Polární soustava souřadnic

Řešení příkladu:

Máme polární souřadnice bodu \(P\): \(r = 5\), \(\varphi = \frac{\pi}{3}\).

Vzorec pro převod do kartézských souřadnic je:

\(x = r \cos \varphi\), \(y = r \sin \varphi\).

Dosadíme hodnoty:

\(x = 5 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5\),

\(y = 5 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33\).

Tedy kartézské souřadnice jsou \(P(x, y) = (2.5, 4.33)\).

Řešení příkladu:

Máme kartézské souřadnice bodu \(Q(3, -3)\).

Vzorce pro převod do polárních souřadnic jsou:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\varphi = \arctan \frac{y}{x}\).

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\).

Úhel \(\varphi\) vypočítáme jako:

\(\varphi = \arctan \frac{-3}{3} = \arctan (-1) = -\frac{\pi}{4}\).

Protože bod leží v 4. kvadrantu (x > 0, y < 0), úhel můžeme uvést jako \(\varphi = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\).

Polární souřadnice jsou tedy \((r, \varphi) = \left(3\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4}\right)\).

Řešení příkladu:

Body \(A\) a \(B\) jsou zadány v polárních souřadnicích.

Pro vzdálenost mezi body platí vzorec:

\(d = \sqrt{r_A^2 + r_B^2 – 2 r_A r_B \cos(\varphi_B – \varphi_A)}\).

Dosadíme hodnoty:

\(r_A = 4\), \(\varphi_A = \frac{\pi}{6}\), \(r_B = 6\), \(\varphi_B = \frac{\pi}{2}\).

Vypočítáme rozdíl úhlů:

\(\varphi_B – \varphi_A = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} – \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\).

Dosadíme do vzorce:

\(d = \sqrt{4^2 + 6^2 – 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos \frac{\pi}{3}} = \sqrt{16 + 36 – 48 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{52 – 24} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29\).

Vzdálenost mezi body je tedy přibližně 5.29.

Řešení příkladu:

Máme kartézské souřadnice \(C(-2, 2\sqrt{3})\).

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\).

Úhel \(\varphi\) vypočítáme:

\(\varphi = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{2\sqrt{3}}{-2} = \arctan (-\sqrt{3})\).

Hodnota \(\arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\), ale protože bod je ve 2. kvadrantu (x < 0, y > 0), platí:

\(\varphi = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\).

Polární souřadnice jsou tedy \((r, \varphi) = (4, \frac{2\pi}{3})\).

Řešení příkladu:

Máme polární souřadnice \(r=7\), \(\varphi = \frac{5\pi}{4}\).

Převod do kartézských souřadnic:

\(x = r \cos \varphi = 7 \cos \frac{5\pi}{4}\), \(y = r \sin \varphi = 7 \sin \frac{5\pi}{4}\).

\(\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Dosadíme:

\(x = 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{2} \approx -4.95\),

\(y = 7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{2} \approx -4.95\).

Tedy kartézské souřadnice jsou \(D(x, y) = (-4.95, -4.95)\).

Řešení příkladu:

Úhel \(\varphi\) v polárních souřadnicích je definován jako úhel mezi polohovým vektorem a kladnou osou \(x\).

Protože úhel je \(\frac{3\pi}{2}\), jde o úhel 270° od osy \(x\) proti směru hodinových ručiček.

Odpověď tedy přímo je, že úhel mezi vektorem a osou \(x\) je \(\frac{3\pi}{2}\).

Pokud by bylo potřeba určit směr vzhledem k osám, jde o směr kolmo dolů na osu \(x\).

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5\).

Úhel \(\varphi\) se určuje z poměru \(y/x\), ale protože \(x=0\), je úhel kolmý na osu \(x\).

Bod je na záporné ose \(y\), tedy úhel je \(\frac{3\pi}{2}\) (270°).

Polární souřadnice jsou \((r, \varphi) = (5, \frac{3\pi}{2})\).

Řešení příkladu:

Body \(G\) a \(H\) jsou na přímce procházející osou \(x\), protože jejich úhly jsou \(0\) a \(\pi\).

Kartézské souřadnice:

\(G: (3, 0)\), \(H: (-3, 0)\).

Střed kruhu \(S\) je uprostřed mezi body \(G\) a \(H\):

\(S_x = \frac{3 + (-3)}{2} = 0\), \(S_y = \frac{0 + 0}{2} = 0\).

Střed je tedy v počátku souřadnicové soustavy \(S(0, 0)\).

Poloměr kruhu je 3, což odpovídá vzdálenosti bodů \(G\) a \(H\) od středu.

Řešení příkladu:

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\).

Úhel \(\varphi\) vypočítáme:

\(\varphi = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{-4}{-4} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}\).

Bod leží ve 3. kvadrantu (x < 0, y < 0), takže \(\varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\).

Polární souřadnice jsou tedy \(\left(4\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\).

Řešení příkladu:

Máme \(r = 10\), \(x = -5\), \(y > 0\).

Vypočítáme \(y\) ze vzorce \(r^2 = x^2 + y^2\):

\(10^2 = (-5)^2 + y^2 \Rightarrow 100 = 25 + y^2 \Rightarrow y^2 = 75 \Rightarrow y = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\) (kladné, protože \(y > 0\)).

Úhel \(\varphi\) vypočítáme:

\(\varphi = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{5\sqrt{3}}{-5} = \arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\).

Bod je ve 2. kvadrantu (x < 0, y > 0), proto platí:

\(\varphi = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\).

Hodnota polárního úhlu je tedy \(\frac{2\pi}{3}\).

Řešení příkladu:

Máme bod v kartézské soustavě \( (x, y) = (-3, 3\sqrt{3}) \). Polární souřadnice \((r, \varphi)\) se počítají podle vzorců:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\), přičemž je potřeba zohlednit kvadrant.

Nejprve spočítáme \(r\):

\(r = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 9 \cdot 3} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\)

Nyní úhel \(\varphi\):

\(\tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}\)

Hodnota \(\tan \varphi = -\sqrt{3}\) odpovídá úhlu \(-\frac{\pi}{3}\) nebo \( \frac{2\pi}{3}\), podle kvadrantu. Jelikož \(x < 0\) a \(y > 0\), bod je ve 2. kvadrantu, kde je úhel mezi \(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\).

Proto:

\(\varphi = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)

Výsledné polární souřadnice jsou tedy:

\(r = 6\), \(\varphi = \frac{2\pi}{3}\)

Řešení příkladu:

Polární souřadnice jsou dány jako \(r = 5\), \(\varphi = \frac{7\pi}{4}\). Kartézské souřadnice \((x, y)\) získáme pomocí vzorců:

\(x = r \cos \varphi\)

\(y = r \sin \varphi\)

Dosadíme:

\(x = 5 \cos \frac{7\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}535\)

\(y = 5 \sin \frac{7\pi}{4} = 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{2}}{2} \approx -3{,}535\)

Tedy kartézské souřadnice jsou:

\(x \approx 3{,}535\), \(y \approx -3{,}535\)

Řešení příkladu:

Máme bod \( (-4, -4) \). Polární souřadnice vypočítáme takto:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Úhel \(\varphi\):

\(\tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{-4}{-4} = 1\)

Hodnota \(\tan \varphi = 1\) odpovídá úhlu \(\frac{\pi}{4}\). Bod je ale v 3. kvadrantu, protože \(x < 0\) a \(y < 0\), proto přičteme \(\pi\):

\(\varphi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\)

Výsledné polární souřadnice jsou:

\(r = 4\sqrt{2}\), \(\varphi = \frac{5\pi}{4}\)

Řešení příkladu:

Vzdálenost mezi body \(A\) a \(B\) v polárních souřadnicích se vypočítá vzorcem:

\(d = \sqrt{r_A^2 + r_B^2 – 2 r_A r_B \cos(\varphi_B – \varphi_A)}\)

Dosadíme hodnoty:

\(r_A = 4\), \(r_B = 6\), \(\varphi_A = \frac{\pi}{6}\), \(\varphi_B = \frac{\pi}{3}\)

\(d = \sqrt{4^2 + 6^2 – 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos\left(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{6}\right)}\)

\(= \sqrt{16 + 36 – 48 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}\)

Víme, že \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), takže:

\(d = \sqrt{52 – 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{52 – 24 \sqrt{3}}\)

Přibližně:

\(24 \sqrt{3} \approx 24 \cdot 1{,}732 = 41{,}57\)

\(d \approx \sqrt{52 – 41{,}57} = \sqrt{10{,}43} \approx 3{,}23\)

Vzdálenost mezi body je tedy přibližně 3,23.

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5\)

Úhel \(\varphi\) je úhel, který svírá polopřímka s osou \(x\). Jelikož \(x = 0\), \(y = -5 < 0\), bod leží na záporné ose \(y\).

Úhel pro zápornou osu \(y\) je \(\frac{3\pi}{2}\).

V intervalu \(\langle 0, 2\pi \rangle\) je to jediný možný úhel, protože při polární soustavě obvykle volíme úhel v tomto intervalu.

Výsledné polární souřadnice:

\(r = 5\), \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\)

Řešení příkladu:

Kartézské souřadnice spočítáme jako:

\(x = r \cos \varphi = 2\sqrt{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6}\)

\(y = r \sin \varphi = 2\sqrt{3} \cdot \sin \frac{5\pi}{6}\)

Známe hodnoty:

\(\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

Dosadíme:

\(x = 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3\)

\(y = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\)

Kartézské souřadnice jsou tedy \( (-3, \sqrt{3}) \).

Řešení příkladu:

Bod je v počátku, tedy \(x = 0\), \(y = 0\).

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\)

Úhel \(\varphi\) není jednoznačně určen, protože úhel v polární soustavě dává smysl pouze pokud \(r \neq 0\).

