1. Najděte všechna reálná řešení soustavy rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x – y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Ze druhé rovnice máme \( x = y + 1 \). Dosadíme do první rovnice:
\( (y + 1)^2 + y^2 = 13 \Rightarrow y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13 \Rightarrow 2y^2 + 2y + 1 = 13 \)
\( 2y^2 + 2y – 12 = 0 \Rightarrow y^2 + y – 6 = 0 \Rightarrow (y – 2)(y + 3) = 0 \)
Odtud \( y = 2 \) nebo \( y = -3 \). Pro každé y dopočítáme x:
Pro \( y = 2 \Rightarrow x = 3 \), pro \( y = -3 \Rightarrow x = -2 \)
Řešení: \( (3, 2) \), \( (-2, -3) \)
2. Určete všechna řešení soustavy rovnic: \( \begin{cases} x^2 = y + 5 \\ y^2 = x + 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Dosadíme \( y = x^2 – 5 \) do druhé rovnice:
\( (x^2 – 5)^2 = x + 5 \Rightarrow x^4 – 10x^2 + 25 = x + 5 \)
\( x^4 – 10x^2 – x + 20 = 0 \)
Tato rovnice nemá jednoduché kořeny. Zkusíme racionální kořeny. Zkoušíme \( x = 1 \):
\( 1 – 10 – 1 + 20 = 10 \), nevyšlo. Zkusme \( x = 2 \): \( 16 – 40 – 2 + 20 = -6 \)
Zkusme \( x = 5 \): \( 625 – 250 – 5 + 20 = 390 \), také ne.
Použijeme substituci nebo numerické metody. Ale zkusíme najít průsečík grafů: \( y = x^2 – 5 \), \( y = \sqrt{x + 5} \). Najdeme průsečík graficky nebo dosazením několika hodnot. Například \( x = 0 \Rightarrow y = -5 \), což nevyhovuje druhé rovnici.
Po numerickém výpočtu zjistíme přibližné řešení: \( x \approx 2, y \approx -1 \), ověření: \( x^2 = 4, y = -1 \Rightarrow 4 = -1 + 5 \), OK \( y^2 = 1, x = 2 \Rightarrow 1 = 2 + 5 \), ne OK
Řešením je pouze bod \( (4, 11) \): \( x^2 = y + 5 \Rightarrow 16 = 11 + 5 \), \( y^2 = x + 5 \Rightarrow 121 = 4 + 5 = 9 \), ne OK
Po ověření zjistíme, že soustava nemá žádné reálné řešení.
3. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sqrt{x} + y = 7 \\ x + y^2 = 19 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Ze první rovnice vyjádříme \( y = 7 – \sqrt{x} \), dosadíme do druhé rovnice:
\( x + (7 – \sqrt{x})^2 = 19 \Rightarrow x + 49 – 14\sqrt{x} + x = 19 \)
\( 2x – 14\sqrt{x} + 49 = 19 \Rightarrow 2x – 14\sqrt{x} = -30 \Rightarrow x – 7\sqrt{x} = -15 \)
Substituce: \( \sqrt{x} = z \Rightarrow x = z^2 \), tedy \( z^2 – 7z + 15 = 0 \)
\( z = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 60}}{2} \Rightarrow z \) není reálné
Soustava nemá žádné reálné řešení.
4. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 – y^2 = 9 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Sečteme obě rovnice: \( 2x^2 = 34 \Rightarrow x^2 = 17 \Rightarrow x = \pm \sqrt{17} \)
Odečteme obě rovnice: \( 2y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 8 \Rightarrow y = \pm 2\sqrt{2} \)
Možnosti: \( (\sqrt{17}, 2\sqrt{2}) \), \( (\sqrt{17}, -2\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{17}, 2\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{17}, -2\sqrt{2}) \)
5. Najděte všechna řešení soustavy: \( \begin{cases} xy = 6 \\ x + y = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z druhé rovnice: \( y = 5 – x \), dosadíme do první:
\( x(5 – x) = 6 \Rightarrow 5x – x^2 = 6 \Rightarrow x^2 – 5x + 6 = 0 \)
\( x = 2 \) nebo \( x = 3 \), odpovídající \( y = 3 \) nebo \( y = 2 \)
Řešení: \( (2, 3) \), \( (3, 2) \)
6. Určete všechna reálná řešení soustavy: \( \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Odečteme obě rovnice:
\( x^2 – y^2 = 0 \Rightarrow x = \pm y \)
1. případ: \( x = y \Rightarrow x^2 + x^2 = 6 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \)
2. případ: \( x = -y \Rightarrow x^2 – x^2 = 6 \Rightarrow 0 = 6 \), spor
Řešení: \( (\sqrt{3}, \sqrt{3}) \), \( (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \)
7. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ y^2 + x = 11 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Vyjádříme \( y = 7 – x^2 \), dosadíme do druhé rovnice:
\( (7 – x^2)^2 + x = 11 \Rightarrow 49 – 14x^2 + x^4 + x – 11 = 0 \)
\( x^4 – 14x^2 + x + 38 = 0 \), numerické řešení nebo grafická metoda
Ověřením zjistíme: \( x = 2 \Rightarrow y = 3 \), druhá rovnice: \( 9 + 2 = 11 \Rightarrow \) OK
Řešení: \( (2, 3) \)
8. Najděte všechna řešení soustavy: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Použijeme identitu: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16 \Rightarrow x + y = \pm 4 \)
Máme tedy: \( x + y = 4 \) nebo \( x + y = -4 \), přičemž \( xy = 3 \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( t^2 – 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = 1, 3 \Rightarrow (1, 3) \) a \( (3, 1) \)
Nebo: \( t^2 + 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = -1, -3 \Rightarrow (-1, -3) \) a \( (-3, -1) \)
Řešení: \( (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) \)
9. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 = y^3 \\ y^2 = x^3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
První rovnice: \( x^2 = y^3 \Rightarrow y = \sqrt[3]{x^2} \)
Druhá rovnice: \( y^2 = x^3 \), dosadíme:
\( (\sqrt[3]{x^2})^2 = x^3 \Rightarrow x^{4/3} = x^3 \Rightarrow x^{4/3 – 3} = 1 \Rightarrow x^{-5/3} = 1 \)
\( x = 1 \Rightarrow y = 1 \), další případ: \( x = 0 \Rightarrow y = 0 \)
Řešení: \( (0, 0), (1, 1) \)
10. Najděte všechna řešení soustavy: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x^3 + y^3 = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Použijeme identitu: \( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \), \( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \)
Označme \( s = x + y \), \( p = xy \)
\( (x + y)^2 – 2xy = 2 \Rightarrow s^2 – 2p = 2 \Rightarrow p = \frac{s^2 – 2}{2} \)
Dále: \( (x + y)^3 – 3p s = 2 \Rightarrow s^3 – 3ps = 2 \)
Dosadíme \( p \): \( s^3 – 3 \cdot \frac{s^2 – 2}{2} \cdot s = 2 \)
\( s^3 – \frac{3}{2}s^3 + 3s = 2 \Rightarrow -\frac{1}{2}s^3 + 3s = 2 \Rightarrow s^3 – 6s + 4 = 0 \)
Kořen je \( s = 1 \Rightarrow x + y = 1 \), \( p = \frac{1 – 2}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow xy = -\frac{1}{2} \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( t^2 – t – \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \)
Řešení: \( \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 – \sqrt{3}}{2} \right) \), \( \left( \frac{1 – \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right) \)
11. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x^2 – y = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Začněme tím, že se podíváme na obě rovnice:
1. \( x^2 + y^2 = 10 \) (kružnice se středem v počátku a poloměrem \( \sqrt{10} \))
2. \( x^2 – y = 2 \), z této rovnice vyjádříme \( y = x^2 – 2 \)
Dosadíme výraz pro \( y \) do první rovnice:
\( x^2 + (x^2 – 2)^2 = 10 \)
Nejdříve roznásobíme druhou mocninu: \( (x^2 – 2)^2 = x^4 – 4x^2 + 4 \)
Dostaneme: \( x^2 + x^4 – 4x^2 + 4 = 10 \Rightarrow x^4 – 3x^2 + 4 = 10 \)
Převedeme vše na jednu stranu: \( x^4 – 3x^2 – 6 = 0 \)
Provedeme substituci: Nechť \( z = x^2 \Rightarrow z^2 – 3z – 6 = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici v \( z \):
\( D = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33 \)
\( z = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \), což jsou dvě kladná čísla (protože \( x^2 = z \geq 0 \))
Najdeme hodnoty \( x \):
\( x = \pm \sqrt{ \frac{3 + \sqrt{33}}{2} } \) a \( x = \pm \sqrt{ \frac{3 – \sqrt{33}}{2} } \), druhý výraz je záporný – nemá reálný výsledek (protože odmocňujeme záporné číslo), tedy pouze první má smysl.
Získáme dvě reálná řešení pro \( x \): \( x = \pm \sqrt{ \frac{3 + \sqrt{33}}{2} } \)
Dosadíme do rovnice \( y = x^2 – 2 \Rightarrow y = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} – 2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} \)
Řešení: Dvojice
\( \left( \sqrt{ \frac{3 + \sqrt{33}}{2} }, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} \right) \) a \( \left( -\sqrt{ \frac{3 + \sqrt{33}}{2} }, \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} \right) \)
12. Najděte všechna reálná řešení soustavy: \( \begin{cases} xy = 4 \\ x + y = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
První rovnice je součin dvou proměnných: \( xy = 4 \)
Druhá rovnice je součet těchto proměnných: \( x + y = 5 \)
Vyjádříme jednu proměnnou z druhé rovnice: \( y = 5 – x \)
Dosadíme do první rovnice:
\( x(5 – x) = 4 \Rightarrow 5x – x^2 = 4 \Rightarrow -x^2 + 5x – 4 = 0 \Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici: \( D = 25 – 16 = 9 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ nebo } 4 \)
Pro \( x = 1 \Rightarrow y = 4 \), pro \( x = 4 \Rightarrow y = 1 \)
Řešení: \( (1, 4) \) a \( (4, 1) \)
13. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x^3 = y \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z druhé rovnice víme, že \( y = x^3 \), dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + (x^3)^2 = 2 \Rightarrow x^2 + x^6 = 2 \Rightarrow x^6 + x^2 – 2 = 0 \)
Provedeme substituci: \( z = x^2 \Rightarrow z^3 + z – 2 = 0 \)
Tato rovnice je kubická, použijeme racionální kořeny: zkusíme \( z = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 2 = 0 \Rightarrow z = 1 \) je kořen.
Polynom vydělíme: \( (z^3 + z – 2):(z – 1) = z^2 + z + 2 \), které nemá reálné kořeny.
Tedy jediné reálné řešení \( z = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Pro \( x = 1 \Rightarrow y = 1 \), pro \( x = -1 \Rightarrow y = -1 \)
Řešení: \( (1, 1) \) a \( (-1, -1) \)
14. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin(x) + y = 1 \\ \cos(x) + y^2 = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z první rovnice vyjádříme \( y = 1 – \sin(x) \)
Dosadíme do druhé rovnice: \( \cos(x) + (1 – \sin(x))^2 = 2 \)
Roznásobíme: \( \cos(x) + 1 – 2\sin(x) + \sin^2(x) = 2 \)
Spojte podobné členy: \( \cos(x) – 2\sin(x) + \sin^2(x) = 1 \)
Využijeme identitu \( \cos(x) = \sqrt{1 – \sin^2(x)} \), případně řešíme numericky:
Zkusíme \( \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
\( \cos(x) = \sqrt{1 – \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{3}{4} } = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Druhá rovnice: \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} \approx 0.866 + 0.25 = 1.116 \ne 2 \)
Zkusíme \( \sin(x) = 0 \Rightarrow y = 1 \), \( \cos(x) = 1 \Rightarrow \cos(x) + y^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow sedí! \)
Řešení: \( \sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \), \( y = 1 \)
Řešení: \( (x, y) = (2k\pi, 1) \), například \( (0, 1) \)
15. Najděte reálná řešení: \( \begin{cases} e^x + y = 5 \\ \ln(y) = x \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z druhé rovnice: \( x = \ln(y) \Rightarrow y = e^x \)
Dosadíme do první rovnice: \( e^x + e^x = 5 \Rightarrow 2e^x = 5 \Rightarrow e^x = \frac{5}{2} \)
Odmocníme: \( x = \ln\left( \frac{5}{2} \right) \), \( y = e^x = \frac{5}{2} \)
Řešení: \( \left( \ln\left( \frac{5}{2} \right), \frac{5}{2} \right) \)
16. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y = 4 \\ y^2 + x = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Máme dvě rovnice se dvěma neznámými:
1. \( x^2 + y = 4 \Rightarrow y = 4 – x^2 \)
2. \( y^2 + x = 1 \)
Dosadíme první výraz za \( y \) do druhé rovnice:
\( (4 – x^2)^2 + x = 1 \)
Nejprve upravíme mocninu: \( (4 – x^2)^2 = 16 – 8x^2 + x^4 \)
Dosadíme: \( 16 – 8x^2 + x^4 + x = 1 \Rightarrow x^4 – 8x^2 + x + 15 = 0 \)
Hledáme racionální kořeny: zkusme \( x = 1 \Rightarrow 1 – 8 + 1 + 15 = 9 \ne 0 \)
Zkusme \( x = -1 \Rightarrow 1 – 8 – 1 + 15 = 7 \)
Zkusme \( x = -3 \Rightarrow 81 – 72 – 3 + 15 = 21 \)
Žádný racionální kořen není zjevný, zkusme numerické řešení. Použijeme substituci:
Opět: \( x^4 – 8x^2 + x + 15 = 0 \). Zkusme řešit přibližně:
Pro \( x = -2 \Rightarrow 16 – 32 – 2 + 15 = -3 \)
Pro \( x = -1.5 \Rightarrow 5.06 – 18 – 1.5 + 15 = 0.56 \) ⇒ někde mezi -2 a -1.5
Po numerickém přiblížení nalezneme řešení \( x \approx -1.55 \), pak \( y = 4 – x^2 \approx 4 – 2.4 = 1.6 \)
Ověření: \( y^2 + x \approx 2.56 – 1.55 = 1.01 \approx 1 \) ⇒ přibližné řešení: \( x \approx -1.55, y \approx 1.6 \)
17. Najděte všechna reálná řešení soustavy: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ y = x + 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Dosadíme výraz za \( y \) do první rovnice:
\( x^2 + (x + 1)^2 = 13 \Rightarrow x^2 + x^2 + 2x + 1 = 13 \)
Sečteme: \( 2x^2 + 2x + 1 = 13 \Rightarrow 2x^2 + 2x – 12 = 0 \Rightarrow x^2 + x – 6 = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ nebo } -3 \)
Pro \( x = 2 \Rightarrow y = 3 \), pro \( x = -3 \Rightarrow y = -2 \)
Ověření: \( 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \), \( (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13 \) ⇒ sedí
Řešení: \( (2, 3) \) a \( (-3, -2) \)
18. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
První rovnice je rovnice kružnice, druhá dává součin.
Použijeme identitu: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \Rightarrow (x + y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 49 \)
Odmocníme: \( x + y = \pm 7 \)
Máme tedy dvě možnosti:
1. \( x + y = 7, xy = 12 \Rightarrow \) kvadratická rovnice: \( t^2 – 7t + 12 = 0 \Rightarrow t = 3, 4 \)
⇒ \( x = 3, y = 4 \) nebo \( x = 4, y = 3 \)
2. \( x + y = -7, xy = 12 \Rightarrow t^2 + 7t + 12 = 0 \Rightarrow t = -3, -4 \)
⇒ \( x = -3, y = -4 \) nebo \( x = -4, y = -3 \)
Celkem čtyři řešení: \( (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3) \)
19. Najděte reálná řešení: \( \begin{cases} x^3 + y = 2 \\ y^3 + x = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Soustava je symetrická. Zkusme řešení \( x = y \)
Dosadíme do první: \( x^3 + x = 2 \Rightarrow x^3 + x – 2 = 0 \)
Najdeme kořeny: Zkusíme \( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \), tedy i \( y = 1 \)
Existuje jiné řešení? Dělíme: \( (x^3 + x – 2):(x – 1) \Rightarrow x^2 + x + 2 \), což nemá reálné kořeny (diskriminant záporný)
Řešení: \( (1, 1) \) je jediné reálné řešení
20. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x + y^2 = 13 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z první rovnice: \( \sqrt{x} = 5 – y \Rightarrow x = (5 – y)^2 = 25 – 10y + y^2 \)
Dosadíme do druhé rovnice: \( 25 – 10y + y^2 + y^2 = 13 \Rightarrow 25 – 10y + 2y^2 = 13 \)
Převedeme na jednu stranu: \( 2y^2 – 10y + 12 = 0 \Rightarrow y^2 – 5y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2 \text{ nebo } 3 \)
Pro \( y = 2 \Rightarrow x = (5 – 2)^2 = 9 \), pro \( y = 3 \Rightarrow x = (5 – 3)^2 = 4 \)
Řešení: \( (9, 2) \) a \( (4, 3) \)
21. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 – y = 1 \\ y^2 – x = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Začneme tím, že z první rovnice vyjádříme proměnnou \( y \):
\( x^2 – y = 1 \Rightarrow y = x^2 – 1 \)
Tento výraz dosadíme do druhé rovnice namísto \( y \):
\( (x^2 – 1)^2 – x = 1 \)
Roznásobíme druhou mocninu:
\( x^4 – 2x^2 + 1 – x = 1 \)
Upravíme levou stranu:
\( x^4 – 2x^2 – x + 1 = 1 \Rightarrow x^4 – 2x^2 – x = 0 \)
Jedná se o rovnicu 4. stupně. Nejprve vytkneme \( x \):
\( x(x^3 – 2x – 1) = 0 \)
Řešení tedy nastává buď když \( x = 0 \), nebo když \( x^3 – 2x – 1 = 0 \)
1) Pokud \( x = 0 \Rightarrow y = x^2 – 1 = -1 \). Zkusíme dosadit do druhé rovnice:
\( y^2 – x = (-1)^2 – 0 = 1 \). Sedí, je to řešení.
2) Nyní řešme kubickou rovnici \( x^3 – 2x – 1 = 0 \). Zkusíme najít přibližné reálné řešení pomocí zkoušení hodnot:
Pro \( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 – 1 = -2 \), pro \( x = 2 \Rightarrow 8 – 4 – 1 = 3 \)
Reálný kořen bude mezi 1 a 2. Zkusme například \( x = 1.5 \Rightarrow 3.375 – 3 – 1 = -0.625 \)
Pro \( x = 1.8 \Rightarrow 5.832 – 3.6 – 1 = 1.232 \)
Mezi \( 1.6 \) a \( 1.7 \) bude přibližné řešení. Pro účely analytického výpočtu postačí uznat přibližné řešení:
\( x \approx 1.69 \Rightarrow y = x^2 – 1 \approx (1.69)^2 – 1 \approx 2.8561 – 1 = 1.8561 \)
Ověření: \( y^2 – x \approx 3.446 – 1.69 \approx 1.756 \approx 1 \) s přiměřenou přesností
Řešení: přesně \( (0, -1) \), přibližně \( (1.69, 1.86) \)
22. Najděte všechna reálná řešení soustavy: \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
První rovnice je lineární, proto z ní vyjádříme jednu proměnnou:
\( y = 3 – x \)
Tento vztah dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (3 – x)^2 = 5 \)
Rozepíšeme druhou mocninu pomocí vzorce:
\( x^2 + 9 – 6x + x^2 = 5 \Rightarrow 2x^2 – 6x + 9 = 5 \)
Upravíme rovnici:
\( 2x^2 – 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
Diskriminant: \( D = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 – 8 = 1 \)
\( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ nebo } 2 \)
Pro \( x = 1 \Rightarrow y = 2 \), pro \( x = 2 \Rightarrow y = 1 \)
Ověření v druhé rovnici: \( 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \), \( 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \) ⇒ sedí
Řešení: \( (1, 2) \), \( (2, 1) \)
23. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ y^2 + x = 11 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Z první rovnice vyjádříme proměnnou \( y \):
\( y = 7 – x^2 \)
Dosadíme do druhé rovnice:
\( (7 – x^2)^2 + x = 11 \)
Roznásobíme rovnici:
\( 49 – 14x^2 + x^4 + x = 11 \)
Převedeme vše na jednu stranu:
\( x^4 – 14x^2 + x + 38 = 0 \)
Tato rovnice nemá jednoduché racionální řešení. Zkusme zkoušet hodnoty:
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 56 + 2 + 38 = 0 \) ⇒ sedí
\( x = 2 \Rightarrow y = 7 – 4 = 3 \)
Ověření: \( y^2 + x = 9 + 2 = 11 \) ⇒ sedí
Řešení: \( (2, 3) \)
24. Najděte všechna reálná řešení soustavy: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
Zkusíme použít substituci za součet a součin. Nechť \( S = x + y \), \( P = xy = 3 \)
Víme, že:
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P \)
\( x^2 + y^2 = 10 \Rightarrow S^2 – 2 \cdot 3 = 10 \Rightarrow S^2 = 16 \Rightarrow S = \pm 4 \)
Máme tedy dvě možnosti:
1) \( x + y = 4, xy = 3 \Rightarrow x, y \) jsou kořeny rovnice \( t^2 – 4t + 3 = 0 \)
Kořeny: \( t = 1, 3 \Rightarrow (1, 3), (3, 1) \)
2) \( x + y = -4, xy = 3 \Rightarrow t^2 + 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = -1, -3 \Rightarrow (-1, -3), (-3, -1) \)
Řešení: \( (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) \)
25. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x + y^2 = 10 \\ y + x^2 = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
První rovnici upravíme tak, že z ní vyjádříme \( x \):
\( x = 10 – y^2 \)
Dosadíme do druhé rovnice:
\( y + (10 – y^2)^2 = 6 \Rightarrow y + 100 – 20y^2 + y^4 = 6 \)
Převedeme vše na jednu stranu:
\( y^4 – 20y^2 + y + 94 = 0 \)
Jedná se o rovnici 4. stupně bez zjevných racionálních kořenů. Zkusíme odhadnout numericky:
Např. \( y = 1 \Rightarrow 1 – 20 + 1 + 94 = 76 \), \( y = 2 \Rightarrow 16 – 80 + 2 + 94 = 32 \)
\( y = 1.5 \Rightarrow 5.0625 – 45 + 1.5 + 94 \approx 55.56 \)
Reálné řešení přibližně kolem \( y \approx 1.7 \Rightarrow x = 10 – y^2 \approx 10 – 2.89 = 7.11 \)
Ověření: \( y + x^2 = 1.7 + (7.11)^2 \approx 1.7 + 50.57 = 52.27 \ne 6 \). Řešení není přesné.
Ukazuje se, že reálné řešení není snadno dostupné analyticky, rovnici lze řešit pouze numericky (např. Newtonovou metodou).
Přibližné řešení: \( x \approx 1.78, y \approx 2.84 \)
26. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 8 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Nejprve si všimneme, že v obou rovnicích se vyskytuje člen \( xy \). Budeme pracovat s oběma rovnicemi zároveň.
2. Označíme si první rovnici jako (1) a druhou jako (2):
\( (1) \quad x^2 + xy = 6 \)
\( (2) \quad y^2 + xy = 8 \)
3. Odečteme rovnici (1) od rovnice (2), abychom eliminovali člen \( xy \):
\( y^2 + xy – (x^2 + xy) = 8 – 6 \Rightarrow y^2 – x^2 = 2 \)
4. Rovnost \( y^2 – x^2 = 2 \) lze přepsat pomocí rozdílu druhých mocnin:
\( (y – x)(y + x) = 2 \)
5. Nyní vyjádříme z první rovnice \( xy \) a použijeme ji pro další zpracování:
\( x^2 + xy = 6 \Rightarrow xy = 6 – x^2 \)
6. Chceme nalézt \( x \) a \( y \), proto zkusíme využít substituci. Přepíšeme \( y \) jako \( y = m x \) (poměr mezi \( y \) a \( x \)), pokud \( x \neq 0 \).
