1. Kolika různými způsoby lze vybrat \(5\) bonbonů z \(8\) druhů bonbonů, jestliže druhy se mohou opakovat a na pořadí nezáleží?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o kombinace s opakováním, protože vybíráme bonbony bez ohledu na pořadí a stejné druhy se mohou opakovat.
Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:
\( K(k, n) = \frac{(n + k – 1)!}{k!(n – 1)!} \)
Kde \( n = 8 \) (druhů bonbonů), \( k = 5 \) (vybíráme 5 kusů).
Dosadíme:
\( K(5, 8) = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5!(8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)
Spočítáme faktoriály:
\( 12! = 479001600, 5! = 120, 7! = 5040 \)
\( \Rightarrow \frac{479001600}{120 \cdot 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)
Odpověď: Existuje \(792\) různých možností.
2. Kolika způsoby si může student zvolit \(6\) různých knih z \(10\) titulů, přičemž si může jakoukoli knihu zvolit vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Knihy jsou sice různé, ale protože si může zvolit libovolnou i víckrát, jedná se o kombinaci s opakováním.
Počet možností je dán vzorcem:
\( K(6, 10) = \frac{(10 + 6 – 1)!}{6!(10 – 1)!} = \frac{15!}{6! \cdot 9!} \)
Faktoriály:
\( 15! = 1307674368000, 6! = 720, 9! = 362880 \)
\( \Rightarrow \frac{1307674368000}{720 \cdot 362880} = \frac{1307674368000}{261273600} = 5005 \)
Odpověď: Existuje \(5005\) různých možností.
3. Kolik způsobů existuje pro rozdělení \(7\) stejných mincí mezi \(4\) děti, pokud každé dítě může dostat libovolný počet?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozdělení nerozlišitelných objektů (mincí) mezi rozlišitelné objekty (děti), kde počet může být libovolný (i nula), se řeší jako kombinace s opakováním:
\( K(7, 4) = \frac{(4 + 7 – 1)!}{7!(4 – 1)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \)
\( 10! = 3628800, 7! = 5040, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{3628800}{5040 \cdot 6} = \frac{3628800}{30240} = 120 \)
Odpověď: Existuje \(120\) různých způsobů rozdělení.
4. V restauraci nabízí \(9\) druhů zmrzlin. Kolik různých zmrzlinových pohárů lze sestavit ze \(4\) kopečků, pokud může být i více stejných druhů?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Opět jde o kombinaci s opakováním: 4 kopečky z 9 druhů.
\( K(4, 9) = \frac{(9 + 4 – 1)!}{4!(9 – 1)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \)
\( 12! = 479001600, 4! = 24, 8! = 40320 \)
\( \Rightarrow \frac{479001600}{24 \cdot 40320} = \frac{479001600}{967680} = 495 \)
Odpověď: Existuje \(495\) různých pohárů.
5. Kolika způsoby lze rozdělit \(6\) identických koulí do \(3\) krabic, pokud každá krabice může obsahovat libovolný počet koulí?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozdělení stejných objektů do různých skupin se řeší pomocí kombinací s opakováním:
\( K(6, 3) = \frac{(6 + 3 – 1)!}{6!(3 – 1)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \)
\( 8! = 40320, 6! = 720, 2! = 2 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{720 \cdot 2} = \frac{40320}{1440} = 28 \)
Odpověď: Existuje \(28\) různých způsobů rozdělení koulí.
6. Kolik různých náhrdelníků lze sestavit z \(5\) korálků, jestliže máme k dispozici \(7\) různých typů korálků a každý typ lze použít vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Protože typy korálků se mohou opakovat a pořadí nerozlišujeme, jedná se o kombinaci s opakováním.
\( K(5, 7) = \frac{(7 + 5 – 1)!}{5!(7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)
\( 11! = 39916800, 5! = 120, 6! = 720 \)
\( \Rightarrow \frac{39916800}{120 \cdot 720} = \frac{39916800}{86400} = 462 \)
Odpověď: Existuje \(462\) různých náhrdelníků.
7. V obchodě je \(12\) typů čajů. Kolika způsoby může zákazník nakombinovat \(8\) sáčků, pokud může opakovat typy čaje?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o kombinaci s opakováním: výběr 8 prvků z 12 typů.
\( K(8, 12) = \frac{(12 + 8 – 1)!}{8!(12 – 1)!} = \frac{19!}{8! \cdot 11!} \)
\( 19! = 121645100408832000, 8! = 40320, 11! = 39916800 \)
\( \Rightarrow \frac{121645100408832000}{40320 \cdot 39916800} = \frac{121645100408832000}{1605138022400} = 7581 \)
Odpověď: Existuje \(7581\) různých kombinací čajových sáčků.
8. Kolika různými způsoby lze vybrat \(3\) zvířata z \(5\) druhů pro zoologickou expozici, pokud může být i více stejných zvířat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním, protože se druhy mohou opakovat:
\( K(3, 5) = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3!(5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)
\( 7! = 5040, 3! = 6, 4! = 24 \)
\( \Rightarrow \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \)
Odpověď: Existuje \(35\) různých možností výběru.
9. Kolik různých směsí \(4\) druhů bylin lze připravit ze \(6\) dávek, jestliže lze byliny opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o kombinace s opakováním: 6 dávek z 4 druhů.
\( K(6, 4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)
\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Odpověď: Existuje \(84\) různých směsí.
10. Kolik způsobů existuje, jak si student může sestavit týdenní rozvrh ze \(3\) předmětů z nabídky \(6\) různých předmětů, pokud si některý může zvolit i vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(3\) z \(6\) s možností opakování.
\( K(3, 6) = \frac{(6 + 3 – 1)!}{3!(6 – 1)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \)
\( 8! = 40320, 3! = 6, 5! = 120 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{6 \cdot 120} = \frac{40320}{720} = 56 \)
Odpověď: Existuje \(56\) různých možností sestavení rozvrhu.
11. Kolika způsoby lze vybrat \(4\) druhy květin z nabídky \(7\) různých druhů, pokud některé druhy mohou být vybrány i vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(4\) z \(7\) s možností opakování.
\( K(4, 7) = \frac{(7 + 4 – 1)!}{4!(7 – 1)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \)
\( 10! = 3628800, 4! = 24, 6! = 720 \)
\( \Rightarrow \frac{3628800}{24 \cdot 720} = \frac{3628800}{17280} = 210 \)
Odpověď: Lze vytvořit \(210\) různých kombinací květin.
12. Kolika způsoby si může zákazník zvolit \(5\) bonbónů z \(8\) různých druhů, pokud může vybrat i více bonbónů stejného druhu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(5\) z \(8\) s možností opakování.
\( K(5, 8) = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5!(8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)
\( 12! = 479001600, 5! = 120, 7! = 5040 \)
\( \Rightarrow \frac{479001600}{120 \cdot 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)
Odpověď: Zákazník si může vybrat \(792\) různých kombinací bonbónů.
13. Kolika způsoby může lékárník připravit směs ze \(2\) druhů bylin, pokud má na výběr z \(5\) různých bylin a každou může použít i vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(2\) z \(5\) s možností opakování.
\( K(2, 5) = \frac{(5 + 2 – 1)!}{2!(5 – 1)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \)
\( 6! = 720, 2! = 2, 4! = 24 \)
\( \Rightarrow \frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15 \)
Odpověď: Existuje \(15\) různých možností pro přípravu bylinné směsi.
14. Kolika způsoby lze zvolit \(6\) přísad do pizzy z nabídky \(9\) různých ingrediencí, přičemž každá může být zvolena opakovaně?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(6\) z \(9\) s možností opakování.
\( K(6, 9) = \frac{(9 + 6 – 1)!}{6!(9 – 1)!} = \frac{14!}{6! \cdot 8!} \)
\( 14! = 87178291200, 6! = 720, 8! = 40320 \)
\( \Rightarrow \frac{87178291200}{720 \cdot 40320} = \frac{87178291200}{29030400} = 3003 \)
Odpověď: Existuje \(3003\) různých možností výběru přísad na pizzu.
15. Kolika způsoby může zákazník sestavit balíček \(4\) bonbonů z \(5\) různých druhů, pokud si může vybrat i více bonbonů stejného druhu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o výběr \(4\) bonbonů z \(5\) druhů s opakováním. Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(4, 5) = \frac{(5 + 4 – 1)!}{4!(5 – 1)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} \)
\( 8! = 40320, 4! = 24 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70 \)
Odpověď: Zákazník může sestavit balíček \(70\) různými způsoby.
16. Kolik různých kombinací může vzniknout při výběru \(2\) příchutí z \(8\) nabízených příchutí zmrzliny, když si zákazník může vzít i dvě stejné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o kombinace \(2\) prvků z \(8\) s opakováním:
\( K(2, 8) = \frac{(8 + 2 – 1)!}{2!(8 – 1)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} \)
\( 9! = 362880, 2! = 2, 7! = 5040 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{2 \cdot 5040} = \frac{362880}{10080} = 36 \)
Odpověď: Může vzniknout \(36\) různých kombinací příchutí.
17. Kolika způsoby lze rozdělit \(6\) stejných židlí mezi \(3\) místnosti?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozdělení \(6\) nerozlišitelných objektů (židlí) do \(3\) rozlišitelných skupin (místností) je ekvivalentní kombinaci s opakováním:
\( K(6, 3) = \frac{(3 + 6 – 1)!}{6!(3 – 1)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \)
\( 8! = 40320, 6! = 720, 2! = 2 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{720 \cdot 2} = \frac{40320}{1440} = 28 \)
Odpověď: Existuje \(28\) různých způsobů rozdělení židlí.
18. Kolika způsoby lze rozdělit \(5\) identických dárků mezi \(4\) děti, přičemž některé děti nemusí dostat nic?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o počet kombinací s opakováním: vybíráme 5 položek do 4 skupin (děti):
\( K(5, 4) = \frac{(5 + 4 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)
\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)
Odpověď: Existuje \(56\) různých způsobů rozdělení dárků.
19. Kolik různých nápojů si může zákazník namíchat smícháním \(3\) dávek z \(7\) druhů sirupů, přičemž si může vybrat i víc dávek stejného?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(7\) s opakováním.
\( K(3, 7) = \frac{(7 + 3 – 1)!}{3!(7 – 1)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} \)
\( 9! = 362880, 3! = 6, 6! = 720 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{6 \cdot 720} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Odpověď: Lze namíchat \(84\) různých nápojů.
20. Kolik různých aranžmá lze vytvořit umístěním \(4\) identických květin do \(6\) různých váz?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozdělení \(4\) nerozlišitelných květin do \(6\) rozlišitelných váz je kombinace s opakováním:
\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)
\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)
Odpověď: Lze vytvořit \(126\) různých aranžmá.
