Polohové a metrické vlastnosti

Řešení příkladu:

Souřadnice středu úsečky \( S \) jsou dány vzorcem

\( S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)

Dosadíme hodnoty:

\( S = \left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (5, 1) \)

Tedy střed úsečky je v bodě \( S(5, 1) \).

Řešení příkladu:

Délku úsečky \( BC \) vypočítáme podle vzorce pro vzdálenost dvou bodů:

\( d = \sqrt{(x_C – x_B)^2 + (y_C – y_B)^2} \)

Dosadíme hodnoty:

\( BC = \sqrt{(9 – 5)^2 + (4 – 8)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

Nyní spočítáme délky zbývajících stran:

\( AB = \sqrt{(5 – 1)^2 + (8 – 4)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2} \)

\( AC = \sqrt{(9 – 1)^2 + (4 – 4)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \)

Obvod trojúhelníku je součet délek stran:

\( O = AB + BC + AC = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8 = 8\sqrt{2} + 8 \)

To je přesná hodnota obvodu trojúhelníku \( ABC \).

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( P(x_0, y_0) \) od přímky \( Ax + By + C = 0 \) je dána vzorcem:

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

Dosadíme hodnoty:

\( d = \frac{|4 \cdot 3 – 3 \cdot 7 + 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 – 21 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|3|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} = 0,6 \)

Tedy vzdálenost bodu \( P \) od přímky je \( 0,6 \) jednotek.

Řešení příkladu:

Osa úsečky je kolmá na úsečku a prochází jejím středem.

Nejprve určíme střed úsečky \( S \):

\( S = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (1, 4) \)

Nyní spočítáme směrnici úsečky \( AB \):

\( k_{AB} = \frac{7 – 1}{4 – (-2)} = \frac{6}{6} = 1 \)

Směrnice osy úsečky je záporný převrácený tvar, tedy

\( k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -1 \)

Rovnice přímky v bodově-směrnicovém tvaru je

\( y – y_0 = k_{\perp} (x – x_0) \)

Dosadíme střed \( S(1, 4) \):

\( y – 4 = -1 (x – 1) \Rightarrow y – 4 = -x + 1 \Rightarrow y = -x + 5 \)

Rovnice osy úsečky je tedy \( y = -x + 5 \).

Řešení příkladu:

Podmínka rovnosti stran \( AB = AC \) znamená, že vzdálenost bodu \( A \) od bodů \( B \) a \( C \) je stejná.

Vypočítáme vzdálenost \( AB \):

\( AB = \sqrt{(7 – 3)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2} \)

Označíme bod \( C(x, y) \) ležící na přímce \( y = 10 – x \), tedy \( C(x, 10 – x) \).

Podmínka \( AC = AB \) dává rovnici:

\( \sqrt{(x – 3)^2 + (10 – x – 2)^2} = 4\sqrt{2} \)

Umocníme obě strany na druhou:

\( (x – 3)^2 + (8 – x)^2 = 32 \)

Rozepíšeme:

\( (x^2 – 6x + 9) + (64 – 16x + x^2) = 32 \Rightarrow 2x^2 – 22x + 73 = 32 \)

\( 2x^2 – 22x + 41 = 0 \)

Děleno 2:

\( x^2 – 11x + 20,5 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( x = \frac{11 \pm \sqrt{121 – 4 \cdot 20,5}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 – 82}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{39}}{2} \)

Souřadnice \( y = 10 – x \), tedy:

\( y_1 = 10 – \frac{11 + \sqrt{39}}{2} = \frac{20 – 11 – \sqrt{39}}{2} = \frac{9 – \sqrt{39}}{2} \)

\( y_2 = 10 – \frac{11 – \sqrt{39}}{2} = \frac{20 – 11 + \sqrt{39}}{2} = \frac{9 + \sqrt{39}}{2} \)

Tedy dvě možná řešení:

\( C_1 \left( \frac{11 + \sqrt{39}}{2}, \frac{9 – \sqrt{39}}{2} \right), \quad C_2 \left( \frac{11 – \sqrt{39}}{2}, \frac{9 + \sqrt{39}}{2} \right) \).

