1. Vypočítejte hodnotu výrazu \( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si zjistíme hodnotu funkce \( \sin 30^\circ \). Je známo, že \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Dále potřebujeme zjistit hodnotu funkce \( \cos 60^\circ \). Platí, že \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Teď obě tyto hodnoty sečteme: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \). Výsledkem výrazu \( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \) je tedy \( 1 \).
2. Určete hodnotu \( \tan 45^\circ – \cot 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve určíme hodnotu funkce \( \tan 45^\circ \). Platí, že \( \tan 45^\circ = 1 \). Poté určíme hodnotu funkce \( \cot 45^\circ \), což je převrácená hodnota \( \tan 45^\circ \), tedy \( \cot 45^\circ = 1 \). Od těchto dvou hodnot odečteme: \( 1 – 1 = 0 \). Výsledkem výrazu \( \tan 45^\circ – \cot 45^\circ \) je tedy \( 0 \).
3. Určete všechny hodnoty \( x \in \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které platí \( \sin x = 0 \).
Řešení příkladu:
Hledáme všechny hodnoty úhlu \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které je \( \sin x = 0 \). Funkce sinus má hodnotu \( 0 \) vždy, když úhel odpovídá začátku nebo konci osy v jednotkové kružnici, tedy pro \( x = 0^\circ \), \( x = 180^\circ \) a \( x = 360^\circ \). Výsledkem jsou tedy všechny úhly \( x = 0^\circ \), \( x = 180^\circ \) a \( x = 360^\circ \).
4. Určete všechny hodnoty \( x \in \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které platí \( \cos x = \frac{1}{2} \).
Řešení příkladu:
Hledáme všechny hodnoty úhlu \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které je \( \cos x = \frac{1}{2} \). Funkce kosinus má hodnotu \( \frac{1}{2} \) ve dvou úhlech v tomto intervalu, a to v prvním a čtvrtém kvadrantu jednotkové kružnice. Tyto úhly jsou \( x = 60^\circ \) a \( x = 300^\circ \). Výsledkem jsou tedy všechny úhly \( x = 60^\circ \) a \( x = 300^\circ \).
5. Vypočítejte \( \sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve určíme hodnotu \( \sin 60^\circ \). Platí, že \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Dále zjistíme hodnotu \( \cos 60^\circ \), která je \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). Teď tyto hodnoty umocníme na druhou. Pro \( \sin 60^\circ \) máme \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} \) a pro \( \cos 60^\circ \) máme \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \). Tyto výsledky sečteme: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \). Výsledkem výrazu \( \sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ \) je tedy \( 1 \).
6. Vypočítejte hodnotu výrazu \( \tan^2 45^\circ + \cot^2 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme hodnotu funkce \( \tan 45^\circ \). Je známo, že \( \tan 45^\circ = 1 \). Dále zjistíme hodnotu funkce \( \cot 45^\circ \), která je převrácenou hodnotou \( \tan 45^\circ \), tedy \( \cot 45^\circ = 1 \). Obě tyto hodnoty umocníme na druhou: \( 1^2 = 1 \) a opět \( 1^2 = 1 \). Nyní tyto výsledky sečteme: \( 1 + 1 = 2 \). Výsledkem výrazu \( \tan^2 45^\circ + \cot^2 45^\circ \) je tedy \( 2 \).
7. Najděte nejmenší kladný úhel, pro který platí \( \cos x = 0 \).
Řešení příkladu:
Hledáme nejmenší kladný úhel \( x \), pro který platí rovnice \( \cos x = 0 \). Funkce kosinus je rovna \( 0 \) v bodech, kde úhel leží na svislé ose jednotkové kružnice. První takový kladný úhel je \( x = 90^\circ \), protože v tomto bodě je vodorovná složka vektoru nulová. Nejmenší kladný úhel, pro který je \( \cos x = 0 \), je tedy \( 90^\circ \).
8. Určete, pro které úhly platí \( \sin x = \cos x \).
Řešení příkladu:
Chceme najít všechny úhly \( x \), pro které platí rovnost \( \sin x = \cos x \). Obě strany rovnice vydělíme \( \cos x \), čímž dostaneme \( \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \), tedy \( \tan x = 1 \). Víme, že \( \tan x = 1 \) v prvním kvadrantu pro \( x = 45^\circ \) a v třetím kvadrantu pro \( x = 225^\circ \). Úhly, pro které platí \( \sin x = \cos x \), jsou tedy \( 45^\circ \) a \( 225^\circ \).
9. Vypočítejte hodnotu \( \cot 60^\circ \).
Řešení příkladu:
Chceme zjistit hodnotu funkce \( \cot 60^\circ \). Funkce kotangens je definována jako převrácená hodnota funkce tangens, tedy \( \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} \). Víme, že \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \). Dosadíme tuto hodnotu do vzorce: \( \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Výsledkem je tedy \( \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
10. Určete hodnotu výrazu \( \tan x \cdot \cot x \) pro libovolný úhel \( x \), kde jsou funkce definovány.
Řešení příkladu:
Chceme určit hodnotu výrazu \( \tan x \cdot \cot x \), kde obě funkce jsou definovány. Funkce tangens je definována jako \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) a kotangens jako \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Násobíme tyto dvě hodnoty: \( \tan x \cdot \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \). Čitatel a jmenovatel se vzájemně vykrátí a dostaneme výsledek \( 1 \). Pro libovolný úhel \( x \), kde jsou funkce definovány, platí tedy \( \tan x \cdot \cot x = 1 \).
