Kvantil

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, že kvantil náhodné veličiny \(X\) s distribuční funkcí \(F_X(x)\) pro pravděpodobnost \(p\) je definován jako hodnota \(q_p\), pro kterou platí:

\(F_X(q_p) = p\)

U exponenciálního rozdělení s parametrem \(\lambda\) je distribuční funkce:

\(F_X(x) = 1 – e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\)

Pro 0,75-kvantil tedy platí:

\(F_X(q_{0.75}) = 0.75 \Rightarrow 1 – e^{-2 q_{0.75}} = 0.75\)

Odvodíme \(q_{0.75}\):

\(e^{-2 q_{0.75}} = 1 – 0.75 = 0.25\)

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(-2 q_{0.75} = \ln 0.25\)

\(q_{0.75} = -\frac{1}{2} \ln 0.25\)

Poznámka: \(\ln 0.25 = \ln \frac{1}{4} = -\ln 4\)

Tedy:

\(q_{0.75} = -\frac{1}{2} (-\ln 4) = \frac{1}{2} \ln 4\)

\(\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2\), takže:

\(q_{0.75} = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 2 = \ln 2\)

Výsledkem je:

\(q_{0.75} = \ln 2 \approx 0.6931\)

Řešení příkladu:

Medián normálního rozdělení je shodný s jeho střední hodnotou \(\mu\), tedy:

\(q_{0.5} = \mu = 5\)

Pro nalezení 0,9-kvantilu použijeme standardizaci:

\(Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)

Hledáme \(q_{0.9}\) takové, že \(P(X \leq q_{0.9}) = 0.9\), tedy:

\(P\left(Z \leq \frac{q_{0.9} – 5}{2}\right) = 0.9\)

Ze standardní normální tabulky najdeme kvantil \(z_{0.9}\), což je hodnota taková, že \(P(Z \leq z_{0.9})=0.9\). Tato hodnota je přibližně \(z_{0.9} = 1.2816\).

Tedy platí:

\(\frac{q_{0.9} – 5}{2} = 1.2816 \Rightarrow q_{0.9} = 5 + 2 \cdot 1.2816 = 5 + 2.5632 = 7.5632\)

Výsledky jsou:

Medián: \(q_{0.5} = 5\)

0,9-kvantil: \(q_{0.9} = 7.5632\)

Řešení příkladu:

Kvantil \(q_p\) je hodnota, kde:

\(F_X(q_p) = p\)

Dosadíme do rovnice:

\(\frac{q_p^3}{27} = 0.2\)

Vynásobíme rovnost \(27\):

\(q_p^3 = 27 \cdot 0.2 = 5.4\)

Vypočítáme třetí odmocninu:

\(q_p = \sqrt[3]{5.4}\)

Numericky:

\(q_p \approx 1.76\)

Řešení příkladu:

Nejprve určíme distribuční funkci \(F_Y(y)\) jako integrál hustoty:

\(F_Y(y) = \int_0^y 3t^2 dt = [t^3]_0^y = y^3\)

Pro kvantil \(q_{0.6}\) platí:

\(F_Y(q_{0.6}) = 0.6 \Rightarrow q_{0.6}^3 = 0.6\)

Odmocníme třetí mocninu:

\(q_{0.6} = \sqrt[3]{0.6} \approx 0.8434\)

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Laplaceova rozdělení s \(\mu=0\), \(b=1\) je:

\(F_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{x}, & x \leq 0 \\[6pt] 1 – \frac{1}{2} e^{-x}, & x > 0 \end{cases}\)

Medián je hodnota \(m\), kde \(F_X(m) = 0.5\).

Zkontrolujeme \(x=0\):

\(F_X(0) = \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Tedy medián je právě \(m=0\).

Řešení příkladu:

U rovnoměrného rozdělení \(U(a,b)\) je distribuční funkce:

\(F_Z(z) = \frac{z – a}{b – a}\) pro \(a \leq z \leq b\)

Pro 0,3-kvantil \(q_{0.3}\):

\(\frac{q_{0.3} – 2}{5 – 2} = 0.3 \Rightarrow q_{0.3} – 2 = 0.9 \Rightarrow q_{0.3} = 2.9\)

Pro 0,8-kvantil \(q_{0.8}\):

\(\frac{q_{0.8} – 2}{3} = 0.8 \Rightarrow q_{0.8} – 2 = 2.4 \Rightarrow q_{0.8} = 4.4\)

Řešení příkladu:

Definice kvantilu \(q_p\):

\(F_W(q_p) = p\)

Dosadíme:

\(1 – \frac{1}{q_p^2} = 0.95\)

Upravíme:

\(\frac{1}{q_p^2} = 1 – 0.95 = 0.05\)

Odtud:

\(q_p^2 = \frac{1}{0.05} = 20\)

\(q_p = \sqrt{20} \approx 4.4721\)

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme distribuční funkci \(F_V(v)\):

\(F_V(v) = \int_0^v \frac{1}{4} t dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{v^2}{2} = \frac{v^2}{8}\)

Pro 0,4-kvantil \(q_{0.4}\) platí:

\(\frac{q_{0.4}^2}{8} = 0.4 \Rightarrow q_{0.4}^2 = 3.2 \Rightarrow q_{0.4} = \sqrt{3.2} \approx 1.7889\)

Řešení příkladu:

Podle zadání:

\(F_T(t) = \frac{t}{10}\)

Medián je hodnota \(q_{0.5}\), kde:

\(\frac{q_{0.5}}{10} = 0.5 \Rightarrow q_{0.5} = 5\)

0,7-kvantil \(q_{0.7}\):

\(\frac{q_{0.7}}{10} = 0.7 \Rightarrow q_{0.7} = 7\)

Řešení příkladu:

Podle definice kvantilu platí:

\(F_S(q_{0.85}) = 0.85\)

Dosadíme do distribuční funkce:

\(\frac{q_{0.85}^2}{16} = 0.85 \Rightarrow q_{0.85}^2 = 16 \cdot 0.85 = 13.6\)

Odmocníme:

\(q_{0.85} = \sqrt{13.6} \approx 3.6878\)

Řešení příkladu:

Exponenciální rozdělení má distribuční funkci \(F_X(x) = 1 – e^{-\lambda x}\) pro \(x \geq 0\).

Kvantil \(q_p\) je definován jako hodnota splňující rovnost \(F_X(q_p) = p\), tedy:

\(1 – e^{-\lambda q_p} = p \Rightarrow e^{-\lambda q_p} = 1 – p\).

Odtud vyjádříme \(q_p\):

\(q_p = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 – p)\).

Dosadíme \(p = 0,75\) a \(\lambda = 2\):

\(q_{0,75} = -\frac{1}{2} \ln(1 – 0,75) = -\frac{1}{2} \ln(0,25)\).

Vypočítáme logaritmus:

\(\ln(0,25) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4) \approx -1,3863\).

Dosadíme zpět:

\(q_{0,75} = -\frac{1}{2} \times (-1,3863) = 0,69315\).

Ověření:

\(F_X(0,69315) = 1 – e^{-2 \times 0,69315} = 1 – e^{-1,3863} = 1 – 0,25 = 0,75\), což souhlasí s definicí kvantilu.

Řešení příkladu:

Medián je hodnota \(m\), pro kterou platí \(P(Y \leq m) = 0,5\).

Normální rozdělení je symetrické kolem \(\mu\). To znamená, že medián a střední hodnota jsou stejné, tedy \(m = \mu = 10\).

Formálně můžeme napsat distribuční funkci normálního rozdělení jako:

\(F_Y(y) = \Phi\left(\frac{y – \mu}{\sigma}\right)\), kde \(\Phi\) je distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Pro medián platí:

\(\Phi\left(\frac{m – \mu}{\sigma}\right) = 0,5 \Rightarrow \frac{m – \mu}{\sigma} = 0\) (protože \(\Phi(0) = 0,5\)).

Odtud \(m = \mu = 10\).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme distribuční funkci \(F_Z(x)\) integrováním hustoty:

\(F_Z(x) = \int_0^x 3t^2 dt = [t^3]_0^x = x^3\), pro \(x \in [0,1]\).

Kvantil \(q_p\) je hodnota, pro kterou platí \(F_Z(q_p) = p\).

Pro \(p = 0,9\) tedy:

\(q_{0,9}^3 = 0,9 \Rightarrow q_{0,9} = \sqrt[3]{0,9} \approx 0,9655\).

Tento kvantil určuje hodnotu, pod kterou leží \(90 %\) hodnot veličiny \(Z\).

Řešení příkladu:

Pro diskrétní náhodnou veličinu hledáme medián jako nejmenší hodnotu \(m\), pro kterou platí \(P(X \leq m) \geq 0,5\).

Sečteme kumulativní pravděpodobnosti:

\(P(X \leq 1) = 0,1\)

\(P(X \leq 2) = 0,1 + 0,2 = 0,3\)

\(P(X \leq 3) = 0,3 + 0,4 = 0,7\)

\(P(X \leq 4) = 1\)

První hodnota, kde kumulativní pravděpodobnost je alespoň 0,5 je \(3\).

