Náhodný jev a jeho pravděpodobnost

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 5 + 3 = 8 \).

Počet příznivých jevů (vytažení červené kuličky) je \( 5 \).

Pravděpodobnost náhodného jevu \( A \), že kulička bude červená, je

\( P(A) = \frac{\text{počet příznivých jevů}}{\text{celkový počet jevů}} = \frac{5}{8} \).

Tedy \( P(A) = 0{,}625 \) neboli \( 62,5 \%\).

Řešení:

Možné výsledky hodu kostkou jsou čísla \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \), tedy celkem \( 6 \) možností.

Počet příznivých jevů je čísel větších než \( 4 \), tedy \( 5 \) a \( 6 \), což jsou \( 2 \) možnosti.

Pravděpodobnost jevu \( B \) je

\( P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \).

Tedy pravděpodobnost, že padne číslo větší než \( 4 \), je přibližně \( 33,33 \% \).

Řešení:

Celkový počet karet je \( 52 \).

Karta „srdcové eso“ je pouze jedna v balíčku.

Pravděpodobnost tohoto jevu \( C \) je

\( P(C) = \frac{1}{52} \approx 0{,}01923 \).

Tedy pravděpodobnost je přibližně \( 1{,}92 \% \).

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 7 + 5 = 12 \).

Pravděpodobnost, že kulička nebude černá, je pravděpodobnost, že bude bílá.

Počet příznivých jevů je \( 7 \).

Pravděpodobnost jevu \( D \) je

\( P(D) = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833 \).

Tedy přibližně \( 58{,}33 \% \).

Řešení:

Počet všech možných výsledků hodu dvěma kostkami je \( 6 \times 6 = 36 \).

Možné dvojice, jejichž součet je \( 7 \), jsou:

\( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \) – celkem \( 6 \) možností.

Pravděpodobnost jevu \( E \) je tedy

\( P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \).

Tedy přibližně \( 16{,}67 \% \).

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 10 + 15 + 5 = 30 \).

Počet příznivých jevů – zelených nebo modrých – je \( 15 + 5 = 20 \).

Pravděpodobnost jevu \( F \) je

\( P(F) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \).

Tedy přibližně \( 66{,}67 \% \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku na řádku \( n \) a sloupci \( k \) se počítá podle vzorce:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 5 \). řádek a \( 2 \). sloupec (počítáno od nuly) spočítáme:
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 5 \). řádkue a \( 2 \). sloupci je \( 10 \).

Řešení:

Celkový počet kuliček je \( 12 \).

Počet kuliček, které nejsou červené ani modré, jsou zelené – \( 4 \) kuličky.

Pravděpodobnost jevu \( H \) je

\( P(H) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \).

Tedy přibližně \( 33{,}33 \% \).

Řešení:

Sudá čísla na kostce jsou \( 2, 4, 6 \) – \( 3 \) možnosti.

Čísla menší než \( 3 \) jsou \( 1, 2 \) – \( 2 \) možnosti.

Počet společných čísel (tedy sudé a zároveň menší než \( 3 \)) je pouze \( 2 \).

Pravděpodobnost sjednocení jevů je podle vzorce:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \).

Vypočítáme jednotlivé pravděpodobnosti:

\( P(\text{Sudé}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \),

\( P(\text{Menší než 3}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \),

\( P(\text{Sudé a menší než 3}) = \frac{1}{6} \).

Dosadíme do vzorce:

\( P = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \).

Tedy pravděpodobnost je přibližně \( 66{,}67 \% \).

Řešení:

Balíček má \( 40 \) karet, které jsou rozděleny do \( 4 \) barev po \( 10 \) kartách.

Počet pikových karet je \( 10 \).

Počet karet s číslem \( 7 \) (bez ohledu na barvu) je \( 4 \) (jedno sedmička v každé barvě).

Počet karet, které jsou zároveň pikové a mají číslo \( 7 \), je \( 1 \) (piková sedmička).

Pravděpodobnost sjednocení jevů je opět podle vzorce:

\( P = P(\text{piková}) + P(\text{číslo 7}) – P(\text{piková sedmička}) \).

\( P = \frac{10}{40} + \frac{4}{40} – \frac{1}{40} = \frac{13}{40} = 0{,}325 \).

Tedy pravděpodobnost je \( 32{,}5 \% \).

