Skalární součin

Řešení příkladu 1:

Nejprve si připomeňme definici skalárního součinu dvou vektorů \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Dosadíme hodnoty: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot 2 \] Vypočítáme jednotlivé členy: \[ 3 \cdot (-1) = -3, \quad (-2) \cdot 4 = -8, \quad 5 \cdot 2 = 10 \] Sečteme výsledky: \[ -3 + (-8) + 10 = -3 – 8 + 10 = (-11) + 10 = -1 \] Výsledek je: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -1 \]

Řešení příkladu 2:

Úhel \( \theta \) mezi dvěma vektory lze vypočítat podle vzorce: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta \] Nejprve spočítáme skalární součin: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \] Dále spočítáme velikosti (normy) vektorů: \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] Dosadíme do vzorce pro úhel: \[ 4 = 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{4}{3 \sqrt{5}} \] Vypočítáme hodnotu: \[ \cos \theta \approx \frac{4}{3 \cdot 2.236} = \frac{4}{6.708} \approx 0.596 \] Nakonec spočítáme úhel: \[ \theta = \arccos(0.596) \approx 53.13^\circ \] Tedy úhel mezi vektory je přibližně \( 53.13^\circ \).

Řešení příkladu 3:

Dva vektory jsou kolmé, pokud je jejich skalární součin roven nule: \[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 0 \] Spočítáme skalární součin: \[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 6 = 8 + 2 + 18 = 28 \] Výsledek není nula, tedy vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu 4:

Projekce vektoru \( \mathbf{m} \) na vektor \( \mathbf{n} \) je dána vzorcem: \[ \mathrm{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{m} = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^2} \mathbf{n} \] Nejprve spočítáme skalární součin: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \] Dále spočítáme normu vektoru \( \mathbf{n} \): \[ \|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] Tedy \( \|\mathbf{n}\|^2 = 2 \). Dosadíme do vzorce: \[ \mathrm{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{m} = \frac{-1}{2} \cdot (1, 0, -1) = \left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \] Projekce vektoru \( \mathbf{m} \) na \( \mathbf{n} \) je tedy vektor \[ \left(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right). \]

Řešení příkladu 5:

Podmínka ortogonality znamená, že skalární součin je nulový: \[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0 \] Spočítáme skalární součin: \[ a \cdot 4 + 2a \cdot (-1) + 3 \cdot b = 4a – 2a + 3b = 2a + 3b \] Rovnici tedy máme: \[ 2a + 3b = 0 \] Vyjádříme \( b \): \[ 3b = -2a \Rightarrow b = -\frac{2}{3} a \] Tento vztah musí platit, aby byly vektory ortogonální.

Řešení příkladu 6:

Máme: \[ \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 10 \] Skalární součin spočítáme jako: \[ 2 \cdot 3 + x \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 6 – x + 4 = 10 \] Sečteme konstanty: \[ 10 – x = 10 \] Odečteme 10 od obou stran: \[ -x = 0 \Rightarrow x = 0 \] Hodnota \( x \) je tedy 0.

Řešení příkladu 7:

Velikost projekce \( \mathrm{proj}_{\mathbf{z}} \mathbf{w} \) je dána vztahem: \[ \|\mathrm{proj}_{\mathbf{z}} \mathbf{w}\| = \frac{|\mathbf{w} \cdot \mathbf{z}|}{\|\mathbf{z}\|} \] Nejprve spočítáme skalární součin: \[ \mathbf{w} \cdot \mathbf{z} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = -2 + 4 + 2 = 4 \] Poté spočítáme normu vektoru \( \mathbf{z} \): \[ \|\mathbf{z}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Dosadíme do vzorce: \[ \|\mathrm{proj}_{\mathbf{z}} \mathbf{w}\| = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3} \] Velikost projekce je tedy \( \frac{4}{3} \).

Řešení příkladu:

Máme vektory \( \mathbf{a} = (3, -1, 4) \) a \( \mathbf{b} = (2, 0, -5) \).

Skalární součin je definován jako

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Dosadíme hodnoty:

\( 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 4 \cdot (-5) = 6 + 0 – 20 = -14 \).

Skalární součin je tedy \( -14 \).

Dva vektory jsou kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin nulový. Protože \( -14 \neq 0 \), vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Pro kolmost platí \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \).

Skalární součin je

\( 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot k = 0 \Rightarrow 4 – 2 + 3k = 0 \Rightarrow 2 + 3k = 0 \).

Odtud \( 3k = -2 \Rightarrow k = -\frac{2}{3} \).

Řešení příkladu:

Velikost vektoru je

\( |\mathbf{w}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).

Skalární součin \( \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \) je

\( (-3) \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \).

Vidíme, že platí \( \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = |\mathbf{w}|^2 \).

Řešení příkladu:

Úhel \( \theta \) mezi vektory lze spočítat ze vzorce

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \cdot |\mathbf{q}|} \).

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \).

Dále velikosti vektorů:

\( |\mathbf{p}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),

\( |\mathbf{q}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

Dosadíme do vzorce:

\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \) (60°).

Řešení příkladu:

Platí \( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 0 \), tedy

\( k \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 = 0 \Rightarrow k – 2 – 3 = 0 \Rightarrow k – 5 = 0 \Rightarrow k = 5 \).

Řešení příkladu:

Skalární součin je

\( 2 \cdot 4 + (-3) \cdot m = 7 \Rightarrow 8 – 3m = 7 \Rightarrow -3m = -1 \Rightarrow m = \frac{1}{3} \).

Velikost vektoru \( \mathbf{y} \) je

\( |\mathbf{y}| = \sqrt{4^2 + m^2} = \sqrt{16 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{145}{9}} = \frac{\sqrt{145}}{3} \).

Tato hodnota není rovna 5, proto \( m = \frac{1}{3} \) nevyhovuje podmínce velikosti.

Podmínka \( |\mathbf{y}| = 5 \) dává rovnici

\( \sqrt{4^2 + m^2} = 5 \Rightarrow 16 + m^2 = 25 \Rightarrow m^2 = 9 \Rightarrow m = \pm 3 \).

Pro \( m=3 \) spočítáme skalární součin:

\( 8 – 3 \cdot 3 = 8 – 9 = -1 \neq 7 \).

Pro \( m = -3 \) spočítáme skalární součin:

\( 8 – 3 \cdot (-3) = 8 + 9 = 17 \neq 7 \).

Žádná hodnota \( m \) nesplňuje současně obě podmínky. Proto neexistuje \( m \) takový, že obě podmínky platí.

Řešení příkladu:

Kolmost znamená \( \mathbf{z} \cdot \mathbf{t} = 0 \).

Dosadíme:

\( x \cdot 1 + 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 2 = 0 \Rightarrow x – 8 + 6 = 0 \Rightarrow x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Vektor je tedy \( \mathbf{z} = (2, 2, 3) \).

Řešení příkladu:

Skalární součin je

\( 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = -1 + 0 + 3 = 2 \).

Velikost skalárního součinu je absolutní hodnota čísla 2, tedy \( |2| = 2 \).

Řešení příkladu:

Kolmost znamená \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \), tedy

\( 3 \cdot b_1 + a_2 \cdot 4 = 0 \Rightarrow 3 b_1 + 4 a_2 = 0 \Rightarrow 4 a_2 = -3 b_1 \Rightarrow a_2 = -\frac{3}{4} b_1 \).

Řešení příkladu:

Skalární součin vektorů ve 4-rozměrném prostoru je

\( 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = 2 – 4 + 0 + 6 = 4 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme definici skalárního součinu dvou vektorů \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \), který je definován jako

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Dosadíme konkrétní hodnoty:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4 + 1 \cdot 5 = -2 – 12 + 5 = -9 \).

