Shodná zobrazení (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení)

Řešení:
Krok 1: Rozmyslíme si, co znamená osová souměrnost podle osy \( x \). Osová souměrnost je zobrazení, které „překlápí“ body přes osu. V tomto případě je osa souměrnosti osa \( x \), což znamená, že body se převrací přes tuto osu.

Krok 2: Souřadnice bodu \( A \) jsou \( (3, 4) \). V osové souměrnosti podle osy \( x \) se souřadnice \( x \) nemění, protože osa \( x \) leží na hodnotě \( y=0 \), tedy bod se „odrazí“ jen na souřadnici \( y \). Souřadnice \( y \) se změní na opačnou hodnotu.

Krok 3: Proto obraz bodu \( A \) bude mít souřadnice:
\[ A‘ = (x, -y) = (3, -4) \]

Krok 4: Nakonec výsledek zkontrolujeme – bod \( A‘ \) leží na stejné vodorovné čáře, ale na opačné straně osy \( x \), což odpovídá správnému odrazu.

Odpověď: \( A‘ = (3, -4) \).

Řešení:
Krok 1: Středová souměrnost se středem v počátku znamená, že každý bod se zobrazí do bodu, který je s počátkem na přímce a stejnou vzdáleností, ale na opačné straně.

Krok 2: Formálně, pokud je střed souměrnosti \( S = (0,0) \) a bod \( B = (x,y) \), obraz \( B‘ \) je:
\[ B‘ = (2 \cdot 0 – x, 2 \cdot 0 – y) = (-x, -y) \]

Krok 3: Dosadíme souřadnice bodu \( B(-2, 5) \):
\[ B‘ = (-(-2), -5) = (2, -5) \]

Krok 4: Výsledek má smysl – bod \( B‘ \) leží v opačném kvadrantu a je stejně vzdálen od počátku jako původní bod.

Odpověď: \( B‘ = (2, -5) \).

Řešení:
Krok 1: Posunutí o vektor znamená, že k souřadnicím bodu přičteme složky tohoto vektoru.

Krok 2: Bod \( C \) má souřadnice \( (1, -3) \), vektor \( \vec{v} = (4, 2) \). Proto nová souřadnice bude:
\[ C‘ = (1 + 4, -3 + 2) = (5, -1) \]

Krok 3: Výsledek znamená, že jsme bod posunuli o 4 jednotky doprava a o 2 jednotky nahoru.

Odpověď: \( C‘ = (5, -1) \).

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( y \) znamená, že se bod „překlápí“ přes osu \( y \). To znamená, že se změní znaménko souřadnice \( x \), ale souřadnice \( y \) zůstává stejná.

Krok 2: Souřadnice bodu \( D \) jsou \( (-3, 2) \). Po aplikaci osové souměrnosti podle osy \( y \) dostaneme:
\[ D‘ = (-x, y) = (3, 2) \]

Krok 3: Tento bod leží na stejné svislé úrovni jako osa \( y \), ale na opačné straně osy \( y \).

Odpověď: \( D‘ = (3, 2) \).

Řešení:
Krok 1: Středová souměrnost se středem \( S \) znamená, že každý bod \( P \) se zobrazí do bodu \( P‘ \), který je na stejné přímce \( S P \), ale na opačné straně středu ve stejné vzdálenosti.

Matematicky platí: \[ P‘ = 2S – P \] což znamená, že souřadnice bodu \( P‘ = (x‘, y‘) \) spočítáme jako \[ x‘ = 2x_S – x_P, \quad y‘ = 2y_S – y_P \] kde \( (x_S, y_S) \) jsou souřadnice středu souměrnosti.

Krok 2: Vypočítáme obrazy jednotlivých vrcholů:
Pro \( A(1,1) \): \[ A‘ = (2 \cdot 2 – 1, 2 \cdot 2 – 1) = (4 – 1, 4 – 1) = (3, 3) \]
Pro \( B(3,1) \): \[ B‘ = (2 \cdot 2 – 3, 2 \cdot 2 – 1) = (4 – 3, 4 – 1) = (1, 3) \]
Pro \( C(2,4) \): \[ C‘ = (2 \cdot 2 – 2, 2 \cdot 2 – 4) = (4 – 2, 4 – 4) = (2, 0) \]

Krok 3: Výsledkem je trojúhelník \( A’B’C‘ \) s vrcholy v těchto souřadnicích.