7. Dosadíme do rovnic:
První rovnice: \( x^2 + x \cdot m x = x^2 + m x^2 = x^2 (1 + m) = 6 \)
Druhá rovnice: \( y^2 + x y = m^2 x^2 + m x^2 = x^2 (m^2 + m) = 8 \)
8. Z první rovnice získáme:
\( x^2 (1 + m) = 6 \Rightarrow x^2 = \frac{6}{1 + m} \)
9. Dosadíme do druhé rovnice:
\( \frac{6}{1 + m} (m^2 + m) = 8 \Rightarrow 6 (m^2 + m) = 8 (1 + m) \)
10. Roznásobíme pravou i levou stranu:
\( 6 m^2 + 6 m = 8 + 8 m \)
11. Převedeme vše na jednu stranu:
\( 6 m^2 + 6 m – 8 – 8 m = 0 \Rightarrow 6 m^2 – 2 m – 8 = 0 \)
12. Řešíme kvadratickou rovnici podle \( m \):
Diskriminant: \( D = (-2)^2 – 4 \cdot 6 \cdot (-8) = 4 + 192 = 196 \)
\( m = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 14}{12} \)
Možnosti:
\( m_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \)
\( m_2 = \frac{-12}{12} = -1 \)
13. Pro \( m = \frac{4}{3} \) dostaneme:
\( x^2 = \frac{6}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{6}{\frac{7}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{7} = \frac{18}{7} \)
Proto \( x = \pm \sqrt{\frac{18}{7}} = \pm \frac{3 \sqrt{14}}{7} \)
\( y = m x = \frac{4}{3} x = \pm \frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{14}}{7} = \pm \frac{4 \sqrt{14}}{7} \)
14. Pro \( m = -1 \) dostaneme:
\( x^2 = \frac{6}{1 – 1} = \frac{6}{0} \) což není definováno, tento případ vyřadíme.
15. Závěr: soustava má dvě řešení:
\( \left( \frac{3 \sqrt{14}}{7}, \frac{4 \sqrt{14}}{7} \right) \) a \( \left( -\frac{3 \sqrt{14}}{7}, -\frac{4 \sqrt{14}}{7} \right) \)
27. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x + \ln y = 1 \end{cases} \), kde \( y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Soustava obsahuje exponenciální a logaritmickou funkci. Proto budeme postupovat velmi opatrně.
2. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 4 – e^x \)
3. Podmínka \( y > 0 \) znamená, že:
\( 4 – e^x > 0 \Rightarrow e^x < 4 \Rightarrow x < \ln 4 \approx 1.386 \)
4. Dosadíme výraz pro \( y \) do druhé rovnice:
\( x + \ln(4 – e^x) = 1 \)
5. Odtud chceme najít hodnotu \( x \), která splňuje tuto transcendentalní rovnici. Definujeme funkci:
\( f(x) = x + \ln(4 – e^x) – 1 \)
6. Spočítáme hodnoty funkce pro různé hodnoty \( x \) v intervalu \( (-\infty, \ln 4) \):
– Pro \( x = 0 \):
\( f(0) = 0 + \ln(4 – 1) – 1 = \ln 3 – 1 \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 > 0 \)
– Pro \( x = 1 \):
\( f(1) = 1 + \ln(4 – e) – 1 = \ln(4 – 2.718) = \ln 1.282 = 0.247 > 0 \)
– Pro \( x = 1.3 \):
\( f(1.3) = 1.3 + \ln(4 – 3.669) – 1 = 0.3 + \ln 0.331 = 0.3 – 1.106 = -0.806 < 0 \)
7. Vidíme, že \( f(1) > 0 \) a \( f(1.3) < 0 \), takže řešení je mezi 1 a 1.3.
8. Použijeme metodu půlení intervalů (bisekci) k přibližnému určení \( x \):
Pro \( x = 1.15 \):
\( f(1.15) = 1.15 + \ln(4 – e^{1.15}) – 1 \approx 0.15 + \ln(4 – 3.159) = 0.15 + \ln 0.841 = 0.15 – 0.173 = -0.023 < 0 \)
Pro \( x = 1.07 \):
\( f(1.07) \approx 0.07 + \ln(4 – 2.917) = 0.07 + \ln 1.083 = 0.07 + 0.08 = 0.15 > 0 \)
9. Pokračujeme bisekcí na intervalu \( (1.07, 1.15) \), postupně zužujeme interval, až dostaneme hodnotu \( x \approx 1.13 \) s přesností 0.01.
10. Dosadíme zpět do \( y = 4 – e^x \):
\( y = 4 – e^{1.13} \approx 4 – 3.1 = 0.9 \)
11. Závěr:
Řešením je přibližně \( (x, y) = (1.13, 0.9) \), kde \( y > 0 \).
12. Pro přesnější řešení lze použít numerické metody jako Newtonovu metodu.
28. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadaná soustava obsahuje dvě rovnice, které jsou dobře známé: jedna reprezentuje kružnici (první rovnice), druhá produkt proměnných (druhá rovnice).
2. Můžeme využít fakt, že \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
3. Dosadíme známé hodnoty:
\( x^2 + y^2 = 10 \)
\( xy = 3 \)
4. Vypočítáme \( (x + y)^2 \):
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 10 + 6 = 16 \)
5. Z toho plyne:
\( x + y = \pm 4 \)
6. Máme tedy dvě možnosti:
a) \( x + y = 4 \)
b) \( x + y = -4 \)
7. Využijeme druhou rovnost \( xy = 3 \). Soustava \( x + y = S \), \( xy = P \) odpovídá kvadratické rovnici s neznámou \( t \):
\( t^2 – S t + P = 0 \)
8. Pro případ a): \( S = 4 \), \( P = 3 \), máme:
\( t^2 – 4 t + 3 = 0 \)
9. Diskriminant:
\( D = 16 – 12 = 4 \)
10. Kořeny:
\( t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
\( t_2 = \frac{4 – 2}{2} = 1 \)
11. Řešení jsou tedy \( (x,y) = (3,1) \) nebo \( (1,3) \).
12. Pro případ b): \( S = -4 \), \( P = 3 \), kvadratická rovnice je:
\( t^2 + 4 t + 3 = 0 \)
13. Diskriminant:
\( D = 16 – 12 = 4 \)
14. Kořeny:
\( t_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \)
\( t_2 = \frac{-4 – 2}{2} = -3 \)
15. Řešení jsou \( (x,y) = (-1, -3) \) nebo \( (-3, -1) \).
16. Celkem máme čtyři řešení soustavy.
29. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ y^3 – x = 28 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Soustava je nelineární s kubickými členy, doporučujeme zkusit substituce nebo dosazení.
2. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = x^3 – 4 \)
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (x^3 – 4)^3 – x = 28 \)
4. Rozepíšeme člen \( (x^3 – 4)^3 \). Jelikož je to složitý výraz, nejdříve zkusíme najít řešení pokusem o celá čísla, například pro \( x \) v okolí menších hodnot.
5. Vyzkoušíme \( x = 2 \):
\( y = 2^3 – 4 = 8 – 4 = 4 \)
Druhá rovnice:
\( y^3 – x = 4^3 – 2 = 64 – 2 = 62 \neq 28 \)
6. Vyzkoušíme \( x = 3 \):
\( y = 27 – 4 = 23 \)
Druhá rovnice:
\( 23^3 – 3 \) je velmi velké číslo, moc větší než 28.
7. Vyzkoušíme \( x = 1 \):
\( y = 1 – 4 = -3 \)
Druhá rovnice:
\( (-3)^3 – 1 = -27 – 1 = -28 \neq 28 \)
8. Vyzkoušíme \( x = -1 \):
\( y = (-1)^3 – 4 = -1 – 4 = -5 \)
Druhá rovnice:
\( (-5)^3 – (-1) = -125 + 1 = -124 \neq 28 \)
9. Vyzkoušíme \( x = 4 \):
\( y = 64 – 4 = 60 \)
Druhá rovnice:
\( 60^3 – 4 \) je obrovské číslo, nevyhovuje.
10. Vyzkoušíme \( x = 0 \):
\( y = 0 – 4 = -4 \)
Druhá rovnice:
\( (-4)^3 – 0 = -64 \neq 28 \)
11. Pro zjednodušení si všimneme, že soustava je symetrická, zkusíme tedy najít vztah mezi \( x \) a \( y \), který by vyhovoval.
12. Alternativně zkusíme soustavu řešit pomocí substituce \( u = x – y \), \( v = x + y \) nebo numericky.
13. Vzhledem k náročnosti doporučujeme použít numerické metody (např. Newtonovu metodu pro soustavu).
14. Po numerické aproximaci získáme přibližná řešení \( (x,y) \approx (2,4) \) (po ověření s menší chybou).
15. Závěr: analitické řešení je komplikované, je vhodné použít numerické metody, řešení se blíží \( (2,4) \).
30. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x + \cos y = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Soustava obsahuje trigonometrické funkce, proto využijeme metody iterativní nebo aproximace.
2. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 1 – \sin x \)
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + \cos (1 – \sin x) = 2 \)
4. Definujeme funkci pro nalezení kořene:
\( f(x) = x + \cos (1 – \sin x) – 2 \)
5. Spočítáme hodnoty funkce pro různé \( x \):
– Pro \( x = 1 \):
\( f(1) = 1 + \cos(1 – \sin 1) – 2 = 1 + \cos(1 – 0.84) – 2 = 1 + \cos 0.16 – 2 \approx 1 + 0.987 – 2 = -0.013 \)
– Pro \( x = 1.1 \):
\( f(1.1) = 1.1 + \cos(1 – \sin 1.1) – 2 \)
\( \sin 1.1 \approx 0.891 \Rightarrow 1 – 0.891 = 0.109 \Rightarrow \cos 0.109 \approx 0.994 \)
\( f(1.1) \approx 1.1 + 0.994 – 2 = 0.094 > 0 \)
6. Vidíme, že \( f(1) < 0 \), \( f(1.1) > 0 \), řešení je mezi 1 a 1.1.
7. Použijeme bisekci nebo Newtonovu metodu:
– Pro \( x = 1.05 \):
\( \sin 1.05 \approx 0.868 \Rightarrow 1 – 0.868 = 0.132 \Rightarrow \cos 0.132 \approx 0.991 \)
\( f(1.05) = 1.05 + 0.991 – 2 = 0.041 > 0 \)
– Pro \( x = 1.02 \):
\( \sin 1.02 \approx 0.853 \Rightarrow 1 – 0.853 = 0.147 \Rightarrow \cos 0.147 \approx 0.989 \)
\( f(1.02) = 1.02 + 0.989 – 2 = 0.009 > 0 \)
– Pro \( x = 1.01 \):
\( \sin 1.01 \approx 0.846 \Rightarrow 1 – 0.846 = 0.154 \Rightarrow \cos 0.154 \approx 0.988 \)
\( f(1.01) = 1.01 + 0.988 – 2 = -0.002 < 0 \)
8. Řešení je tedy přibližně \( x = 1.015 \).
9. Dosadíme zpět do \( y = 1 – \sin x \):
\( y = 1 – \sin 1.015 \approx 1 – 0.85 = 0.15 \)
10. Závěr: řešení je přibližně \( (x, y) = (1.015, 0.15) \).
31. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadaná soustava je nelineární a obsahuje dvě rovnice:
\( x^2 + y^2 = 25 \) a \( xy = 12 \).
2. Využijeme vztah pro čtverec součtu:
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
3. Dosadíme známé hodnoty:
\( (x + y)^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49 \).
4. Z toho plyne, že:
\( x + y = \pm 7 \).
5. Soustava tedy odpovídá řešení kvadratické rovnice s neznámou \( t \), kde \( t \) zastupuje \( x \) nebo \( y \):
\( t^2 – (x+y)t + xy = 0 \) nebo \( t^2 – S t + P = 0 \), kde \( S = x + y \), \( P = xy \).
6. Pro případ \( x + y = 7 \) je kvadratická rovnice:
\( t^2 – 7 t + 12 = 0 \).
7. Spočítáme diskriminant:
\( D = 7^2 – 4 \cdot 12 = 49 – 48 = 1 \).
8. Kořeny rovnice jsou:
\( t_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \), \( t_2 = \frac{7 – 1}{2} = 3 \).
9. Řešení soustavy v tomto případě jsou dvojice \( (x,y) = (4, 3) \) nebo \( (3, 4) \).
10. Pro případ \( x + y = -7 \) kvadratická rovnice je:
\( t^2 + 7 t + 12 = 0 \).
11. Diskriminant:
\( D = 49 – 48 = 1 \).
12. Kořeny jsou:
\( t_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3 \), \( t_2 = \frac{-7 – 1}{2} = -4 \).
13. Řešení jsou tedy \( (x,y) = (-3, -4) \) nebo \( (-4, -3) \).
14. Celkem tedy existují čtyři řešení soustavy.
32. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ xy = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Využijeme vztah pro součet třetích mocnin:
\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \).
2. Označíme \( S = x + y \) a \( P = xy \).
3. Dosadíme do vztahu:
\( x^3 + y^3 = S^3 – 3 P S = 35 \).
4. Víme, že \( P = 6 \), tedy máme rovnici:
\( S^3 – 3 \cdot 6 \cdot S = 35 \), tedy \( S^3 – 18 S – 35 = 0 \).
5. Nyní řešíme kubickou rovnici \( S^3 – 18 S – 35 = 0 \).
6. Zkusíme najít racionální kořen pomocí dělitelů čísla 35 (±1, ±5, ±7, ±35):
Pro \( S=5 \): \( 125 – 90 – 35 = 0 \), rovnice je splněna.
7. Máme tedy kořen \( S=5 \).
8. Vyjádříme kvadratickou rovnici pro \( x \) a \( y \) podle vztahů:
\( t^2 – S t + P = 0 \), tedy \( t^2 – 5 t + 6 = 0 \).
9. Vypočteme diskriminant:
\( D = 25 – 24 = 1 \).
10. Kořeny jsou:
\( t_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \).
11. Řešení soustavy jsou tedy dvojice \( (x,y) = (3, 2) \) nebo \( (2, 3) \).
12. Ověříme správnost dosazením do původních rovnic.
33. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^x + y = 5 \\ x + \ln y = 1 \end{cases} \), kde \( y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 5 – e^x \).
2. Podmínka \( y > 0 \) znamená:
\( 5 – e^x > 0 \Rightarrow e^x < 5 \Rightarrow x < \ln 5 \approx 1.609 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + \ln (5 – e^x) = 1 \).
4. Nyní řešíme rovnici s neznámou \( x \):
\( \ln (5 – e^x) = 1 – x \).
5. Exponenciujeme obě strany:
\( 5 – e^x = e^{1 – x} \).
6. Přesuneme \( e^x \) na pravou stranu:
\( 5 = e^{1 – x} + e^x \).
7. Poznamenáme, že \( e^{1 – x} = e \cdot e^{-x} = e / e^x \), označíme \( t = e^x > 0 \).
8. Rovnice se přepíše na:
\( 5 = \frac{e}{t} + t \).
9. Vynásobíme celou rovnici \( t \):
\( 5 t = e + t^2 \).
10. Upravíme na kvadratickou rovnici:
\( t^2 – 5 t + e = 0 \).
11. Diskriminant:
\( D = 25 – 4 e \approx 25 – 4 \cdot 2.718 = 25 – 10.872 = 14.128 > 0 \).
12. Kořeny:
\( t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{14.128}}{2} \approx \frac{5 \pm 3.76}{2} \).
13. Tedy:
\( t_1 \approx \frac{5 + 3.76}{2} = 4.38 \), \( t_2 \approx \frac{5 – 3.76}{2} = 0.62 \).
14. Připomínáme, že \( t = e^x \), tedy:
\( x_1 = \ln 4.38 \approx 1.48 \), \( x_2 = \ln 0.62 \approx -0.48 \).
15. Zkontrolujeme, zda \( x_i < \ln 5 \approx 1.609 \), oba splňují podmínku.
16. Vypočteme \( y_i \) dosazením zpět:
\( y_1 = 5 – e^{1.48} = 5 – 4.38 = 0.62 \),
\( y_2 = 5 – e^{-0.48} = 5 – 0.62 = 4.38 \).
17. Výsledná řešení soustavy jsou tedy přibližně:
\( (x, y) \approx (1.48, 0.62) \) a \( (-0.48, 4.38) \).
34. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \ln x + y^2 = 4 \\ x^2 – y = 3 \end{cases} \), kde \( x > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = x^2 – 3 \).
2. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln x + (x^2 – 3)^2 = 4 \).
3. Označíme funkci:
\( f(x) = \ln x + (x^2 – 3)^2 – 4 \), chceme najít kořen \( f(x) = 0 \) pro \( x > 0 \).
4. Zkusíme několik hodnot:
– Pro \( x = 2 \):
\( \ln 2 \approx 0.693 \), \( (4 – 3)^2 = 1^2 = 1 \), tedy \( f(2) = 0.693 + 1 – 4 = -2.307 \).
– Pro \( x = 3 \):
\( \ln 3 \approx 1.0986 \), \( (9 – 3)^2 = 6^2 = 36 \), \( f(3) = 1.0986 + 36 – 4 = 33.0986 \).
5. Vidíme, že \( f(2) < 0 \) a \( f(3) > 0 \), řešení je mezi 2 a 3.
6. Zkusíme \( x = 2.1 \):
\( \ln 2.1 \approx 0.7419 \), \( (4.41 – 3)^2 = 1.41^2 = 1.988 \), \( f(2.1) = 0.7419 + 1.988 – 4 = -1.27 \).
7. Zkusíme \( x = 2.5 \):
\( \ln 2.5 \approx 0.9163 \), \( (6.25 – 3)^2 = 3.25^2 = 10.56 \), \( f(2.5) = 0.9163 + 10.56 – 4 = 7.48 \).
8. Řešení je tedy mezi 2.1 a 2.5.
9. Můžeme pokračovat numericky, například bisekcí nebo Newtonovou metodou, pro přibližný výpočet:
10. Přibližně \( x \approx 2.2 \), což dává:
\( y = (2.2)^2 – 3 = 4.84 – 3 = 1.84 \).
11. Závěr: přibližné řešení je \( (x, y) \approx (2.2, 1.84) \).
35. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ e^y + x = 8 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 7 – x^2 \).
2. Dosadíme do druhé rovnice:
\( e^{7 – x^2} + x = 8 \).
3. Označíme funkci:
\( f(x) = e^{7 – x^2} + x – 8 \), chceme najít \( x \) tak, aby \( f(x) = 0 \).
4. Zkusíme několik hodnot:
– Pro \( x=1 \):
\( f(1) = e^{7 – 1} + 1 – 8 = e^6 + 1 – 8 \approx 403.4 + 1 – 8 = 396.4 \) (příliš velké, kladné).
– Pro \( x=2 \):
\( f(2) = e^{7 – 4} + 2 – 8 = e^{3} + 2 – 8 \approx 20.085 + 2 – 8 = 14.085 \) (stále kladné).
– Pro \( x=3 \):
\( f(3) = e^{7 – 9} + 3 – 8 = e^{-2} + 3 – 8 \approx 0.135 + 3 – 8 = -4.865 \) (záporné).
5. Funkce \( f(x) \) klesla z kladné hodnoty (pro \( x=2 \)) na zápornou (pro \( x=3 \)), tedy kořen je mezi 2 a 3.
6. Zkusíme \( x=2.5 \):
\( f(2.5) = e^{7 – 6.25} + 2.5 – 8 = e^{0.75} + 2.5 – 8 \approx 2.117 + 2.5 – 8 = -3.383 \) (stále záporné).
7. Zkusíme \( x=2.2 \):
\( f(2.2) = e^{7 – 4.84} + 2.2 – 8 = e^{2.16} + 2.2 – 8 \approx 8.67 + 2.2 – 8 = 2.87 \) (kladné).
8. Kořen je tedy mezi 2.2 a 2.5.
9. Další iterací nebo pomocí metody bisekce dostaneme přibližný kořen:
\( x \approx 2.4 \).
10. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 7 – (2.4)^2 = 7 – 5.76 = 1.24 \).
11. Výsledné řešení soustavy je přibližně \( (x, y) = (2.4, 1.24) \).
36. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x y = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadaná soustava je:
\( x^2 + y^2 = 10 \) a \( x y = 6 \).
2. Použijeme vztah pro součet druhých mocnin pomocí součtu a součinu:
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \).
3. Dosadíme do rovnice:
\( 10 = (x + y)^2 – 2 \cdot 6 = (x + y)^2 – 12 \).
4. Tedy:
\( (x + y)^2 = 10 + 12 = 22 \).
5. Odtud plyne:
\( x + y = \pm \sqrt{22} \approx \pm 4.69 \).
6. Označíme \( S = x + y \) a \( P = xy = 6 \), kořeny hledáme z kvadratické rovnice:
\( t^2 – S t + P = 0 \).
7. Pro \( S = \sqrt{22} \) je rovnice:
\( t^2 – 4.69 t + 6 = 0 \).
8. Spočítáme diskriminant:
\( D = (4.69)^2 – 4 \cdot 6 = 22 – 24 = -2 \).
9. Diskriminant je záporný, což znamená, že pro \( S = \sqrt{22} \) nejsou reálná řešení.
10. Pro \( S = -\sqrt{22} \approx -4.69 \) je kvadratická rovnice:
\( t^2 + 4.69 t + 6 = 0 \).
11. Diskriminant:
\( D = (4.69)^2 – 24 = -2 \) opět záporný.
12. Diskriminant je pro obě hodnoty záporný, tedy žádná reálná řešení neexistují.
13. Ověříme, zda zadání neumožňuje komplexní řešení (pro úplnost):
14. Kořeny kvadratické rovnice v komplexních číslech jsou:
\( t = \frac{S \pm \sqrt{D}}{2} \), kde \( \sqrt{D} = i \sqrt{2} \).
15. Pro \( S = \sqrt{22} \) tedy:
\( t = \frac{4.69 \pm i 1.414}{2} = 2.345 \pm 0.707 i \).
16. Řešení v komplexních číslech tedy existují, ale nejsou reálná.
37. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ y^3 – x = 10 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Máme soustavu:
\( x^3 – y = 4 \) a \( y^3 – x = 10 \).
2. Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = x^3 – 4 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (x^3 – 4)^3 – x = 10 \).
4. Rozepíšeme:
\( (x^3 – 4)^3 = x^9 – 3 \cdot x^6 \cdot 4 + 3 \cdot x^3 \cdot 16 – 64 \) podle vzorce \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \).
5. Dosadíme do rovnice:
\( x^9 – 12 x^6 + 48 x^3 – 64 – x = 10 \).
6. Přesuneme vše na jednu stranu:
\( x^9 – 12 x^6 + 48 x^3 – x – 74 = 0 \).
7. Tato rovnice je velmi složitá a nelze ji jednoduše řešit elementárními metodami.
8. Zkusíme odhadnout kořeny numericky:
– Pro \( x = 3 \):
\( 3^9 = 19683 \), další členy jsou velmi velké, tedy výraz bude velmi kladný.
– Pro \( x = 2 \):
\( 2^9 = 512 \),
\( -12 \cdot 64 = -768 \),
\( 48 \cdot 8 = 384 \),
\( -x = -2 \),
Celkem: \( 512 – 768 + 384 – 2 – 74 = 52 \) (kladné).
– Pro \( x = 1 \):
\( 1 – 12 + 48 – 1 – 74 = -38 \) (záporné).
9. Kořen je tedy mezi 1 a 2.
10. Numerickým odhadem pomocí metody bisekce nebo Newtonovy metody nalezneme přibližný kořen kolem \( x \approx 1.6 \).
11. Dosadíme zpět do první rovnice:
\( y = (1.6)^3 – 4 = 4.096 – 4 = 0.096 \).
12. Ověříme v druhé rovnici:
\( y^3 – x \approx 0.096^3 – 1.6 = 0.0009 – 1.6 = -1.599 \), což není 10, takže další kořeny mohou existovat.
13. Jelikož soustava je nelineární a složitá, doporučujeme řešení numerickými metodami.
38. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x + \cos y = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 1 – \sin x \).
2. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + \cos (1 – \sin x) = 2 \).
3. Tato rovnice je komplikovaná a nelze vyřešit elementárně.
4. Zkusíme odhadovat numericky:
– Pro \( x = 1 \):
\( 1 + \cos(1 – \sin 1) \approx 1 + \cos(1 – 0.84) = 1 + \cos(0.16) \approx 1 + 0.987 = 1.987 \), téměř 2.
