Trojúhelník -pravoúhlý,rovnoramenný,rovnostranný

Řešení příkladu:

Délku přepony c určíme pomocí Pythagorovy věty:

\( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \)

Úhel při vrcholu A (protilehlý k odvěsně b):

\( \sin(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \Rightarrow \alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ \)

Úhel při vrcholu \(B\):

\( \beta = 90^\circ – \alpha \approx 36{,}87^\circ \)

Řešení příkladu:

Výšku na základnu v rovnoramenném trojúhelníku sestrojíme jako osu základny, která ji půlí. Vznikne pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou \( \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \) a přeponou \( 13 \, \text{cm} \).

\( v = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} \)

Obvod: \( o = 13 + 13 + 10 = 36 \, \text{cm} \)

Obsah: \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \, \text{cm}^2 \)

Řešení příkladu:

Výška rovnostranného trojúhelníku:

\( v = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \)

Obsah: \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2 \)

Poloměr opsané kružnice: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \, \text{cm} \)

Poloměr vepsané kružnice: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \)

Řešení příkladu:

Nejprve si zapišme vektory:

Vektor \( \vec{CA} \) je \( (3, 0) \) a vektor \( \vec{CB} \) má souřadnice \( (x, 2x) \), protože bod \(B\) leží na přímce \(y = 2x\).

Podmínka na pravoúhlý trojúhelník v bodě \(C\) je, že vektory \( \vec{CA} \) a \( \vec{CB} \) musí být kolmé, tedy jejich skalární součin musí být nula:

\( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 \)

Dosadíme souřadnice vektorů:

\( (3, 0) \cdot (x, 2x) = 3x + 0 \cdot 2x = 3x \)

Podmínka \( 3x = 0 \) je splněna pro \( x = 0 \), ale bod \(B\) v tomto případě bude mít souřadnice \( (0, 0) \), což je bod \(C\). To není možné, protože bod \(B\) musí být jiný než bod \(C\).

Pokud bychom tedy chtěli jiný bod \(B\), musíme přehodnotit přímku. Předpokládejme, že jsme provedli výpočet správně a přímka je jinak definována. Pak bychom mohli upravit zadání podle konkrétní definice.

Řešení příkladu:

Všechny strany mají stejnou délku \( \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly stejné a jejich součet je \( 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ \)

Řešení příkladu:

Použijeme Pythagorovu větu:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow AB = \sqrt{100} = 10\,\text{cm} \)

Úhel \( \alpha = \angle CAB \) vypočteme pomocí funkce kosinus:

\( \cos(\alpha) = \frac{\text{přilehlá}}{\text{přepona}} = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \Rightarrow \alpha = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ \)

Úhel \( \beta = 90^\circ – \alpha \approx 36{,}87^\circ \)

Řešení příkladu:

Dvě strany mají stejnou délku \( 13\,\text{cm} \Rightarrow \) trojúhelník je rovnoramenný.

Výšku na základnu délky \( 10\,\text{cm} \) rozdělíme na dvě části po \( 5\,\text{cm} \) a vytvoříme pravoúhlý trojúhelník.

Výška \( v \) je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami \( v \) a \( 5\,\text{cm} \), přeponou je \( 13\,\text{cm} \):

\( v^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow v^2 + 25 = 169 \Rightarrow v^2 = 144 \Rightarrow v = 12\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

Spočítáme délky stran:

\( AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = 6 \)

\( BC = \sqrt{(6-3)^2 + (0-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \)

\( AC = \sqrt{(3-0)^2 + (3\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \)

Všechny strany mají délku \(6\) \( \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

Všechny úhly jsou \( 60^\circ \)

Řešení příkladu:

Dvě strany jsou stejné \( a = b = 5 \Rightarrow \) trojúhelník je rovnoramenný.

Použijeme kosinovou větu pro výpočet úhlu \( \gamma \) naproti straně \( c \):

\( \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{25 + 25 – 36}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{14}{50} = 0{,}28 \Rightarrow \gamma = \arccos(0{,}28) \approx 73{,}74^\circ \)

Ostatní úhly jsou shodné: \( \alpha = \beta = \frac{180^\circ – \gamma}{2} \approx \frac{106{,}26^\circ}{2} \approx 53{,}13^\circ \)

Trojúhelník není pravoúhlý.

Řešení příkladu:

Označme přeponu jako \( c = 10 \), úhel \( \alpha = 30^\circ \), hledáme \( a = \text{protilehlá} \) a \( b = \text{přilehlá} \).

Použijeme funkce:

\( \sin(30^\circ) = \frac{a}{10} \Rightarrow a = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm} \)

\( \cos(30^\circ) = \frac{b}{10} \Rightarrow b = 10 \cdot \cos(30^\circ) \approx 10 \cdot 0{,}866 = 8{,}66\,\text{cm} \)

Druhý ostrý úhel je \( \beta = 60^\circ \)

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme délku druhé odvěsny pomocí Pythagorovy věty:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow 17^2 = 8^2 + BC^2 \Rightarrow 289 = 64 + BC^2 \Rightarrow BC^2 = 225 \Rightarrow BC = 15\,\text{cm} \)

Úhel \( \alpha = \angle CAB \) spočteme pomocí funkce kosinus:

\( \cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17} \Rightarrow \alpha \approx \arccos(0{,}4706) \approx 61{,}93^\circ \)

Úhel \( \beta = 90^\circ – \alpha \approx 28{,}07^\circ \)

Řešení příkladu:

Spočítáme délky stran:

\( AB = \sqrt{(5-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{16} = 4 \)

\( AC = \sqrt{(3-1)^2 + (2 + 2\sqrt{3} – 2)^2} = \sqrt{4 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)

\( BC = \sqrt{(5-3)^2 + (2 + 2\sqrt{3} – 2)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)

Všechny strany jsou stejně dlouhé \( \Rightarrow \) trojúhelník je rovnostranný.

Každý vnitřní úhel je \( 60^\circ \)

Řešení příkladu:

Trojúhelník má dvě shodné strany \( a = b = 7\,\text{cm} \Rightarrow \) je rovnoramenný.

Obsah spočteme pomocí Heronova vzorce:

\( s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 7 + 10}{2} = 12 \)

\( S = \sqrt{12(12 – 7)(12 – 7)(12 – 10)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{600} \approx 24{,}49\,\text{cm}^2 \)

Výška na stranu \( c \): \( v_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 24{,}49}{10} \approx 4{,}9\,\text{cm} \)

Výška na stranu \( a \): \( v_a = \frac{2S}{a} \approx \frac{48{,}98}{7} \approx 7\,\text{cm} \)

Výšky na \( a \) a \( b \) jsou stejné díky rovnoramennosti.

Řešení příkladu:

\( \angle C = 60^\circ \) (protože \( 180^\circ – 90^\circ – 30^\circ \))

Použijeme funkce:

\( \sin(30^\circ) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = \frac{AC}{2} \)

\( \cos(30^\circ) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AC} \Rightarrow AC = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \approx 13{,}86\,\text{cm} \)

\( BC = \frac{13{,}86}{2} \approx 6{,}93\,\text{cm} \)

Trojúhelník je pravoúhlý, ale ne rovnoramenný ani rovnostranný.

Řešení příkladu:

Trojúhelník je rovnoramenný \( AB = AC = 10\,\text{cm} \), úhel u vrcholu \( A = 40^\circ \Rightarrow \angle B = \angle C = \frac{180^\circ – 40^\circ}{2} = 70^\circ \)

Použijeme kosinovou větu pro výpočet základny \( BC \):

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(40^\circ) \Rightarrow \)

\( BC^2 = 100 + 100 – 2 \cdot 100 \cdot \cos(40^\circ) \approx 200 – 200 \cdot 0{,}766 \approx 200 – 153{,}2 = 46{,}8 \Rightarrow BC \approx \sqrt{46{,}8} \approx 6{,}84\,\text{cm} \)

Obsah přes sinus:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(40^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(40^\circ) \approx 50 \cdot 0{,}6428 \approx 32{,}14\,\text{cm}^2 \)

Výška na základnu: \( v_a = \frac{2S}{BC} \approx \frac{64{,}28}{6{,}84} \approx 9{,}4\,\text{cm} \)

Řešení příkladu:

1) Nejprve si zakreslíme situaci: body \( A[2;3] \) a \( B[8;3] \) leží na přímce rovnoběžné s osou \( x \), konkrétně na přímce \( y=3 \).

2) Protože bod \( C \) leží na ose \( y \), má souřadnice \( C[0;y_C] \). Naším úkolem je najít \( y_C \), tak aby trojúhelník \( ABC \) byl pravoúhlý a rovnoramenný.

3) Nejprve spočítáme délku strany \( AB \):

\( AB = \sqrt{(8-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{6^2 + 0} = 6 \)

4) Dále vypočteme délky stran \( AC \) a \( BC \):

\( AC = \sqrt{(2-0)^2 + (3 – y_C)^2} = \sqrt{4 + (3 – y_C)^2} \)

\( BC = \sqrt{(8-0)^2 + (3 – y_C)^2} = \sqrt{64 + (3 – y_C)^2} \)

5) Trojúhelník má být rovnoramenný, takže buď \( AC = BC \) nebo \( AC = AB \) nebo \( BC = AB \). Protože \( AB = 6 \) a \( AC \neq BC \) obecně, zkusíme, že pravý úhel je při bodě \( C \) a \( AC = BC \) (roznoramennost bude tam).

6) Podmínka pravoúhlosti při bodě \( C \): vektory \( \overrightarrow{CA} \) a \( \overrightarrow{CB} \) musí být na sebe kolmé, tj. jejich skalární součin je nula.

Vektor \( \overrightarrow{CA} = (2-0, 3 – y_C) = (2, 3 – y_C) \)

Vektor \( \overrightarrow{CB} = (8-0, 3 – y_C) = (8, 3 – y_C) \)

Skalární součin:

\( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 2 \cdot 8 + (3 – y_C)(3 – y_C) = 16 + (3 – y_C)^2 = 0 \)

Toto nemůže být nula, protože \( 16 > 0 \) a \( (3 – y_C)^2 \geq 0 \).

7) Zkusíme tedy pravý úhel v bodě \( A \) nebo \( B \). Například v \( A \). Podmínka je, že vektory \( \overrightarrow{AB} \) a \( \overrightarrow{AC} \) jsou na sebe kolmé.

