Skalární a vektorový součin

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) se vypočte podle vzorce:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \)

Dosadíme konkrétní hodnoty:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 4 \cdot (-2) = 2 + 0 – 8 = -6 \)

Výsledek skalárního součinu je \( -6 \).

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \vec{u} \times \vec{v} \) vypočteme pomocí determinantového pravidla:

\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} \)

Vypočítáme determinant:

\( \vec{u} \times \vec{v} = \vec{i}((-1)(-2) – (2)(4)) – \vec{j}((3)(-2) – (2)(1)) + \vec{k}((3)(4) – (-1)(1)) \)

\( = \vec{i}(2 – 8) – \vec{j}(-6 – 2) + \vec{k}(12 + 1) \Rightarrow \vec{u} \times \vec{v} = -6\vec{i} + 8\vec{j} + 13\vec{k} \)

Výsledný vektorový součin je \( [-6, 8, 13] \).

Řešení příkladu:

Úhel \( \theta \) mezi dvěma vektory určíme pomocí vzorce:

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4 – 2 + 6 = 8 \)

Pak spočítáme velikosti vektorů:

\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \)

Dosadíme do vzorce:

\( \cos(\theta) = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} \)

\( \theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{294}}\right) \approx \arccos(0.4667) \approx 62.2^\circ \)

Řešení příkladu:

Dva vektory jsou kolineární, pokud existuje skalár \( \lambda \), že \( \vec{b} = \lambda \vec{a} \).

Zkusme zjistit, zda platí \( \vec{b} = 2 \vec{a} \):

\( 2 \vec{a} = 2 \cdot [1, 2, 3] = [2, 4, 6] \Rightarrow \vec{b} = 2 \vec{a} \)

Vektory jsou kolineární.

Řešení příkladu:

Normálový vektor k rovině je určen vektorovým součinem:

\( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \)

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 – 1 \cdot (-1)) – \vec{j}(2 \cdot 3 – 1 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) – 0 \cdot 1) \)

\( = \vec{i}(0 + 1) – \vec{j}(6 – 1) + \vec{k}(-2 – 0) = \vec{i} – 5\vec{j} – 2\vec{k} \Rightarrow \vec{n} = [1, -5, -2] \)

Jednotkový vektor je:

\( |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30} \)

\( \vec{n}_0 = \frac{1}{\sqrt{30}} [1, -5, -2] \)

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 0 + 4 + 3 = 7 \)

Protože \( \vec{a} \cdot \vec{b} \ne 0 \), vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 3 – 0 \cdot (-1)) – \vec{j}((-1) \cdot 3 – 0 \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot (-1) – 2 \cdot 0) \)

\( = \vec{i}(6) – \vec{j}(-3) + \vec{k}(1) \Rightarrow [6, 3, 1] \)

Řešení příkladu:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 3 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 15 \),
\( |\vec{a}| = \sqrt{5^2} = 5 \),
\( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \)

\( \cos(\theta) = \frac{15}{5 \cdot \sqrt{18}} = \frac{15}{5 \cdot \sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} \)

\( \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{18}}\right) \approx \arccos(0.707) \approx 45^\circ \)

Řešení příkladu:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 – 4 \cdot (-1)) – \vec{j}(2 \cdot 1 – 4 \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0) \)

\( = \vec{i}(3 + 4) – \vec{j}(2 – 0) + \vec{k}(-2 – 0) = [7, -2, -2] \)

Řešení příkladu:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0 \)

Protože skalární součin je 0 \( \Rightarrow \) vektory jsou kolmé.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vektorový součin \(\vec{a} \times \vec{b}\).

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)\cdot0 – 3\cdot4) – \vec{j}(2\cdot0 – 3\cdot(-1)) + \vec{k}(2\cdot4 – (-1)\cdot(-1)) \]

\[ = \vec{i}(-12) – \vec{j}(3) + \vec{k}(8 – 1) = -12\vec{i} – 3\vec{j} + 7\vec{k} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = (-12, -3, 7) \]

Nyní spočítáme velikost výsledného vektoru:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{144 + 9 + 49} = \sqrt{202} \]

Výsledkem je tedy \( \sqrt{202} \).

Řešení příkladu:

Spočítáme nejprve vektorový součin:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0\cdot1 – (-2)\cdot2) – \vec{j}(3\cdot1 – (-2)\cdot1) + \vec{k}(3\cdot2 – 0\cdot1) \]

\[ = \vec{i}(4) – \vec{j}(3 + 2) + \vec{k}(6) = 4\vec{i} – 5\vec{j} + 6\vec{k} \Rightarrow \vec{u} \times \vec{v} = (4, -5, 6) \]

Velikost vektoru:

\[ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \]

Jednotkový vektor ve směru vektorového součinu je:

\[ \vec{e} = \left( \frac{4}{\sqrt{77}}, \frac{-5}{\sqrt{77}}, \frac{6}{\sqrt{77}} \right) \]

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů je definován jako:

\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = | \vec{p} | \cdot | \vec{q} | \cdot \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \frac{ \vec{p} \cdot \vec{q} }{ | \vec{p} | \cdot | \vec{q} | } \]

Nejprve spočítáme skalární součin:

\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 1\cdot2 + 2\cdot1 + 2\cdot(-1) = 2 + 2 – 2 = 2 \]

Velikosti vektorů:

\[ |\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3,\quad |\vec{q}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

\[ \cos \varphi = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9} \Rightarrow \varphi = \arccos\left( \frac{\sqrt{6}}{9} \right) \]

Řešení příkladu:

Směrnici roviny určuje normálový vektor, který získáme jako vektorový součin:

\[ \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0\cdot3 – (-1)\cdot1) – \vec{j}(1\cdot3 – (-1)\cdot2) + \vec{k}(1\cdot1 – 0\cdot2) \]

\[ = \vec{i}(1) – \vec{j}(3 + 2) + \vec{k}(1) = \vec{i} – 5\vec{j} + \vec{k} \Rightarrow \vec{n} = (1, -5, 1) \]

Směrnice roviny je dána vektorem \((1, -5, 1)\).

Řešení příkladu:

Pokud platí \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \ne 0\), vektory nejsou lineárně závislé.

Nejprve spočítáme \(\vec{a} \times \vec{b}\):

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2\cdot1 – 3\cdot0) – \vec{j}(1\cdot1 – 3\cdot(-2)) + \vec{k}(1\cdot0 – 2\cdot(-2)) \]

\[ = \vec{i}(2) – \vec{j}(1 + 6) + \vec{k}(0 + 4) = 2\vec{i} – 7\vec{j} + 4\vec{k} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = (2, -7, 4) \]

Teď spočítáme skalární součin s \(\vec{c}\):

\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 2\cdot4 + (-7)\cdot(-1) + 4\cdot2 = 8 + 7 + 8 = 23 \ne 0 \]

Vektory nejsou lineárně závislé.

Řešení příkladu:

Vektorový součin vektorů \(\vec{a}\) a \(\vec{b}\) je: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -5 \\ -4 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 0 – (-5) \cdot 1) – \vec{j}(3 \cdot 0 – (-5) \cdot (-4)) + \vec{k}(3 \cdot 1 – 2 \cdot (-4)) \]

\[ = \vec{i}(0 + 5) – \vec{j}(0 – 20) + \vec{k}(3 + 8) = 5\vec{i} + 20\vec{j} + 11\vec{k} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = (5, 20, 11) \]

Velikost vektorového součinu je: \[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 20^2 + 11^2} = \sqrt{25 + 400 + 121} = \sqrt{546} \]

Výsledná velikost je \(\sqrt{546}\).

