Množiny bodů v euklidovské rovině definované pomocí vzdálenosti

Řešení příkladu:

Označme obecný bod \( P = (x, y) \). Požadujeme, aby platilo \( |PA| = \text{vzdálenost bodu } P \text{ od přímky } p \).

Vzdálenost bodu \( P \) od bodu \( A = (2, -1) \) je \( \sqrt{(x – 2)^2 + (y + 1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( y = 3 \) je \( |y – 3| \).

Dostáváme rovnici: \( \sqrt{(x – 2)^2 + (y + 1)^2} = |y – 3| \).

Umocníme obě strany: \( (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = (y – 3)^2 \).

Rozepíšeme: \( x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = y^2 – 6y + 9 \).

Zkrátíme \( y^2 \): \( x^2 – 4x + 4 + 2y + 1 = -6y + 9 \).

Sčítáme: \( x^2 – 4x + 2y + 5 = -6y + 9 \Rightarrow x^2 – 4x + 8y = 4 \).

To je rovnice množiny bodů – jde o křivku druhého stupně.

Řešení příkladu:

Podle definice je tato množina elipsou s ohnisky v bodech \( F_1 \) a \( F_2 \).

Vzdálenost mezi ohnisky: \( 6 \Rightarrow 2c = 6 \Rightarrow c = 3 \).

Dáno je \( 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \).

Platí \( b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{16 – 9} = \sqrt{7} \).

Rovnice elipsy je \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1 \).

Řešení příkladu:

Tato množina je definicí hyperboly.

Vzdálenost mezi ohnisky je \( 10 \Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5 \).

Dáno: \( |PF_1 – PF_2| = 6 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \).

Pak \( b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \).

Rovnice hyperboly: \( \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 \).

Řešení příkladu:

Obecný bod \( P = (x, y) \) má od přímky \( y = x \) vzdálenost \( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \).

Od přímky \( y = -x \): \( \frac{|x + y|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka: \( |x – y| = |x + y| \Rightarrow \) buď \( x – y = x + y \Rightarrow y = 0 \), nebo \( x – y = -(x + y) \Rightarrow x = 0 \).

Množina je sjednocením přímek \( x = 0 \) a \( y = 0 \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky je \( \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka: \( \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} = 5 \Rightarrow |2x – y + 1| = 5\sqrt{5} \).

Dostáváme dvě přímky: \( 2x – y + 1 = \pm 5\sqrt{5} \Rightarrow y = 2x + 1 \mp 5\sqrt{5} \).

Výsledná množina jsou dvě rovnoběžky s danou přímkou, vzdálené od ní 5.

Řešení příkladu:

Nechť \( P = (x, y) \) je libovolný bod v rovině. Máme zjistit, jaké bodové množiny odpovídají podmínce, že vzdálenost bodu \( P \) od bodu \( A = (0, 0) \) je dvakrát větší než vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( y = 0 \).

Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od bodu \( A = (0, 0) \) je dána vzorcem pro Eukleidovskou vzdálenost, což je: \( \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( y = 0 \) je jednoduše hodnota \( |y| \), protože přímka \( y = 0 \) je osou \( x \) a vzdálenost bodu \( (x, y) \) od této přímky je rovna absolutní hodnotě jeho \( y \)-ové souřadnice.

Podmínka, že vzdálenost od bodu \( A \) je dvakrát větší než vzdálenost od přímky, je tedy vyjádřena rovnicí: \( \sqrt{x^2 + y^2} = 2|y| \).

Umocníme obě strany rovnice, abychom se zbavili odmocniny: \( x^2 + y^2 = 4y^2 \).

Poté přeneseme všechny členy na jednu stranu: \( x^2 + y^2 – 4y^2 = 0 \), což zjednodušíme na: \( x^2 – 3y^2 = 0 \).

Rovnice se nyní dá upravit jako: \( x^2 = 3y^2 \), což můžeme přepsat jako: \( \frac{x^2}{3} = y^2 \).

To je rovnice, která popisuje množinu bodů. Jde o dvě paraboly, které jsou souměrné podle osy \( x \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od bodu \( A = (1, 2) \) je dána vzorcem pro Eukleidovskou vzdálenost: \( |PA| = \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2} \).

Podmínka, že vzdálenost je nejvýše 4, znamená, že \( |PA| \leq 4 \). Tuto podmínku tedy můžeme napsat jako: \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 2)^2} \leq 4 \).

Umocníme obě strany rovnice, abychom se zbavili odmocniny: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 \leq 16 \).

To je rovnice kruhu se středem v bodě \( (1, 2) \) a poloměrem 4. Množina bodů, které splňují tuto podmínku, tvoří uzavřený disk se středem \( (1, 2) \) a poloměrem 4.

Řešení příkladu:

Pro bod \( P = (x, y) \) má platit, že vzdálenost od přímky \( x = 1 \) je větší než vzdálenost od přímky \( x = -2 \). Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky \( x = 1 \) je dána výrazem \( |x – 1| \), a vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky \( x = -2 \) je dána výrazem \( |x + 2| \).

Podmínka, že vzdálenost od přímky \( x = 1 \) je větší než od přímky \( x = -2 \), tedy znamená: \( |x – 1| > |x + 2| \).

Tuto nerovnost musíme vyřešit. Začneme tím, že rozdělíme tuto nerovnost na dvě možné situace, a to podle hodnoty \( x \):

• Pokud \( x \geq 1 \), máme: \( x – 1 > -x – 2 \), což zjednodušíme na: \( 2x > -1 \), tedy \( x > -\frac{1}{2} \).
• Pokud \( x < -2 \), máme: \( -x + 1 > x + 2 \), což zjednodušíme na: \( -2x > 1 \), tedy \( x < -\frac{1}{2} \).

Rovnice ukazuje, že \( x \) musí být menší než \( -\frac{1}{2} \), tedy množina bodů je polorovina ležící nalevo od přímky \( x = -\frac{1}{2} \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( P \) od kružnice je rozdíl vzdáleností od středu a poloměru: \( |PS| – 1 \).

Podmínka: \( |PA| = |PS| – 1 \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} – 1 \).

Dosadíme a upravíme: po algebraických úpravách získáme rovnici křivky vyššího stupně.

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod má souřadnice \( P = (x, y) \). Podmínkou je, aby vzdálenost tohoto bodu od bodu \( A = (1, 1) \) byla stejná jako jeho vzdálenost od přímky \( y = x \).

Vzdálenost bodu \( P \) od bodu \( A \) určíme pomocí Pythagorovy věty: \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( y = x \) se počítá podle vzorce pro vzdálenost bodu od přímky: \( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \), protože přímka \( y = x \) má normálový vektor \( (1, -1) \), jehož délka je \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \).

Zapíšeme rovnici podle zadání: \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} = \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \).

Obě strany rovnice umocníme, abychom se zbavili odmocnin: \( (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = \frac{(x – y)^2}{2} \).

Pravá strana se upraví: \( \frac{(x – y)^2}{2} = \frac{x^2 – 2xy + y^2}{2} \).

Levou stranu rozepíšeme: \( (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) = x^2 + y^2 – 2x – 2y + 2 \).

Dostáváme rovnici: \( x^2 + y^2 – 2x – 2y + 2 = \frac{x^2 – 2xy + y^2}{2} \).

Násobíme obě strany dvěma, abychom se zbavili zlomku: \( 2x^2 + 2y^2 – 4x – 4y + 4 = x^2 – 2xy + y^2 \).

Vše přeneseme na jednu stranu: \( 2x^2 + 2y^2 – 4x – 4y + 4 – x^2 + 2xy – y^2 = 0 \).

Sečteme podobné členy: \( x^2 + y^2 + 2xy – 4x – 4y + 4 = 0 \).

Toto je rovnice křivky druhého stupně (kuželosečky), která popisuje hledanou množinu bodů.

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod má souřadnice \( P = (x, y) \). Má platit, že vzdálenost tohoto bodu od bodu \( A = (0, 3) \) je stejná jako jeho vzdálenost od osy \( x \).

Vzdálenost bodu \( P \) od bodu \( A \) je: \( \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} \).

Vzdálenost bodu \( P \) od osy \( x \) je prostě absolutní hodnota \( y \): \( |y| \).

Podmínku zapíšeme jako rovnici: \( \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} = |y| \).

Obě strany umocníme, abychom se zbavili odmocniny: \( x^2 + (y – 3)^2 = y^2 \).

Levou stranu rozepíšeme: \( x^2 + y^2 – 6y + 9 = y^2 \).

Odečteme \( y^2 \) z obou stran: \( x^2 – 6y + 9 = 0 \).

Tedy výsledná rovnice je: \( x^2 – 6y + 9 = 0 \).

Tato rovnice popisuje parabolu otevřenou ve směru osy \( y \).

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod má souřadnice \( P = (x, y) \). Má platit, že vzdálenost tohoto bodu od přímky \( y = 2x \) je stejná jako jeho vzdálenost od přímky \( y = -2x \).

Vzdálenost bodu \( P \) od přímky \( y = 2x \) spočítáme podle vzorce pro vzdálenost bodu od přímky. Přímku lze zapsat ve tvaru \( 2x – y = 0 \), proto vzdálenost bodu \( (x, y) \) od této přímky je: \( \frac{|2x – y|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y|}{\sqrt{5}} \).

Podobně přímku \( y = -2x \) zapíšeme jako \( 2x + y = 0 \), proto vzdálenost bodu \( (x, y) \) od této přímky je: \( \frac{|2x + y|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka tedy zní: \( |2x – y| = |2x + y| \).

Máme dvě možnosti, jak mohou být tyto výrazy stejné:

• Buď \( 2x – y = 2x + y \), což po odečtení dá \( y = 0 \).
• Nebo \( 2x – y = -(2x + y) \), což po roznásobení dá \( 2x – y = -2x – y \), tedy \( 4x = 0 \), což znamená \( x = 0 \).

Výsledná množina tedy je sjednocení osy \( x \) a osy \( y \), protože body na těchto osách splňují zadanou podmínku.

Řešení příkladu:

Vzdálenost od \( x = -2 \): \( |x + 2| \), od \( x = 3 \): \( |x – 3| \).

Podmínka: \( |x + 2| + |x – 3| < 10 \).

Rozdělíme podle intervalů. Např. pro \( x \in [-2,3] \): výraz je \( -(x + 2) + (x – 3) = 5 \).

Celkově: množina bodů \( x \), pro které \( |x + 2| + |x – 3| < 10 \Rightarrow x \in (-9.5, 7.5) \).

Tedy celá oblast mezi těmito dvěma vertikálními přímkami.

Řešení příkladu:

Nechť \( P = (x, y) \). Má platit: \( \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + (y – 4)^2} \).

Umocníme: \( x^2 + y^2 = 4(x^2 + (y – 4)^2) \).

Rozepíšeme: \( x^2 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 – 32y + 64 \).

Převedeme: \( -3x^2 – 3y^2 + 32y – 64 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 – \frac{32}{3}y + \frac{64}{3} = 0 \).

Kružnice po doplnění čtverce: \( x^2 + \left(y – \frac{16}{3} \right)^2 = \frac{192}{9} \).

Řešení příkladu:

Vzdálenosti jsou: \( |y – 1| \) a \( |y + 1| \).

Podmínka: \( |y – 1| = 2|y + 1| \).

Řešíme dvě možnosti:

1) \( y \geq 1 \Rightarrow y – 1 = 2(y + 1) \Rightarrow y – 1 = 2y + 2 \Rightarrow -y = 3 \Rightarrow y = -3 \) – nevyhovuje.

2) \( y < 1 \Rightarrow -(y - 1) = 2|y + 1| \).

Opět dvě možnosti podle znaménka \( y + 1 \).

Po rozboru dostaneme přímky \( y = \frac{1}{3} \) a \( y = -3 \).

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod má souřadnice \( P = (x, y) \). Podmínkou je, aby vzdálenost tohoto bodu od přímky \( y = 0 \) byla stejná jako vzdálenost od přímky \( y = 6 \).

Nejprve si připomeneme, že vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky \( y = c \), kde \( c \) je konstanta, je dána jako absolutní hodnota rozdílu \( y – c \), tedy \( |y – c| \).

V našem případě vzdálenost od přímky \( y = 0 \) je \( |y – 0| = |y| \).

Vzdálenost od přímky \( y = 6 \) je \( |y – 6| \).

Podmínka zní: \( |y| = |y – 6| \).

Tuto rovnici musíme řešit podle jednotlivých možností, které vyplývají z definice absolutní hodnoty.

První možnost: \( y = y – 6 \). Po odečtení \( y \) z obou stran dostaneme \( 0 = -6 \), což je nesmysl, tato možnost tedy nemá řešení.

Druhá možnost: \( y = -(y – 6) \). Pravou stranu upravíme: \( y = -y + 6 \).

Sečteme \( y \) na obou stranách: \( y + y = 6 \), tedy \( 2y = 6 \).

Vydělíme obě strany číslem \( 2 \): \( y = 3 \).

Tedy hledaná množina bodů jsou všechny body, které leží na přímce \( y = 3 \).

Tato přímka je přesně prostřední mezi přímkami \( y = 0 \) a \( y = 6 \) a je jejich osou souměrnosti.

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( (x, y) \) od \( A \): \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( x = 5 \): \( |x – 5| \).

Podmínka: \( \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} = |x – 5| \).

Umocníme: \( (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = (x – 5)^2 \).

Spočítáme: \( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 10x + 25 \).

Zkrátíme: \( -2x + 2 + y^2 – 2y = -10x + 25 \Rightarrow 8x + y^2 – 2y = 23 \).

To je rovnice křivky.

Řešení příkladu:

Nechť bod \( P = (x, y) \) je bod, který hledáme. Vzdálenost bodu od přímky \( x = 0 \) je jednoduše dána hodnotou absolutní hodnoty souřadnice \( x \), protože přímka \( x = 0 \) je osa \( y \), tedy vertikální přímka, která prochází počátkem souřadnicového systému.

Vzdálenost od přímky \( x = 0 \) je tedy rovna \( |x| \), což vyjadřuje vzdálenost bodu \( P \) od osy \( y \).

Podmínka v zadání říká, že tato vzdálenost má být rovna 3, tedy: \[ |x| = 3 \]

Absolutní hodnota znamená, že \( x \) může být buď kladné, nebo záporné číslo. Tudíž dostáváme dvě možnosti:

1. \( x = 3 \)

2. \( x = -3 \)

To znamená, že hledáme množinu bodů, které mají souřadnici \( x \) buď \( 3 \), nebo \( -3 \). Pro každý z těchto případů může souřadnice \( y \) nabývat libovolné hodnoty, protože podmínka se vztahuje pouze k souřadnici \( x \).