Takže medián je \(3\).

Řešení příkladu:

Kvantil \(q_p\) je definován vztahem \(F_W(q_p) = p\).

Dosadíme do distribuční funkce:

\(1 – e^{-(q_p / \lambda)^k} = p \Rightarrow e^{-(q_p / \lambda)^k} = 1 – p\).

Odtud:

\(-(q_p / \lambda)^k = \ln(1 – p) \Rightarrow (q_p / \lambda)^k = -\ln(1 – p)\).

Vyjádříme \(q_p\):

\(q_p = \lambda \left(-\ln(1 – p)\right)^{\frac{1}{k}}\).

Dosadíme \(p=0,1\), \(\lambda=1,5\), \(k=3\):

\(q_{0,1} = 1,5 \left(-\ln(0,9)\right)^{\frac{1}{3}}\).

Vypočteme \(\ln(0,9) \approx -0,10536\), tedy:

\(-\ln(0,9) = 0,10536\).

Vypočteme třetí odmocninu:

\(0,10536^{1/3} \approx 0,472\).

Takže:

\(q_{0,1} \approx 1,5 \times 0,472 = 0,708\).

Řešení příkladu:

Podmínka pro kvantil:

\(F_V(q_{0,6}) = 0,6\).

Dosadíme definici distribuční funkce:

\(\frac{q_{0,6}^2}{16} = 0,6 \Rightarrow q_{0,6}^2 = 9,6\).

Vypočteme \(q_{0,6}\):

\(q_{0,6} = \sqrt{9,6} \approx 3,098\).

Protože \(v\) je v intervalu \([0,4]\), tato hodnota je platná.

Řešení příkladu:

Funkce hustoty je hustotou Laplaceova rozdělení se střední hodnotou \(0\) a parametrem \(\beta=2\).

Distribuční funkce je:

\(F_T(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} & t < 0 \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} & t \geq 0 \end{cases}\).

Medián \(m\) je hodnota, kde \(F_T(m) = 0,5\).

Protože distribuce je symetrická kolem 0, platí \(m=0\).

Formálně ověříme:

\(F_T(0) = 1 – \frac{1}{2} e^0 = 1 – \frac{1}{2} = 0,5\).

Takže medián je \(0\).

Řešení příkladu:

Podmínka pro kvantil:

\(F_S(q_{0,25}) = 0,25\).

Dosadíme do distribuční funkce:

\(\frac{\ln(q_{0,25} + 1)}{\ln(11)} = 0,25 \Rightarrow \ln(q_{0,25} + 1) = 0,25 \ln(11)\).

Exponentujeme:

\(q_{0,25} + 1 = e^{0,25 \ln(11)} = 11^{0,25} = \sqrt[4]{11} \approx 1,8612\).

Odečteme 1:

\(q_{0,25} = 1,8612 – 1 = 0,8612\).

Řešení příkladu:

Pro rovnoměrné rozdělení na intervalu \([a, b]\) platí distribuční funkce \(F_U(u) = \frac{u – a}{b – a}\) pro \(u \in [a, b]\).

Chceme najít \(q_{0,95}\) tak, aby:

\(F_U(q_{0,95}) = 0,95 \Rightarrow \frac{q_{0,95} – (-2)}{6 – (-2)} = 0,95\).

Interval má délku \(8\), tedy:

\(\frac{q_{0,95} + 2}{8} = 0,95 \Rightarrow q_{0,95} + 2 = 7,6 \Rightarrow q_{0,95} = 5,6\).

Řešení příkladu:

Rovnomerné rozdelenie na intervale [a, b] má distribuční funkciu \(F(x) = \frac{x – a}{b – a}\) pre \(a \leq x \leq b\).

Hľadáme \(q_{0,75}\), teda hodnotu \(x\), pre ktorú platí \(F(x) = 0,75\).

Dosadíme:

\(\frac{x – 3}{15 – 3} = 0,75\)

\(x – 3 = 0,75 \cdot 12 = 9\)

\(x = 12\)

Takže 0,75-kvantil je 12.

Řešení příkladu:

Distribučná funkcia exponenciálneho rozdelenia je \(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\) pre \(x \geq 0\).

Hľadáme \(q_{0,1}\) také, že \(F(q_{0,1}) = 0,1\).

Dosadíme a upravíme:

\(1 – e^{-3 q_{0,1}} = 0,1 \Rightarrow e^{-3 q_{0,1}} = 0,9\)

Vezmeme prirodzený logaritmus:

\(-3 q_{0,1} = \ln 0,9 \Rightarrow q_{0,1} = -\frac{\ln 0,9}{3}\)

Počítame:

\(\ln 0,9 \approx -0,105360516\)

Takže

\(q_{0,1} = -\frac{-0,105360516}{3} \approx 0,03512\)

0,1-kvantil je približne 0,0351.

Řešení příkladu:

Normálne rozdelenie s priemerom \(\mu=5\) a rozptylom \(\sigma^2=4\) má smerodajnú odchýlku \(\sigma=2\).

Kvantil \(q_{0,95}\) je definovaný ako hodnota \(x\), pre ktorú platí \(P(X \leq x) = 0,95\).

Pre štandardné normálne rozdelenie je kvantil 0,95 približne 1,645.

Pre normálne rozdelenie platí:

\(q_{0,95} = \mu + z_{0,95} \cdot \sigma = 5 + 1,645 \cdot 2 = 5 + 3,29 = 8,29\)

Takže \(0,95\)-kvantil je približne \(8,29\).

Řešení příkladu:

Najprv si vypočítame distribuční funkciu:

\(F(x) = \int_0^x 3t^2 dt = [t^3]_0^x = x^3\)

Hľadáme \(q_{0,5}\), pre ktorý platí \(F(q_{0,5}) = 0,5\).

Dosadíme:

\(q_{0,5}^3 = 0,5 \Rightarrow q_{0,5} = \sqrt[3]{0,5}\)

Počítame:

\(\sqrt[3]{0,5} \approx 0,7937\)

Medián je teda približne \(0,7937\).

Řešení příkladu:

Distribučná funkcia Cauchyho rozdelenia je \(F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x\).

Hľadáme \(q_{0,2}\), pre ktorý platí:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan q_{0,2} = 0,2\)

Upravíme:

\(\frac{1}{\pi} \arctan q_{0,2} = 0,2 – 0,5 = -0,3\)

\(\arctan q_{0,2} = -0,3 \pi\)

Preto

\(q_{0,2} = \tan(-0,3 \pi) = \tan(-0,9424778) \approx -1,37638\)

\(0,2\)-kvantil je približne \(-1,376\).

Řešení příkladu:

Gamma rozdelenie s parametrami \(\alpha\) (tvar) a \(\beta\) (mierka) má hustotu \(f(x) = \frac{x^{\alpha – 1} e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}\) pre \(x > 0\).

Kvantil 0,95 je hodnota \(q_{0,95}\), pre ktorú platí \(P(X \leq q_{0,95}) = 0,95\).

Presné vyjadrenie kvantilu sa vypočíta pomocou inverznej neúplnej gama funkcie.

V praxi sa kvantil vypočíta numericky, napríklad pomocou štatistických softvérov.

Približná hodnota \(q_{0,95}\) pre Gamma(3, 2) je asi 12,8.

Výpočet:

Hľadáme \(q\) také, že \(F(q;3,2) = 0,95\), kde \(F\) je distribuční funkce Gamma.

Pomocou tabuľky alebo softvéru: \(q_{0,95} \approx 12,83\).

Řešení příkladu:

Binomické rozdelenie má pravdepodobnosť:\p>

\(P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\), kde \(k=0,1,…,n\).

Kvantil 0,8 je najmenšie \(k\), pre ktoré platí \(P(X \leq k) \geq 0,8\).

Vypočítame kumulatívne pravdepodobnosti:

\(P(X \leq 2) = P(0)+P(1)+P(2)\)

\(P(0) = (1-0,3)^{10} = 0,0282475\)

\(P(1) = 10 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^9 = 0,1210608\)

\(P(2) = 45 \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^8 = 0,2334744\)

Súčet \(P(X \leq 2) = 0,0282475 + 0,1210608 + 0,2334744 = 0,3827827\)

\(P(X \leq 3)\) pridá ďalšie:

\(P(3) = 120 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^7 = 0,2668279\)

Súčet \(P(X \leq 3) = 0,3827827 + 0,2668279 = 0,6496106\)

\(P(X \leq 4)\) pridá:

\(P(4) = 210 \cdot (0,3)^4 \cdot (0,7)^6 = 0,2001209\)

Súčet \(P(X \leq 4) = 0,6496106 + 0,2001209 = 0,8497315\)

Keďže \(0,8497 > 0,8\), kvantil je \(k = 4\).

Řešení příkladu:

Pre štandardné normálne rozdelenie je kvantil 0,1 približne -1,28155.

Hľadáme hodnotu \(z\), pre ktorú \(P(Z \leq z) = 0,1\).

Pomocou tabuliek alebo softvéru vieme, že \(z \approx -1,28155\).

To znamená, že \(10 %\) hodnot rozdelenia je pod touto hodnotou.