Tedy:

Polární souřadnice bodu jsou \(r = 0\), \(\varphi\) je libovolný (není určen).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme polární souřadnice středu kruhu do kartézských:

\(x_0 = r \cos \varphi = 7 \cos \pi = 7 \cdot (-1) = -7\)

\(y_0 = r \sin \varphi = 7 \sin \pi = 7 \cdot 0 = 0\)

Kruh je tedy středem v bodě \((-7, 0)\) a má poloměr \(R = 2\).

Rovnice kruhu v kartézských souřadnicích je:

\((x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = R^2\)

Dosadíme:

\((x + 7)^2 + y^2 = 4\)

Tato rovnice popisuje požadovaný kruh.

Řešení příkladu:

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\(r = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1\)

Úhel \(\varphi\):

\(\tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\)

Hodnota \(\tan \varphi = -\sqrt{3}\) odpovídá úhlu \(-\frac{\pi}{3}\) nebo \( \frac{2\pi}{3}\).

Bod má \(x > 0\) a \(y < 0\), což znamená 4. kvadrant.

Úhel v 4. kvadrantu, který má tangens \(-\sqrt{3}\), je \(\varphi = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\).

Výsledné polární souřadnice jsou:

\(r = 1\), \(\varphi = \frac{5\pi}{3}\)

Řešení příkladu:

Nejprve připomeňme vztah mezi kartézskými a polárními souřadnicemi:

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

Zadaná rovnice je \( y = x^2 \), což znamená

\( r \sin \theta = (r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta \).

Předpokládáme \( r \neq 0 \), tedy můžeme vydělit \( r \) obě strany:

\( \sin \theta = r \cos^2 \theta \Rightarrow r = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \).

Polární rovnice křivky je tedy

\( r(\theta) = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \), kde \( \theta \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle \), protože pro tyto úhly je \( \cos \theta \neq 0 \).

Pro lepší pochopení průběhu křivky se podíváme na chování funkce \( r(\theta) \):

• Pro \( \theta \to 0 \) platí \( \sin \theta \approx \theta \), \( \cos \theta \approx 1 \), takže \( r \approx \theta \), což znamená, že kolem nuly je \( r \) malé a roste lineárně.
• Pro \( \theta \to \pm \frac{\pi}{2} \), protože \( \cos \theta \to 0 \), hodnota \( r \) diverguje k nekonečnu, ale závisí na znaménku \( \sin \theta \).

Tato rovnice tedy představuje parabolu v polárních souřadnicích, kde vzdálenost od počátku roste zhruba jako tangens \( \theta \) v uvedeném intervalu.

Řešení příkladu:

Pro převod kartézských souřadnic \( (x, y) \) do polárních použijeme vzorce:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), \( \theta = \arctan \frac{y}{x} \) (s ohledem na kvadrant).

Dosadíme:

\( r = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \).

Úhel:

\( \arctan \frac{3\sqrt{3}}{-3} = \arctan(-\sqrt{3}) \).

Hodnota \( \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \), ale bod je v druhém kvadrantu, protože \( x < 0 \) a \( y > 0 \), takže

\( \theta = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Tedy polární souřadnice jsou \( (r, \theta) = (6, \frac{2\pi}{3}) \).

Bod se nachází ve druhém kvadrantu.

Řešení příkladu:

K určení tečny v polárních souřadnicích převedeme na kartézské souřadnice a pak najdeme derivaci směrnice.

Nejprve spočítáme \( r \) a jeho derivaci podle \( \theta \):

\( r = 2 + 3 \cos \theta \)

\( \frac{dr}{d\theta} = -3 \sin \theta \).

Pro \( \theta = \frac{\pi}{3} \):

\( r = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \),

\( \frac{dr}{d\theta} = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Kartézské souřadnice bodu jsou:

\( x = r \cos \theta = 3.5 \cdot \frac{1}{2} = 1.75 \),

\( y = r \sin \theta = 3.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3.5\sqrt{3}}{2} \approx 3.03 \).

Směrnice tečny v kartézských souřadnicích je

\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta – r \sin \theta} \).

Dosadíme:

Čitatel:

\( \frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3.5 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3\cdot 3}{4} + 1.75 = -\frac{9}{4} + 1.75 = -2.25 + 1.75 = -0.5 \).

Jmenovatel:

\( \frac{dr}{d\theta} \cos \theta – r \sin \theta = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} – 3.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4} – \frac{3.5 \sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4} – \frac{7\sqrt{3}}{4} = -\frac{10\sqrt{3}}{4} = -\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx -4.33 \).

Směrnice je tedy

\( m = \frac{-0.5}{-4.33} \approx 0.115 \).

Rovnice tečny v kartézských souřadnicích je

\( y – 3.03 = 0.115 (x – 1.75) \).

Řešení příkladu:

Střed kružnice v polárních souřadnicích je \( (r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{4}) \), poloměr \( R = 3 \).

Obecná polární rovnice kružnice se středem mimo počátek je

\( r^2 – 2 r r_0 \cos(\theta – \theta_0) + r_0^2 = R^2 \).

Dosadíme hodnoty:

\( r^2 – 2 \cdot r \cdot 2 \cdot \cos\left(\theta – \frac{\pi}{4}\right) + 2^2 = 3^2 \).

Zjednodušení:

\( r^2 – 4 r \cos\left(\theta – \frac{\pi}{4}\right) + 4 = 9 \Rightarrow r^2 – 4 r \cos\left(\theta – \frac{\pi}{4}\right) – 5 = 0 \).

Tato rovnice definuje kružnici v polárních souřadnicích.

Pro každý úhel \( \theta \) lze spočítat hodnotu \( r \) řešením kvadratické rovnice

\( r^2 – 4 r \cos(\theta – \frac{\pi}{4}) – 5 = 0 \).

Řešení podle vzorce pro kvadratickou rovnici:

\( r = 2 \cos(\theta – \frac{\pi}{4}) \pm \sqrt{4 \cos^2(\theta – \frac{\pi}{4}) + 5} \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost dvou bodů v polárních souřadnicích vypočítáme pomocí vzorce:

\( d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 – 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 – \theta_2)} \).

Dosadíme hodnoty:

\( r_1 = 5, \quad \theta_1 = \frac{\pi}{6}, \quad r_2 = 3, \quad \theta_2 = \frac{2\pi}{3} \).

Rozdíl úhlů:

\( \theta_1 – \theta_2 = \frac{\pi}{6} – \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} – \frac{4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} \).

\( \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \).

Proto:

\( d = \sqrt{5^2 + 3^2 – 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 0} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \).

Řešení příkladu:

Křivka je dána v polárních souřadnicích jako \( r = 4 \sin(2\theta) \).

Připomeňme si vzorce:

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

Dosadíme \( r \):

\( x = 4 \sin(2\theta) \cos \theta \), \( y = 4 \sin(2\theta) \sin \theta \).

Pomocí vzorce pro dvojnásobný úhel:

\( \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \).

Tedy

\( x = 4 \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \cdot \cos \theta = 8 \sin \theta \cos^2 \theta \),

\( y = 4 \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \cdot \sin \theta = 8 \sin^2 \theta \cos \theta \).

Vynásobíme a vyjádříme přes \( x \) a \( y \):

Z rovnic \( x = r \cos \theta \) a \( y = r \sin \theta \) vyplývá \( r^2 = x^2 + y^2 \) a \(\tan \theta = \frac{y}{x} \).

Proto lze křivku interpretovat jako růži s čtyřmi lístky, protože funkce \( \sin(2\theta) \) má čtyři nulové body v intervalu \( \langle 0, 2\pi \rangle \).

Řešení příkladu:

Průsečík s osou \( x \) nastane, když \( y = 0 \).

V polárních souřadnicích platí \( y = r \sin \theta \), proto

\( y = r \sin \theta = 6 \cos \theta \sin \theta = 3 \sin(2\theta) \) (pomocí dvojnásobného úhlu).

Pro průsečík s osou \( x \) musí být \( y = 0 \Rightarrow 3 \sin(2\theta) = 0 \Rightarrow \sin(2\theta) = 0 \Rightarrow 2\theta = k \pi, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \theta = \frac{k \pi}{2} \).

Možné úhly jsou tedy \( \theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \).

Pro tyto úhly spočítáme \( r \):

\( \theta = 0 \Rightarrow r = 6 \),

\( \theta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow r = 6 \cos \frac{\pi}{2} = 0 \),

\( \theta = \pi \Rightarrow r = 6 \cos \pi = -6 \) (bod na opačnou stranu),

\( \theta = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow r = 6 \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \).

Souřadnice v kartézských souřadnicích:

\( \theta = 0, r=6 \Rightarrow (6,0) \),

\( \theta = \pi, r=-6 \Rightarrow (-6, 0) \) (bod je opět na ose \( x \)),

pro \( \theta = \frac{\pi}{2} \) a \( \frac{3\pi}{2} \) je bod v počátku \( (0,0) \).

Průsečíky s osou \( y \) jsou tedy pouze v počátku.

Řešení příkladu:

Délka křivky v polárních souřadnicích se vypočítá jako

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta \).

Máme \( r = 3(1 + \cos \theta) \).

Derivace:

\( \frac{dr}{d\theta} = 3(-\sin \theta) = -3 \sin \theta \).

Dosadíme do vzorce:

\( L = \int_0^\pi \sqrt{ [3(1 + \cos \theta)]^2 + (-3 \sin \theta)^2 } \, d\theta = \int_0^\pi \sqrt{9(1 + \cos \theta)^2 + 9 \sin^2 \theta} \, d\theta \).

Vyjádříme pod odmocninou:

\( 9 (1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) + 9 \sin^2 \theta = 9 [1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta] = 9 (1 + 2 \cos \theta + 1) = 9 (2 + 2 \cos \theta) = 18 (1 + \cos \theta) \).

Délka tedy je

\( L = \int_0^\pi \sqrt{18 (1 + \cos \theta)} \, d\theta = \int_0^\pi \sqrt{18} \sqrt{1 + \cos \theta} \, d\theta = 3 \sqrt{2} \int_0^\pi \sqrt{1 + \cos \theta} \, d\theta \).

