1. Převeď periodické číslo \( 0{,}\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme si číslo: \( x = 0{,}\overline{3} \)
Vynásobíme obě strany rovnice číslem 10: \( 10x = 3{,}\overline{3} \)
Odečteme původní rovnici: \( 10x – x = 3{,}\overline{3} – 0{,}\overline{3} \Rightarrow 9x = 3 \)
Vydělíme obě strany devíti: \( x = \frac{3}{9} \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
Výsledek: \( 0{,}\overline{3} = \frac{1}{3} \)
2. Převeď periodické číslo \( 0{,}\overline{142857} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme: \( x = 0{,}\overline{142857} \)
Perioda má 6 číslic, vynásobíme \( x \) číslem \( 10^6 = 1000000 \):
\( 1000000x = 142857{,}\overline{142857} \)
Odečteme původní rovnici: \( 1000000x – x = 142857{,}\overline{142857} – 0{,}\overline{142857} \Rightarrow 999999x = 142857 \)
Vydělíme: \( x = \frac{142857}{999999} \Rightarrow x = \frac{1}{7} \)
Výsledek: \( 0{,}\overline{142857} = \frac{1}{7} \)
3. Převeď periodické číslo \( 0{,}1\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 0{,}1\overline{6} \)
První číslice není periodická, posuneme tak, aby perioda začínala za desetinnou čárkou:
\( 10x = 1{,}\overline{6} \)
Nyní vynásobíme 10x desítkou: \( 100x = 16{,}\overline{6} \)
Odečteme tyto dvě rovnice: \( 100x – 10x = 16{,}\overline{6} – 1{,}\overline{6} \Rightarrow 90x = 15 \)
Vydělíme: \( x = \frac{15}{90} \Rightarrow x = \frac{1}{6} \)
Výsledek: \( 0{,}1\overline{6} = \frac{1}{6} \)
4. Převeď periodické číslo \( 2{,}\overline{7} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 2{,}\overline{7} \)
Vynásobíme deseti: \( 10x = 27{,}\overline{7} \)
Odečteme původní rovnici: \( 10x – x = 27{,}\overline{7} – 2{,}\overline{7} \Rightarrow 9x = 25 \)
Vydělíme: \( x = \frac{25}{9} \)
Výsledek: \( 2{,}\overline{7} = \frac{25}{9} \)
5. Převeď periodické číslo \( 1{,}2\overline{34} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 1{,}2\overline{34} \)
První dvě číslice nejsou periodické, tak vynásobíme 100: \( 100x = 123{,}\overline{4} \)
Nyní vynásobíme ještě 100: \( 10000x = 1234{,}\overline{34} \)
Odečteme tyto dvě rovnice: \( 10000x – 100x = 1234{,}\overline{34} – 123{,}\overline{4} \Rightarrow 9900x = 1111 \)
Vydělíme: \( x = \frac{1111}{9900} \Rightarrow x = \frac{1111}{9900} \) (zkrátíme podle potřeby)
6. Převeď periodické číslo \( 0{,}0\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 0{,}0\overline{9} \)
Vynásobíme 100: \( 100x = 9{,}\overline{9} \)
Odečteme: \( 100x – x = 9{,}\overline{9} – 0{,}0\overline{9} \Rightarrow 99x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{99} = \frac{1}{11} \)
7. Převeď periodické číslo \( 3{,}\overline{81} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 3{,}\overline{81} \)
Perioda má 2 číslice, vynásobíme 100: \( 100x = 381{,}\overline{81} \)
Odečteme: \( 100x – x = 381{,}\overline{81} – 3{,}\overline{81} \Rightarrow 99x = 378 \Rightarrow x = \frac{378}{99} = \frac{42}{11} \)
8. Převeď periodické číslo \( 0{,}\overline{76} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 0{,}\overline{76} \)
Vynásobíme 100: \( 100x = 76{,}\overline{76} \)
Odečteme: \( 100x – x = 76{,}\overline{76} – 0{,}\overline{76} \Rightarrow 99x = 76 \Rightarrow x = \frac{76}{99} \)
9. Převeď periodické číslo \( 0{,}2\overline{1} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 0{,}2\overline{1} \)
Vynásobíme 10: \( 10x = 2{,}\overline{1} \)
Vynásobíme znovu 10: \( 100x = 21{,}\overline{1} \)
Odečteme: \( 100x – 10x = 21{,}\overline{1} – 2{,}\overline{1} \Rightarrow 90x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{90} \)
10. Převeď periodické číslo \( 5{,}4\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označme: \( x = 5{,}4\overline{9} \)
Vynásobíme 10: \( 10x = 54{,}\overline{9} \)
Vynásobíme 10 znovu: \( 100x = 549{,}\overline{9} \)
Odečteme: \( 100x – 10x = 549{,}\overline{9} – 54{,}\overline{9} \Rightarrow 90x = 495 \Rightarrow x = \frac{495}{90} = \frac{11}{2} \)
11. Převeď periodické číslo \( 0,\overline{2} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme si číslo \( x = 0,\overline{2} \).
Vzhledem k tomu, že se perioda skládá z jedné číslice, vynásobíme rovnici číslem 10:
\( 10x = 2,\overline{2} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 10x – x = 2,\overline{2} – 0,\overline{2} \Rightarrow 9x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{9} \)
Výsledek je \( \frac{2}{9} \).
12. Převeď číslo \( 0,\overline{81} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,\overline{81} \).
Perioda má 2 číslice, vynásobíme rovnici číslem 100:
\( 100x = 81,\overline{81} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 100x – x = 81,\overline{81} – 0,\overline{81} \Rightarrow 99x = 81 \Rightarrow x = \frac{81}{99} \)
Zkrátíme zlomek: \( \frac{81}{99} = \frac{9}{11} \)
Výsledek je \( \frac{9}{11} \).
13. Převeď číslo \( 0,\overline{007} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,\overline{007} \).
Perioda má 3 číslice, vynásobíme rovnici číslem 1000:
\( 1000x = 7,\overline{007} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 1000x – x = 7,\overline{007} – 0,\overline{007} \Rightarrow 999x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{999} \)
Výsledek je \( \frac{7}{999} \).
14. Převeď číslo \( 0,1\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,1\overline{6} \).
Jedna číslice je před periodou, jedna v periodě.
Nejprve vynásobíme číslem 10, abychom posunuli desetinnou čárku za číslici před periodou:
\( 10x = 1,\overline{6} \)
Poté vynásobíme číslem 10 znovu (tedy celkem 100x):
\( 100x = 16,\overline{6} \)
Nyní odečteme tyto dvě rovnice:
\( 100x – 10x = 16,\overline{6} – 1,\overline{6} \Rightarrow 90x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
Výsledek je \( \frac{1}{6} \).
15. Převeď číslo \( 1,\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 1,\overline{3} \).
Vynásobíme číslem 10, jelikož perioda má jednu číslici:
\( 10x = 13,\overline{3} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 10x – x = 13,\overline{3} – 1,\overline{3} \Rightarrow 9x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
Výsledek je \( \frac{4}{3} \).
16. Převeď číslo \( 2,\overline{45} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 2,\overline{45} \).
Perioda má 2 číslice, vynásobíme rovnici číslem 100:
\( 100x = 245,\overline{45} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 100x – x = 245,\overline{45} – 2,\overline{45} \Rightarrow 99x = 243 \Rightarrow x = \frac{243}{99} = \frac{27}{11} \)
Výsledek je \( \frac{27}{11} \).