21. Kolika způsoby může cukrář nazdobit dort \(3\) kusy ovoce z \(5\) druhů, přičemž může použít i stejné ovoce vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(5\).
\( K(3, 5) = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3!(5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)
\( 7! = 5040, 3! = 6, 4! = 24 \)
\( \Rightarrow \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \)
Odpověď: Dort lze ozdobit \(35\) různými způsoby.
22. Kolik způsobů je možné vytvořit kombinaci \(6\) kartiček z \(4\) různých symbolů, přičemž některé symboly se mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Výběr \(6\) z \(4\) prvků s opakováním: kombinace s opakováním:
\( K(6, 4) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)
\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Odpověď: Existuje \(84\) různých kombinací kartiček.
23. Kolik různých koktejlů lze namíchat z \(3\) ingrediencí vybraných z \(9\), pokud některé ingredience mohou být použity vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace \(3\) z \(9\) s opakováním:
\( K(3, 9) = \frac{(9 + 3 – 1)!}{3!(9 – 1)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \)
\( 11! = 39916800, 3! = 6, 8! = 40320 \)
\( \Rightarrow \frac{39916800}{6 \cdot 40320} = \frac{39916800}{241920} = 165 \)
Odpověď: Lze vytvořit \(165\) různých koktejlů.
24. Kolik různých losů lze vytvořit výběrem \(4\) čísel z \(10\), přičemž se čísla mohou opakovat a nezáleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jde o kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(10\).
\( K(4, 10) = \frac{(10 + 4 – 1)!}{4!(10 – 1)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!} \)
\( 13! = 6227020800, 4! = 24, 9! = 362880 \)
\( \Rightarrow \frac{6227020800}{24 \cdot 362880} = \frac{6227020800}{8709120} = 715 \)
Odpověď: Lze vytvořit \(715\) různých losů.
25. Kolika způsoby lze rozdělit \(5\) identických koulí do \(4\) různých přihrádek, pokud může být více koulí v jedné přihrádce?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o kombinaci s opakováním: výběr \(5\) z \(4\).
\( K(5, 4) = \frac{(4 + 5 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)
\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)
Odpověď: Existuje \(56\) způsobů rozdělení koulí.
26. Kolika způsoby lze vybrat \(7\) zmrzlinových kopečků z \(5\) příchutí, pokud lze příchutě libovolně opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(7\) z \(5\) příchutí.
\( K(7, 5) = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7!(5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)
\( 11! = 39916800, 7! = 5040, 4! = 24 \)
\( \Rightarrow \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)
Odpověď: Existuje \(330\) různých kombinací zmrzlinových kopečků.
27. Kolika způsoby může pekař vybrat \(6\) ingrediencí z \(4\) různých druhů, přičemž některé se mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(6\) z \(4\).
\( K(6, 4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)
\( 9! = 362880, 6! = 720, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Odpověď: Pekař má \(84\) možností výběru.
28. Kolika způsoby lze vybrat \(3\) hrací karty z \(10\) různých druhů, pokud je dovoleno opakování?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(3\) z \(10\).
\( K(3, 10) = \frac{(10 + 3 – 1)!}{3!(10 – 1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \)
\( 12! = 479001600, 3! = 6, 9! = 362880 \)
\( \Rightarrow \frac{479001600}{6 \cdot 362880} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \)
Odpověď: Existuje \(220\) různých možností výběru karet.
29. Kolika způsoby může pacient užívat \(2\) druhy léků z \(6\), pokud některé může užívat vícekrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(2\) z \(6\).
\( K(2, 6) = \frac{(6 + 2 – 1)!}{2!(6 – 1)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} \)
\( 7! = 5040, 2! = 2, 5! = 120 \)
\( \Rightarrow \frac{5040}{2 \cdot 120} = \frac{5040}{240} = 21 \)
Odpověď: Pacient má \(21\) možností.
30. Kolika způsoby lze rozdělit \(8\) identických koulí do \(3\) různých nádob?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(8\) z \(3\).
\( K(8, 3) = \frac{(3 + 8 – 1)!}{8!(3 – 1)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} \)
\( 10! = 3628800, 8! = 40320, 2! = 2 \)
\( \Rightarrow \frac{3628800}{40320 \cdot 2} = \frac{3628800}{80640} = 45 \)
Odpověď: Existuje \(45\) způsobů rozdělení koulí.
31. Kolika způsoby si může student zvolit \(4\) témata z \(6\), pokud se mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(6\).
\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)
\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)
Odpověď: Student má \(126\) různých možností výběru.
32. Kolika způsoby může farmář zasadit \(5\) rostlin do \(4\) záhonů, pokud některé záhony mohou zůstat prázdné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním: výběr \(5\) z \(4\).
\( K(5, 4) = \frac{(4 + 5 – 1)!}{5!(4 – 1)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \)
\( 8! = 40320, 5! = 120, 3! = 6 \)
\( \Rightarrow \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56 \)
Odpověď: Existuje \(56\) způsobů zasazení rostlin.
33. Kolika způsoby lze vybrat \(6\) čísel z \(7\) různých, pokud mohou být čísla opakována?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(6\) z \(7\).
\( K(6, 7) = \frac{(7 + 6 – 1)!}{6!(7 – 1)!} = \frac{12!}{6! \cdot 6!} \)
\( 12! = 479001600, 6! = 720 \)
\( \Rightarrow \frac{479001600}{720 \cdot 720} = \frac{479001600}{518400} = 924 \)
Odpověď: Lze vytvořit \(924\) různých kombinací čísel.
34. Kolika způsoby může cukrář ozdobit dort \(4\) druhy ovoce z \(6\), pokud se druhy ovoce mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním: výběr \(4\) z \(6\).
\( K(4, 6) = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4!(6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \)
\( 9! = 362880, 4! = 24, 5! = 120 \)
\( \Rightarrow \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)
Odpověď: Dort lze ozdobit \(126\) různými způsoby.
35. Kolik různých \(7\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(9\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním znamenají, že vybíráme \(k\) prvků z \(n\) prvků, přičemž se jednotlivé prvky mohou opakovat a zároveň na pořadí nezáleží.
Krok 1: Definice problému
Máme množinu o velikosti \(n = 9\) prvků a chceme vytvořit všechny možné kombinace o velikosti \(k = 7\) prvků s opakováním.
Krok 2: Použití vzorce pro kombinace s opakováním
Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:
\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\(\displaystyle \frac{(9 + 7 – 1)!}{7! \, (9 – 1)!} = \frac{15!}{7! \, 8!} \)
Krok 3: Výpočet hodnoty kombinace \(\frac{15!}{7! \, 8!}\)
Pro usnadnění výpočtu použijeme fakt, že \(\frac{15!}{7! \, 8!} = \frac{15!}{8! \, 7!}\), což je totéž jako kombinace \(15\) nad \(8\).
Rozepíšeme:
\(\displaystyle \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Krok 4: Výpočet čitatele
15 × 14 = 210
210 × 13 = 2730
2730 × 12 = 32760
32760 × 11 = 360360
360360 × 10 = 3 603 600
3 603 600 × 9 = 32 432 400
32 432 400 × 8 = 259 459 200
Krok 5: Výpočet jmenovatele (8!)
8 × 7 = 56
56 × 6 = 336
336 × 5 = 1680
1680 × 4 = 6720
6720 × 3 = 20160
20160 × 2 = 40320
40320 × 1 = 40320
Krok 6: Výpočet výsledku
\(\displaystyle \frac{259\,459\,200}{40\,320} = 6435\)
Krok 7: Interpretace výsledku
Existuje tedy \(6435\) různých \(7\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(9\) prvků.
36. Kolik různých \(5\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(14\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Definice
Množina má \(n = 14\) prvků, vybíráme \(k = 5\) prvků s možností opakování.
Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním
Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:
\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!}\)
Krok 3: Dosazení hodnot
\(\displaystyle \frac{(14 + 5 – 1)!}{5! \, (14 – 1)!} = \frac{18!}{5! \, 13!}\)
Krok 4: Zkrácení faktoriálů
\(\displaystyle \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
Krok 5: Výpočet čitatele
18 × 17 = 306
306 × 16 = 4896
4896 × 15 = 73 440
73 440 × 14 = 1 028 160
Krok 6: Výpočet jmenovatele
5! = 120
Krok 7: Výpočet výsledku
\(\displaystyle \frac{1\,028\,160}{120} = 8568\)
Krok 8: Interpretace
Existuje \(8568\) různých \(5\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(14\) prvků.
37. Kolik různých \(8\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(5\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Data problému
Počet prvků v množině: \(n = 5\)
Počet vybíraných prvků: \(k = 8\)
Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním
\(\displaystyle \frac{(n + k – 1)!}{k! \, (n – 1)!}\)
Krok 3: Dosazení hodnot
\(\displaystyle \frac{(5 + 8 – 1)!}{8! \, (5 – 1)!} = \frac{12!}{8! \, 4!}\)
Krok 4: Zkrácení faktoriálů
\(\displaystyle \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
Krok 5: Výpočet čitatele
12 × 11 = 132
132 × 10 = 1320
1320 × 9 = 11 880
Krok 6: Výpočet jmenovatele
4! = 24
Krok 7: Výpočet výsledku
\(\displaystyle \frac{11\,880}{24} = 495\)
Krok 8: Interpretace
Existuje tedy \(495\) různých \(8\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(5\) prvků.
38. Kolik \(10\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(7\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry problému
Počet prvků: \( n = 7 \)
Velikost kombinace: \( k = 10 \)
Kombinace s opakováním počítáme pomocí vzorce:
\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(7 + 10 – 1)!}{10! \cdot (7 – 1)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} \)
Krok 2: Úprava výpočtu
\( \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Krok 3: Výpočet čitatele
\(16 \times 15 = 240\)
\(240 \times 14 = 3360\)
\(3360 \times 13 = 43680\)
\(43680 \times 12 = 524160\)
\(524160 \times 11 = 5765760\)
Krok 4: Výpočet jmenovatele
\(6! = 720\)
Krok 5: Výpočet výsledku
\( \frac{5765760}{720} = 8008 \)
Krok 6: Výklad
Existuje \(8008\) různých \(10\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(7\) prvků.
