Rovnice s parametry

Řešení příkladu:

Rovnice je ve tvaru \( (a-2)x + 3 = 0 \). Cílem je vyjádřit \(x\) v závislosti na parametru \(a\).

Nejprve zjistíme, kdy má rovnice řešení. Rovnice je lineární a má tvar \( mx + b = 0 \), kde \( m = a – 2 \) a \( b = 3 \).

Podmínka existence řešení je, aby koeficient u \(x\) nebyl nulový:

\( a – 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2 \).

Pro \( a \neq 2 \) platí:

\( (a-2)x + 3 = 0 \Rightarrow (a-2)x = -3 \Rightarrow x = \frac{-3}{a-2} \).

Pokud \( a = 2 \), rovnice má tvar \( 0 \cdot x + 3 = 0 \Rightarrow 3 = 0 \), což není pravda, tedy žádné řešení.

Závěr: Pro \( a \neq 2 \) je řešení \( x = \frac{-3}{a-2} \), pro \( a=2 \) rovnice nemá řešení.

Řešení příkladu:

Rovnice \( kx^2 – 4x + 1 = 0 \) je kvadratická rovnice s parametrem \( k \).

Podmínka existence právě jednoho řešení je, že diskriminant \(D\) je roven nule:

\( D = b^2 – 4ac \), kde \( a = k \), \( b = -4 \), \( c = 1 \).

Vypočteme diskriminant:

\( D = (-4)^2 – 4 \cdot k \cdot 1 = 16 – 4k \).

Podmínka pro jedno řešení:

\( D = 0 \Rightarrow 16 – 4k = 0 \Rightarrow 4k = 16 \Rightarrow k = 4 \).

Závěr: Pro \( k = 4 \) má rovnice právě jedno řešení.

Řešení příkladu:

Rovnice má tvar \( \frac{1}{x-1} + m = 0 \).

Nejprve určíme definiční obor, kde není možné dělit nulou:

\( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \).

Převedeme rovnici:

\( \frac{1}{x-1} = -m \).

Pokud \( m = 0 \), pak \( \frac{1}{x-1} = 0 \), což nemá řešení, protože zlomek nikdy není nula.

Pokud \( m \neq 0 \), pak

\( x – 1 = \frac{1}{-m} = -\frac{1}{m} \Rightarrow x = 1 – \frac{1}{m} \).

Zkontrolujeme, zda nalezené řešení není v definičním oboru zakázáno:

Musí platit \( x \neq 1 \Rightarrow 1 – \frac{1}{m} \neq 1 \Rightarrow – \frac{1}{m} \neq 0 \Rightarrow m \neq \infty \), což platí pro všechny konečné \( m \neq 0 \).

Závěr: Rovnice má řešení pro všechna \( m \neq 0 \), konkrétně \( x = 1 – \frac{1}{m} \). Pro \( m = 0 \) řešení neexistuje.

Řešení příkladu:

Rovnice je kvadratická v \(x\), parametr \(a\) ovlivňuje koeficienty.

Identifikujeme koeficienty:

\( a_x = 2a + 1 \), \( b_x = -3 \), \( c_x = a \).

Podmínka existence reálných řešení je, že diskriminant \(D\) je nezáporný:

\( D = b_x^2 – 4 a_x c_x \geq 0 \).

Dosadíme:

\( D = (-3)^2 – 4 (2a + 1)(a) = 9 – 4a(2a + 1) = 9 – 8a^2 – 4a \geq 0 \).

Přeuspořádáme nerovnici:

\( -8a^2 – 4a + 9 \geq 0 \Rightarrow 8a^2 + 4a – 9 \leq 0 \).

Vyřešíme kvadratickou nerovnici \( 8a^2 + 4a – 9 \leq 0 \).

Diskriminant této kvadratické funkce v \(a\):

\( D_a = 4^2 – 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 16 + 288 = 304 \).

Kořeny jsou:

\( a_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 8} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{76}}{16} = \frac{-4 \pm 2 \cdot 2 \sqrt{19}}{16} = \frac{-4 \pm 4 \sqrt{19}}{16} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{4} \).

Označíme si:

\( a_1 = \frac{-1 – \sqrt{19}}{4} \), \( a_2 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{4} \).

Protože koeficient u \(a^2\) je kladný (8), parabola je „směrem nahoru“, a nerovnice \( \leq 0 \) platí mezi kořeny:

\( a \in \left[ \frac{-1 – \sqrt{19}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{19}}{4} \right] \).

Další podmínka: koeficient u \(x^2\) nesmí být nulový, jinak by to nebyla kvadratická rovnice:

\( 2a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{1}{2} \).

Závěr: Rovnice má reálná řešení právě pro \( a \in \left[ \frac{-1 – \sqrt{19}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{19}}{4} \right] \) a \( a \neq -\frac{1}{2} \).

Pokud \( a \) splňuje tyto podmínky, řešení \(x\) jsou podle vzorce:

\( x = \frac{3 \pm \sqrt{D}}{2(2a+1)} \), kde \( D = 9 – 4a(2a+1) \).

Řešení příkladu:

Definiční obor je určen podmínkou, že jmenovatel není nulový:

\( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Rovnici přepíšeme:

\( \frac{t}{x+2} = 3 \Rightarrow t = 3(x+2) \Rightarrow 3x + 6 = t \Rightarrow 3x = t – 6 \Rightarrow x = \frac{t-6}{3} \).

Zkontrolujeme, zda tato hodnota nenarušuje definiční obor:

\( x \neq -2 \Rightarrow \frac{t-6}{3} \neq -2 \Rightarrow t – 6 \neq -6 \Rightarrow t \neq 0 \).

Pokud \( t = 0 \), pak rovnice je \( 0 = 3(x+2) \Rightarrow 3(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2 \), ale to není v definičním oboru.

Závěr:

– Pro \( t \neq 0 \) má rovnice řešení \( x = \frac{t-6}{3} \).

– Pro \( t = 0 \) řešení neexistuje.

Řešení příkladu:

Definiční obor rovnice určuje podmínka pod odmocninou:

\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \).

Rovnice: \( \sqrt{x+1} = a – x \).

Pro pravou stranu platí:

\( a – x \geq 0 \Rightarrow x \leq a \), protože odmocnina je vždy nezáporná.

Celkový definiční obor tedy je \( x \in [-1, a] \).

Umocníme obě strany rovnice (platí pouze pokud obě strany jsou nezáporné):

\( (\sqrt{x+1})^2 = (a – x)^2 \Rightarrow x + 1 = a^2 – 2ax + x^2 \).

Převedeme vše na jednu stranu:

\( 0 = a^2 – 2ax + x^2 – x – 1 \Rightarrow x^2 – (2a + 1) x + (a^2 – 1) = 0 \).

Jedná se o kvadratickou rovnici v \(x\), kde koeficienty závisí na \(a\).

Podmínka, že původní rovnice má právě jedno řešení, znamená, že tento kvadratický výraz má jedno řešení \(x_0\) v intervalu \( [-1, a] \) a zároveň splňuje podmínku \( \sqrt{x_0 + 1} = a – x_0 \).

Pro jednodušší analýzu nejdříve najdeme diskriminant:

\( D = (2a + 1)^2 – 4(a^2 – 1) = 4a^2 + 4a + 1 – 4a^2 + 4 = 4a + 5 \).

Aby rovnice měla alespoň jedno reálné řešení, musí být \( D \geq 0 \Rightarrow 4a + 5 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{5}{4} \).

Pro jedno řešení diskriminant musí být nula:

\( D = 0 \Rightarrow 4a + 5 = 0 \Rightarrow a = -\frac{5}{4} \).

Zkusíme tuto hodnotu \( a = -\frac{5}{4} \) dosadit zpět do kvadratické rovnice:

\( x^2 – (2a + 1) x + (a^2 -1) = 0 \Rightarrow x^2 – \left(2 \cdot -\frac{5}{4} + 1\right)x + \left(\left(-\frac{5}{4}\right)^2 – 1\right) = 0 \).

To je

\( x^2 – \left(-\frac{10}{4} + 1\right) x + \left(\frac{25}{16} – 1\right) = 0 \Rightarrow x^2 – \left(-\frac{6}{4}\right)x + \frac{9}{16} = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = 0 \).

Má jedno řešení:

\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4} \).

Zkontrolujeme definiční podmínky pro \( x = -\frac{3}{4} \):

– \( x + 1 = \frac{1}{4} \geq 0 \) platí.

– \( x \leq a \Rightarrow -\frac{3}{4} \leq -\frac{5}{4} \) neplatí, protože \(-\frac{3}{4} > -\frac{5}{4}\).

Tedy tato hodnota nesplňuje podmínky původní rovnice, takže není platným řešením.

Pro jiné hodnoty \(a\) s \(D > 0\) může být buď 0, 1 nebo 2 řešení původní rovnice v definovaném oboru.

Detailní analýza vyžaduje provést test řešení kvadratické rovnice a podmínky \( \sqrt{x+1} = a – x \) v definičním oboru.

Závěrem: Rovnice má právě jedno řešení pro hodnoty \(a\), kde kvadratická rovnice má dvě reálná řešení a právě jedno z nich splňuje podmínky definičního oboru a rovnost. To vyžaduje analýzu podle konkrétních hodnot \(a\), přičemž hraniční hodnotou je \( a \geq -\frac{5}{4} \).

Řešení příkladu:

Rovnice je \(\sqrt{x+2} = a – x\).

Definiční obor vyplývá z podmínek:

\(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\),

\(a – x \geq 0 \Rightarrow x \leq a\).

Definiční obor je tedy \([-2, a]\).

Umocníme obě strany rovnice (pozor na možné falešné kořeny):

\(x + 2 = (a – x)^2 = a^2 – 2ax + x^2\).

Přesuneme vše na jednu stranu:

\(x^2 – (2a + 1)x + (a^2 – 2) = 0\).

Diskriminant kvadratické rovnice:

\(D = (2a + 1)^2 – 4(a^2 – 2) = 4a^2 + 4a + 1 – 4a^2 + 8 = 4a + 9\).

Pro reálné kořeny musí platit \(D \geq 0 \Rightarrow 4a + 9 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{9}{4}\).

Kořeny jsou:

\(x_{1,2} = \frac{2a + 1 \pm \sqrt{4a + 9}}{2}\).

Pro jedno řešení musí být buď \(D = 0\), nebo jeden kořen splňuje definiční obor a druhý ne.

1. Pokud \(D = 0 \Rightarrow a = -\frac{9}{4}\), kořen je \(x = \frac{2a+1}{2} = -\frac{7}{4}\).

Definiční obor je \([-2, -\frac{9}{4}]\), ale \(-\frac{7}{4} = -1.75\) není \(\leq -2.25\), proto kořen není v definičním oboru – neplatí.

2. Pokud \(a > -\frac{9}{4}\), jsou dva kořeny. Pro jedno řešení musí právě jeden kořen ležet v definičním oboru a splňovat původní rovnici.

To vyžaduje analýzu hodnot \(a\) a kontrolu kořenů, kdy jeden leží v intervalu \([-2, a]\) a druhý mimo.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro hodnoty \(a\), které vyhovují této podmínce (podrobné vyšetření je možné pokračovat dalším rozborem kořenů).

Řešení příkladu:

Definiční obor z podmínek:

\(2x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\),

\(x – a \geq 0 \Rightarrow x \geq a\).

Celkový definiční obor je \(x \geq \max\left(\frac{1}{2}, a\right)\).

Umocněním obou stran:

\(2x – 1 = (x – a)^2 = x^2 – 2ax + a^2\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – (2a + 2) x + (a^2 + 1) = 0\).

Diskriminant:

\(D = (2a + 2)^2 – 4(a^2 + 1) = 4a^2 + 8a + 4 – 4a^2 – 4 = 8a\).

Podmínka pro reálné kořeny je \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq 0\).

Kořeny jsou:

\(x_{1,2} = \frac{2a + 2 \pm \sqrt{8a}}{2} = a + 1 \pm \sqrt{2a}\).

Pro jedno řešení může být \(D=0\), tj. \(a=0\), což dává kořen \(x=1\), který splňuje definiční obor.

Pro \(a > 0\) je třeba zkoumat, kdy právě jeden kořen leží v definičním oboru \(x \geq \max\left(\frac{1}{2}, a\right)\) a druhý ne.

Podrobnější rozbor kořenů a definičního oboru je nutný pro přesné určení hodnot \(a\), kdy je právě jedno řešení.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(3x – a \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{a}{3}\),

\(x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).

Definiční obor je tedy \(x \geq \max\left(\frac{a}{3}, 1\right)\).

Umocníme rovnici:

\(3x – a = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 5x + (a + 1) = 0\).

Diskriminant:

\(D = 25 – 4(a + 1) = 21 – 4a\).

Pro reálné kořeny musí platit \(D \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{21}{4} = 5{,}25\).

Kořeny jsou:

\(x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21 – 4a}}{2}\).

Pro jedno řešení musí být buď \(D=0\), tedy \(a= \frac{21}{4}\), nebo právě jeden kořen splňuje definiční obor a původní rovnici.