17. Převeď číslo \( 0,09\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,09\overline{3} \).
Dvě číslice před periodou, jedna číslice v periodě.
Vynásobíme číslem 1000:
\( 1000x = 93,\overline{3} \)
A číslem 100:
\( 100x = 9,\overline{3} \)
Odečteme tyto dvě rovnice:
\( 1000x – 100x = 93,\overline{3} – 9,\overline{3} \Rightarrow 900x = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{900} = \frac{7}{75} \)
Výsledek je \( \frac{7}{75} \).
18. Převeď číslo \( 0,\overline{123456} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,\overline{123456} \).
Perioda má 6 číslic, vynásobíme číslem \( 10^6 = 1000000 \):
\( 1000000x = 123456,\overline{123456} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 1000000x – x = 123456,\overline{123456} – 0,\overline{123456} \Rightarrow 999999x = 123456 \Rightarrow x = \frac{123456}{999999} \)
Zkrátíme zlomek: \( \frac{123456}{999999} = \frac{13717}{111111} \)
Výsledek je \( \frac{13717}{111111} \).
19. Převeď číslo \( 3,0\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 3,0\overline{9} \).
Jedna číslice před periodou, jedna v periodě.
Vynásobíme číslem 10:
\( 10x = 30,\overline{9} \)
Vynásobíme číslem 100:
\( 100x = 309,\overline{9} \)
Odečteme:
\( 100x – 10x = 309,\overline{9} – 30,\overline{9} \Rightarrow 90x = 279 \Rightarrow x = \frac{279}{90} = \frac{31}{10} \)
Výsledek je \( \frac{31}{10} \).
20. Převeď číslo \( 0,000\overline{4} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0,000\overline{4} \).
Máme tři číslice před periodou, jedna číslice v periodě.
Vynásobíme číslem 10000:
\( 10000x = 4,\overline{4} \)
Vynásobíme číslem 1000:
\( 1000x = 0,\overline{4} \)
Odečteme:
\( 10000x – 1000x = 4,\overline{4} – 0,\overline{4} \Rightarrow 9000x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9000} = \frac{1}{2250} \)
Výsledek je \( \frac{1}{2250} \).
21. Převeď periodické číslo \( 0.\overline{472} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme si \( x = 0.\overline{472} \).
Perioda má délku 3, proto násobíme číslo třemi nulami, tedy číslem \( 1000 \):
\( 1000x = 472.\overline{472} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 1000x – x = 472.\overline{472} – 0.\overline{472} \Rightarrow 999x = 472 \)
Vydělíme obě strany rovnice číslem 999:
\( x = \frac{472}{999} \)
Zlomek je již v základním tvaru.
Výsledek je \( \frac{472}{999} \).
22. Převeď číslo \( 2.1\overline{36} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 2.1\overline{36} \)
Rozdělíme na celou a periodickou část: \( x = 2 + 0.1\overline{36} \)
Nejprve převedeme \( y = 0.1\overline{36} \)
Násobíme \( 1000y = 136.\overline{36} \) a \( 10y = 1.\overline{36} \)
Odečteme: \( 1000y – 10y = 136.\overline{36} – 1.\overline{36} \Rightarrow 990y = 135 \)
\( y = \frac{135}{990} \), krátíme číslem 45: \( \frac{135 \div 45}{990 \div 45} = \frac{3}{22} \)
Nyní sečteme: \( x = 2 + \frac{3}{22} = \frac{44 + 3}{22} = \frac{47}{22} \)
Výsledek je \( \frac{47}{22} \).
23. Převeď číslo \( 0.00\overline{7} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0.00\overline{7} \)
Posuneme tři desetinná místa: \( 1000x = 7.\overline{7} \)
A také: \( 10x = 0.07\overline{7} \)
Nyní odečteme obě rovnice: \( 1000x – 10x = 7.\overline{7} – 0.07\overline{7} \Rightarrow 990x = 7 – 0.07 = 6.93 \)
Přesněji musíme použít i další krok: Označíme \( y = 0.\overline{7} \Rightarrow 10y – y = 7 \Rightarrow 9y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{9} \)
Tedy \( x = 0.00\overline{7} = \frac{7}{9 \cdot 100} = \frac{7}{900} \)
Výsledek je \( \frac{7}{900} \).
24. Převeď číslo \( 5.\overline{1098} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 5.\overline{1098} \)
Násobíme \( 10000x = 51098.\overline{1098} \)
Odečteme \( x = 5.\overline{1098} \):
\( 10000x – x = 51098.\overline{1098} – 5.\overline{1098} \Rightarrow 9999x = 51093 \)
\( x = \frac{51093}{9999} \), zkusíme krátit číslem 3: \(\frac{17031}{3333} \)
Opět lze krátit 3: \( \frac{5677}{1111} \), nelze dále krátit
Výsledek je \( \frac{5677}{1111} \)
25. Převeď číslo \( 0.\overline{8274} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0.\overline{8274} \)
Perioda má délku 4, násobíme \( 10000x = 8274.\overline{8274} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 10000x – x = 8274.\overline{8274} – 0.\overline{8274} \Rightarrow 9999x = 8274 \)
\( x = \frac{8274}{9999} \), krátíme číslem 3: \( \frac{2758}{3333} \)
Nelze dále krátit.
Výsledek je \( \frac{2758}{3333} \).
26. Převeď číslo \( 3.5\overline{2} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 3.5\overline{2} = 3 + 0.5\overline{2} \)
Označíme \( y = 0.5\overline{2} \)
Posuneme desetinnou čárku: \( 10y = 5.\overline{2} \), \( 100y = 52.\overline{2} \)
\( 100y – 10y = 52.\overline{2} – 5.\overline{2} \Rightarrow 90y = 47 \Rightarrow y = \frac{47}{90} \)
Nyní \( x = 3 + \frac{47}{90} = \frac{270 + 47}{90} = \frac{317}{90} \)
Výsledek je \( \frac{317}{90} \).
27. Převeď číslo \( 0.001\overline{4} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0.001\overline{4} \)
Označíme \( y = 0.\overline{4} = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \frac{4}{9 \cdot 1000} = \frac{4}{9000} \)
Výsledek je \( \frac{4}{9000} \), lze krátit 4: \( \frac{1}{2250} \)
Výsledek je \( \frac{1}{2250} \)
28. Převeď číslo \( 6.0\overline{09} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 6.0\overline{09} = 6 + 0.0\overline{09} \)
Nejprve \( y = 0.0\overline{09} \)
Násobíme: \( 1000y = 90.\overline{9}, 10y = 0.9\overline{9} \Rightarrow 990y = 90 – 0.9 = 89.1 \) není přesné
Přesně: \( y = \frac{9}{99 \cdot 10} = \frac{1}{110} \)
\( x = 6 + \frac{1}{110} = \frac{660 + 1}{110} = \frac{661}{110} \)
Výsledek je \( \frac{661}{110} \)
29. Převeď číslo \( 1.\overline{08} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 1.\overline{08} = 1 + 0.\overline{08} \)
Označíme \( y = 0.\overline{08} \Rightarrow 100y = 8.\overline{08}, y = 0.\overline{08} \)
\( 100y – y = 99y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{99} \)
\( x = 1 + \frac{8}{99} = \frac{99 + 8}{99} = \frac{107}{99} \)
Výsledek je \( \frac{107}{99} \)
30. Převeď číslo \( 0.4\overline{5} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0.4\overline{5} \)
Násobíme: \( 100x = 45.\overline{5}, 10x = 4.\overline{5} \Rightarrow 90x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{90} \)
Výsledek je \( \frac{41}{90} \)
31. Převeď číslo \( 0.\overline{3}7 \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.\overline{37} \). Perioda má dvě číslice.
