1. Vypočítejte geometrický průměr čísel \(4, 16, 64\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Geometrický průměr \(n\) kladných čísel \(a_1, a_2, \dots, a_n\) je dán vzorcem
\( G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} \).
V našem případě máme \(a_1 = 4\), \(a_2 = 16\), \(a_3 = 64\), tedy \(n = 3\).
Vypočítáme součin: \(4 \cdot 16 \cdot 64 = 4 \cdot 16 \cdot 64\).
Nejprve \(4 \cdot 16 = 64\), pak \(64 \cdot 64 = 4096\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{4096}\).
Protože \(4096 = 16^3\), platí
\(G = 16\).
Odpověď: Geometrický průměr je 16.
2. Najděte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku s délkami odvěsen \(3\) cm a \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \(a=3\,cm\) a \(b=4\,cm\).
Hypotenusa \(c\) je podle Pythagorovy věty
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,cm.\)
Geometrický průměr délek všech tří stran je
\(G = \sqrt[3]{3 \cdot 4 \cdot 5} = \sqrt[3]{60}.\)
Číslo \(60\) můžeme rozložit na prvočísla: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), ale přesný tvar nevyžadujeme, pouze vypočítáme přibližnou hodnotu:
\(G \approx \sqrt[3]{60} \approx 3{,}91\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(3{,}91\,cm\).
3. Určete geometrický průměr posloupnosti čísel \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme čtyři kladná čísla \(a_1 = \frac{1}{2}\), \(a_2 = \frac{1}{4}\), \(a_3 = \frac{1}{8}\), \(a_4 = \frac{1}{16}\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{16}}.\)
Vynásobíme zlomky:
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\), pak \(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}\), nakonec \(\frac{1}{64} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{1024}\).
Tedy
\(G = \sqrt[4]{\frac{1}{1024}} = \frac{1}{\sqrt[4]{1024}}.\)
Číslo 1024 je \(2^{10}\), protože \(2^{10} = 1024\).
Platí tedy
\(G = \frac{1}{\sqrt[4]{2^{10}}} = \frac{1}{2^{\frac{10}{4}}} = \frac{1}{2^{2{,}5}} = 2^{-2{,}5} = \frac{1}{2^{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}}.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(\frac{1}{4 \sqrt{2}}\).
4. Vypočítejte geometrický průměr čísel \(9, 27, 81, 243, 729\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Čísla tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem \(9\) a kvocientem \(3\), protože
\(27 = 9 \cdot 3\), \(81 = 27 \cdot 3\) atd.
Máme \(n=5\) čísel.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[5]{9 \cdot 27 \cdot 81 \cdot 243 \cdot 729}.\)
Vyjádříme je jako mocniny třetiny:
\(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(81 = 3^4\), \(243 = 3^5\), \(729 = 3^6\).
Součin je
\(3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3^5 \cdot 3^6 = 3^{2+3+4+5+6} = 3^{20}.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[5]{3^{20}} = 3^{\frac{20}{5}} = 3^{4} = 81.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(81\).
5. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnoramenného trojúhelníku, kde délka základny je \(6\) cm a délka ramene je \(10\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany trojúhelníku jsou: dvě ramena po \(10\) cm a základna \(6\) cm.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{6 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt[3]{600}.\)
Rozložíme číslo 600 na prvočísla:
\(600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5^2} = 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}.\)
To lze přepsat jako
\(G = 2 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}.\)
Přibližná hodnota je
\(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} \approx \sqrt[3]{25} \approx 2{,}924\),
\(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
tedy
\(G \approx 2 \cdot 2{,}924 \cdot 1{,}442 = 2 \cdot 4{,}218 = 8{,}436.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(8{,}44\,cm\).
6. Určete geometrický průměr čísel \(1, 10, 100, 1000, 10000\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Čísla jsou mocniny desítky: \(1 = 10^0\), \(10 = 10^1\), \(100 = 10^2\), \(1000 = 10^3\), \(10000 = 10^4\).
Geometrický průměr pěti čísel je
\(G = \sqrt[5]{1 \cdot 10 \cdot 100 \cdot 1000 \cdot 10000} = \sqrt[5]{10^{0+1+2+3+4}} = \sqrt[5]{10^{10}} = 10^{\frac{10}{5}} = 10^2 = 100.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(100\).
7. Vypočítejte geometrický průměr čísel \(\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Čísla jsou \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = \sqrt{8}\), \(a_3 = \sqrt{18}\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{18}} = \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot 8 \cdot 18}} = \sqrt[3]{\sqrt{288}}.\)
Protože \(\sqrt{288} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2} = 2^{\frac{5}{2}} \cdot 3\), platí
\(G = \sqrt[3]{2^{\frac{5}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{5}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}.\)
Přibližná hodnota je
\(2^{\frac{5}{12}} \approx 1{,}334\), \(3^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}201\),
tedy
\(G \approx 1{,}334 \cdot 1{,}201 = 1{,}602.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(1,602\).
8. Spočítejte geometrický průměr délek stran trojúhelníku s délkami 7 cm, 24 cm a 25 cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme strany trojúhelníku \(7\,cm\), \(24\,cm\), \(25\,cm\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{7 \cdot 24 \cdot 25} = \sqrt[3]{4200}.\)
Rozklad na prvočísla:
\(4200 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7.\)
Geometrický průměr lze vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7} = 2 \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 5^2 \cdot 7} = 2 \cdot \sqrt[3]{525}.\)
Přibližná hodnota \(\sqrt[3]{525} \approx 8{,}06\).
Tedy
\(G \approx 2 \cdot 8{,}06 = 16{,}12.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(16{,}12\,cm\).
9. Vypočítejte geometrický průměr posloupnosti čísel \(2, 4, 8, \dots, 2^n\), kde \(n = 6\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Posloupnost je \(a_k = 2^k\) pro \(k=1, 2, \dots, 6\).
Členy jsou: \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[6]{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 32 \cdot 64} = \sqrt[6]{2^{1+2+3+4+5+6}} = \sqrt[6]{2^{21}} = 2^{\frac{21}{6}} = 2^{3{,}5}.\)
Tedy
\(G = 2^{3} \cdot 2^{0{,}5} = 8 \cdot \sqrt{2} \approx 8 \cdot 1{,}414 = 11{,}312.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11,312\).
10. Vypočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, pokud odvěsny mají délky \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \(9\) cm a \(12\) cm. Délka přepony je
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,cm.\)
Geometrický průměr délek všech tří stran je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo \(1620\) na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme exponenty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \approx 3 \cdot 1{,}442 = 4{,}326\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710.\)
Výsledný geometrický průměr je
\(G \approx 1{,}587 \cdot 4{,}326 \cdot 1{,}710 = 11{,}74.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}74\,cm\).
11. V trojúhelníku jsou délky stran \(5\,cm\), \(7\,cm\) a \(x\,cm\). Určete \(x\), pokud je geometrický průměr délek stran roven \(6\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Geometrický průměr stran je dán vztahem
\(G = \sqrt[3]{5 \cdot 7 \cdot x} = 6.\)
Odtud
\(5 \cdot 7 \cdot x = 6^3 = 216.\)
Dosadíme a vyřešíme pro \(x\):
\(35x = 216 \Rightarrow x = \frac{216}{35} = 6{,}1714.\)
Délka strany \(x\) musí být menší než součet dvou zbývajících stran, tedy \(x < 5 + 7 = 12\), a větší než jejich rozdíl, tedy \(x > 2\). Podmínka je splněna.
Odpověď: Délka třetí strany je přibližně \(6{,}17\,cm\).
12. Najděte geometrický průměr délek stran rovnostranného trojúhelníku, jehož obvod je \(24\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejné délky \(a\).
Obvod je
\(3a = 24 \Rightarrow a = 8\,cm.\)
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[3]{a \cdot a \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} = a = 8\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(8\,cm\).
13. Vypočítejte geometrický průměr délek stran rovnoramenného trojúhelníku, kde základna je \(10\,cm\) a ramena jsou \(x\,cm\). Víme, že geometrický průměr je \(9\,cm\). Určete délku ramene.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany jsou \(x, x, 10\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{x \cdot x \cdot 10} = 9.\)
Odtud
\(x^2 \cdot 10 = 9^3 = 729 \Rightarrow x^2 = \frac{729}{10} = 72{,}9.\)
\(x = \sqrt{72{,}9} = 8{,}54\,cm.\)
Podmínky trojúhelníku jsou splněny, protože \(2x > 10\).
Odpověď: Délka ramene je přibližně \(8{,}54\,cm\).
14. Délky tří sousedních stran v pravidelném šestiúhelníku jsou všechny stejné a rovny \(5\) cm. Spočítejte geometrický průměr těchto tří délek a porovnejte s délkou strany.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Všechny tři délky jsou stejné, tedy
\(a = 5\,cm.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} = 5\,cm.\)
Geometrický průměr je tedy rovný délce jedné strany.
Odpověď: \(G = 5\,cm\), shoduje se s délkou strany.
15. Ve čtverci s délkou strany \(8\) cm spočítejte geometrický průměr délek úhlopříček a stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délka strany čtverce je \(a = 8\,cm\).
Délka úhlopříčky je
\(d = a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \approx 11{,}314\,cm.\)
Máme dvě délky stran a dvě úhlopříčky (úhlopříčka se počítá dvakrát? Zde počítáme jednu úhlopříčku a jednu stranu, dohromady dvě délky): předpokládejme tři délky: dvě strany a jedna úhlopříčka, nebo tři různé délky? Pro geometrický průměr použijeme tyto tři délky: \(8, 8, 11{,}314\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{8 \cdot 8 \cdot 11{,}314} = \sqrt[3]{724{,}9}.\)
Rozložíme 724,9:
\(724{,}9 = 8 \cdot 8 \cdot 11{,}314 \Rightarrow\) už máme rozložení podle délek.