11. Určete všechny hodnoty \( x \in \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které platí \( \tan x = \sqrt{3} \).
Řešení příkladu:
Hledáme všechny úhly \( x \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které platí rovnice \( \tan x = \sqrt{3} \). Víme, že tangens je definován jako podíl \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Hodnota \( \tan x = \sqrt{3} \) odpovídá úhlům v první a třetí kvadrantu, kde má tangens tuto hodnotu. Z tabulek goniometrických funkcí je známé, že \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \). V první obrácené poloze (třetí kvadrant) přičteme \( 180^\circ \), tedy \( 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ \). V intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \) tedy existují dvě řešení: \( x = 60^\circ \) a \( x = 240^\circ \).
12. Vypočítejte hodnotu \( \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Chceme spočítat součin \( \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \). Nejprve si připomeneme hodnoty těchto funkcí. Je známo, že \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) a stejně tak \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), protože v úhlu \( 45^\circ \) mají sinus a kosinus stejnou hodnotu. Součin těchto dvou hodnot tedy bude \( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \). Vynásobením čitatelů i jmenovatelů dostaneme \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Hodnota výrazu \( \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \) je tedy \( \frac{1}{2} \).
13. Vypočítejte hodnotu výrazu \( 1 + \tan^2 x \), pokud \( \cos x \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Potřebujeme určit hodnotu výrazu \( 1 + \tan^2 x \) pro úhel \( x \), kde \( \cos x \neq 0 \). Nejprve si připomeneme, že pro tangens platí \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Dále z goniometrických identit víme, že \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \), kde \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \). Zapsáno explicitně to znamená \( 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \). Tato identita vyplývá z Pythagorovy věty aplikované na jednotkovou kružnici. Výsledek tedy je, že hodnota výrazu \( 1 + \tan^2 x \) se rovná \( \frac{1}{\cos^2 x} \).
14. Určete hodnotu \( \sin(180^\circ – x) \), kde \( x = 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Chceme spočítat hodnotu \( \sin(180^\circ – x) \) pro \( x = 30^\circ \). Dosadíme za \( x \) do výrazu: \( \sin(180^\circ – 30^\circ) \). Po odečtení dostáváme \( \sin 150^\circ \). Víme, že funkce sinus má v druhém kvadrantu stejnou absolutní hodnotu jako v prvním kvadrantu a že \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Proto také platí \( \sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Výsledkem tedy je, že \( \sin(180^\circ – 30^\circ) = \frac{1}{2} \).
15. Určete hodnotu \( \cos(180^\circ + x) \), kde \( x = 60^\circ \).
Řešení příkladu:
Potřebujeme určit hodnotu \( \cos(180^\circ + x) \), kde \( x = 60^\circ \). Nejprve do výrazu dosadíme \( x \), tedy počítáme \( \cos(180^\circ + 60^\circ) \), což je \( \cos 240^\circ \). Úhel \( 240^\circ \) leží ve třetím kvadrantu, kde má kosinus zápornou hodnotu a jeho absolutní hodnota odpovídá úhlu \( 60^\circ \). Víme, že \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), takže \( \cos 240^\circ = -\frac{1}{2} \). Výsledek je tedy \( \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\frac{1}{2} \).
16. Vypočítejte \( \sin 90^\circ \cdot \cos 0^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty jednotlivých goniometrických funkcí. Hodnota \( \sin 90^\circ \) je rovna \( 1 \), protože sinus úhlu \( 90^\circ \) dosahuje svého maxima na jednotkové kružnici. Dále hodnota \( \cos 0^\circ \) je také rovna \( 1 \), protože kosinus úhlu \( 0^\circ \) odpovídá vzdálenosti bodu na jednotkové kružnici od osy \( y \), což je právě jedna jednotka. Nyní tedy můžeme spočítat součin těchto hodnot: \( \sin 90^\circ \cdot \cos 0^\circ = 1 \cdot 1 = 1 \). Výsledná hodnota výrazu je tedy rovna \( 1 \).
17. Určete hodnotu \( \cot 90^\circ \).
Řešení příkladu:
Hodnota \( \cot 90^\circ \) je definována jako podíl kosinu a sinu téhož úhlu, tedy \( \cot 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} \). Víme, že \( \cos 90^\circ = 0 \), protože kosinus úhlu \( 90^\circ \) odpovídá vodorovné vzdálenosti na jednotkové kružnici, která je v tomto případě nulová. Hodnota \( \sin 90^\circ \) je \( 1 \), protože sinus dosahuje maxima v tomto úhlu. Dosadíme tedy do zlomku: \( \frac{0}{1} = 0 \). Výsledkem je, že \( \cot 90^\circ = 0 \).
18. Najděte hodnotu \( x \), pokud \( \cos x = -\frac{1}{2} \), \( x \in \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Hledáme hodnoty úhlu \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které platí, že kosinus tohoto úhlu je roven \( -\frac{1}{2} \). Z tabulek goniometrických funkcí víme, že \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), takže \( \cos x = -\frac{1}{2} \) znamená, že hledáme úhly, kde je kosinus opačné hodnoty. Kosinus je záporný ve druhém a třetím kvadrantu. Ve druhém kvadrantu odpovídá tato hodnota úhlu \( 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \) a ve třetím kvadrantu odpovídá úhlu \( 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ \). Proto jsou hledané hodnoty úhlu \( x = 120^\circ \) a \( x = 240^\circ \).