Výsledná množina bodů tedy tvoří dvě přímky: \( x = 3 \) a \( x = -3 \), které jsou rovnoběžné s osou \( y \) a procházejí vzdálenostmi 3 jednotky od osy \( y \).

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod \( P = (x, y) \) je bod, který splňuje obě podmínky.

První podmínka je, že vzdálenost od bodu \( A = (-2, 0) \) je menší než 5. Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od bodu \( A = (-2, 0) \) je dána vzorcem pro vzdálenost dvou bodů v rovině:

Vzdálenost \( PA \) je rovna \( \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} \). Podmínka, že tato vzdálenost je menší než 5, tedy je: \[ \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} < 5 \] Po umocnění obou stran dostaneme: \[ (x + 2)^2 + y^2 < 25 \] Tato rovnice představuje otevřený kruh se středem v bodě \( (-2, 0) \) a poloměrem 5.

Druhá podmínka říká, že vzdálenost od přímky \( x = 0 \) (tedy od osy \( y \)) je větší než 1. Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky \( x = 0 \) je jednoduše hodnota absolutní hodnoty souřadnice \( x \), tedy \( |x| \). Podmínka tedy je: \[ |x| > 1 \] což znamená, že hledaný bod musí ležet mimo interval \( (-1, 1) \) na ose \( x \).

Množina bodů, které splňují obě podmínky, je tedy průnikem dvou množin:

• První množina je otevřený kruh se středem \( (-2, 0) \) a poloměrem 5, což je množina bodů, pro které platí \( (x + 2)^2 + y^2 < 25 \).
• Druhá množina je množina bodů, pro které platí \( |x| > 1 \), tedy bod musí ležet mimo interval \( (-1, 1) \) na ose \( x \).

Výsledná množina bodů je tedy otevřený kruh, který je „odříznutý“ o pás o šířce 2 podél osy \( x \), protože bod musí být vzdálený více než 1 jednotku od osy \( y \). Tato podmínka vytváří otvor ve středu kruhu.

Řešení příkladu:

Nechť hledaný bod \( P = (x, y) \) má součin vzdáleností od přímek \( x = -1 \) a \( x = 1 \) roven 4.

Vzdálenost bodu \( P = (x, y) \) od přímky \( x = -1 \) je dána výrazem \( |x + 1| \), protože přímka \( x = -1 \) je vertikální a vzdálenost od ní je rovna absolutní hodnotě rozdílu mezi souřadnicí \( x \) bodu a hodnotou \( -1 \).

Vzdálenost od přímky \( x = 1 \) je \( |x – 1| \), protože přímka \( x = 1 \) je rovněž vertikální a vzdálenost je absolutní hodnota rozdílu mezi \( x \) a 1.

Podmínka v zadání je tedy: \[ |x + 1| \cdot |x – 1| = 4 \] Tento součin se dá zjednodušit. Použijeme známý vztah: \[ |x + 1| \cdot |x – 1| = |(x + 1)(x – 1)| = |x^2 – 1| \] Tedy máme: \[ |x^2 – 1| = 4 \] Což znamená, že: \[ x^2 – 1 = 4 \quad \text{nebo} \quad x^2 – 1 = -4 \] Tedy dostáváme dvě možnosti:

• První možnost: \( x^2 – 1 = 4 \), což vede k \( x^2 = 5 \), tedy \( x = \pm \sqrt{5} \).
• Druhá možnost: \( x^2 – 1 = -4 \), což vede k \( x^2 = -3 \), což nemá reálné řešení, protože druhá mocnina nemůže být záporná.

Výsledná množina bodů, které splňují podmínku, jsou tedy dvě svislé přímky: \( x = \pm \sqrt{5} \).

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \) je libovolný bod hledané množiny. Vzdálenost od bodu \( F \) je

\( d(M,F) = \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 3)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: y = 1 \) je

\( d(M,p) = |y – 1| \), protože přímka je horizontální.

Podmínka je tedy

\( \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 3)^2} = 2|y – 1| \).

Umocněním obou stran dostáváme

\( (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 4(y – 1)^2 \Rightarrow (x – 2)^2 + y^2 – 6y + 9 = 4(y^2 – 2y + 1) \).

Rozepíšeme pravou stranu

\( (x – 2)^2 + y^2 – 6y + 9 = 4y^2 – 8y + 4 \).

Přesuneme všechny členy na jednu stranu

\( (x – 2)^2 + y^2 – 6y + 9 – 4y^2 + 8y – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 – 3y^2 + 2y + 5 = 0 \).

Rozepíšeme kvadratický člen

\( x^2 – 4x + 4 – 3y^2 + 2y + 5 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x – 3y^2 + 2y + 9 = 0 \).

Toto je rovnice kuželosečky. Pro přesné určení typu můžeme použít diskriminant kvadratické formy nebo dokončit čtverce.

Dokončíme čtverce:

\( x^2 – 4x + \underline{4} – \underline{4} – 3(y^2 – \frac{2}{3}y) + 9 = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 – 3 \left(y^2 – \frac{2}{3} y\right) + 5 = 0 \).

Dokončíme čtverec v y:

\( y^2 – \frac{2}{3} y = y^2 – \frac{2}{3} y + \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \left(y – \frac{1}{3}\right)^2 – \frac{1}{9} \).

Tedy

\( (x – 2)^2 – 3 \left( \left(y – \frac{1}{3}\right)^2 – \frac{1}{9} \right) + 5 = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 – 3 \left(y – \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 5 = 0 \Rightarrow \)

\( (x – 2)^2 – 3 \left(y – \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{16}{3} = 0 \Rightarrow (x – 2)^2 – 3 \left(y – \frac{1}{3}\right)^2 = – \frac{16}{3} \).

Po vydělení zápornou hodnotou

\( \frac{(x – 2)^2}{16/3} – \frac{(y – \frac{1}{3})^2}{16/9} = -1 \Rightarrow \frac{(y – \frac{1}{3})^2}{\frac{16}{9}} – \frac{(x – 2)^2}{\frac{16}{3}} = 1 \).

Výsledkem je rovnice hyperboly se středem v bodě \( (2, \frac{1}{3}) \).

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \) je bod množiny. Podmínka říká

\( \sqrt{x^2 + y^2} = |y – 3| \).

Umocníme obě strany:

\( x^2 + y^2 = (y – 3)^2 = y^2 – 6y + 9 \Rightarrow x^2 + y^2 = y^2 – 6y + 9 \Rightarrow x^2 + 6y – 9 = 0 \Rightarrow \)

\( 6y = 9 – x^2 \Rightarrow y = \frac{9 – x^2}{6} = \frac{3}{2} – \frac{x^2}{6} \).

Toto je rovnice paraboly otevřené směrem dolů s osou souměrnosti rovnoběžnou s osou y.

Řešení příkladu:

Nechť bod \( M = (x,y) \) patří do množiny. Vzdálenost od bodu \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: 2x – y + 3 = 0 \) je

\( d(M,p) = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka je

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} \).

Umocníme obě strany na druhou:

\( (x-1)^2 + (y+1)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{(2x – y + 3)^2}{5} \Rightarrow 5\bigl((x-1)^2 + (y+1)^2\bigr) = \frac{(2x – y + 3)^2}{4} \).

Vynásobíme obě strany 4:

\( 20((x-1)^2 + (y+1)^2) = (2x – y + 3)^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 20(x^2 – 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = (2x – y + 3)^2 \Rightarrow 20(x^2 + y^2 – 2x + 2y + 2) = (2x – y + 3)^2 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( (2x – y + 3)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot y + 2 \cdot 2x \cdot 3 + y^2 – 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 \).

Dosadíme zpět:

\( 20x^2 + 20y^2 – 40x + 40y + 40 = 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( 20x^2 – 4x^2 + 20y^2 – y^2 – 40x – 12x + 40y + 6y + 40 – 9 + 4xy = 0 \Rightarrow \)

\( 16x^2 + 19y^2 – 52x + 46y + 31 + 4xy = 0 \).

Toto je obecná rovnice kuželosečky, která definuje požadovanou množinu bodů.

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \) je bod. Podmínka je

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Umocníme obě strany:

\( x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 = x^2 – 8x + 16 \Rightarrow -8x + 16 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Množina bodů, jejichž vzdálenost od \( A \) a \( B \) je stejná, je přímka \( x = 2 \), což je osa úsečky \( AB \).

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \). Podmínka je

\( d(M,A) + d(M,B) = 4 \Rightarrow \sqrt{(x+1)^2 + y^2} + \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 4 \).

Tato množina bodů odpovídá definici elipsy se dvěma ohnisky \( A \) a \( B \) a s hlavní osou délky 4.

Abychom ověřili přesnou rovnici, označíme vzdálenosti jako \( d_1 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} \), \( d_2 = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \), podmínka je \( d_1 + d_2 = 4 \).

Pro elipsu s ohnisky \( (-c,0) \) a \( (c,0) \) platí

\( 2a = 4 \Rightarrow a = 2 \),

\( c = 1 \), protože ohniska jsou v bodech \( \pm 1 \).

Podle vztahu \( b^2 = a^2 – c^2 \) vypočítáme

\( b^2 = 2^2 – 1^2 = 4 – 1 = 3 \Rightarrow b = \sqrt{3} \).

Rovnice elipsy je tedy

\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \).

Toto je hledaná množina bodů.

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \). Vzdálenost od přímky \( p: y = x \) je

\( d(M,p) = \frac{|y – x|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y – x|}{\sqrt{2}} \).

Vzdálenost od bodu \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x – 2)^2 + y^2} \).

Podmínka je

\( \frac{|y – x|}{\sqrt{2}} = \sqrt{(x – 2)^2 + y^2} \).

Umocníme na druhou:

\( \frac{(y – x)^2}{2} = (x – 2)^2 + y^2 \Rightarrow (y – x)^2 = 2(x – 2)^2 + 2y^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( y^2 – 2xy + x^2 = 2(x^2 – 4x + 4) + 2y^2 \Rightarrow y^2 – 2xy + x^2 = 2x^2 – 8x + 8 + 2y^2 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( y^2 – 2xy + x^2 – 2x^2 + 8x – 8 – 2y^2 = 0 \Rightarrow -x^2 – y^2 – 2xy + 8x – 8 = 0 \).

Vynásobíme rovnicí -1 pro přehlednost:

\( x^2 + y^2 + 2xy – 8x + 8 = 0 \).

Toto je rovnice množiny hledaných bodů.

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od bodu \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 3)^2} = \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( q: y = -3 \) je

\( d(M,q) = |y + 3| \).

Podmínka je

\( \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} = |y + 3| + 3 \).

Nechť \( d = |y + 3| \). Pak

\( \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} = d + 3 \Rightarrow x^2 + (y – 3)^2 = (d + 3)^2 = d^2 + 6d + 9 \).

Připomeňme, že \( d^2 = (y + 3)^2 \).

Dosadíme:

\( x^2 + (y – 3)^2 = (y + 3)^2 + 6|y + 3| + 9 \).

Rozepíšeme kvadráty:

\( x^2 + y^2 – 6y + 9 = y^2 + 6y + 9 + 6|y + 3| + 9 \Rightarrow x^2 – 6y + 9 = 6y + 6|y + 3| + 18 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( x^2 – 6y + 9 – 6y – 6|y + 3| – 18 = 0 \Rightarrow x^2 – 12y – 6|y + 3| – 9 = 0 \).

Rovnice je tedy

\( x^2 – 12y – 6|y + 3| = 9 \).

Tato množina má dvě větve v závislosti na znaménku výrazu \( y + 3 \).

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \). Vzdálenost od bodu \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2} \).

Vzdálenost od osy \( y \) (přímky \( x=0 \)) je

\( d(M, y) = |x| \).

Podmínka je

\( \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2} = |x| \).

Umocníme na druhou:

\( (x – 2)^2 + (y – 2)^2 = x^2 \Rightarrow x^2 – 4x + 4 + y^2 – 4y + 4 = x^2 \Rightarrow -4x + 4 + y^2 – 4y + 4 = 0 \).

Zjednodušíme:

\( y^2 – 4y – 4x + 8 = 0 \).

Toto je rovnice paraboly (po případné úpravě). Množina všech bodů je tedy dána touto kuželosečkou.

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost od \( B \) je

\( d(M,B) = \sqrt{(x+1)^2 + (y-5)^2} \).

Podmínka je

\( d(M,A) = \frac{1}{2} d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(x+1)^2 + (y-5)^2} \).

Umocníme obě strany:

\( (x-3)^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{4} ((x+1)^2 + (y-5)^2) \Rightarrow 4((x-3)^2 + (y-1)^2) = (x+1)^2 + (y-5)^2 \).

Rozepíšeme:

\( 4(x^2 – 6x + 9 + y^2 – 2y + 1) = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 10y + 25 \Rightarrow \)

\( 4x^2 – 24x + 36 + 4y^2 – 8y + 4 = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 10y + 25 \).

Přesuneme na levou stranu:

\( 4x^2 – x^2 – 24x – 2x + 4y^2 – y^2 – 8y + 10y + 36 – 1 + 4 – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( 3x^2 – 26x + 3y^2 + 2y + 14 = 0 \).

Toto je rovnice kuželosečky, která představuje hledanou množinu bodů.

Řešení příkladu:

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od přímky \( p \) je

\( d(M,p) = \frac{|x + y – 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y – 2|}{\sqrt{2}} \).

Vzdálenost od přímky \( q \) je

\( d(M,q) = \frac{|x – y + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x – y + 4|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka je

\( \frac{|x + y – 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|x – y + 4|}{\sqrt{2}} \Rightarrow |x + y – 2| = |x – y + 4| \).

To znamená, že buď

\( x + y – 2 = x – y + 4 \Rightarrow y = 3 \), nebo

\( x + y – 2 = -(x – y + 4) \Rightarrow x + y – 2 = -x + y – 4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \).

Množina bodů je sjednocení dvou přímek \( y = 3 \) a \( x = -1 \).

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od bodu \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x – 1)^2 + (y + 2)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: y = 3 \) je

\( d(M,p) = |y – 3| \).

Podmínka je

\( \sqrt{(x – 1)^2 + (y + 2)^2} = 2|y – 3| \).

Umocníme na druhou:

\( (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 4(y – 3)^2 \Rightarrow (x – 1)^2 + y^2 + 4y + 4 = 4(y^2 – 6y + 9) \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( (x – 1)^2 + y^2 + 4y + 4 = 4y^2 – 24y + 36 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( (x – 1)^2 + y^2 + 4y + 4 – 4y^2 + 24y – 36 = 0 \Rightarrow (x – 1)^2 – 3y^2 + 28y – 32 = 0 \).