Skalární součin tedy činí \( -9 \).

Dva vektory jsou kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin nulový. Protože \( -9 \neq 0 \), vektory nejsou kolmé.

Pro výpočet velikosti úhlu mezi vektory použijeme vztah

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} \), kde \( |\mathbf{a}| \) a \( |\mathbf{b}| \) jsou velikosti vektorů.

Nejdříve vypočítáme velikosti vektorů:

\( |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \).

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \).

Dosadíme do vzorce:

\( \cos \theta = \frac{-9}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \frac{-9}{\sqrt{588}} = \frac{-9}{\sqrt{588}} \).

Vypočítáme \( \sqrt{588} \):

\( 588 = 49 \cdot 12 \), tedy \( \sqrt{588} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{12} = 7 \cdot 2\sqrt{3} = 14 \sqrt{3} \).

Tedy

\( \cos \theta = \frac{-9}{14 \sqrt{3}} \).

Abychom mohli spočítat \( \theta \), použijeme inverzní funkci kosinu:

\( \theta = \arccos \left( \frac{-9}{14 \sqrt{3}} \right) \).

Tento výsledek je přesný výraz pro úhel mezi vektory.

Pro lepší pochopení doporučujeme použít kalkulačku nebo software, který poskytne přibližnou hodnotu úhlu v radiánech nebo stupních.

Řešení příkladu:

Kolmost dvou vektorů znamená, že jejich skalární součin je roven nule:

\( \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 0 \).

Dosadíme složky vektorů:

\( x \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 0 \Rightarrow 3x – 2 + 8 = 0 \Rightarrow 3x + 6 = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2 \).

Neznámá složka \( x \) je tedy rovna \( -2 \).

Řešení příkladu:

Skalární součin definujeme jako součet součinů odpovídajících složek vektorů:

\( \mathbf{e} \cdot \mathbf{f} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 3 + 0 – 1 – 2 = 0 \).

Velikost vektoru \( \mathbf{e} \) je

\( |\mathbf{e}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 4} = \sqrt{6} \).

Velikost vektoru \( \mathbf{f} \) je

\( |\mathbf{f}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1 + 1} = \sqrt{15} \).

Nyní zkontrolujeme nerovnost Cauchyho–Schwarzovy nerovnosti:

\( |\mathbf{e} \cdot \mathbf{f}| = |0| = 0 \leq \sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{90} \).

Je zřejmé, že \( 0 \leq \sqrt{90} \) je pravda, takže vztah platí.

Výsledek také potvrzuje, že vektory \( \mathbf{e} \) a \( \mathbf{f} \) jsou kolmé, protože skalární součin je nula.

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů je

\( \mathbf{g} \cdot \mathbf{h} = 5 \cdot 2 + 1 \cdot k = 10 + k = 7 \Rightarrow k = 7 – 10 = -3 \).

Podmínka \( k > 0 \) není splněna, takže není možné, aby skalární součin byl 7 při \( k > 0 \).

Pokud ignorujeme podmínku \( k > 0 \), pak \( k = -3 \).

Velikosti vektorů jsou

\( |\mathbf{g}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \),

\( |\mathbf{h}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

Úhel mezi vektory vypočítáme pomocí vzorce

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{g} \cdot \mathbf{h}}{|\mathbf{g}| \cdot |\mathbf{h}|} = \frac{7}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{338}} \).

Tedy

\( \theta = \arccos \left( \frac{7}{\sqrt{338}} \right) \).

Pro přibližné vyjádření je nutné použít kalkulačku.

Řešení příkladu:

Kolmost znamená, že skalární součin je roven nule:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 0 \).

Dosadíme složky:

\( 4 \cdot 2 + m \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 0 \Rightarrow 8 + 3m + 0 = 0 \Rightarrow 3m = -8 \Rightarrow m = -\frac{8}{3} \).

Hodnota \( m \) je tedy \( -\frac{8}{3} \).

Řešení příkladu:

Velikost vektoru je dána vzorcem

\( |\mathbf{r}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).

Jednotkový vektor ve směru \( \mathbf{r} \) získáme vydělením každé složky velikostí:

\( \mathbf{u} = \frac{1}{13} (-3, 4, 12) = \left(-\frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13} \right) \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme vektor rozdílu \( \mathbf{s} – \mathbf{t} \):

\( \mathbf{s} – \mathbf{t} = (1 – 4, 2 – 5, 3 – 6) = (-3, -3, -3) \).

Velikost tohoto vektoru je

\( |\mathbf{s} – \mathbf{t}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \).

Velikost vektoru rozdílu představuje vzdálenost mezi body reprezentovanými vektory \( \mathbf{s} \) a \( \mathbf{t} \) v prostoru. Jinými slovy, je to délka přímky spojující jejich koncové body.

Řešení příkladu:

Nejdříve vypočítáme skalární součin:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1 \).

Velikosti vektorů jsou

\( |\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \),

\( |\mathbf{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \).

Vypočítáme kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

Úhel je

\( \theta = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ \).

Řešení příkladu:

Ortogonalita znamená, že skalární součin vektorů je roven nule:

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 2 – 2 + 0 + 0 = 0 \).

Protože skalární součin je nulový, vektory jsou kolmé.

Řešení příkladu:

V trojrozměrném prostoru lze jednotkový vektor kolmý na dva vektory najít pomocí jejich vektorového součinu \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \).

Vektorový součin je definován jako

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2 b_3 – a_3 b_2,\, a_3 b_1 – a_1 b_3,\, a_1 b_2 – a_2 b_1 \right). \]

Dosadíme hodnoty:

\( a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = -1 \), \( b_1 = 2, b_2 = -1, b_3 = 1 \).

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( 0 \cdot 1 – (-1) \cdot (-1),\, (-1) \cdot 2 – 1 \cdot 1,\, 1 \cdot (-1) – 0 \cdot 2 \right) = (0 – 1, -2 – 1, -1 – 0) = (-1, -3, -1). \]

Velikost tohoto vektoru je

\( |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \).

Jednotkový vektor ve směru \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) je tedy

\[ \mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{11}} (-1, -3, -1) = \left(-\frac{1}{\sqrt{11}}, -\frac{3}{\sqrt{11}}, -\frac{1}{\sqrt{11}} \right). \]

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \) v trojrozměrném prostoru je definován jako součet součinů jejich odpovídajících složek:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Pro dané vektory máme:

\( a_1 = 3, a_2 = -2, a_3 = 5 \), \( b_1 = -1, b_2 = 4, b_3 = -3 \).

Dosadíme do vzorce:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = -3 – 8 – 15 \).

Sečteme jednotlivé členy:

\( -3 – 8 – 15 = -26 \).

Tedy skalární součin vektorů \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \) je \( -26 \).

Skalární součin vyjadřuje míru „projekce“ jednoho vektoru na druhý a v tomto případě záporná hodnota znamená, že úhel mezi vektory je tupý, protože skalární součin je úměrný kosinu úhlu mezi vektory.

Řešení příkladu:

Pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory využijeme vztah pro kosinus úhlu \( \theta \):

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} \).

Nejprve vypočteme skalární součin \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \).

Dále vypočteme velikosti vektorů \( \mathbf{u} \) a \( \mathbf{v} \):

\( |\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \),

\( |\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \).

Nyní dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{4}{3 \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} \).

Úhel \( \theta \) pak získáme jako

\( \theta = \arccos \left( \frac{4}{3\sqrt{5}} \right) \).

Pro praktické vyjádření úhlu je nutné použít kalkulačku a vypočítat přibližnou hodnotu v radiánech nebo stupních.

Tento výpočet nám poskytuje úhel mezi dvěma vektory v prostoru a je základním nástrojem v analytické geometrii.