Řešení příkladu:

Nejprve najdeme vektory \( \vec{AB} \) a \( \vec{AC} \):

\( \vec{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) \)

\( \vec{AC} = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6) \)

Normálový vektor roviny je vektorový součin \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \):

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix} = (3 \cdot 6 – 3 \cdot 6, 3 \cdot 6 – 3 \cdot 6, 3 \cdot 6 – 3 \cdot 6) = (0, 0, 0) \)

Vektorový součin je nulový, což znamená, že vektory \( \vec{AB} \) a \( \vec{AC} \) jsou lineárně závislé, tedy body leží na jedné přímce a nevymezují rovinu.

Tedy neexistuje jedinečná rovina procházející všemi třemi body.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vektory \( \vec{AB} \) a \( \vec{AC} \):

\( \vec{AB} = (3-1, -1-0, 4-2) = (2, -1, 2) \)

\( \vec{AC} = (5-1, 2-0, 6-2) = (4, 2, 4) \)

Normálový vektor roviny je vektorový součin \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \):

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(4) – 2 \cdot 2) – \mathbf{j}(2 \cdot 4 – 2 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 – (-1) \cdot 4) \)

\( = \mathbf{i}(-4 – 4) – \mathbf{j}(8 – 8) + \mathbf{k}(4 + 4) = (-8, 0, 8) \)

Normálový vektor je tedy \( \vec{n} = (-8, 0, 8) \).

Rovnice roviny má tvar:

\( n_x (x – x_0) + n_y (y – y_0) + n_z (z – z_0) = 0 \)

Dosadíme bod \( A(1, 0, 2) \) a normálový vektor:

\( -8 (x – 1) + 0 \cdot (y – 0) + 8 (z – 2) = 0 \)

\( -8x + 8 + 8z – 16 = 0 \Rightarrow -8x + 8z – 8 = 0 \Rightarrow 8x – 8z + 8 = 0 \)

Rovnice roviny je tedy:

\( 8x – 8z + 8 = 0 \) nebo zjednodušeně \( x – z + 1 = 0 \).

Řešení příkladu:

Obsah trojúhelníku je dán vzorcem:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right| \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{1}{2} | 2(7 – 1) + 4(1 – 3) + 6(3 – 7) | = \frac{1}{2} | 2 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) + 6 \cdot (-4) | \]

\[ = \frac{1}{2} |12 – 8 – 24| = \frac{1}{2} |-20| = 10 \]

Obsah trojúhelníku je \(10\) čtverečních jednotek.

Řešení příkladu:

Přímky jsou rovnoběžné, protože mají stejnou směrnici \(k=2\).

Všechny přímky ve tvaru \(y = kx + q\) můžeme přepsat do tvaru \(Ax + By + C = 0\):

\[ p: y – 2x – 3 = 0 \Rightarrow -2x + y – 3 = 0 \]

\[ q: y – 2x + 5 = 0 \Rightarrow -2x + y + 5 = 0 \]

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek je:

\[ d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-3 – 5|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \]

Vzdálenost mezi přímkami je tedy \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\).

Řešení příkladu:

Čtverec se středem v počátku a délkou strany \(4\) má vrcholy ve vzdálenosti \(2\) od os ve směru x i y.

Vrcholové souřadnice jsou:

\[ A(-2, -2), \quad B(-2, 2), \quad C(2, 2), \quad D(2, -2) \]

Zkontrolujeme polohu bodu \(P(2,3)\):

Souřadnice \(x=2\) je na hranici čtverce, \(y=3\) je větší než horní hranice \(2\).

Tedy bod leží nad čtvercem, mimo něj.

Řešení příkladu:

Obsah trojúhelníku je dán vzorcem:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right| \]

Dosadíme hodnoty:

\[ S = \frac{1}{2} |1(4 – 7) + 5(7 – 2) + 3(2 – 4)| = \frac{1}{2} |-3 + 25 – 6| = \frac{1}{2} |16| = 8 \]

Obsah trojúhelníku je \(8\) čtverečních jednotek.

Řešení příkladu:

Přímky jsou rovnoběžné, mají směrnici \(k = -\frac{1}{2}\).