39. Kolik různých \(6\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(12\) prvků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Základní údaje
Počet prvků: \( n = 12 \)
Velikost kombinace: \( k = 6 \)
Kombinace s opakováním se počítají podle vzorce:
\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(12 + 6 – 1)!}{6! \cdot (12 – 1)!} = \frac{17!}{6! \cdot 11!} \)
Krok 2: Úprava výpočtu
\( \frac{17!}{6! \cdot 11!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Krok 3: Výpočet čitatele
\(17 \times 16 = 272\)
\(272 \times 15 = 4080\)
\(4080 \times 14 = 57120\)
\(57120 \times 13 = 742560\)
\(742560 \times 12 = 8910720\)
Krok 4: Výpočet jmenovatele
\(6! = 720\)
Krok 5: Výpočet výsledku
\( \frac{8910720}{720} = 12376 \)
Krok 6: Výklad výsledku
Počet \(6\)-prvkových kombinací s opakováním z množiny \(12\) prvků je \(12376\).
40. Kolik různých \(5\)-znakových posloupností lze vytvořit z množiny {A, B, C, D} za předpokladu, že každý znak může být použit opakovaně?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V tomto příkladu hledáme počet různých posloupností délky 5, kde vybíráme z 4 prvků {A, B, C, D}, přičemž každý prvek může být použit vícekrát (opakováním). Toto je příklad variací s opakováním, protože pořadí záleží a prvky se mohou opakovat.
Krok 1: Identifikace typu úlohy
Počet variací s opakováním je dán vzorcem:
\( V^{k}_n = n^k \), kde
\( n = 4 \) (počet různých prvků)
\( k = 5 \) (délka posloupnosti)
Krok 2: Výpočet
\( V^{5}_4 = 4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024 \)
Krok 3: Podrobné vysvětlení
Každá pozice v posloupnosti může být obsazena libovolným z \(4\) znaků. Protože opakování je dovoleno, počet možností na každé pozici je \(4\), a proto celkový počet je součin možností na jednotlivých pozicích, tedy \(4^5 = 1024\).
41. Kolik \(3\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z množiny \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zde hledáme počet \(3\)-prvkových kombinací s opakováním z \(5\) prvků, tj. výběr bez pořadí, ale s možností opakování prvků.
Krok 1: Vzorec pro kombinace s opakováním
\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \), kde \( n = 5 \), \( k = 3 \).
Krok 2: Dosazení do vzorce
\( \frac{(5 + 3 – 1)!}{3! \cdot (5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \)
Krok 3: Úprava výpočtu
\( \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \)
Krok 4: Výpočet
\(7 \times 6 = 42\)
\(42 \times 5 = 210\)
\(3 \times 2 \times 1 = 6\)
\( \frac{210}{6} = 35 \)
Krok 5: Výklad
Existuje \(35\) různých \(3\)-prvkových kombinací s opakováním z \(5\) prvků.
42. Kolik různých \(4\)-prvkových kombinací s opakováním lze vytvořit z abecedy o \(26\) písmenech?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Kombinace s opakováním pro \( n = 26 \), \( k = 4 \).
Krok 1: Použijeme vzorec
\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Krok 2: Dosazení do vzorce
\( \frac{(26 + 4 – 1)!}{4! \cdot (26 – 1)!} = \frac{29!}{4! \cdot 25!} \)
Krok 3: Úprava výpočtu
\( \frac{29 \times 28 \times 27 \times 26}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Krok 4: Výpočet
\(29 \times 28 = 812\)
\(812 \times 27 = 21924\)
\(21924 \times 26 = 570024\)
\(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\( \frac{570024}{24} = 23751 \)
Krok 5: Interpretace výsledku
Existuje \(23751\) různých \(4\)-prvkových kombinací s opakováním z \(26\) písmen anglické abecedy.
43. V květinářství je \(7\) druhů květin. Kolik různých kytic sestavených ze \(5\) květin lze vytvořit, pokud mohou být květiny stejného druhu opakovány?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Výběr \(5\) květin z \(7\) druhů, opakování dovoleno, pořadí nerozhoduje → kombinace s opakováním.
Krok 1: Vzorec
\( \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Krok 2: Dosazení do vzorce
\( \frac{(7 + 5 – 1)!}{5! \cdot (7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)
Krok 3: Úprava výpočtu
\( \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Krok 4: Výpočet
\(11 \times 10 = 110\)
\(110 \times 9 = 990\)
\(990 \times 8 = 7920\)
\(7920 \times 7 = 55440\)
\(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
\( \frac{55440}{120} = 462 \)
Krok 5: Interpretace
Lze vytvořit \(462\) různých kytic sestavených ze \(5\) květin, kde druhy se mohou opakovat.
44. V bance je \(6\) typů šifrovacích kódů. Kolik různých kódů délky \(4\) lze vytvořit, jestliže každý typ kódu může být použit opakovaně a záleží na pořadí?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Variace s opakováním, protože pořadí záleží a opakování je možné.
Krok 1: Vzorec:
\( V^{4}_6 = 6^4 = 1296 \).
Krok 2: Výklad
Každá pozice může být vyplněna libovolným z \(6\) typů, celkem tedy \(6^4 = 1296\) možností.
45. Kolik různých kombinací délky \(4\) lze vytvořit z \(9\) druhů ovoce, pokud lze ovoce opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Definujeme parametry:
Máme 9 druhů ovoce (n = 9), vybíráme délku kombinace 4 (k = 4), opakování je povoleno.
Krok 2: Vzorec pro počet kombinací s opakováním je
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\( K(4,9) = \frac{(9 + 4 – 1)!}{4! \cdot (9 – 1)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \)
Krok 3: Vypočítáme faktoriály:
\( 12! = 479001600, \quad 4! = 24, \quad 8! = 40320 \)
Krok 4: Dosadíme do vzorce:
\( \frac{479001600}{24 \cdot 40320} = \frac{479001600}{967680} = 495 \)
Závěr: Existuje \(495\) různých kombinací délky \(4\) z \(9\) druhů ovoce s opakováním.
46. Kolik způsobů lze vybrat \(5\) cukrářských ingrediencí z \(7\) druhů, pokud ingredience lze opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry úlohy:
n = 7 (druhů ingrediencí), k = 5 (počet vybraných ingrediencí), opakování povoleno.
Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme:
\( K(5,7) = \frac{(7 + 5 – 1)!}{5! \cdot (7 – 1)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \)
Krok 3: Spočítáme faktoriály:
\( 11! = 39916800, \quad 5! = 120, \quad 6! = 720 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{39916800}{120 \cdot 720} = \frac{39916800}{86400} = 462 \)
Závěr: Existuje \(462\) způsobů, jak vybrat \(5\) ingrediencí z \(7\) druhů s opakováním.
47. Kolik různých kombinací délky \(6\) lze vytvořit z \(4\) druhů barev, pokud se barvy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Zadané hodnoty:
\(n = 4\) (druhů barev), \(k = 6\) (délka kombinace), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec kombinací s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme:
\( K(6,4) = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6! \cdot (4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 9! = 362880, \quad 6! = 720, \quad 3! = 6 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Závěr: Existuje \(84\) různých kombinací délky \(6\) z \(4\) druhů barev s opakováním.
48. Kolik způsobů lze sestavit \(7\)-členný výběr z \(5\) druhů hudebních nástrojů, pokud lze nástroje opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry:
\(n = 5, k = 7\), opakování povoleno.
Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\( K(7,5) = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7! \cdot (5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 11! = 39916800, \quad 7! = 5040, \quad 4! = 24 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)
Závěr: Existuje \(330\) způsobů, jak sestavit \(7\)-členný výběr z \(5\) druhů nástrojů s opakováním.
49. Kolik různých kombinací délky \(2\) lze vytvořit z \(10\) druhů čokolád, pokud lze čokolády opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Zadání:
\(n = 10, k = 2\), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\( K(2,10) = \frac{(10 + 2 – 1)!}{2! \cdot (10 – 1)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 11! = 39916800, \quad 2! = 2, \quad 9! = 362880 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{39916800}{2 \cdot 362880} = \frac{39916800}{725760} = 55 \)
Závěr: Existuje \(55\) různých kombinací délky \(2\) z \(10\) druhů čokolád s opakováním.
50. Kolik způsobů lze vybrat \(3\) položky z \(8\) druhů ovoce, pokud je výběr s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry:
\(n = 8, k = 3\), opakování povoleno.
Krok 2: Použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\( K(3,8) = \frac{(8 + 3 – 1)!}{3! \cdot (8 – 1)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 10! = 3628800, \quad 3! = 6, \quad 7! = 5040 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{3628800}{6 \cdot 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120 \)
Závěr: Existuje \(120\) způsobů, jak vybrat \(3\) položky z \(8\) druhů ovoce s opakováním.
51. Kolik různých kombinací délky \(5\) lze vytvořit z \(6\) druhů ovoce, pokud se ovoce může opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Pochopení zadání a definice proměnných
Máme \(6\) druhů ovoce (označíme jako \(n=6\)) a chceme vytvořit kombinace délky \(5\) (\(k=5\)). Kombinace s opakováním znamená, že každý druh ovoce můžeme vybrat více než jednou, ale záleží jen na počtu kusů každého druhu, ne na pořadí, ve kterém je vybíráme.
Krok 2: Vzorec pro počet kombinací s opakováním
Počet všech možných kombinací s opakováním je dán vzorcem:
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} \)
To vyjadřuje počet uspořádaných multisetů délky \(k\) z \(n\) druhů prvků.
Krok 3: Dosazení hodnot
\( K(5,6) = \frac{(6 + 5 – 1)!}{5! \cdot (6 – 1)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \)
Krok 4: Výpočet faktoriálů
\( 10! = 3628800 \), \( 5! = 120 \)
Krok 5: Dosazení do vzorce
\( K(5,6) = \frac{3628800}{120 \times 120} = \frac{3628800}{14400} = 252 \)
Krok 6: Interpretace výsledku
Existuje tedy \(252\) různých kombinací délky \(5\) z \(6\) druhů ovoce, pokud se druhy ovoce mohou opakovat.
Krok 7: Podrobné vysvětlení principu
Tento vzorec odpovídá problému rozdělení \(k=5\) identických předmětů do \(n=6\) různých „skupin“ (druhů ovoce). Představte si \(5\) stejných kuliček, které chcete rozdělit do \(6\) různých krabiček. Počet způsobů, jak to provést, odpovídá počtu kombinací s opakováním, které hledáme.
52. Kolik způsobů lze vybrat \(4\) prvky z \(8\) druhů ovoce s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Identifikace parametrů úlohy
Počet druhů ovoce \(n=8\), délka výběru \(k=4\), opakování povoleno.