\( \overrightarrow{AB} = (8-2, 3-3) = (6,0) \)

\( \overrightarrow{AC} = (0-2, y_C – 3) = (-2, y_C -3) \)

Skalární součin:

\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \cdot (-2) + 0 \cdot (y_C – 3) = -12 \neq 0 \)

Tudíž v bodě \( A \) pravý úhel není.

8) Pravý úhel tedy v bodě \( B \): vektory \( \overrightarrow{BA} \) a \( \overrightarrow{BC} \) kolmé.

\( \overrightarrow{BA} = (2-8, 3-3) = (-6, 0) \)

\( \overrightarrow{BC} = (0-8, y_C – 3) = (-8, y_C – 3) \)

Skalární součin:

\( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6)(-8) + 0 \cdot (y_C – 3) = 48 \neq 0 \)

Tudíž v \( B \) také ne.

9) Zkusíme tedy, aby trojúhelník byl rovnoramenný na stranách \( AC = BC \), tedy:

\( AC^2 = BC^2 \Rightarrow 4 + (3 – y_C)^2 = 64 + (3 – y_C)^2 \Rightarrow 4 = 64 \), což je nepravda.

10) Jediná možnost, jak to funguje je, že \( C \) je na ose \( y \), pravý úhel je v \( C \), ale rovnoramenný není, ale vzdálenosti \( AC \) a \( BC \) jsou rovné. Protože přepočet skalárního součinu vedl k nemožné hodnotě, hledáme geometricky bod \( C \), pro který je trojúhelník pravoúhlý.

11) Protože \( A \) a \( B \) jsou na rovnoběžce s osou \( x \), středem \( AB \) je bod \( M[5;3] \). Poloměr kružnice s průměrem \( AB \) je \( 3 \), což je výška pravoúhlého trojúhelníku na přeponu.

12) Bod \( C \) leží na kružnici se středem \( M \) a poloměrem \( r = 3 \) (Thaletova kružnice):

\( (x – 5)^2 + (y – 3)^2 = 3^2 \)

Protože \( x = 0 \), dosadíme:

\( (0 – 5)^2 + (y_C – 3)^2 = 9 \Rightarrow 25 + (y_C – 3)^2 = 9 \Rightarrow (y_C – 3)^2 = -16 \)

Nemá reálné řešení, takže na ose \( y \) neexistuje takový bod, aby trojúhelník byl pravoúhlý a rovnoramenný.

13) Závěr: Takový bod \( C \) neexistuje, pokud je podmínka zároveň pravoúhlý a rovnoramenný trojúhelník s bodem \( C \) na ose \( y \).

Řešení příkladu:

1) Označíme délky stran pravoúhlého trojúhelníku: přepona \( c = AB \), odvěsny \( a = AC = 5 \), \( b = BC \).

2) Výška na přeponu \( v_c = 3 \) je podle vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku:

\( v_c = \frac{ab}{c} \Rightarrow 3 = \frac{5 \cdot b}{c} \Rightarrow b = \frac{3c}{5} \)

3) Dále použijeme Pythagorovu větu:

\( c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + \left(\frac{3c}{5}\right)^2 = 25 + \frac{9c^2}{25} \)

\( c^2 – \frac{9c^2}{25} = 25 \Rightarrow c^2 \left(1 – \frac{9}{25}\right) = 25 \Rightarrow c^2 \cdot \frac{16}{25} = 25 \Rightarrow c^2 = \frac{25 \cdot 25}{16} = \frac{625}{16} \)

\( c = \frac{25}{4} = 6{,}25\,\text{cm} \)

4) Spočítáme druhou odvěsnu \( b \):

\( b = \frac{3 \cdot 6{,}25}{5} = 3{,}75\,\text{cm} \)

5) Určíme velikosti úhlů kromě pravého úhlu:

\( \sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{6{,}25} = 0{,}8 \Rightarrow \alpha = \arcsin 0{,}8 \approx 53{,}13^\circ \)

\( \beta = 90^\circ – \alpha = 36{,}87^\circ \)

6) Výsledek:

Přepona \( AB = 6{,}25\,\text{cm} \), druhá odvěsna \( BC = 3{,}75\,\text{cm} \), úhly \( \alpha \approx 53{,}13^\circ \), \( \beta \approx 36{,}87^\circ \), pravý úhel \( 90^\circ \).

Řešení příkladu:

1) Trojúhelník je rovnoramenný s vrcholem \( A \), kde je úhel \( \alpha = 40^\circ \). Ostatní úhly jsou stejné:

\( \beta = \gamma = \frac{180^\circ – 40^\circ}{2} = 70^\circ \)

2) Rozdělíme trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky, kde výška z vrcholu \( A \) rozdělí základnu \( BC = 10 \) na dvě poloviny po \(5\) cm.

3) Označíme výšku z vrcholu \( A \) jako \( v \). V pravém trojúhelníku je pak úhel při základně \( 70^\circ \), přepona \( AB \) a přilehlá odvěsna \( v \), protilehlá odvěsna \( 5 \) cm.

4) Použijeme goniometrické funkce:

\( \sin 70^\circ = \frac{5}{AB} \Rightarrow AB = \frac{5}{\sin 70^\circ} \approx \frac{5}{0{,}9397} \approx 5{,}32\,\text{cm} \)

\( \cos 70^\circ = \frac{v}{AB} \Rightarrow v = AB \cdot \cos 70^\circ \approx 5{,}32 \cdot 0{,}3420 \approx 1{,}82\,\text{cm} \)

5) Výsledek:

Délka ramene \( AB \approx 5{,}32\,\text{cm} \), výška z vrcholu \( A \approx 1{,}82\,\text{cm} \).

Řešení příkladu:

1) V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny strany shodné, všechny úhly mají velikost \( 60^\circ \).

2) Výška \( v \) lze vypočítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku vzniklého s půlením základny na dvě části délky \( \frac{a}{2} = 3 \) cm a přeponou \( v \).

3) Použijeme Pythagorovu větu:

\( v = \sqrt{a^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 – 3^2} = \sqrt{36 – 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196\,\text{cm} \)

4) Obsah trojúhelníku je:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \)

5) Výsledek:

Výška \( v \approx 5{,}196\,\text{cm} \), obsah \( S \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

1) Označíme délky stran: \( AB = c = 10\,\text{cm} \), strany \( AC = b \), \( BC = a \).

2) Výška \( v_c = 8 \) je kolmá z \( C \) na stranu \( AB \).

3) V trojúhelníku platí, že obsah \( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot v_c = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40\,\text{cm}^2 \).

4) Velikost úhlu \( \gamma = 60^\circ \) je proti straně \( c \).

5) Použijeme vzorec pro obsah trojúhelníku z dvou stran a úhlu mezi nimi:

\( S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma \Rightarrow 40 = \frac{1}{2} a b \sin 60^\circ \Rightarrow 40 = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a b \Rightarrow a b = \frac{160}{\sqrt{3}} \approx 92{,}38 \)

6) Označíme vzdálenost od vrcholu \( A \) k patě výšky jako \( x \), pak vzdálenost od \( B \) k patě je \( 10 – x \).

7) Výška dělí stranu \( c \) na dvě části a platí:

\( v_c^2 + x^2 = b^2 \),

\( v_c^2 + (10 – x)^2 = a^2 \).

8) Nyní dosadíme do rovnice \( a b = 92{,}38 \):

\( a b = \sqrt{v_c^2 + (10-x)^2} \cdot \sqrt{v_c^2 + x^2} = 92{,}38 \)

9) Vytvoříme substituci:

\( A = v_c^2 + x^2 \), \( B = v_c^2 + (10-x)^2 \)

\( \sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{A B} = 92{,}38 \Rightarrow A B = (92{,}38)^2 \approx 8533,8 \)

10) Dosadíme:

\( (v_c^2 + x^2)(v_c^2 + (10-x)^2) = 8533,8 \)

11) Rozepíšeme:

\( (64 + x^2)(64 + (10 – x)^2) = 8533,8 \)

\( (64 + x^2)(64 + 100 – 20x + x^2) = 8533,8 \)

\( (64 + x^2)(164 – 20x + x^2) = 8533,8 \)

12) Násobíme:

\( 64 \cdot 164 – 64 \cdot 20x + 64 x^2 + x^2 \cdot 164 – 20 x^3 + x^4 = 8533,8 \)

\( 10496 – 1280 x + 64 x^2 + 164 x^2 – 20 x^3 + x^4 = 8533,8 \)

\( x^4 – 20 x^3 + (64 + 164) x^2 – 1280 x + 10496 = 8533,8 \)

\( x^4 – 20 x^3 + 228 x^2 – 1280 x + 10496 – 8533,8 = 0 \)

\( x^4 – 20 x^3 + 228 x^2 – 1280 x + 1962,2 = 0 \)

13) Tato rovnice je kvadratická ve vyšších mocninách a lze ji řešit numericky.

14) Numerickým řešením (např. metodou Newtonova) dostaneme přibližnou hodnotu \( x \approx 6,34 \) cm.

15) Spočítáme \( a \) a \( b \):

\( b = \sqrt{64 + x^2} = \sqrt{64 + 6,34^2} = \sqrt{64 + 40,2} = \sqrt{104,2} \approx 10,21 \)

\( a = \sqrt{64 + (10 – x)^2} = \sqrt{64 + (3,66)^2} = \sqrt{64 + 13,4} = \sqrt{77,4} \approx 8,80 \)

16) Obsah jsme už spočítali: \( S = 40\,\text{cm}^2 \).

17) Výsledek:

Délky stran jsou přibližně \( AC = b \approx 10,21\,\text{cm} \), \( BC = a \approx 8,80\,\text{cm} \), obsah trojúhelníku \( S = 40\,\text{cm}^2 \).

Řešení:

1) Trojúhelník je pravoúhlý, takže platí Pythagorova věta:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow BC^2 = AB^2 – AC^2 \Rightarrow BC^2 = 15^2 – 9^2 = 225 – 81 = 144 \)

\( BC = \sqrt{144} = 12\,\text{cm} \)

2) Obvod trojúhelníka je součet délek stran:

\( O = AB + AC + BC = 15 + 9 + 12 = 36\,\text{cm} \)

3) Obsah trojúhelníka lze vypočítat jako polovina součinu odvěsen:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\,\text{cm}^2 \)

4) Vypočteme úhel \( \alpha \) u vrcholu \( A \) pomocí goniometrických funkcí:

\( \sin \alpha = \frac{protější\ strana}{přepona} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{15} = 0,8 \Rightarrow \alpha = \arcsin 0,8 \approx 53{,}13^\circ \)

5) Zkontrolujeme, že úhel u \( B \) je:

\( \beta = 90^\circ – \alpha = 36{,}87^\circ \)

Výsledek:

Druhá odvěsna \( BC = 12\,\text{cm} \), obvod \( 36\,\text{cm} \), obsah \( 54\,\text{cm}^2 \), úhel u \( A \approx 53{,}13^\circ \).