Ve tvaru \(Ax + By + C = 0\) jsou:

\[ p: y + \frac{1}{2}x – 1 = 0 \Rightarrow x + 2y – 2 = 0 \]

\[ q: y + \frac{1}{2}x + 3 = 0 \Rightarrow x + 2y + 6 = 0 \]

Vzdálenost přímek je:

\[ d = \frac{|C_1 – C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-2 – 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \]

Řešení příkladu:

Délka stran jsou:

\[ AB = 6, \quad BC = 3 \]

Obvod je:

\[ O = 2(6 + 3) = 18 \]

Obsah je:

\[ S = 6 \cdot 3 = 18 \]

Řešení příkladu:

Střed úseku je střed aritmetický souřadnic:

\[ S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) = (2, 1) \]

Řešení příkladu:

Směrnice přímky je:

\[ k = \frac{7 – 3}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Rovnice přímky ve tvaru \(y = kx + q\):

Dosadíme bod \(A\):

\[ 3 = 2 \cdot 2 + q \Rightarrow q = -1 \]

Rovnice přímky je:

\[ y = 2x – 1 \]

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu od přímky je:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|3 \cdot 3 – 4 \cdot 4 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 – 16 + 5|}{5} = \frac{|-2|}{5} = \frac{2}{5} \]

Řešení příkladu:

Střed úseku:

\[ S = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3, 3) \]

Směrnice úseku:

\[ k_{AB} = \frac{5-1}{5-1} = 1 \]

Směrnice osy je negativní převrácená hodnota:

\[ k = -1 \]

Rovnice osy úseku ve tvaru \(y = kx + q\), dosadíme střed:

\[ 3 = -1 \cdot 3 + q \Rightarrow q = 6 \]

Rovnice osy úseku je:

\[ y = -x + 6 \]

Řešení příkladu:

Délka úseku je:

\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Řešení příkladu:

Obsah kružnice je:

\[ S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \]

Řešení příkladu:

Rovnice kružnice je ve tvaru:

\[ (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2 \]

Dosadíme hodnoty:

\[ (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \]

Krok 1: Zkontrolujeme, zda jsou roviny rovnoběžné.

Normálové vektory jsou \(\vec{n_1} = (2, -1, 2)\) a \(\vec{n_2} = (4, -2, 4)\).

Vidíme, že \(\vec{n_2} = 2 \vec{n_1}\), tedy roviny jsou rovnoběžné.

Krok 2: Použijeme vzorec pro vzdálenost rovnoběžných rovin:

\[ d = \frac{|D_2 – D_1|}{|\vec{n}|} \]

Nejdříve upravíme rovnice do tvaru \(Ax + By + Cz + D = 0\):

První rovnice: \(2x – y + 2z – 3 = 0 \Rightarrow D_1 = -3\)

Druhá rovnice: \(4x – 2y + 4z + 1 = 0 \Rightarrow D_2 = 1\)

Normálový vektor \(\vec{n} = (2, -1, 2)\), jeho délka je:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Krok 3: Dosadíme do vzorce:

\[ d = \frac{|1 – (-3)|}{3} = \frac{4}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost mezi rovinami je \(\frac{4}{3}\).

Krok 1: Nejprve zjistíme, zda přímka protíná rovinu.

Normálový vektor roviny je \(\vec{n} = (1, 2, -2)\).

Směrnicový vektor přímky je \(\vec{v} = (3, 0, -1)\).

Vypočteme skalární součin \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 1\cdot3 + 2\cdot0 + (-2)\cdot(-1) = 3 + 0 + 2 = 5 \neq 0\).

Tedy přímka protíná rovinu, takže vzdálenost je \(0\).

Krok 1: Zkontrolujeme, zda jsou roviny rovnoběžné.

Normálové vektory jsou \(\vec{n_1} = (1,1,1)\) a \(\vec{n_2} = (2,2,2)\).

Vidíme, že \(\vec{n_2} = 2 \vec{n_1}\), tedy roviny jsou rovnoběžné.