Počet všech karet: \( 52 \)
Počet červených karet (káry a srdce): \( 13 + 13 = 26 \)
Pravděpodobnost výběru červené karty je:
\[ P = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Tedy pravděpodobnost výběru červené karty je \( 50 \% \).

Počet všech výsledků při hodu dvěma kostkami: \( 6 \times 6 = 36 \)
Počet kombinací s výsledným součtem \( 7 \): \( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 \)
Počet kombinací s výsledným součtem \( 11 \): \( (5,6), (6,5) = 2 \)
Celkem příznivých výsledků: \( 6 + 2 = 8 \)
Pravděpodobnost:
\[ P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \approx 0{,}2222 \]
Pravděpodobnost je tedy přibližně \( 22{,}22 \% \).

Pravděpodobnost, že v jednom hodu nepadne \( 6 \):
\[ P(\text{ne 6}) = \frac{5}{6} \]
Pravděpodobnost, že v pěti hodech nepadne ani jednou \( 6 \):
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}4019 \]
Pravděpodobnost, že padne alespoň jedno \( 6 \):
\[ 1 – 0{,}4019 = 0{,}5981 \]
Tedy přibližně \( 59{,}81 \% \).

Počet křížů v balíčku: \( 13 \), počet všech karet: \( 52 \)
Pravděpodobnost první karty jako kříže:
\[ \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \]
Pravděpodobnost druhé karty kříže:
\[ \frac{12}{51} \]
Pravděpodobnost třetí karty kříže:
\[ \frac{11}{50} \]
Celková pravděpodobnost:
\[ \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} \times \frac{11}{50} = \frac{1716}{132600} \approx 0{,}01294 \]
Přibližně \( 1{,}29 \% \).

Možné výsledky: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Sudá čísla: \(\{2,4,6\}\), čísla větší než \( 4 \): \(\{5,6\}\)
Sjednocení: \(\{2,4,5,6\}\) – \( 4 \) čísla
Pravděpodobnost:
\[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \]
Tedy cca \( 66{,}67 \% \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku v řádku \( n \) a sloupci \( k \) se vypočítá podle vzorce:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 6 \). řádek a \( 3 \). sloupec (počítáno od nuly) máme:
\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 6 \). řádku a \( 3 \). sloupci je \( 20 \).

Počet všech výsledků: \( 36 \)
Kombinace součtů menších než \( 5 \):
\((1,1)=2, (1,2)=3, (2,1)=3, (1,3)=4, (2,2)=4, (3,1)=4\)
Počet výsledků: \( 1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 6 \)
Pravděpodobnost:
\[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \]
Asi \( 16{,}67 \% \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku na řádku \( n \) a sloupci \( k \) je:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 9 \). řádek a \( 4 \). sloupec (počítáno od nuly) vypočítáme:
\[ C(9, 4) = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{362880}{24 \times 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 9 \). řádku a \( 4 \). sloupci je \( 126 \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku v řádku \( n \) a sloupci \( k \) je dána vzorcem:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 8 \). řádek a \( 5 \). sloupec (počítáno od nuly) spočítáme:
\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{40320}{120 \times 6} = \frac{40320}{720} = 56 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 8 \). řádku a \( 5 \). sloupci je \( 56 \).

Pravděpodobnost, že v jednom hodu nepadne číslo menší než \( 4 \):
\[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Pravděpodobnost, že v pěti hodech nepadne ani jednou číslo menší než \( 4 \):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} = 0{,}03125 \]
Pravděpodobnost, že padne alespoň jednou:
\[ 1 – 0{,}03125 = 0{,}96875 \]
Tedy přibližně \( 96{,}88 \% \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku na řádku \( n \) a sloupci \( k \) se vypočítá jako:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 5 \). řádek a \( 2 \). sloupec (počítáno od nuly) je to:
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 5 \). řádku a \( 2 \). sloupci je \( 10 \).

Pravděpodobnost, že jeden student nemá narozeniny v lednu:
\[ \frac{11}{12} \]
Pravděpodobnost, že všichni \( 5 \) studenti nemají narozeniny v lednu:
\[ \left(\frac{11}{12}\right)^5 \approx 0{,}6513 \]
Pravděpodobnost, že alespoň jeden má narozeniny v lednu:
\[ 1 – 0{,}6513 = 0{,}3487 \]
Asi \( 34{,}87 \% \).