Odpověď: \( A'(3,3), B'(1,3), C'(2,0) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku se provádí podle vzorce:
\[ (x, y) \rightarrow (-y, x) \]

Krok 2: Souřadnice bodu \( E \) jsou \( (0, 5) \). Použijeme vzorec:
\[ E‘ = (-5, 0) \]

Krok 3: Zkontrolujeme: bod se posunul na souřadnici, kde \( x \) je záporné a \( y \) je 0, což odpovídá rotaci o \( 90^\circ \) kolem počátku.

Odpověď: \( E‘ = (-5, 0) \).

Řešení:
Krok 1: Nejprve provedeme posunutí o vektor \( \vec{w} = (-3, 7) \):
\[ F_1 = (4 – 3, -1 + 7) = (1, 6) \]

Krok 2: Poté provedeme osovou souměrnost podle osy \( x \). To znamená, že souřadnice \( y \) změní znaménko:
\[ F‘ = (1, -6) \]

Krok 3: Výsledek je bod \( (1, -6) \), který je obrazem původního bodu po daných dvou zobrazeních.

Odpověď: \( F‘ = (1, -6) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 180^\circ \) kolem bodu \( S \) je ekvivalentní středové souměrnosti se středem \( S \). Pro bod \( P \) platí:
\[ P‘ = 2S – P \]

Krok 2: Dosadíme souřadnice:
\[ G‘ = (2 \cdot 1 – (-2), 2 \cdot 1 – 3) = (2 + 2, 2 – 3) = (4, -1) \]

Krok 3: Výsledek je bod, který leží na opačné straně středu \( S \) ve stejné vzdálenosti.

Odpověď: \( G‘ = (4, -1) \).

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle přímky \( y = x \) znamená, že se souřadnice \( x \) a \( y \) prohodí:
\[ (x, y) \rightarrow (y, x) \]

Krok 2: Pro bod \( H(5, 2) \) dostaneme:
\[ H‘ = (2, 5) \]

Krok 3: Tento bod leží „zrcadlově“ přes přímku \( y = x \) oproti původnímu bodu.

Odpověď: \( H‘ = (2, 5) \).

Řešení:
Krok 1: Nejprve posuneme bod o vektor \( \vec{u} \):
\[ I_1 = (-1 + 3, -1 – 4) = (2, -5) \]

Krok 2: Otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček kolem počátku odpovídá vzorci:
\[ (x, y) \rightarrow (y, -x) \]

Krok 3: Aplikujeme otočení na bod \( I_1 \):
\[ I‘ = (-5, -2) \]

Krok 4: Výsledek je bod \( (-5, -2) \), což je obraz původního bodu po daných dvou zobrazeních.

Odpověď: \( I‘ = (-5, -2) \).

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( x \) znamená, že se změní znaménko souřadnice \( y \), ale souřadnice \( x \) zůstává stejná.

Krok 2: Souřadnice bodu \( J \) jsou \( (3, -2) \). Po osové souměrnosti podle osy \( x \) dostaneme:
\[ J‘ = (3, -(-2)) = (3, 2) \]

Krok 3: Bod \( J‘ \) je „zrcadlovým obrazem“ bodu \( J \) vůči ose \( x \).

Odpověď: \( J‘ = (3, 2) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 270^\circ \) proti směru hodinových ručiček je totéž jako otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček.

Krok 2: Vzorec pro otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček kolem počátku je:
\[ (x, y) \rightarrow (y, -x) \]

Krok 3: Pro bod \( K(-1, 4) \) tedy platí:
\[ K‘ = (4, -(-1)) = (4, 1) \]

Krok 4: Výsledný bod je \( (4, 1) \).

Odpověď: \( K‘ = (4, 1) \).