Přibližně
\(G \approx 9{,}0\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(9{,}0\,cm\).
16. V trojúhelníku jsou délky stran v poměru \(2 : 3 : 4\) a geometrický průměr je \(12\) cm. Určete délky všech stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme délky stran jako \(2k, 3k, 4k\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{2k \cdot 3k \cdot 4k} = \sqrt[3]{24 k^3} = 12.\)
Vyjádříme \(k\):
\(\sqrt[3]{24} \cdot k = 12 \Rightarrow k = \frac{12}{\sqrt[3]{24}}.\)
Vypočteme \(\sqrt[3]{24}\):
\(\sqrt[3]{24} \approx 2{,}884.\)
Proto
\(k \approx \frac{12}{2{,}884} = 4{,}16.\)
Délky stran jsou
\(2k = 8{,}32\,cm,\)
\(3k = 12{,}48\,cm,\)
\(4k = 16{,}64\,cm.\)
Odpověď: Délky stran jsou přibližně \(8{,}32\,cm\), \(12{,}48\,cm\) a \(16{,}64\,cm\).
17. Spočítejte geometrický průměr délek hran obdélníku s délkami stran \(4\) cm a \(9\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obdélník má délky stran \(4\,cm\) a \(9\,cm\). Délky hran jsou tedy: 4, 4, 9, 9 cm.
Geometrický průměr těchto čtyř délek je
\(G = \sqrt[4]{4 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 9} = \sqrt[4]{1296}.\)
Vypočítáme \(\sqrt[4]{1296}\):
\(1296 = 6^4\), protože \(6^4 = 1296.\)
Tedy
\(G = 6\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(6\,cm\).
18. Vypočítejte geometrický průměr délek tří stran trojúhelníku, jestliže první strana je \(3\) cm, druhá je o 50 % delší a třetí je průměr prvních dvou stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
První strana je \(3\,cm\).
Druhá strana je o 50 % delší, tedy
\(3 + 0{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\,cm.\)
Třetí strana je průměr prvních dvou, tedy
\(\frac{3 + 4{,}5}{2} = 3{,}75\,cm.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{3 \cdot 4{,}5 \cdot 3{,}75} = \sqrt[3]{50{,}625}.\)
Protože \(50{,}625 = 35^3 / 27\) není jednoduché číslo, vypočítáme aproximaci:
\(G \approx 3{,}68\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(3{,}68\,cm\).
19. Spočítejte geometrický průměr délek hran pravidelného osmiúhelníku, pokud délka jedné hrany je \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný osmiúhelník má osm hran se stejnou délkou \(7\,cm\).
Geometrický průměr osmi délek hran je
\(G = \sqrt[8]{7^8} = 7\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(7\,cm\).
20. Vypočítejte geometrický průměr délek všech hran pravidelného čtyřstěnu, pokud je délka jedné hrany \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřstěn má 6 hran, všechny stejně dlouhé 7 cm.
Geometrický průměr délek je tedy
\(G = \sqrt[6]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[6]{7^6}.\)
Zjednodušíme:
\(G = 7^{\frac{6}{6}} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(7\,cm\).
21. Určete geometrický průměr délek stran obdélníku, jehož délka je \(8\) cm a šířka je \(2\) cm, a poté spočítejte geometrický průměr všech jeho stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obdélník má dvě strany délky 8 cm a dvě strany délky 2 cm.
Geometrický průměr všech čtyř stran je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt[4]{8^2 \cdot 2^2} = \sqrt[4]{(8 \cdot 2)^2}.\)
To znamená
\(G = \sqrt[4]{16^2} = \sqrt[4]{256}.\)
Protože \(\sqrt[4]{256} = \sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt{16} = 4\),
tak
\(G = 4.\)
Odpověď: Geometrický průměr všech stran obdélníku je \(4\,cm\).
22. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde přepona je \(13\) cm a jedna odvěsna má délku \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník s přeponou 13 cm a jednou odvěsnou 5 cm.
Druhá odvěsna \(b\) se spočítá podle Pythagorovy věty:
\(b = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12.\)
Délky stran jsou tedy 5 cm, 12 cm a 13 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{5 \cdot 12 \cdot 13} = \sqrt[3]{780}.\)
Rozložíme číslo 780 na prvočísla:
\(780 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{13} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 13^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližně
\(2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}587,\quad 3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\quad 5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710,\quad 13^{\frac{1}{3}} \approx 2{,}351.\)
Výpočet:
\(G \approx 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 \cdot 2{,}351 \approx 9{,}17.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(9{,}17\,cm\).
23. Určete geometrický průměr délek stran rovnoběžníku, pokud jsou dvě sousední strany dlouhé \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnoběžník má 4 strany, dvě délky 9 cm a dvě délky 12 cm.
Geometrický průměr všech stran je
\(G = \sqrt[4]{9 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 12} = \sqrt[4]{9^2 \cdot 12^2} = \sqrt[4]{(9 \cdot 12)^2}.\)
To znamená
\(G = \sqrt[4]{108^2} = \sqrt[4]{11664}.\)
Protože \(\sqrt[4]{11664} = \sqrt{\sqrt{11664}}\), nejdříve spočítáme \(\sqrt{11664}\):
\(\sqrt{11664} = 108,\)
pak \(\sqrt{108} \approx 10{,}392.\)
Tedy
\(G \approx 10{,}392.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(10{,}39\,cm\).
24. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravidelného šestiúhelníku, pokud délka jedné strany je \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný šestiúhelník má 6 stran stejné délky 5 cm.
Geometrický průměr všech stran je
\(G = \sqrt[6]{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[6]{5^6} = 5.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(5\,cm\).
25. Vypočítejte geometrický průměr délek tří úhlopříček obdélníku, jehož strany jsou \(9\) cm a \(40\) cm. (Úhlopříčka je přímka spojující protilehlé vrcholy.)
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obdélník má dvě úhlopříčky stejné délky.
Délka úhlopříčky \(d\) je podle Pythagorovy věty
\(d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41.\)
Geometrický průměr tří délek úhlopříček je
\(G = \sqrt[3]{41 \cdot 41 \cdot 41} = \sqrt[3]{41^3} = 41.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(41\,cm\).
26. Spočítejte geometrický průměr délek stran lichoběžníku, jehož délky stran jsou \(4\) cm, \(7\) cm, \(4\) cm a \(10\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Lichoběžník má čtyři strany: 4 cm, 7 cm, 4 cm a 10 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{4 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 10} = \sqrt[4]{4^2 \cdot 7 \cdot 10} = \sqrt[4]{16 \cdot 70} = \sqrt[4]{1120}.\)
Rozložíme 1120 na prvočísla:
\(1120 = 2^5 \cdot 5 \cdot 7.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{2^5 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 5 \cdot 7} = 2 \cdot \sqrt[4]{70}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[4]{70} \approx 2{,}9,\)
tedy
\(G \approx 2 \cdot 2{,}9 = 5{,}8.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(5{,}8\,cm\).
27. Určete geometrický průměr délek stran pravidelného pětiúhelníku, jestliže délka jedné strany je \(3\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný pětiúhelník má 5 stran stejné délky 3 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[5]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^5} = 3.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(3\,cm\).
28. Vypočítejte geometrický průměr délek hran kvádru s rozměry \(4\) cm, \(5\) cm a \(6\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kvádr má 12 hran: 4 hrany délky 4 cm, 4 hrany délky 5 cm a 4 hrany délky 6 cm.
Geometrický průměr všech hran je
\(G = \sqrt[12]{4^4 \cdot 5^4 \cdot 6^4} = \sqrt[12]{(4 \cdot 5 \cdot 6)^4} = \sqrt[12]{120^4}.\)
Zjednodušíme exponenty:
\(G = (120)^{\frac{4}{12}} = 120^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{120}.\)
Rozložíme 120 na prvočísla:
\(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližně
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\quad 5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710.\)
Tedy
\(G \approx 2 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 2 \cdot 2{,}466 = 4{,}932.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(4{,}93\,cm\).
29. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde délky odvěsen jsou \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany pravoúhlého trojúhelníku jsou délky odvěsen \(9\) cm a \(12\) cm, přepona podle Pythagora je
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\;cm.\)
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme na součin:
\(G = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot (3 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 15^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(15^{\frac{1}{3}} \approx 2{,}466\),
tedy
\(G \approx 3 \cdot 1{,}587 \cdot 2{,}466 = 3 \cdot 3{,}913 = 11{,}739.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}74\,cm\).
30. Určete geometrický průměr délek stran rovnostranného trojúhelníku, jehož délka strany je \(8\) cm, a čtverce o straně \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany rovnostranného trojúhelníku mají délku 8 cm (3 strany) a čtverec má 4 strany po 5 cm.
Celkem máme 7 délek: 3×8 cm a 4×5 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[7]{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[7]{8^3 \cdot 5^4}.\)
Vyjádříme jako mocniny se zlomkovým exponentem:
\(G = 8^{\frac{3}{7}} \cdot 5^{\frac{4}{7}}.\)
Rozložíme základ 8:
\(8 = 2^3 \Rightarrow 8^{\frac{3}{7}} = (2^3)^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{9}{7}}.\)
Takže
\(G = 2^{\frac{9}{7}} \cdot 5^{\frac{4}{7}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{9}{7}} = 2^{1 + \frac{2}{7}} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{7}} \approx 2 \cdot 1{,}218 = 2{,}436,\)
\(5^{\frac{4}{7}} \approx \exp\left(\frac{4}{7} \ln 5\right) \approx \exp(0{,}571 \cdot 1{,}609) \approx \exp(0{,}919) \approx 2{,}507.\)
Tedy
\(G \approx 2{,}436 \cdot 2{,}507 = 6{,}103.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(6{,}10\,cm\).