Řešení příkladu:

Nejdříve ověříme, zda jsou vektory lineárně závislé. To znamená, zda existuje skalár \( k \), takový, že \( \mathbf{m} = k \mathbf{n} \).

Porovnáme jednotlivé složky:

\( 2 = k \cdot (-4) \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \),

\( -1 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \),

\( 3 = k \cdot (-6) \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \).

Hodnota \( k \) je ve všech třech případech stejná, což znamená, že vektory jsou lineárně závislé.

Nyní vypočteme skalární součin:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-6) = -8 – 2 – 18 = -28 \).

Skalární součin je \( -28 \), což potvrzuje, že úhel mezi nimi je tupý (protože skalární součin je záporný).

Lineární závislost a skalární součin poskytují důležité informace o vzájemné orientaci vektorů.

Řešení příkladu:

Kolmost znamená, že skalární součin vektorů je nulový:

\( \mathbf{w} \cdot \mathbf{z} = 0 \).

Dosadíme složky:

\( x \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 2 = 0 \Rightarrow 3x – 8 – 2 = 0 \Rightarrow 3x – 10 = 0 \).

Vyřešíme rovnici pro \( x \):

\( 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \).

Tedy \( x = \frac{10}{3} \) zajišťuje kolmost vektorů.

Tento příklad ukazuje, jak pomocí skalárního součinu najít neznámou složku vektoru, který má splňovat určitou geometrickou podmínku.

Řešení příkladu:

Projekce vektoru \( \mathbf{a} \) na vektor \( \mathbf{b} \) je definována jako

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \mathbf{b} \).

Nejprve spočítáme skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 = 4 + 0 – 6 = -2 \).

Dále spočítáme velikost vektoru \( \mathbf{b} \):

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10} \).

Velikost na druhou je tedy

\( |\mathbf{b}|^2 = 10 \).

Nyní dosadíme do vzorce:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{-2}{10} (1, 0, 3) = \left(-\frac{1}{5}, 0, -\frac{3}{5}\right) \).

Projekce je tedy vektor \( \left(-\frac{1}{5}, 0, -\frac{3}{5}\right) \).

Projekce nám ukazuje, jakou část vektoru \( \mathbf{a} \) „vidíme“ ve směru vektoru \( \mathbf{b} \).

Řešení příkladu:

Pro ortogonalitu platí, že skalární součin vektorů musí být roven nule.

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 = 8 + 18 + 2 = 28 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou ortogonální.

Je však patrné, že \( \mathbf{q} = 2 \mathbf{p} \), což znamená, že jsou lineárně závislé a směřují stejným směrem.

Skalární součin \( 28 \) také indikuje úhel menší než 90°, protože je kladný.

Řešení příkladu:

Vzorec pro skalární součin podle délky vektorů a úhlu mezi nimi je

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta \).

Dosadíme hodnoty:

\( |\mathbf{a}| = 5, |\mathbf{b}| = 7, \theta = 60^\circ \).

Nejprve převedeme úhel na radiány, pokud je potřeba, nebo použijeme hodnotu kosinu pro \( 60^\circ \):

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Vypočítáme skalární součin:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 35 \cdot \frac{1}{2} = 17.5 \).

Výsledek znamená, že velikost projekce jednoho vektoru na druhý, násobená délkou druhého, je 17.5.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = 0 – 3 + 0 = -3 \).

Protože skalární součin není nula, vektory nejsou kolmé.

Význam skalárního součinu záporné hodnoty ukazuje, že úhel mezi vektory je větší než 90°.

Pro úplnost bychom mohli spočítat velikosti vektorů a úhel, ale pro ověření kolmosti stačí hodnota skalárního součinu.

Řešení příkladu:

Pro ortogonalitu platí, že skalární součin je nula:

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0 \).

Dosadíme složky:

\( k \cdot 1 + 2 \cdot k + (-1) \cdot 3 = 0 \Rightarrow k + 2k – 3 = 0 \Rightarrow 3k – 3 = 0 \).

Vyřešíme rovnici:

\( 3k = 3 \Rightarrow k = 1 \).

Hodnota \( k = 1 \) zajistí ortogonalitu vektorů.

Tento postup ukazuje, jak najít parametr vektorů z geometrické podmínky.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočteme skalární součin:

\( \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 2 + 0 – 4 = -2 \).

Poté vypočteme velikosti obou vektorů:

\( |\mathbf{c}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \),

\( |\mathbf{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \).

Dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{c} \cdot \mathbf{d}}{|\mathbf{c}| \cdot |\mathbf{d}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{29}} = \frac{-2}{\sqrt{58}} \).

Úhel \( \theta \) získáme jako

\( \theta = \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{58}} \right) \).

Výsledek říká, že úhel mezi vektory je větší než 90°, což odpovídá záporné hodnotě kosinu.

Pro praktické použití je potřeba spočítat přibližnou hodnotu pomocí kalkulačky.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme definici skalárního součinu dvou vektorů v prostoru. Pro vektory \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \) a \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \) platí

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 + 5 \cdot 2 = -3 – 8 + 10 = -1 \).

Dále potřebujeme vypočítat délky obou vektorů, abychom mohli určit úhel mezi nimi pomocí vzorce

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}|} \).

Vypočítáme délky:

\( |\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} \).

\( |\mathbf{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \).

Dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-1}{\sqrt{798}} \).

Úhel \( \theta \) pak určíme jako

\( \theta = \arccos \left( \frac{-1}{\sqrt{798}} \right) \).

Tento výsledek znamená, že úhel mezi vektory je mírně větší než 90°, protože kosinus je záporný, ale blízko nule.

Pro lepší představu je možné úhel přepočítat numericky, například pomocí kalkulačky.

Řešení příkladu:

Pro ortogonalitu platí, že jejich skalární součin je nulový:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \).

Vyjádříme skalární součin v závislosti na \( t \):

\( 1 \cdot 2 + t \cdot (-1) + 3 \cdot t = 0 \Rightarrow 2 – t + 3t = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \).

Vyřešíme rovnici:

\( 2t = -2 \Rightarrow t = -1 \).

Tedy vektory jsou kolmé právě pro \( t = -1 \).

Tento postup ukazuje, jak parametrizované vektory využít pro nalezení konkrétní hodnoty parametru splňující geometrickou podmínku.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 5 + (-3) \cdot 6 = -8 + 0 – 18 = -26 \).

Dále spočítáme velikost vektoru \( \mathbf{q} \):

\( |\mathbf{q}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 25 + 36} = \sqrt{65} \).

Velikost projekce vektoru \( \mathbf{p} \) na \( \mathbf{q} \) je dána vztahem:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{q}} \mathbf{p} = \frac{|\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}|}{|\mathbf{q}|} \).

Dosadíme hodnoty:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{q}} \mathbf{p} = \frac{|-26|}{\sqrt{65}} = \frac{26}{\sqrt{65}} \approx 3.224 \).

Výpočet projekce ukazuje, jak velká je složka vektoru \( \mathbf{p} \) ve směru vektoru \( \mathbf{q} \).

Řešení příkladu:

Označíme vektor \( \mathbf{b} = (1, y, z) \).

Podmínka kolmosti znamená, že skalární součin musí být nulový:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot y + 4 \cdot z = 0 \Rightarrow 2 – y + 4z = 0 \Rightarrow y = 2 + 4z \).

Další podmínkou je délka vektoru \( \mathbf{b} \) rovna 3:

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + y^2 + z^2} = 3 \Rightarrow 1 + y^2 + z^2 = 9 \Rightarrow y^2 + z^2 = 8 \).