Řešení:
Krok 1: Posunutí o vektor znamená přičíst ke každé souřadnici odpovídající složku vektoru:
\[ L‘ = (x_L + v_x, y_L + v_y) \]

Krok 2: Dosadíme hodnoty:
\[ L‘ = (2 + (-4), 3 + 5) = (-2, 8) \]

Krok 3: Bod \( L‘ \) je výsledkem posunutí bodu \( L \) o zadaný vektor.

Odpověď: \( L‘ = (-2, 8) \).

Řešení:
Krok 1: Středová souměrnost se středem \( O(0, 0) \) znamená, že každý bod \( P = (x, y) \) se zobrazí do bodu \( P‘ = (-x, -y) \).

Krok 2: Dosadíme souřadnice bodu \( M \):
\[ M‘ = (-1, 3) \]

Krok 3: Bod \( M‘ \) je přesným opakem souřadnic bodu \( M \) vůči počátku.

Odpověď: \( M‘ = (-1, 3) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku probíhá podle vzorce:
\[ (x, y) \rightarrow (-y, x) \]

Krok 2: Vypočítáme nové souřadnice všech vrcholů:
\[ A'(0,0) \rightarrow (0,0) \]
\[ B'(2,0) \rightarrow (0,2) \]
\[ C'(2,2) \rightarrow (-2,2) \]
\[ D'(0,2) \rightarrow (-2,0) \]

Krok 3: Nový čtverec má tedy vrcholy \( A'(0,0), B'(0,2), C'(-2,2), D'(-2,0) \).

Odpověď: Čtverec po otočení má vrcholy \( A'(0,0), B'(0,2), C'(-2,2), D'(-2,0) \).

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( y \) znamená, že se změní znaménko souřadnice \( x \), ale souřadnice \( y \) zůstává stejná.

Krok 2: Souřadnice bodu \( N \) jsou \( (5, -1) \). Po osové souměrnosti podle osy \( y \) dostaneme:
\[ N‘ = (-5, -1) \]

Krok 3: Bod \( N‘ \) je obrazem bodu \( N \) zrcadleným podle osy \( y \).

Odpověď: \( N‘ = (-5, -1) \).

Řešení:
Krok 1: Posunutí o vektor znamená, že ke každé souřadnici přičteme složky vektoru:
\[ P‘ = (1+3, 1-2) = (4, -1) \]
\[ Q‘ = (4+3, 1-2) = (7, -1) \]
\[ R‘ = (1+3, 4-2) = (4, 2) \]

Krok 2: Nový trojúhelník má vrcholy \( P'(4,-1), Q'(7,-1), R'(4,2) \).

Odpověď: Trojúhelník po posunutí má vrcholy \( P‘, Q‘, R‘ \) uvedené výše.

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 180^\circ \) kolem počátku znamená, že souřadnice bodu se změní na opačné:
\[ (x, y) \rightarrow (-x, -y) \]

Krok 2: Dosadíme souřadnice bodu \( S \):
\[ S‘ = (3, -2) \]

Krok 3: Bod \( S‘ \) je obrazem bodu \( S \) po otočení o \( 180^\circ \).

Odpověď: \( S‘ = (3, -2) \).

Řešení:
Krok 1: Ve středové souměrnosti se středem \( M(x_M, y_M) \) se obraz bodu \( T(x_T, y_T) \) vypočítá jako:
\[ T‘ = (2x_M – x_T, 2y_M – y_T) \]

Krok 2: Dosadíme hodnoty:
\[ T‘ = (2 \cdot 1 – 4, 2 \cdot 2 – (-5)) = (2 – 4, 4 + 5) = (-2, 9) \]

Krok 3: Bod \( T‘ \) je obrazem bodu \( T \) ve středové souměrnosti podle středu \( M \).

Odpověď: \( T‘ = (-2, 9) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 270^\circ \) proti směru hodinových ručiček je stejné jako otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček.

Krok 2: Vzorec pro otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček:
\[ (x, y) \rightarrow (y, -x) \]

Krok 3: Vypočítáme nové souřadnice vrcholů:
\[ U'(0,0) \rightarrow (0,0) \]
\[ V'(5,0) \rightarrow (0,-5) \]
\[ W'(5,3) \rightarrow (3,-5) \]
\[ X'(0,3) \rightarrow (3,0) \]

Krok 4: Nový obdélník má vrcholy \( U'(0,0), V'(0,-5), W'(3,-5), X'(3,0) \).