31. Vypočítejte geometrický průměr délek úhlopříček obdélníku o rozměrech \(3\) cm a \(4\) cm a délky jeho strany \(3\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úhlopříčka obdélníku se vypočítá podle Pythagorovy věty:
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,cm.\)
Délky, které použijeme k výpočtu geometrického průměru, jsou tedy 3 cm (strana), 4 cm (strana) a 5 cm (úhlopříčka).
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{3 \cdot 4 \cdot 5} = \sqrt[3]{60}.\)
Rozložíme 60 na prvočísla:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}587,\)
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\)
\(5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710.\)
Tedy
\(G \approx 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3{,}913.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(3{,}91\,cm\).
32. Spočítejte geometrický průměr délek hran krychle o hraně délky \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má 12 hran stejné délky 7 cm.
Geometrický průměr dvanácti stejných délek je samozřejmě délka té hrany, protože
\(G = \sqrt[12]{7^{12}} = 7^{\frac{12}{12}} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran krychle je \(7\,cm\).
33. Vypočítejte geometrický průměr délek stran lichoběžníku, kde základna je \(8\) cm, druhá základna \(5\) cm a obě ramena mají délky \(6\) cm a \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran lichoběžníku jsou: 8 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm.
Geometrický průměr čtyř délek je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt[4]{1680}.\)
Rozložíme 1680 na prvočísla:
\(1680 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{7} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}}.\)
Součin odmocnin můžeme sloučit
\(3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 5 \cdot 7)^{\frac{1}{4}} = 105^{\frac{1}{4}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(105^{\frac{1}{4}} \approx \sqrt{\sqrt{105}}.\)
\(\sqrt{105} \approx 10{,}247 \Rightarrow \sqrt{10{,}247} \approx 3{,}201.\)
Tedy
\(G \approx 2 \cdot 3{,}201 = 6{,}402.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(6{,}40\,cm\).
34. Spočítejte geometrický průměr délek tří stran trojúhelníku, kde strany jsou v poměru \(2:3:4\) a součet délek je \(27\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť délky stran jsou \(2x, 3x, 4x\) a platí
\(2x + 3x + 4x = 27 \Rightarrow 9x = 27 \Rightarrow x = 3.\)
Délky stran jsou tedy 6 cm, 9 cm a 12 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{6 \cdot 9 \cdot 12} = \sqrt[3]{648}.\)
Rozložíme 648 na prvočísla:
\(648 = 2^3 \cdot 3^4.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^4} = 2 \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 6 \cdot 3^{\frac{1}{3}}.\)
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442 \Rightarrow G \approx 6 \cdot 1{,}442 = 8{,}652.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(8{,}65\,cm\).
35. Určete geometrický průměr délek stran pravidelného pětiúhelníku o straně \(10\) cm a délky jeho úhlopříček, které jsou \(16\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný pětiúhelník má 5 stran délky 10 cm a 5 úhlopříček délky 16 cm.
Geometrický průměr je pro všech 10 délek:
\(G = \sqrt[10]{10^5 \cdot 16^5} = \sqrt[10]{(10 \cdot 16)^5} = \sqrt[10]{160^5} = 160^{\frac{5}{10}} = 160^{\frac{1}{2}} = \sqrt{160}.\)
\(\sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4 \sqrt{10} \approx 4 \cdot 3{,}162 = 12{,}649.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(12{,}65\,cm\).
36. Určete geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde odvěsny mají délky \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany pravoúhlého trojúhelníku jsou dvě odvěsny 9 cm a 12 cm a přepona \(c\).
Přeponu vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,cm.\)
Geometrický průměr všech tří délek je tedy
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
To můžeme přepsat jako
\(G = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Vyčíslíme jednotlivé odmocniny:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710\).
Tedy
\(G \approx 1{,}587 \cdot 3 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3 \cdot 1{,}587 \cdot 2{,}466 = 3 \cdot 3{,}914 = 11{,}742.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}74\,cm\).
37. Spočítejte geometrický průměr délek hran kvádru s délkami hran \(4\) cm, \(9\) cm a \(25\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hranami kvádru jsou délky 4 cm, 9 cm a 25 cm.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{4 \cdot 9 \cdot 25} = \sqrt[3]{900}.\)
Rozložíme 900 na prvočísla:
\(900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{5^2} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}.\)
Lze to přepsat jako
\(G = (2 \cdot 3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} = 30^{\frac{2}{3}}.\)
Pro přibližný výpočet nejdříve určíme třetí odmocninu 30:
\(\sqrt[3]{30} \approx 3{,}107\),
tedy
\(G = (3{,}107)^2 = 9{,}654.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(9{,}65\,cm\).
38. Vypočítejte geometrický průměr délek stran rovnostranného trojúhelníku, jehož strana měří \(14\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejné délky 14 cm.
Geometrický průměr tří stejných délek je
\(G = \sqrt[3]{14 \cdot 14 \cdot 14} = \sqrt[3]{14^3}.\)
Třetí odmocnina z \(14^3\) je přímo 14, tedy
\(G = 14\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(14\,cm\).
39. Určete geometrický průměr délek úhlopříček obdélníku, jehož strany mají délky \(8\) cm a \(15\) cm, a délky jeho stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany obdélníku mají délky 8 cm a 15 cm.
Úhlopříčka obdélníku se vypočítá podle Pythagorovy věty:
\(d = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\,cm.\)
Obdélník má dvě úhlopříčky stejné délky 17 cm.
Geometrický průměr délek stran a úhlopříček je průměr ze čtyř délek: \(8, 15, 8, 15\), a dvou úhlopříček \(17, 17\).
Pro přehlednost uvedeme všechny délky: \(8, 15, 8, 15, 17, 17\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[6]{8 \cdot 15 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 17}.\)
Nejprve upravíme výraz:
\(G = \sqrt[6]{(8 \cdot 8) \cdot (15 \cdot 15) \cdot (17 \cdot 17)} = \sqrt[6]{8^2 \cdot 15^2 \cdot 17^2} = \sqrt[6]{(8 \cdot 15 \cdot 17)^2}.\)
Vyjádříme odmocninu:
\(G = \sqrt[6]{(8 \cdot 15 \cdot 17)^2} = (8 \cdot 15 \cdot 17)^{\frac{2}{6}} = (8 \cdot 15 \cdot 17)^{\frac{1}{3}}.\)
Vypočítáme součin:
\(8 \cdot 15 = 120\),
\(120 \cdot 17 = 2040.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2040}.\)
Rozložíme 2040 na prvočísla:
\(2040 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17.\)
Geometrický průměr:
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{17} = 2 \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 5 \cdot 17} = 2 \cdot \sqrt[3]{255}.\)
Určíme přibližnou hodnotu:
\(\sqrt[3]{255} \approx 6{,}35\),
tedy
\(G \approx 2 \cdot 6{,}35 = 12{,}7.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(12{,}7\,cm\).
40. Vypočítejte geometrický průměr délek hran krychle, kde délka hrany je \(5\) cm, a délky úhlopříček jedné stěny a celé krychle.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má hranu délky 5 cm.
Úhlopříčka jedné stěny je podle Pythagorovy věty
\(d_1 = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}.\)
Úhlopříčka celé krychle je podle trojrozměrné Pythagorovy věty
\(d_2 = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}.\)
Geometrický průměr délek 5 cm (hrana), \(5 \sqrt{2}\) cm (úhlopříčka stěny), \(5 \sqrt{3}\) cm (úhlopříčka krychle) je
\(G = \sqrt[3]{5 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt[3]{125 \cdot \sqrt{6}}.\)
Vyjádříme odmocninu jako mocninu:
\(\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[3]{125 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{6^{\frac{1}{2}}} = 5 \cdot 6^{\frac{1}{6}}.\)
Určíme přibližnou hodnotu \(6^{\frac{1}{6}}\):
\(6^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{6} \approx 1{,}348\).
Tedy
\(G \approx 5 \cdot 1{,}348 = 6{,}74.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(6{,}74\,cm\).
41. Spočítejte geometrický průměr délek tří různých poloměrů kružnic o délkách \(4\) cm, \(9\) cm a \(16\) cm, přičemž délka kružnice je \(2 \pi r\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délka kružnice je dána vztahem
\(L = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{L}{2 \pi}.\)
Poloměry kružnic jsou
\(r_1 = \frac{4}{2 \pi} = \frac{2}{\pi}, \quad r_2 = \frac{9}{2 \pi} = \frac{9}{2 \pi}, \quad r_3 = \frac{16}{2 \pi} = \frac{8}{\pi}.\)
Geometrický průměr poloměrů je
\(G = \sqrt[3]{\frac{2}{\pi} \cdot \frac{9}{2 \pi} \cdot \frac{8}{\pi}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9 \cdot 8}{2 \pi \cdot \pi \cdot \pi}} = \sqrt[3]{\frac{144}{2 \pi^3}} = \sqrt[3]{\frac{72}{\pi^3}}.\)
Lze rozdělit na dvě odmocniny:
\(G = \sqrt[3]{72} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\pi^3}} = \sqrt[3]{72} \cdot \frac{1}{\pi}.\)
Určíme přibližnou hodnotu \(\sqrt[3]{72}\):
\(\sqrt[3]{72} \approx 4{,}16\),
proto
\(G \approx \frac{4{,}16}{3{,}142} \approx 1{,}32.\)
Odpověď: Geometrický průměr poloměrů je přibližně \(1{,}32\,cm\).
42. V pravoúhlém trojúhelníku jsou délky odvěsen \(9\) cm a \(12\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek všech jeho stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami 9 cm a 12 cm je přepona podle Pythagorovy věty
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,cm.\)
Strany jsou tedy 9 cm, 12 cm a 15 cm.