Řešení příkladu:

Normálový vektor roviny je kolmý na oba směrové vektory, tedy je to:

\[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 4 – 3 \cdot (-1)) – \vec{j}(1 \cdot 4 – 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) – 0 \cdot 2) \]

\[ = \vec{i}(0 + 3) – \vec{j}(4 – 6) + \vec{k}(-1 – 0) = 3\vec{i} + 2\vec{j} – \vec{k} \Rightarrow \vec{n} = (3, 2, -1) \]

Rovnice roviny má tvar:

\[ 3(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0 \Rightarrow 3x + 2y – z – 3 – 4 – 1 = 0 \Rightarrow 3x + 2y – z = 8 \]

Hledaná rovnice roviny je \(3x + 2y – z = 8\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-4) = 2 – 3 – 8 = -9 \]

Dále spočteme velikosti vektorů:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \]

Úhel mezi vektory je dán vztahem:

\[ \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-9}{3 \cdot \sqrt{26}} = \frac{-3}{\sqrt{26}} \Rightarrow \varphi = \arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{26}}\right) \]

Úhel mezi vektory je \(\arccos\left(\frac{-3}{\sqrt{26}}\right)\).

Řešení příkladu:

Normálový vektor roviny je \(\vec{v} = (1, -2, 1)\). Rovnice roviny ve tvaru:

\[ 1(x – 2) – 2(y + 1) + 1(z – 4) = 0 \Rightarrow x – 2 – 2y – 2 + z – 4 = 0 \Rightarrow x – 2y + z = 8 \]

Rovnice roviny je tedy \(x – 2y + z = 8\).

Řešení příkladu:

Plocha rovnoběžníku je dána velikostí vektorového součinu:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 3 – (-2) \cdot (-1)) – \vec{j}(1 \cdot 3 – (-2) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) \]

\[ = \vec{i}(6 – 2) – \vec{j}(3 + 4) + \vec{k}(-1 – 4) = 4\vec{i} – 7\vec{j} – 5\vec{k} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = (4, -7, -5) \]

Velikost součinu:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 49 + 25} = \sqrt{90} \]

Plocha rovnoběžníku je \(\sqrt{90}\).

Řešení příkladu:

Objem rovnoběžnostěnu je dán smíšeným součinem:

\[ V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \]

Nejprve vypočítáme \(\vec{b} \times \vec{c}\):

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-1) – (3)(4)) – \vec{j}((2)(-1) – (3)(0)) + \vec{k}((2)(4) – (-1)(0)) \]

\[ = \vec{i}(1 – 12) – \vec{j}(-2) + \vec{k}(8) = -11\vec{i} + 2\vec{j} + 8\vec{k} \Rightarrow \vec{b} \times \vec{c} = (-11, 2, 8) \]

Nyní skalární součin \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\):

\[ \vec{a} \cdot (-11, 2, 8) = 1 \cdot (-11) + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 8 = -11 + 0 + 16 = 5 \Rightarrow V = |5| = 5 \]

Objem rovnoběžnostěnu je \(5\).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme vektory \(\vec{AB}\) a \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AB} = B – A = (3 – 1, -1 – 2, 2 – 0) = (2, -3, 2) \]

\[ \vec{AC} = C – A = (-2 – 1, 0 – 2, 4 – 0) = (-3, -2, 4) \]

Nyní spočítáme vektorový součin:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(4) – 2(-2)) – \vec{j}(2 \cdot 4 – 2(-3)) + \vec{k}(2 \cdot (-2) – (-3)(-3)) \]

\[ = \vec{i}(-12 + 4) – \vec{j}(8 + 6) + \vec{k}(-4 – 9) = -8\vec{i} -14\vec{j} -13\vec{k} \Rightarrow \vec{v} = (-8, -14, -13) \]

Velikost tohoto vektoru:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{(-8)^2 + (-14)^2 + (-13)^2} = \sqrt{64 + 196 + 169} = \sqrt{429} \]

Plocha trojúhelníku je polovina velikosti vektorového součinu:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{429} \]

Plocha trojúhelníku je \(\frac{1}{2} \sqrt{429}\).

Řešení příkladu:

Vektory leží ve stejné rovině právě tehdy, když je jejich smíšený součin roven nule:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \]

Spočítáme \(\vec{b} \times \vec{c}\):

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 9 – 6 \cdot 8) – \vec{j}(4 \cdot 9 – 6 \cdot 7) + \vec{k}(4 \cdot 8 – 5 \cdot 7) \]

\[ = \vec{i}(45 – 48) – \vec{j}(36 – 42) + \vec{k}(32 – 35) = -3\vec{i} + 6\vec{j} -3\vec{k} \Rightarrow \vec{b} \times \vec{c} = (-3, 6, -3) \]

Nyní skalární součin s \(\vec{a}\):

\[ \vec{a} \cdot (-3, 6, -3) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 – 9 = 0 \]

Smíšený součin je nula \(\Rightarrow\) vektory leží v jedné rovině.

Řešení příkladu:

Jednotkový vektor kolmý na oba vektory je normalizovaný vektorový součin:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 – 0 \cdot 1) – \vec{j}(1 \cdot 1 – 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 – 1 \cdot 0) = \vec{i} – \vec{j} + \vec{k} \Rightarrow \vec{v} = (1, -1, 1) \]

Velikost:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \Rightarrow \vec{v}_0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

Hledaný jednotkový vektor je \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme \(\vec{a} \times \vec{b}\):

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot (-1) – 2 \cdot 0) – \vec{j}(1 \cdot (-1) – 2 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 0 – 2 \cdot 2) \]

\[ = \vec{i}(-2) – \vec{j}(-1 – 4) + \vec{k}(-4) = -2\vec{i} + 5\vec{j} -4\vec{k} \Rightarrow \vec{v} = (-2, 5, -4) \]

Skalární součin \(\vec{v} \cdot \vec{v} = (-2)^2 + 5^2 + (-4)^2 = 4 + 25 + 16 = 45\)

Výsledkem je \(45\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 2 + 0 – 2 = 0 \)

Následně spočítáme délky obou vektorů:

\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \)

Použijeme vzorec pro úhel:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \varphi \Rightarrow 0 = 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = 0 \)

\( \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2} \)

Úhel mezi vektory je tedy \( \frac{\pi}{2} \) radiánů.

Řešení příkladu:

Porovnáme vektory. Vektor \( \vec{v} = 2 \cdot \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \) je rovnoběžný s \( \vec{u} \).

Navíc ověříme skalární součin:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 8 + (-2) \cdot (-4) + 1 \cdot 2 = 32 + 8 + 2 = 42 \)

Skalární součin není nula, takže vektory nejsou kolmé, ale jsou rovnoběžné.

Řešení příkladu:

Hledáme vektor \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} \), který je kolmý na \( \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Vyjádříme:

\( \vec{x} = (\lambda \cdot 2 + \mu \cdot 0, \lambda \cdot 1 + \mu \cdot 1, \lambda \cdot (-1) + \mu \cdot 2) = (2\lambda, \lambda + \mu, -\lambda + 2\mu) \)

Spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{x} = 1 \cdot 2\lambda + (-2) \cdot (\lambda + \mu) + 3 \cdot (-\lambda + 2\mu) \)

\( = 2\lambda -2\lambda -2\mu -3\lambda +6\mu = (-3\lambda +4\mu) \)

Chceme: \( -3\lambda + 4\mu = 0 \Rightarrow 4\mu = 3\lambda \Rightarrow \mu = \frac{3}{4} \lambda \)

Například pro \( \lambda = 4 \Rightarrow \mu = 3 \), dostáváme:

\( \vec{x} = 4\vec{b} + 3\vec{c} = (8,4,-4) + (0,3,6) = (8,7,2) \)

Vektor \( (8,7,2) \) leží v rovině a je kolmý na \( \vec{a} \).

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) se vypočítá jako součet součinů odpovídajících souřadnic:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = -6 – 4 + 2 = -8 \)

Protože skalární součin není roven nule (\( -8 \neq 0 \)), vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na oba vektory \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \) získáme pomocí vektorového součinu \( \vec{a} \times \vec{b} \).