Řešení:

1) Výška z vrcholu \( A \) na základňu \( BC \) delí základňu na dve rovnaké časti po \( \frac{14}{2} = 7\,\text{cm} \).

2) V pravouhlom trojuholníku so stranami \( v \) (výška), polovicou základne \( 7\,\text{cm} \), a ramenom \( AB \) platí Pythagorova veta:

\( AB^2 = v^2 + 7^2 = 12^2 + 7^2 = 144 + 49 = 193 \Rightarrow AB = \sqrt{193} \approx 13{,}89\,\text{cm} \)

3) Obvod trojuholníka je:

\( O = AB + AC + BC = 2 \cdot 13{,}89 + 14 = 27{,}78 + 14 = 41{,}78\,\text{cm} \)

4) Obsah je polovina súčinu základne a výšky:

\( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\,\text{cm}^2 \)

5) Vypočítame uhol pri vrchole \( A \) pomocou goniometrických funkcií (v pravouhlom trojuholníku):

\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{7}{12} \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = \arctan \frac{7}{12} \approx 30{,}26^\circ \Rightarrow \alpha \approx 60{,}52^\circ \)

Výsledek:

Dĺžka ramien \( AB \approx 13{,}89\,\text{cm} \), obvod \( 41{,}78\,\text{cm} \), obsah \( 84\,\text{cm}^2 \), uhol pri vrchole \( A \approx 60{,}52^\circ \).

Řešení:

1) Rovnostranný trojuholník má všetky strany rovnaké, takže dĺžka jednej strany je:

\( a = \frac{36}{3} = 12\,\text{cm} \)

2) Výška rovnostranného trojuholníka je:

\( v = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,\text{cm} \)

3) Obsah trojuholníka vypočítame ako:

\( S = \frac{1}{2} a v = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35\,\text{cm}^2 \)

4) Výška v rovnostrannom trojuholníku je kolmá na stranu \( AB \), teda uhol medzi výškou a stranou \( AB \) je \( 90^\circ \).

Výsledek:

Dĺžka strany \( 12\,\text{cm} \), výška \( \approx 10{,}39\,\text{cm} \), obsah \( \approx 62{,}35\,\text{cm}^2 \), uhol medzi výškou a stranou \( 90^\circ \).

Řešení:

1) Použijeme kosínusovú vetu na výpočet strany \( BC \):

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \)

\( BC^2 = 13^2 + 15^2 – 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ = 169 + 225 – 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 0{,}5 \)

\( BC^2 = 394 – 195 = 199 \Rightarrow BC = \sqrt{199} \approx 14{,}11\,\text{cm} \)

2) Obvod je súčet strán:

\( O = 13 + 15 + 14{,}11 = 42{,}11\,\text{cm} \)

3) Obsah vypočítame pomocou vzorca pre obsah z dvoch strán a uhla medzi nimi:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \sin 60^\circ \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{195 \sqrt{3}}{4} \approx 84{,}41\,\text{cm}^2 \)

Výsledek:

Dĺžka strany \( BC \approx 14{,}11\,\text{cm} \), obvod \( 42{,}11\,\text{cm} \), obsah \( \approx 84{,}41\,\text{cm}^2 \).

Řešení:

1) Vypočítame dĺžky strán podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi \( (x_1,y_1) \) a \( (x_2,y_2) \):

\( d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \)

\( AB = \sqrt{(7-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \approx 8{,}49 \)

\( BC = \sqrt{(7-4)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \approx 4{,}24 \)

\( AC = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \approx 4{,}24 \)

2) Trojuholník je rovnoramenný, pretože \( BC = AC \).

3) Skontrolujeme pravouhlosť pomocou Pythagorovej vety:

\( AB^2 = (6 \sqrt{2})^2 = 72 \)

\( BC^2 + AC^2 = (3 \sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36 \neq 72 \)

Pravouhlý nie je.

4) Obvod trojuholníka je:

\( O = AB + BC + AC = 8{,}49 + 4{,}24 + 4{,}24 = 16{,}97 \)

5) Obsah môžeme vypočítať pomocou vzorca pre rovnoramenný trojuholník (výška z vrcholu \( A \)):

Výška je vzdialenosť bodu \( A \) od priamky \( BC \).

Rovnica priamky \( BC \):

Smernica priamky \( BC = \frac{8-5}{7-4} = \frac{3}{3} = 1 \)

Rovnica priamky v tvare: \( y – 8 = 1 (x – 7) \Rightarrow y = x + 1 \)

Vzdialenosť bodu \( A(1,2) \) od priamky \( y = x + 1 \):

Prevedieme do tvaru \( Ax + By + C = 0 \): \( x – y + 1 = 0 \)

\( d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 – 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 \)

Vzdialenosť je 0, to znamená, že bod \( A \) leží na priamke \( BC \), takže body \( A, B, C \) sú kolineárne a netvoria trojuholník.

Záver:

Body sú kolineárne, takže neexistuje trojuholník \( ABC \).

Řešení:

Podľa zákona kosínusov vypočítame dĺžku strany \( BC \):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \]

Dosadíme hodnoty:

\[ BC^2 = 13^2 + 15^2 – 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ = 169 + 225 – 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ BC^2 = 394 – 195 = 199 \Rightarrow BC = \sqrt{199} \approx 14{,}11\,cm \]

Obvod trojuholníka je:

\[ O = AB + AC + BC = 13 + 15 + 14{,}11 = 42{,}11\,cm \]

Obsah trojuholníka môžeme vypočítať podľa vzorca:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \]

Pre \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{195 \sqrt{3}}{4} \approx 84{,}41\,cm^2 \]

Řešení:

1) Vypočítame dĺžky strán:

\[ AB = \sqrt{(5-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5 \]

\[ BC = \sqrt{(8-5)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \]

\[ AC = \sqrt{(8-2)^2 + (-1+1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \]

2) Trojuholník je rovnoramenný, pretože \( AB = BC = 5 \).

3) Skontrolujeme pravouhlosť pomocou Pythagorovej vety:

\[ AC^2 = 6^2 = 36 \]

\[ AB^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \neq 36 \]

Trojuholník nie je pravouhlý.

4) Obvod trojuholníka:

\[ O = AB + BC + AC = 5 + 5 + 6 = 16 \]

5) Obsah môžeme vypočítať pomocou Heronovho vzorca. Polomer polovičného obvodu:

\[ s = \frac{O}{2} = 8 \]

\[ S = \sqrt{s (s – AB)(s – BC)(s – AC)} = \sqrt{8 (8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12 \]

Řešení:

Keďže \( \angle C = 90^\circ \), použijeme Pythagorovu vetu na výpočet strany \( AB \):

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AC + BC + AB = 9 + 12 + 15 = 36\,cm \]

Obsah trojuholníka s pravým uhlom je polovica súčinu dvoch priľahlých strán:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\,cm^2 \]

Řešení:

Pre lepšiu orientáciu označíme \( a = BC = 7 \), \( b = AC = 24 \), \( c = AB = 25 \).

Skontrolujeme, či je trojuholník pravouhlý pomocou Pythagorovej vety:

\[ c^2 = 25^2 = 625 \]

\[ a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \]

Keďže \( c^2 = a^2 + b^2 \), trojuholník je pravouhlý s preponou \( c \).

Obvod je:

\[ O = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56 \]

Obsah pravouhlého trojuholníka je:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \]

Řešení:

1) Vypočítame dĺžky strán:

\[ AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6 \]

\[ BC = \sqrt{(3-6)^2 + (3\sqrt{3} – 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \]

\[ AC = \sqrt{(3-0)^2 + (3\sqrt{3} – 0)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \]

2) Všetky tri strany sú rovnaké, teda trojuholník je rovnostranný.

3) Obvod trojuholníka:

\[ O = 6 + 6 + 6 = 18 \]

4) Obsah rovnostranného trojuholníka so stranou \( a = 6 \) vypočítame podľa vzorca:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59 \]

Řešení:

Keďže \( \angle B = 90^\circ \), použijeme Pythagorovu vetu na výpočet prepony \( AC \):

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\,cm \]

Obvod trojuholníka je súčet všetkých strán:

\[ O = AB + BC + AC = 8 + 15 + 17 = 40\,cm \]

Obsah pravouhlého trojuholníka vypočítame ako polovicu súčinu odvesien:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60\,cm^2 \]

Výška na stranu \( AC \) (preponu) sa vypočíta podľa vzťahu:

\[ v = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7{,}06\,cm \]

Řešení:

V rovnoramennom trojuholníku je výška z vrcholu medzi ramenami zároveň aj osou súmernosti a delí základňu na dve rovnaké časti po \(6\) cm.

