1. Trojúhelník má délky stran \( a = 5\,\text{cm} \), \( b = 6\,\text{cm} \) a \( c = 7\,\text{cm} \). Vypočítej jeho obsah pomocí Heronova vzorce.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Nejprve ověříme, že strany splňují trojúhelníkovou nerovnost: \(5+6>7\), \(5+7>6\), \(6+7>5\), takže trojúhelník existuje.
2) Vypočítáme semiperimetr \(s\):
\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\,\text{cm}.
\]
3) Aplikujeme Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{9 \cdot (9-5)\cdot(9-6)\cdot(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}.
\]
4) Rozepíšeme vnitřní součin:
\[
9 \cdot 4 = 36,\quad 36 \cdot 3 = 108,\quad 108 \cdot 2 = 216,
\]
5) Dosadíme do odmocniny:
\[
S = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}697\,\text{cm}^2.
\]
6) Interpretace: Výsledek odpovídá očekávanému obsahu pro tento typ stran.
2. Trojúhelník má strany \( a = 13\,\text{cm} \), \( b = 14\,\text{cm} \) a \( c = 15\,\text{cm} \). Urči jeho obsah pomocí Heronova vzorce.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření existence: \(13+14=27>15\), \(13+15=28>14\), \(14+15=29>13\).
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\,\text{cm}.
\]
3) Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{21 \cdot (21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}.
\]
4) Rozklad čísel:
\[
21 \cdot 8 = 168,\quad 7 \cdot 6 = 42,\quad 168 \cdot 42 = 7056.
\]
5) Výpočet odmocniny:
\[
S = \sqrt{7056} = 84\,\text{cm}^2.
\]
6) Kontrola: Výsledek je přesné celé číslo, takže výpočet lze pokládat za správný.
3. Rovnostranný trojúhelník má stranu délky \( a = 10\,\text{cm} \). Spočítej jeho obsah Heronovou metodou.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Pro rovnostranný trojúhelník platí \( a=b=c=10\,\text{cm} \).
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{3a}{2} = 15\,\text{cm}.
\]
3) Vzorec:
\[
S = \sqrt{15 \cdot (15-10)^3} = \sqrt{15 \cdot 5^3} = \sqrt{15 \cdot 125} = \sqrt{1875}.
\]
4) Rozklad v kořenu: \(1875 = 625 \cdot 3 = 25^2 \cdot 3\), tedy
\[
S = 25\sqrt{3} \approx 43{,}301\,\text{cm}^2.
\]
5) Srovnání s klasickým vzorcem: pro rovnostranný trojúhelník \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 25\sqrt{3}\), takže Heronova metoda dává správný výsledek.
4. Trojúhelník má strany \( a = 7\,\text{cm} \), \( b = 24\,\text{cm} \), \( c = 25\,\text{cm} \). Urči obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Kontrola trojúhelníkové nerovnosti (včetně Pythagorovy trojice: \(7^2 + 24^2 = 25^2\)), tedy jde o pravoúhlý trojúhelník s přeponou 25 cm.
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{7+24+25}{2} = 28.
\]
3) Aplikace Herona:
\[
S = \sqrt{28 \cdot (28-7)\cdot(28-24)\cdot(28-25)} = \sqrt{28 \cdot 21 \cdot 4 \cdot 3}.
\]
4) Násobení: \(28\cdot21=588\), \(4\cdot3=12\), \(588\cdot12=7056\).
5) Odvození: \(\sqrt{7056}=84\), což odpovídá klasickému obsahu \( \frac{7\cdot24}{2}=84\), Heron potvrzuje.
5. Trojúhelník má strany \( a = 9\,\text{cm} \), \( b = 10\,\text{cm} \), \( c = 17\,\text{cm} \). Vypočítej obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření existence trojúhelníku: \(9+10>17\) (19>17), ostatní podmínky také platí.
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{9+10+17}{2} = 18.
\]
3) Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1} = \sqrt{1296} = 36\,\text{cm}^2.
\]
4) Interpretace: jednu z hodnot v součinu tvoří \( (s-c)=1\), což snižuje obsah. Zkusíme vypočítat výšku \(v_c\):
\[
S = \frac{c \cdot v_c}{2} \Rightarrow 36 = \frac{17 \cdot v_c}{2} \Rightarrow v_c = \frac{72}{17} \approx 4{,}235\,\text{cm}.
\]
5) Srovnání: Heronova hodnota potvrzuje výpočet výšky.
6. Trojúhelník má strany \( a = 11\,\text{cm} \), \( b = 15\,\text{cm} \), \( c = 16\,\text{cm} \). Vypočítej obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření existence trojúhelníku (11+15>16, …).
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{11+15+16}{2} = 21.
\]
3) Heron:
\[
S = \sqrt{21\cdot10\cdot6\cdot5} = \sqrt{6300}.
\]
4) Rozklad: \(6300 = 100\cdot63 = 10^2 \cdot 9 \cdot 7\), tedy
\[
\sqrt{6300} = 10\cdot3\sqrt{7} = 30\sqrt{7} \approx 79{,}37\,\text{cm}^2.
\]
5) Detailně: \(30\sqrt7 \approx 30×2{,}646=79{,}38\), zaokrouhleno 79,37.
7. Trojúhelník má strany \( a = 8\,\text{cm} \), \( b = 15\,\text{cm} \), \( c = 17\,\text{cm} \). Urči obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření, že jde o pravoúhlý trojúhelník (8-15-17 trojice).
2) Přímý výpočet obsahu: \( \frac{8\cdot15}{2}=60 \).
3) Heronova kontrola:
\[
s = \frac{8+15+17}{2} = 20
\]
\[
S = \sqrt{20\cdot12\cdot5\cdot3} = \sqrt{3600} = 60.
\]
4) Závěr: Heronova metoda dává shodu s jednoduchým vzorcem pro obsah pravoúhlého trojúhelníku.
8. Trojúhelník má strany \( a = 20\,\text{cm} \), \( b = 21\,\text{cm} \), \( c = 29\,\text{cm} \). Vypočítej obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření existence trojúhelníku.
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{20+21+29}{2} = 35
\]
3) Heron:
\[
S = \sqrt{35\cdot15\cdot14\cdot6} = \sqrt{44100} = 210\,\text{cm}^2.
\]
4) Interpretace: Všechny hodnoty jsou celé, což ulehčuje výpočet.
9. Trojúhelník má strany \( a = 18\,\text{cm} \), \( b = 24\,\text{cm} \), \( c = 30\,\text{cm} \). Urči obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Ověření, že trojúhelník existuje a že poměr stran je 3:4:5, tedy pravoúhlý.
2) Přímý obsah: \( \frac{18\cdot24}{2}=216 \).
3) Heron:
\[
s = \frac{18+24+30}{2} = 36
\]
\[
S = \sqrt{36\cdot18\cdot12\cdot6} = \sqrt{46656} = 216
\]
4) Obě metody se shodují.
10. Trojúhelník má strany \( a = 19\,\text{cm} \), \( b = 22\,\text{cm} \), \( c = 17\,\text{cm} \). Spočítej obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1) Trojúhelníková nerovnost platí (ověřeno).
2) Semiperimetr:
\[
s = \frac{19+22+17}{2} = 29
\]
3) Heron:
\[
S = \sqrt{29\cdot10\cdot7\cdot12} = \sqrt{24360}.
\]
4) Rozklad čísel: \(10\cdot7=70\), \(70\cdot12=840\), \(29\cdot840=24360\).
5) Odvození: \(\sqrt{24360} \approx 156{,}040\), tedy \(S\approx156{,}04\,\text{cm}^2\).
6) Ověření pomocí výšky: \(v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2\cdot156{,}04}{17}\approx18{,}356\,\text{cm}\).
7) Shrnutí: Podrobný výpočet včetně rozložení čísel, odmocniny i kontrola výšky.
11. V trojúhelníku jsou dány délky stran: \(a = 12\) cm, \(b = 13\) cm, \(c = 5\) cm. Vypočítejte obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte existenci trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve musíme zkontrolovat platnost trojúhelníkové nerovnosti, aby trojúhelník mohl existovat. Tato nerovnost říká, že součet délek dvou stran musí být větší než délka třetí strany.
\[
a + b = 12 + 13 = 25 > 5 = c, \quad a + c = 12 + 5 = 17 > 13 = b, \quad b + c = 13 + 5 = 18 > 12 = a
\]
Protože všechny tři nerovnosti platí, trojúhelník s délkami stran \(a, b, c\) existuje.
Vypočítáme poloviční obvod (semiperimetr) \(s\), který je dán vztahem
\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 13 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
Heronův vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku říká, že obsah \(S\) je dán vzorcem
\[
S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}
\]
Dosadíme hodnoty do vzorce:
\[
S = \sqrt{15(15 – 12)(15 – 13)(15 – 5)} = \sqrt{15 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 10}
\]
Vypočítáme postupně jednotlivé násobky:
\[
15 \times 3 = 45, \quad 45 \times 2 = 90, \quad 90 \times 10 = 900
\]
Takže obsah je
\[
S = \sqrt{900} = 30
\]
Tedy obsah trojúhelníku je \(30 \text{ cm}^2\).
Pro kontrolu můžeme použít také jiný přístup, například výpočet obsahu pomocí vzorce \(S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\), kde \(\gamma\) je úhel mezi stranami \(a\) a \(b\). Pokud bychom znali úhel, ověřili bychom, že dostaneme stejný výsledek.