Vynásobíme rovnici číslem \(100\), abychom posunuli desetinnou čárku za jednu celou periodu:
\( 100x = 37.\overline{37} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 100x – x = 37.\overline{37} – 0.\overline{37} \Rightarrow 99x = 37 \)
Vydělíme obě strany rovnice číslem \(99\):
\( x = \frac{37}{99} \)
Číslo \( 0.\overline{37} \) je rovno zlomku \( \frac{37}{99} \)
32. Převeď číslo \( 0.2\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.2\overline{6} \), kde \(6\) je periodická číslice a \(2\) je předperiodická číslice.
Nejprve vynásobíme desítkou, abychom se zbavili předperiodické části:
\( 10x = 2.\overline{6} \)
Nyní vynásobíme rovnicí desítkou ještě jednou, abychom se zbavili periody:
\( 100x = 26.\overline{6} \)
Odečteme dvě rovnice:
\( 100x – 10x = 26.\overline{6} – 2.\overline{6} \Rightarrow 90x = 24 \)
\( x = \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \)
33. Převeď číslo \( 1.0\overline{81} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 1.0\overline{81} \)
Nejprve odečteme celou část: \( x = 1 + 0.0\overline{81} \)
Nyní označíme \( y = 0.0\overline{81} \)
Vynásobíme \( y \) číslem \(100\), protože perioda má dvě cifry:
\( 100y = 8.1\overline{81} \)
Vynásobíme \( y \) i číslem \(1 000\), abychom mohli odečíst:
\( 10000y = 810.\overline{81} \)
\( 10000y – 100y = 810.\overline{81} – 8.1\overline{81} \Rightarrow 9900y = 801.9 \)
\( y = \frac{801.9}{9900} \), ale protože desetinné číslo je obtížné, udělejme to jinak.
Přesnější bude zapsat přímo \( z = 0.\overline{81} \), tedy:
Nechť \( z = 0.\overline{81} \), pak \( 100z = 81.\overline{81} \)
Odečteme: \( 100z – z = 81.\overline{81} – 0.\overline{81} \Rightarrow 99z = 81 \Rightarrow z = \frac{81}{99} = \frac{9}{11} \)
Proto \( x = 1 + 0.0\overline{81} = 1 + \frac{9}{110} = \frac{110 + 9}{110} = \frac{119}{110} \)
34. Převeď číslo \( 2.\overline{045} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 2.\overline{045} \)
Odečteme celou část: \( x = 2 + 0.\overline{045} \)
Nechť \( y = 0.\overline{045} \), perioda má délku 3, takže násobíme tisícem:
\( 1000y = 45.\overline{045} \)
Odečteme: \( 1000y – y = 45.\overline{045} – 0.\overline{045} \Rightarrow 999y = 45 \Rightarrow y = \frac{45}{999} = \frac{5}{111} \)
Pak \( x = 2 + \frac{5}{111} = \frac{222 + 5}{111} = \frac{227}{111} \)
35. Převeď číslo \( 0.41\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.41\overline{9} \), předperioda je \(41\), perioda je \(9\).
Nejprve vynásobíme \( x \) číslem \(100\), abychom dostali před periodu:
\( 100x = 41.\overline{9} \)
Pak vynásobíme ještě 10, abychom odstranili periodu:
\( 1000x = 419.\overline{9} \)
Odečteme:
\( 1000x – 100x = 419.\overline{9} – 41.\overline{9} \Rightarrow 900x = 378 \Rightarrow x = \frac{378}{900} = \frac{21}{50} \)
36. Převeď číslo \( 0.0\overline{1} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.0\overline{1} \). Perioda je délky \(1\), před periodou je \(0\).
Vynásobíme \( x \) číslem 10: \( 10x = 0.\overline{1} \)
Pak \( 100x = 1.\overline{1} \)
Odečteme: \( 100x – 10x = 1.\overline{1} – 0.\overline{1} \Rightarrow 90x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{90} \)
37. Převeď číslo \( 3.6\overline{27} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Odečteme celou část: \( x = 3.6\overline{27} = 3 + 0.6\overline{27} \)
Nechť \( y = 0.6\overline{27} \). Předperioda má délku \(1\), perioda délku \(2\).
Nejprve: \( 10y = 6.\overline{27} \)
Pak: \( 1000y = 627.\overline{27} \)
Odečteme: \( 1000y – 10y = 627.\overline{27} – 6.\overline{27} = 621 \Rightarrow 990y = 621 \Rightarrow y = \frac{621}{990} = \frac{69}{110} \)
Pak \( x = 3 + \frac{69}{110} = \frac{330 + 69}{110} = \frac{399}{110} \)
38. Převeď číslo \( 0.8\overline{009} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0.8\overline{009} \), předperioda je \(8\), perioda je \(009\).
Vynásobíme deseti: \( 10x = 8.\overline{009} \)
Pak tisícem: \( 10000x = 8009.\overline{009} \)
Odečteme: \( 10000x – 10x = 8009.\overline{009} – 8.\overline{009} = 8001 \Rightarrow 9990x = 8001 \Rightarrow x = \frac{8001}{9990} = \frac{889}{1100} \)
39. Převeď číslo \( 7.\overline{12345} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 7.\overline{12345} \), perioda má délku \(5\).
Odečteme celou část: \( x = 7 + 0.\overline{12345} \)
Nechť \( y = 0.\overline{12345} \), pak:
\( 100000y = 12345.\overline{12345} \)
\( 100000y – y = 12345.\overline{12345} – 0.\overline{12345} = 12345 \Rightarrow 99999y = 12345 \Rightarrow y = \frac{12345}{99999} = \frac{1371}{11111} \)
\( x = 7 + \frac{1371}{11111} = \frac{77777 + 1371}{11111} = \frac{79148}{11111} \)
40. Převeď číslo \( 0.003\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.003\overline{3} \). Před periodou jsou tři číslice, perioda jedna číslice.
Vynásobíme \( x \) číslem 1000: \( 1000x = 3.\overline{3} \)
Vynásobíme ještě deseti: \( 10000x = 33.\overline{3} \)
Odečteme: \( 10000x – 1000x = 33.\overline{3} – 3.\overline{3} = 30 \Rightarrow 9000x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{9000} = \frac{1}{300} \)
41. Převeď číslo \( 0{,}21\overline{4} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}214444\ldots \). Opakující se perioda je \( 4 \), předperioda je \( 21 \).
Vynásobíme rovnici tak, aby se desetinné číslo posunulo za celou periodu: \( 1000x = 214{,}4444\ldots \)
Dále vynásobíme tak, aby se perioda přesně opakovala za desetinnou čárkou: \( 100x = 21{,}4444\ldots \)
Odečteme obě rovnice:
\( 1000x – 100x = 214{,}4444\ldots – 21{,}4444\ldots \Rightarrow 900x = 193 \)
Vydělíme obě strany číslem 900:
\( x = \frac{193}{900} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{193}{900} \).
42. Převeď číslo \( 2{,}7\overline{81} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 2{,}7818181\ldots \). Perioda je \( 81 \), délka periody \(2\), předperioda je \( 7 \).