Odpověď: Obdélník po otočení má vrcholy \( U‘, V‘, W‘, X‘ \) uvedené výše.

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( x \) změní souřadnici \( y \) na opačnou, \( x \) zůstane stejná:
\[ A‘ = (3, 4) \]

Krok 2: Posunutí o vektor \( \vec{v} = (-2, 5) \) znamená přičíst ke každé souřadnici příslušné složky vektoru:
\[ A“ = (3 – 2, 4 + 5) = (1, 9) \]

Krok 3: Výsledný obraz bodu \( A \) je \( A“ = (1, 9) \).

Odpověď: \( A“ = (1, 9) \).

Řešení:
Krok 1: Nejprve posuneme střed otočení do počátku soustavy tak, že od všech bodů odečteme souřadnice středu \( O(1,1) \):
\[ B_1 = (2-1, 1-1) = (1,0) \]
\[ C_1 = (5-1, 1-1) = (4,0) \]
\[ D_1 = (2-1, 4-1) = (1,3) \]

Krok 2: Otočení o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku znamená transformaci:
\[ (x,y) \to (-y, x) \]
Aplikujeme na posunuté body:
\[ B_2 = (0,1) \]
\[ C_2 = (0,4) \]
\[ D_2 = (-3,1) \]

Krok 3: Posuneme body zpět podle středu \( O \):
\[ B‘ = (0+1, 1+1) = (1,2) \]
\[ C‘ = (0+1, 4+1) = (1,5) \]
\[ D‘ = (-3+1, 1+1) = (-2,2) \]

Odpověď: Obraz trojúhelníku má vrcholy \( B'(1,2), C'(1,5), D'(-2,2) \).

Řešení:
Krok 1: Ve středové souměrnosti platí:
\[ E‘ = (2x_S – x_E, 2y_S – y_E) \]
Dosadíme:
\[ E‘ = (2 \cdot (-1) – (-4), 2 \cdot 1 – 3) = (-2 + 4, 2 – 3) = (2, -1) \]

Krok 2: Posuneme bod \( E‘ \) o vektor \( \vec{w} = (2, -3) \):
\[ E“ = (2 + 2, -1 – 3) = (4, -4) \]

Odpověď: Po středové souměrnosti a posunutí je obraz bodu \( E“ = (4, -4) \).

Řešení:
Krok 1: Posuneme střed otočení do počátku:
\[ F_1 = (7 – 3, 2 – 1) = (4,1) \]

Krok 2: Otočení o \( 270^\circ \) proti směru hodinových ručiček odpovídá otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček:
\[ (x,y) \to (y, -x) \]
Aplikujeme:
\[ F_2 = (1, -4) \]

Krok 3: Posuneme zpět podle středu \( O \):
\[ F‘ = (1 + 3, -4 + 1) = (4, -3) \]

Odpověď: Obraz bodu \( F \) je \( F‘ = (4, -3) \).

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( y = x \) znamená záměnu souřadnic \( x \) a \( y \):
\[ (x,y) \to (y,x) \]

Krok 2: Vypočítáme obrazy vrcholů:
\[ G‘ = (1,1) \to (1,1) \]
\[ H‘ = (4,1) \to (1,4) \]
\[ I‘ = (4,4) \to (4,4) \]
\[ J‘ = (1,4) \to (4,1) \]

Krok 3: Nový čtverec má vrcholy \( G'(1,1), H'(1,4), I'(4,4), J'(4,1) \).

Odpověď: Obrazem čtverce po souměrnosti podle osy \( y = x \) je čtverec s vrcholy uvedenými výše.

Řešení:
Krok 1: Osová souměrnost podle osy \( x \) změní souřadnici \( y \) na opačnou, \( x \) zůstává:
\[ K‘ = (5, 3) \]

Krok 2: Následná osová souměrnost podle osy \( y \) změní souřadnici \( x \) na opačnou, \( y \) zůstává:
\[ K“ = (-5, 3) \]

Výsledné obrazové souřadnice: \( K“ = (-5, 3) \).