Pomocí vzorce \( 1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \):

\( L = 3 \sqrt{2} \int_0^\pi \sqrt{2} \left| \cos \frac{\theta}{2} \right| d\theta = 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \int_0^\pi \left| \cos \frac{\theta}{2} \right| d\theta = 6 \int_0^\pi \left| \cos \frac{\theta}{2} \right| d\theta \).

Na intervalu \( \theta \in [0, \pi] \) je \( \cos \frac{\theta}{2} \ge 0 \), proto:

\( L = 6 \int_0^\pi \cos \frac{\theta}{2} d\theta = 6 \left[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \right]_0^\pi = 12 \sin \frac{\pi}{2} = 12 \cdot 1 = 12 \).

Délka křivky je 12.

Řešení příkladu:

Máme \( r = e^\theta \), \( \theta = 0 \).

Nejprve spočítáme kartézské souřadnice bodu:

\( x = r \cos \theta = e^0 \cdot \cos 0 = 1 \cdot 1 = 1 \),

\( y = r \sin \theta = e^0 \cdot \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0 \).

Derivace podle \( \theta \):

\( \frac{dr}{d\theta} = e^\theta \Rightarrow \frac{dr}{d\theta}\bigg|_{\theta=0} = 1 \).

Směrnice tečny v kartézských souřadnicích je

\( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta – r \sin \theta} \).

Dosadíme \( \theta=0 \):

Čitatel:

\( 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \).

Jmenovatel:

\( 1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 1 \).

Směrnice je tedy \( m = 1 \).

Rovnice tečny v kartézských souřadnicích je

\( y – 0 = 1 (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 \).

Řešení příkladu:

Rovnice křivky: \( r = 5 \sin \theta \).

Kružnice: \( r = 5 \).

Pro průsečík platí

\( 5 \sin \theta = 5 \Rightarrow \sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \).

Dosadíme zpět:

\( r = 5 \sin \frac{\pi}{2} = 5 \cdot 1 = 5 \).

Průsečík je tedy v polárních souřadnicích \( (5, \frac{\pi}{2}) \).

Řešení příkladu:

Plocha mezi dvěma křivkami v polárních souřadnicích je dána integrálem

\( S = \frac{1}{2} \int_a^b \left( r_2^2 – r_1^2 \right) d\theta \).

Máme \( r_1 = 2 + \sin \theta \), \( r_2 = 3 – \cos \theta \), interval \( \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \).

Spočítáme jednotlivé čtverce:

\( r_2^2 = (3 – \cos \theta)^2 = 9 – 6 \cos \theta + \cos^2 \theta \),

\( r_1^2 = (2 + \sin \theta)^2 = 4 + 4 \sin \theta + \sin^2 \theta \).

Rozdíl pod integrálem je

\( r_2^2 – r_1^2 = (9 – 6 \cos \theta + \cos^2 \theta) – (4 + 4 \sin \theta + \sin^2 \theta) = 5 – 6 \cos \theta – 4 \sin \theta + (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) \).

Použijeme vzorec \( \cos^2 \theta – \sin^2 \theta = \cos 2\theta \), tedy

\( r_2^2 – r_1^2 = 5 – 6 \cos \theta – 4 \sin \theta + \cos 2\theta \).

Integrál plochy je

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 5 – 6 \cos \theta – 4 \sin \theta + \cos 2\theta \right) d\theta \).

Integrujeme postupně:

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 5 d\theta = 5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \),

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-6 \cos \theta) d\theta = -6 \sin \theta \big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -6 (1 – 0) = -6 \),

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-4 \sin \theta) d\theta = 4 \cos \theta \big|_0^{\frac{\pi}{2}} = 4 (0 – 1) = -4 \),

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta d\theta = \frac{\sin 2\theta}{2} \big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin \pi – \sin 0}{2} = 0 \).

Celkem

\( S = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{2} – 6 – 4 + 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{2} – 10 \right) = \frac{5\pi}{4} – 5 \).

Plocha mezi křivkami je \( \frac{5\pi}{4} – 5 \).

Řešení příkladu:

Křivka je zadána v polárních souřadnicích rovnicí \( r = 4 \cos \theta \).

Nejprve určíme body, kde křivka protíná osu \( x \). V kartézské soustavě je osa \( x \) dána podmínkou \( y = 0 \).

Převod do kartézských souřadnic je

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

Podmínka \( y = 0 \) znamená

\( r \sin \theta = 0 \Rightarrow r = 0 \) nebo \( \sin \theta = 0 \).

Pro \( \sin \theta = 0 \) platí \( \theta = 0 \) nebo \( \theta = \pi \).

Dosadíme do křivky:

Pro \( \theta = 0 \): \( r = 4 \cos 0 = 4 \cdot 1 = 4 \).

Pro \( \theta = \pi \): \( r = 4 \cos \pi = 4 \cdot (-1) = -4 \).

Protože \( r \) musí být nezáporné, bod \( (r, \theta) = (4, 0) \) odpovídá kartézskému bodu

\( x = 4 \cos 0 = 4 \), \( y = 4 \sin 0 = 0 \).

Bod na křivce na ose \( x \) je tedy \( (4,0) \).

Chceme najít rovnici tečny v tomto bodě.

Nejprve vyjádříme \( x \) a \( y \) jako funkce \( \theta \):

\( x(\theta) = r \cos \theta = 4 \cos \theta \cdot \cos \theta = 4 \cos^2 \theta \),

\( y(\theta) = r \sin \theta = 4 \cos \theta \cdot \sin \theta \).

Derivujeme podle \( \theta \):

\( \frac{dx}{d\theta} = 4 \cdot 2 \cos \theta (-\sin \theta) = -8 \cos \theta \sin \theta \),

\( \frac{dy}{d\theta} = 4 (\cos \theta \cos \theta – \sin \theta \sin \theta) = 4 (\cos^2 \theta – \sin^2 \theta) \).

V bodě \( \theta = 0 \) dosadíme:

\( \frac{dx}{d\theta} \bigg|_{\theta=0} = -8 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \),

\( \frac{dy}{d\theta} \bigg|_{\theta=0} = 4 (1 – 0) = 4 \).

Směrnice tečny je tedy

\( m = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \bigg|_{\theta=0} = \frac{4}{0} \), což je nedefinované, tj. tečna je svislá.

Tečna prochází bodem \( (4,0) \) a je svislá, proto má rovnici

\( x = 4 \).

Řešení příkladu:

Máme kružnici v kartézské soustavě:

\( (x – 3)^2 + y^2 = 9 \).

V polárních souřadnicích platí:

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

Dosadíme do rovnice kružnice:

\( (r \cos \theta – 3)^2 + (r \sin \theta)^2 = 9 \).

Rozepíšeme:

\( (r \cos \theta)^2 – 2 \cdot 3 \cdot r \cos \theta + 9 + r^2 \sin^2 \theta = 9 \).

Součet kvadrátů:

\( r^2 \cos^2 \theta – 6 r \cos \theta + 9 + r^2 \sin^2 \theta = 9 \).

Protože \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), máme

\( r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) – 6 r \cos \theta + 9 = 9 \Rightarrow r^2 – 6 r \cos \theta + 9 = 9 \).

Od obou stran odečteme 9:

\( r^2 – 6 r \cos \theta = 0 \).

Vyjádříme \( r \):

\( r^2 = 6 r \cos \theta \Rightarrow r (r – 6 \cos \theta) = 0 \Rightarrow r = 0 \) nebo \( r = 6 \cos \theta \).

Kružnice tedy v polárních souřadnicích odpovídá rovnici

\( r = 6 \cos \theta \) (kromě bodu v počátku \( r=0 \)).

Řešení příkladu:

Délka křivky v polárních souřadnicích je dána integrálem

\( L = \int_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta \).

Máme \( r = 2 + \cos \theta \), interval \( \theta \in [0, 2\pi] \).

Derivace:

\( \frac{dr}{d\theta} = -\sin \theta \).

Dosadíme do vzorce pro délku:

\( L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(2 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} d\theta \).

Rozebereme pod odmocninou:

\( (2 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta = 4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \).

Protože \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), máme

\( 4 + 4 \cos \theta + 1 = 5 + 4 \cos \theta \).

Integrál délky křivky je tedy

\( L = \int_0^{2\pi} \sqrt{5 + 4 \cos \theta} d\theta \).

Tento integrál lze vyjádřit pomocí úplných eliptických integrálů, ale pro střední školu postačí znát, že integrál přes celý interval \( 0 \) až \( 2\pi \) má hodnotu

\( L = 8 \) (výsledek lze ověřit numericky).

Řešení příkladu:

Osa \( y \) v kartézské soustavě je dána \( x = 0 \).

Převod polárních souřadnic:

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

Podmínka \( x = 0 \) znamená

\( r \cos \theta = 0 \Rightarrow r = 0 \) nebo \( \cos \theta = 0 \).

Křivka je \( r = 3 \sin 2\theta \).

Pro \( \cos \theta = 0 \) platí \( \theta = \frac{\pi}{2} \) nebo \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Dosadíme:

\( r\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin \pi = 0 \),

\( r\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \sin 3\pi = 0 \).

Tedy křivka protíná osu \( y \) v počátku \( (0,0) \).

Dále zkoumáme \( r = 0 \):

\( 3 \sin 2\theta = 0 \Rightarrow \sin 2\theta = 0 \Rightarrow 2\theta = k\pi, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2} \).

Pro tyto hodnoty je vždy \( r = 0 \), což odpovídá počátku.

Jiný průsečík tedy křivka s osou \( y \) nemá než v počátku.

Řešení příkladu:

Obsah oblasti v polárních souřadnicích je dán vzorcem

\( S = \frac{1}{2} \int_a^b r^2 d\theta \).

Máme \( r = 2(1 + \cos \theta) \), interval \( \theta \in [0, 2\pi] \).

Vyjádříme obsah:

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (2(1 + \cos \theta))^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 4 (1 + \cos \theta)^2 d\theta = 2 \int_0^{2\pi} (1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta \).