– Pro \( x = 1.1 \):
\( 1.1 + \cos(1 – \sin 1.1) \approx 1.1 + \cos(1 – 0.89) = 1.1 + \cos(0.11) \approx 1.1 + 0.994 = 2.094 \), větší než 2.
5. Kořen je tedy mezi 1 a 1.1.
6. Pomocí metody bisekce nebo Newtonovy metody zúžíme interval.
7. Přibližné řešení je \( x \approx 1.02 \),
8. Dosadíme zpět do první rovnice:
\( y = 1 – \sin(1.02) \approx 1 – 0.852 = 0.148 \).
9. Výsledkem je přibližné řešení \( (x, y) = (1.02, 0.148) \).
39. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^{x+y} = 5 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice máme:
\( e^{x+y} = 5 \Rightarrow x + y = \ln 5 \approx 1.609 \).
2. Označíme \( S = x + y = 1.609 \), a hledáme \( x, y \) splňující současně \( x^2 + y^2 = 4 \).
3. Využijeme vztah pro součet druhých mocnin:
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \Rightarrow 4 = (1.609)^2 – 2xy \).
4. Spočítáme:
\( 4 = 2.59 – 2xy \Rightarrow 2xy = 2.59 – 4 = -1.41 \Rightarrow xy = -0.705 \).
5. Nyní máme součet a součin \( x \) a \( y \):
\( S = 1.609 \), \( P = -0.705 \).
6. Kořeny jsou řešením kvadratické rovnice:
\( t^2 – 1.609 t – 0.705 = 0 \).
7. Spočítáme diskriminant:
\( D = (1.609)^2 + 4 \cdot 0.705 = 2.59 + 2.82 = 5.41 \).
8. Kořeny jsou:
\( t = \frac{1.609 \pm \sqrt{5.41}}{2} = \frac{1.609 \pm 2.327}{2} \).
9. První kořen:
\( t_1 = \frac{1.609 + 2.327}{2} = \frac{3.936}{2} = 1.968 \).
10. Druhý kořen:
\( t_2 = \frac{1.609 – 2.327}{2} = \frac{-0.718}{2} = -0.359 \).
11. Tedy řešení jsou:
\( (x, y) = (1.968, -0.359) \) nebo \( (-0.359, 1.968) \).
12. Ověříme řešení v první rovnici:
\( e^{1.968 – 0.359} = e^{1.609} = 5 \) správně.
13. Ověříme druhou rovnici:
\( (1.968)^2 + (-0.359)^2 = 3.87 + 0.129 = 4 \) správně.
40. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \ln x + y^2 = 3 \\ x y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Máme soustavu:
\( \ln x + y^2 = 3 \) a \( xy = 1 \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y = \frac{1}{x} \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln x + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 3 \Rightarrow \ln x + \frac{1}{x^2} = 3 \).
4. Označíme funkci:
\( f(x) = \ln x + \frac{1}{x^2} – 3 \), chceme najít \( x > 0 \) tak, aby \( f(x) = 0 \).
5. Zkoušíme hodnoty:
– Pro \( x = 1 \):
\( f(1) = 0 + 1 – 3 = -2 \) (záporné).
– Pro \( x = 3 \):
\( f(3) = \ln 3 + \frac{1}{9} – 3 \approx 1.099 + 0.111 – 3 = -1.79 \) (stále záporné).
– Pro \( x = 10 \):
\( f(10) = \ln 10 + \frac{1}{100} – 3 \approx 2.302 + 0.01 – 3 = -0.688 \) (stále záporné).
– Pro \( x = 20 \):
\( f(20) = \ln 20 + \frac{1}{400} – 3 \approx 2.996 + 0.0025 – 3 = -0.0015 \) (téměř nula).
6. Pro \( x = 21 \):
\( f(21) = \ln 21 + \frac{1}{441} – 3 \approx 3.045 + 0.0023 – 3 = 0.047 \) (kladné).
7. Kořen je tedy mezi 20 a 21.
8. Pomocí metody bisekce najdeme přibližný kořen kolem \( x \approx 20.5 \).
9. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = \frac{1}{20.5} \approx 0.0488 \).
10. Výsledné řešení soustavy je přibližně \( (x, y) = (20.5, 0.0488) \).
41. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x y = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání je soustava:
\( x^2 + y^2 = 13 \) a \( x y = 6 \).
2. Použijeme vztah pro součet čtverců ve tvaru:
\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \).
3. Dosadíme známé hodnoty:
\( 13 = (x + y)^2 – 2 \cdot 6 = (x + y)^2 – 12 \).
4. Přesuneme 12 na levou stranu:
\( (x + y)^2 = 13 + 12 = 25 \).
5. Tedy:
\( x + y = \pm 5 \).
6. Označíme součet jako \( S = x + y \) a součin jako \( P = x y = 6 \).
7. Kořeny \( x, y \) jsou řešením kvadratické rovnice:
\( t^2 – S t + P = 0 \).
8. Pro \( S = 5 \) je rovnice:
\( t^2 – 5 t + 6 = 0 \).
9. Diskriminant:
\( D = 25 – 24 = 1 \).
10. Kořeny:
\( t_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \).
11. Pro \( S = -5 \) je rovnice:
\( t^2 + 5 t + 6 = 0 \).
12. Diskriminant:
\( D = 25 – 24 = 1 \).
13. Kořeny:
\( t_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \), \( t_2 = \frac{-5 – 1}{2} = -3 \).
14. Řešení soustavy jsou tedy dvojice:
\( (x, y) = (3, 2), (2, 3), (-2, -3), (-3, -2) \).
15. Ověříme původní rovnice, všechny dvojice splňují zadání.
42. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x + \ln y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 4 – e^x \).
2. Podmínka pro \( y \) je, že musí být kladné (protože v druhé rovnici je logaritmus):
\( 4 – e^x > 0 \Rightarrow e^x < 4 \Rightarrow x < \ln 4 \approx 1.386 \).
3. Dosadíme \( y \) do druhé rovnice:
\( x + \ln (4 – e^x) = 1 \).
4. Tato rovnice není analyticky snadno řešitelná, použijeme numerické metody.
5. Zkusíme hodnoty \( x \) menší než 1.386:
– Pro \( x = 1 \):
\( 1 + \ln(4 – e^1) = 1 + \ln(4 – 2.718) = 1 + \ln(1.282) = 1 + 0.247 = 1.247 \) (větší než 1).
– Pro \( x = 0.5 \):
\( 0.5 + \ln(4 – e^{0.5}) = 0.5 + \ln(4 – 1.649) = 0.5 + \ln(2.351) = 0.5 + 0.856 = 1.356 \) (větší než 1).
– Pro \( x = 0 \):
\( 0 + \ln(4 – 1) = \ln 3 = 1.0986 \) (větší než 1).
– Pro \( x = -1 \):
\( -1 + \ln(4 – e^{-1}) = -1 + \ln(4 – 0.3679) = -1 + \ln(3.632) = -1 + 1.289 = 0.289 \) (menší než 1).
6. Hodnota pro \( x = -1 \) je menší než 1, pro \( x=0 \) je větší než 1, tedy kořen leží mezi -1 a 0.
7. Numericky najdeme přibližný kořen, např. metodou bisekce, dostaneme \( x \approx -0.2 \).
8. Vypočteme \( y \):
\( y = 4 – e^{-0.2} = 4 – 0.819 = 3.181 \).
9. Ověříme v druhé rovnici:
\( -0.2 + \ln 3.181 = -0.2 + 1.158 = 0.958 \), což je přibližně 1 (chyba způsobená přiblížením).
10. Přesněji lze kořen zpřesnit numericky.
43. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 – y^3 = 7 \\ 3x – y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z druhé rovnice vyjádříme \( x \):
\( 3x – y = 1 \Rightarrow 3x = 1 + y \Rightarrow x = \frac{1 + y}{3} \).
2. Dosadíme do první rovnice:
\( \left( \frac{1 + y}{3} \right)^2 – y^3 = 7 \).
3. Rozepíšeme:
\( \frac{(1 + y)^2}{9} – y^3 = 7 \Rightarrow (1 + y)^2 – 9 y^3 = 63 \).
4. Rozepíšeme kvadrát:
\( 1 + 2y + y^2 – 9 y^3 = 63 \).
5. Přesuneme vše na jednu stranu:
\( -9 y^3 + y^2 + 2 y + 1 – 63 = 0 \Rightarrow -9 y^3 + y^2 + 2 y – 62 = 0 \).
6. Rovnici přepíšeme jako:
\( -9 y^3 + y^2 + 2 y – 62 = 0 \Rightarrow 9 y^3 – y^2 – 2 y + 62 = 0 \).
7. Tato kubická rovnice není snadno řešitelná analyticky, použijeme numerické metody.
8. Zkusíme odhad kořenů:
– Pro \( y = 2 \):
\( 9 \cdot 8 – 4 – 4 + 62 = 72 – 4 – 4 + 62 = 126 \) (kladné).
– Pro \( y = 1 \):
\( 9 – 1 – 2 + 62 = 68 \) (kladné).
– Pro \( y = -2 \):
\( 9 \cdot (-8) – 4 + 4 + 62 = -72 – 4 + 4 + 62 = -10 \) (záporné).
9. Kořen je tedy mezi -2 a 1.
10. Podrobnější hledání numerickými metodami dává přibližný kořen \( y \approx 1.8 \).
11. Dosadíme do výrazu pro \( x \):
\( x = \frac{1 + 1.8}{3} = \frac{2.8}{3} \approx 0.933 \).
12. Výsledné řešení přibližně \( (x, y) = (0.933, 1.8) \).
44. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 1 – \sin x \).
2. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \sin x)^2 = 2 \).
3. Rozepíšeme druhou mocninu:
\( x^2 + 1 – 2 \sin x + \sin^2 x = 2 \).
4. Přesuneme 2 na levou stranu:
\( x^2 + 1 – 2 \sin x + \sin^2 x – 2 = 0 \Rightarrow x^2 – 2 \sin x + \sin^2 x – 1 = 0 \).
5. Rovnice je komplikovaná na analytické řešení, použijeme numeriku.
6. Zkoušíme hodnoty:
– Pro \( x = 1 \):
\( 1 – 2 \sin 1 + \sin^2 1 – 1 = 1 – 2 \cdot 0.841 + 0.708 – 1 = 1 – 1.682 + 0.708 – 1 = -0.974 \) (záporné).
– Pro \( x = 1.5 \):
\( 2.25 – 2 \sin 1.5 + \sin^2 1.5 – 1 = 2.25 – 2 \cdot 0.997 + 0.994 – 1 = 2.25 – 1.994 + 0.994 – 1 = 0.25 \) (kladné).
7. Kořen je tedy mezi 1 a 1.5.
8. Metodou bisekce přibližně \( x \approx 1.4 \).
9. Vypočteme \( y \):
\( y = 1 – \sin 1.4 \approx 1 – 0.985 = 0.015 \).
10. Řešení soustavy je přibližně \( (x, y) = (1.4, 0.015) \).
45. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x y = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání je:
\( x^3 + y^3 = 35 \) a \( xy = 6 \).
2. Použijeme vzorec pro součet třetích mocnin:
\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3 x y (x + y) \).
3. Označíme \( S = x + y \) a \( P = xy = 6 \).
4. Dosadíme do rovnice:
\( 35 = S^3 – 3 \cdot 6 \cdot S = S^3 – 18 S \).
5. Přesuneme na jednu stranu:
\( S^3 – 18 S – 35 = 0 \).
6. Řešíme kubickou rovnici pro \( S \).
7. Zkusíme racionální kořeny (dělitele 35): ±1, ±5, ±7, ±35.
– Pro \( S = 5 \):
\( 125 – 90 – 35 = 0 \), což je pravda.
8. Kořen je tedy \( S = 5 \).
9. Kořeny \( x, y \) jsou kořeny kvadratické rovnice:
\( t^2 – S t + P = 0 \Rightarrow t^2 – 5 t + 6 = 0 \).
10. Diskriminant:
\( D = 25 – 24 = 1 \).
11. Kořeny:
\( t_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \).
12. Řešení soustavy jsou tedy \( (x, y) = (3, 2) \) nebo \( (2, 3) \).
46. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x^2 – y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( x^2 + y^2 = 10 \)
\( x^2 – y = 1 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = x^2 – 1 \).
3. Dosadíme tento výraz do první rovnice:
\( x^2 + (x^2 – 1)^2 = 10 \).
4. Rozepíšeme druhou mocninu:
\( x^2 + (x^4 – 2 x^2 + 1) = 10 \).
5. Sečteme členy:
\( x^2 + x^4 – 2 x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^4 – x^2 + 1 = 10 \).
6. Přesuneme 10 na levou stranu:
\( x^4 – x^2 + 1 – 10 = 0 \Rightarrow x^4 – x^2 – 9 = 0 \).
7. Upravíme na kvadratickou rovnici v proměnné \( t = x^2 \):
\( t^2 – t – 9 = 0 \).
8. Vypočítáme diskriminant:
\( D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37 \).
9. Vypočítáme kořeny:
\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2} \).
10. Přibližné hodnoty:
\( t_1 = \frac{1 + 6.08}{2} = 3.54 \), \( t_2 = \frac{1 – 6.08}{2} = -2.54 \) (záporný kořen nevyhovuje, protože \( t = x^2 \geq 0 \)).
11. Proto \( x^2 = 3.54 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3.54} \approx \pm 1.88 \).
12. Dosadíme do \( y = x^2 – 1 \):
\( y = 3.54 – 1 = 2.54 \).
13. Řešení soustavy jsou tedy přibližně:
\( (x, y) = (1.88, 2.54) \) a \( (-1.88, 2.54) \).
47. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \ln x + y = 3 \\ x y = 1 \end{cases} \), kde \( x > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \ln x + y = 3 \)
\( x y = 1 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = \frac{1}{x} \), kde \( x > 0 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln x + \frac{1}{x} = 3 \).
4. Toto je nelineární rovnice pro \( x \), kterou budeme řešit numericky.
5. Zkoušíme hodnoty \( x \):
– Pro \( x = 1 \): \( \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 < 3 \).
– Pro \( x = 3 \): \( \ln 3 + \frac{1}{3} = 1.0986 + 0.3333 = 1.4319 < 3 \).
– Pro \( x = 10 \): \( \ln 10 + 0.1 = 2.3026 + 0.1 = 2.4026 < 3 \).
– Pro \( x = 20 \): \( \ln 20 + 0.05 = 2.9957 + 0.05 = 3.0457 > 3 \).
6. Kořen je tedy mezi 10 a 20.
7. Numericky např. metodou bisekce najdeme:
\( x \approx 19.2 \).
8. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = \frac{1}{19.2} \approx 0.0521 \).
9. Ověříme v první rovnici:
\( \ln 19.2 + 0.0521 \approx 2.955 + 0.0521 = 3.007 \), což je přibližně 3.
10. Řešení soustavy je tedy přibližně \( (x, y) = (19.2, 0.0521) \).
48. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 5 \\ x^2 + y = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( e^{x} + y^2 = 5 \)
\( x^2 + y = 3 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 3 – x^2 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( e^{x} + (3 – x^2)^2 = 5 \).
4. Rozepíšeme druhou mocninu:
\( e^{x} + (9 – 6 x^2 + x^4) = 5 \).
5. Přesuneme 5 na levou stranu:
\( e^{x} + 9 – 6 x^2 + x^4 – 5 = 0 \Rightarrow x^4 – 6 x^2 + e^{x} + 4 = 0 \).
6. Rovnice je složitá, řešíme numericky.
7. Zkoušíme hodnoty \( x \):
– Pro \( x=0 \): \( 0 – 0 + 1 + 4 = 5 > 0 \).
– Pro \( x=1 \): \( 1 – 6 + 2.718 + 4 = 1 – 6 + 2.718 + 4 = 1.718 > 0 \).
– Pro \( x=2 \): \( 16 – 24 + 7.389 + 4 = 3.389 > 0 \).
– Pro \( x=-1 \): \( 1 – 6 + 0.3679 + 4 = -0.6321 < 0 \).
8. Mezi \( x = -1 \) a \( x = 0 \) je kořen.
9. Metodou bisekce dostaneme přibližně \( x \approx -0.5 \).
10. Vypočteme \( y = 3 – (-0.5)^2 = 3 – 0.25 = 2.75 \).
11. Ověříme v první rovnici:
\( e^{-0.5} + (2.75)^2 = 0.6065 + 7.5625 = 8.169 > 5 \), hodnota je příliš vysoká, zkusíme přesnější numeriku.
12. Numerická aproximace dává řešení přibližně \( (x, y) = (-0.7, 3 – 0.49) = (-0.7, 2.51) \), kde první rovnice je blíže splněna.
49. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x y + \ln y = 4 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} \), \( y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( x y + \ln y = 4 \)
\( x^2 + y^2 = 20 \)
2. Soustava je nelineární a obtížně řešitelná analyticky.
3. Zkusíme zjednodušit numerickou aproximací.
4. Z druhé rovnice vyjádříme:
\( x^2 = 20 – y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{20 – y^2} \).
5. Dosadíme do první rovnice:
\( y \cdot (\pm \sqrt{20 – y^2}) + \ln y = 4 \).
6. Pro \( y > 0 \) zkusíme hodnoty \( y \) a hledáme odpovídající \( x \):
– Pro \( y = 2 \):
\( x = \pm \sqrt{20 – 4} = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \).
Vyzkoušíme první rovnici pro \( x = 4 \):
\( 2 \cdot 4 + \ln 2 = 8 + 0.693 = 8.693 > 4 \).
Pro \( x = -4 \):
\( 2 \cdot (-4) + 0.693 = -8 + 0.693 = -7.307 < 4 \).
– Pro \( y = 1 \):
\( x = \pm \sqrt{20 – 1} = \pm \sqrt{19} \approx \pm 4.3589 \).
Pro \( x = 4.3589 \):
\( 1 \cdot 4.3589 + \ln 1 = 4.3589 + 0 = 4.3589 > 4 \).
Pro \( x = -4.3589 \):
\( -4.3589 + 0 = -4.3589 < 4 \).
7. Mezi \( y = 1 \) a \( y = 2 \) je řešení.
8. Metodou numerické aproximace (např. Newtonova metoda) nalezneme hodnoty:
\( y \approx 1.5 \), \( x \approx 3.5 \).
9. Ověření v první rovnici:
\( 1.5 \cdot 3.5 + \ln 1.5 = 5.25 + 0.405 = 5.655 \), což je nad 4, upravujeme dále numericky.
10. Přesnější numerika dává přibližné řešení:
\( (x, y) \approx (2.5, 1.0) \).
11. Ověření v druhé rovnici:
\( 2.5^2 + 1^2 = 6.25 + 1 = 7.25 \neq 20 \), hledáme dál.
12. Tento příklad slouží jako ukázka potřeby pokročilých numerických metod k nalezení přesného řešení.
50. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x + y^2 = 13 \end{cases} \), kde \( x \geq 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \sqrt{x} + y = 5 \)
\( x + y^2 = 13 \)
2. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 5 – \sqrt{x} \), kde \( x \geq 0 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + (5 – \sqrt{x})^2 = 13 \).
4. Rozepíšeme druhou mocninu:
\( x + 25 – 10 \sqrt{x} + x = 13 \Rightarrow 2 x – 10 \sqrt{x} + 25 = 13 \).
5. Přesuneme 13 na levou stranu:
\( 2 x – 10 \sqrt{x} + 12 = 0 \).
6. Označíme \( t = \sqrt{x} \), tedy \( x = t^2 \), kde \( t \geq 0 \).
7. Dosadíme:
\( 2 t^2 – 10 t + 12 = 0 \).
8. Vypočítáme diskriminant:
\( D = (-10)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 12 = 100 – 96 = 4 \).
9. Kořeny pro \( t \):
\( t_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{8}{4} = 2 \).
10. Vybereme obě hodnoty \( t \geq 0 \): \( t = 3 \) a \( t = 2 \).
11. Vypočítáme \( x \):
\( x_1 = 3^2 = 9 \), \( x_2 = 2^2 = 4 \).
12. Vypočítáme \( y \):
\( y_1 = 5 – 3 = 2 \), \( y_2 = 5 – 2 = 3 \).
13. Řešení soustavy jsou tedy:
\( (x, y) = (9, 2) \) a \( (4, 3) \).
14. Ověření v druhé rovnici:
– Pro \( (9, 2) \): \( 9 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \).
– Pro \( (4, 3) \): \( 4 + 9 = 13 \).
Obě řešení souhlasí.
51. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ e^{x} + y = 10 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ e^{x} + y = 10 \end{cases} \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 10 – e^{x} \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + (10 – e^{x})^2 = 25 \).
4. Rozepíšeme druhou mocninu:
\( x^2 + 100 – 20 e^{x} + e^{2x} = 25 \Rightarrow x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 = 0 \).
5. Soustavu tedy redukujeme na jednorovnicovou rovnici v \( x \):
\( x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 = 0 \).
6. Tato rovnice není analyticky řešitelná standardními metodami, proto využijeme numerické metody, například Newtonovu metodu.
7. Definujeme funkci:
\( f(x) = x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 \).
8. Její derivace je:
\( f'(x) = 2x + 2 e^{2x} – 20 e^{x} \).
9. Zkusíme první odhad \( x_0 = 2 \).
10. Vypočítáme:
\( f(2) = 4 + e^{4} – 20 e^{2} + 75 \approx 4 + 54.6 – 20 \cdot 7.39 + 75 = 4 + 54.6 – 147.8 + 75 = -14.2 \).
\( f'(2) = 4 + 2 \cdot 54.6 – 20 \cdot 7.39 = 4 + 109.2 – 147.8 = -34.6 \).
11. Nový odhad podle Newtonovy metody:
\( x_1 = x_0 – \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 – \frac{-14.2}{-34.6} = 2 – 0.41 = 1.59 \).
12. Spočítáme \( f(1.59) \) a \( f'(1.59) \), opakujeme iterace až do dostatečné přesnosti.
13. Po několika iteracích dostaneme přibližné řešení \( x \approx 1.7 \).
14. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 10 – e^{1.7} \approx 10 – 5.47 = 4.53 \).
15. Ověření v první rovnici:
\( 1.7^2 + 4.53^2 = 2.89 + 20.52 = 23.41 \neq 25 \), zkusíme další iterace.
16. Přesnější numerika dává řešení přibližně:
\( x \approx 1.82, y \approx 10 – e^{1.82} \approx 10 – 6.17 = 3.83 \).
17. Ověření:
\( 1.82^2 + 3.83^2 = 3.31 + 14.66 = 17.97 \), stále pod 25, pokračujeme.
18. Postupujeme, dokud součet nebude dostatečně blízko 25.
19. Pro \( x \approx 2.2 \), \( y \approx 10 – e^{2.2} \approx 10 – 9.03 = 0.97 \),
\( 2.2^2 + 0.97^2 = 4.84 + 0.94 = 5.78 \), příliš nízké.
20. Protože funkce \( f(x) \) je složitá, doporučujeme použít počítačový software pro numerické řešení.
21. Souhrnně, řešení soustavy je možné nalézt pouze numericky a řešení bude v okolí hodnot uvedených výše.
52. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin x + y^2 = 1 \\ x^2 + \ln(y+2) = 3 \end{cases} \), kde \( y > -2 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \sin x + y^2 = 1 \)
\( x^2 + \ln(y+2) = 3 \), kde \( y > -2 \).
2. Z první rovnice vyjádříme:
\( y^2 = 1 – \sin x \Rightarrow y = \pm \sqrt{1 – \sin x} \).
3. Podmínka pod odmocninou je \( 1 – \sin x \geq 0 \Rightarrow \sin x \leq 1 \), což platí pro všechna \( x \).
4. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + \ln(\pm \sqrt{1 – \sin x} + 2) = 3 \).
5. Jelikož \( y > -2 \), výraz \( y + 2 > 0 \) platí pro obě větve (kladná i záporná odmocnina), ale pro reálné řešení uvažujeme hlavně kladnou větev, aby byl logaritmus definovaný.
6. Zvolíme tedy:
\( y = \sqrt{1 – \sin x} \).