Vynásobíme \( x \) tak, aby se číslo posunulo za celou periodu: \( 1000x = 2781{,}8181\ldots \)
A také tak, aby se perioda začala: \( 10x = 27{,}8181\ldots \)
Odečteme: \( 1000x – 10x = 2781{,}8181\ldots – 27{,}8181\ldots \Rightarrow 990x = 2754 \)
Vydělíme: \( x = \frac{2754}{990} \). Zkrátíme zlomek: obě čísla jsou dělitelná 6.
\( x = \frac{2754 \div 6}{990 \div 6} = \frac{459}{165} \), ještě zkrátíme číslem 3:
\( x = \frac{153}{55} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{153}{55} \).
43. Převeď číslo \( 0{,}0\overline{39} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}0393939\ldots \). Perioda je \( 39 \), délka \(2\), před periodou je \(1\) desetinné místo – nula.
1000x = 39{,}393939\ldots
10x = 0{,}393939\ldots
Odečteme: \( 1000x – 10x = 39{,}393939\ldots – 0{,}393939\ldots \Rightarrow 990x = 39 \)
Vydělíme: \( x = \frac{39}{990} \). Zkrátíme číslem 3: \( \frac{13}{330} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{13}{330} \).
44. Převeď číslo \( 1{,}6\overline{23} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 1{,}62323232\ldots \). Perioda je \(23\), předperioda \(6\).
1000x = 1623{,}2323\ldots
10x = 16{,}2323\ldots
Odečteme: \( 1000x – 10x = 1623{,}2323\ldots – 16{,}2323\ldots \Rightarrow 990x = 1607 \)
\( x = \frac{1607}{990} \). Zlomek již nelze dále krátit.
Výsledný zlomek je \( \frac{1607}{990} \).
45. Převeď číslo \( 0{,}123\overline{4567} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}12345674567\ldots \). Perioda má délku \(4\), před ní je trojčíslí \(123\).
100000x = 12345{,}674567\ldots
100x = 12{,}34567\ldots
Odečteme: \( 100000x – 100x = 12345{,}674567\ldots – 12{,}34567\ldots = 12333{,}329 \)
\( 99900x = 12333 \Rightarrow x = \frac{12333}{99900} \)
Zkrátíme číslem 3: \( \frac{4111}{33300} \). Nelze dále krátit.
Výsledný zlomek je \( \frac{4111}{33300} \).
46. Převeď číslo \( 3{,}\overline{142857} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 3{,}142857142857\ldots \). Délka periody je \(6\).
1000000x = 3142857{,}142857\ldots
x = 3{,}142857\ldots
Odečteme: \( 1000000x – x = 3142857{,}142857\ldots – 3{,}142857\ldots \Rightarrow 999999x = 3142854 \)
\( x = \frac{3142854}{999999} \Rightarrow x = \frac{22 \cdot 142857}{9 \cdot 111111} = \frac{22}{7} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{22}{7} \).
47. Převeď číslo \( 0{,}\overline{81} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}818181\ldots \)
100x = 81{,}818181\ldots
x = 0{,}818181\ldots
Odečteme: \( 100x – x = 81{,}818181\ldots – 0{,}818181\ldots \Rightarrow 99x = 81 \)
\( x = \frac{81}{99} = \frac{9}{11} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{9}{11} \).
48. Převeď číslo \( 0{,}004\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}0043333\ldots \). Perioda 3, před ní \(004\).
1000x = 4{,}3333\ldots
10x = 0{,}043333\ldots
Odečteme: \( 1000x – 10x = 4{,}3333\ldots – 0{,}043333\ldots \Rightarrow 990x = 4{,}29 \)
\( 990x = \frac{429}{100} \Rightarrow x = \frac{429}{99000} \Rightarrow \frac{11}{2530} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{11}{2530} \).
49. Převeď číslo \( 7{,}89\overline{123} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 7{,}89123123123\ldots \). Perioda \(123\), délka \(3\), předperioda \(89\).
100000x = 789123{,}123123\ldots
100x = 789{,}123123\ldots
Odečteme: \( 100000x – 100x = 789123 – 789 = 788334 \Rightarrow 99900x = 788334 \Rightarrow x = \frac{788334}{99900} \)
Zkrátíme číslem 6: \( \frac{131389}{16650} \)
Výsledný zlomek je \( \frac{131389}{16650} \).
50. Převeď číslo \( 0{,}999\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Číslo je \( 0{,}999999\ldots \), tedy perioda je \(9\).
Označíme \( x = 0{,}999\ldots \Rightarrow 10x = 9{,}999\ldots \)
Odečteme: \( 10x – x = 9{,}999\ldots – 0{,}999\ldots \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1 \)
Výsledný zlomek je \( \frac{1}{1} \).
51. Převeď číslo \( 0{,}2\overline{34} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}2\overline{34} \). Toto číslo má jednu neperiodickou číslici a dvoucifernou periodu.
Vynásobíme \( x \) tak, aby se perioda zarovnala za desetinnou čárku:
\( 1000x = 234{,}\overline{34} \)
A zároveň vynásobíme tak, aby zmizela pouze periodická část:
\( 10x = 2{,}\overline{34} \)
Odečteme tyto dvě rovnice:
\( 1000x – 10x = (234{,}\overline{34}) – (2{,}\overline{34}) \Rightarrow 990x = 232 \Rightarrow x = \frac{232}{990} \)
Krátíme zlomkem číslem 2:
\( \frac{232}{990} = \frac{116}{495} \)
Výsledek je \( \frac{116}{495} \).
52. Převeď číslo \( 1{,}03\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 1{,}03\overline{6} \). Číslo má dvě neperiodické číslice a jednu periodickou.
Vynásobíme tak, aby se perioda posunula za desetinou čárku:
\( 1000x = 1036{,}\overline{6} \)
A zároveň odečteme číslo s koncem těsně před periodou:
\( 100x = 103{,}\overline{6} \)
Odečteme:
\( 1000x – 100x = 1036{,}\overline{6} – 103{,}\overline{6} \Rightarrow 900x = 933 \Rightarrow x = \frac{933}{900} \)
Zkrátíme číslem 3:
\( \frac{933}{900} = \frac{311}{300} \)
Výsledek je \( \frac{311}{300} \).
53. Převeď číslo \( 0{,}000\overline{27} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}000\overline{27} \). Máme \(3\) neperiodické číslice a dvoucifernou periodu.
Vynásobíme číslo tak, aby se celá perioda dostala za desetinnou čárku:
\( 100000x = 27{,}\overline{27} \)
A zároveň vynásobíme tak, aby končila těsně před periodou:
\( 100x = 0{,}\overline{27} \)
Odečteme:
\( 100000x – 100x = 27{,}\overline{27} – 0{,}\overline{27} \Rightarrow 99900x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{99900} \)
Zkrátíme číslem 9:
\( \frac{27}{99900} = \frac{3}{11100} \)
Výsledek je \( \frac{3}{11100} \).
54. Převeď číslo \( 12{,}\overline{5} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 12{,}\overline{5} \). Celá část je \(12\), periodická část má délku \(1\).
Vynásobíme \( x \) deseti:
\( 10x = 125{,}\overline{5} \)
Odečteme původní rovnici:
\( 10x – x = 125{,}\overline{5} – 12{,}\overline{5} \Rightarrow 9x = 113 \Rightarrow x = \frac{113}{9} \)
Výsledek je \( \frac{113}{9} \).
55. Převeď číslo \( 0{,}1\overline{001} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}1\overline{001} \). Máme jednu neperiodickou číslici a třícifernou periodu.