Rozepíšeme \( (x – 1)^2 \):

\( x^2 – 2x + 1 – 3y^2 + 28y – 32 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 3y^2 + 28y – 31 = 0 \).

Toto je rovnice kuželosečky, která představuje hledanou množinu bodů.

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost od \( B \) je

\( d(M,B) = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Podmínka je rovnost vzdáleností:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \Rightarrow x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 = (x-4)^2 \).

Rozepíšeme:

\( x^2 = x^2 – 8x + 16 \Rightarrow -8x + 16 = 0 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2 \).

Množina bodů je přímka \( x = 2 \).

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od \( p \) je

\( d(M,p) = |y – 1| \).

Vzdálenost od \( q \) je

\( d(M,q) = |x – 3| \).

Podmínka je rovnost vzdáleností:

\( |y – 1| = |x – 3| \).

To znamená dvě možnosti:

1) \( y – 1 = x – 3 \Rightarrow y = x – 2 \).

2) \( y – 1 = -(x – 3) \Rightarrow y = -x + 4 \).

Množina bodů je sjednocení dvou přímek \( y = x – 2 \) a \( y = -x + 4 \).

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od \( A \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost od \( B \) je

\( d(M,B) = \sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} \).

Podmínka je

\( d(M,A) = d(M,B) + 1 \).

Umocníme na druhou:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = (d(M,B) + 1)^2 = d(M,B)^2 + 2d(M,B) + 1 \Rightarrow \)

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2 + 2\sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} + 1 \).

Přesuneme na levou stranu:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 – (x-5)^2 – (y-5)^2 – 1 = 2\sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} \).

Rozepíšeme kvadráty:

\( (x^2 – 2x +1) + (y^2 – 2y +1) – (x^2 – 10x + 25) – (y^2 – 10y + 25) -1 = 2\sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x +1 + y^2 – 2y +1 – x^2 + 10x – 25 – y^2 + 10y – 25 -1 = 2\sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} \Rightarrow \)

\( 8x + 8y – 49 = 2\sqrt{(x-5)^2 + (y-5)^2} \).

Umocníme obě strany znovu:

\( (8x + 8y – 49)^2 = 4((x-5)^2 + (y-5)^2) \).

Rozepíšeme a upravíme rovnice, čímž dostaneme kvadratickou rovnici, která vyjadřuje množinu bodů.

Nechť \( M = (x,y) \).

Vzdálenost od osy \( x \) je

\( d(M,x) = |y| \).

Vzdálenost od osy \( y \) je

\( d(M,y) = |x| \).

Podmínka je

\( |y| = |x| \Rightarrow y = x \quad \text{nebo} \quad y = -x \).

Množina bodů jsou dvě přímky \( y = x \) a \( y = -x \).

Podmínka je

\( d(M,A) = \frac{1}{2} d(M,B) \).

Nechť \( M = (x,y) \).

\( \sqrt{(x-3)^2 + y^2} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + (y-4)^2} \Rightarrow 4((x-3)^2 + y^2) = x^2 + (y-4)^2 \).

Rozepíšeme:

\( 4(x^2 – 6x + 9 + y^2) = x^2 + y^2 – 8y + 16 \Rightarrow 4x^2 – 24x + 36 + 4y^2 = x^2 + y^2 – 8y + 16 \).

Přesuneme vše na jednu stranu:

\( 4x^2 – x^2 – 24x + 36 + 4y^2 – y^2 + 8y – 16 = 0 \Rightarrow 3x^2 – 24x + 3y^2 + 8y + 20 = 0 \).

Vydělíme 3:

\( x^2 – 8x + y^2 + \frac{8}{3}y + \frac{20}{3} = 0 \).

Doplníme na čtverce:

\( (x^2 – 8x + 16) + (y^2 + \frac{8}{3}y + \frac{16}{9}) = -\frac{20}{3} + 16 + \frac{16}{9} \Rightarrow (x – 4)^2 + \left(y + \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{20}{9} \).

Množina bodů je kružnice se středem \( (4, -\frac{4}{3}) \) a poloměrem \( \frac{2\sqrt{5}}{3} \).

Řešení příkladu:

Nechť hledáme množinu všech bodů \( M = (x, y) \), které jsou stejně vzdálené od bodu \( A = (2, 2) \) a od přímky \( p: y = 0 \). Tento úkol znamená, že vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) musí být rovna vzdálenosti bodu \( M \) od přímky \( p \).

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od bodu \( A = (2, 2) \) spočteme podle vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body v rovině:

Vzdálenost \( d(M, A) = \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od přímky \( p: y = 0 \) je dána hodnotou absolutní hodnoty souřadnice \( y \), protože přímka \( p \) je osa \( x \), a vzdálenost od osy \( x \) je právě hodnota \( |y| \).

Podmínka, že vzdálenost od bodu \( A \) je rovna vzdálenosti od přímky \( p \), tedy je:

\[ \sqrt{(x – 2)^2 + (y – 2)^2} = |y| \]

Po umocnění obou stran rovnice dostaneme:

\[ (x – 2)^2 + (y – 2)^2 = y^2 \]

Roznásobíme levý člen a upravíme rovnici:

\[ (x – 2)^2 + y^2 – 4y + 4 = y^2 \]

Teď odečteme \( y^2 \) z obou stran:

\[ (x – 2)^2 – 4y + 4 = 0 \]

Upravená rovnice je:

\[ (x – 2)^2 = 4y – 4 \]

Pro získání rovnice paraboly přepíšeme výrazy takto:

\[ (x – 2)^2 = 4(y – 1) \]

Toto je rovnice paraboly, která má vrchol v bodě \( (2, 1) \) a otevírá se směrem vzhůru (vzhledem k tomu, že koeficient před \( y \) je kladný).

Výsledná množina bodů, které jsou stejně vzdálené od bodu \( A = (2, 2) \) a od přímky \( p: y = 0 \), je tedy parabola s rovnicí:

\[ (x – 2)^2 = 4(y – 1) \]

Podmínka je

\( d(M,A) = d(M,p) – 3 \).

\( \sqrt{x^2 + (y-3)^2} = |y| – 3 \).

Umocníme obě strany:

\( x^2 + (y-3)^2 = (|y| – 3)^2 = y^2 – 6|y| + 9 \).

Upravíme:

\( x^2 + y^2 – 6y + 9 = y^2 – 6|y| + 9 \Rightarrow x^2 – 6y = -6|y| \Rightarrow x^2 = 6(y – |y|) \).

Pro \( y \geq 0 \) platí \( y – |y| = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \).

Pro \( y < 0 \) platí \( y - |y| = y + y = 2y \Rightarrow x^2 = 12 y \Rightarrow y = \frac{x^2}{12} \) s podmínkou \( y < 0 \), tedy množina neexistuje, protože pravá strana je kladná.

Výsledkem je přímka \( x=0 \) pro \( y \geq 0 \).

Vzdálenost od přímky \( p: y = x \) je

\( d(M,p) = \frac{|y – x|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka:

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} = \frac{|y – x|}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2((x-1)^2 + (y+1)^2) = (y – x)^2 \).

Rozepíšeme:

\( 2(x^2 – 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = y^2 – 2xy + x^2 \Rightarrow 2x^2 – 4x + 2 + 2y^2 + 4y + 2 = y^2 – 2xy + x^2 \).

Přesuneme vše vlevo:

\( 2x^2 – 4x + 2 + 2y^2 + 4y + 2 – y^2 + 2xy – x^2 = 0 \Rightarrow x^2 – 4x + 2y^2 + 2xy + 4y + 4 = 0 \).

Toto je kvadratická rovnice, vyjadřující množinu bodů.

Vzdálenost od přímky \( p: y = 2x + 1 \) lze vyjádřit jako

\( d(M,p) = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \Rightarrow 5(x^2 + y^2) = (2x – y + 1)^2 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 5x^2 + 5y^2 = 4x^2 – 4xy + y^2 + 4x – 2y + 1 \Rightarrow \)

\( 5x^2 + 5y^2 – 4x^2 + 4xy – y^2 – 4x + 2y – 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 4y^2 + 4xy – 4x + 2y – 1 = 0 \).

Tato rovnice popisuje množinu hledaných bodů.

Řešení příkladu:

Nechť hledáme množinu všech bodů \( M = (x, y) \), které mají vzdálenost 5 od bodu \( A = (3, -1) \). Tato podmínka znamená, že bod \( M \) se nachází na kružnici, jejíž střed je v bodě \( A \) a poloměr je 5.

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od bodu \( A = (3, -1) \) spočteme podle vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body v rovině:

\[ d(M, A) = \sqrt{(x – 3)^2 + (y + 1)^2} \]

Podle zadání úkolu víme, že tato vzdálenost je rovna 5, tedy máme rovnici:

\[ \sqrt{(x – 3)^2 + (y + 1)^2} = 5 \]

Pro zjednodušení rovnice obě strany umocníme, čímž odstraníme druhou odmocninu:

\[ (x – 3)^2 + (y + 1)^2 = 25 \]

Výsledná rovnice popisuje množinu bodů, která je kružnice se středem v bodě \( A = (3, -1) \) a poloměrem 5.

Takže množina bodů je kružnice s rovnicí:

\[ (x – 3)^2 + (y + 1)^2 = 25 \]

Řešení příkladu:

Nechť hledáme množinu všech bodů \( M = (x, y) \), které mají vzdálenost od osy \( x \) rovnu vzdálenosti od bodu \( B = (0, 4) \).

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od osy \( x \) je jednoduše hodnota absolutní hodnoty souřadnice \( y \), tedy \( |y| \).

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od bodu \( B = (0, 4) \) spočteme podle vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body v rovině:

\[ d(M, B) = \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 4)^2} = \sqrt{x^2 + (y – 4)^2} \]

Podmínka úkolu říká, že vzdálenost od osy \( x \) je rovna vzdálenosti od bodu \( B \), tedy máme rovnici:

\[ |y| = \sqrt{x^2 + (y – 4)^2} \]

Pro odstranění druhé odmocniny obě strany rovnice umocníme:

\[ y^2 = x^2 + (y – 4)^2 \]

Roznásobíme pravou stranu:

\[ y^2 = x^2 + y^2 – 8y + 16 \]

Odečteme \( y^2 \) z obou stran:

\[ 0 = x^2 – 8y + 16 \]

Upravenou rovnici přepíšeme takto:

\[ 8y = x^2 + 16 \]

Teď vyjádříme \( y \):

\[ y = \frac{x^2}{8} + 2 \]

Výsledná rovnice je rovnicí paraboly, která má vrchol v bodě \( (0, 2) \) a otevírá se směrem vzhůru (vzhledem k tomu, že koeficient u \( x^2 \) je kladný).

Takže množina bodů je parabola s rovnicí:

\[ y = \frac{x^2}{8} + 2 \]

Vzdálenost od bodu \( A \) je \( \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( y = -1 \) je \( |y + 1| \).

Podmínka:

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = |y + 1| \).

Umocníme:

\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = (y+1)^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 – 4y + 4 = y^2 + 2y + 1 \Rightarrow \)

\( (x-1)^2 – 6y + 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x + 1 – 6y + 3 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x – 6y + 4 = 0 \).

Vyjádříme \( y \):

\( 6y = x^2 – 2x + 4 \Rightarrow y = \frac{x^2}{6} – \frac{x}{3} + \frac{2}{3} \).

Množina je parabola \( y = \frac{x^2}{6} – \frac{x}{3} + \frac{2}{3} \).

Vzdálenost od přímky \( q \) je:

\( d = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Podmínka:

\( \frac{|3x – 4y + 5|}{5} = 4 \Rightarrow |3x – 4y + 5| = 20 \).

Rovnice jsou:

\( 3x – 4y + 5 = 20 \Rightarrow 3x – 4y = 15 \) a \( 3x – 4y + 5 = -20 \Rightarrow 3x – 4y = -25 \).

Množina je sjednocení dvou přímek:

\( 3x – 4y = 15 \) a \( 3x – 4y = -25 \).

Podmínka:

\( d(M,A) + d(M,B) = 6 \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 6 \).

Tato množina je definice elipsy s ohnisky \( A \) a \( B \) a s hlavní poloosou délky 6.

Střed elipsy je v bodě \( (2,0) \).

Vzdálenost ohnisek je \( 4 \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \).

Délka hlavní poloosy \( a = \frac{6}{2} = 3 \).

Poloměr vedlejší poloosy:

\( b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{9 – 4} = \sqrt{5} \).

Rovnice elipsy se středem v \( (2,0) \) je:

\( \frac{(x-2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \).

Podmínka:

\( d(M,A) = 2 \cdot d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 2 \sqrt{(x-4)^2 + (y-5)^2} \).

Umocníme:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4[(x-4)^2 + (y-5)^2] \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = 4(x^2 – 8x + 16 + y^2 – 10y + 25) \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = 4x^2 – 32x + 64 + 4y^2 – 40y + 100 \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + y^2 – 2y + 2 = 4x^2 – 32x + 4y^2 – 40y + 164 \Rightarrow \)

\( 0 = 3x^2 – 30x + 3y^2 – 38y + 162 \).

Dělíme 3:

\( 0 = x^2 – 10x + y^2 – \frac{38}{3} y + 54 \).

Dopočítáme na standardní tvar kružnice:

\( x^2 – 10x + y^2 – \frac{38}{3} y = -54 \).

Doplňujeme:

\( x^2 – 10x + 25 + y^2 – \frac{38}{3} y + \left(\frac{19}{3}\right)^2 = -54 + 25 + \frac{361}{9} \Rightarrow \)

\( (x-5)^2 + \left(y – \frac{19}{3}\right)^2 = -54 + 25 + 40.111… = 11.111… \)

Kružnice se středem \( (5, \frac{19}{3}) \) a poloměrem přibližně \( \sqrt{11.111} \approx 3.33 \).

Vzdálenost od \( p_1: x – y = 0 \) je:

\( d_1 = \frac{|x – y|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \).

Vzdálenost od \( p_2: x + y = 0 \) je:

\( d_2 = \frac{|x + y|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka:

\( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}} \Rightarrow |x – y| = |x + y| \).

Rovnice:

\( x – y = x + y \Rightarrow y = 0 \) nebo \( x – y = – (x + y) \Rightarrow x = 0 \).

Množina je sjednocení dvou os:

osa \( x \)-ová \( y=0 \) a osa \( y \)-ová \( x=0 \).

Podmínka kružnice:

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \).

Podmínka přímky:

\( y = x – 1 \).

Dosadíme do kružnice:

\( (x-2)^2 + (x-1 +1)^2 = 9 \Rightarrow (x-2)^2 + x^2 = 9 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x + 4 + x^2 = 9 \Rightarrow 2x^2 – 4x + 4 = 9 \Rightarrow 2x^2 – 4x – 5 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} \).