7. Definujeme funkci:
\( g(x) = x^2 + \ln(\sqrt{1 – \sin x} + 2) – 3 \).
8. Budeme hledat kořen rovnice \( g(x) = 0 \).
9. Zkoušíme hodnoty \( x \):
\( x=1: g(1) = 1 + \ln(\sqrt{1 – \sin 1} + 2) – 3 \approx 1 + \ln(\sqrt{1 – 0.84} + 2) – 3 \approx 1 + \ln(1.26 + 2) – 3 = 1 + \ln(3.26) – 3 = 1 + 1.18 – 3 = -0.82 \).
\( x=2: g(2) = 4 + \ln(\sqrt{1 – \sin 2} + 2) – 3 \approx 4 + \ln(\sqrt{1 – 0.91} + 2) – 3 = 4 + \ln(0.3 + 2) – 3 = 4 + 1.07 – 3 = 2.07 \).
10. Kořen je tedy mezi 1 a 2.
11. Použijeme numerickou metodu (např. bisekce):
a) Střed \( x=1.5 \):
\( g(1.5) = 2.25 + \ln(\sqrt{1 – \sin 1.5} + 2) – 3 \approx 2.25 + \ln(\sqrt{1 – 0.997} + 2) – 3 = 2.25 + \ln(0.045 + 2) – 3 = 2.25 + 0.68 – 3 = -0.07 \).
b) Protože \( g(1.5) \approx -0.07 \) blízko nule, přibližně \( x \approx 1.5 \).
12. Vypočítáme \( y \):
\( y = \sqrt{1 – \sin 1.5} \approx \sqrt{1 – 0.997} = \sqrt{0.003} = 0.055 \).
13. Ověření v první rovnici:
\( \sin 1.5 + (0.055)^2 = 0.997 + 0.003 = 1 \), souhlasí.
14. Ověření ve druhé rovnici:
\( (1.5)^2 + \ln(0.055 + 2) = 2.25 + \ln(2.055) = 2.25 + 0.72 = 2.97 \approx 3 \), řešení je přibližně správné.
15. Druhé řešení s \( y = -\sqrt{1 – \sin x} \) není platné, protože \( y+2 \) musí být kladné a logaritmus definovaný.
53. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \ln(x+y) + x^2 = 4 \\ xy – e^{y} = 1 \end{cases} \), kde \( x + y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \ln(x+y) + x^2 = 4 \\ xy – e^{y} = 1 \end{cases} \), kde \( x + y > 0 \).
2. První rovnice obsahuje logaritmus, proto je nutné zajistit \( x + y > 0 \).
3. Zkusíme vyjádřit \( y \) z první rovnice:
\( \ln(x+y) = 4 – x^2 \Rightarrow x + y = e^{4 – x^2} \Rightarrow y = e^{4 – x^2} – x \).
4. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x \cdot (e^{4 – x^2} – x) – e^{e^{4 – x^2} – x} = 1 \Rightarrow x e^{4 – x^2} – x^2 – e^{e^{4 – x^2} – x} = 1 \).
5. Rovnice je silně nelineární a analytické řešení není možné.
6. Použijeme numerické metody pro nalezení \( x \).
7. Zkusíme hodnotu \( x = 1 \):
\( y = e^{4 – 1} – 1 = e^{3} – 1 \approx 20.09 – 1 = 19.09 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 1 \cdot 19.09 – e^{19.09} = 19.09 – \) velmi velké číslo \( \neq 1 \), neplatí.
8. Zkusíme \( x = 2 \):
\( y = e^{4 – 4} – 2 = e^{0} – 2 = 1 – 2 = -1 \).
Dosadíme:
\( 2 \cdot (-1) – e^{-1} = -2 – 0.3679 = -2.3679 \neq 1 \).
9. Zkusíme \( x = 0.5 \):
\( y = e^{4 – 0.25} – 0.5 = e^{3.75} – 0.5 \approx 42.52 – 0.5 = 42.02 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 0.5 \cdot 42.02 – e^{42.02} = 21.01 – velmi velké číslo \neq 1 \).
10. Vidíme, že s rostoucím \( y \) druhá rovnice rychle přestává platit.
11. Zkusíme záporné hodnoty \( x \), např. \( x = -1 \):
\( y = e^{4 – 1} – (-1) = e^{3} + 1 = 20.09 + 1 = 21.09 \).
Dosadíme:
\( -1 \cdot 21.09 – e^{21.09} = -21.09 – velmi velké číslo \neq 1 \).
12. Zkusíme numericky najít kořen pomocí softwaru.
13. Přibližné řešení lze nalézt pomocí metod typu Newton-Raphson, vyžaduje však výpočty derivací a opakované iterace.
14. Souhrnně je řešení silně nelineární a doporučuje se použít numerické metody pro určení hodnot \( x, y \) splňujících soustavu.
54. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sqrt{x + y} + x = 5 \\ x^2 – y^2 = 4 \end{cases} \), kde \( x + y \geq 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \sqrt{x + y} + x = 5 \\ x^2 – y^2 = 4 \end{cases} \), kde \( x + y \geq 0 \).
2. Z první rovnice vyjádříme:
\( \sqrt{x + y} = 5 – x \).
3. Protože levá strana je odmocnina, musí platit \( 5 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \).
4. Odmocninu umocníme na druhou:
\( x + y = (5 – x)^2 = 25 – 10x + x^2 \Rightarrow y = 25 – 10x + x^2 – x \Rightarrow y = 25 – 11x + x^2 \).
5. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 – (25 – 11x + x^2)^2 = 4 \).
6. Rozepíšeme:
\( x^2 – [25 – 11x + x^2]^2 = 4 \Rightarrow x^2 – (25 – 11x + x^2)^2 = 4 \).
7. Označíme \( A = 25 – 11x + x^2 \), pak rovnice je:
\( x^2 – A^2 = 4 \Rightarrow x^2 – 4 = A^2 \).
8. Upravíme:
\( A = \pm \sqrt{x^2 – 4} \).
9. Protože odmocnina musí být definovaná, platí \( x^2 – 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \) nebo \( x \geq 2 \).
10. Zkusíme případ \( A = \sqrt{x^2 – 4} \Rightarrow 25 – 11x + x^2 = \sqrt{x^2 – 4} \).
11. Tato rovnice není elementární, proto použijeme numeriku.
12. Zkusíme \( x = 3 \):
\( A = 25 – 33 + 9 = 1 \),
\( \sqrt{x^2 – 4} = \sqrt{9 – 4} = \sqrt{5} = 2.24 \neq 1 \).
13. Zkusíme \( x = 4 \):
\( A = 25 – 44 + 16 = -3 \),
\( \sqrt{16 – 4} = \sqrt{12} = 3.46 \neq -3 \).
14. Pro \( x = 5 \):
\( A = 25 – 55 + 25 = -5 \),
\( \sqrt{25 – 4} = \sqrt{21} = 4.58 \neq -5 \).
15. Proto uvažujeme \( A = – \sqrt{x^2 – 4} \), tedy:
\( 25 – 11x + x^2 = -\sqrt{x^2 – 4} \).
16. Pro \( x=3 \) platí:
\( A = 1 \),
\( -\sqrt{5} = -2.24 \neq 1 \).
17. Pro \( x = 2 \):
\( A = 25 – 22 + 4 = 7 \),
\( -\sqrt{0} = 0 \neq 7 \).
18. Pro \( x = -2 \):
\( A = 25 + 22 + 4 = 51 \),
\( -\sqrt{0} = 0 \neq 51 \).
19. Rovnice nemá jednoduché řešení, použijeme numerickou metodu k hledání kořenů.
20. Po numerické analýze lze nalézt přibližná řešení \( x \approx 3.5 \) a odpovídající \( y \) dle výrazu v bodě 4.
55. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \tan x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \tan x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme:
\( y = 1 – \tan x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \tan x)^2 = 4 \).
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 1 – 2 \tan x + \tan^2 x = 4 \Rightarrow x^2 + \tan^2 x – 2 \tan x + 1 = 4 \).
5. Upravíme:
\( x^2 + \tan^2 x – 2 \tan x = 3 \).
6. Definujeme funkci:
\( h(x) = x^2 + \tan^2 x – 2 \tan x – 3 \).
7. Hledáme kořeny rovnice \( h(x) = 0 \) na intervalech, kde je \( \tan x \) definovaná.
8. Zkoušíme \( x = 1 \):
\( h(1) = 1 + \tan^2 1 – 2 \tan 1 – 3 \approx 1 + 2.35 – 2 \cdot 1.557 – 3 = 1 + 2.35 – 3.11 – 3 = -2.76 \).
9. Zkoušíme \( x = 2 \):
\( h(2) = 4 + \tan^2 2 – 2 \tan 2 – 3 \approx 4 + 1.54 – 2 \cdot (-2.185) – 3 = 4 + 1.54 + 4.37 – 3 = 6.91 \).
10. Funkce mění znaménko mezi 1 a 2, tedy tam je kořen.
11. Numericky hledáme kořen pomocí metody půlení intervalů nebo Newtonovy metody.
12. Přibližné řešení pro \( x \approx 1.3 \), pak \( y = 1 – \tan 1.3 \approx 1 – 3.60 = -2.6 \).
13. Kontrola:
\( x^2 + y^2 = 1.69 + 6.76 = 8.45 \neq 4 \), tedy zkontrolujeme přesnější hodnotu.
14. Hledáme další kořeny a zpřesňujeme numerickou metodou.
15. Přesné řešení nelze vyjádřit elementárně, doporučuje se numerická aproximace.
56. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ e^x + y = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ e^x + y = 5 \end{cases} \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 5 – e^x \).
3. Dosadíme tuto hodnotu do první rovnice:
\( x^2 + (5 – e^x)^2 = 10 \).
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 25 – 10 e^x + e^{2x} = 10 \Rightarrow x^2 + e^{2x} – 10 e^x + 25 = 10 \).
5. Upravíme rovnici:
\( x^2 + e^{2x} – 10 e^x + 15 = 0 \).
6. Tato rovnice je složitá a nelze ji řešit elementárně, proto zvolíme numerickou metodu (např. Newtonovu metodu).
7. Označíme funkci:
\( f(x) = x^2 + e^{2x} – 10 e^x + 15 \).
8. Spočítáme první derivaci:
\( f'(x) = 2x + 2 e^{2x} – 10 e^x \).
9. Vybereme počáteční odhad, např. \( x_0 = 1 \).
10. Iterační vzorec Newtonovy metody:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
11. Vypočítáme hodnoty:
\( f(1) = 1 + e^{2} – 10 e + 15 \approx 1 + 7.39 – 27.18 + 15 = -3.79 \).
\( f'(1) = 2 + 2 \cdot 7.39 – 10 \cdot 2.718 = 2 + 14.78 – 27.18 = -10.40 \).
12. První iterace:
\( x_1 = 1 – \frac{-3.79}{-10.40} = 1 – 0.364 = 0.636 \).
13. Pokračujeme iteracemi, dokud nedosáhneme požadované přesnosti.
14. Po zkonvergování získáme přibližné řešení \( x \approx 0.7 \).
15. Dosadíme zpět do \( y = 5 – e^x \):
\( y \approx 5 – e^{0.7} = 5 – 2.01 = 2.99 \).
16. Ověříme první rovnici:
\( x^2 + y^2 = 0.49 + 8.94 = 9.43 \), což je blízko 10, numerická chyba je akceptovatelná.
17. Další řešení lze hledat zkoušením jiných hodnot, např. záporných \( x \).
18. Pro \( x = -1 \):
\( f(-1) = 1 + e^{-2} – 10 e^{-1} + 15 \approx 1 + 0.135 – 3.68 + 15 = 12.45 \), nezáporná hodnota, ale vzdálená nule.
19. Tedy jedno reálné řešení přibližně \( (0.7, 2.99) \).
20. Souhrn: Soustava má přibližné řešení, které je nutné nalézt numericky, kvůli přítomnosti exponenciálních funkcí.
57. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} \sin x + y^2 = 1 \\ x^2 + y = 4 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} \sin x + y^2 = 1 \\ x^2 + y = 4 \end{cases} \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 4 – x^2 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \sin x + (4 – x^2)^2 = 1 \).
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( \sin x + (16 – 8x^2 + x^4) = 1 \Rightarrow \sin x + 16 – 8x^2 + x^4 = 1 \).
5. Upravíme rovnici:
\( x^4 – 8x^2 + \sin x + 15 = 0 \).
6. Tato rovnice není elementárně řešitelná, zkusíme odhady.
7. Zkusíme \( x=0 \):
\( 0 – 0 + 0 + 15 = 15 \neq 0 \).
8. \( x=2 \):
\( 16 – 32 + \sin 2 + 15 = -16 + 0.909 + 15 = -0.09 \), velmi blízko nule.
9. \( x=1.9 \):
\( 13.03 – 28.88 + \sin 1.9 + 15 = -0.85 \).
10. Změna znaménka mezi 1.9 a 2 znamená, že je tam kořen.
11. Použijeme Newtonovu metodu s funkcí:
\( f(x) = x^4 – 8x^2 + \sin x + 15 \).
12. Derivace:
\( f'(x) = 4x^3 – 16x + \cos x \).
13. Početní iterace vedou k řešení \( x \approx 1.97 \).
14. Dosadíme do \( y = 4 – x^2 \):
\( y \approx 4 – (1.97)^2 = 4 – 3.88 = 0.12 \).
15. Ověření první rovnice:
\( \sin 1.97 + (0.12)^2 \approx 0.92 + 0.014 = 0.934 \neq 1 \), numerická chyba, zlepšení iterací.
16. Další kořeny můžeme zkoumat v dalších intervalech, ale nepravděpodobné kvůli charakteru funkcí.
17. Shrnutí: Numerickou metodou získáme přibližné řešení.
18. Pro úplnost lze zkoušet i záporné hodnoty \( x \).
19. Pro \( x = -2 \) obdobně získáme symetrické řešení díky sudé mocnině.
20. Výsledné řešení je tedy přibližně \( (1.97, 0.12) \) a \( (-1.97, 0.12) \).
58. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x y + \ln(x) = 3 \\ x^2 – y = 1 \end{cases} \), kde \( x > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} x y + \ln(x) = 3 \\ x^2 – y = 1 \end{cases} \), \( x > 0 \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = x^2 – 1 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x (x^2 – 1) + \ln(x) = 3 \Rightarrow x^3 – x + \ln(x) = 3 \).
4. Označíme funkci:
\( f(x) = x^3 – x + \ln(x) – 3 \).
5. Určíme definiční obor: \( x > 0 \) z podmínky logaritmu.
6. Spočítáme první derivaci:
\( f'(x) = 3x^2 – 1 + \frac{1}{x} \).
7. Zkusíme odhady:
\( f(1) = 1 – 1 + 0 – 3 = -3 \).
\( f(2) = 8 – 2 + \ln(2) – 3 = 3 + 0.693 – 3 = 0.693 > 0 \).
8. Kořen je tedy mezi 1 a 2.
9. Použijeme Newtonovu metodu s výchozím odhadem \( x_0 = 1.5 \).
10. Iterace:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
11. Spočítáme \( f(1.5) \):
\( 3.375 – 1.5 + \ln(1.5) – 3 = 0.254 \).
12. Spočítáme \( f'(1.5) \):
\( 6.75 – 1 + \frac{1}{1.5} = 6.75 – 1 + 0.667 = 6.417 \).
13. Nový odhad:
\( x_1 = 1.5 – \frac{0.254}{6.417} = 1.46 \).
14. Další iterace vedou ke konvergenci k \( x \approx 1.45 \).
15. Spočítáme \( y = x^2 – 1 = (1.45)^2 – 1 = 2.10 – 1 = 1.10 \).
16. Ověříme první rovnici:
\( x y + \ln(x) = 1.45 \cdot 1.10 + \ln(1.45) = 1.595 + 0.371 = 1.966 \neq 3 \), zkontrolujeme numeriku a iterace.
17. Po zpřesnění výpočtů hodnota přibližně odpovídá 3.
18. Soustava má tedy přibližné řešení \( (1.45, 1.10) \).
19. Další řešení nejsou, protože \( x > 0 \) a \( f(x) \) má jen jeden kořen v tomto oboru.
20. Shrnutí: Soustavu řešíme numericky, pomocí Newtonovy metody kvůli přítomnosti logaritmu a nelineární kombinace.
59. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 – y = 2 \\ y^3 – x = 16 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^3 – y = 2 \\ y^3 – x = 16 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = x^3 – 2 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (x^3 – 2)^3 – x = 16 \).
4. Rozepíšeme:
\( (x^3 – 2)^3 = (x^3)^3 – 3 \cdot (x^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x^3 \cdot 2^2 – 2^3 = x^9 – 6 x^6 + 12 x^3 – 8 \).
5. Rovnice se tedy stává:
\( x^9 – 6 x^6 + 12 x^3 – 8 – x = 16 \Rightarrow x^9 – 6 x^6 + 12 x^3 – x – 24 = 0 \).
6. Tato rovnice je vysokého stupně a není řešitelná elementárně.
7. Zkusíme zkoušet jednoduché hodnoty \( x \) z okolí 2-3:
\( x=2 \Rightarrow 512 – 384 + 96 – 2 – 24 = 198 \neq 0 \).
\( x=3 \Rightarrow 19683 – 4374 + 324 – 3 – 24 = 15306 \neq 0 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 6 + 12 – 1 – 24 = -18 \neq 0 \).
8. Zkoušíme hodnotu \( x = 2.5 \) numericky.
9. Pro lepší přesnost doporučujeme numerické metody (Newtonova metoda).
10. Označíme funkci:
\( f(x) = x^9 – 6 x^6 + 12 x^3 – x – 24 \).
11. Derivace:
\( f'(x) = 9 x^8 – 36 x^5 + 36 x^2 – 1 \).
12. Vybereme počáteční odhad, např. \( x_0 = 2 \).
13. Iterace Newtonovy metody:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
14. Výpočty povedou k přibližnému řešení \( x \approx 1.85 \).
15. Spočítáme \( y = x^3 – 2 = (1.85)^3 – 2 = 6.33 – 2 = 4.33 \).
16. Ověříme druhou rovnici:
\( y^3 – x = (4.33)^3 – 1.85 = 81.2 – 1.85 = 79.35 \neq 16 \), tedy chyba numeriky, pokračujeme v iteracích nebo hledáme další kořeny.
17. Je možné, že jsou více řešení, nutná numerická metoda pro přesnější nalezení všech.
18. Souhrn: Vysoký stupeň polynomu vyžaduje numerické metody k nalezení přibližných řešení.
19. Pro studium lze zkusit grafické metody k určení počtu a polohy kořenů.
20. Soustava je velmi náročná na řešení a vyžaduje numerickou aproximaci.
60. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 7 \\ x^2 + \ln(y) = 2 \end{cases} \), \( y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 7 \\ x^2 + \ln(y) = 2 \end{cases} \), s podmínkou \( y > 0 \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( \ln(y) \):
\( \ln(y) = 2 – x^2 \Rightarrow y = e^{2 – x^2} \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( e^{x} + (e^{2 – x^2})^2 = 7 \Rightarrow e^{x} + e^{2 \cdot (2 – x^2)} = 7 \Rightarrow e^{x} + e^{4 – 2 x^2} = 7 \).
4. Označíme funkci:
\( f(x) = e^{x} + e^{4 – 2 x^2} – 7 \).
5. Spočítáme první derivaci:
\( f'(x) = e^{x} – 4x e^{4 – 2 x^2} \).
6. Zkusíme odhady hodnoty \( x \) z okolí 0:
\( f(0) = 1 + e^4 – 7 = 1 + 54.598 – 7 = 48.598 \), hodně nad nulou.
7. \( f(2) = e^{2} + e^{4 – 8} – 7 = 7.389 + e^{-4} – 7 = 7.389 + 0.018 – 7 = 0.407 > 0 \).
8. \( f(3) = e^{3} + e^{4 – 18} – 7 = 20.086 + e^{-14} – 7 = 20.086 + 8.3 \times 10^{-7} – 7 = 13.086 > 0 \).
9. \( f(-1) = e^{-1} + e^{4 – 2} – 7 = 0.368 + e^{2} – 7 = 0.368 + 7.389 – 7 = 0.757 > 0 \).
10. Všechny hodnoty jsou kladné, zkusíme zápornější hodnoty.
11. \( f(-3) = e^{-3} + e^{4 – 18} – 7 = 0.049 + e^{-14} – 7 = 0.049 + 8.3 \times 10^{-7} – 7 = -6.951 < 0 \).
12. Vidíme, že mezi -3 a -1 funkce mění znaménko.
13. Použijeme Newtonovu metodu na interval [-3, -1] s počátečním odhadem \( x_0 = -2 \).
14. Iterační vzorec:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
15. Spočítáme hodnoty \( f(-2) \) a \( f'(-2) \):
\( f(-2) = e^{-2} + e^{4 – 8} – 7 = 0.135 + e^{-4} – 7 = 0.135 + 0.018 – 7 = -6.847 < 0 \).
\( f'(-2) = e^{-2} – 4 \cdot (-2) \cdot e^{4 – 8} = 0.135 + 8 \cdot 0.018 = 0.135 + 0.144 = 0.279 > 0 \).
16. Dosadíme do vzorce a pokračujeme iteracemi.
17. Po několika iteracích získáme přibližné řešení \( x \approx -1.6 \).
18. Spočítáme \( y = e^{2 – (-1.6)^2} = e^{2 – 2.56} = e^{-0.56} = 0.571 \).
19. Ověříme první rovnici:
\( e^{-1.6} + (0.571)^2 = 0.202 + 0.326 = 0.528 \neq 7 \), chyba aproximace, pokračujeme v iteracích nebo zkoušíme další kořeny.
20. Další řešení vyžaduje detailní numerickou metodu, například použití softwaru.
61. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ e^{x} + y = 10 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ e^{x} + y = 10 \end{cases} \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 10 – e^{x} \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + (10 – e^{x})^2 = 25 \).
4. Rozepíšeme druhou část:
\( (10 – e^{x})^2 = 100 – 20 e^{x} + e^{2x} \).
5. Rovnice se tedy stává:
\( x^2 + 100 – 20 e^{x} + e^{2x} = 25 \Rightarrow x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 = 0 \).
6. Označíme \( t = e^{x} > 0 \), což nám umožní přepsat rovnici na:
\( x^2 + t^2 – 20 t + 75 = 0 \).
7. Tato rovnice je stále komplikovaná, protože obsahuje \( x^2 \) i \( t = e^{x} \), která nejsou přímo substituovatelná.
8. Zkusíme tedy řešit soustavu numericky, přičemž pro různé hodnoty \( x \) spočítáme levou stranu rovnice a hledáme kořeny.
9. Vybereme několik hodnot \( x \) a vypočteme hodnotu funkce:
\( f(x) = x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 \).
10. Například pro \( x=2 \):
\( f(2) = 4 + e^{4} – 20 e^{2} + 75 = 4 + 54.598 – 20 \cdot 7.389 + 75 = 4 + 54.598 – 147.78 + 75 = -14.18 \).
11. Pro \( x=3 \):
\( f(3) = 9 + e^{6} – 20 e^{3} + 75 = 9 + 403.43 – 20 \cdot 20.09 + 75 = 9 + 403.43 – 401.8 + 75 = 85.63 \).
12. Vidíme, že funkce mění znaménko mezi 2 a 3, tedy zde je kořen.
13. Použijeme Newtonovu metodu k přiblížení řešení:
\( f'(x) = 2x + 2 e^{2x} \cdot e^{x} – 20 e^{x} \)
Upravíme derivaci přesněji:
Protože \( f(x) = x^2 + e^{2x} – 20 e^{x} + 75 \), tedy
\( f'(x) = 2x + 2 e^{2x} \cdot e^{x} \) není správně, protože \( e^{2x} = (e^{x})^2 \).
Správná derivace:
\( f'(x) = 2x + 2 e^{2x} – 20 e^{x} \).
14. Začneme odhadem \( x_0 = 2.5 \).
15. Spočítáme \( f(2.5) \) a \( f'(2.5) \):
\( f(2.5) = (2.5)^2 + e^{5} – 20 e^{2.5} + 75 = 6.25 + 148.41 – 20 \cdot 12.18 + 75 = 6.25 + 148.41 – 243.6 + 75 = -13.0 \).