19. Vypočítejte \( \tan 60^\circ \cdot \cot 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty tangens a kotangens pro dané úhly. Víme, že \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), protože tangens je poměr protilehlé a přilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku a pro úhel \( 60^\circ \) je tento poměr právě \( \sqrt{3} \). Dále víme, že \( \cot 30^\circ \) je také \( \sqrt{3} \), protože kotangens je převrácená hodnota tangensu, tedy \( \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} \), a protože \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), platí \( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \). Nyní spočítáme součin: \( \tan 60^\circ \cdot \cot 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Výsledek tedy je \( 3 \).
20. Určete hodnotu \( \sin 0^\circ + \cos 90^\circ \).
Řešení příkladu:
Chceme spočítat součet hodnot \( \sin 0^\circ \) a \( \cos 90^\circ \). Nejprve si připomeneme, že \( \sin 0^\circ = 0 \), protože sinus úhlu \( 0^\circ \) odpovídá vzdálenosti na jednotkové kružnici od osy \( x \), která je nulová. Dále \( \cos 90^\circ = 0 \), protože kosinus úhlu \( 90^\circ \) je vzdálenost od osy \( y \), která je také nulová. Součet těchto hodnot je tedy \( 0 + 0 = 0 \). Výsledná hodnota výrazu je tedy rovna \( 0 \).
21. Vypočítejte hodnotu výrazu \( \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Podívejme se nejprve na základní goniometrickou identitu, která říká, že pro každý úhel \( \alpha \) platí vztah \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). To znamená, že součet druhých mocnin sinu a kosinu stejného úhlu je vždy roven jedné.
V našem případě je úhel \( 30^\circ \), takže můžeme přímo použít tuto identitu a napsat, že \( \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 \).
Tímto jsme tedy zjistili, že hodnota výrazu je rovna \( 1 \).
22. Určete všechna řešení rovnice \( \sin x = \frac{1}{2} \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Hledáme všechny úhly \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které platí \( \sin x = \frac{1}{2} \).
Ze známých hodnot goniometrických funkcí víme, že \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). Toto je první řešení rovnice.
Sinus je kladný v prvním a druhém kvadrantu, proto hledáme ještě druhé řešení v druhém kvadrantu. Pro sinus platí, že \( \sin (180^\circ – x) = \sin x \), takže druhé řešení je \( x = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ \).
Celkem tedy rovnice \( \sin x = \frac{1}{2} \) má v daném intervalu dvě řešení, a to \( x = 30^\circ \) a \( x = 150^\circ \).
23. Vypočítejte délku protilehlé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku s úhlem \( \alpha = 45^\circ \) a přeponou 10 cm.
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku platí, že délka protilehlé odvěsny k úhlu \( \alpha \) je rovna součinu délky přepony a hodnoty sinu tohoto úhlu.
Nejprve si spočítáme hodnotu \( \sin 45^\circ \). Víme, že \( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \), což je přibližně \( 0{,}707 \).
Délka přepony je \( 10 \) cm, proto délka protilehlé odvěsny je \( 10 \cdot \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Tento zlomek můžeme upravit na tvar \( \frac{10}{\sqrt{2}} \), což se často racionalizuje na \( 5\sqrt{2} \) cm.
Číselně je délka protilehlé odvěsny přibližně \( 7{,}07 \) cm.
Výsledkem tedy je, že délka protilehlé odvěsny je \( 5\sqrt{2} \) cm, což je přibližně \( 7{,}07 \) cm.
24. Vyjádřete \( \tan x \) pomocí \( \sin x \) a \( \cos x \).
Řešení příkladu:
Tangens úhlu \( x \) je definován jako poměr protilehlé a přilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku, ale také jako podíl sinu a kosinu tohoto úhlu.
Matematicky tedy platí vztah \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), přičemž tento vztah je platný za předpokladu, že \( \cos x \neq 0 \), protože dělení nulou není definováno.
Tento vzorec umožňuje vypočítat hodnotu tangensu, pokud známe hodnoty sinu a kosinu daného úhlu.
25. Určete všechna řešení rovnice \( \cos x = 0 \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( \cos x = 0 \) znamená, že hledáme úhly, pro které je hodnota kosinu rovna nule.
Podle jednotkové kružnice kosinus odpovídá horizontální souřadnici bodu na kružnici, a hodnota nulová nastává v bodech, kde je tento bod na ose \( y \).
V intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \) jsou tyto úhly \( 90^\circ \) a \( 270^\circ \).
Tedy řešení rovnice jsou \( x = 90^\circ \) a \( x = 270^\circ \).
26. Vypočítejte hodnotu výrazu \( \tan 60^\circ – \cot 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, co znamenají funkce tangens a kotangens. Tangens úhlu \( x \) je poměr sinu a kosinu daného úhlu, tedy \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Kotangens je pak převrácená hodnota tangensu, tedy \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \).
Nejdříve vypočítáme \( \tan 60^\circ \). Víme, že \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).
Dále spočítáme \( \cot 30^\circ \). Protože \( \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} \) a víme, že \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), dostáváme
\( \cot 30^\circ = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \).
Nyní dosadíme do výrazu a odečteme:
\( \tan 60^\circ – \cot 30^\circ = \sqrt{3} – \sqrt{3} = 0 \).
