1. Kolik existuje 4členných výběrů z množiny \(10\) různých prvků, pokud nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací bez opakování, kdy vybíráme 4 prvky z 10, je dán vzorcem kombinací:
\[
C_{4}^{10} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!}
\]
Vypočteme faktoriály:
\(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!\), takže
\[
C_{4}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
\]
Výsledek: Existuje \(210\) různých \(4\)-členných výběrů.
2. Z množiny \(15\) studentů vyberte \(5\)-členný výbor. Kolik je možných výběrů, pokud nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací je:
\[
C_{5}^{15} = \frac{15!}{5! \cdot 10!}
\]
Vypočítáme:
\(15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11\) dělíme \(5! = 120\)
\[
C_{5}^{15} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{120} = \frac{360360}{120} = 3003
\]
Výsledek: \(3003\) možných výběrů.
3. Kolik různých kombinací \(3\) barev lze vybrat z \(8\) různých barev?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací bez opakování je:
\[
C_{3}^{8} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
\]
Počítáme:
\[
\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
\]
Výsledek: \(56\) různých kombinací barev.
4. V obchodě je \(12\) druhů ovoce. Kolik různých sad po \(6\) kusech lze vybrat, pokud nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací je:
\[
C_{6}^{12} = \frac{12!}{6! \cdot 6!}
\]
Vypočteme:
\[
\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{665280}{720} = 924
\]
Výsledek: \(924\) různých sad ovoce.
5. Z \(20\) různých knih vyberte \(7\) na dovolenou. Kolik je různých výběrů?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací:
\[
C_{7}^{20} = \frac{20!}{7! \cdot 13!}
\]
Vyjádříme pouze potřebné faktory:
\[
\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7!}
\]
Protože \(7! = 5040\), spočítáme:
\[
\frac{77520 \times 16 \times 15 \times 14}{5040}
\]
Podrobnější výpočet:
\(20×19=380, 380×18=6840, 6840×17=116280, 116280×16=1860480, 1860480×15=27907200, 27907200×14=390700800\)
\[
C_{7}^{20} = \frac{390700800}{5040} = 77440
\]
Výsledek: \(77440\) různých výběrů knih.
6. Kolik kombinací \(2\) studentů lze vytvořit ze skupiny \(6\) studentů?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací:
\[
C_{2}^{6} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15
\]
Výsledek: \(15\) různých dvojic studentů.
7. Kolik kombinací \(5\) prvků lze vytvořit z množiny \(9\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací:
\[
C_{5}^{9} = \frac{9!}{5! \cdot 4!}
\]
Vypočteme:
\[
\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2} = \frac{3024}{120} = 126
\]
Výsledek: \(126\) různých kombinací.
8. Z \(11\) druhů zmrzliny vyberte \(3\) příchutě. Kolik je možností?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací je:
\[
C_{3}^{11} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = \frac{990}{6} = 165
\]
Výsledek: \(165\) různých kombinací příchutí.
9. Kolik kombinací \(8\) prvků lze vytvořit z množiny \(12\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací:
\[
C_{8}^{12} = \frac{12!}{8! \cdot 4!}
\]
Protože \(C_{8}^{12} = C_{4}^{12}\), vypočítáme:
\[
\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11880}{24} = 495
\]
Výsledek: \(495\) různých kombinací.
10. V týmu \(14\) hráčů vyberte \(6\) hráčů pro zápas. Kolik je možných výběrů?
Zobrazit řešení
Řešení:
Počet kombinací je:
\[
C_{6}^{14} = \frac{14!}{6! \cdot 8!}
\]
Vypočteme:
\[
\frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{720} = 5005
\]
Výsledek: \(5005\) různých výběrů hráčů.
11. Kolik \(6\)-členných výběrů lze vytvořit ze \(17\) různých osob, pokud nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{6}^{17} = \frac{17!}{6! \cdot 11!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{720} = \frac{742560}{720} = 1038
\]
Výsledek: \(1038\) různých výběrů.
12. Z \(25\) otázek si student vybírá \(10\) na odpověď. Kolik je možností výběru?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{10}^{25} = \frac{25!}{10! \cdot 15!}
\]
Vypočteme pouze čitatele:
\(25 \times 24 \times \dots \times 16 = 25! / 15!\), děleno \(10! = 3628800\)
Výsledek: \(3268760\) možností výběru.
13. Kolik \(9\)-členných výběrů lze vytvořit ze \(13\) různých prvků?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{9}^{13} = C_{4}^{13} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{17160}{24} = 715
\]
Výsledek: \(715\) různých výběrů.
14. Ze \(30\) uchazečů se vybírá \(3\)-členná komise. Kolik je možností?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{3}^{30} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = \frac{24360}{6} = 4060
\]
Výsledek: \(4060\) různých komisí.
15. Kolik různých výborů s \(12\) členy lze vytvořit ze \(40\) lidí?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{12}^{40} = \frac{40!}{12! \cdot 28!}
\]
Výsledek: \(5 586 853 480\) možností.
16. Z \(16\) sportovců vybíráme \(4\) do štafety. Kolik různých čtyřek lze vybrat?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{4}^{16} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{43680}{24} = 1820
\]
Výsledek: \(1820\) čtyřek.
17. Z \(10\) různých knih vybereme \(6\). Kolik je možností, pokud záleží na obsahu, ne pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{6}^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
\]
Výsledek: \(210\) výběrů.
18. Ze třídy \(22\) žáků se náhodně vybere \(7\). Kolik je možností?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{7}^{22} = \frac{22!}{7! \cdot 15!}
\]
Výsledek: \(170544\) možností.
19. V klubu je \(18\) členů, z nichž se má vytvořit \(5\)-členná pracovní skupina. Kolik možností existuje?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{5}^{18} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{120} = \frac{1395360}{120} = 11628
\]
Výsledek: \(11628\) možností.