12. V trojúhelníku jsou dány délky stran: \(a = 7\) cm, \(b = 24\) cm, \(c = 25\) cm. Určete obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte, zda je trojúhelník pravouhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme platnost trojúhelníkové nerovnosti:
\[
a + b = 7 + 24 = 31 > 25 = c, \quad a + c = 7 + 25 = 32 > 24 = b, \quad b + c = 24 + 25 = 49 > 7 = a
\]
Podmínky jsou splněny, trojúhelník existuje.
Zkontrolujeme, zda je trojúhelník pravouhlý pomocí Pythagorovy věty:
\[
a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
\]
a
\[
c^2 = 25^2 = 625
\]
Protože platí \(a^2 + b^2 = c^2\), trojúhelník je pravouhlý s přeponou \(c\).
Pro výpočet obsahu využijeme Heronův vzorec, ale také můžeme použít jednodušší vzorec pro pravouhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84
\]
Výpočet pomocí Heronova vzorce:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
\[
S = \sqrt{28(28 – 7)(28 – 24)(28 – 25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
Vypočítáme postupně:
\[
28 \times 21 = 588, \quad 588 \times 4 = 2352, \quad 2352 \times 3 = 7056
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
Výsledek odpovídá výpočtu jednoduchého vzorce pro pravouhlý trojúhelník, což potvrzuje správnost obou metod.
13. Trojúhelník má strany \(a = 18\) cm, \(b = 20\) cm, \(c = 14\) cm. Vypočítejte obsah a ověřte, zda se jedná o rovnostranný, rovnoramenný nebo různoramenný trojúhelník.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkontrolujeme trojúhelníkovou nerovnost:
\[
a + b = 18 + 20 = 38 > 14 = c, \quad a + c = 18 + 14 = 32 > 20 = b, \quad b + c = 20 + 14 = 34 > 18 = a
\]
Trojúhelník existuje.
Porovnáme délky stran:
\(a \neq b \neq c\), takže trojúhelník je různoramenný.
Vypočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{18 + 20 + 14}{2} = \frac{52}{2} = 26
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{26(26 – 18)(26 – 20)(26 – 14)} = \sqrt{26 \times 8 \times 6 \times 12}
\]
Vypočítáme postupně:
\[
26 \times 8 = 208, \quad 208 \times 6 = 1248, \quad 1248 \times 12 = 14976
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{14976} \approx 122.44
\]
Výsledek představuje obsah trojúhelníku o daných stranách v \(\text{cm}^2\).
14. Trojúhelník má strany \(a = 6.5\) cm, \(b = 7.3\) cm, \(c = 8.1\) cm. Vypočítejte obsah s přesností na dvě desetinná místa.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme trojúhelníkovou nerovnost:
\[
6.5 + 7.3 = 13.8 > 8.1, \quad 6.5 + 8.1 = 14.6 > 7.3, \quad 7.3 + 8.1 = 15.4 > 6.5
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{6.5 + 7.3 + 8.1}{2} = \frac{21.9}{2} = 10.95
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{10.95(10.95 – 6.5)(10.95 – 7.3)(10.95 – 8.1)} = \sqrt{10.95 \times 4.45 \times 3.65 \times 2.85}
\]
Vypočítáme součin pod odmocninou:
\[
10.95 \times 4.45 = 48.7275, \quad 48.7275 \times 3.65 = 177.773375, \quad 177.773375 \times 2.85 = 506.1541
\]
Obsah trojúhelníku je
\[
S = \sqrt{506.1541} \approx 22.50
\]
Tedy obsah je přibližně \(22.50 \, \text{cm}^2\).
15. V rovnostranném trojúhelníku má každá strana délku \(a = 10\) cm. Vypočítejte obsah.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny strany stejné, tedy \(a = b = c = 10\) cm.
Poloviční obvod je
\[
s = \frac{10 + 10 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{15(15 – 10)(15 – 10)(15 – 10)} = \sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5} = \sqrt{15 \times 125} = \sqrt{1875}
\]
Vypočítáme odmocninu:
\[
\sqrt{1875} = \sqrt{25 \times 75} = 5 \sqrt{75} \approx 5 \times 8.6603 = 43.301
\]
Obsah rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 10 cm je tedy přibližně \(43.30 \, \text{cm}^2\).
16. Trojúhelník má strany \(a = 11\) cm, \(b = 15\) cm, \(c = 10\) cm. Určete obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme trojúhelníkovou nerovnost:
\[
11 + 15 = 26 > 10, \quad 11 + 10 = 21 > 15, \quad 15 + 10 = 25 > 11
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 15 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18
\]
Obsah vypočteme pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{18(18 – 11)(18 – 15)(18 – 10)} = \sqrt{18 \times 7 \times 3 \times 8}
\]
Postupný výpočet:
\[
18 \times 7 = 126, \quad 126 \times 3 = 378, \quad 378 \times 8 = 3024
\]
\[
S = \sqrt{3024} \approx 54.99
\]
Výšku \(v_c\) na stranu \(c\) vypočteme podle vzorce pro obsah trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} c v_c \Rightarrow v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 54.99}{10} = 10.998
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(11.00\) cm.
17. Trojúhelník má strany \(a = 9\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 17\) cm. Určete obsah, pokud existuje. Pokud neexistuje, zdůvodněte proč.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkontrolujeme trojúhelníkovou nerovnost:
\[
9 + 10 = 19 > 17, \quad 9 + 17 = 26 > 10, \quad 10 + 17 = 27 > 9
\]
Všechny nerovnosti platí, trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{18(18 – 9)(18 – 10)(18 – 17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}
\]
Postupný výpočet:
\[
18 \times 9 = 162, \quad 162 \times 8 = 1296, \quad 1296 \times 1 = 1296
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{1296} = 36
\]
Obsah trojúhelníku je \(36 \text{ cm}^2\).
18. Trojúhelník má strany \(a = 5\) cm, \(b = 8\) cm, \(c = 9\) cm. Vypočítejte obsah a obvod.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kontrola existence trojúhelníku:
\[
5 + 8 = 13 > 9, \quad 5 + 9 = 14 > 8, \quad 8 + 9 = 17 > 5
\]
Trojuhelník existuje.
Obvod je
\[
O = a + b + c = 5 + 8 + 9 = 22
\]
Poloviční obvod je
\[
s = \frac{22}{2} = 11
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{11(11 – 5)(11 – 8)(11 – 9)} = \sqrt{11 \times 6 \times 3 \times 2}
\]
Postupný výpočet:
\[
11 \times 6 = 66, \quad 66 \times 3 = 198, \quad 198 \times 2 = 396
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{396} \approx 19.90
\]
Obsah je přibližně \(19.90 \text{ cm}^2\), obvod je 22 cm.
19. Trojúhelník má strany \(a = 13\) cm, \(b = 14\) cm, \(c = 15\) cm. Určete obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte výpočet.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kontrola existence:
\[
13 + 14 = 27 > 15, \quad 13 + 15 = 28 > 14, \quad 14 + 15 = 29 > 13
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Postupný výpočet:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 168 \times 7 = 1176, \quad 1176 \times 6 = 7056
\]
Obsah je
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
Ověření pomocí jiného přístupu (například výpočtem výšky) potvrdí správnost výpočtu.
20. Trojúhelník má strany \(a = 30\) cm, \(b = 40\) cm, \(c = 50\) cm. Vypočítejte obsah a určete, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme existenci trojúhelníku:
\[
30 + 40 = 70 > 50, \quad 30 + 50 = 80 > 40, \quad 40 + 50 = 90 > 30
\]
Trojúhelník existuje.
Ověříme pravouhlost pomocí Pythagorovy věty:
\[
30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500
\]
a
\[
50^2 = 2500
\]
Protože platí \(a^2 + b^2 = c^2\), trojúhelník je pravouhlý s přeponou \(c\).
Obsah pomocí jednoduchého vzorce pro pravouhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600
\]
Kontrola pomocí Heronova vzorce:
\[
s = \frac{30 + 40 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60
\]
\[
S = \sqrt{60(60 – 30)(60 – 40)(60 – 50)} = \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
60 \times 30 = 1800, \quad 1800 \times 20 = 36000, \quad 36000 \times 10 = 360000
\]
\[
S = \sqrt{360000} = 600
\]
Obě metody dávají stejný výsledek, potvrzující správnost výpočtu.
21. Trojúhelník má strany \(a = 12\) cm, \(b = 16\) cm, \(c = 20\) cm. Vypočtěte obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve ověříme, zda trojúhelník existuje:
\[
12 + 16 = 28 > 20, \quad 12 + 20 = 32 > 16, \quad 16 + 20 = 36 > 12
\]
Trojúhelník existuje.
Zjistíme, zda je trojúhelník pravoúhlý:
\[
12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400
\]
a
\[
20^2 = 400
\]
Protože platí \(12^2 + 16^2 = 20^2\), trojúhelník je pravoúhlý s přeponou 20 cm.
Obsah můžeme spočítat jednoduše jako polovinu součinu odvěsen:
\[
S = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96
\]
Pro ověření spočítáme obsah pomocí Heronova vzorce. Nejprve poloviční obvod:
\[
s = \frac{12 + 16 + 20}{2} = \frac{48}{2} = 24
\]
Dosadíme do vzorce:
\[
S = \sqrt{24(24 – 12)(24 – 16)(24 – 20)} = \sqrt{24 \times 12 \times 8 \times 4}
\]
Postupný výpočet pod odmocninou:
\[
24 \times 12 = 288, \quad 288 \times 8 = 2304, \quad 2304 \times 4 = 9216
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{9216} = 96
\]
Obě metody potvrzují správnost výsledku, obsah trojúhelníku je \(96 \text{ cm}^2\).