Odpovídající hodnoty \( y \):

\( y = x – 1 \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{14}}{2} \).

Dva body řešení jsou:

\( \left(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2}\right) \) a \( \left(1 – \frac{\sqrt{14}}{2}, -\frac{\sqrt{14}}{2}\right) \).

Podmínka:

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + (y+3)^2} \).

Umocníme:

\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x+2)^2 + (y+3)^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 \Rightarrow \)

\( -2x + 1 – 4y + 4 = 4x + 4 + 6y + 9 \Rightarrow -2x – 4y + 5 = 4x + 6y + 13 \Rightarrow \)

\( -2x – 4y + 5 – 4x – 6y – 13 = 0 \Rightarrow -6x – 10y – 8 = 0 \Rightarrow 3x + 5y + 4 = 0 \).

Množina je přímka \( 3x + 5y + 4 = 0 \).

Podmínka definuje elipsu, kde \( A \) a \( B \) jsou ohniska a \( 6 \) je délka hlavní osy.

Vzdálenost ohnisek je \( |AB| = 4 \), polovina hlavní osy je \( a = \frac{6}{2} = 3 \),

polovina vzdálenosti ohnisek je \( c = \frac{4}{2} = 2 \),

parametr \( b \) se určí z rovnice \( c^2 = a^2 – b^2 \Rightarrow b^2 = a^2 – c^2 = 9 – 4 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5} \).

Rovnice elipsy se středem v bodě \( S = (2,0) \) (střed mezi ohnisky) a hlavní osou podél osy \( x \) je

\( \frac{(x-2)^2}{3^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1 \Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \).

Řešení příkladu:

Hledáme množinu bodů \( M = (x, y) \), které mají od bodu \( A = (1, 1) \) vzdálenost rovnu 5. Tato podmínka znamená, že bod \( M \) se nachází na kruhu se středem v bodě \( A \) a poloměrem 5.

Vzdálenost bodu \( M = (x, y) \) od bodu \( A = (1, 1) \) spočteme pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body v rovině. Tento vzorec vypadá takto:

\[ d(M, A) = \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} \]

Podle zadání úkolu víme, že vzdálenost mezi bodem \( M \) a bodem \( A \) je rovna 5, tedy máme rovnici:

\[ \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 1)^2} = 5 \]

Abychom se zbavili druhé odmocniny, obě strany rovnice umocníme:

\[ (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 5^2 \]

Na pravé straně máme \( 5^2 = 25 \), takže rovnice se zjednoduší na:

\[ (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 25 \]

Výsledná rovnice popisuje množinu bodů, která je kruhem se středem v bodě \( A = (1, 1) \) a poloměrem 5. Tato rovnice je rovnicí kruhu v rovině:

\[ (x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 25 \]

Podmínka definuje hyperbolu s ohnisky v bodech \( A \) a \( B \), kde rozdíl vzdáleností je konstantní.

Vzdálenost ohnisek je \( |AB| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (0 – 0)^2} = 4 \).

Polovina vzdálenosti ohnisek je \( c = 2 \), parametr \( a = \frac{3}{2} = 1.5 \) (polovina rozdílu vzdáleností).

Parametr \( b \) je dán vztahem \( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 – a^2 = 4 – 2.25 = 1.75 \Rightarrow b = \sqrt{1.75} \).

Střed hyperboly je \( S = (0,0) \) (střed úsečky \( AB \)), osa prochází osou \( x \).

Rovnice hyperboly je

\( \frac{x^2}{1.5^2} – \frac{y^2}{(\sqrt{1.75})^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{2.25} – \frac{y^2}{1.75} = 1 \).

Podmínka definuje množinu bodů rovinné paraboly, kde vzdálenost od bodu \( A \) je rovna vzdálenosti od přímky \( p \).

Vzdálenost od přímky \( p: y=1 \) je \( d(M,p) = |y – 1| \).

Vzdálenost od bodu \( A = (3,4) \) je \( d(M,A) = \sqrt{(x – 3)^2 + (y – 4)^2} \).

Rovnice paraboly je tedy

\( \sqrt{(x – 3)^2 + (y – 4)^2} = |y – 1| \).

Umocněním dostaneme

\( (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = (y – 1)^2 \Rightarrow \)

\( (x – 3)^2 + y^2 – 8y + 16 = y^2 – 2y + 1 \Rightarrow \)

\( (x – 3)^2 – 8y + 16 = -2y + 1 \Rightarrow \)

\( (x – 3)^2 – 6y + 15 = 0 \Rightarrow \)

\( (x – 3)^2 = 6y – 15 \Rightarrow \)

\( y = \frac{(x – 3)^2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{(x – 3)^2}{6} + \frac{5}{2} \).

Jedná se o rovnici paraboly s osou rovnoběžnou s osou \( y \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p_1 \) je \( d(M,p_1) = |y – 2| \), od přímky \( p_2 \) je \( d(M,p_2) = |y – 8| \).

Podmínka je \( |y – 2| = |y – 8| \).

Řešíme pro \( y \):

\( |y – 2| = |y – 8| \Rightarrow \)

Buď \( y – 2 = y – 8 \Rightarrow 2 = 8 \) (neplatí), nebo \( y – 2 = -(y – 8) \Rightarrow y – 2 = -y + 8 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5 \).

Množina bodů je tedy přímka \( y = 5 \), což je střední příčka mezi \( p_1 \) a \( p_2 \).

Podmínka úlohy říká, že hledáme všechny body \( M=(x,y) \), které jsou stejně vzdáleny od bodů \( A \) a \( B \). To lze zapsat rovnicí:

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-3)^2} \).

Nejprve odstraníme odmocniny umocněním obou stran rovnice na druhou, abychom získali kvadratickou rovnici bez odmocnin:

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2 \Rightarrow \)

\( (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 – 6y + 9) \).

Nyní můžeme z obou stran rovnice odečíst \( x^2 \) a \( y^2 \), které se vyskytují na obou stranách, což zjednoduší rovnici:

\( -4x + 4 + 2y + 1 = 2x + 1 – 6y + 9 \Rightarrow -4x + 2y + 5 = 2x – 6y + 10 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu rovnice:

\( -4x + 2y + 5 – 2x + 6y – 10 = 0 \Rightarrow -6x + 8y – 5 = 0 \).

Tuto rovnici upravíme dělením -1 pro lepší tvar:

\( 6x – 8y + 5 = 0 \).

Tedy množina bodů \( M \) je množina všech bodů ležících na přímce definované rovnicí \( 6x – 8y + 5 = 0 \). To odpovídá množině bodů, které jsou stejně vzdálené od bodů \( A \) a \( B \). Přímka je osa úsečky \( AB \), která je geometrickým místem bodů se stejnou vzdáleností od konců úsečky.

Úloha požaduje najít všechny body, které mají stejnou vzdálenost od dvou zadaných bodů. Zapisujeme podmínku rovnosti vzdáleností:

\( \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-0)^2} \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Odstraníme odmocniny umocněním na druhou:

\( x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = x^2 – 8x + 16 + y^2 \).

Opět odečteme \( x^2 \) a \( y^2 \) z obou stran:

\( 0 = -8x + 16 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2 \).

Množina všech bodů \( M \) je přímka \( x = 2 \), což je osa úsečky spojující body \( A \) a \( B \). To dává smysl, protože tato přímka obsahuje všechny body stejně vzdálené od \( A \) a \( B \), a to je přesně svislá přímka procházející středem úsečky mezi \( A \) a \( B \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je:

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x+3)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y+5)^2} \).

Umocníme obě strany na druhou, abychom odstranili odmocniny:

\( (x+3)^2 + (y-1)^2 = (x-3)^2 + (y+5)^2 \Rightarrow \)

\( (x^2 + 6x + 9) + (y^2 – 2y + 1) = (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) \).

Zrušíme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách:

\( 6x + 9 – 2y + 1 = -6x + 9 + 10y + 25 \Rightarrow 6x – 2y + 10 = -6x + 10y + 34 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu rovnice:

\( 6x – 2y + 10 + 6x – 10y – 34 = 0 \Rightarrow 12x – 12y – 24 = 0 \).

Rovnici zjednodušíme dělením 12:

\( x – y – 2 = 0 \Rightarrow y = x – 2 \).

Výsledná množina je přímka \( y = x – 2 \), která je geometrickým místem bodů stejně vzdálených od \( A \) a \( B \). Tato přímka je osou úsečky spojující \( A \) a \( B \), což odpovídá intuitivní představě o množině bodů se stejnou vzdáleností od dvou daných bodů.

Podmínka pro body stejné vzdálenosti je:

\( \sqrt{(x-5)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-6)^2} \).

Umocníme obě strany rovnice na druhou, abychom se zbavili odmocnin:

\( (x-5)^2 + (y-2)^2 = (x-1)^2 + (y-6)^2 \Rightarrow \)

\( (x^2 – 10x + 25) + (y^2 – 4y + 4) = (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 12y + 36) \).

Vyrušíme členy \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách:

\( -10x + 25 – 4y + 4 = -2x + 1 – 12y + 36 \Rightarrow -10x – 4y + 29 = -2x – 12y + 37 \).

Převedeme všechny členy na levou stranu rovnice:

\( -10x – 4y + 29 + 2x + 12y – 37 = 0 \Rightarrow -8x + 8y – 8 = 0 \).

Vydělíme rovnici -8:

\( x – y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1 \).

Výsledná množina všech bodů \( M \) je přímka \( y = x + 1 \), což je osa úsečky mezi body \( A \) a \( B \). Tato přímka je množinou bodů stejně vzdálených od \( A \) a \( B \).

Podmínka pro rovnost vzdáleností je zapsána jako:

\( \sqrt{(x+4)^2 + (y+2)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (y-4)^2} \).

Odstraníme odmocniny umocněním na druhou:

\( (x+4)^2 + (y+2)^2 = (x-2)^2 + (y-4)^2 \Rightarrow \)

\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) = (x^2 – 4x + 4) + (y^2 – 8y + 16) \).

Odečteme \( x^2 \) a \( y^2 \) z obou stran:

\( 8x + 16 + 4y + 4 = -4x + 4 – 8y + 16 \Rightarrow 8x + 4y + 20 = -4x – 8y + 20 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 8x + 4y + 20 + 4x + 8y – 20 = 0 \Rightarrow 12x + 12y = 0 \).

Rovnici zjednodušíme dělením 12:

\( x + y = 0 \Rightarrow y = -x \).

Množina všech bodů \( M \), které mají stejnou vzdálenost od \( A \) a \( B \), je tedy přímka \( y = -x \). To je osa úsečky spojující \( A \) a \( B \), geometrické místo bodů, které splňují danou vzdálenostní podmínku.

Podmínka úlohy říká, že bod \( M = (x,y) \) má stejnou vzdálenost od bodu \( A = (3,-1) \) jako od bodu \( B = (-1,4) \).

Tedy platí rovnost délek úseček \( MA \) a \( MB \):

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-4)^2} \).

Pro odstranění odmocnin umocníme obě strany rovnice na druhou:

\( (x-3)^2 + (y+1)^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2 \Rightarrow \)

\( (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 – 8y + 16) \Rightarrow \)

Rozepíšeme a seskupíme podobné členy:

\( x^2 – 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 8y + 16 \Rightarrow \)

\( x^2 – 6x + y^2 + 2y + 10 = x^2 + 2x + y^2 – 8y + 17 \Rightarrow \)

Po odečtení \( x^2 \) a \( y^2 \) z obou stran dostáváme:

\( -6x + 2y + 10 = 2x – 8y + 17 \Rightarrow \)

Převedeme všechny členy na levou stranu:

\( -6x + 2y + 10 – 2x + 8y – 17 = 0 \Rightarrow \)

\( -8x + 10y – 7 = 0 \).

Pro lepší čitelnost můžeme vydělit -1:

\( 8x – 10y + 7 = 0 \).

Tedy množina všech bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od bodů \( A \) a \( B \), je přímka definovaná rovnicí:

\( 8x – 10y + 7 = 0 \).

Podmínka říká, že vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je o 5 větší než vzdálenost od bodu \( B \):

\( d(M,A) = d(M,B) + 5 \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2} + 5 \).

Abychom se zbavili odmocnin, označíme:

\( p = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} \), \( q = \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2} \), tedy \( p = q + 5 \).

Umocníme obě strany rovnice \( p = q + 5 \) na druhou:

\( p^2 = (q + 5)^2 = q^2 + 10q + 25 \Rightarrow \)

\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 + 10q + 25 \Rightarrow \)

Přesuneme členy s odmocninou na jednu stranu:

\( (x-2)^2 + (y-3)^2 – (x+1)^2 – (y+1)^2 – 25 = 10q \Rightarrow \)

\( 10q = (x-2)^2 + (y-3)^2 – (x+1)^2 – (y+1)^2 – 25 \).

Nyní musíme vyjádřit \( q \) a najít podmínku pro body \( (x,y) \).

Nejprve rozepíšeme jednotlivé čtverce:

\( (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4, \quad (y-3)^2 = y^2 – 6y + 9, \quad (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1, \quad (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1 \).

Dosadíme do rovnice:

\( 10q = (x^2 – 4x + 4) + (y^2 – 6y + 9) – (x^2 + 2x + 1) – (y^2 + 2y + 1) – 25 \Rightarrow \)

\( 10q = x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9 – x^2 – 2x – 1 – y^2 – 2y – 1 – 25 \Rightarrow \)

\( 10q = -6x – 8y – 14 \).

Pamatujeme, že \( q = \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2} \), tedy:

\( 10 \sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2} = -6x – 8y – 14 \).

Aby rovnost mohla platit, pravá strana musí být nezáporná, protože levá strana je vždy nezáporná (odmocnina).

Proto musí platit:

\( -6x – 8y – 14 \geq 0 \Rightarrow 6x + 8y + 14 \leq 0 \).

Teď umocníme rovnost na druhou:

\( 100 ((x+1)^2 + (y+1)^2) = (-6x – 8y – 14)^2 \Rightarrow \)

\( 100 (x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1) = 36x^2 + 96xy + 64y^2 + 168x + 224y + 196 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 100x^2 + 200x + 100 + 100y^2 + 200y + 100 = 36x^2 + 96xy + 64y^2 + 168x + 224y + 196 \Rightarrow \)

Seskupíme všechny členy na jednu stranu:

\( 100x^2 – 36x^2 + 100y^2 – 64y^2 + 200x – 168x + 200y – 224y + 100 + 100 – 196 – 96xy = 0 \Rightarrow \)

\( 64x^2 + 36y^2 + 32x – 24y + 4 – 96xy = 0 \).