Dosadíme výraz pro \( y \):

\( (2 + 4z)^2 + z^2 = 8 \Rightarrow 4 + 16z + 16z^2 + z^2 = 8 \Rightarrow 17z^2 + 16z + 4 = 8 \).

Upravíme rovnici:

\( 17z^2 + 16z + 4 – 8 = 0 \Rightarrow 17z^2 + 16z – 4 = 0 \).

Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:

\( \Delta = 16^2 – 4 \cdot 17 \cdot (-4) = 256 + 272 = 528 \).

Kořeny jsou:

\( z = \frac{-16 \pm \sqrt{528}}{2 \cdot 17} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{132}}{34} = \frac{-8 \pm \sqrt{132}}{17} \).

Hodnoty \( y \) vypočítáme následně:

\( y = 2 + 4z \).

Tímto způsobem získáme dvě řešení pro vektor \( \mathbf{b} \) splňující podmínky.

Řešení příkladu:

Nejprve napíšeme výraz pro skalární součin:

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = t \cdot 1 + 2 \cdot t + (-1) \cdot t^2 = t + 2t – t^2 = 3t – t^2 \).

Podmínka, že skalární součin je nulový, znamená

\( 3t – t^2 = 0 \Rightarrow t(3 – t) = 0 \).

Řešením je tedy

\( t = 0 \) nebo \( t = 3 \).

Pro tyto hodnoty parametru jsou vektory ortogonální.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \).

Pak délky obou vektorů:

\( |\mathbf{m}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),

\( |\mathbf{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

Úhel \( \theta \) určíme podle vzorce

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).

Odtud

\( \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).

Řešení příkladu:

Vektorový součin \( \mathbf{r} \times \mathbf{s} \) je definován jako

\[ \mathbf{r} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} \].

Vyjádříme determinant podle prvního řádku:

\( \mathbf{i} \cdot (3 \cdot 4 – 1 \cdot 0) – \mathbf{j} \cdot (2 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k} \cdot (2 \cdot 0 – 3 \cdot (-1)) \).

Vypočteme jednotlivé části:

\( \mathbf{i} (12 – 0) – \mathbf{j} (8 + 1) + \mathbf{k} (0 + 3) = 12 \mathbf{i} – 9 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \).

Výsledný kolmý vektor je tedy

\( \mathbf{r} \times \mathbf{s} = (12, -9, 3) \).

Pro zjednodušení lze dělit společným faktorem 3, získáme

\( (4, -3, 1) \).

Tento vektor je kolmý na oba původní vektory.

Řešení příkladu:

Obecná rovnice roviny je dána vztahem

\( n_1 (x – x_0) + n_2 (y – y_0) + n_3 (z – z_0) = 0 \), kde \( (x_0, y_0, z_0) \) je bod na rovině a \( \mathbf{n} = (n_1, n_2, n_3) \) je normálový vektor roviny.

Dosadíme hodnoty:

\( 4(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 3) = 0 \).

Roznásobíme a upravíme:

\( 4x – 4 – y + 2 + 2z – 6 = 0 \Rightarrow 4x – y + 2z – 8 = 0 \).

Toto je rovnice hledané roviny.

Řešení příkladu:

Vzdálenost bodu \( P = (x_0, y_0, z_0) \) od roviny \( Ax + By + Cz + D = 0 \) je dána vzorcem

\( d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).

Dosadíme hodnoty:

\( d = \frac{|2 \cdot 3 – 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 – 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 1 + 8 – 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|10|}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3} \approx 3.333 \).

Tedy vzdálenost bodu od roviny je přibližně 3,333 jednotek.

Řešení příkladu:

Vektorový součin je definován determinantem matice

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} \].

Rozepíšeme podle první řádky:

\( \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \).

Vypočítáme hodnoty:

\( \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8) = -3 \mathbf{i} + 6 \mathbf{j} – 3 \mathbf{k} \).

Výsledný vektor je tedy

\( (-3, 6, -3) \).

Řešení příkladu:

1. Podmínka kolmých vektorů znamená, že jejich skalární součin je nulový:
2. Vypočítáme skalární součin:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2t) \cdot 1 + 1 \cdot (t + 1) + (t – 1) \cdot 3 = 2t + t + 1 + 3t – 3 = (2t + t + 3t) + (1 – 3) = 6t – 2 \).

3. Podmínka je tedy

\( 6t – 2 = 0 \Rightarrow 6t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{3} \).

Pro \( t = \frac{1}{3} \) jsou vektory \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \) kolmé.

Řešení příkladu:

1. Nejdříve vypočteme skalární součin \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \). Použijeme definici skalárního součinu pro vektory v \(\mathbb{R}^3\):

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \).

2. Dosadíme hodnoty složek:

\( (4)(-1) + (-2)(3) + (7)(2) = -4 – 6 + 14 = 4 \).

3. Dále vypočteme velikosti obou vektorů podle vzorce:

\( \| \mathbf{u} \| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 4 + 49} = \sqrt{69} \),

\( \| \mathbf{v} \| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \).

4. Úhel \( \theta \) mezi vektory lze získat pomocí vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \|} \Rightarrow \theta = \arccos \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \|} \right) \).

5. Dosadíme hodnoty:

\( \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{69} \cdot \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{966}} \).

6. Numericky:

\( \sqrt{966} \approx 31.07 \Rightarrow \cos \theta \approx \frac{4}{31.07} \approx 0.1287 \).

7. Výpočet úhlu:

\( \theta \approx \arccos(0.1287) \approx 82.6^\circ \).

8. Závěr: Skalární součin je 4 a úhel mezi vektory je přibližně \( 82.6^\circ \).

Řešení příkladu:

1. Nejprve zapíšeme výraz pro skalární součin podle definice:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = t \cdot 3 + 2 \cdot t^2 + (-1) \cdot 4 = 3t + 2t^2 – 4 \).

2. Chceme, aby skalární součin byl nulový, tj. řešíme rovnici:

\( 3t + 2t^2 – 4 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 3t – 4 = 0 \).

3. Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce pro kořeny:

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), kde \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=-4 \).

4. Vypočítáme diskriminant:

\( \Delta = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41 \).

5. Dosadíme do vzorce pro kořeny:

\( t = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4} \).

6. Numerické hodnoty kořenů jsou:

\( t_1 = \frac{-3 + 6.403}{4} \approx 0.85 \),

\( t_2 = \frac{-3 – 6.403}{4} \approx -2.35 \).

7. Závěr: Skalární součin vektorů je nulový pro \( t \approx 0.85 \) a \( t \approx -2.35 \).

Řešení příkladu:

1. Zapsání skalárního součinu:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot k + (-1) \cdot 3 = 4 + 2k – 3 = 2k + 1 \).

2. Podmínka je, aby tento součin byl roven 7:

\( 2k + 1 = 7 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3 \).

3. Závěr: Hodnota parametru \( k \) je 3.

Řešení příkladu:

1. Kolmost znamená, že skalární součin je nulový:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = a \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot b = a – 2 + 3b = 0 \).

2. Vyjádříme \( a \) jako funkci \( b \):

\( a = 2 – 3b \).

3. Závěr: Pro kolmost musí platit \( a = 2 – 3b \).

Řešení příkladu:

1. Definice skalárního součinu v \(\mathbb{R}^4\):

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^4 x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 + x_4 y_4 \).

2. Dosadíme hodnoty:

\( (1)(4) + (0)(-1) + (-2)(1) + (3)(5) = 4 + 0 – 2 + 15 = 17 \).

3. Závěr: Skalární součin je 17.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vyjádříme skalární součin jako funkci \( k \):

\( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 2 \cdot k + (-3) \cdot 2k + 4 \cdot (-k) = 2k – 6k – 4k = (2 – 6 – 4)k = -8k \).