Vypočítáme determinant matice složené ze souřadnic vektorů:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \)

Vyjádříme podle složek:

\( \vec{i} \cdot (0 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) – \vec{j} \cdot (1 \cdot 1 – 2 \cdot 3) + \vec{k} \cdot (1 \cdot (-1) – 0 \cdot 3) \)

\( = \vec{i} (0 + 2) – \vec{j} (1 – 6) + \vec{k} (-1 – 0) = 2 \vec{i} – (-5) \vec{j} – 1 \vec{k} = (2, 5, -1) \)

Vektor \( (2, 5, -1) \) je kolmý na oba vektory.

Řešení příkladu:

Úhel \( \theta \) mezi dvěma vektory určíme pomocí vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

Spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \)

Spočítáme délky vektorů:

\( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \)

Dosadíme do vzorce:

\( \cos \theta = \frac{4}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}} \)

Úhel je tedy:

\( \theta = \arccos \left( \frac{4}{3 \sqrt{5}} \right) \)

Numericky to je přibližně \( \theta \approx 42,1^\circ \).

Řešení příkladu:

Vektorový součin vypočteme jako determinant:

\( \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \end{matrix} \right| \)

Složky:

\( \vec{i} \cdot (-1 \cdot (-2) – 3 \cdot 4) – \vec{j} \cdot (2 \cdot (-2) – 3 \cdot 0) + \vec{k} \cdot (2 \cdot 4 – (-1) \cdot 0) \)

\( = \vec{i} (2 – 12) – \vec{j} (-4 – 0) + \vec{k} (8 – 0) = \vec{i} (-10) – \vec{j} (-4) + \vec{k} (8) = (-10, 4, 8) \)

Ověříme kolmost:

\( \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 2 \cdot (-10) + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 8 = -20 -4 + 24 = 0 \)

\( \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \cdot (-10) + 4 \cdot 4 + (-2) \cdot 8 = 0 + 16 – 16 = 0 \)

Vektor \( (-10, 4, 8) \) je kolmý na oba vektory.

Řešení příkladu:

Projekce vektoru \( \vec{a} \) na vektor \( \vec{b} \) je dána vztahem:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \)

Spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = 4 – 3 + 0 = 1 \)

Spočítáme délku vektoru \( \vec{b} \):

\( |\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6 \)

Dosadíme:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{1}{6} (1, -1, 2) = \left( \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{2}{6} \right) = \left( \frac{1}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3} \right) \)

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vektorový součin \( \vec{a} \times \vec{b} \):

\( \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \end{matrix} \right| \)

\( = \vec{i} (3 \cdot 1 – 4 \cdot (-2)) – \vec{j} (1 \cdot 1 – 4 \cdot 2) + \vec{k} (1 \cdot (-2) – 3 \cdot 2) \)

\( = \vec{i} (3 + 8) – \vec{j} (1 – 8) + \vec{k} (-2 – 6) = (11, 7, -8) \)

Velikost vektorového součinu je délka vektoru \( (11, 7, -8) \):

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{11^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{121 + 49 + 64} = \sqrt{234} \approx 15,3 \)

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme \( \vec{a} \times \vec{b} \):

\( \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{matrix} \right| \)

\( = \vec{i} (2 \cdot 4 – 0 \cdot (-1)) – \vec{j} (1 \cdot 4 – 0 \cdot 3) + \vec{k} (1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3) \)

\( = \vec{i} (8 – 0) – \vec{j} (4 – 0) + \vec{k} (-1 – 6) = (8, -4, -7) \)

Poté spočítáme skalární součin s vektorem \( \vec{c} \):

\( ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot \vec{c} = 8 \cdot 0 + (-4) \cdot 1 + (-7) \cdot (-1) = 0 – 4 + 7 = 3 \)

Řešení příkladu:

Rovina, ve které leží vektory \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \), je určena jejich souřadnicemi a normálovým vektorem kolmým na oba tyto vektory.

Normálový vektor \( \vec{n} \) získáme pomocí vektorového součinu \( \vec{a} \times \vec{b} \):

\( \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \end{matrix} \right| \)

Spočítáme:

\( \vec{i} (2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0) – \vec{j} (1 \cdot (-1) – 3 \cdot 4) + \vec{k} (1 \cdot 0 – 2 \cdot 4) \)

\( = \vec{i} (-2 – 0) – \vec{j} (-1 – 12) + \vec{k} (0 – 8) = (-2, 13, -8) \)

Rovina prochází bodem \( \vec{0} = (0, 0, 0) \) a její normálový vektor je \( \vec{n} = (-2, 13, -8) \).

Rovnice roviny je tedy:

\( -2x + 13y – 8z = 0 \)

Vektor kolmý na tuto rovinu je \( (-2, 13, -8) \).

Řešení příkladu:

Hledáme vektor \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} \), který je kolmý na \( \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Vyjádříme \( \vec{x} \):

\( \vec{x} = (\lambda \cdot 1 + \mu \cdot 2, \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1, \lambda \cdot 1 + \mu \cdot (-1)) = (\lambda + 2\mu, \mu, \lambda – \mu) \)

Spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{x} = 3(\lambda + 2\mu) + (-1) \cdot \mu + 2(\lambda – \mu) \)

\( = 3\lambda + 6\mu – \mu + 2\lambda – 2\mu = (3\lambda + 2\lambda) + (6\mu – \mu – 2\mu) = 5\lambda + 3\mu \)

Chceme: \( 5\lambda + 3\mu = 0 \Rightarrow 3\mu = -5\lambda \Rightarrow \mu = -\frac{5}{3} \lambda \)

Zvolíme \( \lambda = 3 \Rightarrow \mu = -5 \), pak:

\( \vec{x} = 3\vec{b} – 5\vec{c} = (3, 0, 3) – (10, 5, -5) = (3 – 10, 0 – 5, 3 + 5) = (-7, -5, 8) \)

Vektor \( (-7, -5, 8) \) je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině dané \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, -\lambda + \mu, \mu) \), který je kolmý na \( \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{x} = 2\lambda + 2(-\lambda + \mu) + 1 \cdot \mu = 2\lambda – 2\lambda + 2\mu + \mu = 3\mu \)

Podmínka je \( 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0 \).

Vektor tedy má tvar \( \vec{x} = \lambda \vec{b} = (\lambda, -\lambda, 0) \).

Pro \( \lambda = 1 \) dostáváme vektor \( (1, -1, 0) \), který je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v dané rovině.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (2\mu, \lambda – \mu, \lambda) \), který je kolmý na \( \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 1 \cdot 2\mu + 3(\lambda – \mu) + (-2) \cdot \lambda = 2\mu + 3\lambda – 3\mu – 2\lambda = (\lambda) + (-\mu) = \lambda – \mu \)

Podmínka je \( \lambda – \mu = 0 \Rightarrow \lambda = \mu \).

Vektor je tedy \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \lambda \vec{c} = \lambda (\vec{b} + \vec{c}) = \lambda (2, 0, 1) \).

Pro \( \lambda = 1 \) máme \( \vec{x} = (2, 0, 1) \), který je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v dané rovině.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, 2\lambda + \mu, -\lambda + 3\mu) \), takové, že \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 4 \cdot \lambda + (-3)(2\lambda + \mu) + 1(-\lambda + 3\mu) = 4\lambda – 6\lambda – 3\mu – \lambda + 3\mu = (4\lambda – 6\lambda – \lambda) + (-3\mu + 3\mu) = -3\lambda \)

Podmínka je \( -3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0 \).

Vektor má tedy tvar \( \vec{x} = \mu \vec{c} = (0, \mu, 3\mu) \).

Pro \( \mu = 1 \) dostaneme \( \vec{x} = (0, 1, 3) \), který je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině dané \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda + 2\mu, \lambda – \mu, \mu) \), který je kolmý na \( \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 1(\lambda + 2\mu) + 0(\lambda – \mu) + 4\mu = \lambda + 2\mu + 4\mu = \lambda + 6\mu \)

Podmínka je \( \lambda + 6\mu = 0 \Rightarrow \lambda = -6\mu \).

Zvolíme \( \mu = 1 \Rightarrow \lambda = -6 \), potom:

\( \vec{x} = -6 \vec{b} + 1 \cdot \vec{c} = (-6, -6, 0) + (2, -1, 1) = (-4, -7, 1) \).