Krok 2: Vypočítáme vzdálenost:

Normálový vektor \(\vec{n} = (1,1,1)\), jeho délka:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

Dosadíme hodnoty D z rovnic (upravíme do tvaru \(Ax+By+Cz+D=0\)):

\(D_1 = -6\), \(D_2 = 3\)

\[ d = \frac{|3 – (-6)|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \]

Odpověď: Vzdálenost mezi rovinami je \(3\sqrt{3}\).

Krok 1: Parametrické rovnice přímky:

\[ x = t, \quad y = 1 – 2t, \quad z = 2 + t \]

Krok 2: Dosadíme do rovnice roviny:

\[ 2t – (1 – 2t) + (2 + t) – 1 = 0 \]

Krok 3: Úprava rovnice:

\[ 2t – 1 + 2t + 2 + t – 1 = 0 \Rightarrow 5t = 0 \]

Krok 4: Vyřešíme pro t:

\[ t = 0 \]

Krok 5: Dosadíme zpět do parametrických rovnic:

\[ x = 0, \quad y = 1, \quad z = 2 \]

Odpověď: Průsečík je v bodě \((0, 1, 2)\).

Krok 1: Vzorec pro vzdálenost bodu od roviny:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Krok 2: Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|3\cdot 2 – 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 – 7|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 2 + 3 -7|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{|4|}{\sqrt{14}} \]

Krok 3: Výpočet:

\[ d = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{7} \]

Odpověď: Vzdálenost bodu od roviny je \(\frac{2\sqrt{14}}{7}\).

Krok 1: Vzdálenost bodu od přímky je vzdálenost kolmice.

Krok 2: Najdeme vektor \(\vec{PQ}\) od bodu na přímce \(P(1,2,0)\) k bodu \(Q(4,0,3)\):

\[ \vec{PQ} = (4 – 1, 0 – 2, 3 – 0) = (3, -2, 3) \]

Krok 3: Směrnicový vektor přímky je \(\vec{v} = (0,1,1)\).

Krok 4: Vypočítáme vzdálenost podle vzorce:

\[ d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \]

Krok 5: Výpočet vektorového součinu:

\[ \vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2\cdot1 – 3\cdot1) – \mathbf{j}(3\cdot1 – 3\cdot0) + \mathbf{k}(3\cdot1 – (-2)\cdot0) = \mathbf{i}(-5) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(3) \]

Krok 6: Délka vektoru:

\[ |\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9 + 9} = \sqrt{43} \]

Krok 7: Délka směrnicového vektoru:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Krok 8: Dosadíme do vzorce pro vzdálenost:

\[ d = \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{43}{2}} = \frac{\sqrt{86}}{2} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{\sqrt{86}}{2}\).

Krok 1: Vzdálenost mezi body je délka vektoru \(\vec{AB} = (4-1, 6-2, 3-3) = (3,4,0)\).

Krok 2: Vypočítáme délku vektoru:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Odpověď: Vzdálenost mezi body je \(5\).

Krok 1: Najdeme vektor od bodu na přímce \(Q(1, 2, 2)\) k bodu \(P(0, 0, 0)\):

\[ \vec{QP} = (0 – 1, 0 – 2, 0 – 2) = (-1, -2, -2) \]

Krok 2: Směrnicový vektor přímky je \(\vec{v} = (2, -1, 1)\).

Krok 3: Vypočítáme vektorový součin \(\vec{QP} \times \vec{v}\):

\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot1 – (-2)(-1)) – \mathbf{j}((-1)\cdot1 – (-2)\cdot2) + \mathbf{k}((-1)(-1) – (-2)\cdot2) \]

\[ = \mathbf{i}(-2 – 2) – \mathbf{j}(-1 + 4) + \mathbf{k}(1 + 4) = \mathbf{i}(-4) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(5) \]

Krok 4: Délka tohoto vektoru:

\[ \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Krok 5: Délka směrnicového vektoru:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

Krok 6: Vzdálenost je:

\[ d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{12}}{6} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost bodu od přímky je \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\).

Krok 1: Vzdálenost mezi body je délka vektoru \(\vec{AB} = (1-1, 0-0, 5-1) = (0, 0, 4)\).