2. Podmínka kolmosti je nulový skalární součin, tedy:

\( -8k = 0 \Rightarrow k = 0 \).

3. Závěr: Vektory jsou kolmé pouze pro \( k = 0 \), tedy pokud \( \mathbf{s} = (0,0,0) \) (nulový vektor).

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme vektor \( \mathbf{c} \) jako součet vektorů \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \):

\( \mathbf{c} = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9) \).

2. Velikost vektoru \( \mathbf{c} \) vypočteme podle vzorce:

\( \| \mathbf{c} \| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155} \).

3. Skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \) vypočteme jako:

\( (1)(5) + (2)(7) + (3)(9) = 5 + 14 + 27 = 46 \).

4. Závěr: Velikost vektoru \( \mathbf{c} \) je \( \sqrt{155} \) a skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \) je 46.

Řešení příkladu:

1. Nejdříve vypočítáme skalární součin \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):

\( 3 \cdot 4 + (-3) \cdot 9 + 1 \cdot 2 = 12 – 27 + 2 = -13 \).

2. Poté spočítáme velikosti vektorů:

\( \| \mathbf{u} \| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \),

\( \| \mathbf{v} \| = \sqrt{4^2 + 9^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 81 + 4} = \sqrt{101} \).

3. Úhel \( \theta \) vypočítáme podle vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \|} = \frac{-13}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{101}} = \frac{-13}{\sqrt{1919}} \).

4. Numerické hodnoty:

\( \sqrt{1919} \approx 43.82 \Rightarrow \cos \theta \approx -0.2967 \).

5. Úhel \( \theta \):

\( \theta \approx \arccos(-0.2967) \approx 107.3^\circ \).

6. Závěr: Úhel mezi vektory je přibližně \( 107.3^\circ \).

Řešení příkladu:

1. Nejprve zapíšeme skalární součin v závislosti na parametru \( k \):

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = k \cdot 2 + 1 \cdot k + 0 \cdot 3 = 2k + k = 3k \).

2. Podmínka ortogonality (kolmosti) je nulový skalární součin:

\( 3k = 0 \Rightarrow k = 0 \).

3. Závěr: Vektory jsou ortogonální právě pro \( k = 0 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme vektory AB a AC, které určí směr roviny. Vektor AB spočítáme jako rozdíl souřadnic bodu B a bodu A:

\( \vec{AB} = (4 – 1, 0 – 2, 1 – 3) = (3, -2, -2) \)

Podobně spočítáme vektor AC:

\( \vec{AC} = (2 – 1, 5 – 2, 7 – 3) = (1, 3, 4) \)

Rovina je určena bodem A a normálovým vektorem, který je kolmý na oba vektory AB a AC. Normálový vektor získáme jako vektorový součin \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \).

Vypočítáme tento vektorový součin:

\( \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(4) – (-2)(3)) – \mathbf{j}(3 \cdot 4 – (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 3 – (-2) \cdot 1) \)

\( \vec{n} = \mathbf{i}(-8 + 6) – \mathbf{j}(12 + 2) + \mathbf{k}(9 + 2) = \mathbf{i}(-2) – \mathbf{j}(14) + \mathbf{k}(11) \)

Tedy \( \vec{n} = (-2, -14, 11) \).

Rovnice roviny v obecné formě je:

\( n_1(x – x_0) + n_2(y – y_0) + n_3(z – z_0) = 0 \)

Dosadíme souřadnice bodu A a složky normálového vektoru:

\( -2(x – 1) -14(y – 2) + 11(z – 3) = 0 \)

Rozepíšeme závorky:

\( -2x + 2 -14y + 28 + 11z – 33 = 0 \)

Sjednotíme konstanty:

\( -2x – 14y + 11z – 3 = 0 \)

Pro lepší přehlednost můžeme celou rovnici vydělit -1:

\( 2x + 14y – 11z + 3 = 0 \)

Toto je rovnice roviny, která prochází body A, B a C.

Řešení příkladu:

Skalární součin definujeme jako:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \)

Dosadíme hodnoty:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 4 + 0 – 2 = 2 \)

Velikost vektorů spočítáme pomocí vzorce:

\( |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \)

\( |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 0 + 1} = \sqrt{17} \)

Úhel \( \theta \) mezi vektory získáme z definice skalárního součinu:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \)

Dosadíme hodnoty:

\( \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}} = \frac{2}{\sqrt{238}} \)

Vypočítáme hodnotu:

\( \sqrt{238} \approx 15.427 \Rightarrow \cos \theta \approx \frac{2}{15.427} \approx 0.1296 \)

Úhel tedy je:

\( \theta = \arccos 0.1296 \approx 82.55^\circ \)

Tedy úhel mezi vektory \( \vec{u} \) a \( \vec{v} \) je přibližně 82.55 stupňů.

Řešení příkladu:

Skalární součin vektorů \( \vec{a} \) a \( \vec{b} \) lze spočítat ze vzorce:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \)

Dosadíme hodnoty:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \)

Velikost vektoru \( \vec{a} + \vec{b} \) spočítáme pomocí vzorce:

\( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b})} \)

Dosadíme hodnoty:

\( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 8^2 + 2 \times 20} = \sqrt{25 + 64 + 40} = \sqrt{129} \)

Výsledná velikost je:

\( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{129} \approx 11.36 \)

Tedy skalární součin je 20 a velikost součtu vektorů je přibližně 11.36.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \times (-3) + (-1) \times 6 + 4 \times 1 = -6 – 6 + 4 = -8 \)

Dále spočítáme velikosti vektorů:

\( |\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21} \)

\( |\vec{q}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 36 + 1} = \sqrt{46} \)

Úhel mezi vektory získáme vztahem:

\( \cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|} = \frac{-8}{\sqrt{21} \times \sqrt{46}} = \frac{-8}{\sqrt{966}} \)

Vypočítáme hodnotu:

\( \sqrt{966} \approx 31.08 \Rightarrow \cos \theta \approx \frac{-8}{31.08} \approx -0.257 \)

Úhel je:

\( \theta = \arccos (-0.257) \approx 105^\circ \)

Tedy úhel mezi vektory je přibližně 105 stupňů, což znamená, že jsou mírně tupé.

Řešení příkladu:

Skalární součin ve dvou rozměrech se počítá jako:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = m_1 n_1 + m_2 n_2 \)

Dosadíme hodnoty:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \times 5 + 4 \times (-12) = 15 – 48 = -33 \)

Vektory jsou kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je 0. V našem případě je skalární součin -33, což není nula.

Tedy vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Projekce vektoru \( \vec{a} \) na \( \vec{b} \) je dána vzorcem:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \)

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 3 \times 0 + (-1) \times 2 = 2 + 0 – 2 = 0 \)

Velikost vektoru \( \vec{b} \):

\( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \)

Protože skalární součin je 0, projekce je nulový vektor:

\( \mathrm{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{0}{5} \vec{b} = (0, 0, 0) \)

Tedy vektor \( \vec{a} \) je kolmý na vektor \( \vec{b} \), což znamená, že jeho projekce na \( \vec{b} \) je nulová.

Řešení příkladu:

Nejprve skalární součin:

\( \vec{x} \cdot \vec{y} = 7 \times (-1) + (-2) \times 4 + 3 \times 5 = -7 – 8 + 15 = 0 \)

Protože skalární součin je nulový, vektory jsou navzájem kolmé.