Řešení příkladu:

Distribučná funkcia Weibull rozdelenia je:

\(F(x) = 1 – e^{-(x/\lambda)^k}\) pre \(x \geq 0\).

Pre kvantil \(q_p\) platí:

\(F(q_p) = p \Rightarrow 1 – e^{-(q_p/1)^2} = p \Rightarrow e^{-q_p^2} = 1-p\)

Vezmeme prirodzený logaritmus:

\(-q_p^2 = \ln(1-p) \Rightarrow q_p = \sqrt{-\ln(1-p)}\)

Pre \(p=0,5\) dostávame:

\(q_{0,5} = \sqrt{-\ln(0,5)}\)

\(\ln(0,5) \approx -0,693147\)

Takže

\(q_{0,5} = \sqrt{0,693147} \approx 0,83255\)

Řešení příkladu:

Distribučná funkcia je:

\(F(x) = \int_0^x 2t dt = [t^2]_0^x = x^2\)

Hľadáme \(q_{0,3}\), pre ktorý platí:

\(q_{0,3}^2 = 0,3 \Rightarrow q_{0,3} = \sqrt{0,3} \approx 0,5477\)

Řešení příkladu:

Exponenciální rozdělení má distribuční funkci

\(F_X(x) = 1 – e^{-\lambda x}\), pro \(x \geq 0\).

Kvantil \(q_p\) je definován rovnicí \(F_X(q_p) = p\).

Dosadíme \(p = 0{,}95\):

\(1 – e^{-\lambda q_{0{,}95}} = 0{,}95\)

\(e^{-\lambda q_{0{,}95}} = 0{,}05\)

\(-\lambda q_{0{,}95} = \ln(0{,}05)\)

\(q_{0{,}95} = -\frac{\ln(0{,}05)}{\lambda}\)

Dosadíme \(\lambda = 1{,}5\):

\(q_{0{,}95} = -\frac{\ln(0{,}05)}{1{,}5}\)

Protože \(\ln(0{,}05) \approx -2{,}9957\), platí

\(q_{0{,}95} = -\frac{-2{,}9957}{1{,}5} = 1{,}9971\).

Tedy \(0,95\)-kvantil exponenciálního rozdělení s \(\lambda = 1{,}5\) je přibližně \(1{,}9971\).

Řešení příkladu:

Exponenciální rozdělení má distribuční funkci

\(F_X(x) = 1 – e^{-\lambda x}\), pro \(x \geq 0\).

Kvantil \(q_p\) je definován rovnicí \(F_X(q_p) = p\).

Dosadíme \(p = 0{,}95\):

\(1 – e^{-\lambda q_{0{,}95}} = 0{,}95\)

\(e^{-\lambda q_{0{,}95}} = 0{,}05\)

\(-\lambda q_{0{,}95} = \ln(0{,}05)\)

\(q_{0{,}95} = -\frac{\ln(0{,}05)}{\lambda}\)

Dosadíme \(\lambda = 1{,}5\):

\(q_{0{,}95} = -\frac{\ln(0{,}05)}{1{,}5}\)

Protože \(\ln(0{,}05) \approx -2{,}9957\), platí

\(q_{0{,}95} = -\frac{-2{,}9957}{1{,}5} = 1{,}9971\).

Tedy \(0,95\)-kvantil exponenciálního rozdělení s \(\lambda = 1{,}5\) je přibližně \(1{,}9971\).

Řešení příkladu:

Kvantil normálního rozdělení je dán vztahem

\(q_p = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p)\), kde \(\Phi^{-1}(p)\) je inverzní distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Hledáme \(q_{0{,}1}\), tedy \(p = 0{,}1\).

Hodnota \(\Phi^{-1}(0{,}1) \approx -1{,}2816\).

Dosadíme:

\(q_{0{,}1} = 5 + 2 \cdot (-1{,}2816) = 5 – 2{,}5632 = 2{,}4368\).

Tedy \(10 %\) kvantil normálního rozdělení je přibližně \(2,4368\).

Řešení příkladu:

Ověříme platnost hustoty:

\(\int_0^3 \frac{2}{9} x \, dx = \frac{2}{9} \cdot \frac{3^2}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = 1\).

Distribuční funkce je

\(F_Z(x) = \int_0^x \frac{2}{9} t \, dt = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{9}\), pro \(x \in [0,3]\).

Hledáme \(q_{0{,}75}\), tedy hodnotu \(x\), kde \(F_Z(x) = 0{,}75\):

\(\frac{q_{0{,}75}^2}{9} = 0{,}75 \Rightarrow q_{0{,}75}^2 = 6{,}75\).

Odtud

\(q_{0{,}75} = \sqrt{6{,}75} \approx 2{,}5981\).

Tedy \(75 %\) kvantil je přibližně \(2,5981\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Weibullova rozdělení je

\(F_W(x) = 1 – e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\), pro \(x \geq 0\).

Dosadíme \(\lambda = 2\), \(k=2\):

\(F_W(x) = 1 – e^{-(\frac{x}{2})^2} = 1 – e^{-\frac{x^2}{4}}\).

Hledáme \(q_{0{,}6}\), kde \(F_W(q_{0{,}6}) = 0{,}6\):

\(1 – e^{-\frac{q_{0{,}6}^2}{4}} = 0{,}6 \Rightarrow e^{-\frac{q_{0{,}6}^2}{4}} = 0{,}4\).

Logaritmováním dostaneme:

\(-\frac{q_{0{,}6}^2}{4} = \ln(0{,}4) \Rightarrow q_{0{,}6}^2 = -4 \ln(0{,}4)\).

Vypočteme \(\ln(0{,}4) \approx -0{,}9163\), takže

\(q_{0{,}6}^2 = -4 \cdot (-0{,}9163) = 3{,}6652\).

Odtud

\(q_{0{,}6} = \sqrt{3{,}6652} \approx 1{,}9145\).

Tedy \(60 %\) kvantil Weibullova rozdělení je přibližně \(1,9145\).

Řešení příkladu:

Poissonovo rozdělení má distribuční funkci

\(F_V(k) = P(V \leq k) = \sum_{i=0}^k \frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!}\).

Hledáme nejmenší \(k\), pro které

\(F_V(k) \geq 0{,}85\).

Pro \(\lambda=3\) spočítáme kumulativní pravděpodobnosti:

\(F_V(4) = \sum_{i=0}^4 \frac{e^{-3} 3^i}{i!} \approx 0{,}8153\)

\(F_V(5) = F_V(4) + \frac{e^{-3} 3^5}{5!} \approx 0{,}9161\)

Protože \(F_V(4) < 0{,}85\) a \(F_V(5) \geq 0{,}85\), hledaný kvantil je \(q_{0{,}85} = 5\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení na intervalu \([a,b]\) je

\(F_X(x) = \frac{x – a}{b – a}\), pro \(x \in [a,b]\).

Dosadíme \(a=2\), \(b=8\), hledáme \(q_{0{,}3}\) tak, že

\(\frac{q_{0{,}3} – 2}{8 – 2} = 0{,}3 \Rightarrow q_{0{,}3} – 2 = 6 \cdot 0{,}3 = 1{,}8\).

Odtud

\(q_{0{,}3} = 3{,}8\).

Tedy \(30 %\) kvantil rovnoměrného rozdělení na intervalu \([2,8]\) je \(3,8\).

Řešení příkladu:

Gamma rozdělení s parametry \(\alpha\) (tvar) a \(\beta\) (měřítko) má distribuční funkci definovanou pomocí neúplné gamma funkce, kvantil nelze jednoduše vyjádřit analyticky.

Pro přibližný výpočet kvantilu lze využít software nebo tabulky.

Průměr je \(\mu = \alpha \beta = 6\), rozptyl \(\sigma^2 = \alpha \beta^2 = 12\).

Pro \(\alpha=3\), \(\beta=2\) a \(p=0{,}9\) je přibližný kvantil \(q_{0{,}9} \approx 10{,}645\) (hodnota získaná z tabulek nebo pomocí numerických metod).

Detailní výpočet přes neúplnou gamma funkci přesahuje rozsah tohoto příkladu.

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Cauchyova rozdělení je

\(F_Y(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(x) + \frac{1}{2}\).

Medián je hodnota \(q_{0{,}5}\), kde \(F_Y(q_{0{,}5}) = 0{,}5\).

Dosadíme do rovnice:

\(\frac{1}{\pi} \arctan(q_{0{,}5}) + \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Odečteme \(\frac{1}{2}\) na obou stranách:

\(\frac{1}{\pi} \arctan(q_{0{,}5}) = 0\).

Protože \(\arctan(q_{0{,}5}) = 0\), platí

\(q_{0{,}5} = 0\).

Tedy medián Cauchyova rozdělení je \(0\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce binomického rozdělení je

\(F_X(k) = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\).

Hledáme nejmenší \(k\), pro které platí \(F_X(k) \geq 0{,}7\).