22. Trojúhelník má strany \(a = 9\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 17\) cm. Spočítejte jeho obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte existenci trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme existenci trojúhelníku:
\[
9 + 10 = 19 > 17, \quad 9 + 17 = 26 > 10, \quad 10 + 17 = 27 > 9
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod spočítáme jako
\[
s = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{18(18 – 9)(18 – 10)(18 – 17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}
\]
Postupně vypočítáme hodnotu pod odmocninou:
\[
18 \times 9 = 162, \quad 162 \times 8 = 1296, \quad 1296 \times 1 = 1296
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{1296} = 36
\]
Obsah trojúhelníku je \(36 \text{ cm}^2\).
23. Trojúhelník má strany \(a = 15\) cm, \(b = 20\) cm, \(c = 25\) cm. Určete obsah a ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve ověříme existenci trojúhelníku:
\[
15 + 20 = 35 > 25, \quad 15 + 25 = 40 > 20, \quad 20 + 25 = 45 > 15
\]
Trojúhelník existuje.
Ověříme pravoúhlost pomocí Pythagorovy věty:
\[
15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625
\]
a
\[
25^2 = 625
\]
Protože platí \(15^2 + 20^2 = 25^2\), trojúhelník je pravoúhlý s přeponou 25 cm.
Obsah spočítáme jako polovinu součinu odvěsen:
\[
S = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150
\]
Pro ověření spočítáme obsah pomocí Heronova vzorce:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30
\]
Dosadíme do vzorce:
\[
S = \sqrt{30(30 – 15)(30 – 20)(30 – 25)} = \sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5}
\]
Postupný výpočet:
\[
30 \times 15 = 450, \quad 450 \times 10 = 4500, \quad 4500 \times 5 = 22500
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{22500} = 150
\]
Obě metody dávají stejný výsledek.
24. Trojúhelník má strany \(a = 13\) cm, \(b = 14\) cm, \(c = 15\) cm. Určete obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
13 + 14 > 15, \quad 13 + 15 > 14, \quad 14 + 15 > 13
\Rightarrow 27 > 15, \quad 28 > 14, \quad 29 > 13
\]
Trojúhelník existuje.
Výpočet polovičního obvodu:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Dosazení do Heronova vzorce pro obsah:
\[
S = \sqrt{21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42
\]
\[
168 \times 42 = 7056
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{7056} = 84
\]
Výpočet výšky na stranu \(b = 14\) cm:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 84}{14} = \frac{168}{14} = 12
\]
Délka výšky na stranu \(b\) je 12 cm.
25. Trojúhelník má strany \(a = 13\) cm, \(b = 14\) cm, \(c = 15\) cm. Vypočtěte obsah pomocí Heronova vzorce a určete délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda trojúhelník existuje:
\[
13 + 14 > 15, \quad 13 + 15 > 14, \quad 14 + 15 > 13
\Rightarrow 27 > 15, \quad 28 > 14, \quad 29 > 13
\]
Trojúhelník existuje.
Vypočteme poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Dosadíme do Heronova vzorce pro obsah \(S\):
\[
S = \sqrt{21 (21 – 13) (21 – 14) (21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Postupný výpočet pod odmocninou:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 168 \times 7 = 1176, \quad 1176 \times 6 = 7056
\]
Obsah je tedy
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
Nyní vypočteme výšku na stranu \(b = 14\) cm pomocí vztahu
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 84}{14} = \frac{168}{14} = 12
\]
Výška na stranu \(b\) je tedy 12 cm.
26. Trojúhelník má strany \(a = 9\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 17\) cm. Určete obsah pomocí Heronova vzorce a zjistěte, zda je trojúhelník ostrý, pravý nebo tupoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme existenci trojúhelníku:
\[
9 + 10 > 17, \quad 9 + 17 > 10, \quad 10 + 17 > 9
\Rightarrow 19 > 17, \quad 26 > 10, \quad 27 > 9
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{9 + 10 + 17}{2} = 18
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{18 (18 – 9) (18 – 10) (18 – 17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}
\]
Postupný výpočet:
\[
18 \times 9 = 162, \quad 162 \times 8 = 1296, \quad 1296 \times 1 = 1296
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{1296} = 36
\]
Pro určení typu úhlu spočítáme největší stranu \(c = 17\) a porovnáme čtverce stran:
\[
a^2 + b^2 = 9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181
\]
\[
c^2 = 17^2 = 289
\]
Protože \(c^2 > a^2 + b^2\), trojúhelník je tupoúhlý.
27. Trojúhelník má strany \(a = 8\) cm, \(b = 15\) cm, \(c = 17\) cm. Vypočítejte obsah pomocí Heronova vzorce a určete délku výšky na přeponu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve ověříme, zda trojúhelník existuje:
\[
8 + 15 > 17, \quad 8 + 17 > 15, \quad 15 + 17 > 8
\Rightarrow 23 > 17, \quad 25 > 15, \quad 32 > 8
\]
Trojúhelník existuje.
Zkontrolujeme pravoúhlost:
\[
8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, \quad 17^2 = 289
\]
Platí rovnost, trojúhelník je pravoúhlý s přeponou \(c=17\) cm.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{20 (20 – 8) (20 – 15) (20 – 17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
Postupný výpočet:
\[
20 \times 12 = 240, \quad 240 \times 5 = 1200, \quad 1200 \times 3 = 3600
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{3600} = 60
\]
Výšku na přeponu \(c\) spočítáme ze vztahu
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06
\]
Výška na přeponu je přibližně 7,06 cm.
28. Trojúhelník má strany \(a = 7\) cm, \(b = 24\) cm, \(c = 25\) cm. Spočítejte obsah pomocí Heronova vzorce a ověřte, zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme existenci trojúhelníku:
\[
7 + 24 > 25, \quad 7 + 25 > 24, \quad 24 + 25 > 7
\Rightarrow 31 > 25, \quad 32 > 24, \quad 49 > 7
\]
Trojúhelník existuje.
Zkontrolujeme pravoúhlost:
\[
7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, \quad 25^2 = 625
\]
Platí rovnost, je to pravoúhlý trojúhelník.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = 28
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{28 (28 – 7) (28 – 24) (28 – 25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
28 \times 21 = 588, \quad 588 \times 4 = 2352, \quad 2352 \times 3 = 7056
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
29. Trojúhelník má strany \(a = 11\) cm, \(b = 17\) cm, \(c = 20\) cm. Vypočítejte obsah pomocí Heronova vzorce a zjistěte polohu nejdelší výšky.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence:
\[
11 + 17 > 20, \quad 11 + 20 > 17, \quad 17 + 20 > 11
\Rightarrow 28 > 20, \quad 31 > 17, \quad 37 > 11
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 17 + 20}{2} = 24
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{24 (24 – 11) (24 – 17) (24 – 20)} = \sqrt{24 \times 13 \times 7 \times 4}
\]
Postupný výpočet:
\[
24 \times 13 = 312, \quad 312 \times 7 = 2184, \quad 2184 \times 4 = 8736
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{8736} \approx 93.45
\]
Výšky spočítáme podle vzorce \(v_a = \frac{2S}{a}\), \(v_b = \frac{2S}{b}\), \(v_c = \frac{2S}{c}\):
\[
v_a = \frac{2 \times 93.45}{11} \approx 16.99, \quad v_b = \frac{2 \times 93.45}{17} \approx 10.99, \quad v_c = \frac{2 \times 93.45}{20} \approx 9.34
\]
Nejdelší výška je na stranu \(a = 11\) cm.
30. Trojúhelník má strany \(a = 10\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 12\) cm. Spočtěte obsah a zjistěte, zda je trojúhelník rovnoramenný a jaká je délka výšky na základnu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření rovnoramennosti:
Strany \(a = 10\) cm, \(b = 10\) cm jsou shodné, trojúhelník je rovnoramenný s délkou základny \(c = 12\) cm.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{16 (16 – 10) (16 – 10) (16 – 12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4}
\]
Výpočet:
\[
16 \times 6 = 96, \quad 96 \times 6 = 576, \quad 576 \times 4 = 2304
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{2304} = 48
\]
Výška na základnu \(c\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 48}{12} = 8
\]
Výška na základnu je 8 cm.
31. Trojúhelník má strany \(a = 7\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 12\) cm. Vypočítejte obsah a určete obvod trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence:
\[
7 + 10 > 12, \quad 7 + 12 > 10, \quad 10 + 12 > 7
\Rightarrow 17 > 12, \quad 19 > 10, \quad 22 > 7
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 10 + 12}{2} = 14.5
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{14.5 (14.5 – 7) (14.5 – 10) (14.5 – 12)} = \sqrt{14.5 \times 7.5 \times 4.5 \times 2.5}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
14.5 \times 7.5 = 108.75, \quad 4.5 \times 2.5 = 11.25
\]
\[
108.75 \times 11.25 = 1223.44
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{1223.44} \approx 35
\]
Obvod trojúhelníku:
\[
O = 7 + 10 + 12 = 29
\]
32. Trojúhelník má strany \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm, \(c = 10\) cm. Spočítejte obsah a ověřte, zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Existence trojúhelníku:
\[
6 + 8 > 10, \quad 6 + 10 > 8, \quad 8 + 10 > 6
\Rightarrow 14 > 10, \quad 16 > 8, \quad 18 > 6
\]
Trojúhelník existuje.
Pravoúhlost:
\[
6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \quad 10^2 = 100
\]
Platí rovnost, trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{12 (12 – 6) (12 – 8) (12 – 10)} = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
12 \times 6 = 72, \quad 72 \times 4 = 288, \quad 288 \times 2 = 576
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{576} = 24
\]
33. Trojúhelník má strany \(a = 5\) cm, \(b = 12\) cm, \(c = 13\) cm. Vypočítejte obsah a zjistěte, zda je pravoúhlý. Poté určete délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence:
\[
5 + 12 > 13, \quad 5 + 13 > 12, \quad 12 + 13 > 5
\Rightarrow 17 > 13, \quad 18 > 12, \quad 25 > 5
\]
Trojúhelník existuje.