Vektor \( (-4, -7, 1) \) je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v dané rovině.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda + 3\mu, 0 \cdot \lambda – \mu, 2\lambda + \mu) \), takové, že \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 2(\lambda + 3\mu) + 5(0 – \mu) + (-1)(2\lambda + \mu) = 2\lambda + 6\mu – 5\mu – 2\lambda – \mu = (2\lambda – 2\lambda) + (6\mu – 5\mu – \mu) = 0 \)

Výsledek je vždy 0, takže každý vektor z roviny je kolmý na \( \vec{a} \) pouze pokud součin je 0. Zkusme přepočítat přesně:

Podmínka: \( 2\lambda + 6\mu – 5\mu – 2\lambda – \mu = 0 \Rightarrow 0 = 0 \)

To znamená, že všechny vektory z této roviny jsou kolmé na \( \vec{a} \).

Zvolíme například \( \lambda = 1, \mu = 0 \Rightarrow \vec{x} = (1, 0, 2) \).

Řešení příkladu:

Vektor hledáme jako \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (2\lambda, \mu, \lambda – \mu) \), který splňuje \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 1 \cdot 2\lambda + (-1) \cdot \mu + 1 \cdot (\lambda – \mu) = 2\lambda – \mu + \lambda – \mu = 3\lambda – 2\mu \)

Podmínka je \( 3\lambda – 2\mu = 0 \Rightarrow 2\mu = 3\lambda \Rightarrow \mu = \frac{3}{2} \lambda \).

Zvolíme \( \lambda = 2 \Rightarrow \mu = 3 \), dostáváme vektor:

\( \vec{x} = 2 \cdot (2, 0, 1) + 3 \cdot (0, 1, -1) = (4, 0, 2) + (0, 3, -3) = (4, 3, -1) \).

Vektor \( (4, 3, -1) \) je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v dané rovině.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, 2\lambda + \mu, \lambda + 2\mu) \), který splňuje \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 3\lambda + 0 \cdot (2\lambda + \mu) + (-3)(\lambda + 2\mu) = 3\lambda – 3\lambda – 6\mu = -6\mu \)

Podmínka je \( -6\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0 \).

Vektor má tedy tvar \( \vec{x} = \lambda \vec{b} = (\lambda, 2\lambda, \lambda) \).

Pro \( \lambda = 1 \) dostáváme vektor \( (1, 2, 1) \), který je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda + 2\mu, \lambda – \mu, 3\mu) \), takové, že \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 0 \cdot (\lambda + 2\mu) + 4(\lambda – \mu) + 1 \cdot 3\mu = 4\lambda – 4\mu + 3\mu = 4\lambda – \mu \)

Podmínka je \( 4\lambda – \mu = 0 \Rightarrow \mu = 4\lambda \).

Zvolíme \( \lambda = 1 \Rightarrow \mu = 4 \), potom:

\( \vec{x} = 1 \cdot (1, 1, 0) + 4 \cdot (2, -1, 3) = (1, 1, 0) + (8, -4, 12) = (9, -3, 12) \).

Vektor \( (9, -3, 12) \) je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině dané \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda + 2\mu, \lambda, \lambda – \mu) \), takové, že \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Spočítáme skalární součin:

\( 5(\lambda + 2\mu) + (-2) \lambda + 2(\lambda – \mu) = 5\lambda + 10\mu – 2\lambda + 2\lambda – 2\mu = 5\lambda + 10\mu – 2\mu = 5\lambda + 8\mu \)

Podmínka je \( 5\lambda + 8\mu = 0 \Rightarrow 8\mu = -5\lambda \Rightarrow \mu = -\frac{5}{8} \lambda \).

Zvolíme \( \lambda = 8 \Rightarrow \mu = -5 \), potom

\( \vec{x} = 8 \cdot (1, 1, 1) + (-5) \cdot (2, 0, -1) = (8, 8, 8) + (-10, 0, 5) = (-2, 8, 13) \).

Vektor \( (-2, 8, 13) \) je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině určené \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \).

Řešení příkladu:

Hledáme vektor \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, 3\lambda + 2\mu, \mu) \), který je kolmý na \( \vec{a} \), tedy platí \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \).

Dosadíme a spočítáme skalární součin:

\( 4 \cdot \lambda + (-1)(3\lambda + 2\mu) + 2 \cdot \mu = 4\lambda – 3\lambda – 2\mu + 2\mu = \lambda \).

Podmínka \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \Rightarrow \lambda = 0 \).

Tím pádem vektor \( \vec{x} = \mu \vec{c} = (0, 2\mu, \mu) \).

Zvolme například \( \mu = 1 \Rightarrow \vec{x} = (0, 2, 1) \).

Vektor \( (0, 2, 1) \) leží v rovině určené vektory \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \) a je kolmý na \( \vec{a} \).

Řešení příkladu:

Vyjádříme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (3\lambda + \mu, \mu, \lambda + \mu) \).

Podmínka kolmice na \( \vec{a} \) je \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \), tedy:

\( 1(3\lambda + \mu) + 2 \cdot \mu + (-2)(\lambda + \mu) = 3\lambda + \mu + 2\mu – 2\lambda – 2\mu = (3\lambda – 2\lambda) + (\mu + 2\mu – 2\mu) = \lambda + \mu \).

Podmínka je tedy \( \lambda + \mu = 0 \Rightarrow \mu = -\lambda \).

Zvolme \( \lambda = 1 \Rightarrow \mu = -1 \), pak

\( \vec{x} = 1 \cdot (3, 0, 1) + (-1) \cdot (1, 1, 1) = (3, 0, 1) + (-1, -1, -1) = (2, -1, 0) \).

Vektor \( (2, -1, 0) \) splňuje požadavky příkladu.

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, \lambda + \mu, 2\mu) \).

Podmínka kolmice: \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \Rightarrow 0 \cdot \lambda + 3(\lambda + \mu) + (-3)(2\mu) = 3\lambda + 3\mu – 6\mu = 3\lambda – 3\mu = 0 \).

Vyřešíme \( 3\lambda = 3\mu \Rightarrow \lambda = \mu \).

Zvolme \( \lambda = 1 \Rightarrow \mu = 1 \), pak

\( \vec{x} = 1 \cdot (1, 1, 0) + 1 \cdot (0, 1, 2) = (1, 1, 0) + (0, 1, 2) = (1, 2, 2) \).

Tento vektor je kolmý na \( \vec{a} \) a leží v rovině dané \( \vec{b} \) a \( \vec{c} \).

Řešení příkladu:

Hledáme \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, \mu, \lambda + \mu) \).

Podmínka kolmice na \( \vec{a} \) je \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \), tedy:

\( 2 \cdot \lambda + 1 \cdot \mu + (-1)(\lambda + \mu) = 2\lambda + \mu – \lambda – \mu = \lambda \).

Podmínka \( \lambda = 0 \).

Vektor má tvar \( \vec{x} = (0, \mu, \mu) \).

Zvolme \( \mu = 1 \Rightarrow \vec{x} = (0, 1, 1) \).

Tento vektor splňuje všechny požadavky.

Řešení příkladu:

Vyjádříme vektor \( \vec{x} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c} = (\lambda, \lambda + 2\mu, \mu) \).

Podmínka kolmice na \( \vec{a} \) je \( \vec{a} \cdot \vec{x} = 0 \), tedy:

\( 1 \cdot \lambda + (-2)(\lambda + 2\mu) + 1 \cdot \mu = \lambda – 2\lambda – 4\mu + \mu = -\lambda – 3\mu = 0 \).

Vyřešíme \( -\lambda = 3\mu \Rightarrow \lambda = -3\mu \).

Zvolme \( \mu = 1 \Rightarrow \lambda = -3 \), pak

\( \vec{x} = -3 \cdot (1, 1, 0) + 1 \cdot (0, 2, 1) = (-3, -3, 0) + (0, 2, 1) = (-3, -1, 1) \).