Hodnota v Pascalově trojúhelníku v řádku \( n \) a sloupci \( k \) je dána vzorcem:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 7 \). řádek a \( 4 \). sloupec (počítáno od nuly) spočítáme:
\[ C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{5040}{24 \times 6} = \frac{5040}{144} = 35 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 7 \). řádku a \( 4 \). sloupci je \( 35 \).

Celkový počet výsledků:
\[ 6^3 = 216 \]
Počet výsledků, kdy jsou všechna čísla různá:
První hod: \( 6 \) možností
Druhý hod: \( 5 \) možností (liší se od prvního)
Třetí hod: \( 4 \) možnosti (liší se od prvních dvou)
Celkem:
\[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \]
Pravděpodobnost:
\[ \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \]
Přibližně \( 55{,}56 \% \).

V Pascalově trojúhelníku je hodnota na řádku \( n \) a sloupci \( k \) dána kombinačním číslem:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Pro \( 6 \). řádek a \( 3 \). sloupec (počítáno od nuly) máme:
\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20 \]
Odpověď: Hodnota čísla v \( 6 \). řádku a \( 3 \). sloupci je \( 20 \).

Pravděpodobnost, že na první kostce nepadne \( 6 \):
\[ \frac{5}{6} \]
Pravděpodobnost, že na druhé kostce nepadne \( 6 \):
\[ \frac{5}{6} \]
Pravděpodobnost, že ani na jedné kostce nepadne \( 6 \):
\[ \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36} \]
Pravděpodobnost, že padne alespoň jedno \( 6 \):
\[ 1 – \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0{,}3056 \]
Přibližně \( 30{,}56 \% \).

Abychom se dostali z bodu A do bodu B, musíme udělat celkem \( 7 \) kroků: \( 4 \) doprava a \( 3 \) nahoru.
Počet různých cest je počet uspořádání těchto \( 7 \) kroků, kde jsou \( 4 \) kroky stejného druhu (doprava) a \( 3 \) druhého (nahoru).
Počet uspořádání je dán kombinačním číslem:
\[ \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{5040}{24 \times 6} = \frac{5040}{144} = 35 \]
Odpověď: Existuje \( 35 \) různých cest z bodu A do bodu B.

Celkový počet lidí: \( 8 \) mužů + \( 7 \) žen = \( 15 \).
Počet komisí s alespoň \( 3 \) ženami spočítáme jako součet počtu komisí s \( 3 \), \( 4 \) a \( 5 \) ženami.

Výběr \( 3 \) žen a \( 2 \) mužů:
Výběr \( 3 \) žen z \( 7 \):
\[ \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35 \]
Výběr \( 2 \) mužů z \( 8 \):
\[ \frac{8!}{2! \cdot 6!} = 28 \]
Počet komisí:
\[ 35 \times 28 = 980 \]

Výběr \( 4 \) žen a \( 1 \) muže:
Výběr \( 4 \) žen z \( 7 \):
\[ \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35 \]
Výběr \( 1 \) muže z \( 8 \):
\[ \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 8 \]
Počet komisí:
\[ 35 \times 8 = 280 \]

Výběr \( 5 \) žen a \( 0 \) mužů:
Výběr \( 5 \) žen z \( 7 \):
\[ \frac{7!}{5! \cdot 2!} = 21 \]
Výběr \( 0 \) mužů z \( 8 \):
\[ 1 \]
Počet komisí:
\[ 21 \times 1 = 21 \]

Celkem:
\[ 980 + 280 + 21 = 1281 \]
Odpověď: Lze sestavit \( 1281 \) různých komisí s alespoň \( 3 \) ženami.

Celkový počet možných výsledků:
\[ 2^4 = 16 \]
Počet výsledků s právě \( 2 \) lícovými stranami:
\[ \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
Pravděpodobnost:
\[ \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \]
Přibližně \( 37,5 \) %.

Vybereme \( 3 \) druhy čokolád z \( 10 \):
\[ \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120 \]
Vybereme \( 2 \) druhy sušenek z \( 6 \):
\[ \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15 \]
Celkový počet různých balíčků je součin:
\[ 120 \times 15 = 1800 \]
Odpověď: Lze vytvořit \( 1800 \) různých balíčků složených ze \( 3 \) druhů čokolád a \( 2 \) druhů sušenek.