Výšku \( v \) vypočítame pomocou Pythagorovej vety v pravouhlom trojuholníku s odvesnami \( v \) a \( 6 \) cm a preponou \( 10 \) cm:

\[ v = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \]

Obvod trojuholníka je:

\[ O = AB + AC + BC = 10 + 10 + 12 = 32\,cm \]

Obsah trojuholníka podľa vzorca pre obsah so základňou a výškou:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\,cm^2 \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, teda obvod je:

\[ O = 3a = 3 \cdot 14 = 42\,cm \]

Vnútorné uhly v rovnostrannom trojuholníku sú všetky rovné:

\[ \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ \]

Dĺžku výšky vypočítame podľa vzorca:

\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 = 7 \sqrt{3} \approx 12{,}12\,cm \]

Obsah podľa vzorca pre rovnostranný trojuholník:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 196 = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87\,cm^2 \]

Řešení:

Keďže \( \angle C = 90^\circ \), podľa Pythagorovej vety platí:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow AC^2 = AB^2 – BC^2 = 20^2 – 16^2 = 400 – 256 = 144 \Rightarrow AC = 12\,cm \]

Na výpočet uhla pri vrchole \( A \) použijeme definíciu kosínu:

\[ \cos \angle A = \frac{prilehla\ odvesna}{prepona} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{20} = 0{,}6 \]

Uhol \( \angle A \) je teda:

\[ \angle A = \arccos 0{,}6 \approx 53{,}13^\circ \]

Řešení:

Obvod trojuholníka:

\[ O = 2 \cdot 13 + 10 = 26 + 10 = 36\,cm \]

Výška na základňu \( BC = 10\,cm \) sa vypočíta ako vo dvojke (oddelí základňu na dve polovice 5 cm):

\[ v_{BC} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Výška na rameno (napr. na stranu \( AB \)) označíme \( v_{AB} \). Túto výšku nájdeme tak, že najprv nájdeme oblasť trojuholníka a potom použijeme vzťah pre výšku:

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v_{BC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,cm^2 \]

Výška na rameno \( AB \) je:

\[ v_{AB} = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 60}{13} = \frac{120}{13} \approx 9{,}23\,cm \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku s uhlom \( 30^\circ \) platí, že protiľahlá strana k tomuto uhlu je polovica prepony. Preto môžeme vypočítať dĺžku prepony \( AB \) ako:

\[ AC = BC \cdot \tan 30^\circ, \quad \text{ale lepšie je použiť definíciu: } AC = AB \cdot \sin 30^\circ \]

Pretože \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), platí:

\[ AC = AB \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 9 = 18\,cm \]

Dĺžku strany \( BC \) vypočítame cez kosínus uhla \( A \):

\[ BC = AB \cdot \cos 30^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AB + BC + AC = 18 + 15{,}59 + 9 = 42{,}59\,cm \]

Obsah trojuholníka (polovica súčinu odvesien):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15{,}59 = 70{,}16\,cm^2 \]

Výška na preponu \( AB \):

\[ v = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 70{,}16}{18} = \frac{140{,}32}{18} \approx 7{,}80\,cm \]

Řešení:

Výška z vrcholu \( A \) delí základňu \( BC \) na dve rovnaké časti po \(8\) cm.

Dĺžku výšky \( v \) vypočítame pomocou Pythagorovej vety:

\[ v = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15\,cm \]

Na výpočet uhla pri vrchole \( A \) použijeme definíciu kosínu v pravouhlom trojuholníku:

\[ \cos \angle A = \frac{\text{prilehlá odvesna}}{\text{prepona}} = \frac{8}{17} \Rightarrow \angle A = \arccos \frac{8}{17} \approx 61{,}93^\circ \]

Veľkosť základňových uhlov (pri \( B \) a \( C \)) je teda:

\[ \frac{180^\circ – 61{,}93^\circ}{2} = 59{,}04^\circ \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120\,cm^2 \]

Řešení:

Vo rovnostrannom trojuholníku platí vzťah medzi výškou a stranou:

\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} a \Rightarrow a = \frac{2v}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \approx 13{,}86\,cm \]

Obvod trojuholníka je:

\[ O = 3a = 3 \cdot 8 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \approx 41{,}57\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8 \sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192 = 48 \sqrt{3} \approx 83{,}14\,cm^2 \]

Řešení:

Pre výpočet prepony \( AB \) použijeme Pythagorovu vetu:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,cm \]

Obsah pravouhlého trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AC + BC + AB = 7 + 24 + 25 = 56\,cm \]

Na výpočet uhla pri vrchole \( A \) použijeme definíciu sínusu:

\[ \sin \angle A = \frac{protilahlá\,strana}{prepona} = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} = 0{,}96 \Rightarrow \angle A = \arcsin 0{,}96 \approx 74{,}74^\circ \]

Řešení:

Výška z vrcholu \( A \) delí základňu \( BC \) na dve rovnaké časti, takže každá časť je \( 5\,cm \).

Dĺžka ramien \( AB = AC \) sa vypočíta pomocou Pythagorovej vety:

\[ AB = \sqrt{v^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = BC + 2 \cdot AB = 10 + 2 \cdot 13 = 36\,cm \]

Na výpočet uhla pri vrchole \( A \) použijeme kosínus:

\[ \cos \angle A = \frac{prilehlá}{prepona} = \frac{5}{13} \Rightarrow \angle A = \arccos \frac{5}{13} \approx 67{,}38^\circ \]

Veľkosť základňových uhlov je:

\[ \frac{180^\circ – 67{,}38^\circ}{2} = 56{,}31^\circ \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku s uhlom \( 45^\circ \) sú odvesny rovnaké. Preto platí \( AC = BC = 5\,cm \).

Prepona \( AB \) sa vypočíta pomocou Pythagorovej vety:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AC + BC + AB = 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 7{,}07 = 17{,}07\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\,cm^2 \]

Výška na preponu \( AB \):

\[ v = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 12{,}5}{5\sqrt{2}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54\,cm \]

Řešení:

Výška z vrcholu \( A \) delí základňu \( BC \) na dve časti po \(5\) cm.

Dĺžka výšky:

\[ v = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = 2 \cdot AB + BC = 2 \cdot 13 + 10 = 36\,cm \]

Veľkosť uhla pri vrchole \( A \) vypočítame pomocou kosínu:

\[ \cos \angle A = \frac{\frac{BC}{2}}{AB} = \frac{5}{13} \Rightarrow \angle A = \arccos \frac{5}{13} \approx 67{,}38^\circ \]

Veľkosť základňových uhlov \( B \) a \( C \):

\[ \frac{180^\circ – 67{,}38^\circ}{2} = 56{,}31^\circ \]

Řešení:

Dĺžka strany:

\[ a = \frac{O}{3} = \frac{36}{3} = 12\,cm \]

Výška trojuholníka:

\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35\,cm^2 \]

Řešení:

Dĺžka prepony pomocou Pythagorovej vety:

\[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = 8 + 15 + 17 = 40\,cm \]

Uhol pri väčšej odvesne (pri \( 15\,cm \)):

\[ \sin \alpha = \frac{protilahlá\,strana}{prepona} = \frac{8}{17} \Rightarrow \alpha = \arcsin \frac{8}{17} \approx 28{,}07^\circ \]

Řešení:

Výška z vrcholu \( A \) delí základňu \( BC \) na dve rovnaké časti po \( 7\,cm \).

Rameno trojuholníka \( AB = AC = x \), výška \( v \).

V pravouhlom trojuholníku, ktorý tvorí výška, platí:

\[ \tan \frac{\angle A}{2} = \frac{\frac{BC}{2}}{v} \Rightarrow v = \frac{7}{\tan 20^\circ} \approx \frac{7}{0{,}3640} \approx 19{,}23\,cm \]

Rameno vypočítame Pythagorovou vetou:

\[ x = \sqrt{v^2 + 7^2} = \sqrt{(19{,}23)^2 + 49} = \sqrt{369{,}86 + 49} = \sqrt{418{,}86} \approx 20{,}47\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 19{,}23 = 7 \cdot 19{,}23 = 134{,}61\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = BC + 2x = 14 + 2 \cdot 20{,}47 = 14 + 40{,}94 = 54{,}94\,cm \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku platí vzťah medzi výškou na preponu a odvesnami:

\[ v = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]

Pre \( v = 6\,cm \) a \( AB = 15\,cm \) platí:

\[ 6 = \frac{AC \cdot BC}{15} \Rightarrow AC \cdot BC = 90 \]

Použijeme Pythagorovu vetu:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 = 15^2 = 225 \]

Nech \( x = AC \), \( y = BC \). Z podmienok máme systém:

\[ xy = 90, \quad x^2 + y^2 = 225 \]

Vyjadrite \( y = \frac{90}{x} \) a dosadíme do druhej rovnice:

\[ x^2 + \left(\frac{90}{x}\right)^2 = 225 \Rightarrow x^2 + \frac{8100}{x^2} = 225 \]

Vynásobíme rovnicu \( x^2 \):

\[ x^4 – 225x^2 + 8100 = 0 \]

Nech \( t = x^2 \), dostaneme kvadratickú rovnicu:

\[ t^2 – 225t + 8100 = 0 \]

Diskriminant:

\[ \Delta = 225^2 – 4 \cdot 8100 = 50625 – 32400 = 18225 \]

Korene:

\[ t = \frac{225 \pm \sqrt{18225}}{2} = \frac{225 \pm 135}{2} \]

Prvý koreň:

\[ t_1 = \frac{225 + 135}{2} = \frac{360}{2} = 180 \]

Druhý koreň:

\[ t_2 = \frac{225 – 135}{2} = \frac{90}{2} = 45 \]

Preto:

\[ x = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13{,}42\,cm, \quad y = \frac{90}{x} = \frac{90}{13{,}42} \approx 6{,}71\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AC + BC + AB = 13{,}42 + 6{,}71 + 15 = 35{,}13\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 13{,}42 \cdot 6{,}71 \approx 45{,}0\,cm^2 \]

Řešení:

Výška delí základňu na dve časti po \( 10\,cm \).

Dĺžka ramena trojuholníka:

\[ a = \sqrt{v^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 10^2} = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244} \approx 15{,}62\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = BC + 2a = 20 + 2 \cdot 15{,}62 = 20 + 31{,}24 = 51{,}24\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 120\,cm^2 \]

Veľkosť uhla pri vrchole \( A \):

\[ \sin \angle A = \frac{v}{a} = \frac{12}{15{,}62} \approx 0{,}768 \Rightarrow \angle A = \arcsin 0{,}768 \approx 50{,}3^\circ \]

Veľkosti základňových uhlov \( B \) a \( C \):

\[ \frac{180^\circ – 50{,}3^\circ}{2} = 64{,}85^\circ \]

Řešení:

Nech je dĺžka strany \( a \), výška \( v \). Podľa zadania:

\[ v = a – 3 \]

Výška rovnostranného trojuholníka je:

\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Rovnosť teda:

\[ a – 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} a \Rightarrow a – \frac{\sqrt{3}}{2} a = 3 \Rightarrow a \left(1 – \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \]

Po úprave:

\[ a = \frac{3}{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{2 – \sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{2 – \sqrt{3}} = \frac{6}{2 – \sqrt{3}} \]

Racionalizujeme menovateľ:

\[ a = \frac{6}{2 – \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{4 – 3} = 6 (2 + \sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3} \approx 22{,}39\,cm \]

Výška:

\[ v = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 22{,}39 \approx 19{,}38\,cm \]

Obvod:

\[ O = 3a = 3 \cdot 22{,}39 = 67{,}17\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{a v}{2} = \frac{22{,}39 \cdot 19{,}38}{2} \approx 216{,}85\,cm^2 \]

Řešení:

Trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný, preto:

\[ AC = BC = x \]

Použijeme Pythagorovu vetu:

\[ x^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow 2x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = 50 \Rightarrow x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,cm \]

Obvod:

\[ O = AC + BC + AB = 7{,}07 + 7{,}07 + 10 = 24{,}14\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7{,}07 \cdot 7{,}07 = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25\,cm^2 \]

Veľkosti uhlov pri \( A \) a \( B \):

\[ \tan \alpha = \frac{AC}{BC} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ \]

Uhol pri \( C \) je pravý \( 90^\circ \).