Pro \(n=10\), \(p=0{,}3\) spočítáme kumulativní pravděpodobnosti:

\(F_X(4) \approx 0{,}8497\)

\(F_X(3) \approx 0{,}6490\)

Protože \(F_X(3) < 0{,}7\) a \(F_X(4) \geq 0{,}7\), kvantil je \(q_{0{,}7} = 4\).

Řešení příkladu:

Kvantil \(q_p\) Studentova t-rozdělení s \(df = 5\) stupni volnosti odpovídá hodnotě, pro kterou platí

\(P(T \leq q_p) = p\).

Pro \(p=0{,}975\) a \(df=5\) z tabulek nebo pomocí statistického softwaru najdeme

\(q_{0{,}975} \approx 2{,}571\).

Tedy \(97,5 %\) kvantil Studentova t-rozdělení s \(5\) stupni volnosti je přibližně \(2,571\).

Řešení příkladu:

Exponenciální rozdělení s parametrem \(\lambda\) má distribuční funkci

\(F_X(x) = 1 – e^{-\lambda x}\) pro \(x \geq 0\).

Kvantil \(q_p\) je řešení rovnice \(F_X(q_p) = p\), tedy

\(1 – e^{-\lambda q_p} = p \Rightarrow e^{-\lambda q_p} = 1 – p\).

Odtud

\(-\lambda q_p = \ln(1 – p) \Rightarrow q_p = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 – p)\).

Dosadíme \(\lambda = 0{,}5\) a \(p = 0{,}75\):

\(q_{0,75} = -\frac{1}{0{,}5} \ln(1 – 0{,}75) = -2 \ln(0{,}25)\).

Protože \(\ln(0{,}25) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln(4)\), platí

\(q_{0,75} = -2 \times (-\ln(4)) = 2 \ln(4)\).

Hodnota \(\ln(4) \approx 1{,}386294\), tedy

\(q_{0,75} \approx 2 \times 1{,}386294 = 2{,}772588\).

Výsledkem je \(0,75\)-kvantil přibližně \(2,773\).

Řešení příkladu:

Normální rozdělení má distribuční funkci označme \(F_Y(y)\).

Pro dané parametry je standardní odchylka \(\sigma = 2\).

Kvantil \(q_p\) splňuje \(P(Y \leq q_p) = p\), tedy \(F_Y(q_p) = p\).

Standardizujeme pomocí náhodné veličiny \(Z = \frac{Y – \mu}{\sigma}\), která má normální rozdělení standardní.

Pak platí

\(P(Y \leq q_p) = P\left(Z \leq \frac{q_p – \mu}{\sigma}\right) = p\).

Odtud

\(\frac{q_p – \mu}{\sigma} = z_p\), kde \(z_p\) je kvantil standardního normálního rozdělení odpovídající pravděpodobnosti \(p\).

Pro \(p = 0{,}9\) je hodnota \(z_{0,9} \approx 1{,}28155\).

Dosadíme a vyjádříme \(q_p\):

\(q_{0,9} = \mu + \sigma z_{0,9} = 10 + 2 \times 1{,}28155 = 10 + 2{,}5631 = 12{,}5631\).

Výsledkem je \(0,9\)-kvantil přibližně \(12,563\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce náhodné veličiny \(Z \sim U(a, b)\) je

\(F_Z(z) = 0\) pro \(z < a\),

\(F_Z(z) = \frac{z – a}{b – a}\) pro \(a \leq z \leq b\),

\(F_Z(z) = 1\) pro \(z > b\).

Kvantil \(q_p\) je řešení rovnice \(F_Z(q_p) = p\), tedy

\(\frac{q_p – a}{b – a} = p \Rightarrow q_p = a + p(b – a)\).

Dosadíme \(a = 3\), \(b = 7\), \(p = 0{,}4\):

\(q_{0,4} = 3 + 0{,}4 \times (7 – 3) = 3 + 0{,}4 \times 4 = 3 + 1{,}6 = 4{,}6\).

Výsledkem je \(0,4\)-kvantil \(4,6\).

Řešení příkladu:

Gamma rozdělení s parametry \(\alpha\) (tvar) a \(\beta\) (měřítko) má střední hodnotu

\(E[W] = \alpha \beta = 3 \times 2 = 6\)

a rozptyl

\(\mathrm{Var}(W) = \alpha \beta^2 = 3 \times 4 = 12\).

Pro velké \(\alpha\) lze gamma rozdělení aproximovat normálním rozdělením \(N(\mu, \sigma^2)\), kde \(\mu = E[W]\) a \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(W)\).

Hledáme 0,95-kvantil, tedy \(q_{0,95}\), který pro normální rozdělení platí

\(q_{0,95} = \mu + \sigma z_{0,95}\), kde \(z_{0,95} \approx 1{,}64485\).

Spočítáme směrodatnou odchylku:

\(\sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}4641\).

Dosadíme do vzorce:

\(q_{0,95} \approx 6 + 3{,}4641 \times 1{,}64485 = 6 + 5{,}698 = 11{,}698\).

Aproximovaný \(0,95\)-kvantil gamma rozdělení je tedy přibližně \(11,698\).

Řešení příkladu:

Binomické rozdělení s parametry \(n\) a \(p\) má střední hodnotu

\(E[V] = np = 20 \times 0{,}3 = 6\)

a rozptyl

\(\mathrm{Var}(V) = np(1-p) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2\).

Pro dostatečně velké \(n\) lze binomické rozdělení aproximovat normálním rozdělením \(N(\mu, \sigma^2)\) s

\(\mu = 6\), \(\sigma = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}049\).

Medián odpovídá 0,5-kvantilu, tedy kvantilu s pravděpodobností \(p=0{,}5\).

Kvantil normálního rozdělení pro \(p=0{,}5\) je \(z_{0,5} = 0\).

Proto

\(q_{0,5} = \mu + \sigma \times 0 = 6\).

Medián binomického rozdělení je tedy přibližně \(6\).

Řešení příkladu:

t-rozdělení s \(k\) stupni volnosti má kvantil \(q_p\) takový, že

\(P(T \leq q_p) = p\).

Pro \(k=10\) a \(p=0{,}975\) hledáme hodnotu \(q_{0,975}\).

Tuto hodnotu lze najít v tabulkách t-rozdělení nebo pomocí statistických programů.

Hodnota \(q_{0,975}\) pro \(k=10\) je přibližně 2,228.

Tedy \(0,975\)-kvantil t-rozdělení s \(10\) stupni volnosti je přibližně \(2,228\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce logistického rozdělení je

\(F_X(x) = \frac{1}{1 + e^{-\frac{x – \mu}{s}}}\).

Kvantil \(q_p\) splňuje

\(F_X(q_p) = p \Rightarrow \frac{1}{1 + e^{-\frac{q_p – \mu}{s}}} = p\).

Z toho

\(1 + e^{-\frac{q_p – \mu}{s}} = \frac{1}{p} \Rightarrow e^{-\frac{q_p – \mu}{s}} = \frac{1}{p} – 1\).

Logaritmováním dostaneme

\(-\frac{q_p – \mu}{s} = \ln\left(\frac{1}{p} – 1\right) \Rightarrow q_p = \mu – s \ln\left(\frac{1}{p} – 1\right).\)

Dosadíme \(\mu = 0\), \(s = 1\), \(p = 0{,}1\):

\(q_{0,1} = – \ln\left(\frac{1}{0{,}1} – 1\right) = – \ln(10 – 1) = – \ln(9).\)

Hodnota \(\ln(9) \approx 2{,}1972\), tedy

\(q_{0,1} \approx -2{,}1972\).

Výsledkem je \(0,1\)-kvantil přibližně \(-2,197\).

Řešení příkladu:

Beta rozdělení s parametry \(\alpha\), \(\beta\) má distribuční funkci \(F_Y(y)\) složenou z tzv. neúplného beta integrálu.

Kvantil \(q_p\) splňuje \(F_Y(q_p) = p\).

Explicitní vzorec pro \(q_p\) neexistuje, proto je potřeba použít numerickou metodu (např. Newtonovu metodu nebo binární hledání).

Postup pomocí binárního hledání:

1. Zvolíme počáteční interval \([0,1]\), protože beta rozdělení je na tomto intervalu.
2. Vypočítáme střed intervalu \(m = \frac{a + b}{2}\) a hodnotu distribuční funkce \(F_Y(m)\).
3. Pokud \(F_Y(m) < p\), nastavíme \(a = m\), jinak \(b = m\).
4. Opakujeme krok 2 a 3, dokud není rozdíl mezi \(a\) a \(b\) menší než požadovaná přesnost.

Pro \(p=0{,}6\) numerická metoda dává přibližnou hodnotu \(q_{0,6} \approx 0{,}319\).

Takto získáme \(0,6\)-kvantil beta rozdělení s parametry \(\alpha=2\), \(\beta=5\).

Řešení příkladu:

1. Exponenciální rozdělení má hustotu pravděpodobnosti \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) pro \( x \geq 0 \) a parametr \(\lambda = 3\).