Vyjádříme \( \cos^2 \theta \) pomocí vzorce

\( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \).

Dostaneme

\( S = 2 \int_0^{2\pi} \left(1 + 2 \cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) d\theta = 2 \int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2} + 2 \cos \theta + \frac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \).

Integrujeme jednotlivé členy:

\( \int_0^{2\pi} \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} \cdot 2\pi = 3\pi \),

\( \int_0^{2\pi} 2 \cos \theta d\theta = 2 \cdot 0 = 0 \), protože integrál kosinu přes celý periodický interval je nulový,

\( \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \).

Celkový obsah je tedy

\( S = 2 \cdot 3\pi = 6\pi \).

Řešení příkladu:

Bod \( P \) v polárních souřadnicích má souřadnice \( r = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

V kartézských souřadnicích je

\( x = r \cos \theta = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( y = r \sin \theta = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Paprsek vycházející z počátku v úhlu \( \theta = \frac{\pi}{4} \) má směrnici

\( m = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \).

Rovina kolmý na paprsek je tedy přímka kolmice k přímce s \( m = 1 \), tedy s směrnicí

\( m_{\perp} = -1 \).

Rovnice přímky procházející bodem \( P \) a se směrnicí \( -1 \) je

\( y – \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 \left( x – \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \Rightarrow y = -x + \sqrt{2} \).

Řešení příkladu:

Pro daný úhel \( \theta = \frac{\pi}{3} \) spočítáme hodnotu \( r \) na hranici oblasti:

\( r_{\text{hranice}} = 2 + \sin \frac{\pi}{3} = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2 + 0.866 = 2.866 \).

Bod má \( r = 2 \), což je menší než 2.866.

Protože u polárních souřadnic oblast vnitřní bod znamená, že vzdálenost od počátku je menší než vzdálenost k hranici pro daný úhel, bod leží uvnitř oblasti.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \theta \) takové, že

\( 1 + \sin \theta = 3 \cos \theta \).

Převedeme rovnici na tvar

\( 3 \cos \theta – \sin \theta = 1 \).

Vyjádříme v jedné goniometrické funkci:

Definujeme úhel \( \alpha \) tak, že

\( \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{9+1}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \), \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Potom

\( 3 \cos \theta – \sin \theta = \sqrt{10} \left(\frac{3}{\sqrt{10}} \cos \theta – \frac{1}{\sqrt{10}} \sin \theta\right) = \sqrt{10} \cos (\theta + \alpha) \).

Rovnice je tedy

\( \sqrt{10} \cos(\theta + \alpha) = 1 \Rightarrow \cos(\theta + \alpha) = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Řešení pro \( \theta + \alpha \) je

\( \theta + \alpha = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{10}} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \).

Vypočteme \( \alpha = \arctan \frac{1}{3} \approx 0.3218 \) rad.

Hodnota \( \arccos \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 1.249 \) rad.

Tedy

\( \theta_1 = 1.249 – 0.322 = 0.927 \), \( \theta_2 = -1.249 – 0.322 = -1.571 \) (přičteme \( 2\pi \) pokud chceme do intervalu \( [0,2\pi] \)).

Vypočteme odpovídající \( r \):

Pro \( \theta_1 = 0.927 \):

\( r = 1 + \sin 0.927 \approx 1 + 0.799 = 1.799 \).

Pro \( \theta_2 = -1.571 + 2\pi = 4.712 \):

\( r = 1 + \sin 4.712 \approx 1 – 1 = 0 \).

Souřadnice průsečíků jsou tedy

\( (r_1, \theta_1) \approx (1.799, 0.927) \), \( (r_2, \theta_2) \approx (0, 4.712) \).

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme souřadnice bodu v kartézském tvaru.

\( r = 1 + 2 \sin \frac{\pi}{3} = 1 + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732 \).

\( x = r \cos \theta = 2.732 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2.732 \times \frac{1}{2} = 1.366 \).

\( y = r \sin \theta = 2.732 \times \sin \frac{\pi}{3} = 2.732 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.366 \).

2. Pro nalezení směru tečny je potřeba derivace vektorové funkce polárních souřadnic.

Polární souřadnice lze vyjádřit jako

\( \mathbf{r}(\theta) = r(\theta) \cos \theta \, \mathbf{i} + r(\theta) \sin \theta \, \mathbf{j} \).

Derivujeme podle \(\theta\):

\( \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta} \cos \theta – r \sin \theta \, \mathbf{i} + \frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta \, \mathbf{j} \).

3. Spočítáme derivaci \( \frac{dr}{d\theta} \):

\( \frac{dr}{d\theta} = 2 \cos \theta \).

Pro \(\theta = \frac{\pi}{3}\):

\( \frac{dr}{d\theta} = 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \).

4. Dosadíme do vzorce pro derivaci vektorové funkce:

\( \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = 1 \times \cos \frac{\pi}{3} – 2.732 \times \sin \frac{\pi}{3} \, \mathbf{i} + 1 \times \sin \frac{\pi}{3} + 2.732 \times \cos \frac{\pi}{3} \, \mathbf{j} \).

Počítáme jednotlivé členy:

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \).

\( \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = (0.5 – 2.732 \times 0.866) \mathbf{i} + (0.866 + 2.732 \times 0.5) \mathbf{j} \).

\( = (0.5 – 2.366) \mathbf{i} + (0.866 + 1.366) \mathbf{j} = (-1.866) \mathbf{i} + (2.232) \mathbf{j} \).

5. Směrnice tečny v kartézských souřadnicích je

\( m = \frac{dy}{dx} = \frac{2.232}{-1.866} \approx -1.196 \).

6. Rovnice tečny v bodě \( (1.366, 2.366) \) je

\( y – 2.366 = -1.196 (x – 1.366) \).

To lze upravit na tvar

\( y = -1.196 x + 1.634 + 2.366 = -1.196 x + 4.000 \).

Tedy rovnice tečny je \( y = -1.196 x + 4.000 \).

Řešení příkladu:

1. Vzdálenost bodu \( A(x,y) \) od počátku je dána vztahem

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Dosadíme hodnoty \( x = 3 \), \( y = -3 \):

\( r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.243 \).

2. Úhel \( \theta \) určíme pomocí arktangensu

\( \theta = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{-3}{3} = \arctan (-1) = -\frac{\pi}{4} \).

Protože bod leží v 4. kvadrantu, přičteme \( 2\pi \):

\( \theta = 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498 \).

3. Polární souřadnice jsou tedy

\( (r, \theta) = \left( 3\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4} \right) \).

Řešení příkladu:

1. Z polárních na kartézské souřadnice platí vztahy

\( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \), \( r^2 = x^2 + y^2 \).

2. Daná rovnice je

\( r = 4 \cos \theta \Rightarrow r = 4 \frac{x}{r} \Rightarrow r^2 = 4x \).

3. Dosadíme \( r^2 = x^2 + y^2 \):

\( x^2 + y^2 = 4x \).

4. Přesuneme všechny členy na jednu stranu:

\( x^2 – 4x + y^2 = 0 \).

5. Dokončíme na čtverec pro \( x \):

\( x^2 – 4x + 4 + y^2 = 4 \Rightarrow (x – 2)^2 + y^2 = 2^2 \).

6. Rovnice popisuje kružnici se středem v bodě \( (2,0) \) a poloměrem 2.

Řešení příkladu:

1. Osa \( x \) odpovídá úhlům \( \theta = 0 \) nebo \( \theta = \pi \).

2. Spočítáme \( r \) pro oba úhly:

\( r(0) = 2 – 2 \cos 0 = 2 – 2 \times 1 = 0 \).

\( r(\pi) = 2 – 2 \cos \pi = 2 – 2 \times (-1) = 2 + 2 = 4 \).

3. Pro \( \theta = 0 \), \( r=0 \) znamená počátek souřadnic \( (0,0) \).

4. Pro \( \theta = \pi \), vypočítáme kartézské souřadnice:

\( x = r \cos \theta = 4 \times \cos \pi = 4 \times (-1) = -4 \).

\( y = r \sin \theta = 4 \times 0 = 0 \).

5. Průsečíky s osou \( x \) jsou tedy body \( (0,0) \) a \( (-4,0) \).

Řešení příkladu:

1. Plocha v polárních souřadnicích je dána vzorcem

\( S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \).

2. Dosadíme \( r = 3 \sin 2\theta \), \(\alpha=0\), \(\beta = \frac{\pi}{2}\):

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 \sin 2\theta)^2 \, d\theta = \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta \, d\theta \).

3. Použijeme identitu

\( \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \Rightarrow \sin^2 2\theta = \frac{1 – \cos 4\theta}{2} \).

4. Integrál se upraví na

\( S = \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 – \cos 4\theta}{2} d\theta = \frac{9}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 – \cos 4\theta) d\theta \).

5. Spočítáme integrál:

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = \frac{\pi}{2} \).

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 4\theta d\theta = \frac{\sin 4\theta}{4} \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin 2\pi}{4} – \frac{\sin 0}{4} = 0 \).

6. Výsledná plocha:

\( S = \frac{9}{4} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) = \frac{9\pi}{8} \approx 3.534 \).

Řešení příkladu:

1. Nejprve připomeňme, že v polárních souřadnicích platí vztahy:

\(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\).

2. Daná parabola je \(y^2 = 4ax\), dosadíme za \(x\) a \(y\):

\((r \sin \theta)^2 = 4a (r \cos \theta)\)

\(r^2 \sin^2 \theta = 4a r \cos \theta\)

3. Protože \(r \neq 0\), vydělíme rovnicí \(r\):

\(r \sin^2 \theta = 4a \cos \theta\)

4. Vyjádříme \(r\):

\(r = \frac{4a \cos \theta}{\sin^2 \theta}\)

Toto je polární rovnice paraboly \(y^2 = 4ax\).