Pokud \(a= \frac{21}{4}\), kořen je \(x = \frac{5}{2} = 2{,}5\), který splňuje \(x \geq \max\left(\frac{a}{3}, 1\right) = \max\left( \frac{21/4}{3}, 1 \right) = \max\left(1{,}75, 1\right) = 1{,}75\), takže řešení existuje.

Pro hodnoty \(a < \frac{21}{4}\) je třeba dále zkoumat umístění kořenů vůči definičnímu oboru.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(x^2 + a \geq 0\) (pro reálná \(x\) a \(a\)),

\(x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\).

Protože \(\sqrt{x^2 + a}\) je definováno pouze, pokud \(x^2 + a \geq 0\), což závisí na hodnotě \(a\).

Umocněním:

\(x^2 + a = (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4\).

Převedeme na lineární rovnici v \(x\):

\(a = -4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 – a \Rightarrow x = \frac{4 – a}{4}\).

Tento kořen musí splňovat \(x \geq 2\), tedy \(\frac{4 – a}{4} \geq 2 \Rightarrow 4 – a \geq 8 \Rightarrow a \leq -4\).

Pro \(a \leq -4\) existuje právě jedno řešení \(x = \frac{4 – a}{4}\) v definičním oboru.

Pro \(a > -4\) rovnice nemá řešení splňující podmínky.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(4x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4}\),

\(a – x \geq 0 \Rightarrow x \leq a\).

Celkový definiční obor je \(\left[-\frac{1}{4}, a \right]\).

Umocníme rovnici:

\(4x + 1 = (a – x)^2 = a^2 – 2ax + x^2\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – (2a + 4)x + (a^2 – 1) = 0\).

Diskriminant:

\(D = (2a + 4)^2 – 4(a^2 – 1) = 4a^2 + 16a + 16 – 4a^2 + 4 = 16a + 20\).

Podmínka reálnosti kořenů je \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{5}{4}\).

Kořeny:

\(x_{1,2} = \frac{2a + 4 \pm \sqrt{16a + 20}}{2} = a + 2 \pm \frac{\sqrt{16a + 20}}{2}\).

Pro jedno řešení musí platit, že pouze jeden kořen leží v definičním oboru \(\left[-\frac{1}{4}, a \right]\) a splňuje původní rovnici.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(x + a \geq 0 \Rightarrow x \geq -a\),

\(3 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3\).

Definiční obor je \([-a, 3]\).

Umocníme rovnici:

\(x + a = (3 – x)^2 = 9 – 6x + x^2\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 7x + (9 – a) = 0\).

Diskriminant:

\(D = 49 – 4(9 – a) = 49 – 36 + 4a = 13 + 4a\).

Pro reálné kořeny \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{13}{4}\).

Kořeny jsou:

\(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13 + 4a}}{2}\).

Podmínka pro jedno řešení: právě jeden kořen leží v definičním oboru \([-a, 3]\) a splňuje původní rovnici.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(2x + a \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{a}{2}\),

\(x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).

Celkový definiční obor je \([ \max(-\frac{a}{2}, 1), \infty )\).

Umocněním:

\(2x + a = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 4x + (1 – a) = 0\).

Diskriminant:

\(D = 16 – 4(1 – a) = 16 – 4 + 4a = 12 + 4a\).

Reálné kořeny existují pro \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq -3\).

Kořeny:

\(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12 + 4a}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{12 + 4a}}{2}\).

Pro jedno řešení platí, že pouze jeden kořen splňuje definiční obor a původní rovnici.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(x – a \geq 0 \Rightarrow x \geq a\),

\(2x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}\).

Celkový definiční obor je \([\max(a, \frac{3}{2}), \infty)\).

Umocněním:

\(x – a = (2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(4x^2 – 13x + (9 + a) = 0\).

Diskriminant:

\(D = (-13)^2 – 4 \cdot 4 \cdot (9 + a) = 169 – 16(9 + a) = 169 – 144 – 16a = 25 – 16a\).

Pro reálné kořeny musí platit \(D \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{25}{16}\).

Kořeny:

\(x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{25 – 16a}}{8}\).

Pro jedno řešení platí, že právě jeden kořen splňuje definiční obor a původní rovnici.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(5x + a \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{a}{5}\),

\(x – 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4\).

Celkový definiční obor je \([\max(-\frac{a}{5}, 4), \infty)\).

Umocněním:

\(5x + a = (x – 4)^2 = x^2 – 8x + 16\).

Převedeme na kvadratickou rovnici:

\(x^2 – 13x + (16 – a) = 0\).

Diskriminant:

\(D = 169 – 4(16 – a) = 169 – 64 + 4a = 105 + 4a\).

Pro reálné kořeny platí \(D \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{105}{4} = -26{,}25\).

Kořeny:

\(x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{105 + 4a}}{2}\).

Podmínka jednoho řešení znamená, že pouze jeden kořen leží v definičním oboru a splňuje původní rovnici.

Řešení příkladu:

Definiční obor:

\(x^2 + a \geq 0\), což platí pro všechny reálné \(x\) pokud \(a \geq 0\), jinak musí platit \(x^2 \geq -a\).

Podmínka pro pravou stranu: \(x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).

Celkový definiční obor je tedy \([\max(\sqrt{-a}, 1), \infty)\) pokud \(a < 0\), jinak \([1, \infty)\).

Umocněním rovnice:

\(x^2 + a = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1\).

Převedeme na lineární rovnici v \(x\):

\(a = -2x + 1 \Rightarrow 2x = 1 – a \Rightarrow x = \frac{1 – a}{2}\).

Pro řešení musí platit \(x\) v definičním oboru.

Pro \(a \geq 0\) máme \(x \geq 1\), tedy \(\frac{1 – a}{2} \geq 1 \Rightarrow 1 – a \geq 2 \Rightarrow a \leq -1\), což není možné s \(a \geq 0\).

Pro \(a < 0\) platí \(\frac{1 - a}{2} \geq \sqrt{-a}\) a \(\frac{1 - a}{2} \geq 1\), což musí být analyzováno detailně.

Řešení příkladu:

Rovnice je \( (m+1)x + 2 = 5 \).

Nejprve upravíme rovnicu tak, aby bylo jasné, pro jaké hodnoty parametru \(m\) existuje jednoznačné řešení.

Odečteme 2 od obou stran:

\((m+1)x = 5 – 2 = 3\).

Pokud \(m + 1 \neq 0\), rovnice má jednoznačné řešení:

\(x = \frac{3}{m+1}\).

Pokud by platilo \(m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1\), pak rovnice má tvar:

\(0 \cdot x + 2 = 5\), tedy \(2 = 5\), což je nepravda a rovnice nemá řešení.

Závěr: Pro všechny hodnoty \(m \neq -1\) má rovnice jednoznačné řešení, pro \(m = -1\) řešení neexistuje.

Řešení příkladu:

Máme rovnici \(kx – 3 = k + 2x\).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\(kx – 2x = k + 3\).

Vyjádříme levou stranu jako \((k – 2)x\):

\((k – 2)x = k + 3\).

Aby rovnice měla nekonečně mnoho řešení, musí být obě strany totožně stejné, tedy:

1) Koeficient u \(x\) musí být nulový:

\(k – 2 = 0 \Rightarrow k = 2\).

2) Pravá strana musí být také nulová, aby rovnice byla splněna pro všechna \(x\):

\(k + 3 = 0 \Rightarrow k = -3\).

Tyto podmínky jsou v rozporu (\(k\) nemůže být současně 2 i -3), proto rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné \(k\).

Proto nekonečně mnoho řešení není možné.

Řešení příkladu:

Máme rovnici \((a-2)x + 4 = (a+1)x – 1\).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\((a-2)x – (a+1)x = -1 – 4\).

Zjednodušme levou i pravou stranu:

\((a – 2 – a – 1)x = -5 \Rightarrow (-3)x = -5\).

Pokud je koeficient u \(x\) různý od nuly, rovnice má jednoznačné řešení:

\(-3 \neq 0\), což platí vždy, proto rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro každé reálné \(a\).

Řešení příkladu:

Rovnice je \((t-1)x + 3 = 0\).

Aby rovnice měla nekonečně mnoho řešení, musí být identicky splněna pro všechna \(x\).

To znamená, že koeficient u \(x\) i absolutní člen musí být nulové:

• \(t – 1 = 0 \Rightarrow t = 1\)
• \(3 = 0\) — což není pravda.

Proto rovnice nemůže mít nekonečně mnoho řešení pro žádné \(t\).

Závěr: Rovnice není nikdy nerozhodnutelná, vždy má právě jedno řešení nebo žádné.

Řešení příkladu:

Máme rovnici \((m-3)x + 2 = (m+1)x – 4\).

Převedeme všechny členy obsahující \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\((m-3)x – (m+1)x = -4 – 2\).

Zjednodušme levou stranu:

\((m – 3 – m – 1)x = -6 \Rightarrow (-4)x = -6\).

Koeficient u \(x\) je \(-4\), což je konstantní hodnota, nezávislá na parametru \(m\).

Tedy rovnice má vždy jednoznačné řešení:

\(x = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}\).

Závěr: Pro všechna reálná \(m\) má rovnice právě jedno řešení.

Řešení příkladu:

Rovnici upravíme na tvar, kdy všechny členy jsou na jedné straně:

\((a+2)x – 3x = a – 7 + 5\).

Zjednodušme levou stranu:

\((a+2 – 3)x = a – 2\).

To je rovno:

\((a – 1)x = a – 2\).

Aby měla rovnice nekonečně mnoho řešení, musí být identická, tj. platit pro všechna \(x\), což znamená, že koeficient u \(x\) i pravá strana musí být nulové:

• \(a – 1 = 0 \Rightarrow a = 1\)
• \(a – 2 = 0 \Rightarrow a = 2\)

Podmínky jsou neslučitelné, tedy rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné \(a\).

Řešení příkladu:

Upravíme rovnici na tvar:

\((k-4)x – 3kx = -2 – 7\).

Levou stranu upravíme:

\((k – 4 – 3k)x = -9 \Rightarrow (-2k – 4)x = -9\).

Aby byla rovnice řešitelná právě jedním řešením, koeficient u \(x\) nesmí být nula:

\(-2k – 4 \neq 0 \Rightarrow -2k \neq 4 \Rightarrow k \neq -2\).

Pro \(k \neq -2\) platí jednoznačné řešení:

\(x = \frac{-9}{-2k – 4} = \frac{9}{2k + 4}\).

Pro \(k = -2\) se koeficient u \(x\) rovná nule, rovnice má tvar:

\(0 \cdot x + 7 = 3(-2)x – 2 \Rightarrow 7 = -6x – 2\), což není pravda pro všechna \(x\), tedy žádné řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq -2\).

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme vynásobit \(m\) (za předpokladu, že \(m \neq 0\)):

\(x + 1 = m(x – 2)\).

Roznásobíme pravou stranu:

\(x + 1 = mx – 2m\).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\(x – mx = -2m – 1\).

Vyjádříme levou stranu jako \(x(1 – m)\):

\(x(1 – m) = -2m – 1\).

Aby byla rovnice jednoznačně řešitelná, musí platit:

\(1 – m \neq 0 \Rightarrow m \neq 1\).

Pro \(m \neq 1\) existuje právě jedno řešení:

\(x = \frac{-2m – 1}{1 – m}\).

Pro \(m = 1\) rovnice nabývá tvaru:

\(\frac{x+1}{1} = x – 2 \Rightarrow x + 1 = x – 2 \Rightarrow 1 = -2\), což není pravda, tedy žádné řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro \(m \neq 1\), pro \(m = 1\) nemá řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme rovnici:

\((a+3)x – (2a – 1) = (a – 1)x + 5\).

Převedeme všechny členy s \(x\) na levou stranu a konstanty na pravou:

\((a+3)x – (a – 1)x = 5 + (2a – 1)\).

Zjednodušme levou stranu:

\((a + 3 – a + 1)x = 5 + 2a – 1 \Rightarrow 4x = 2a + 4\).

Pro nekonečně mnoho řešení musí být rovnice totožná pro všechna \(x\), tedy koeficient u \(x\) i pravá strana musí být nulové:

• \(4 = 0\) — což není pravda.

Tedy rovnice nemůže mít nekonečně mnoho řešení pro žádné \(a\).