Krok 2: Použití vzorce kombinací s opakováním
\( K(k,n) = \frac{(n + k – 1)!}{k! (n – 1)!} \)
Dosadíme hodnoty:
\( K(4,8) = \frac{(8 + 4 – 1)!}{4! \cdot (8 – 1)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů
\( 11! = 39916800 \), \( 4! = 24 \), \( 7! = 5040 \)
Krok 4: Dosazení do vzorce a výpočet
\( K(4,8) = \frac{39916800}{24 \times 5040} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)
Krok 5: Interpretace výsledku
Existuje \(330\) způsobů, jak vybrat \(4\) prvky z \(8\) druhů ovoce s opakováním.
Krok 6: Další vysvětlení
Vzorec je založený na kombinacích s opakováním, kde nás nezajímá pořadí, ale pouze jaké druhy a kolikrát jsou zvoleny. Představme si situaci, kdy vybíráme \(4\) kusy ovoce a každý druh může být zvolen vícekrát.
53. Kolik existuje kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů barev, pokud barvy mohou být opakovány?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry
\(n=5\), \(k=7\), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} \)
Dosazení:
\( K(7,5) = \frac{(5+7-1)!}{7! \cdot (5-1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} \)
Krok 3: Faktoriály
\( 11! = 39916800, 7! = 5040, 4! = 24 \)
Krok 4: Výpočet
\( \frac{39916800}{5040 \times 24} = \frac{39916800}{120960} = 330 \)
Krok 5: Závěr
Existuje \(330\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů barev s opakováním.
Krok 6: Intuice problému
Představme si sedm stejných kuliček rozdělených do pěti košíků (barev), počet způsobů jak to provést je právě \(330\).
54. Kolik různých \(3\)-prvkových kombinací lze vytvořit z \(10\) druhů čokolád, pokud je možné čokolády opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Zadané hodnoty:
\( n=10 \), \( k=3 \), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním:
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosadíme:
\( K(3,10) = \frac{(10+3-1)!}{3! \cdot (10-1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 12! = 479001600 \), \( 3! = 6 \), \( 9! = 362880 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{479001600}{6 \times 362880} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \)
Krok 5: Závěr
Existuje \(220\) různých kombinací délky \(3\) z \(10\) druhů čokolád s opakováním.
Krok 6: Vysvětlení
Tento výsledek odpovídá počtu možností, jak vybrat \(3\) kusy čokolád z \(10\) druhů, přičemž některé druhy mohou být vybrány vícekrát, a nezáleží na pořadí výběru.
55. Kolik kombinací délky \(6\) lze vytvořit z \(4\) druhů nápojů s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry úlohy
\( n=4 \), \( k=6 \), opakování povoleno.
Krok 2: Použití vzorce kombinací s opakováním
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosazení hodnot:
\( K(6,4) = \frac{(4+6-1)!}{6! (4-1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů:
\( 9! = 362880 \), \( 6! = 720 \), \( 3! = 6 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty:
\( \frac{362880}{720 \times 6} = \frac{362880}{4320} = 84 \)
Krok 5: Interpretace
Existuje \(84\) způsobů, jak vybrat 6 položek z \(4\) druhů nápojů s opakováním.
Krok 6: Vysvětlení principu
To odpovídá počtu řešení rovnice \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6 \), kde \(x_i\) značí počet vybraných kusů daného druhu.
56. Kolik kombinací délky \(2\) lze vytvořit z \(12\) druhů ovoce s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry
\( n=12 \), \( k=2 \), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosazení:
\( K(2,12) = \frac{(12+2-1)!}{2! (12-1)!} = \frac{13!}{2! \cdot 11!} \)
Krok 3: Faktoriály:
\( 13! = 6227020800 \), \( 2! = 2 \), \( 11! = 39916800 \)
Krok 4: Výpočet:
\( \frac{6227020800}{2 \times 39916800} = \frac{6227020800}{79833600} = 78 \)
Krok 5: Výsledek
Existuje \(78\) kombinací délky \(2\) z \(12\) druhů ovoce s opakováním.
Krok 6: Vysvětlení
Počet kombinací s opakováním zde odpovídá tomu, kolik různých dvojic můžeme vybrat, přičemž některý druh může být vybrán dvakrát.
57. Kolik je kombinací délky \(4\) z \(3\) druhů zeleniny s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry
\( n=3 \), \( k=4 \), opakování povoleno.
Krok 2: Použití vzorce
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosazení:
\( K(4,3) = \frac{(3+4-1)!}{4! (3-1)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \)
Krok 3: Faktoriály:
\( 6! = 720 \), \( 4! = 24 \), \( 2! = 2 \)
Krok 4: Výpočet:
\( \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15 \)
Krok 5: Výsledek
Existuje \(15\) kombinací délky \(4\) z \(3\) druhů zeleniny s opakováním.
Krok 6: Vysvětlení
Tento výsledek odpovídá počtu možností, jak rozdělit \(4\) identické položky mezi \(3\) kategorie.
58. Kolik kombinací délky \(1\) lze vytvořit z \(15\) druhů oříšků s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry úlohy
\( n=15 \), \( k=1 \), opakování povoleno.
Krok 2: Použití vzorce
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosazení:
\( K(1,15) = \frac{(15+1-1)!}{1! (15-1)!} = \frac{15!}{1! \cdot 14!} \)
Krok 3: Výpočet faktoriálů
\( 15! = 1307674368000 \), \( 14! = 87178291200 \), \( 1! = 1 \)
Krok 4: Výpočet hodnoty
\( \frac{1307674368000}{1 \times 87178291200} = 15 \)
Krok 5: Výsledek
Existuje přesně \(15\) kombinací délky \(1\) z \(15\) druhů oříšků s opakováním, což dává smysl, protože vybereme vždy jeden druh.
Krok 6: Vysvětlení
Při výběru jednoho prvku je kombinace s opakováním totéž co klasický výběr, proto je výsledek rovný počtu druhů.
59. Kolik různých kombinací délky \(9\) lze vytvořit z \(7\) druhů sladkostí s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Parametry
\( n=7 \), \( k=9 \), opakování povoleno.
Krok 2: Vzorec
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Dosazení:
\( K(9,7) = \frac{(7+9-1)!}{9! (7-1)!} = \frac{15!}{9! \cdot 6!} \)
Krok 3: Faktoriály
\( 15! = 1307674368000 \), \( 9! = 362880 \), \( 6! = 720 \)
Krok 4: Výpočet
\( \frac{1307674368000}{362880 \times 720} = \frac{1307674368000}{261273600} = 5005 \)
Krok 5: Interpretace výsledku
Existuje \(5005\) kombinací délky \(9\) z \(7\) druhů sladkostí s opakováním.
Krok 6: Vysvětlení
To odpovídá počtu způsobů, jak rozdělit \(9\) identických prvků do \(7\) kategorií.
60. Kolik kombinací délky \(5\) lze vytvořit z \(8\) druhů sušenek s opakováním?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Zadání
\( n=8 \), \( k=5 \), kombinace s opakováním.
Krok 2: Vzorec pro kombinace s opakováním
\( K(k,n) = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} \)
Krok 3: Dosazení
\( K(5,8) = \frac{(8+5-1)!}{5! (8-1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \)
Krok 4: Výpočet faktoriálů
\( 12! = 479001600 \), \( 5! = 120 \), \( 7! = 5040 \)
Krok 5: Výpočet hodnoty
\( \frac{479001600}{120 \times 5040} = \frac{479001600}{604800} = 792 \)
Krok 6: Výsledek
Existuje \(792\) kombinací délky \(5\) z \(8\) druhů sušenek s opakováním.
Krok 7: Vysvětlení
Počet odpovídá možnostem, jak rozdělit \(5\) identických prvků do \(8\) kategorií bez ohledu na pořadí výběru.
61. Kolik různých kombinací délky \(7\) lze sestavit z \(5\) druhů ovoce, jestliže každý druh může být vybrán libovolně často a výsledná kombinace musí obsahovat alespoň jeden druh alespoň třikrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Vypočítáme celkový počet kombinací s opakováním délky \(7\) z \(5\) prvků.
Počet všech kombinací je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:
(n + k – 1) nad k = (5 + 7 – 1) nad 7 = (11 nad 7)
Krok 2: Vypočítáme počet kombinací, kde žádný druh není vybrán více než \(2\)-krát (tj. žádný druh není vybrán alespoň \(3\)-krát).
Pro tento výpočet použijeme princip inkluze a exkluze.
Nechť A_i je množina kombinací, kde i-tý druh je vybrán alespoň \(3\)-krát.
Potřebujeme spočítat počet kombinací, které nejsou v žádné z A_i, tedy:
Celkový počet – počet průniku množin \(A_i\)
Krok 3: Vypočítáme počet kombinací v \(A_i\) (tzn. i-tý druh vybrán alespoň \(3\)-krát).
Odebereme \(3\) kusy \(i\)-tého druhu, zbyde nám tedy sestavit kombinaci délky 7 – 3 = 4 z \(5\) druhů, kde tento druh může být vybrán i nadále (protože opakování jsou povolena).
Počet kombinací v \(A_i\) je tedy (5 + 4 – 1) nad 4 = (8 nad 4).
Krok 4: Vypočítáme počet kombinací v průniku dvou množin \(A_i\) ∩ \(A_j\) (tedy \(i\)-tý i \(j\)-tý druh vybrány alespoň \(3krát).
Odebereme \(3\) kusy \(i\)-tého a \(3\) kusy \(j\)-tého druhu, zbydou \(7 – 6 = 1\) kus k výběru z \(5\) druhů.
Počet těchto kombinací je \((5 + 1 – 1)\) nad \(1 = (5 nad 1) = 5\).
Krok 5: V průniku tří a více množin již není možné vytvořit kombinaci, protože odečteme minimálně \(3\) kusy od každého druhu a \(3 * 3 = 9 > 7\).
Krok 6: Použijeme princip inkluze a exkluze:
Počet kombinací s alespoň jedním druhem opakujícím se \(3\)-krát nebo více =
= počet všech kombinací – počet kombinací bez žádného druhu se \(3\) a více kusy =
= (11 nad 7) – (počet kombinací bez žádného druhu ≥ 3)
= (11 nad 7) – (počet všech kombinací – Σ |A_i| + Σ |A_i ∩ A_j|)
= (11 nad 7) – ( (11 nad 7) – 5 * (8 nad 4) + (10 nad 2) * 5 )
Upozornění: počet dvojic i,j je C(5,2) = 10.
Tedy počet hledaných kombinací je:
= 5 * (8 nad 4) – 10 * 5
Krok 7: Dosadíme hodnoty:
(11 nad 7) = 330
(8 nad 4) = 70
Počet = 5 * 70 – 10 * 5 = 350 – 50 = 300
Odpověď: Existuje 300\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů, ve kterých alespoň jeden druh je vybrán alespoň \(3\)-krát.