Vynásobíme tak, aby se perioda zarovnala:
\( 10000x = 1001{,}\overline{001} \)
A současně vynásobíme tak, aby tam byla jen neperiodická část:
\( 10x = 1{,}\overline{001} \)
Odečteme:
\( 10000x – 10x = 1001{,}\overline{001} – 1{,}\overline{001} \Rightarrow 9990x = 1000 \Rightarrow x = \frac{1000}{9990} \)
Po zkrácení číslem 10:
\( \frac{100}{999} \)
Výsledek je \( \frac{100}{999} \).
56. Převeď číslo \( 3{,}009\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 3{,}009\overline{3} \). Jsou zde tři neperiodické číslice a jedna periodická.
Vynásobíme číslo 10000x:
\( 10000x = 30093{,}\overline{3} \)
A zároveň 1000x:
\( 1000x = 3009{,}\overline{3} \)
Odečteme:
\( 10000x – 1000x = 30093{,}\overline{3} – 3009{,}\overline{3} \Rightarrow 9000x = 27084 \Rightarrow x = \frac{27084}{9000} \)
Krátíme číslem 12:
\( \frac{27084}{9000} = \frac{2257}{750} \)
Výsledek je \( \frac{2257}{750} \).
57. Převeď číslo \( 0{,}0\overline{01} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}0\overline{01} \). Perioda má délku \(2\), začíná po jedné číslici.
Vynásobíme číslo 1000x a 10x:
\( 1000x = 1{,}\overline{01} \)
\( 10x = 0{,}\overline{01} \)
Odečteme:
\( 1000x – 10x = 1{,}\overline{01} – 0{,}\overline{01} \Rightarrow 990x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{990} \)
Výsledek je \( \frac{1}{990} \).
58. Převeď číslo \( 7{,}\overline{3210} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 7{,}\overline{3210} \). Perioda má \(4\) cifry.
Vynásobíme číslem 10000:
\( 10000x = 73210{,}\overline{3210} \)
Odečteme původní \( x \):
\( 10000x – x = 73210{,}\overline{3210} – 7{,}\overline{3210} \Rightarrow 9999x = 73203 \Rightarrow x = \frac{73203}{9999} \)
Krátíme číslem 3:
\( \frac{73203}{9999} = \frac{24401}{3333} \)
Výsledek je \( \frac{24401}{3333} \).
59. Převeď číslo \( 0{,}75\overline{8} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}75\overline{8} \), dvě neperiodické číslice, jedna periodická.
\( 1000x = 758{,}\overline{8} \), \( 100x = 75{,}\overline{8} \)
Odečteme: \( 900x = 683 \Rightarrow x = \frac{683}{900} \)
Výsledek je \( \frac{683}{900} \).
60. Převeď číslo \( 0{,}0001\overline{23} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}0001\overline{23} \). Čtyři číslice před periodou, dvě číslice v periodě.
\( 1000000x = 123{,}\overline{23} \), \( 10000x = 1{,}\overline{23} \)
Odečteme: \( 990000x = 122 \Rightarrow x = \frac{122}{990000} \)
Zkrátíme číslem 2: \( \frac{61}{495000} \)
Výsledek je \( \frac{61}{495000} \).
61. Převeď periodické číslo \( 2{,}173\overline{84} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 2{,}173\overline{84} \). Perioda má dvě cifry a začíná za třetím desetinným místem. Označíme:
\( x = 2{,}173848484\ldots \)
Nejprve vytvoříme rovnici vynásobením tak, aby se desetinná část opakovala:
\( 10^5 \cdot x = 217384{,}848484\ldots \)
\( 10^3 \cdot x = 2173{,}848484\ldots \)
Odečteme druhou rovnici od první:
\( (10^5 – 10^3) \cdot x = 217384{,}848484\ldots – 2173{,}848484\ldots \)
\( 99000x = 215211 \)
\( x = \frac{215211}{99000} \)
Zkrátíme zlomek dělením čitatele i jmenovatele číslem \(3\):
\( x = \frac{71737}{33000} \)
Zlomek nelze dále zkrátit. Výsledkem je:
\( 2{,}173\overline{84} = \frac{71737}{33000} \)
62. Převeď periodické číslo \( 0{,}9\overline{01} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}9\overline{01} \Rightarrow x = 0{,}9010101\ldots \)
Perioda má dvě cifry a začíná po jedné desetinné číslici. Použijeme:
\( 10^3 \cdot x = 901{,}010101\ldots \)
\( 10 \cdot x = 9{,}010101\ldots \)
Odečteme obě rovnice:
\( (1000 – 10)x = 901 – 9 \Rightarrow 990x = 892 \)
\( x = \frac{892}{990} \)
Krátíme číslem 2:
\( x = \frac{446}{495} \)
Dále krátíme číslem 11:
\( x = \frac{446 \div 11}{495 \div 11} = \frac{40{,}545\ldots}{45} \)
Ne, 446 není dělitelné 11, pokusme se 446 a 495 rozložit na prvočinitele:
\( 446 = 2 \cdot 223 \), \( 495 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \)
Žádný další společný dělitel není. Výsledek:
\( 0{,}9\overline{01} = \frac{446}{495} \)
63. Převeď číslo \( 5{,}0\overline{4} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 5{,}0\overline{4} \Rightarrow x = 5{,}044444\ldots \)
Vynásobíme \( x \) tak, aby se perioda začala opakovat za desetinnou čárkou:
\( 10 \cdot x = 50{,}44444\ldots \)
\( 100 \cdot x = 504{,}4444\ldots \)
Odečteme:
\( 100x – 10x = 504 – 50 \Rightarrow 90x = 454 \Rightarrow x = \frac{454}{90} \)
Zkrátíme číslem 2:
\( x = \frac{227}{45} \)
Zlomek již nelze dále zkrátit.
Výsledkem je: \( 5{,}0\overline{4} = \frac{227}{45} \)
64. Převeď číslo \( 0{,}00\overline{123} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}00\overline{123} = 0{,}00123123123\ldots \)
Perioda má délku 3 a začíná na 3. místě.
Vynásobíme \( x \) číslem \( 10^5 \), aby se číslice periody dostaly před desetinnou čárku:
\( 10^5 x = 123{,}123123\ldots \)
\( 10^2 x = 1{,}231231\ldots \)
Odečteme obě rovnice:
\( (10^5 – 10^2)x = 123 – 1 \Rightarrow 99900x = 122 \Rightarrow x = \frac{122}{99900} \)
Zkrátíme číslem 2:
\( x = \frac{61}{49950} \)
Výsledkem je: \( 0{,}00\overline{123} = \frac{61}{49950} \)
65. Převeď číslo \( 7{,}\overline{02} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 7{,}\overline{02} = 7{,}020202\ldots \)
Perioda má 2 číslice, začíná hned za desetinnou čárkou.
Vynásobíme \( x \) číslem 100:
\( 100x = 702{,}020202\ldots \)
\( x = 7{,}020202\ldots \)
Odečteme:
\( 99x = 695 \Rightarrow x = \frac{695}{99} \)
Zlomek je nesoudělný, nelze zkrátit.