Geometrický průměr všech tří délek je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Geometrický průměr přepíšeme jako
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty jsou
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3} \approx 3 \cdot 1{,}442 = 4{,}326\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710.\)
Celkový geometrický průměr je
\(G \approx 1{,}587 \cdot 4{,}326 \cdot 1{,}710 \approx 11{,}73.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(11{,}73\,cm\).
43. V pravidelném šestiúhelníku je délka jedné strany \(8\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek všech stran (všechny strany mají stejnou délku) a porovnejte jej s délkou jedné strany.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný šestiúhelník má všechny strany stejné délky, zde 8 cm.
Geometrický průměr šesti stejných délek je
\(G = \sqrt[6]{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt[6]{8^6} = 8.\)
Porovnání:
Geometrický průměr je shodný s délkou jedné strany.
Odpověď: Geometrický průměr je \(8\,cm\), což je délka jedné strany.
44. Spočítejte geometrický průměr délek hran krychle o hraně délky \(5\) cm a kvádru s hranami \(4\) cm, \(6\) cm a \(8\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má všechny hrany délky \(5\) cm, takže \(12\) hran každá \(5\) cm.
Kvádr má hrany \(4\) cm, \(6\) cm a \(8\) cm, opět \(12\) hran: \(4\) hrany po \(4\) cm, \(4\) hrany po \(6\) cm a \(4\) hrany po \(8\) cm.
Celkem máme \(24\) hran: \(12\) hran \(5\) cm, \(4\) hran \(4\) cm, \(4\) hran \(6\) cm a \(4\) hran \(8\) cm.
Geometrický průměr hran je
\(G = \sqrt[24]{5^{12} \cdot 4^4 \cdot 6^4 \cdot 8^4}.\)
Vyjádříme to jako
\(G = \sqrt[24]{5^{12} \cdot (2^2)^4 \cdot (2 \cdot 3)^4 \cdot (2^3)^4} = \sqrt[24]{5^{12} \cdot 2^{8} \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2^{12}}.\)
Sčítáme exponenty u 2:
\(2^{8+4+12} = 2^{24}\).
Celkem máme
\(G = \sqrt[24]{5^{12} \cdot 2^{24} \cdot 3^{4}} = \sqrt[24]{2^{24}} \cdot \sqrt[24]{3^{4}} \cdot \sqrt[24]{5^{12}} = 2^{1} \cdot 3^{\frac{4}{24}} \cdot 5^{\frac{12}{24}} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3} \approx 1{,}201\),
\(5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \approx 2{,}236.\)
Výpočet:
\(G \approx 2 \cdot 1{,}201 \cdot 2{,}236 = 2 \cdot 2{,}685 = 5{,}37.\)
Odpověď: Geometrický průměr hran je přibližně \(5{,}37\,cm\).
45. V rovině jsou body \(A\), \(B\) a \(C\). Délky stran trojúhelníku jsou \(AB=7\,cm\), \(BC=24\,cm\) a \(AC=25\,cm\). Spočítejte geometrický průměr délek stran trojúhelníku a ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme pravoúhlost pomocí Pythagorovy věty:
Nejdelší strana je \(AC = 25\,cm\).
Ověření:
\(AB^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\),
\(AC^2 = 25^2 = 625.\)
Platí \(AB^2 + BC^2 = AC^2 \Rightarrow\) trojúhelník je pravoúhlý.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{7 \cdot 24 \cdot 25} = \sqrt[3]{4200}.\)
Rozložíme číslo 4200 na prvočísla:
\(4200 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7.\)
Geometrický průměr přepíšeme:
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7} = 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{7}.\)
Přibližné hodnoty:
\(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25} \approx 2{,}924\),
\(\sqrt[3]{7} \approx 1{,}913.\)
Výpočet:
\(G \approx 2 \cdot 1{,}442 \cdot 2{,}924 \cdot 1{,}913 = 2 \cdot 8{,}086 = 16{,}172.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(16{,}17\,cm\).
46. V rovnostranném trojúhelníku je délka strany \(14\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek všech tří stran a vypočtěte také geometrický průměr délky strany a výšky trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny tři strany stejné délky 14 cm.
Geometrický průměr délek tří stran je
\(G_1 = \sqrt[3]{14 \cdot 14 \cdot 14} = \sqrt[3]{14^3} = 14.\)
Výška rovnostranného trojúhelníku je
\(v = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 = 7 \sqrt{3} \approx 7 \cdot 1{,}732 = 12{,}124\,cm.\)
Geometrický průměr délky strany a výšky je
\(G_2 = \sqrt{14 \cdot 12{,}124} = \sqrt{169{,}736} \approx 13{,}03.\)
Odpověď:
Geometrický průměr stran je \(14\) cm, geometrický průměr délky strany a výšky je přibližně \(13{,}03\,cm\).
47. V rovnoramenném trojúhelníku je délka základny \(10\) cm a délka ramene \(13\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek stran a poté geometrický průměr délky základny a výšky na základnu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany jsou: základna \(a = 10\,cm\), dvě ramena \(b = 13\,cm\).
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[3]{10 \cdot 13 \cdot 13} = \sqrt[3]{1690}.\)
Rozložíme na prvočísla:
\(1690 = 2 \cdot 5 \cdot 13^2.\)
Geometrický průměr přepíšeme jako
\(G = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 13^2} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot 13^{\frac{2}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(\sqrt[3]{2} \approx 1{,}260\),
\(\sqrt[3]{5} \approx 1{,}710\),
\(13^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{169} \approx 5{,}528.\)
Výpočet:
\(G \approx 1{,}260 \cdot 1{,}710 \cdot 5{,}528 = 11{,}91.\)
Výška na základnu je
\(v = \sqrt{13^2 – \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm.\)
Geometrický průměr délky základny a výšky je
\(G_v = \sqrt{10 \cdot 12} = \sqrt{120} \approx 10{,}95.\)
Odpověď:
Geometrický průměr stran je přibližně \(11{,}91\,cm\), geometrický průměr délky základny a výšky je přibližně \(10{,}95\,cm\).
48. Ve čtyřúhelníku jsou délky stran \(5\) cm, \(7\) cm, \(10\) cm a \(14\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany čtyřúhelníku jsou \(5\,cm, 7\,cm, 10\,cm, 14\,cm.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{5 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 14} = \sqrt[4]{4900}.\)
Rozložíme číslo 4900:
\(4900 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2.\)
Geometrický průměr přepíšeme jako
\(G = \sqrt[4]{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = \sqrt[4]{(2 \cdot 5 \cdot 7)^2} = \sqrt[4]{70^2}.\)
To je stejné jako
\(G = \sqrt{70} \approx 8{,}366.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(8{,}37\,cm\).
49. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde odvěsny mají délky \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany trojúhelníku jsou: odvěsna \(a = 9\) cm, odvěsna \(b = 12\) cm, přepona \(c\) je podle Pythagorovy věty
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) cm.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme na kombinaci celých a odmocninových částí:
\(3^{\frac{4}{3}} = 3^{1 + \frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}\),
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}\).
Tedy
\(G = 3 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 3 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot 3 \cdot 5} = 3 \cdot \sqrt[3]{60}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[3]{60} \approx 3{,}914\),
tedy
\(G \approx 3 \cdot 3{,}914 = 11{,}742.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(11{,}74\,cm\).
50. Vypočtěte geometrický průměr délek stran rovnoramenného lichoběžníku, kde obě ramena mají délku \(7\) cm a základny jsou \(10\) cm a \(14\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran jsou 7 cm, 7 cm, 10 cm a 14 cm.
Geometrický průměr všech čtyř délek je
\(G = \sqrt[4]{7 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 14} = \sqrt[4]{6860}.\)
Rozložíme číslo 6860 na prvočísla:
\(6860 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7^3.\)
Geometrický průměr lze tedy napsat jako
\(G = \sqrt[4]{2^2 \cdot 5 \cdot 7^3} = \sqrt[4]{2^2} \cdot \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{7^3} = 2^{\frac{2}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}.\)
Zjednodušíme exponenty:
\(2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\),
takže
\(G = \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}.\)
Přepíšeme na odmocniny:
\(7^{\frac{3}{4}} = 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7}\),
tedy
\(G = \sqrt{2} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt{14} \cdot \sqrt[4]{5 \cdot 7} = \sqrt{14} \cdot \sqrt[4]{35}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt{14} \approx 3{,}742\),
\(\sqrt[4]{35} \approx 2{,}278\),
tedy
\(G \approx 3{,}742 \cdot 2{,}278 = 8{,}521.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(8{,}52\,cm\).
51. Najděte geometrický průměr délek hran krychle, jejíž hrana měří \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má 12 hran, všechny jsou stejné délky 5 cm.
Geometrický průměr všech hran je
\(G = \sqrt[12]{5^{12}} = 5.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran krychle je přesně \(5\) cm.
52. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnoběžníku, jehož strany měří \(8\) cm a \(15\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnoběžník má dvě délky stran 8 cm a dvě délky stran 15 cm.
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 15} = \sqrt[4]{(8 \cdot 15)^2} = \sqrt[4]{120^2}.\)
Protože \(\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}\), platí
\(G = \sqrt{120}.\)
Vypočítáme hodnotu
\(\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2 \sqrt{30} \approx 2 \cdot 5{,}477 = 10{,}954.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran rovnoběžníku je přibližně \(10{,}95\,cm\).