Krok 2: Vypočítáme délku vektoru:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \]

Odpověď: Vzdálenost mezi body je \(4\).

Krok 1: Použijeme vzorec pro vzdálenost bodu od roviny:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Krok 2: Dosadíme hodnoty:

\[ d = \frac{|3 – 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 – 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|3 – 2 + 8 – 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost bodu od roviny je \(\frac{4}{3}\).

Krok 1: Vektor z bodu na přímce \(Q(1, 0, 1)\) k bodu \(P\):

\[ \vec{QP} = (2-1, -1-0, 3-1) = (1, -1, 2) \]

Krok 2: Směrnicový vektor přímky je \(\vec{v} = (1, 2, 2)\).

Krok 3: Vypočítáme vektorový součin \(\vec{QP} \times \vec{v}\):

\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)\cdot2 – 2\cdot2) – \mathbf{j}(1\cdot2 – 2\cdot1) + \mathbf{k}(1\cdot2 – (-1)\cdot1) \]

\[ = \mathbf{i}(-2 – 4) – \mathbf{j}(2 – 2) + \mathbf{k}(2 + 1) = \mathbf{i}(-6) – \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(3) \]

Krok 4: Délka vektoru:

\[ \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 0 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Krok 5: Délka směrnicového vektoru:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \]

Krok 6: Vzdálenost:

\[ d = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\sqrt{5}\).

Krok 1: Vektor \(\vec{AB} = (4-0, -1-3, 2-(-2)) = (4, -4, 4)\).

Krok 2: Délka vektoru:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(4\sqrt{3}\).

Krok 1: Dosadíme do vzorce:

\[ d = \frac{|2\cdot1 – 1\cdot2 + 2\cdot3 -7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 – 2 + 6 -7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{| -1 |}{3} = \frac{1}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{1}{3}\).

Krok 1: Vektor \(\vec{QP} = (3 – 0, 1 – 0, 0 – 0) = (3,1,0)\).

Krok 2: Směrnicový vektor \(\vec{v} = (1,1,1)\).

Krok 3: Vektorový součin:

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1 – 0\cdot1) – \mathbf{j}(3\cdot1 – 0\cdot1) + \mathbf{k}(3\cdot1 – 1\cdot1) = \mathbf{i}(1) – \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(2) \]

Krok 4: Délka vektoru:

\[ \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]

Krok 5: Délka směrnicového vektoru:

\[ \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

Krok 6: Vzdálenost:

\[ d = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}} = \frac{\sqrt{42}}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{\sqrt{42}}{3}\).

Krok 1: Vektor \(\vec{AB} = (2 – (-2), 3 – 1, 4 – 0) = (4, 2, 4)\).

Krok 2: Délka vektoru:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]

Odpověď: Vzdálenost je \(6\).

Krok 1: Dosadíme do vzorce:

\[ d = \frac{|0 + (-1) + 1 – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\).

Krok 1: Vektor \(\vec{QP} = (1 – 2, 4 – 3, 2 – 1) = (-1, 1, 1)\).

Krok 2: Směrnicový vektor \(\vec{v} = (0, 1, -1)\).

Krok 3: Vektorový součin:

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}((-1) \cdot (-1) – 1 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 – 1 \cdot 0) \]

\[ = \mathbf{i}(-1 – 1) – \mathbf{j}(1 – 0) + \mathbf{k}(-1 – 0) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-1) \]

Krok 4: Délka vektoru:

\[ \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

Krok 5: Délka směrnicového vektoru:

\[ \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

Krok 6: Vzdálenost:

\[ d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\sqrt{3}\).

Krok 1: Vektor \(\vec{AB} = (3 – 3, 4 – (-2), 1 – 5) = (0, 6, -4)\).

Krok 2: Délka vektoru:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(2\sqrt{13}\).

Krok 1: Dosadíme do vzorce:

\[ d = \frac{|3\cdot(-1) – 2\cdot 2 + 1\cdot 3 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-3 -4 + 3 +4|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0 \]

Odpověď: Bod leží v rovině, vzdálenost je \(0\).