Výsledkem je: \( 7{,}\overline{02} = \frac{695}{99} \)
66. Převeď číslo \( 0{,}8\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}8\overline{3} = 0{,}833333\ldots \)
Vynásobíme takto:
\( 10x = 8{,}3333\ldots \)
\( 100x = 83{,}3333\ldots \)
Odečteme:
\( 90x = 75 \Rightarrow x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \)
Výsledkem je: \( 0{,}8\overline{3} = \frac{5}{6} \)
67. Převeď číslo \( 4{,}1\overline{09} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 4{,}1\overline{09} = 4{,}1090909\ldots \)
\( 10^4 x = 41090{,}909090\ldots \)
\( 10 x = 41{,}090909\ldots \)
Odečteme:
\( 9990x = 41049 \Rightarrow x = \frac{41049}{9990} \)
Rozložením zjistíme, že zlomek se zkrátí na: \( \frac{4561}{1110} \)
Výsledkem je: \( 4{,}1\overline{09} = \frac{4561}{1110} \)
68. Převeď číslo \( 0{,}0\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}066666\ldots \)
\( 100x = 6{,}6666\ldots \)
\( 10x = 0{,}6666\ldots \)
\( 90x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \)
Výsledkem je: \( 0{,}0\overline{6} = \frac{1}{15} \)
69. Převeď číslo \( 0{,}99\overline{1} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}991111\ldots \)
\( 1000x = 991{,}1111\ldots \)
\( 10x = 9{,}911111\ldots \)
\( 990x = 981{,}2 \Rightarrow x = \frac{981{,}2}{990} \)
Převedeme na zlomek: \( \frac{9812}{9900} \), zkrátíme číslem 4:
\( \frac{2453}{2475} \)
Výsledkem je: \( 0{,}99\overline{1} = \frac{2453}{2475} \)
70. Převeď číslo \( 3{,}000\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 3{,}000999\ldots \)
\( 10^4 x = 30009{,}999999\ldots \)
\( 10 x = 30{,}009999\ldots \)
\( 9990x = 29979 \Rightarrow x = \frac{29979}{9990} \)
Krátíme číslem 3: \( x = \frac{9993}{3330} \Rightarrow \frac{3331}{1110} \)
Výsledkem je: \( 3{,}000\overline{9} = \frac{3331}{1110} \)
71. Převeď periodické číslo \( 0{,}12\overline{3456} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nejprve označíme celé číslo jako \( x = 0{,}12\overline{3456} \).
Neperiodická část má dvě cifry \((12)\), periodická čtyři cifry \((3456)\). Posuneme desetinnou čárku tak, aby perioda začínala za desetinnou čárkou:
Označíme \( 100x = 12{,}\overline{3456} \).
Dále posuneme desetinnou čárku o délku periody (čtyři místa):
\( 100000x = 123456{,}\overline{3456} \)
Nyní odečteme tyto dvě rovnice:
\( 100000x – 100x = 123456{,}\overline{3456} – 12{,}\overline{3456} \Rightarrow 99900x = 123444 \)
\( x = \frac{123444}{99900} \)
Zkrátíme zlomkem pomocí největšího společného dělitele:
\( \text{NSD}(123444, 99900) = 12 \Rightarrow \frac{123444}{99900} = \frac{10287}{8325} \)
Tedy výsledek je \( \frac{10287}{8325} \).
72. Převeď periodické číslo \( 1{,}2\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 1{,}2\overline{3} \). Rozdělíme číslo na celou a desetinnou část:
Celá část je \(1\), desetinná část je \( 0{,}2\overline{3} \).
Označíme \( y = 0{,}2\overline{3} \). Neperiodická část má jednu cifru.
Vynásobíme \( 10y = 2{,}\overline{3} \)
Dále \( 100y = 23{,}\overline{3} \)
Odečteme: \( 100y – 10y = 23{,}\overline{3} – 2{,}\overline{3} \Rightarrow 90y = 21 \Rightarrow y = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \)
Přičteme celou část: \( x = 1 + \frac{7}{30} = \frac{30 + 7}{30} = \frac{37}{30} \)
73. Převeď periodické číslo \( 0{,}4\overline{08} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 0{,}4\overline{08} \). Perioda je „\(08\)“, neperiodická část je „\(4\)“.
Vynásobíme \( 10x = 4{,}\overline{08} \)
Dále \( 1000x = 408{,}\overline{08} \)
Odečteme: \( 1000x – 10x = 408{,}\overline{08} – 4{,}\overline{08} \Rightarrow 990x = 404 \Rightarrow x = \frac{404}{990} \)
Zkrátíme zlomek: \(NSD(404,990)\) = \(2\), takže dostáváme \( \frac{202}{495} \)
74. Převeď periodické číslo \( 3{,}\overline{159} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 3{,}\overline{159} \)
Perioda má 3 cifry, vynásobíme \( 1000x = 3159{,}\overline{159} \)
Odečteme původní rovnici: \( 1000x – x = 3159{,}\overline{159} – 3{,}\overline{159} \Rightarrow 999x = 3156 \Rightarrow x = \frac{3156}{999} \)
Zkrátíme: \(NSD(3156,999) = 3 \Rightarrow \frac{1052}{333}\)
75. Převeď periodické číslo \( 7{,}89\overline{6} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Označíme \( x = 7{,}89\overline{6} \), kde „89“ je neperiodická část a „6“ periodická.
\( 100x = 789{,}\overline{6} \)
\( 1000x = 7896{,}\overline{6} \)
Odečteme: \( 1000x – 100x = 7896{,}\overline{6} – 789{,}\overline{6} \Rightarrow 900x = 7107 \Rightarrow x = \frac{7107}{900} \)
Zkrátíme: \(NSD(7107,900) = 3 \Rightarrow \frac{2369}{300}\)
76. Převeď periodické číslo \( 0{,}\overline{005} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}\overline{005} \), perioda má 3 cifry.
\( 1000x = 5{,}\overline{005} \)
\( x = 0{,}\overline{005} \Rightarrow 1000x – x = 5{,}\overline{005} – 0{,}\overline{005} = 5 \Rightarrow 999x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{999} \)
77. Převeď periodické číslo \( 2{,}0\overline{4} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 2{,}0\overline{4} \)
\( y = 0{,}0\overline{4} \), tedy nejprve převedeme desetinnou část.
\( 10y = 0{,}\overline{4} \), \( 100y = 4{,}\overline{4} \)
\( 100y – 10y = 4{,}\overline{4} – 0{,}\overline{4} = 4 \Rightarrow 90y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} \)
\( x = 2 + \frac{2}{45} = \frac{90 + 2}{45} = \frac{92}{45} \)
78. Převeď periodické číslo \( 0{,}2\overline{9} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 0{,}2\overline{9} \)
\( 10x = 2{,}\overline{9} \), \( 100x = 29{,}\overline{9} \)
\( 100x – 10x = 29{,}\overline{9} – 2{,}\overline{9} = 27 \Rightarrow 90x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{90} = \frac{3}{10} \)
79. Převeď periodické číslo \( 4{,}\overline{321} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 4{,}\overline{321} \Rightarrow 1000x = 4321{,}\overline{321} \)
\( 1000x – x = 4321{,}\overline{321} – 4{,}\overline{321} = 4317 \Rightarrow 999x = 4317 \Rightarrow x = \frac{4317}{999} \)
Zkrátíme: \(NSD = 3 \Rightarrow \frac{1439}{333}\)
80. Převeď periodické číslo \( 5{,}6\overline{78} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
\( x = 5{,}6\overline{78} \), neperiodická část je 6, periodická 78.