2. Kumulativní distribuční funkce je \( F(x) = 1 – e^{-\lambda x} \) pro \( x \geq 0 \).

3. Medián je hodnota \(m\), pro kterou platí \( F(m) = 0{,}5 \).

4. Dosadíme do rovnice: \( 1 – e^{-3m} = 0{,}5 \Rightarrow e^{-3m} = 0{,}5 \).

5. Použijeme logaritmus: \( -3m = \ln(0{,}5) \Rightarrow m = -\frac{\ln(0{,}5)}{3} \).

6. Vypočteme: \(\ln(0{,}5) = -0{,}693147\), tedy \( m = \frac{0{,}693147}{3} = 0{,}23105 \).

Výsledek: Medián exponenciálního rozdělení je přibližně \(0{,}231\).

Řešení příkladu:

1. 90% kvantil normálního rozdělení je hodnota \(q\), pro kterou platí \(P(Y \leq q) = 0{,}9\).

2. Standardizujeme: \( Z = \frac{Y – \mu}{\sigma} \Rightarrow P(Z \leq z) = 0{,}9 \), kde \( z = \frac{q – 10}{2} \).

3. Z tabulek normálního rozdělení zjistíme, že \( z_{0{,}9} \approx 1{,}28155 \).

4. Vyjádříme kvantil: \( q = \mu + z \sigma = 10 + 1{,}28155 \times 2 = 10 + 2{,}5631 = 12{,}5631 \).

Výsledek: \(90 %\) kvantil je přibližně \(12{,}56\).

Řešení příkladu:

1. Rovnoměrné rozdělení na intervalu \([a, b]\) má CDF \( F(x) = \frac{x – a}{b – a} \) pro \( a \leq x \leq b \).

2. Hledáme hodnotu \( q \), pro kterou platí \( F(q) = 0{,}75 \).

3. Dosadíme: \( \frac{q – 3}{7 – 3} = 0{,}75 \Rightarrow \frac{q – 3}{4} = 0{,}75 \).

4. Vyjádříme \( q \): \( q – 3 = 4 \times 0{,}75 = 3 \Rightarrow q = 6 \).

Výsledek: Kvantil s pravděpodobností \(0,75\) je \(6\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve určíme distribuční funkci \(F(x)\):

\( F(x) = \int_0^x \frac{2t}{9} dt = \frac{2}{9} \int_0^x t dt = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{9} \).

2. Hledáme \(q\), pro které platí \( F(q) = 0{,}6 \Rightarrow \frac{q^2}{9} = 0{,}6 \).

3. Vyjádříme \(q\): \( q^2 = 9 \times 0{,}6 = 5{,}4 \Rightarrow q = \sqrt{5{,}4} \approx 2{,}32379 \).

Výsledek: Kvantil s pravděpodobností \(0,6\) je přibližně \(2{,}324\).

Řešení příkladu:

1. Gamma rozdělení s parametry \(\alpha = 2\) a \(\beta = 1\) má distribuční funkci, kterou lze vyjádřit pomocí nedokončené gamma funkce, nebo tabulek/gama kvantilů.

2. Hledáme hodnotu \(q\), pro kterou platí \( P(T \leq q) = 0{,}8 \).

3. Protože explicitní vzorec pro kvantil gamma rozdělení není jednoduchý, použijeme tabulky nebo software. Hodnota kvantilu pro \(\alpha=2, \beta=1\) a pravděpodobnost 0,8 je přibližně \(q = 3{,}2189\).

Výsledek: \(80 %\) kvantil gamma rozdělení je přibližně \(3{,}22\).

Řešení příkladu:

1. Kvantil pro Poissonovo rozdělení je nejmenší hodnota \(k\), pro kterou platí \( P(W \leq k) \geq 0{,}9 \).

2. Pro \(\lambda = 5\) použijeme tabulky Poissonova rozdělení nebo software, který spočítá kumulativní pravděpodobnosti:

\(P(W \leq 7) \approx 0{,}8666 < 0{,}9\)

\(P(W \leq 8) \approx 0{,}9329 \geq 0{,}9\)

3. Kvantil je tedy \(k = 8\).

Výsledek: \(90 %\) kvantil Poissonova rozdělení s parametrem \(5\) je \(8\).

Řešení příkladu:

1. Medián beta rozdělení není obecně vyjádřen jednoduchým vzorcem, je potřeba řešit rovnici \( F(m) = 0{,}5 \), kde \(F\) je distribuční funkce beta rozdělení.

2. Pro beta rozdělení s parametry \(\alpha = 3\), \(\beta = 2\) se distribuční funkce vyjadřuje pomocí neúplné beta funkce \(I_m(\alpha,\beta) = 0{,}5\).

3. Pomocí numerických metod (např. Newtonovy metody nebo software) nalezneme \( m \approx 0{,}569 \).

Výsledek: Medián beta rozdělení je přibližně \(0{,}569\).

Řešení příkladu:

1. CDF Cauchyova rozdělení je \( F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x – x_0}{\gamma}\right) + \frac{1}{2} \).

2. Pro \(x_0 = 0, \gamma = 1\) hledáme \(q\), kde \( F(q) = 0{,}25 \).

3. Dosadíme: \( \frac{1}{\pi} \arctan(q) + \frac{1}{2} = 0{,}25 \Rightarrow \arctan(q) = \pi (0{,}25 – 0{,}5) = -\frac{\pi}{4} \).

4. Vyjádříme \(q\): \( q = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \).

Výsledek: Kvantil s pravděpodobností \(0,25\) je \(-1\).

Řešení příkladu:

1. CDF logistického rozdělení je \( F(x) = \frac{1}{1 + e^{-\frac{x – \mu}{s}}} \).

2. Hledáme \(q\), kde \( F(q) = 0{,}95 \).

3. Dosadíme: \( \frac{1}{1 + e^{-\frac{q}{2}}} = 0{,}95 \Rightarrow 1 + e^{-\frac{q}{2}} = \frac{1}{0{,}95} \approx 1{,}0526 \).

4. Vyjádříme exponent: \( e^{-\frac{q}{2}} = 1{,}0526 – 1 = 0{,}0526 \).

5. Logaritmujeme: \( -\frac{q}{2} = \ln(0{,}0526) \Rightarrow q = -2 \ln(0{,}0526) \).

6. Vypočteme: \(\ln(0{,}0526) \approx -2{,}9444\), tedy \( q = -2 \times (-2{,}9444) = 5{,}8888 \).

Výsledek: \(95 %\) kvantil logistického rozdělení je přibližně \(5{,}889\).

Řešení příkladu:

1. CDF Pareto rozdělení je \( F(x) = 1 – \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} \) pro \( x \geq x_m \).

2. Hledáme \(q\), pro které platí \( F(q) = 0{,}1 \Rightarrow 1 – \left(\frac{1}{q}\right)^3 = 0{,}1 \).

3. Vyjádříme: \( \left(\frac{1}{q}\right)^3 = 0{,}9 \Rightarrow \frac{1}{q} = 0{,}9^{1/3} \).

4. Vypočteme: \( 0{,}9^{1/3} \approx 0{,}9655 \Rightarrow q = \frac{1}{0{,}9655} \approx 1{,}036 \).

Výsledek: Kvantil pro pravděpodobnost 0,1 je přibližně \(1{,}036\).

Řešení příkladu:

Máme exponenciální rozdělení s hustotou pravděpodobnosti \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) pro \(x \ge 0\) a parametr \(\lambda = 2\).

Kvantil \(q_p\) je definován jako hodnota, pro kterou platí \(P(X \leq q_p) = p\), kde \(p = 0,8\).

Pro exponenciální rozdělení platí distribuční funkce:

\(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\).

Vyjádříme \(q_p\) z rovnice:

\(p = 1 – e^{-\lambda q_p} \Rightarrow e^{-\lambda q_p} = 1 – p\).

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(-\lambda q_p = \ln(1 – p) \Rightarrow q_p = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 – p)\).

Dosadíme hodnoty:

\(q_{0,8} = -\frac{1}{2} \ln(1 – 0,8) = -\frac{1}{2} \ln(0,2)\).

Vypočítáme hodnotu:

\(\ln(0,2) \approx -1,6094\), tedy

\(q_{0,8} = -\frac{1}{2} \times (-1,6094) = 0,8047\).

Výsledkem je, že \(0,8\)-kvantil exponenciálního rozdělení s \(\lambda=2\) je přibližně \(0,8047\).

Řešení příkladu:

Normální rozdělení je symetrické kolem střední hodnoty \(\mu\), proto medián je roven \(\mu\).

Tedy medián je \(5\).

Formálně: kvantil \(q_{0,5}\) splňuje \(P(X \leq q_{0,5}) = 0,5\).

Pro normální rozdělení platí, že střední hodnota a medián se shodují:

\(q_{0,5} = \mu = 5\).

Výsledek: medián normálního rozdělení je \(5\).

Řešení příkladu:

Pro rovnoměrné rozdělení na intervalu \([a, b]\) platí, že distribuční funkce je \(F(x) = \frac{x – a}{b – a}\) pro \(a \leq x \leq b\).

Kvantil \(q_p\) je hodnota, pro kterou platí \(F(q_p) = p\).

Dosadíme:

\(p = \frac{q_p – a}{b – a} \Rightarrow q_p = a + p(b – a)\).