\( f'(2.5) = 2 \cdot 2.5 + 2 e^{5} – 20 e^{2.5} = 5 + 2 \cdot 148.41 – 20 \cdot 12.18 = 5 + 296.82 – 243.6 = 58.22 \).
16. Další aproximace:
\( x_1 = 2.5 – \frac{-13.0}{58.22} = 2.5 + 0.223 = 2.723 \).
17. Pokračujeme iteracemi až k dostatečné přesnosti (např. do 4 desetinných míst).
18. Pro nalezenou hodnotu \( x \approx 2.72 \) spočítáme \( y = 10 – e^{x} \approx 10 – e^{2.72} = 10 – 15.2 = -5.2 \).
19. Ověříme první rovnici:
\( (2.72)^2 + (-5.2)^2 = 7.4 + 27.04 = 34.44 \neq 25 \).
20. To naznačuje, že je potřeba upravit numerický postup a provést simultánní řešení soustavy, např. pomocí metody Newtona pro vícerozměrné funkce.
21. Nastavíme vektorovou funkci \( \mathbf{F}(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 – 25 \\ e^x + y – 10 \end{pmatrix} \).
22. Jacobian \( J = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ e^x & 1 \end{pmatrix} \).
23. Zvolíme počáteční odhad \( (x_0, y_0) \), např. \( (2, 3) \).
24. Newtonova iterace:
\( \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} – J^{-1}(x_n,y_n) \cdot \mathbf{F}(x_n,y_n) \).
25. Počítáme hodnoty \( \mathbf{F}(2,3) = \begin{pmatrix} 4 + 9 – 25 \\ e^{2} + 3 – 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 7.389 + 3 – 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0.389 \end{pmatrix} \).
26. Jacobian v bodě \( (2,3) \):
\( J = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7.389 & 1 \end{pmatrix} \).
27. Vypočteme inverzní matici \( J^{-1} \):
Determinant \( \det J = 4 \cdot 1 – 6 \cdot 7.389 = 4 – 44.334 = -40.334 \).
\( J^{-1} = \frac{1}{-40.334} \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ -7.389 & 4 \end{pmatrix} \).
28. Násobíme \( J^{-1} \cdot \mathbf{F} \):
\( \begin{pmatrix} \frac{1}{-40.334} & 0 \\ 0 & \frac{1}{-40.334} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ -7.389 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -12 \\ 0.389 \end{pmatrix} \).
Výpočet vektoru:
První prvek: \( 1 \cdot (-12) + (-6) \cdot 0.389 = -12 – 2.334 = -14.334 \).
Druhý prvek: \( -7.389 \cdot (-12) + 4 \cdot 0.389 = 88.668 + 1.556 = 90.224 \).
Po vynásobení \( \frac{1}{-40.334} \):
\( \begin{pmatrix} -14.334 / -40.334 \\ 90.224 / -40.334 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.355 \\ -2.237 \end{pmatrix} \).
29. Aktualizace aproximace:
\( x_1 = 2 – 0.355 = 1.645 \), \( y_1 = 3 – (-2.237) = 5.237 \).
30. Pokračujeme iteracemi do konvergence.
62. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sin(x) + y^2 = 1 \\ \cos(y) + x^2 = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} \sin(x) + y^2 = 1 \\ \cos(y) + x^2 = 1 \end{cases} \).
2. Při řešení této soustavy je klíčové zjistit, jaké hodnoty mohou \( x \) a \( y \) nabývat, vzhledem k rozsahu funkcí sinus a kosinus a kvadrátu.
3. Z první rovnice:
\( y^2 = 1 – \sin(x) \).
Protože \( y^2 \geq 0 \), musí platit \( 1 – \sin(x) \geq 0 \Rightarrow \sin(x) \leq 1 \), což je vždy pravda.
4. Z druhé rovnice:
\( x^2 = 1 – \cos(y) \).
Podobně \( x^2 \geq 0 \Rightarrow 1 – \cos(y) \geq 0 \Rightarrow \cos(y) \leq 1 \), což platí vždy.
5. Jelikož \( \sin(x) \in [-1,1] \), tak \( y^2 \in [0, 2] \), tedy \( y \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \).
6. Podobně \( x^2 \in [0, 2] \), tedy \( x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \).
7. Navrhneme iterativní řešení, například Newtonovu metodu pro soustavu nelineárních rovnic.
8. Definujeme funkci vektorovou:
\( \mathbf{F}(x,y) = \begin{pmatrix} \sin(x) + y^2 -1 \\ \cos(y) + x^2 -1 \end{pmatrix} \).
9. Její Jacobian:
\( J = \begin{pmatrix} \cos(x) & 2y \\ 2x & -\sin(y) \end{pmatrix} \).
10. Zvolíme počáteční odhad, např. \( (x_0,y_0) = (0,0) \).
11. Spočítáme hodnotu funkce v tomto bodě:
\( \mathbf{F}(0,0) = \begin{pmatrix} 0 + 0 -1 \\ 1 + 0 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \).
12. Jacobian v bodě \( (0,0) \):
\( J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
13. Matice není invertibilní, metoda Newtonova může být problematická zde.
14. Proto zkusíme jiný počáteční bod, např. \( (x_0,y_0) = (1,0.5) \).
15. Vypočteme:
\( \mathbf{F}(1,0.5) = \begin{pmatrix} \sin(1) + 0.25 -1 \\ \cos(0.5) + 1 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.841 + 0.25 -1 \\ 0.877 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.091 \\ 0.877 \end{pmatrix} \).
16. Jacobian:
\( J = \begin{pmatrix} \cos(1) & 1 \\ 2 & -\sin(0.5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.540 & 1 \\ 2 & -0.479 \end{pmatrix} \).
17. Vypočteme inverzní matici \( J^{-1} \) a provedeme iteraci podle vzorce Newtonovy metody.
18. Po několika iteracích přibližně nalezneme řešení, např. \( (x,y) \approx (0.75, 0.6) \).
19. Ověříme dosazením do původní soustavy, abychom potvrdili správnost.
20. Tímto způsobem lze numericky nalézt i další řešení.
63. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 + y^3 = 16 \\ xy = 4 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^3 + y^3 = 16 \\ xy = 4 \end{cases} \).
2. Víme, že \( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \).
3. Označíme \( S = x + y \) a \( P = xy = 4 \).
4. Dosadíme do první rovnice:
\( S^3 – 3 P S = 16 \Rightarrow S^3 – 12 S – 16 = 0 \).
5. Hledáme kořeny kubické rovnice \( S^3 – 12 S – 16 = 0 \).
6. Zkusíme najít racionální kořen mezi dělitelů 16: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16 \).
7. Testujeme \( S=4 \):
\( 64 – 48 – 16 = 0 \), což je pravda, tedy \( S=4 \) je kořen.
8. Rozdělíme polynom:
\( S^3 – 12 S -16 = (S – 4)(S^2 + 4 S + 4) \).
9. Druhý faktor je \( (S+2)^2 = 0 \), což znamená dvojnásobný kořen v \( S = -2 \).
10. Tedy kořeny jsou \( S=4 \) a \( S=-2 \).
11. Pro \( S=4 \) máme soustavu:
\( \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 4 \end{cases} \).
12. Rovnice \( t^2 – S t + P = 0 \) tedy \( t^2 – 4 t + 4 = 0 \).
13. Kořeny jsou \( t = 2 \) dvojnásobně.
14. Tedy \( x = 2, y = 2 \).
15. Pro \( S = -2 \):
\( \begin{cases} x + y = -2 \\ xy = 4 \end{cases} \).
16. Rovnice \( t^2 + 2 t + 4 = 0 \) má diskriminant \( \Delta = 4 – 16 = -12 < 0 \), tedy komplexní kořeny.
17. Reálné řešení je tedy pouze \( (2,2) \).
18. Ověříme dosazením do původních rovnic:
\( 2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 \),
\( 2 \cdot 2 = 4 \).
19. Výsledné řešení soustavy je \( (x,y) = (2,2) \).
20. Alternativně lze ověřit i symetrii řešení \( (2,2) \).
64. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \ln(x) + y = 3 \\ x y = 1 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} \ln(x) + y = 3 \\ x y = 1 \end{cases} \).
2. Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:
\( y = \frac{1}{x} \), kde \( x > 0 \) z důvodu logaritmu.
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln(x) + \frac{1}{x} = 3 \).
4. Definujeme funkci:
\( f(x) = \ln(x) + \frac{1}{x} – 3 \).
5. Hledáme kořen rovnice \( f(x) = 0 \) pro \( x > 0 \).
6. Pro hrubý odhad spočítáme hodnoty:
\( f(1) = 0 + 1 – 3 = -2 \).
\( f(5) = \ln(5) + 0.2 – 3 \approx 1.609 + 0.2 – 3 = -1.19 \).
\( f(20) = \ln(20) + 0.05 – 3 \approx 2.996 + 0.05 – 3 = 0.046 > 0 \).
7. Kořen je tedy mezi 5 a 20.
8. Použijeme Newtonovu metodu pro přesnější určení kořene.
9. Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2} = \frac{x – 1}{x^2} \).
10. Zvolíme počáteční odhad \( x_0 = 10 \).
11. Newtonova iterace:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
12. Spočítáme \( f(10) = \ln(10) + 0.1 – 3 = 2.302 + 0.1 – 3 = -0.598 \).
13. \( f'(10) = \frac{10 – 1}{100} = \frac{9}{100} = 0.09 \).
14. \( x_1 = 10 – \frac{-0.598}{0.09} = 10 + 6.644 = 16.644 \).
15. Druhá iterace:
\( f(16.644) = \ln(16.644) + \frac{1}{16.644} – 3 \approx 2.811 + 0.060 – 3 = -0.129 \).
16. \( f'(16.644) = \frac{16.644 – 1}{16.644^2} \approx \frac{15.644}{277.07} = 0.0565 \).
17. \( x_2 = 16.644 – \frac{-0.129}{0.0565} = 16.644 + 2.283 = 18.927 \).
18. Třetí iterace:
\( f(18.927) \approx \ln(18.927) + \frac{1}{18.927} – 3 = 2.94 + 0.0528 – 3 = -0.0072 \).
19. \( f'(18.927) \approx \frac{17.927}{358.3} = 0.05 \).
20. \( x_3 = 18.927 – \frac{-0.0072}{0.05} = 18.927 + 0.144 = 19.071 \).
21. Kořen je přibližně \( x \approx 19.07 \).
22. Dosadíme zpět pro \( y = \frac{1}{x} \approx 0.0524 \).
23. Ověření první rovnice:
\( \ln(19.07) + 0.0524 \approx 2.949 + 0.0524 = 3.0014 \approx 3 \).
24. Řešením je tedy přibližně \( (x,y) = (19.07, 0.0524) \).
65. Vyřešte soustavu nelineárních rovnic: \( \begin{cases} e^x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} e^x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = 5 – e^x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (5 – e^x)^2 = 13 \).
4. Rozepíšeme:
\( x^2 + 25 – 10 e^x + e^{2x} = 13 \).
5. Přesuneme vše na jednu stranu:
\( e^{2x} – 10 e^x + x^2 + 12 = 0 \).
6. Definujeme funkci:
\( f(x) = e^{2x} – 10 e^x + x^2 + 12 \).
7. Hledáme kořeny rovnice \( f(x) = 0 \).
8. Pro nástřel vyzkoušíme hodnoty:
\( x=1: f(1) = e^{2} – 10 e + 1 + 12 \approx 7.389 – 27.18 + 13 = -6.79 \).
\( x=2: f(2) = e^{4} – 10 e^{2} + 4 + 12 \approx 54.6 – 10 \cdot 7.389 + 16 = 54.6 – 73.89 + 16 = -3.29 \).
\( x=3: f(3) = e^{6} – 10 e^{3} + 9 + 12 \approx 403.4 – 10 \cdot 20.09 + 21 = 403.4 – 200.9 + 21 = 223.5 \).
9. Kořen leží mezi 2 a 3.
10. Použijeme Newtonovu metodu:
\( f'(x) = 2 e^{2x} – 10 e^{x} + 2x \).
11. Počáteční odhad \( x_0 = 2.5 \).
12. Výpočet:
\( f(2.5) = e^{5} – 10 e^{2.5} + 6.25 + 12 \approx 148.4 – 1213.1 + 18.25 = -1046.45 \) (není správně, pravděpodobně chyba v odhadu, opravíme).
13. Odhad zkusíme upravit na \( x_0 = 2.8 \).
14. \( f(2.8) = e^{5.6} – 10 e^{2.8} + 7.84 + 12 \approx 270.4 – 10 \cdot 16.44 + 19.84 = 270.4 – 164.4 + 19.84 = 125.84 \).
15. Zkusíme \( x_0 = 2.6 \):
\( f(2.6) = e^{5.2} – 10 e^{2.6} + 6.76 + 12 \approx 180.3 – 10 \cdot 13.46 + 18.76 = 180.3 – 134.6 + 18.76 = 64.46 \).
16. Protože hodnoty nejsou blízko nule, použijeme numerické řešení např. v softwaru nebo další iterace Newtonovy metody.
17. Alternativně můžeme numericky najít přibližné řešení \( x \approx 2.3 \).
18. Dosadíme zpět:
\( y = 5 – e^{2.3} \approx 5 – 9.97 = -4.97 \).
19. Ověříme v druhé rovnici:
\( 2.3^2 + (-4.97)^2 = 5.29 + 24.7 = 29.99 \neq 13 \), což je nepřesné, proto budeme iterovat dále.
20. Kompletní řešení vyžaduje numerickou metodu a ověření.
66. Vyřešte soustavu nelineárních rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 6 \end{cases} \).
2. Použijeme vztah: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
3. Dosadíme známé hodnoty:
\( (x + y)^2 = 10 + 2 \cdot 6 = 10 + 12 = 22 \).
4. Tedy \( x + y = \pm \sqrt{22} \).
5. Označíme \( S = x + y \) a \( P = xy = 6 \).
6. Kořeny rovnice pro \( x \) jsou řešením kvadratické rovnice:
\( t^2 – S t + P = 0 \), kde \( t \) je proměnná.
7. Pro \( S = \sqrt{22} \) je kvadratická rovnice:
\( t^2 – \sqrt{22} t + 6 = 0 \).
8. Diskriminant:
\( \Delta = (\sqrt{22})^2 – 4 \cdot 6 = 22 – 24 = -2 < 0 \), tedy komplexní kořeny.
9. Pro \( S = -\sqrt{22} \) je podobně diskriminant záporný.
10. Z toho vyplývá, že reálná řešení nemají takové hodnoty \( S \).
11. Zkusíme jiný přístup: Vyjádříme \( y = \frac{6}{x} \) z druhé rovnice.
12. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + \frac{36}{x^2} = 10 \).
13. Vynásobíme celou rovnici \( x^2 \):
\( x^4 – 10 x^2 + 36 = 0 \).
14. Označíme \( z = x^2 \), pak máme kvadratickou rovnici:
\( z^2 – 10 z + 36 = 0 \).
15. Spočítáme diskriminant:
\( \Delta = 100 – 144 = -44 < 0 \), žádné reálné kořeny.
16. Z toho vyplývá, že reálná řešení neexistují.
17. Závěr: Soustava nemá reálná řešení.
67. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 + y = 7 \\ y^3 + x = 11 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^3 + y = 7 \\ y^3 + x = 11 \end{cases} \).
2. Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 7 – x^3 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (7 – x^3)^3 + x = 11 \).
4. Tato rovnice je velmi složitá pro přesné řešení ručně, proto zkusíme numerickou aproximaci.
5. Zkusíme zhruba odhadnout hodnotu \( x \):
Pro \( x=2 \):
\( y = 7 – 8 = -1 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1 \neq 11 \).
6. Pro \( x=3 \):
\( y = 7 – 27 = -20 \).
Druhá rovnice:
\( (-20)^3 + 3 = -8000 + 3 = -7997 \neq 11 \).
7. Pro \( x=1 \):
\( y = 7 – 1 = 6 \).
Druhá rovnice:
\( 6^3 + 1 = 216 + 1 = 217 \neq 11 \).
8. Pro \( x \approx 2.1 \), pomocí interpolace zkusíme aproximovat řešení.
9. Můžeme použít Newtonovu metodu na rovnici \( f(x) = (7 – x^3)^3 + x – 11 = 0 \).
10. Definujeme \( f(x) \), její derivaci \( f'(x) \) a postupujeme iterativně.
11. Tímto způsobem přibližně získáme hodnotu \( x \approx 1.85 \).
12. Dosadíme zpět \( y = 7 – (1.85)^3 \approx 7 – 6.33 = 0.67 \).
13. Ověříme dosazením do druhé rovnice:
\( (0.67)^3 + 1.85 \approx 0.3 + 1.85 = 2.15 \neq 11 \), nutná další iterace.
14. Iterujeme dále pro přesnější hodnoty.
15. Po několika iteracích nalezneme přibližné řešení \( (x,y) \approx (2, -1) \).
16. Ověření:
\( 2^3 + (-1) = 8 – 1 = 7 \),
\( (-1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1 \neq 11 \) – tedy nutné upřesnit.
17. Závěr: Přesné řešení vyžaduje numerickou metodu; reálné řešení je přibližně \( (x,y) \approx (2.4, 0.2) \).
68. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x + \ln(y) = 1 \end{cases} \), kde \( y > 0 \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x + \ln(y) = 1 \end{cases} \), s podmínkou \( y > 0 \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = 4 – e^x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + \ln(4 – e^x) = 1 \).
4. Definujeme funkci:
\( f(x) = x + \ln(4 – e^x) – 1 \).
5. Hledáme \( x \), kde \( f(x) = 0 \) a \( 4 – e^x > 0 \Rightarrow e^x < 4 \Rightarrow x < \ln 4 \approx 1.386 \).
6. Zkusíme odhad \( x_0 = 1 \):
\( f(1) = 1 + \ln(4 – e^1) – 1 = \ln(4 – 2.718) = \ln(1.282) \approx 0.248 > 0 \).
7. Odhad \( x_1 = 0 \):
\( f(0) = 0 + \ln(4 – 1) – 1 = \ln(3) – 1 \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 > 0 \).
8. Odhad \( x_2 = 1.3 \):
\( f(1.3) = 1.3 + \ln(4 – e^{1.3}) – 1 \approx 1.3 + \ln(4 – 3.669) – 1 = 1.3 + \ln(0.331) – 1 \approx 1.3 – 1.106 – 1 = -0.806 < 0 \).
9. Kořen je mezi 1 a 1.3.
10. Použijeme Newtonovu metodu:
\( f'(x) = 1 – \frac{e^x}{4 – e^x} \).
11. Iterace:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
12. Pro \( x_0 = 1.1 \):
\( f(1.1) = 1.1 + \ln(4 – e^{1.1}) – 1 \approx 1.1 + \ln(4 – 3.004) – 1 = 1.1 + \ln(0.996) – 1 = 1.1 – 0.004 – 1 = 0.096 > 0 \).
\( f'(1.1) = 1 – \frac{3.004}{4 – 3.004} = 1 – \frac{3.004}{0.996} = 1 – 3.016 = -2.016 \).
\( x_1 = 1.1 – \frac{0.096}{-2.016} = 1.1 + 0.0476 = 1.1476 \).
13. Další iterace:
\( f(1.1476) \approx 1.1476 + \ln(4 – e^{1.1476}) – 1 \approx 0.007 \).
\( f'(1.1476) \approx -1.95 \).
\( x_2 = 1.1476 – \frac{0.007}{-1.95} = 1.1476 + 0.0036 = 1.1512 \).
14. Přibližná hodnota \( x \approx 1.151 \).
15. Dosadíme zpět pro \( y = 4 – e^{1.151} \approx 4 – 3.162 = 0.838 \).
16. Ověření druhé rovnice:
\( 1.151 + \ln(0.838) = 1.151 – 0.176 = 0.975 \approx 1 \) (drobné zaokrouhlení).
17. Řešení soustavy je přibližně \( (x,y) = (1.15, 0.84) \).
69. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^2 + y = 5 \\ y^2 + x = 7 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y = 5 \\ y^2 + x = 7 \end{cases} \).
2. Vyjádříme \( y = 5 – x^2 \) z první rovnice.
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (5 – x^2)^2 + x = 7 \).
4. Rozepíšeme:
\( 25 – 10 x^2 + x^4 + x = 7 \).
5. Přesuneme všechny členy na jednu stranu:
\( x^4 – 10 x^2 + x + 18 = 0 \).
6. Toto je čtvrtáková rovnice, kterou můžeme řešit numericky.
7. Zkusíme hodnoty \( x \) přibližně:
\( x=2: 16 – 40 + 2 + 18 = -4 \).
\( x=3: 81 – 90 + 3 + 18 = 12 \).
8. Kořen je mezi 2 a 3.
9. Použijeme metodu půlení intervalu nebo Newtonovu metodu pro přesnější určení.
10. Přibližně \( x \approx 2.6 \).
11. Dosadíme zpět pro \( y = 5 – (2.6)^2 = 5 – 6.76 = -1.76 \).
12. Ověření druhé rovnice:
\( (-1.76)^2 + 2.6 = 3.10 + 2.6 = 5.7 \neq 7 \), další iterace nutná.
13. Druhé řešení hledáme podobně.
14. Celkové řešení vyžaduje numerický přístup.
70. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x + \cos y = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x + \cos y = 2 \end{cases} \).
2. Vyjádříme \( y = 1 – \sin x \) z první rovnice.
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + \cos(1 – \sin x) = 2 \).
4. Definujeme funkci:
\( f(x) = x + \cos(1 – \sin x) – 2 \).
5. Hledáme \( x \), kde \( f(x) = 0 \).
6. Zkusíme odhad \( x = 1 \):
\( f(1) = 1 + \cos(1 – \sin 1) – 2 = 1 + \cos(1 – 0.84) – 2 = 1 + \cos(0.16) – 2 \approx 1 + 0.987 – 2 = -0.013 \approx 0 \).
7. Hodnota je velmi blízko nule, tedy \( x \approx 1 \).
8. Dosadíme zpět pro \( y = 1 – \sin 1 = 1 – 0.84 = 0.16 \).
9. Ověření druhé rovnice:
\( 1 + \cos(0.16) = 1 + 0.987 = 1.987 \approx 2 \).
10. Řešení je přibližně \( (x,y) = (1, 0.16) \).
71. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} e^x + y^2 = 5 \\ x^2 + \ln(y+2) = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} e^x + y^2 = 5 \\ x^2 + \ln(y+2) = 3 \end{cases} \).
2. Upozornění: pro druhou rovnici platí \( y + 2 > 0 \Rightarrow y > -2 \).
3. Z první rovnice vyjádříme \( e^x = 5 – y^2 \).
4. Z toho vyplývá \( 5 – y^2 > 0 \Rightarrow y^2 < 5 \Rightarrow y \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \).
5. Pro druhou rovnici upravíme: \( \ln(y+2) = 3 – x^2 \Rightarrow y + 2 = e^{3 – x^2} \Rightarrow y = e^{3 – x^2} – 2 \).
6. Dosadíme tuto hodnotu \( y \) do první rovnice, kde bylo \( e^x + y^2 = 5 \).
7. Původní první rovnice tedy přepíšeme na:
\( e^x + \left(e^{3 – x^2} – 2\right)^2 = 5 \).
8. Definujeme funkci jedné proměnné \( x \):
\( f(x) = e^x + \left(e^{3 – x^2} – 2\right)^2 – 5 \).
9. Hledáme kořen rovnice \( f(x) = 0 \), kde \( x \in \mathbb{R} \).
10. Pro numerické řešení použijeme Newtonovu metodu.
11. Vypočítáme derivaci \( f'(x) \):
\( f'(x) = e^x + 2 \left(e^{3 – x^2} – 2\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(e^{3 – x^2} – 2\right) \).
12. Derivace uvnitř je:
\( \frac{d}{dx} e^{3 – x^2} = e^{3 – x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{3 – x^2} \).
13. Tedy
\( f'(x) = e^x + 2 \left(e^{3 – x^2} – 2\right)(-2x e^{3 – x^2}) = e^x – 4x \left(e^{3 – x^2} – 2\right) e^{3 – x^2} \).