62. Kolik kombinací délky \(6\) lze vytvořit z \(4\) druhů květin, pokud každý druh může být vybrán libovolně často, ale žádný druh nesmí být vybrán více než \(3\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Určíme celkový počet kombinací s opakováním délky \(6\) z \(4\) druhů květin.
Počet všech kombinací bez omezení je:
\((4 + 6 – 1)\) nad \(6 = (9\) nad \(6)\)
Krok 2: Podmínka omezení, že žádný druh nemůže být vybrán více než \(3\)-krát, znamená vyloučit kombinace, kde alespoň jeden druh je vybrán \(4\)-krát nebo více.
Definujeme množiny \(B_i\), kde i-tý druh je vybrán alespoň 4krát.
Krok 3: Vypočítáme počet kombinací v \(B_i\):
Odebereme \(4\) kusy \(i\)-tého druhu, zbývá tedy sestavit kombinaci délky \(6 – 4 = 2\) z \(4\) druhů.
Počet kombinací v \(B_i\) je \((4 + 2 – 1)\) nad \(2 = (5\) nad \(2)\)
Krok 4: Vypočítáme počet kombinací v průniku dvou množin \(B_i ∩ B_j\):
Odebereme \(4\) kusy z \(i\)-tého i \(j\)-tého druhu, tedy \(8\) celkem, ale to není možné, protože délka kombinace je \(6\).
Průnik je prázdný, počet je \(0\).
Krok 5: Použijeme princip inkluze a exkluze pro výpočet kombinací bez porušení omezení:
Počet kombinací splňujících podmínku =
= počet všech kombinací – \(Σ |B_i| + Σ |B_i ∩ B_j|\)
= \((9\) nad \(6) – 4 * (5\) nad \(2) + 0\)
Krok 6: Dosadíme hodnoty:
\((9\) nad \(6) = 84\)
\((5\) nad \(2) = 10\)
Počet = \(84 – 4 * 10 = 84 – 40 = 44\)
Odpověď: Existuje \(44\) kombinací délky \(6\) z \(4\) druhů květin, kde žádný druh není vybrán více než \(3\)-krát.
63. Kolik různých kombinací délky \(8\) lze vytvořit z \(6\) druhů knoflíků, pokud každý druh může být vybrán libovolně často a kombinace musí obsahovat právě \(3\) druhy knoflíků?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Kombinace musí obsahovat právě \(3\) druhy knoflíků, z celkových \(6\) druhů.
Krok 2: Nejprve vybereme, které \(3\) druhy budou v kombinaci použity. Počet možností výběru \(3\) druhů z \(6\) je:
\(\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right) = 20\)
Krok 3: Nyní rozdělíme délku \(8\) mezi právě vybrané \(3\) druhy s opakováním.
To znamená, že počet kladných celočíselných řešení rovnice:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 8\), kde \(x_i \ge 1\)
Je dán vzorcem pro kombinace s opakováním, kde každé \(x_i\) je alespoň \(1\):
Počet řešení = \((8 – 1)\) nad \((3 – 1)\) = \(\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right) = 21\)
Krok 4: Celkový počet kombinací je součin počtu výběrů druhů a počtu rozdělení:
= \(20 \cdot 21 = 420\)
Odpověď: Existuje \(420\) různých kombinací délky \(8\), které obsahují právě \(3\) druhy knoflíků z \(6\) druhů.
64. Kolik různých kombinací délky \(10\) lze vytvořit z \(7\) druhů barev, jestliže každý druh může být vybrán libovolně často a v kombinaci musí být vybráno alespoň \(4\) druhy barev?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Celkový počet všech kombinací délky \(10\) z \(7\) druhů barev je:
\(\left(\begin{matrix}7 + 10 – 1\\10\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)\)
Krok 2: Vypočítáme počet kombinací, kde je vybráno méně než \(4\) druhy, tj. \(1\), \(2\) nebo \(3\) druhy.
Krok 3: Pro každou hodnotu \(k = 1, 2, 3\) spočítáme počet kombinací obsahujících právě \(k\) druhů barev:
Vybereme \(k\) druhů z \(7\): \(\left(\begin{matrix}7\\k\end{matrix}\right)\)
Rozdělíme \(10\) kusů mezi \(k\) druhů, každý s alespoň \(1\) (protože musí být právě \(k\) druhů):
Počet rozdělení je \((10 – 1)\) nad \((k – 1)\) = \(\left(\begin{matrix}9\\k-1\end{matrix}\right)\)
Krok 4: Celkový počet kombinací s méně než \(4\) druhy je součet:
\(\sum_{k=1}^{3} \left(\begin{matrix}7\\k\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\k-1\end{matrix}\right)\)
Krok 5: Spočítáme jednotlivé členy:
Pro \(k=1\): \(\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right) = 7 \cdot 1 = 7\)
Pro \(k=2\): \(\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right) = 21 \cdot 9 = 189\)
Pro \(k=3\): \(\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right) = 35 \cdot 36 = 1260\)
Krok 6: Součet je \(7 + 189 + 1260 = 1456\)
Krok 7: Počet kombinací s alespoň \(4\) druhy barev je tedy:
\(\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right) – 1456\)
\(\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right) = 8008\)
Výsledek = \(8008 – 1456 = 6552\)
Odpověď: Existuje \(6552\) kombinací délky \(10\) z \(7\) druhů barev, které obsahují alespoň \(4\) druhy barev.
65. V obchodě jsou \(4\) druhy čokolád. Kolik různých balíčků s \(12\) kusy lze sestavit, pokud balíček musí obsahovat alespoň \(2\) kusy každého druhu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Každý druh čokolády musí být zastoupen alespoň \(2\) kusy, tedy celkem minimálně \(2 * 4 = 8\) kusů.
Krok 2: Zbývá rozdělit zbylé \(12 – 8 = 4\) kusy libovolně mezi \(4\) druhy.
Krok 3: Počet kombinací s opakováním délky \(4\) z \(4\) druhů je (4 + 4 – 1) nad 4 = (7 nad 4).
Krok 4: Vypočítáme hodnotu:
(7 nad 4) = 35
Odpověď: Existuje \(35\) různých balíčků s \(12\) kusy čokolád, pokud každý druh je zastoupen alespoň \(2\) kusy.
66. Kolik různých kombinací délky \(5\) lze vytvořit z \(3\) druhů ovoce, pokud musí být vybrány alespoň \(2\) druhy a každý druh může být vybrán maximálně \(3\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Kombinace musí obsahovat alespoň \(2\) druhy, délka je \(5\).
Krok 2: Spočítáme počet kombinací pro \(k = 2\) a \(k = 3\) druhy.
Krok 3: Pro \(k = 2\) vybereme \(2\) druhy z \(3\):
\(\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right) = 3\)
Rozdělíme \(5\) kusů mezi \(2\) druhy, přičemž každý druh může mít maximálně \(3\) kusy.
Možnosti rozdělení \((x_1, x_2)\) tak, že \(x_1 + x_2 = 5\), \(0 \leq x_i \leq 3\) a oba \(x_i > 0\) (protože musí být oba druhy vybrány):
Možné rozdělení: \((2,3), (3,2)\)
Počet je \(2\).
Celkem pro \(k=2\): \(3 \cdot 2 = 6\)
Krok 4: Pro \(k=3\) (všechny \(3\) druhy vybrány):
\(\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right) = 1\)
Počet řešení \(x_1 + x_2 + x_3 = 5\), kde \(1 \leq x_i \leq 3\)
Upravíme na neomezené řešení změnou proměnných \(y_i = x_i – 1\):
\(y_1 + y_2 + y_3 = 5 – 3 = 2\), kde \(0 \leq y_i \leq 2\)
Počet řešení bez omezení je \(\left(\begin{matrix}2 + 3 – 1\\2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right) = 6\)
Musíme odečíst řešení, kde některý \(y_i > 2\), ale protože celkový součet je \(2\), žádné \(y_i\) nemůže být větší než \(2\).
Počet řešení je tedy \(6\).
Celkem pro \(k=3\): \(1 \cdot 6 = 6\)
Krok 5: Celkový počet kombinací je \(6 + 6 = 12\)
Odpověď: Existuje \(12\) různých kombinací délky \(5\) z \(3\) druhů ovoce s alespoň \(2\) druhy a maximálně \(3\) kusy od každého druhu.
67. Kolik různých kombinací délky \(9\) lze vytvořit z \(4\) druhů perel, jestliže kombinace musí obsahovat přesně \(2\) druhy a žádný druh nesmí být vybrán více než \(6\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Vybereme přesně \(2\) druhy z \(4\):
\(\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right) = 6\)
Krok 2: Počet rozdělení \(9\) kusů mezi \(2\) druhy, kde žádný druh nemůže mít více než \(6\) kusů:
Rovnice \(x_1 + x_2 = 9\), s podmínkami \(0 \leq x_i \leq 6\), a \(x_i \geq 1\), protože musí být oba druhy v kombinaci.
Možné hodnoty \((x_1, x_2)\):
Protože \(x_1 \leq 6\), \(x_2 = 9 – x_1 \leq 6 \Rightarrow x_1 \geq 3\)
Oběma podmínkám vyhovují \(x_1 = 3, 4, 5, 6\) (a odpovídající \(x_2 = 6, 5, 4, 3\))
Počet možností = \(4\)
Krok 3: Celkový počet kombinací:
\(6 \cdot 4 = 24\)
Odpověď: Existuje \(24\) různých kombinací délky \(9\) z \(4\) druhů perel, které obsahují přesně \(2\) druhy s maximálně \(6\) kusy každého druhu.
68. Kolik různých kombinací délky \(7\) lze vytvořit z \(5\) druhů ovoce, jestliže musí být vybráno právě \(4\) druhy a každý druh může být vybrán maximálně \(3\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Nejprve vybereme přesně \(4\) druhy ovoce z \(5\) možných. Počet způsobů výběru je dán kombinací bez opakování:
(5 nad 4) = 5
Krok 2: Nyní rozdělíme \(7\) kusů ovoce mezi těchto \(4\) vybraných druhů. Podmínky jsou:
Každý druh může být vybrán maximálně \(3\)-krát.
Každý druh musí být vybrán alespoň jednou, protože vybíráme přesně \(4\) druhy.
Krok 3: Formálně řešíme rovnici pro nezáporná celá čísla \(x_1, x_2, x_3, x_4\):
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7\), kde \(1 \leq x_i \leq 3\)
Krok 4: Protože každý \(x_i \geq 1\), zavedeme nové proměnné \(y_i = x_i – 1\), takže \(y_i \geq 0\) a
\(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 7 – 4 = 3\), přičemž \(y_i \leq 2\) (protože \(x_i \leq 3\))
Krok 5: Spočítáme počet řešení rovnice \(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 3\) pro \(0 \leq y_i \leq 2\).