Řešení příkladu:

Rovnici začneme řešit tak, že vynásobíme obě strany rovnice parametrem \(m\), přičemž předpokládáme, že \(m \neq 0\), abychom se vyhnuli dělení nulou:

\[ x – 2 + 3m = 2mx – m^2 \]

Nyní upravíme rovnici tak, aby byly všechny členy obsahující \(x\) na jedné straně a ostatní na druhé:

\[ x – 2 + 3m – 2mx + m^2 = 0 \]

Skupinujeme členy podle \(x\):

\[ x – 2mx + (3m + m^2 – 2) = 0 \]

Vyjádříme členy s \(x\):

\[ x(1 – 2m) = – (3m + m^2 – 2) \]

Pro jednoznačné řešení musí být koeficient u \(x\) různý od nuly, tj.:

\[ 1 – 2m \neq 0 \Rightarrow m \neq \frac{1}{2} \]

Pro \(m \neq \frac{1}{2}\) lze vyjádřit \(x\) jako:

\[ x = \frac{-(3m + m^2 – 2)}{1 – 2m} \]

Pro \(m = \frac{1}{2}\) koeficient u \(x\) je nula, rovnice přejde na tvar:

\[ 0 \cdot x + (3 \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – 2) = 0 \Rightarrow 0 + \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{4} – 2\right) = 0 \]

Po výpočtu:

\[ \frac{3}{2} + \frac{1}{4} – 2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} – \frac{4}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} – 2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} – \frac{4}{2} = -\frac{1}{4} \neq 0 \]

Tedy pro \(m = \frac{1}{2}\) nemá rovnice žádné řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq \frac{1}{2}\).

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme všechny členy s \(x\) na levou stranu a konstanty na pravou:

\[ (k+1)x – 2x = k – \frac{1}{k} \]

Zjednodušíme levou stranu:

\[ (k+1 – 2)x = k – \frac{1}{k} \Rightarrow (k – 1) x = k – \frac{1}{k} \]

Aby rovnice měla právě jedno řešení, koeficient u \(x\) nesmí být nulový, tedy:

\[ k – 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1 \]

Pro \(k \neq 1\) lze vyjádřit:

\[ x = \frac{k – \frac{1}{k}}{k – 1} \]

Pro \(k=1\) rovnice vypadá takto:

\[ (1+1)x + \frac{1}{1} = 2x + 1 \Rightarrow 2x + 1 = 2x + 1 \]

Rovnice je identická a platí pro všechna \(x\), tedy má nekonečně mnoho řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq 1\), pro \(k=1\) má nekonečně mnoho řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme všechny členy s \(x\) na levou stranu a ostatní na pravou:

\[ (a-2)x – 4x = -a – \frac{a}{2} \]

Zjednodušíme levou stranu:

\[ (a-2 – 4)x = -\frac{3a}{2} \Rightarrow (a – 6)x = -\frac{3a}{2} \]

Pro žádné řešení musí platit, že koeficient u \(x\) je nulový, ale pravá strana není nulová, tj.:

\[ a – 6 = 0 \Rightarrow a = 6 \]

a zároveň:

\[ -\frac{3a}{2} \neq 0 \Rightarrow -\frac{3 \cdot 6}{2} = -9 \neq 0 \]

Tedy pro \(a=6\) je koeficient u \(x\) nulový, ale pravá strana je \(-9\), takže rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice nemá řešení právě pro \(a = 6\).

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme rovnici:

\[ (m^2 – 1)x + m = (m – 1)x + 2m + 1 \]

Převedeme členy s \(x\) na levou stranu a ostatní na pravou:

\[ (m^2 – 1)x – (m – 1)x = 2m + 1 – m \]

Zjednodušíme levou stranu:

\[ (m^2 – 1 – m + 1)x = m + 1 \Rightarrow (m^2 – m) x = m + 1 \]

Aby měla rovnice nekonečně mnoho řešení, musí být identická, což znamená, že koeficient u \(x\) i pravá strana musí být nulové:

• \(m^2 – m = 0 \Rightarrow m(m – 1) = 0 \Rightarrow m = 0 \text{ nebo } m = 1\)
• \(m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1\)

Protože tyto podmínky musí platit zároveň, není možné, aby obě byly splněny současně pro žádné \(m\).

Uvažujme každé \(m\) zvlášť:

• Pro \(m=0\): Koeficient u \(x\) je \(0\), pravá strana je \(0+1=1 \neq 0\), tedy žádné řešení.
• Pro \(m=1\): Koeficient u \(x\) je \(1 – 1 = 0\), pravá strana je \(1 + 1 = 2 \neq 0\), tedy žádné řešení.
• Pro \(m = -1\): Koeficient u \(x\) je \((-1)^2 – (-1) = 1 + 1 = 2 \neq 0\), takže rovnice nemůže být identická, má jedno řešení.

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné reálné \(m\).

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(t \neq 0\), aby bylo dělení definováno.

Vynásobíme obě strany rovnice číslem \(t\):

\[ 2x + 1 = t x + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na levou stranu a konstanty na pravou:

\[ 2x – t x = 3 – 1 \Rightarrow x(2 – t) = 2 \]

Aby měla rovnice právě jedno řešení, koeficient u \(x\) nesmí být nulový, tedy:

\[ 2 – t \neq 0 \Rightarrow t \neq 2 \]

Pro \(t \neq 2\) platí:

\[ x = \frac{2}{2 – t} \]

Pro \(t = 2\) se koeficient u \(x\) rovná nule, takže rovnice vypadá jako:

\[ 0 \cdot x = 2 \]

což je nepravda, a tedy rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(t \neq 0\) a \(t \neq 2\). Pro \(t=0\) není rovnice definována, pro \(t=2\) nemá řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme rovnici tak, aby členy s \(x\) byly na jedné straně a konstanty na druhé:

\[ (a+1)x – 2x = a + 3 \]

Zjednodušíme levou stranu:

\[ (a+1 – 2)x = a + 3 \Rightarrow (a – 1) x = a + 3 \]

Aby rovnice měla jednoznačné řešení, musí být koeficient u \(x\) různý od nuly, tj.:

\[ a – 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1 \]

Pro \(a \neq 1\) vyjádříme \(x\) jako:

\[ x = \frac{a + 3}{a – 1} \]

Pro \(a = 1\) koeficient u \(x\) je nula, rovnice se stává:

\[ 0 \cdot x – 3 = 2x + 1 \Rightarrow -3 = 2x + 1 \]

Tuto rovnici nelze upravit na tvar bez \(x\), a proto má řešení:

\[ 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \]

To však odporuje předchozímu tvrzení o koeficientu nulovém, je potřeba upravit. Při dosazení \(a=1\) do původní rovnice máme:

\[ (1+1)x – 3 = 2x + 1 \Rightarrow 2x – 3 = 2x + 1 \]

Odečteme \(2x\) z obou stran:

\[ -3 = 1 \]

To je nepravda, tudíž pro \(a=1\) rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 1\), pro \(a=1\) nemá řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(m \neq 0\), abychom mohli rovnou vynásobit obě strany rovnice parametrem \(m\):

\[ x + 2 = m(3x – m) = 3mx – m^2 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x – 3mx = – m^2 – 2 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x(1 – 3m) = – (m^2 + 2) \]

Aby byla rovnice jednoznačně řešitelná, musí být koeficient u \(x\) různý od nuly:

\[ 1 – 3m \neq 0 \Rightarrow m \neq \frac{1}{3} \]

Pro \(m \neq \frac{1}{3}\) platí:

\[ x = \frac{-(m^2 + 2)}{1 – 3m} \]

Pro \(m = \frac{1}{3}\) je koeficient u \(x\) nulový a rovnice má tvar:

\[ 0 \cdot x = – m^2 – 2 = – \left(\frac{1}{3}\right)^2 – 2 = -\frac{1}{9} – 2 = – \frac{19}{9} \neq 0 \]

Rovnice tedy nemá řešení pro \(m = \frac{1}{3}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq 0\) a \(m \neq \frac{1}{3}\). Pro \(m=0\) není rovnice definována, pro \(m = \frac{1}{3}\) nemá řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu:

\[ (k-2)x + 5 – (k+1)x + 3 = 0 \]

Upravíme rovnici:

\[ (k-2 – k – 1)x + 8 = 0 \Rightarrow (-3) x + 8 = 0 \]

Všimněme si, že koeficient u \(x\) je \(-3\), což není závislé na \(k\). To znamená, že rovnice není parametrická v tomto tvaru a nemůže mít nekonečně mnoho řešení, protože není identická.

Pro nekonečně mnoho řešení by musela být rovnice identická, tedy všechny členy nulové.

Jiný postup: Zkusme nejdříve upravit rovnici na tvar s \(x\) na jedné straně:

\[ (k-2)x – (k+1)x = -3 – 5 \Rightarrow (k-2 – k -1)x = -8 \Rightarrow (-3) x = -8 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} \]

Rovnice má právě jedno řešení, bez ohledu na hodnotu \(k\).

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné \(k\).

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(m \neq 0\), abychom mohli vynásobit rovnice číslem \(m\):

\[ x + 2m = 2x – m \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x – 2x = -m – 2m \Rightarrow -x = -3m \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = 3m \]

Aby měla rovnice jednoznačné řešení, koeficient u \(x\) nesmí být nulový, ale v této rovnici je koeficient implicitně 1 (protože jsme již vyjádřili \(x\)) a není závislý na \(m\).

Pro \(m = 0\) není rovnice definována kvůli dělení nulou.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq 0\).

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme rovnici tak, aby všechny členy byly na jednu stranu:

\[ (a+2)x + (3a – 1) – (2a – 1)x – 5 = 0 \]

Upravíme výrazy s \(x\) a konstanty:

\[ (a+2 – 2a + 1) x + (3a – 1 – 5) = 0 \]

\[ (-a + 3) x + (3a – 6) = 0 \]

Pro nekonečně mnoho řešení musí být rovnice identicky pravdivá pro všechna \(x\), tedy koeficienty musí být nulové:

\[ -a + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]

\[ 3a – 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 3 – 6 = 9 – 6 = 3 \neq 0 \]

Proto nelze, aby obě podmínky platily současně.

Zkontrolujeme-li správnost, zjistíme, že pro \(a = 3\) není konstanta nulová, takže rovnice není identická a nemá nekonečně mnoho řešení.

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné reálné \(a\).

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(a \neq 0\) a \(a \neq 1\), aby nedošlo k dělení nulou.

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \(a(a – 1)\):

\[ (2x – 1)(a – 1) = (x + 3) a \]

Rozevřeme závorky:

\[ 2x a – 2x – a + 1 = a x + 3 a \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu, ostatní na druhou:

\[ 2 a x – 2 x – a x = 3 a + a – 1 \]

Upravíme levou stranu seskupením členů s \(x\):

\[ (2a – 2 – a) x = 4 a – 1 \Rightarrow (a – 2) x = 4 a – 1 \]

Aby byla rovnice jednoznačně řešitelná, koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ a – 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2 \]

Pro \(a \neq 2\) vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{4 a – 1}{a – 2} \]

Pro \(a = 2\) je koeficient u \(x\) nulový, rovnice se upraví na:

\[ 0 = 4 \cdot 2 – 1 = 8 – 1 = 7 \]

To je nesmysl, tudíž pro \(a = 2\) rovnice nemá řešení.

Celkové shrnutí:

• Pro \(a \neq 0, 1, 2\) má rovnice právě jedno řešení podle výrazu výše.
• Pro \(a = 0\) nebo \(a = 1\) není rovnice definovaná.
• Pro \(a = 2\) nemá rovnice řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme rovnici tak, aby všechny členy byly na jednu stranu:

\[ (m – 3) x + 4 – (2 m + 1) x + 5 = 0 \]

Upravíme členy s \(x\) a konstanty:

\[ (m – 3 – 2 m – 1) x + (4 + 5) = 0 \Rightarrow (-m – 4) x + 9 = 0 \]

Pro nekonečně mnoho řešení musí být tato rovnice identická, tedy musí platit:

\[ -m – 4 = 0 \quad \text{a} \quad 9 = 0 \]

Druhá rovnost je nesplnitelná, proto rovnice nemůže mít nekonečně mnoho řešení pro žádné \(m\).

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné hodnoty parametru \(m\).

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(a \neq 1\) a \(a \neq -1\), aby nebylo dělení nulou.

Vynásobíme obě strany rovnice jmenovateli:

\[ (x + a)(a + 1) = (2x – 3)(a – 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x a + x + a^2 + a = 2 a x – 2 x – 3 a + 3 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ x a + x – 2 a x + 2 x = -3 a + 3 – a^2 – a \]

Sesypeme členy s \(x\):

\[ x (a + 1 – 2 a + 2) = -a^2 – 4 a + 3 \]

Zjednodušení koeficientu u \(x\):

\[ a + 1 – 2 a + 2 = -a + 3 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-a^2 – 4 a + 3}{-a + 3} = \frac{a^2 + 4 a – 3}{a – 3} \]

Aby bylo řešení jednoznačné, musí být jmenovatel různý od nuly:

\[ a – 3 \neq 0 \Rightarrow a \neq 3 \]

Pro \(a = 3\) je koeficient u \(x\) nulový a rovnici zkontrolujeme zvlášť:

Dosadíme \(a=3\) do původní rovnice:

\[ \frac{x + 3}{2} = \frac{2x – 3}{4} \]

Vynásobíme rovnice 4:

\[ 2(x + 3) = 2x – 3 \Rightarrow 2x + 6 = 2x – 3 \]

Odečteme \(2x\) z obou stran:

\[ 6 = -3 \]

Nepravda, rovnice nemá řešení pro \(a = 3\).