Vektor \( (-3, -1, 1) \) splňuje požadavky příkladu.

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \) v trojrozměrném prostoru je definován jako

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \).

Dosadíme jednotlivé složky:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 8 + 0 – 6 = 2 \).

Skalární součin je tedy roven \( 2 \).

Interpretace: Výsledek skalárního součinu závisí na velikostech vektorů a úhlu mezi nimi. Pozitivní hodnota znamená, že úhel mezi vektory je ostrý \((\)menší než \(90°)\).

Řešení příkladu:

Vektorový součin dvou vektorů \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) je definován jako

\( \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 – a_3 b_2, a_3 b_1 – a_1 b_3, a_1 b_2 – a_2 b_1) \).

Dosadíme hodnoty:

\( \vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0, 3 \cdot 4 – 1 \cdot (-1), 1 \cdot 0 – 2 \cdot 4) \)

\( = (-2 – 0, 12 + 1, 0 – 8) = (-2, 13, -8) \).

Tedy vektorový součin je \( \vec{a} \times \vec{b} = (-2, 13, -8) \).

Vektorový součin je kolmý na oba původní vektory, což je důležité pro určení orientace v prostoru.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = 5 \cdot (-2) + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot 7 = -10 – 12 + 7 = -15 \).

Nyní spočítáme velikosti obou vektorů:

\( |\vec{p}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35} \).

\( |\vec{q}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 16 + 49} = \sqrt{69} \).

Úhel \( \theta \) mezi vektory určíme ze vzorce

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} \).

Dosadíme:

\( \cos \theta = \frac{-15}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{69}} = \frac{-15}{\sqrt{2415}} \approx \frac{-15}{49.15} \approx -0.305 \).

Úhel \( \theta = \arccos(-0.305) \approx 108^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory je přibližně \( 108^\circ \), což znamená, že jsou na sebe natočeny více než pravý úhel.

Řešení příkladu:

Vektorový součin je

\( \vec{r} \times \vec{s} = (0 \cdot 4 – 2 \cdot (-1), 2 \cdot 3 – 1 \cdot 4, 1 \cdot (-1) – 0 \cdot 3) \).

Po výpočtu:

\( (0 + 2, 6 – 4, -1 – 0) = (2, 2, -1) \).

Ověříme kolmici:

\( \vec{r} \cdot (\vec{r} \times \vec{s}) = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 + 0 – 2 = 0 \).

\( \vec{s} \cdot (\vec{r} \times \vec{s}) = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 – 2 – 4 = 0 \).

Oba skalární součiny jsou nulové, takže vektorový součin je kolmý na oba vektory.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vektorový součin:

\( \vec{m} \times \vec{n} = (1 \cdot 2 – 3 \cdot (-1), 3 \cdot 0 – 2 \cdot 2, 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 0) = (2 + 3, 0 – 4, -2 – 0) = (5, -4, -2) \).

Velikost vektorového součinu je délka tohoto vektoru:

\( |\vec{m} \times \vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \).

Velikost vektorového součinu udává obsah rovnoběžníku vytvořeného vektory \( \vec{m} \) a \( \vec{n} \).

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \) je definován jako součet součinů odpovídajících složek:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot 2 = -3 – 8 + 10 = -1 \).

Skalární součin je tedy \( -1 \).

Tato hodnota nám říká, že úhel mezi vektory je ostrý nebo tupý podle znaménka výsledku. V tomto případě je záporný, takže úhel je tupý \((\)větší než \(90°)\).

Řešení příkladu:

Vektorový součin je definován vztahem:

\( \vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 – u_3 v_2, u_3 v_1 – u_1 v_3, u_1 v_2 – u_2 v_1) \).

Dosadíme jednotlivé složky:

\( \vec{u} \times \vec{v} = (3 \cdot 5 – (-2) \cdot 0, (-2) \cdot 4 – 1 \cdot 5, 1 \cdot 0 – 3 \cdot 4) \).

Vypočítáme jednotlivé komponenty:

\( = (15 – 0, -8 – 5, 0 – 12) = (15, -13, -12) \).

Výsledný vektorový součin je tedy \( (15, -13, -12) \).

Tento vektor je kolmý na oba původní vektory \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vektorový součin \( \vec{p} \times \vec{q} \):

\( \vec{p} \times \vec{q} = ( (-1) \cdot (-2) – 4 \cdot 3, 4 \cdot 0 – 2 \cdot (-2), 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 0 ) \).

Po dosazení a výpočtu:

\( = (2 – 12, 0 + 4, 6 – 0) = (-10, 4, 6) \).

Velikost vektorového součinu je délka tohoto vektoru, kterou spočítáme jako:

\( |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{(-10)^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 16 + 36} = \sqrt{152} \).

Tedy velikost vektorového součinu je \( \sqrt{152} \approx 12.33 \).

Velikost vektorového součinu odpovídá obsahu rovnoběžníku, který tvoří vektory \( \vec{p} \) a \( \vec{q} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin \( \vec{r} \cdot \vec{s} \):

\( \vec{r} \cdot \vec{s} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 3 – 8 + 2 = -3 \).

Dále spočítáme velikosti vektorů:

\( |\vec{r}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \).

\( |\vec{s}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \).

Úhel \( \theta \) mezi vektory určíme ze vzorce

\( \cos \theta = \frac{\vec{r} \cdot \vec{s}}{|\vec{r}| \cdot |\vec{s}|} = \frac{-3}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{294}} \approx \frac{-3}{17.15} \approx -0.175 \).

Vypočítáme úhel:

\( \theta = \arccos(-0.175) \approx 100^\circ \).

Úhel mezi vektory je tedy přibližně \( 100^\circ \), což znamená, že jsou mírně tupě natočeny vůči sobě.

Řešení příkladu:

Nejdříve skalární součin:

\( \vec{t} \cdot \vec{w} = 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4 = 0 – 2 – 12 = -14 \).

Nyní vektorový součin \( \vec{t} \times \vec{w} \):

\( \vec{t} \times \vec{w} = (2 \cdot 4 – (-3) \cdot (-1), (-3) \cdot 1 – 0 \cdot 4, 0 \cdot (-1) – 2 \cdot 1) \).

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( = (8 – 3, -3 – 0, 0 – 2) = (5, -3, -2) \).

Skalární součin je tedy \( -14 \) a vektorový součin \( (5, -3, -2) \).

Vektorový součin je kolmý na oba původní vektory a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku, který tyto vektory tvoří.

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na dva dané vektory \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \) lze najít pomocí vektorového součinu \( \vec{a} \times \vec{b} \).

Vypočítáme složky výsledného vektoru:

\( \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 – a_3 b_2, a_3 b_1 – a_1 b_3, a_1 b_2 – a_2 b_1) \).

Dosadíme hodnoty:

\( = (-1) \cdot (-2) – 3 \cdot 4, \quad 3 \cdot 0 – 2 \cdot (-2), \quad 2 \cdot 4 – (-1) \cdot 0 \)

\( = (2 – 12, \quad 0 + 4, \quad 8 – 0) = (-10, 4, 8) \).

Výsledný vektor \( (-10, 4, 8) \) je kolmý na oba vstupní vektory \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \).

Je dobré ověřit ortogonalitu skalárním součinem:

\( \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 2 \cdot (-10) + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 8 = -20 -4 + 24 = 0 \).

\( \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \cdot (-10) + 4 \cdot 4 + (-2) \cdot 8 = 0 + 16 -16 = 0 \).

Tím je potvrzeno, že vektor je skutečně kolmý na oba původní vektory.

Řešení příkladu:

Skalární součin vypočítáme jako:

\( \vec{c} \cdot \vec{d} = 5 \cdot (-2) + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot 3 = -10 -12 + 3 = -19 \).

Pro ověření, zda jsou vektory kolmé, musí být jejich skalární součin roven nule.

Zde \( \vec{c} \cdot \vec{d} = -19 \neq 0 \), proto vektory nejsou kolmé.