Pravoúhlost:
\[
5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \quad 13^2 = 169
\]
Platí rovnost, trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{15 (15 – 5) (15 – 12) (15 – 13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
15 \times 10 = 150, \quad 150 \times 3 = 450, \quad 450 \times 2 = 900
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{900} = 30
\]
Výška na stranu \(a\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 30}{5} = \frac{60}{5} = 12
\]
Výška na stranu \(a\) je 12 cm.
34. Trojúhelník má strany \(a = 14\) cm, \(b = 14\) cm, \(c = 20\) cm. Spočítejte obsah a určete výšku na základnu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření rovnoramennosti:
Strany \(a\) a \(b\) jsou shodné, trojúhelník je rovnoramenný.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{14 + 14 + 20}{2} = 24
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{24 (24 – 14) (24 – 14) (24 – 20)} = \sqrt{24 \times 10 \times 10 \times 4}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
24 \times 10 = 240, \quad 240 \times 10 = 2400, \quad 2400 \times 4 = 9600
\]
Obsah:
\[
S = \sqrt{9600} \approx 97.98
\]
Výška na základnu \(c\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 97.98}{20} = \frac{195.96}{20} \approx 9.80
\]
Výška na základnu je přibližně 9,80 cm.
35. Trojúhelník má strany \(a = 13\) cm, \(b = 14\) cm, \(c = 15\) cm. Spočítejte obsah pomocí Heronova vzorce a určete délku výšky na nejdelší stranu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
13 + 14 > 15, \quad 13 + 15 > 14, \quad 14 + 15 > 13
\Rightarrow 27 > 15, \quad 28 > 14, \quad 29 > 13
\]
Trojúhelník existuje.
Výpočet polovičního obvodu:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{21 (21 – 13) (21 – 14) (21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 168 \times 7 = 1176, \quad 1176 \times 6 = 7056
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
Nejdelší strana je \(c = 15\) cm. Výška na tuto stranu spočítáme podle vzorce:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 84}{15} = \frac{168}{15} = 11.2
\]
Délka výšky na nejdelší stranu je přibližně 11,2 cm.
36. Trojúhelník má strany \(a = 9\) cm, \(b = 24\) cm, \(c = 26\) cm. Určete obsah a ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý. Dále spočítejte délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
9 + 24 > 26, \quad 9 + 26 > 24, \quad 24 + 26 > 9
\Rightarrow 33 > 26, \quad 35 > 24, \quad 50 > 9
\]
Trojúhelník existuje.
Ověření pravoúhlosti:
\[
9^2 + 24^2 = 81 + 576 = 657, \quad 26^2 = 676
\]
Neplatí rovnost, trojúhelník není pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{9 + 24 + 26}{2} = 29.5
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{29.5 (29.5 – 9) (29.5 – 24) (29.5 – 26)} = \sqrt{29.5 \times 20.5 \times 5.5 \times 3.5}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
29.5 \times 20.5 = 604.75, \quad 5.5 \times 3.5 = 19.25
\]
\[
604.75 \times 19.25 = 11638.44
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{11638.44} \approx 107.90
\]
Výška na stranu \(b = 24\) cm:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 107.90}{24} = \frac{215.80}{24} \approx 8.99
\]
Délka výšky na stranu \(b\) je přibližně 8,99 cm.
37. Trojúhelník má strany \(a = 11\) cm, \(b = 11\) cm, \(c = 18\) cm. Určete obsah a zda je trojúhelník rovnoramenný. Dále vypočítejte délku výšky na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence a rovnoramennosti:
\[
11 + 11 > 18, \quad 11 + 18 > 11, \quad 11 + 18 > 11
\Rightarrow 22 > 18, \quad 29 > 11, \quad 29 > 11
\]
Trojúhelník existuje a strany \(a\) a \(b\) jsou shodné, tedy trojúhelník je rovnoramenný.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 11 + 18}{2} = 20
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{20 (20 – 11) (20 – 11) (20 – 18)} = \sqrt{20 \times 9 \times 9 \times 2}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
20 \times 9 = 180, \quad 9 \times 2 = 18
\]
\[
180 \times 18 = 3240
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{3240} \approx 56.92
\]
Výška na základnu \(c = 18\) cm:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 56.92}{18} = \frac{113.84}{18} \approx 6.32
\]
Délka výšky na stranu \(c\) je přibližně 6,32 cm.
38. Trojúhelník má strany \(a = 17\) cm, \(b = 25\) cm, \(c = 28\) cm. Vypočítejte obsah a zjistěte délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
17 + 25 > 28, \quad 17 + 28 > 25, \quad 25 + 28 > 17
\Rightarrow 42 > 28, \quad 45 > 25, \quad 53 > 17
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{35 (35 – 17) (35 – 25) (35 – 28)} = \sqrt{35 \times 18 \times 10 \times 7}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
35 \times 18 = 630, \quad 10 \times 7 = 70
\]
\[
630 \times 70 = 44100
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{44100} = 210
\]
Výška na stranu \(a = 17\) cm:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 210}{17} = \frac{420}{17} \approx 24.71
\]
Délka výšky na stranu \(a\) je přibližně 24,71 cm.
39. Trojúhelník má strany \(a = 21\) cm, \(b = 28\) cm, \(c = 35\) cm. Určete obsah a ověřte, zda jsou strany v poměru podobnosti 3:4:5. Pokud ano, spočítejte výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
21 + 28 > 35, \quad 21 + 35 > 28, \quad 28 + 35 > 21
\Rightarrow 49 > 35, \quad 56 > 28, \quad 63 > 21
\]
Trojúhelník existuje.
Poměr stran:
\[
\frac{21}{3} = 7, \quad \frac{28}{4} = 7, \quad \frac{35}{5} = 7
\]
Strany jsou v poměru 3:4:5, což znamená, že trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{21 + 28 + 35}{2} = 42
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{42 (42 – 21) (42 – 28) (42 – 35)} = \sqrt{42 \times 21 \times 14 \times 7}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
42 \times 21 = 882, \quad 14 \times 7 = 98
\]
\[
882 \times 98 = 86436
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{86436} \approx 294
\]
Výška na stranu \(c = 35\) cm:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 294}{35} = \frac{588}{35} = 16.8
\]
Délka výšky na stranu \(c\) je 16,8 cm.
40. Trojúhelník má strany \(a = 10\) cm, \(b = 10\) cm, \(c = 10\) cm. Určete obsah a délku výšky na libovolnou stranu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
10 + 10 > 10 \quad \Rightarrow 20 > 10
\]
Trojúhelník existuje a je rovnostranný.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{10 + 10 + 10}{2} = 15
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{15 (15 – 10) (15 – 10) (15 – 10)} = \sqrt{15 \times 5 \times 5 \times 5}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
15 \times 5 = 75, \quad 5 \times 5 = 25
\]
\[
75 \times 25 = 1875
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{1875} = 25 \sqrt{3} \approx 43.30
\]
Výška na libovolnou stranu (např. \(a\)):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 25 \sqrt{3}}{10} = 5 \sqrt{3} \approx 8.66
\]
Délka výšky je přibližně 8,66 cm.
41. Trojúhelník má strany \(a = 7\) cm, \(b = 24\) cm, \(c = 25\) cm. Určete obsah a ověřte pravoúhlost. Dále vypočítejte výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
7 + 24 > 25, \quad 7 + 25 > 24, \quad 24 + 25 > 7
\Rightarrow 31 > 25, \quad 32 > 24, \quad 49 > 7
\]
Trojúhelník existuje.
Ověření pravoúhlosti:
\[
7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, \quad 25^2 = 625
\]
Rovnost platí, trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = 28
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{28 (28 – 7) (28 – 24) (28 – 25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
28 \times 21 = 588, \quad 4 \times 3 = 12
\]
\[
588 \times 12 = 7056
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{7056} = 84
\]
Výška na stranu \(a = 7\) cm:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 84}{7} = \frac{168}{7} = 24
\]
Délka výšky na stranu \(a\) je 24 cm.
42. Trojúhelník má strany \(a = 16\) cm, \(b = 30\) cm, \(c = 34\) cm. Určete obsah a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
16 + 30 > 34, \quad 16 + 34 > 30, \quad 30 + 34 > 16
\Rightarrow 46 > 34, \quad 50 > 30, \quad 64 > 16
\]
Trojúhelník existuje.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{16 + 30 + 34}{2} = 40
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{40 (40 – 16) (40 – 30) (40 – 34)} = \sqrt{40 \times 24 \times 10 \times 6}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
40 \times 24 = 960, \quad 10 \times 6 = 60
\]
\[
960 \times 60 = 57600
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{57600} = 240
\]
Výška na stranu \(b = 30\) cm:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 240}{30} = \frac{480}{30} = 16
\]
Délka výšky na stranu \(b\) je 16 cm.
43. Trojúhelník má strany \(a = 12\) cm, \(b = 16\) cm, \(c = 20\) cm. Určete obsah a délku výšky na stranu \(a\). Ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
12 + 16 > 20, \quad 12 + 20 > 16, \quad 16 + 20 > 12
\Rightarrow 28 > 20, \quad 32 > 16, \quad 36 > 12
\]
Trojúhelník existuje.