53. Vypočítejte geometrický průměr délek tří stran rovnostranného trojúhelníku s délkou strany \(7\) cm, \(9\) cm a \(11\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany mají délky \(7\) cm, \(9\) cm a \(11\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{7 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt[3]{693}.\)
Rozložíme číslo 693 na prvočísla:
\(693 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[3]{3^2 \cdot 7 \cdot 11} = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 11^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme jako
\(3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}\),
proto
\(G = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{11} = \sqrt[3]{9 \cdot 7 \cdot 11} = \sqrt[3]{693}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[3]{693} \approx 8{,}87.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(8{,}87\,cm\).
54. Určete geometrický průměr délek stran rovnostranného trojúhelníku, pokud je jeho obvod \(36\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejné délky, označíme délku jedné strany \(a\).
Obvod je
\(3a = 36 \Rightarrow a = 12\,cm.\)
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{a \cdot a \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} = a = 12.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přesně \(12\) cm.
55. Spočítejte geometrický průměr délek stran trojúhelníku, jehož strany jsou v poměru \(3:4:5\) a obvod je \(36\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme délky stran jako \(3x, 4x, 5x\).
Obvod je
\(3x + 4x + 5x = 12x = 36 \Rightarrow x = 3.\)
Délky stran jsou tedy
\(9, 12\) a \(15\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme
\(3^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}\),
tedy
\(G = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}.\)
To lze také vyjádřit jako
\(G = 3 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} = 3 \cdot \sqrt[3]{60}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[3]{60} \approx 3{,}914\),
tedy
\(G \approx 3 \cdot 3{,}914 = 11{,}742.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(11{,}74\,cm\).
56. Vypočítejte geometrický průměr délek hran kvádru, jehož rozměry jsou \(3\) cm, \(4\) cm a \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kvádr má 12 hran, z toho 4 hrany délky 3 cm, 4 hrany délky 4 cm a 4 hrany délky 5 cm.
Geometrický průměr délek hran je
\(G = \sqrt[12]{3^4 \cdot 4^4 \cdot 5^4} = \sqrt[12]{(3 \cdot 4 \cdot 5)^4} = \sqrt[12]{60^4}.\)
Protože \(\sqrt[12]{x^4} = x^{\frac{4}{12}} = x^{\frac{1}{3}}\), platí
\(G = 60^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{60}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[3]{60} \approx 3{,}914.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran kvádru je přibližně \(3{,}91\,cm\).
57. Vypočítejte geometrický průměr délek všech hran pravidelného čtyřstěnu, jehož hrana má délku \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřstěn má 6 hran stejné délky 7 cm.
Geometrický průměr všech hran je tedy
\(G = \sqrt[6]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[6]{7^6} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr hran pravidelného čtyřstěnu je \(7\,cm\).
58. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku jsou \(9\) cm, \(12\) cm a \(15\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek všech tří stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran jsou \(9\) cm, \(12\) cm a \(15\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15}.\)
Nejprve spočítáme součin:
\(9 \cdot 12 = 108,\quad 108 \cdot 15 = 1620.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Potom
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
To lze napsat jako
\(G = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587,\)
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442,\)
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710.\)
Tedy
\(G \approx 3 \cdot 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3 \cdot 3{,}912 = 11{,}736.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}74\,cm\).
59. Vypočítejte geometrický průměr délek stran lichoběžníku, jehož základny jsou \(8\) cm a \(12\) cm a ramena jsou \(5\) cm a \(10\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran jsou \(8\) cm, \(12\) cm, \(5\) cm a \(10\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 10}.\)
Nejprve spočítáme součin:
\(8 \cdot 12 = 96,\quad 5 \cdot 10 = 50,\quad 96 \cdot 50 = 4800.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[4]{4800}.\)
Rozložíme 4800 na prvočísla:
\(4800 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^2.\)
Potom
\(G = \sqrt[4]{2^6 \cdot 3 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{2^6} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{5^2} = 2^{\frac{6}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{2}{4}} = 2^{1{,}5} \cdot 3^{0{,}25} \cdot 5^{0{,}5}.\)
Lze přepsat jako
\(2^{1} \cdot 2^{0{,}5} \cdot 3^{0{,}25} \cdot 5^{0{,}5} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{5}.\)
Přibližné hodnoty:
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\)
\(\sqrt[4]{3} \approx 1{,}316,\)
\(\sqrt{5} \approx 2{,}236.\)
Tedy
\(G \approx 2 \cdot 1{,}414 \cdot 1{,}316 \cdot 2{,}236 = 2 \cdot 4{,}162 = 8{,}324.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(8{,}32\,cm\).
60. Vypočítejte geometrický průměr délek všech hran krychle s hranou délky \(3\) cm a kvádru s hranami \(2\) cm, \(3\) cm a \(4\) cm dohromady.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má 12 hran délky 3 cm, kvádr má 12 hran: 4 hrany 2 cm, 4 hrany 3 cm a 4 hrany 4 cm.
Celkem je tedy \(12 + 12 = 24\) hran.
Součin délek hran je
\(3^{12} \cdot (2^4 \cdot 3^4 \cdot 4^4) = 3^{12} \cdot 2^4 \cdot 3^4 \cdot 4^4 = 3^{16} \cdot 2^4 \cdot (2^2)^4 = 3^{16} \cdot 2^4 \cdot 2^{8} = 3^{16} \cdot 2^{12}.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[24]{3^{16} \cdot 2^{12}} = 3^{\frac{16}{24}} \cdot 2^{\frac{12}{24}} = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(3^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{3})^2 \approx 1{,}442^2 = 2{,}08,\)
\(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414.\)
Tedy
\(G \approx 2{,}08 \cdot 1{,}414 = 2{,}943.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran je přibližně \(2{,}94\,cm\).
61. Vypočítejte geometrický průměr délek všech tří tělesových úhlopříček krychle s hranou délky \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Tělesová úhlopříčka krychle je dána délkou
\(d = a \sqrt{3}\), kde \(a = 5\) cm.
Délka jedné úhlopříčky je tedy
\(d = 5 \sqrt{3}.\)
Krychle má 4 tělesové úhlopříčky stejné délky.
Geometrický průměr všech tří úhlopříček je tedy
\(G = \sqrt[3]{(5 \sqrt{3})^3} = 5 \sqrt{3}.\)
Přibližná hodnota
\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\), tedy
\(G \approx 5 \cdot 1{,}732 = 8{,}66.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(8{,}66\,cm\).
62. Vypočítejte geometrický průměr délek tří segmentů, jejichž délky jsou v poměru \(2:3:5\) a jejich součet je \(30\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme délky segmentů jako \(2x, 3x, 5x\).
Jejich součet je
\(2x + 3x + 5x = 10x = 30 \Rightarrow x = 3.\)
Délky segmentů jsou tedy
\(6, 9, 15\) cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{6 \cdot 9 \cdot 15}.\)
Vypočteme součin:
\(6 \cdot 9 = 54,\quad 54 \cdot 15 = 810.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{810}.\)
Rozložíme 810 na prvočísla:
\(810 = 2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Potom
\(G = \sqrt[3]{2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Lze přepsat jako
\(3^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\)
\(2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}260,\)
\(5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710.\)
Tedy
\(G \approx 3 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}260 \cdot 1{,}710 = 3 \cdot 3{,}110 = 9{,}33.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(9{,}33\,cm\).
63. Spočítejte geometrický průměr délek všech hran pravidelného osmistěnu, jehož hrana má délku \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný osmistěn má 12 hran stejné délky 4 cm.
Geometrický průměr všech hran je
\(G = \sqrt[12]{4^{12}} = 4.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(4\,cm\).
64. Vypočítejte geometrický průměr délek hran kvádru, jehož rozměry jsou \(4\) cm, \(9\) cm a \(16\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hranami kvádru jsou délky 4 cm, 9 cm a 16 cm.
Geometrický průměr těchto tří délek je
\(G = \sqrt[3]{4 \cdot 9 \cdot 16} = \sqrt[3]{576}.\)
Rozložíme číslo 576 na prvočísla:
\(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^6} \cdot \sqrt[3]{3^2} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 2^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}.\)
Přibližná hodnota je
\(3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08,\)
tedy
\(G \approx 4 \cdot 2{,}08 = 8{,}32.\)
Odpověď: Geometrický průměr hran kvádru je přibližně \(8{,}32\,cm\).
65. Určete geometrický průměr délek stran obdélníkového trojúhelníku, jehož odvěsny měří \(3\) cm a \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Přepona je podle Pythagorovy věty
\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,cm.\)
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[3]{3 \cdot 4 \cdot 5} = \sqrt[3]{60}.\)
Rozložíme číslo 60 na prvočísla:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr lze vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Výpočtem přibližných hodnot dostáváme
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587,\)
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442,\)
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710.\)
Celkem tedy
\(G \approx 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3{,}91.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(3{,}91\,cm\).
66. Spočítejte geometrický průměr délek tří úhlopříček čtverce o straně \(5\) cm, přičemž úhlopříčky jsou v poměru \(1 : 1 : 2\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Čtverec má dvě úhlopříčky stejné délky, každá délka je
\(d = 5 \sqrt{2}.\)
Podle zadání máme třetí úhlopříčku o dvojnásobné délce, tedy
\(2d = 2 \cdot 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}.\)
Geometrický průměr těchto tří délek je
\(G = \sqrt[3]{d \cdot d \cdot 2d} = \sqrt[3]{2 d^3} = \sqrt[3]{2 \cdot (5 \sqrt{2})^3}.\)
Vypočítáme
\((5 \sqrt{2})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 125 \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 125 \cdot 2^{1.5} = 125 \cdot 2 \sqrt{2} = 250 \sqrt{2}.\)
Dosadíme do výrazu pro geometrický průměr:
\(G = \sqrt[3]{2 \cdot 250 \sqrt{2}} = \sqrt[3]{500 \sqrt{2}}.\)
Rozložíme na prvočísla a mocniny:
\(500 = 2^2 \cdot 5^3,\)
\(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}.\)
Celkový výraz je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 5^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{2^{2 + \frac{1}{2}} \cdot 5^3} = \sqrt[3]{2^{\frac{5}{2}} \cdot 5^3} = 2^{\frac{5}{6}} \cdot 5^{1} = 5 \cdot 2^{\frac{5}{6}}.\)
Přibližná hodnota je
\(2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32} \approx 2{,}0.\)
Tedy
\(G \approx 5 \cdot 2 = 10.\)
Odpověď: Geometrický průměr úhlopříček je přibližně \(10\,cm\).