Velikost skalárního součinu zároveň udává, jak silně vektory směřují do stejného směru, záporná hodnota znamená tupý úhel mezi nimi.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vektorový součin \( \vec{e} \times \vec{f} \):

\( \vec{e} \times \vec{f} = (2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0, 3 \cdot 4 – 1 \cdot (-1), 1 \cdot 0 – 2 \cdot 4) \).

Po výpočtu jednotlivých složek:

\( = (-2 – 0, 12 + 1, 0 – 8) = (-2, 13, -8) \).

Velikost vektorového součinu spočítáme jako délku vektoru:

\( |\vec{e} \times \vec{f}| = \sqrt{(-2)^2 + 13^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 169 + 64} = \sqrt{237} \).

Velikost vektorového součinu je tedy \( \sqrt{237} \approx 15.4 \).

Velikost vektorového součinu odpovídá ploše rovnoběžníku tvořeného vektory \( \vec{e} \) a \( \vec{f} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin vektorů \( \vec{g} \cdot \vec{h} \):

\( 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 3 – 1 + 2 = 4 \).

Dále spočítáme velikosti vektorů:

\( |\vec{g}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \).

\( |\vec{h}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \).

Úhel \( \theta \) mezi vektory vypočítáme podle vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{g} \cdot \vec{h}}{|\vec{g}| \cdot |\vec{h}|} = \frac{4}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \approx \frac{4}{6.48} \approx 0.617 \).

Úhel je tedy:

\( \theta = \arccos 0.617 \approx 52^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory \( \vec{g} \) a \( \vec{h} \) je přibližně \(52°\).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 10 + 0 – 2 = 8 \).

Skalární součin není nulový, takže vektory nejsou kolmé.

Nyní vektorový součin:

\( \vec{m} \times \vec{n} = (-3 \cdot (-2) – 1 \cdot 0, \quad 1 \cdot 5 – 2 \cdot (-2), \quad 2 \cdot 0 – (-3) \cdot 5) \).

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( = (6 – 0, \quad 5 + 4, \quad 0 + 15) = (6, 9, 15) \).

Výsledný vektorový součin je \( (6, 9, 15) \).

Pro ověření kolmice spočítáme skalární součin \( \vec{m} \cdot (\vec{m} \times \vec{n}) \):

\( 2 \cdot 6 + (-3) \cdot 9 + 1 \cdot 15 = 12 – 27 + 15 = 0 \).

Podobně \( \vec{n} \cdot (\vec{m} \times \vec{n}) \):

\( 5 \cdot 6 + 0 \cdot 9 + (-2) \cdot 15 = 30 + 0 – 30 = 0 \).

To potvrzuje, že vektorový součin je kolmý na oba vektory.

Řešení příkladu:

Skalární součin vypočítáme podle vzorce:

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 5 = 3 – 4 – 10 = -11 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Vektorový součin se počítá jako:

\( \vec{r} \times \vec{s} = (0 \cdot 4 – (-1) \cdot 3, \quad (-1) \cdot 1 – 2 \cdot 4, \quad 2 \cdot 3 – 0 \cdot 1) \).

Vypočteme jednotlivé složky:

\( = (0 + 3, \quad -1 – 8, \quad 6 – 0) = (3, -9, 6) \).

Výsledný vektorový součin je \( (3, -9, 6) \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme vektorový součin:

\( \vec{t} \times \vec{u} = (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5, \quad 3 \cdot 4 – 1 \cdot 6, \quad 1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \).

Po výpočtu jednotlivých složek:

\( = (12 – 15, \quad 12 – 6, \quad 5 – 8) = (-3, 6, -3) \).

Velikost vektorového součinu je délka vektoru:

\( \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{v} \cdot \vec{w} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \).

Velikosti vektorů:

\( |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \), \( |\vec{w}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

Úhel \( \theta \) mezi vektory spočítáme jako:

\( \cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{w}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

\( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).

Řešení příkladu:

Nejprve skalární součin:

\( \vec{x} \cdot \vec{y} = 3 \cdot 4 + (-3) \cdot 9 + 1 \cdot 2 = 12 – 27 + 2 = -13 \).

Nyní vektorový součin:

\( \vec{x} \times \vec{y} = \left( (-3) \cdot 2 – 1 \cdot 9, \quad 1 \cdot 4 – 3 \cdot 2, \quad 3 \cdot 9 – (-3) \cdot 4 \right) \).

Po výpočtu jednotlivých složek:

\( = (-6 – 9, \quad 4 – 6, \quad 27 + 12) = (-15, -2, 39) \).

Řešení příkladu:

Skalární součin se spočítá jako součet součinů odpovídajících složek vektorů:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 0 = -2 – 4 + 0 = -6 \).

Protože skalární součin není roven nule, vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \vec{c} \times \vec{d} \) spočítáme podle determinantového vzorce:

\[ \vec{c} \times \vec{d} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(3 \cdot 4 – (-2) \cdot (-1)) – \vec{j}(0 \cdot 4 – (-2) \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-1) – 3 \cdot 1). \]

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(12 – 2) – \vec{j}(0 + 2) + \vec{k}(0 – 3) = \vec{i} \cdot 10 – \vec{j} \cdot 2 – \vec{k} \cdot 3 = (10, -2, -3) \).

Výsledný vektorový součin je tedy \( (10, -2, -3) \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vektorový součin \( \vec{e} \times \vec{f} \):

\[ \vec{e} \times \vec{f} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(2 \cdot 1 – 2 \cdot 0) – \vec{j}(1 \cdot 1 – 2 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 0 – 2 \cdot 2). \]

Po výpočtu jednotlivých složek dostaneme:

\( \vec{i}(2 – 0) – \vec{j}(1 – 4) + \vec{k}(0 – 4) = (2, 3, -4) \).

Velikost vektorového součinu je délka vektoru \( (2, 3, -4) \):

\( \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{g} \cdot \vec{h} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 5 + 4 \cdot 12 = 0 + 0 + 48 = 48 \).

Velikosti vektorů jsou:

\( |\vec{g}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5 \),

\( |\vec{h}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 25 + 144} = 13 \).

Úhel \( \theta \) spočítáme podle vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{g} \cdot \vec{h}}{|\vec{g}| \cdot |\vec{h}|} = \frac{48}{5 \cdot 13} = \frac{48}{65} \).

\( \theta = \arccos \frac{48}{65} \approx 43{,}15^\circ \).

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na oba vektory získáme pomocí vektorového součinu:

\[ \vec{k} = \vec{i} \times \vec{j} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot 0) – \vec{j}(1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 0 – 2 \cdot 3). \]

Po výpočtu složek:

\( \vec{i}(8 – 0) – \vec{j}(4 + 3) + \vec{k}(0 – 6) = (8, -7, -6) \).

Velikost vektoru \( \vec{k} \) je:

\( \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 49 + 36} = \sqrt{149} \).

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů spočítáme jako součet součinů odpovídajících složek:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot (-2) = 0 – 15 – 2 = -17 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Vektorový součin spočítáme pomocí determinantového vzorce:

\[ \vec{c} \times \vec{d} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0) – \vec{j}(1 \cdot (-1) – 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot 0 – 2 \cdot 4). \]

Vypočteme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(-2 – 0) – \vec{j}(-1 – 12) + \vec{k}(0 – 8) = (-2, 13, -8) \).

Výsledný vektorový součin je tedy \( (-2, 13, -8) \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vektorový součin \( \vec{e} \times \vec{f} \):

\[ \vec{e} \times \vec{f} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}((-1) \cdot 0 – 2 \cdot 4) – \vec{j}(0 \cdot 0 – 2 \cdot 3) + \vec{k}(0 \cdot 4 – (-1) \cdot 3). \]

Po výpočtu složek dostaneme:

\( \vec{i}(0 – 8) – \vec{j}(0 – 6) + \vec{k}(0 + 3) = (-8, 6, 3) \).

Velikost vektorového součinu spočítáme jako délku tohoto vektoru:

\( \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 36 + 9} = \sqrt{109} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{g} \cdot \vec{h} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 2 + 0 – 1 = 1 \).