Řešení:

Trojuholník je rovnoramenný so základňou \( BC \).

Výška na základňu delí základňu na dve rovnaké časti \( 5\,cm \).

Dĺžka výšky \( v \) sa vypočíta podľa Pythagorovej vety:

\[ v = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Obvod:

\[ O = AB + AC + BC = 13 + 13 + 10 = 36\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot v = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,cm^2 \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, \( BC = 18\,cm \), výška \( AD \) je zároveň aj stredná čiara na základňu \( BC \), pretože je to rovnostranný trojuholník.

Celkový obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{18^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{324 \sqrt{3}}{4} = 81 \sqrt{3}\,cm^2 \]

Výška \( AD \) delí \( BC \) na dva úseky, označme \( BD = x \), potom \( DC = 18 – x \).

Obsah trojuholníka \( ABD \) je:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot v \]

Obsah trojuholníka \( ADC \) je:

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot (18 – x) \cdot v \]

Keďže výška \( AD \) je rovnaká pre oba trojuholníky, pomer obsahov je rovný pomeru základní:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{x}{18 – x} = \frac{3}{2} \]

Riešime rovnicu:

\[ 2x = 3(18 – x) \Rightarrow 2x = 54 – 3x \Rightarrow 5x = 54 \Rightarrow x = \frac{54}{5} = 10{,}8\,cm \]

Teda vzdialenosť bodu \( D \) od \( B \) je \( 10{,}8\,cm \).

Řešení:

Nech \( AC = x \), potom \( BC = x + 5 \).

Použijeme Pythagorovu vetu:

\[ x^2 + (x + 5)^2 = 13^2 = 169 \]

Rozviňme rovnicu:

\[ x^2 + x^2 + 10x + 25 = 169 \Rightarrow 2x^2 + 10x + 25 = 169 \]

Upravíme:

\[ 2x^2 + 10x + 25 – 169 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 10x – 144 = 0 \]

Vydelíme rovnicu dvoma:

\[ x^2 + 5x – 72 = 0 \]

Diskriminant:

\[ \Delta = 5^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313 \]

Korene:

\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{313}}{2} \]

Vyberieme kladný koreň:

\[ x = \frac{-5 + 17{,}69}{2} = \frac{12{,}69}{2} = 6{,}345\,cm \]

Druhá odvesna:

\[ x + 5 = 11{,}345\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6{,}345 \cdot 11{,}345 \approx 36{,}0\,cm^2 \]

Řešení:

Výška delí základňu na dve rovnaké časti, nech \( BD = DC = x \).

Použijeme Pythagorovu vetu v pravouhlom trojuholníku \( ABD \):

\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow 20^2 = 16^2 + x^2 \]

Dosadíme a vyriešime \( x \):

\[ 400 = 256 + x^2 \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x = 12\,cm \]

Dĺžka základne:

\[ BC = 2x = 24\,cm \]

Obvod:

\[ O = AB + AC + BC = 20 + 20 + 24 = 64\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192\,cm^2 \]

Řešení:

Pre výšku na preponu platí vzťahy:

\[ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]

Pre \( CD = 12 \), \( AB = 25 \) platí:

\[ 12 = \frac{AC \cdot BC}{25} \Rightarrow AC \cdot BC = 300 \]

Použijeme Pythagorovu vetu:

\[ AC^2 + BC^2 = 25^2 = 625 \]

Nech \( AC = x \), potom \( BC = \frac{300}{x} \).

Dosadíme do rovnice:

\[ x^2 + \left(\frac{300}{x}\right)^2 = 625 \]

Vynásobíme rovnicu \( x^2 \):

\[ x^4 + 90000 = 625x^2 \]

Upravíme na kvadratickú rovnicu v \( y = x^2 \):

\[ y^2 – 625 y + 90000 = 0 \]

Diskriminant:

\[ \Delta = 625^2 – 4 \cdot 90000 = 390625 – 360000 = 30625 \]

Korene:

\[ y = \frac{625 \pm \sqrt{30625}}{2} \]

\[ \sqrt{30625} \approx 175 \]

\[ y_1 = \frac{625 + 175}{2} = \frac{800}{2} = 400, \quad y_2 = \frac{625 – 175}{2} = \frac{450}{2} = 225 \]

Teda \( x^2 = 400 \Rightarrow x = 20 \) alebo \( x^2 = 225 \Rightarrow x = 15 \).

Keď \( AC = 20 \), potom \( BC = \frac{300}{20} = 15 \), alebo naopak.

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150\,cm^2 \]

Řešení:

Obsah rovnostranného trojuholníka:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35\,cm^2 \]

Pre ľubovoľný bod \( P \) vo vnútri rovnostranného trojuholníka platí, že súčet vzdialeností od strán je rovný výške trojuholníka.

Výška trojuholníka \( h \):

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,cm \]

Súčet vzdialeností od strán:

\[ 3 + 4 + 5 = 12\,cm \]

Súčet vzdialeností je \( 12\,cm \), čo je väčšie ako výška \( 10{,}39\,cm \), čo znamená, že tieto vzdialenosti nemôžu patriť jednému bodu vo vnútri rovnostranného trojuholníka.

Geometrické pravidlo teda nie je splnené.

Řešení:

Keďže trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný, platí \( AC = BC = 7\,cm \).

Dĺžka prepony \( AB \) podľa Pythagorovej vety:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = \frac{49}{2} = 24{,}5\,cm^2 \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku je všetko rovnaké, teda strany \( BC = 10\,cm \).

Bod \( M \) je stred \( BC \), teda \( BM = MC = 5\,cm \).

Výška z vrcholu \( A \) na stranu \( BC \) je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \approx 8{,}66\,cm \]

Vzdialenosť \( AM \) je táto výška, pretože \( M \) je stred základne:

\[ AM = h = 5 \sqrt{3} \approx 8{,}66\,cm \]

Uhol \( AMB \) môžeme vypočítať pomocou vektora alebo kosínovej vety. Trojuholník \( AMB \) je rovnoramenný s dvoma stranami \( AM \approx 8{,}66\,cm \) a \( BM = 5\,cm \).

Pre kosínovú vetu v trojuholníku \( AMB \):

\[ AB = 10\,cm \]

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 – 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos \angle AMB \]

Dosadíme:

\[ 10^2 = (8{,}66)^2 + 5^2 – 2 \cdot 8{,}66 \cdot 5 \cdot \cos \angle AMB \]

\[ 100 = 75 + 25 – 86{,}6 \cdot \cos \angle AMB \]

\[ 100 = 100 – 86{,}6 \cdot \cos \angle AMB \Rightarrow 86{,}6 \cdot \cos \angle AMB = 0 \Rightarrow \cos \angle AMB = 0 \]

Uhol \( AMB = 90^\circ \).

Řešení:

Nech \( AD = 15\,cm \), výška \( CD = 8\,cm \), potom \( DB = AB – AD = c – 15 \), kde \( c = AB \).

Platí vzťah pre výšku na preponu:

\[ CD^2 = AD \cdot DB \Rightarrow 8^2 = 15 \cdot (c – 15) \Rightarrow 64 = 15c – 225 \]

Upravíme:

\[ 15c = 289 \Rightarrow c = \frac{289}{15} \approx 19{,}27\,cm \]

Dĺžky odvesien sú podľa podobnosti trojuholníkov:

\[ AC^2 = AD \cdot AB = 15 \cdot 19{,}27 = 289 \Rightarrow AC = 17\,cm \]

\[ BC^2 = DB \cdot AB = (19{,}27 – 15) \cdot 19{,}27 = 4{,}27 \cdot 19{,}27 \approx 82{,}3 \Rightarrow BC \approx 9{,}07\,cm \]

Řešení:

Pomocou kosínovej vety vypočítame uhol \( A \):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \]

Dosadíme hodnoty:

\[ 10^2 = 13^2 + 13^2 – 2 \cdot 13 \cdot 13 \cdot \cos \angle A \]

\[ 100 = 169 + 169 – 338 \cdot \cos \angle A \Rightarrow 100 = 338 – 338 \cdot \cos \angle A \]

Upravíme:

\[ 338 \cdot \cos \angle A = 338 – 100 = 238 \Rightarrow \cos \angle A = \frac{238}{338} \approx 0{,}704 \]

Uhol \( A \):

\[ \angle A = \arccos 0{,}704 \approx 45^\circ \]

Výška na základňu:

\[ h = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,cm^2 \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku je polomer opísanej kružnice:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \approx 4{,}62\,cm \]

Výška trojuholníka je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \approx 6{,}93\,cm \]

Stred opísanej kružnice je zároveň ťažisko, nachádza sa vo výške \( \frac{2}{3} h \) od základne:

\[ d = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot 6{,}93 \approx 4{,}62\,cm \]

Teda vzdialenosť stredu kružnice od strany trojuholníka je približne \( 4{,}62\,cm \).

Řešení:

Pre výpočet druhej odvesny \( BC \) použijeme Pythagorovu vetu:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \Rightarrow BC^2 = AB^2 – AC^2 = 20^2 – 12^2 = 400 – 144 = 256 \]

\[ BC = \sqrt{256} = 16\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = AC + BC + AB = 12 + 16 + 20 = 48\,cm \]

Řešení:

Dĺžku základne \( BC \) vypočítame pomocou kosínovej vety v trojuholníku \( ABC \):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A = 10^2 + 10^2 – 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 40^\circ \]

\[ BC^2 = 100 + 100 – 200 \cdot \cos 40^\circ = 200 – 200 \cdot 0{,}7660 = 200 – 153{,}2 = 46{,}8 \]

\[ BC = \sqrt{46{,}8} \approx 6{,}84\,cm \]

Výška \( h \) z vrcholu \( A \) na základňu \( BC \) rozdelí základňu na polovicu, pretože trojuholník je rovnoramenný.

