1. Přepište komplexní číslo \( z = -2 + 2i \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
Modul: \( r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
Argument: \( \varphi = \pi – \arctan \frac{2}{2} = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) (2. kvadrant).
Goniometrický tvar: \( z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \).
2. Přepište komplexní číslo \( z = 1 – i\sqrt{3} \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
Modul: \( r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \).
Argument: protože reálná část > 0 a imaginární < 0, jedná se o 4. kvadrant,
\( \varphi = 2\pi – \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \).
Goniometrický tvar: \( z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \).
3. Vypočítejte \( z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^4 \) v algebraickém tvaru.
Řešení:
Modul: \( r = \sqrt{3} \), argument: \( \varphi = \frac{\pi}{3} \).
Podle Moivreovy věty:
\( z^4 = r^4 \left( \cos 4\varphi + i \sin 4\varphi \right) = (\sqrt{3})^4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) \).
\( (\sqrt{3})^4 = 9 \).
\( \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), \( \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Algebraický tvar:
\( z^4 = 9 \left( -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{9}{2} – \frac{9\sqrt{3}}{2} i \).
4. Přepište komplexní číslo \( z = 4(-1 + 0i) \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
Modul: \( r = 4 \).
Argument: protože je reálná část záporná a imaginární nulová, leží na záporné reálné ose,
argument \( \varphi = \pi \).
Goniometrický tvar:
\( z = 4 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \).
5. Vypočítejte \( z = (1 + i)^5 \) v algebraickém tvaru.
Řešení:
Modul: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Argument: \( \varphi = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \).
Goniometrický tvar:
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \).
Podle Moivreovy věty:
\( z^5 = (\sqrt{2})^5 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = 4\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \).
\( \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Algebraický tvar:
\( z^5 = 4\sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -4 – 4i \).
6. Přepište komplexní číslo \( z = 3 – 3i \) do goniometrického tvaru.
Řešení příkladu:
Modul:
\( r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
Argument:
Reálná kladná, imaginární záporná => 4. kvadrant.
\( \varphi = 2\pi – \arctan \frac{3}{3} = 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
Goniometrický tvar:
\( z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) \).
7. Vypočítejte \( z = ( \sqrt{2} ( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} ) )^4 \) v algebraickém tvaru.
Řešení příkladu:
Modul je \( r = \sqrt{2} \), argument \( \varphi = \frac{\pi}{4} \).
Podle Moivreovy věty:
\( z = r^4 \left( \cos 4\varphi + i \sin 4\varphi \right) = (\sqrt{2})^4 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \).
\( (\sqrt{2})^4 = (2)^{2} = 4 \).
\( \cos \pi = -1 \), \( \sin \pi = 0 \).
Výsledkem je:
\( z = 4 \cdot (-1 + 0i) = -4 \).
8. Určete goniometrický tvar komplexního čísla \( z = -2i \).
Řešení příkladu:
Modul:
\( r = |-2i| = 2 \).
Argument:
Číslo leží na imaginární ose dole, tedy \( \varphi = \frac{3\pi}{2} \).
Goniometrický tvar:
\( z = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \).
9. Přepište \( z = 1 – i \) do goniometrického tvaru.
Řešení příkladu:
Modul:
\( r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \).
Argument:
Reálná kladná, imaginární záporná => 4. kvadrant.
\( \varphi = 2\pi – \arctan 1 = 2\pi – \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
Goniometrický tvar:
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) \).
10. Vypočítejte \( z = (2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}))^5 \) a vyjádřete v algebraickém tvaru.
Řešení příkladu:
Modul: \( r = 2 \), argument \( \varphi = \frac{\pi}{2} \).
Podle Moivreovy věty:
\( z = r^5 \left( \cos 5\varphi + i \sin 5\varphi \right) = 2^5 \left( \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} \right) \).
\( 2^5 = 32 \).
Argument \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), tedy ekvivalentní s \( \frac{\pi}{2} \).
\( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
Výsledek:
\( z = 32i \).
11. Přepište komplexní číslo \( z = -1 + i \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
Máme \( z = -1 + i \).
1) Výpočet modulu:
\( r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \).
2) Určení argumentu:
Reálná část je záporná, imaginární kladná, tedy \( z \) leží ve 2. kvadrantu.
Argument vypočteme jako:
\( \varphi = \pi – \arctan \frac{|1|}{|{-1}|} = \pi – \arctan 1 = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
3) Goniometrický tvar:
\( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \).