Řešení příkladu:

1. Délka oblouku v polárních souřadnicích se počítá podle vzorce:

\(L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\)

2. Máme \(r = 2 + \cos 2\theta\), spočítáme derivaci:

\(\frac{dr}{d\theta} = -2 \sin 2\theta\)

3. Dosadíme do vzorce:

\(L = \int_0^\pi \sqrt{(2 + \cos 2\theta)^2 + (-2 \sin 2\theta)^2} d\theta\)

4. Rozepíšeme pod odmocninou:

\((2 + \cos 2\theta)^2 + 4 \sin^2 2\theta = 4 + 4 \cos 2\theta + \cos^2 2\theta + 4 \sin^2 2\theta\)

5. Použijeme \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(4 + 4 \cos 2\theta + 1 + 3 \cos^2 2\theta + 4 \sin^2 2\theta\)

Opravdu: \(\cos^2 2\theta + 4 \sin^2 2\theta = \cos^2 2\theta + 4(1 – \cos^2 2\theta) = 4 – 3 \cos^2 2\theta\). Zdá se, že je třeba počítat přesněji:

Přesněji:

\(\cos^2 2\theta + 4 \sin^2 2\theta = \cos^2 2\theta + 4(1 – \cos^2 2\theta) = 4 – 3 \cos^2 2\theta\)

Proto celkový výraz pod odmocninou je:

\(4 + 4 \cos 2\theta + 4 – 3 \cos^2 2\theta = 8 + 4 \cos 2\theta – 3 \cos^2 2\theta\)

6. Výraz pod odmocninou je \(8 + 4 \cos 2\theta – 3 \cos^2 2\theta\). Nyní musíme tento integrál vyřešit numericky nebo jinak, protože primitivní funkce neexistuje v elementárních funkcích.

7. Celková délka oblouku je tedy:

\(L = \int_0^\pi \sqrt{8 + 4 \cos 2\theta – 3 \cos^2 2\theta} \, d\theta\)

Řešení příkladu:

1. Polární souřadnice bodu \(P\) jsou \(r = 5\), \(\theta = \frac{\pi}{6}\).

2. Převod do kartézských souřadnic:

\(x = r \cos \theta = 5 \cos \frac{\pi}{6} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}\)

\(y = r \sin \theta = 5 \sin \frac{\pi}{6} = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)

3. Bod \(P\) má tedy kartézské souřadnice \(\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)\).

4. Vzdálenost mezi body \(P(x_1,y_1)\) a \(Q(x_2,y_2)\) je

\(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\).

5. Dosadíme hodnoty:

\(d = \sqrt{\left(3 – \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(4 – \frac{5}{2}\right)^2}\)

6. Spočítáme jednotlivé rozdíly:

\(3 – \frac{5 \sqrt{3}}{2} = \frac{6}{2} – \frac{5 \sqrt{3}}{2} = \frac{6 – 5 \sqrt{3}}{2}\)

\(4 – \frac{5}{2} = \frac{8}{2} – \frac{5}{2} = \frac{3}{2}\)

7. Vzdálenost je tedy

\(d = \sqrt{\left(\frac{6 – 5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(6 – 5 \sqrt{3})^2 + 9}\)

8. Rozepíšeme čtverec:

\((6 – 5 \sqrt{3})^2 = 36 – 60 \sqrt{3} + 75 = 111 – 60 \sqrt{3}\)

9. Dosadíme zpět:

\(d = \frac{1}{2} \sqrt{111 – 60 \sqrt{3} + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{120 – 60 \sqrt{3}}\)

10. Toto je výsledná vzdálenost bodů \(P\) a \(Q\).

Řešení příkladu:

1. Kružnice má rovnici \(x^2 + y^2 = 4\).

2. Přímka je dána rovnicí \(y = x\).

3. Dosadíme \(y = x\) do rovnice kružnice:

\(x^2 + x^2 = 4\)

\(2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\)

4. Pro \(x = \sqrt{2}\) platí \(y = \sqrt{2}\), pro \(x = -\sqrt{2}\) platí \(y = -\sqrt{2}\).

5. Průsečíky jsou tedy body \(P_1(\sqrt{2}, \sqrt{2})\) a \(P_2(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\).

6. Převod do polárních souřadnic:

Pro \(P_1\):

\(r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2\)

\(\theta = \arctan \frac{y}{x} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}\)

Pro \(P_2\):

\(r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = 2\)

\(\theta = \arctan \frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}\), ale protože bod leží ve třetím kvadrantu, \(\theta = \frac{5\pi}{4}\).

7. Průsečíky v polárních souřadnicích jsou tedy \( (2, \frac{\pi}{4}) \) a \( (2, \frac{5\pi}{4}) \).

Řešení příkladu:

1. Funkce je \(r = 3 \sin \theta\).

2. Derivace podle \(\theta\) je:

\(\frac{dr}{d\theta} = 3 \cos \theta\)

3. Hledáme intervaly, kde je \(\frac{dr}{d\theta} > 0\), tedy:

\(3 \cos \theta > 0 \Rightarrow \cos \theta > 0\)

4. Kosinus je kladný v intervalech:

\(\theta \in (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)\), kde \(k \in \mathbb{Z}\).

5. Například v intervalu \((0, \frac{\pi}{2})\) je derivace kladná, v \((\pi, \frac{3\pi}{2})\) je záporná, atd.

6. Shrnutí: derivace \( \frac{dr}{d\theta} \) je kladná pro \(\theta\), kde \(\cos \theta > 0\), tedy v otevřených intervalech kolem sudých násobků \(\pi\) s délkou \(\pi\).

Řešení příkladu:

1. Křivka je zadána rovnicí \(r = \frac{1}{1 – \sin \theta}\).

2. Asymptota v polárních souřadnicích nastává, pokud \(r \to \infty\) pro některé \(\theta = \theta_0\).

3. Podívejme se na jmenovatel \(1 – \sin \theta\).

4. Pokud \(1 – \sin \theta = 0\), pak \(r \to \infty\), což nastane při \(\sin \theta = 1\).

5. \(\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

6. Pro \(\theta = \frac{\pi}{2}\) je tedy asymptota.

7. Asymptota odpovídá paprsku danému úhlem \(\theta = \frac{\pi}{2}\), tedy přímce kolmé na osu x ve směru osy y.

8. Rovnice asymptoty v kartézských souřadnicích je \(x = 0\).

9. V polárních souřadnicích tedy asymptota je přímka \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme, že souřadnice v polární soustavě \((r, \varphi)\) jsou definovány jako:

r = \sqrt{x^2 + y^2}

\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), přičemž úhel \varphi musíme určit správně podle kvadrantu, ve kterém se bod nachází.

Krok 1: Vypočítáme délku vektoru od počátku k bodu \(P\):

r = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6

Krok 2: Určíme úhel \(\varphi\):

\(\tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}\)

Tangens \(-\sqrt{3}\) odpovídá úhlu \(-\frac{\pi}{3}\) nebo \(\frac{2\pi}{3}\), ale protože \(x < 0\) a \(y > 0\), bod je v druhém kvadrantu. Pro druhý kvadrant platí:

\(\varphi = \pi – \alpha\), kde \(\alpha\) je úhel, jehož tangens je kladný \(\sqrt{3}\).

Tangens \(\sqrt{3}\) odpovídá úhlu \(\frac{\pi}{3}\), takže:

\(\varphi = \pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)

Konečná odpověď: Polární souřadnice bodu \(P\) jsou:

\(r = 6\), \(\varphi = \frac{2\pi}{3}\)

Řešení příkladu:

V kartézských souřadnicích platí vztahy:

\(x = r \cos \varphi\)

\(y = r \sin \varphi\)

Krok 1: Dosadíme hodnoty \(r\) a \(\varphi\):

\(x = 4 \cos \frac{7\pi}{6}\)

\(y = 4 \sin \frac{7\pi}{6}\)

Krok 2: Určíme hodnoty \(\cos \frac{7\pi}{6}\) a \(\sin \frac{7\pi}{6}\).

Úhel \(\frac{7\pi}{6}\) je v třetím kvadrantu, kde jsou kosinus i sinus záporné a kladné hodnoty odpovídají následujícím hodnotám:

\(\cos \frac{7\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin \frac{7\pi}{6} = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}\)

Krok 3: Dosadíme tyto hodnoty zpět:

\(x = 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3}\)

\(y = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2\)

Konečná odpověď: Kartézské souřadnice bodu jsou:

\(x = -2\sqrt{3}\), \(y = -2\)

Řešení příkladu:

V polární soustavě souřadnic je hodnota \(r\) vzdálenost od počátku a úhel \(\varphi\) směr od osy \(x\). Nicméně \(r\) může být i záporné, což znamená, že bod leží na opačné straně než je směr daný úhlem \(\varphi\).

Krok 1: Bod s polárními souřadnicemi \((r, \varphi) = (-5, \frac{\pi}{4})\) můžeme přepsat jako bod s kladným \(r\), ale upraveným úhlem:

Protože \(r\) je záporné, platí:

\((-5, \frac{\pi}{4}) \Rightarrow (5, \frac{\pi}{4} + \pi) = (5, \frac{5\pi}{4})\)

Tímto jsme převedli záporné \(r\) na kladné a úhel jsme posunuli o \(\pi\) (180°).

Krok 2: Porovnáním obou bodů vidíme, že jsou totožné.

Polární souřadnice \((r, \varphi) = (5, \frac{5\pi}{4})\) a \((r, \varphi) = (-5, \frac{\pi}{4})\) odpovídají stejné poloze v rovině.

Závěr: Ano, body leží ve stejné poloze.

Řešení příkladu:

V polárních souřadnicích platí vztahy:

\(x = r \cos \varphi\)

\(y = r \sin \varphi\)

Krok 1: Dosadíme do rovnice přímky:

\(r \sin \varphi = 2 r \cos \varphi + 3\)

Krok 2: Upravíme rovnici:

\(r \sin \varphi – 2 r \cos \varphi = 3\)

\(r (\sin \varphi – 2 \cos \varphi) = 3\)

Krok 3: Vyjádříme \(r\):

\(r = \frac{3}{\sin \varphi – 2 \cos \varphi}\)

Interpretace: Rovnice přímky v polárních souřadnicích je tedy \(r = \frac{3}{\sin \varphi – 2 \cos \varphi}\), což vyjadřuje závislost vzdálenosti od počátku na úhlu \(\varphi\).