Vektorový součet je:

\( \vec{x} + \vec{y} = (7 + (-1), -2 + 4, 3 + 5) = (6, 2, 8) \)

Velikost vektoru \( \vec{x} + \vec{y} \) spočítáme:

\( |\vec{x} + \vec{y}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 4 + 64} = \sqrt{104} \)

\( \sqrt{104} \approx 10.198 \)

Tedy velikost výsledného vektoru součtu je přibližně 10.198.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme definici skalárního součinu dvou vektorů. Skalární součin vektorů \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \) je dán vzorcem:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Dosadíme konkrétní hodnoty:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = -6 – 4 + 2 = -8 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Pro výpočet úhlu \( \theta \) mezi vektory použijeme vztah:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \).

Vypočítáme délky vektorů:

\( \|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \),

\( \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \).

Dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{-8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-8}{\sqrt{294}} \).

Vyčíslíme hodnotu:

\( \sqrt{294} \approx 17.1464 \), takže

\( \cos \theta \approx \frac{-8}{17.1464} \approx -0.4667 \).

Úhel mezi vektory je:

\( \theta = \arccos(-0.4667) \approx 118^\circ \) (v radiánech \( \approx 2.06 \)).

Tím jsme zjistili, že vektory nejsou kolmé a úhel mezi nimi je přibližně 118 stupňů.

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme skalární součin vektorů \( \mathbf{u} \) a \( \mathbf{v} \) podle vzorce:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 4 + 0 – 3 = 1 \).

Pro výpočet projekce vektoru \( \mathbf{u} \) na \( \mathbf{v} \) použijeme vzorec:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \).

Nejprve spočítáme délku vektoru \( \mathbf{v} \):

\( \|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 0 + 1} = \sqrt{17} \).

Čtverec délky je tedy \( \|\mathbf{v}\|^2 = 17 \).

Dosadíme do vzorce pro projekci:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{1}{17} (4, 0, -1) = \left( \frac{4}{17}, 0, -\frac{1}{17} \right) \).

Výsledná projekce tedy je vektor \( \left( \frac{4}{17}, 0, -\frac{1}{17} \right) \).

Řešení příkladu:

Pro skalární součin použijeme definici:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3 \).

Dosadíme hodnoty:

\( 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-3) \cdot 5 = 0 + 4 – 15 = -11 \).

Skalární součin není nulový, tedy vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Vektory jsou kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je nulový:

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0 \Rightarrow a \cdot 1 + 2a \cdot (-1) + 3a \cdot 0 = 0 \).

Sčítáme:

\( a – 2a + 0 = 0 \Rightarrow -a = 0 \Rightarrow a = 0 \).

Jediné řešení je \( a = 0 \), což znamená, že vektor \( \mathbf{x} \) je nulový vektor.

Tedy pro nenulové \( a \) nejsou vektory kolmé.

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 2 + 0 – 4 = -2 \).

Vektor \( \mathbf{m} + \mathbf{n} = (1 + 2, 0 + 3, -1 + 4) = (3, 3, 3) \).

Délka tohoto vektoru je:

\( \|\mathbf{m} + \mathbf{n}\| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).

Řešení příkladu:

Podmínka kolmosti je \( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 0 \).

Dosadíme komponenty:

\( x \cdot 1 + 2 \cdot y + (-1) \cdot 3 = 0 \Rightarrow x + 2y – 3 = 0 \).

Vyjádříme \( x \):

\( x = 3 – 2y \).

Tento vztah musí platit pro kolmost vektorů.

Řešení příkladu:

Podmínka kolmosti je \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \).

Dosadíme komponenty:

\( 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + k \cdot 4 = 0 \Rightarrow 3 – 2 + 4k = 0 \Rightarrow 1 + 4k = 0 \Rightarrow 4k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4} \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme skalární součin:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 5 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = -5 + 0 + 4 = -1 \).

Délky vektorů:

\( \|\mathbf{u}\| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 0 + 4} = \sqrt{29} \),

\( \|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \).

Úhel \( \theta \) vypočteme pomocí vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} = \frac{-1}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-1}{\sqrt{609}} \approx -0.0405 \).

Úhel je:

\( \theta = \arccos(-0.0405) \approx 92.3^\circ \).

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou vektorů v eukleidovském prostoru je definován jako součet součinů odpovídajících složek vektorů.

Matematicky:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \), kde \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \).

Krok 1: Zapište složky vektorů:

\( \mathbf{a} = (3, -1, 2) \)

\( \mathbf{b} = (1, 4, -2) \)

Krok 2: Vypočítejte jednotlivé součiny složek:

\( a_1 b_1 = 3 \times 1 = 3 \)

\( a_2 b_2 = (-1) \times 4 = -4 \)

\( a_3 b_3 = 2 \times (-2) = -4 \)

Krok 3: Sečtěte součiny:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 + (-4) + (-4) = 3 – 4 – 4 = -5 \)

Závěr:

Skalární součin vektorů \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \) je \( -5 \).

Řešení příkladu:

Skalární součin pro vektory v \( \mathbb{R}^4 \) se vypočítá jako součet součinů odpovídajících složek.

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 + u_4 v_4 \).

Krok 1: Zapište složky vektorů:

\( \mathbf{u} = (2, 0, -3, 5) \)

\( \mathbf{v} = (-1, 4, 2, -2) \)

Krok 2: Vypočítejte jednotlivé součiny:

\( 2 \times (-1) = -2 \)

\( 0 \times 4 = 0 \)

\( -3 \times 2 = -6 \)

\( 5 \times (-2) = -10 \)

Krok 3: Sečtěte součiny:

\( -2 + 0 – 6 – 10 = -18 \)

Závěr:

Skalární součin vektorů \( \mathbf{u} \) a \( \mathbf{v} \) je \( -18 \).

Řešení příkladu:

Pro 2D vektory je skalární součin definován jako \( p_1 q_1 + p_2 q_2 \).

Krok 1: Zapište složky vektorů:

\( \mathbf{p} = (7, -4) \)

\( \mathbf{q} = (3, 6) \)

Krok 2: Vypočítejte součiny složek:

\( 7 \times 3 = 21 \)

\( -4 \times 6 = -24 \)

Krok 3: Sečtěte součiny:

\( 21 – 24 = -3 \)

Závěr:

Skalární součin vektorů \( \mathbf{p} \) a \( \mathbf{q} \) je \( -3 \).

Řešení příkladu:

Skalární součin dvou pětidimenzionálních vektorů je součet součinů odpovídajících složek.

Krok 1: Zapište složky vektorů:

\( \mathbf{x} = (1, 2, 3, 4, 5) \)

\( \mathbf{y} = (5, 4, 3, 2, 1) \)

Krok 2: Vypočítejte jednotlivé součiny:

\( 1 \times 5 = 5 \)

\( 2 \times 4 = 8 \)

\( 3 \times 3 = 9 \)

\( 4 \times 2 = 8 \)

\( 5 \times 1 = 5 \)

Krok 3: Sečtěte součiny:

\( 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35 \)

Závěr:

Skalární součin vektorů \( \mathbf{x} \) a \( \mathbf{y} \) je \( 35 \).

Řešení příkladu:

Vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule.

Krok 1: Spočítejte skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\( 1 \times 2 + 0 \times 0 + (-1) \times 2 = 2 + 0 – 2 = 0 \)

Závěr:

Protože skalární součin je nulový, vektory \( \mathbf{a} \) a \( \mathbf{b} \) jsou kolmé.

Řešení příkladu:

Jednotkové vektory jsou vektory o délce 1, což ověříme později. Nejprve vypočítáme jejich skalární součin.

Krok 1: Zapište složky vektorů:

\( \mathbf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)

\( \mathbf{v} = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)

Krok 2: Vypočítejte skalární součin:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)

Krok 3: Závěr

Skalární součin je 0, což znamená, že vektory jsou navzájem kolmé.

Řešení příkladu:

Skalární součin vektorů závisí na proměnné \( x \).