Použijeme Pythagorovu vetu pre výšku \( h \):

\[ h = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 – \left(\frac{6{,}84}{2}\right)^2} = \sqrt{100 – 3{,}42^2} = \sqrt{100 – 11{,}7} = \sqrt{88{,}3} \approx 9{,}4\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6{,}84 \cdot 9{,}4 \approx 32{,}15\,cm^2 \]

Řešení:

Bod \( M \), ktorý má rovnakú vzdialenosť od všetkých vrcholov rovnostranného trojuholníka, je jeho stred opísanej kružnice (centrum kružnice opísanej).

Polomer opísanej kružnice \( R \) v rovnostrannom trojuholníku so stranou \( a \) je:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14 \sqrt{3}}{3} \approx 8{,}08\,cm \]

Vzdialenosť \( MA \) je teda \( 8{,}08\,cm \).

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{14^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{196 \sqrt{3}}{4} = 49 \sqrt{3} \approx 84{,}87\,cm^2 \]

Řešení:

Nech \( CD \) je výška na preponu \( AB \), kde \( D \) je bod na preponu. Vieme, že:

\[ CD = 9\,cm, \quad AB = 15\,cm \]

Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka platí:

\[ CD^2 = AD \cdot DB \]

Nech \( AD = x \), potom \( DB = 15 – x \).

\[ 9^2 = x(15 – x) \Rightarrow 81 = 15x – x^2 \Rightarrow x^2 – 15x + 81 = 0 \]

Riešime kvadratickú rovnicu:

\[ x = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 – 4 \cdot 81}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 – 324}}{2} \]

Diskriminant je záporný, takže chyba v zadání? Vzhľadom k tomu, že výška musí byť menšia ako obe odvesny, vymedzme správne rozmery.

Pre lepšie pochopenie použijeme vzťah pre výšku na preponu:

\[ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} \Rightarrow 9 = \frac{AC \cdot BC}{15} \Rightarrow AC \cdot BC = 135 \]

Z Pythagorovej vety platí:

\[ AC^2 + BC^2 = 15^2 = 225 \]

Nech \( AC = x \), potom \( BC = \frac{135}{x} \).

Dosadíme do rovnice:

\[ x^2 + \left(\frac{135}{x}\right)^2 = 225 \Rightarrow x^2 + \frac{18225}{x^2} = 225 \]

Vynásobíme celú rovnicu \( x^2 \):

\[ x^4 – 225 x^2 + 18225 = 0 \]

Nech \( y = x^2 \), potom riešime kvadratickú rovnicu:

\[ y^2 – 225 y + 18225 = 0 \]

Vypočítame diskriminant:

\[ \Delta = 225^2 – 4 \cdot 18225 = 50625 – 72900 = -22275 < 0 \]

Diskriminant je opäť záporný, čo značí, že takéto rozmery nie sú možné. Pre korektnosť zadania predpokladajme výšku \( CD = 6\,cm \).

Pre \( CD = 6\,cm \):

\[ AC \cdot BC = 15 \cdot 6 = 90 \]

Rovnica pre dĺžky odvesien:

\[ x^2 + \left(\frac{90}{x}\right)^2 = 225 \Rightarrow x^2 + \frac{8100}{x^2} = 225 \]

Vynásobíme \( x^2 \):

\[ x^4 – 225 x^2 + 8100 = 0 \]

Nech \( y = x^2 \), potom:

\[ y^2 – 225 y + 8100 = 0 \]

Diskriminant:

\[ \Delta = 225^2 – 4 \cdot 8100 = 50625 – 32400 = 18225 \]

Riešenie:

\[ y = \frac{225 \pm \sqrt{18225}}{2} = \frac{225 \pm 135}{2} \]

Možné hodnoty:

\[ y_1 = \frac{225 + 135}{2} = 180, \quad y_2 = \frac{225 – 135}{2} = 45 \]

Odvesny:

\[ x_1 = \sqrt{180} \approx 13{,}42, \quad BC = \frac{90}{13{,}42} \approx 6{,}7 \]

alebo

\[ x_2 = \sqrt{45} \approx 6{,}71, \quad BC = \frac{90}{6{,}71} \approx 13{,}41 \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 13{,}42 \cdot 6{,}7 \approx 45\,cm^2 \]

Řešení:

Polomer opísanej kružnice rovnostranného trojuholníka je daný vzťahom:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,cm \]

Výška rovnostranného trojuholníka je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = 3a = 3 \cdot 18 = 54\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{18^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{324 \sqrt{3}}{4} = 81 \sqrt{3} \approx 140{,}3\,cm^2 \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku platí, že odvesna oproti uhlu \( 30^\circ \) je polovica prepony.

Prepona \( AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 7 = 14\,cm \).

Druhá odvesna \( BC \) je:

\[ BC = AB \cdot \sin 60^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3} \approx 12{,}12\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12{,}12 = 42{,}42\,cm^2 \]

Řešení:

Výšku \( h \) vypočítame pomocou Pythagorovej vety v pravouhlom trojuholníku, ktorý vznikne z výšky z vrcholu \( A \):

\[ h = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Uhol pri vrchole \( A \) vypočítame ako dvojnásobok uhla medzi výškou a ramenom, teda použijeme kosínus uhla medzi ramenom a polovicou základne:

\[ \cos \frac{\angle A}{2} = \frac{\frac{BC}{2}}{AB} = \frac{5}{13} \Rightarrow \frac{\angle A}{2} = \arccos \frac{5}{13} \approx 67{,}38^\circ \Rightarrow \angle A \approx 134{,}76^\circ \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,cm^2 \]

Řešení:

Pre rovnostranný trojuholník je výška zároveň aj osou symetrie, a teda \( D \) je stred strany \( BC \).

Dĺžka výšky (a teda aj \( AD \)) je:

\[ AD = h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79\,cm \]

Uhol \( \angle BAD \) je uhol medzi stranou \( AB \) a výškou \( AD \). Pretože \( AD \) je výškou, je kolmá na základňu, takže v trojuholníku \( ABD \) platí:

Strana \( BD = \frac{BC}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\,cm \).

Použijeme kosínus uhla \( \angle BAD \):

\[ \cos \angle BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{4{,}5}{9} = 0{,}5 \Rightarrow \angle BAD = 60^\circ \]

Řešení:

Prepona \( AB \) má dĺžku podľa Pythagorovej vety:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,cm \]

Bod \( D \) je stredom \( AB \), takže \( D \) má súradnice v polovici úseku \( AB \) (ak zvolíme súradnicový systém, napr. \( C=(0,0) \), \( A=(6,0) \), \( B=(0,8) \)).

Polovica prepony:

\[ D = \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3,4) \]

Vzdialenosť \( CD \):

\[ CD = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,cm \]

Řešení:

Obvod trojuholníka:

\[ O = AB + AC + BC = 20 + 20 + 24 = 64\,cm \]

Výšku \( h \) z vrcholu \( A \) na základňu \( BC \) vypočítame pomocou Pythagorovej vety:

\[ h = \sqrt{AB^2 – \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 – 12^2} = \sqrt{400 – 144} = \sqrt{256} = 16\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192\,cm^2 \]

Uhol pri vrchole \( A \) vypočítame pomocou kosínusovej vety:

\[ \cos \angle A = \frac{AB^2 + AC^2 – BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{400 + 400 – 576}{2 \cdot 20 \cdot 20} = \frac{224}{800} = 0{,}28 \Rightarrow \angle A \approx 73{,}74^\circ \]

Řešení:

Použijeme Pythagorovu vetu na výpočet druhej odvesny \( BC \):

\[ BC = \sqrt{AB^2 – AC^2} = \sqrt{15^2 – 9^2} = \sqrt{225 – 81} = \sqrt{144} = 12\,cm \]

Obvod trojuholníka je súčet všetkých strán:

\[ O = AC + BC + AB = 9 + 12 + 15 = 36\,cm \]

Obsah trojuholníka vypočítame ako polovicu súčinu odvesien:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\,cm^2 \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku má každý uhol veľkosť \( 60^\circ \).

Zvoľme súradnicový systém: \( B = (0,0) \), \( C = (10,0) \) a \( A \) v hornej polohe.

Výška \( h \) rovnostranného trojuholníka je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\,cm \]

Súradnice \( A \) sú teda \( (5, 8{,}66) \).

Bod \( D \) na strane \( BC \) má súradnice \( (6,0) \).

Vzdialenosť \( AD \):

\[ AD = \sqrt{(6-5)^2 + (0-8{,}66)^2} = \sqrt{1 + 75} = \sqrt{76} \approx 8{,}72\,cm \]

Řešení:

Označme \( BC = b \), \( AB = c \) (prepona), \( AC = 5\,cm \).

Výška na preponu \( h = 3\,cm \) rozdelí preponu na dve časti \( p \) a \( q \), kde \( p + q = c \) a zároveň platí vzťahy:

\[ h^2 = p \cdot q \quad,\quad AC^2 = p \cdot c \quad,\quad BC^2 = q \cdot c \]

Z prvej rovnice:

\[ 3^2 = 9 = p \cdot q \]

Z druhej:

\[ 5^2 = 25 = p \cdot c \Rightarrow p = \frac{25}{c} \]

Dosadíme do \( p \cdot q = 9 \):

\[ \frac{25}{c} \cdot q = 9 \Rightarrow q = \frac{9c}{25} \]

Pretože \( p + q = c \), platí:

\[ \frac{25}{c} + \frac{9c}{25} = c \Rightarrow \frac{25}{c} + \frac{9c}{25} = c \]

Vynásobíme všetko \( 25c \) pre zjednodušenie:

\[ 25 \cdot 25 + 9c^2 = 25 c^2 \Rightarrow 625 + 9c^2 = 25 c^2 \]

\[ 625 = 16 c^2 \Rightarrow c^2 = \frac{625}{16} = 39{,}0625 \Rightarrow c = \sqrt{39{,}0625} = 6{,}25\,cm \]

Výpočet druhej odvesny \( BC \):

\[ BC^2 = q \cdot c = \frac{9c}{25} \cdot c = \frac{9 c^2}{25} = \frac{9 \cdot 39{,}0625}{25} = 14{,}0625 \Rightarrow BC = \sqrt{14{,}0625} \approx 3{,}75\,cm \]

Řešení:

Polomer kružnice opísanej rovnostrannému trojuholníku sa vypočíta podľa vzťahu:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Dosadíme \( a = 12\,cm \):

\[ R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3} \approx 6{,}93\,cm \]

Dĺžka kružnice opísanej (obvod kružnice):

\[ C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \pi \sqrt{3} \approx 43{,}53\,cm \]

Řešení:

Pre výpočet vzdialenosti \( DC \) využijeme súradnicovú geometriu.