\( 10x = 56{,}\overline{78} \), \( 1000x = 5678{,}\overline{78} \)
\( 1000x – 10x = 5678{,}\overline{78} – 56{,}\overline{78} = 5622 \Rightarrow 990x = 5622 \Rightarrow x = \frac{5622}{990} \)
Zkrátíme: \(NSD = 6 \Rightarrow \frac{937}{165}\)
81. Převeď číslo \( 2.47\overline{381} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 2.47381381381\ldots \), kde perioda je 381 a neperiodická část má dvě číslice (47).
Násobíme tak, aby se desetinná část po odečtení zkrátila. Nejdříve celou periodu i neperiodickou část: \( 10^5 = 100000 \):
\( 100000x = 247381.381381381\ldots \)
Pak násobíme jen na úroveň konce neperiodické části: \( 10^2 = 100 \):
\( 100x = 247.381381381\ldots \)
Odečteme:
\( 100000x – 100x = 247381.381381\ldots – 247.381381\ldots \Rightarrow 99900x = 247134 \)
\( x = \frac{247134}{99900} \)
Zkrátíme zlomek číslem 6: \( \frac{41189}{16650} \)
Zkoumáme další dělení: zjistíme, že největší společný dělitel je 83
Po zkrácení: \( \frac{4975}{2010} \Rightarrow \frac{995}{402} \)
Další krácení 23: \( \frac{43.26}{17.478} \), zde již zlomek nejde dále krátit. Výsledek je:
\( \frac{247134}{99900} \)
82. Převeď číslo \( 0.1\overline{09} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.109090909\ldots \), kde 1 je neperiodická část a 09 je perioda.
Nejprve vynásobíme \( x \) číslem, které periodu i neperiodickou část posune za desetinnou čárku: \( 10^3 = 1000 \):
\( 1000x = 109.090909\ldots \)
Násobíme jen po začátek periody, tj. o dvě číslice: \( 10^1 = 10 \):
\( 10x = 1.090909\ldots \)
Odečteme:
\( 1000x – 10x = 109.090909 – 1.090909 \Rightarrow 990x = 108 \)
\( x = \frac{108}{990} \)
Zkrátíme číslem 18: \( \frac{6}{55} \)
Výsledný zlomek je: \( \frac{6}{55} \)
83. Převeď číslo \( 5.\overline{987654} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 5.987654987654\ldots \), perioda má 6 číslic.
Vynásobíme \( x \) číslem \( 10^6 = 1000000 \):
\( 1000000x = 5987654.987654\ldots \)
Odečteme původní \( x \):
\( 1000000x – x = 5987654.987654 – 5.987654 \Rightarrow 999999x = 5987649 \)
\( x = \frac{5987649}{999999} \)
Zlomek je základní, nelze dále krátit. Výsledek:
\( \frac{5987649}{999999} \)
84. Převeď číslo \( 0.0\overline{3} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.033333\ldots \), kde \( 0 \) je neperiodická část, \( 3 \) je perioda.
Posuneme desetinnou čárku o dvě místa: \( 100x = 3.333\ldots \)
A pouze po konec neperiodické části: \( 10x = 0.3333\ldots \)
Odečteme:
\( 100x – 10x = 3.333 – 0.333 \Rightarrow 90x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \)
85. Převeď číslo \( 1.2345\overline{67} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 1.2345676767\ldots \), kde \( 2345 \) je neperiodická část a \( 67 \) je perioda.
Násobíme číslem \( 10^6 = 1000000 \):
\( 1000000x = 1234567.676767\ldots \)
Také: \( 10000x = 12345.676767\ldots \)
Odečteme:
\( 1000000x – 10000x = 1222222 \Rightarrow 990000x = 1222222 \Rightarrow x = \frac{1222222}{990000} \)
Zkrátíme číslem 2: \( \frac{611111}{495000} \)
Největší společný dělitel je \(1\), nelze dále krátit. Výsledek: \( \frac{611111}{495000} \)
86. Převeď číslo \( 0.00\overline{1234} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.0012341234\ldots \), kde \( 00 \) je neperiodická část a \( 1234 \) je perioda.
Vynásobíme \( 10^6 = 1000000 \):
\( 1000000x = 1234.12341234\ldots \)
A také \( 100x = 0.12341234\ldots \)
Odečteme:
\( 1000000x – 100x = 1234 \Rightarrow 999900x = 1234 \Rightarrow x = \frac{1234}{999900} \)
Zkrátíme číslem 2: \( \frac{617}{499950} \)
87. Převeď číslo \( 4.\overline{0001} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 4.000100010001\ldots \), kde perioda je \(0001\).
Násobíme \( 10^4 = 10000 \):
\( 10000x = 40001.00010001\ldots \)
Odečteme původní:
\( 10000x – x = 40001 – 4 = 39997 \Rightarrow 9999x = 39997 \Rightarrow x = \frac{39997}{9999} \)
88. Převeď číslo \( 0.\overline{123} \) na zlomek (jedna perioda: pravidelné opakování).
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.\overline{123} \), kde perioda je \(123\).
Vynásobíme \( x \) číslem \( 1000 \), aby se perioda posunula za desetinnou čárku:
\( 1000x = 123.123123\ldots \)
Odečteme původní \( x \):
\( 1000x – x = 123.123123\ldots – 0.123123\ldots \Rightarrow 999x = 123 \)
\( x = \frac{123}{999} \)
Zkrátíme zlomek číslem 3: \( x = \frac{41}{333} \)
89. Převeď číslo \( 12.0\overline{456} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 12.0456456456\ldots \), neperiodická část má \(1\) číslici \((0)\).
\(10000x = 120456.456456\ldots \)
\(100x = 120.456456\ldots \)
Odečteme: \( 9900x = 120336 \Rightarrow x = \frac{120336}{9900} \Rightarrow \frac{66853}{5500} \)
90. Převeď číslo \( 0.\overline{0009} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0.000900090009\ldots \)
Vynásobíme \( 10^4 = 10000 \):
\( 10000x = 9.000900009\ldots \)
Odečteme \( x \): \( 9999x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{9999} = \frac{1}{1111} \)
91. Převeď číslo \( 0{,}72\overline{49} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}72\overline{49} \). Perioda je „\(49\)“, předperioda je „\(72\)“ (dvě číslice).
Vynásobíme číslo tak, aby desetinná část začínala opakující se periodou. Posuneme desetinnou čárku o 2 místa doprava:
\( 100x = 72{,}494949\ldots \)
Nyní vynásobíme tak, aby se celá perioda objevila za desetinnou čárkou. Perioda má \(2\) číslice, vynásobíme ještě \(100\):
\( 10000x = 7249{,}494949\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 10000x – 100x = 7249{,}494949\ldots – 72{,}494949\ldots \Rightarrow 9900x = 7177 \)
\( x = \frac{7177}{9900} \)
Najdeme největšího společného dělitele čísel \(7177\) a \(9900\) a zjednodušíme zlomek.
\(NSD(7177, 9900) = 1 \Rightarrow \) zlomek je již v základním tvaru.
Výsledkem je \( \frac{7177}{9900} \).
92. Převeď číslo \( 2{,}0\overline{16} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 2{,}0\overline{16} \). Perioda má dvě číslice, před periodou je \(0\).
Nejprve vynásobíme \(x\) tak, aby perioda začínala ihned za desetinnou čárkou:
\( 10x = 20{,}161616\ldots \)
Vynásobíme ještě \(100\), abychom dostali celý cyklus za desetinnou čárku:
\( 1000x = 2016{,}161616\ldots \)
Odečteme obě rovnice:
\( 1000x – 10x = 2016{,}161616\ldots – 20{,}161616\ldots \Rightarrow 990x = 1996 \)
\( x = \frac{1996}{990} \)
Zkrátíme zlomek dělením obou čísel číslem \(2\):
\( x = \frac{998}{495} \)
\(NSD(998, 495) = 1 \Rightarrow\) zlomek je již v základním tvaru.
