zákon pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = (\neg A \land B) \), \( Y = (C \lor \neg D) \).
Výraz tedy přepíšeme na:
\( \neg (\neg A \land B) \land \neg (C \lor \neg D) \)
Upravíme první negaci, která je negací konjunkce:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \), tedy:
\( \neg (\neg A \land B) \equiv A \lor \neg B \)
Upravíme druhou negaci, negaci disjunkce:
\( \neg (C \lor \neg D) \equiv \neg C \land D \)
Protože negace \( \neg D \) je \( D \).
Dosadíme zpět:
\( (A \lor \neg B) \land (\neg C \land D) \)
Výsledkem je tedy:
\( (A \lor \neg B) \land (\neg C \land D) \)
90. Zjednodušte: \( \neg ((x = 5 \lor y \neq 1) \land (z \leq 7 \land w > 3)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((x = 5 \lor y \neq 1) \land (z \leq 7 \land w > 3)) \). Nejprve použijeme De Morganův zákon pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (x = 5 \lor y \neq 1) \), \( Y = (z \leq 7 \land w > 3) \).
Výraz tedy přepíšeme jako:
\( \neg (x = 5 \lor y \neq 1) \lor \neg (z \leq 7 \land w > 3) \)
Upravíme první negaci, negaci disjunkce:
\( \neg (x = 5 \lor y \neq 1) \equiv \neg (x = 5) \land \neg (y \neq 1) \)
Negace \( x = 5 \) je \( x \neq 5 \), negace \( y \neq 1 \) je \( y = 1 \), takže:
\( \neg (x = 5 \lor y \neq 1) \equiv (x \neq 5) \land (y = 1) \)
Upravíme druhou negaci, negaci konjunkce:
\( \neg (z \leq 7 \land w > 3) \equiv \neg (z \leq 7) \lor \neg (w > 3) \)
Negace \( z \leq 7 \) je \( z > 7 \), negace \( w > 3 \) je \( w \leq 3 \), tedy:
\( \neg (z \leq 7 \land w > 3) \equiv (z > 7) \lor (w \leq 3) \)
Dosadíme zpět do výrazu:
\( ((x \neq 5) \land (y = 1)) \lor ((z > 7) \lor (w \leq 3)) \)
Výsledkem je tedy:
\( (x \neq 5 \land y = 1) \lor (z > 7 \lor w \leq 3) \)
91. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor B) \lor (C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((A \lor B) \lor (C \land D)) \).
Nejprve si všimneme, že záporná negace se vztahuje na disjunkci dvou částí: \( (A \lor B) \) a \( (C \land D) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = (A \lor B) \) a \( Y = (C \land D) \).
Tedy: \( \neg ((A \lor B) \lor (C \land D)) \equiv \neg (A \lor B) \land \neg (C \land D) \).
Dále znovu použijeme De Morganovo pravidlo pro první část:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \).
Pro druhou část použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci konjunkce:
\( \neg (C \land D) \equiv \neg C \lor \neg D \).
Nyní máme celý výraz jako:
\( (\neg A \land \neg B) \land (\neg C \lor \neg D) \).
Výsledek:
\( \boxed{(\neg A \land \neg B) \land (\neg C \lor \neg D)} \)
92. Zjednodušte: \( \neg ((\neg A \lor \neg B) \land (C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((\neg A \lor \neg B) \land (C \lor D)) \).
Podle De Morganova pravidla pro negaci konjunkce platí:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (\neg A \lor \neg B) \) a \( Y = (C \lor D) \).
Tedy: \( \neg ((\neg A \lor \neg B) \land (C \lor D)) \equiv \neg (\neg A \lor \neg B) \lor \neg (C \lor D) \).
Negaci první části aplikujeme na disjunkci:
\( \neg (\neg A \lor \neg B) \equiv A \land B \) (použitím De Morganova pravidla a dvojité negace).
Negaci druhé části také aplikujeme na disjunkci:
\( \neg (C \lor D) \equiv \neg C \land \neg D \).