Tím je hodnota výrazu vypočítána a je rovna \( 0 \).
27. Převeďte úhel \( \frac{7\pi}{6} \) radiánů na stupně.
Řešení příkladu:
Převod radiánů na stupně provádíme pomocí vztahu, že \( 180^\circ = \pi \) radiánů.
Tedy úhel v radiánech vynásobíme poměrem \( \frac{180^\circ}{\pi} \) pro získání úhlu ve stupních.
Dosadíme hodnotu \( \frac{7\pi}{6} \):
\( \frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ \cdot \pi}{6 \cdot \pi} \).
Zkrátíme \( \pi \) v čitateli a jmenovateli, takže zůstane:
\( \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ \).
Výsledný úhel je tedy \( 210^\circ \).
28. Vypočítejte hodnotu \( \cos(2x) \), pokud \( \cos x = \frac{3}{5} \) a \( x \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Vzorec pro výpočet kosinu dvojnásobku úhlu je:
\( \cos(2x) = 2\cos^2 x – 1 \).
Nejdříve spočítáme \( \cos^2 x \), tedy druhou mocninu hodnoty \( \cos x \):
\( \cos^2 x = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \).
Nyní dosadíme do vzorce:
\( \cos(2x) = 2 \cdot \frac{9}{25} – 1 = \frac{18}{25} – 1 \).
Pro odečtení čísla \( 1 \) převedeme na zlomek se jmenovatelem \( 25 \), tedy \( 1 = \frac{25}{25} \).
Pak tedy:
\( \cos(2x) = \frac{18}{25} – \frac{25}{25} = -\frac{7}{25} \).
Tím jsme spočítali přesnou hodnotu \( \cos(2x) \), která je rovna \( -\frac{7}{25} \).
29. Určete všechny hodnoty \( x \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které platí \( \tan x = 1 \).
Řešení příkladu:
Hledáme úhly \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které platí rovnost \( \tan x = 1 \).
Víme, že tangens úhlu \( x \) je rovný jedné pro úhel \( 45^\circ \), protože \( \tan 45^\circ = 1 \).
Tangens má periodu \( 180^\circ \), což znamená, že hodnota se opakuje každých \( 180^\circ \).
Proto druhé řešení v tomto intervalu získáme přičtením periody k prvnímu řešení:
\( 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ \).
Celkově jsou tedy řešení rovnice \( \tan x = 1 \) v daném intervalu \( x = 45^\circ \) a \( x = 225^\circ \).
30. Vypočítejte přesně: \( \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty goniometrických funkcí pro dané úhly:
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), což znamená, že kosinus úhlu \( 60^\circ \) je polovina.
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), což znamená, že sinus úhlu \( 30^\circ \) je také polovina.
Nyní tyto hodnoty vynásobíme:
\( \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).
Výsledkem tedy je přesná hodnota \( \frac{1}{4} \).
31. Určete hodnotu \( \cot 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, co znamená funkce kotangens. Kotangens úhlu \( x \) je definován jako převrácená hodnota tangensu, tedy
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} \).
Víme, že \( \tan 45^\circ = 1 \), protože tangens úhlu \( 45^\circ \) je rovný jedné.
Dosadíme tedy do definice kotangensu:
\( \cot 45^\circ = \frac{1}{\tan 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1 \).
Tím jsme zjistili, že hodnota \( \cot 45^\circ \) je rovna \( 1 \).
32. V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna \( 6 \) cm, přilehlý úhel je \( 60^\circ \). Určete délku přepony.
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku platí, že kosinus úhlu je poměr délky přilehlé odvěsny k délce přepony, tedy
\( \cos \theta = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
V našem případě je úhel \( \theta = 60^\circ \) a přilehlá odvěsna má délku \( 6 \) cm.
Dosadíme hodnoty do vzorce:
\( \cos 60^\circ = \frac{6}{\text{přepona}} \).
Hodnota \( \cos 60^\circ \) je známa a je rovna \( \frac{1}{2} \).
Máme tedy rovnici:
\( \frac{1}{2} = \frac{6}{\text{přepona}} \).
Abychom zjistili délku přepony, upravíme rovnici:
\( \text{přepona} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ cm} \).
Výsledkem je, že délka přepony je \( 12 \) cm.
33. Najděte všechna řešení rovnice \( \sin x = -\frac{1}{2} \) pro \( x \in \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( \sin x = -\frac{1}{2} \) znamená, že hledáme úhly \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které je hodnota sinu rovna záporné polovině.
Sinus je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu jednotkové kružnice.
Známé hodnoty pro \( \sin x = \frac{1}{2} \) jsou \( 30^\circ \) a \( 150^\circ \), ale my hledáme zápornou hodnotu, proto vezmeme symetrické úhly ve třetím a čtvrtém kvadrantu.
Ve třetím kvadrantu je úhel \( 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \).
Ve čtvrtém kvadrantu je úhel \( 360^\circ – 30^\circ = 330^\circ \).
Tedy řešení rovnice \( \sin x = -\frac{1}{2} \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \) jsou:
\( x = 210^\circ \) a \( x = 330^\circ \).
34. Přepište výraz \( 1 – 2\sin^2 x \) jako funkci \( \cos(2x) \).
Řešení příkladu:
Existuje známá trigonometrická identita, která říká, že
\( \cos(2x) = 1 – 2\sin^2 x \).