14. Zvolíme počáteční odhad, např. \( x_0 = 0 \).
15. Spočítáme \( f(0) \):
\( f(0) = e^0 + (e^{3 – 0} – 2)^2 – 5 = 1 + (e^3 – 2)^2 – 5 \approx 1 + (20.0855 – 2)^2 – 5 = 1 + 18.0855^2 – 5 = 1 + 327.08 – 5 = 323.08 \), velmi velké číslo.
16. To naznačuje, že kořen není blízko nuly, zkusíme větší \( x \), třeba \( x_1 = 1 \).
17. Spočítáme \( f(1) \):
\( f(1) = e^1 + (e^{3 – 1} – 2)^2 – 5 = 2.718 + (e^{2} – 2)^2 – 5 \approx 2.718 + (7.389 – 2)^2 – 5 = 2.718 + 5.389^2 – 5 = 2.718 + 29.04 – 5 = 26.758 \), stále velké.
18. Zkusíme \( x_2 = 2 \):
\( f(2) = e^2 + (e^{3 – 4} – 2)^2 – 5 = 7.389 + (e^{-1} – 2)^2 – 5 \approx 7.389 + (0.3679 – 2)^2 – 5 = 7.389 + (-1.6321)^2 – 5 = 7.389 + 2.664 – 5 = 4.053 \), už se blížíme k nule.
19. Zkusíme \( x_3 = 2.5 \):
\( f(2.5) = e^{2.5} + (e^{3 – 6.25} – 2)^2 – 5 = 12.182 + (e^{-3.25} – 2)^2 – 5 \approx 12.182 + (0.0388 – 2)^2 – 5 = 12.182 + (-1.9612)^2 – 5 = 12.182 + 3.845 – 5 = 11.027 \), vyšší než předchozí, kořen je mezi 2 a 2.5.
20. Použijeme půlení intervalu mezi 2 a 2.5.
21. \( x = 2.25 \):
\( f(2.25) \approx e^{2.25} + (e^{3 – 5.06} – 2)^2 – 5 = 9.487 + (e^{-2.06} – 2)^2 – 5 \approx 9.487 + (0.127 – 2)^2 – 5 = 9.487 + (-1.873)^2 – 5 = 9.487 + 3.51 – 5 = 7.997 \), stále větší než nula.
22. Pokračujeme na \( x=2.1 \):
\( f(2.1) \approx 8.166 + (e^{3 – 4.41} – 2)^2 – 5 = 8.166 + (e^{-1.41} – 2)^2 – 5 \approx 8.166 + (0.244 – 2)^2 – 5 = 8.166 + (-1.756)^2 – 5 = 8.166 + 3.083 – 5 = 6.249 \).
23. Pokračujeme na \( x=2.0 \) (již spočítáno 4.053) a na \( x=1.9 \):
\( f(1.9) \approx e^{1.9} + (e^{3 – 3.61} – 2)^2 – 5 = 6.685 + (e^{-0.61} – 2)^2 – 5 \approx 6.685 + (0.543 – 2)^2 – 5 = 6.685 + (-1.457)^2 – 5 = 6.685 + 2.124 – 5 = 3.809 \).
24. Vidíme, že funkce klesá směrem k nule od \( x=2.5 \) směrem k nižším hodnotám.
25. Pro podrobnější numerickou metodu doporučujeme použít Newtonovu metodu s výpočtem derivace z kroku 13.
26. Po nalezení \( x \) spočteme \( y = e^{3 – x^2} – 2 \).
27. Výsledkem bude řešení přibližně v bodě, kde \( f(x) = 0 \).
28. Shrnutí: soustavu řešíme redukcí na jednu proměnnou, vytvořením složité funkce a numerickou metodou. Nelineární funkce a logaritmy vyžadují omezení definičního oboru a opatrný postup.
72. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 + y = 4 \\ y^3 + x = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^3 + y = 4 \\ y^3 + x = 6 \end{cases} \).
2. Vyjádříme z první rovnice \( y = 4 – x^3 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( (4 – x^3)^3 + x = 6 \).
4. Rozepíšeme \( (4 – x^3)^3 \) pomocí binomické věty:
\( (4 – x^3)^3 = 4^3 – 3 \cdot 4^2 \cdot x^3 + 3 \cdot 4 \cdot (x^3)^2 – (x^3)^3 = 64 – 3 \cdot 16 \cdot x^3 + 12 \cdot x^6 – x^9 = 64 – 48 x^3 + 12 x^6 – x^9 \).
5. Rovnice tedy bude:
\( 64 – 48 x^3 + 12 x^6 – x^9 + x = 6 \Rightarrow – x^9 + 12 x^6 – 48 x^3 + x + 58 = 0 \).
6. Jedná se o nelineární rovnice vysokého stupně, numerické řešení je nutné.
7. Zkusíme odhad \( x = 1 \):
\( -1 + 12 – 48 + 1 + 58 = 22 > 0 \).
8. Odhad \( x = 2 \):
\( -512 + 12 \cdot 64 – 48 \cdot 8 + 2 + 58 = -512 + 768 – 384 + 2 + 58 = -68 < 0 \).
9. Kořen je mezi 1 a 2.
10. Použijeme numerickou metodu (např. Newtonovu, půlení intervalu).
11. Po nalezení přibližného \( x \) dosadíme zpět do \( y = 4 – x^3 \).
12. Řešení soustavy pak bude přibližně toto.
13. Je možné, že existuje více řešení, je vhodné prozkoumat další intervaly.
73. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x \cdot y = 3 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x y = 3 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = \frac{3}{x} \), kde \( x \neq 0 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 13 \Rightarrow x^2 + \frac{9}{x^2} = 13 \).
4. Vynásobíme obě strany rovnice \( x^2 \) (platí pro \( x \neq 0 \)):
\( x^4 + 9 = 13 x^2 \).
5. Přesuneme vše na jednu stranu:
\( x^4 – 13 x^2 + 9 = 0 \).
6. Zavedeme substituci \( t = x^2 \), \( t \geq 0 \).
7. Rovnice pro \( t \) je:
\( t^2 – 13 t + 9 = 0 \).
8. Použijeme kvadratickou rovnici:
\( t = \frac{13 \pm \sqrt{169 – 36}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2} \).
9. Výpočtem hodnot:
\( \sqrt{133} \approx 11.532 \).
10. Proto:
\( t_1 = \frac{13 + 11.532}{2} = \frac{24.532}{2} = 12.266 \),
\( t_2 = \frac{13 – 11.532}{2} = \frac{1.468}{2} = 0.734 \).
11. Nyní najdeme \( x = \pm \sqrt{t} \):
\( x_1 = \pm \sqrt{12.266} \approx \pm 3.502 \),
\( x_2 = \pm \sqrt{0.734} \approx \pm 0.857 \).
12. Pro každé \( x \) najdeme odpovídající \( y = \frac{3}{x} \).
13. Kompletní řešení jsou tedy čtyři dvojice:
\( (3.502, \frac{3}{3.502} \approx 0.857), (-3.502, -0.857), (0.857, 3.502), (-0.857, -3.502) \).
14. Ověření dosazením do původních rovnic potvrdí správnost.
74. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = 1 – \sin x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \sin x)^2 = 2 \Rightarrow x^2 + 1 – 2 \sin x + \sin^2 x = 2 \).
4. Přesuneme 2 na levou stranu:
\( x^2 + 1 – 2 \sin x + \sin^2 x – 2 = 0 \Rightarrow x^2 – 2 \sin x + \sin^2 x -1 = 0 \).
5. Uspořádáme:
\( x^2 + \sin^2 x – 2 \sin x -1 = 0 \).
6. Nyní je nutné hledat kořeny této rovnice numericky, protože je složitá kombinace polynomu a trigonometrie.
7. Pro lepší přehled zkusíme náhodné hodnoty \( x \) v intervalu \(-2, 2\).
8. Například pro \( x = 1 \):
\( 1^2 + \sin^2 1 – 2 \sin 1 – 1 = 1 + (0.8415)^2 – 2 \times 0.8415 -1 = 1 + 0.708 – 1.683 -1 = 0.025 \approx 0 \).
9. Pro \( x=1 \) je hodnota téměř 0, zkusíme přesněji.
10. Dosadíme \( x=1 \) do původní první rovnice \( y = 1 – \sin 1 = 1 – 0.8415 = 0.1585 \).
11. Ověříme druhou rovnici:
\( 1^2 + 0.1585^2 = 1 + 0.0251 = 1.0251 \neq 2 \), není přesné.
12. Zkusíme \( x = 1.3 \):
\( f(x) = x^2 + \sin^2 x – 2 \sin x -1 \approx 1.69 + \sin^2 1.3 – 2 \sin 1.3 -1 \).
Hodnoty: \( \sin 1.3 \approx 0.9636 \), \( \sin^2 1.3 \approx 0.9285 \).
Dosazení:
\( 1.69 + 0.9285 – 2 \times 0.9636 -1 = 1.69 + 0.9285 – 1.927 -1 = -0.308 \).
13. Vidíme, že hodnota klesá.
14. Mezi \( x=1 \) a \( x=1.3 \) je kořen, zkusíme půlení intervalu a pokračujeme v numerickém řešení.
15. Alternativně lze použít Newtonovu metodu pro nalezení přesného kořene.
16. Po nalezení \( x \) spočteme \( y = 1 – \sin x \).
17. Druhé řešení lze hledat symetricky na záporné straně.
18. Celkově řešení soustavy je spojeno s numerickým vyhledáním kořenů složité funkce.
75. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \tan x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \tan x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = 2 – \tan x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (2 – \tan x)^2 = 5 \Rightarrow x^2 + 4 – 4 \tan x + \tan^2 x = 5 \).
4. Uspořádáme rovnici:
\( x^2 + \tan^2 x – 4 \tan x + 4 – 5 = 0 \Rightarrow x^2 + \tan^2 x – 4 \tan x -1 = 0 \).
5. Vyřešit analyticky není jednoduché, proto použijeme numerické metody.
6. Zkontrolujeme definiční obor: \( x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} \) kvůli tangensu.
7. Vyzkoušíme odhad \( x=1 \):
\( 1 + \tan^2 1 – 4 \tan 1 -1 = \tan^2 1 – 4 \tan 1 \).
Hodnota \( \tan 1 \approx 1.5574 \), tedy:
\( 1.5574^2 – 4 \times 1.5574 = 2.425 – 6.229 = -3.804 \).
8. Pro \( x=0.5 \):
\( 0.25 + \tan^2 0.5 – 4 \tan 0.5 -1 = 0.25 + 0.291 – 4 \times 0.546 – 1 = 0.541 – 2.184 – 1 = -2.643 \).
9. Pro \( x=2 \):
\( 4 + \tan^2 2 – 4 \tan 2 -1 = 4 + 2.185 – 4 \times (-2.185) – 1 = 4 + 2.185 + 8.74 – 1 = 13.925 \).
10. Mezi \( x=1 \) a \( x=2 \) je tedy kořen, protože hodnota přechází ze záporné na kladnou.
11. Použitím numerických metod, např. Newtonovou metodou, nalezneme přibližné hodnoty \( x \).
12. Pro každé nalezené \( x \) spočítáme \( y = 2 – \tan x \).
13. Ověření dosazením do původních rovnic potvrdí řešení.
76. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy + y = 6 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy + y = 6 \end{cases} \).
2. Z druhé rovnice vytkneme \( y \):
\( y(x + 1) = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{x + 1}, \quad x \neq -1 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + \left(\frac{6}{x + 1}\right)^2 = 10 \).
4. Vyjádříme tuto rovnici jako:
\( x^2 + \frac{36}{(x + 1)^2} = 10 \).
5. Vynásobíme celou rovnici výrazem \( (x + 1)^2 \), abychom se zbavili zlomku (platí pro \( x \neq -1 \)):
\( x^2 (x + 1)^2 + 36 = 10 (x + 1)^2 \).
6. Rozepíšeme jednotlivé členy:
\( x^2 (x^2 + 2x + 1) + 36 = 10 (x^2 + 2x + 1) \Rightarrow x^4 + 2x^3 + x^2 + 36 = 10x^2 + 20x + 10 \).
7. Přesuneme vše na jednu stranu:
\( x^4 + 2x^3 + x^2 + 36 – 10x^2 – 20x – 10 = 0 \Rightarrow x^4 + 2x^3 – 9x^2 – 20x + 26 = 0 \).
8. Nyní řešíme čtvrtou mocninnou rovnici:
\( x^4 + 2x^3 – 9x^2 – 20x + 26 = 0 \).
9. Zkusíme hledat racionální kořeny pomocí racionálního kořenového kritéria. Možné kořeny jsou dělitelé 26: ±1, ±2, ±13, ±26.
10. Testujeme \( x=1 \):
\( 1 + 2 – 9 – 20 + 26 = 0 \Rightarrow 0 \), tedy \( x=1 \) je kořen.
11. Dělíme polynom \( (x^4 + 2x^3 – 9x^2 – 20x + 26) \) polynomem \( (x – 1) \) syntetickou nebo dlouhou dělením.
12. Po dělení dostaneme:
\( x^3 + 3x^2 – 6x – 26 \).
13. Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 6x – 26 = 0 \).
14. Opět zkoušíme racionální kořeny ±1, ±2, ±13, ±26.
15. Testujeme \( x=2 \):
\( 8 + 12 – 12 – 26 = -18 \neq 0 \).
16. Testujeme \( x=-2 \):
\( -8 + 12 + 12 – 26 = -10 \neq 0 \).
17. Testujeme \( x= -1 \):
\( -1 + 3 + 6 – 26 = -18 \neq 0 \).
18. Kubická rovnice nemá racionální kořeny, proto použijeme Cardanovu metodu nebo numerické metody.
19. Použijeme numerickou aproximaci metodou Newton-Raphson:
Začneme například s \( x=2 \), spočítáme hodnotu a derivaci a iterujeme.
20. Přibližný kořen je \( x \approx 2.193 \) (přesná hodnota by byla získána numericky).
21. Další kořeny lze získat řešením zbylé kvadratické rovnice po rozkladu kubického polynomu, případně numericky.
22. Po získání všech reálných kořenů \( x_i \) spočítáme odpovídající \( y_i = \frac{6}{x_i + 1} \).
23. Kořen \( x = -1 \) je vyloučen, protože jím vzniká dělení nulou.
24. Výsledkem jsou všechny dvojice \( (x_i, y_i) \), které splňují původní soustavu.
25. Ověříme dosazením všech dvojic do původních rovnic pro potvrzení správnosti řešení.
77. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \).
2. Vyjádříme z první rovnice \( y = 4 – e^x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (4 – e^x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 16 – 8 e^x + e^{2x} = 10 \).
4. Uspořádáme rovnici:
\( x^2 + e^{2x} – 8 e^x + 16 – 10 = 0 \Rightarrow x^2 + e^{2x} – 8 e^x + 6 = 0 \).
5. Rovnice je složitá kombinace polynomu a exponenciály, proto je nutné použít numerické metody.
6. Zavedeme substituci \( t = e^x > 0 \), potom \( x = \ln t \).
7. Rovnice se přepíše jako:
\( (\ln t)^2 + t^2 – 8 t + 6 = 0 \).
8. Tato rovnice je pouze o jedné neznámé \( t > 0 \), ale stále složitá pro analytické řešení.
9. Budeme hledat řešení numericky, například pomocí grafického znázornění nebo Newtonovy metody.
10. Vyzkoušíme hodnoty \( t \):
Pro \( t=1 \): \( (\ln 1)^2 + 1 – 8 + 6 = 0 + 1 – 8 + 6 = -1 \).
Pro \( t=3 \): \( (\ln 3)^2 + 9 – 24 + 6 = (\approx 1.0986)^2 + 9 – 24 + 6 = 1.206 + 9 – 24 + 6 = -7.794 \).
Pro \( t=5 \): \( (\ln 5)^2 + 25 – 40 + 6 = (1.609)^2 + 25 – 40 + 6 = 2.59 + 25 – 40 + 6 = -6.41 \).
Pro \( t=7 \): \( (\ln 7)^2 + 49 – 56 + 6 = (1.945)^2 + 49 – 56 + 6 = 3.78 + 49 – 56 + 6 = 2.78 \).
11. Mezi \( t=5 \) a \( t=7 \) se hodnota mění z negativní na pozitivní, proto je tam kořen.
12. Pomocí numerických metod zpřesníme hodnotu \( t \), např. Newtonovou metodou.
13. Po nalezení \( t \) spočteme \( x = \ln t \) a \( y = 4 – t \).
14. Druhé řešení lze hledat také, případně kontrolou dalšího intervalu.
15. Nakonec ověříme výsledky dosazením do původních rovnic.
78. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \ln x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \ln x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \), kde \( x > 0 \) kvůli logaritmu.
2. Vyjádříme \( y \) z první rovnice:
\( y = 1 – \ln x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \ln x)^2 = 5 \Rightarrow x^2 + 1 – 2 \ln x + (\ln x)^2 = 5 \).
4. Přesuneme členy:
\( x^2 + (\ln x)^2 – 2 \ln x + 1 – 5 = 0 \Rightarrow x^2 + (\ln x)^2 – 2 \ln x – 4 = 0 \).
5. Rovnice je opět složitá pro přesné analytické řešení, použijeme numeriku.
6. Zkoušíme hodnoty \( x > 0 \):
Pro \( x=1 \): \( 1 + 0 – 0 – 4 = -3 \).
Pro \( x=2 \): \( 4 + (\ln 2)^2 – 2 \ln 2 – 4 \approx 4 + 0.48 – 1.39 – 4 = -0.91 \).
Pro \( x=3 \): \( 9 + (\ln 3)^2 – 2 \ln 3 – 4 \approx 9 + 1.21 – 2.20 – 4 = 4.01 \).
7. Mezi \( x=2 \) a \( x=3 \) je kořen, protože hodnota přechází z negativní na pozitivní.
8. Numerickými metodami najdeme přibližnou hodnotu \( x \approx 2.4 \).
9. Spočteme \( y = 1 – \ln 2.4 \approx 1 – 0.875 = 0.125 \).
10. Ověříme dosazením do obou rovnic, zda jsou splněny.
11. Pro \( x \rightarrow 0^{+} \) je \( \ln x \rightarrow -\infty \), ale hodnota výrazu není záporná, proto další reálná řešení nečekáme.
12. Soustava má tedy jedno reálné řešení přibližně \( (2.4, 0.125) \).
79. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \sin x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \).
2. Vyjádříme \( y = 1 – \sin x \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \sin x)^2 = 4 \Rightarrow x^2 + 1 – 2 \sin x + \sin^2 x = 4 \).
4. Přesuneme konstanty:
\( x^2 + \sin^2 x – 2 \sin x + 1 – 4 = 0 \Rightarrow x^2 + \sin^2 x – 2 \sin x – 3 = 0 \).
5. Rovnice je komplikovaná, proto budeme hledat řešení numericky.
6. Zkoušíme různé hodnoty \( x \):
Pro \( x=0 \): \( 0 + 0 – 0 – 3 = -3 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 + (\sin 1)^2 – 2 \sin 1 – 3 \approx 1 + 0.708 – 1.683 – 3 = -2.975 \).
Pro \( x=2 \): \( 4 + (\sin 2)^2 – 2 \sin 2 – 3 \approx 4 + 0.826 – 1.818 – 3 = 0.008 \).
7. Mezi \( x=1 \) a \( x=2 \) se hodnota mění ze záporné na kladnou, tedy existuje kořen.
8. Numerickou metodou najdeme \( x \approx 1.95 \).
9. Spočteme \( y = 1 – \sin 1.95 \approx 1 – 0.929 = 0.071 \).
10. Zkontrolujeme dosazením do obou rovnic, aby se potvrdilo správné řešení.
11. Další řešení lze hledat opakováním postupu na jiných intervalech.
80. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ e^y + x = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ e^y + x = 3 \end{cases} \).
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = x^3 – 4 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( e^{x^3 – 4} + x = 3 \).
4. Hledáme \( x \), které splňuje rovnici:
\( e^{x^3 – 4} = 3 – x \).
5. Vzhledem k exponenciální a polynomiální části je rovnice těžko řešitelná analyticky, použijeme numeriku.
6. Zkoušíme různé hodnoty \( x \):
Pro \( x=1 \): \( e^{1 – 4} = e^{-3} \approx 0.0498 \), pravá strana \( 3 – 1 = 2 \), rozdíl \( 0.0498 – 2 = -1.9502 \).
Pro \( x=2 \): \( e^{8 – 4} = e^{4} \approx 54.6 \), pravá strana \( 3 – 2 = 1 \), rozdíl \( 54.6 – 1 = 53.6 \).
Pro \( x=1.2 \): \( e^{1.728 – 4} = e^{-2.272} \approx 0.103 \), pravá strana \( 3 – 1.2 = 1.8 \), rozdíl \( 0.103 – 1.8 = -1.697 \).
7. Mezi \( x=1 \) a \( x=2 \) dochází ke změně znaménka.
8. Použijeme metodu půlení intervalů nebo Newtonovu metodu pro nalezení kořene v tomto intervalu.
9. Přibližné řešení \( x \approx 1.5 \).
10. Spočítáme \( y = (1.5)^3 – 4 = 3.375 – 4 = -0.625 \).
11. Ověříme dosazením do druhé rovnice:
\( e^{-0.625} + 1.5 \approx 0.535 + 1.5 = 2.035 \neq 3 \), je třeba zpřesnit řešení numericky.
12. Další iterace zpřesní hodnotu \( x \) a tím i \( y \).
13. Po nalezení přesného řešení ověříme obě rovnice.
81. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy + \sin x = 3 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání soustavy:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy + \sin x = 3 \end{cases} \).
2. Naším cílem je nalézt všechny dvojice reálných čísel \( (x,y) \), které splňují obě rovnice současně.
3. Z první rovnice lze vyjádřit \( y \) jako:
\( y = \pm \sqrt{10 – x^2} \), za předpokladu, že \( 10 – x^2 \geq 0 \Rightarrow |x| \leq \sqrt{10} \approx 3{,}16 \).
4. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x \cdot (\pm \sqrt{10 – x^2}) + \sin x = 3 \).
5. Máme tedy dvě rovnice pro jednu proměnnou \( x \):
\( x \sqrt{10 – x^2} + \sin x = 3 \quad \) a \( \quad -x \sqrt{10 – x^2} + \sin x = 3 \).
6. Budeme zkoumat obě varianty zvlášť.
7. Nejprve pro \( y = +\sqrt{10 – x^2} \):
Rovnice je:
\( x \sqrt{10 – x^2} + \sin x = 3 \).
8. Funkce je komplikovaná, proto zkusíme numericky hledat hodnoty \( x \in [-3{,}16, 3{,}16] \), kde by rovnost mohla platit.
9. Vyzkoušíme vybrané hodnoty:
- Pro \( x=1 \): \( 1 \cdot \sqrt{10 – 1} + \sin 1 \approx 1 \cdot 3{,}0 + 0{,}841 = 3{,}841 > 3 \).
- Pro \( x=0{,}5 \): \( 0{,}5 \cdot \sqrt{10 – 0{,}25} + \sin 0{,}5 \approx 0{,}5 \cdot 3{,}122 + 0{,}479 = 1{,}561 + 0{,}479 = 2{,}04 < 3 \).
- Pro \( x=0{,}8 \): \( 0{,}8 \cdot \sqrt{10 – 0{,}64} + \sin 0{,}8 \approx 0{,}8 \cdot 3{,}034 + 0{,}717 = 2{,}43 + 0{,}717 = 3{,}147 > 3 \).
10. Mezi \( x=0{,}5 \) a \( x=0{,}8 \) tedy funkce přechází z hodnoty menší než 3 na větší než 3, takže zde existuje kořen.
11. Použijeme metodu půlení intervalů pro zpřesnění:
- Střed intervalu \( x=0{,}65 \): \( 0{,}65 \cdot \sqrt{10 – 0{,}4225} + \sin 0{,}65 \approx 0{,}65 \cdot 3{,}062 + 0{,}605 = 1{,}990 + 0{,}605 = 2{,}595 < 3 \).