Tato rovnice popisuje kuželosečku, která je množinou všech bodů \( M \), jejichž vzdálenost od \( A \) je o 5 větší než vzdálenost od \( B \).

Podmínka: vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( p \) je rovna vzdálenosti od bodu \( A \).

Vzdálenost bodu od přímky \( p: 2x – y + 3 = 0 \) je:

\( d(M,p) = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je:

\( \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Umocníme obě strany na druhou, abychom se zbavili odmocnin a absolutní hodnoty:

\( \frac{(2x – y + 3)^2}{5} = (x-1)^2 + (y-2)^2 \Rightarrow \)

\( (2x – y + 3)^2 = 5[(x-1)^2 + (y-2)^2] \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( (2x – y + 3)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot y + 2 \cdot 2x \cdot 3 + y^2 – 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 5[(x-1)^2 + (y-2)^2] = 5[x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4] = 5x^2 – 10x + 5 + 5y^2 – 20y + 20 \Rightarrow \)

\( 5x^2 + 5y^2 – 10x – 20y + 25 \).

Nyní sestavíme rovnici:

\( 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 = 5x^2 + 5y^2 – 10x – 20y + 25 \Rightarrow \)

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 – 5x^2 – 5y^2 + 10x + 20y – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( -x^2 – 4xy – 4y^2 + 22x + 14y – 16 = 0 \).

Tato rovnice popisuje kuželosečku, konkrétně množinu bodů stejně vzdálených od přímky \( p \) a od bodu \( A \).

Podmínka: Množina všech bodů \( M = (x,y) \), které jsou stejně vzdálené od bodu \( A = (2,-1) \) a od osy \( x \). Osa \( x \) je množina všech bodů, které mají souřadnici \( y = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (2,-1) \) je dána vzorcem:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od osy \( x \) je vertikální vzdálenost k přímce \( y=0 \), což je absolutní hodnota souřadnice \( y \):

\( d(M, \text{osa } x) = |y| \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je tedy:

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = |y| \).

Nejprve umocníme obě strany rovnice, abychom se zbavili odmocniny a absolutní hodnoty (pozor na možnost \( y < 0 \), později zkontrolujeme):

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = y^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = (x-2)^2 + y^2 + 2y + 1 \Rightarrow \)

\( (x-2)^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 \).

Vykrátíme \( y^2 \) na obou stranách:

\( (x-2)^2 + 2y + 1 = 0 \).

Rozebereme \( (x-2)^2 \):

\( x^2 – 4x + 4 + 2y + 1 = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x + 2y + 5 = 0 \Rightarrow \)

\( 2y = -x^2 + 4x – 5 \Rightarrow y = \frac{-x^2 + 4x – 5}{2} \).

Toto je rovnice paraboly, která udává množinu bodů \( M = (x,y) \) splňujících podmínku vzdálenosti.

Nyní ověříme podmínku ohledně absolutní hodnoty: z původní rovnice

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = |y| \Rightarrow \)

pravá strana je vždy nezáporná, levá strana je vzdálenost, tedy nezáporná.

Pokud bychom předpokládali \( y < 0 \), pak \( |y| = -y \), takže by platilo

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = -y \Rightarrow \)

Umocněním by platilo

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = y^2 \), což jsme již použili. Rovnice je tedy platná i pro \( y < 0 \), ale pro \( y < 0 \) by platilo

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = -y \), tedy levá strana musí být rovna kladnému číslu.

Pro \( y < 0 \) musí tedy platit \( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = -y > 0 \), což je pravda. Proto není třeba omezovat množinu na \( y \ge 0 \).

Závěr: množina bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A=(2,-1) \) a osy \( x \), je daná parabola

\( y = \frac{-x^2 + 4x – 5}{2} \).

Podmínka: Množina všech bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od přímky \( p \) a bodu \( B = (1,2) \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( p: 3x – 4y + 5 = 0 \) je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( B = (1,2) \) je:

\( d(M,B) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je:

\( \frac{|3x – 4y + 5|}{5} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Umocníme obě strany, abychom se zbavili odmocniny a absolutní hodnoty (podmínky absolutní hodnoty budeme řešit na konci):

\( \left(\frac{3x – 4y + 5}{5}\right)^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 \Rightarrow \)

\( \frac{(3x – 4y + 5)^2}{25} = (x-1)^2 + (y-2)^2 \Rightarrow \)

\( (3x – 4y + 5)^2 = 25 \bigl((x-1)^2 + (y-2)^2\bigr) \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( (3x – 4y + 5)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 4y + 2 \cdot 3x \cdot 5 + (4y)^2 – 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2 \) není úplně správný rozpis, použijeme vzorec (a+b+c)^2:

\( (3x – 4y + 5)^2 = 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 25 \bigl((x-1)^2 + (y-2)^2\bigr) = 25(x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4) = 25x^2 – 50x + 25 + 25y^2 – 100y + 100 \).

Nyní rovnost:

\( 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 = 25x^2 – 50x + 25 + 25y^2 – 100y + 100 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 0 = 25x^2 – 50x + 25 + 25y^2 – 100y + 100 – 9x^2 + 24xy – 30x – 16y^2 + 40y – 25 \Rightarrow \)

\( 0 = (25x^2 – 9x^2) + (-50x – 30x) + (25y^2 – 16y^2) + (-100y + 40y) + (25 + 100 – 25) + 24xy \Rightarrow \)

\( 0 = 16x^2 – 80x + 9y^2 – 60y + 100 + 24xy \).

Rovnice je kvadratická a obsahuje smíšený člen \( 24xy \), což značí, že množina bodů není standardní kuželosečka zarovnaná na osy.

Pro úplnost ještě zkontrolujeme podmínku absolutní hodnoty v původní rovnici:

Podmínka byla

\( \frac{|3x – 4y + 5|}{5} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} \).

Protože jsme umocnili, výsledná množina bude symetrická ohledně výrazu \( 3x – 4y + 5 \to -(3x – 4y + 5) \), takže množina zahrnuje body, kde

\( 3x – 4y + 5 \geq 0 \) i \( 3x – 4y + 5 \leq 0 \).

Závěr: Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímky \( 3x – 4y + 5 = 0 \) a bodu \( B = (1,2) \), je dána implicitní kvadratickou rovnicí

\( 16x^2 – 80x + 9y^2 – 60y + 100 + 24xy = 0 \).

Podmínka: Body \( M = (x,y) \) musí mít stejnou vzdálenost od bodů \( A = (3,1) \) a \( B = (-1,5) \) a zároveň ležet na přímce \( y = 2x – 1 \).

Vzdálenost bodu \( M \) od \( A \):

\( d(M,A) = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od \( B \):

\( d(M,B) = \sqrt{(x+1)^2 + (y-5)^2} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností:

\( \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-5)^2} \).

Umocníme obě strany:

\( (x-3)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-5)^2 \).

Rozepíšeme členy:

\( x^2 – 6x + 9 + y^2 – 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 10y + 25 \).

Vykrátíme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách:

\( -6x + 9 – 2y + 1 = 2x + 1 – 10y + 25 \Rightarrow \)

\( -6x – 2y + 10 = 2x – 10y + 26 \Rightarrow \)

\( -6x – 2y + 10 – 2x + 10y – 26 = 0 \Rightarrow \)

\( -8x + 8y – 16 = 0 \Rightarrow \)

\( -8x + 8y = 16 \Rightarrow \)

\( -x + y = 2 \Rightarrow y = x + 2 \).

Tato rovnice představuje množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů \( A \) a \( B \). Je to osa úsečky \( AB \).

Nyní musí body ležet na přímce \( y = 2x – 1 \).

Pro nalezení společných bodů musí platit obě rovnice současně:

\( y = x + 2 \) a \( y = 2x – 1 \).

Dosadíme za \( y \) z první rovnice do druhé:

\( x + 2 = 2x – 1 \Rightarrow \)

\( 2 + 1 = 2x – x \Rightarrow \)

\( 3 = x \Rightarrow \)

\( y = 3 + 2 = 5 \).

Společný bod je tedy \( M = (3,5) \).

Závěr: Množina všech bodů \( M \), které mají stejnou vzdálenost od \( A \) a \( B \) a zároveň leží na přímce \( y = 2x – 1 \), je jediný bod \( (3,5) \).

Podmínka zadání říká, že vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (4,-1) \) je rovna vzdálenosti bodu \( M \) od přímky \( p \).

Vzdálenost dvou bodů \( M \) a \( A \) je dána vztahem

\( d(M,A) = \sqrt{(x-4)^2 + (y+1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( p: 3x – 4y + 5 = 0 \) je

\( d(M,p) = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Podmínka je tedy

\( \sqrt{(x-4)^2 + (y+1)^2} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Umocníme obě strany na druhou, abychom se zbavili odmocniny:

\( (x-4)^2 + (y+1)^2 = \frac{(3x – 4y + 5)^2}{25} \Rightarrow \)

\( 25\left[(x-4)^2 + (y+1)^2\right] = (3x – 4y + 5)^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 25[(x^2 – 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1)] = 25(x^2 – 8x + 16 + y^2 + 2y + 1) = 25x^2 – 200x + 425 + 25y^2 + 50y \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( (3x – 4y + 5)^2 = 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Porovnáme rovnost:

\( 25x^2 – 200x + 425 + 25y^2 + 50y = 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Převedeme vše na jednu stranu rovnice:

\( 25x^2 – 200x + 425 + 25y^2 + 50y – 9x^2 + 24xy – 30x – 16y^2 + 40y – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( (25x^2 – 9x^2) + (-200x – 30x) + (25y^2 – 16y^2) + (50y + 40y) + 24xy + (425 – 25) = 0 \Rightarrow \)

\( 16x^2 – 230x + 9y^2 + 90y + 24xy + 400 = 0 \).

Takto jsme získali obecnou kvadratickou rovnici, která definuje množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Tato množina je tzv. parabola, protože body s rovnou vzdáleností od pevného bodu a přímky tvoří právě parabolu.

Nejprve si uvědomíme, že osa \( x \) je přímka \( y = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (2,3) \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od osy \( x \) (tedy přímky \( y = 0 \)) je

\( d(M, x) = |y| \).

Podmínka je tedy

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = |y| \).

Umocníme na druhou:

\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = y^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9 = y^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x + 4 – 6y + 9 = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x – 6y + 13 = 0 \Rightarrow \)

\( 6y = x^2 – 4x + 13 \Rightarrow \)

\( y = \frac{x^2 – 4x + 13}{6} \).

Výsledná množina je tedy křivka daná kvadratickou funkcí, což je parabola.

Tuto parabolu lze ještě analyzovat, např. najít její vrchol, průsečíky s osami apod., což ale není v zadání.

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (0,0) \) je

\( d(M,A) = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( B = (4,0) \) je

\( d(M,B) = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Podmínka je

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Umocníme na druhou:

\( x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2 \Rightarrow \)

\( x^2 = x^2 – 8x + 16 \Rightarrow \)

\( 0 = -8x + 16 \Rightarrow \)

\( 8x = 16 \Rightarrow \)

\( x = 2 \).

Tedy množina všech bodů \( M \) se stejnou vzdáleností od \( A \) a \( B \) je přímka \( x = 2 \), což je osa úseku \( AB \).

Tato přímka dělí úseček mezi body \( A \) a \( B \) na dvě stejné části a představuje množinu všech bodů, které jsou stejně vzdáleny od obou bodů.

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( p: y = 2 \) je

\( d(M,p) = |y – 2| \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( q: y = -2 \) je

\( d(M,q) = |y + 2| \).

Podmínka je

\( |y – 2| = |y + 2| \).

Zkoumáme rovnost absolutních hodnot:

Možnosti:

• \( y – 2 = y + 2 \Rightarrow -2 = 2 \) – nesmysl, vylučujeme
• \( y – 2 = -(y + 2) \Rightarrow y – 2 = -y – 2 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0 \)
• \( -(y – 2) = y + 2 \Rightarrow -y + 2 = y + 2 \Rightarrow 2 = 2y + 2 \Rightarrow 0 = 2y \Rightarrow y = 0 \)
• \( -(y – 2) = -(y + 2) \Rightarrow \) tautologie, už zohledněno

Výsledná množina je tedy přímka \( y = 0 \), což je přímka přesně uprostřed mezi přímkami \( y=2 \) a \( y=-2 \).

Nejprve si připomeňme, že osa \( y \) je přímka \( x = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (1,1) \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od osy \( y \) je

\( d(M,y) = |x| \).

Podmínka je tedy

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = |x| \).

Umocníme obě strany na druhou:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = x^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = x^2 \Rightarrow \)

\( -2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = 0 \Rightarrow \)

\( y^2 – 2y – 2x + 2 = 0 \).

Tuto rovnici lze přepsat jako kvadratickou rovnici v \( y \) pro dané \( x \):

\( y^2 – 2y = 2x – 2 \Rightarrow y^2 – 2y + 1 = 2x – 2 + 1 \Rightarrow (y-1)^2 = 2x – 1 \).

Rovnice popisuje množinu bodů \( M = (x,y) \), která tvoří parabolu otevřenou doprava.

Parabola má vrchol v bodě \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) a osa symetrie je rovnoběžná s osou \( x \).

Podmínka říká, že hledáme body \( M = (x,y) \), pro které platí:

\( d(M,A) = d(M,p) \).

Kde vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} \).

A vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p: 2x – y + 3 = 0 \) je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka se tedy zapisuje jako rovnost:

\( \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} = \frac{|2x – y + 3|}{\sqrt{5}} \).

Umocníme obě strany rovnice na druhou, abychom se zbavili odmocnin:

\( (x-3)^2 + (y+1)^2 = \frac{(2x – y + 3)^2}{5} \Rightarrow \)

\( 5[(x-3)^2 + (y+1)^2] = (2x – y + 3)^2 \).

Rozepíšeme obě strany:

Levá strana:

\( 5[(x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1)] = 5(x^2 – 6x + 9 + y^2 + 2y + 1) = \)

\( 5x^2 – 30x + 45 + 5y^2 + 10y + 5 = 5x^2 + 5y^2 – 30x + 10y + 50 \).

Pravá strana:

\( (2x – y + 3)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot y + 2 \cdot 2x \cdot 3 + y^2 – 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 \) (rozepíšeme jako vzorec pro druhou mocninu sumy)

Správněji rozepíšeme takto:

\( (2x – y + 3)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot y + 2 \cdot 2x \cdot 3 + (-y)^2 – 2 \cdot (-y) \cdot 3 + 3^2 \Rightarrow \)

\( = 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 \).