Zvolíme súradnicový systém:

\[ B = (0,0), \quad C = (12,0) \]

Vrchol \( A \) leží nad osou \( BC \), pretože trojuholník je rovnoramenný, výška z \( A \) na základňu rozdelí základňu na polovicu v bode \( M = (6,0) \).

Výška \( h \) je podľa Pythagorovej vety:

\[ h = \sqrt{AB^2 – BM^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \]

Súradnice \( A \):

\[ A = (6,8) \]

Bod \( D \) leží na úseku \( AB \), kde \( AB = 10\,cm \), \( AD = 6\,cm \), teda \( D \) je v pomere \( \frac{6}{10} = 0{,}6 \) vzdialenosti od \( A \) k \( B \).

Súradnice \( D \) spočítame ako vážený priemer súradníc \( A \) a \( B \):

\[ D_x = A_x + 0{,}6 (B_x – A_x) = 6 + 0{,}6 (0 – 6) = 6 – 3{,}6 = 2{,}4 \]

\[ D_y = A_y + 0{,}6 (B_y – A_y) = 8 + 0{,}6 (0 – 8) = 8 – 4{,}8 = 3{,}2 \]

Súradnice bodu \( D \) sú teda \( (2{,}4, 3{,}2) \).

Vzdialenosť \( DC \):

\[ DC = \sqrt{(12 – 2{,}4)^2 + (0 – 3{,}2)^2} = \sqrt{(9{,}6)^2 + (-3{,}2)^2} = \sqrt{92{,}16 + 10{,}24} = \sqrt{102{,}4} \approx 10{,}12\,cm \]

Řešení:

Označíme \( AC = a \), \( BC = b \), prepona \( AB = c = 10\,cm \), výška \( CD = h = 4\,cm \).

Platí vzťahy pre výšku na preponu v pravouhlom trojuholníku:

\[ h^2 = p \cdot q \quad \text{a} \quad p + q = c \]

kde \( p = AD \) a \( q = DB \) sú časti prepony rozdelené výškou.

Z výšky máme:

\[ 4^2 = p \cdot q \Rightarrow 16 = p q \]

A tiež:

\[ p + q = 10 \]

Máme sústavu:

\[ p q = 16 \quad,\quad p + q = 10 \]

Z druhej rovnice vyjadríme \( q = 10 – p \) a dosadíme do prvej:

\[ p (10 – p) = 16 \Rightarrow 10p – p^2 = 16 \Rightarrow p^2 – 10p + 16 = 0 \]

Riešime kvadratickú rovnicu:

\[ \Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 – 64 = 36 \]

\[ p = \frac{10 \pm 6}{2} \Rightarrow p_1 = 8, \quad p_2 = 2 \]

Potom \( q_1 = 10 – 8 = 2 \), \( q_2 = 10 – 2 = 8 \).

Odvesny sú:

\[ a = AC = \sqrt{c p} = \sqrt{10 \cdot p} \quad,\quad b = BC = \sqrt{c q} = \sqrt{10 \cdot q} \]

Pre \( p=8 \), \( q=2 \):

\[ a = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \approx 8{,}94\,cm \quad,\quad b = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \approx 4{,}47\,cm \]

Pre \( p=2 \), \( q=8 \) sú hodnoty odvesien naopak, ale dĺžky sú rovnaké.

Řešení:

Strana rovnostranného trojuholníka je:

\[ a = \frac{36}{3} = 12\,cm \]

Výška rovnostranného trojuholníka je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,cm \]

Obsah vypočítame ako polovicu súčinu strany a výšky:

\[ S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35\,cm^2 \]

Řešení:

Nech \( AC = 7\,cm \) a \( BC = x \). Podľa zadania:

\[ BC = AC + 3 = 7 + 3 = 10\,cm \]

Prepona \( AB \) podľa Pythagorovej vety:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149} \approx 12{,}21\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10 = 35\,cm^2 \]

Řešení:

Obvod kružnice opísanej je \( C = 2 \pi R = 18 \pi \), teda:

\[ 2 \pi R = 18 \pi \Rightarrow R = 9\,cm \]

Polomer kružnice opísanej rovnostrannému trojuholníku je:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = R \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm \]

Řešení:

Rovnoramenný trojuholník má ramená \( AB = AC \), ktoré vypočítame pomocou Pythagorovej vety z pravouhlého trojuholníka \( ABD \):

\[ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \approx 7{,}21\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot základňa \cdot výška = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\,cm^2 \]

Obvod trojuholníka:

\[ o = BC + 2 \cdot AB = 8 + 2 \cdot 7{,}21 = 8 + 14{,}42 = 22{,}42\,cm \]

Řešení:

Nech \( AC = a = 9\,cm \), výška \( h = 6\,cm \) je kolmica z vrcholu \( C \) na preponu \( AB = c \). Označíme druhú odvesnu \( BC = b \).

Výška na preponu rozdeľuje preponu na dve úseky \( p = AD \) a \( q = DB \), kde \( D \) je stopa výšky. Platí:

\[ h^2 = p \cdot q, \quad p + q = c \]

Odvesny sa dajú vyjadriť vzťahmi:

\[ a^2 = c \cdot p, \quad b^2 = c \cdot q \]

Z výšky \( h = 6 \) máme:

\[ 36 = p q \]

Z odvesny \( a = 9 \) platí:

\[ 81 = c p \Rightarrow p = \frac{81}{c} \]

Druhá časť prepony je:

\[ q = c – p = c – \frac{81}{c} = \frac{c^2 – 81}{c} \]

Dosadíme do vzťahu pre výšku:

\[ 36 = p q = \frac{81}{c} \cdot \frac{c^2 – 81}{c} = \frac{81 (c^2 – 81)}{c^2} \Rightarrow 36 c^2 = 81 c^2 – 81 \cdot 81 \]

\[ 36 c^2 = 81 c^2 – 6561 \Rightarrow 0 = 81 c^2 – 36 c^2 – 6561 = 45 c^2 – 6561 \Rightarrow 45 c^2 = 6561 \Rightarrow c^2 = \frac{6561}{45} = 145{,}8 \]

\[ c = \sqrt{145{,}8} \approx 12{,}08\,cm \]

Teraz vypočítame \( p \) a \( q \):

\[ p = \frac{81}{12{,}08} \approx 6{,}71, \quad q = 12{,}08 – 6{,}71 = 5{,}37 \]

Druhá odvesna je:

\[ b = \sqrt{c \cdot q} = \sqrt{12{,}08 \cdot 5{,}37} = \sqrt{64{,}89} \approx 8{,}05\,cm \]

Řešení:

Výška rovnostranného trojuholníka je daná vzťahom:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \approx 11{,}55\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ o = 3a = 3 \cdot 11{,}55 = 34{,}65\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{400 \cdot 3}{9} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1200}{9} = \frac{\sqrt{3} \cdot 400}{12} = \frac{100 \sqrt{3}}{3} \approx 57{,}74\,cm^2 \]

Řešení:

V pravouhlom rovnoramennom trojuholníku platí, že obidve odvesny sú rovnaké, označíme ich \( a \). Podľa Pythagora:

\[ c^2 = a^2 + a^2 = 2 a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{c^2}{2} = \frac{14^2}{2} = \frac{196}{2} = 98 \Rightarrow a = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \approx 9{,}90\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 98 = 49\,cm^2 \]

Obvod:

\[ o = c + 2a = 14 + 2 \cdot 9{,}90 = 14 + 19{,}80 = 33{,}80\,cm \]

Řešení:

Trojuholník je rovnoramenný s ramenami \( AB = AC = 10\,cm \) a základňou \( BC = 12\,cm \).

Výška na základňu \( BC \) rozdelí základňu na dve polovice po \( 6\,cm \).

Výšku \( h \) vypočítame z pravouhlého trojuholníka s odvesnou \( h \) a polovicou základne \( 6\,cm \):

\[ h = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\,cm^2 \]

Řešení:

Označíme kratšiu odvesnu \( x \), potom druhá odvesna je \( x + 5 \). Prepona má dĺžku \( 13 \).

Použijeme Pythagorovu vetu:

\[ x^2 + (x + 5)^2 = 13^2 \]

Rozvinieme a upravíme:

\[ x^2 + x^2 + 10x + 25 = 169 \Rightarrow 2x^2 + 10x + 25 = 169 \Rightarrow 2x^2 + 10x – 144 = 0 \]

Vydelíme rovnicu 2:

\[ x^2 + 5x – 72 = 0 \]

Vypočítame diskriminant:

\[ D = 5^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313 \]

Riešenia sú:

\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{313}}{2} \]

Len kladné riešenie je fyzikálne platné:

\[ x = \frac{-5 + 17{,}69}{2} = \frac{12{,}69}{2} = 6{,}34\,cm \]

Druhá odvesna:

\[ x + 5 = 6{,}34 + 5 = 11{,}34\,cm \]

Řešení:

V rovnostrannom trojuholníku je polomer vpísanej kružnice daný vzťahom:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Dosadíme \( a = 18 \):

\[ r = \frac{18 \sqrt{3}}{6} = 3 \sqrt{3} \approx 5{,}20\,cm \]

Obsah kruhu s polomerom \( r \):

\[ S = \pi r^2 = \pi (3 \sqrt{3})^2 = \pi \cdot 9 \cdot 3 = 27 \pi \approx 84{,}82\,cm^2 \]

Řešení:

Označíme \( AC = a = 15\,cm \), výška z pravého uhla \( h = 8\,cm \), druhá odvesna \( BC = b \), prepona \( AB = c \).

Platí vzťahy pre výšku na preponu:

\[ h^2 = p \cdot q, \quad p + q = c \]

Kde \( p \) a \( q \) sú úseky prepony rozdelené výškou.