Celkově tedy rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 1, -1, 3\).

Řešení příkladu:

Upravíme rovnici:

\[ (k + 2) x – (k – 1) x = 2 + 4 \Rightarrow (k + 2 – k + 1) x = 6 \]

\[ 3 x = 6 \Rightarrow x = 2 \]

Koeficient u \(x\) je \(3\), což je vždy nenulové bez ohledu na \(k\), tudíž rovnice má právě jedno řešení pro všechna reálná \(k\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \in \mathbb{R}\).

Řešení příkladu:

Předpokládáme, že \(m \neq 0\) a \(m \neq -1\), aby nedošlo k dělení nulou.

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \(m (m + 1)\):

\[ (x + 2)(m + 1) = (2x – 1) m \]

Rozevřeme závorky:

\[ x m + x + 2 m + 2 = 2 m x – m \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu, ostatní na druhou:

\[ x m + x – 2 m x = – m – 2 m – 2 \]

Seskupíme členy s \(x\):

\[ x (m + 1 – 2 m) = -3 m – 2 \Rightarrow x (1 – m) = -3 m – 2 \]

Aby rovnice měla nekonečně mnoho řešení, musí být rovnice identická, tedy koeficient u \(x\) i pravá strana musí být nulové:

\[ 1 – m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 1 \]

\[ -3 m – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -3 \cdot 1 – 2 = -5 \neq 0 \]

Tedy rovnice nemůže být identická pro žádné \(m\).

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné reálné \(m\).

Řešení příkladu:

Začneme úpravou rovnice tak, aby byly všechny členy s proměnnou \(x\) na jedné straně:

\[ (a – 2) x – (3 a + 1) x = -7 – 5 \Rightarrow (a – 2 – 3 a – 1) x = -12 \]

Sesypeme členy u \(x\):

\[ (-2 a – 3) x = -12 \]

Vyjádříme \(x\) (za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový):

\[ x = \frac{-12}{-2 a – 3} = \frac{12}{2 a + 3} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ 2 a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{2} \]

Pro \(a = -\frac{3}{2}\) dosadíme do původní rovnice:

\[ \left(-\frac{3}{2} – 2\right) x + 5 = \left(3 \cdot -\frac{3}{2} + 1\right) x – 7 \Rightarrow -\frac{7}{2} x + 5 = \left(-\frac{9}{2} + 1\right) x – 7 \Rightarrow -\frac{7}{2} x + 5 = -\frac{7}{2} x – 7 \]

Odečteme \( -\frac{7}{2} x \) z obou stran:

\[ 5 = -7 \]

Což není pravda, takže pro \(a = -\frac{3}{2}\) rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -\frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(m \neq 1\) a \(m \neq -2\), aby nedošlo k dělení nulou.

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \((m – 1)(m + 2)\):

\[ (x + 2)(m + 2) = (3x – 4)(m – 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x m + 2 x + 2 m + 4 = 3 m x – 3 x – 4 m + 4 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu, ostatní na druhou:

\[ x m + 2 x – 3 m x + 3 x = -4 m + 4 – 2 m – 4 \]

Sesypeme členy s \(x\):

\[ x (m + 2 – 3 m + 3) = -6 m \Rightarrow x (5 – 2 m) = -6 m \]

Vyjádříme \(x\) (za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový):

\[ x = \frac{-6 m}{5 – 2 m} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ 5 – 2 m = 0 \Rightarrow m = \frac{5}{2} \]

Pro \(m = \frac{5}{2}\) zkontrolujeme, zda je rovnice splnitelná:

Dosadíme do původní rovnice:

\[ \frac{x + 2}{\frac{5}{2} – 1} = \frac{3x – 4}{\frac{5}{2} + 2} \Rightarrow \frac{x + 2}{\frac{3}{2}} = \frac{3x – 4}{\frac{9}{2}} \Rightarrow \frac{2}{3}(x + 2) = \frac{2}{9}(3x – 4) \]

Vynásobíme obě strany 9:

\[ 6 (x + 2) = 2 (3x – 4) \Rightarrow 6x + 12 = 6x – 8 \]

Odečteme \(6x\) z obou stran:

\[ 12 = -8 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = \frac{5}{2}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq 1, -2, \frac{5}{2}\).

Řešení příkladu:

Úprava rovnice tak, aby všechny členy byly na jednu stranu:

\[ (k + 1) x – (2 k – 1) x = -5 – 3 \Rightarrow (k + 1 – 2 k + 1) x = -8 \Rightarrow (-k + 2) x = -8 \]

Aby měla rovnice nekonečně mnoho řešení, musí být toto identita:

Koeficient u \(x\) i pravá strana musí být nulové:

\[ -k + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \]

\[ -8 = 0 \quad \text{(což není pravda)} \]

Tedy rovnice nemůže mít nekonečně mnoho řešení.

Závěr: Žádné \(k\) nevyhovuje podmínce nekonečně mnoha řešení.

Řešení příkladu:

Nejprve předpokládáme, že \(a \neq 0\) a \(a \neq 2\), aby nebylo dělení nulou.

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \(a (a – 2)\):

\[ (2x + 1)(a – 2) = (x – 3) a \]

Rozevřeme závorky:

\[ 2 x a – 4 x + a – 2 = a x – 3 a \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 2 x a – 4 x – a x = -3 a – a + 2 \Rightarrow x (2 a – 4 – a) = -4 a + 2 \Rightarrow x (a – 4) = -4 a + 2 \]

Vyjádříme \(x\) (za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový):

\[ x = \frac{-4 a + 2}{a – 4} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ a – 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4 \]

Pro \(a = 4\) dosadíme do původní rovnice:

\[ \frac{2 x + 1}{4} = \frac{x – 3}{2} \Rightarrow 2 (2 x + 1) = 4 (x – 3) \Rightarrow 4 x + 2 = 4 x – 12 \]

Odečteme \(4x\) z obou stran:

\[ 2 = -12 \]

Což není pravda, tedy rovnice nemá řešení pro \(a = 4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 0, 2, 4\).

Řešení příkladu:

Úprava rovnice tak, aby členy s \(x\) byly na jedné straně:

\[ (m – 3) x – (2 m + 1) x = -2 – 4 \Rightarrow (m – 3 – 2 m – 1) x = -6 \Rightarrow (-m – 4) x = -6 \]

Vyjádříme \(x\) (za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový):

\[ x = \frac{-6}{-m – 4} = \frac{6}{m + 4} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ m + 4 = 0 \Rightarrow m = -4 \]

Pro \(m = -4\) dosadíme do původní rovnice:

\[ (-4 – 3) x + 4 = (2 \cdot -4 + 1) x – 2 \Rightarrow -7 x + 4 = -7 x – 2 \]

Odečteme \(-7 x\) z obou stran:

\[ 4 = -2 \]

Což není pravda, tedy rovnice nemá řešení pro \(m = -4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq -4\).

Řešení příkladu:

Nejprve stanovíme podmínky, aby nedocházelo k dělení nulou v zlomcích:

\[ a – 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1, \quad a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2 \]

Následně vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \((a – 1)(a + 2)\), abychom se zbavili zlomků:

\[ (x + 3)(a + 2) = (2x – 1)(a – 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x a + 2 x + 3 a + 6 = 2 a x – 2 x – a + 1 \]

Převedeme všechny členy s proměnnou \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x a + 2 x – 2 a x + 2 x = -a + 1 – 3 a – 6 \Rightarrow x (a + 2 – 2 a + 2) = -4 a – 5 \Rightarrow x (-a + 4) = -4 a – 5 \]

Vyjádříme \(x\) za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-4 a – 5}{-a + 4} = \frac{4 a + 5}{a – 4} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4 \]

Pro \(a = 4\) zkontrolujeme, zda rovnice má řešení:

Dosadíme \(a = 4\) do původní rovnice:

\[ \frac{x + 3}{4 – 1} = \frac{2x – 1}{4 + 2} \Rightarrow \frac{x + 3}{3} = \frac{2x – 1}{6} \]

Vynásobíme obě strany 6:

\[ 2 (x + 3) = 3 (2x – 1) \Rightarrow 2x + 6 = 6x – 3 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ 2x – 6x = -3 – 6 \Rightarrow -4x = -9 \Rightarrow x = \frac{9}{4} \]

Rovnice má tedy právě jedno řešení i pro \(a = 4\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(a \neq 1, -2\).

Řešení příkladu:

Pro nekonečně mnoho řešení musí být obě strany rovnice totožné, tedy musí platit:

Koeficienty u \(x\) se rovnají a zároveň konstanty se rovnají:

\[ m + 2 = 3 m – 1 \]

\[ -5 = 7 \]

Druhá rovnost není pravdivá, takže nekonečně mnoho řešení není možné.

Závěr: Rovnice nemá nekonečně mnoho řešení pro žádné \(m\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ k + 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq -1, \quad k – 2 \neq 0 \Rightarrow k \neq 2 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((k + 1)(k – 2)\):

\[ (2x – 3)(k – 2) = (x + 4)(k + 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ 2x k – 4 x – 3 k + 6 = x k + x + 4 k + 4 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 2x k – 4 x – x k – x = 4 k + 4 + 3 k – 6 \Rightarrow x (2 k – 4 – k – 1) = 7 k – 2 \Rightarrow x (k – 5) = 7 k – 2 \]

Vyjádříme \(x\) (za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový):

\[ x = \frac{7 k – 2}{k – 5} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ k – 5 = 0 \Rightarrow k = 5 \]

Pro \(k = 5\) dosadíme do původní rovnice:

\[ \frac{2 x – 3}{6} = \frac{x + 4}{3} \Rightarrow 3 (2 x – 3) = 6 (x + 4) \Rightarrow 6 x – 9 = 6 x + 24 \]

Odečteme \(6 x\) z obou stran:

\[ -9 = 24 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = 5\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(k \neq -1, 2, 5\).

Řešení příkladu:

Úprava rovnice, převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ (a – 3) x – (2 a + 1) x = -4 – 2 \Rightarrow (a – 3 – 2 a – 1) x = -6 \Rightarrow (-a – 4) x = -6 \]

Vyjádříme \(x\) za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-6}{-a – 4} = \frac{6}{a + 4} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -a – 4 = 0 \Rightarrow a = -4 \]

Pro \(a = -4\) dosadíme do původní rovnice:

\[ (-4 – 3) x + 2 = (2 \cdot -4 + 1) x – 4 \Rightarrow -7 x + 2 = -7 x – 4 \]

Odečteme \(-7 x\) z obou stran:

\[ 2 = -4 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -4\).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme, kdy jsou jmenovatelé různé od nuly:

\[ m – 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1, \quad m + 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq -1 \]

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \((m – 1)(m + 1)\):

\[ (m x + 2)(m + 1) = (x – 3)(m – 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ m^2 x + m x + 2 m + 2 = m x – x – 3 m + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ m^2 x + m x – m x + x = -3 m + 3 – 2 m – 2 \Rightarrow x (m^2 + m – m + 1) = -5 m + 1 \Rightarrow x (m^2 + 1) = -5 m + 1 \]

Vyjádříme \(x\) za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-5 m + 1}{m^2 + 1} \]

Koeficient u \(x\) je vždy kladný (protože \(m^2 + 1 > 0\) pro všechna reálná \(m\)), takže rovnice má vždy jedno řešení pro všechna \(m \neq 1, -1\).

Pro \(m = 1\) nebo \(m = -1\) je rovnice nedefinovaná kvůli dělení nulou.

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 1, -1\).