Krok 1: Vektor \(\vec{QP} = (5-1, 0-2, -2-3) = (4, -2, -5)\).

Krok 2: Směrnicový vektor \(\vec{v} = (2, -1, 1)\).

Krok 3: Vektorový součin:

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & -5 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)\cdot1 – (-5)(-1)) – \mathbf{j}(4\cdot1 – (-5) \cdot 2) + \mathbf{k}(4\cdot(-1) – (-2)\cdot 2) \]

\[ = \mathbf{i}(-2 – 5) – \mathbf{j}(4 + 10) + \mathbf{k}(-4 + 4) = \mathbf{i}(-7) – \mathbf{j}(14) + \mathbf{k}(0) \]

Krok 4: Délka vektoru:

\[ \sqrt{(-7)^2 + (-14)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 196 + 0} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \]

Krok 5: Délka směrnicového vektoru:

\[ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

Krok 6: Vzdálenost:

\[ d = \frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{30}}{6} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{7\sqrt{30}}{6}\).

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3-1)^2 + (0+2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(2\sqrt{6}\).

\[ d = \frac{|1\cdot 2 + 1 \cdot (-1) -1 \cdot 5 + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 -1 -5 + 3|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Vektor \(\vec{QP} = (-2, 3, 1)\), směrnicový vektor \(\vec{v} = (1, 1, 1)\).

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3\cdot1 – 1\cdot1) – \mathbf{j}(-2\cdot1 – 1\cdot1) + \mathbf{k}(-2\cdot1 – 3\cdot1) = \mathbf{i}(3 -1) – \mathbf{j}(-2 -1) + \mathbf{k}(-2 -3) \]

\[ = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]

Délka vektoru \(\vec{QP} \times \vec{v} = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}\).

Délka směrnicového vektoru \(\vec{v} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\).

Vzdálenost:

\[ d = \frac{\sqrt{38}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{38}{3}} = \frac{\sqrt{114}}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{\sqrt{114}}{3}\).

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Odpověď: Vzdálenost je \(13\).

\[ d = \frac{|2\cdot1 – 1\cdot2 + 2\cdot3 -4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 – 2 + 6 – 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{2}{3}\).

\(\vec{QP} = (4-1, 5-0, 6-2) = (3, 5, 4)\)

Směrnicový vektor \(\vec{v} = (2, 3, 1)\)

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5\cdot1 – 4\cdot3) – \mathbf{j}(3\cdot1 – 4\cdot2) + \mathbf{k}(3\cdot3 – 5\cdot2) \]

\[ = \mathbf{i}(5 – 12) – \mathbf{j}(3 – 8) + \mathbf{k}(9 – 10) = \mathbf{i}(-7) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(-1) = (-7, 5, -1) \]

Délka vektoru:

\[ \sqrt{(-7)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

Délka směrnicového vektoru:

\[ \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Vzdálenost:

\[ d = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{42}}{14} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{5\sqrt{42}}{14}\).

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-2)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(3\sqrt{3}\).

\[ d = \frac{|0 – 2\cdot1 + 2\cdot(-1) – 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-2 -2 -3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-7|}{3} = \frac{7}{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{7}{3}\).

\(\vec{QP} = (3-1, -2-1, 1-0) = (2, -3, 1)\)

Směrnicový vektor \(\vec{v} = (0, 1, 1)\)

\[ \vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)\cdot1 – 1\cdot1) – \mathbf{j}(2\cdot1 – 1\cdot0) + \mathbf{k}(2\cdot1 – (-3)\cdot0) \]

\[ = \mathbf{i}(-3 -1) – \mathbf{j}(2 – 0) + \mathbf{k}(2 – 0) = (-4, -2, 2) \]

Délka vektoru:

\[ \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Délka směrnicového vektoru:

\[ \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Vzdálenost:

\[ d = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(2\sqrt{3}\).

\[ d = \frac{|4\cdot(-1) + 1\cdot4 – 2\cdot2 + 1|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4 + 4 -4 + 1|}{\sqrt{16 + 1 + 4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \]

Odpověď: Vzdálenost je \(\frac{\sqrt{21}}{7}\).