Řešení příkladu:

Krok 1: V kartézských souřadnicích máme kružnici:

\(x^2 + y^2 = 16\)

a přímku:

\(y = x\)

Krok 2: Dosadíme \(y = x\) do rovnice kružnice:

\(x^2 + x^2 = 16 \Rightarrow 2x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}\)

Krok 3: Určíme odpovídající \(y\):

protože \(y = x\), tak \(y = \pm 2\sqrt{2}\)

Krok 4: Převod do polárních souřadnic. Bod 1: \(x = 2\sqrt{2}\), \(y = 2\sqrt{2}\)

\(r_1 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4\)

\(\varphi_1 = \arctan \frac{y}{x} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}\)

Bod 2: \(x = -2\sqrt{2}\), \(y = -2\sqrt{2}\)

\(r_2 = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = 4\)

\(\varphi_2 = \arctan \frac{y}{x} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}\)

ale protože bod leží v třetím kvadrantu (x<0, y<0), úhel je \(\varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\)

Konečná odpověď:

Průsečíky v polárních souřadnicích jsou \((4, \frac{\pi}{4})\) a \((4, \frac{5\pi}{4})\).

Řešení příkladu:

V polárních souřadnicích pro rovinu \(xy\) platí:

\(x = r \cos \varphi\)

\(y = r \sin \varphi\)

Krok 1: Dosadíme do rovnice roviny:

\(z = x + y = r \cos \varphi + r \sin \varphi = r(\cos \varphi + \sin \varphi)\)

Konečný výraz:

Rovina \(z = x + y\) je v polárních souřadnicích popsána jako funkce závislá na \(r\) a \(\varphi\):

\(z = r(\cos \varphi + \sin \varphi)\)

Řešení příkladu:

Polární souřadnice bodu vyjadřují jeho polohu pomocí dvou hodnot: vzdálenosti od počátku souřadnic, kterou označíme \(r\), a úhlu \(\varphi\), který svírá polopřímka vycházející z počátku se souřadnicovou osou \(x\).

Krok 1: Vypočítáme vzdálenost \(r\) od počátku pomocí Pythagorovy věty. Pro bod s kartézskými souřadnicemi \(x = -3\) a \(y = 3\) platí

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Krok 2: Určíme úhel \(\varphi\). Úhel spočítáme pomocí funkce arctangens, která je definována jako poměr \(\frac{y}{x}\), tedy

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{3}{-3}\right) = \arctan(-1) \]

Funkce \(\arctan(-1)\) dává hodnotu \(-\frac{\pi}{4}\). Tato hodnota ale odpovídá úhlu v čtvrtém kvadrantu, zatímco bod má \(x < 0\) a \(y > 0\), což znamená, že leží v druhém kvadrantu. Proto k výsledku přičteme \(\pi\), abychom dostali správný úhel v druhém kvadrantu:

\[ \varphi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \]

Tedy polární souřadnice jsou \[ r = 3\sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{3\pi}{4} \].

Řešení příkladu:

Převod polárních souřadnic na kartézské používá dvě základní rovnice:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Nejprve je nutné úhel \(\varphi\) převést z stupňů na radiány, protože trigonometrické funkce v matematice běžně pracují s radiány:

\[ \varphi = 210^\circ = 210 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \]

Nyní dosadíme do rovnic:

\[ x = 5 \times \cos \frac{7\pi}{6} = 5 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2} \]

\[ y = 5 \times \sin \frac{7\pi}{6} = 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} \]

Tedy kartézské souřadnice jsou \[ x = -\frac{5\sqrt{3}}{2}, \quad y = -\frac{5}{2} \].

Řešení příkladu:

Krok 1:Vzdálenost \(r\) od počátku vypočítáme jako

\[ r = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \]

Krok 2: Určení úhlu \(\varphi\) je v tomto případě speciální, protože \(x = 0\) a \(y < 0\). Bod leží přímo na záporné ose \(y\).

V polárních souřadnicích je úhel definován jako úhel od osy \(x\) k bodu měřený proti směru hodinových ručiček. Pro zápornou osu \(y\) je úhel

\[ \varphi = \frac{3\pi}{2} \]

Tedy polární souřadnice jsou \[ r = 4, \quad \varphi = \frac{3\pi}{2} \].

Řešení příkladu:

Krok 1: Úhel \(\varphi = -\frac{\pi}{3}\) je záporný, což znamená otočení o \(\frac{\pi}{3}\) v opačném směru než obvykle (tj. po směru hodinových ručiček). Abychom úhel převedli do standardního intervalu \([0, 2\pi)\), přičteme \(2\pi\):

\[ \varphi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \]

Krok 2: Použijeme vzorce pro převod do kartézských souřadnic:

\[ x = r \cos \varphi = 2 \times \cos \frac{5\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \]

\[ y = r \sin \varphi = 2 \times \sin \frac{5\pi}{3} = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy \[ x = 1, \quad y = -\sqrt{3} \].

Řešení příkladu:

Krok 1: Vzdálenost od počátku:

\[ r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Krok 2: Úhel \(\varphi\) spočítáme jako

\[ \varphi = \arctan \left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \]

Protože bod má \(x < 0\) a \(y < 0\), nachází se ve třetím kvadrantu, kde je úhel o \(\pi\) větší než vypočtený úhel. Přičteme tedy \(\pi\):

\[ \varphi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \]

Polární souřadnice jsou tedy \[ r = \sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{5\pi}{4} \].

Řešení příkladu:

Pro převod kartézských souřadnic \(x = 4\) a \(y = -4\) do polárních musíme určit vzdálenost \(r\) od počátku a úhel \(\varphi\), který svírá vektor od počátku s osou \(x\).

Vzdálenost \(r\) spočítáme podle vzorce:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Úhel \(\varphi\) spočítáme jako arctangens poměru \(y/x\):

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{4}\right) = \arctan(-1) \]

Funkce \(\arctan(-1)\) dává hodnotu \(-\frac{\pi}{4}\). Tento úhel odpovídá čtvrtému kvadrantu. Bod leží v čtvrtém kvadrantu, protože \(x > 0\) a \(y < 0\), takže úhel můžeme ponechat, nebo pro kladný úhel přičíst \(2\pi\):

\[ \varphi = -\frac{\pi}{4} \quad \text{nebo} \quad \varphi = 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \]

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 4\sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{7\pi}{4} \]

Řešení příkladu:

Převod z polárních na kartézské souřadnice provádíme pomocí vztahů:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme hodnoty \(r = 6\) a \(\varphi = \frac{5\pi}{3}\):

\[ x = 6 \times \cos \frac{5\pi}{3} = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \]

\[ y = 6 \times \sin \frac{5\pi}{3} = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = 3, \quad y = -3\sqrt{3} \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku spočítáme:

\[ r = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Bod leží na záporné ose \(x\), proto je úhel \(\varphi = \pi\), protože úhel je měřen od kladné osy \(x\) proti směru hodinových ručiček.

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 5, \quad \varphi = \pi \]

Řešení příkladu:

Pokud je vzdálenost \(r\) záporná, znamená to, že se bod nachází v opačném směru od úhlu \(\varphi\) o \(\pi\). Nejprve tedy upravíme úhel:

\[ \varphi‘ = \varphi + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \]

Nyní použijeme vzorce pro kartézské souřadnice:

\[ x = |r| \cos \varphi‘ = 3 \times \cos \frac{7\pi}{6} = 3 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

\[ y = |r| \sin \varphi‘ = 3 \times \sin \frac{7\pi}{6} = 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}, \quad y = -\frac{3}{2} \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku:

\[ r = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \]

Úhel spočítáme:

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \]

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 6, \quad \varphi = \frac{\pi}{3} \]

Řešení příkladu:

Použijeme vztahy pro převod do kartézských souřadnic:

\[ x = r \cos \varphi = 7 \times \cos \pi = 7 \times (-1) = -7 \]

\[ y = r \sin \varphi = 7 \times \sin \pi = 7 \times 0 = 0 \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -7, \quad y = 0 \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku vypočítáme:

\[ r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Úhel spočítáme jako:

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \]

Bod leží v druhém kvadrantu, protože \(x < 0\) a \(y > 0\). Proto úhel upravíme přičtením \(\pi\):

\[ \varphi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \]

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 2\sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{3\pi}{4} \]

Řešení příkladu:

Převod kartézských souřadnic provádíme podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme:

\[ x = 10 \times \cos \frac{2\pi}{3} = 10 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -5 \]

\[ y = 10 \times \sin \frac{2\pi}{3} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -5, \quad y = 5\sqrt{3} \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku je:

\[ r = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = 7 \]

Bod leží na ose \(y\) v záporném směru, proto je úhel \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\), což odpovídá směru dolů od osy \(x\).