Řešení příkladu:

Převedeme všechny členy s neznámou na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (a – 1) x – (2 a + 3) x = -2 – 4 \Rightarrow (a – 1 – 2 a – 3) x = -6 \Rightarrow (-a – 4) x = -6 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-6}{-a – 4} = \frac{6}{a + 4} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -a – 4 = 0 \Rightarrow a = -4 \]

Pro \(a = -4\) zkontrolujeme, zda rovnice má řešení:

\[ (-4 – 1) x + 4 = (2 \cdot -4 + 3) x – 2 \Rightarrow -5 x + 4 = -5 x – 2 \]

Odečteme \(-5 x\) z obou stran:

\[ 4 = -2 \]

Což není pravda, tedy pro \(a = -4\) rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -4\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ m – 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2, \quad m + 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq -1 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((m – 2)(m + 1)\):

\[ (x + 1)(m + 1) = (2 x – 3)(m – 2) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x m + x + m + 1 = 2 x m – 4 x – 3 m + 6 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x m + x – 2 x m + 4 x = -3 m + 6 – m – 1 \Rightarrow x (m + 1 – 2 m + 4) = -4 m + 5 \Rightarrow x (-m + 5) = -4 m + 5 \]

Vyjádříme \(x\) za předpokladu, že koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-4 m + 5}{-m + 5} = \frac{4 m – 5}{m – 5} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -m + 5 = 0 \Rightarrow m = 5 \]

Pro \(m = 5\) dosadíme do původní rovnice:

\[ \frac{x + 1}{3} = \frac{2 x – 3}{6} \Rightarrow 6 (x + 1) = 3 (2 x – 3) \Rightarrow 6 x + 6 = 6 x – 9 \]

Odečteme \(6 x\) z obou stran:

\[ 6 = -9 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = 5\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq -1, 2, 5\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (k + 3) x – (2 k – 1) x = 6 + 2 \Rightarrow (k + 3 – 2 k + 1) x = 8 \Rightarrow (-k + 4) x = 8 \]

Vyjádříme \(x\) pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{8}{-k + 4} = \frac{8}{4 – k} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ 4 – k = 0 \Rightarrow k = 4 \]

Pro \(k = 4\) dosadíme do rovnice:

\[ (4 + 3) x – 2 = (2 \cdot 4 – 1) x + 6 \Rightarrow 7 x – 2 = 7 x + 6 \]

Odečteme \(7 x\) z obou stran:

\[ -2 = 6 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = 4\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(k \neq 4\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2, \quad a – 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1 \]

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \((a + 2)(a – 1)\):

\[ (x – 2)(a – 1) = (3 x + 1)(a + 2) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x a – x – 2 a + 2 = 3 a x + 6 x + a + 2 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x a – x – 3 a x – 6 x = a + 2 + 2 a – 2 \Rightarrow x (a – 1 – 3 a – 6) = 3 a \Rightarrow x (-2 a – 7) = 3 a \]

Vyjádříme \(x\) pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{3 a}{-2 a – 7} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -2 a – 7 = 0 \Rightarrow a = -\frac{7}{2} \]

Pro \(a = -\frac{7}{2}\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{x – 2}{- \frac{7}{2} + 2} = \frac{3 x + 1}{- \frac{7}{2} – 1} \Rightarrow \frac{x – 2}{-\frac{3}{2}} = \frac{3 x + 1}{-\frac{9}{2}} \]

Vynásobíme křížem:

\[ (x – 2)(-\frac{9}{2}) = (3 x + 1)(-\frac{3}{2}) \Rightarrow -\frac{9}{2} x + 9 = -\frac{9}{2} x – \frac{3}{2} \]

Odečteme \(-\frac{9}{2} x\) z obou stran:

\[ 9 = -\frac{3}{2} \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -\frac{7}{2}\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(a \neq -\frac{7}{2}, -2, 1\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (m – 1) x – (3 m + 2) x = -7 – 5 \Rightarrow (m – 1 – 3 m – 2) x = -12 \Rightarrow (-2 m – 3) x = -12 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-12}{-2 m – 3} = \frac{12}{2 m + 3} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ 2 m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \]

Pro \(m = -\frac{3}{2}\) dosadíme do rovnice:

\[ \left(-\frac{3}{2} – 1\right) x + 5 = \left(3 \cdot -\frac{3}{2} + 2\right) x – 7 \Rightarrow -\frac{5}{2} x + 5 = -\frac{5}{2} x – 7 \]

Odečteme \(-\frac{5}{2} x\) z obou stran:

\[ 5 = -7 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = -\frac{3}{2}\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq -\frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (a – 2) x – (4 – a) x = -1 – 3 \Rightarrow (a – 2 – 4 + a) x = -4 \Rightarrow (2 a – 6) x = -4 \]

Koeficient u \(x\) je \(2 a – 6\). Pokud není nulový, vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-4}{2 a – 6} \]

Koeficient je nulový, pokud:

\[ 2 a – 6 = 0 \Rightarrow a = 3 \]

Pro \(a = 3\) dosadíme do rovnice:

\[ (3 – 2) x + 3 = (4 – 3) x – 1 \Rightarrow x + 3 = x – 1 \]

Odečteme \(x\) z obou stran:

\[ 3 = -1 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = 3\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 3\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ m + 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq -1, \quad m – 3 \neq 0 \Rightarrow m \neq 3 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((m + 1)(m – 3)\):

\[ (x + 2)(m – 3) = (3 x – 4)(m + 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x m – 3 x + 2 m – 6 = 3 m x + 3 x – 4 m – 4 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x m – 3 x – 3 m x – 3 x = -4 m – 4 – 2 m + 6 \Rightarrow x (m – 3 – 3 m – 3) = -6 m + 2 \Rightarrow x (-2 m – 6) = -6 m + 2 \]

Vyjádříme \(x\) pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-6 m + 2}{-2 m – 6} = \frac{6 m – 2}{2 m + 6} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -2 m – 6 = 0 \Rightarrow m = -3 \]

Pro \(m = -3\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{x + 2}{-2} = \frac{3 x – 4}{-6} \Rightarrow -6 (x + 2) = -2 (3 x – 4) \Rightarrow -6 x – 12 = -6 x + 8 \]

Odečteme \(-6 x\) z obou stran:

\[ -12 = 8 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = -3\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq -3, -1, 3\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (k + 1) x – (3 k – 2) x = 7 + 5 \Rightarrow (k + 1 – 3 k + 2) x = 12 \Rightarrow (-2 k + 3) x = 12 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{12}{-2 k + 3} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -2 k + 3 = 0 \Rightarrow k = \frac{3}{2} \]

Pro \(k = \frac{3}{2}\) dosadíme do rovnice:

\[ \left(\frac{3}{2} + 1\right) x – 5 = \left(3 \cdot \frac{3}{2} – 2\right) x + 7 \Rightarrow \frac{5}{2} x – 5 = \frac{5}{2} x + 7 \]

Odečteme \(\frac{5}{2} x\) z obou stran:

\[ -5 = 7 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = \frac{3}{2}\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(k \neq \frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ a – 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq 4, \quad a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2 \]

Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem \((a – 4)(a + 2)\):

\[ (2 x + 1)(a + 2) = (x – 3)(a – 4) \]

Rozevřeme závorky:

\[ 2 a x + 4 x + a + 2 = a x – 4 x – 3 a + 12 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 2 a x + 4 x – a x + 4 x = -3 a + 12 – a – 2 \Rightarrow (2 a + 4 – a + 4) x = -4 a + 10 \Rightarrow (a + 8) x = -4 a + 10 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-4 a + 10}{a + 8} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ a + 8 = 0 \Rightarrow a = -8 \]

Pro \(a = -8\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{2 x + 1}{-8 – 4} = \frac{x – 3}{-8 + 2} \Rightarrow \frac{2 x + 1}{-12} = \frac{x – 3}{-6} \Rightarrow -6 (2 x + 1) = -12 (x – 3) \]

Rozevřeme:

\[ -12 x – 6 = -12 x + 36 \]

Odečteme \(-12 x\) z obou stran:

\[ -6 = 36 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -8\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(a \neq 4, -2, -8\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (m + 2) x – (2 m – 1) x = 3 + 4 \Rightarrow (m + 2 – 2 m + 1) x = 7 \Rightarrow (-m + 3) x = 7 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{7}{-m + 3} = \frac{7}{3 – m} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -m + 3 = 0 \Rightarrow m = 3 \]

Pro \(m = 3\) dosadíme do rovnice:

\[ (3 + 2) x – 4 = (2 \cdot 3 – 1) x + 3 \Rightarrow 5 x – 4 = 5 x + 3 \]

Odečteme \(5 x\) z obou stran:

\[ -4 = 3 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = 3\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 3\).

Řešení příkladu:

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (a – 1) x – (2 a + 3) x = -5 – 4 \Rightarrow (a – 1 – 2 a – 3) x = -9 \Rightarrow (-a – 4) x = -9 \]

Koeficient u \(x\) je \(-a – 4\). Pokud je různý od nuly, rovnice má jedno řešení:

\[ -a – 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq -4 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-9}{-a – 4} = \frac{9}{a + 4} \]

Pro \(a = -4\) dosadíme do původní rovnice:

\[ (-4 – 1) x + 4 = (2 \cdot (-4) + 3) x – 5 \Rightarrow -5 x + 4 = (-8 + 3) x – 5 \Rightarrow -5 x + 4 = -5 x – 5 \]

Odečteme \(-5 x\) z obou stran:

\[ 4 = -5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -4\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ m – 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq 2, \quad m + 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq -4 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((m – 2)(m + 4)\):

\[ (2 x – 3)(m + 4) = (3 x + 1)(m – 2) \]

Rozevřeme závorky:

\[ 2 m x + 8 x – 3 m – 12 = 3 m x – 6 x + m – 2 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 2 m x + 8 x – 3 m x + 6 x = m – 2 + 3 m + 12 \Rightarrow (2 m + 8 – 3 m + 6) x = 4 m + 10 \Rightarrow (-m + 14) x = 4 m + 10 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{4 m + 10}{-m + 14} = \frac{4 m + 10}{14 – m} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -m + 14 = 0 \Rightarrow m = 14 \]

Pro \(m = 14\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{2 x – 3}{14 – 2} = \frac{3 x + 1}{14 + 4} \Rightarrow \frac{2 x – 3}{12} = \frac{3 x + 1}{18} \Rightarrow 18 (2 x – 3) = 12 (3 x + 1) \]

Rozevřeme:

\[ 36 x – 54 = 36 x + 12 \]

Odečteme \(36 x\) z obou stran:

\[ -54 = 12 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = 14\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 2, -4, 14\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (k – 3) x – (5 – k) x = -4 – 2 \Rightarrow (k – 3 – 5 + k) x = -6 \Rightarrow (2 k – 8) x = -6 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{-6}{2 k – 8} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ 2 k – 8 = 0 \Rightarrow k = 4 \]

Pro \(k = 4\) dosadíme do rovnice:

\[ (4 – 3) x + 2 = (5 – 4) x – 4 \Rightarrow x + 2 = x – 4 \]

Odečteme \(x\) z obou stran:

\[ 2 = -4 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = 4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq 4\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1, \quad a – 5 \neq 0 \Rightarrow a \neq 5 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((a + 1)(a – 5)\):

\[ (x + 3)(a – 5) = (2 x – 1)(a + 1) \]

Rozevřeme závorky:

\[ a x – 5 x + 3 a – 15 = 2 a x + 2 x – a – 1 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ a x – 5 x – 2 a x – 2 x = – a – 1 – 3 a + 15 \Rightarrow (a – 5 – 2 a – 2) x = 14 – 4 a \Rightarrow (-a – 7) x = 14 – 4 a \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{14 – 4 a}{-a – 7} = \frac{14 – 4 a}{-(a + 7)} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -a – 7 = 0 \Rightarrow a = -7 \]

Pro \(a = -7\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{x + 3}{-7 + 1} = \frac{2 x – 1}{-7 – 5} \Rightarrow \frac{x + 3}{-6} = \frac{2 x – 1}{-12} \Rightarrow -12 (x + 3) = -6 (2 x – 1) \]

Rozevřeme:

\[ -12 x – 36 = -12 x + 6 \]

Odečteme \(-12 x\) z obou stran:

\[ -36 = 6 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -7\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(a \neq -7, -1, 5\).

Řešení příkladu:

Rozevřeme závorky na obou stranách:

\[ (m + 1) x – 2 (m + 1) = (2 m – 3) x + (2 m – 3) \Rightarrow (m + 1) x – 2 m – 2 = (2 m – 3) x + 2 m – 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (m + 1) x – (2 m – 3) x = 2 m – 3 + 2 m + 2 \Rightarrow (m + 1 – 2 m + 3) x = 4 m – 1 \Rightarrow (-m + 4) x = 4 m – 1 \]

Vyjádříme \(x\), pokud koeficient u \(x\) není nulový:

\[ x = \frac{4 m – 1}{-m + 4} = \frac{4 m – 1}{4 – m} \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -m + 4 = 0 \Rightarrow m = 4 \]

Pro \(m = 4\) dosadíme do rovnice:

\[ (4 + 1)(x – 2) = (2 \cdot 4 – 3)(x + 1) \Rightarrow 5 (x – 2) = 5 (x + 1) \Rightarrow 5 x – 10 = 5 x + 5 \]

Odečteme \(5 x\) z obou stran:

\[ -10 = 5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = 4\).

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 4\).

Řešení příkladu:

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (a + 2) x – (2 a – 1) x = -5 – 3 \Rightarrow (a + 2 – 2 a + 1) x = -8 \Rightarrow (-a + 3) x = -8 \]

Koeficient u \(x\) je \(-a + 3\). Pokud je různý od nuly, rovnice má právě jedno řešení:

\[ -a + 3 \neq 0 \Rightarrow a \neq 3 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-8}{-a + 3} = \frac{8}{a – 3} \]

Pro \(a = 3\) dosadíme do původní rovnice:

\[ (3 + 2) x + 3 = (2 \cdot 3 – 1) x – 5 \Rightarrow 5 x + 3 = 5 x – 5 \]

Odečteme \(5 x\) z obou stran:

\[ 3 = -5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = 3\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 3\).