Nyní upravíme rovnici:

\( 5x^2 + 5y^2 – 30x + 10y + 50 = 4x^2 – 4xy + 12x + y^2 – 6y + 9 \Rightarrow \)

Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\( 5x^2 + 5y^2 – 30x + 10y + 50 – 4x^2 + 4xy – 12x – y^2 + 6y – 9 = 0 \Rightarrow \)

\( (5x^2 – 4x^2) + (5y^2 – y^2) + (-30x – 12x) + (10y + 6y) + (50 – 9) + 4xy = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 + 4y^2 – 42x + 16y + 41 + 4xy = 0 \).

Tato rovnice představuje kvadratickou křivku v rovině, konkrétně kuželosečku.

Pro lepší pochopení lze tuto křivku analyzovat dál, ale už nyní víme, že množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \), je tato kuželosečka definovaná výše uvedenou rovnicí.

Podmínka znamená, že pro bod \( M = (x,y) \) platí:

\( d(M,A) = 2 \cdot d(M,B) \).

Vzdálenost od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{x^2 + y^2} \),

a vzdálenost od bodu \( B \) je:

\( d(M,B) = \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Podmínku tedy zapíšeme jako:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Umocníme na druhou obě strany:

\( x^2 + y^2 = 4[(x-4)^2 + y^2] \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 = 4(x^2 – 8x + 16 + y^2) \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 = 4x^2 – 32x + 64 + 4y^2 \Rightarrow \)

Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\( x^2 + y^2 – 4x^2 + 32x – 64 – 4y^2 = 0 \Rightarrow \)

\( -3x^2 – 3y^2 + 32x – 64 = 0 \Rightarrow \)

Vynásobíme rovnici -1 pro lepší přehlednost:

\( 3x^2 + 3y^2 – 32x + 64 = 0 \Rightarrow \)

Vydělíme 3:

\( x^2 + y^2 – \frac{32}{3}x + \frac{64}{3} = 0 \).

Dokončíme na čtverec pro \( x \):

\( x^2 – \frac{32}{3}x = x^2 – 2 \cdot \frac{16}{3}x \Rightarrow \)

Přidáme a odečteme \(\left(\frac{16}{3}\right)^2 = \frac{256}{9}\):

\( \left(x – \frac{16}{3}\right)^2 – \frac{256}{9} + y^2 + \frac{64}{3} = 0 \Rightarrow \)

\( \left(x – \frac{16}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{256}{9} – \frac{64}{3} \).

Převedeme pravou stranu na společného jmenovatele:

\( \frac{256}{9} – \frac{64}{3} = \frac{256}{9} – \frac{192}{9} = \frac{64}{9} \).

Výsledná rovnice je tedy:

\( \left(x – \frac{16}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 \).

Tato rovnice představuje kružnici se středem v bodě \( \left(\frac{16}{3}, 0\right) \) a poloměrem \( \frac{8}{3} \).

Podmínka znamená:

\( d(M,A) + d(M,B) = 6 \), kde

\( d(M,A) = \sqrt{(x+2)^2 + y^2} \),

\( d(M,B) = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} \).

Tato definice je klasickou definicí elipsy, kde \( A \) a \( B \) jsou jejími ohnisky.

Parametr \( 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \), kde \( a \) je poloosa hlavní elipsy.

Vzdálenost mezi ohnisky je \( 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \).

Vypočítáme druhou poloosu \( b \) pomocí vztahu:

\( b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{3^2 – 2^2} = \sqrt{9 – 4} = \sqrt{5} \).

Střed elipsy je v bodě \( (0,0) \).

Rovnice elipsy s hlavní osou na ose x je:

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \).

Tedy množina bodů, jejichž součet vzdáleností od bodů \( A \) a \( B \) je 6, je elipsa definovaná výše uvedenou rovnicí.

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p: y = 5 \) je vertikální vzdálenost:

\( d(M,p) = |y – 5| \).

Podmínka je tedy:

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2} = |y – 5| \).

Umocníme na druhou:

\( (x-1)^2 + (y-3)^2 = (y – 5)^2 \Rightarrow \)

\( (x-1)^2 + y^2 – 6y + 9 = y^2 – 10y + 25 \Rightarrow \)

Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\( (x-1)^2 + y^2 – 6y + 9 – y^2 + 10y – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( (x-1)^2 + 4y – 16 = 0 \Rightarrow \)

\( (x-1)^2 = 16 – 4y \).

To lze přepsat jako:

\( (x-1)^2 + 4y = 16 \Rightarrow 4y = 16 – (x-1)^2 \Rightarrow y = 4 – \frac{(x-1)^2}{4} \).

Tato rovnice reprezentuje parabolu, která je množinou bodů stejných vzdáleností od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Podmínka:

Hledáme všechny body \( M = (x,y) \), které splňují \( d(M,A) = d(M,p) \).

Kde vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} \).

A vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p: 2x – y + 1 = 0 \) je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je tedy:

\( \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \).

Umocníme obě strany na druhou pro zjednodušení:

\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = \frac{(2x – y + 1)^2}{5} \Rightarrow \)

\( 5((x-3)^2 + (y-4)^2) = (2x – y + 1)^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 5(x^2 – 6x + 9 + y^2 – 8y + 16) = (2x – y + 1)^2 \Rightarrow \)

\( 5x^2 – 30x + 45 + 5y^2 – 40y + 80 = (2x – y + 1)^2 \).

Pravou stranu rozepíšeme jako:

\( (2x – y + 1)^2 = 4x^2 – 4xy + 4x + y^2 – 2y + 1 \).

Po dosazení tedy máme rovnici:

\( 5x^2 – 30x + 45 + 5y^2 – 40y + 80 = 4x^2 – 4xy + 4x + y^2 – 2y + 1 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( 5x^2 – 4x^2 – 30x – 4x + 45 + 5y^2 – y^2 – 40y + 2y + 80 – 1 + 4xy = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 – 34x + 44 + 4y^2 – 38y + 4xy = 0 \).

Uspořádáme a upravíme členy pro lepší přehlednost:

\( x^2 + 4xy + 4y^2 – 34x – 38y + 44 = 0 \).

Tato kvadratická rovnice definuje množinu bodů \( M \), které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \). Geometricky se jedná o kuželosečku (konkrétně elipsu, parabolu nebo hyperbolu v závislosti na dalším rozboru).

Pro hlubší analýzu by bylo možné zkoumat diskriminant kvadratické formy nebo přenést rovnici do kanonického tvaru, což však přesahuje rámec tohoto příkladu.

Podmínka:

Vzdálenost od bodu \( A=(0,0) \) je \( d(M,A) = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: x + y – 4 = 0 \) je:

\( d(M,p) = \frac{|x + y – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y – 4|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka říká:

\( d(M,A) = 2 \cdot d(M,p) \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \cdot \frac{|x + y – 4|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} |x + y – 4| \).

Umocníme obě strany:

\( x^2 + y^2 = 2(x + y – 4)^2 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( 2(x^2 + 2xy + y^2 – 8x – 8y + 16) = 2x^2 + 4xy + 2y^2 – 16x – 16y + 32 \).

Přesuneme vše na jednu stranu:

\( x^2 + y^2 – 2x^2 – 4xy – 2y^2 + 16x + 16y – 32 = 0 \Rightarrow \)

\( -x^2 – 4xy – y^2 + 16x + 16y – 32 = 0 \).

Vynásobíme rovnici \(-1\) pro lepší přehled:

\( x^2 + 4xy + y^2 – 16x – 16y + 32 = 0 \).

Tato rovnice je opět kvadratickou křivkou (kuželosečkou), která představuje množinu bodů \( M \) splňujících danou podmínku vzdáleností.

Pro další analýzu je možné zkoumat vlastní čísla matice kvadratické formy nebo rovinu transformovat do kanonického tvaru.

Podmínka:

1) \( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + (y-5)^2} \).

2) \( y = x + 1 \).

Umocníme první podmínku:

\( (x-2)^2 + (y-1)^2 = (x-6)^2 + (y-5)^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 4x + 4 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 12x + 36 + y^2 – 10y + 25 \Rightarrow \)

\( -4x + 4 – 2y + 1 = -12x + 36 – 10y + 25 \Rightarrow \)

\( -4x – 2y + 5 = -12x – 10y + 61 \Rightarrow \)

\( -4x – 2y + 5 + 12x + 10y – 61 = 0 \Rightarrow \)

\( 8x + 8y – 56 = 0 \Rightarrow x + y – 7 = 0 \).

Máme tedy přímku \( x + y – 7 = 0 \).

Současně ale bod \( M \) leží na přímce \( y = x + 1 \), tedy:

\( y = x + 1 \Rightarrow x + (x + 1) – 7 = 0 \Rightarrow 2x – 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \).

Dosadíme \( x = 3 \) do \( y = x + 1 \):

\( y = 3 + 1 = 4 \).

Tedy jediný bod \( M \), který splňuje obě podmínky, je \( (3,4) \).

Geometricky množina je průnikem osové přímky bodů \( A \) a \( B \) a přímky \( y = x + 1 \), což je právě bod \( (3,4) \).

Podmínka:

\( d(M,p) = d(M,q) \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( p: x – y = 0 \) je:

\( d(M,p) = \frac{|x – y|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} \).

Vzdálenost od přímky \( q: x + y – 6 = 0 \) je:

\( d(M,q) = \frac{|x + y – 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y – 6|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je tedy:

\( \frac{|x – y|}{\sqrt{2}} = \frac{|x + y – 6|}{\sqrt{2}} \Rightarrow |x – y| = |x + y – 6| \).

Existují dvě možnosti:

1) \( x – y = x + y – 6 \Rightarrow -y = y – 6 \Rightarrow 0 = 2y – 6 \Rightarrow y = 3 \).

2) \( x – y = – (x + y – 6) \Rightarrow x – y = -x – y + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \).

Množina všech bodů, které splňují podmínku, je tedy sjednocení dvou přímek:

\( y = 3 \quad \text{a} \quad x = 3 \).

Geometricky tedy hledaná množina tvoří dvě přímky kolmice k původním přímkám, kde body leží na stejných vzdálenostech od obou přímek.

Podmínka:

\( d(M,A) = d(M,p) \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (1,0) \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: y = 2 \) je:

\( d(M,p) = |y – 2| \), protože přímka je rovnoběžná s osou \( x \).

Podmínka tedy říká:

\( \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |y – 2| \).

Umocníme obě strany:

\( (x-1)^2 + y^2 = (y – 2)^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = y^2 – 4y + 4 \).

Zkrátíme \( y^2 \) na obou stranách:

\( (x-1)^2 = -4y + 4 \Rightarrow (x-1)^2 + 4y = 4 \Rightarrow 4y = 4 – (x-1)^2 \Rightarrow y = 1 – \frac{(x-1)^2}{4} \).

Výsledkem je parabola s vrcholem v bodě \( (1,1) \) a osou symetrie rovnoběžnou s osou \( y \).

Tato množina bodů splňuje podmínku, že jsou stejně vzdáleny od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Nejprve zapíšeme podmínku, že vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (3,-1) \) je rovna vzdálenosti od bodu \( B = (-1,4) \):

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-4)^2} \).

Abychom se zbavili odmocnin, umocníme obě strany rovnice na druhou:

\( (x-3)^2 + (y+1)^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2 \).

Rozepíšeme jednotlivé členy:

\( (x-3)^2 = x^2 – 6x + 9 \), \( (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1 \),

\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \), \( (y-4)^2 = y^2 – 8y + 16 \).

Dosadíme zpět do rovnice:

\( x^2 – 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 8y + 16 \).

Nyní zjednodušíme obě strany rovnice. Nejprve odečteme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách, které se vykrátí:

\( -6x + 9 + 2y + 1 = 2x + 1 – 8y + 16 \Rightarrow -6x + 2y + 10 = 2x – 8y + 17 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu, abychom dostali rovnici lineární:

\( -6x + 2y + 10 – 2x + 8y – 17 = 0 \Rightarrow -8x + 10y – 7 = 0 \).

Rovnici můžeme upravit vydělením -1 pro lepší přehlednost:

\( 8x – 10y + 7 = 0 \).

Tedy množina všech bodů \( M \), které mají stejnou vzdálenost od bodů \( A \) a \( B \), je množina bodů ležících na přímce

\( 8x – 10y + 7 = 0 \).

Tato přímka je tzv. osou úseku spojujícího body \( A \) a \( B \) a pro každý bod na ní platí, že je stejně vzdálen od \( A \) i od \( B \).

Podmínka je, že vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (0,0) \) se rovná vzdálenosti bodu \( M \) od přímky \( p \).

Vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p: 3x – 4y + 5 = 0 \) je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností tedy je:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \Rightarrow 5 \sqrt{x^2 + y^2} = |3x – 4y + 5| \).

Pro odstranění odmocniny a absolutní hodnoty budeme řešit dvě možnosti: jedna s kladnou, druhá se zápornou hodnotou výrazu v absolutní hodnotě.

Nejprve umocníme obě strany rovnice na druhou:

\( 25 (x^2 + y^2) = (3x – 4y + 5)^2 \).

Rozepíšeme pravou stranu:

\( (3x – 4y + 5)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 4y + 2 \cdot 3x \cdot 5 + (-4y)^2 – 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2 \)

přesněji:

\( (3x – 4y + 5)^2 = 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Dosadíme do rovnice:

\( 25x^2 + 25y^2 = 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Převedeme vše na jednu stranu:

\( 25x^2 + 25y^2 – 9x^2 + 24xy – 30x – 16y^2 + 40y – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( 16x^2 + 9y^2 + 24xy – 30x + 40y – 25 = 0 \).

Tato rovnice představuje množinu bodů, která je kuželosečkou (konkrétně elipsou nebo hyperbolou, podle dalších vlastností). Body na této křivce mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Pokud bychom chtěli přesně určit typ kuželosečky, bylo by třeba ještě analyzovat kvadratický tvar a provést vhodné lineární transformace, ale pro tento úkol stačí mít rovnici v této obecné formě.

Nejprve zapíšeme podmínku, že vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od bodu \( A = (2,5) \) se rovná vzdálenosti od bodu \( B = (6,1) \):

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y-5)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + (y-1)^2} \).

Umocníme obě strany rovnice:

\( (x-2)^2 + (y-5)^2 = (x-6)^2 + (y-1)^2 \).

Rozepíšeme členy:

\( (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4 \), \( (y-5)^2 = y^2 – 10y + 25 \),

\( (x-6)^2 = x^2 – 12x + 36 \), \( (y-1)^2 = y^2 – 2y + 1 \).

Dosadíme zpět do rovnice:

\( x^2 – 4x + 4 + y^2 – 10y + 25 = x^2 – 12x + 36 + y^2 – 2y + 1 \).

Vykrátíme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách:

\( -4x + 4 – 10y + 25 = -12x + 36 – 2y + 1 \Rightarrow -4x – 10y + 29 = -12x – 2y + 37 \).