Nyní máme výraz:
\( (A \land B) \lor (\neg C \land \neg D) \).
Výsledek:
\( \boxed{(A \land B) \lor (\neg C \land \neg D)} \)
93. Zjednodušte: \( \neg (((A \land B) \lor (\neg C \lor D)) \land E) \)
Řešení příkladu:
Výraz je: \( \neg (((A \land B) \lor (\neg C \lor D)) \land E) \).
Nejprve si označíme:
\( X = (A \land B) \lor (\neg C \lor D) \), takže celý výraz je \( \neg (X \land E) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land E) \equiv \neg X \lor \neg E \).
Nyní musíme vyřešit \( \neg X = \neg ((A \land B) \lor (\neg C \lor D)) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci disjunkce:
\( \neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q \), kde \( P = (A \land B) \) a \( Q = (\neg C \lor D) \).
Tedy: \( \neg ((A \land B) \lor (\neg C \lor D)) \equiv \neg (A \land B) \land \neg (\neg C \lor D) \).
Dále použijeme negaci konjunkce:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \).
A negaci disjunkce:
\( \neg (\neg C \lor D) \equiv C \land \neg D \).
Celý výraz tedy rozepíšeme jako:
\( (\neg A \lor \neg B) \land (C \land \neg D) \lor \neg E \).
Pro větší přehlednost můžeme napsat závěr:
Výsledek:
\( \boxed{((\neg A \lor \neg B) \land (C \land \neg D)) \lor \neg E} \)
94. Zjednodušte: \( \neg ((P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je: \( \neg ((P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S)) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci disjunkce:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = (P \land \neg Q) \) a \( Y = (R \land \neg S) \).
Tedy: \( \neg ((P \land \neg Q) \lor (R \land \neg S)) \equiv \neg (P \land \neg Q) \land \neg (R \land \neg S) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci konjunkce:
\( \neg (P \land \neg Q) \equiv \neg P \lor Q \).
Stejně tak:
\( \neg (R \land \neg S) \equiv \neg R \lor S \).
Celý výraz tedy je:
\( (\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S) \).
Výsledek:
\( \boxed{(\neg P \lor Q) \land (\neg R \lor S)} \)
95. Zjednodušte: \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \land D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz: \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \land D)) \).
Použijeme De Morganovo pravidlo pro negaci konjunkce:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (A \lor B) \) a \( Y = (\neg C \land D) \).
Tedy: \( \neg ((A \lor B) \land (\neg C \land D)) \equiv \neg (A \lor B) \lor \neg (\neg C \land D) \).
Negaci disjunkce rozepíšeme podle De Morganova pravidla:
\( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \).
Negaci konjunkce rozepíšeme:
\( \neg (\neg C \land D) \equiv C \lor \neg D \).
Nyní je celý výraz:
\( (\neg A \land \neg B) \lor (C \lor \neg D) \).
Výsledek:
\( \boxed{(\neg A \land \neg B) \lor (C \lor \neg D)} \)
96. Zjednodušte: \( \neg ((x < 2 \lor y \geq 3) \land (\neg z \lor w = 0)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((x < 2 \lor y \geq 3) \land (\neg z \lor w = 0)) \), což je negace spojení pomocí „a“ (konjunkce).
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (x < 2 \lor y \geq 3) \) a \( Y = (\neg z \lor w = 0) \).
Vypočítáme negace jednotlivých částí:
Negace \( X \):
\( \neg (x < 2 \lor y \geq 3) \equiv (x \geq 2 \land y < 3) \) — zde negujeme „nebo“, takže přecházíme na „a“ a negujeme jednotlivé podmínky.
Negace \( Y \):
\( \neg (\neg z \lor w = 0) \equiv (z \land w \neq 0) \) — opět aplikujeme De Morganův zákon a negujeme jednotlivé části.
Nyní dosadíme zpět:
\( \neg ((x < 2 \lor y \geq 3) \land (\neg z \lor w = 0)) \equiv (x \geq 2 \land y < 3) \lor (z \land w \neq 0) \).