Řešení příkladu:

Podmínky pro existenci rovnice:

\[ m + 3 \neq 0 \Rightarrow m \neq -3, \quad m – 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1 \]

Vynásobíme obě strany společným jmenovatelem \((m + 3)(m – 1)\):

\[ (x – 2)(m – 1) = (2 x + 1)(m + 3) \]

Rozevřeme závorky:

\[ x m – x – 2 m + 2 = 2 x m + 6 x + m + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ x m – x – 2 x m – 6 x = m + 3 + 2 m – 2 \Rightarrow (x m – 2 x m – x – 6 x) = 3 m + 1 \Rightarrow (-x m – 7 x) = 3 m + 1 \]

Vytkneme \(x\):

\[ x (-m – 7) = 3 m + 1 \]

Koeficient u \(x\) je nulový, pokud:

\[ -m – 7 = 0 \Rightarrow m = -7 \]

Pokud \(m \neq -7\), rovnice má právě jedno řešení:

\[ x = \frac{3 m + 1}{-m – 7} = \frac{3 m + 1}{-(m + 7)} \]

Pro \(m = -7\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{x – 2}{-7 + 3} = \frac{2 x + 1}{-7 – 1} \Rightarrow \frac{x – 2}{-4} = \frac{2 x + 1}{-8} \]

Vynásobíme křížem:

\[ -8 (x – 2) = -4 (2 x + 1) \Rightarrow -8 x + 16 = -8 x – 4 \]

Odečteme \(-8 x\) z obou stran:

\[ 16 = -4 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = -7\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq -7, -3, 1\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (3 k – 2) x – (k + 1) x = -1 – 4 \Rightarrow (3 k – 2 – k – 1) x = -5 \Rightarrow (2 k – 3) x = -5 \]

Koeficient u \(x\) je \(2 k – 3\). Pokud je různý od nuly, rovnice má právě jedno řešení:

\[ 2 k – 3 \neq 0 \Rightarrow k \neq \frac{3}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-5}{2 k – 3} \]

Pro \(k = \frac{3}{2}\) dosadíme do původní rovnice:

\[ (3 \cdot \frac{3}{2} – 2) x + 4 = \left(\frac{3}{2} + 1\right) x – 1 \Rightarrow \left(\frac{9}{2} – 2\right) x + 4 = \frac{5}{2} x – 1 \Rightarrow \frac{5}{2} x + 4 = \frac{5}{2} x – 1 \]

Odečteme \(\frac{5}{2} x\) z obou stran:

\[ 4 = -1 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = \frac{3}{2}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq \frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele:

\[ a – 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2, \quad a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1 \]

Vynásobíme rovnice křížem:

\[ (3 x + 2)(a + 1) = (5 x – 1)(a – 2) \]

Rozevřeme závorky:

\[ 3 x a + 3 x + 2 a + 2 = 5 x a – 10 x – a + 2 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 3 x a + 3 x – 5 x a + 10 x = -a + 2 – 2 a – 2 \Rightarrow (3 a + 3 – 5 a + 10) x = -3 a \Rightarrow (-2 a + 13) x = -3 a \]

Koeficient u \(x\) je \(-2 a + 13\). Pokud je různý od nuly, rovnice má právě jedno řešení:

\[ -2 a + 13 \neq 0 \Rightarrow a \neq \frac{13}{2} = 6.5 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-3 a}{-2 a + 13} = \frac{3 a}{2 a – 13} \]

Pro \(a = \frac{13}{2}\) dosadíme do původní rovnice:

\[ \frac{3 x + 2}{\frac{13}{2} – 2} = \frac{5 x – 1}{\frac{13}{2} + 1} \Rightarrow \frac{3 x + 2}{\frac{9}{2}} = \frac{5 x – 1}{\frac{15}{2}} \Rightarrow \frac{3 x + 2}{4.5} = \frac{5 x – 1}{7.5} \]

Vynásobíme křížem:

\[ 7.5 (3 x + 2) = 4.5 (5 x – 1) \Rightarrow 22.5 x + 15 = 22.5 x – 4.5 \]

Odečteme \(22.5 x\) z obou stran:

\[ 15 = -4.5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = \frac{13}{2}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 2, -1, \frac{13}{2}\).

Řešení příkladu:

Rozevřeme závorky na obou stranách:

\[ (2 m – 1) x + 3 (2 m – 1) = 2 (m + 2) x – (m + 2) \Rightarrow (2 m – 1) x + 6 m – 3 = 2 m x + 4 x – m – 2 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (2 m – 1) x – 2 m x – 4 x = -m – 2 – 6 m + 3 \Rightarrow (2 m – 1 – 2 m – 4) x = -7 m + 1 \Rightarrow (-1 – 4) x = -7 m + 1 \Rightarrow -5 x = -7 m + 1 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{7 m – 1}{5} \]

Koeficient u \(x\) není nulový pro žádné \(m\), protože vyjádření nezávisí na parametru nulovostí koeficientu.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna reálná čísla \(m\).

Řešení příkladu:

Podmínky: \(a – 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1\) a \(a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2\).

Vynásobíme křížem:

\[ (2x + 1)(a + 2) = (x – 3)(a – 1) \]

Roznásobíme:

\[ 2x a + 4x + a + 2 = x a – x – 3a + 3 \]

Převedeme na jednu stranu členy s \(x\):

\[ 2x a + 4x – x a + x = -3a + 3 – a – 2 \Rightarrow (2a – a + 4 + 1) x = -4a + 1 \Rightarrow (a + 5) x = -4a + 1 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly, aby bylo jediné řešení:

\[ a + 5 \neq 0 \Rightarrow a \neq -5 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-4a + 1}{a + 5} \]

Pro \(a = -5\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{2x + 1}{-5 – 1} = \frac{x – 3}{-5 + 2} \Rightarrow \frac{2x + 1}{-6} = \frac{x – 3}{-3} \]

Vynásobíme křížem:

\[ -3 (2x + 1) = -6 (x – 3) \Rightarrow -6x – 3 = -6x + 18 \]

Odečteme \(-6x\) z obou stran:

\[ -3 = 18 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(a = -5\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq 1, -2, -5\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (4 m – 3) x – (m + 1) x = 5 – 2 \Rightarrow (4 m – 3 – m – 1) x = 3 \Rightarrow (3 m – 4) x = 3 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly, aby bylo jediné řešení:

\[ 3 m – 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq \frac{4}{3} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{3}{3 m – 4} \]

Pro \(m = \frac{4}{3}\) dosadíme do rovnice:

\[ (4 \cdot \frac{4}{3} – 3) x + 2 = \left(\frac{4}{3} + 1\right) x + 5 \Rightarrow \left(\frac{16}{3} – 3\right) x + 2 = \frac{7}{3} x + 5 \Rightarrow \frac{7}{3} x + 2 = \frac{7}{3} x + 5 \]

Odečteme \(\frac{7}{3} x\) z obou stran:

\[ 2 = 5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = \frac{4}{3}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq \frac{4}{3}\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele:

\[ k + 2 \neq 0 \Rightarrow k \neq -2, \quad k – 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1 \]

Vynásobíme křížem:

\[ (x + 5)(k – 1) = (3 x – 1)(k + 2) \]

Rozevřeme:

\[ x k – x + 5 k – 5 = 3 x k + 6 x – k – 2 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ x k – x – 3 x k – 6 x = -k – 2 – 5 k + 5 \Rightarrow (k – 1 – 3 k – 6) x = -6 k + 3 \Rightarrow (-2 k – 7) x = -6 k + 3 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -2 k – 7 \neq 0 \Rightarrow k \neq -\frac{7}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-6 k + 3}{-2 k – 7} = \frac{6 k – 3}{2 k + 7} \]

Pro \(k = -\frac{7}{2}\) dosadíme do rovnice:

\[ \frac{x + 5}{-\frac{7}{2} + 2} = \frac{3 x – 1}{-\frac{7}{2} – 1} \Rightarrow \frac{x + 5}{-\frac{3}{2}} = \frac{3 x – 1}{-\frac{9}{2}} \Rightarrow \frac{x + 5}{-1.5} = \frac{3 x – 1}{-4.5} \]

Vynásobíme křížem:

\[ -4.5 (x + 5) = -1.5 (3 x – 1) \Rightarrow -4.5 x – 22.5 = -4.5 x + 1.5 \]

Odečteme \(-4.5 x\) z obou stran:

\[ -22.5 = 1.5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(k = -\frac{7}{2}\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq -2, 1, -\frac{7}{2}\).

Řešení příkladu:

Roznásobíme pravou stranu:

\[ (2 t + 3) x – 4 = (t – 1) x + 5 (t – 1) \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (2 t + 3) x – (t – 1) x = 5 t – 5 + 4 \Rightarrow (2 t + 3 – t + 1) x = 5 t – 1 \Rightarrow (t + 4) x = 5 t – 1 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ t + 4 \neq 0 \Rightarrow t \neq -4 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{5 t – 1}{t + 4} \]

Pro \(t = -4\) dosadíme do rovnice:

\[ (2 (-4) + 3) x – 4 = (-4 – 1)(x + 5) \Rightarrow (-8 + 3) x – 4 = -5 (x + 5) \Rightarrow -5 x – 4 = -5 x – 25 \]

Odečteme \(-5 x\) z obou stran:

\[ -4 = -25 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(t = -4\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(t \neq -4\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele:

\[ b + 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq -1, \quad b – 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq 2 \]

Vynásobíme křížem:

\[ (b x – 1)(b – 2) = (2 x + 3)(b + 1) \]

Rozevřeme:

\[ b^2 x – 2 b x – b + 2 = 2 b x + 2 x + 3 b + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ b^2 x – 2 b x – 2 b x – 2 x = 3 b + 3 + b – 2 \Rightarrow (b^2 – 4 b – 2) x = 4 b + 1 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ b^2 – 4 b – 2 \neq 0 \]

Řešíme kvadratickou nerovnici:

\[ b^2 – 4 b – 2 = 0 \Rightarrow b = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{4 b + 1}{b^2 – 4 b – 2} \]

Pro \(b = 2 \pm \sqrt{6}\) dosadíme do rovnice a ověříme, zda řešení existuje:

Pro tyto hodnoty koeficient u \(x\) je nula, tudíž rovnice nemá nebo má nekonečně mnoho řešení. Ověřením zjistíme, že se jedná o situace bez řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(b \neq -1, 2, 2 \pm \sqrt{6}\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele: \(a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1\) a \(a – 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2\).

Vynásobíme křížem:

\[ (3x – 2)(a – 2) = (5x + 4)(a + 1) \]

Rozevřeme obě strany:

\[ 3x a – 6x – 2a + 4 = 5x a + 5x + 4a + 4 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 3x a – 6x – 5x a – 5x = 4a + 4 + 2a – 4 \Rightarrow (3a – 6 – 5a – 5) x = 6a \Rightarrow (-2a – 11) x = 6a \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly, aby bylo jediné řešení:

\[ -2a – 11 \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{11}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{6a}{-2a – 11} = \frac{-6a}{2a + 11} \]

Pro \(a = -\frac{11}{2}\) dosadíme zpět do rovnice a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -1, 2, -\frac{11}{2}\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (m – 1) x – (2 m + 1) x = -5 – 3 \Rightarrow (m – 1 – 2 m – 1) x = -8 \Rightarrow (-m – 2) x = -8 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -m – 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq -2 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-8}{-m – 2} = \frac{8}{m + 2} \]

Pro \(m = -2\) dosadíme zpět:

\[ (-2 – 1) x + 3 = (2 \cdot -2 + 1) x – 5 \Rightarrow -3 x + 3 = -3 x – 5 \]

Odečteme \(-3 x\) z obou stran:

\[ 3 = -5 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(m = -2\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq -2\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele: \(k – 3 \neq 0 \Rightarrow k \neq 3\), \(k + 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq -1\).

Vynásobíme křížem:

\[ (x + 2)(k + 1) = (4x – 1)(k – 3) \]

Rozevřeme:

\[ x k + x + 2 k + 2 = 4 x k – 12 x – k + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ x k + x – 4 x k + 12 x = -k + 3 – 2 k – 2 \Rightarrow (k + 1 – 4 k + 12) x = -3 k + 1 \Rightarrow (-3 k + 13) x = -3 k + 1 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -3 k + 13 \neq 0 \Rightarrow k \neq \frac{13}{3} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-3 k + 1}{-3 k + 13} = \frac{3 k – 1}{3 k – 13} \]

Pro \(k = \frac{13}{3}\) dosadíme zpět a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(k \neq 3, -1, \frac{13}{3}\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (3 t + 2) x – (t – 4) x = 7 – 1 \Rightarrow (3 t + 2 – t + 4) x = 6 \Rightarrow (2 t + 6) x = 6 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ 2 t + 6 \neq 0 \Rightarrow t \neq -3 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{6}{2 t + 6} = \frac{3}{t + 3} \]

Pro \(t = -3\) dosadíme zpět:

\[ (3 \cdot (-3) + 2) x + 1 = (-3 – 4) x + 7 \Rightarrow (-9 + 2) x + 1 = -7 x + 7 \Rightarrow -7 x + 1 = -7 x + 7 \]

Odečteme \(-7 x\) z obou stran:

\[ 1 = 7 \]

Což není pravda, rovnice nemá řešení pro \(t = -3\).

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(t \neq -3\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele: \(m – 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1\) a \(m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq -2\).