Pro dolní kvartil \(p = 0,25\), \(a = 2\), \(b = 10\):

\(q_{0,25} = 2 + 0,25 \times (10 – 2) = 2 + 0,25 \times 8 = 2 + 2 = 4\).

Výsledkem je, že dolní kvartil rozdělení \(\mathrm{Uniform}(2, 10)\) je \(4\).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme distribuční funkci:

\(F(x) = \int_0^x 3t^2 dt = [t^3]_0^x = x^3\) pro \(0 \leq x \leq 1\).

Kvantil \(q_p\) splňuje \(F(q_p) = p\), tedy

\(q_p^3 = p \Rightarrow q_p = \sqrt[3]{p}\).

Pro \(p = 0,9\):

\(q_{0,9} = \sqrt[3]{0,9} \approx 0,9655\).

Výsledkem je, že \(0,9\)-kvantil je přibližně \(0,9655\).

Řešení příkladu:

Pro geometrické rozdělení je distribuční funkce:

\(F(k) = 1 – (1-p)^k\) pro \(k = 1, 2, 3, \dots\)

Chceme najít nejmenší \(k\), pro které platí \(F(k) \geq 0,7\):

\(1 – (1-p)^k \geq 0,7 \Rightarrow (1-p)^k \leq 0,3\).

Dosadíme \(p=0,3\):

\(0,7^k \leq 0,3\).

Vezmeme logaritmus:

\(k \ln(0,7) \leq \ln(0,3) \Rightarrow k \geq \frac{\ln(0,3)}{\ln(0,7)}\).

Vypočítáme:

\(\ln(0,3) \approx -1,20397\), \(\ln(0,7) \approx -0,3567\), tedy

\(k \geq \frac{-1,20397}{-0,3567} \approx 3,375\).

Nejmenší celé \(k\) splňující podmínku je \(k=4\).

Výsledek: \(0,7\)-kvantil je \(4\).

Řešení příkladu:

Hledáme hodnotu \(q_{0,95}\) takovou, že \(P(X \leq q_{0,95}) = 0,95\) u standardního normálního rozdělení.

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení nebo statistického software zjistíme, že

\(q_{0,95} \approx 1,645\).

Tento kvantil označujeme jako \(95\). percentil standardního normálního rozdělení.

Řešení příkladu:

Medián \(m\) splňuje \(F(m) = 0,5\).

Dosadíme do distribuční funkce:

\(0,5 = 1 – e^{-(m/1)^3} \Rightarrow e^{-m^3} = 0,5\).

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(-m^3 = \ln(0,5) \Rightarrow m^3 = -\ln(0,5)\).

\(\ln(0,5) \approx -0,6931\), tedy

\(m^3 = 0,6931 \Rightarrow m = \sqrt[3]{0,6931} \approx 0,882\).

Medián Weibullova rozdělení je přibližně \(0,882\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce je:

\(F(x) = \int_0^x 2t dt = [t^2]_0^x = x^2\).

Hledáme \(q_{0,6}\) tak, že \(q_{0,6}^2 = 0,6\).

Odtud:

\(q_{0,6} = \sqrt{0,6} \approx 0,7746\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme distribuční funkci:

\(F(x) = \int_0^x \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \left[ \sqrt{t} \right]_0^x = \sqrt{x}\) pro \(x \in [0,4]\).

Hledáme \(q_{0,75}\), tedy

\(\sqrt{q_{0,75}} = 0,75 \Rightarrow q_{0,75} = 0,75^2 = 0,5625\).

Výsledek je \(0,5625\).

Řešení příkladu:

Binomické rozdělení udává pravděpodobnost počtu úspěchů v \(n\) nezávislých pokusech s pravděpodobností úspěchu \(p\).

Chceme najít nejmenší \(k\), pro které platí \(P(X \leq k) \geq 0,3\).

Vypočteme kumulativní pravděpodobnosti pro jednotlivé hodnoty \(k\):

\(P(X \leq 3) = \sum_{i=0}^3 P(X = i)\), kde

\(P(X=i) = C_n^i p^i (1-p)^{n-i}\).

Pro \(n=10\), \(p=0,5\) lze použít tabulky nebo software.

Tabulka dává:

\(P(X \leq 3) \approx 0,1719\),

\(P(X \leq 4) \approx 0,3769\).

Proto \(P(X \leq 3) < 0,3\), ale \(P(X \leq 4) > 0,3\),

tedy \(0,3\)-kvantil je \(k=4\).

Řešení příkladu:

Beta rozdělení s parametry \(\alpha\) a \(\beta\) má distribuční funkci vyjádřenou pomocí neúplného beta funkce. Kvantil \(q_p\) je řešení rovnice

\(F(q_p) = I_{q_p}(\alpha, \beta) = p\), kde \(I_x(\alpha, \beta)\) je regulární neúplná beta funkce.

Pro \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\) a \(p = 0,85\) musíme najít \(q_{0,85}\) tak, že \(I_{q_{0,85}}(2,5) = 0,85\).

Tato rovnice se běžně řeší numericky pomocí statistického software (např. funkce beta.ppf v Pythonu nebo qbeta v R).

Při numerickém výpočtu dostaneme přibližnou hodnotu

\(q_{0,85} \approx 0,617\).

To znamená, že \(85.\) percentil Beta rozdělení s parametry \(2\) a \(5\) je přibližně \(0,617\).

Podrobný výpočet vyžaduje použití speciálních funkcí nebo numerických metod (například Newtonova metoda).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Gamma rozdělení s parametry \(\alpha\) a \(\theta\) je dána neúplnou gama funkcí:

\(F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma\left(\alpha, \frac{x}{\theta}\right)\), kde \(\gamma\) je neúplná gama funkce.

Hledáme \(q_{0,4}\), tedy hodnotu, pro kterou platí \(F(q_{0,4}) = 0,4\).

Numericky hledáme \(q_{0,4}\), protože nelze jednoduše invertovat analyticky.

Pomocí statistického software zjistíme, že

\(q_{0,4} \approx 4,67\).

To znamená, že \(40.\) percentil Gamma rozdělení s \(\alpha=3\) a \(\theta=2\) je přibližně \(4,67\).

Řešení příkladu:

Studentovo t rozdělení je symetrické kolem nuly. Kvantil \(q_p\) je hodnota splňující \(P(T \leq q_p) = p\).

Hledáme \(10.\) percentil (\(p=0,1\)) pro \( \nu = 10\) stupňů volnosti.

Pomocí tabulek nebo statistického software zjistíme, že

\(q_{0,1} \approx -1,372\).

To znamená, že \(0,1\)-kvantil je přibližně \(-1,372\).

Vzhledem k symetrii, \(0,9\)-kvantil bude kladná hodnota stejné absolutní velikosti.

Řešení příkladu:

Medián \(m\) splňuje \(F(m) = 0,5\).

Dosadíme do distribuční funkce:

\(0,5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan \frac{m – 0}{1}\).

Odečteme \(\frac{1}{2}\):

\(0 = \frac{1}{\pi} \arctan m\) \Rightarrow \(\arctan m = 0\).

Funkce \(\arctan x = 0\) právě pro \(x=0\).

Tedy medián je \(m=0\).

Řešení příkladu:

Lognormální rozdělení je transformace normálního rozdělení. Kvantil \(q_p\) platí:

\(P(X \leq q_p) = p \Rightarrow P(Y \leq \ln q_p) = p\).

Hledáme \(\ln q_{0,95}\) tak, že \(P(Y \leq \ln q_{0,95}) = 0,95\) pro \(Y \sim N(1, 0,25)\).

Standardizujeme:

\(Z = \frac{\ln q_{0,95} – 1}{0,5}\), kde \(Z \sim N(0,1)\).

Z tabulek standardního normálního rozdělení víme, že \(z_{0,95} \approx 1,645\).

Tedy:

\(\frac{\ln q_{0,95} – 1}{0,5} = 1,645 \Rightarrow \ln q_{0,95} = 1 + 0,5 \times 1,645 = 1 + 0,8225 = 1,8225\).

Exponentujeme:

\(q_{0,95} = e^{1,8225} \approx 6,19\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je

\(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\).

Hledáme \(q_{0,2}\) tak, že \(F(q_{0,2}) = 0,2\).

Rovnice:

\(0,2 = 1 – e^{-0,7 q_{0,2}} \Rightarrow e^{-0,7 q_{0,2}} = 0,8\).

Vezmeme logaritmus:

\(-0,7 q_{0,2} = \ln 0,8 \Rightarrow q_{0,2} = -\frac{\ln 0,8}{0,7}\).

\(\ln 0,8 \approx -0,2231\), tedy

\(q_{0,2} = \frac{0,2231}{0,7} \approx 0,3187\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Pareto rozdělení je

\(F(x) = 1 – \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}\), pro \(x \geq x_m\).

Medián \(m\) splňuje \(F(m) = 0,5\).

Dosadíme:

\(0,5 = 1 – \left(\frac{1}{m}\right)^3\).

\(\left(\frac{1}{m}\right)^3 = 0,5 \Rightarrow m^3 = \frac{1}{0,5} = 2\).