Tato rovnost nám umožňuje přepsat výraz \( 1 – 2\sin^2 x \) přímo jako funkci kosinu dvojnásobku úhlu.
Tedy platí, že
\( 1 – 2\sin^2 x = \cos(2x) \).
Výraz je tedy přepsán přesně pomocí funkce \( \cos(2x) \).
35. Vypočítejte hodnotu \( \sin 90^\circ \cdot \cos 0^\circ \cdot \tan 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty goniometrických funkcí pro jednotlivé úhly:
- Sinus úhlu \( 90^\circ \) je \( 1 \), protože na jednotkové kružnici odpovídá bodu na ose y maximální hodnotu.
- Kosinus úhlu \( 0^\circ \) je \( 1 \), protože na jednotkové kružnici je bod na ose x v maximální hodnotě.
- Tangens úhlu \( 45^\circ \) je \( 1 \), protože poměr sinu a kosinu je roven jedné.
Nyní vynásobíme tyto hodnoty:
\( \sin 90^\circ \cdot \cos 0^\circ \cdot \tan 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \).
Výsledná hodnota výrazu je tedy rovna \( 1 \).
36. Určete, zda platí rovnost: \( \tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} \)
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, že \( \tan x \) je definován jako poměr sinu a kosinu úhlu \( x \), tedy
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), pokud \( \cos x \neq 0 \).
Rovnost, kterou máme ověřit, je známá goniometrická identita:
\( \tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} \).
Tuto rovnost můžeme odvodit pomocí základních goniometrických vztahů. Začneme základní identitou:
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Vydělíme celou rovnici \( \cos^2 x \) (za předpokladu, že \( \cos x \neq 0 \)):
\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \).
Tím dostaneme:
\( \tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} \).
Tato rovnost tedy platí pro všechna \( x \), pro která je \( \cos x \) různé od nuly, tedy kde je funkce definována.
Potvrdili jsme, že rovnost je správná.
37. V pravoúhlém trojúhelníku měří přepona \( 13 \) cm a jeden z ostrých úhlů \( 22^\circ \). Určete délku protilehlé odvěsny.
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku vztah mezi úhlem a délkami stran určuje sinus, který je definován jako poměr délky protilehlé odvěsny k délce přepony:
\( \sin \theta = \frac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
V tomto případě je úhel \( \theta = 22^\circ \) a délka přepony je \( 13 \) cm.
Dosadíme do vzorce:
\( \sin 22^\circ = \frac{\text{protilehlá odvěsna}}{13} \).
Pro výpočet délky protilehlé odvěsny upravíme rovnici na tvar:
\( \text{protilehlá odvěsna} = 13 \cdot \sin 22^\circ \).
Nyní je potřeba znát hodnotu \( \sin 22^\circ \). Pomocí tabulek nebo kalkulačky zjistíme, že \( \sin 22^\circ \approx 0{,}3746 \).
Vynásobíme délku přepony touto hodnotou:
\( \text{protilehlá odvěsna} \approx 13 \cdot 0{,}3746 = 4{,}8698 \text{ cm} \).
Zaokrouhleno na dvě desetinná místa je délka protilehlé odvěsny přibližně \( 4{,}87 \) cm.
Tedy délka protilehlé odvěsny je přibližně \( 4{,}87 \) cm.
38. Určete všechna řešení rovnice \( \cos x = \cos 120^\circ \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Nejprve si vypočítáme hodnotu \( \cos 120^\circ \). Pomocí tabulek nebo kalkulačky zjistíme, že
\( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \).
Rovnice tedy má tvar:
\( \cos x = -\frac{1}{2} \).
Hodnotu kosinu rovnou \( -\frac{1}{2} \) dosahuje kosinus v těchto úhlech na jednotkové kružnici v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \):
- v prvním řešení je úhel \( 120^\circ \), který je známý zadaný úhel,
- druhé řešení je symetrické vzhledem k ose \( 360^\circ \) a nachází se v druhém kvadrantu, což je úhel \( 360^\circ – 120^\circ = 240^\circ \).
Tedy všechna řešení rovnice \( \cos x = \cos 120^\circ \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \) jsou:
\( x = 120^\circ \) a \( x = 240^\circ \).
39. Zjistěte, zda platí: \( \cos^2 x – \sin^2 x = \cos(2x) \)
Řešení příkladu:
Výraz \( \cos^2 x – \sin^2 x \) je známou goniometrickou identitou pro dvojnásobný úhel.
Podle vzorce pro kosinus dvojnásobného úhlu platí:
\( \cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x \).
Tuto identitu lze odvodit z obecnějších vzorců nebo ji najdeme v tabulkách trigonometrických identit.
Výraz \( \cos^2 x – \sin^2 x \) je tedy přesně roven \( \cos(2x) \) pro všechna \( x \).
Potvrzujeme tedy, že rovnost platí.
40. Vypočítejte přesnou hodnotu: \( \frac{\sin 30^\circ}{\cos 60^\circ} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly \( 30^\circ \) a \( 60^\circ \):
- Sinus úhlu \( 30^\circ \) je přesně \( \frac{1}{2} \), protože tento úhel je základní v pravoúhlém trojúhelníku 30°-60°-90°.
- Kosinus úhlu \( 60^\circ \) je také přesně \( \frac{1}{2} \), což je opět známá hodnota z tohoto trojúhelníku.