Výsledkem je \( \frac{998}{495} \).
93. Převeď číslo \( 0{,}8\overline{472} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}8\overline{472} \). Perioda je „\(472\)“, předperioda je „\(8\)“.
Nejprve vynásobíme 10, abychom odstranili předperiodu:
\( 10x = 8{,}472472472\ldots \)
Nyní posuneme o \(3\) číslice, tedy vynásobíme \(1000\):
\( 10000x = 8472{,}472472\ldots \)
Odečteme rovnice:
\( 10000x – 10x = 8472{,}472\ldots – 8{,}472\ldots \Rightarrow 9990x = 8464 \)
\( x = \frac{8464}{9990} \)
\(NSD(8464, 9990) = 2\), takže zkrátíme:
\( x = \frac{4232}{4995} \)
\(NSD(4232, 4995) = 1 \Rightarrow\) konečný výsledek je \( \frac{4232}{4995} \).
94. Převeď číslo \( 1{,}25\overline{8} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 1{,}25\overline{8} \). Perioda má \(1\) číslici, před ní jsou dvě číslice.
Vynásobíme x \(100\), abychom dostali periodu hned za desetinnou čárku:
\( 100x = 125{,}8888\ldots \)
Vynásobíme ještě \(10\), aby se perioda opakovala za čárkou:
\( 1000x = 1258{,}8888\ldots \)
Odečteme obě rovnice:
\( 1000x – 100x = 1258{,}8888\ldots – 125{,}8888\ldots \Rightarrow 900x = 1133 \)
\( x = \frac{1133}{900} \)
Zlomek je již v základním tvaru.
Výsledkem je \( \frac{1133}{900} \).
95. Převeď číslo \( 0{,}6\overline{21} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}6\overline{21} \). Předperioda je jedna číslice.
Vynásobíme x \(10\), aby se perioda dostala za čárku:
\( 10x = 6{,}212121\ldots \)
Vynásobíme \(100\), aby se celá perioda opakovala za čárkou:
\( 1000x = 621{,}212121\ldots \)
Odečteme:
\( 1000x – 10x = 621{,}212121\ldots – 6{,}212121\ldots \Rightarrow 990x = 615 \)
\( x = \frac{615}{990} \)
Zkrátíme číslem \(15\):
\( x = \frac{41}{66} \)
Výsledkem je \( \frac{41}{66} \).
96. Převeď číslo \( 3{,}1\overline{025} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 3{,}1\overline{025} \). Předperioda je \( 1 \) číslice, perioda \( 3 \) číslice.
Vynásobíme \( 10 \), abychom odstranili předperiodu:
\( 10x = 31{,}025025025\ldots \)
Vynásobíme \( 1000 \), abychom odstranili periodu:
\( 1000x = 31025{,}025025\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 1000x – 10x = 31025{,}025025\ldots – 31{,}025025\ldots \Rightarrow 990x = 31019 \)
Máme rovnici:
\( 990x = 31019 \)
Vydělíme obě strany rovnice \( 990 \):
\( x = \frac{31019}{990} \)
Největší společný dělitel \(NSD) čísel \( 31019 \) a \( 990 \) je \( 1 \), takže zlomek je v základním tvaru.
Výsledek: \( x = \frac{31019}{990} \)
97. Převeď číslo \( 0{,}1\overline{2345} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}1\overline{2345} \). Perioda má \( 4 \) číslice, předperioda \( 1 \) číslici.
Vynásobíme \( 10 \), aby se za desetinnou čárkou dostala perioda:
\( 10x = 1{,}23452345\ldots \)
Vynásobíme \( 10^4 = 10000 \), abychom dostali celé periodické číslo za desetinnou čárku:
\( 100000x = 12345{,}2345\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 100000x – 10x = 12345{,}2345\ldots – 1{,}2345\ldots \Rightarrow 99990x = 12344 \)
\( x = \frac{12344}{99990} \)
Najdeme největšího společného dělitele (NSD) čísel \( 12344 \) a \( 99990 \):
NSD\((12344, 99990) = 2\)
Po zkrácení získáme:
\( x = \frac{6172}{49995} \)
\(NSD\((6172, 49995) = 1 \Rightarrow\) zlomek je v základním tvaru.
Výsledek: \( \frac{6172}{49995} \).
98. Převeď číslo \( 4{,}56\overline{789} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 4{,}56\overline{789} \). Perioda má \( 3 \) číslice, předperioda \( 2 \) číslice.
Vynásobíme \( 10^2 = 100 \), abychom odstranili předperiodu:
\( 100x = 456{,}789789789\ldots \)
Vynásobíme ještě \( 10^3 = 1000 \), aby za desetinnou čárkou byla jen perioda:
\( 100000x = 456789{,}789789789\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 100000x – 100x = 456789{,}789789\ldots – 456{,}789789\ldots \Rightarrow 99900x = 456333 \)
\( x = \frac{456333}{99900} \)
Najdeme NSD\((456333, 99900)\):
NSD = \( 3 \)
Po zkrácení dostaneme:
\( x = \frac{152111}{33300} \)
\(NSD\((152111, 33300) = 1 \Rightarrow\) zlomek je v základním tvaru.
Výsledek: \( \frac{152111}{33300} \).
99. Převeď číslo \( 0{,}0\overline{123456} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 0{,}0\overline{123456} \). Předperioda jsou dvě nuly, perioda má \( 6 \) číslic.
Vynásobíme \( 10^2 = 100 \), abychom odstranili předperiodu:
\( 100x = 0{,}123456123456\ldots \)
Vynásobíme ještě \( 10^6 = 1000000 \), aby se za desetinnou čárkou objevila pouze perioda:
\( 100000000x = 123456{,}123456\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 100000000x – 100x = 123456{,}123456\ldots – 0{,}123456\ldots \Rightarrow 99999900x = 123456 \)
\( x = \frac{123456}{99999900} \)
Najdeme NSD\((123456, 99999900)\):
NSD = \( 12 \)
Po zkrácení:
\( x = \frac{10288}{8333325} \)
\(NSD\((10288, 8333325) = 1 \Rightarrow\) zlomek je v základním tvaru.
Výsledek: \( \frac{10288}{8333325} \).
100. Převeď číslo \( 7{,}89\overline{456} \) na zlomek.
Řešení příkladu:
Nechť \( x = 7{,}89\overline{456} \). Předperioda má \( 2 \) číslice, perioda má \( 3 \) číslice.
Vynásobíme \( 10^2 = 100 \), abychom odstranili předperiodu:
\( 100x = 789{,}456456456\ldots \)
Vynásobíme ještě \( 10^3 = 1000 \), aby se za desetinnou čárkou objevila pouze perioda:
\( 100000x = 789456{,}456456\ldots \)
Odečteme první rovnici od druhé:
\( 100000x – 100x = 789456{,}456456\ldots – 789{,}456456\ldots \Rightarrow 99900x = 788667 \)
\( x = \frac{788667}{99900} \)
Najdeme NSD\((788667, 99900)\):
NSD = \( 3 \)
Po zkrácení:
\( x = \frac{262889}{33300} \)
\(NSD\((262889, 33300) = 1 \Rightarrow\) zlomek je v základním tvaru.
Výsledek: \( \frac{262889}{33300} \).