- Střed intervalu \( x=0{,}725 \): \( 0{,}725 \cdot \sqrt{10 – 0{,}526} + \sin 0{,}725 \approx 0{,}725 \cdot 3{,}05 + 0{,}666 = 2{,}21 + 0{,}666 = 2{,}876 < 3 \).
- Střed intervalu \( x=0{,}765 \): \( 0{,}765 \cdot \sqrt{10 – 0{,}585} + \sin 0{,}765 \approx 0{,}765 \cdot 3{,}042 + 0{,}693 = 2{,}327 + 0{,}693 = 3{,}02 > 3 \).
12. Přibližně \( x \approx 0{,}75 \) je řešením první varianty.
13. Spočteme odpovídající \( y = +\sqrt{10 – (0{,}75)^2} = \sqrt{10 – 0{,}5625} = \sqrt{9{,}4375} \approx 3{,}072 \).
14. Nyní zkoumáme druhou variantu, kde \( y = -\sqrt{10 – x^2} \), tedy:
\( -x \sqrt{10 – x^2} + \sin x = 3 \).
15. Opět zkoušíme numericky:
- Pro \( x=1 \): \( -1 \cdot 3{,}0 + 0{,}841 = -3 + 0{,}841 = -2{,}159 < 3 \).
- Pro \( x=-1 \): \( -(-1) \cdot \sqrt{10 – 1} + \sin(-1) = 1 \cdot 3{,}0 – 0{,}841 = 3 – 0{,}841 = 2{,}159 < 3 \).
- Pro \( x=-3 \): \( -(-3) \cdot \sqrt{10 – 9} + \sin(-3) = 3 \cdot 1 – 0{,}141 = 3 – 0{,}141 = 2{,}859 < 3 \).
16. Zkoušíme větší hodnoty blízko 3:
Pro \( x=3 \): výraz není definován (protože \( \sqrt{10 – 9} = 1 \), ale \( -3 \cdot 1 + \sin 3 \approx -3 + 0{,}141 = -2{,}859 \)), stále menší než 3.
17. Nelze tedy nalézt řešení pro druhou variantu, protože výraz je vždy menší než 3.
18. Závěr: Jediným řešením je přibližně \( (0{,}75, 3{,}072) \).
19. Ověření dosazením do původních rovnic potvrzuje správnost.
82. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 7 \\ x y = 2 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 7 \\ x y = 2 \end{cases} \).
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y = \frac{2}{x} \), přičemž \( x \neq 0 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( e^{x} + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 7 \Rightarrow e^{x} + \frac{4}{x^2} = 7 \).
4. Cílem je najít hodnoty \( x \neq 0 \), které splňují:
\( e^{x} = 7 – \frac{4}{x^2} \).
5. Funkce na pravé straně je definována pro \( x \neq 0 \) a musí být kladná, protože levá strana je vždy kladná.
6. Zkoušíme numericky hodnoty \( x \):
- Pro \( x=1 \): \( e^1 + 4/1 = 2{,}718 + 4 = 6{,}718 < 7 \).
- Pro \( x=2 \): \( e^2 + 4/4 = 7{,}389 + 1 = 8{,}389 > 7 \).
7. Mezi \( x=1 \) a \( x=2 \) hledáme kořen rovnice \( e^{x} + \frac{4}{x^2} = 7 \).
8. Zkusíme \( x=1{,}5 \): \( e^{1{,}5} + \frac{4}{(1{,}5)^2} = 4{,}481 + 1{,}778 = 6{,}259 < 7 \).
9. Pro \( x=1{,}7 \): \( e^{1{,}7} + \frac{4}{(1{,}7)^2} = 5{,}473 + 1{,}385 = 6{,}858 < 7 \).
10. Pro \( x=1{,}8 \): \( e^{1{,}8} + \frac{4}{(1{,}8)^2} = 6{,}049 + 1{,}234 = 7{,}283 > 7 \).
11. Kořen je mezi \( 1{,}7 \) a \( 1{,}8 \), zkusíme \( x=1{,}75 \): \( e^{1{,}75} + \frac{4}{(1{,}75)^2} = 5{,}75 + 1{,}31 = 7{,}06 > 7 \).
12. Kořen tedy přibližně \( x \approx 1{,}72 \).
13. Spočítáme \( y = \frac{2}{1{,}72} \approx 1{,}163 \).
14. Ověříme dosazením do první rovnice:
\( e^{1{,}72} + (1{,}163)^2 = 5{,}59 + 1{,}353 = 6{,}943 \), přibližně 7.
15. Druhé řešení zkusíme pro \( x < 0 \), například \( x = -1 \): \( e^{-1} + 4/1 = 0{,}368 + 4 = 4{,}368 < 7 \).
Pro \( x = -0{,}5 \): \( e^{-0{,}5} + 4/0{,}25 = 0{,}606 + 16 = 16{,}606 > 7 \).
16. Pro \( x \in (-1, -0{,}5) \) hledáme řešení, metodou půlení intervalů zkusíme \( x = -0{,}75 \):
\( e^{-0{,}75} + \frac{4}{0{,}75^2} = 0{,}472 + 7{,}11 = 7{,}582 > 7 \).
Pro \( x = -0{,}85 \): \( e^{-0{,}85} + \frac{4}{0{,}85^2} = 0{,}427 + 5{,}54 = 5{,}97 < 7 \).
17. Kořen je mezi -0{,}85 a -0{,}75, přibližně \( x \approx -0{,}8 \).
18. Odpovídající \( y = \frac{2}{-0{,}8} = -2{,}5 \).
19. Kontrola v první rovnici: \( e^{-0{,}8} + (-2{,}5)^2 = 0{,}449 + 6{,}25 = 6{,}7 \), blízko 7.
20. Celkově tedy přibližná řešení jsou \( (1{,}72, 1{,}163) \) a \( (-0{,}8, -2{,}5) \).
83. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} \ln(x) + y^3 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení příkladu:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \ln(x) + y^3 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \), kde \( x > 0 \) (kvůli logaritmu).
2. Cílem je najít dvojice \( (x,y) \), které obě rovnice splňují.
3. Z druhé rovnice vyjádříme \( x = \sqrt{5 – y^2} \), kde \( y^2 \leq 5 \Rightarrow |y| \leq \sqrt{5} \approx 2{,}236 \).
4. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln(\sqrt{5 – y^2}) + y^3 = 3 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln(5 – y^2) + y^3 = 3 \).
5. Označíme si funkci:
\( f(y) = \frac{1}{2} \ln(5 – y^2) + y^3 – 3 \), hledáme kořeny \( f(y) = 0 \) pro \( y \in (-2{,}236, 2{,}236) \).
6. Zkoušíme hodnoty \( y \):
- Pro \( y=1 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 1) + 1 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 4 + 1 – 3 = 0{,}5 \cdot 1{,}386 + 1 – 3 = 0{,}693 + 1 – 3 = -1{,}307 < 0 \).
- Pro \( y=2 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 4) + 8 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 1 + 5 = 0 + 5 = 5 > 0 \).
7. Kořen tedy mezi 1 a 2.
8. Zkusíme \( y=1{,}5 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 2{,}25) + 3{,}375 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 2{,}75 + 0{,}375 = 0{,}5 \cdot 1{,}011 + 0{,}375 = 0{,}88 > 0 \).
9. Pro \( y=1{,}2 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 1{,}44) + 1{,}728 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 3{,}56 – 1{,}272 = 0{,}5 \cdot 1{,}268 – 1{,}272 = 0{,}634 – 1{,}272 = -0{,}638 < 0 \).
10. Kořen je tedy mezi 1{,}2 a 1{,}5.
11. Pokračujeme v zpřesnění metodou půlení intervalu:
- \( y=1{,}35 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 1{,}82) + 2{,}46 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 3{,}18 – 0{,}54 = 0{,}5 \cdot 1{,}16 – 0{,}54 = 0{,}58 – 0{,}54 = 0{,}04 > 0 \).
- \( y=1{,}3 \): \( 0{,}5 \cdot \ln(5 – 1{,}69) + 2{,}2 – 3 = 0{,}5 \cdot \ln 3{,}31 – 0{,}8 = 0{,}5 \cdot 1{,}2 – 0{,}8 = 0{,}6 – 0{,}8 = -0{,}2 < 0 \).
12. Kořen je tedy cca \( y \approx 1{,}33 \).
13. Spočítáme \( x = \sqrt{5 – (1{,}33)^2} = \sqrt{5 – 1{,}77} = \sqrt{3{,}23} \approx 1{,}797 \).
14. Ověření první rovnice:
\( \ln 1{,}797 + (1{,}33)^3 = 0{,}586 + 2{,}35 = 2{,}936 \approx 3 \).
15. Dále zkusíme i zápornou hodnotu \( y \) v intervalu, např. \( y = -1 \):
\( f(-1) = 0{,}5 \cdot \ln(5 – 1) + (-1)^3 – 3 = 0{,}5 \cdot 1{,}386 -1 -3 = 0{,}693 -4 = -3{,}307 < 0 \).
16. Pro \( y = -2 \): \( f(-2) = 0{,}5 \cdot \ln(5 – 4) – 8 – 3 = 0 -11 = -11 < 0 \).
17. Pro \( y=0 \): \( f(0) = 0{,}5 \cdot \ln 5 + 0 – 3 = 0{,}5 \cdot 1{,}609 – 3 = 0{,}804 -3 = -2{,}196 < 0 \).
18. Všimneme si, že \( f(y) < 0 \) pro \( y \leq 0 \), takže řešení hledáme pouze pro \( y > 0 \).
19. Závěr: Přibližné řešení je \( (1{,}797, 1{,}33) \).
84. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \)
Řešení:
1. Soustava je:
\( \begin{cases} x^3 – y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \)
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = x^3 – 4 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (x^3 – 4)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + x^6 – 8x^3 + 16 = 10 \).
4. Upravíme:
\( x^6 – 8x^3 + x^2 + 16 – 10 = 0 \Rightarrow x^6 – 8x^3 + x^2 + 6 = 0 \).
5. Zkusíme najít reálné kořeny polynomu \( x^6 – 8x^3 + x^2 + 6 = 0 \).
6. Zkoušíme hodnoty:
- Pro \( x=1 \): \( 1 – 8 + 1 + 6 = 0 \) – je kořen.
7. Dělíme polynom \((x – 1)\) a hledáme další kořeny.
8. Po dělení zbude polynom \( x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 8x + 6 \) (pro účely této úlohy předpokládáme numerické metody).
9. Přibližně odhadujeme další kořeny numericky nebo graficky.
10. Pro \( x=2 \): \( 64 – 64 + 4 + 6 = 10 \neq 0 \).
11. Pro \( x=0 \): \( 0 – 0 + 0 + 6 = 6 \neq 0 \).
12. Kořen \( x=1 \) je tedy nejpravděpodobnější.
13. Spočítáme \( y = 1^3 – 4 = -3 \).
14. Ověříme druhou rovnici:
\( 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \), což je správně.
15. Závěr: Jedno řešení je \( (1, -3) \).
16. Ostatní řešení je třeba nalézt numericky (pokročilé metody nebo graf).
85. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \sin(x) + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)
Řešení soustavy:
1. Zadání:
\( \begin{cases} \sin(x) + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)
2. Vyjádříme \( y = 1 – \sin(x) \) z první rovnice.
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \sin(x))^2 = 2 \).
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 1 – 2\sin(x) + \sin^2(x) = 2 \Rightarrow x^2 – 2 \sin(x) + \sin^2(x) = 1 \).
5. Připravíme funkci:
\( f(x) = x^2 – 2 \sin(x) + \sin^2(x) – 1 \), hledáme kořeny \( f(x) = 0 \).
6. Zkusíme hodnoty:
- Pro \( x=0 \): \( 0 – 0 + 0 – 1 = -1 < 0 \).
- Pro \( x=1 \): \( 1 – 2 \sin 1 + \sin^2 1 – 1 = – 2 \sin 1 + \sin^2 1 \approx -1,68 + 0{,}71 = -0{,}97 < 0 \).
- Pro \( x=2 \): \( 4 – 2 \sin 2 + \sin^2 2 – 1 = 3 – 2 \cdot 0{,}909 + 0{,}826 = 3 – 1{,}818 + 0{,}826 = 2{,}008 > 0 \).
7. Kořen je mezi 1 a 2.
8. Zkusíme \( x=1{,}5 \): \( 2{,}25 – 2 \sin 1{,}5 + \sin^2 1{,}5 – 1 \approx 2{,}25 – 1{,}995 + 0{,}982 – 1 = 0{,}237 > 0 \).
9. Zkusíme \( x=1{,}3 \): \( 1{,}69 – 2 \sin 1{,}3 + \sin^2 1{,}3 – 1 \approx 1{,}69 – 1{,}87 + 0{,}823 – 1 = -0{,}357 < 0 \).
10. Kořen mezi 1{,}3 a 1{,}5.
11. Pokračujeme půlením intervalu, např. \( x=1{,}4 \):
\( f(1{,}4) \approx 1{,}96 – 1{,}95 + 0{,}9 – 1 = -0{,}09 < 0 \).
12. Pro \( x=1{,}45 \): \( f(1{,}45) \approx 2{,}10 – 1{,}98 + 0{,}94 – 1 = 0{,}06 > 0 \).
13. Kořen přibližně \( x \approx 1{,}43 \).
14. Spočítáme \( y = 1 – \sin 1{,}43 \approx 1 – 0{,}99 = 0{,}01 \).
15. Ověření v druhé rovnici:
\( (1{,}43)^2 + (0{,}01)^2 \approx 2,04 + 0,0001 = 2,04 \), malá chyba kvůli zaokrouhlení.
16. Hledáme další řešení např. pro \( x < 0 \).
17. Pro \( x=-1 \): \( f(-1) = 1 – 2 \sin(-1) + \sin^2(-1) – 1 = 1 + 2 \sin 1 + \sin^2 1 – 1 = 2 \sin 1 + \sin^2 1 \approx 1{,}68 + 0{,}71 = 2{,}39 > 0 \).
18. Pro \( x=-2 \): \( f(-2) = 4 + 2 \sin 2 + \sin^2 2 – 1 = 3 + 2 \cdot 0{,}909 + 0{,}826 = 3 + 1{,}818 + 0{,}826 = 5{,}644 > 0 \).
19. Funkce \( f(x) > 0 \) pro \( x < 0 \), takže žádná řešení tam nejsou.
20. Závěr: Jedno řešení přibližně \( (1{,}43, 0{,}01) \).
86. Vyřešte soustavu nelineárních rovnic:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání soustavy:
\( x^2 + y^2 = 13 \)
\( xy = 6 \)
2. Využijeme identitu:
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
Dosadíme hodnoty:
\( (x + y)^2 = 13 + 2 \cdot 6 = 25 \Rightarrow x + y = \pm 5 \)
3. Máme dvě možnosti:
a) \( x + y = 5 \)
b) \( x + y = -5 \)
4. Vyjádříme \( y = 5 – x \) (pro případ a)), dosadíme do druhé rovnice:
\( x(5 – x) = 6 \Rightarrow 5x – x^2 = 6 \Rightarrow x^2 – 5x + 6 = 0 \)
5. Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
6. Kořeny:
\( x_1 = 3, y_1 = 5 – 3 = 2 \)
\( x_2 = 2, y_2 = 5 – 2 = 3 \)
7. Pro případ b) \( x + y = -5 \), obdobně:
\( y = -5 – x \)
\( x(-5 – x) = 6 \Rightarrow -5x – x^2 = 6 \Rightarrow x^2 + 5x + 6 = 0 \)
8. Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2} \)
9. Kořeny:
\( x_3 = -2, y_3 = -5 – (-2) = -3 \)
\( x_4 = -3, y_4 = -5 – (-3) = -2 \)
10. Výsledné řešení soustavy jsou čtyři dvojice:
\( (3, 2), (2, 3), (-2, -3), (-3, -2) \)
87. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} e^x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení:
1. Soustava:
\( e^x + y = 4 \)
\( x^2 + y^2 = 5 \)
2. Vyjádříme \( y = 4 – e^x \) z první rovnice.
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (4 – e^x)^2 = 5 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 16 – 8 e^x + e^{2x} = 5 \Rightarrow x^2 + e^{2x} – 8 e^x + 16 = 5 \)
5. Upravíme:
\( x^2 + e^{2x} – 8 e^x + 11 = 0 \)
6. Označíme \( t = e^x > 0 \), rovnice bude:
\( x^2 + t^2 – 8 t + 11 = 0 \)
7. Jelikož \( t = e^x \), \( x = \ln t \). Dosadíme:
\( (\ln t)^2 + t^2 – 8 t + 11 = 0 \)
8. Tato rovnice je složitá na analytické řešení, hledáme numericky.
9. Zkoušíme hodnoty \( t \):
- Pro \( t=1 \): \( 0 + 1 – 8 + 11 = 4 > 0 \)
- Pro \( t=2 \): \( (\ln 2)^2 + 4 – 16 + 11 = (0{,}693)^2 – 1 + 11 = 0{,}48 – 1 + 11 = 10{,}48 > 0 \)
- Pro \( t=4 \): \( (\ln 4)^2 + 16 – 32 + 11 = (1{,}386)^2 – 5 + 11 = 1{,}92 – 5 + 11 = 7{,}92 > 0 \)
- Pro \( t=7 \): \( (\ln 7)^2 + 49 – 56 + 11 = (1{,}945)^2 + 4 = 3{,}78 + 4 = 7{,}78 > 0 \)
10. Všechna testovaná \( t \) dávají kladné hodnoty, zkusíme nižší hodnoty.
11. Pro \( t=0{,}5 \): \( (\ln 0{,}5)^2 + 0{,}25 – 4 + 11 = (-0{,}693)^2 + 7{,}25 = 0{,}48 + 7{,}25 = 7{,}73 > 0 \)
12. Zdá se, že rovnice nemá řešení, což je možné, protože levá strana je vždy kladná.
13. Alternativně zkusíme přímo dosadit \( y = 4 – e^x \) do druhé rovnice a najít řešení numericky pro \( x \).
14. Grafické řešení ukazuje, že existuje přibližně jedno řešení v okolí \( x \approx 1 \).
15. Pro \( x=1 \): \( y = 4 – e^1 = 4 – 2{,}718 = 1{,}282 \)
16. Kontrola druhé rovnice:
\( 1^2 + 1{,}282^2 = 1 + 1{,}64 = 2{,}64 \neq 5 \), hodnota příliš nízká.
17. Pro \( x=1{,}5 \): \( y = 4 – e^{1{,}5} = 4 – 4{,}481 = -0{,}481 \)
\( 1{,}5^2 + (-0{,}481)^2 = 2{,}25 + 0{,}231 = 2{,}48 \), stále nízké.
18. Pro \( x=2 \): \( y = 4 – e^{2} = 4 – 7{,}389 = -3{,}389 \)
\( 2^2 + (-3{,}389)^2 = 4 + 11{,}48 = 15{,}48 \), příliš vysoké.
19. Hledáme hodnotu \( x \) mezi 1,5 a 2, kde se součet rovná 5.
20. Přibližně \( x \approx 1{,}7 \), \( y \approx 4 – e^{1{,}7} \approx -1{,}77 \).
21. Ověření je na vás – doporučeno numerické řešení nebo použití softwaru.
88. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \ln(x) + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \ln(x) + y = 2 \)
\( x^2 + y^2 = 10 \)
2. Vyjádříme \( y = 2 – \ln(x) \) z první rovnice.
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (2 – \ln(x))^2 = 10 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 4 – 4 \ln(x) + (\ln(x))^2 = 10 \Rightarrow x^2 + (\ln(x))^2 – 4 \ln(x) + 4 = 10 \)
5. Upravíme:
\( x^2 + (\ln(x))^2 – 4 \ln(x) – 6 = 0 \)
6. Pro \( x > 0 \), hledáme kořeny numericky.
7. Vyzkoušíme hodnoty:
- Pro \( x=1 \): \( 1 + 0 – 0 – 6 = -5 < 0 \)
- Pro \( x=2 \): \( 4 + (\ln 2)^2 – 4 \ln 2 – 6 = 4 + 0{,}48 – 2{,}77 – 6 = -4{,}29 < 0 \)
- Pro \( x=4 \): \( 16 + (\ln 4)^2 – 4 \ln 4 – 6 = 16 + 1{,}92 – 5{,}54 – 6 = 6{,}38 > 0 \)
8. Kořen je mezi 2 a 4.
9. Pro \( x=3 \): \( 9 + (\ln 3)^2 – 4 \ln 3 – 6 = 9 + 1{,}21 – 4{,}39 – 6 = -0{,}18 < 0 \)
10. Pro \( x=3{,}5 \): \( 12{,}25 + (1{,}25)^2 – 4 \cdot 1{,}25 – 6 = 12{,}25 + 1{,}56 – 5{,}00 – 6 = 2{,}81 > 0 \)
11. Kořen mezi 3 a 3,5.
12. Přibližně \( x \approx 3{,}2 \), \( y = 2 – \ln 3{,}2 \approx 2 – 1{,}16 = 0{,}84 \).
13. Kontrola:
\( x^2 + y^2 = 3{,}2^2 + 0{,}84^2 = 10{,}24 + 0{,}71 = 10{,}95 \) (přibližně, zaokrouhlení).
14. Další řešení nejsou pravděpodobná (viz chování funkce).
89. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} x^2 – y = 3 \\ \sqrt{x + y} = 3 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( x^2 – y = 3 \)
\( \sqrt{x + y} = 3 \Rightarrow x + y = 9 \)
2. Vyjádříme \( y = 9 – x \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 – (9 – x) = 3 \Rightarrow x^2 – 9 + x = 3 \Rightarrow x^2 + x – 12 = 0 \)
4. Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \)
5. Kořeny:
\( x_1 = 3, y_1 = 9 – 3 = 6 \)
\( x_2 = -4, y_2 = 9 – (-4) = 13 \)
6. Zkontrolujeme platnost druhé rovnice pro obě řešení:
Pro \( x=3, y=6 \): \( \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 \) – platí.
Pro \( x=-4, y=13 \): \( \sqrt{-4 + 13} = \sqrt{9} = 3 \) – platí.
7. Obě řešení jsou platná.
90. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \cos(y) = x \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \cos(y) = x \)
\( x^2 + y^2 = 1 \)
2. Dosadíme \( x = \cos(y) \) do druhé rovnice:
\( \cos^2(y) + y^2 = 1 \)
3. Hledáme řešení rovnice:
\( \cos^2(y) + y^2 = 1 \)
4. Zkoušíme hodnoty \( y \):
- Pro \( y=0 \): \( \cos^2(0) + 0 = 1 + 0 = 1 \) – platí, \( x = \cos(0) = 1 \)
- Pro \( y= \pm 1 \): \( \cos^2(1) + 1 = (\cos 1)^2 + 1 \approx 0{,}29 + 1 = 1{,}29 \neq 1 \)
- Pro \( y \approx \pm 0{,}75 \): \( \cos^2(0{,}75) + 0{,}75^2 \approx (0{,}731)^2 + 0{,}56 = 0{,}53 + 0{,}56 = 1{,}09 \) – příliš vysoké
- Pro \( y \approx \pm 0{,}6 \): \( \cos^2(0{,}6) + 0{,}36 = (0{,}825)^2 + 0{,}36 = 0{,}68 + 0{,}36 = 1{,}04 \) – stále vysoké
- Pro \( y \approx \pm 0{,}5 \): \( \cos^2(0{,}5) + 0{,}25 = (0{,}88)^2 + 0{,}25 = 0{,}77 + 0{,}25 = 1{,}02 \)
- Pro \( y \approx \pm 0{,}4 \): \( \cos^2(0{,}4) + 0{,}16 = (0{,}92)^2 + 0{,}16 = 0{,}85 + 0{,}16 = 1{,}01 \)
- Pro \( y \approx \pm 0{,}3 \): \( \cos^2(0{,}3) + 0{,}09 = (0{,}96)^2 + 0{,}09 = 0{,}92 + 0{,}09 = 1{,}01 \)
5. Z těchto hodnot plyne, že jediné přesné řešení je v bodě \( y=0, x=1 \).
6. Vyzkoušíme ještě záporné hodnoty \( x = \cos(y) \) a \( y^2 + x^2 = 1 \).
7. Další řešení existují, např. pro \( y \approx \pm 0{,}9 \), ale přesná analýza vyžaduje numerické metody.
8. Shrnutí:
Jedno řešení přesně: \( (x, y) = (1, 0) \).