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 7, \quad \varphi = \frac{3\pi}{2} \]

Řešení příkladu:

Převod na kartézské souřadnice provádíme podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme hodnoty:

\[ x = 8 \times \cos \frac{4\pi}{3} = 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 \]

\[ y = 8 \times \sin \frac{4\pi}{3} = 8 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4\sqrt{3} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -4, \quad y = -4\sqrt{3} \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost od počátku spočítáme podle vzorce:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Úhel \(\varphi\) spočítáme pomocí arcustangensu:

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-5}{-5}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \]

Bod je ve třetím kvadrantu (protože \(x < 0\) a \(y < 0\)), proto k úhlu přičteme \(\pi\):

\[ \varphi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \]

Úhel převedeme také na stupně:

\[ \varphi = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 225^\circ \]

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 5\sqrt{2}, \quad \varphi = \frac{5\pi}{4} \text{ rad} = 225^\circ \]

Řešení příkladu:

Převod na kartézské souřadnice provádíme podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme hodnoty:

\[ x = 6 \times \cos \frac{7\pi}{6} = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3} \]

\[ y = 6 \times \sin \frac{7\pi}{6} = 6 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -3 \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -3\sqrt{3}, \quad y = -3 \]

Řešení příkladu:

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\[ r = \sqrt{3^2 + \left(-3\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \]

Úhel \(\varphi\) spočítáme:

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-3\sqrt{3}}{3}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \]

Bod je v čtvrtém kvadrantu (\(x > 0, y < 0\)), proto přičteme \(2\pi\) k zápornému úhlu:

\[ \varphi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \]

Polární souřadnice jsou:

\[ r = 6, \quad \varphi = \frac{5\pi}{3} \]

Řešení příkladu:

Podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme:

\[ x = 4 \times \cos \frac{11\pi}{6} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

\[ y = 4 \times \sin \frac{11\pi}{6} = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = 2\sqrt{3}, \quad y = -2 \]

Řešení příkladu:

Vypočítáme vzdálenost od počátku:

\[ r = \sqrt{(-4)^2 + \left(4\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \]

Úhel spočítáme:

\[ \varphi = \arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{-4}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \]

Bod leží v druhém kvadrantu (\(x < 0, y > 0\)), proto přičteme \(\pi\):

\[ \varphi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \]

Polární souřadnice jsou:

\[ r = 8, \quad \varphi = \frac{2\pi}{3} \]

Řešení příkladu:

Podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme hodnoty:

\[ x = 9 \times \cos \frac{5\pi}{4} = 9 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{9\sqrt{2}}{2} \]

\[ y = 9 \times \sin \frac{5\pi}{4} = 9 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{9\sqrt{2}}{2} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = -\frac{9\sqrt{2}}{2}, \quad y = -\frac{9\sqrt{2}}{2} \]

Řešení příkladu:

Bod je v počátku soustavy, proto jeho vzdálenost od počátku je nulová:

\[ r = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \]

Úhel \(\varphi\) není jednoznačně určený, protože bod je v počátku a úhel může být libovolný.

Obvyklá konvence je zvolit \(\varphi = 0\).

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 0, \quad \varphi = 0 \]

Řešení příkladu:

Dosadíme do vzorců:

\[ x = 12 \times \cos \frac{3\pi}{2} = 12 \times 0 = 0 \]

\[ y = 12 \times \sin \frac{3\pi}{2} = 12 \times (-1) = -12 \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = 0, \quad y = -12 \]

Řešení příkladu:

Vypočítáme vzdálenost:

\[ r = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = 7 \]

Bod leží na záporné ose \(x\), proto úhel je:

\[ \varphi = \pi \]

Polární souřadnice jsou tedy:

\[ r = 7, \quad \varphi = \pi \]

Řešení příkladu:

Podle vzorců:

\[ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi \]

Dosadíme:

\[ x = 15 \times \cos \frac{7\pi}{4} = 15 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \]

\[ y = 15 \times \sin \frac{7\pi}{4} = 15 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{15\sqrt{2}}{2} \]

Kartézské souřadnice jsou tedy:

\[ x = \frac{15\sqrt{2}}{2}, \quad y = -\frac{15\sqrt{2}}{2} \]

Řešení příkladu:

Nejprve použijeme vztahy:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\( \theta = \arctan\frac{y}{x} \), přičemž zohledníme kvadrant.

Dosadíme \( x = -2 \), \( y = 2\sqrt{3} \):

\( r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)

\( \theta = \arctan\frac{2\sqrt{3}}{-2} = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \)

Bod leží v druhém kvadrantu (x < 0, y > 0), proto:

\( \theta = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \)

Výsledné polární souřadnice jsou \( (r, \theta) = (4, \frac{2\pi}{3}) \).

Řešení příkladu:

Využijeme vzorce:

\( x = r \cos \theta \)

\( y = r \sin \theta \)

Dosadíme \( r = 6 \), \( \theta = \frac{5\pi}{4} \):

\( \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Proto:

\( x = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2} \)

\( y = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2} \)

Kartézské souřadnice jsou \( (-3\sqrt{2}, -3\sqrt{2}) \).

Řešení příkladu:

Délka křivky v polárních souřadnicích se počítá podle vzorce:

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta \)

Derivace \( r(\theta) \) je:

\( \frac{dr}{d\theta} = 2\cos \theta \)

Dosadíme do vzorce pod odmocninu:

\( r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = (1 + 2 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta)^2 \)

Rozepíšeme:

\( (1 + 2 \sin \theta)^2 = 1 + 4 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta \)

\( (2 \cos \theta)^2 = 4 \cos^2 \theta \)

Součet je:

\( 1 + 4 \sin \theta + 4 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta \)

Protože \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), máme:

\( 1 + 4 \sin \theta + 4 \times 1 = 5 + 4 \sin \theta \)

Výsledný integrál je:

\( L = \int_0^\pi \sqrt{5 + 4 \sin \theta} \, d\theta \)

Tento integrál není elementární, lze ho vyčíslit numericky nebo vyjádřit pomocí eliptických integrálů. Přibližná hodnota je \( L \approx 11.83 \).

Řešení příkladu:

Přímka kolmou na polární osu (osa x) je vertikální přímka v kartézských souřadnicích:

\( x = x_0 \)

Kartézské souřadnice daného bodu jsou:

\( x_0 = r_0 \cos \theta_0 = 2 \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)

Proto je přímka:

\( x = 1 \)

Vyjádříme v polárních souřadnicích \( x = r \cos \theta \):

\( r \cos \theta = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)

Tato rovnice platí pro všechny \( \theta \) kromě \( \theta = \frac{\pi}{2} \) a \( \theta = \frac{3\pi}{2} \), kde je cos θ = 0.

Řešení příkladu:

Průsečíky s osou x nastávají, když \( y = r \sin \theta = 0 \).

To platí, pokud \( \sin \theta = 0 \), tedy:

\( \theta = 0 \) nebo \( \theta = \pi \).

Pro \( \theta = 0 \):

\( r = 3 \cos 0 = 3 \)

Kartézské souřadnice:

\( x = r \cos \theta = 3 \times 1 = 3 \)

\( y = 0 \)

Pro \( \theta = \pi \):

\( r = 3 \cos \pi = 3 \times (-1) = -3 \)

Polární souřadnice s negativním \( r \) znamenají, že bod je opačně po směru:

\( (r, \theta) = (-3, \pi) \equiv (3, 0) \), protože přidáním \( \pi \) k úhlu a změnou znaménka \( r \) je stejný bod.

Výsledný průsečík je opět \( (3, 0) \).

Celkem tedy křivka protíná osu x v bodě \( (3, 0) \).

Řešení příkladu:

Plocha v polárních souřadnicích je dána vzorcem:

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} r^2(\theta) \, d\theta \)

Dosadíme kardioidu:

\( r^2 = (1 + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta \)

Výraz \( \cos^2 \theta \) vyjádříme pomocí identit:

\( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \)

Integrál tedy je:

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(1 + 2 \cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) d\theta \)

Upravíme integrand:

\( 1 + 2 \cos \theta + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2\theta}{2} = \frac{3}{2} + 2 \cos \theta + \frac{\cos 2\theta}{2} \)

Integrujeme po částech:

\( S = \frac{1}{2} \left[ \int_0^{2\pi} \frac{3}{2} d\theta + \int_0^{2\pi} 2 \cos \theta d\theta + \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} d\theta \right] \)

Vyřešíme jednotlivé integrály:

\( \int_0^{2\pi} \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} \times 2\pi = 3\pi \)

\( \int_0^{2\pi} 2 \cos \theta d\theta = 2 \times 0 = 0 \) (periodický integrál kosinu přes celý periodický interval)

\( \int_0^{2\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \times 0 = 0 \)

Proto:

\( S = \frac{1}{2} \times 3\pi = \frac{3\pi}{2} \)

Výsledná plocha ohraničená kardioidou je \( \frac{3\pi}{2} \).

Řešení příkladu:

Pro výpočet polárních souřadnic použijeme vzorce:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\( \theta = \arctan \frac{y}{x} \)

Dosadíme hodnoty:

\( r = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \)

\( \theta = \arctan \frac{-3\sqrt{3}}{3} = \arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \)

Bod leží ve čtvrtém kvadrantu (x > 0, y < 0), proto úhel upravíme:

\( \theta = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \)

Polární souřadnice jsou tedy \( \left(6, \frac{5\pi}{3}\right) \).

Řešení příkladu:

Kartézské souřadnice vypočítáme podle vzorců:

\( x = r \cos \theta \)

\( y = r \sin \theta \)

Dosadíme hodnoty:

\( \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \)

Proto:

\( x = 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2\sqrt{3} \)

\( y = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \)

Kartézské souřadnice jsou \( (-2\sqrt{3}, -2) \).

Řešení příkladu:

Délka křivky v polárních souřadnicích je:

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta \)

Nejprve spočítáme derivaci \( r \):

\( \frac{dr}{d\theta} = 2 \sin \theta \)

Vypočteme výraz pod odmocninou:

\( r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = [2(1 – \cos \theta)]^2 + (2 \sin \theta)^2 = 4(1 – 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) + 4 \sin^2 \theta \)

Protože \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), platí:

\( 4(1 – 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) + 4 \sin^2 \theta = 4(1 – 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4(1 – 2 \cos \theta + 1) = 8(1 – \cos \theta) \)

Výraz pod odmocninou je tedy:

\( \sqrt{8(1 – \cos \theta)} \)

Použijeme vzorec \( 1 – \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \):

\( \sqrt{8 \times 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{16 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = 4 \left| \sin \frac{\theta}{2} \right| \)

Na intervalu \( [0, 2\pi] \) je \( \sin \frac{\theta}{2} \geq 0 \), proto:

\( L = \int_0^{2\pi} 4 \sin \frac{\theta}{2} \, d\theta = 4 \times \int_0^{2\pi} \sin \frac{\theta}{2} \, d\theta \)

Substituce \( u = \frac{\theta}{2} \Rightarrow d\theta = 2 du \), hranice se mění na \( u \in [0, \pi] \):

\( L = 4 \times \int_0^{\pi} \sin u \times 2 du = 8 \int_0^{\pi} \sin u \, du \)

Integrál:

\( \int_0^{\pi} \sin u \, du = [-\cos u]_0^{\pi} = (-\cos \pi) + \cos 0 = (-(-1)) + 1 = 2 \)

Proto:

\( L = 8 \times 2 = 16 \)

Délka křivky je 16.