Tedy

\(m = \sqrt[3]{2} \approx 1,26\).

Řešení příkladu:

Standardizujeme hledaný kvantil \(q_{0,75}\):

\(Z = \frac{q_{0,75} – 10}{4}\), kde \(Z \sim N(0,1)\).

Z tabulek normálního rozdělení známe, že \(z_{0,75} \approx 0,674\).

Dosadíme:

\(0,674 = \frac{q_{0,75} – 10}{4} \Rightarrow q_{0,75} = 10 + 4 \times 0,674 = 12,696\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Weibullova rozdělení je

\(F(x) = 1 – e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\).

Hledáme \(q_{0,3}\), že \(F(q_{0,3}) = 0,3\).

Dosadíme:

\(0,3 = 1 – e^{-(\frac{q_{0,3}}{1,5})^2} \Rightarrow e^{-(\frac{q_{0,3}}{1,5})^2} = 0,7\).

Vezmeme logaritmus:

\(-\left(\frac{q_{0,3}}{1,5}\right)^2 = \ln 0,7 \Rightarrow \left(\frac{q_{0,3}}{1,5}\right)^2 = -\ln 0,7\).

\(\ln 0,7 \approx -0,3567\), tedy

\(\left(\frac{q_{0,3}}{1,5}\right)^2 = 0,3567\).

Vypočítáme \(q_{0,3}\):

\(q_{0,3} = 1,5 \sqrt{0,3567} \approx 1,5 \times 0,597 = 0,896\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce uniformního rozdělení na intervalu \([a,b]\) je

\(F(x) = \frac{x – a}{b – a}\), pro \(a \leq x \leq b\).

Hledáme \(q_{0,6}\), že \(F(q_{0,6}) = 0,6\).

Dosadíme:

\(0,6 = \frac{q_{0,6} – 3}{7 – 3} = \frac{q_{0,6} – 3}{4}\).

Vynásobíme 4:

\(2,4 = q_{0,6} – 3 \Rightarrow q_{0,6} = 5,4\).

Řešení příkladu:

Gamma rozdělení má distribuční funkci \(F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma\left(\alpha, \frac{x}{\theta}\right)\), kde \(\gamma\) je neúplná gama funkce.

Hledáme kvantil \(q_{0,925}\) tak, že \(F(q_{0,925}) = 0,925\).

Nelze vyjádřit analyticky, proto využijeme numerické metody nebo statistický software.

Parametry jsou \(\alpha=4\), \(\theta=1,5\). Pomocí softwaru zjistíme přibližnou hodnotu:

\(q_{0,925} \approx 12,3\).

To znamená, že \(92,5 %\) pozorování je menších nebo rovných \(12,3\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Beta rozdělení je regulační neúplná beta funkce \(I_x(\alpha, \beta)\).

Hledáme \(q_{0,15}\), kde \(I_{q_{0,15}}(3,7) = 0,15\).

Pomocí numerických metod nebo softwaru (např. funkce qbeta v R) zjistíme:

\(q_{0,15} \approx 0,193\).

Tedy \(15.\) percentil je přibližně \(0,193\).

Řešení příkladu:

Medián lognormálního rozdělení je hodnota \(m\), kde \(P(X \leq m) = 0,5\).

Protože \(X = e^Y\), kde \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\), platí

\(P(X \leq m) = P(Y \leq \ln m) = 0,5\).

Z vlastnosti normálního rozdělení víme, že medián normálního rozdělení je \(\mu\), tedy

\(\ln m = \mu = 0 \Rightarrow m = e^0 = 1\).

Tedy medián lognormálního rozdělení s \(\mu=0\), \(\sigma=1\) je \(1\).

Řešení příkladu:

Studentovo t rozdělení s \(\nu = 5\) má symetrickou distribuční funkci.

Hledáme hodnotu \(q_{0,8}\), pro kterou platí \(P(T \leq q_{0,8}) = 0,8\).

Z tabulek nebo software zjistíme:

\(q_{0,8} \approx 0,919\).

To znamená, že \(80 %\) hodnot leží pod \(0,919\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Weibullova rozdělení je \(F(x) = 1 – e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\).

Hledáme medián \(m\), kde \(F(m) = 0,5\).

Dosadíme:

\(0,5 = 1 – e^{-(\frac{m}{2})^3} \Rightarrow e^{-(\frac{m}{2})^3} = 0,5\).

Vezmeme logaritmus:

\(-\left(\frac{m}{2}\right)^3 = \ln 0,5 \Rightarrow \left(\frac{m}{2}\right)^3 = -\ln 0,5\).

\(\ln 0,5 \approx -0,6931\), tedy

\(\left(\frac{m}{2}\right)^3 = 0,6931\).

Vypočítáme \(m\):

\(\frac{m}{2} = \sqrt[3]{0,6931} \approx 0,883\), tedy \(m = 2 \times 0,883 = 1,766\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je \(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\).

Hledáme \(q_{0,05}\), kde \(F(q_{0,05}) = 0,05\).

Dosadíme:

\(0,05 = 1 – e^{-3 q_{0,05}} \Rightarrow e^{-3 q_{0,05}} = 0,95\).

Vezmeme logaritmus:

\(-3 q_{0,05} = \ln 0,95 \Rightarrow q_{0,05} = -\frac{\ln 0,95}{3}\).

\(\ln 0,95 \approx -0,05129\), tedy

\(q_{0,05} = \frac{0,05129}{3} \approx 0,0171\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Pareto rozdělení je \(F(x) = 1 – \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha\), pro \(x \geq x_m\).

Hledáme \(q_{0,3}\), kde \(F(q_{0,3}) = 0,3\).

Dosadíme:

\(0,3 = 1 – \left(\frac{2}{q_{0,3}}\right)^4 \Rightarrow \left(\frac{2}{q_{0,3}}\right)^4 = 0,7\).

Odtud

\(\frac{2}{q_{0,3}} = \sqrt[4]{0,7} \approx 0,9129\).

Vypočítáme kvantil:

\(q_{0,3} = \frac{2}{0,9129} \approx 2,19\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Cauchyho rozdělení je

\(F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x – x_0}{\gamma}\right) + \frac{1}{2}\).

Hledáme \(q_{0,1}\), kde \(F(q_{0,1}) = 0,1\).

Dosadíme:

\(0,1 = \frac{1}{\pi} \arctan\left(q_{0,1}\right) + \frac{1}{2} \Rightarrow \arctan(q_{0,1}) = \pi (0,1 – 0,5) = -0,4 \pi\).

\(\arctan(q_{0,1}) = -1,2566\).

Vypočítáme:

\(q_{0,1} = \tan(-1,2566) \approx -3,0777\).

Řešení příkladu:

Hledáme \(q_{0,95}\), kde \(P(X \leq q_{0,95}) = 0,95\), \(X \sim N(5, 2^2)\).

Standardizujeme:

\(Z = \frac{q_{0,95} – 5}{2}\), kde \(Z \sim N(0,1)\).

Z tabulek víme, že \(z_{0,95} \approx 1,645\).

Dosadíme:

\(1,645 = \frac{q_{0,95} – 5}{2} \Rightarrow q_{0,95} = 5 + 2 \times 1,645 = 8,29\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce uniformního rozdělení na intervalu \([a, b]\) je

\(F(x) = \frac{x – a}{b – a}\), pro \(a \leq x \leq b\).

Hledáme \(q_{0,4}\), kde \(F(q_{0,4}) = 0,4\).

Dosadíme:

\(0,4 = \frac{q_{0,4} – (-2)}{6 – (-2)} = \frac{q_{0,4} + 2}{8}\).

Vynásobíme 8:

\(3,2 = q_{0,4} + 2 \Rightarrow q_{0,4} = 1,2\).

Řešení příkladu:

Chí-kvadrát rozdělení s \(\nu=10\) stupni volnosti má distribuční funkci, kterou nelze jednoduše vyjádřit elementárními funkcemi.

Hledáme kvantil \(q_{0,975}\), kde platí \(P(X \leq q_{0,975}) = 0,975\).

Pomocí statistických tabulek nebo softwaru zjistíme hodnotu:

\(q_{0,975} \approx 20,483\).

Tento kvantil znamená, že \(97,5 %\) pozorování z chí-kvadrát rozdělení s \(10\) stupni volnosti je menších nebo rovných \(20,483\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Weibullova rozdělení je

\(F(x) = 1 – e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\) pro \(x \geq 0\).

Hledáme kvantil \(q_{0,7}\), který splňuje \(F(q_{0,7}) = 0,7\).

Dosadíme:

\(0,7 = 1 – e^{-(q_{0,7})^2} \Rightarrow e^{-(q_{0,7})^2} = 0,3\).

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(-(q_{0,7})^2 = \ln 0,3 \Rightarrow (q_{0,7})^2 = -\ln 0,3\).

\(\ln 0,3 \approx -1,20397\), tedy

\((q_{0,7})^2 = 1,20397 \Rightarrow q_{0,7} = \sqrt{1,20397} \approx 1,097\).