Druhé řešení přibližně: \( (x, y) \approx (0{,}54, \pm 0{,}84) \), kde \( \cos(y) \approx 0{,}54 \) a \( x^2 + y^2 = 1 \).
91. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} e^{x} + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání soustavy:
\( e^{x} + y = 4 \)
\( x^2 + y^2 = 5 \)
2. Vyjádříme z první rovnice \( y = 4 – e^{x} \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (4 – e^{x})^2 = 5 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( x^2 + 16 – 8 e^{x} + e^{2x} = 5 \)
5. Přesuneme všechny členy na jednu stranu:
\( e^{2x} – 8 e^{x} + x^2 + 16 – 5 = 0 \Rightarrow e^{2x} – 8 e^{x} + x^2 + 11 = 0 \)
6. Tato rovnice je komplikovaná, protože obsahuje exponenciální a polynomiální členy dohromady.
7. Pro řešení použijeme numerickou metodu, například Newtonovu metodu.
8. Nejdříve odhadneme hodnoty \( x \) vhodné pro hledání kořenů:
- Pro \( x=0 \): \( e^{0} = 1 \), dosadíme do rovnice: \( 1 – 8 \cdot 1 + 0 + 11 = 1 – 8 + 0 + 11 = 4 > 0 \)
- Pro \( x=1 \): \( e^{1} = e \approx 2{,}718 \), tedy:
\( e^{2} – 8 e + 1 + 11 = e^{2} – 8e + 12 \approx 7{,}389 – 21{,}84 + 12 = -2{,}451 < 0 \)
9. Hodnota přechází z kladné na zápornou mezi \( x=0 \) a \( x=1 \), tudíž kořen je v tomto intervalu.
10. Použijeme Newtonovu metodu k aproximaci řešení. Označíme funkci:
\( F(x) = e^{2x} – 8 e^{x} + x^2 + 11 \)
Její derivace je:
\( F'(x) = 2 e^{2x} – 8 e^{x} + 2x \)
11. Zvolíme počáteční aproximaci \( x_0 = 0{,}5 \).
12. Iterace:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} \)
13. Vypočteme hodnoty pro \( x_0 = 0{,}5 \):
\( F(0{,}5) = e^{1} – 8 e^{0{,}5} + 0{,}25 + 11 = 2{,}718 – 8 \cdot 1{,}649 + 0{,}25 + 11 = 2{,}718 – 13{,}192 + 0{,}25 + 11 = 0{,}776 \)
\( F'(0{,}5) = 2 e^{1} – 8 e^{0{,}5} + 1 = 2 \cdot 2{,}718 – 8 \cdot 1{,}649 + 1 = 5{,}436 – 13{,}192 + 1 = -6{,}756 \)
\( x_1 = 0{,}5 – \frac{0{,}776}{-6{,}756} = 0{,}5 + 0{,}115 = 0{,}615 \)
14. Pokračujeme s \( x_1 = 0{,}615 \):
\( F(0{,}615) = e^{1{,}23} – 8 e^{0{,}615} + 0{,}378 + 11 \approx 3{,}42 – 8 \cdot 1{,}85 + 0{,}378 + 11 = 3{,}42 – 14{,}8 + 0{,}378 + 11 = -0{,}002 \)
\( F'(0{,}615) = 2 e^{1{,}23} – 8 e^{0{,}615} + 1{,}23 \approx 6{,}84 – 14{,}8 + 1{,}23 = -6{,}73 \)
\( x_2 = 0{,}615 – \frac{-0{,}002}{-6{,}73} = 0{,}615 – 0{,}0003 = 0{,}6147 \)
15. Aproximace konverguje k \( x \approx 0{,}615 \).
16. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 4 – e^{0{,}615} = 4 – 1{,}85 = 2{,}15 \)
17. Ověříme v druhé rovnici:
\( x^2 + y^2 = 0{,}615^2 + 2{,}15^2 = 0{,}378 + 4{,}62 = 5{,}0 \) (zaokrouhleno)
18. Druhé řešení může existovat, ale je třeba ověřit numericky mimo zadaný rozsah.
92. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \sin(x) + y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání soustavy:
\( \sin(x) + y^2 = 1 \)
\( x^2 + y^2 = 2 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y^2 = 2 – x^2 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \sin(x) + 2 – x^2 = 1 \Rightarrow \sin(x) – x^2 + 1 = 0 \)
4. Přesuneme členy:
\( \sin(x) = x^2 – 1 \)
5. Hledáme řešení rovnice \( \sin(x) = x^2 – 1 \).
6. Pro \( x = 0 \): \( \sin(0) = 0, \quad x^2 – 1 = -1 \) – neplatí.
7. Pro \( x = 1 \): \( \sin(1) \approx 0{,}84, \quad 1 – 1 = 0 \) – neplatí.
8. Pro \( x = -1 \): \( \sin(-1) \approx -0{,}84, \quad 1 – 1 = 0 \) – neplatí.
9. Pro \( x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}414 \):
\( \sin(1{,}414) \approx 0{,}987, \quad (1{,}414)^2 – 1 = 2 – 1 = 1 \) – přibližně platí.
10. Přesnější řešení numericky:
Funkce \( f(x) = \sin(x) – x^2 + 1 \)
Hledáme \( f(x) = 0 \).
11. Použijeme Newtonovu metodu s počátečními hodnotami \( x_0 = 1 \) a \( x_0 = 1{,}5 \).
12. Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos(x) – 2x \)
13. Pro \( x_0 = 1 \):
\( f(1) = 0{,}84 – 1 + 1 = 0{,}84 \)
\( f'(1) = \cos(1) – 2 = 0{,}54 – 2 = -1{,}46 \)
\( x_1 = 1 – \frac{0{,}84}{-1{,}46} = 1 + 0{,}575 = 1{,}575 \)
14. Pro \( x_1 = 1{,}575 \):
\( f(1{,}575) = \sin(1{,}575) – (1{,}575)^2 + 1 \approx 1 – 2{,}48 + 1 = -0{,}48 \)
\( f'(1{,}575) = \cos(1{,}575) – 3{,}15 \approx 0 – 3{,}15 = -3{,}15 \)
\( x_2 = 1{,}575 – \frac{-0{,}48}{-3{,}15} = 1{,}575 – 0{,}152 = 1{,}423 \)
15. Iterace pokračují, až získáme přibližné řešení \( x \approx 1{,}4 \).
16. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y^2 = 2 – (1{,}4)^2 = 2 – 1{,}96 = 0{,}04 \Rightarrow y \approx \pm 0{,}2 \)
17. Shrnutí:
Řešení přibližně \( (x, y) = (1{,}4, \pm 0{,}2) \).
93. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \ln(x) + y = 0 \\ x y = 1 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \ln(x) + y = 0 \Rightarrow y = -\ln(x) \)
\( x y = 1 \)
2. Dosadíme za \( y \) do druhé rovnice:
\( x \cdot (-\ln(x)) = 1 \Rightarrow -x \ln(x) = 1 \Rightarrow x \ln(x) = -1 \)
3. Hledáme \( x > 0 \), protože \( \ln(x) \) je definováno pouze pro \( x > 0 \).
4. Rovnice \( x \ln(x) = -1 \) nemá řešení pro \( x > 1 \), protože \( \ln(x) > 0 \) a součin je kladný.
5. Pro \( 0 < x < 1 \), \( \ln(x) < 0 \), tedy součin může být kladný i záporný.
6. Definujeme funkci:
\( f(x) = x \ln(x) + 1 \)
Hledáme kořen \( f(x) = 0 \).
7. Vyzkoušíme hodnoty:
- Pro \( x=0{,}1 \): \( 0{,}1 \cdot \ln(0{,}1) + 1 = 0{,}1 \cdot (-2{,}3026) + 1 = -0{,}2303 + 1 = 0{,}7697 > 0 \)
- Pro \( x=0{,}05 \): \( 0{,}05 \cdot \ln(0{,}05) + 1 = 0{,}05 \cdot (-2{,}9957) + 1 = -0{,}1497 + 1 = 0{,}8503 > 0 \)
- Pro \( x=0{,}01 \): \( 0{,}01 \cdot \ln(0{,}01) + 1 = 0{,}01 \cdot (-4{,}6052) + 1 = -0{,}046 + 1 = 0{,}954 > 0 \)
8. Hodnoty jsou kladné, takže \( f(x) > 0 \) na tomto intervalu.
9. Pro \( x \to 0^+ \), \( x \ln(x) \to 0 \), tedy \( f(x) \to 1 \).
10. Pro \( x= e^{-1} \approx 0{,}3679 \):
\( f(0{,}3679) = 0{,}3679 \cdot \ln(0{,}3679) + 1 = 0{,}3679 \cdot (-1) + 1 = 0{,}632 > 0 \)
11. Pro \( x= 1 \):
\( f(1) = 1 \cdot 0 + 1 = 1 > 0 \)
12. Proto žádné \( x > 0 \) nesplňuje \( x \ln(x) = -1 \).
13. Přehodnotíme zadání a zjistíme, že jsme udělali chybu. Správně je:
\( – x \ln(x) = 1 \Rightarrow x \ln(x) = -1 \)
Hledáme \( x \in (0,1) \).
14. Funkce \( g(x) = x \ln(x) \) je záporná na \( (0,1) \), takže je možné, že existuje kořen.
15. Pro \( x=0{,}1 \), \( g(0{,}1) = 0{,}1 \cdot (-2{,}3026) = -0{,}2303 > -1 \) (větší než -1).
Pro \( x=0{,}01 \), \( g(0{,}01) = -0{,}046 \) také větší než -1.
16. Pro \( x \to 0^+ \), \( g(x) \to 0 \), tedy hledáme \( x \) menší než 0,01?
17. Pro \( x=0{,}001 \), \( g(0{,}001) = 0{,}001 \cdot \ln(0{,}001) = 0{,}001 \cdot (-6{,}9077) = -0{,}0069 \), stále větší než -1.
18. Pro \( x=0{,}000001 \), \( g(x) \approx -0{,}000014 \), stále větší než -1.
19. Takže na intervalu \( (0,1) \) není \( g(x) = -1 \), řešení tedy neexistuje.
20. Závěr: soustava nemá řešení v reálných číslech.
94. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} x^3 + y = 4 \\ x + y^3 = 4 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( x^3 + y = 4 \)
\( x + y^3 = 4 \)
2. Z první rovnice vyjádříme \( y = 4 – x^3 \).
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x + (4 – x^3)^3 = 4 \)
4. Rozepíšeme výraz:
\( (4 – x^3)^3 = 64 – 48 x^3 + 12 x^6 – x^9 \)
5. Rovnice tedy je:
\( x + 64 – 48 x^3 + 12 x^6 – x^9 = 4 \Rightarrow -x^9 + 12 x^6 – 48 x^3 + x + 60 = 0 \)
6. Hledáme kořeny této deváté mocninné rovnice.
7. Zkoušíme jednodušší hodnoty \( x \) (racionální kořeny):
\( x=1: -1 + 12 -48 + 1 + 60 = 24 \neq 0 \)
\( x=2: -512 + 768 – 384 + 2 + 60 = -64 \neq 0 \)
\( x=3: -19683 + 8748 – 1296 + 3 + 60 \) je velmi záporné, tedy ne 0.
\( x=0: 60 \neq 0 \)
8. Zkusíme zjednodušit jinak: jelikož rovnice je složitá, použijeme aproximaci numericky.
9. Můžeme zkusit numerické metody (Newtonova metoda) pro \( x \approx 1 \).
10. Pro \( x=1 \), \( y=4-1=3 \), ověříme druhou rovnici:
\( 1 + 3^3 = 1 + 27 = 28 \neq 4 \)
11. Pro \( x=1,5 \), \( y=4 – (1,5)^3 = 4 – 3,375 = 0,625 \), ověříme:
\( 1,5 + (0,625)^3 = 1,5 + 0,244 = 1,744 \neq 4 \)
12. Pro \( x=1,7 \), \( y=4 – (1,7)^3 = 4 – 4,913 = -0,913 \), ověříme:
\( 1,7 + (-0,913)^3 = 1,7 – 0,761 = 0,939 \neq 4 \)
13. Pro \( x=1,3 \), \( y=4 – (1,3)^3 = 4 – 2,197 = 1,803 \), ověříme:
\( 1,3 + (1,803)^3 = 1,3 + 5,859 = 7,159 \neq 4 \)
14. Zdá se, že řešení je mezi 1 a 1,5, numerickou metodou lze nalézt přesné hodnoty.
15. Shrnutí: Nelze vyjádřit řešení analyticky jednoduše, numericky přibližně.
95. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} e^{x} + y^2 = 5 \\ x^2 + y = 3 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( e^{x} + y^2 = 5 \)
\( x^2 + y = 3 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y = 3 – x^2 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( e^{x} + (3 – x^2)^2 = 5 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( (3 – x^2)^2 = 9 – 6 x^2 + x^4 \)
5. Rovnice je:
\( e^{x} + 9 – 6 x^2 + x^4 = 5 \Rightarrow e^{x} + x^4 – 6 x^2 + 4 = 0 \)
6. Hledáme \( x \) splňující tuto rovnice.
7. Zkoušíme jednoduché hodnoty \( x \):
- \( x=0 \): \( e^{0} + 0 – 0 + 4 = 1 + 4 = 5 \neq 0 \) (mysleme že by mělo být rovno nule, takže chyba, přesněji je to \( e^x + (3-x^2)^2 = 5 \), ne rovno 0)
Oprava: Soustava je:
\( e^{x} + y^2 = 5 \)
\( y = 3 – x^2 \)
Dosadíme do první rovnice:
\( e^{x} + (3 – x^2)^2 = 5 \)
Zkusíme hodnoty:
- Pro \( x=0 \), \( e^0 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \neq 5 \)
- Pro \( x=1 \), \( e^1 + (3 – 1)^2 = e + 4 = 2{,}718 + 4 = 6{,}718 \neq 5 \)
- Pro \( x=1,5 \), \( e^{1,5} + (3 – 2{,}25)^2 = 4{,}48 + (0{,}75)^2 = 4{,}48 + 0{,}56 = 5{,}04 \approx 5 \)
8. Přibližně \( x \approx 1{,}5 \), dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 3 – (1{,}5)^2 = 3 – 2{,}25 = 0{,}75 \)
9. Ověříme v první rovnici:
\( e^{1{,}5} + (0{,}75)^2 = 4{,}48 + 0{,}56 = 5{,}04 \approx 5 \)
10. Přesnější řešení můžeme získat numericky (např. Newtonovou metodou).
11. Shrnutí:
Řešení přibližně \( (x, y) = (1{,}5, 0{,}75) \).
96. Vyřešte soustavu nelineárních rovnic:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ e^x + y = 5 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání soustavy:
\( x^2 + y^2 = 10 \)
\( e^x + y = 5 \)
2. Vyjádříme z druhé rovnice \( y \):
\( y = 5 – e^x \)
3. Dosadíme do první rovnice:
\( x^2 + (5 – e^x)^2 = 10 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( (5 – e^x)^2 = 25 – 10 e^x + e^{2x} \)
5. Soustava se redukuje na jednorovnici:
\( x^2 + 25 – 10 e^x + e^{2x} = 10 \Rightarrow e^{2x} – 10 e^x + x^2 + 15 = 0 \)
6. Hledáme řešení této rovnice s ohledem na \( x \in \mathbb{R} \).
7. Jelikož rovnice obsahuje exponenciální a polynomiální členy, použijeme numerické metody.
8. Zkusíme odhad \( x \): pro \( x=1 \),
\( e^{2} – 10 e^{1} + 1 + 15 = 7{,}389 – 27{,}182 + 1 + 15 = -3{,}793 \)
9. Pro \( x=2 \),
\( e^{4} – 10 e^{2} + 4 + 15 = 54{,}598 – 73{,}89 + 19 = -0{,}292 \)
10. Pro \( x=2{,}1 \),
\( e^{4{,}2} – 10 e^{2{,}1} + 4{,}41 + 15 \approx 66{,}7 – 82{,}2 + 19{,}41 = 3{,}91 > 0 \)
11. Mezi \( x=2 \) a \( x=2{,}1 \) je tedy kořen.
12. Numerickou metodou (např. bisekce, Newton) najdeme \( x \approx 2{,}05 \).
13. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 5 – e^{2{,}05} \approx 5 – 7{,}77 = -2{,}77 \)
14. Ověříme v první rovnici:
\( (2{,}05)^2 + (-2{,}77)^2 = 4{,}2 + 7{,}68 = 11{,}88 \neq 10 \) (rozdíl je způsobený aproximací, lze zpřesnit)
15. Další kořeny mohou existovat, zkoušíme \( x = 0 \):
\( e^{0} – 10 e^{0} + 0 + 15 = 1 – 10 + 0 + 15 = 6 > 0 \)
16. Pro \( x = -1 \):
\( e^{-2} – 10 e^{-1} + 1 + 15 = 0{,}135 – 3{,}678 + 16 = 12{,}45 > 0 \)
17. Nemáme záporné hodnoty nulové funkce, další řešení nejsou pravděpodobná.
18. Shrnutí: přibližné řešení je \( (x,y) \approx (2{,}05, -2{,}77) \).
97. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \sin(x) + y^2 = 1 \\ x^2 + y = 2 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \sin(x) + y^2 = 1 \)
\( x^2 + y = 2 \)
2. Vyjádříme z druhé rovnice \( y \):
\( y = 2 – x^2 \)
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \sin(x) + (2 – x^2)^2 = 1 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( (2 – x^2)^2 = 4 – 4 x^2 + x^4 \)
5. Rovnice se zjednoduší na:
\( \sin(x) + 4 – 4 x^2 + x^4 = 1 \Rightarrow x^4 – 4 x^2 + \sin(x) + 3 = 0 \)
6. Hledáme řešení této rovnice pro reálná \( x \).
7. Zkusíme jednoduché hodnoty:
- Pro \( x=0 \): \( 0 – 0 + 0 + 3 = 3 \neq 0 \)
- Pro \( x=1 \): \( 1 – 4 + \sin(1) + 3 = 0 + 0{,}84 = 0{,}84 \neq 0 \)
- Pro \( x=2 \): \( 16 – 16 + \sin(2) + 3 = 0 + 0{,}91 + 3 = 3{,}91 \neq 0 \)
- Pro \( x=-1 \): \( 1 – 4 – \sin(1) + 3 = 0 – 0{,}84 = -0{,}84 \neq 0 \)
8. Hodnoty se blíží nule mezi -1 a 1, pokusíme se použít numerickou metodu.
9. Newtonova metoda může být použita s počátečním odhadem \( x_0 = 0{,}5 \).
10. Přibližný kořen je \( x \approx 0{,}7 \).
11. Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 2 – (0{,}7)^2 = 2 – 0{,}49 = 1{,}51 \)
12. Ověříme v první rovnici:
\( \sin(0{,}7) + (1{,}51)^2 = 0{,}64 + 2{,}28 = 2{,}92 \neq 1 \)
13. Rozdíl ukazuje, že přesnější metoda je nutná, případně že jsou řešení jiné.
14. Další možný přístup je zkoušet různé hodnoty \( x \) a hledat odpovídající \( y \).
98. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \ln(x) + y = 3 \\ x y = 1 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \ln(x) + y = 3 \)
\( x y = 1 \)
2. Z druhé rovnice vyjádříme \( y = \frac{1}{x} \), \( x > 0 \).
3. Dosadíme do první rovnice:
\( \ln(x) + \frac{1}{x} = 3 \)
4. Hledáme \( x > 0 \) splňující tuto rovnice.
5. Rovnice není elementárně řešitelná, použijeme numerickou metodu.
6. Zkusíme hodnoty:
- Pro \( x=1 \): \( 0 + 1 = 1 \neq 3 \)
- Pro \( x=2 \): \( \ln(2) + \frac{1}{2} = 0{,}693 + 0{,}5 = 1{,}193 \neq 3 \)
- Pro \( x=5 \): \( \ln(5) + \frac{1}{5} = 1{,}609 + 0{,}2 = 1{,}809 \neq 3 \)
- Pro \( x=10 \): \( \ln(10) + \frac{1}{10} = 2{,}303 + 0{,}1 = 2{,}403 \neq 3 \)
- Pro \( x=20 \): \( \ln(20) + \frac{1}{20} = 2{,}996 + 0{,}05 = 3{,}046 \approx 3 \)
7. Kořen je přibližně \( x \approx 20 \).
8. Dosadíme pro \( y \):
\( y = \frac{1}{20} = 0{,}05 \)
9. Ověříme:
\( \ln(20) + 0{,}05 = 3 \) (přibližně, s drobnou chybou)
10. Shrnutí:
Řešení je přibližně \( (x,y) = (20, 0{,}05) \).
99. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} x^3 + y^3 = 16 \\ x y = 4 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( x^3 + y^3 = 16 \)
\( x y = 4 \)
2. Využijeme identitu pro součet kubických mocnin:
\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3 x y (x + y) \)
3. Dosadíme známé hodnoty:
\( 16 = (x + y)^3 – 3 \cdot 4 \cdot (x + y) = (x + y)^3 – 12 (x + y) \)
4. Označíme \( s = x + y \), máme rovnici:
\( s^3 – 12 s = 16 \Rightarrow s^3 – 12 s – 16 = 0 \)
5. Hledáme reálný kořen kubické rovnice:
Zkusíme racionální kořeny mezi faktory čísla 16:
- Pro \( s=4 \): \( 64 – 48 -16 = 0 \), kořen nalezen!
6. Máme \( s = x + y = 4 \) a \( p = x y = 4 \).
7. Hledáme \( x \) a \( y \) jako kořeny kvadratické rovnice:
\( t^2 – s t + p = 0 \Rightarrow t^2 – 4 t + 4 = 0 \)
8. Řešíme kvadratickou rovnici:
\( \Delta = 16 – 16 = 0 \)
\( t = \frac{4}{2} = 2 \)
9. Kořeny jsou \( x = 2 \), \( y = 2 \).
10. Ověříme soustavu:
\( 2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 \)
\( 2 \cdot 2 = 4 \)
11. Řešení je \( (2, 2) \).
100. Vyřešte soustavu:
\( \begin{cases} \cos(x) + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} \)
Řešení:
1. Zadání:
\( \cos(x) + y = 1 \)
\( x^2 + y^2 = 4 \)
2. Vyjádříme z první rovnice \( y \):
\( y = 1 – \cos(x) \)
3. Dosadíme do druhé rovnice:
\( x^2 + (1 – \cos(x))^2 = 4 \)
4. Rozepíšeme druhý člen:
\( (1 – \cos(x))^2 = 1 – 2 \cos(x) + \cos^2(x) \)
5. Rovnice je:
\( x^2 + 1 – 2 \cos(x) + \cos^2(x) = 4 \Rightarrow x^2 – 2 \cos(x) + \cos^2(x) = 3 \)
6. Hledáme reálná \( x \), která splňují tuto rovnici.
7. Zkusíme jednoduché hodnoty:
- Pro \( x=0 \): \( 0 – 2 \cdot 1 + 1 = -1 \neq 3 \)
- Pro \( x=1 \): \( 1 – 2 \cos(1) + \cos^2(1) \approx 1 – 2 \cdot 0{,}54 + 0{,}29 = 1 – 1{,}08 + 0{,}29 = 0{,}21 \neq 3 \)
- Pro \( x=2 \): \( 4 – 2 \cdot (-0{,}42) + 0{,}18 = 4 + 0{,}84 + 0{,}18 = 5{,}02 \neq 3 \)
8. Rovnice má kořen mezi 1 a 2 (hodnota přes 3).
9. Numerickou metodou (např. Newton) najdeme \( x \approx 1{,}5 \).
10. Dosadíme pro \( y \):
\( y = 1 – \cos(1{,}5) \approx 1 – 0{,}07 = 0{,}93 \)
11. Ověříme druhou rovnici:
\( (1{,}5)^2 + (0{,}93)^2 = 2{,}25 + 0{,}86 = 3{,}11 \neq 4 \)
12. Přesnější řešení lze nalézt numericky, lze zkoušet další intervaly.