Ověření pravoúhlosti:
\[
12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400, \quad 20^2 = 400
\]
Rovnost platí, trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{24 (24 – 12) (24 – 16) (24 – 20)} = \sqrt{24 \times 12 \times 8 \times 4}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
24 \times 12 = 288, \quad 8 \times 4 = 32
\]
\[
288 \times 32 = 9216
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{9216} = 96
\]
Výška na stranu \(a = 12\) cm:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 96}{12} = \frac{192}{12} = 16
\]
Délka výšky na stranu \(a\) je 16 cm.
44. Trojúhelník má strany \(a = 8\) cm, \(b = 15\) cm, \(c = 17\) cm. Určete obsah a výšku na stranu \(b\). Ověřte pravoúhlost trojúhelníku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření existence trojúhelníku:
\[
8 + 15 > 17, \quad 8 + 17 > 15, \quad 15 + 17 > 8
\Rightarrow 23 > 17, \quad 25 > 15, \quad 32 > 8
\]
Trojúhelník existuje.
Ověření pravoúhlosti:
\[
8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, \quad 17^2 = 289
\]
Trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{20 (20 – 8) (20 – 15) (20 – 17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15
\]
\[
240 \times 15 = 3600
\]
Obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{3600} = 60
\]
Výška na stranu \(b = 15\) cm:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{15} = \frac{120}{15} = 8
\]
Délka výšky na stranu \(b\) je 8 cm.
45. V trojúhelníku jsou délky stran \(a = 12\), \(b = 16\) a úhel mezi nimi \(\gamma = 60^\circ\). Vypočítejte obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce a ověřte výsledkem podle vzorce s úhlem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve musíme zjistit délku třetí strany \(c\) pomocí kosinové věty:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 12^2 + 16^2 – 2 \times 12 \times 16 \times \cos 60^\circ
\]
\[
= 144 + 256 – 2 \times 12 \times 16 \times 0.5 = 400 – 192 = 208
\Rightarrow c = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42
\]
Ověření existence trojúhelníku:
\[
12 + 16 > 14.42, \quad 12 + 14.42 > 16, \quad 16 + 14.42 > 12
\Rightarrow \text{trojúhelník existuje}
\]
Poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{12 + 16 + 14.42}{2} = \frac{42.42}{2} = 21.21
\]
Heronův vzorec pro obsah \(S\):
\[
S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{21.21(21.21 – 12)(21.21 – 16)(21.21 – 14.42)}
\]
\[
= \sqrt{21.21 \times 9.21 \times 5.21 \times 6.79}
\]
Vypočítáme postupně násobky:
\[
21.21 \times 9.21 \approx 195.4, \quad 5.21 \times 6.79 \approx 35.4
\]
\[
195.4 \times 35.4 \approx 6915.16
\]
\[
S = \sqrt{6915.16} \approx 83.17
\]
Ověření podle vzorce s úhlem:
\[
S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 \times \sin 60^\circ = 96 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} \approx 83.14
\]
Obsahy se velmi shodují, rozdíl je způsobený zaokrouhlením.
46. Trojúhelník má strany \(a = 9\), \(b = 40\), \(c = 41\). Určete obsah pomocí Heronova vzorce a zjistěte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme prvoúhlost podle Pythagorovy věty:
\[
9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681, \quad 41^2 = 1681
\Rightarrow 9^2 + 40^2 = 41^2
\]
Trojúhelník je tedy pravoúhlý s přeponou \(c=41\).
Poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{9 + 40 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{45(45-9)(45-40)(45-41)} = \sqrt{45 \times 36 \times 5 \times 4}
\]
\[
45 \times 36 = 1620, \quad 5 \times 4 = 20, \quad 1620 \times 20 = 32400
\Rightarrow S = \sqrt{32400} = 180
\]
Obsah trojúhelníku je tedy \(180\).
Ověření pomocí vzorce pro pravoúhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2} \times 9 \times 40 = 180
\]
Výsledky souhlasí.
47. Trojúhelník má strany \(a = 7\), \(b = 24\), \(c = 25\). Spočtěte jeho obsah a urči, zda je trojúhelník pravoúhlý, ostrý nebo tupý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkontrolujeme vztah stran podle Pythagorovy věty:
\[
7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, \quad 25^2 = 625
\Rightarrow 7^2 + 24^2 = 25^2
\]
Trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
\[
28 \times 21 = 588, \quad 4 \times 3 = 12, \quad 588 \times 12 = 7056
\Rightarrow S = \sqrt{7056} = 84
\]
Výpočet ověříme podle vzorce pro pravoúhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84
\]
Výsledky souhlasí, trojúhelník je pravoúhlý.
48. V trojúhelníku jsou délky stran \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15, \quad 240 \times 15 = 3600
\Rightarrow S = \sqrt{3600} = 60
\]
Výška na stranu \(c = 17\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06
\]
Délka výšky na stranu \(c\) je přibližně 7.06 cm.
49. Trojúhelník má strany \(a=10\), \(b=10\), \(c=12\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4}
\]
\[
16 \times 6 = 96, \quad 6 \times 4 = 24, \quad 96 \times 24 = 2304
\Rightarrow S = \sqrt{2304} = 48
\]
Výška na stranu \(a = 10\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 48}{10} = \frac{96}{10} = 9.6
\]
Výška na stranu \(a\) je 9.6 cm.
50. Trojúhelník má strany \(a=20\), \(b=21\), \(c=29\). Vypočítejte obsah a obvod.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Obvod trojúhelníku je součet stran:
\[
o = a + b + c = 20 + 21 + 29 = 70
\]
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{70}{2} = 35
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{35(35 – 20)(35 – 21)(35 – 29)} = \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}
\]
Výpočet uvnitř odmocniny:
\[
35 \times 15 = 525, \quad 14 \times 6 = 84, \quad 525 \times 84 = 44100
\Rightarrow S = \sqrt{44100} = 210
\]
Obsah trojúhelníku je 210 cm\(^2\).
51. Trojúhelník má strany \(a=11\), \(b=13\), \(c=17\). Vypočítejte obsah a zjistěte, zda je trojúhelník tupý, ostrý nebo pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme, zda je trojúhelník pravoúhlý, podle Pythagorovy věty:
\[
11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290, \quad 17^2 = 289
\]
Protože \(290 > 289\), trojúhelník je ostrý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 13 + 17}{2} = \frac{41}{2} = 20.5
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{20.5 (20.5 – 11)(20.5 – 13)(20.5 – 17)} = \sqrt{20.5 \times 9.5 \times 7.5 \times 3.5}
\]
Výpočet:
\[
20.5 \times 9.5 = 194.75, \quad 7.5 \times 3.5 = 26.25, \quad 194.75 \times 26.25 = 5111.44
\Rightarrow S = \sqrt{5111.44} \approx 71.5
\]
Obsah trojúhelníku je přibližně 71.5.
52. Trojúhelník má strany \(a=14\), \(b=18\), \(c=20\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{14 + 18 + 20}{2} = \frac{52}{2} = 26
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{26(26-14)(26-18)(26-20)} = \sqrt{26 \times 12 \times 8 \times 6}
\]
\[
26 \times 12 = 312, \quad 8 \times 6 = 48, \quad 312 \times 48 = 14976
\Rightarrow S = \sqrt{14976} \approx 122.44
\]
Výška na stranu \(b=18\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 122.44}{18} = \frac{244.88}{18} \approx 13.6
\]
Délka výšky na stranu \(b\) je přibližně 13.6 cm.
53. Trojúhelník má strany \(a=5\), \(b=12\), \(c=13\). Spočtěte obsah a ověřte, zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření pravoúhlosti:
\[
5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \quad 13^2 = 169
\Rightarrow 5^2 + 12^2 = 13^2
\]
Trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}
\]
\[
15 \times 10 = 150, \quad 3 \times 2 = 6, \quad 150 \times 6 = 900
\Rightarrow S = \sqrt{900} = 30
\]
Ověření vzorcem pro pravoúhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30
\]
54. Trojúhelník má strany \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42, \quad 168 \times 42 = 7056
\Rightarrow S = \sqrt{7056} = 84
\]
Výška na stranu \(a=13\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.92
\]
Délka výšky na stranu \(a\) je přibližně 12.92 cm.
55. Trojúhelník má strany \(a=10\), \(b=17\), \(c=21\). Vypočítejte obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce a délku výšky na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24
\]
Podle Heronova vzorce platí pro obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \sqrt{24(24 – 10)(24 – 17)(24 – 21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3}
\]
Nyní si postupně vypočítáme hodnoty v závorce:
\[
24 \times 14 = 336, \quad 7 \times 3 = 21, \quad 336 \times 21 = 7056
\Rightarrow S = \sqrt{7056}
\]
Vypočteme druhou odmocninu:
\[
\sqrt{7056} \approx 83.96
\]
Obsah trojúhelníku je tedy přibližně 83.96 cm\(^2\).
Pro výšku na stranu \(c\) využijeme vzorec:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 83.96}{21} = \frac{167.92}{21} \approx 7.99
\]
Délka výšky na stranu \(c\) je přibližně 7.99 cm.
56. Trojúhelník má strany \(a=15\), \(b=20\), \(c=25\). Určete obsah trojúhelníku a ověřte, zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme prvoúhlost pomocí Pythagorovy věty:
\[
a^2 + b^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625, \quad c^2 = 25^2 = 625
\Rightarrow a^2 + b^2 = c^2
\]
Trojúhelník je tedy pravoúhlý.
Vypočítáme poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30
\]
Podle Heronova vzorce obsah trojúhelníku:
\[
S = \sqrt{30(30 – 15)(30 – 20)(30 – 25)} = \sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5}
\]
\[
30 \times 15 = 450, \quad 10 \times 5 = 50, \quad 450 \times 50 = 22500
\Rightarrow S = \sqrt{22500}
\]
\[
\sqrt{22500} = 150
\]
Pro kontrolu použijeme vzorec pro obsah pravoúhlého trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150
\]
Obě metody dávají stejný výsledek.