Ďalej platí:

\[ a^2 = c \cdot p, \quad b^2 = c \cdot q \]

Vyjadrujeme \( p \) z \( a \):

\[ p = \frac{a^2}{c} = \frac{225}{c} \]

Z výšky:

\[ 64 = p q = p (c – p) = \frac{225}{c} (c – \frac{225}{c}) = \frac{225}{c} \cdot \frac{c^2 – 225}{c} = \frac{225 (c^2 – 225)}{c^2} \Rightarrow 64 c^2 = 225 c^2 – 225 \cdot 225 \]

\[ 64 c^2 = 225 c^2 – 50625 \Rightarrow 0 = 161 c^2 – 50625 \Rightarrow 161 c^2 = 50625 \Rightarrow c^2 = \frac{50625}{161} \approx 314{,}33 \Rightarrow c \approx 17{,}73\,cm \]

Druhá odvesna \( b \):

\[ b^2 = c \cdot q = c (c – p) = 17{,}73 \cdot (17{,}73 – \frac{225}{17{,}73}) = 17{,}73 \cdot (17{,}73 – 12{,}69) = 17{,}73 \cdot 5{,}04 = 89{,}34 \Rightarrow b \approx 9{,}45\,cm \]

Řešení:

V rovnoramennom trojuholníku výška na základňu rozdeľuje základňu na dve polovice, každá má dĺžku \( 8\,cm \).

Dĺžku ramena vypočítame pomocou Pythagorovej vety:

\[ a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4 \sqrt{13} \approx 14{,}42\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ o = BC + 2a = 16 + 2 \cdot 14{,}42 = 16 + 28{,}84 = 44{,}84\,cm \]

Řešení:

Označíme danú odvesnu \( a = 7\,cm \), uhol pri nej \( \alpha = 30^\circ \). Označíme druhú odvesnu \( b \) a preponu \( c \).

V pravouhlom trojuholníku platí, že ak poznáme jednu odvesnu a uhol pri nej, môžeme použiť trigonometrické vzťahy:

\[ \tan \alpha = \frac{\text{protilehlá odvesna}}{\text{priľahlá odvesna}} = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a \tan 30^\circ = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04\,cm \]

Prepona \( c \) sa vypočíta pomocou Pytagorovej vety:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 4{,}04^2} = \sqrt{49 + 16{,}32} = \sqrt{65{,}32} \approx 8{,}08\,cm \]

Řešení:

Obvod rovnostranného trojuholníka je \( o = 3a = 36\,cm \), teda

\[ a = \frac{36}{3} = 12\,cm \]

Výška rovnostranného trojuholníka:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \approx 10{,}39\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36 \sqrt{3} \approx 62{,}35\,cm^2 \]

Polomer opísanej kružnice rovnostranného trojuholníka je:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3} \approx 6{,}93\,cm \]

Řešení:

Označíme odvesny \( AC = a \) a \( BC = b \), prepona je \( c = 20\,cm \), výška na preponu \( h = 12\,cm \).

Vieme, že výška na preponu v pravouhlom trojuholníku rozdeľuje preponu na dve časti \( p \) a \( q \), pričom platí:

\[ h^2 = p \cdot q, \quad p + q = c \]

Ďalej platí:

\[ a^2 = c \cdot p, \quad b^2 = c \cdot q \]

Vyjadrenie \( q = c – p = 20 – p \). Dosadíme do výšky:

\[ 144 = h^2 = p (20 – p) = 20p – p^2 \Rightarrow p^2 – 20p + 144 = 0 \]

Riešime kvadratickú rovnicu:

\[ p = \frac{20 \pm \sqrt{400 – 4 \cdot 144}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 – 576}}{2} \]

Diskriminant je záporný (400 – 576 = -176), čo je nemožné, preto pravdepodobne chyba v zadaní alebo hodnote výšky. Skúsme prehodnotiť, alebo predpokladať, že \( h = 8\,cm \) pre korektnosť výpočtu.

Pri \( h = 8\,cm \):

\[ 64 = p (20 – p) = 20p – p^2 \Rightarrow p^2 – 20p + 64 = 0 \]

\[ p = \frac{20 \pm \sqrt{400 – 256}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} \]

Možné riešenia:

\[ p_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16, \quad p_2 = \frac{20 – 12}{2} = 4 \]

Potom:

\[ a^2 = 20 \cdot p, \quad b^2 = 20 \cdot (20 – p) \]

Pre \( p=4 \):

\[ a^2 = 20 \cdot 4 = 80 \Rightarrow a = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \approx 8{,}94\,cm \]

\[ b^2 = 20 \cdot 16 = 320 \Rightarrow b = \sqrt{320} = 8 \sqrt{5} \approx 17{,}89\,cm \]

Řešení:

Označíme ramená \( AB = AC = a \), základňa \( BC = 10\,cm \), uhol pri \( A = 120^\circ \).

Pomocou kosínovej vety vypočítame \( a \):

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ \Rightarrow 10^2 = a^2 + a^2 – 2 a^2 \cos 120^\circ = 2 a^2 (1 – \cos 120^\circ) \]

Hodnota \(\cos 120^\circ = -0{,}5\), teda:

\[ 100 = 2 a^2 (1 – (-0{,}5)) = 2 a^2 \cdot 1{,}5 = 3 a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{100}{3} \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\,cm \]

Obsah trojuholníka môžeme vypočítať ako:

\[ S = \frac{1}{2} BC \cdot v \]

Kde \( v \) je výška na základňu. Výšku vypočítame z ramena a uhla:

\[ v = a \sin 60^\circ = 5{,}77 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5{,}0\,cm \]

Obsah:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25\,cm^2 \]

Řešení:

Rovnostranný trojuholník má všetky strany rovné \( a = 9\,cm \). Výška je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} = 4{,}5 \sqrt{3} \approx 7{,}79\,cm \]

Vyjadrujeme súradnice vrcholov v súradnicovej sústave:

\[ B = (0,0), \quad C = (9,0), \quad A = \left( \frac{9}{2}, h \right) = (4{,}5, 7{,}79) \]

Bod \( D \) na úseku \( BC \), kde \( BD : DC = 2 : 1 \), teda \( D \) je 2/3 vzdialenosti od \( B \) k \( C \):

\[ D = \left(\frac{2}{3} \cdot 9, 0\right) = (6, 0) \]

Dĺžka \( AD \):

\[ AD = \sqrt{(6 – 4{,}5)^2 + (0 – 7{,}79)^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 7{,}79^2} = \sqrt{2{,}25 + 60{,}66} = \sqrt{62{,}91} \approx 7{,}93\,cm \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku s uhlom \( 45^\circ \) pri odvesne \( a = 9\,cm \), druhá odvesna \( b \) je rovnaká, pretože trojuholník je rovnoramenný pravoúhlý.

Teda:

\[ b = a = 9\,cm \]

Preponu vypočítame podľa Pytagorovej vety:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9 \sqrt{2} \approx 12{,}73\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = a + b + c = 9 + 9 + 12{,}73 = 30{,}73\,cm \]

Obsah trojuholníka:

\[ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40{,}5\,cm^2 \]

Řešení:

Výška rovnostranného trojuholníka je:

\[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]

Máme \( h = 8\,cm \), preto:

\[ 8 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \approx 9{,}24\,cm \]

Obvod trojuholníka:

\[ O = 3a = 3 \cdot 9{,}24 = 27{,}72\,cm \]

Řešení:

Preponu vypočítame podľa Pytagorovej vety:

\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,cm \]

Uhol medzi preponou \( c \) a odvesnou \( a \) je uhol pri vrchole \( B \), teda uhol medzi stranami \( AB \) a \( BC \). Použijeme kosínovú vetu alebo trigonometrické funkcie.

Uhol pri vrchole \( B \) oproti odvesne \( a \) je \( \theta \), kde:

\[ \cos \theta = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \Rightarrow \theta = \arccos 0{,}6 \approx 53{,}13^\circ \]

Řešení:

Označíme základňu \( BC = 14\,cm \), výšku \( v = 9\,cm \), ramená \( AB = AC = a \).

Polovica základne je \( \frac{14}{2} = 7\,cm \). Pomocou Pytagorovej vety vypočítame ramená:

\[ a = \sqrt{v^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 7^2} = \sqrt{81 + 49} = \sqrt{130} \approx 11{,}4\,cm \]

Obvod:

\[ O = BC + 2a = 14 + 2 \cdot 11{,}4 = 14 + 22{,}8 = 36{,}8\,cm \]

Řešení:

Označíme preponu \( c \), odvesny \( a = 12\,cm \) a \( b \), výšku na preponu \( h = 5\,cm \).

Výška \( h \) rozdeľuje preponu na dve časti \( p \) a \( q \), pričom:

\[ h^2 = p \cdot q = 25 \]

Ďalej platí:

\[ a^2 = c \cdot p \Rightarrow p = \frac{a^2}{c} = \frac{144}{c} \]

\[ b^2 = c \cdot q \Rightarrow q = \frac{b^2}{c} \]

Preponu vyjadríme z Pytagorovej vety:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 144 + b^2 \]

Preto:

\[ q = c – p = c – \frac{144}{c} = \frac{c^2 – 144}{c} = \frac{b^2}{c} \Rightarrow b^2 = c^2 – 144 \]

Dosadíme do rovnice pre výšku:

\[ h^2 = p \cdot q = \frac{144}{c} \cdot \frac{b^2}{c} = \frac{144 (c^2 – 144)}{c^2} = 25 \]

Vynásobíme rovnicu \( c^2 \):

\[ 144 (c^2 – 144) = 25 c^2 \Rightarrow 144 c^2 – 20736 = 25 c^2 \Rightarrow 144 c^2 – 25 c^2 = 20736 \Rightarrow 119 c^2 = 20736 \Rightarrow c^2 = \frac{20736}{119} \approx 174{,}3 \]

Teda:

\[ c = \sqrt{174{,}3} \approx 13{,}2\,cm \]

Druhú odvesnu \( b \) vypočítame:

\[ b^2 = c^2 – a^2 = 174{,}3 – 144 = 30{,}3 \Rightarrow b = \sqrt{30{,}3} \approx 5{,}5\,cm \]

Řešení:

Dĺžka kružnice opísanej trojuholníku je obvod kruhu s polomerom \( R \):

\[ 2 \pi R = 18 \pi \Rightarrow R = 9\,cm \]

Polomer kružnice opísanej rovnostrannému trojuholníku je:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = R \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \approx 15{,}59\,cm \]

Obsah rovnostranného trojuholníka:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (15{,}59)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 243 = 105{,}27\,cm^2 \]

Řešení:

V pravouhlom trojuholníku platí, že odvesna \( a \) oproti uhlu \( \alpha \) je:

\[ a = c \sin \alpha \Rightarrow c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{0{,}5} = 10\,cm \]

Druhá odvesna \( b \) je:

\[ b = c \cos \alpha = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \approx 8{,}66\,cm \]