Dosadíme tyto hodnoty do zadaného výrazu:
\( \frac{\sin 30^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \).
Pokud máme zlomek, kde čitatel i jmenovatel jsou stejné hodnoty, jejich podíl je vždy \( 1 \).
Tedy hodnota výrazu je rovna \( 1 \).
41. Vypočítejte hodnotu \( \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly \( 60^\circ \) a \( 30^\circ \). Víme, že:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
a také
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Tyto hodnoty pocházejí ze známého pravoúhlého trojúhelníku s úhly \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) a \( 90^\circ \).
Nyní vynásobíme tyto dvě hodnoty:
\( \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Vynásobíme čitatele a jmenovatele zvlášť:
\( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \), protože \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \).
Takže výsledná hodnota výrazu je \( \frac{3}{4} \).
Tedy \( \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = \frac{3}{4} \).
42. Určete hodnotu \( \tan 0^\circ + \tan 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si vysvětlíme, co znamená funkce tangens pro dané úhly.
Tangens úhlu \( x \) je definován jako poměr sinu a kosinu toho úhlu, tedy \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).
Pro úhel \( 0^\circ \) je \( \sin 0^\circ = 0 \) a \( \cos 0^\circ = 1 \), takže
\( \tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0 \).
Pro úhel \( 45^\circ \) známe hodnotu z tabulek nebo speciálního pravoúhlého trojúhelníku s úhly \( 45^\circ \) – \( 45^\circ \) – \( 90^\circ \), kde platí:
\( \tan 45^\circ = 1 \).
Nyní sečteme tyto hodnoty:
\( \tan 0^\circ + \tan 45^\circ = 0 + 1 = 1 \).
Výsledná hodnota výrazu je tedy \( 1 \).
43. V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna dlouhá \( 5 \) cm a úhel mezi přeponou a touto odvěsnou je \( 30^\circ \). Určete délku přepony.
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku platí, že kosinus úhlu je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. Z toho vyplývá, že:
\( \cos 30^\circ = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
V našem případě je přilehlá odvěsna dlouhá \( 5 \) cm, tedy
\( \cos 30^\circ = \frac{5}{\text{přepona}} \).
Chceme vypočítat délku přepony, proto upravíme rovnici takto:
\( \text{přepona} = \frac{5}{\cos 30^\circ} \).
Hodnota \( \cos 30^\circ \) je známá a rovná se \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Dosadíme do rovnice:
\( \text{přepona} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \).
Dělení zlomkem je stejné jako násobení převrácenou hodnotou, tedy
\( \text{přepona} = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \).
Pro lepší představu vypočítáme i přibližnou desetinnou hodnotu. Víme, že \( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \), takže
\( \text{přepona} \approx \frac{10}{1{,}732} \approx 5{,}77 \) cm.
Tedy délka přepony je přibližně \( 5{,}77 \) cm.
44. Určete hodnotu výrazu: \( \sin 45^\circ + \cos 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme, že hodnoty funkce sinus a kosinus pro úhel \( 45^\circ \) jsou stejné, protože úhel je polovina pravého úhlu v rovnostranném pravoúhlém trojúhelníku.
Konkrétně platí:
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
a
\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Nyní sečteme tyto dvě hodnoty:
\( \sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Protože mají stejný jmenovatel, můžeme je sečíst jednoduše jako
\( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \).
Výsledná hodnota výrazu je tedy \( \sqrt{2} \).
45. Je pravda, že \( \tan 90^\circ \) existuje?
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme definici tangensu úhlu \( x \), která je:
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).
Pro úhel \( 90^\circ \) víme, že:
\( \sin 90^\circ = 1 \)
a
\( \cos 90^\circ = 0 \).
Protože tangens se počítá jako podíl sinu a kosinu, museli bychom dělit číslo \( 1 \) nulou, což není definováno v matematice.
Tedy tangens úhlu \( 90^\circ \) není definován a neexistuje.
46. V pravoúhlém trojúhelníku je přepona \( 10 \) cm a jeden úhel \( 60^\circ \). Určete délku přilehlé odvěsny.
Řešení příkladu:
V pravoúhlém trojúhelníku známe délku přepony, která je \( 10 \) cm, a úhel \( 60^\circ \). Chceme zjistit délku přilehlé odvěsny k tomuto úhlu.
Podle definice kosinu platí, že kosinus úhlu je roven poměru délky přilehlé odvěsny k délce přepony. Tedy:
\( \cos 60^\circ = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
Dosadíme známé hodnoty:
\( \cos 60^\circ = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{10} \).
Chceme vyjádřit délku přilehlé odvěsny, proto rovnici upravíme:
\( \text{přilehlá odvěsna} = 10 \cdot \cos 60^\circ \).
Hodnota kosinu \( 60^\circ \) je \( \frac{1}{2} \), proto:
\( \text{přilehlá odvěsna} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) cm.
Tedy délka přilehlé odvěsny je \( 5 \) cm.
47. Ověřte, zda platí: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Řešení příkladu:
Výraz \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) je základní trigonometrickou identitou, která platí pro všechna reálná čísla \( x \).
Tuto identitu lze odvodit z Pythagorovy věty u jednotkové kružnice, kde souřadnice bodu na kružnici odpovídají hodnotám \( \cos x \) (osa x) a \( \sin x \) (osa y).
Protože vzdálenost bodu od středu kružnice je vždy 1, platí:
\( (\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1^2 \).