67. Vypočítejte geometrický průměr délek hran pravidelného čtyřstěnu, jehož hrana měří \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřstěn má 6 hran, všechny stejně dlouhé, délka hrany je 7 cm.
Geometrický průměr hran je
\(G = \sqrt[6]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[6]{7^6} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran je \(7\,cm\).
68. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde jedna odvěsna je \(8\) cm a přepona je \(17\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Podle Pythagorovy věty platí pro druhou odvěsnu \(b\):
\(b = \sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15\,cm.\)
Geometrický průměr stran je
\(G = \sqrt[3]{8 \cdot 15 \cdot 17} = \sqrt[3]{2040}.\)
Rozložíme číslo 2040 na prvočísla:
\(2040 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17.\)
Geometrický průměr lze vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17} = 2 \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 5 \cdot 17} = 2 \cdot \sqrt[3]{255}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt[3]{255} \approx 6{,}35,\)
tedy
\(G \approx 2 \cdot 6{,}35 = 12{,}7.\)
Odpověď: Geometrický průměr stran je přibližně \(12{,}7\,cm\).
69. Určete geometrický průměr délek všech hran krychle, jejíž hrana je \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má 12 hran, všechny délky jsou 12 cm.
Geometrický průměr hran je
\(G = \sqrt[12]{12^{12}} = 12.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran krychle je \(12\,cm\).
70. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnoramenného trojúhelníku, kde základna měří \(8\) cm a ramena jsou \(15\) cm a \(20\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany jsou 8 cm, 15 cm a 20 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{8 \cdot 15 \cdot 20} = \sqrt[3]{2400}.\)
Rozložíme číslo 2400 na prvočísla:
\(2400 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{2^5 \cdot 3 \cdot 5^2} = 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}.\)
Přibližné hodnoty jsou
\(2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5} = \sqrt[3]{32} \approx 3{,}174,\)
\(3^{\frac{1}{3}} = 1{,}442,\)
\(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25} \approx 2{,}924.\)
Celkem
\(G \approx 3{,}174 \cdot 1{,}442 \cdot 2{,}924 = 13{,}39.\)
Odpověď: Geometrický průměr stran je přibližně \(13{,}39\,cm\).
71. Vypočítejte geometrický průměr délek stran lichoběžníku s délkami stran \(5\) cm, \(7\) cm, \(12\) cm a \(14\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Geometrický průměr délek čtyř stran je
\(G = \sqrt[4]{5 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 14} = \sqrt[4]{5880}.\)
Rozložíme číslo 5880 na prvočísla:
\(5880 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[4]{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^2} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}.\)
Přibližné hodnoty jsou
\(2^{\frac{3}{4}} \approx 1{,}682,\)
\(3^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}316,\)
\(5^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}495,\)
\(7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7} \approx 2{,}646.\)
Celkem tedy
\(G \approx 1{,}682 \cdot 1{,}316 \cdot 1{,}495 \cdot 2{,}646 = 8{,}73.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran lichoběžníku je přibližně \(8{,}73\,cm\).
72. Spočítejte geometrický průměr délek tří stran pravoúhlého trojúhelníku, kde odvěsny měří \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany pravoúhlého trojúhelníku jsou dvě odvěsny \(a=9\,cm\), \(b=12\,cm\) a přepona \(c\).
Přeponu spočítáme podle Pythagorovy věty:
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,cm.\)
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\)
Geometrický průměr tedy přepíšeme jako
\(G = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
To lze napsat také jako
\(G = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710\),
tedy
\(G \approx 3 \cdot 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3 \cdot 3{,}91 = 11{,}73\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}73\,cm\).
73. Vypočítejte geometrický průměr délek stran rovnoramenného lichoběžníku, jehož rovnoběžné strany měří \(8\) cm a \(14\) cm a ramena \(6\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany lichoběžníku jsou \(8\,cm\), \(14\,cm\) a dvě ramena po \(6\,cm\).
Geometrický průměr čtyř délek je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt[4]{4032}.\)
Rozložíme číslo 4032 na prvočísla:
\(4032 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7.\)
Geometrický průměr tedy vyjádříme jako
\(G = \sqrt[4]{2^6} \cdot \sqrt[4]{3^2} \cdot \sqrt[4]{7} = 2^{\frac{6}{4}} \cdot 3^{\frac{2}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 2^{1{,}5} \cdot 3^{0{,}5} \cdot 7^{0{,}25}.\)
To lze napsat jako
\(G = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{7}.\)
Přibližné hodnoty:
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\),
\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\),
\(\sqrt[4]{7} = \sqrt{\sqrt{7}} \approx \sqrt{2{,}6458} \approx 1{,}626\),
tedy
\(G \approx 2 \cdot 1{,}414 \cdot 1{,}732 \cdot 1{,}626 = 2 \cdot 3{,}988 = 7{,}976\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(7{,}98\,cm\).
74. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnostranného pětiúhelníku, jehož každá strana měří \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany pětiúhelníku jsou všechny stejné délky \(7\,cm\).
Geometrický průměr pěti stejných čísel je totožný s touto délkou, protože
\(G = \sqrt[5]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[5]{7^5} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přesně \(7\,cm\).
75. Spočítejte geometrický průměr délek úhlopříček obdélníku, jehož délky stran jsou \(5\) cm a \(20\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úhlopříčky obdélníku mají stejnou délku, která se spočítá jako
\(d = \sqrt{5^2 + 20^2} = \sqrt{25 + 400} = \sqrt{425}.\)
Geometrický průměr dvou stejných délek je opět jejich hodnota:
\(G = \sqrt{d \cdot d} = d = \sqrt{425}.\)
Rozložíme číslo 425 na prvočísla:
\(425 = 25 \cdot 17 = 5^2 \cdot 17.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = 5 \cdot \sqrt{17}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt{17} \approx 4{,}123\),
tedy
\(G \approx 5 \cdot 4{,}123 = 20{,}615\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr úhlopříček je přibližně \(20{,}62\,cm\).
76. Spočítejte geometrický průměr délek stran trojúhelníku, jehož délky jsou v poměru \(3 : 4 : 5\) a nejdelší strana měří \(25\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran jsou v poměru \(3 : 4 : 5\) a nejdelší strana \(5k = 25\,cm\), tedy
\(k = \frac{25}{5} = 5.\)
Délky stran jsou tedy
\(3k = 15\,cm, \quad 4k = 20\,cm, \quad 5k = 25\,cm.\)
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{15 \cdot 20 \cdot 25} = \sqrt[3]{7500}.\)
Rozložíme číslo 7500 na prvočísla:
\(7500 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^4.\)
Geometrický průměr tedy vyjádříme jako
\(G = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5^4} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{4}{3}}.\)
To lze zapsat jako
\(G = 5 \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710\),
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
tedy
\(G \approx 5 \cdot 1{,}710 \cdot 1{,}587 \cdot 1{,}442 = 5 \cdot 3{,}913 = 19{,}565\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(19{,}57\,cm\).
77. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravidelného šestiúhelníku, pokud jeho strana měří \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný šestiúhelník má šest stran stejné délky \(4\,cm\).
Geometrický průměr šesti stejných čísel je tato délka, protože
\(G = \sqrt[6]{4^6} = 4.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přesně \(4\,cm\).
78. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, jehož kratší odvěsna je \(7\) cm a přepona je \(25\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krátší odvěsna je \(a=7\,cm\), přepona \(c=25\,cm\), druhou odvěsnu označíme \(b\).
Použijeme Pythagorovu větu:
\(b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{25^2 – 7^2} = \sqrt{625 – 49} = \sqrt{576} = 24\,cm.\)
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{7 \cdot 24 \cdot 25} = \sqrt[3]{4200}.\)
Rozložíme číslo 4200 na prvočísla:
\(4200 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7.\)
Geometrický průměr lze napsat jako
\(G = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{7} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25} \approx 2{,}924\),
\(7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{7} \approx 1{,}913\),
tedy
\(G \approx 2 \cdot 1{,}442 \cdot 2{,}924 \cdot 1{,}913 = 2 \cdot 8{,}08 = 16{,}16\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(16{,}16\,cm\).
79. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnoběžníku, kde délky stran jsou \(9\) cm a \(15\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany rovnoběžníku jsou dvě délky \(9\,cm\) a dvě délky \(15\,cm\).
Geometrický průměr všech čtyř stran je
\(G = \sqrt[4]{9 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 15} = \sqrt[4]{(9^2) \cdot (15^2)} = \sqrt[4]{(9 \cdot 15)^2} = \sqrt[4]{135^2}.\)
Protože \(\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}\), platí
\(G = \sqrt{135}.\)
Rozložíme 135 na prvočísla:
\(135 = 3^3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt{3^3 \cdot 5} = \sqrt{27 \cdot 5} = \sqrt{135} \approx 11{,}618\,cm.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}62\,cm\).
80. Vypočítejte geometrický průměr délek všech hran pravidelného čtyřstěnu, jehož hrana má délku \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřstěn má 6 hran, všechny mají stejnou délku 7 cm.
Geometrický průměr šesti stejných délek je
\(G = \sqrt[6]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[6]{7^6} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(7\,cm\).