57. Trojúhelník má strany \(a=9\), \(b=12\), \(c=15\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15)} = \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}
\]
\[
18 \times 9 = 162, \quad 6 \times 3 = 18, \quad 162 \times 18 = 2916
\Rightarrow S = \sqrt{2916}
\]
Výpočet druhé odmocniny:
\[
\sqrt{2916} = 54
\]
Obsah trojúhelníku je tedy 54 cm\(^2\).
Výška na stranu \(a=9\) je dána vzorcem:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 54}{9} = \frac{108}{9} = 12
\]
Délka výšky na stranu \(a\) je 12 cm.
58. Trojúhelník má strany \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Vypočítejte obsah trojúhelníku a ověřte, zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověříme pravoúhlost pomocí Pythagorovy věty:
\[
8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, \quad 17^2 = 289
\Rightarrow 8^2 + 15^2 = 17^2
\]
Trojúhelník je pravoúhlý.
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15, \quad 240 \times 15 = 3600
\Rightarrow S = \sqrt{3600} = 60
\]
Pro kontrolu použijeme vzorec pro pravoúhlý trojúhelník:
\[
S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60
\]
59. Trojúhelník má strany \(a=11\), \(b=13\), \(c=20\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \times 11 \times 9 \times 2}
\]
\[
22 \times 11 = 242, \quad 9 \times 2 = 18, \quad 242 \times 18 = 4356
\Rightarrow S = \sqrt{4356}
\]
Výpočet odmocniny:
\[
\sqrt{4356} = 66
\]
Obsah trojúhelníku je 66 cm\(^2\).
Výška na stranu \(b=13\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 66}{13} = \frac{132}{13} \approx 10.15
\]
60. Trojúhelník má strany \(a=14\), \(b=18\), \(c=24\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{14 + 18 + 24}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{28(28-14)(28-18)(28-24)} = \sqrt{28 \times 14 \times 10 \times 4}
\]
\[
28 \times 14 = 392, \quad 10 \times 4 = 40, \quad 392 \times 40 = 15680
\Rightarrow S = \sqrt{15680}
\]
\[
\sqrt{15680} \approx 125.2
\]
Výška na stranu \(a=14\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 125.2}{14} = \frac{250.4}{14} \approx 17.89
\]
61. Trojúhelník má strany \(a=7\), \(b=24\), \(c=25\). Určete obsah a zda je pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Ověření pravoúhlosti:
\[
7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, \quad 25^2 = 625
\Rightarrow \text{trojúhelník je pravoúhlý}
\]
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
\[
28 \times 21 = 588, \quad 4 \times 3 = 12, \quad 588 \times 12 = 7056
\Rightarrow S = \sqrt{7056} \approx 83.96
\]
Obsah je 83.96 cm\(^2\), což odpovídá obsahu pravoúhlého trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84
\]
62. Trojúhelník má strany \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42, \quad 168 \times 42 = 7056
\Rightarrow S = \sqrt{7056} \approx 83.96
\]
Výška na stranu \(c=15\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 83.96}{15} = \frac{167.92}{15} \approx 11.19
\]
63. Trojúhelník má strany \(a=21\), \(b=28\), \(c=35\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{21 + 28 + 35}{2} = \frac{84}{2} = 42
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{42(42-21)(42-28)(42-35)} = \sqrt{42 \times 21 \times 14 \times 7}
\]
\[
42 \times 21 = 882, \quad 14 \times 7 = 98, \quad 882 \times 98 = 86436
\Rightarrow S = \sqrt{86436} \approx 293.97
\]
Výška na stranu \(b=28\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 293.97}{28} = \frac{587.94}{28} \approx 20.99
\]
64. Trojúhelník má strany \(a=16\), \(b=22\), \(c=30\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{16 + 22 + 30}{2} = \frac{68}{2} = 34
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{34(34-16)(34-22)(34-30)} = \sqrt{34 \times 18 \times 12 \times 4}
\]
\[
34 \times 18 = 612, \quad 12 \times 4 = 48, \quad 612 \times 48 = 29376
\Rightarrow S = \sqrt{29376} \approx 171.38
\]
Výška na stranu \(a=16\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 171.38}{16} = \frac{342.76}{16} \approx 21.42
\]
65. Trojúhelník má strany \(a=17\), \(b=25\), \(c=28\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve vypočítáme poloviční obvod trojúhelníku:
\[
s = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35
\]
Podle Heronova vzorce obsah trojúhelníku vypočítáme jako:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \times 18 \times 10 \times 7}
\]
Nejprve spočítáme jednotlivé části pod odmocninou postupně:
\[
35 \times 18 = 630, \quad 10 \times 7 = 70
\Rightarrow \sqrt{630 \times 70} = \sqrt{44100}
\]
Odmocnina z 44100 je:
\[
\sqrt{44100} = 210
\]
Obsah trojúhelníku je tedy 210 jednotek čtverečních.
Nyní spočítáme výšku na stranu \(c=28\), která je dána vzorcem:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 210}{28} = \frac{420}{28} = 15
\]
Výška na stranu \(c\) je tedy 15 jednotek.
66. Trojúhelník má strany \(a=9\), \(b=40\), \(c=41\). Určete obsah a ověřte, zda je trojúhelník pravoúhlý.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve zkontrolujeme, zda je trojúhelník pravoúhlý pomocí Pythagorovy věty:
\[
a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681
\]
\[
c^2 = 41^2 = 1681
\]
Protože \(a^2 + b^2 = c^2\), trojúhelník je pravoúhlý.
Obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme jako:
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 9 \times 40 = 180
\]
Pro ověření použijeme Heronův vzorec:
\[
s = \frac{9 + 40 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45
\]
\[
S = \sqrt{45(45-9)(45-40)(45-41)} = \sqrt{45 \times 36 \times 5 \times 4}
\]
\[
45 \times 36 = 1620, \quad 5 \times 4 = 20
\Rightarrow S = \sqrt{1620 \times 20} = \sqrt{32400}
\]
\[
\sqrt{32400} = 180
\]
Výsledky se shodují, obsah je tedy 180 jednotek čtverečních.
67. Trojúhelník má strany \(a=15\), \(b=22\), \(c=27\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{15 + 22 + 27}{2} = \frac{64}{2} = 32
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{32(32-15)(32-22)(32-27)} = \sqrt{32 \times 17 \times 10 \times 5}
\]
Vypočítáme hodnoty pod odmocninou postupně:
\[
32 \times 17 = 544, \quad 10 \times 5 = 50
\Rightarrow S = \sqrt{544 \times 50} = \sqrt{27200}
\]
Odmocnina z 27200 je přibližně:
\[
\sqrt{27200} \approx 164.92
\]
Nyní spočítáme výšku na stranu \(b=22\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 164.92}{22} = \frac{329.84}{22} \approx 14.99
\]
Výška na stranu \(b\) je tedy přibližně 14.99 jednotek.
68. Trojúhelník má strany \(a=11\), \(b=13\), \(c=20\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod trojúhelníku je:
\[
s = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22
\]
Heronův vzorec pro obsah:
\[
S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \times 11 \times 9 \times 2}
\]
Vypočítáme hodnotu pod odmocninou:
\[
22 \times 11 = 242, \quad 9 \times 2 = 18
\Rightarrow \sqrt{242 \times 18} = \sqrt{4356}
\]
Odmocnina z 4356 je:
\[
\sqrt{4356} = 66
\]
Obsah trojúhelníku je tedy 66 jednotek čtverečních.
Nyní spočítáme výšku na stranu \(a=11\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 66}{11} = \frac{132}{11} = 12
\]
Výška na stranu \(a\) je 12 jednotek.
69. Trojúhelník má strany \(a=18\), \(b=24\), \(c=30\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve poloviční obvod:
\[
s = \frac{18 + 24 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
36 \times 18 = 648, \quad 12 \times 6 = 72
\Rightarrow \sqrt{648 \times 72} = \sqrt{46656}
\]
\[
\sqrt{46656} = 216
\]
Obsah trojúhelníku je 216 jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(c=30\) je:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 216}{30} = \frac{432}{30} = 14.4
\]
Výška je tedy 14.4 jednotek.
70. Trojúhelník má strany \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Určete obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42
\Rightarrow \sqrt{168 \times 42} = \sqrt{7056}
\]
\[
\sqrt{7056} \approx 83.95
\]
Obsah je tedy přibližně 83.95 jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(b=14\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 83.95}{14} = \frac{167.9}{14} \approx 11.99
\]
Výška je přibližně 11.99 jednotek.
71. Trojúhelník má strany \(a=20\), \(b=21\), \(c=29\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{20 + 21 + 29}{2} = \frac{70}{2} = 35
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
35 \times 15 = 525, \quad 14 \times 6 = 84
\Rightarrow \sqrt{525 \times 84} = \sqrt{44100}
\]
\[
\sqrt{44100} = 210
\]
Obsah trojúhelníku je 210 jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=20\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 210}{20} = \frac{420}{20} = 21
\]
Výška je 21 jednotek.
72. Trojúhelník má strany \(a=7\), \(b=24\), \(c=25\). Určete obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zkontrolujeme pravoúhlost:
\[
a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625
\]
\[
c^2 = 25^2 = 625
\]
Protože platí \(a^2 + b^2 = c^2\), trojúhelník je pravoúhlý.
Obsah pravoúhlého trojúhelníku:
\[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84
\]
Výška na stranu \(c=25\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72
\]
Výška je tedy 6.72 jednotek.