Velikosti vektorů jsou:

\( |\vec{g}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 \),

\( |\vec{h}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \).

Úhel \( \theta \) spočítáme podle vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{g} \cdot \vec{h}}{|\vec{g}| \cdot |\vec{h}|} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \).

\( \theta = \arccos \frac{1}{3 \sqrt{2}} \approx 75{,}5^\circ \).

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na oba vektory získáme pomocí vektorového součinu:

\[ \vec{k} = \vec{i} \times \vec{j} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(1 \cdot 3 – 0 \cdot (-1)) – \vec{j}(1 \cdot 3 – 0 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2). \]

Po výpočtu složek:

\( \vec{i}(3 – 0) – \vec{j}(3 – 0) + \vec{k}(-1 – 2) = (3, -3, -3) \).

Velikost vektoru \( \vec{k} \) je:

\( \sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin podle vzorce:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 5 + 4 \cdot 1 = -6 – 5 + 4 = -7 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Nyní spočítáme vektorový součin \( \vec{a} \times \vec{b} \), který určuje vektor kolmý na oba dané vektory:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 4 \\ -2 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}((-1) \cdot 1 – 4 \cdot 5) – \vec{j}(3 \cdot 1 – 4 \cdot (-2)) + \vec{k}(3 \cdot 5 – (-1) \cdot (-2)). \]

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(-1 – 20) – \vec{j}(3 + 8) + \vec{k}(15 – 2) = (-21, -11, 13) \).

Velikost tohoto vektoru je:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-21)^2 + (-11)^2 + 13^2} = \sqrt{441 + 121 + 169} = \sqrt{731} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 2 + 0 – 4 = -2 \).

Velikosti vektorů jsou:

\( |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \),

\( |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \).

Úhel \( \theta \) spočítáme podle vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| \cdot |\vec{d}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{29}} = \frac{-2}{\sqrt{58}} \).

\( \theta = \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{58}} \right) \approx 104{,}5^\circ \).

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na oba vektory najdeme jako vektorový součin \( \vec{e} \times \vec{f} \):

\[ \vec{e} \times \vec{f} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) – \vec{j}(0 \cdot 1 – 2 \cdot 3) + \vec{k}(0 \cdot (-1) – 1 \cdot 3). \]

Po výpočtu jednotlivých složek dostáváme:

\( \vec{i}(1 + 2) – \vec{j}(0 – 6) + \vec{k}(0 – 3) = (3, 6, -3) \).

Velikost tohoto vektoru je:

\( \sqrt{3^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \).

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{g} \cdot \vec{h} = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-9) = -3 – 12 – 27 = -42 \).

Pro zjištění lineární závislosti zkontrolujeme, zda existuje skalár \( \lambda \), pro který platí \( \vec{h} = \lambda \vec{g} \).

Porovnáním složek:

\( -3 = \lambda \cdot 1 \Rightarrow \lambda = -3 \),

\( -6 = \lambda \cdot 2 = -3 \cdot 2 = -6 \),

\( -9 = \lambda \cdot 3 = -3 \cdot 3 = -9 \).

Všechny rovnice jsou splněny, tedy vektory jsou lineárně závislé.

Řešení příkladu:

Vektorový součin spočítáme podle determinantového vzorce:

\[ \vec{m} \times \vec{n} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ \end{matrix} \right| = \vec{i}(3 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) – \vec{j}(2 \cdot 4 – 1 \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0). \]

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(12 + 1) – \vec{j}(8 – 0) + \vec{k}(-2 – 0) = (13, -8, -2) \).

Směr vektoru určuje směr kolmý na rovinu určenou vektory \( \vec{m} \) a \( \vec{n} \), tedy je kolmý na oba.

Řešení příkladu:

Pro výpočet skalárního součinu vektorů \( \vec{p} = (4, -2, 1) \) a \( \vec{q} = (1, 0, -3) \) využijeme definici skalárního součinu, která říká, že sečteme součin odpovídajících složek obou vektorů.

Vypočítáme tedy jednotlivé násobky:

\( 4 \cdot 1 = 4 \), \( -2 \cdot 0 = 0 \), \( 1 \cdot (-3) = -3 \).

Sečteme tyto hodnoty:

\( 4 + 0 – 3 = 1 \).

Výsledný skalární součin je tedy \( 1 \).

Protože je výsledek kladný, znamená to, že úhel mezi vektory je ostrý (menší než 90°), jelikož skalární součin je roven \( |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos \theta \) a pokud je kladný, potom \( \cos \theta > 0 \).

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \vec{r} \times \vec{s} \) vypočítáme pomocí determinantové matice složené ze standardních jednotkových vektorů a složek vektorů \( \vec{r} \) a \( \vec{s} \):

\[ \vec{r} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 4 – (-1) \cdot 3) – \vec{j}(2 \cdot 4 – (-1) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 3 – 0 \cdot 1). \]

Postupně spočítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i} (0 + 3) = 3 \vec{i} \),

\( \vec{j} (8 + 1) = 9 \vec{j} \), ale je zde minus, takže \( -9 \vec{j} \),

\( \vec{k} (6 – 0) = 6 \vec{k} \).

Tedy vektorový součin je:

\( \vec{r} \times \vec{s} = (3, -9, 6) \).

Nyní určíme velikost tohoto vektoru podle vzorce:

\( |\vec{r} \times \vec{s}| = \sqrt{3^2 + (-9)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 81 + 36} = \sqrt{126} = 3 \sqrt{14} \).

Velikost vektorového součinu reprezentuje plochu rovnoběžníku, který svírají vektory \( \vec{r} \) a \( \vec{s} \).

Řešení příkladu:

Úhel mezi dvěma vektory \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \) spočítáme pomocí vzorce skalárního součinu:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta \), kde \( \theta \) je úhel mezi vektory.

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 \).

Dále vypočítáme velikosti vektorů:

\( |\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),

\( |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \).

Dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

Z toho plyne:

\( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \) je \(60\) stupňů.

Řešení příkladu:

Vektor kolmý na oba dané vektory lze nalézt jako jejich vektorový součin.

Nejprve spočítáme vektorový součin \( \vec{w} \times \vec{x} \):

\[ \vec{w} \times \vec{x} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot (-1) – 3 \cdot 0) – \vec{j}(1 \cdot (-1) – 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot 0 – 2 \cdot 4). \]

Po výpočtu jednotlivých složek dostaneme:

\( \vec{i}(-2 – 0) – \vec{j}(-1 – 12) + \vec{k}(0 – 8) = (-2, 13, -8) \).

Nyní spočítáme délku tohoto vektoru podle vzorce:

\( |\vec{w} \times \vec{x}| = \sqrt{(-2)^2 + 13^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 169 + 64} = \sqrt{237} \).

Chceme vektor délky 5, proto normalizujeme a násobíme 5:

\( \vec{y} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{237}} (-2, 13, -8) = \left( -\frac{10}{\sqrt{237}}, \frac{65}{\sqrt{237}}, -\frac{40}{\sqrt{237}} \right) \).

Tento vektor má požadovanou délku 5 a je kolmý na oba původní vektory.

Řešení příkladu:

Pro výpočet skalárního součinu \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) použijeme definici:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \).

Dosadíme konkrétní složky:

\( 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 0 – 4 – 6 = -10 \).

Výsledkem je \( -10 \), což není nula, takže vektory nejsou kolmé (kolmost nastává právě při skalárním součinu rovno nule).

Tedy \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \) nejsou kolmé vektory.

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \vec{c} \times \vec{d} \) spočítáme pomocí determinantové matice:

\[ \vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \vec{j}(1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot 5 – 2 \cdot 4). \]

Počítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(12 – 15) = -3 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(6 – 12) = -(-6) \vec{j} = 6 \vec{j} \),

\( \vec{k}(5 – 8) = -3 \vec{k} \).

Výsledný vektor je tedy \( (-3, 6, -3) \).