81. Určete geometrický průměr délek úhlopříček obdélníku, jehož strany mají délky \(3\) cm a \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obdélník má dvě úhlopříčky stejné délky, délka úhlopříčky se spočítá pomocí Pythagorovy věty:
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\)
Obě úhlopříčky mají délku 5 cm, geometrický průměr dvou stejných délek je
\(G = \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5.\)
Odpověď: Geometrický průměr úhlopříček je \(5\,cm\).
82. Spočítejte geometrický průměr délek tří stran rovnostranného trojúhelníku, pokud je jeho obvod \(18\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé, tedy délka jedné strany je
\(a = \frac{18}{3} = 6\,cm.\)
Geometrický průměr tří stejných délek je
\(G = \sqrt[3]{6 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt[3]{6^3} = 6.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(6\,cm\).
83. Vypočítejte geometrický průměr délek tří středních příček pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami \(8\) cm a \(15\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny \(a = 8\) cm a \(b = 15\) cm, přeponu spočítáme jako
\(c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\,cm.\)
Střední příčky mají délky poloviční vůči stranám, tedy
\(m_a = \frac{8}{2} = 4,\quad m_b = \frac{15}{2} = 7{,}5,\quad m_c = \frac{17}{2} = 8{,}5.\)
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{4 \cdot 7{,}5 \cdot 8{,}5} = \sqrt[3]{255}.\)
Rozložíme 255 na prvočísla:
\(255 = 3 \cdot 5 \cdot 17.\)
Geometrický průměr lze zapsat jako
\(G = \sqrt[3]{3 \cdot 5 \cdot 17} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{17}.\)
Přibližně
\(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442,\quad \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710,\quad \sqrt[3]{17} \approx 2{,}571.\)
Tedy
\(G \approx 1{,}442 \cdot 1{,}710 \cdot 2{,}571 = 6{,}34.\)
Odpověď: Geometrický průměr středních příček je přibližně \(6{,}34\,cm\).
84. Spočítejte geometrický průměr délek stran obdélníku, pokud je jeho délka \(10\) cm a obvod je \(28\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obvod obdélníku je
\(O = 2(a + b) = 28 \Rightarrow a + b = 14.\)
Je dáno, že \(a = 10\) cm, tedy
\(10 + b = 14 \Rightarrow b = 4\,cm.\)
Geometrický průměr dvou délek je
\(G = \sqrt{10 \cdot 4} = \sqrt{40}.\)
Rozložíme 40 na prvočísla:
\(40 = 2^3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr lze vyjádřit jako
\(G = \sqrt{2^3 \cdot 5} = \sqrt{2^3} \cdot \sqrt{5} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{5} = 2^{1 + \frac{1}{2}} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{10}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt{10} \approx 3{,}162 \Rightarrow G \approx 2 \cdot 3{,}162 = 6{,}324.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(6{,}32\,cm\).
85. Určete geometrický průměr délek hran kvádru, pokud má délky hran \(3\) cm, \(4\) cm a \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kvádr má \(12\) hran, z toho 4\) hrany délky \(3\) cm, \(4\) hrany délky \(4\) cm a \(4\) hrany délky \(5\) cm.
Geometrický průměr všech hran je dvanáctý kořen z jejich součinu:
\(G = \sqrt[12]{3^4 \cdot 4^4 \cdot 5^4} = \sqrt[12]{(3 \cdot 4 \cdot 5)^4} = \sqrt[12]{60^4}.\)
Přepíšeme výraz:
\(G = (60^4)^{\frac{1}{12}} = 60^{\frac{4}{12}} = 60^{\frac{1}{3}}.\)
Rozložíme 60 na prvočísla:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.\)
Geometrický průměr lze tedy vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližně
\(2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}587,\quad 3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\quad 5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710.\)
Tedy
\(G \approx 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3{,}91.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran kvádru je přibližně \(3{,}91\,cm\).
86. Spočítejte geometrický průměr délek všech stran rovnoběžníku, pokud má strany \(7\) cm a \(24\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnoběžník má \(4\) strany, \(2\) délky jsou \(7\) cm a \(2\) délky \(24\) cm.
Geometrický průměr všech stran je čtvrtý kořen z jejich součinu:
\(G = \sqrt[4]{7 \cdot 7 \cdot 24 \cdot 24} = \sqrt[4]{(7^2) \cdot (24^2)} = \sqrt[4]{(7 \cdot 24)^2}.\)
Zjednodušení:
\(G = \sqrt[4]{168^2} = 168^{\frac{2}{4}} = 168^{\frac{1}{2}} = \sqrt{168}.\)
Rozložíme 168 na prvočísla:
\(168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7.\)
Geometrický průměr lze tedy vyjádřit jako
\(G = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt{2^3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}.\)
Přibližně
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\quad \sqrt{3} \approx 1{,}732,\quad \sqrt{7} \approx 2{,}646.\)
Tedy
\(G \approx 2 \cdot 1{,}414 \cdot 1{,}732 \cdot 2{,}646 = 2 \cdot 6{,}481 = 12{,}962.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(12{,}96\,cm\).
87. Vypočítejte geometrický průměr délek všech stran pravidelného osmiúhelníku, pokud délka jedné strany je \(5\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný osmiúhelník má 8 stran stejné délky 5 cm.
Geometrický průměr všech stran je osmiý odmocnina součinu všech délek, které jsou stejné, tedy
\(G = \sqrt[8]{5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 5} = \sqrt[8]{5^8} = 5.\)
Odpověď: Geometrický průměr je \(5\,cm\).
88. Určete geometrický průměr délek výšek pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny jsou \(9\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme délku přepony:
\(c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15.\)
Výška na přeponu je
\(v_c = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7{,}2.\)
Výška na odvěsnu \(a = 9\) je rovna délce druhé odvěsny, protože jde o pravoúhlý trojúhelník:
\(v_a = 12.\)
Výška na odvěsnu \(b = 12\) je rovna délce první odvěsny:
\(v_b = 9.\)
Geometrický průměr výšek je
\(G = \sqrt[3]{7{,}2 \cdot 12 \cdot 9} = \sqrt[3]{777{,}6}.\)
Rozložíme 777,6 (zaokrouhleně 778):
Pro přesnost použijeme přímo přibližnou hodnotu
\(\sqrt[3]{777{,}6} \approx 9{,}15.\)
Odpověď: Geometrický průměr výšek je přibližně \(9{,}15\,cm\).
89. Určete geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde jedna odvěsna měří \(9\) cm a přepona je \(15\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník, jedna odvěsna \(a = 9\,cm\), přepona \(c = 15\,cm\). Podle Pythagorovy věty spočítáme druhou odvěsnu \(b\):
\(b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{15^2 – 9^2} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12\,cm.\)
Délky stran jsou tedy \(9\,cm\), \(12\,cm\) a \(15\,cm\).
Geometrický průměr těchto délek je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Geometrický průměr lze tedy vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
To přepíšeme na
\(G = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Vypočteme přibližně jednotlivé hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}710\).
Pak
\(G \approx 3 \cdot 1{,}587 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}710 = 3 \cdot 3{,}917 = 11{,}75.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(11{,}75\,cm\).
90. Vypočtěte geometrický průměr délek hran pravidelného čtyřstěnu, kde délka hrany je \(7\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřstěn má všechny hrany stejně dlouhé, tedy všechny hrany mají délku \(7\,cm\).
Celkem má čtyřstěn 6 hran, všechny délky jsou 7 cm.
Geometrický průměr délek hran je tedy
\(G = \sqrt[6]{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt[6]{7^6} = 7.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran pravidelného čtyřstěnu je \(7\,cm\).
91. Určete geometrický průměr délek stran rovnoběžníku, jehož strany mají délky \(8\) cm a \(12\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnoběžník má dvě dvojice rovných stran, délky jsou tedy 8 cm a 12 cm.
Počet stran je 4, dvě strany mají délku 8 cm a dvě strany délku 12 cm.
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 12} = \sqrt[4]{(8^2) \cdot (12^2)} = \sqrt[4]{(8 \cdot 12)^2} = \sqrt[4]{96^2}.\)
Protože \(\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}\), platí
\(G = \sqrt{96}.\)
Rozložíme číslo 96 na prvočísla:
\(96 = 2^5 \cdot 3.\)
Tedy
\(G = \sqrt{2^5 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 2^2 \cdot \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}.\)
Přibližná hodnota je
\(\sqrt{6} \approx 2{,}449\),
tedy
\(G \approx 4 \cdot 2{,}449 = 9{,}796.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran rovnoběžníku je přibližně \(9{,}80\,cm\).
92. Spočítejte geometrický průměr délek stran lichoběžníku, jehož základny měří \(5\) cm a \(11\) cm, a ramena mají délky \(7\) cm a \(9\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Délky stran lichoběžníku jsou \(5\,cm\), \(11\,cm\), \(7\,cm\) a \(9\,cm\).
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[4]{5 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 9} = \sqrt[4]{3465}.\)
Rozložíme číslo 3465 na prvočísla:
\(3465 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11.\)
Geometrický průměr lze tedy vyjádřit jako
\(G = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} = \sqrt[4]{3^2} \cdot \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{11} = 3^{\frac{2}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} \cdot 11^{\frac{1}{4}}.\)
Zjednodušme exponenty
\(3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} \cdot 11^{\frac{1}{4}}.\)
Přibližné hodnoty jsou
\(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\),
\(5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5} \approx 1{,}495\),
\(7^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{7} \approx 1{,}627\),
\(11^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{11} \approx 1{,}861\).