Odpověď: Po dvou osových souměrnostech je bod \( K \) zobrazen do bodu \( (-5, 3) \).

Řešení:
Krok 1: Posuneme souřadnice podle středu otočení \( O(3, 3) \):
\[ L_1 = (1-3, 2-3) = (-2, -1) \]
\[ M_1 = (3-3, 5-3) = (0, 2) \]
\[ N_1 = (5-3, 2-3) = (2, -1) \]

Krok 2: Otočení o \( 180^\circ \) znamená:
\[ (x,y) \to (-x, -y) \]
Aplikujeme:
\[ L_2 = (2, 1) \]
\[ M_2 = (0, -2) \]
\[ N_2 = (-2, 1) \]

Krok 3: Posuneme zpět:
\[ L‘ = (2+3, 1+3) = (5, 4) \]
\[ M‘ = (0+3, -2+3) = (3, 1) \]
\[ N‘ = (-2+3, 1+3) = (1, 4) \]

Odpověď: Obraz trojúhelníku má vrcholy \( L'(5, 4), M'(3, 1), N'(1, 4) \).

Řešení:
Krok 1: Středová souměrnost se středem \( T(1, 3) \):
\[ P‘ = (2x_T – x_P, 2y_T – y_P) = (2 \cdot 1 – (-2), 2 \cdot 3 – 7) = (2 + 2, 6 – 7) = (4, -1) \]

Krok 2: Posunutí o vektor \( \vec{u} = (4, -2) \):
\[ P“ = (4 + 4, -1 – 2) = (8, -3) \]

Odpověď: Výsledný obraz bodu \( P“ = (8, -3) \).

Řešení:
Krok 1: Otočení o \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček kolem počátku:
\[ (x, y) \to (y, -x) \]
\[ Q_1 = (-1, -6) \]

Krok 2: Osová souměrnost podle osy \( y \) změní znaménko \( x \):
\[ Q‘ = (1, -6) \]

Odpověď: Obraz bodu \( Q \) je \( Q‘ = (1, -6) \).

Řešení:
Krok 1: Posuneme vrcholy podle středu otočení \( O(1, 1) \):
\[ R_1 = (0 – 1, 0 – 1) = (-1, -1) \] \[ S_1 = (3 – 1, 0 – 1) = (2, -1) \] \[ T_1 = (3 – 1, 3 – 1) = (2, 2) \] \[ U_1 = (0 – 1, 3 – 1) = (-1, 2) \]

Krok 2: Otočení o \( 270^\circ \) proti směru hodinových ručiček (ekvivalentní \( 90^\circ \) ve směru hodinových ručiček):
\[ (x, y) \to (y, -x) \]
Aplikujeme na vrcholy:
\[ R_2 = (-1, 1), \quad S_2 = (-1, -2), \quad T_2 = (2, -2), \quad U_2 = (2, 1) \]

Krok 3: Posuneme zpět podle středu \( O(1, 1) \):
\[ R‘ = (-1 + 1, 1 + 1) = (0, 2) \] \[ S‘ = (-1 + 1, -2 + 1) = (0, -1) \] \[ T‘ = (2 + 1, -2 + 1) = (3, -1) \] \[ U‘ = (2 + 1, 1 + 1) = (3, 2) \]

Krok 4: Středová souměrnost se středem \( O(2, 2) \):
\[ (x, y) \to (2 \cdot 2 – x, 2 \cdot 2 – y) = (4 – x, 4 – y) \]
Aplikujeme na vrcholy:
\[ R“ = (4 – 0, 4 – 2) = (4, 2) \] \[ S“ = (4 – 0, 4 – (-1)) = (4, 5) \] \[ T“ = (4 – 3, 4 – (-1)) = (1, 5) \] \[ U“ = (4 – 3, 4 – 2) = (1, 2) \]

Odpověď: Obraz čtverce má vrcholy \( R“(4, 2), S“(4, 5), T“(1, 5), U“(1, 2) \).