Bez omezení by bylo řešení dáno vzorcem pro kombinace s opakováním:
Celkový počet řešení bez omezení: \(C(3+4-1, 4-1) = C(6,3) = 20\)
Krok 6: Nyní použijeme princip inkluze-exkluze pro omezení \(y_i \leq 2\).
Definujme množiny:
A_i = { řešení kde \(y_i \geq 3\) }
Musíme odečíst řešení, kde některý \(y_i\) přesahuje \(2\).
Počet řešení s \(y_i \geq 3\) pro pevné \(i\):
Označíme \(z_i = y_i – 3 \geq 0\), pak
\(z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 3 – 3 = 0\)
Počet řešení: \(C(0 + 4 – 1, 4 – 1) = C(3,3) = 1\)
Existuje 4 takové množiny (pro každý index \(i\))
Krok 7: Protože nelze, aby dva \(y_i\) byly zároveň větší nebo rovné \(3\) (protože součet je jen \(3\)), není třeba počítat průniky více množin.
Krok 8: Použijeme princip inkluze-exkluze:
Počet platných řešení = \(20 – 4 = 16\)
Krok 9: Nakonec počet kombinací je:
Počet výběrů \(4\) druhů * počet rozdělení \(7\) kusů = \(5 * 16 = 80\)
Odpověď: Existuje \(80\) různých kombinací délky \(7\) z \(5\) druhů ovoce, kde jsou vybrány právě \(4\) druhy, každý nejvýše \(3\)-krát.
69. Určete počet kombinací délky \(10\), které lze vytvořit z \(3\) typů položek, přičemž každý typ musí být zastoupen alespoň jednou a opakování je dovoleno.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počet vybraných položek jednotlivých typů jako \(x_1, x_2, x_3\), kde \(x_i \geq 1\) a
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)
Krok 2: Protože každý typ musí být zastoupen alespoň jednou, zavádíme proměnné \(y_i = x_i – 1\), tedy \(y_i \geq 0\), a platí
\(y_1 + y_2 + y_3 = 10 – 3 = 7\)
Krok 3: Počet nezáporných celočíselných řešení rovnice je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:
\(C(7 + 3 – 1, 3 – 1) = C(9, 2) = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\)
Krok 4: Výsledek je tedy \(36\) různých kombinací délky \(10\), které obsahují všechny \(3\) typy alespoň jednou.
70. Vypočítejte počet kombinací s opakováním délky \(8\) z \(4\) prvků, pokud musí být vybrán alespoň jeden prvek, který bude vybrán nejvýše \(5\)-krát.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Celkový počet kombinací délky \(8\) z \(4\) prvků bez omezení je:
\(C(8+4-1,4-1) = C(11,3) = 165\)
Krok 2: Zjistíme počet kombinací, kde každý prvek je vybrán více než \(5\)-krát.
Krok 3: Pokud je každý prvek vybrán nejvýše \(5\)-krát, vyjádříme to jako omezení: \(x_i \leq 5\) pro všechny \(i\).
Krok 4: Použijeme princip inkluze-exkluze pro výpočet počtu kombinací, kde je alespoň jeden prvek vybrán více než \(5\)-krát (tedy \(x_i \geq 6\)):
Počet kombinací s \(x_i \geq 6\) pro pevné \(i\) spočítáme odečtením:
Zaveďme \(y_i = x_i – 6 \geq 0\), potom
\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 8 – 6 = 2\)
Počet řešení rovnice \(y_i + x_j + x_k + x_l = 2\) s \(y_i, x_j, x_k, x_l \geq 0\) je
\(C(2+4-1, 4-1) = C(5,3) = 10\)
Krok 5: Pro \(4\) prvky existuje \(4\) takové množiny, tedy počet kombinací s alespoň jedním \(x_i \geq 6\) je maximálně \(4 * 10 = 40\).
Krok 6: Nemůže nastat situace, kdy dva prvky současně překročí \(5\) \((\)protože součet je \(8)\), tedy není potřeba řešit průniky.
Krok 7: Počet kombinací, kde každý prvek je vybrán maximálně \(5\)-krát, je
\(165 – 40 = 125\)
Odpověď: Existuje \(125\) takových kombinací.
71. Z kolika způsobů lze vybrat \(9\) kuliček ze \(6\) barev, jestliže každá barva může být vybrána nejvýše \(2\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty kuliček jednotlivých barev jako \(x_1, x_2, …, x_6\), kde platí:
\(x_1 + x_2 + … + x_6 = 9\), s podmínkou \(0 \leq x_i \leq 2\)
Krok 2: Nejprve spočítáme počet řešení bez omezení horní meze:
\(C(9+6-1, 6-1) = C(14,5) = 2002\)
Krok 3: Použijeme princip inkluze-exkluze k odečtení řešení, kde je některý \(x_i \geq 3\).
Pro fixní \(i\) označíme \(y_i = x_i – 3 \geq 0\), pak:
\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 9 – 3 = 6\)
Počet řešení této rovnice je:
\(C(6+6-1, 6-1) = C(11,5) = 462\)
Krok 4: Počet prvků, kde může nastat překročení, je \(6\), takže součet přes jednotlivé množiny je:
\(6 * 462 = 2772\)
Krok 5: Nyní vypočítáme počet řešení pro průnik dvou množin, tj. dvě \(x_i \geq 3\).
Pro dva indexy \(i,j\) zavedeme \(y_i = x_i – 3\), \(y_j = x_j – 3\), pak
\(y_i + y_j + \sum_{k \neq i,j} x_k = 9 – 6 = 3\)
Počet řešení je:
\(C(3+6-1,6-1) = C(8,5) = 56\)
Počet dvojic je \(C(6,2) = 15\), tedy:
\(15 * 56 = 840\)
Krok 6: Průniky tří nebo více množin nemohou nastat, protože by součet byl záporný.
Krok 7: Použijeme princip inkluze-exkluze:
Počet platných řešení = \(2002 – 2772 + 840 = 70\)
Odpověď: Existuje \(70\) kombinací, kde každá barva je vybrána maximálně \(2\)-krát.
72. Kolik různých kombinací délky \(12\) lze vytvořit z \(5\) prvků, pokud je třeba, aby první prvek byl vybrán nejméně \(3\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počet výskytů prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), kde
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12\), s podmínkou \(x_1 \geq 3\)
Krok 2: Zavedeme novou proměnnou \(y_1 = x_1 – 3 \geq 0\), ostatní \(x_i\) zůstanou nezměněné.
Krok 3: Rovnice se přepíše na:
\(y_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12 – 3 = 9\)
Krok 4: Počet nezáporných celočíselných řešení této rovnice je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:
\(C(9 + 5 – 1, 5 – 1) = C(13, 4) = 715\)
Odpověď: Existuje \(715\) kombinací délky \(12\) z \(5\) prvků, kde první prvek je vybrán nejméně \(3\)-krát.
73. Kolik je kombinací délky \(6\) z \(4\) prvků, pokud první dva prvky dohromady musí být vybrány nejvýše \(4\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) a platí:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6\), s podmínkou \(x_1 + x_2 \leq 4\)
Krok 2: Vyjádříme kombinace podle hodnot \(k = x_1 + x_2\), kde \(k = 0,1,2,3,4\).
Krok 3: Pro pevné \(k\) je počet rozdělení \(k\) mezi \(x_1, x_2\) dán vzorcem:
\(k + 2 – 1 \choose 2 – 1 = k + 1\)
Krok 4: Pro zbývající \(6 – k\) rozdělení mezi \(x_3, x_4\) platí počet řešení:
\(6 – k + 2 – 1 \choose 2 – 1 = 7 – k\)
Krok 5: Celkový počet kombinací je součtem přes \(k=0\) až \(4\):
\(\sum_{k=0}^4 (k+1)(7-k) = \sum_{k=0}^4 (7k + 7 – k^2 – k) = \sum_{k=0}^4 (6k + 7 – k^2)\)
Vypočítáme jednotlivé členy:
\(k=0: 0 + 7 – 0 = 7\)
\(k=1: 6 + 7 – 1 = 12\)
\(k=2: 12 + 7 – 4 = 15\)
\(k=3: 18 + 7 – 9 = 16\)
\(k=4: 24 + 7 – 16 = 15\)
Součet: \(7 + 12 + 15 + 16 + 15 = 65\)
Odpověď: Existuje \(65\) takových kombinací.
74. Vypočítejte počet kombinací délky \(9\) z \(4\) prvků, kde každý prvek je zastoupen sudým počtem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) a platí:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 9\), kde každý \(x_i\) je sudé číslo, tj. \(x_i = 2y_i\) pro \(y_i \geq 0\).
Krok 2: Dosadíme do rovnice:
\(2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = 9\)
Krok 3: Jelikož \(9\) je liché číslo, rovnice nemá řešení v nezáporných celých číslech \(y_i\).
Odpověď: Neexistuje žádná kombinace délky \(9\), kde by všechny prvky byly zastoupeny sudým počtem.
75. Kolik je kombinací délky \(10\) z \(4\) prvků, pokud je každý prvek zastoupen alespoň jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty výskytů jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkou:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10\), kde každý \(x_i \geq 1\).
Krok 2: Protože každý musí být zastoupen alespoň jednou, zavedeme substituci \(y_i = x_i – 1 \geq 0\).
Krok 3: Rovnice se přepíše na:
\(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 10 – 4 = 6\).
Krok 4: Počet nezáporných celočíselných řešení je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:
\(C(6 + 4 – 1, 4 – 1) = C(9, 3)\).
Krok 5: Výpočet \(C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\).
Odpověď: Existuje \(84\) kombinací délky \(10\) z \(4\) prvků, kde každý prvek je zastoupen alespoň jednou.
76. Kolik je kombinací délky \(8\) z \(5\) prvků, pokud žádný prvek není zastoupen více než třikrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) s podmínkami:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 8\), kde \(0 \leq x_i \leq 3\).
Krok 2: Nejprve spočítáme počet všech řešení bez omezení horní meze:
\(C(8 + 5 – 1, 5 – 1) = C(12, 4) = 495\).
Krok 3: Použijeme princip inkluze-exkluze pro omezení \(x_i \leq 3\).
Krok 4: Označíme množiny \(A_i\), kde \(x_i \geq 4\). Pro fixní \(i\) zavedeme \(y_i = x_i – 4 \geq 0\).
Pak platí:
\(y_i + \sum_{j \neq i} x_j = 8 – 4 = 4\).