Pak
\(G \approx 1{,}732 \cdot 1{,}495 \cdot 1{,}627 \cdot 1{,}861.\)
Nejprve spočítáme součin prvních dvou:
\(1{,}732 \cdot 1{,}495 \approx 2{,}590.\)
Dále
\(2{,}590 \cdot 1{,}627 \approx 4{,}213.\)
A nakonec
\(4{,}213 \cdot 1{,}861 \approx 7{,}840.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran lichoběžníku je přibližně \(7{,}84\,cm\).
93. Vypočítejte geometrický průměr délek hran krychle, jejíž hrana měří \(4\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krychle má 12 hran, všechny o délce 4 cm.
Geometrický průměr délek hran je
\(G = \sqrt[12]{4^{12}} = 4.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek hran krychle je \(4\,cm\).
94. Spočítejte geometrický průměr délek stran pravoúhlého trojúhelníku, kde délky odvěsen jsou \(5\) cm a 12 cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Odvěsny jsou \(a=5\,cm\), \(b=12\,cm\). Spočítáme délku přepony \(c\):
\(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm.\)
Geometrický průměr délek stran je
\(G = \sqrt[3]{5 \cdot 12 \cdot 13} = \sqrt[3]{780}.\)
Rozklad čísla 780 na prvočísla:
\(780 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13.\)
Geometrický průměr lze vyjádřit jako
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{13} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 13^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\),
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442\),
\(5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710\),
\(13^{\frac{1}{3}} \approx 2{,}351.\)
Vypočteme součin:
\(1{,}587 \cdot 1{,}442 = 2{,}288,\)
\(2{,}288 \cdot 1{,}710 = 3{,}912,\)
\(3{,}912 \cdot 2{,}351 = 9{,}199.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(9{,}20\,cm\).
95. Spočítejte geometrický průměr délek stran rovnoramenného trojúhelníku, kde základna má délku \(10\) cm a rameno je dlouhé \(13\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany jsou dvě ramena o délce 13 cm a základna 10 cm.
Geometrický průměr je
\(G = \sqrt[3]{10 \cdot 13 \cdot 13} = \sqrt[3]{1690}.\)
Rozložíme číslo 1690 na prvočísla:
\(1690 = 2 \cdot 5 \cdot 13^2.\)
Geometrický průměr pak vyjádříme jako
\(G = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 13^2} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{13^2} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 13^{\frac{2}{3}}.\)
Přibližné hodnoty jsou
\(2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}260\),
\(5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710\),
\(13^{\frac{2}{3}} = (13^{\frac{1}{3}})^2 \approx (2{,}351)^2 = 5{,}527.\)
Součin je
\(1{,}260 \cdot 1{,}710 = 2{,}155,\)
\(2{,}155 \cdot 5{,}527 = 11{,}912.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek stran je přibližně \(11{,}91\,cm\).
96. V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 9 cm a délka přepony \(15\) cm. Spočítejte geometrický průměr všech tří stran.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme odvěsny jako \(a = 9\) cm a \(b\), přeponu jako \(c = 15\) cm.
Nejprve spočítáme druhou odvěsnu pomocí Pythagorovy věty:
\(a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow 9^2 + b^2 = 15^2 \Rightarrow 81 + b^2 = 225 \Rightarrow b^2 = 144 \Rightarrow b = 12\) cm.
Strany trojúhelníku jsou tedy 9 cm, 12 cm a 15 cm.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{9 \cdot 12 \cdot 15} = \sqrt[3]{1620}.\)
Rozložíme číslo 1620 na prvočísla:
\(1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Geometrický průměr je tedy
\(G = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{5} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přepíšeme jako
\(G = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty jsou:
\(3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\quad 2^{\frac{2}{3}} = (2^{\frac{1}{3}})^2 \approx 1{,}260^2 = 1{,}587,\quad 5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}710.\)
Vypočteme tedy
\(G \approx 3 \cdot 1{,}442 \cdot 1{,}587 \cdot 1{,}710.\)
Nejprve \(1{,}442 \cdot 1{,}587 \approx 2{,}288\),
pak \(2{,}288 \cdot 1{,}710 \approx 3{,}912\),
následně \(3 \cdot 3{,}912 = 11{,}736.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(11{,}74\,cm\).
97. Určete geometrický průměr délek stran rovnoběžníku, jehož strany mají délky \(8\) cm a \(15\) cm, přičemž délky úhlopříček jsou \(17\) cm a \(9\) cm.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany rovnoběžníku jsou \(a=8\) cm a \(b=15\) cm, úhlopříčky \(d_1=17\) cm a \(d_2=9\) cm.
Geometrický průměr zahrnuje všechny čtyři strany, tedy dvě \(a\) a dvě \(b\).
Celkem máme čtyři délky: \(8, 8, 15, 15\).
Geometrický průměr těchto délek je
\(G = \sqrt[4]{8 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 15} = \sqrt[4]{(8^2)(15^2)} = \sqrt[4]{64 \cdot 225} = \sqrt[4]{14400}.\)
Rozložíme na prvočísla:
\(14400 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2.\)
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[4]{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^{\frac{6}{4}} \cdot 3^{\frac{2}{4}} \cdot 5^{\frac{2}{4}} = 2^{1{,}5} \cdot 3^{0{,}5} \cdot 5^{0{,}5}.\)
To je
\(G = 2^{1} \cdot 2^{0{,}5} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{30}.\)
Vypočteme
\(\sqrt{30} \approx 5{,}477\),
tedy
\(G \approx 2 \cdot 5{,}477 = 10{,}954.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(10{,}95\,cm\).
98. V rovině jsou dány body \(A\), \(B\), \(C\) s délkami stran trojúhelníku \(AB = 7\) cm, \(BC = 24\) cm a \(AC = 25\) cm. Spočítejte geometrický průměr délek výšek na strany tohoto trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, že trojúhelník je pravoúhlý.
Zkontrolujeme zda platí Pythagorova věta:
\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2.\)
Trojúhelník je tedy pravoúhlý s přeponou \(AC=25\) cm.
Výšky na jednotlivé strany jsou:
Výška na přeponu je rovna kratší odvěsně, tedy
\(h_{AC} = 7\) cm.
Výška na odvěsnu \(AB\) je
\(h_{AB} = \frac{(BC) \cdot (AC)}{AB} = \frac{24 \cdot 25}{7} = \frac{600}{7} \approx 85{,}714\) cm. Tento výpočet je nesprávný, protože výška se počítá jako vzdálenost od vrcholu k přímce, ne tímto způsobem.
Správně vypočítáme obsah trojúhelníku:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84\) cm\(^2\).
Výška na stranu \(AB\) je
\(h_{AB} = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 84}{7} = \frac{168}{7} = 24\) cm.
Výška na stranu \(BC\) je
\(h_{BC} = \frac{2S}{BC} = \frac{168}{24} = 7\) cm.
Výška na stranu \(AC\) je
\(h_{AC} = \frac{2S}{AC} = \frac{168}{25} = 6{,}72\) cm.
Výšky jsou tedy \(24\), \(7\) a \(6{,}72\) cm.
Geometrický průměr výšek je
\(G = \sqrt[3]{24 \cdot 7 \cdot 6{,}72} = \sqrt[3]{1129{,}92}.\)
Rozložíme číslo 1129,92 přibližně na prvočísla (nebo použijeme aproximaci):
Přibližně tedy vypočítáme
\(\sqrt[3]{1129{,}92} \approx 10{,}34.\)
Odpověď: Geometrický průměr délek výšek je přibližně \(10{,}34\,cm\).
99. Určete geometrický průměr délek hran pravidelného čtyřstěnu, jehož hrana má délku \(6\) cm, a délek úhlopříček stěn (trojúhelníků), které jsou rovnostranné.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravidelný čtyřsten má všechny hrany stejné délky \(a = 6\) cm.
Stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, jejichž strany jsou délky 6 cm.
Úhlopříčky stěn jsou vzdálenosti mezi vrcholy, které nejsou spojeny hranou, což v rovnostranném trojúhelníku znamená délky stran, tedy také 6 cm. V trojúhelníku nejsou úhlopříčky jako v čtyřúhelníku, ale pro jistotu spočítáme délky všech možných hran a vzdáleností.
Geometrický průměr délek hran (všechny délky jsou 6 cm) a úhlopříček stěn (které jsou zde stejné jako hrany) je
\(G = \sqrt[n]{6 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 6} = 6\), kde \(n\) je počet hodnot.
Protože všechny hodnoty jsou stejné, geometrický průměr je rovný hodnotě stran, tedy \(6\) cm.
Odpověď: Geometrický průměr je \(6\,cm\).
100. Ve čtverci s délkou strany \(10\) cm spočítejte geometrický průměr délek dvou sousedních stran a délky úhlopříčky.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Strany čtverce jsou obě délky \(a = 10\) cm, úhlopříčka je
\(d = a \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \approx 14{,}142\) cm.
Geometrický průměr tří délek je
\(G = \sqrt[3]{10 \cdot 10 \cdot 14{,}142} = \sqrt[3]{14142}.\)
Rozložíme 14142 na prvočísla:
\(14142 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot 13\) (přibližně).
Geometrický průměr tedy je
\(G = \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 7^2 \cdot 13} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{13} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 13^{\frac{1}{3}}.\)
Přibližné hodnoty:
\(2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}260,\quad 3^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}442,\quad 7^{\frac{2}{3}} = (7^{\frac{1}{3}})^2 \approx 1{,}913^2 = 3{,}66,\quad 13^{\frac{1}{3}} \approx 2{,}351.\)
Vypočítáme součin:
\(1{,}260 \cdot 1{,}442 = 1{,}817,\)
\(1{,}817 \cdot 3{,}66 = 6{,}65,\)
\(6{,}65 \cdot 2{,}351 = 15{,}63.\)
Odpověď: Geometrický průměr je přibližně \(15{,}63\,cm\).