20. Z \(50\) různých karet se vybírá \(6\). Kolik kombinací je možných?
Zobrazit řešení
Řešení:
\[
C_{6}^{50} = \frac{50!}{6! \cdot 44!}
\]
Počítačový výpočet: \(\approx 15 890 700\) možností.
21. Kolika způsoby lze z \(12\) studentů vybrat \(5\)-člennou delegaci, která pojede na matematickou olympiádu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nezáleží na pořadí studentů v delegaci, tedy jde o kombinace bez opakování.
Počet kombinací je dán vzorcem \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Dosadíme: \( \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{479001600}{120 \cdot 5040} = 792 \).
Odpověď: Existuje \(792\) různých možností výběru.
22. Kolika způsoby lze z \(10\) knih vybrat \(4\), které si vezmu na dovolenou, pokud nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o výběr bez ohledu na pořadí → kombinace bez opakování.
\( \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{3628800}{24 \cdot 720} = 210 \).
Odpověď: Knihy lze vybrat \(210\) způsoby.
23. Z \(9\) žáků chceme vybrat \(4\), kteří budou reprezentovat školu ve čtyřech různých soutěžích. Každý půjde na jednu. Kolika způsoby je možné tento výběr provést?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve vybereme \(4\) žáky: \( \frac{9!}{4!(9-4)!} \).
Pak každému přiřadíme jednu soutěž – tj. permutace \(4\) prvků: \( 4! \).
\( \frac{9!}{4!(9-4)!} \cdot 4! = 126 \cdot 24 = 3024 \).
Odpověď: Možností je \(3024\).
24. Kolika způsoby lze z \(20\) studentů vybrat výbor, ve kterém bude předseda, místopředseda a \(3\) členové bez funkcí?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vybereme \(5\) lidí z \(20\): \( \frac{20!}{5!(20-5)!} \).
Z těchto \(5\) lidí vybereme předsedu: \(5\) možností.
Zbylí \(4\) → vybereme místopředsedu: \(4\) možnosti.
Zbývají \(3\) → ti budou bez funkcí, pořadí už neřešíme.
Celkem: \( \frac{20!}{5!(20-5)!} \cdot 5 \cdot 4 = 15504 \cdot 20 = 310080 \).
Odpověď: Výbor lze sestavit \(310 080\) způsoby.
25. Kolika způsoby lze vytvořit čtyřčlennou komisi z \(8\) žen a \(5\) mužů, pokud musí být v komisi alespoň \(2\) ženy?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Možnosti (ženy/muži): \((2/2)\), \((3/1)\), \((4/0)\)
(2/2): \( \frac{8!}{2!(8-2)!} \cdot \frac{5!}{2!(5-2)!} = 28 \cdot 10 = 280 \)
(3/1): \( \frac{8!}{3!(8-3)!} \cdot \frac{5!}{1!(5-1)!} = 56 \cdot 5 = 280 \)
(4/0): \( \frac{8!}{4!(8-4)!} = 70 \)
Celkem: \( 280 + 280 + 70 = 630 \)
Odpověď: Komisi lze sestavit \(630\) způsoby.
26. V krabici je \(15\) různých žárovek, z nichž \(5\) je vadných. Kolika způsoby lze vybrat \(6\) žárovek tak, aby byly právě \(2\) vadné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vybereme \(2\) vadné z \(5\): \( \frac{5!}{2!(5-2)!}= 10 \)
Vybereme \(4\) dobré z \(10\): \( \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 \)
Celkem: \( 10 \cdot 210 = 2100 \)
Odpověď: Takový výběr je možný \(2100\) způsoby.
27. Kolik existuje čtyřčlenných týmů, které lze sestavit z \(7\) chlapců a \(6\) dívek, pokud tým musí obsahovat alespoň \(1\) dívku a \(1\) chlapce?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Celkový počet týmů: \( \frac{13!}{4!(13-4)!} = 715 \)
Bez chlapců (jen dívky): \( \frac{6!}{4!(6-4)!} = 15 \)
Bez dívek (jen chlapci): \( \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35 \)
Nevyhovující: \( 15 + 35 = 50 \)
Vyhovující: \( 715 – 50 = 665 \)
Odpověď: Tým lze sestavit \(665\) způsoby.
28. Kolika způsoby lze z \(18\) karet vybrat \(5\) karet tak, aby mezi nimi byly přesně \(2\) červené, jestliže je v balíčku \(6\) červených a \(12\) černých karet?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vybereme \(2\) červené: \( \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \)
Vybereme \(3\) černé: \( \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220 \)
Celkem: \( 15 \cdot 220 = 3300 \)
Odpověď: Možností výběru je \(3300\).
29. Třídní učitel chce náhodně vybrat \(3\) studenty ze \(30\), kteří dostanou různé ceny: \(1\). místo, \(2\). místo a \(3\). místo. Kolika způsoby to může udělat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pořadí je důležité → variace bez opakování: \( V(30, 3) = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24360 \)
Odpověď: Může to udělat \(24 360\) způsoby.
30. Kolika způsoby lze z \(25\) studentů vybrat \(5\)-členný tým, který se rozdělí na dva podtýmy: \(2\)-členný analytický tým a \(3\)-členný realizační tým?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vybereme \(5\) studentů z \(25\): \( \frac{25!}{5!(25-5)!} = 53130 \)
Každé pětici přiřadíme \(2\) studenty do analytického týmu: \( \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \)
Zbývající \(3\) budou realizační tým (pořadí uvnitř týmů nehraje roli).
Celkem: \( 53130 \cdot 10 = 531300 \)
Odpověď: Takový výběr je možný \(531 300\) způsoby.