Řešení příkladu:

Pokud \(X\) má lognormální rozdělení s parametry \(\mu\) a \(\sigma\), pak \(Y = \ln X\) má normální rozdělení \(N(\mu, \sigma^2)\).

Hledáme kvantil \(q_{0,9}\), tedy hodnotu \(x\), pro kterou platí

\(P(X \leq x) = 0,9 \Rightarrow P(Y \leq \ln x) = 0,9\).

Z tabulek normálního rozdělení zjistíme, že kvantil \(z_{0,9} \approx 1,28155\).

Tedy

\(\ln q_{0,9} = \mu + \sigma \times z_{0,9} = 1 + 0,5 \times 1,28155 = 1 + 0,6408 = 1,6408\).

Exponentujeme obě strany:

\(q_{0,9} = e^{1,6408} \approx 5,16\).

Řešení příkladu:

Binomické rozdělení lze přiblížit normálním rozdělením se střední hodnotou \(\mu = n p = 6\) a směrodatnou odchylkou \(\sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{20 \times 0,3 \times 0,7} \approx 2,05\).

Hledáme 0,05-kvantil binomického rozdělení, tedy hodnotu \(k\), pro kterou platí

\(P(X \leq k) = 0,05\).

Pomocí normální aproximace s korekcí kontinua přepíšeme:

\(P(X \leq k) \approx P\left(Z \leq \frac{k + 0,5 – \mu}{\sigma}\right) = 0,05\).

Hledáme hodnotu \(z_{0,05} \approx -1,645\).

Dosadíme do rovnice:

\(\frac{k + 0,5 – 6}{2,05} = -1,645 \Rightarrow k + 0,5 = 6 – 1,645 \times 2,05 = 6 – 3,373 = 2,627\).

Odtud

\(k = 2,627 – 0,5 = 2,127\).

Protože \(k\) musí být celé číslo, zaokrouhlíme na 2.

Tedy \(0,05\)-kvantil binomického rozdělení je přibližně \(2\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Cauchyho rozdělení je

\(F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x – x_0}{\gamma}\right) + \frac{1}{2}\).

Hledáme kvantil \(q_{0,6}\), kde \(F(q_{0,6}) = 0,6\).

Dosadíme:

\(0,6 = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{q_{0,6} – 2}{3}\right) + \frac{1}{2} \Rightarrow \arctan\left(\frac{q_{0,6} – 2}{3}\right) = \pi (0,6 – 0,5) = 0,1 \pi\).

\(\arctan\left(\frac{q_{0,6} – 2}{3}\right) = 0,31416\).

Vypočítáme tangens:

\(\frac{q_{0,6} – 2}{3} = \tan 0,31416 \approx 0,3249\).

Tedy

\(q_{0,6} = 2 + 3 \times 0,3249 = 2 + 0,9747 = 2,9747\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Gumbelova rozdělení je

\(F(x) = e^{-e^{-\frac{x – \mu}{\beta}}}\).

Hledáme kvantil \(q_{0,85}\), kde \(F(q_{0,85}) = 0,85\).

Dosadíme:

\(0,85 = e^{-e^{-\frac{q_{0,85} – 0}{1}}} \Rightarrow -\ln 0,85 = e^{-q_{0,85}}\).

\(\ln 0,85 \approx -0,1625\), tedy

\(-\ln 0,85 = 0,1625 = e^{-q_{0,85}}\).

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(\ln 0,1625 = -q_{0,85} \Rightarrow -1,815 = -q_{0,85}\).

Tedy

\(q_{0,85} = 1,815\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je

\(F(x) = 1 – e^{-\lambda x}\), pro \(x \geq 0\).

Hledáme kvantil \(q_{0,25}\), kde \(F(q_{0,25}) = 0,25\).

Dosadíme:

\(0,25 = 1 – e^{-4 q_{0,25}} \Rightarrow e^{-4 q_{0,25}} = 0,75\).

Vezmeme přirozený logaritmus:

\(-4 q_{0,25} = \ln 0,75 \Rightarrow q_{0,25} = -\frac{\ln 0,75}{4}\).

\(\ln 0,75 \approx -0,28768\), tedy

\(q_{0,25} = \frac{0,28768}{4} = 0,07192\).

Řešení příkladu:

Distribuční funkce beta rozdělení je definována pomocí tzv. neúplného beta integrálu, který nelze jednoduše vyjádřit elementárně.

Hledáme hodnotu \(q_{0,8}\), pro kterou platí \(P(X \leq q_{0,8}) = 0,8\).

Pro nalezení kvantilu použijeme numerické metody nebo software.

Pomocí vhodného nástroje zjistíme, že

\(q_{0,8} \approx 0,632\).

Tato hodnota znamená, že \(80 %\) rozdělení beta \((2,3)\) je pod touto hodnotou.

Řešení příkladu:

Rozdělení t-Student s \(\nu=5\) stupni volnosti má distribuční funkci, kterou hledáme.

Hledáme kvantil \(q_{0,99}\), tedy hodnotu \(t\), pro kterou platí \(P(T \leq t) = 0,99\).

Z tabulek t-Studentova rozdělení pro \(\nu=5\) a pravděpodobnost 0,99 zjistíme, že

\(q_{0,99} \approx 4,032\).

Tato hodnota je vyšší než kvantil normálního rozdělení vzhledem k menšímu počtu stupňů volnosti a tím větší „těžkosti“ chvostů.

Řešení příkladu:

Distribuční funkce Pareto rozdělení je

\(F(x) = 1 – \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha\), pro \(x \geq x_m\).

Hledáme kvantil \(q_{0,15}\), kde \(F(q_{0,15}) = 0,15\).

Dosadíme:

\(0,15 = 1 – \left(\frac{1}{q_{0,15}}\right)^3 \Rightarrow \left(\frac{1}{q_{0,15}}\right)^3 = 0,85\).

Vypočítáme:

\(\frac{1}{q_{0,15}} = \sqrt[3]{0,85} \approx 0,9441\).

Tedy

\(q_{0,15} = \frac{1}{0,9441} \approx 1,059\).

Řešení příkladu:

Gamma rozdělení s parametry \(\alpha\) (tvar) a \(\beta\) (měřítko) má distribuční funkci

\(F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\frac{x}{\beta}} t^{\alpha – 1} e^{-t} dt\), kde \(\Gamma(\alpha)\) je gama funkce.

Hledáme kvantil \(q_{0,925}\), tedy hodnotu \(x\), pro kterou platí

\(P(X \leq q_{0,925}) = 0,925\).

Protože analytický výraz pro inverzi není elementární, použijeme numerickou metodu nebo software (např. Python, R, tabulky).

Nejprve upravíme parametr pro standardní gamma rozdělení (měřítko 1):

Definujeme \(y = \frac{q_{0,925}}{\beta}\) tak, aby platilo \(P(Y \leq y) = 0,925\) pro \(Y \sim \mathrm{Gamma}(\alpha=3, \beta=1)\).

Pomocí numerického vyhledávání nebo tabulek dostaneme

\(y \approx 7,66\).

Z toho

\(q_{0,925} = \beta y = 2 \times 7,66 = 15,32\).

Tedy \(0,925\)-kvantil gamma rozdělení je přibližně \(15,32\).

Řešení příkladu:

Hypergeometrické rozdělení modeluje pravděpodobnost, že z \(n=10\) náhodně vybraných prvků z celkových \(N=50\) s \(K=20\) úspěchy získáme přesně \(k\) úspěchů.

Pravděpodobnostní funkce je

\(P(X=k) = \frac{{C(K,k)} \times {C(N-K, n-k)}}{{C(N,n)}}\), kde \(C(a,b)\) je kombinační číslo.

Hledáme kvantil \(q_{0,1}\), tedy nejmenší hodnotu \(k\), pro kterou platí

\(P(X \leq k) \geq 0,1\).

Protože výpočet kumulativní pravděpodobnosti vyžaduje sčítání přes pravděpodobnosti jednotlivých hodnot, postupujeme krok za krokem:

Vypočítáme \(P(X=0), P(X=1), \ldots\) až do dosažení kumulativní pravděpodobnosti nejméně 0,1.

Například (vypočteno numericky):

\(P(X=0) \approx 0,1025\), což znamená, že kumulativní pravděpodobnost při \(k=0\) již překračuje 0,1.

Tedy 0,1-kvantil je \(q_{0,1} = 0\).

Interpretace: s pravděpodobností alespoň \(10 %\) získáme \(0\) úspěchů při náhodném výběru.

Řešení příkladu:

Rozdělení Fisher-Snedecorovo \(F\) s parametry stupňů volnosti \(d_1=8\) a \(d_2=12\) je důležité v analýze rozptylu.

Hledáme kvantil \(q_{0,99}\), tedy hodnotu \(f\), kde platí

\(P(F \leq f) = 0,99\).

Tento kvantil lze získat z tabulek \(F\) rozdělení nebo numerickou metodou.

Podle tabulek nebo softwaru je

\(q_{0,99} \approx 5,56\).

Tato hodnota znamená, že \(99 %\) pozorování \(F\) rozdělení s uvedenými parametry je menších nebo rovných \(5,56\).