73. Trojúhelník má strany \(a=12\), \(b=35\), \(c=37\). Vypočítejte obsah a délku výšky na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{12 + 35 + 37}{2} = \frac{84}{2} = 42
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{42(42-12)(42-35)(42-37)} = \sqrt{42 \times 30 \times 7 \times 5}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
42 \times 30 = 1260, \quad 7 \times 5 = 35
\Rightarrow \sqrt{1260 \times 35} = \sqrt{44100}
\]
\[
\sqrt{44100} = 210
\]
Obsah trojúhelníku je 210 jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(b=35\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 210}{35} = \frac{420}{35} = 12
\]
Výška je 12 jednotek.
74. Trojúhelník má strany \(a=14\), \(b=48\), \(c=50\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{14 + 48 + 50}{2} = \frac{112}{2} = 56
\]
Heronův vzorec:
\[
S = \sqrt{56(56-14)(56-48)(56-50)} = \sqrt{56 \times 42 \times 8 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
56 \times 42 = 2352, \quad 8 \times 6 = 48
\Rightarrow \sqrt{2352 \times 48} = \sqrt{112896}
\]
Odmocnina z 112896 je přibližně:
\[
\sqrt{112896} \approx 335.9
\]
Obsah je tedy přibližně 335.9 jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=14\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 335.9}{14} = \frac{671.8}{14} \approx 47.99
\]
Výška je přibližně 47.99 jednotek.
75. Trojúhelník má strany \(a=15\), \(b=22\), \(c=27\). Vypočítejte obsah trojúhelníku a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme poloviční obvod \(s\):
\[
s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15 + 22 + 27}{2} = \frac{64}{2} = 32
\]
Podle Heronova vzorce je obsah \(S\) roven:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{32(32-15)(32-22)(32-27)} = \sqrt{32 \times 17 \times 10 \times 5}
\]
Vypočítáme hodnotu pod odmocninou:
\[
32 \times 17 = 544, \quad 10 \times 5 = 50 \Rightarrow \sqrt{544 \times 50} = \sqrt{27200}
\]
Pro přesnost odhadneme odmocninu:
\[
\sqrt{27200} \approx 164.92
\]
Obsah trojúhelníku je tedy přibližně \(164.92\) jednotek čtverečních.
Nyní vypočítáme výšku \(v_c\) na stranu \(c=27\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 164.92}{27} = \frac{329.84}{27} \approx 12.22
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(12.22\) jednotek.
76. Trojúhelník má strany \(a=9\), \(b=40\), \(c=41\). Určete jeho obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{9 + 40 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45
\]
Podle Heronova vzorce platí:
\[
S = \sqrt{45(45-9)(45-40)(45-41)} = \sqrt{45 \times 36 \times 5 \times 4}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
45 \times 36 = 1620, \quad 5 \times 4 = 20 \Rightarrow \sqrt{1620 \times 20} = \sqrt{32400}
\]
Odmocnina je:
\[
\sqrt{32400} = 180
\]
Obsah trojúhelníku je tedy přesně \(180\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(b=40\) je:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 180}{40} = \frac{360}{40} = 9
\]
Výška na stranu \(b\) je \(9\) jednotek.
77. Trojúhelník má délky stran \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Vypočtěte jeho obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42 \Rightarrow \sqrt{168 \times 42} = \sqrt{7056}
\]
Odmocnina z \(7056\) je:
\[
\sqrt{7056} \approx 83.95
\]
Obsah trojúhelníku je přibližně \(83.95\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=13\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 83.95}{13} = \frac{167.9}{13} \approx 12.91
\]
Výška na stranu \(a\) je přibližně \(12.91\) jednotek.
78. Trojúhelník má strany \(a=7\), \(b=24\), \(c=25\). Vypočtěte jeho obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
28 \times 21 = 588, \quad 4 \times 3 = 12 \Rightarrow \sqrt{588 \times 12} = \sqrt{7056}
\]
Odmocnina z \(7056\) je přibližně:
\[
\sqrt{7056} \approx 83.95
\]
Obsah trojúhelníku je tedy přibližně \(83.95\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=7\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 83.95}{7} = \frac{167.9}{7} \approx 23.99
\]
Výška na stranu \(a\) je přibližně \(23.99\) jednotek.
79. Trojúhelník má strany \(a=21\), \(b=28\), \(c=35\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{21 + 28 + 35}{2} = \frac{84}{2} = 42
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{42(42-21)(42-28)(42-35)} = \sqrt{42 \times 21 \times 14 \times 7}
\]
Výpočet hodnoty pod odmocninou:
\[
42 \times 21 = 882, \quad 14 \times 7 = 98 \Rightarrow \sqrt{882 \times 98} = \sqrt{86436}
\]
Odhad odmocniny:
\[
\sqrt{86436} \approx 293.99
\]
Obsah trojúhelníku je přibližně \(293.99\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(b=28\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 293.99}{28} = \frac{587.98}{28} \approx 20.99
\]
Výška na stranu \(b\) je přibližně \(20.99\) jednotek.
80. Trojúhelník má strany \(a=10\), \(b=17\), \(c=21\). Určete jeho obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
24 \times 14 = 336, \quad 7 \times 3 = 21 \Rightarrow \sqrt{336 \times 21} = \sqrt{7056}
\]
Odmocnina z \(7056\) je přibližně:
\[
\sqrt{7056} \approx 83.95
\]
Obsah je tedy přibližně \(83.95\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=10\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 83.95}{10} = \frac{167.9}{10} = 16.79
\]
Výška na stranu \(a\) je přibližně \(16.79\) jednotek.
81. Trojúhelník má strany \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15 \Rightarrow \sqrt{240 \times 15} = \sqrt{3600}
\]
Odmocnina z \(3600\) je přesně:
\[
\sqrt{3600} = 60
\]
Obsah trojúhelníku je \(60\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(c=17\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(7.06\) jednotek.
82. Trojúhelník má strany \(a=11\), \(b=13\), \(c=20\). Určete obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \times 11 \times 9 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
22 \times 11 = 242, \quad 9 \times 2 = 18 \Rightarrow \sqrt{242 \times 18} = \sqrt{4356}
\]
Odmocnina je:
\[
\sqrt{4356} = 66
\]
Obsah trojúhelníku je \(66\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(b=13\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 66}{13} = \frac{132}{13} \approx 10.15
\]
Výška na stranu \(b\) je přibližně \(10.15\) jednotek.
83. Trojúhelník má strany \(a=5\), \(b=12\), \(c=13\). Vypočtěte obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
15 \times 10 = 150, \quad 3 \times 2 = 6 \Rightarrow \sqrt{150 \times 6} = \sqrt{900}
\]
Odmocnina z \(900\) je přesně:
\[
\sqrt{900} = 30
\]
Obsah je \(30\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=5\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 30}{5} = \frac{60}{5} = 12
\]
Výška na stranu \(a\) je \(12\) jednotek.
84. Trojúhelník má strany \(a=16\), \(b=30\), \(c=34\). Vypočtěte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{16 + 30 + 34}{2} = \frac{80}{2} = 40
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{40(40-16)(40-30)(40-34)} = \sqrt{40 \times 24 \times 10 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
40 \times 24 = 960, \quad 10 \times 6 = 60 \Rightarrow \sqrt{960 \times 60} = \sqrt{57600}
\]
Odmocnina je:
\[
\sqrt{57600} = 240
\]
Obsah trojúhelníku je \(240\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(c=34\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 240}{34} = \frac{480}{34} \approx 14.12
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(14.12\) jednotek.
85. Trojúhelník má strany \(a=9\), \(b=24\), \(c=26\). Vypočítejte obsah trojúhelníku a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{9 + 24 + 26}{2} = \frac{59}{2} = 29.5
\]
Podle Heronova vzorce je obsah roven:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{29.5 (29.5 – 9)(29.5 – 24)(29.5 – 26)}
\]
\[
= \sqrt{29.5 \times 20.5 \times 5.5 \times 3.5}
\]
Vypočítáme postupně hodnotu pod odmocninou:
\[
29.5 \times 20.5 = 604.75, \quad 5.5 \times 3.5 = 19.25 \Rightarrow 604.75 \times 19.25 = 11691.6875
\]
Obsah je tedy:
\[
S = \sqrt{11691.6875} \approx 108.12
\]
Nyní spočítáme výšku na stranu \(b = 24\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 108.12}{24} = \frac{216.24}{24} = 9.01
\]
Výška na stranu \(b\) je přibližně \(9.01\) jednotek.
86. Trojúhelník má strany \(a=7\), \(b=10\), \(c=13\). Určete obsah trojúhelníku a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme poloviční obvod:
\[
s = \frac{7 + 10 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15
\]
Dosadíme do Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{15 (15 – 7)(15 – 10)(15 – 13)} = \sqrt{15 \times 8 \times 5 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
15 \times 8 = 120, \quad 5 \times 2 = 10 \Rightarrow 120 \times 10 = 1200
\]
Obsah je:
\[
S = \sqrt{1200} = \sqrt{100 \times 12} = 10 \sqrt{12} \approx 34.64
\]
Výška na stranu \(a=7\) je:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 34.64}{7} = \frac{69.28}{7} \approx 9.9
\]
Výška na stranu \(a\) je přibližně \(9.9\) jednotek.
87. Trojúhelník má strany \(a=15\), \(b=20\), \(c=25\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30
\]
Podle Heronova vzorce obsah spočítáme jako:
\[
S = \sqrt{30 (30-15)(30-20)(30-25)} = \sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
30 \times 15 = 450, \quad 10 \times 5 = 50 \Rightarrow 450 \times 50 = 22500
\]
Obsah je:
\[
S = \sqrt{22500} = 150
\]
Výška na stranu \(c=25\) je:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 150}{25} = \frac{300}{25} = 12
\]
Výška na stranu \(c\) je \(12\) jednotek.