To znamená, že pro jakýkoliv úhel \( x \) platí rovnost:
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Tedy tato rovnice je vždy pravdivá a můžeme ji používat jako základní vlastnost goniometrických funkcí.
48. Vypočítejte \( \cos 0^\circ + \cos 180^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty kosinu pro úhly \( 0^\circ \) a \( 180^\circ \).
Hodnota \( \cos 0^\circ \) je \( 1 \), protože na jednotkové kružnici odpovídá bodu na ose x v kladném směru.
Hodnota \( \cos 180^\circ \) je \( -1 \), protože bod na jednotkové kružnici v úhlu \( 180^\circ \) leží na ose x v záporném směru.
Nyní tyto hodnoty sečteme:
\( \cos 0^\circ + \cos 180^\circ = 1 + (-1) = 0 \).
Tedy výsledná hodnota výrazu je \( 0 \).
49. Najděte všechna řešení rovnice \( \sin x = \frac{1}{2} \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( \sin x = \frac{1}{2} \) hledá všechny úhly \( x \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které je sinus roven \( \frac{1}{2} \).
Známá hodnota sinusu \( \frac{1}{2} \) odpovídá úhlům \( 30^\circ \) a \( 150^\circ \) v prvním a druhém kvadrantu jednotkové kružnice.
Proto jsou řešení rovnice:
\( x = 30^\circ \) a \( x = 150^\circ \).
Tímto jsme našli všechna řešení rovnice v daném intervalu.
50. Vypočítejte hodnotu \( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty tangensu pro úhly \( 30^\circ \) a \( 60^\circ \).
Hodnota \( \tan 30^\circ \) je \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), protože tangens je poměr protilehlé a přilehlé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku.
Hodnota \( \tan 60^\circ \) je \( \sqrt{3} \).
Nyní vynásobíme tyto dvě hodnoty:
\( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \).
Dělení a násobení odmocninou se vzájemně vyruší, takže dostaneme:
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \).
Tedy výsledná hodnota výrazu \( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ \) je \( 1 \).
51. Určete délku protilehlé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, kde přepona je \( 15 \) cm a úhel \( 37^\circ \).
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém je přepona dlouhá \( 15 \) cm a známý úhel má velikost \( 37^\circ \). Chceme zjistit délku protilehlé odvěsny k tomuto úhlu.
Pro výpočet délky protilehlé odvěsny použijeme definici sinu, která říká, že sinus úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny k délce přepony:
\( \sin 37^\circ = \frac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
Dosadíme známou hodnotu přepony \( 15 \) cm:
\( \sin 37^\circ = \frac{\text{protilehlá odvěsna}}{15} \).
Chceme vyjádřit délku protilehlé odvěsny, proto upravíme rovnici:
\( \text{protilehlá odvěsna} = 15 \cdot \sin 37^\circ \).
Hodnota \( \sin 37^\circ \) je přibližně \( 0{,}6018 \), proto vypočítáme:
\( \text{protilehlá odvěsna} \approx 15 \cdot 0{,}6018 = 9{,}03 \) cm.
Tedy délka protilehlé odvěsny je přibližně \( 9{,}03 \) cm.
52. Je platné: \( \cos(90^\circ – x) = \sin x \)?
Řešení příkladu:
Výraz \( \cos(90^\circ – x) = \sin x \) je známá trigonometrická identita, která platí pro všechna reálná čísla \( x \).
Tato rovnost vychází z toho, že úhly \( x \) a \( 90^\circ – x \) jsou doplňkové, což znamená, že jejich součet je \( 90^\circ \).
Na jednotkové kružnici odpovídá kosinus úhlu \( 90^\circ – x \) hodnotě sinu úhlu \( x \).
Tedy můžeme říci, že rovnost \( \cos(90^\circ – x) = \sin x \) je pravdivá pro všechna \( x \).
53. Vypočítejte \( \sin 0^\circ + \sin 90^\circ + \sin 180^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty sinu pro jednotlivé úhly:
\( \sin 0^\circ = 0 \), protože na jednotkové kružnici odpovídá bod na ose x v kladném směru, kde osa y je nula.
\( \sin 90^\circ = 1 \), protože bod na jednotkové kružnici v úhlu \( 90^\circ \) má souřadnici y rovnu jedné.
\( \sin 180^\circ = 0 \), protože v tomto úhlu je bod na ose x v záporném směru, osa y je opět nula.
Nyní tyto hodnoty sečteme:
\( 0 + 1 + 0 = 1 \).
Tedy výsledná hodnota výrazu je \( 1 \).
54. Najděte řešení rovnice \( \cos x = 0 \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( \cos x = 0 \) znamená, že hledáme takové úhly \( x \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \), pro které je hodnota kosinu rovna nule.
Na jednotkové kružnici kosinus představuje souřadnici bodu na ose x. Hodnota \( \cos x = 0 \) nastává tehdy, když je bod na ose y, tedy když souřadnice x je nulová.
To se stane v úhlech \( 90^\circ \) a \( 270^\circ \).
Proto jsou řešení rovnice:
\( x = 90^\circ \) a \( x = 270^\circ \).
Tím jsme našli všechna řešení rovnice v daném intervalu.
55. Vypočítejte hodnotu \( \tan 0^\circ \cdot \tan 90^\circ \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty tangensu pro úhly \( 0^\circ \) a \( 90^\circ \).