Počet řešení této rovnice je:
\(C(4 + 5 – 1, 5 – 1) = C(8, 4) = 70\).
Krok 5: Počet množin \(A_i\) je \(5\), součet je tedy \(5 \times 70 = 350\).
Krok 6: Průnik dvou množin \(A_i \cap A_j\) znamená \(x_i \geq 4\) a \(x_j \geq 4\), pak:
Zavedeme \(y_i = x_i – 4 \geq 0\), \(y_j = x_j – 4 \geq 0\), rovnice je:
\(y_i + y_j + \sum_{k \neq i,j} x_k = 8 – 8 = 0\).
Počet řešení je:
\(C(0 + 5 – 1, 5 – 1) = C(4, 4) = 1\).
Počet dvojic je \(C(5, 2) = 10\), tedy součet je \(10\).
Krok 7: Průnik tří nebo více množin nemůže nastat, protože by součet byl záporný.
Krok 8: Použijeme princip inkluze-exkluze:
Počet platných řešení = \(495 – 350 + 10 = 155\).
Odpověď: Existuje \(155\) kombinací délky \(8\) z \(5\) prvků s podmínkou, že žádný prvek není zastoupen více než třikrát.
77. Kolik je kombinací délky \(7\) z \(3\) prvků, pokud je první prvek zastoupen sudým počtem a druhý lichým počtem?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\), kde platí:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 7\), přičemž \(x_1\) je sudé, \(x_2\) je liché a \(x_3 \geq 0\).
Krok 2: Zapišme \(x_1 = 2a\), \(a \geq 0\), a \(x_2 = 2b + 1\), \(b \geq 0\).
Krok 3: Dosadíme do rovnice:
\(2a + (2b + 1) + x_3 = 7 \Rightarrow 2a + 2b + x_3 = 6\).
Krok 4: Přepíšeme jako:
\(x_3 = 6 – 2a – 2b\), kde \(a,b,x_3 \geq 0\).
Krok 5: Podmínka \(x_3 \geq 0\) znamená:
\(6 – 2a – 2b \geq 0 \Rightarrow a + b \leq 3\).
Krok 6: Počet nezáporných celočíselných dvojic \((a,b)\) takových, že \(a+b \leq 3\) je počet řešení rovnice \(a + b + c = 3\), kde \(c \geq 0\).
Krok 7: Počet řešení této rovnice je:
\(C(3 + 2, 2) = C(5, 2) = 10\).
Krok 8: Každé řešení \((a,b)\) odpovídá právě jednomu \(x_3\), proto je počet hledaných kombinací \(10\).
Odpověď: Existuje \(10\) takových kombinací.
78. Kolik je kombinací délky \(5\) z \(4\) prvků, pokud součet počtů prvního a třetího prvku je \(3\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5\), \(x_1 + x_3 = 3\).
Krok 2: Z podmínky \(x_1 + x_3 = 3\) určíme \(x_3 = 3 – x_1\), kde \(0 \leq x_1 \leq 3\).
Krok 3: Dosadíme do první rovnice:
\(x_1 + x_2 + (3 – x_1) + x_4 = 5 \Rightarrow x_2 + x_4 = 2\).
Krok 4: Počet řešení rovnice \(x_2 + x_4 = 2\), kde \(x_2, x_4 \geq 0\), je:
\(2 + 2 – 1\) vybereme \(2 – 1\) neboli \(C(3,1) = 3\).
Krok 5: Pro každou hodnotu \(x_1 = 0,1,2,3\) existují \(3\) řešení pro \(x_2, x_4\).
Krok 6: Celkem je tedy počet kombinací:
\(4 \times 3 = 12\).
Odpověď: Existuje \(12\) takových kombinací.
79. Kolik je kombinací délky \(12\) z \(6\) prvků, pokud jsou všechny počty sudá čísla?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6\), kde platí:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12\), každý \(x_i\) je sudé číslo.
Krok 2: Zavedeme \(x_i = 2 y_i\), kde \(y_i \geq 0\).
Krok 3: Dosadíme do rovnice:
\(2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6) = 12 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 6\).
Krok 4: Počet řešení je počet nezáporných celočíselných řešení této rovnice, což je:
\(C(6 + 6 – 1, 6 – 1) = C(11, 5)\).
Krok 5: Výpočet \(C(11, 5) = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462\).
Odpověď: Existuje \(462\) takových kombinací.
80. Kolik je kombinací délky \(9\) z \(3\) prvků, kde počet prvku \(2\) je vždy menší než počet prvku \(1\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\) s podmínkou:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 9\), kde \(x_2 < x_1\).
Krok 2: Jelikož \(x_2 < x_1\), můžeme iterovat přes možné hodnoty \(x_1\) a spočítat počet \(x_2\).
Krok 3: Hodnoty \(x_1\) mohou být od \(1\) do \(9\) (protože \(x_2 < x_1\), \(x_1\) musí být alespoň 1).
Krok 4: Pro pevné \(x_1 = k\) je \(x_2\) v intervalu \(0 \leq x_2 \leq k-1\), \(x_3 = 9 – k – x_2 \geq 0\).
Krok 5: Pro dané \(k\) je počet možných \(x_2\) takových, že \(x_3 \geq 0\) roven počtu celých \(x_2\) splňujících:
\(0 \leq x_2 \leq k-1\) a \(x_2 \leq 9 – k\).
Krok 6: Protože \(x_2 \leq k-1\) a \(x_2 \leq 9 – k\), maximální možná hodnota \(x_2\) je \(\min(k-1, 9-k)\).
Krok 7: Počet možností pro \(x_2\) je tedy \(\min(k-1, 9-k) + 1\).
Krok 8: Spočítáme sumu přes \(k = 1\) až \(9\):
k: 1, max \(x_2 = \min(0,8) = 0 \Rightarrow 1\) možnost
k: 2, max \(x_2 = \min(1,7) = 1 \Rightarrow 2\) možnosti
k: 3, max \(x_2 = \min(2,6) = 2 \Rightarrow 3\)
k: 4, max \(x_2 = \min(3,5) = 3 \Rightarrow 4\)
k: 5, max \(x_2 = \min(4,4) = 4 \Rightarrow 5\)
k: 6, max \(x_2 = \min(5,3) = 3 \Rightarrow 4\)
k: 7, max \(x_2 = \min(6,2) = 2 \Rightarrow 3\)
k: 8, max \(x_2 = \min(7,1) = 1 \Rightarrow 2\)
k: 9, max \(x_2 = \min(8,0) = 0 \Rightarrow 1\)
Krok 9: Součet možností:
\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25\).
Odpověď: Existuje \(25\) takových kombinací.
81. Kolik je kombinací délky \(11\) z \(5\) prvků, pokud počet prvku \(5\) je přesně \(4\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) s podmínkami:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 11\), \(x_5 = 4\).
Krok 2: Dosadíme \(x_5 = 4\), zbývá:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7\), kde \(x_i \geq 0\).
Krok 3: Počet řešení této rovnice je:
\(C(7 + 4 – 1, 4 – 1) = C(10, 3)\).
Krok 4: Výpočet \(C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\).
Odpověď: Existuje \(120\) takových kombinací.
82. Kolik je kombinací délky \(14\) z \(4\) prvků, pokud je první prvek zastoupen sudým a druhý lichým počtem, třetí je alespoň \(2\) a čtvrtý není zastoupen vůbec?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 14\), \(x_1\) sudé, \(x_2\) liché, \(x_3 \geq 2\), \(x_4 = 0\).
Krok 2: Zavedeme \(x_1 = 2y_1\), \(x_2 = 2y_2 + 1\), \(x_3 = y_3 + 2\), \(x_4 = 0\).
Krok 3: Dosadíme do rovnice:
\(2y_1 + 2y_2 + 1 + y_3 + 2 = 14 \Rightarrow 2y_1 + 2y_2 + y_3 = 11\).
Krok 4: Budeme hledat nezáporná celočíselná řešení rovnice \(2y_1 + 2y_2 + y_3 = 11\).
Krok 5: Zvolíme hodnoty \(y_3 = k\) od \(0\) do \(11\), potom:
\(2y_1 + 2y_2 = 11 – k\).
Krok 6: Pravá strana musí být sudá, tedy \(11 – k\) je sudé \Rightarrow \(k\) liché.
Krok 7: Hodnoty \(k\) jsou liché čísla od \(1\) do \(11: 1, 3, 5, 7, 9, 11\).
Krok 8: Pro každé \(k\) spočítáme počet řešení rovnice \(y_1 + y_2 = \frac{11 – k}{2}\), což je:
\(\frac{11 – k}{2} + 2 – 1\) vybereme \(2 – 1\) neboli \(C(\frac{11 – k}{2} + 1, 1) = \frac{11 – k}{2} + 1\).
Krok 9: Spočítáme součet pro \(k = 1, 3, 5, 7, 9, 11\):
\(\sum_{k=1,3,5,7,9,11} \left(\frac{11 – k}{2} + 1\right) = (5+1) + (4+1) + (3+1) + (2+1) + (1+1) + (0+1) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.\)
Odpověď: Existuje 21\) takových kombinací.
83. Kolik je kombinací délky \(10\) z \(3\) prvků, pokud žádný prvek nemůže být zastoupen víc než \(5\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3\), kde platí:
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\), \(0 \leq x_i \leq 5\).
Krok 2: Budeme počítat počet řešení této rovnice za omezení pomocí inkluze-exkluze.
Krok 3: Nejprve spočítáme počet všech řešení bez omezení, což je:
\(C(10 + 3 – 1, 3 – 1) = C(12, 2) = 66\).
Krok 4: Dále spočítáme počet řešení, kde alespoň jeden \(x_i > 5\).
Krok 5: Pro \(x_1 > 5\) zavádíme \(x_1′ = x_1 – 6 \geq 0\), pak:
\(x_1′ + x_2 + x_3 = 10 – 6 = 4\), počet řešení:
\(C(4 + 3 – 1, 3 – 1) = C(6, 2) = 15\).
Krok 6: Stejně pro \(x_2 > 5\) a \(x_3 > 5\) také 15 řešení.
Krok 7: Počet řešení, kde alespoň dva \(x_i > 5\), spočítáme:
Pro \(x_1 > 5\) a \(x_2 > 5\) zavádíme \(x_1′ = x_1 – 6\), \(x_2′ = x_2 – 6\), pak:
\(x_1′ + x_2′ + x_3 = 10 – 12 = -2\), žádné řešení.
Krok 8: Stejně pro ostatní dvojice žádná řešení.
Krok 9: Počet řešení je tedy:
\(66 – 3 \times 15 = 66 – 45 = 21\).
Odpověď: Existuje \(21\) takových kombinací.