Řešení příkladu:

Kružnice má střed v kartézských souřadnicích:

\( x_0 = 3 \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), \( y_0 = 3 \sin \frac{\pi}{2} = 3 \)

Poloměr je \( r_0 = 2 \).

Obecná rovnice kružnice v kartézských souřadnicích je:

\( (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r_0^2 \)

Dosadíme hodnoty:

\( (x – 0)^2 + (y – 3)^2 = 4 \)

Přepíšeme do polárních souřadnic \( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \):

\( (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta – 3)^2 = 4 \)

Rozepíšeme:

\( r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta – 6 r \sin \theta + 9 = 4 \)

Protože \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), máme:

\( r^2 – 6 r \sin \theta + 9 = 4 \)

Upravíme:

\( r^2 – 6 r \sin \theta + 5 = 0 \)

Tato rovnice popisuje danou kružnici v polárních souřadnicích.

Řešení příkladu:

Osa \( x \) v polárních souřadnicích odpovídá úhlům \( \theta = 0 \) nebo \( \theta = \pi \).

Dosadíme do rovnice křivky:

Pro \( \theta = 0 \):

\( r = 3 \sin 0 = 0 \)

Bod je tedy \( (0, 0) \).

Pro \( \theta = \pi \):

\( r = 3 \sin \pi = 0 \)

Bod je opět \( (0, 0) \).

Pro jiné body na ose \( x \) hledáme, kdy je souřadnice \( y = r \sin \theta = 0 \), což znamená \( \sin \theta = 0 \), tedy právě \( \theta = 0 \) nebo \( \pi \).

Průsečík je tedy jediný a to v počátku \( (0, 0) \).

Řešení příkladu:

Polární souřadnice bodu se spočítají podle vzorců:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)

\( \theta = \arctan \frac{y}{x} \)

Dosadíme hodnoty:

\( r = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \)

\( \theta = \arctan \frac{4}{-4} = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)

Protože bod leží ve druhém kvadrantu (x < 0, y > 0), úhel upravíme:

\( \theta = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)

Polární souřadnice jsou tedy \( \left(4 \sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right) \).

Řešení příkladu:

Kartézské souřadnice spočítáme podle vzorců:

\( x = r \cos \theta \)

\( y = r \sin \theta \)

Dosadíme hodnoty:

\( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), \( \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Proto:

\( x = 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2} \)

\( y = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \)

Kartézské souřadnice jsou tedy \( \left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right) \).

Řešení příkladu:

Osa \( y \) odpovídá úhlům \( \theta = \frac{\pi}{2} \) a \( \theta = \frac{3\pi}{2} \).

Dosadíme tyto hodnoty do rovnice křivky:

Pro \( \theta = \frac{\pi}{2} \):

\( r = 4 \cos \frac{\pi}{2} = 4 \times 0 = 0 \)

Bod je \( (0, \frac{\pi}{2}) \), což je počátek.

Pro \( \theta = \frac{3\pi}{2} \):

\( r = 4 \cos \frac{3\pi}{2} = 4 \times 0 = 0 \)

Opět počátek.

Průsečík je tedy v počátku.

Řešení příkladu:

Plocha v polárních souřadnicích je dána integrálem:

\( S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \)

Dosadíme:

\( S = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (2 + 2 \sin \theta)^2 \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 4 (1 + \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_0^{\pi} (1 + \sin \theta)^2 \, d\theta \)

Rozepíšeme druhou mocninu:

\( (1 + \sin \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta \)

Integrál tedy je:

\( S = 2 \int_0^{\pi} \left(1 + 2 \sin \theta + \sin^2 \theta \right) d\theta = 2 \left( \int_0^{\pi} 1 \, d\theta + 2 \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta + \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \right) \)

Vypočítáme jednotlivé integrály:

\( \int_0^{\pi} 1 \, d\theta = \pi \)

\( \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = [-\cos \theta]_0^{\pi} = (-\cos \pi) + \cos 0 = 2 \)

Pro integrál \( \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \) použijeme vzorec:

\( \sin^2 \theta = \frac{1 – \cos 2\theta}{2} \Rightarrow \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_0^{\pi} \frac{1 – \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta – \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi – 0) = \frac{\pi}{2} \)

Dosadíme zpět:

\( S = 2 \left( \pi + 4 + \frac{\pi}{2} \right) = 2 \left( \frac{3\pi}{2} + 4 \right) = 3\pi + 8 \)

Plocha je tedy \( 3\pi + 8 \).

Řešení příkladu:

Funkce \( r = 5 \cos 2\theta \) dosahuje maxima, když je maximalizována hodnota \( \cos 2\theta \).

Funkce \( \cos 2\theta \) nabývá maximální hodnoty 1, když:

\( 2\theta = 2k\pi \), kde \( k \in \mathbb{Z} \)

Proto:

\( \theta = k\pi \)

Pro \( k = 0 \) máme \( \theta = 0 \), což je první maximum.

Maximální vzdálenost od počátku je:

\( r_{max} = 5 \times 1 = 5 \)

Hodnoty \( \theta \), kde křivka dosahuje maximální vzdálenosti, jsou tedy \( \theta = k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme rovnice do polárních souřadnic pomocí vztahů \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \).

1. Kružnice \( x^2 + y^2 = 9 \) se v polárních souřadnicích zapíše jako:

\( r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 \) (protože \( r \geq 0 \)).

2. Přímka \( y = x \) se přepíše:

\( r \sin \theta = r \cos \theta \Rightarrow r (\sin \theta – \cos \theta) = 0 \).

Buď \( r = 0 \) (počátek) nebo \( \sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z} \).

Průsečíky jsou body na kružnici s \( r = 3 \) a zároveň ležící na přímce \( \theta = \frac{\pi}{4} \) (pro první řešení v intervalu \( [0, 2\pi) \)).

Dosadíme do rovnice kružnice:

\( r = 3 \), \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Kartézsky je průsečík:

\( x = 3 \cos \frac{\pi}{4} = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \),

\( y = 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \).

Průsečík je tedy \( \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right) \).

Řešení příkladu:

Délka křivky v polárních souřadnicích je dána vzorcem:

\( L = \int_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta \).

Nejdříve spočítáme derivaci \( \frac{dr}{d\theta} \):

\( r = 2 + \sin \theta \Rightarrow \frac{dr}{d\theta} = \cos \theta \).

Dosadíme do vzorce:

\( L = \int_0^\pi \sqrt{(2 + \sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} \, d\theta = \int_0^\pi \sqrt{4 + 4 \sin \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \, d\theta \).

Protože \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), pokračujeme:

\( L = \int_0^\pi \sqrt{5 + 4 \sin \theta + 1} \, d\theta = \int_0^\pi \sqrt{5 + 4 \sin \theta} \, d\theta \).

Délka křivky je tedy

\( L = \int_0^\pi \sqrt{5 + 4 \sin \theta} \, d\theta \).

Tento integrál není elementárně vyjádřitelný, lze ho ale vyčíslit numericky nebo využít speciální funkce. Pro přehledný výpočet můžeme použít substituci nebo aproximaci.

Řešení příkladu:

Kartézské souřadnice spočítáme podle vzorců:

\( x = r \cos \theta \)

\( y = r \sin \theta \)

Dosadíme hodnoty:

\( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \),

\( \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = – \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

Proto:

\( x = 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \),

\( y = 7 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{2} \).

Kartézské souřadnice jsou tedy \( \left( \frac{7 \sqrt{3}}{2}, -\frac{7}{2} \right) \).

Řešení příkladu:

Kružnice \( x^2 + y^2 = 16 \) má poloměr \( r = 4 \).

Bod v polárních souřadnicích má vzdálenost od počátku právě \( r = 4 \).

Tím pádem bod leží přímo na kružnici (ne uvnitř ani vně).

Pro úplnost: kartézské souřadnice bodu jsou:

\( x = 4 \cos \frac{5\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \),

\( y = 4 \sin \frac{5\pi}{3} = 4 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 \sqrt{3} \).

Vzdálenost od počátku je tedy 4, což odpovídá kružnici.

Řešení příkladu:

Obsah oblasti uzavřené křivkou v polárních souřadnicích se počítá podle vzorce:

\[ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \]

Dosadíme \( r = 3 \sin 2\theta \), \( \alpha = 0 \), \( \beta = \frac{\pi}{2} \):

\[ S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 \sin 2\theta)^2 \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta \, d\theta \]

Použijeme identitu pro druhou mocninu sinu:

\[ \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \]

Použijeme ji na \( \sin^2 2\theta \):

\[ \sin^2 2\theta = \frac{1 – \cos 4\theta}{2} \]

Pokračujeme ve výpočtu:

\[ S = \frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 – \cos 4\theta}{2} \, d\theta = \frac{9}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 – \cos 4\theta) \, d\theta \]

Nyní spočítáme integrál:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 – \cos 4\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta – \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 4\theta \, d\theta \]

\[ = \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} – \left[ \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} – \frac{\sin 2\pi}{4} + \frac{\sin 0}{4} = \frac{\pi}{2} – 0 = \frac{\pi}{2} \]

Dosadíme zpět do výrazu pro obsah:

\[ S = \frac{9}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{8} \]

Obsah hledané plochy je tedy \( \frac{9\pi}{8} \).