88. Trojúhelník má strany \(a=13\), \(b=14\), \(c=15\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod trojúhelníku je:
\[
s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
\]
Obsah spočítáme podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{21 (21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
21 \times 8 = 168, \quad 7 \times 6 = 42 \Rightarrow 168 \times 42 = 7056
\]
Odmocnina z \(7056\) je:
\[
S = \sqrt{7056} \approx 83.95
\]
Výška na stranu \(b=14\) je:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 83.95}{14} = \frac{167.9}{14} \approx 12.0
\]
Výška na stranu \(b\) je přibližně \(12.0\) jednotek.
89. Trojúhelník má strany \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]
Podle Heronova vzorce obsah je:
\[
S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15 \Rightarrow \sqrt{240 \times 15} = \sqrt{3600}
\]
Odmocnina z \(3600\) je přesně \(60\), takže obsah je \(60\) jednotek čtverečních.
Výška na stranu \(a=8\) je:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 60}{8} = \frac{120}{8} = 15
\]
Výška na stranu \(a\) je \(15\) jednotek.
90. Trojúhelník má strany \(a=10\), \(b=21\), \(c=29\). Určete obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod:
\[
s = \frac{10 + 21 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30
\]
Podle Herona spočítáme obsah:
\[
S = \sqrt{30 (30-10)(30-21)(30-29)} = \sqrt{30 \times 20 \times 9 \times 1}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
30 \times 20 = 600, \quad 9 \times 1 = 9 \Rightarrow 600 \times 9 = 5400
\]
Odmocnina z \(5400\) je:
\[
S = \sqrt{5400} = \sqrt{100 \times 54} = 10 \sqrt{54} \approx 73.48
\]
Výška na stranu \(c=29\) je:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 73.48}{29} = \frac{146.96}{29} \approx 5.07
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(5.07\) jednotek.
91. Trojúhelník má strany \(a=9\), \(b=40\), \(c=41\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{9 + 40 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45
\]
Obsah spočítáme podle Herona:
\[
S = \sqrt{45(45-9)(45-40)(45-41)} = \sqrt{45 \times 36 \times 5 \times 4}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
45 \times 36 = 1620, \quad 5 \times 4 = 20 \Rightarrow 1620 \times 20 = 32400
\]
Odmocnina z \(32400\) je:
\[
S = \sqrt{32400} = 180
\]
Výška na stranu \(b=40\) je:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 180}{40} = \frac{360}{40} = 9
\]
Výška na stranu \(b\) je \(9\) jednotek.
92. Trojúhelník má strany \(a=12\), \(b=35\), \(c=37\). Vypočítejte obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod trojúhelníku je:
\[
s = \frac{12 + 35 + 37}{2} = \frac{84}{2} = 42
\]
Podle Heronova vzorce obsah je:
\[
S = \sqrt{42 (42-12)(42-35)(42-37)} = \sqrt{42 \times 30 \times 7 \times 5}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
42 \times 30 = 1260, \quad 7 \times 5 = 35 \Rightarrow 1260 \times 35 = 44100
\]
Odmocnina z \(44100\) je:
\[
S = \sqrt{44100} = 210
\]
Výška na stranu \(a=12\) je:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 210}{12} = \frac{420}{12} = 35
\]
Výška na stranu \(a\) je \(35\) jednotek.
93. Trojúhelník má strany \(a=17\), \(b=25\), \(c=28\). Určete obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve poloviční obvod:
\[
s = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35
\]
Obsah podle Herona:
\[
S = \sqrt{35 (35 – 17)(35 – 25)(35 – 28)} = \sqrt{35 \times 18 \times 10 \times 7}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
35 \times 18 = 630, \quad 10 \times 7 = 70 \Rightarrow 630 \times 70 = 44100
\]
Odmocnina je:
\[
S = \sqrt{44100} = 210
\]
Výška na stranu \(c=28\) je:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 210}{28} = \frac{420}{28} = 15
\]
Výška na stranu \(c\) je \(15\) jednotek.
94. Trojúhelník má strany \(a=11\), \(b=13\), \(c=20\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{11 + 13 + 20}{2} = \frac{44}{2} = 22
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{22 (22 – 11)(22 – 13)(22 – 20)} = \sqrt{22 \times 11 \times 9 \times 2}
\]
Výpočet pod odmocninou:
\[
22 \times 11 = 242, \quad 9 \times 2 = 18 \Rightarrow 242 \times 18 = 4356
\]
Odmocnina z \(4356\) je:
\[
S = \sqrt{4356} \approx 66
\]
Výška na stranu \(a=11\) je:
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 66}{11} = \frac{132}{11} = 12
\]
Výška na stranu \(a\) je \(12\) jednotek.
95. Trojúhelník má délky stran \(a=13\), \(b=14\) a úhel mezi nimi \(\gamma = 60^\circ\). Určete obsah trojúhelníku a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve spočítáme délku třetí strany \(c\) pomocí kosinové věty:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma = 13^2 + 14^2 – 2 \times 13 \times 14 \times \cos 60^\circ
\]
\[
c^2 = 169 + 196 – 2 \times 13 \times 14 \times 0.5 = 365 – 182 = 183
\]
\[
c = \sqrt{183} \approx 13.53
\]
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 13.53}{2} = \frac{40.53}{2} = 20.265
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{20.265 (20.265 – 13)(20.265 – 14)(20.265 – 13.53)}
\]
\[
= \sqrt{20.265 \times 7.265 \times 6.265 \times 6.735}
\]
Postupně spočítáme součiny:
\[
20.265 \times 7.265 \approx 147.16, \quad 6.265 \times 6.735 \approx 42.22
\]
\[
147.16 \times 42.22 \approx 6213.5
\]
\[
S = \sqrt{6213.5} \approx 78.82
\]
Výšku na stranu \(b=14\) vypočteme jako:
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 78.82}{14} = \frac{157.64}{14} \approx 11.26
\]
Výška na stranu \(b\) je přibližně \(11.26\) jednotek.
96. Trojúhelník má délky stran \(a=7\), \(b=24\), \(c=25\). Určete obsah a výšku na nejdelší stranu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejdříve určíme, která strana je nejdelší. Zadané jsou \(a=7\), \(b=24\), \(c=25\). Nejdelší je \(c=25\).
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \times 21 \times 4 \times 3}
\]
Vypočítáme součin pod odmocninou:
\[
28 \times 21 = 588, \quad 4 \times 3 = 12 \Rightarrow 588 \times 12 = 7056
\]
\[
S = \sqrt{7056} \approx 84
\]
Výšku na stranu \(c=25\) spočítáme jako:
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72
\]
Výška na nejdelší stranu je \(6.72\) jednotek.
97. Trojúhelník má strany \(a=15\), \(b=20\), \(c=25\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod trojúhelníku je:
\[
s = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{30(30 – 15)(30 – 20)(30 – 25)} = \sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5}
\]
Součin uvnitř odmocniny je:
\[
30 \times 15 = 450, \quad 10 \times 5 = 50 \Rightarrow 450 \times 50 = 22500
\]
\[
S = \sqrt{22500} = 150
\]
Výška na stranu \(a=15\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 150}{15} = \frac{300}{15} = 20
\]
Výška na stranu \(a\) je \(20\) jednotek.
98. Trojúhelník má délky stran \(a=9\), \(b=40\), \(c=41\). Určete obsah a výšku na stranu \(b\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{9 + 40 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45
\]
Obsah podle Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{45 (45-9)(45-40)(45-41)} = \sqrt{45 \times 36 \times 5 \times 4}
\]
Postupně spočítáme součiny:
\[
45 \times 36 = 1620, \quad 5 \times 4 = 20 \Rightarrow 1620 \times 20 = 32400
\]
\[
S = \sqrt{32400} = 180
\]
Výška na stranu \(b=40\):
\[
v_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 180}{40} = \frac{360}{40} = 9
\]
Výška na stranu \(b\) je \(9\) jednotek.
99. Trojúhelník má délky stran \(a=8\), \(b=15\), \(c=17\). Určete obsah a výšku na stranu \(c\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod trojúhelníku:
\[
s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{20 (20 – 8)(20 – 15)(20 – 17)} = \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3}
\]
Postupně spočítáme součiny:
\[
20 \times 12 = 240, \quad 5 \times 3 = 15 \Rightarrow 240 \times 15 = 3600
\]
\[
S = \sqrt{3600} = 60
\]
Výška na stranu \(c=17\):
\[
v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06
\]
Výška na stranu \(c\) je přibližně \(7.06\) jednotek.
100. Trojúhelník má délky stran \(a=12\), \(b=35\), \(c=37\). Určete obsah a výšku na stranu \(a\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Poloviční obvod je:
\[
s = \frac{12 + 35 + 37}{2} = \frac{84}{2} = 42
\]
Obsah pomocí Heronova vzorce:
\[
S = \sqrt{42 (42 – 12)(42 – 35)(42 – 37)} = \sqrt{42 \times 30 \times 7 \times 5}
\]
Postupně spočítáme součiny:
\[
42 \times 30 = 1260, \quad 7 \times 5 = 35 \Rightarrow 1260 \times 35 = 44100
\]
\[
S = \sqrt{44100} = 210
\]
Výška na stranu \(a=12\):
\[
v_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 210}{12} = \frac{420}{12} = 35
\]
Výška na stranu \(a\) je \(35\) jednotek.