84. Kolik je kombinací délky \(8\) z \(4\) prvků, pokud první prvek je zastoupen nejvýše \(3\)-krát a druhý alespoň \(2\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty jako \(x_1, x_2, x_3, x_4\) s podmínkami:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8\), \(0 \leq x_1 \leq 3\), \(x_2 \geq 2\), \(x_3, x_4 \geq 0\).
Krok 2: Zavedeme \(y_2 = x_2 – 2 \geq 0\), pak:
\(x_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 8 – 2 = 6\), kde \(0 \leq x_1 \leq 3\), ostatní nezáporná.
Krok 3: Budeme počítat počet řešení pro každou hodnotu \(x_1 = 0, 1, 2, 3\).
Krok 4: Pro pevné \(x_1 = k\) platí:
\(y_2 + x_3 + x_4 = 6 – k\).
Krok 5: Počet řešení pro pevné \(k\) je:
\(C(6 – k + 3 – 1, 3 – 1) = C(8 – k, 2)\).
Krok 6: Spočítáme sumu pro \(k = 0\) až 3:
\(C(8, 2) + C(7, 2) + C(6, 2) + C(5, 2)\).
Krok 7: Výpočty jednotlivých hodnot:
\(C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\)
\(C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21\)
\(C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\)
\(C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\)
Krok 8: Celkový počet kombinací je:
\(28 + 21 + 15 + 10 = 74\).
Odpověď: Existuje \(74\) takových kombinací.
85. Kolik je kombinací délky \(12\) z \(5\) prvků, pokud každý prvek je zastoupen nejvýše \(4\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Označíme počty výskytů jednotlivých prvků jako \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), kde každý \(x_i\) představuje počet výskytů prvku \(i\).
Krok 2: Podmínky jsou:
\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12\),
\(0 \leq x_i \leq 4\) pro \(i = 1, 2, 3, 4, 5\).
Krok 3: Bez omezení na maximální počet opakování by počet kombinací byl:
\(\displaystyle \frac{(12 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 12!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}\).
Krok 4: Musíme odečíst případy, kdy nějaký prvek je použit alespoň \(5\)-krát. Označíme tuto množinu jako \(A_i\).
Krok 5: Princip inkluze a exkluze:
Celkový počet platných kombinací = všechny kombinace bez omezení − případy s alespoň jedním prvkem opakovaným \(5\) a vícekrát + případy s alespoň dvěma takovými prvky − atd.
Krok 6: Výpočet \(|A_i|\):
Odečteme \(5\) od \(x_i\), tedy \(x_i‘ = x_i – 5 \geq 0\).
\(x_i‘ + \sum_{j \neq i} x_j = 12 – 5 = 7\).
Počet řešení: \(\displaystyle \frac{(7 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 7!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!}\).
Krok 7: Výpočet \(|A_i \cap A_j|\):
Odečteme \(5\) od obou proměnných: \(12 – 10 = 2\).
Počet řešení: \(\displaystyle \frac{(2 + 5 – 1)!}{(5 – 1)! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!}\).
Krok 8: Trojité průniky: \(12 – 15 < 0\) → žádná řešení.
Krok 9: Sestavení vzorce:
\(\text{počet} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} – 5 \cdot \frac{11!}{4! \cdot 7!} + \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{6!}{4! \cdot 2!}\).
Krok 10: Výpočet hodnot:
\(\frac{16!}{4! \cdot 12!} = 1820\),
\(\frac{11!}{4! \cdot 7!} = 330\),
\(\frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15\),
\(\frac{5 \cdot 4}{2} = 10\).
Krok 11: Dosazení:
\(1820 – 5 \cdot 330 + 10 \cdot 15 = 1820 – 1650 + 150 = 320\).
Výsledek: Existuje \(320\) kombinací délky \(12\) z \(5\) prvků, kde každý prvek je zastoupen maximálně \(4\)-krát.
86. Kolik je uspořádaných kombinací délky \(8\) z \(3\) prvků, pokud každý prvek může být použit opakovaně?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: Uspořádané kombinace s opakováním odpovídají variacím s opakováním, protože záleží na pořadí a prvky se mohou opakovat.
Krok 2: Počet takových kombinací délky \(k=8\) z \(n=3\) prvků je \(3^8\).
Krok 3: Vypočítáme:
\(3^8 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 6561\).
Výsledek je \(6561\) uspořádaných kombinací délky \(8\) z \(3\) prvků s opakováním.
87. Kolik různých \(5\)-místných kódů lze sestavit z \(8\) různých znaků, pokud se znaky mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úloha je o kombinacích s opakováním, protože vybíráme \(5\) znaků z \(8\), přičemž se znaky mohou opakovat.
Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 8\) (počet různých znaků) a \(k = 5\) (počet vybíraných znaků).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5! \cdot (8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
\]
Vypočítáme hodnotu:
\[
\frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792
\]
Tedy lze sestavit \(792\) různých \(5\)-místných kódů z \(8\) znaků s opakováním.
88. Kolik různých \(4\)-členných skupin lze vytvořit z \(6\) různých druhů ovoce, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Znovu použijeme vzorec pro kombinace s opakováním, protože vybíráme \(4\) prvky z \(6\) a opakování je dovoleno.
Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 6\), \(k = 4\).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(6 + 4 – 1)!}{4! \cdot (6 – 1)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}
\]
Vypočítáme hodnotu:
\[
\frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
\]
Tedy lze vytvořit \(126\) různých \(4\)-členných skupin s opakováním z \(6\) druhů ovoce.
89. V cukrárně je \(10\) druhů dortů. Kolik různých objednávek po \(3\) kusech dortů lze vytvořit, jestliže lze objednat i více kusů stejného druhu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zde vybíráme \(3\) dorty z \(10\) druhů, opakování dortů je povoleno.
Počet kombinací s opakováním je dán vzorcem:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 10\), \(k = 3\).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(10 + 3 – 1)!}{3! \cdot (10 – 1)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}
\]
Vypočítáme hodnotu:
\[
\frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
\]
Tedy lze vytvořit \(220\) různých objednávek po \(3\) kusech dortů s opakováním.
90. Kolik různých způsobů je možné vybrat \(7\) koulí ze zásoby \(5\) různých barev, pokud se barvy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním pro výběr \(7\) koulí z \(5\) barev je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 5\), \(k = 7\).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(5 + 7 – 1)!}{7! \cdot (5 – 1)!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!}
\]
Vypočítáme hodnotu:
\[
\frac{11!}{7! \cdot 4!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330
\]
Tedy existuje \(330\) různých způsobů výběru \(7\) koulí z \(5\) barev s opakováním.
91. Kolik různých \(6\)-místných hesel lze vytvořit z \(4\) různých znaků, pokud se znaky mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úloha je o kombinacích s opakováním. Vybíráme \(6\) znaků z \(4\) možností, znaky se mohou opakovat.
Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 4\), \(k = 6\).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(4 + 6 – 1)!}{6! \cdot (4 – 1)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
\]
Tedy lze vytvořit \(84\) různých \(6\)-místných hesel z \(4\) znaků s opakováním.
92. Kolik různých čtyřčíselných kombinací lze vytvořit z \(7\) číslic, pokud se číslice mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 4\) z \(n = 7\) prvků je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(7 + 4 – 1)!}{4! \cdot (7 – 1)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
\]
Tedy existuje \(210\) různých čtyřčíselných kombinací s opakováním z \(7\) číslic.
93. V knihovně je \(9\) druhů knih. Kolik různých výběrů \(5\) knih lze sestavit, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
kde \(n = 9\), \(k = 5\).
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(9 + 5 – 1)!}{5! \cdot (9 – 1)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287
\]
Tedy lze sestavit \(1287\) různých výběrů \(5\) knih s opakováním z \(9\) druhů.
94. Kolik různých tříprvků lze vybrat z \(5\) barev, pokud se barvy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 3\) z \(n = 5\) je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!}
\]
Dosadíme:
\[
\text{Počet} = \frac{(5 + 3 – 1)!}{3! \cdot (5 – 1)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
\]
Tedy existuje \(35\) různých tříprvků s opakováním z \(5\) barev.
95. Kolik různých \(8\)-místných kombinací lze vytvořit z \(3\) různých písmen, pokud se písmena mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním vybíraných \(k = 8\) z \(n = 3\) je:
\[
\text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{k! \cdot (n – 1)!} = \frac{(3 + 8 – 1)!}{8! \cdot (3 – 1)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Tedy lze vytvořit \(45\) různých \(8\)-místných kombinací z \(3\) písmen s opakováním.
96. Kolik různých \(2\)-prvků lze vybrat z \(10\) druhů ovoce, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním je:
\[
\text{Počet} = \frac{(10 + 2 – 1)!}{2! \cdot (10 – 1)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{11!}{2! \cdot 9!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55
\]
Tedy existuje \(55\) různých \(2\)-prvků s opakováním z \(10\) druhů ovoce.
97. Kolik různých \(7\)-květinových kytic lze vytvořit z \(4\) druhů květin, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním je:
\[
\text{Počet} = \frac{(4 + 7 – 1)!}{7! \cdot (4 – 1)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
\]
Tedy lze vytvořit \(120\) různých \(7\)-květinových kytic s opakováním z \(4\) druhů květin.
98. Kolik různých \(5\)-prvků lze vybrat z \(8\) druhů bonbónů, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním:
\[
\text{Počet} = \frac{(8 + 5 – 1)!}{5! \cdot (8 – 1)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792
\]
Tedy existuje \(792\) různých \(5\)-prvků s opakováním z \(8\) druhů bonbónů.
99. Kolik různých \(9\)-místných kombinací lze vytvořit z \(5\) různých písmen, pokud se písmena mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním pro \(k = 9\) a \(n = 5\) je:
\[
\text{Počet} = \frac{(5 + 9 – 1)!}{9! \cdot (5 – 1)!} = \frac{13!}{9! \cdot 4!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{13!}{9! \cdot 4!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715
\]
Tedy lze vytvořit \(715\) různých \(9\)-místných kombinací z \(5\) písmen s opakováním.
100. Kolik různých \(10\)-prvků lze vybrat z \(6\) druhů ovoce, pokud se druhy mohou opakovat?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet kombinací s opakováním pro \(k = 10\) a \(n = 6\) je:
\[
\text{Počet} = \frac{(6 + 10 – 1)!}{10! \cdot (6 – 1)!} = \frac{15!}{10! \cdot 5!}
\]
Vypočítáme:
\[
\frac{15!}{10! \cdot 5!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003
\]
Tedy lze vybrat \(3003\) různých \(10\)-prvků s opakováním z \(6\) druhů ovoce.