Výsledek: \( (x \geq 2 \land y < 3) \lor (z \land w \neq 0) \).
97. Zjednodušte: \( \neg ((A \land B) \land (C \lor D)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((A \land B) \land (C \lor D)) \), což je negace konjunkce dvou výrazů.
Podle De Morganova zákona:
\( \neg (X \land Y) \equiv \neg X \lor \neg Y \), kde \( X = (A \land B) \) a \( Y = (C \lor D) \).
Nejprve vypočítáme negace jednotlivých částí:
\( \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \) — negujeme „a“ na „nebo“ a negujeme každou proměnnou.
\( \neg (C \lor D) \equiv \neg C \land \neg D \) — negujeme „nebo“ na „a“ a negujeme každou proměnnou.
Dosadíme zpět do výrazu:
\( \neg ((A \land B) \land (C \lor D)) \equiv (\neg A \lor \neg B) \lor (\neg C \land \neg D) \).
Výsledek: \( (\neg A \lor \neg B) \lor (\neg C \land \neg D) \).
98. Zjednodušte: \( \neg ((x > 2 \lor y \leq 1) \land (a = b \lor c \neq d)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((x > 2 \lor y \leq 1) \land (a = b \lor c \neq d)) \), což je negace konjunkce.
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q \), kde \( P = (x > 2 \lor y \leq 1) \) a \( Q = (a = b \lor c \neq d) \).
Negace \( P \):
\( \neg (x > 2 \lor y \leq 1) \equiv (x \leq 2 \land y > 1) \) — negace „nebo“ přechází na „a“ a negujeme jednotlivé části.
Negace \( Q \):
\( \neg (a = b \lor c \neq d) \equiv (a \neq b \land c = d) \).
Dosadíme zpět:
\( \neg ((x > 2 \lor y \leq 1) \land (a = b \lor c \neq d)) \equiv (x \leq 2 \land y > 1) \lor (a \neq b \land c = d) \).
Výsledek: \( (x \leq 2 \land y > 1) \lor (a \neq b \land c = d) \).
99. Zjednodušte: \( \neg ((x \geq 4 \land y \leq 2) \lor (z \neq 0 \land w = 1)) \)
Řešení příkladu:
Výraz je negací disjunkce: \( \neg ((x \geq 4 \land y \leq 2) \lor (z \neq 0 \land w = 1)) \).
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = (x \geq 4 \land y \leq 2) \) a \( Y = (z \neq 0 \land w = 1) \).
Negace \( X \):
\( \neg (x \geq 4 \land y \leq 2) \equiv (x < 4 \lor y > 2) \) — negujeme „a“ na „nebo“ a jednotlivé části.
Negace \( Y \):
\( \neg (z \neq 0 \land w = 1) \equiv (z = 0 \lor w \neq 1) \).
Dosadíme zpět:
\( \neg ((x \geq 4 \land y \leq 2) \lor (z \neq 0 \land w = 1)) \equiv (x < 4 \lor y > 2) \land (z = 0 \lor w \neq 1) \).
Výsledek: \( (x < 4 \lor y > 2) \land (z = 0 \lor w \neq 1) \).
100. Zjednodušte: \( \neg ((\neg (P \lor Q)) \lor (R \land \neg S)) \)
Řešení příkladu:
Máme výraz \( \neg ((\neg (P \lor Q)) \lor (R \land \neg S)) \), což je negace disjunkce.
Podle De Morganova zákona platí:
\( \neg (X \lor Y) \equiv \neg X \land \neg Y \), kde \( X = \neg (P \lor Q) \) a \( Y = (R \land \neg S) \).
Negace \( X \):
\( \neg (\neg (P \lor Q)) = P \lor Q \), protože dvojitá negace zruší sama sebe.
Negace \( Y \):
\( \neg (R \land \neg S) \equiv \neg R \lor S \).
Dosadíme zpět:
\( \neg ((\neg (P \lor Q)) \lor (R \land \neg S)) \equiv (P \lor Q) \land (\neg R \lor S) \).
Výsledek: \( (P \lor Q) \land (\neg R \lor S) \).