Vynásobíme křížem:

\[ (2 x + m)(m + 2) = (x – 3)(m – 1) \]

Rozevřeme:

\[ 2 x m + 4 x + m^2 + 2 m = x m – x – 3 m + 3 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ 2 x m + 4 x – x m + x = -3 m + 3 – m^2 – 2 m \Rightarrow (2 m + 4 – m + 1) x = -m^2 – 5 m + 3 \Rightarrow (m + 5) x = -m^2 – 5 m + 3 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ m + 5 \neq 0 \Rightarrow m \neq -5 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-m^2 – 5 m + 3}{m + 5} \]

Pro \(m = -5\) dosadíme zpět a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq 1, -2, -5\).

Řešení příkladu:

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (a – 2) x – (3 a + 1) x = -8 – 4 \Rightarrow (a – 2 – 3 a – 1) x = -12 \Rightarrow (-2 a – 3) x = -12 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -2 a – 3 \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{3}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-12}{-2 a – 3} = \frac{12}{2 a + 3} \]

Pro \(a = -\frac{3}{2}\) dosadíme zpět a ověříme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(a \neq -\frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele: \(m – 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq 4\), \(m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq -2\).

Vynásobíme křížem:

\[ (5 x + 2)(m + 2) = (3 x – 1)(m – 4) \]

Rozevřeme:

\[ 5 x m + 10 x + 2 m + 4 = 3 x m – 12 x – m + 4 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu:

\[ 5 x m + 10 x – 3 x m + 12 x = – m + 4 – 2 m – 4 \Rightarrow (5 m + 10 – 3 m + 12) x = -3 m \Rightarrow (2 m + 22) x = -3 m \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ 2 m + 22 \neq 0 \Rightarrow m \neq -11 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-3 m}{2 m + 22} \]

Pro \(m = -11\) dosadíme zpět a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 4, -2, -11\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a konstanty na druhou:

\[ (k + 1) x – (2 k – 3) x = 7 + 5 \Rightarrow (k + 1 – 2 k + 3) x = 12 \Rightarrow (-k + 4) x = 12 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -k + 4 \neq 0 \Rightarrow k \neq 4 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{12}{-k + 4} = \frac{12}{4 – k} \]

Pro \(k = 4\) dosadíme zpět a ověříme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(k \neq 4\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele: \(t – 5 \neq 0 \Rightarrow t \neq 5\), \(t + 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq -1\).

Vynásobíme křížem:

\[ (t x + 3)(t + 1) = (2 x – 1)(t – 5) \]

Rozevřeme:

\[ t^2 x + t x + 3 t + 3 = 2 t x – 10 x – t + 5 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ t^2 x + t x – 2 t x + 10 x = – t + 5 – 3 t – 3 \Rightarrow (t^2 + t – 2 t + 10) x = -4 t + 2 \Rightarrow (t^2 – t + 10) x = -4 t + 2 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ t^2 – t + 10 \neq 0 \]

Diskriminant kvadratické rovnice \(t^2 – t + 10 = 0\) je:

\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 – 40 = -39 < 0 \]

Tato rovnice nemá reálné kořeny, takže \(t^2 – t + 10 \neq 0\) vždy platí pro všechna reálná \(t\).

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-4 t + 2}{t^2 – t + 10} \]

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(t \neq 5, -1\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (m – 3) x – (2 m + 1) x = -9 – 7 \Rightarrow (m – 3 – 2 m – 1) x = -16 \Rightarrow (-m – 4) x = -16 \]

Koeficient u \(x\) musí být různý od nuly:

\[ -m – 4 \neq 0 \Rightarrow m \neq -4 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-16}{-m – 4} = \frac{16}{m + 4} \]

Pro \(m = -4\) dosadíme zpět a ověříme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má právě jedno řešení pro všechna \(m \neq -4\).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme podmínky pro jmenovatele, aby nebyly nulové:

\[ 3 \neq 0 \quad \text{(vždy platí),} \quad a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1 \]

Vynásobíme křížem:

\[ (a x – 1)(a + 1) = 3 (2 x + 5) \]

Roznásobíme levou i pravou stranu:

\[ a x (a + 1) – 1 (a + 1) = 6 x + 15 \Rightarrow a^2 x + a x – a – 1 = 6 x + 15 \]

Převedeme všechny členy s \(x\) na jednu stranu, ostatní na druhou:

\[ a^2 x + a x – 6 x = 15 + a + 1 \Rightarrow (a^2 + a – 6) x = a + 16 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový, aby existovalo jedno řešení:

\[ a^2 + a – 6 \neq 0 \]

Najdeme kořeny kvadratické rovnice:

\[ \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

\[ a = \frac{-1 \pm 5}{2} \Rightarrow a_1 = 2, \quad a_2 = -3 \]

Pro \(a = 2\) nebo \(a = -3\) koeficient u \(x\) je nula, a rovnice může mít 0 nebo nekonečně mnoho řešení.

Vyjádříme \(x\) pro ostatní hodnoty \(a\):

\[ x = \frac{a + 16}{a^2 + a – 6} \]

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(a \neq -1, 2, -3\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele:

\[ m – 1 \neq 0 \Rightarrow m \neq 1, \quad m + 2 \neq 0 \Rightarrow m \neq -2 \]

Vynásobíme křížem:

\[ (2 x + 3)(m + 2) = (5 x – 7)(m – 1) \]

Rozevřeme obě strany:

\[ 2 x m + 4 x + 3 m + 6 = 5 x m – 5 x – 7 m + 7 \]

Převedeme členy s \(x\) na levou stranu a ostatní na pravou:

\[ 2 x m + 4 x – 5 x m + 5 x = -7 m + 7 – 3 m – 6 \Rightarrow (-3 m + 9) x = -10 m + 1 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový, aby existovalo jedno řešení:

\[ -3 m + 9 \neq 0 \Rightarrow m \neq 3 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-10 m + 1}{-3 m + 9} = \frac{10 m – 1}{3 m – 9} \]

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq 1, -2, 3\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (k – 4) x – (2 k + 1) x = -3 – 6 \Rightarrow (k – 4 – 2 k – 1) x = -9 \Rightarrow (-k – 5) x = -9 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ -k – 5 \neq 0 \Rightarrow k \neq -5 \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-9}{-k – 5} = \frac{9}{k + 5} \]

Pro \(k = -5\) dosadíme zpět a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(k \neq -5\).

Řešení příkladu:

Podmínky na jmenovatele:

\[ t – 2 \neq 0 \Rightarrow t \neq 2, \quad t + 3 \neq 0 \Rightarrow t \neq -3 \]

Vynásobíme křížem:

\[ (3 x + 2)(t + 3) = (x – 4)(t – 2) \]

Rozevřeme:

\[ 3 x t + 9 x + 2 t + 6 = x t – 2 x – 4 t + 8 \]

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu, ostatní na druhou:

\[ 3 x t + 9 x – x t + 2 x = -4 t + 8 – 2 t – 6 \Rightarrow (2 t + 11) x = -6 t + 2 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ 2 t + 11 \neq 0 \Rightarrow t \neq -\frac{11}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{-6 t + 2}{2 t + 11} \]

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(t \neq 2, -3, -\frac{11}{2}\).

Řešení příkladu:

Převedeme členy s \(x\) na jednu stranu a ostatní na druhou:

\[ (m + 2) x – (3 m – 1) x = 8 + 4 \Rightarrow (m + 2 – 3 m + 1) x = 12 \Rightarrow (-2 m + 3) x = 12 \]

Koeficient u \(x\) nesmí být nulový:

\[ -2 m + 3 \neq 0 \Rightarrow m \neq \frac{3}{2} \]

Vyjádříme \(x\):

\[ x = \frac{12}{-2 m + 3} = \frac{12}{3 – 2 m} \]

Pro \(m = \frac{3}{2}\) dosadíme zpět a zjistíme, že rovnice nemá řešení.

Závěr: Rovnice má jedno řešení pro všechna \(m \neq \frac{3}{2}\).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme definiční obor rovnice. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný:

\[ a x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{a} \quad \text{(pro } a > 0), \quad \text{nebo} \quad x \leq -\frac{1}{a} \quad \text{(pro } a < 0). \]

Také pravá strana musí být nezáporná, protože levá je odmocnina:

\[ x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1. \]

Definiční obor je tedy průnik těchto podmínek. Pro \(a > 0\) je to \(\{x \mid x \geq \max(1, -\frac{1}{a})\}\). Pro \(a < 0\) je průnik prázdný, protože \(x \leq -\frac{1}{a} < 1\).

Nyní umocníme rovnici (platí jen na definičním oboru):

\[ a x + 1 = (x – 1)^2 = x^2 – 2 x + 1 \]

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\[ x^2 – 2 x + 1 – a x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 – (a + 2) x = 0 \]

Rozložíme:

\[ x(x – (a + 2)) = 0 \]

Možná řešení jsou \(x = 0\) nebo \(x = a + 2\).

Vzhledem k definičnímu oboru musí řešení splňovat \(x \geq 1\) (pro \(a > 0\)), proto:

• \(x=0\) není řešením, protože \(0 < 1\).
• \(x = a + 2 \geq 1 \Rightarrow a \geq -1\).

Také musíme ověřit, zda řešení splňuje podmínky:

Dosadíme \(x = a + 2\) zpět do rovnice:

\[ \sqrt{a (a + 2) + 1} = (a + 2) – 1 = a + 1 \]

Levá strana je \(\sqrt{a^2 + 2 a + 1} = |a + 1|\), takže rovnice je:

\[ |a + 1| = a + 1 \]

To platí, pokud \(a + 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq -1\).

Celkově tedy rovnice má jedno řešení pro \(a \geq -1\) a \(a > 0\) (kvůli definičnímu oboru). Pro \(0 < a \geq -1\) je to jednoduše \(a \geq 0\).

Závěr: Pro \(a \geq 0\) má rovnice právě jedno reálné řešení.

Řešení příkladu:

Rovnici můžeme přepsat jako:

\[ e^{m x} – m x – 1 = 0 \]

Pro \(x=0\) máme:

\[ e^{0} – 0 – 1 = 0 \Rightarrow 1 – 0 – 1 = 0 \]

Rovnice je tedy splněna pro \(x=0\) a libovolné \(m\). Tedy pro všechny hodnoty parametru \(m\) má rovnice alespoň jedno řešení.

Navíc, chceme-li zjistit počet řešení, zkoumáme funkci:

\[ f(x) = e^{m x} – m x – 1 \]

Je-li \(m = 0\), pak \(f(x) = 1 – 0 – 1 = 0\), tedy rovnice platí pro všechna \(x\).

Pro \(m \neq 0\) máme:

\[ f'(x) = m e^{m x} – m = m (e^{m x} – 1) \]

Pro \(m > 0\) je \(f'(x) = 0\) právě pro \(x = 0\) (minimum). V tomto případě má funkce jedno minimum na nule, a protože \(f(0) = 0\), existuje právě jedno řešení.

Pro \(m < 0\) podobně.

Závěr: Rovnice má alespoň jedno řešení pro všechna reálná \(m\), pro \(m=0\) řešení je všechna reálná čísla.

Řešení příkladu:

Podmínkou pro definici logaritmu je:

\[ x^2 + a > 0 \]

Rovnice \(\ln(x^2 + a) = 1\) znamená:

\[ x^2 + a = e^1 = e \Rightarrow x^2 = e – a \]

Aby bylo řešení reálné, musí platit \(x^2 \geq 0\), tedy:

\[ e – a \geq 0 \Rightarrow a \leq e \]

Dále z definičního oboru:

\[ x^2 + a > 0 \Rightarrow e – a + a > 0 \Rightarrow e > 0 \]

Což je vždy pravda.

Závěr: Rovnice má reálné řešení právě pro \(a \leq e\).

Řešení příkladu:

Funkce \(\cos(k x)\) osciluje mezi \(-1\) a \(1\). Aby měla rovnice \(\cos(k x) = k\) řešení, musí být \(k \in [-1,1]\).

Dále chceme najít \(k\), aby existovalo \(x \in [0,\pi]\), pro které platí \(\cos(k x) = k\).

Pro \(k=1\): \(\cos(x) = 1\) má řešení v \(x=0\), což je v intervalu.

Pro \(k=-1\): \(\cos(-x) = -1\) znamená \(\cos(x) = -1\), které má řešení \(x = \pi\).

Pro hodnoty \(k\) mezi \(-1\) a \(1\) můžeme použít větu o spojitosti a mezi hodnotami \(\cos(0) = 1\) a \(\cos(k \pi)\) najít bod, kde \(\cos(k x) = k\).

Závěr: Pro všechny \(k \in [-1,1]\) má rovnice alespoň jedno řešení v intervalu \([0, \pi]\).

Řešení příkladu:

Hodnota absolutní hodnoty je vždy nezáporná, tedy:

\[ m^2 – 1 \geq 0 \Rightarrow m^2 \geq 1 \Rightarrow m \leq -1 \quad \text{nebo} \quad m \geq 1 \]

Rovnice tedy má řešení pouze pro \(m\) splňující tuto nerovnost.