Hodnota \( \tan 0^\circ \) je \( 0 \), protože tangens je poměr protilehlé odvěsny k přilehlé, a při \( 0^\circ \) je protilehlá odvěsna nulová.
Hodnota \( \tan 90^\circ \) však není definována, protože v tomto případě je přilehlá odvěsna nulová a dělení nulou není možné.
Protože jedna z hodnot není definována, nemá ani celý výraz \( \tan 0^\circ \cdot \tan 90^\circ \) definovanou hodnotu.
Tedy výraz není definován.
56. Určete hodnotu \( \sin 15^\circ \) pomocí vzorce pro součet úhlů: \( 15^\circ = 45^\circ – 30^\circ \).
Řešení příkladu:
Úhel \( 15^\circ \) můžeme vyjádřit jako rozdíl dvou známých úhlů, konkrétně \( 45^\circ \) a \( 30^\circ \). To nám umožňuje použít vzorec pro sinus rozdílu dvou úhlů, který říká:
\( \sin(a – b) = \sin a \cdot \cos b – \cos a \cdot \sin b \).
Dosadíme \( a = 45^\circ \) a \( b = 30^\circ \), tedy:
\( \sin 15^\circ = \sin(45^\circ – 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ – \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \).
Nyní dosadíme hodnoty známých goniometrických funkcí:
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), protože úhel \( 45^\circ \) má sinus rovný odmocnině ze dvou dělené dvěma.
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), protože kosinus \( 30^\circ \) je odmocnina ze tří dělená dvěma.
\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), stejně jako sinus \( 45^\circ \).
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), protože sinus \( 30^\circ \) je jedna polovina.
Po dosazení tedy máme:
\( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \).
Vynásobíme zlomky v jednotlivých částech:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \) a \( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).
Výraz tedy upravíme na:
\( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \).
Tím jsme odvodili přesný vzorec pro hodnotu \( \sin 15^\circ \).
57. V pravoúhlém trojúhelníku měří jedna odvěsna \( 7 \) cm a úhel u této odvěsny je \( 53^\circ \). Určete délku přepony.
Řešení příkladu:
Máme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém délka jedné odvěsny je \( 7 \) cm a úhel přilehlý k této odvěsně je \( 53^\circ \).
Chceme zjistit délku přepony, tedy nejdelší strany trojúhelníku.
Pro výpočet použijeme vztah mezi kosinem úhlu a délkami stran v pravoúhlém trojúhelníku:
\( \cos \alpha = \frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}} \).
Zadání říká, že odvěsna dlouhá \( 7 \) cm je přilehlá k úhlu \( 53^\circ \), proto můžeme napsat:
\( \cos 53^\circ = \frac{7}{\text{přepona}} \).
Abychom vyjádřili délku přepony, upravíme rovnici na tvar:
\( \text{přepona} = \frac{7}{\cos 53^\circ} \).
Hodnota \( \cos 53^\circ \) je přibližně \( 0{,}6018 \).
Dosadíme a spočítáme:
\( \text{přepona} \approx \frac{7}{0{,}6018} \approx 11{,}63 \) cm.
Tedy délka přepony je přibližně \( 11{,}63 \) cm.
58. Určete hodnotu \( \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \).
Řešení příkladu:
Výraz \( \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \) odpovídá pravé straně vzorce pro kosinus rozdílu dvou úhlů, který říká:
\( \cos(a – b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \).
V našem případě je \( a = b = 45^\circ \), takže \( a – b = 0^\circ \).
Podle vzorce tedy platí:
\( \cos 0^\circ = \cos 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 45^\circ \).
Hodnota \( \cos 0^\circ \) je \( 1 \), protože kosinus nulového úhlu je vždy roven jedné.
Tím jsme zjistili, že hodnota výrazu je \( 1 \).
59. Najděte všechna řešení rovnice \( \sin x = 0 \) v intervalu \( \langle 0^\circ, 360^\circ \rangle \).
Řešení příkladu:
Rovnice \( \sin x = 0 \) hledá všechny úhly \( x \) v intervalu od \( 0^\circ \) do \( 360^\circ \), pro které je hodnota sinu rovna nule.
Na jednotkové kružnici odpovídá sinus souřadnici bodu na ose y. Hodnota \( \sin x = 0 \) nastává, když je souřadnice y rovna nule.
To je v úhlech, kdy je bod na ose x, tedy při úhlech \( 0^\circ \), \( 180^\circ \) a \( 360^\circ \).
Tedy řešení rovnice jsou:
\( x = 0^\circ \), \( x = 180^\circ \) a \( x = 360^\circ \).
Tím máme všechna řešení v daném intervalu.
60. Vypočítejte hodnotu \( \frac{\cos 60^\circ}{\sin 30^\circ} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme hodnoty goniometrických funkcí v čitateli a jmenovateli:
Hodnota \( \cos 60^\circ \) je \( \frac{1}{2} \), protože kosinus \( 60^\circ \) je jedna polovina.
Hodnota \( \sin 30^\circ \) je také \( \frac{1}{2} \), protože sinus \( 30^\circ \) je jedna polovina.
Dosadíme tyto hodnoty do výrazu:
\( \frac{\cos 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \).
Při dělení dvou stejných čísel je výsledek \( 1 \), protože jakékoli číslo dělené sebou samým je jedna.
Tedy hodnota výrazu je \( 1 \).