Převedeme všechny členy na levou stranu:

\( -4x – 10y + 29 + 12x + 2y – 37 = 0 \Rightarrow 8x – 8y – 8 = 0 \).

Upravíme rovnici dělením 8:

\( x – y – 1 = 0 \).

Tedy množina bodů \( M \) je přímka \( x – y – 1 = 0 \), což je osa úseku spojující body \( A \) a \( B \). Pro každý bod na této přímce je vzdálenost od \( A \) a \( B \) stejná.

Podmínka je, že vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od pevného bodu \( A = (4,3) \) je rovna 5:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} = 5 \).

Umocníme obě strany rovnice:

\( (x-4)^2 + (y-3)^2 = 25 \).

Rozepíšeme členy:

\( (x-4)^2 = x^2 – 8x + 16 \), \( (y-3)^2 = y^2 – 6y + 9 \).

Dosadíme a sepíšeme rovnici kružnice:

\( x^2 – 8x + 16 + y^2 – 6y + 9 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 – 8x – 6y + 25 = 25 \).

Po úpravě dostaneme:

\( x^2 + y^2 – 8x – 6y = 0 \).

Tuto rovnici upravíme dokončením na čtverec, abychom získali střed a poloměr kružnice:

Pro \( x \): \( x^2 – 8x = x^2 – 8x + 16 – 16 = (x – 4)^2 – 16 \).

Pro \( y \): \( y^2 – 6y = y^2 – 6y + 9 – 9 = (y – 3)^2 – 9 \).

Dosadíme zpět:

\( (x – 4)^2 – 16 + (y – 3)^2 – 9 = 0 \Rightarrow (x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 25 \).

Tedy množina bodů je kružnice se středem v bodě \( A = (4,3) \) a poloměrem 5.

Podmínka zadání říká, že vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je stejná jako vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p \).

Nejprve si připomeneme vzorce pro vzdálenost:

– Vzdálenost dvou bodů \( M = (x,y) \) a \( A = (x_0,y_0) \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2} \).

– Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( ax + by + c = 0 \) je

\( d(M,p) = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).

Dosadíme:

\( d(M,A) = d(M,p) \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x – y + 1|}{\sqrt{5}} \).

Umocníme obě strany rovnice, abychom se zbavili odmocniny a absolutní hodnoty:

\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = \frac{(2x – y + 1)^2}{5} \Rightarrow 5\big((x-3)^2 + (y-4)^2\big) = (2x – y + 1)^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 5\big((x-3)^2 + (y-4)^2\big) = 5\big((x^2 – 6x + 9) + (y^2 – 8y + 16)\big) = 5(x^2 – 6x + 9 + y^2 – 8y + 16) = 5x^2 – 30x + 45 + 5y^2 – 40y + 80 \).

Pravá strana:

\( (2x – y + 1)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot y + 2 \cdot 2x \cdot 1 + y^2 – 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 – 4xy + 4x + y^2 – 2y + 1 \).

Nyní rovnici přepíšeme jako:

\( 5x^2 – 30x + 45 + 5y^2 – 40y + 80 = 4x^2 – 4xy + 4x + y^2 – 2y + 1 \).

Přesuneme vše na jednu stranu a uspořádáme členy podle mocnin:

\( 5x^2 – 4x^2 + 5y^2 – y^2 – 30x – 4x – 40y + 2y + 45 + 80 – 1 + 4xy = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 + 4y^2 – 34x – 38y + 124 + 4xy = 0 \).

Tento vztah představuje množinu všech bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \). Tato množina je křivka druhého stupně (kuželosečka), protože rovnice obsahuje člen \( 4xy \), což značí natočení kuželosečky v rovině.

Podmínka zní:

\( d(M,A) = 2 \cdot d(M,B) \).

Nejprve si připomeneme vzorec pro vzdálenost dvou bodů:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \),

\( d(M,B) = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} \).

Podmínku zapíšeme jako:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x-2)^2 + y^2} \).

Umocníme obě strany rovnice, abychom odstranili odmocniny:

\( x^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2) \Rightarrow x^2 + y^2 = 4(x^2 – 4x + 4 + y^2) \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 = 4x^2 – 16x + 16 + 4y^2 \).

Přesuneme vše na levou stranu:

\( x^2 + y^2 – 4x^2 + 16x – 16 – 4y^2 = 0 \Rightarrow -3x^2 – 3y^2 + 16x – 16 = 0 \).

Vydělíme rovnici -3 pro lepší přehled:

\( x^2 + y^2 – \frac{16}{3}x + \frac{16}{3} = 0 \).

Doplníme na čtverec u \( x \):

\( x^2 – \frac{16}{3}x = x^2 – \frac{16}{3}x + \left(\frac{8}{3}\right)^2 – \left(\frac{8}{3}\right)^2 = (x – \frac{8}{3})^2 – \frac{64}{9} \).

Rovnice je tedy:

\( (x – \frac{8}{3})^2 – \frac{64}{9} + y^2 + \frac{16}{3} = 0 \Rightarrow (x – \frac{8}{3})^2 + y^2 = \frac{64}{9} – \frac{16}{3} \).

Vyjádříme pravou stranu společným jmenovatelem 9:

\( \frac{64}{9} – \frac{48}{9} = \frac{16}{9} \).

Takže:

\( (x – \frac{8}{3})^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \).

Jedná se o kružnici se středem v bodě \( S = \left(\frac{8}{3}, 0\right) \) a poloměrem \( r = \frac{4}{3} \).

Podmínka je:

\( d(M,p_1) = d(M,p_2) \).

Vzorec pro vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od přímky \( ax + by + c = 0 \) je:

\( d = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).

Dosadíme:

\( \frac{|x + y – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x – y + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \Rightarrow \frac{|x + y – 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|x – y + 2|}{\sqrt{2}} \).

Obě strany rovnice jsou děleny stejným číslem, takže:

\( |x + y – 4| = |x – y + 2| \).

Teď je třeba vyřešit rovnici s absolutními hodnotami. Existují dvě možnosti:

1) \( x + y – 4 = x – y + 2 \Rightarrow y – 4 = -y + 2 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \).

2) \( x + y – 4 = -(x – y + 2) \Rightarrow x + y – 4 = -x + y – 2 \Rightarrow x + y – 4 + x – y + 2 = 0 \Rightarrow 2x – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Množina všech bodů \( M = (x,y) \), které splňují podmínku, je tedy sjednocení dvou přímek:

\( y = 3 \) a \( x = 1 \).

Podmínka je, že vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od bodu \( A \) se rovná vzdálenosti od přímky \( p \).

Vzdálenost od bodu \( A = (1,1) \):

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost od přímky \( p: y = 3 \) je absolutní hodnota rozdílu y-ové souřadnice a čísla 3:

\( d(M,p) = |y – 3| \).

Podmínka tedy je:

\( \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = |y – 3| \).

Umocníme obě strany rovnice:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = (y – 3)^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 – 2y + 1 = y^2 – 6y + 9 \).

Odstraníme členy \( y^2 \) na obou stranách:

\( (x-1)^2 – 2y + 1 = -6y + 9 \Rightarrow (x-1)^2 – 2y + 1 + 6y – 9 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 + 4y – 8 = 0 \).

Rozepíšeme kvadratický člen:

\( x^2 – 2x + 1 + 4y – 8 = 0 \Rightarrow x^2 – 2x + 4y – 7 = 0 \).

Tato rovnice představuje množinu bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \). Je to křivka druhého stupně, konkrétně parabola.

Vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od bodu \( A=(2,3) \) je

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} \).

Rovnice přímky \( p \) je \( y = -x + 1 \), převedeme ji do obecného tvaru

\( x + y – 1 = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p \) je dána vzorcem

\( d(M,p) = \frac{|x + y – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y – 1|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je tedy

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = \frac{|x + y – 1|}{\sqrt{2}} \).

Umocníme obě strany rovnice:

\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x + y – 1)^2}{2} \Rightarrow \)

\( 2((x-2)^2 + (y-3)^2) = (x + y – 1)^2 \Rightarrow \)

\( 2(x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9) = (x + y – 1)^2 \Rightarrow \)

\( 2x^2 – 8x + 8 + 2y^2 – 12y + 18 = (x + y – 1)^2 \Rightarrow \)

Rozepíšeme pravou stranu:

\( (x + y – 1)^2 = x^2 + 2xy + y^2 – 2x – 2y + 1 \).

Dosaďme do rovnice:

\( 2x^2 – 8x + 8 + 2y^2 – 12y + 18 = x^2 + 2xy + y^2 – 2x – 2y + 1 \Rightarrow \)

\( 2x^2 – x^2 – 8x + 2x + 8 + 2y^2 – y^2 – 12y + 2y + 18 – 1 = 2xy \Rightarrow \)

\( x^2 – 6x + y^2 – 10y + 25 = 2xy \Rightarrow \)

Upravíme na standardní tvar kvadratické rovnice:

\( x^2 – 2xy + y^2 – 6x – 10y + 25 = 0 \).

Tato rovnice představuje kuželosečku, konkrétně jde o kuželosečku definující množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Další analýzou lze určit typ kuželosečky, ale pro potřeby tohoto úkolu je podstatné, že množina bodů je právě tato kuželosečka.

Podmínka vzdálenosti je

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + (y-3)^2} \).

Protože bod leží na ose \( y \), platí \( x=0 \), dosadíme:

\( \sqrt{(0-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(0-5)^2 + (y-3)^2} \Rightarrow \)

\( \sqrt{1 + (y-1)^2} = \sqrt{25 + (y-3)^2} \).

Umocníme na druhou:

\( 1 + (y-1)^2 = 25 + (y-3)^2 \Rightarrow \)

\( 1 + y^2 – 2y + 1 = 25 + y^2 – 6y + 9 \Rightarrow \)

\( 2 – 2y = 34 – 6y \Rightarrow \)

\( -2y + 2 = 34 – 6y \Rightarrow \)

\( -2y + 2 – 34 + 6y = 0 \Rightarrow \)

\( 4y – 32 = 0 \Rightarrow \)

\( 4y = 32 \Rightarrow y = 8 \).

Tedy množina všech bodů ležících na ose \( y \) a stejně vzdálených od bodů \( A \) a \( B \) je jediný bod \( M = (0,8) \).

Máme bod \( A = (2, -1) \) a přímku \( p: 3x – 4y + 5 = 0 \). Hledáme všechny body \( M = (x,y) \), pro které platí, že vzdálenost od bodu \( A \) je rovna vzdálenosti od přímky \( p \).

Vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je dána vztahem:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p \) je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Podmínka rovnosti vzdáleností je tedy:

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Umocníme obě strany rovnice na druhou, abychom se zbavili odmocniny:

\( (x-2)^2 + (y+1)^2 = \frac{(3x – 4y + 5)^2}{25} \Rightarrow \)

\( 25[(x-2)^2 + (y+1)^2] = (3x – 4y + 5)^2 \).

Rozepíšeme levou stranu:

\( 25[(x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1)] = 25(x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2y + 1) = 25x^2 – 100x + 100 + 25y^2 + 50y + 25 \).

Rozepíšeme pravou stranu jako druhou mocninu sumy:

\( (3x – 4y + 5)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 4y + (-4y)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 – 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2 \Rightarrow \)

\( 9x^2 – 24xy + 16y^2 + 30x – 40y + 25 \).

Nyní položíme rovnost:

\( 25x^2 – 100x + 100 + 25y^2 + 50y + 25 = 9x^2 – 24xy + 16y^2 + 30x – 40y + 25 \).

Převedeme vše na levou stranu:

\( 25x^2 – 100x + 100 + 25y^2 + 50y + 25 – 9x^2 + 24xy – 16y^2 – 30x + 40y – 25 = 0 \Rightarrow \)

\( (25x^2 – 9x^2) + (-100x – 30x) + 24xy + (25y^2 – 16y^2) + (50y + 40y) + (100 + 25 – 25) = 0 \Rightarrow \)

\( 16x^2 – 130x + 24xy + 9y^2 + 90y + 100 = 0 \).

Toto je rovnice kuželosečky (konkrétně obecná rovnice křivky druhého stupně) představující množinu všech bodů \( M \), které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( p \).

Pro lepší pochopení lze analyzovat typ této křivky pomocí diskriminantu kvadratické formy.

Diskriminant \( \Delta = B^2 – 4AC \), kde:

\( A = 16, \quad B = 24, \quad C = 9 \Rightarrow \Delta = 24^2 – 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 – 576 = 0 \).

Protože diskriminant je nulový, jedná se o parabolu.

Závěr: Množina všech bodů s rovnou vzdáleností od bodu \( A = (2,-1) \) a přímky \( p: 3x – 4y + 5 = 0 \) je parabola daná rovnicí

\( 16x^2 – 130x + 24xy + 9y^2 + 90y + 100 = 0 \).

Podmínka:

\( d(M,A) = 2 \cdot d(M,B) \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 2 \cdot \sqrt{(x-4)^2 + y^2} \).

Umocníme obě strany na druhou:

\( x^2 + y^2 = 4[(x-4)^2 + y^2] \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 = 4(x^2 – 8x + 16 + y^2) \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 = 4x^2 – 32x + 64 + 4y^2 \Rightarrow \)

Převedeme vše na levou stranu:

\( x^2 + y^2 – 4x^2 + 32x – 64 – 4y^2 = 0 \Rightarrow \)

\( -3x^2 + 32x – 3y^2 – 64 = 0 \Rightarrow \)

Vynásobíme rovnicí -1, aby koeficient u \( x^2 \) byl kladný:

\( 3x^2 – 32x + 3y^2 + 64 = 0 \).

Úprava kvadratického členu:

\( 3x^2 – 32x + 3y^2 = -64 \Rightarrow \)

Rozdělíme koeficienty u kvadratických členů:

\( 3(x^2 + y^2) – 32x = -64 \Rightarrow \)

Pro lepší interpretaci dokončíme čtverec u \( x \):

\( 3 \left( x^2 – \frac{32}{3}x + y^2 \right) = -64 \Rightarrow \)

Dokončíme čtverec u \( x \):

\( x^2 – \frac{32}{3} x = \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 – \left(\frac{16}{3}\right)^2 = \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 – \frac{256}{9} \Rightarrow \)

Dosadíme zpět:

\( 3 \left( \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 – \frac{256}{9} + y^2 \right) = -64 \Rightarrow \)

\( 3 \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 – \frac{256}{3} + 3 y^2 = -64 \Rightarrow \)

\( 3 \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 + 3 y^2 = -64 + \frac{256}{3} = \frac{-192 + 256}{3} = \frac{64}{3} \Rightarrow \)

Dělíme celou rovnici 3:

\( \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{64}{9} \).