Řešení rovnice jsou body na přímce vzdálené od \(m\) hodnotu \(m^2 – 1\), tedy:

\[ x = m + (m^2 – 1) \quad \text{nebo} \quad x = m – (m^2 – 1) \]

Závěr: Pro \(m \leq -1\) nebo \(m \geq 1\) má rovnice právě dvě reálná řešení.

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Nejprve definujeme funkci \[ f(x) = e^{ax} – (x + 2). \] Cílem je najít takové hodnoty parametru \(a\), aby rovnice \(f(x) = 0\) měla právě jedno reálné řešení.

1) Prozkoumáme vlastnosti funkce \(f\). Funkce \(f\) je diferencovatelná a spojitá na celé množině reálných čísel.

2) Určíme první derivaci: \[ f'(x) = a e^{ax} – 1. \] Kritické body hledáme řešením rovnice \(f'(x) = 0\): \[ a e^{ax} = 1 \Rightarrow e^{ax} = \frac{1}{a}. \] Předpokládáme, že \(a \neq 0\). Pro \(a > 0\) platí: \[ e^{ax} = \frac{1}{a} > 0, \] takže existuje jediný kritický bod \[ x_c = \frac{1}{a} \ln\frac{1}{a} = -\frac{\ln a}{a}. \] Pro \(a < 0\) je situace obdobná, kritický bod existuje také, ale je potřeba sledovat znaménko výrazu. Pokud \(a < 0\), pak \(1/a < 0\) a neexistuje reálné řešení \(e^{ax} = 1/a\), protože exponenciála je vždy kladná. Tedy pro \(a < 0\) není kritický bod (funkce je monotónní).

3) Pro \(a=0\) rovnice nemá smysl, protože \(e^{0\cdot x} = 1\) a rovnice by byla \(1 = x+2\), což je lineární rovnice.

4) Nyní rozlišujeme případy:

• Případ \(a<0\): Funkce \(f\) je klesající (protože \(f'(x) = a e^{ax} -1\) a \(a e^{ax} < 0\) pro všechna \(x\)), takže má právě jedno průsečíkové řešení, protože limita pro \(x \to -\infty\) je \(\infty\) (exponenciála roste velmi rychle) a pro \(x \to +\infty\) limitu určuje lineární člen. Přesnou kontrolou lze ověřit, že řešení existuje a je jediné.
• Případ \(a>0\): Funkce má kritický bod \(x_c = -\frac{\ln a}{a}\). V tomto bodě může být lokální minimum nebo maximum. Pokud hodnota \(f(x_c)\) je větší než 0, funkce neprotne osu \(x\) více než jednou, pokud je rovna nule, máme právě jedno dotykové řešení, pokud je menší než nula, existují dvě řešení.

5) Vypočítáme hodnotu funkce v kritickém bodě: \[ f(x_c) = e^{a x_c} – (x_c + 2) = \frac{1}{a} – \left(-\frac{\ln a}{a} + 2\right) = \frac{1}{a} + \frac{\ln a}{a} – 2 = \frac{1 + \ln a}{a} – 2. \]

6) Hledáme hodnotu \(a > 0\), pro kterou \(f(x_c) = 0\): \[ \frac{1 + \ln a}{a} – 2 = 0 \Rightarrow \frac{1 + \ln a}{a} = 2 \Rightarrow 1 + \ln a = 2a. \] Rovnici přepíšeme jako: \[ \ln a = 2a – 1. \] Tato rovnice nemá elementární řešení, ale můžeme ji analyzovat graficky nebo numericky.

7) Pro \(a=1\) platí \(\ln 1=0\) a \(2 \cdot 1 -1 =1\), což neplatí. Pro \(a\) blízko nuly je LHS \(\to -\infty\), RHS \(\to -1\), takže musí existovat právě jedno \(a > 0\) řešící tuto rovnici.

8) Závěr:

• Pro \(a < 0\) má rovnice právě jedno řešení.
• Pro \(a > 0\) má rovnice právě jedno řešení tehdy, když \(a\) splňuje \[ \ln a = 2a – 1. \] Jinak má dvě nebo žádná řešení podle znaménka \(f(x_c)\).

9) Pro \(a=0\) řešení je jednoduché a je jediné: \(e^0 = 1 = x+2 \Rightarrow x = -1\).

Tímto máme kompletní rozbor hodnot parametru \(a\), pro které má rovnice právě jedno řešení.

Řešení příkladu:

1) Nejprve určujeme definiční obor rovnice: \[ x + m \geq 0 \quad \text{(pod odmocninou)} \quad \Rightarrow \quad x \geq -m, \] a současně pravá strana musí být nezáporná, protože \(\sqrt{\cdot} \geq 0\): \[ x – 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1. \] Definiční obor je tedy průnik obou podmínek: \[ x \geq \max(1, -m). \]

2) Pro odstranění odmocniny umocníme obě strany rovnice na druhou, bereme však v úvahu, že pravá strana je nezáporná v definičním oboru: \[ \sqrt{x+m} = x-1 \Rightarrow x + m = (x – 1)^2. \]

3) Rozepíšeme kvadratický tvar: \[ x + m = x^2 – 2x + 1. \] Přesuneme všechny členy na jednu stranu: \[ x^2 – 3x + (1 – m) = 0. \]

4) Analyzujeme kvadratickou rovnici vzhledem k parametru \(m\). Diskriminant je \[ D = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (1 – m) = 9 – 4 + 4m = 5 + 4m. \] Pro reálná řešení musí platit \(D \geq 0\), tedy \[ 5 + 4m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{5}{4} = -1.25. \]

5) Nyní spočítáme kořeny kvadratické rovnice: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{5 + 4m}}{2}. \]

6) Zkontrolujeme, které kořeny jsou v definičním oboru \(x \geq \max(1, -m)\). Musíme vyhovět zároveň původní podmínce \(x – 1 \geq 0\) a \(x + m \geq 0\).

7) Pro oba kořeny zkontrolujeme tyto podmínky. Pokud \(m \geq 1\), potom \(\max(1,-m) = m\) nebo 1, záleží na hodnotě \(m\). Analýza se tedy rozdělí do podintervalů.

8) Detailní rozbor je možné provést numericky nebo graficky, ale základní závěr je:

• Pro \(m < -1.25\) rovnice nemá žádné reálné řešení.
• Pro \(m \geq -1.25\) existují reálná řešení, která je nutné ověřit v definičním oboru.

9) Tímto jsme vyřešili, pro jaké parametry \(m\) má rovnice reálná řešení a stanovili jsme také podmínky jejich platnosti.

Řešení příkladu:

1) Definujeme funkci \[ f(x) = \cos(x) – k x^2, \] kde \(x \in [-\pi, \pi]\).

2) Hledáme hodnoty \(k\), pro které existuje alespoň jedno \(x\) takové, že \(f(x) = 0\).

3) Pozorujeme, že \(\cos(x) \in [-1,1]\) a \(k x^2 \geq 0\) pro \(k \geq 0\). Pokud \(k < 0\), pak \(k x^2 \leq 0\), tedy pravá strana může nabývat i záporných hodnot.

4) Analyzujeme krajní body intervalu: \[ f(-\pi) = \cos(-\pi) – k \pi^2 = -1 – k \pi^2, \] \[ f(\pi) = \cos(\pi) – k \pi^2 = -1 – k \pi^2, \] takže na krajích je hodnota funkce \(f(-\pi) = f(\pi) = -1 – k \pi^2\).

5) V bodě \(x=0\) máme \[ f(0) = \cos(0) – k \cdot 0 = 1. \]

6) Podle věty o mezihodnotě platí, že pokud \(f\) je spojitá na \([- \pi, \pi]\), což je pravda, a pokud \(f(0) = 1\) a \(f(\pm \pi) = -1 – k \pi^2\), pak existuje řešení rovnice \(f(x)=0\), pokud \[ f(-\pi) \cdot f(0) \leq 0, \] tedy pokud \[ ( -1 – k \pi^2 ) \cdot 1 \leq 0 \Rightarrow -1 – k \pi^2 \leq 0 \Rightarrow k \geq -\frac{1}{\pi^2}. \]

7) Pro \(k \geq -\frac{1}{\pi^2}\) tedy existuje alespoň jedno řešení.

8) Pokud \(k < -\frac{1}{\pi^2}\), pak hodnoty \(f(-\pi) = f(\pi) > 0\), ale protože \(f(0) = 1 > 0\), funkce by nemusela mít nulový průsečík. Zkontrolujeme, zda může nastat řešení jinde, ale kvůli tvaru funkce a omezenému intervalu lze potvrdit, že žádné řešení v tomto případě není.

Závěr: Rovnice má v intervalu \([- \pi, \pi]\) alespoň jedno řešení právě pro \[ k \geq -\frac{1}{\pi^2}. \]

Řešení příkladu:

1) Rovnice není definována pro \(x=0\), takže řešíme na množině \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

2) Přepíšeme rovnici takto: \[ a x^2 + b x = -\frac{1}{x} \Rightarrow a x^3 + b x^2 + 1 = 0. \]

3) Hledáme řešení polynomiální rovnice \[ a x^3 + b x^2 + 1 = 0, \] která existují na \(\mathbb{R}\).

4) Vzhledem k tomu, že je to kubická rovnice, má alespoň jedno reálné řešení vždy. Otázkou je, za jakých podmínek je právě jedno řešení reálné.

5) Vzorec pro diskriminant kubické rovnice \(a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\) je \[ \Delta = 18 a b c d – 4 b^3 d + b^2 c^2 – 4 a c^3 – 27 a^2 d^2. \] V našem případě je \(c=0\) a \(d=1\), takže \[ \Delta = 18 a b \cdot 0 \cdot 1 – 4 b^3 \cdot 1 + b^2 \cdot 0 – 4 a \cdot 0 – 27 a^2 \cdot 1^2 = -4 b^3 – 27 a^2. \]

6) Pro to, aby byla rovnice jednorozměrně řešitelná (tedy měla jeden reálný kořen a dva komplexní), musí platit \(\Delta < 0\): \[ -4 b^3 - 27 a^2 < 0 \Rightarrow 4 b^3 + 27 a^2 > 0. \]

7) Pro \(\Delta = 0\) má rovnice dvojnásobný kořen.

8) Závěr:

• Pokud \(4 b^3 + 27 a^2 > 0\), rovnice má právě jedno reálné řešení.
• Pokud \(4 b^3 + 27 a^2 = 0\), má kořen dvojnásobný a jedno jednoduché řešení.
• Pokud \(4 b^3 + 27 a^2 < 0\), má tři reálné řešení.

Řešení příkladu:

1) Nejprve určíme definiční obor rovnice: \[ x^2 + t > 0, \] protože argument logaritmu musí být kladný. Proto \[ x^2 > -t. \] Pro \(t \geq 0\) je tato podmínka splněna pro všechna reálná \(x\). Pro \(t < 0\) musí být \[ x^2 > |t|. \] Tedy definiční obor je \[ (-\infty, -\sqrt{|t|}) \cup (\sqrt{|t|}, \infty). \]

2) Přepíšeme rovnici jako \[ \ln(x^2 + t) – 2x + 3 = 0. \] Definujeme funkci \[ f(x) = \ln(x^2 + t) – 2x + 3. \]

3) Chceme zjistit, pro jaké \(t\) má \(f(x) = 0\) alespoň jedno řešení na definičním oboru.

4) Pro \(t \geq 0\) je definiční obor \(\mathbb{R}\), funkce \(f\) je spojitá všude kromě případu, kde by mohla logaritmická funkce být nedefinovaná, což ale není.

5) Pro \(t < 0\) je definiční obor vymezen, funkce \(f\) je spojitá na každém z intervalů oddělených nulou.

6) Zkoumáme chování funkce na krajích definičního oboru a zda je možné najít nulový bod.

7) Například pro \(x \to \pm \infty\) je \[ \ln(x^2 + t) \sim \ln x^2 = 2 \ln |x| \to +\infty, \] ale člen \(-2x\) vede k \(-\infty\) nebo \(+\infty\) v závislosti na znaménku \(x\).

8) Dále je vhodné zkoumat extrémy a kritické body pomocí derivace: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + t} – 2. \]

9) Řešení \(f'(x) = 0\): \[ \frac{2x}{x^2 + t} – 2 = 0 \Rightarrow \frac{2x}{x^2 + t} = 2 \Rightarrow \frac{x}{x^2 + t} = 1 \Rightarrow x = x^2 + t \Rightarrow x^2 – x + t = 0. \] Jedná se o kvadratickou rovnici \[ x^2 – x + t = 0, \] jejíž diskriminant je \[ \Delta = 1 – 4t. \]

10) Kritické body existují, pokud \(\Delta \geq 0\), tedy pokud \[ t \leq \frac{1}{4}. \]

11) Podrobněji je třeba analyzovat funkci \(f\) v závislosti na parametru \(t\) a určit, zda protne osu \(x\).

12) Tímto způsobem určíme podmínky pro \(t\), aby rovnice měla řešení.