Krok 1: Napište vzorec pro skalární součin:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x \times 1 + 2x \times (-1) + (-x) \times 3 \)

Krok 2: Proveďte výpočty:

\( x – 2x – 3x = (1 – 2 – 3)x = -4x \)

Závěr:

Skalární součin je \( -4x \). Pro jaké hodnoty \( x \) jsou vektory kolmé?

Kolmost znamená, že skalární součin je nula, tedy

\( -4x = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Pro \( x = 0 \) jsou tedy vektory kolmé.

Řešení příkladu:

Krok 1: Skalární součin \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \):

\( 1 \times 4 + (-2) \times 0 + 3 \times (-1) = 4 + 0 – 3 = 1 \)

Krok 2: Velikost vektoru \( \mathbf{m} \):

Velikost vektoru je dána vztahem

\( \|\mathbf{m}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \).

Závěr:

Skalární součin je \( 1 \) a velikost vektoru \( \mathbf{m} \) je \( \sqrt{14} \).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vypočítejte skalární součin \( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} \):

\( 2 \times 0 + 3 \times (-1) + (-1) \times 2 + 4 \times 1 = 0 – 3 – 2 + 4 = -1 \)

Krok 2: Vypočítejte velikosti vektorů \( \mathbf{r} \) a \( \mathbf{s} \):

\( \|\mathbf{r}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 1 + 16} = \sqrt{30} \)

\( \|\mathbf{s}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \)

Krok 3: Určete úhel \( \theta \) mezi vektory pomocí vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{s}}{\|\mathbf{r}\| \|\mathbf{s}\|} = \frac{-1}{\sqrt{30} \times \sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{180}} \)

Protože \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6 \sqrt{5} \), dostáváme

\( \cos \theta = \frac{-1}{6 \sqrt{5}} \)

Krok 4: Spočítejte úhel \( \theta \):

\( \theta = \arccos \left( \frac{-1}{6 \sqrt{5}} \right) \)

Tento úhel je přibližně

\( \theta \approx \arccos(-0,0745) \approx 94,27^\circ \).

Závěr:

Skalární součin je -1, velikosti vektorů jsou \( \sqrt{30} \) a \( \sqrt{6} \), úhel mezi nimi je přibližně 94,27 stupňů.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme definici skalárního součinu vektorů v \(\mathbb{R}^3\). Skalární součin dvou vektorů \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) a \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \) je definován jako součet součinů jejich odpovídajících složek:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Pro zadané vektory tedy platí:

\( \mathbf{a} = (4, -3, 2), \quad \mathbf{b} = (-1, 5, 0) \).

Dosadíme do vzorce:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 5 + 2 \cdot 0 = -4 – 15 + 0 = -19 \).

Výsledek skalárního součinu je tedy \(-19\).

Vektory jsou kolmé, pokud jejich skalární součin je roven nule. Protože \(-19 \neq 0\), vektory nejsou kolmé.

Nyní spočítáme úhel \(\theta\) mezi vektory pomocí vzorce:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \).

Pro to musíme nejprve spočítat délky (normy) obou vektorů:

\( \|\mathbf{a}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.385 \).

\( \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25 + 0} = \sqrt{26} \approx 5.099 \).

Dosadíme do vzorce pro kosinus úhlu:

\( \cos \theta = \frac{-19}{5.385 \cdot 5.099} = \frac{-19}{27.44} \approx -0.692 \).

Nyní určíme úhel \(\theta\) pomocí inverzní funkce kosinu:

\( \theta = \arccos(-0.692) \approx 133.7^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory je přibližně 133.7 stupňů, což potvrzuje, že vektory nejsou kolmé, ale tvoří spíše tupý úhel.

Řešení příkladu:

Pro výpočet projekce vektoru \( \mathbf{u} \) na vektor \( \mathbf{v} \) používáme vzorec:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \).

Nejprve spočítáme skalární součin \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \):

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 6 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 12 – 2 – 3 = 7 \).

Dále spočítáme normu vektoru \( \mathbf{v} \):

\( \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.449 \).

Čtverec normy je tedy \( \|\mathbf{v}\|^2 = 6 \).

Dosadíme do vzorce pro projekci:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{7}{6} \cdot (2, 1, -1) = \left( \frac{14}{6}, \frac{7}{6}, -\frac{7}{6} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{7}{6}, -\frac{7}{6} \right) \).

Pro velikost projekce (tzv. délku projekčního vektoru) použijeme:

\( \left\| \mathrm{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} \right\| = \left| \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \right| = \frac{|7|}{\sqrt{6}} \approx \frac{7}{2.449} \approx 2.857 \).

Projekční vektor má tedy složky \(\left( \frac{7}{3}, \frac{7}{6}, -\frac{7}{6} \right)\) a jeho délka je přibližně 2.857.

Řešení příkladu:

Pro kolmost platí, že skalární součin je nulový:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 0 \).

Dosadíme složky vektorů:

\( 1 \cdot k + 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 0 \Rightarrow k + 8 – 6 = 0 \Rightarrow k + 2 = 0 \Rightarrow k = -2 \).

Tedy parametr \( k \) musí být roven \(-2\), aby byly vektory kolmé.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme výsledný vektor součtem složek vektorů:

\( \mathbf{r} = (3 + (-2), -1 + 4, 2 + 1) = (1, 3, 3) \).

Velikost vektoru \( \mathbf{r} \) vypočítáme jako:

\( \|\mathbf{r}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19} \approx 4.359 \).

Skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) je:

\( 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = -6 – 4 + 2 = -8 \).

Tedy výsledný vektor má délku přibližně 4.359 a skalární součin je \(-8\).

Řešení příkladu:

Úhel mezi vektory vypočítáme ze vzorce:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\| \|\mathbf{y}\|} \).

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 7 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 = 21 + 0 + 0 = 21 \).

Dále délky vektorů:

\( \|\mathbf{x}\| = \sqrt{7^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 0 + 1} = \sqrt{50} \approx 7.071 \).

\( \|\mathbf{y}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \).

Dosadíme do vzorce:

\( \cos \theta = \frac{21}{7.071 \cdot 5} = \frac{21}{35.355} \approx 0.594 \).

Úhel:

\( \theta = \arccos(0.594) \approx 53.5^\circ \).

Tedy úhel mezi vektory je přibližně 53.5 stupňů.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 0 + 4 \cdot 5 = -2 + 0 + 20 = 18 \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Pro výpočet projekce použijeme vzorec:

\( \|\mathrm{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{m}\| = \frac{|\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{n}\|} \).

Spočítáme normu vektoru \( \mathbf{n} \):

\( \|\mathbf{n}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 0 + 25} = \sqrt{26} \approx 5.099 \).

Dosadíme hodnoty:

\( \|\mathrm{proj}_{\mathbf{n}} \mathbf{m}\| = \frac{18}{5.099} \approx 3.532 \).

Velikost projekce vektoru \( \mathbf{m} \) na vektor \( \mathbf{n} \) je tedy přibližně 3.532.

Řešení příkladu:

Pro kolmost platí podmínka, že skalární součin je nulový:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \).

Dosadíme složky vektorů:

\( 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + t \cdot 4 = 0 \Rightarrow 3 – 2 + 4t = 0 \Rightarrow 1 + 4t = 0 \Rightarrow 4t = -1 \Rightarrow t = -\frac{1}{4} \).

Tedy parametr \( t \) musí být roven \(-\frac{1}{4}\), aby byly vektory kolmé.

Řešení příkladu:

Spočítáme skalární součin:

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \cdot 5 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) = 0 + 0 – 8 = -8 \).