12. Přepište \( z = -3 – 3i \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
1) Modul:
\( r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
2) Argument:
Záporná reálná i imaginární část znamenají, že \( z \) je ve 3. kvadrantu.
Argument se spočítá jako:
\( \varphi = \pi + \arctan \frac{|{-3}|}{|{-3}|} = \pi + \arctan 1 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).
3) Goniometrický tvar:
\( z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \).
13. Vyjádřete \( z = 4 \cos \frac{\pi}{6} + 4i \sin \frac{\pi}{6} \) v algebraickém tvaru.
Řešení:
Dosadíme hodnoty funkcí:
\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
Vypočteme reálnou a imaginární část:
\( \text{Re}(z) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \).
\( \text{Im}(z) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
Algebraický tvar:
\( z = 2\sqrt{3} + 2i \).
14. Vypočítejte \( z = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^3 \) a vyjádřete v algebraickém tvaru.
Řešení:
1) Modul a argument původního čísla:
\( r = 2 \), \( \varphi = \frac{\pi}{4} \).
2) Použití Moivreovy věty:
\( z^3 = r^3 \left( \cos 3\varphi + i \sin 3\varphi \right) = 2^3 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = 8 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \).
3) Výpočet hodnot funkcí:
\( \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4) Algebraický tvar:
\( z^3 = 8 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 8 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 8i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2} \).
15. Přepište \( z = 5i \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
1) Modul:
\( r = |5i| = 5 \).
2) Argument:
Číslo leží na imaginární ose nad osou reálnou, takže:
\( \varphi = \frac{\pi}{2} \).
3) Goniometrický tvar:
\( z = 5 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \).
16. Vypočítejte \( z = \left( 3 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \right)^2 \) a vyjádřete v algebraickém tvaru.
Řešení:
1) Modul a argument:
\( r = 3 \), \( \varphi = \frac{2\pi}{3} \).
2) Podle Moivreovy věty:
\( z^2 = r^2 \left( \cos 2\varphi + i \sin 2\varphi \right) = 9 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) \).
3) Výpočet funkcí:
\( \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), \( \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
4) Algebraický tvar:
\( z^2 = 9 \cdot \left( -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{9}{2} – \frac{9\sqrt{3}}{2} i \).
17. Přepište \( z = -4 \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
1) Modul:
\( r = |-4| = 4 \).
2) Argument:
Číslo leží na záporné reálné ose, tedy:
\( \varphi = \pi \).
3) Goniometrický tvar:
\( z = 4 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \).
18. Vypočítejte \( z = \left( \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \right)^4 \) v algebraickém tvaru.
Řešení:
1) Modul a argument:
\( r = \sqrt{3} \), \( \varphi = \frac{\pi}{3} \).
2) Použití Moivreovy věty:
\( z^4 = r^4 \left( \cos 4\varphi + i \sin 4\varphi \right) = (\sqrt{3})^4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) \).
Protože \( (\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{2} = 9 \).
3) Výpočet hodnot:
\( \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} \), \( \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
4) Algebraický tvar:
\( z^4 = 9 \left( -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{9}{2} – \frac{9\sqrt{3}}{2} i \).
19. Přepište \( z = 1 – i \sqrt{3} \) do goniometrického tvaru.
Řešení:
1) Modul:
\( r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \).
2) Argument:
Imaginární část je záporná, reálná kladná, tedy \( z \) leží ve 4. kvadrantu.
Argument:
\( \varphi = 2\pi – \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = 2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \).
3) Goniometrický tvar:
\( z = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \).
20. Vypočítejte \( z = \left( 1 + i \right)^5 \) v algebraickém tvaru.
Řešení:
1) Přepište do goniometrického tvaru:
\( z = 1 + i \).
Modul:
\( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Argument:
\( \varphi = \arctan \frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \).
Tedy
\( z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \).
2) Použijeme Moivreovu větu pro mocninu:
\( z^5 = (\sqrt{2})^5 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = (2^{5/2}) \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \).
Protože \( 2^{5/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 4\sqrt{2} \).
3) Výpočet hodnot goniometrických funkcí:
\( \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
4) Algebraický tvar:
\( z^5 = 4\sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4\sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} + 4\sqrt{2} \cdot -i \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Po úpravě:
\( z^5 = 4 \cdot (-1) + 4 \cdot (-i) = -4 – 4i \).