Nyní ověříme kolmost výsledného vektoru k původním:

Skalární součin s \( \vec{c} \): \( (-3) \cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = -3 + 12 – 9 = 0 \).

Skalární součin s \( \vec{d} \): \( (-3) \cdot 4 + 6 \cdot 5 + (-3) \cdot 6 = -12 + 30 – 18 = 0 \).

Oba skalární součiny jsou nulové, což potvrzuje, že vektorový součin je kolmý na oba původní vektory.

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \vec{e} \times \vec{f} \) vypočítáme podle determinantové matice:

\[ \vec{e} \times \vec{f} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1) \cdot 5 – 4 \cdot 0) – \vec{j}(2 \cdot 5 – 4 \cdot (-3)) + \vec{k}(2 \cdot 0 – (-1) \cdot (-3)). \]

Po výpočtu složek dostáváme:

\( \vec{i}(-5 – 0) = -5 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(10 – (-12)) = – \vec{j}(22) = -22 \vec{j} \),

\( \vec{k}(0 – 3) = -3 \vec{k} \).

Výsledný vektor je tedy \( (-5, -22, -3) \).

Velikost vektorového součinu je:

\( |\vec{e} \times \vec{f}| = \sqrt{(-5)^2 + (-22)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 484 + 9} = \sqrt{518} \).

Velikost vektorového součinu představuje plochu rovnoběžníku, který vektory \( \vec{e} \) a \( \vec{f} \) tvoří.

Tedy plocha rovnoběžníku je \( \sqrt{518} \), což je přibližně \(22,76\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin vektorů \( \vec{g} \) a \( \vec{h} \):

\( \vec{g} \cdot \vec{h} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 5 + 4 \cdot 0 = 0 \).

Dále spočítáme délky jednotlivých vektorů:

\( |\vec{g}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \),

\( |\vec{h}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5 \).

Dosadíme do vzorce pro úhel mezi vektory:

\( \cos \theta = \frac{\vec{g} \cdot \vec{h}}{|\vec{g}| \cdot |\vec{h}|} = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 \).

Proto \( \theta = \arccos 0 = 90^\circ \).

Tedy vektory jsou kolmé.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme vektorový součin \( \vec{m} \times \vec{n} \):

\[ \vec{m} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 3 – (-2) \cdot 1) – \vec{j}(1 \cdot 3 – (-2) \cdot (-2)) + \vec{k}(1 \cdot 1 – 2 \cdot (-2)). \]

Počítáme jednotlivé složky:

\( \vec{i}(6 + 2) = 8 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(3 – 4) = -(-1) \vec{j} = 1 \vec{j} \),

\( \vec{k}(1 + 4) = 5 \vec{k} \).

Tedy \( \vec{m} \times \vec{n} = (8, 1, 5) \).

Velikost vektorového součinu spočítáme podle vzorce:

\( |\vec{m} \times \vec{n}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 1 + 25} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \).

Jednotkový vektor kolmý na oba spočítáme jako normalizaci vektoru \( (8, 1, 5) \):

\( \vec{u} = \frac{1}{|\vec{m} \times \vec{n}|} (8, 1, 5) = \frac{1}{3 \sqrt{10}} (8, 1, 5) \).

Tedy jednotkový vektor kolmý na \( \vec{m} \) a \( \vec{n} \) je \( \left(\frac{8}{3 \sqrt{10}}, \frac{1}{3 \sqrt{10}}, \frac{5}{3 \sqrt{10}}\right) \).

Řešení příkladu:

Pro výpočet skalárního součinu použijeme definici:

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z \).

Dosadíme hodnoty:

\( 7 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 + 0 \cdot (-1) = 21 – 10 + 0 = 11 \).

Skalární součin je 11, což není nula, tedy vektory nejsou kolmé.

Nyní spočítáme délky obou vektorů:

\( |\vec{p}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \),

\( |\vec{q}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35} \).

Úhel \( \theta \) mezi vektory získáme ze vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|} = \frac{11}{\sqrt{53} \cdot \sqrt{35}} = \frac{11}{\sqrt{1855}} \).

Pro lepší představu spočítáme přibližnou hodnotu:

\( \sqrt{1855} \approx 43.06 \Rightarrow \cos \theta \approx \frac{11}{43.06} \approx 0.2555 \).

Úhel je tedy:

\( \theta = \arccos 0.2555 \approx 75.18^\circ \).

Vektory nejsou kolmé, ale svírají úhel přibližně \(75,18\) stupňů.

Řešení příkladu:

Vektorový součin spočítáme pomocí determinantové matice:

\[ \vec{r} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 – (-3) \cdot (-1)) – \vec{j}(0 \cdot 1 – (-3) \cdot 2) + \vec{k}(0 \cdot (-1) – 3 \cdot 2). \]

Po výpočtu jednotlivých složek dostaneme:

\( \vec{i}(3 – 3) = 0 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(0 – (-6)) = – \vec{j}(6) = -6 \vec{j} \),

\( \vec{k}(0 – 6) = -6 \vec{k} \).

Výsledný vektor je tedy \( (0, -6, -6) \).

Ověříme kolmost:

Skalární součin s \( \vec{r} \): \( 0 \cdot 0 + (-6) \cdot 3 + (-6) \cdot (-3) = 0 – 18 + 18 = 0 \).

Skalární součin s \( \vec{s} \): \( 0 \cdot 2 + (-6) \cdot (-1) + (-6) \cdot 1 = 0 + 6 – 6 = 0 \).

Výsledný vektor je kolmý na oba původní.

Řešení příkladu:

Vektorový součin vypočítáme:

\[ \vec{t} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 – (-1) \cdot 2) – \vec{j}(4 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) + \vec{k}(4 \cdot 2 – 0 \cdot 1). \]

Po výpočtu složek:

\( \vec{i}(0 + 2) = 2 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(12 + 1) = -13 \vec{j} \),

\( \vec{k}(8 – 0) = 8 \vec{k} \).

Vektorový součin je \( (2, -13, 8) \).

Velikost tohoto vektoru je:

\( \sqrt{2^2 + (-13)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 169 + 64} = \sqrt{237} \approx 15.39 \).

Velikost vektorového součinu odpovídá ploše rovnoběžníku, který vektory tvoří, tedy přibližně \(15,39\) jednotek čtverečních.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme skalární součin:

\( \vec{v} \cdot \vec{w} = (-1) \cdot 3 + 4 \cdot (-6) + 2 \cdot 1 = -3 – 24 + 2 = -25 \).

Pak spočítáme délky vektorů:

\( |\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \),

\( |\vec{w}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 36 + 1} = \sqrt{46} \).

Úhel mezi vektory získáme z definice skalárního součinu:

\( \cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{w}|} = \frac{-25}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{46}} = \frac{-25}{\sqrt{966}} \).

Přibližná hodnota:

\( \sqrt{966} \approx 31.08 \Rightarrow \cos \theta \approx \frac{-25}{31.08} \approx -0.8049 \).

Úhel:

\( \theta = \arccos(-0.8049) \approx 143.95^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory je přibližně \(143,95\) stupňů.

Řešení příkladu:

Vypočítáme vektorový součin:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1) \cdot 1 – 4 \cdot 0) – \vec{j}(2 \cdot 1 – 4 \cdot (-3)) + \vec{k}(2 \cdot 0 – (-1) \cdot (-3)). \]

Jednotlivé složky:

\( \vec{i}(-1 – 0) = -1 \vec{i} \),

\( – \vec{j}(2 – (-12)) = – \vec{j}(14) = -14 \vec{j} \),

\( \vec{k}(0 – 3) = -3 \vec{k} \).

Výsledný vektor je \( (-1, -14, -3) \).

Ověření kolmosti:

Skalární součin s \( \vec{a} \): \( 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-3) = -2 + 14 – 12 = 0 \).

Skalární součin s \( \vec{b} \): \( -3 \cdot (-1) + 0 \cdot (-14) + 1 \cdot (-3) = 3 + 0 – 3 = 0 \).

Vektor je kolmý na oba původní vektory, což potvrzuje správnost výpočtu.