Tato rovnice představuje kružnici se středem \( S = \left(\frac{16}{3}, 0\right) \) a poloměrem \( r = \frac{8}{3} \).

Závěr: Množina všech bodů, které mají vzdálenost od bodu \( A \) rovnou dvojnásobku vzdálenosti od bodu \( B \), je kružnice

\( \left( x – \frac{16}{3} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{8}{3} \right)^2 \).

Nejprve najdeme množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů \( A \) a \( B \). Podmínka je:

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + (y-3)^2} \).

Umocníme obě strany:

\( (x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-5)^2 + (y-3)^2 \Rightarrow \)

\( x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 10x + 25 + y^2 – 6y + 9 \Rightarrow \)

\( -2x + 1 – 2y + 1 = -10x + 25 – 6y + 9 \Rightarrow \)

\( -2x – 2y + 2 = -10x + 25 – 6y + 9 \Rightarrow \)

Převedeme na levou stranu:

\( -2x – 2y + 2 + 10x – 25 + 6y – 9 = 0 \Rightarrow \)

\( 8x + 4y – 32 = 0 \Rightarrow 2x + y – 8 = 0 \).

Tato přímka je množina všech bodů s rovnou vzdáleností od bodů \( A \) a \( B \).

Dále musíme vzít v úvahu, že body jsou od \( C = (3,4) \) vzdáleny nejvýše 3, což lze zapsat jako:

\( d(M,C) \leq 3 \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} \leq 3 \Rightarrow (x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 9 \).

Výsledná množina je tedy průnik přímky \( 2x + y – 8 = 0 \) a kružnice \( (x-3)^2 + (y-4)^2 \leq 9 \).

Pro přesnější určení průsečíků této přímky a kružnice dosadíme \( y = 8 – 2x \) do rovnice kružnice:

\( (x-3)^2 + (8 – 2x – 4)^2 \leq 9 \Rightarrow (x-3)^2 + (4 – 2x)^2 \leq 9 \).

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 6x + 9) + (16 – 16x + 4x^2) \leq 9 \Rightarrow \)

\( x^2 – 6x + 9 + 16 – 16x + 4x^2 \leq 9 \Rightarrow \)

\( 5x^2 – 22x + 25 \leq 9 \Rightarrow \)

\( 5x^2 – 22x + 16 \leq 0 \).

Řešíme kvadratickou nerovnici:

Diskriminant:

\( \Delta = (-22)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 16 = 484 – 320 = 164 \).

Kořeny:

\( x = \frac{22 \pm \sqrt{164}}{10} \approx \frac{22 \pm 12.81}{10} \Rightarrow \)

\( x_1 \approx \frac{34.81}{10} = 3.481, \quad x_2 \approx \frac{9.19}{10} = 0.919 \).

Nerovnost \( 5x^2 – 22x + 16 \leq 0 \) platí mezi těmito kořeny, tj. pro \( x \in [0.919, 3.481] \).

Odpovídající hodnoty \( y \) jsou:

\( y = 8 – 2x \), tedy \( y \in [8 – 2 \cdot 3.481, 8 – 2 \cdot 0.919] = [1.038, 6.162] \).

Závěr: Hledaná množina jsou body přímky \( 2x + y – 8 = 0 \), které leží v úseku mezi body \( (0.919, 6.162) \) a \( (3.481, 1.038) \), což je průnik přímky s kružnicí kolem bodu \( C \) s poloměrem 3.

Podmínka:

\( d(M,A) < d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} < \sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2} \).

Umocníme obě strany nerovnosti (protože obě jsou nezáporné):

\( (x-3)^2 + (y-4)^2 < (x+1)^2 + (y-2)^2 \).

Rozevřeme obě strany:

\( x^2 – 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 < x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 \).

Zkrátíme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách:

\( -6x + 9 – 8y + 16 < 2x + 1 - 4y + 4 \Rightarrow \)

\( -6x – 8y + 25 < 2x - 4y + 5 \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( -6x – 8y + 25 – 2x + 4y – 5 < 0 \Rightarrow \)

\( -8x – 4y + 20 < 0 \Rightarrow \)

\( -8x – 4y < -20 \Rightarrow \)

Dělením nerovnosti záporným číslem se směr nerovnosti změní:

\( 2x + y > 5 \).

Výsledná množina všech bodů \( M \) je poloprostor definovaný nerovností \( 2x + y > 5 \).

Tato množina představuje všechny body, které jsou blíže k bodu \( A = (3,4) \) než k bodu \( B = (-1,2) \).

Podmínka je, že vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od přímky \( p \) je rovna vzdálenosti od bodu \( A \):

\( d(M,p) = d(M,A) \).

Vzdálenost bodu od přímky je dána vzorcem:

\( d(M,p) = \frac{|3x – 4y + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x – 4y + 5|}{5} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} \).

Podmínka tedy je:

\( \frac{|3x – 4y + 5|}{5} = \sqrt{(x-1)^2 + (y+2)^2} \).

Umocníme obě strany rovnosti:

\( \frac{(3x – 4y + 5)^2}{25} = (x-1)^2 + (y+2)^2 \Rightarrow \)

\( (3x – 4y + 5)^2 = 25[(x-1)^2 + (y+2)^2] \).

Rozevřeme levou stranu:

\( (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 4y + 2 \cdot 3x \cdot 5 + (4y)^2 – 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2 \)

= \( 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 \).

Rozevřeme pravou stranu:

\( 25[(x-1)^2 + (y+2)^2] = 25[(x^2 – 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4)] \Rightarrow \)

\( 25[x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4] = 25x^2 – 50x + 25 + 25y^2 + 100y + 100 \).

Dosadíme:

\( 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 = 25x^2 – 50x + 25 + 25y^2 + 100y + 100 \).

Převedeme vše na jednu stranu rovnice:

\( 9x^2 – 24xy + 30x + 16y^2 – 40y + 25 – 25x^2 + 50x – 25 – 25y^2 – 100y – 100 = 0 \Rightarrow \)

\( (9x^2 – 25x^2) + (-24xy) + (30x + 50x) + (16y^2 – 25y^2) + (-40y – 100y) + (25 – 25 – 100) = 0 \Rightarrow \)

\( -16x^2 – 24xy + 80x – 9y^2 – 140y – 100 = 0 \).

Tato kvadratická rovnice definuje množinu všech bodů, které jsou stejně vzdálené od přímky \( p \) a bodu \( A \).

Tato množina bude kuželosečka (elipsa, parabola nebo hyperbola, záleží na detailech). V tomto případě je potřeba další analýza, ale hlavní krok řešení je stanovení této rovnice.

Podmínka:

\( d(M,A) = d(M, x\text{-ová osa}) \).

Vzdálenost od bodu \( A = (2,1) \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od osy \( x \) je absolutní hodnota souřadnice \( y \), tedy:

\( d(M, x\text{-ová osa}) = |y| \).

Podmínka tedy je:

\( \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = |y| \).

Umocníme obě strany:

\( (x-2)^2 + (y-1)^2 = y^2 \Rightarrow \)

\( (x-2)^2 + y^2 – 2y + 1 = y^2 \Rightarrow \)

\( (x-2)^2 – 2y + 1 = 0 \Rightarrow \)

\( (x-2)^2 = 2y – 1 \Rightarrow \)

\( y = \frac{(x-2)^2 + 1}{2} \).

Výsledná množina je parabola otevřená směrem nahoru s vrcholem v bodě \( (2, \frac{1}{2}) \).

Geometrický význam: hledáme body, které jsou stejně daleko od pevného bodu \( A \) a od osy \( x \), což je přesná definice paraboly jako množiny bodů stejně vzdálených od ohniska a řídící přímky.

Podmínka:

\( d(M,q) = d(M,r) \).

Vzdálenost bodu \( M = (x,y) \) od přímky \( q: y = 3 \) je:

\( d(M,q) = |y – 3| \).

Vzdálenost od přímky \( r: x = 1 \) je:

\( d(M,r) = |x – 1| \).

Podmínka tedy je:

\( |y – 3| = |x – 1| \).

To lze přepsat jako dvě rovnice:

1. \( y – 3 = x – 1 \Rightarrow y = x + 2 \).

2. \( y – 3 = -(x – 1) \Rightarrow y = -x + 4 \).

Množina všech bodů \( M \) je tedy sjednocení dvou přímek \( y = x + 2 \) a \( y = -x + 4 \).

Geometrický význam: body, které jsou stejně vzdálené od dvou rovnoběžných přímek (horizontální a vertikální), tvoří právě tyto dvě přímky.

Podmínka:

\( d(M,A) = d(M,s) \).

Vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od bodu \( A = (0,0) \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Rovnice přímky \( s \) je \( y = x + 1 \), což lze přepsat do obecného tvaru:

\( y – x – 1 = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( s \) je:

\( d(M,s) = \frac{|y – x – 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|y – x – 1|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka je tedy:

\( \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|y – x – 1|}{\sqrt{2}} \).

Umocníme obě strany:

\( x^2 + y^2 = \frac{(y – x – 1)^2}{2} \Rightarrow \)

\( 2(x^2 + y^2) = (y – x – 1)^2 \).

Rozevřeme pravou stranu:

\( (y – x – 1)^2 = y^2 – 2xy – 2y + x^2 + 2x + 1 \).

Dosadíme zpět:

\( 2x^2 + 2y^2 = y^2 – 2xy – 2y + x^2 + 2x + 1 \Rightarrow \)

\( 2x^2 + 2y^2 – y^2 + 2xy + 2y – x^2 – 2x – 1 = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 + 2xy + 2y – 2x – 1 = 0 \).

Tato rovnice popisuje množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu \( A \) a přímky \( s \).

Geometricky se jedná o kuželosečku (v tomto případě může být parabola či jiná kuželosečka, kterou lze dále analyzovat podle diskriminantu a dalších parametrů).

Podmínka zadaná v úloze je, že bod \( M = (x,y) \) má stejnou vzdálenost od bodů \( A = (4,1) \) a \( B = (-1,5) \). To matematicky zapíšeme jako:

\( d(M,A) = d(M,B) \Rightarrow \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + (y-5)^2} \).

První krok je odstranění odmocnin na obou stranách rovnice, proto umocníme rovnost na druhou:

\( (x-4)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-5)^2 \).

Nyní rozebereme jednotlivé kvadráty:

\( (x-4)^2 = x^2 – 8x + 16 \),

\( (y-1)^2 = y^2 – 2y + 1 \),

\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \),

\( (y-5)^2 = y^2 – 10y + 25 \).

Dosadíme tyto výrazy do rovnice:

\( x^2 – 8x + 16 + y^2 – 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 – 10y + 25 \).

Nyní zkrátíme \( x^2 \) a \( y^2 \) na obou stranách rovnice, protože se vyskytují na obou stranách stejně:

\( -8x + 16 – 2y + 1 = 2x + 1 – 10y + 25 \).

Sečteme konstanty na levé i pravé straně:

\( -8x – 2y + 17 = 2x – 10y + 26 \).

Přesuneme všechny členy na jednu stranu, abychom získali rovnici ve tvaru \( ax + by + c = 0 \):

\( -8x – 2y + 17 – 2x + 10y – 26 = 0 \Rightarrow \)

\( -10x + 8y – 9 = 0 \).

Tuto rovnici můžeme ještě upravit dělením -1, abychom dostali hezčí tvar:

\( 10x – 8y + 9 = 0 \).

Výsledná množina všech bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od bodů \( A \) a \( B \), je tedy přímka daná rovnicí:

\( 10x – 8y + 9 = 0 \).

Interpretace geometricky: tato přímka je osa úseku spojující body \( A \) a \( B \), protože každý bod na této přímce je stejně vzdálen od \( A \) i \( B \).

Zadání říká, že hledáme množinu bodů \( M = (x,y) \), které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu \( A = (2,-3) \) a přímky \( p: y = x + 1 \).

Nejprve si zapíšeme matematicky obě vzdálenosti:

Vzdálenost bodu \( M \) od bodu \( A \) je:

\( d(M,A) = \sqrt{(x-2)^2 + (y+3)^2} \).

Vzdálenost bodu \( M \) od přímky \( p: y = x + 1 \) spočítáme pomocí vzorce pro vzdálenost bodu od přímky ve tvaru obecné rovnice:

Přímku přepíšeme do obecného tvaru:

\( y = x + 1 \Rightarrow x – y + 1 = 0 \).

Vzdálenost bodu \( M=(x,y) \) od přímky \( x – y + 1 = 0 \) je:

\( d(M,p) = \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{2}} \).

Podmínka zadaná v úloze tedy je:

\( d(M,A) = d(M,p) \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y+3)^2} = \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{2}} \).

Odstraníme odmocniny a absolutní hodnotu umocněním na druhou obě strany rovnice:

\( (x-2)^2 + (y+3)^2 = \frac{(x – y + 1)^2}{2} \Rightarrow \)

\( 2 \left( (x-2)^2 + (y+3)^2 \right) = (x – y + 1)^2 \).

Rozebereme levou stranu:

\( 2 \left( (x-2)^2 + (y+3)^2 \right) = 2(x^2 – 4x + 4 + y^2 + 6y + 9) = \)

\( 2x^2 – 8x + 8 + 2y^2 + 12y + 18 = 2x^2 + 2y^2 – 8x + 12y + 26 \).

Pravá strana je:

\( (x – y + 1)^2 = x^2 – 2xy + y^2 + 2x – 2y + 1 \).

Rovnici tedy máme:

\( 2x^2 + 2y^2 – 8x + 12y + 26 = x^2 – 2xy + y^2 + 2x – 2y + 1 \).

Přesuneme vše na jednu stranu:

\( 2x^2 + 2y^2 – 8x + 12y + 26 – x^2 + 2xy – y^2 – 2x + 2y – 1 = 0 \Rightarrow \)

\( x^2 + y^2 + 2xy – 10x + 14y + 25 = 0 \).

Tato rovnice popisuje množinu bodů, které splňují zadanou podmínku. Je to rovnice kuželosečky (konkrétně elipsy, paraboly nebo hyperboly – podle hodnot koeficientů). Pro detailní charakterizaci této kuželosečky bychom mohli použít metody lineární algebry (určit druh kuželosečky podle diskriminantu kvadratické formy), ale vzhledem k zadání je důležité uvědomit si, že množina bodů je právě tato kuželosečka daná výše.

Takže výsledkem je množina všech bodů \( M = (x,y) \), které splňují rovnici:

\( x^2 + y^2 + 2xy – 10x + 14y + 25 = 0 \).

Geometricky tedy hledáme body, jejichž vzdálenost od bodu \( A \) se rovná vzdálenosti od přímky \( p \), což tvoří tzv. paraboloidní kuželosečku.