Výsledný vektor \( \mathbf{w} = \mathbf{u} – \mathbf{v} \) je:

\( \mathbf{w} = (0 – 5, 3 – 0, 4 – (-2)) = (-5, 3, 6) \).

Velikost vektoru \( \mathbf{w} \) spočítáme jako:

\( \|\mathbf{w}\| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 9 + 36} = \sqrt{70} \approx 8.367 \).

Řešení příkladu:

Vektorová projekce \( \mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \) je definována vzorcem:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b} \).

Nejprve spočítáme skalární součin \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\( 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 2 – 2 + 4 = 4 \).

Dále spočítáme normu vektoru \( \mathbf{b} \):

\( \|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \).

Dosadíme do vzorce:

\( \mathrm{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{4}{3^2} (1, 2, 2) = \frac{4}{9} (1, 2, 2) = \left(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right) \).

Tedy vektorová projekce je \( \left(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right) \).

Řešení příkladu:

Vektorový součin dvou vektorů \( \mathbf{p} \) a \( \mathbf{q} \) je vektor kolmý na oba vektory.

Výpočet vektorového součinu:

\( \mathbf{p} \times \mathbf{q} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (4 \cdot 5 – (-2) \cdot (-1)) – \mathbf{j} (1 \cdot 5 – (-2) \cdot 3) + \mathbf{k} (1 \cdot (-1) – 4 \cdot 3) \).

Vypočítáme jednotlivé složky:

\( \mathbf{i}: 4 \cdot 5 – (-2) \cdot (-1) = 20 – 2 = 18 \).

\( \mathbf{j}: 1 \cdot 5 – (-2) \cdot 3 = 5 + 6 = 11 \), ale jelikož je před \( \mathbf{j} \) mínus, je to \(-11\).

\( \mathbf{k}: 1 \cdot (-1) – 4 \cdot 3 = -1 – 12 = -13 \).

Výsledný vektor je tedy \( (18, -11, -13) \).

Tento vektor je kolmý na oba původní vektory.

Řešení příkladu:

Pro výpočet skalárního součinu použijeme definici:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \)

Kde \( \mathbf{a} = (2, -1, 3) \) a \( \mathbf{b} = (-1, 4, 0) \). Dosadíme:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times (-1) + (-1) \times 4 + 3 \times 0 = -2 – 4 + 0 = -6 \)

Skalární součin je tedy \( -6 \).

Pro určení úhlu \( \theta \) mezi vektory použijeme vztah:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \)

Nejprve spočítáme velikosti vektorů:

\( |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \)

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 16 + 0} = \sqrt{17} \)

Nyní dosadíme do vzorce pro \( \cos \theta \):

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|} = \frac{-6}{\sqrt{14} \times \sqrt{17}} = \frac{-6}{\sqrt{238}} \)

Vypočítáme hodnotu \( \cos \theta \):

\( \sqrt{238} \approx 15.427 \)

\( \cos \theta \approx \frac{-6}{15.427} \approx -0.389 \)

Úhel \( \theta \) spočítáme pomocí arkus kosinu:

\( \theta = \arccos(-0.389) \approx 112.9^\circ \)

Úhel mezi vektory je přibližně \( 112.9^\circ \).

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme skalární součin vektorů \( \mathbf{u} \) a \( \mathbf{v} \):

\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + 2 \times 4 = 3 – 2 + 8 = 9 \)

Velikost vektoru \( \mathbf{v} \) je:

\( |\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} \)

Projekce vektoru \( \mathbf{u} \) na vektor \( \mathbf{v} \) je definována jako vektor:

\( \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} \right) \mathbf{v} \)

Dosadíme hodnoty:

\( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} = \frac{9}{26} \)

Tudíž projekce je:

\( \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{9}{26} (3, -1, 4) = \left( \frac{27}{26}, -\frac{9}{26}, \frac{36}{26} \right) \)

Zjednodušení zlomků:

\( \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left(1.0385, -0.3462, 1.3846 \right) \)

Projekce vektoru \( \mathbf{u} \) na \( \mathbf{v} \) je tedy vektor \( \left(1.0385, -0.3462, 1.3846 \right) \).

Řešení příkladu:

Skalární součin \( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \) spočítáme podle vzorce:

\( \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 4 \times 0 + 0 \times 5 + (-3) \times 12 = 0 + 0 – 36 = -36 \)

Velikost vektoru \( \mathbf{p} \):

\( |\mathbf{p}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Velikost vektoru \( \mathbf{q} \):

\( |\mathbf{q}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

Úhel \( \theta \) mezi vektory určíme vzorcem:

\( \cos \theta = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}| \, |\mathbf{q}|} = \frac{-36}{5 \times 13} = \frac{-36}{65} \approx -0.5538 \)

Úhel je:

\( \theta = \arccos(-0.5538) \approx 123.6^\circ \)

Vektory tedy svírají úhel přibližně \( 123.6^\circ \).

Řešení příkladu:

Skalární součin vektorů v rovině \( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \) je:

\( 7 \times 3 + (-4) \times 2 = 21 – 8 = 13 \)

Protože skalární součin není nulový, vektory nejsou kolmé.

Pro ověření lze spočítat úhel \( \theta \):

Velikosti vektorů jsou:

\( |\mathbf{x}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \)

\( |\mathbf{y}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)

\( \cos \theta = \frac{13}{\sqrt{65} \times \sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{845}} \approx \frac{13}{29.0689} \approx 0.447 \)

\( \theta = \arccos(0.447) \approx 63.4^\circ \)

Vektory tedy svírají úhel přibližně 63.4°, nejsou kolmé.

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 0 \times 5 + (-3) \times 2 + 7 \times (-1) = 0 – 6 – 7 = -13 \)

Velikost \( \mathbf{m} \):

\( |\mathbf{m}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{0 + 9 + 49} = \sqrt{58} \)

Projekce \( \mathbf{n} \) na \( \mathbf{m} \):

\( \text{proj}_{\mathbf{m}} \mathbf{n} = \left(\frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}|^2}\right) \mathbf{m} = \frac{-13}{58} (0, -3, 7) = \left(0, \frac{39}{58}, -\frac{91}{58}\right) \)

Projekce je tedy vektor \( \left(0, 0.6724, -1.5689\right) \).

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} = 1 \times (-1) + 1 \times 0 + 1 \times 1 = -1 + 0 + 1 = 0 \)

Skalární součin je 0, což znamená, že vektory jsou kolmé.

Velikosti vektorů:

\( |\mathbf{r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \)

\( |\mathbf{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \)

Úhel \( \theta \) je \( 90^\circ \), protože skalární součin je 0.

Řešení příkladu:

Velikost vektoru \( \mathbf{t} \):

\( |\mathbf{t}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

Skalární součin \( \mathbf{t} \cdot \mathbf{w} \):

\( 6 \times 3 + (-8) \times 4 = 18 – 32 = -14 \)

Skalární součin je tedy -14.

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 0 + 0 \times 2 + (-1) \times 2 = 0 + 0 – 2 = -2 \)

Velikosti vektorů:

\( |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \)

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Úhel:

\( \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2 \times 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

\( \theta = \arccos(-0.5) = 120^\circ \)

Řešení příkladu:

Skalární součin:

\( \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 2 \times 1 + 3 \times 0 + (-1) \times 1 = 2 + 0 – 1 = 1 \)

Velikost vektoru \( \mathbf{d} \):

\( |\mathbf{d}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

Projekce \( \mathbf{c} \) na \( \mathbf{d} \):

\( \text{proj}_{\mathbf{d}} \mathbf{c} = \left(\frac{\mathbf{c} \cdot \mathbf{d}}{|\mathbf{d}|^2}\right) \mathbf{d} = \frac{1}{2} (1, 0, 1) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \)